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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS
FACULDADE DE EDUCAÇÃO
ROSANA CATARINA RODRIGUES DE LIMA
CONHECIMENTO ESPECIALIZADO DO
PROFESSOR DOS ANOS INICIAIS NO ÂMBITO DA
MULTIPLICAÇÃO: uma metassíntese de teses
produzidas entre 2001 e 2012 em diferentes contextos
formativos
CAMPINAS
2018
ROSANA CATARINA RODRIGUES DE LIMA
CONHECIMENTO ESPECIALIZADO DO
PROFESSOR DOS ANOS INICIAIS NO ÂMBITO DA
MULTIPLICAÇÃO: uma metassíntese de teses
produzidas entre 2001 e 2012 em diferentes contextos
formativos
Tese de Doutorado apresentada ao
Programa de Pós- Graduação em
Educação da Faculdade de Educação da
Universidade Estadual de Campinas para
obtenção do título de Doutora em
Educação na área de concentração de
Educação.
Orientador: Dario Fiorentini
O ARQUIVO DIGITAL CORRESPONDE À VERSÃO
FINAL DA TESE DEFENDIDA PELA ALUNA ROSANA
CATARINA RODRIGUES DE LIMA, E ORIENTADA PELO
PROF. DR. DARIO FIORENTINI.
CAMPINAS
2018
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS
FACULDADE DE EDUCAÇÃO
TESE DE DOUTORADO
CONHECIMENTO ESPECIALIZADO DO
PROFESSOR DOS ANOS INICIAIS NO ÂMBITO DA
MULTIPLICAÇÃO: uma metassíntese de teses
produzidas entre 2001 e 2012 em diferentes contextos
formativos
Autora: Rosana Catarina Rodrigues de Lima
COMISSÃO JULGADORA:
Prof. Dr. Dario Fiorentini
Profa. Dra. Cármen Lúcia Brancaglion Passos
Profa. Dra. Marisol Vieira Melo
Prof. Dr. Carlos Miguel da Silva Ribeiro
Profa. Dra. Ana Leticia Losano
A Ata da Defesa assinada pelos membros da Comissão Examinadora, consta no processo de vida acadêmica do aluno.
2018
Agradecimentos
No decorrer deste trabalho, muitas pessoas e instituições contribuíram das mais
diversas formas para sua construção. Mais do que agradecer, desejo compartilhar com todas
elas a satisfação da realização desta pesquisa. Citar, de modo especial, algumas dessas
pessoas e instituições não significa a falta de reconhecimento pela colaboração das demais.
A Deus, que em Seu infinito amor me deu sabedoria, saúde e perseverança para
superar os obstáculos enfrentados na caminhada desse estudo.
À minha mãe, que foi capaz de compreender minhas ausências até mesmo nos
almoços de domingo e, de maneira especial, ao meu pai, que está em outro plano.
Ao meu marido Roberto, por incentivar à busca por mais conhecimento
acadêmico e por caminhar sempre ao meu lado em todos os momentos desse percurso!
Ao meu filho Artur por ter feito de minhas ausências um tempo necessário para o
seu próprio amadurecimento.
Ao prof. Dario, pelo discernimento e competência na orientação desta pesquisa,
pelo incentivo constante e pelas inúmeras aprendizagens que me proporcionou no âmbito
deste estudo e do Projeto Universal. O trabalho realizado no Projeto Universal foi uma
experiência ímpar na minha trajetória acadêmica. Muito obrigada!
Às professoras Alessandra Almeida, Franciana Castro, Dora Megid, Cármen
Passos, Marisol Melo, Leticia Losano e ao professor Miguel Ribeiro, participantes das
Bancas de pré-qualificação, qualificação e defesa, pela leitura cuidadosa e pelas sugestões
críticas, que contribuíram para o enriquecimento deste trabalho. Também à professora
Marlova Caldatto, por sua presença na data da defesa.
Aos professores do Programa de Pós-Graduação em Educação da FE, que em
diferentes perspectivas, colaboraram na minha formação acadêmica, em especial, às
professoras Dione L. de Carvalho, Anna Regina L. de Moura e ao professor Sérgio
Lorenzato, que sempre me incentivaram nesta caminhada!
À CAPES, pela bolsa concedida, que oportunizou um período de dedicação
exclusiva a esse campo de pesquisa.
Aos colegas do GdS, pelas parcerias na organização de eventos, cadernos de
resumos e e-books, de modo especial ao Marquinhos e Eliane pela preciosa interlocução
durante os trabalhos desenvolvidos.
Aos colegas do grupo de pesquisa PraPeM – Prática Pedagógica em
Matemática: as leituras críticas e o apoio emocional de cada um de vocês foram
fundamentais para chegar a esta conquista. Neste percurso vocês se tornaram amigos que,
em suas particularidades, marcaram minha trajetória.
À Marta, Lílian, Marielli e Wellington pelas palavras encorajadoras em
diferentes fases dessa caminhada.
Aos professores do GEPFPM, Adair, Cármen, Dario, Dora, Eliane, Lílian, Maria
Aparecida, Regina, Renata, Rosana Miskulin e Vanessa; pela convivência e inúmeras
aprendizagens e (re)significações relativas à pesquisa sobre formação de professores.
Aos professores que participaram do Projeto Universal, pelas possibilidades de
interlocução sobre as pesquisas brasileiras no âmbito da formação do PEM realizadas no
decorrer dos três Seminários.
Aos colegas do grupo CIEspMat pelas valiosas discussões relativa ao
conhecimento interpretativo e especializado do professor no âmbito de diferentes conteúdos
matemáticos.
Às professoras Zélia e Jucileide e à formadora Massako. Em nome dessas,
agradeço a todas minhas ex-alunas de Pedagogia, aos professores e formadores
participantes do GREPEM – Mauá - que possibilitaram constituir-me formadora e, ainda
tornar-me formadora e pesquisadora.
Às professoras Vera Bonilha e Leda Farah, pela dedicação cuidadosa na revisão
final do texto.
Aos meus familiares e amigos mais próximos, que sempre me apoiaram,
especialmente meu irmão, cunhadas, sobrinhos e primos. Ao meu sogro e em especial a
minha sogra que me apoiou o tempo todo com a sua fé e com palavras de esperança.
Aos amigos da Comunidade, que sabiamente compreenderam minhas ausências
no período de desenvolvimento deste estudo.
Aos funcionários da Faculdade de Educação, de modo especial aos da Pós-
graduação e aos da Biblioteca, a solicitude de cada um de vocês fez a diferença nesses
quatro anos de dedicação exclusiva à pesquisa!
A todos os amigos, que, permaneceram na torcida pela finalização de mais essa
etapa da minha formação acadêmica, meus sinceros agradecimentos!
RESUMO
A multiplicação é considerada uma das quatro operações elementares trabalhadas desde os
primeiros anos de escolarização. Entretanto, pesquisas revelam que seu estudo e sua
aprendizagem requerem uma prática pedagógica própria e específica, que utilizem estratégias
e tarefas para explorar os diferentes sentidos e significados de multiplicação. Esse fato aponta
para a necessidade de investigar o conhecimento do professor referente aos aspectos
matemáticos e didático-pedagógicos do ensino deste conteúdo. Assim esta pesquisa buscou
investigar a abordagem dada por pesquisas acadêmicas brasileiras ao conhecimento
especializado do professor que ensina matemática (PEM) nos anos iniciais de escolarização
em relação à multiplicação, e para isso, utilizou como referências o Mathematical Knowledge
for Teaching (MKT) de Deborah Ball e colaborares e, o modelo analítico surgido
recentemente, o Mathematics Teacher’s Specialized Knowledge (MTSK) de José Carrillo e
colaboradores. Para tanto foi, inicialmente, realizado um mapeamento de 229 teses e
dissertações que investigaram o PEM nesse nível de ensino e que fizeram parte do corpus do
Projeto “Mapeamento e estado da arte da pesquisa brasileira sobre o professor que ensina
Matemática”, produzido no período de 2001 a 2012 em programas de pós-graduação stricto
sensu nas áreas de Educação e Ensino da Capes. Nesses 229 estudos, 45 teses de doutorado e
184 dissertações de mestrado, foram destacadas as principais tendências temáticas aí
privilegiadas e, em seguida, visando a um estudo aprofundado sobre o conhecimento
especializado do PEM nos anos iniciais do ensino básico, foram selecionados aqueles que
tratavam do conhecimento matemático do PEM ou de sua formação matemática e didático-
pedagógica. Assim, de 12 teses de doutorado identificadas como investigações sobre o
conhecimento matemático de professores ou futuros professores em diferentes processos
formativos, foram selecionados, para uma revisão sistemática na modalidade metassíntese,
três estudos que analisaram conhecimentos do PEM relativos à multiplicação, dentre outros.
Com o objetivo de identificar os conhecimentos especializados do PEM no âmbito da
multiplicação, foi produzida, primeiramente, uma síntese interpretativa de cada um dos
estudos e, a seguir, uma síntese integrativa deles, isto é, uma metassíntese, a qual revelou
tanto possibilidades e contribuições relevantes quanto limitações e lacunas sobre os processos
formativos dos professores e a investigação desses processos, tendo em vista o conhecimento
especializado do professor que ensina multiplicação nos anos iniciais de escolarização. Os
resultados obtidos pelas três sínteses interpretativas e pela integrativa evidenciam a
complexidade da relação entre o domínio consciente do conhecimento especializado por parte
dos formadores e as estratégias e práticas de formação inicial ou continuada para que os
professores ou futuros professores possam mobilizar e efetivamente se apropriar desses
conhecimentos especializados para ensinar multiplicação nos anos iniciais.
PALAVRAS-CHAVE: Metassíntese; Professor que ensina matemática; Mapeamento de
pesquisas; Multiplicação; Formação de professores; Conhecimento especializado do
professor; Anos iniciais do Ensino Fundamental; Educação Matemática.
ABSTRACT
Multiplication is considered one of the four elementary operations studied since the
first years of schooling. However, researches reveal that its study and learning require
an own and particular pedagogical practice, which makes use of strategies and tasks to
explore the multiplication different sense and meanings. This fact points to the need
for an investigation of the teacher’s knowledge related to mathematics and didactic--
pedagogic aspects of this context learning. Thus, this research has tried to investigate
the approach given by Brazilian academic researches to the specialized knowledge of
the professional who teaches mathematics (PEM) in the first years of schooling in
relation to multiplication and, for this purpose it has been used the Mathematical
Knowledge for Teaching (MKT), from Deborah Ball and contributors, besides the
more recent analytic model, the Mathematics Teacher’s Specializaed Knowledge
(MTSK), from José Carrillo and contributors. For this, it was initially carried out a
mapping of 229 theses and dissertations which have investigated the PEM in this
teaching level and have participated in the corpus of the project “Mapping and
condition of the art of Brazilian research about the professor who teaches
Mathematics” (“Mapeamento e estado da arte da pesquisa brasileira sobre o professor
que ensina Matemática”), produced in the period from 2001 to 2012 in stricto sensu
postgraduate programs in the areas of Education and Teaching of Capes. Among these
studies, 45 doctoral theses and 184 master’s dissertations, have been highlighted the
main thematic trends privileged by researchers and, after that, aiming a deeply study
on the PEM specialized study in the early years of the basic education, those dealing
with PEM mathematics knowledge or its mathematics and didactic-pedagogic
formation. Thus, from 12 doctoral theses identified as investigations on teachers or
future teachers mathematics knowledge in formative different processes, for a
systematic review in the meta-synthesis mode, were selected three studies which
analyzed PEM knowledges related to multiplication, among others. In order to identify
the PEM specialized knowledge in multiplication scope, it has been produced, first, a
synthesis interpretive of each one of the studies and, after, an integrating synthesis of
them, that is, a meta-synthesis, which has revealed as much possibilities and
contributions considerable as limitations and omissions about the teachers formatting
processes and their investigation, in view of the specialized knowledge of the
professional who teaches multiplication in the first years of schooling. The results
obtained by the three interpretive synthesis and the integrating one show the
complexity of the relation between the conscious dominion of the specialized
knowledge from the formers and the strategies as well the practices of the beginning or
continued formation in order the teachers or future teachers may mobilize and
effectively to appropriate themselves of these specialized knowledges to teach
multiplication in the first years.
KEY-WORDS: Meta-synthesis; Teacher who teaches mathematics; Mapping of
research; Multiplication; Teaching Formation; Teacher specialized knowledge; Early
years of Elementary Education; Mathematics Education.
RESUMEN
La multiplicación se considera una de las cuatro operaciones elementales trabajadas desde los
primeros años de escolarización. Sin embargo, investigaciones revelan que su estudio y su
aprendizaje requieren una práctica pedagógica propia y específica, que utilicen estrategias y
tareas para explorar los diferentes sentidos y significados de multiplicación. Este hecho
apunta a la necesidad de investigar el conocimiento del profesor referente a los aspectos
matemáticos y didáctico-pedagógicos de la enseñanza de este contenido. Así esta
investigación buscó investigar el abordaje dado por investigaciones académicas brasileñas al
conocimiento especializado del profesor que enseña matemáticas (PEM) en los años iniciales
de escolarización en relación a la multiplicación, y para ello, utilizó como referencias o
Mathematical Knowledge for Teaching (MKT) de Deborah Ball y sus colaboradores y, el
modelo analítico surgido recientemente, el Mathematics Teacher’s Specialized Knowledge
(MTSK) de José Carrillo y colaboradores. Para ello, inicialmente, se realizó un mapeo de 229
tesis y disertaciones que investigaron al PEM en ese nivel de enseñanza y que hicieram parte
del corpus del Proyecto "Mapping y estado del arte de la investigación brasileña sobre el
profesor que enseña Matemáticas", producido en el período de 2001 a 2012 en programas de
posgraduación stricto sensu en las áreas de la Educación y de Enseñanza de la Capes. En estos
229 estudios, 45 tesis de doctorado y 184 disertaciones de maestría, se destacaron las
principales tendencias temáticas allí privilegiadas y, a continuación, con vistas a un estudio en
profundidad sobre el conocimiento especializado del PEM en los años iniciales de la
enseñanza básica, se seleccionaron aquellos que trataban del conocimiento matemático del
PEM o de su formación matemática y didáctico-pedagógica. Así, de 12 tesis de doctorado
identificadas como investigaciones sobre el conocimiento matemático de profesores o futuros
profesores en diferentes procesos formativos, fueron seleccionados, para una revisión
sistemática en la modalidad metassíntesis, tres estudios que analizaron conocimientos del
PEM relativos a la multiplicación, entre otros. Con el objetivo de identificar los
conocimientos especializados del PEM en el ámbito de la multiplicación, se produjo, primero,
una síntesis interpretativa de cada uno de los estudios y, a continuación, una síntesis
integrativa de ellos, es decir, una metassíntesis, la cual reveló tanto posibilidades y las
contribuciones relevantes como limitaciones y lagunas sobre los procesos formativos de los
profesores y la investigación de estos procesos, teniendo en cuenta el conocimiento
especializado del profesor que enseña multiplicación en los años iniciales de escolarización.
Los resultados obtenidos por las tres síntesis interpretativas y por la integrativa evidencian la
complejidad de la relación entre el dominio consciente del conocimiento especializado por
parte de los formadores y las estrategias y prácticas de formación inicial o continuada para
que los profesores o futuros profesores puedan movilizar y efectivamente apropiarse de esos
conocimientos especializados para enseñar la multiplicación en los años iniciales.
PALABRAS CLAVE: Metasíntesis; profesor que enseña matemáticas; Mapping de la
investigación; Multiplicación; Formación de profesores; Conocimiento especializado del
profesor; Años iniciales de la enseñanza fundamental; Educación Matemática.
LISTA DE ILUSTRAÇÕES:
Figura 1- Etapas desenvolvidas para a definição do corpus do estudo metassintético.
Figura 2 - Distribuição das teses e das dissertações brasileiras sobre PEM nos anos iniciais e
sua formação, produzidas no período de 2001 a 2012.
Figura 3- Domínios do Conhecimento Matemático para o Ensino
Figura 4 - Modelo MTSK
Figura 5 - Exemplos de algoritmos da multiplicação
Figura 6 - Esquema de triangulação de sujeitos e fontes de informações
Figura 7- Ficha roteiro de tarefa sobre a multiplicação
Figura 8 - Registro individual da aluna Tayná sobre multiplicação
Figura 9 - Registro do grupo Tayná/Andressa/Andreia – Multiplicação
Figura 10 - Registro de dois modos do grupo Tayná/Andressa/Andréias multiplicar 23 por 67
Figura 11- Registro do grupo Tayná/Andressa/Andréias multiplicar 23 por 12
Figura 12 - Cartaz do grupo Tayná/Andressa/Andréia e a respectiva apresentação oral
Figura 13 - Excerto do cartaz do grupo Tayná/Andressa/Andréia
Figura 14 - Recorte relativo a discussão oral do grupo Tayná/Andressa/Andréia
Figura 15- Explicação da aluna Andréia
Figura 16 - Representação horizontal auxiliar para a resolução do problema proposto por
Maria
Figura 17 - Representação vertical auxiliar para a resolução do problema proposto
Figura 18- Problema e a estratégia de resolução
Figura 19 - Representação da estratégia de resolução do problema
Quadro 1- Distribuição anual, por modalidade, das pesquisas sobre o PEM nos anos iniciais
produzidas de 2001 a 2012.
Quadro 2 - Distribuição das teses identificadas no foco Saberes docentes e conhecimentos do
PEM nos anos iniciais, por temas matemáticos.
Quadro 3 - Síntese dos instrumentos de coleta de dados utilizados
Quadro 4 - Exemplos de multiplicação e de divisão relacionados com ideia de grupos
equivalentes
Quadro 5 - Exemplos de multiplicação e de divisão relacionados com a ideia de multiplicação
comparativa
Quadro 6- Exemplos de multiplicação e de divisão relacionados com a ideia de proporção
Quadro 7- Exemplos de multiplicação e de divisão relacionados com a ideia de representação
retangular
Quadro 8- Exemplos de multiplicação e de divisão relacionados com a ideia de combinatória
LISTA DE TABELA:
Tabela 1: Distribuição dos problemas de acordo com os eixos do Campo Conceitual
Multiplicativo
LISTA DE SIGLAS:
ABNT – Associação Brasileira de Normas Técnicas
ANPEd – Associação Nacional de Pós-Graduação e Pesquisa em Educação
BNCC – Base Nacional Comum Curricular
CAPES – Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior
CCK – Common Content Knowledge
CDM – Conocimiento Didáctico-Matemático
CNPq – Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (até 1974,
Conselho Nacional de Pesquisas)
DO – Doutorado
EAM – Ensino Aprendizagem de Matemática
FE/Unicamp – Faculdade de Educação da Universidade Estadual de Campinas
GdS – Grupo de Sábado
GEPFPM – Grupo de Estudo e Pesquisa em Formação de Professor de Matemática
GREPEM – Grupo de Estudo Pluridisciplinar com foco em Educação Matemática
HCK – Horizon Content Knowledge
IMECC – Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica –– Unicamp
KCC – Knowledge of Content and Curriculum
KCS – Knowledge of Content and Students
KCT – Knowledge of Content and Teaching
KFLM – Knowledge of Features of Learning Mathematics
KMLS – Knowledge of Mathematics Learning Standards
KMT – Knowledge of Mathematics Teaching
KoT – Knowledge of Topics
KPM – Knowledge of Practice of Mathematics
KQ – Knowledge Quartet
KSM – Knowledge of the Structure of Mathematics
LDB – Lei de Diretrizes e Base da Educação
MA – Mestrado Acadêmico
MP – Mestrado Profissional
MTSK – Mathematics Teacher’s Specialized Knowledge
NCTM – National Council of Teachers of Mathematics
PARFOR – Plano Nacional de Formação de Professores da Educação Básica
PCK – Pedagogical Content Knowledge
PCN – Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática –
PEM – Professor que ensina Matemática
PISA – Programme for International Student Assessment
PMV – Prefeitura Municipal de Vitória
PraPEM – Prática Pedagógica em Educação Matemática
PUCC – Pontifícia Universidade Católica de Campinas
PUC-Campinas – Pontifícia Universidade Católica de Campinas
SCK – Specialized Content Knowledge
SHIAM – Seminário de Histórias e Investigações de/em Aulas de Matemática
SMK – Subject Matter Knowledge
SND – Sistema de numeração decimal
UFSCar – Universidade Federal de São Carlos
Unesp – Universidade Estadual Paulista
UniFeI – Universidade Federal de Itajubá
UniP – Universidade Paulista
USF – Universidade São Francisco
SUMÁRIO
APRESENTAÇÃO ................................................................................................................... 17
CAPÍTULO 1 - PERCURSO DA PESQUISADORA E A GÊNESE DO OBJETO DE
ESTUDO: o conhecimento especializado do PEM .................................................................. 19
CAPÍTULO 2 - FUNDAMENTOS E PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS ................ 36
2.1 Fundamentos metodológicos da pesquisa .......................................................................... 36
2.2 Procedimentos metodológicos ............................................................................................ 42
2.2.1 PEM nos anos iniciais: primeira etapa da seleção das pesquisas .................................... 45
2.2.2 Focos temáticos das pesquisas sobre o PEM nos anos iniciais: um olhar em busca do
conhecimento ............................................................................................................................ 50
2.2.3 Saberes e conhecimento do PEM nos anos iniciais: uma aproximação das teses em busca
da multiplicação ........................................................................................................................ 51
CAPÍTULO 3 - CONHECIMENTO ESPECIALIZADO DO PROFESSOR QUE ENSINA
MATEMÁTICA: um olhar para a multiplicação ..................................................................... 56
3.1 Panorama da formação do professor que ensina matemática nos anos iniciais.................. 56
3.2 Campo de conhecimento da multiplicação para o ensino e a aprendizagem escolar nos
primeiros anos de escolarização ............................................................................................... 58
3.3 Conhecimento especializado do professor que ensina matemática .................................... 75
3.4 Conhecimento especializado do professor que ensina matemática: um olhar na/para a
multiplicação ............................................................................................................................ 81
3.4.1 Knowledge of Topics (KoT)............................................................................................ 82
3.4.2 Knowledge of the Structure of Mathematics (KSM)....................................................... 85
3.4.3 Knowledge of Practice of Mathematics (KPM) .............................................................. 87
3.4.4 Knowledge of Mathematics Teaching (KMT) ................................................................ 88
3.4.5 Knowledge of Features of Learning Mathematics (KFLM) ............................................ 91
3.4.6 Knowledge of Mathematics Learning Standards (KMLS) .............................................. 91
CAPÍTULO 4 - SÍNTESES INTERPRETATIVAS DAS TESES: UM OLHAR PARA O
CONHECIMENTO ESPECIALIZADO DO PEM SOBRE A MULTIPLICAÇÃO ............... 94
4.1 – Síntese interpretativa do estudo de Megid (2009) ........................................................... 95
4.1.1 - Trajetória da pesquisadora e conexões com o problema investigado ........................... 95
4.1.2 - Estrutura e caminhos da pesquisa ................................................................................. 97
4.1.3 - Alguns aspectos metodológicos da investigação e o processo formativo ................... 102
4.1.4 – Conhecimento especializado para ensinar multiplicação: alguns indícios identificados
na tese de Megid (2009) ......................................................................................................... 105
4.2 – Síntese interpretativa do estudo de Silva (2009) ........................................................... 124
4.2.1 – Trajetória da pesquisadora e conexões com o problema investigado ......................... 124
4.2.2 – Estrutura e caminhos da pesquisa ............................................................................... 127
4.2.3 - Alguns aspectos metodológicos da investigação e o processo formativo ................... 133
4.2.4 – Conhecimento especializado para ensinar multiplicação: alguns indícios identificados
na tese de Silva (2009)............................................................................................................ 136
4.3 Síntese interpretativa do estudo de Merlini (2012) .......................................................... 146
4.3.1 Alguns aspectos metodológicos da investigação e o processo formativo ..................... 146
4.3.2 Conhecimento especializado para ensinar multiplicação: alguns indícios identificados na
tese de Merlini (2012)............................................................................................................. 149
CAPÍTULO 5 - SÍNTESE INTEGRATIVA E ALGUMAS DISCUSSÕES ......................... 161
CONCLUSÕES E CONSIDERAÇÕES FINAIS .................................................................. 168
REFERÊNCIAS ..................................................................................................................... 171
APÊNDICE 1: Resumo das pesquisas que constituíram o estudo metassintético ................. 181
APÊNDICE 2 - Relação de Dissertações e Teses Brasileiras que versam sobre o Professor que
Ensina Matemática nos Anos Iniciais defendidas em Programas de Pós-Graduação Stricto
Sensu - Período de 2001 a 2012.............................................................................................. 184
APÊNDICE 3 Ficha 1 (Projeto Universal) ― Mapeamento de dissertações/teses que têm o
professor que ensina Matemática como foco de estudo/análise ............................................. 201
17
APRESENTAÇÃO O estudo que aqui apresentamos foi gradativamente construído e (re)construído
nos últimos quatro anos, sem contudo restringir-se a eles. A meu ver esta pesquisa teve suas
origens nas experiências vividas, nas reflexões e nas investigações tecidas ao longo dos 20 e
poucos anos de caminhos percorridos por mim nas áreas da Educação e da Educação
Matemática, sob diferentes perspectivas: estudante-futura professora, professora, formadora,
pesquisadora, em diferentes contextos e espaços formativos.
