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Proposta de Resolução dos Exercícios do Subcapítulo “Limites. Continuidade. Teorema de Bolzano” Página 1

Preparar o Exame 2013 – 2017 – Matemática A

Página 146

1. Tem-se:

2

2 2

) )

21

2 2lim lim lim 1 lim

2 2 2

2 20 0 1 lim 1 0 1

2

x

x x xx x

x x x x x xx x x x

xi

x

ii

x xe

e e ex x e x x e

e e e

e

e

i) Se limx

px

a

x (limite notável), então lim 0

p

xx

x

a , com 1a e p .

ii) lim2

x

x

e

porque 1

2

e .

Resposta: D

2.

1 11

13 33 3

331 1 1 1

lim lim 1 lim 1 lim 1

nn n n

ne e

n n n n

Resposta: B

3. Tem-se que:

▪ 1

lim lim 1

n

nu en

▪ 2 2

3 3 3 3

1 1lim lim lim lim lim 0

n n n

n

n e n e ev

n n n n n

Ou seja, nu e e nv

Portanto, pela definição de limite segundo Heine:

lim lim 1lim 1 0 1 1lim

lim lim lim 1 ln 1 ln 1 1 2

x

n n x x

n nx e x e

g x eg v g v e

g u g u g x x e

Resposta: B

limite notável

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4.1. Como a reta de equação y e é assíntota horizontal do gráfico de f , quando x , então lim ( )x

f x e

.

Assim,

1ln ln ln 0 1

lim

x

x

e e e e ee

f x e e e

Resposta: A

4.2. Observando o gráfico de f , verifica-se que 2

limx

f x

. Assim,

2 2

lim lim2 0x x

f x f x

g x x

.

Resposta: D

4.3. Para que lim nf u é necessário que 2nu . A única sucessão que verifica esta condição é a

sucessão da opção A:

▪ lim 2 lim 2 2 0 22 2

n ne e

(2

lim 0

n

e

porque

20 1

e )

▪ 3

lim 2 2 0 2n

(Se

30

n

, quando n porque 3

0n , n . Portanto

32 2

n , n )

▪ 2

3 3lim 0e e e e

n

▪

2

lim lim lim limln ln ln

n n nn n

n n n

(Se ln

lim 0n

n

(limite notável), então

limln

n

n )

Resposta: A

Página 147

5.

▪ Tem-se que 2nx . Portanto 2 1 1n nx x

▪ Como 21 nx , então 2 1 1 1 2n nx x

Logo, 1 1nx , n e 11 nx . Portanto, 11 nx

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Assim, pela definição de limite segundo Heine, 1

lim limnx

f x f x

Resposta: D

6.

0

1 00

2 22 2 20 0 0 0

0

1 1lim1 1

lim lim lim lim1 11 1 1 2 1 2

2 lim2

x x

xx xx

x xx x xx x x x

x

e ee ee e e e e ex xe e e

e ee e e

x x

Resposta: B

7. Se a função f é contínua em , então também o é em 0x . Logo, 0 0

lim lim 0x x

f x f x f

.

Assim:

▪ 0

3 3 30 0

lim lim log 3 log 3 0 log 3 1 1 1 1x

x xf x a x e a e a a a

▪

0 0 0

ln 2 1lim ( ) lim lim

3x x x

x x xf x

x

3 x

0 0

ln 2 1 ln 2 1 ln 2 11 1 2lim lim

3 3 3 3 3 2x x

x x x

x x x

1 2 1 2

1 13 3 3 3

▪ 0

30 log 3 0 1f a e a

Logo, 1 1 2a a

Resposta: C

8.