Nesta perspectiva, com a compreensão de que o término deste estudo implica na
sistematização de um processo investigativo que visou ao acesso ao conhecimento produzido
nesse espaço e tempo, é chegada a hora de apresentar o que foi produzido.
A busca por compreender a complexidade da formação/profissão docente que
ensina matemática nos primeiros anos de escolarização, tecida a partir/pela minha experiência
vivida como docente de matemática na Educação Básica e formadora de professores que
ensinam matemática, mobilizou-me a investigar o conhecimento especializado do Professor
que Ensina Matemática (PEM) nos anos iniciais1, de modo particular em relação a uma das
operações aritméticas: a multiplicação.
Revisitar e relatar minha experiência como formadora permitiu-me evidenciar
demandas relativas ao conhecimento do PEM necessário para ensinar matemática, tendo em
vista a prática desse profissional em sala de aula. Afinal, saber multiplicar é condição
necessária ao professor para ensiná-la, entretanto, somente essa condição não o qualifica para
o ensino dessa operação. “Para a docência em matemática é importante que o professor saiba
justificar esses procedimentos, conheça outros procedimentos histórico-culturalmente
produzidos, conheça os conceitos e ideias atuais, bem como a evolução histórica dos
mesmos”. (FIORENTINI; OLIVEIRA, 2013, p. 924-925)
A convicção do papel pertinente da inter-relação entre teoria e prática, decorrente
da literatura que permeou as experiências vividas na minha trajetória acadêmico-profissional,
com a receptividade de integrantes do grupo de pesquisa denominado Grupo de Estudo e
Pesquisa em Formação de Professor de Matemática - GEPFPM2 - que iniciara um Projeto de
1 Neste trabalho denominamos por anos iniciais a fase escolar compreendida pela Educação Infantil e a primeira
etapa do Ensino Fundamental I – do 1º ao 5º ano. 2 Grupo interinstitucional, com sede na Faculdade de Educação da Universidade Estadual de Campinas
(FE/Unicamp), que congrega pesquisadores de cinco universidades: Universidade Estadual de Campinas
(Unicamp); Universidade Estadual Paulista (Unesp/Rio Claro); Universidade Federal de São Carlos (UFSCar);
Pontifícia Universidade Católica de Campinas (PUC-Campinas); Universidade São Francisco (USF);
Universidade Federal de Itajubá (UniFeI) e Universidade Paulista (Unip).
18
âmbito nacional relativo ao Mapeamento e ao Estado da Arte da pesquisa que tinha como foco
de estudo o PEM, mobilizou-me a adentrar o contexto das pesquisas brasileiras para
investigar o conhecimento especializado do PEM nos anos iniciais em relação à
multiplicação. Motivada, de um lado, pelos estudos do Grupo GEPFPM relacionados ao
professor que ensina matemática, sob diferentes modalidades de revisão sistemática e, de
outro, pelos estudos e discussões que vinham sendo desenvolvidos acerca do conhecimento
especializado do professor, no grupo Prática Pedagógica em Educação Matemática - PraPEM,
esta tese foi se constituindo. Assim, esta pesquisa buscou investigar de modo mais específico
o conhecimento especializado do professor para o ensino de multiplicação nos anos iniciais a
partir de um estudo de revisão sistemática, especificamente da metassíntese de duas teses de
doutorado que trataram das quatro operações em seus processos formativos.
Para permitir ao leitor uma visão ampla do relatório desta pesquisa, organizamos
os principais registros deste processo em cinco capítulos descritos a seguir.
No primeiro capítulo, apresentamos um recorte de minha trajetória de
pesquisadora e a problemática que deu origem a esta pesquisa bem como a construção de seu
objeto de estudo.
No segundo capítulo, trazemos a Metodologia da pesquisa, sua justificativa, seus
objetivos e o detalhamento dos procedimentos metodológicos. Neste capítulo, explicamos os
critérios adotados na constituição do corpus para o desenvolvimento da metassíntese.
No capítulo 3, mostramos os aspectos teóricos relacionados ao professor que
ensina matemática nos anos iniciais e sua formação e, principalmente, seu conhecimento
necessário para ensinar multiplicação, com destaque para o conhecimento especializado na
perspectiva do modelo Mathematics Teacher’s Specialized Knowledge (MTSK) de Carrillo et
al. (2013).
No capítulo 4, expomos as sínteses interpretativas das três teses selecionadas a
partir de critérios explicitados no capítulo metodológico, em que analisamos e interpretamos
indícios do conhecimento especializado sobre multiplicação dos professores que ensinam
matemática nos anos iniciais, tendo tomado como lente analítica os subdomínios do modelo
Mathematics Teacher’s Specialized Knowledge (MTSK) de Carrillo et al. (2013)
Finalmente, no capítulo 5, apresentamos uma síntese integrativa das três teses,
momento que reservamos para tecer a metassíntese final do estudo e as considerações finais.
Em seguida, as referências bibliográficas e os apêndices que contêm a lista das teses e das
dissertações relativas ao PEM nos anos iniciais.
19
CAPÍTULO 1 - PERCURSO DA PESQUISADORA E A GÊNESE DO OBJETO
DE ESTUDO: o conhecimento especializado do PEM
De onde venho? Para onde vou? Quais motivos me levaram a escolher a profissão
docente, e ainda, por que professora de matemática? Rememorar minha trajetória, minha
formação discente e docente pôde contribuir para uma reflexão de meus próprios estudos, que,
entremeadas pelas leituras realizadas, buscam compreender os processos formativos no
sentido de elucidar os problemas e as fragilidades postas no âmbito da formação docente em
um dado espaço-tempo. Das minhas lembranças, posso afirmar que o EU que hoje escreve
esta história se constituiu a partir de cenas, detalhes, movimentos, quase imperceptíveis a olho
nu, algumas vezes escritos e, portanto, mais refletidos.
Ao perscrutar minha trajetória de estudante e professora, sobretudo meus
caminhos e percursos de formação e de formadora nos mais diferentes espaços e tempos, pude
perceber e compreender questões importantes e relevantes sobre o processo de me constituir
professora, formadora e pesquisadora, ao longo desses anos, e, assim, acredito estar
continuamente me ressignificando.
Filha de pais que concluíram apenas o antigo primário3, realizei toda minha
formação básica, desde o pré-primário, passando pelo Ensino Fundamental, até o Ensino
Médio, em duas4 escolas da rede pública estadual, na cidade de Campinas. Uma exceção
ocorreu quando cursava a 4ª série e minha família mudou-se para outro estado, lá
permanecemos pouco menos de seis meses e, em seguida, retornamos para Campinas.
Embora sejam poucas as lembranças desse período, descrevê-lo aqui, fez-me
repensar sobre o importante papel do registro. Hoje o compreendendo como parte integrante
do processo formativo de meu desenvolvimento. Para ressignificar práticas e conhecimentos,
decorrentes de um processo formativo, é necessário ter acesso e conhecer esse processo.
Como isso tem sido proposto pelas agências de formação? É indicado ao sujeito da formação
registrar suas experiências de modo a refletir e ressignificá-las? Que conhecimentos têm sido
considerados e tratados?
3 Num cenário de árdua e gratificante conquista, em especial destaco uma das falas da minha mãe, que guardo
comigo: “Dos seis irmãos, só eu pude terminar o primário, e, aprendi a ler e escrever”. Esta fala, tornou-se um
“chavão” quando por vezes conversava conosco para expressar sua dedicação na intenção de nos incentivar a
estudar além do 4º ano, o que muito valorizava. 4 Em uma delas cursei desde o pré-primário até a 8ª série que, hoje, equivale ao 9º ano do Ensino Fundamental
II; e na outra cursei o Ensino Médio.
20
As leituras relacionadas à formação do professor e ao desenvolvimento
profissional docente despertaram em mim uma necessidade e um olhar mais atento para as
experiências discentes, tentando compreender como elas podem ter influenciado minhas
escolhas pela carreira docente. Das lembranças trazidas do percurso desse processo formativo,
é difícil deixar de citar brevemente o papel de duas professoras: Cecilia e Malu. Cecília foi
minha primeira professora, quando ingressei na escola aos seis anos, momento único para
qualquer estudante. Malu foi uma de minhas professoras de matemática no Ensino Médio, de
quem trago boas lembranças.
A atenção e a afetividade da professora Cecília por seus alunos parecem ter
inspirado meu caminhar à docência. Uma professora apaixonada por sua profissão que
procurava estar sempre atenta à individualidade de seus alunos. Cabe destacar que a atenção e
o zelo proporcionado a cada aluno pela professora Cecília eram especiais, no sentido de
compreender, naquela época, que cada uma de “suas crianças” constituía-se um ser único e,
portanto, o tratamento dado só faria sentido se fosse singular e atendesse às demandas de cada
um. Lembro-me de que ela tinha argumentos para que cada um de seus alunos se motivasse a
participar das comemorações, as quais envolviam danças, cartazes com lantejoulas, ou
coreografias belíssimas para as festas da escola. Um de seus argumentos está presente em
minha mente, até os dias de hoje: “Você pode fazer/pintar cada vez melhor!” Vez ou outra,
ela nos chamava à sua mesa para conversar, e tantas outras ela mesma se sentava à mesa junto
de nós!
Com certeza, mesmo que de modo natural, essa professora exerceu uma forte
influência quanto ao meu caminhar para a docência e, com isso, foi possível perceber o
quanto a relação professor-aluno implica em escolhas ao longo de nossa vida. Discutir
questões relacionadas à diversidade é uma prática bastante recente, mas entendo que já,
naquela época, a professora Cecília tinha esse tipo de preocupação, quando dispensava
atenção aos alunos que se sobressaíam, mas também àqueles que pouco participavam.
E a professora Malu de matemática? Bem, acho que antes vou resgatar um
pouquinho do percurso decorrido para chegar ao Ensino Médio e assim apresentá-la, pois,
afinal, esse caminho não foi tão simples e nem linear quanto possa parecer.
No Ensino Fundamental II, sentia-me incentivada pelas professoras, quando, nos
poucos (ou melhor, raríssimos) momentos organizados em duplas nas aulas de matemática da
6ª série, atual 7º ano, propunham-nos a trocar ideias (discutir) acerca dos exercícios
resolvidos. Essa prática de desenvolver o ensino e a aprendizagem da matemática – em que
buscava compreender meus colegas, e também ser compreendida em relação às diferentes
21
resoluções dos exercícios – fazia muito sentido para mim, passando a me identificar com a
docência. Junto com essa identificação, havia também o convívio com uma prima, que me era
mais próxima e com uma amiga de infância a quem tive sempre como irmã. A prima cursava
o Colégio Normal, tendo sido a primeira professora a formar-se em nossa família; fato esse
entrelaçado às recordações da professora Cecília, me inspirou, então de forma mais
consciente, a optar pela docência como perspectiva profissional.
Hoje, investigando um pouco mais a fundo sobre essas fontes de inspiração,
percebo que, desde o início do ginásio, atual Ensino Fundamental II, de certa forma, eu já
alimentava um sonho de ser professora, porém, sem ainda enveredar para o Curso de
Magistério5. Naquela época optei por estudar no colégio Vitor Meireles e assim enfrentei o
desafio de fazer o antigo vestibulinho para poder cursá-lo. Passar pelo exame e poder
ingressar nesse colégio foi uma verdadeira conquista, mas também um momento de angústias,
tempo das primeiras rupturas de um passado-presente-futuro: Estudo ou trabalho? Com o
apoio de minha mãe, que sempre cuidou da nossa casa sem exercer outra profissão e de meu
irmão que, à época, fazia o técnico profissionalizante, optei, mesmo sabendo das dificuldades
que enfrentaria, pelo estudo. Pude, assim, concretizar o sonho de estudar no Colégio Estadual
de 2º Grau Vitor Meireles!
Tudo parecia novo neste colégio, principalmente com a presença de professores
militares. Ao final do 1º colegial6 (que era básico a todos os ingressantes), fazíamos a opção
por uma das áreas de interesse que pretendíamos atuar profissionalmente: exatas, humanas ou
biológicas. Optei por cursar a área de exatas, porque, além de gostar de matemática, disciplina
de minha preferência até então, era nessa área que eu obtivera as melhores notas no Ensino
Fundamental.
Foi no primeiro ano, numa fase ainda de adaptação ao novo colégio, que conheci a
professora Malu. Com estatura de aproximadamente 1,60m, cabelos cacheados, olhos cor de
mel, e sua pasta com livros e materiais que colocava sobre a mesa, destacou-se positivamente
dentre os demais professores de matemática com os quais havia estudado na Educação Básica.
Malu era uma professora compreensiva quanto às dúvidas dos alunos, independente da
questão que se colocava. Firme em suas decisões, sempre procurava incentivar o estudo, em
especial o da matemática, enfatizando que o “fazer matemática”, ainda que sem chegar ao
resultado “correto”, sempre proporcionaria aprendizagens matemáticas. Mesmo com um
5 A Lei Federal no 5.692/71 denominava o curso de formação de professores para as séries iniciais do antigo 1º
grau (1ª a 4ª séries, atualmente 1º ao 5º ano) de Curso de Magistério, no qual o professor era habilitado para
ministrar aulas nesse nível de ensino. 6 Atualmente 1º ano do Ensino Médio.
22
programa preestabelecido a ser seguido rigidamente, Malu dificilmente oferecia uma resposta
pronta para esclarecer as dúvidas surgidas “pelos colegas”. Ao contrário, quase sempre,
lançava questionamentos à sala, instigando-nos a estabelecer relações que nos levassem à
compreensão dos conceitos matemáticos, ao invés de reproduzir mecanicamente os
conteúdos, por meio de exercícios repetitivos. Aqui, cabe destacar o motivo que digo “pelos
colegas”: À época, um pouco introvertida, raríssimas vezes eu expunha minhas dúvidas diante
da sala.
Malu foi uma das poucas professoras da Educação Básica que tentava explicar os
porquês dos procedimentos ou algoritmos matemáticos. Lembro-me, por exemplo, do porquê
da famosa regra da “troca de sinal” no cálculo de equações. Malu diferenciava-se em relação
ao ensino e ao modo como tratava o conhecimento matemático. Como já foi dito, suas
intervenções não se pautavam em simples “dar” respostas; ao contrário, fazia
questionamentos para que percorrêssemos um caminho até elas. Interpreto, hoje, que essa
postura a fazia estimada e respeitada pelos alunos da sala.
Lembro-me de que uma das dificuldades relativas à regra de sinais referia-se ao
porquê da troca de sinal em alguns casos e não em outros. Embora não me recorde dos
números, a questão relacionava-se à “troca de sinais” dos termos envolvidos nas equações
quando um elemento mudava de um lado para o outro. Como exemplo do uso de regras sem
compreensão dos porquês, era comum que a resolução da equação 8 + 6x = 20 resultasse
equivocadamente em -2, quando concebia a “troca de sinais” no lugar da “operação inversa”
na resolução da equação, como exemplificado a seguir:
+6x = 12, ao passar o +6 para o outro lado ficava x = 12/-6, ou seja x = -2.
Antes de apontar o certo ou o errado, Malu propunha que justificássemos o
resultado e, como normalmente substituíamos o resultado obtido pelo x, para verificar a
validade ou não da igualdade, isto é se o valor obtido era ou não raiz da equação, percebíamos
que havia algum problema com o resultado obtido. Isto porque, ao substituir a raiz obtida, x =
-2 na equação, observávamos que o valor encontrado não se referia à raiz da equação.
Mais que somente repetir a frase: o que muda é a operação do termo que passa de
um lado para o outro, e não apenas o sinal, a profa. Malu interessava-se por explicar, a seu
modo, o porquê dessa mudança. Entendemos que esse conhecimento profissional de Malu
parecia aproximar-se do conhecimento especializado na perspectiva de Carrillo et al. (2013).
Essa breve caracterização da prática pedagógica da professora Malu nos remete
também ao conhecimento e à aprendizagem na prática na perspectiva de Lave (2001) a qual
dialoga com quatro premissas. De modo especial, destacamos a 1ª delas que afirma que o
23
conhecimento se constrói e se transforma ao ser usado (Lave, 2001), pois o trabalho da profa.
Malu parecia se desenvolver numa perspectiva em que buscava estabelecer uma relação entre
o conhecimento e um conteúdo que estava parcialmente aberto em relação à história a ser
tecida.
Tantos anos se passaram e reviver essa memória, a partir dos estudos, das leituras
e das discussões atuais, no âmbito da educação matemática, especialmente aqueles
relacionados à formação de professores, faz-nos perceber, na prática docente de Malu,
indícios do domínio do conhecimento especializado do conteúdo matemático para o ensino,
conforme Ball, Thames e Phelps (2008) e que se diferencia do conhecimento comum do
conteúdo, aquele que todo cidadão precisa saber. Para explicar o porquê da troca de sinais,
não bastava que Malu dominasse o conhecimento comum, muitas vezes equivocadamente
compreendido como sendo a “regra de sinais”. Como professora há a necessidade de ter
domínio de outros dois conhecimentos específicos: o especializado para ensinar matemática e
o conteúdo matemático no horizonte (BALL; THAMES; PHELPS, 2008).
Esse diferencial encontrado em apenas uma professora durante toda minha
trajetória estudantil, leva-me a questionar sobre o problema da formação do professor,
especificamente do professor que ensina matemática nos anos iniciais da Educação Básica.
Sabemos que a formação inicial deste professor é precária no Brasil, sobretudo no que se
refere aos conteúdos escolares. No caso do conhecimento específico de matemática, várias
pesquisas têm mostrado que a maioria dos alunos que ingressam nos cursos de magistério até
início dos anos 2000 e, a partir de 2007, também nos cursos superiores (Licenciatura em
Pedagogia, Normal Superior), apresenta “significativo déficit cultural”, principalmente em
matemática (FIORENTINI, 2008; OLIVEIRA, 2007), motivo pelo qual muitos deles acabam
optando por estes cursos para “fugir” da matemática (Ortega, 2011).
Bem, revisitar esse processo formativo me permitiu refletir sobre as escolhas
realizadas nessa trajetória. Enquanto a professora Cecília inspirou-me para a docência, Malu
me inspirou à docência em matemática. Assim, decidida pela docência, principalmente na
área de exatas, antes mesmo de finalizar o colégio dei início à busca por um emprego que
pudesse custear meus estudos, pois, embora já tivesse definido cursar a licenciatura em
matemática, isso dependeria da realização de um trabalho remunerado. Ansiosa em dar
continuidade aos estudos, logo encontrei um emprego e já ao final de novembro de 1982,
comecei a trabalhar em uma loja, o que permitiu inscrever-me nos últimos dias para o
vestibular do ano seguinte.
24
Assim, junto com essa decisão, houve a primeira ruptura com o ensino em tempo
integral, pois, embora quisesse me dedicar integralmente à licenciatura, não poderia, naquele
momento, abrir mão do trabalho iniciado.
Desta forma, iniciei a Licenciatura Plena em Ciências – Habilitação em
Matemática pela Pontifícia Universidade Católica de Campinas – PUCC no ano de 1983.
Matriculei-me no período noturno, o que me possibilitou trabalhar durante o dia em uma
empresa multinacional.