▪ A função g é contínua em 4x porque 4 4

lim lim 4x x

g x g x g

:

202

0

4 4 4 4 4

22 2 2 4lim lim lim lim lim

4 4 2 4 2x x x x x

xx x x xg x

x x x x x

4x

4

2

1 1 1lim

42 4 2x

x

x

Se 0x então 2 0x (limite notável)

limite notável


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4 0

4 4

5 5 5 1lim lim 1

4 4 4 4

x

x xg x e e

0 5 14

4 4g e

Mas a função g não é contínua em 5x , sendo apenas contínua à esquerda do ponto 5, uma vez que

5

lim 5x

g x g

mas 5

lim 5x

g x g

:

4

5 5

5 5lim lim

4 4

x

x xg x e e

5 5

3 3lim lim

1 4x xg x e e

x

5 4 5 55

4 4g e e

Assim, as opções A e C ficam excluídas. A função g é contínua em 3,5 , pois é contínua em 0, \ 5 , sendo

contínua à esquerda do ponto 5. Tem-se que:

3 2

3 3 2 0,273 4

g

e 5

5 1,474

g e

Logo, 5

1 3 2 5 1 44

e g g , e como g é contínua em 3,5 , pelo teorema de Bolzano,

3,5 : 1c g c

Resposta: B

9. Em todas as opções a função h é contínua em 0,5 , pois é diferença, soma ou módulo entre funções contínuas

em 0,5 . Assim, para garantir a existência de pelo menos uma solução da equação 0h x em 0,5 , ou seja,

para que h tenha pelo menos um zero em 0,5 , é necessário que 0h e 5h tenham sinais contrários. A única

opção que verifica esta condição é a C:

▪ 0 3 0 0 3 1 4h f e 5 3 5 0 3 4 5 2h f

▪ 0 3 0 0 3 1 4h f e 5 3 5 5 3 4 5 12h f

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▪ 0 3 0 0 3 1 3 1 2h f e 5 3 5 5 3 4 5 3 9 3 9 6h f

▪ 0 3 0 0 3 1 3 1 2h f e 5 3 5 5 3 4 5 3 1 3 1 2h f

Resposta: C

Página 148

10.

10.1. 4 2

4 2 5 5 5

5 5 5 3 5

6 3 6 1 3lim 6 3 lim 1 lim 1x x x

x xx x x x x

x x x x x x

6 1 3

1 0 0 1 0

Outra resolução:

54 2 5 5lim 6 3 lim

x xx x x x

10.2.

0

4 3 0

24 4)

44 4lim lim

2 7 4 ix x

xx x x

x x

3 1

4

x

x

3 3

4

1 4 1 63lim 7

2 1 2 4 1 92 1 x

x

xx

i) Utilizando a regra de Ruffini podemos decompor os polinómios 4 34 4x x x e 22 7 4x x :

1 4 0 1 4 2 7 4

4 4 0 0 4 4 8 4

1 0 0 1 0 2 1 0

Logo, 4 3 34 4 4 1x x x x x Logo, 22 7 4 4 2 1x x x x

10.3.

4

4 4 4 3 4

2 3 23

33 3

2 1 2 1 2 11 1 1

2 1lim lim lim

10 4 10 410 4 10 4 1 11x x x

xx x

x x x x x x

x x xx

x xx x

1 0 0

0 1 0 1

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Outra resolução: 4 4

2 3 3

2 1lim lim lim

10 4x x x

x x xx

x x x

10.4.

20

0

2 2 21 1 1 1

11 1 1 1lim lim lim lim

1 1 1 1 1x x x x

xx x x x

x x x x x

1 1x x 1x

1 )

1 1 1lim

2 0 01 1 ix x x

i) 1

lim 1 1 1 0x

x

porque 1 0x , 1x .

10.5. 2 2 2 2

2 2

2 2

2 3 2 3lim 2 3 lim

2 3x x

x x x x x x x xx x x x

x x x x

2 22 2 2 2 2

2 2 2 2

2 3 2 3lim lim lim

2 3 2 3x x x

x x x x x x x x x

x x x x x x x x

22x x

2 2

3

2 3

x

x x x x

2 22 2

22 2 2

3 3lim lim

2 1 32 31 11 1

x x

x x

x x

x xx xx x

x x xx x x

)

limi x

x

31

x

x

22

3 31 1

lim2 1 3 2 1 32 1 3

1 1 1 11 1x

x

x x xx x x

1 0 1

21 0 1 0 0

i) 20

0

x se xx x

x se x

. Como x pode assumir-se que x é positivo, logo 2x x x .

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10.6.

22 2 2 2

22

2 2

9 9 9lim 9 lim lim lim

9 9x x x x

x x x x x x xx x

x x x x

29 x

2 9x x

2 2

9 9 9 9lim 0

9 9x x x

10.7.

20 2

0

21 1 1 2

2 3 2 12 3 2 3

2 3

2 1

2 1

2 3lim lim lim

2 1 2 1 2 1 2 3x x x

x x xxx

x x x xxx

x

1 1

4 3 2 1 1lim lim

2 1 2 3x x

x x x

x x

2 1

1

x

x

1

2 1 1 2 1 2 1lim

4 22 3 2 3 12 3 x

x

xx

10.8.

0

0

02 2 20 )0

4 2 2 2lim lim 2 lim 2 1 2

1 1 1xx x xx ix

x x x

e e e

i) Se 0

1lim 1

x

x

e

x


0

1lim 1

1 1xx

x

e

. Se 0x então 2 0x .

10.9.

0

1 1 10

1 1 1 1

2 12 3 1 2 2 1lim lim lim lim

1 1 1 1

x x x

x x x x

xe x e x e

x x x x

1x

1

1

12 lim

1

x

x

e

x

) 0

12 lim 2 1 3

yi

ye

y

i) Mudança de variável: Se 1x então 1 0x Seja 1 1y x x y , 0y .

10.10

0

0

0 0 0

1 31 3

1 3lim lim lim

ln 1ln 1

xx

x

x x x

e xe x

e x xx

xx

x

x

0

0

0

1 13 3 lim

3 1lim 4

ln 1 ln 1 ln 1 1lim

x x

x

x

x

e e

x x

x x x

x x x

limite notável

limite notável

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10.11.

0

2 0

2 10 4 2 10 4 2 10 4 2 3 10) 43 3 )3 3 0

3 26 3lim lim lim lim 2 5 lim

i iix x x yx x x x y

x xx x x yx

e e e e e e e e

4 2 4 4 2 4 4 20 0 0

5 lim 5 lim 5 lim1

y y yy y y

y y y

e e e e e e e

4 2 4 40 )

5 5 5lim 1

1 2 2

2

2 y iiiy

y

e e e e

i) Tem-se que 2 6 0 2 3x x x x . Logo 2 6 3 2x x x x .

ii) Mudança de variável: Se 3x então 3 0x Seja 3 3y x x y , 0y .

iii) Se 0

1lim 1

x

x

e

x


0lim 1

1xx

x

e

. Se 0y então 2 0y .

10.12.

0

03

0 0 0 0

ln 3 1

log 3 1 ln 3 1 ln 3 1 3 3ln3lim lim lim lim 18 8 8 ln3 8ln3 8ln3 8l

3

3 n3x x x x

x

x x x

x x x x

10.13.

0ln 41 ln 40

1 ) 0 0 0

14 1 4 1 1lim lim lim lim ln 4 1ln 4

lnln 4

1 4

yx y y

x i y y y

e e

x y y y

10.14.

0

0

2 ) 0 0 0

ln 3 2 7ln 3 7 ln 3 6 7 ln 3 1lim lim lim lim

5 10 5 2 10 5 10 10 5x y yi y

yx y y

x y y y

0

ln 3 1 3 3lim 1

5 3 5 5

3

y

y

y



Se 0y então ln4 0y (limite notável)

Se 0y então 3 0y (limite notável)

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limite notável

10.15. 11

5 5 55

4

)4 40 0 0

4

6 66lim 6 lim lim lim

1 1

yxx

x

yx x x ix

y

x x

i) Mudança de variável: Se 0x então 1

x Seja

1 1y x

x y , y .

10.16. 2 2ln ln ln

lim ln lim 1 lim 1 lim lim 1x x x x

x x xx x x x x

x x x x x xe x x e e e

e xe e x

)

1 0 0 1i

e

i) Se limx

px

a


p

xx

x

a , com 1a e p .

lnlim 0x

x

x (limite notável).

10.17.