Apesar das boas notas na Educação Básica, surgiram dificuldades na matemática
da Licenciatura, e não foram poucas! Os problemas não estavam somente nas derivadas ou
nas integrais. Trazíamos também os nós deixados pela matemática elementar que, embora
acreditássemos dominar, eram frutos de um processo de ensino e aprendizagem baseado no
paradigma do exercício (SKOVSMOSE, 2000) que privilegiava a sintaxe (procedimentos e
regras operatórias) em detrimento da semântica (conceitos e significados da matemática
escolar). Entretanto, esse problema pretendia persistir uma vez que, também nas diferentes
disciplinas do curso de Licenciatura em Matemática, o paradigma do exercício continuou
sendo dominante, estabelecendo uma ínfima relação entre o que e como ensinar matemática
na Educação Básica.
Naquela época me questionava de que modo aquelas integrais, derivadas de 1ª, 2ª
ou 3ª ordem que, naquele momento, pareciam tão difíceis ou tão sem sentido, poderiam nos
ajudar a ensinar matemática na Educação Básica. Qual era o papel das inúmeras listas de
exercícios? Seria para nos ensinar a ser melhores professores? Qual aproximação daquela
prática com as aulas de didática ou de prática pedagógica em matemática? Afinal, quais
conhecimentos matemáticos do curso contribuíram para aprender a ensinar matemática na
Educação Básica? São eles valorizados nas Licenciaturas?
No decorrer do curso, de modo especial nos momentos de Estágio, essas questões
ressurgiam com maior intensidade, revelando uma certa carência de conhecimentos para
assumir a sala de aula. Concluí o último ano da graduação com a certeza de que ainda não
estava preparada para ensinar a disciplina. Entretanto, após concluir a licenciatura, resolvi
assumir o desafio de aprender a ensinar matemática na prática, tendo, a princípio, assumido
aulas de Ciências e Matemática na Rede Estadual de Ensino do Estado de São Paulo em
escolas do município de Campinas – SP.
Com quatro anos atuando na rede estadual, passei a lecionar também em escolas
da Rede Municipal de Campinas. O diferencial dessa experiência foi ter participado, com
outros professores da rede municipal de encontros semanais de formação continuada sob a
25
coordenação de um professor formador vinculado à Faculdade de Educação – FE/Unicamp.
Nestes encontros7, buscava-se problematizar as práticas dos professores participantes. Este foi
o primeiro espaço formativo do qual participei em que podíamos discutir sobre a nossa prática
pedagógica com professores experientes ou não, que, em sua maioria, enfrentavam diferentes
desafios relativos ao ensino de matemática.
Recordo-me que, nesses encontros, era proposta a formação de pequenos grupos,
tendo em vista o interesse dos participantes, às vezes por temas, às vezes por série escolar.
Nesses pequenos grupos, elegíamos algum tema que pudesse atender aos anseios dos
participantes e, para isso, cada um expunha as dificuldades nascidas em sua prática
pedagógica. Esse primeiro momento, quase sempre nos trazia algo novo e cada relato era
contributivo para que pudéssemos refletir sobre nossas práticas. Por vezes, quando
escolhíamos trabalhar com determinados temas, como por exemplo as frações no âmbito das
operações, formávamos um só grupo com professores das diferentes séries, o que, de certa
forma, permitia a troca de experiências em relação ao conteúdo curricular, sob a perspectiva
de compreender a abordagem dada ao tema ao longo das quatro séries do Ensino Fundamental
II8. Nesse resgate, fico a questionar: que conhecimentos matemáticos produzidos nesse espaço
contribuíram para nosso conhecimento profissional para ensinar matemática? Que
conhecimentos sobre frações eram trabalhados nos diferentes anos?
Esses encontros eram necessários e relevantes, mas ainda não eram suficientes.
Como havia uma inconstância na participação dos integrantes em cada um dos encontros, isso
impedia, por vezes, a continuidade de atividades por mais de um ou dois encontros. Outro
item a destacar refere-se à ausência de registros escritos das discussões realizadas nos
pequenos grupos. Embora os registros escritos sejam um desafio à formação em qualquer das
etapas, ele tem um papel muito importante no processo formativo. Nesta formação, pude
discutir um pouco mais o conhecimento curricular, mas, como já salientei, não foi suficiente.
Atuando nas redes Estadual e Municipal, ministrei aulas de Matemática do 6º ano
ao 9º ano do Ensino Fundamental e do 1º ao 3º ano do Ensino Médio. À medida que me
deparava com alguns dos desafios postos ao ensino de matemática na Educação Básica, fui
percebendo que algumas das dificuldades dos meus alunos poderiam não ser deles, mas talvez
7 Esses encontros aconteciam todas às quartas-feiras em local preestabelecido no início do ano letivo. Nesse dia
da semana, não havia aulas de matemática nas escolas da rede municipal, para que os professores dessa
disciplina pudessem participar dessa formação, sendo remunerados pelas horas de formação continuada quando
participavam. 8 Hoje correspondente ao 6º, 7º 8º e 9º ano do Ensino Fundamental II.
26
decorrentes de meu modo de “ensinar”, o que está intrinsicamente relacionado ao meu
processo de formação e ao meu conhecimento profissional/docente.
Em busca de respostas às inquietações que trazia acerca do ensinaraprender9
matemática, procurei participar de seminários e congressos, oficinas, minicursos, enfim, de
outros espaços formativos que pudessem contribuir para minha prática pedagógica no
percurso docente. Esses espaços foram, sem dúvida, muito contributivos! Neles sempre me
deparava com novos conhecimentos, entretanto, parecia não ter espaço para aprofundar os
conhecimentos que eu já trazia da sala de aula, ou, não eram conhecimentos? Por vezes me
perguntei, onde estaria a professora Malu? Raramente encontrava espaços que permitissem
problematizar minha prática de sala de aula ou discutir alguns dos porquês trazidos pelos
alunos aos quais nem sempre tinha resposta.
Minhas inquietações em relação ao ensino e aprendizagem de matemática
levaram-me a buscar em 1992 algumas respostas no curso de Especialização em Matemática
para Professores do Ensino Fundamental e Médio, oferecido pelo Instituto de Matemática,
Estatística e Computação Científica – IMECC – Unicamp. Embora com uma proposta de se
aproximar das necessidades do professor de matemática para sua atuação em sala de aula, esse
espaço privilegiava os conteúdos matemáticos do Ensino Médio, que, numa perspectiva ainda
pautada na racionalidade técnica, não tinha a preocupação com os demais elementos tão
necessários ao ensinaraprender como, por exemplo, os conteúdos curriculares e a prática
pedagógica dos professores. Embora o IMECC trabalhe a matemática do Ensino Médio, esse
curso não problematizou/discutiu o conhecimento matemático especializado para ensinar, ou
melhor, o que acontece na prática escolar, principalmente na prática matemática dos
professores que frequentavam o curso de especialização. Por vezes, observava que os
formadores acreditavam que saber mais matemática era suficiente para o professor ensiná-la
melhor em sua prática. Mas, essa “matemática a mais” oferecida no curso não deu conta de
responder às minhas inquietações quanto à prática de ensinar matemática, pois o curso não
privilegiava o conhecimento especializado necessário para ensiná-la (BALL; THAMES;
PHELPS, 2008). Muitos pesquisadores têm questionado acerca deste problema e vários
estudos e experiências têm sido realizados para enfrentar e compreender essa problemática.
Entretanto, ao perceber que essa formação matemática complementar não
respondia às minhas necessidades como professora de matemática, conjecturei que o
problema talvez estivesse relacionado a questões de natureza didático-pedagógica. Nessa
9 Assim como Carvalho e Fiorentini (2013, p. 11): “utilizamos esta palavra composta porque ela expressa a
complexidade e a dialética de como percebemos a relação entre o ensino e a aprendizagem”.
27
época, atuando no Ensino Médio e iniciando um trabalho10 na Educação de Jovens e Adultos
(EJA), novos desafios me mobilizaram a buscar, em 1996, a Licenciatura em Pedagogia.
Neste trajeto, a Licenciatura em Pedagogia ampliou minha visão pedagógica da prática
escolar, mas pouco acrescentou sobre o conhecimento especializado do professor que ensina
matemática (CARRILLO et al., 2013) nos anos iniciais, tendo sido, inclusive, surpreendida, à
época, com a pequena carga didática destinada à formação matemática nesse curso.
No âmbito da Educação Matemática, diferentes estudos (CURI, 2005;
D’AMBROSIO, 2005; MEGID, 2009; MOTA, 2012) têm evidenciado um parco espaço
destinado às discussões sobre aspectos conceituais e metodológicos da matemática na
formação inicial dos professores que atuam na Educação infantil e nos anos iniciais do Ensino
Fundamental. Castro e Fiorentini (2017) realizaram um estudo comparativo Brasil-Portugal
sobre a formação inicial de professores para a Educação Infantil (EI) e para os Anos Iniciais
(AI), e, dentre outros resultados, problematizam um dos diferenciais entre as duas legislações
analisadas:
Aqui cabe destacar, como diferencial em relação à legislação brasileira, a
valorização dos conteúdos de ensino na formação dos professores. Por exemplo,
para a formação na área de Matemática a legislação portuguesa exige o
cumprimento mínimo de 30 cr, ou seja, cerca de 900h de estudo, excluindo-se, neste
total, a carga horária destinada ao estágio na docência na área de matemática.
(CASTRO; FIORENTINI, 2017, p. 8)
Os resultados desse estudo comparativo evidenciam, na prática, que, enquanto, no
Brasil, os cursos de Pedagogia reservam uma média de 130h de estudos teóricos e práticos
voltados à formação matemática para a docência; em Portugal, os cursos de formação de
professores para os anos iniciais reservam uma média de 1.200h para a formação em educação
matemática, sendo 272h no âmbito do mestrado profissionalizante, curso obrigatório para
ingresso no magistério (CASTRO; FIORENTINI, 2017). Esses resultados apontam para a
urgência da reformulação dos cursos de licenciatura em Pedagogia, inclusive da própria
legislação brasileira.
Considerando que a última reformulação do curso de licenciatura em Pedagogia é
relativamente recente (BRASIL, 2006), a alternativa para enfrentar o reduzido espaço
reservado à matemática (JESUS, 2011) na formação inicial do professor dos anos iniciais de
escolarização tem sido a realização, pelas próprias escolas (no caso das escolas privadas), ou
pelas secretarias municipais e estaduais de educação (no caso das escolas públicas), de cursos
10 Atuei por quatro anos como professora de Educação de Jovens e Adultos – curso presencial, e três anos como
orientadora de aprendizagem na Educação de Jovens e Adultos do Telecurso 2º grau – Ensino Médio.
28
de formação continuada. Entretanto, conforme Gatti (2008), o entendimento de como essa
formação vem sendo realizada também tem sido problemático.
[...] ora se restringe o significado da expressão [formação continuada] aos limites de
cursos estruturados e formalizados oferecidos após a graduação, ou após ingresso no
exercício do magistério, ora ele é tomado de modo amplo e genérico, como
compreendendo qualquer tipo de atividade que venha a contribuir para o
desempenho profissional – horas de trabalho coletivo na escola, reuniões
pedagógicas, trocas cotidianas com os pares, participação na gestão escolar,
congressos, seminários, cursos de diversas naturezas e formatos, oferecidos pelas
Secretarias de Educação ou outras instituições para pessoal em exercício nos
sistemas de ensino, relações profissionais virtuais, processos diversos a distância
(vídeo ou teleconferências, cursos via internet etc.), grupos de sensibilização
profissional, enfim, tudo que possa oferecer ocasião de informação, reflexão,
discussão e trocas que favoreçam o aprimoramento profissional, em qualquer de
seus ângulos, em qualquer situação. Uma vastidão de possibilidades dentro do rótulo
de educação continuada. (GATTI, 2008, p. 57)
Tendo passado por diferentes tipos de formação continuada, dentre as
possibilidades apontadas por Gatti (2008), reafirmo a preocupação de Megid e Lima (2018)
de que o fato de essas formações nem sempre estarem presentes no cotidiano do professor,
pois quase não encontram suporte no interior das escolas, isso implicará em pouca influência
na mudança das práticas pedagógicas de maneira profunda.
Entendo que a tentativa, quase ininterrupta, de aprimorar a prática pedagógica
relativa ao ensino de matemática, me motivou a investigar sobre como o domínio da teoria
pode influenciar o processo de ensino, de modo que continuei a buscar o aperfeiçoamento e a
atualização profissional. Minha trajetória aqui explicitada, aliada à minha necessidade de
procurar novos horizontes, levou-me ao mestrado, na linha de pesquisa Tecnologias da
Informação e Educação Matemática, cujo ingresso se deu no segundo semestre do ano de
2001, na Pontifícia Universidade Católica de São Paulo.
Foi neste momento que passei a me interessar em conhecer com profundidade o
trabalho de matemática nos anos iniciais do Ensino Fundamental, tendo desenvolvido uma
dissertação intitulada: Introduzindo o conceito de média aritmética na 4ª série do Ensino
Fundamental usando o ambiente computacional (LIMA, 2005). Com o intuito de conhecer o
trabalho de matemática desenvolvido neste ciclo, pautado na então recente inclusão do bloco
de conteúdos Tratamento da Informação, proposto a partir de 1997 pelos Parâmetros
Curriculares Nacionais de Matemática - PCN (BRASIL, 1997), o objetivo do estudo foi
investigar a introdução do conceito de média aritmética com base no uso das representações
gráficas e com o auxílio do ambiente computacional, dentro do qual foi empregado o
software Tabletop. Concluí que a introdução ao conceito de média aritmética, baseada na
29
representação gráfica, foi favorecida pelo emprego do software Tabletop, visto que ele
possibilitou ao aluno a descoberta de propriedades e relações envolvidas no Campo
Conceitual constituído pela leitura e pela interpretação de gráficos e da média aritmética. Essa
minha aproximação com professores e alunos dos anos iniciais fomentou questionamentos
acerca do conhecimento matemático oferecido aos professores não especialistas de
matemática.
Conhecer o contexto de ensino neste nível de escolaridade (dos anos iniciais do
Ensino Fundamental)11 me instigava, visto que eram quatro anos de estudos em que as
matemáticas devem ser ensinadas. Mas que matemáticas precisam ser ensinadas e aprendidas
nessa fase? Que matemáticas precisam conhecer os professores que aí ensinam? Afinal, que
conhecimentos especializados são desejáveis ao professor que ensina matemática - PEM - nos
anos iniciais?
Após longos anos lecionando em três turnos na Educação Básica, ao iniciar o
mestrado, retomei com maior intensidade minha participação em seminários, encontros e
congressos, voltados à Educação e à Educação Matemática, como o fazia também no início de
carreira. No mesmo ano de ingresso no mestrado, fui convidada a assumir aulas de
matemática em um Curso de Administração, em uma instituição particular de Ensino
Superior na região do ABC12 em São Paulo. Embora minha intenção fosse lecionar no Curso
de Pedagogia, a grade curricular do Curso nessa instituição estava estruturada para oferecer
disciplinas envolvendo matemática somente nos dois últimos semestres, e ele ainda estava
iniciando a primeira turma. Dessa forma assumi as aulas no Curso de Administração, e, com
isso, pude me aproximar da proposta do Curso de Pedagogia.
Em 2003, já atuando no ensino superior há quase três anos, passei a ministrar
aulas no curso de Licenciatura Plena em Pedagogia da Faculdade de Mauá – FAMA, atuando
nos dois componentes relacionados à matemática que eram oferecidos nos 5º e 6º semestres,
isto é, no penúltimo ano do curso. O componente “Fundamentos e Metodologia da
Matemática”13 I – Fundamentos I - era desenvolvido no 5º semestre e apresentava como
proposta analisar e discutir o ensino de matemática na Educação Infantil. No 6º semestre, o
componente “Fundamentos e Metodologia da Matemática II”– Fundamentos II - incluía em
sua ementa a proposta de auxiliar o futuro pedagogo a compreender a construção do
11 Somente em 06/02/2006, foi sancionada a Lei nº 11.274, que regulamenta o ensino fundamental de 9 anos,
passando a cinco anos os anos iniciais do Ensino Fundamental. 12 A Região do ABC, no estado de São Paulo, também conhecida por Grande ABC e ABC paulista, faz parte da
região metropolitana da capital paulista. A sigla ABC é determinada pelo nome de seus principais municípios:
Santo André, São Bernardo e São Caetano. 13 A carga horária destinada a cada uma das disciplinas FMM I e FMM II era de 40horas/semestre.
30
pensamento lógico-matemático, como base para dominar e articular os conteúdos e
metodologias específicas da área de Matemática para os anos iniciais do Ensino Fundamental
I.
As turmas iniciais eram formadas por estudantes, entre as quais algumas já
atuavam na Educação Infantil, outras nos anos iniciais do Ensino Fundamental, outras em
ambos os níveis, e ainda havia as que nunca tinham ministrado aulas. As que atuavam
possuíam o antigo curso de Magistério, o que as legitimava a exercer a atividade docente
nestes níveis. Entre aquelas que não atuavam, algumas haviam interrompido seus estudos e
decidido retornar após os filhos crescerem, e havia ainda, em menor quantidade, as recém-
concluintes do Ensino Médio.
De modo geral, as licenciandas demonstravam uma necessidade em romper com o
ensino de matemática que tinham recebido e aprender aqueles conteúdos e procedimentos que
pretendiam ensinar aos seus alunos. Destaco a afirmação de uma dessas alunas - aqui
identificada com o nome fictício de Ana - “Professora..., se eu tivesse aprendido matemática
assim, talvez tivesse me interessado mais...”. Essa afirmação surgiu durante uma breve
discussão realizada em sala, quanto ao questionamento inicial relativo à dificuldade ou não
em realizar o cálculo de divisão, em especial, com um único dígito na chave.
Após afirmarem14 que isto era simples, propus a realização dos seguintes cálculos:
a) 35:5 b) 37:5 c) 35:0.
Rapidamente os cálculos foram realizados, ou melhor, os resultados foram
verbalizados quase imediatamente, e, além da discussão dos diferentes procedimentos15 e das
respostas encontradas para 37:5, a que realmente se alongou foi 35:0. As respostas indicadas
pelas alunas para esse cálculo foram, em sua grande maioria (aproximadamente 80%) 35,
algumas alunas (15%) afirmavam ser zero e outras, diante da discussão das colegas entre 35 e
zero preferiram indicar simplesmente não sei.
Foi uma longa discussão, pois apresentavam um argumento que consideravam
fortíssimo: “Se tenho 35 e não tenho ninguém para dividir, vou ficar com 35, não é
professora?”.
Mesmo sabendo que elas esperavam uma resposta, priorizei considerar a
aprendizagem que se estrutura a partir dos desafios enfrentados e, nesta perspectiva, não pude
14 Mais de 90% das alunas da turma responderam que, em relação à divisão com um número na “chave”, não
tinham problema. 15 Os dois procedimentos utilizados pautaram-se exclusivamente no algoritmo da divisão (algumas utilizaram o
método curto; e outras, o longo)
31
deixar de responder à questão com outra pergunta16: Como vocês encontraram o resultado da
divisão de 35:5? ... E de 37:5?17 Muitas estudantes permaneciam resistentes em registrar o
cálculo por escrito, algumas porque achavam muito simples por já saberem o resultado, outras
até mesmo por medo de “armar” errado, parecendo considerar que o algoritmo é a única
forma de realizar a divisão. Eu tinha como propósito que as alunas investigassem as relações18
existentes entre os termos da divisão: dividendo, divisor, quociente e resto e, assim, instigá-
las a encontrar um resultado coerente para o cálculo: 35:0. Duas ou três alunas procuraram o
resultado, usando a calculadora, e mostraram-se surpresas com a resposta apresentada no
visor: “error., mas por quê?” Era cada vez mais perceptível a necessidade de uma discussão
conceitual da divisão, da multiplicação, enfim das operações.
Bem, o caminho nem sempre era curto, mas à medida que exploravam as relações
existentes entre os cálculos propostos: 35:5 e 35:0, iam descobrindo que não encontrariam o
quociente, nos casos da divisão por zero.
Assim, ao descobrir a inexistência de um quociente para a divisão por zero,
significativamente concluíram ser impossível dividir não apenas o 35, mas qualquer outro
número por zero19. Com essas “pequenas-grandes” descobertas fui percebendo os caminhos
possíveis para despertar o interesse e o prazer dessas estudantes em se transformarem em
professoras-pesquisadoras em matemática. E foi assim que a matemática começava a fazer
sentido na vida dessas alunas. Isto era perceptível pela alegria expressa no sorriso das alunas
nos momentos em que expunham suas descobertas matemáticas, mas, sobretudo, pelos
questionamentos críticos que passaram a fazer.
Com o passar dos anos, pude observar um aumento expressivo do número de
estudantes de Pedagogia que, ao finalizar as disciplinas relacionadas à matemática,
reivindicavam um espaço maior, na grade curricular, para dar continuidade às discussões e
aos estudos sobre o ensino dessa disciplina. Pareciam ter encontrado uma matemática que lhes
fazia sentido, e que não as assustava mais. Fui percebendo que buscavam sobretudo, conhecer
uma matemática para ensinar, tendo em vista sua futura atuação em sala de aula.
16 Inicialmente, isso as incomodava um pouco, entretanto com o passar das aulas, as alunas percebiam-se cada
vez mais como protagonistas da construção do seu próprio conhecimento, envolvendo-se cada vez mais com as
atividades realizadas nas aulas. 17 Neste momento, minha expectativa pautava-se em observar qual a estratégia usada pelas alunas para realização
do cálculo e, assim, solicitei que registrassem por escrito no próprio caderno. 18 A problematização permitiria discutir aspectos relacionados à ordem das operações na resolução de expressões
numéricas. 19 Para um aprofundamento da discussão, fez-se necessário discutir acerca das duas diferentes ideias de divisão:
repartir igualmente e, medir.
32
Entretanto, o espaço para a formação matemática se mantinha reduzido, aliás não
apenas dela, mas também dos fundamentos de todas as demais disciplinas: Matemática,
Língua Portuguesa, Ciências, História e outras.
E assim, continuando minhas buscas, após participar do II Seminário de Histórias
e Investigações de/em Aulas de Matemática - II SHIAM em julho de 2008, comecei a
participar das reuniões do Grupo de Sábado - GdS. Participar de um grupo constituído
predominantemente por professores que ensinam matemática, atuantes em distintas áreas do
conhecimento e de diferentes níveis de ensino que se reúnem para discutir sobre práticas
pedagógicas de matemática aos sábados, incentivou-me a organizar um espaço extracurricular
para atender aos anseios das alunas diante do ensino de matemática, de modo também a
contribuir para a melhoria de minha prática como formadora de professores.
Dessa forma, considero que minha entrada no GdS motivou-me fortemente a
enfrentar os desafios postos para a organização do Grupo de Estudo Pluridisciplinar com foco
em Educação Matemática, sendo este o contexto em que nasceu o GREPEM. Este grupo teve
início em 2009 e foi se constituindo em um ambiente de estudo, pesquisa e desenvolvimento
de ações que pudessem contribuir para um ensino significativo de matemática desde os anos
iniciais da Educação Básica. Integrado por alunos do Curso de Pedagogia, professores de
Matemática, Didática e Psicologia promovia um ambiente de aproximação dos docentes da
prática pedagógica da sala de aula e o aprofundamento teórico relativo às demandas trazidas
pelas alunas.
Hoje, comparando minha própria trajetória de formação e as demandas destas
futuras professoras, percebo que há, em comum, o desejo e a necessidade de ampliar e
aprofundar os estudos sobre as matemáticas fundamentais que habilitam o professor para o
ensino. Mas que matemáticas seriam essas? Fiorentini e Oliveira (2013, p. 924-925) me
ajudam a encontrar uma possível resposta que me parece muito plausível:
Quando nos referimos à necessidade de o professor conhecer com profundidade as
matemáticas, especialmente a escolar, queremos dizer que não basta o professor
dominar procedimentos matemáticos e saber utilizá-los em demonstrações ou na
resolução de exercícios e problemas. Para a docência em matemática é importante
que o professor saiba justificar esses procedimentos, conheça outros procedimentos
histórico-culturalmente produzidos, conheça os conceitos e ideias atuais, bem como
a evolução histórica dos mesmos.
Assim sendo, evidencia-se ainda mais o destaque da relação teoria-prática, visto
que a busca constante para a melhoria da prática me leva a compreender a demanda por
investigar os conhecimentos matemáticos do PEM nos anos iniciais em diferentes contextos
formativos.
33
Uma preocupação com a formação de professores foi se delineando desde as
inquietações trazidas dos mais de dez anos de docência na Educação Básica, acentuando-se a
partir da atuação como formadora no Curso de Licenciatura em Pedagogia na região do ABC
- SP, e, formadora no PARFOR20 – PUC Campinas. Essas inquietações me incentivaram a
retomar os estudos de pós-graduação, tencionando investigar a formação de professores, com
foco nos conhecimentos do professor que ensina matemática.
Quando iniciei as atividades de doutoramento tinha como objetivo investigar as
aprendizagens dos professores atuantes nos Anos Iniciais da Educação Básica, participantes
de um grupo colaborativo. Esse intento foi se transformando à medida que realizava estudos e
discussões no âmbito do grupo de pesquisa Prática Pedagógica em Educação Matemática
(PraPEM) e do GEPFPM, e nas discussões ocorridas com o professor orientador em
diferentes momentos: sessões de orientação; atividades relativa ao Projeto Universal; ou
ainda, organização das disciplinas dos programas de estágio docente, momentos esses
singulares de articulação teoria e prática no processo de pesquisa.
Minha participação no grupo de pesquisa GEPFPM permitiu-me experienciar
praticamente todas as fases de desenvolvimento do Projeto Universal, aprovado pelo
CNPq/2013, intitulado “Mapeamento e Estado da Arte da Pesquisa Brasileira sobre o
Professor que ensina Matemática”21 que vigorou e se desenvolveu entre 2013 e 2016. O
objetivo geral do Projeto foi: “mapear, descrever, sistematizar as pesquisas brasileiras
produzidas no âmbito dos programas de Pós-Graduação stricto sensu das áreas de Educação
e Ensino da CAPES, no período de 2001 a 2012, que tem como foco de estudo o professor
que ensina matemática”.
Ao longo de minha participação no projeto Universal, chamou minha atenção, ao
final do 2º semestre/2014, o fato de ter encontrado um número significativo de pesquisas (em
torno de 200 trabalhos) relativas ao professor que ensina matemática nos anos iniciais de
escolarização. Isso me motivou a redirecionar meu projeto de tese de doutorado, centrando
foco de atenção nesse conjunto de trabalhos. Buscamos primeiramente mapear estes trabalhos,
identificando os principais campos ou focos de estudo e, posteriormente, fazer um recorte
para um estudo mais aprofundado do tipo estado do conhecimento ou metanálise de trabalhos
20 PARFOR - Plano Nacional de Formação de Professores da Educação Básica com modalidade presencial foi
um programa emergencial instituído para atender o disposto no artigo 11, inciso III do Decreto nº 6.755, de 29 de
janeiro de 2009 e implantado em regime de colaboração entre a Capes, os estados, os municípios, o Distrito
Federal e as Instituições de Educação Superior – IES. 21 Projeto elaborado e desenvolvido pelo GEPFPM, sob a coordenação geral do professor doutor Dario Fiorentini
(FE/Unicamp) (PQ-1D/CNPq), que foi submetido e aprovado pelo CNPq (486505/2013-8). Em nossa pesquisa
sempre que nos referirmos a esse projeto, usaremos a denominação: “Projeto Mapeamento e Estado da Arte do
PEM” ou “Projeto Universal”.
34
que tinha como foco de estudo a formação matemática do professor que ensina matemática
nos anos iniciais de escolarização.
Paralelamente a este trabalho no GEPFPM, no Grupo de Pesquisa PraPEM, tendo
em vista o ingresso, em 2015, do professor Miguel Ribeiro como docente na FE/Unicamp,
demos início uma série de estudos e discussões sobre o conhecimento especializado do
professor de matemática (MTKS) e que tem José Carrillo e colaboradores como principais
referências (CARRILLO et al., 2013). Trata-se de uma temática que veio ao encontro de
minhas necessidades epistemológicas, o que contribuiu para a construção de meu objeto de
estudo de doutorado.
Os estudos de Carrillo et al. (2013) tiveram origem nos estudos de Shulman
(1986, 1987) e, principalmente, nos de Ball, Thames e Phelps (2008) acerca do conhecimento
profissional docente, tomando como referência o ensino de matemática.
Ball, Thames e Phelps (2008), baseando-se os estudos de Shulman no contexto do
ensino de matemática, separam dois domínios básicos do conhecimento matemático do
professor no contexto do ensino: conhecimento do conteúdo da matéria de ensino e
conhecimento pedagógico do conteúdo. Em relação ao “conhecimento do conteúdo da matéria
de ensino”, identifica três subdomínios, a saber: conhecimento comum de matemática (que
todos devem saber); conhecimento especializado do conteúdo (que todo professor que ensina
matemática deve saber); e conhecimento matemático no horizonte (conhecimento ampliado
da matemática como campo acadêmico e profissional). O domínio do “conhecimento
pedagógico do conteúdo”, de outro lado, contém três subdomínios: conhecimento do
conteúdo e dos alunos; conhecimento do conteúdo e do ensino; e conhecimento do conteúdo e
do currículo.
Carrillo et al. (2013), tomando o conhecimento especializado de Ball, Thames e
Phelps (2008) como chave, constroem o modelo do conhecimento especializado do professor
de matemática ou “Mathematics Teacher’s Specialised Knowledge” (MTSK), distinguindo,
em relação ao conteúdo de matemática, três subdomínios [Conhecimento dos temas (KoT);
conhecimento da estrutura da matemática (KSM); conhecimento da prática matemática
(KPM)]; e em relação ao conhecimento didático do conteúdo, também três subdomínios
[conhecimento do Ensino de Matemática (KMT); Conhecimento das características da
Aprendizagem da matemática (KFLM); conhecimento dos currículo para aprendizagem
matemática (KSML)].
Ancorada nesses autores, defino a seguinte questão orientadora da pesquisa de
metassíntese de estudos acadêmicos brasileiros que tem como foco de estudo a formação
35
matemática do PEM nos iniciais de escolarização: que conhecimentos especializados do
professor que ensina matemática nos anos iniciais são concebidos, identificados e tratados
pelas pesquisas acadêmicas no Brasil?
O conceito de conhecimento especializado do professor é bastante recente, e o que
seria esse conhecimento especializado está em processo de construção, cabendo à pesquisa
investigá-lo, tratá-lo e sistematizá-lo. Entretanto, isso não significa afirmar que esse
conhecimento especializado só passou a existir após sua conceituação. Elementos desse
conhecimento certamente estão presentes ou subjacentes às práticas cotidianas dos
professores e também em investigações já desenvolvidas. Investigar evidências desse
conhecimento especializado em práticas e pesquisa pretéritas é o desafio do pesquisador que
desenvolve estudos de revisão sistemática, como é o caso do presente estudo em relação às
pesquisas traduzidas em dissertações e teses sobre formação de professores que ensinam
matemática na área da Educação Matemática. Nesse sentido, é pertinente não olhar apenas
para as pesquisas em desenvolvimento, mas também para aquelas já produzidas em tópicos de
nosso interesse, como é o caso da Multiplicação. Para investigar esse tipo de conhecimento
não é suficiente fazer o Estado da Arte do conhecimento. É necessário, principalmente,
desenvolver revisões sistemáticas sobre estudos precedentes, mesmo que eles não tenham
discutido o que significa conhecimento especializado. Este é o caso deste estudo que tem
como objeto de análise os indícios de conhecimento especializado do PEM presente em
pesquisas que tiveram o campo da multiplicação discutido em seus estudos.
No capítulo que segue buscaremos detalhar o processo de desenvolvimento dessa
pesquisa, apresentando os fundamentos metodológicos e os procedimentos metodológicos
utilizados nas duas fases que a compõem: o mapeamento da pesquisa e a metassíntese.
36
CAPÍTULO 2 - FUNDAMENTOS E PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS
Nossa participação no projeto “Mapeamento e Estado da Arte da Pesquisa
Brasileira sobre o Professor que Ensina Matemática” assim como nas discussões teórico-
metodológicas desenvolvidas em cada uma de suas fases, possibilitou-nos experienciar uma
visão panorâmica dos diferentes focos temáticos relativo às 858 pesquisas (teses e
dissertações), que constituíram o corpus do referido projeto. Considerando a problemática do
presente estudo relativa ao conhecimento especializado do PEM nos anos iniciais, a
experiência vivenciada impulsionou nossa proposta em investigar acerca do tratamento dado a
esse conhecimento nas pesquisas brasileiras, mobilizando-nos, de modo especial, a
desenvolver uma metassíntese de pesquisas.
Neste capítulo, apresentamos os fundamentos metodológicos que subsidiaram esta
pesquisa e os procedimentos metodológicos desenvolvidos nas diferentes etapas do estudo.
2.1 Fundamentos metodológicos da pesquisa
Nos últimos anos22, percebemos um aumento expressivo de pesquisas em
diferentes áreas do conhecimento, dentre elas a Educação Matemática, e, de modo mais
específico, em investigações relativas à formação de professores que ensinam matemática e
seu desenvolvimento profissional (FERREIRA et al., 2000; FIORENTINI et al., 2002;
FIORENTINI; PASSOS; LIMA, 2016; GATTI; BARRETO; ANDRÉ, 2011; MELO, 2013;
PASSOS et al., 2006). Este fato, consequentemente, tem gerado uma produção significativa
de novos conhecimentos sobre as mais variadas temáticas que constituem esse campo de
pesquisa.
No âmbito da Educação Matemática, pesquisa recente sobre o PEM e sua
formação discute a relação entre o aumento do número de pesquisas proporcionalmente ao
aumento do número de programas de pós-graduação na área de Educação e de Ensino, no
período 2000 a 2013, período esse que coincide com esta pesquisa.
Na área da Educação, no período de 2000 a 2013, o número de programas mais que
dobrou, passando de 54 a 121 programas (62 mestrados e doutorados, 50 mestrados
e 9 mestrados profissionais). Na área de Ensino, no mesmo período, os programas
passaram de 7, em 2001, para 104 programas, em 2012, sendo 21 mestrados e
22 Estamos considerando o período a partir do ano de 2006 em que passou a ser obrigatória a disponibilização
online das teses e das dissertações.
37
doutorados, 3 somente doutorados, 20 somente mestrados acadêmicos e 60
mestrados profissionais. (FIORENTINI; PASSOS; LIMA, 2016, p. 32)
Nossa afirmação quanto ao aumento significativo do número de pesquisas
relacionados ao PEM e sua formação se apoia na comparação dos resultados dos
mapeamentos apresentados em duas pesquisas realizadas pelo GEPFPM, sendo uma em 2002
e outra mais recente, no ano de 2016. A primeira, que se refere aos 25 anos da pesquisa
brasileira sobre formação de professores que ensinam Matemática (FIORENTINI et al., 2002)
identificou 112 teses e dissertações produzidas no Brasil no período de 1978 a 2002 e, a
segunda, realizada no âmbito do projeto “Mapeamento e Estado da Arte da Pesquisa
Brasileira sobre o Professor que Ensina Matemática” encontrou 858 pesquisas produzidas
entre os anos de 2001 e 2012. Pretendendo, de certa maneira, dar continuidade ao balanço
anterior, foram incluídos os dois últimos anos do levantamento anterior23. Cabe destacar que,
no mapeamento realizado em 2016, as pesquisas não se restringem à formação do professor
que ensina matemática, seja ela inicial, continuada ou ainda, inicial e continuada. Nesta nova
configuração, devido à demanda, à ampliação do número de pesquisas produzidas e ao avanço
do próprio campo, tendo o professor como protagonista, foram consideradas as pesquisas
relacionadas ao professor que ensina matemática e que trazem compreensões sobre o
professor, o seu trabalho e a sua constituição e a identidade profissional:
[...] considerando os estudos mais recentes acerca do professor com impacto em sua
formação ou desenvolvimento profissional, houve a necessidade de ampliação do
foco para “o professor que ensina Matemática”, congregando, assim, não somente
pesquisas voltadas à formação inicial e continuada de professores, mas também
pesquisas que envolvem estudos sobre outros contextos e aspectos (práticas
profissionais, saberes ou conhecimentos docentes, identidade profissional, trajetória
de professores, crenças e concepções de professores) que estão nitidamente
relacionados à vida, à formação e ao desenvolvimento profissional do PEM.
(FIORENTINI; PASSOS; LIMA, 2016, p. 22)
O aumento significativo de trabalhos sobre o PEM, nesses últimos anos, implicou
no aprofundamento de estudos relativos à configuração de um campo de pesquisa
denominado “Professor que ensina Matemática – PEM”,- que o GEPFPM vem realizando,
apoiado nos estudos de Marcelo Garcia (1999), Roldão (2007) e André (2010). Ancorados
nesses estudos, Fiorentini, Passos e Lima (2016) definem o PEM como um campo emergente
de pesquisa e enfatizam que
23 A retomada dos dois últimos anos do mapeamento anterior contribui para contemplar os trabalhos que
porventura possam não ter sido incluídos, especialmente se considerar a disponibilização de trabalhos em
bibliotecas digitais ou no banco de teses da Capes, relativo àquele período.
38
embora possamos reconhecer o PEM como um campo investigativo emergente e
promissor de estudo, sua caracterização e sua descrição só são possíveis mediante a
produção de pesquisa nesse campo e a realização de estudos de revisão sistemática
dessa produção acadêmica, como são os estudos nas modalidades do estado da arte
e da metanálise das pesquisas que têm o PEM como objeto de investigação.
(FIORENTINI; PASSOS; LIMA, 2016, p. 21)
Este fato nos leva a destacar duas questões relevantes para a proposta da nossa
pesquisa. A primeira refere-se às inúmeras contribuições trazidas pelas teses e dissertações,
sobretudo no âmbito da comunidade científica. A outra refere-se ao acúmulo das informações,
isto é, dessas inúmeras contribuições, que podem induzir à dispersão do conhecimento
produzido num dado espaço e tempo, sem que elas sejam sintetizadas e discutidas e
promovam avanços nas futuras produções da respectiva área. Estes dois aspectos corroboram
as ideias de Fiorentini, Passos e Lima (2016) quanto à demanda por estudos de revisão
sistemática e a relevância delas.
Assim, em busca de identificar os conhecimentos especializados do professor que
ensina matemática nos anos iniciais, optamos por investigar as dissertações e as teses
brasileiras, produzidas no período de 2001 a 2012 nos diferentes contextos de formação, com
vistas a compreender como esses conhecimentos têm sido concebidos e tratados nas pesquisas
brasileiras. Uma análise aprofundada das pesquisas em tela deve trazer elucidações sobre o
conhecimento especializado do professor que ensina matemática nos anos iniciais,
contribuindo para fomentar debates relativos às demandas que se impõem, neste início de
século/milênio, à formação e ao desenvolvimento profissional dos professores. Entretanto,
devido à amplitude do tema, centramo-nos em investigar o conhecimento especializado sobre
multiplicação do PEM nos primeiros anos de escolarização.
Nesta pesquisa, procuramos aprofundar, em diferentes aspectos do conhecimento
do PEM relativo à multiplicação, uma das operações cujo ensino deve ser pautado no
oferecimento de muitas oportunidades para que os alunos explorem suas próprias estratégias,
caso contrário, o algoritmo tradicional da multiplicação pode constituir-se no mais difícil
dentre aqueles das quatro operações, conforme destaca Van de Walle (2009).
É neste contexto que visamos responder à seguinte questão de pesquisa: que
conhecimentos especializados do professor que ensina multiplicação nos anos iniciais são
concebidos, identificados e tratados pelas pesquisas acadêmicas no Brasil? Em busca de
resposta a essa questão, estabelecemos o seguinte objetivo para a presente pesquisa: descrever
e analisar os indícios de conhecimento especializado do professor para ensinar multiplicação
nos primeiros anos de escolarização, que se encontram subjacentes ou presentes em pesquisas
39
brasileiras produzidas nos programas de pós-graduação stricto sensu nas áreas de Educação e
Ensino no período de 2001 a 2012.
Nesse sentido, nossa investigação caracteriza-se como uma pesquisa de revisão
sistemática que, segundo Fiorentini e Lorenzato (2006, p. 71), é uma “modalidade de estudo
que se propõe a realizar análises históricas e/ou revisão de estudos ou processos tendo como
material de análise documentos escritos e/ou produções culturais garimpados a partir de
arquivos e acervos”. Dentre os vários estudos da modalidade de revisão, três foram destacados
pelos autores: a metanálise, os estudos do estado da arte e os estudos tipicamente históricos.
Mais recentemente, o GEPFPM apresentou em um dos maiores eventos de
pesquisa em Educação – Associação Nacional de Pós-Graduação e Pesquisa em Educação
(ANPEd) – as diferentes modalidades de pesquisa de revisão sistemática, denominando-as de
“Mapeamento de pesquisas, estado da arte da pesquisa ou estado do conhecimento, metanálise
e metassíntese” (GEPFPM, 2017). Vale destacar a distinção explicitada pelo grupo em
relação ao equívoco que pode ocorrer entre os estudos de revisão bibliográfica e o de revisão
sistemática:
Embora a revisão sistemática utilize como fonte de dados, à semelhança dos
estudos de revisão bibliográfica, a literatura de um determinado campo ou tema de
estudo, ela diferencia-se da revisão bibliográfica por utilizar um processo metódico
e rigoroso de busca e seleção de fontes primárias, de coleta de dados/informações,
de análise/interpretação, e de sistematização e produção de sínteses integradoras das
evidências encontradas. (GEPFPM, 2017, p. 2, grifo dos autores)
As pesquisas de revisão sistemática quase sempre partem do mapeamento,
aprofundando-se nas temáticas de interesse dos pesquisadores que dele se apropriam.
Fiorentini, Passos e Lima (2016, p. 18) compreendem o mapeamento de pesquisas como
sendo um
[...] processo sistemático de levantamento e descrição de informações acerca das
pesquisas produzidas sobre um campo específico de estudo, abrangendo um
determinado espaço (lugar) e período de tempo. Essas informações dizem respeito
aos aspectos físicos dessa produção (descrevendo onde, quando e quantos estudos
foram produzidos ao longo do período e quem foram os autores e participantes dessa
produção), bem como aos seus aspectos teórico-metodológicos e temáticos.
Fazemos o uso do termo “modalidade”, apoiando-nos no estudo sobre revisão
sistemática do GEPFPM e, nesse caso, cabe destacar que essa modalidade de pesquisa tem se
destacado em diferentes campos de pesquisa, dado o crescimento das produções científicas.
Em especial as pesquisas sobre formação de professores têm sido foco de constante discussão
em seminários e congressos, seja no contexto nacional ou internacional, o que implica na
demanda pela sistematização do conhecimento produzido.
40
Nesta perspectiva, a proposta deste estudo em compreender o tratamento dado ao
conhecimento especializado do professor para ensinar multiplicação nos primeiros anos de
escolarização demandou, numa primeira etapa, sistematizar as teses e as dissertações
brasileiras, cujas temáticas estivessem relacionadas ao PEM nos primeiros anos de
escolarização produzidas em programas de pós-graduação stricto sensu nas áreas de Educação
e Ensino da Capes no período de 2001 a 2012, e, para isso, procedemos inicialmente ao
mapeamento desses estudos.
Ao considerar as temáticas emergentes dessa sistematização, buscamos identificar
as pesquisas que focalizaram aspectos do conhecimento ou saberes do professor que ensina
matemática nos anos iniciais. Com vistas a aprofundar de modo específico os conhecimentos
relativos à multiplicação, optamos por desenvolver uma metassíntese a partir de
especificamente três teses de doutorado, desenvolvidas em contextos de formação inicial ou
continuada.
Segundo Fiorentini e Coelho (2012), a metassíntese representa uma tentativa
sistemática e rigorosa de realização de leituras de segunda ordem acerca das interpretações
encontradas nos estudos qualitativos (de campo) de primeira ordem. Para os autores, essa
modalidade de revisão sistemática envolve duas etapas.
A primeira delas consiste na elaboração de sínteses interpretativas de cada um
dos estudos, extraindo evidências qualitativas acerca do problema “o fenômeno investigado”.
Na segunda etapa, o pesquisador busca confrontar ou contrastar as evidências produzidas na
síntese interpretativa, relacionando-as e produzindo uma síntese integrativa ou
problematizadora do fenômeno investigado.