3 32 2lim lim lim lim lim 2 lim

ln ln ln ln ln ln ln

x x x x x

x x x x x x

e e x e e x xe e x

x x x x x xx

) )

0lim lim 2 0

ln

x

x xi i

e x

x x

i) Se ln

lim 0x

x

x

(limite notável), então lim

lnx

x

x .

Outra resolução:

4

34

21

2 2lim lim lim lim 1

ln ln ln

x x

x x xxx

xx x x x

xe e

e e x e xee

x x x e

)

lim

lim 1 2 lim 1 0 2 0 1ln ln 0

limi

x x

x

xx x

x

e e

xx xex xe

x x

i) Se limx

px

a


p

xx

x

a , com 1a e p .

limite notável

limite notável

limite notável

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10.18. 2

)

2 2

lim lim lim lim lim2 2 2 2 2

x x x x y y

xx x x yi y

e e e e e e

xe x x y y

i) Mudança de variável: Se x então x Seja y x x y , y .

10.19.

3 3

30

0 3 30

3 3 30 0

3 0

)

3

1 1lim

1 1 1lim lim

3 1 3ln 3 1 ln 3 1 ln 3 1li

3m3

x x

xx

x x

x

i

e e

e x x

x x x

x x

i) Se 0x então 3 0x e se 0x então 33 0x .

10.20. 2 2 2 2

) )

2 5 2 5 2 5lim lim lim 2 lim 5 lim 2 0 5 0 0

3 3 3 3 3 3x y y y y yx y yi iiy y

x x y y y y y y

i) Mudança de variável: Se x então x Seja y x x y , y .

ii) Se limx

px

a


p

xx

x

a , com 1a e p .

10.21.

0

0

1 ) 0 0

ln 3 ln 2 1 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2lim lim lim

1 ix y y

x x y y y y y

x y y

0

limy

y

ln 2y

y

0 0

2ln ln 1

ln 2 ln 2 2 2ln 0 2 lim ln 2 lim

y y

y y

y

y y y

1

2

0

1

2

2

ln 11 1 22

ln 2 lim ln 2 1 ln 2 ln 2 ln ln2 2y

y

ey e


11.

11.1. A afirmação é verdadeira. De facto, 0

limx

f x

e 0

limx

f x

e portanto f não admite limite em

0x . No entanto, 0 0

lim lim 0x x

g x g x

e portanto g admite limite em 0x .

Se y então 2y (limite notável)

Se 0y então 02

y (limite notável)

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11.2. Tem-se que 24nx n . Portanto 2

4 4nx quando n .

Logo, pela definição de limite segundo Heine:

lim lim lim lim lim 2 3 1n n n n n nx x

f x g x f x g x f x g x

11.3. Tem-se que 2 2

1lim lim lim lim 0

1n

n nv

n n n n

, isto é, 0nv .

Logo, pela definição de limite segundo Heine:

0

ln 0ln lnlim lim

0 0 0 0

n n

xn

f v v f x x

g v g x

11.4.

a)

0lim

0x

f x

g x

b)

2

2 3 5lim 5

1 1 0 1xx

f x g x

e e

c)

ln lnlim

2 2 2 0x

x

f x

d)

0

cos cos0 1lim

0 0x

x

g x

e) )0 0 0

1 1lim lim lim 1

1 01xxx x x i

x x

g x eg x e

i) Se 0

1lim 1

x

x

e

x


0lim 1

1xx

x

e

.

f)

0

0lim

0ln 1 ln 0 1 ln 1x

x f x

g x

11.5. Seguindo a sugestão, seja h a função de domínio , definida por h x f x g x e vejamos que h tem

pelo menos um zero em .

▪ As funções f e g são contínuas em . Logo, h é contínua em , pois é diferença entre duas funções contínuas

em 0, .

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▪ Tem-se que:

0 0

lim lim 0x x

h x f x g x

lim lim 2 3 1x x

h x f x g x

Assim, como h é contínua em 0, e como 0

limx

h x

e limx

h x

têm sinais contrários, pelo corolário do

teorema de Bolzano, 0, : 0 0c h c f c g c f c g c . Portanto, os gráficos das

funções f e g intersetam-se pelo menos uma vez em .