Mobilizados em identificar aspectos do conhecimento especializado do PEM nos
anos iniciais em pesquisas produzidas em outra perspectiva, que não a do conhecimento
especializado, buscamos apoio nos trabalhos de Coelho (2017), Fiorentini e Coelho (2012),
Fiorentini e Crecci (2017), GEPFPM (2017), que realizaram estudos na modalidade
metassíntese.
A metassíntese, produzida por Fiorentini e Coelho (2012), teve por objetivo
compreender o processo de aprendizagem profissional decorrente da participação do
professor-pesquisador em uma comunidade investigativa. Inicialmente realizaram um
levantamento de 15 pesquisas acadêmicas, cujos autores eram PEM na escola básica, além de
pertencer a um grupo de pesquisa também buscavam realizar discussões de pesquisa sobre a
prática numa perspectiva colaborativa. Realizada a leitura desses trabalhos, os autores
escolheram para a realização de um primeiro ensaio de metassíntese duas dissertações de
41
mestrado que investigaram o problema relacionado à exclusão escolar dos alunos com
dificuldades em matemáticas e as alternativas para enfrentá-lo. Nesse trabalho, Fiorentini e
Coelho (2012) interpretaram e descreveram os indícios de aprendizagem profissional das
professoras-pesquisadoras, mediante análise/interpretação do conteúdo dos textos
dissertativos e produziram uma metassíntese dessas interpretações.
Essa modalidade de revisão sistemática vem sendo discutida por pesquisadores
em diferentes áreas de investigação, e a partir dos estudos de Schreiber et al. (1997), Godfrey
e Denby (2006, p. 32, tradução nossa) apresentam a seguinte compreensão dada ao uso do
termo metassíntese qualitativa, que, para eles:
Metassíntese qualitativa é um termo que tem sido usado para descrever o amálgama
de estudos qualitativos individuais com o objetivo de procurar entender e explicar as
descobertas de um grupo de estudos afins. Não se trata de uma revisão integrada de
literatura qualitativa sobre um tema, nem de uma análise secundária de dados
primários. É uma análise das descobertas dos estudos selecionados incluídos na base
de suas relevâncias para a questão de pesquisa.24
Um outro estudo de metassíntese, produzido por Fiorentini e Crecci (2017)
investigou o modo como as pesquisas brasileiras, no contexto da formação continuada,
concebem e investigam os saberes e os conhecimentos profissionais de PEM e sua relação
com as práticas profissionais. Ao finalizar o mapeamento das 46 teses de doutorado sobre
formação continuada produzidas entre 2001 e 2012, Fiorentini e Crecci (2017) identificaram
13 estudos com foco investigativo nos conhecimentos e nos saberes profissionais do professor
que ensina matemática, constituindo assim, o corpus da revisão sistemática com 13 estudos.
Elaboraram uma síntese interpretativa de cada um deles. As sínteses resultantes foram
organizadas em três grupos de trabalhos afins: enquanto o primeiro grupo constituiu-se de
pesquisas com foco nos saberes/conhecimentos docentes relativos à Educação Estatística; o
segundo grupo, de pesquisas centradas nos conhecimentos docentes relativos ao ensino de
temas específicos de matemática; e o terceiro grupo em três teses que não focaram um
conteúdo específico em seu processo investigativo. Foi produzida uma síntese integrativa de
cada um desses grupos e, para finalizar, realizaram um balanço em que discutem os principais
resultados obtidos, evidenciando possibilidades, limites e desafios da pesquisa acadêmica
acerca da temática investigada.
24 Qualitative meta-synthesis is a term that has been used to refer to the amalgamation of individual qualitative
studies with the aim of seeking to understand and explain the findings of a group of similar studies. It is not an
integrated review of qualitative literature on a topic, nor a secondary analysis of primary data. It is an analysis
of the findings of the included studies selected on the basis of their relevance to the research question
(GODFREY; DENBY, 2006, p. 32).
42
Esses autores apontam para a necessidade de realização de mais estudos de
revisão sistemática na modalidade de metassíntese e destacam algumas de suas possibilidades.
Uma delas relaciona-se à dificuldade de realizar uma metassíntese com muitos trabalhos. Este
tipo de estudo requer leituras e interpretações atentas e circunstanciadas por parte do
pesquisador, fato que pode indicar ser preferível realizar uma metassíntese de dois ou três
trabalhos (ou até de um só trabalho) em detrimento de uma quantidade superior, por exemplo,
a dez estudos (FIORENTINI; CRECCI, 2017).
Nesta pesquisa, assumimos o estudo de metassíntese na perspectiva do GEPFPM
(2017, p. 12), que enfatiza o olhar para o fenômeno investigado a partir de uma outra
perspectiva, especificando o objetivo dessa modalidade de pesquisa:
O objetivo da metassíntese é adquirir maior compreensão e atingir um nível
conceitual ou de desenvolvimento teórico acerca de um tema, problema ou
fenômeno investigado, obtendo um resultado, isto é, uma síntese que vai além do
que foi obtido pelos estudos primários, produzindo novas compreensões e
perspectivas.
Definidos os objetivos e assumindo a metassíntese de pesquisas como a
modalidade de revisão sistemática a ser utilizada nesta tese, no próximo item descrevemos os
procedimentos utilizados na seleção das dissertações e das teses que tomaram como foco de
investigação o professor que ensina matemática nos primeiros anos de escolarização.
2.2 Procedimentos metodológicos
A significativa produção de conhecimento gerada pelas pesquisas acadêmicas
relacionadas à formação de professores evidencia a importância do tema (GATTI;
BARRETO; ANDRÉ, 2011). Entretanto, para perceber os avanços e as carências dessa
produção, este fato também parece apontar para a demanda por estudos que desenvolvam a
sistematização desse conhecimento. Com essa finalidade, os estudos de revisão sistemática
quase sempre partem do mapeamento dessas pesquisas, que, dentre outros aspectos, visa
organizar as principais temáticas de interesse dos pesquisadores envolvidos, o que permite
revelar não apenas temas emergentes, mas também os carentes por aprofundamento teórico-
metodológico.
Assim sendo, o processo experienciado pela pesquisadora desta tese, no âmbito do
Projeto Universal que identificou e mapeou 858 pesquisas (teses e dissertações)25 sobre o
PEM produzidas nos programas de Pós-Graduação stricto sensu das áreas de Educação e
25 O corpus da referida pesquisa está disponibilizado no link https://www.fe.unicamp.br/pf-
fe/pf/subportais/biblioteca/fev-2017/e-book-mapeamento-pesquisa-pem.pdf a toda comunidade acadêmica.
43
Ensino, no período de 2001 a 2012, proporcionou uma maior compreensão das modalidades
de pesquisas envolvendo revisões sistemáticas. Em suas duas fases, o projeto foi desenvolvido
numa perspectiva colaborativa pelos membros do GEPFPM que, dentre outras atividades,
oportunizou estudos e debates realizados em três seminários de discussão, que envolveram a
participação de 38 pesquisadores que atuam com a linha de formação de professores,
abrangendo as cinco regiões brasileiras.
A primeira fase constituiu-se prioritariamente do fichamento26 e do mapeamento
das teses e das dissertações relacionadas ao PEM, e sua formação que foi subdividida em sete
regionais do País27. A partir desse mapeamento produzido, na segunda foram realizados
estudos descritivos e analíticos de temáticas e problemáticas específicas do corpus geral desse
mapeamento. Dentre outras atividades, o projeto oportunizou estudos e debates realizados em
três seminários de discussão.
No primeiro seminário realizado em 2014, a coordenação do Projeto promoveu a
interlocução entre a equipe participante e dois pesquisadores externos, Dra. Paola Sztajn
(Estados Unidos) e Prof. Dr. Sílvio Gamboa (Unicamp). Esses especialistas em Mapeamento
e Estado da Arte da pesquisa puderam contribuir para uma maior aproximação dos
pesquisadores participantes em relação ao objeto de estudo assim como para a discussão da
versão inicial proposta pelo GEPFPM do formulário para o fichamento das teses e das
dissertações.
Marcando o fechamento da primeira fase do Projeto no segundo seminário
realizado em 2015, cada uma das regionais apresentou a primeira versão do mapeamento
descritivo local, os quais receberam avaliações e contribuições de um leitor crítico de outra
regional e de duas pesquisadoras externas: Profa. Dra. Maria do Céu Roldão (Universidade
Católica Portuguesa, Portugal) e a Profa. Dra. Marli André (PUC-SP). Nesse Seminário foi
dado o início à segunda fase do Projeto, ou seja, as discussões e os planejamentos das
propostas de estudos descritivos temáticos e específicos relativos a revisões sistemáticas sobre
o PEM a ser desenvolvidos pelos pesquisadores participantes.
Por fim, no terceiro seminário ocorrido em 2016 foi apresentada uma versão
inicial dos estudos descritivos28 produzidos sobre o PEM. Tais estudos foram apreciados
pelos pesquisadores externos Profa. Dra. Lurdes Serrazina (Instituto Politécnico de Lisboa -
26 O formulário desse fichamento foi produzido no âmbito do Projeto “Mapeamento e estado da arte da pesquisa
brasileira sobre o professor que ensina Matemática” e encontra-se disponibilizado no Apêndice 3. 27Centro-Oeste, Nordeste, Norte, Sul, Minas Gerais, Rio de Janeiro/Espírito Santo e São Paulo.
28 Estudos que foram predefinidos no II Seminário.
44
Portugal) e Profa. Laurizete Ferraguti Passos (PUC-SP), as quais ofereceram contribuições
para o aprimoramento deles em vista de futuras publicações.
Tais estudos e debates foram essenciais para o desenvolvimento e o
aprofundamento do estudo relativo à revisão sistemática da presente pesquisa de doutorado,
mobilizando-nos a investigar sobre o conhecimento especializado a partir das pesquisas
emergentes desse projeto, restringindo-nos às teses e às dissertações relativas ao PEM nos
anos iniciais.
Na condição de participante e secretária do Projeto Universal, estivemos imersos
nesse processo e, então, estabelecemos um primeiro recorte que nos permitisse identificar
todas as pesquisas relacionadas ao PEM nos anos iniciais desenvolvidas nos diferentes
contextos formativos, assim como as pesquisas relativas ao PEM nos anos iniciais, que,
embora não centrassem suas análises nos processos de formação inicial e/ou continuada,
investigaram outros aspectos do PEM nos anos iniciais (FIORENTINI; PASSOS; LIMA,
2016).
Considerando nosso interesse em investigar o conhecimento especializado do
PEM nos anos iniciais, de modo especial no âmbito da multiplicação, inicialmente
procedemos a um mapeamento das pesquisas que envolveram esses professores no período de
2001 a 2012. Este mapeamento permitiu que tivéssemos uma visão panorâmica das
dissertações e das teses relativas ao PEM nos anos iniciais produzidas nesse período. Isso
posto, ao focar no conhecimento especializado do PEM nos anos iniciais, encontramos em
Carrillo et al., 2013 e em Carrillo, 2014 uma possibilidade para análise dos trabalhos à luz do
modelo Mathematics Teacher’s Specialized Knowledge – MTSK. Desse modo ressaltamos
que, embora o corpus contemple estudos produzidos entre os anos de 2001 e 2012, a
teorização de nossas análises é de 2013. Reconheço que, apesar de ter vindo ao encontro das
minhas necessidades epistemológicas, analisar estudos produzidos entre 2001 e 2012 a partir
das lentes do MTSK tornou-se um trabalho desafiador, uma vez que só, recentemente, ao final
de 2016 havia tomado conhecimento dessa teoria, além do que se trata de uma teorização
posterior às utilizadas nos estudos produzidos naquele período.
A seguir apresentamos um esquema das principais etapas do mapeamento relativo
ao PEM nos anos iniciais. Inicialmente partimos do mapeamento geral, de um universo de
858 trabalhos, até definirmos o nosso corpus de três teses de doutorado, dentre as quais
realizamos um estudo metassintético. Essa sistematização se realizou em quatro etapas,
conforme elucida a Figura1.
45
Figura 1- Etapas desenvolvidas para a definição do corpus do estudo metassintético
Fonte: Elaborada pela pesquisadora
O esquema sintetiza as quatro etapas realizadas nesta pesquisa, que vai desde a
sistematização das 229 pesquisas sobre o PEM nos anos iniciais até a seleção das três teses de
doutorado metassintetizadas no capítulo 4, que são descritas a seguir.
2.2.1 PEM nos anos iniciais: primeira etapa da seleção das pesquisas
Com o intuito de obter uma visão panorâmica da produção das teses e das
dissertações brasileiras sobre o PEM nos anos iniciais, realizamos um mapeamento daquelas
produzidas nos programas de Pós-Graduação stricto sensu das áreas de Educação e Ensino, no
período de 2001 a 2012. Para isso, efetuamos a busca no banco de dados elaborado,
coletivamente, pelos participantes do Projeto Universal. Esse banco de dados consistia em
uma planilha do programa Excel, que continha as principais informações das 858 pesquisas
organizadas nos seguintes campos:
Regional
Instituição
Modalidade/Nível: Mestrado Acadêmico (MA), Mestrado
Profissional (MP), Doutorado (DO)
Ano (Defesa)
Referência (Cf ABNT)
46
Título Pesquisa
Autor
Orientador
Link do fichamento
Link do trabalho completo.
Assim, para selecionar as teses e as dissertações relacionadas de modo específico
ao PEM nos anos iniciais, procedemos à análise desse Banco de Dados em três momentos: (a)
busca por títulos contendo termos específicos, (b) (re)leitura dos títulos, (c) leitura dos
resumos.
(a) Busca por termos específicos no título
No primeiro momento, utilizamos o recurso de filtro do Excel para realizar, no
título das pesquisas disponibilizadas no acervo do Projeto Universal, uma busca por termos
que acreditamos contemplar os aspectos relativo ao PEM nos anos iniciais: anos iniciais,
séries iniciais29, polivalente, pedagogo(a), pedagogia, formação, professor generalista,
primeiros anos do Ensino Fundamental, professor não especialista. Nesse momento, cada
estudo identificado com pelo menos um desses termos teve sua linha destacada e, a princípio,
foram pré-selecionados como possíveis pesquisas a compor o mapeamento deste estudo.
De modo semelhante a Melo (2013), decidimos não nos limitar apenas aos termos
citados anteriormente, para identificar os estudos que nos interessavam e, desse modo
consideramos pertinente analisar, num segundo momento, o título dos trabalhos que não
tiveram suas linhas destacadas no momento anterior.
(b) (Re)leitura dos títulos
A (re)leitura dos títulos realizada no segundo momento, justifica-se pela
percepção da pesquisadora em relação a alguns títulos de pesquisas, que, embora não
contivessem os termos definidos a priori, ainda assim poderiam ter o PEM nos anos iniciais
como foco temático e, portanto, precisariam ser incluídas no mapeamento inicial desta
pesquisa. Trazemos como exemplo as seguintes investigações intituladas: “Professores em
contexto formativo: um estudo do processo de mudanças de concepções sobre o ensino da
matemática” ou “Aprendendo e ensinando o sistema de numeração decimal: uma contribuição
29Ao considerarmos o intervalo de tempo das pesquisas analisadas, salientamos que houve uma mudança no
sistema educacional, especialmente no Ensino Fundamental, de oito séries para nove anos. Por isso os dois
termos “séries” e “anos” iniciais foram contemplados na busca.
47
à prática pedagógica do professor”. Ambas não continham os termos definidos a priori,
entretanto essas duas pesquisas envolviam o PEM dos anos iniciais e, portanto, foram
incluídas como possíveis estudos relativos ao foco temático.
Ao final dessa primeira seleção, foram identificados 244 trabalhos com
possibilidades de pertencimento deste mapeamento. A expressão “com possibilidades de
pertencimento” justifica-se pelo fato de que mesmo alguns títulos contendo determinados
termos, como por exemplo “formação”, nem sempre se referiam a estudos relacionados ao
PEM nos anos iniciais. Um desses casos ocorreu com a pesquisa intitulada “O estágio na
Licenciatura em Matemática: um espaço de formação compartilhada de professores”
(ANDRADE, 2012) que, tendo por foco a aprendizagem na docência, objetivou analisar as
potencialidades de um trabalho compartilhado entre professores de Matemática e futuros
professores. Nessa pesquisa o termo “formação” que consta do título relaciona-se com o
futuro professor de Matemática30 e, deste modo, por não contemplar o PEM nos anos iniciais,
seria posteriormente excluída do mapeamento.
(c) Leitura dos resumos
Identificadas as possíveis pesquisas relacionadas ao PEM nos anos iniciais, no
terceiro momento procedemos à leitura dos resumos de cada um dos 244 estudos,
confrontando com os fichamentos produzidos em uma das fases do Projeto Universal por seus
integrantes. Em alguns casos o confronto entre esses dois documentos (fichamento e resumo)
relativo às pesquisas foi salutar para definir sua pertença ao conjunto de trabalhos, visto que
nem sempre o resumo apresentava as informações necessárias para definir a sua inserção.
Ao fim desse processo de releitura documental, identificamos 229 pesquisas que
constituíram essa etapa de seleção das pesquisas relativa ao PEM nos anos iniciais, cuja
caracterização descreveremos na sequência.
Caracterização da produção acadêmica sobre o PEM nos anos iniciais (2001-2012)
A partir do levantamento realizado, encontramos 229 trabalhos, ou seja, quase
27% das pesquisas brasileiras produzidas relativas ao PEM nos primeiros anos de
30 Considerado professor especialista de Matemática, que normalmente, leciona a disciplina de matemática na
Educação Básica do 6º ao 9º ano do Ensino Fundamental ou no Ensino Médio.
48
escolarização, sendo 45 teses de doutorado, 161 dissertações de mestrado acadêmico e 23
dissertações de mestrado profissional, conforme pode ser observado na Figura 2.
Figura 2 - Distribuição das teses e das dissertações brasileiras sobre PEM nos anos
iniciais e sua formação, produzidas no período de 2001 a 2012
Fonte: Elaborada pela pesquisadora
Conforme a Figura 2, as teses de doutorado constituem aproximadamente 20%
das pesquisas brasileiras sobre o PEM nos primeiros anos de escolarização, enquanto as
dissertações equivalem a pouco mais 80% das pesquisas, dessas, 87,5% produzidas no âmbito
do Mestrado Acadêmico e 12,5% no Mestrado Profissional. Cabe destacar as regiões
brasileiras em que se deu essa produção, para que possamos identificar não somente as
regiões em que há escassez de pesquisas relativas aos anos iniciais do PEM, mas também
onde há uma maior concentração dessas pesquisas.
O Quadro 1 apresenta uma síntese da distribuição das 229 pesquisas em que
organizamos os estudos segundo a modalidade/nível e ano em que foram produzidas as
pesquisas relativas ao Professor que ensina matemática nos anos iniciais de escolarização.
49
Quadro 1- Distribuição anual, por modalidade, das pesquisas sobre o PEM nos anos iniciais
produzidas de 2001 a 2012
Ano Sul Centro-Oeste Sudeste Nordeste Norte
Total
%
MA MP DO MA MP DO MA MP DO MA MP DO MA MP DO
2001 - - - - - - 1 - - - - - - - - 1 0.44
2002 - - - - - - 2 - 1 - - - - - - 3 1.31
2003 3 - - - - - 3 - 2 - - - - - - 8 3.49
2004 - - - - - - 2 - 1 - - - 1 - - 4 1.75
2005 1 - - 1 - - 1 - 3 - 1 - - - - 7 3.06
2006 1 - - 3 - - 5 2 1 3 - - - - - 15 6.55
2007 3 - 1 2 - - 6 3 4 3 - 1 1 - - 24 10.48
2008 4 - 1 2 - - 9 4 3 4 - 1 1 - - 29 12.66
2009 9 - 2 7 - 1 8 1 4 1 - 2 1 - - 36 15.72
2010 7 - - 3 - - 9 4 1 3 - - 1 - - 28 12.23
2011 1 - 1 1 - - 7 2 4 8 2 2 - - - 28 12.23
2012 6 1 1 3 - 1 15 3 6 8 - 1 1 - - 46 20.09
Sub 35 1 6 22 - 2 68 19 30 30 3 7 6 - - 229 100
Total 42 24 117 40 6 229 100
Fonte: Organizado pela autora desta pesquisa.
Os dados apresentados no Quadro 1 evidenciam dois aspectos que merecem ser
destacados. O primeiro deles refere-se ao ínfimo número de pesquisas produzidas sobre o
PEM nos anos iniciais no período de 2001 a 2005, totalizando 23 pesquisas em cinco anos,
indicando assim uma média inferior a cinco pesquisas/ano. O segundo aspecto refere-se ao
crescimento da produção de pesquisas sobre o PEM nos anos iniciais no período coincidente
ao recorte temporal dessa pesquisa, visto que, em 2011, apenas uma pesquisa fora produzida e
no ano de 2012 houve um salto para 46 trabalhos, o que representa 60% do total dessas
pesquisas, ou seja, 139 foram defendidas nos quatro últimos anos desse mapeamento (2009 –
2012).
Em relação às dissertações de mestrado, podemos evidenciar a concentração de
pesquisas na região sudeste, com 87 trabalhos produzidos, ou seja, mais de 47% das
dissertações brasileiras sobre o PEM nos anos iniciais, sendo 68 delas na modalidade
acadêmico e 19 na modalidade profissional. O Sul foi a segunda região com maior número de
dissertações (36) produzidas: 35 MA e um MP. Na sequência, a região nordeste com 33
dissertações (30 MA e 3 MP); a região centro-oeste com 22 dissertações de mestrado
acadêmico, e a região norte com 6 dissertações de mestrado acadêmico.
A primeira pesquisa de doutorado identificada sobre o professor que ensina
matemática nos anos iniciais deste período foi produzida na região sudeste no ano de 2001.
50
Embora não seja proposta desse trabalho fazer um histórico dos programas de pós-graduação,
cabe salientar que essa foi a região em que surgiram os primeiros programas de doutorado no
País (FIORENTINI, 1994; FIORENTINI; PASSOS; LIMA, 2016). Outro aspecto a ser
observado é que 30 teses de doutorado foram produzidas na região sudeste, o que equivale a
65% do total de teses produzidas no período, sendo as outras 16 distribuídas entre o Sul, o
Nordeste e o Centro-Oeste.