Página 149

12.

12.1. Como a função f é contínua em , então também o é em 1x , logo 1 1

lim lim 1x x

f x f x f

. Assim:

▪ 1 1

)1 1 1 0

1 1 1lim lim lim lim 1

1 1

x x y

ix x x y

e e ef x k k k k

x x y


▪ 1 1

lim lim ln 1 ln1 1 0 1x x

f x x x

▪ 1 1 ln1 1 0 1f

Portanto, 1 1 0k k

12.2.

a) 11 1 1 0

lim lim 01

x

x x

e ef x

x

b) )

ln lnlim lim ln lim 1 lim lim 1 1 0x x x ix x

x xf x x x x x

x x

i) Se ln

lim 0x

x

x (limite notável).

limite notável

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13. Para que a função f seja contínua em 0, , também tem de o ser em x a . A função f é continua em

x a se lim limx a x a

f x f x f a

. Assim:

▪ 2 2lim lim 2 2x a

x a x af x e x e a

▪ 2 2lim lim 2 2x a

x a x af x e x x e a a

▪ 2 2af a e a a

Portanto, ae 22 aa e 2 22 2 0 2 1a a a a a a . Como 0a , então 2a .

14. Seja g a função de domínio definida por 2g x f x x .

▪ A função g é contínua em pois é diferença entre duas funções contínuas em . Logo, a função g é contínua em

0,3 .

Como o contradomínio da função f é 2,5 , então 2 5f x , x . Assim, tem-se:

▪ 20 0 0 0g f f . Como 2 0 5f , vem 2 0 5g e portanto 0 0g .

▪ 23 3 3 3 9g f f . Como 2 3 5f , vem:

2 3 5 2 9 3 9 5 9 7 3 4f f g

Portanto, 3 0g .

Assim, como g é contínua em 0,3 e como 0g e 3g têm sinais contrários ( 0 3 0g g ), pelo corolário

do teorema de Bolzano, 2 20,3 : 0 0c g c f c c f c c .

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Página 150

15.

15.1. A função g tem limite em 0x se 0 0

lim limx x

g x g x

. Assim:

▪

0

2 0

30 0 0

2lim lim limx x x

x x xg x

x x

( 2)x

x

2 22

0

2 0 2lim 2

1 0 1( 1) x

x

xx

▪

02 20

20 0 0

3 ln 1 3lim lim limx x x

x x x xg x

x

2x

x

2

ln 1x

x

0

ln 13 lim 3 1 2

x

x

x

Como 0 0

lim lim 2x x

g x g x

, então existe 0

limx

g x

e 0

lim 2x

g x

.

15.2.

▪ No intervalo ,0 a função g é contínua pois é uma função racional.

▪ No intervalo 0, a função g é contínua pois é o quociente entre duas funções contínuas: uma que é a diferença

entre uma função quadrática com o produto de uma função afim com a composta da função logaritmo com uma

função afim; e outra que é uma função quadrática.

▪ Em 0x a função g é contínua, pois 0

lim 0 2x

g x g

.

Portanto, a função g é contínua em .

15.3.

▪ A função g é contínua em , então também é contínua em 3,3 .

▪

2

3

3 2 3 9 6 13

27 3 103 3g

▪ 2

2

3 3 3ln 3 2 27 3ln53 2,46

3 9g

limite notável

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Assim, como g é contínua em 3,3 e como 3g e 3g têm sinais contrários ( 3 3 0g g ), pelo

corolário do teorema de Bolzano, 3,3 : 0c g c , ou seja, a função g tem pelo menos um zero em 3,3 .

16. Seguindo a sugestão, consideremos a função h definida por h x g x a g x a .

▪ Tem-se que o domínio da função y g x a é , ,2a b a a b a b a b e que o domínio da

função y g x a é , 2 ,a b a a b a a b b . Logo:

,2 2 ,h g x a g x aD D D b a b a b b

, com 0 a b

Como 0 a b , então 2 2a b b b a b :

Portanto, ,hD b b

▪ A função h é contínua em ,b b pois é a diferença entre duas funções contínuas no seu domínio.