Vários outros aspectos poderiam ser descritos acerca desse conjunto de pesquisas,
entretanto, para não distanciarmos do foco do nosso objeto de estudo – o conhecimento
especializado do PEM no âmbito da multiplicação –, a seguir apresentamos o caminho
percorrido que nos conduziram até o processo metassintético elaborado nesta pesquisa.
2.2.2 Focos temáticos das pesquisas sobre o PEM nos anos iniciais: um olhar em busca do
conhecimento
Ao realizar uma primeira leitura dos resumos das 229 pesquisas, observamos que
seus focos de estudo se aproximavam daqueles elencados por Fiorentini, Passos e Lima
(2016) e Nacarato et al. (2016), ao discutirem, respectivamente, o PEM como campo de
estudo e as tendências temáticas da pesquisa brasileira que tem o PEM como campo de estudo
decorrentes do Projeto Universal. Assim sendo, buscamos apoio nos focos investigativos
indicados e discutidos nessas pesquisas, ressaltando, porém, que, tendo em vista as
especificidades das pesquisas brasileiras sobre o PEM nos anos iniciais, por vezes eram
necessárias algumas adaptações para proceder ao mapeamento desses 229 estudos.
A princípio, organizamos as 229 pesquisas a partir dos focos indicados no
fichamento produzido no âmbito do Projeto Universal. A partir dessa organização, fizemos a
leitura dos resumos das pesquisas integrantes de cada um dos focos e sempre que
observávamos aproximações das pesquisas em outros focos além daquele já indicado no
fichamento, optamos por descrevê-las nos dois e, por vezes, nos três dos focos dos quais mais
se aproximavam, o que, em nosso entendimento, permitiria que o estudo possa ser
identificado e acessível aos pesquisadores que a procuram.
Novamente, para que não nos distanciemos do nosso objeto de estudo – o
conhecimento especializado sobre multiplicação do PEM nos anos iniciais –, apresentamos
os sete focos de estudo em que mapeamos o conjunto das 229 pesquisas relacionadas ao PEM
nos anos iniciais e sua respectiva quantidade de trabalhos. A somatória da quantidade de
trabalhos em cada um dos focos ultrapassou a quantidade de 229 pesquisas, uma vez que
alguns deles haviam sido relacionados em mais de um foco de estudo.
51
(a) Saberes docentes e Conhecimentos do PEM nos anos iniciais – 95 pesquisas.
(b) Aprendizagem docente e desenvolvimento profissional do PEM nos anos
iniciais – 78 pesquisas.
(c) Atitudes, crenças, concepções e representação do PEM nos anos iniciais – 57
pesquisas.
(d) Cursos, licenciaturas e programas de formação inicial relativos ao PEM nos
anos iniciais – 14 pesquisas.
(e) História na/da formação do PEM nos anos iniciais – 13 pesquisas.
(f) Características e condições do trabalho docente, inclusive saúde ou estresse do
PEM nos anos iniciais – 5 pesquisas.
(g) Identidade e a profissionalidade docente do PEM nos anos iniciais – 3
pesquisas.
Considerando o nosso interesse em investigar o conhecimento especializado do
PEM no âmbito da multiplicação e a identificação nesta etapa de 95 pesquisas relacionadas ao
foco (a) Saberes docentes e conhecimento do PEM nos anos iniciais, isso nos a constatar a
demanda por um novo recorte, de modo a viabilizar o desenvolvimento de uma metassíntese
com poucos estudos. No próximo item apresentamos os procedimentos utilizados na etapa
final para chegar \à seleção das três teses.
2.2.3 Saberes e conhecimento do PEM nos anos iniciais: uma aproximação das teses em
busca da multiplicação
Em relação à modalidade das 95 pesquisas selecionadas na etapa anterior,
identificamos 71 estudos de mestrado e 24 de doutorado. Assim, ao identificar 24 teses de
doutorado relacionadas ao foco Saberes docentes e conhecimentos do PEM nos anos iniciais,
optamos por selecionar, dentre elas, aquelas que tratassem, de modo mais específico, dos
diferentes aspectos do conhecimento matemático31 do PEM nos anos iniciais. Esta opção
ancora-se na hipótese de que o maior tempo destinado aos estudos de doutorado32 pode
proporcionar às investigações realizadas um embasamento teórico e analítico mais profundo
e, portanto, produzir resultados e compreensões que atendam aos propósitos da presente
pesquisa, no sentido de identificar conhecimentos especializados para ensinar multiplicação
nos anos iniciais de escolarização.
Dessa forma, com o intuito de localizar as teses de nosso interesse, revisitamos
cada um dos 24 resumos e, quando necessário, recorríamos aos trabalhos completos.
31 Independentemente do conteúdo/tema matemático. 32 O que indica um maior tempo para o desenvolvimento da pesquisa.
52
Nessa etapa, identificamos 12 teses, cujas investigações desenvolvidas em
diferentes contextos de formação33 apresentavam discussões ou análises relativas a
determinados temas matemáticos que, por proximidade de assunto, foram organizadas em
quatro subgrupos, sendo esses apresentados no momento do exame de qualificação, como
possíveis estudos para aprofundamento. O Quadro 2 apresenta as teses selecionadas nessa
etapa.
Quadro 2 - Distribuição das teses identificadas no foco Saberes docentes e conhecimentos do PEM nos
anos iniciais, por temas matemáticos.
Tema Ano Autor Instituição Título
Sis
tem
a d
e n
um
eraçã
o d
ecim
al
e
Oper
açõ
es
2009 MEGID, M. A. B. A. Unicamp
Formação inicial de professoras mediada pela
escrita e pela análise de narrativas sobre
operações numéricas
2009 SANTOS, M. B. Q.
C. P. dos PUC-SP Ensino da Matemática em cursos de Pedagogia: a
formação do professor polivalente
2009 SILVA, S. A. F. da UFES Aprendizagens de professores num grupo de
estudos sobre Matemática nas séries iniciais
2011 FREIRE, R. S. UFC Desenvolvimento de conceitos algébricos por
professores dos anos iniciais do Ensino
Fundamental
2012 AZEVEDO, P. D. de
UFSCar
O conhecimento matemático na Educação Infantil:
o movimento de um grupo de professoras em
processo de formação continuada
2012 MERLINI, V. L.
PUC-SP
As potencialidades de um processo formativo
para a reflexão na e sobre a prática de uma
professora das séries iniciais: um estudo de caso
2012 SANTOS, A. dos PUC-SP Processos de formação colaborativa com foco no
Campo conceitual Multiplicativo: um caminho
possível com professores polivalentes
Geo
met
ria
2009 SILVA, S. A. F. da UFES Aprendizagens de professores num grupo de
estudos sobre Matemática nas séries iniciais
2011 LAMONATO, M. UFSCar A exploração-investigação Matemática:
potencialidades na formação contínua de
professores
2012 AZEVEDO, P. D. de
UFSCar
O conhecimento matemático na Educação Infantil:
o movimento de um grupo de professoras em
processo de formação continuada
Est
atí
stic
a
2003 LOPES, C. A. E.
Unicamp
O conhecimento profissional dos professores e suas
relações com estatística e probabilidade na
Educação Infantil
2011 LEMOS, M. P. F.
PUC-SP
O desenvolvimento profissional de professores do
1º ao 5º ano do Ensino Fundamental em um
processo de formação para o ensino e a
aprendizagem das medidas de tendência central
2011 RODRIGUES, J. M.
S. UFPR
A probabilidade como componente curricular na
formação Matemática inicial de professores
polivalentes
2012 AZEVEDO, P. D. de
UFSCar
O conhecimento matemático na Educação Infantil:
o movimento de um grupo de professoras em
processo de formação continuada
33 Sendo duas delas desenvolvidas a partir de um mesmo processo formativo (Merlini, 2012 e Santos, 2012)
53
Med
idas
2008 CUNHA, Micheline
Riscallah Kanaan da Unicamp
Estudo das elaborações dos professores sobre o
conceito de medida em atividades de ensino
Fonte: Organizado pela pesquisadora
A partir desse recorte, realizamos uma leitura transversal das teses que integravam
o tema Sistema de numeração decimal e Operações.
Tendo em vista nosso objetivo de descrever e analisar os indícios de
conhecimento especializado do professor para ensinar multiplicação nos primeiros anos de
escolarização e que se encontram subjacentes ou presentes em pesquisas brasileiras
produzidas nos programas de pós-graduação stricto sensu nas áreas de Educação e Ensino,
no período de 2001 a 2012, optamos por analisar com maior profundidade três teses de
doutorado que abordaram este conteúdo. Duas delas, a de Merlini (2012) e Silva (2009) foram
desenvolvidas em contexto de formação continuada; e a de Megid (2009), em contexto da
formação inicial.
Embora a tese de Santos (2012) também apresente contribuições para o estudo do
conhecimento especializado do PEM sobre multiplicação, escolhemos, devido ao reduzido
espaço-tempo que dispúnhamos para o desenvolvimento da pesquisa de doutorado, priorizar a
revisão sistemática de três teses que tivessem sido desenvolvidas a partir de processos
formativos diferenciados.
Deste modo, definidas as três teses que integram nosso estudo metassintético –
Megid (2009), Silva (2009) e Merlini (2012) – passamos, a seguir, a descrever os
procedimentos metodológicos utilizados no desenvolvimento da metassíntese.
Procedimentos de análise das três teses constituintes do corpus da metassíntese
Para proceder à síntese interpretativa, primeiramente realizamos uma leitura na
íntegra de cada uma das teses, a partir da qual identificamos os principais elementos
considerados contributivos para compreender o conhecimento especializado do PEM nos anos
iniciais em relação à multiplicação. Na sequência, revisitamos cada uma das teses, elaborando
um fichamento analítico34, levando em conta os principais aspectos relativos:
à trajetória da pesquisadora;
34 A elaboração dos fichamentos analíticos e a produção da síntese interpretativa seguiram a mesma ordem das
teses conforme indicado no Quadro 2: Iniciamos por Megid (2009) seguida da de Silva (2009) e, ao final, a de
Merlini (2012).
54
ao caminho e aos procedimentos metodológicos;
às principais bases teóricas;
ao processo formativo investigado (tarefas, temas matemáticos abordados,
episódios relativos à multiplicação, resultados relativos à multiplicação,
dentre outros);
aos excertos sobre multiplicação.
Ao finalizar o fichamento analítico de cada tese, foi produzida sua síntese
interpretativa que, de modo geral, inicialmente tencionou contextualizar a pesquisa,
envolvendo os principais aspectos metodológicos da investigação e do processo formativo,
além de uma breve trajetória das pesquisadoras-formadoras.
Enquanto as sínteses interpretativas das teses de Megid (2009) e Silva (2009)
tenham sido distribuídas em quatro tópicos35, a de Merlini (2012) foi subdividida em apenas
dois. Isso se justifica uma vez que, embora já tivéssemos elaborado o fichamento analítico da
tese de Merlini, não havíamos produzido sua síntese interpretativa na data proposta para o
depósito da versão a ser enviada à banca de defesa desta pesquisa. Apesar de compreender a
relevância da pesquisa de Merlini (2012) para o nosso estudo, o tempo demandado nas
análises e nas sínteses interpretativas das duas primeiras teses foi maior que o previsto, o que,
de certa forma, influenciou na redução do tempo destinado à produção da síntese
interpretativa da terceira tese.
Entretanto, foi sugerida por alguns integrantes da banca de defesa, a pertinência
da inclusão do estudo de Merlini (2012) no corpus de análise da pesquisa, tendo em vista que
ela traz outros elementos do conhecimento especializado do professor que não estavam
presentes nos dois estudos anteriores. Assim sendo, tendo em vista o prazo de 60 dias para o
depósito final da Tese, produzimos a síntese interpretativa da tese de Merlini, centrando foco
em dois aspectos: no processo metodológico da investigação e no processo formativo,
destacando o conhecimento especializado para ensinar multiplicação. Após finalizar a síntese
interpretativa de Merlini (2012), revisitamos as sínteses interpretativas de Megid (2009) e de
Silva (2009) e passamos a produzir uma síntese integrativa dos três estudos.
Ao iniciar as sínteses interpretativas, a princípio pensamos em denominar os itens
relativos a cada uma das teses de modo a identificar as características marcantes utilizadas em
35 Trajetória da pesquisadora e conexões com o problema investigado; a estrutura e o caminho da pesquisa;
alguns aspectos metodológicos da investigação e o processo formativo; Conhecimento especializado para ensinar
multiplicação: alguns indícios identificados na Tese.
55
suas pesquisas propondo-nos, por exemplo, a intitulá-las de Percursos narrativos e
explorações matemáticas do estudo de Megid (2009); O caminhar e as metáforas de Silva
(2009); e, Reflexões da professora Maria no estudo de Merlini (2012). Entretanto ao
apresentar tal proposta como possível caminho para a estrutura da síntese interpretativa ao
orientador e, em interlocução, aos pares do grupo PraPEM, foi possível perceber que esse
talvez não fosse um bom caminho. Entendemos que tal estrutura, se por um lado poderia
proporcionar uma identidade a cada uma das teses, por outro dificultaria ao leitor perceber as
convergências ou as divergências entre os mesmos aspectos das diferentes teses.
Isso posto, cada uma das sínteses interpretativas foi identificada por:
Síntese interpretativa do estudo de Megid (2009).
Síntese interpretativa do estudo de Silva (2009).
Síntese interpretativa do estudo de Merlini (2012).
Assim, apoiados em Fiorentini e Crecci (2017), ressaltamos que essas sínteses
interpretativas não se constituem de resumos, mas de uma elaboração construída pela
pesquisadora a partir da análise e da interpretação de cada uma das teses, evidenciando os
principais aspectos que interessam ao processo de metassíntese desta pesquisa.
Para a elaboração das sínteses interpretativas, criamos nossas próprias
interpretações a partir de excertos36 relativos a diferentes aspectos sobre o conhecimento do
PEM nos anos iniciais sobre multiplicação, identificados em cada uma das teses.
Finalizadas as sínteses interpretativas das três teses, procedemos à produção da
síntese integrativa, onde procuramos evidenciar os conhecimentos especializados para o
ensino de multiplicação em busca de produzir uma compreensão acerca do tratamento dado
por pesquisas brasileiras no período de 2001 a 2012.
No próximo capítulo, trazemos uma discussão teórica acerca do ensino de
multiplicação e do conhecimento especializado do professor com um olhar na multiplicação, a
qual contribuiu sobremaneira para identificar o conhecimento especializado do PEM nos anos
iniciais sobre multiplicação nas teses metassintetizadas.
36 Pré-selecionados no decorrer da elaboração do fichamento analítico.
56
CAPÍTULO 3 - CONHECIMENTO ESPECIALIZADO DO PROFESSOR QUE
ENSINA MATEMÁTICA: um olhar para a multiplicação
No movimento que se estabelece no desenvolvimento de uma pesquisa, é
fundamental a realização de escolhas teórico-metodológicas para o encaminhamento do
estudo que se quer proceder. Nesse sentido, à medida que realizávamos as leituras das
pesquisas brasileiras sobre formação, sobretudo as que tratavam do conhecimento relativo às
operações aritméticas e, em especial, as teses que abordaram a multiplicação, consideramos
pertinente trazer uma discussão teórica que verse sobre dois aspectos.
Um deles refere-se ao campo de conhecimento da multiplicação para o ensino e
aprendizagem escolar nos anos iniciais. O outro é relativo ao conhecimento profissional do
PEM37, em que discorremos sobre as bases teóricas que consideramos contributivas para
analisar e compreender os problemas revelados nas pesquisas brasileiras sobre o
conhecimento especializado do professor para ensinar multiplicação nos anos iniciais de
escolarização. Em relação ao conhecimento especializado, optamos em apresentar e discutir o
modelo Mathematics Teacher’s Specialized Knowledge (Carrillo et al., 2013), cuja sigla
MTSK dirá respeito também à expressão em português: Conhecimento especializado do
professor que ensina matemática.
A princípio, apresentamos um breve panorama da formação do PEM nos
primeiros anos de escolarização com vistas a compreender a base sobre a qual vem se
construindo o conhecimento matemático necessário ao professor ou futuro professor no atual
contexto brasileiro.
3.1 Panorama da formação do professor que ensina matemática nos anos iniciais
Para discutir sobre o conhecimento profissional do PEM, que atua neste nível de
ensino, apresentamos inicialmente a organização da Educação Básica no Brasil, de modo a
compreender as diretrizes que orientam a formação do professor, sujeitos desta pesquisa.
Quanto à organização, o sistema educacional brasileiro é composto por dois níveis
escolares: Educação Básica e Educação Superior e, embora essa composição não seja
novidade, cabe destacar algumas alterações postas pela nova Lei de Diretrizes e Base da
Educação (LDB) nº 9.394/1996, que nos encaminha a importantes reflexões sobre o PEM e
37 Em nossa pesquisa, sempre que utilizarmos a expressão “PEM”, estaremos nos referindo ao professor que
ensina matemática nos anos iniciais da Educação Básica, considerando neste estudo como uma etapa que
contempla a Educação Infantil e os cinco primeiros anos do Ensino fundamental.
57
sua formação. Uma delas refere-se à inserção da Educação Infantil como etapa da Educação
Básica; e a outra, à formação docente mínima dos professores que atuam nos primeiros anos
de escolarização.
A partir da promulgação da lei nº 9.394/1996, a Educação Básica, anteriormente
formada somente pelo Ensino Fundamental e Ensino Médio, passou a incluir a Educação
Infantil, conforme o artigo 29: “A educação infantil, primeira etapa da educação básica, tem
como finalidade o desenvolvimento integral da criança até seis anos de idade, em seus
aspectos físico, psicológico, intelectual e social, completando a ação da família e da
comunidade” (BRASIL, 1996).
A inserção da Educação Infantil como etapa da Educação Básica trata-se de uma
conquista obtida após longos anos de enfrentamento e desafios postos pelo reconhecimento
dessa etapa de ensino. Tendo em vista que a Constituição Federal assegura aos trabalhadores
o direito à assistência gratuita aos filhos e aos dependentes de 0 a 6 anos de idade em creches
e pré-escolas, Garcia (2006) destaca o caráter educacional que passam a ter as creches e as
pré-escolas para além do assistencial, uma vez que as instituições de Educação Infantil
desvinculam-se da assistência social e passam a integrar a Educação Básica.
Com o reconhecimento da Educação Infantil como parte integrante da Educação
Básica, revelam-se novas exigências à formação e à profissionalização docente uma vez que
se observa uma preocupação com o aprimoramento do trabalho deste profissional em diversas
áreas do conhecimento na rotina da Educação Infantil (AZEVEDO, 2012; BRASIL, 1998).
Neste contexto, segundo o Referencial Curricular para a Educação Infantil
(BRASIL, 1998), são definidos os objetivos e os conteúdos relativos ao ensino de matemática,
de modo que sua abordagem, para a faixa etária de 0 a 3 anos, tenha como meta
“proporcionar oportunidades para que as crianças desenvolvam a capacidade de: estabelecer
aproximações a algumas noções matemáticas presentes no seu cotidiano, como contagem,
relações espaciais, etc.” (BRASIL, 1998, p. 216). Essa finalidade deve ser aprofundada e
ampliada para a faixa de quatro a seis anos, com o intuito de garantir oportunidades para
comunicação das ideias matemáticas e confiança de suas estratégias.
A Resolução nº 5, de 17 de dezembro de 2009, fixa as diretrizes curriculares
nacionais para a Educação Infantil, concebendo o currículo como um:
Conjunto de práticas que buscam articular as experiências e os saberes das crianças
com os conhecimentos que fazem parte do patrimônio cultural, artístico, ambiental,
científico e tecnológico, de modo a promover o desenvolvimento integral de
crianças de 0 a 5 anos de idade. (BRASIL, 2010, p.12)
58
A pesquisa de Lopes (2003, p. 19) levanta uma discussão sobre o currículo e os
educadores matemáticos na Educação Infantil. Ele destaca que “os profissionais da Educação
Infantil devem ser competentes em suas tarefas, considerando o momento sócio-histórico de
um mundo complexo e contraditório”, e acrescenta que esta etapa da Educação Básica requer
um currículo integrado uma vez que a percepção de mundo tida pela criança se dá de forma
holística, no lugar de compreendê-lo como um conhecimento isolado, visão essa reforçada por
Bujes (2001) e Oliveira (2002) e Zabalza (1987).
De modo mais específico, ao investigar as contribuições de um processo
formativo, voltado à produção e à ressignificação de conhecimentos matemáticos e
metodológicos com professores de Educação Infantil, Azevedo (2012, p. 158) aponta que nem
sempre os “professores têm consciência de todos os conceitos matemáticos envolvidos nas
brincadeiras, nas histórias infantis, ou nos materiais pedagógicos”.
Assim sendo, a partir dessas considerações, há de se destacar a importância do
educador/professor que atua na Educação Infantil, salientando uma responsabilidade mais
ampla, em relação ao currículo. Entretanto, pesquisas recentes vêm apontando e enfatizando
as fragilidades postas à formação dos professores, em especial, quanto ao conhecimento do
professor que ensina matemática nos anos iniciais, seja no âmbito da formação inicial
(AMARAL, 2007; BIAJONE, 2006; GUIMARÃES, 2005; MOTA, 2012; SANTOS, 2009)
ou na formação continuada (AZEVEDO, 2012; GIMENES, 2006; LOPES, 2003;
MARQUESIN, 2007).
3.2 Campo de conhecimento da multiplicação para o ensino e a aprendizagem escolar
nos primeiros anos de escolarização
Para uma compreensão mais aprofundada sobre o conhecimento do PEM
relacionado à multiplicação, surgiu a necessidade de tecer uma discussão teórica acerca do
campo de conhecimento da multiplicação para o ensino e aprendizagem no âmbito escolar a
qual passa a ser tratada nesta seção.
Com base na literatura, encontramos estudos que assumem como identidade da
multiplicação um método geral comum, no qual podemos considerar uma abordagem
tradicional do professor no processo de ensino da operação de multiplicação como tendo o
sentido de adição de parcelas iguais (BORBA et al., 2008; MAGINA; SANTOS; MERLINI,
2014; MENDES; BROCARDO; OLIVEIRA, 2013).