Do enunciado, conclui-se que g b a g b a e que g a b g a b . Assim:

h b g b a g b a g a b g b a g b a g b a h b

Como g b a g b a , então h b e h b têm sinais contrários, ou seja, 0h b h b . Portanto, pelo

corolário do teorema de Bolzano, , : 0 0c b b h c g c a g c a g c a g c a .

17.

▪ A função g é contínua em 1,2 pois é a diferença entre duas funções contínuas em 1,2 .

▪ 1 2 1 1 1g f f f . Como 1 0f então 1 0g .

▪ 2 2 2 1 2 2 3 2 1g f f f f f . Como 1 0f então 1 0f e portanto ▪ 2 0g .

b b 2a b2a b 0

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Assim, como g é contínua em 1,2 e como 1g e 2g têm sinais contrários ( 1 2 0g g ), pelo corolário

do teorema de Bolzano, 1,2 : 0c g c , ou seja, a função g tem pelo menos um zero em 1,2 .

18.

18.1. Sejam , fa b D tais que f a f b . Tem-se:

2 2 2

ln 2 3 8 ln 2 3 8 2 3 8f a f b a b a 2

2 3 8b

2 2

2 3 2 3 2 3a b a

2 3b 2 3 2 3

2 2 2 3 2 3 2 2 6

3

a b

a b a b a b a b

a b a b

Como a e b são distintos, então 3a b .

18.2. Consideremos a função g, definida em 0,1 por 31g x f x x (ver nota).

▪ A função g é contínua em 0,1 pois é composição e diferença entre funções contínua no seu domínio.

▪ 230 1 0 0 1 ln 2 1 3 8 ln17g f f

Como a função lny x é estritamente crescente e como 2 17e , então 2 217 ln ln17 ln17 2e e .

Portanto, 0 2g .

▪ 231 1 1 1 0 1 ln 2 0 3 8 1 ln 1 1 0 1 1g f f . Portanto, 1 2g

Assim, como g é contínua em 1,2 e como 1 2 0g g , pelo teorema de Bolzano,

30,1 : 2 1 2c g c f c c .

Nota: Tem-se que 2 23 3 31 ln 2 1 5 8 ln 7 2 8f x x x x x x . Assim:

3

2

1

7 7: 7 2 8 0 , 2 2,

2 2f x xD x x

Logo, 7 7

0,1 , 2 2,2 2

e portanto, pode-se definir uma função g de domínio 0,1 tal que 31g x f x x .

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18.3. Para a função g ser contínua em , terá de o ser em 3x . Portanto, é necessário que:

3 3

lim lim 3x x

g x g x g

▪

0 2 220

2 2 2 23 3 3 3 3

ln 2 3 8 ln 4 3 1ln 4 12 1( )lim lim lim lim lim

3 3 3 3x x x x x

x x xx xf xg x

x x x x x x x x

0 0)

ln 4 1 ln 4 1lim l

4m 44 i 4 1

y yi

y y

y y

i) Mudança de variável: Se 3x então 2 3 0x x . Seja 2 3y x x , 0y .

▪

03 23 3 3 3 3 3 30

3 3 333 3 3 3 3

99 9 9lim lim lim lim lim

36 36 36 1 36 136 1x x xxx x x x x

x xkx k x k x k x k x x kg x

e e ee

3 3

3 33 3 3

3 3 3lim lim 3 lim

36 1 36 1x xx x x

x x xk k xx x

e e

3

0) )

3 3183 3 3 lim 1

36 1 36 2yi iiy

k y k k

e

i) Mudança de variável: Se 3x então 3 0x . Seja 3 3y x x y , 0y .

ii) Se 0

1lim 1

x

x

e

x


0lim 1

1xx

x

e

.

▪ 23f k

Então, 3

2 34 4 2 2 8 2 2 22

kk k k k k k k .

Portanto, 2k .

Se 0y então 4 0y (limite notável)

prova modelo n.º 14 - recursos-para-matematica.webnode.pt · resposta: d 2. 1 11 331 33 lim lim 1...

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