Embora o ensino dessa operação no sentido de parcelas iguais seja também
encontrado nas orientações curriculares de caráter internacional, como expresso no
59
documento National Council of Teacher’s of Mathematics – NCTM – (2000), é indicado que
se aprofunde a sua compreensão. Esse documento destaca aspectos gerais a serem valorizados
na abordagem da multiplicação em dois momentos: nos três primeiros anos de escolarização
devem ser exploradas diversas situações relacionadas à multiplicação, com ênfase às que
correspondem à soma de grupos iguais (concepção da operação de multiplicação pela
operação de adição – adição de parcelas iguais); do 3º ao 5º anos, propõe-se um
aprofundamento na compreensão da multiplicação, uma vez que, nesses anos de
escolarização, ocorre um aumento considerável dos números, bem como se amplia o universo
de conjuntos numéricos, como por exemplo para o conjunto dos racionais positivos
representados na forma decimal.
Mendes, Brocardo e Oliveira (2013) pautam-se nos estudos de Verschaffel, Greer
e Corte (2007), ao afirmarem a ampla investigação que vem sendo realizada desde os anos 90
do século XX sobre a aprendizagem das operações aritméticas, especificamente, com foco em
turmas ou pequenos grupos de alunos que interagem em sala de aula. Fuson (2003) destaca
que, dentre esses estudos, foi identificada uma quantidade inferior de trabalhos relacionados
às operações de multiplicação e divisão.
Mendes (2012) ressalta a importância de que o ensino e a aprendizagem da
multiplicação sejam realizados numa perspectiva em que se considere o desenvolvimento do
sentido de número. Ainda que essa expressão tenha um significado muito amplo e seja
utilizada em contextos distintos, o desenvolvimento do sentido de número é considerado
fundamental pelos educadores matemáticos, e tem sido referido, em documentos curriculares
diversos, como um dos objetivos centrais da aprendizagem da matemática, especificamente
nos anos iniciais de escolarização. Dentre as caracterizações referidas em diferentes estudos,
destacamos a proposta de McIntosh, Reys e Reys (1992, p. 3):
O sentido de número refere-se a uma compreensão geral do indivíduo sobre os
números e as operações juntamente com a capacidade e predisposição para usar essa
compreensão de modo flexível para fazer juízos matemáticos e para desenvolver
estratégias úteis na manipulação dos números e das operações. Reflete uma
capacidade e uma predisposição para usar os números e os métodos de cálculo como
um meio de comunicação, processamento e tratamento de informação.
Independentemente do contexto formativo em que se encontra o PEM nos anos
iniciais, há que se rediscutir o conhecimento do conteúdo matemático a ser trabalhado nesses
contextos. É importante que o conhecimento matemático trabalhado na formação desse
profissional seja relevante para o ensino da disciplina, visto que o professor deve ter um
60
conhecimento que lhe permita abordar o conteúdo com sentido e significado. No
enfrentamento da problemática relativa à formação docente, Fiorentini e Oliveira (2013)
discutem o lugar das matemáticas na Licenciatura em Matemática: problematizar quais
matemáticas e quais práticas formativas têm sido desenvolvidas e, para isso apontam algumas
alternativas como:
[...] constituir grupos de estudo de formadores que congregam matemáticos e
educadores matemáticos preocupados e engajados em atuar e investigar,
conjuntamente, a formação docente, tanto no que se refere à formação matemática
quanto à formação didático-pedagógica relacionada ao ensino e à aprendizagem da
matemática, isto é, inter-relacionando o que e o como se ensina e avalia (didática)
com as finalidades, potencialidades e as consequências formativas desse ensino
(pedagogia). (FIORENTINI; OLIVEIRA, 2013, p. 934)
Destacar tais alternativas podem revelar ambientes profícuos para uma
aproximação necessária entre o conhecimento matemático do professor e o papel relevante da
formação do PEM nos anos iniciais para ensinar multiplicação numa perspectiva mais ampla,
sem restrição ao uso de algoritmos, ou com destaque a uma única compreensão da
multiplicação como soma de parcelas iguais.
Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais – PCN38 (BRASIL, 2000), no
contexto educacional brasileiro, também é dado um maior destaque à multiplicação
compreendida como adição de parcelas iguais. Entretanto, esse mesmo documento destaca a
insuficiência desta ideia para a compreensão de situações que não sejam substancialmente
aditivas e desperta a atenção a possíveis equívocos relacionados à comutatividade da
multiplicação no contexto matemático e das situações que nem sempre são válidas. Como
exemplo, embora seja sintaticamente correta e seus produtos sejam
equivalentes, semanticamente, encontramos situações nas quais as expressões não se
traduzem em relações equivalentes. Nas orientações didáticas que integram esse documento, é
enfatizada a importância em saber distinguir o multiplicando (o número que se repete) do
multiplicador (o número de repetições a serem feitas), dada a existência de diferentes
contextos em que é impossível inverter os papéis definidos por cada um deles. Tais questões
podem ser compreendidas a partir do problema que propomos como exemplo:
Quantas horas mensais deve cumprir um funcionário que teve como proposta um
trabalho com carga de 6 horas/dia a ser realizada em 26 dias de cada mês?
38 Estamos nos referindo aos Parâmetros Curriculares Nacionais (1ª a 4ª Série) Volume 3 – Matemática – que no
contexto atual corresponde do 1º ao 5º ano do Ensino Fundamental.
61
A esse problema associa-se a expressão matemática 26 x 6, na qual o 6 é
interpretado como o número que se repete; e o 26, como o número que indica a quantidade de
repetições do segundo número, ou seja de modo abreviado temos:
6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + ...+ 6
26 vezes
Ao tomar por base essa interpretação, definem-se diferentes atribuições para cada
um desses valores, sendo o número que se repete 6 (horas/dia) considerado multiplicando; e
o número de repetições 26 (dias), o multiplicador. No problema descrito, é impossível
inverter a quantidade de dias pela quantidade de horas trabalhadas/dia, visto que o dia tem
somente 24 horas. Assim sendo, embora o resultado de 26 x 6 seja matematicamente
equivalente ao resultado de 6 x 26, visto que ambos resultam em 156 – denominado por
produto – tal equivalência atende às questões relacionadas à sintaxe matemática, sem
contudo contemplar suas questões semânticas. Portanto, identificar e distinguir cada um dos
valores envolvidos na multiplicação – o valor que se repete (multiplicando) – e o número de
repetições (multiplicador) são conhecimentos importantes para PEM no enfrentamento de
problemas relacionados ao ensino de multiplicação.
Para além das situações que envolvem a multiplicação como um caso particular da
adição, o documento39 (PCN de Matemática) destaca quatro grupos de significados
correspondentes à multiplicação a serem exploradas nos anos iniciais do Ensino Fundamental,
independentemente de qualquer hierarquização.
Um primeiro grupo envolve a ideia de multiplicação comparativa: Marta tem 4
selos e João tem 5 vezes mais selos que ela. Quantos selos tem João? Um segundo grupo
aborda a comparação entre razões, envolvendo a ideia da proporcionalidade: Marta vai
comprar três pacotes de chocolate. Cada pacote custa R$ 8,00. Quanto ela vai pagar pelos
três pacotes? Um terceiro grupo envolve significado relativo à configuração retangular: Num
pequeno auditório, as cadeiras estão dispostas em 7 fileiras e 8 colunas. Quantas cadeiras há
no auditório? E, um quarto grupo envolvendo significado associado à combinatória: Tendo
duas saias – uma preta (P) e uma branca (B) – e três blusas – uma rosa (R), uma azul (A) e
uma cinza (C) -, de quantas maneiras diferentes posso me vestir?
De modo mais específico, é sugerido como conteúdos conceituais e
procedimentais o cálculo de multiplicação por meio de estratégias pessoais para os 1ºs e 2ºs
39 Embora as orientações didáticas utilizem constantemente a expressão situações relacionadas à multiplicação e
à divisão, consideramos em nosso estudo de modo específico o que envolve a multiplicação, foco da presente
pesquisa.
62
anos, enquanto para o 3º e 4º ano é proposto fazer “Análise, interpretação, formulação de
situações-problema, compreendendo os diferentes significados das operações envolvendo
números naturais e racionais” (BRASIL, 2000, p. 87).
Assim como destacado pelo documento, compreendemos o importante papel dos
problemas nos anos iniciais no sentido de propiciar a interação dos estudantes com diferentes
significados da multiplicação, promovendo o reconhecimento de que “um mesmo problema
pode ser resolvido por diferentes operações, assim como uma mesma operação pode estar
associada a diferentes problemas” (Brasil, 2000, p. 112, impresso).
Entretanto, há de se ressaltar a necessidade em se discutir como esses diferentes
significados podem ser abordados no ensino, de modo a torná-lo mais eficaz, o que demanda,
sobretudo, investigações acerca dos conhecimentos especializados do PEM sobre
multiplicação.
Em Portugal, segundo Mendes, Brocardo e Oliveira (2011), nos dois primeiros
anos escolares, trabalha-se a transição entre a adição de parcelas iguais para o conceito de
multiplicação. Sem restringir-se a essa transição, as pesquisadoras destacam que, nesse
mesmo nível de escolaridade, também é trabalhada a multiplicação com o sentido
combinatório e com a compreensão da memorização de fatos decorrentes das tabuadas do 2,
do 5 e do 10. De acordo com o currículo português, é no 3º ano que se completa o estudo das
tabuadas, desenvolve-se o trabalho com números não inteiros e se constrói o algoritmo da
multiplicação. As autoras destacam os sete aspectos considerados essenciais na aprendizagem
de multiplicação no 3º ano, enfatizando que o último deles deve ser aprofundado nos anos
subsequentes:
A consolidação do entendimento de um grupo como uma unidade; a propriedade
distributiva da multiplicação em relação à adição; propriedade comutativa; os
padrões de valor de posição associados à multiplicação por 10; propriedade
associativa da multiplicação; a compreensão da relação inversa entre a multiplicação
e a divisão; compreensão do sentido proporcional da multiplicação. (MENDES;
BROCARDO; OLIVEIRA, 2011, p. 3)
Consideramos pertinente destacar que, dentre os sete aspectos indicados no
currículo português como essenciais para a aprendizagem de multiplicação no 3º ano, três
deles relacionam-se às propriedades distributiva, comutativa e associativa. Mendes, Brocardo
e Oliveira (2011, p. 3) enfatizam, também, outro aspecto: “os padrões de valor de posição
associados à multiplicação por 10”. Essa ênfase vai ao encontro da competência matemática
desejável ao 1º ciclo do ensino daquele país no que se refere aos números inteiros,
fracionários e às quatro operações, que devem permitir uma “clara compreensão do sistema de
63
numeração de posição e do modo como este se relaciona com os algoritmos das quatro
operações” (RIBEIRO; CARRILLO, 2011, p. 410).
Magina, Santos e Merlini (2014), de certa forma, contestam o ensino tardio da
multiplicação e da divisão nas escolas brasileiras o que, segundo elas, habitualmente ocorre a
partir do 4º ano. Apoiados nos estudos de Nunes (1997, 2005) e Piaget (1975, 1996), para os
quais “crianças a partir dos seis anos de idade já são capazes de resolver, de modo prático,
algumas situações envolvendo as noções de multiplicação e divisão” (MAGINA; SANTOS;
MERLINI, 2014, p. 518), os autores indicam que tais indícios parecem ser ignorados na
elaboração do currículo de matemática proposto aos anos iniciais do Ensino Fundamental.
Segundo Magina, Santos e Merlini (2014), o ensino tardio da multiplicação e da
divisão nas escolas brasileiras pode estar relacionado, dentre outros aspectos, à concepção de
currículo que orienta a prática pedagógica, quando este é compreendido a partir de uma
ordenação fixa quanto à aprendizagem das operações elementares: inicialmente adição,
seguida da subtração e, por fim, multiplicação e divisão. Os autores enfatizam que, sob esta
ótica, evidencia-se a introdução do conceito de multiplicação como soma de parcelas iguais, o
qual só pode ser ensinado após o trabalho realizado com a adição. Sequencialmente, propõe-
se o aumento na quantidade de parcelas, mobilizando a transição entre a adição de parcelas
repetidas e o uso a multiplicação do número pela quantidade de parcelas. E, ao final, amplia-
se a magnitude de um dos fatores de modo a instituir o uso do algoritmo.
No contexto atual da educação brasileira, de acordo com a recente versão da Base
Nacional Comum Curricular (BNCC)40 (BRASIL, 2017), o conteúdo Multiplicação integra a
unidade temática: Números. Nesse documento, no âmbito dos Anos Iniciais do Ensino
Fundamental, é proposto que o ensino da multiplicação se inicie a partir do 2º ano e perpasse
os anos subsequentes, 3º, 4º e 5º anos, sendo indicados dois objetos de conhecimento e
respectivas habilidades a serem desenvolvidas em cada um deles.
Os dois objetos de conhecimento para o 2º ano referem-se a problemas, sendo um
deles envolvendo adição de parcelas iguais (multiplicação); e o outro. significados de dobro,
metade, triplo e terça parte. Para ambos, propõe-se que sejam desenvolvidas habilidades
relativas tanto à resolução como à elaboração de problemas. Nesse ano escolar, enquanto as
habilidades para o primeiro objeto de conhecimento focam na “multiplicação (por 2, 3, 4 e 5)
com a ideia de adição de parcelas iguais por meio de estratégias e formas de registro pessoais,
40O documento é constituído por cinco unidades temáticas, que, segundo os autores, se encontram
correlacionadas e buscam orientar a formulação de habilidades a ser desenvolvidas ao longo do Ensino
Fundamental: Números, Álgebra, Geometria, Grandezas e Medidas, Probabilidade e Estatística.
64
utilizando ou não suporte de imagens e/ou material manipulável” (BRASIL, 2017, p. 238-
239), as habilidades para o segundo objeto envolvem as ideias de “dobro, metade, triplo e
terça parte, com o suporte de imagens ou material manipulável, utilizando estratégias
pessoais” (BRASIL, 2017, p. 238-239).
Em relação à proposta do PCN, o desenvolvimento de habilidades relativas à
elaboração de problemas é antecipado pela BNCC para o 2º ano de escolaridade. Outro
aspecto a destacar refere-se ao fato de que, ao focar na multiplicação por 2, 3, 4 e 5,
entendemos que parece indicar, ainda que implicitamente, o trabalho com as referidas
tabuadas e, nesse sentido, talvez seja pertinente questionar: como tem se dado o ensino da
tabuada? Que conhecimentos podem ser mobilizados nas formações do PEM de modo que lhe
permita aprofundar seus conhecimentos para ensinar multiplicação?
Para o 3º ano, o documento indica dois outros objetos de conhecimento:
“Construção de fatos fundamentais da adição, subtração e multiplicação, reta numérica, e
Problemas envolvendo diferentes significados da multiplicação e da divisão41: adição de
parcelas iguais, configuração retangular, repartição em partes iguais e medida” (BRASIL,
2017, p. 242-243). Quanto às habilidades para o primeiro objeto, requerem-se a construção e a
utilização de fatos básicos da adição e da multiplicação para o cálculo mental ou escrito, e,
para o segundo, “resolver e elaborar problemas de multiplicação (por 2, 3, 4, 5 e 10) com os
significados de adição de parcelas iguais e elementos apresentados em disposição retangular,
utilizando diferentes estratégias de cálculo e registros” (BRASIL, 2017, p. 242-243).
Dentre os demais objetos de conhecimento propostos para 4º ano, o ensino da
multiplicação é explicitado em dois deles, e é também indicado o trabalho com a
proporcionalidade.
Para o objeto de conhecimento “composição e decomposição de um número
natural de até cinco ordens, por meio de adições e multiplicações por potências de 10” a
habilidade proposta consiste em “mostrar, por decomposição e composição, que todo número
natural pode ser escrito por meio de adições e multiplicações por potências de dez, para
compreender o sistema de numeração decimal e desenvolver estratégias de cálculo”. Para o
outro objeto, qual seja, “problemas envolvendo diferentes significados da multiplicação e da
divisão: adição de parcelas iguais, configuração retangular, proporcionalidade, repartição
equitativa e medida”, as habilidades requeridas consistem em “resolver e elaborar problemas
envolvendo diferentes significados da multiplicação (adição de parcelas iguais, organização
41 Para este objeto de conhecimento, destacamos somente as habilidades relacionadas à multiplicação, visto esse
ser o interesse do presente estudo.
65
retangular e proporcionalidade), utilizando estratégias diversas, como cálculo por estimativa,
cálculo mental e algoritmos” (BRASIL, 2017, p. 246-247). É proposto para esse mesmo ano o
trabalho com o objeto “propriedades das operações para o desenvolvimento de diferentes
estratégias de cálculo com números naturais”, de modo a desenvolver habilidades relativas ao
uso das propriedades para a realização de cálculo das diferentes operações. É sugerido, ainda,
o trabalho com problemas simples de contagem, utilizando-se de estratégias pessoais para
combinar elementos de duas coleções (BRASIL, 2017, p. 246).
Por fim, é para o 5º ano do Ensino Fundamental que se indicam problemas
envolvendo a multiplicação de números racionais, restringindo-se à representação decimal
finita. É também neste ano que é explicitado o trabalho com o sentido de combinação, sendo
considerado neste documento um objeto de conhecimento relacionado a problemas de
contagem que requer uma habilidade envolvendo princípio multiplicativo. Para um dos
objetos de conhecimento, as habilidades propostas consistem em
resolver e elaborar problemas de multiplicação e divisão com números
naturais e com números racionais cuja representação decimal é finita (com
multiplicador natural e divisor natural e diferente de zero), utilizando
estratégias diversas, como cálculo por estimativa, cálculo mental e
algoritmos. (BRASIL, 2017, p. 250-251)
Quanto ao objeto de conhecimento relacionado à combinatória, as habilidades a
desenvolver pautam-se em
resolver e elaborar problemas simples de contagem envolvendo o princípio
multiplicativo, como a determinação do número de agrupamentos possíveis
ao se combinar cada elemento de uma coleção com todos os elementos de
outra coleção, por meio de diagramas de árvore ou por tabelas. (BRASIL,
2017, p. 250-251)
Com base ainda na BNCC na Educação Infantil, primeira etapa da Educação
Básica, devem ser assegurados seis direitos de aprendizagem e desenvolvimento: Conviver,
brincar, participar, explorar, expressar, conhecer-se. Para a realização desse processo de
aprendizagem e desenvolvimento, o documento organiza os objetivos em cinco campos de
experiências42 a saber: O eu, o outros e o nós; Corpo, gestos e movimentos; Traços, sons,
cores e formas; Oralidade e escrita; Espaços, tempos, quantidades, relações e transformações,
sendo este último o campo em que se encontram propostos os objetivos de aprendizagem
relacionados à matemática. Dentre os objetivos sugeridos para o trabalho no campo de
42Segundo o documento, esses campos de experiências “constituem um arranjo curricular que acolhe as situações
e as experiências concretas da vida cotidiana das crianças e seus saberes, entrelaçando-os aos conhecimentos que
fazem parte de patrimônio cultural” (BRASIL, 2017, p. 36),
Quanto aos objetivos, foram organizados considerando três faixa-etárias: crianças de zero a 1ano e seis meses;
crianças de 1 ano e 7 meses a 3 anos e 11 meses; crianças de 4 anos a 5 anos e 11 meses.
66
experiências –Espaços, tempos, quantidades, relações e transformações –, não foram
identificados temas que estejam explicitamente relacionados ao trabalho com multiplicação.
Numa síntese dos principais pontos referentes à abordagem dada pela BNCC, podemos dizer
que o ensino de multiplicação é proposto a partir do 2º ano, iniciando com o sentido de soma
de parcelas iguais com foco nos múltiplos de 2, 3, 4 e 5, envolvendo as ideias de dobro e
triplo, considerando estratégias e formas de registros pessoais. Para o ano seguinte (3º),
indica-se a construção dos fatos fundamentais da multiplicação e, ampliando-se o foco para os
múltiplos de 2, 3, 4, 5 e 10, os problemas passam a envolver também o sentido de
configuração retangular. Para esse ano, o documento sugere o trabalho com diferentes
estratégias de cálculo e registros, considerando o cálculo mental e escrito. Para o 4º ano, os
problemas passam a envolver também um outro significado da multiplicação, o da
proporcionalidade; além do desenvolvimento de habilidades que potencializem a
compreensão do sistema de numeração decimal, explorando por exemplo, a composição e
decomposição de números naturais, por meio de adições e multiplicações. Ao final desta etapa
escolar, para o 5º ano é indicado o ensino de multiplicação de números racionais,
restringindo-se à sua representação com finitas casas decimais e o trabalho com problemas
envolvendo a multiplicação no sentido de combinatória.
A partir dessa síntese, podemos destacar alguns aspectos sobre o ensino de
multiplicação, que podem impactar os próximos estudos que buscam identificar e
compreender os conhecimentos considerados necessários ao PEM para ensiná-la.
Em nossa compreensão da proposta contida no documento, é possível evidenciar
que, até o 5º ano do Ensino Fundamental, deve ser contemplado o ensino de todos os
significados da multiplicação: adição de parcelas iguais, comparação multiplicativa,
configuração retangular, proporcionalidade e combinatória.
Outro aspecto refere-se ao fato de que a proposta, em nosso entendimento, não
sinaliza, pelo menos de modo explícito, um trabalho aprofundado relativo às tabelas de
multiplicação ou tabuada, uma vez que, embora o documento da BNCC indique como
obrigatória a multiplicação por 2, 3, 4, 5, e 10 para os anos iniciais do EF, não traz referências
ou orientações acerca desse assunto.
Não estamos aqui defendendo a inserção das tabelas ou das tabuadas, mas
problematizando a ausência de objetos de conhecimento relacionados à compreensão e à
memorização delas, uma vez que essas apresentam regularidades passíveis de exploração e
generalização. Assim sendo, consideramos pertinente problematizar a recomendação sobre a
multiplicação por 2, 3, 4, 5, e 10, pois entendemos que não basta ao professor ensinar tabuada,
67
mas sim conhecer as possibilidades de como ela pode ser explorada de modo a potencializar
as relações a serem estabelecidas com os diferentes temas da matemática. A aprendizagem
dos “fatos fundamentais da multiplicação” pode ser proporcionada e potencializada pela
exploração e busca de regularidades contidas nessas tabelas.
Outro aspecto a destacar refere-se ao momento em que se propõe o trabalho com
problemas simples de contagem, utilizando estratégias pessoais para combinar elementos de
duas coleções (4ºano), o qual tem continuidade no 5º ano por meio de diagramas de árvores
ou tabelas. A indicação desse trabalho para os 4º e 5º anos parece ir em sentido contrário ao
proposto, por exemplo, em Portugal. Segundo Mendes, Brocardo e Oliveira (2011), pelo
currículo de Portugal, já nos dois primeiros anos escolares, além da transição entre a adição de
parcelas iguais para o conceito de multiplicação, também é trabalhada a multiplicação com o
sentido combinatório e com a compreensão da memorização de fatos decorrentes das tabuadas
do 2, do 5 e do 10.
Assim, parece ser notável repensar o espaço destinado ao estudo e ao
aprofundamento de aspectos relativos ao conhecimento curricular nos diferentes contextos
formativos uma vez que, segundo Serrazina (2012), não basta ao professor conhecer a
matemática que ensina, mas cumpre-lhe também dominar o currículo a ser ensinado,
ampliando esse conhecimento para os demais anos em que está trabalhando.
Ao discutir o conhecimento matemático para ensinar, interligado aos
conhecimentos didático, curricular, dos recursos, dos alunos e do contexto, a autora destaca a
importância de o professor “possuir uma visão global do currículo a ensinar no ensino
fundamental e um conhecimento aprofundado do ciclo de ensino em que trabalha, de modo a
que conheça como as ideias matemáticas se vão ampliando e como as relacionar”
(SERRAZINA, 2012, p. 272) no âmbito da multiplicação. Outra ideia destacada pela autora e
geralmente interiorizada pelos alunos:
[...] é a de que “multiplicar dois números dá sempre um número maior”, que, mais
uma vez, é válida no conjunto dos números naturais, mas que deixa de ser uma
verdade universal quando se passa ao conjunto dos números racionais. Estas
“fraseschave”, quando memorizadas como verdades pelos alunos, podem vir a
transformar-se, posteriormente, em conceções erradas que estes usam de modo
inconsciente quando o conjunto numérico é alargado. (SERRAZINA, 2012, p. 272)
Nessa perspectiva, cabe destacar que Magina, Santos e Merlini (2014) enfatizam
não ser contrários a iniciar o trabalho da multiplicação por meio da adição de parcelas iguais,
uma vez que tal procedimento indica a continuidade entre ambas as operações. Entretanto, os
autores levantam questões relacionadas a esse procedimento a partir de aspectos didáticos,
conceituais e cognitivos.
68
Quanto ao aspecto didático, as ideias desses autores confluem com a discussão de
Serrazina, ao afirmarem que a restrição ao referido procedimento “implica considerar que
multiplicação sempre aumenta, o que não é verdade em outro domínio numérico como, por
exemplo, no campo dos números racionais ( )” (MAGINA; SANTOS;
MERLINI, 2014, p. 518).
Em relação ao aspecto conceitual, esses autores apontam uma evidente
descontinuidade entre as operações de adição e multiplicação, indicando uma ruptura entre
ambas. Na visão deles, enquanto as situações que contemplam o raciocínio aditivo envolvem
um só invariante operatório em que se considera a relação parte e todo; em todas as situações
que envolvem o raciocínio multiplicativo, o invariante operatório constitui-se de uma relação
fixa entre duas ou mais quantidades que podem ser de naturezas iguais ou distintas.
Quanto ao aspecto cognitivo, Magina, Santos e Merlini (2014) destacam a
necessidade do domínio de uma gama considerável de situações por parte do aluno de modo
que ele possa ampliar seus conhecimentos acerca desse campo conceitual, ainda que se
considere somente o conjunto dos naturais. Tais situações apresentam diferentes graus de
complexidade, o que exige grande investimento cognitivo do aluno para compreendê-los e
resolvê-los. Esses autores complementam que é na interação do estudante com esse conjunto
de situações envolvendo distintos raciocínios que ocorrem a apropriação e a expansão do
campo conceitual multiplicativo.
Tal compreensão apoia-se na relevância já apontada por Serrazina (2012) acerca
do conhecimento matemático do PEM. Considerando que a ele cabe organizar e planejar as
aulas, torna-se imperativo que, em sua formação, seja a inicial ou a continuada, lhe sejam
oferecidas oportunidades para problematizar e ressignificar seus conhecimentos matemáticos,
de modo a possibilitar a organização de tarefas que mobilizem distintos raciocínios relativos à
multiplicação.
Segundo Isoda e Olfos (2011), a redefinição dos objetivos das escolas primárias
em diversos países, ocorrida nas últimas décadas, passou a priorizar habilidades mais
complexas, tais como a resolução de problemas e a comunicação em detrimento de
conhecimentos isolados. Apoiados em Treffers et al. (2001), os autores indicam como metas
para o ensino de matemática: estabelecer conexões entre aritmética e experiência cotidiana;
adquirir habilidades básicas; compreender a linguagem matemática e aplicações em situações
práticas; refletir acerca das atividades matemáticas e validar seus resultados; estabelecer
relações, regras, padrões e estruturas; descrever e utilizar estratégias investigativas; e
desenvolver raciocínio. Dentre as tendências internacionais para o ensino da multiplicação,
69
Isoda e Olfos (2011) destacam a contextualização e a presença do princípio da extensão.
Segundo eles, a contextualização43 “significa dar significado aos números e operações
relacionando-as com situações significativas de cada dia, do mundo real ou o mundo
significativo das crianças” (ISODA; OLFOS, 2011, p. 25-26).
Para compreender as questões relacionadas ao contexto, é importante apresentar o
sentido usado por Isoda e Olfos (2011, p. 25), ou seja: “evento, problema ou situação derivada
da realidade, o que é significativo para as crianças ou que elas podem imaginar44”, pois
consideram que elas utilizam métodos matemáticos pautadas em sua própria experiência. Os
autores explicitam a diferenciação entre contexto e situações, considerando o contexto como
uma dimensão mais ampla, que pode ser encontrado no mundo próprio da matemática.
Explicam que
o contexto fornece um significado concreto e fornece a base para as relações
matemáticas relevantes ou operações realizadas pela criança. As situações podem ser
esquematizadas de experiências cotidianas tais como viajar de ônibus, comprar e
gerenciar dinheiro. Contexto também pode ser encontrado no mundo da própria
matemática, como no caso das propriedades de números primos, dando origem a
contextos aritméticos ou matemáticos. (ISODA; OLFOS, 2011, p. 25)
No que diz respeito à organização e à propositura de tarefas, Fosnot e Dolk (2001)
enfatizam a relevância em se propor contextos a partir dos quais se estruturem
progressivamente a multiplicação, por exemplo, iniciar com grupos de objetos com o mesmo
cardinal e prosseguir para situações relativas a grupos de objetos aos quais se associe uma
disposição retangular.
Cabe salientar que Fosnot e Dolk (2001) consideram que a aprendizagem da
multiplicação deva pautar-se na construção das big ideas, compreendidas pelas relações que o
aluno estabelece com as estruturas da própria matemática. Para estes autores, compreender as
estruturas relacionadas à multiplicação significa compreender a estrutura multiplicativa em si
e as relações entre as partes e o todo da própria estrutura. Destacam como big ideas referente
à multiplicação: unitizing, ou seja, a compreensão de um grupo como unidade; a propriedade
distributiva da multiplicação em relação à adição e à subtração; a propriedade comutativa e a
43Por exemplo, na resolução 63-47, um estudante pode pensar em uma diferença entre as idades das pessoas,
porque duas pessoas terão a mesma diferença de idade em três anos, o problema poderia ser substituído por 66-
50, o que é mais fácil de resolver. Dessa forma, um problema formal é contextualizado em uma situação de
idades. 44Tradução nossa do original: “El contexto es un evento, asunto o situación derivada de la realidad, el cual es
significativo para los niños o el cual ellos pueden imaginar. Los niños usan métodos matemáticos a raíz de su
propia experiencia” (ISODA; OLFOS, 2011, p. 25).
70
propriedade associativa da multiplicação; e os padrões de valor de posição associados à
multiplicação por dez.
A presença do princípio da extensão no ensino da multiplicação tem sido
considerada uma ideia central nas atuais propostas curriculares, que tomam como pressuposto
as abordagens de aprendizagem modernas (ISODA; OLFOS, 2011). Para eles, o ensino da
matemática escolar traça, como um de seus objetivos, levar os alunos a adquirir conceitos, os
quais devem ser posteriormente (re)conceituados em campos explicativos mais gerais. O
processo de extensão relaciona-se ao aprofundamento que é dado ao objeto de aprendizagem e
à disponibilidade de diferentes representações desses objetos.
Entendemos que Mendes, Brocardo e Oliveira (2011) assumem o princípio da
extensão no ensino da multiplicação, ao organizarem uma trajetória de aprendizagem sobre
esse conteúdo. Tal entendimento pauta-se na afirmação de que
planejar o ensino da multiplicação envolve mais do que estruturar as ideias
matemáticas envolvidas nessa operação. É igualmente importante pensar em como
podem os alunos aprender, como podem progredir na sua aprendizagem e ter
presente que nem todos aprendem ao mesmo ritmo e de igual modo. (MENDES;
BROCARDO; OLIVEIRA, 2011, p. 1-2)
Podemos compreender esse princípio da extensão ao ensino da multiplicação a
partir do trabalho de aprofundamento acerca dessa temática, indicado por Isoda e Olfos
(2011), a realizar-se em três momentos.
Para esses autores, o ensino da multiplicação com números naturais deve ter como
ponto de partida proporcionar aos estudantes a compreensão do produto como o número de
elementos resultante de grupos de números iguais de elementos repetitivos. Segundo eles,
essa ideia pode ser facilmente transferida de quantidades para medidas, o que pode contribuir
para a compreensão de unidade de medida que se relaciona com a ideia de proporcionalidade.
Compreendem que a extensão do conceito de “unidade” é essencial, e, assim como Fosnot e
Dolk (2001), destacam que este conceito é obtido a partir da ideia de grupo.
Trabalhado o conceito de unidade, num segundo momento propõe-se o estudo das
tabelas de multiplicação. Neste momento, também se observa o princípio da extensão, uma
vez que nesta etapa é trabalhado o procedimento relativo ao conceito de multiplicação com
números de um dígito. Inicia-se com as tabelas do 2 ao 5, seguidas pelas do 6 ao 9 e a
multiplicação por 1. Mais adiante, o ensino da multiplicação é seguido por 0, 10 e potências
de 10. Pelo currículo japonês, considera-se importante destacar nesta etapa as propriedades da
multiplicação, a princípio com os números pequenos e, a seguir, com aumento gradativo
deles.
71
O terceiro momento é destinado ao estudo da multiplicação com multidígitos, em
que se dá continuidade à extensão conceitual da multiplicação. Nesta fase é proposto que os
estudantes explorem estratégias e desenvolvam métodos para multiplicar números naturais
com mais de um algarismo. Inicia-se o trabalho com dezenas por unidades, passando para
dezenas por dezenas e demais combinações. Afirmam que em vários países essa extensão é
realizada já na 3ª série. A visível impossibilidade de memorização implica na busca por novos
modos de multiplicar, o que oportuniza aos estudantes a descoberta de estratégias escritas que,
gradativamente, encaminhem ao algoritmo (ISODA; OLFOS, 2011). Por fim, a extensão da
multiplicação para os decimais, frações e negativos é indicada para os anos subsequentes, a
partir do 4º ano.
***Ao considerar a introdução da multiplicação por meio de parcelas iguais por
diferentes pesquisadores e documentos curriculares, cabe destacar o estudo de Jacob e Willis
(2003, p. 461) que investigou o processo que envolve a “transformação” realizada entre o
raciocínio aditivo e o raciocínio multiplicativo dos estudantes. Os autores identificaram cinco
fases em que se desenvolve o raciocínio multiplicativo, denominadas por: “One-to-one
counting; additive composition; many-to-one counters; multiplicative relations; e, operate on
the operator”.
Jacob e Willis (2003) ressaltam o desenvolvimento gradativo da compreensão da
multiplicação em cada uma dessas fases, à medida que as crianças realizam tarefas
multiplicativas e sugerem/consideram a existência de uma fase, nomeadamente a “many-to-
one counters” em que ocorre a transição entre o raciocínio aditivo e o raciocínio
multiplicativo. Para isso, é importante que o professor reconheça padrões de raciocínio que o
auxiliem a interpretar as respostas das crianças, de modo a reconhecer o progresso em relação
ao raciocínio multiplicativo. Com base nessas informações é que o professor deverá propor
tarefas que potencializem progressões nas diferentes fases do raciocínio multiplicativo.
Segundo Van de Walle (2009), há indicações de que crianças na Educação Infantil
e no 1º ano têm sido exitosas na resolução de problemas de multiplicação. Este autor afirma
que muitos dos programas tradicionais ensinam a multiplicação anteriormente à divisão, e
destaca que combinar ambas as operações, logo após a multiplicação ser introduzida, pode
contribuir para a percepção de como elas se relacionam. Revela que, de modo geral, os
currículos abordam esses temas, sobretudo no 3º ano, tendo continuidade no 4º e no 5º ano.
Isso posto, embora o presente estudo tenha optado em discutir, de modo mais
específico, o conhecimento relativo à multiplicação do professor que ensina matemática nos
anos iniciais, consideramos que os estudos desenvolvidos sobre estruturas multiplicativas
72
sejam contributivos para as discussões sobre o tema deste trabalho. Os estudos voltados às
estruturas multiplicativas apoiam-se na Teoria dos Campos Conceituais45, proposta por
Gerard Vergnaud (1982, 1983, 1988, 1996).
Para Vergnaud (1982), o conhecimento está organizado em campos conceituais,
cujo domínio ocorre ao longo de um largo período de tempo por meio da experiência,
maturidade e aprendizagem. Assim, o campo conceitual é definido como “um conjunto de
situações cujo domínio requer uma variedade de conceitos, procedimentos e representações
simbólicas firmemente unidos uns aos outros” (VERGNAUD, 1990, p. 23). Desse modo, o
conhecimento emerge dos problemas a serem resolvidos e das situações a serem dominadas,
ou seja, a partir da ação que o sujeito exerce sobre a situação proposta (VERGNAUD, 1990,
1994). Este autor enfatiza o papel da resolução de problemas, afirmando que
resolver problemas é a fonte e o critério do conhecimento operacional. Precisamos
ter esta ideia sempre em mente e sermos capazes de oferecer aos alunos situações
que visem a estender o significado de um conceito e a avaliar as habilidades e as
concepções dos estudantes. (VERGNAUD, 1990, p. 22)
Ao tomar por base a Teoria dos Campos Conceituais, Magina, Santos e Merlini
(2011, p. 2) vêm desenvolvendo pesquisas relativas ao Campo Conceitual Multiplicativo, e
destacam, para esse campo, os seguintes conceitos: “funções lineares e não-lineares, o espaço
vetorial, a análise dimensional, a fração, razão, proporção, número racional, multiplicação e
divisão”.
Estes autores consideram a estrutura multiplicativa constituída por dois tipos de
relações: quaternárias (a) e ternárias (b), sendo a primeira constituída por dois eixos
envolvendo proporção, a simples e a composta; e a segunda, por outros dois eixos, a saber, a
comparação multiplicativa e o produto de medidas.
Cada um dos dois eixos pertencentes às relações quaternárias é constituído por
duas classes: correspondência um para muitos e correspondência muitos para muitos, sendo
que ambas podem ser trabalhadas com dois tipos de quantidades: discreta e contínua.
Apresentamos cada um dos eixos pertencentes a tais relações, a partir de Magina, Santos e
Merlini (2014, p. 522-523).
Eixo 1 – Proporções simples: envolvem dois tipos de situações:
Correspondência um para muitos (a relação entre as quantidades está explícita):
o Ex.: Um carro tem quatro rodas. Quantas rodas têm cinco carros?
45Segundo Lima (2005), trata-se de uma teoria cognitivista que busca propiciar uma estrutura coerente e alguns
princípios básicos ao estudo do desenvolvimento e da aprendizagem das competências complexas, sobretudo as
que dependem da ciência e da técnica.
73
Correspondência muitos para muitos (a relação entre as quantidades está implícita):
o Ex.: Três carros têm 12 rodas, quantas rodas têm 5 carros?
o A cada cinco bombons comprados, a loja Boa Compra dá três caramelos de
brinde. Se Ana comprar 15 bombons, quantos caramelos ela ganhará?
Eixo 2 – Proporções múltiplas: trata-se de uma classe de situações que envolvem uma relação
quaternária entre mais de duas quantidades relacionadas duas a duas. Por exemplo: pessoas,
litros de água e dias. Como no eixo anterior, esse também abrange dois tipos de situações:
Correspondência um para muitos:
o Ex.: Uma pessoa deveria beber em média 5 litros de água em dois dias. Qual é
o consumo mensal (30 dias) de 5 pessoas?
Correspondência muitos para muitos:
o Um grupo de 50 pessoas vai passar 28 dias de férias no campo. Eles precisam
comprar uma quantidade de açúcar suficiente. Eles sabem que a média de
consumo por semana para 10 pessoas é de 4Kg. Quantos quilos de açúcar
elas precisam comprar?
Diferentemente das relações quaternárias, as relações ternárias possuem classes
distintas. Nelas, enquanto o eixo comparação multiplicativa constitui-se pelas classes referido
desconhecido e relação desconhecida (admitindo o trabalho com quantidades discretas e
contínuas), o eixo produto de medida tem como classes configuração retangular e
combinatória. Cabe destacar que, para essas duas últimas classes, só é trabalhado um tipo de
quantidade em cada uma delas, sendo respectivamente quantidade contínua e discreta. As
ternárias abarcam relações que tratam de dois elementos, de naturezas iguais ou distintas, que
se compõem para formar um terceiro elemento:
Por exemplo, multiplicam-se centímetros por centímetros (unidade de medida
linear), resultando centímetros quadrados (unidade de medida de superfície) ou,
ainda, meninos dançarinos x meninas dançarinas, produzindo pares de dançarinos.
Em outras palavras, os dois elementos (quantidade de meninos e meninas) estão
ligados por uma relação multiplicativa que resultará o número total de pares
possíveis, isto é, o produto entre o conjunto de meninos (por exemplo: formado por
três meninos) e o conjunto de meninas (por exemplo: formado por quatro meninas)
resulta no conjunto de possíveis pares.
(MAGINA; SANTOS; MERLINI, 2014, p. 522)
A seguir, descrevemos cada um dos eixos que compõem as relações ternárias a
partir dos estudos de Magina, Santos e Merlini (2014, p. 522-523),
Eixo 3 – Comparação multiplicativa: as situações que fazem parte desse eixo englobam a
comparação multiplicativa entre duas quantidades de mesma natureza. Já no início da
escolarização, situações envolvendo a relação de dobro e de metade são exploradas e se
configuram como protótipo dessa classe de situação, como por exemplo: João tem a metade
74
da quantia de Maria. Se João tem R$ 10,00, qual é a quantia de Maria? A seguir destacamos
alguns exemplos:
Relação desconhecida
o Comprei uma boneca por R$21,00 e uma bola por R$3,00. Quantas vezes a
boneca foi mais cara que a bola?
Referente desconhecido
o A idade de Paulo é 5 vezes maior que a idade do seu filho. Paulo tem 30 anos.
Qual é a idade do seu filho?
Referido desconhecido
o A idade de Paulo é 5 vezes maior que a idade do seu filho. Seu filho tem 6
anos. Qual é a idade de Paulo?
Eixo 4 – Produto de medidas: esse eixo é constituído por duas classes: (a) situações
envolvendo a ideia de configuração retangular, (b) situações envolvendo a ideia de
combinatória.
Configuração retangular – são situações em que as quantidades representam certas
medidas dispostas na horizontal e na vertical, dispostas de forma retangular.
o Exemplo: Qual a área de um terreno de formato retangular, sabendo que tem
15 metros de frente e 35 metros de comprimento?
Combinatória – a ideia presente nessa classe remete à noção do produto cartesiano
entre dois conjuntos disjuntos (A∩ B = ∅).
o Exemplo: Numa festa há quatro meninas e três meninos. Cada menino quer
dançar com cada uma das meninas, e cada menina também quer dançar com
cada um dos meninos. Quantos pares diferentes de menino-menina são
possíveis de serem formados?
Em estudo que analisou o desempenho de estudantes dos 3º e 5º anos do Ensino
Fundamental, envolvendo problemas pertencentes a duas classes: um para muitos e muitos
para muitos do eixo 1 - Proporção simples, Magina, Santos e Merlini (2014) destacam que a
formação e a expansão do campo conceitual multiplicativo por parte dos estudantes pode ser
promovida à medida que o professor lhes ofereça diferentes problemas que trabalham relações
quaternárias e ternárias a partir de seus respectivos eixos e classes.
Diante dos estudos analisados nesta seção, reconhecemos a complexidade posta
ao ensino de multiplicação, sobretudo nos anos iniciais do Ensino Fundamental em que a
formação do PEM no Brasil é ainda precária.
Portanto, com base nas discussões tecidas até o presente momento, entendemos a
pertinência em reafirmar o papel relevante das pesquisas na produção de conhecimento,
compreendido aqui não como algo pronto e acabado, mas como um objeto em contínuo
movimento. As discussões tratadas nessa seção abordaram diferentes aspectos relativos ao
75
ensino e à aprendizagem de multiplicação tendo por base pesquisas e documentos oficiais
desenvolvidos em contexto nacional e internacional, contribuindo, assim, para ampliar e
compreender a problemática deste estudo.
É significativo destacar a constatação de um consenso relativo ao ensino de
multiplicação nos anos iniciais do Ensino Fundamental, a qual se refere às indicações
apontadas por pesquisas quanto ao ensino de multiplicação desenvolvido, de modo geral, a
partir de uma abordagem tradicional, ou seja, basicamente no sentido de soma de parcelas
iguais (BORBA et al., 2008; MAGINA; SANTOS; MERLINI, 2014; MENDES;
BROCARDO; OLIVEIRA, 2013).
Portanto, compreendemos que investigar o que as teses brasileiras apresentam
sobre o conhecimento do professor que ensina matemática nos primeiros anos de
escolarização poderá contribuir para repensar a formação docente do PEM. Afinal, quais
conhecimentos matemáticos são desejáveis na formação do PEM nos iniciais de
escolarização? Diante do zoom dado pelo presente estudo em relação ao conhecimento sobre
multiplicação, outras questões emergem deste contexto: quais os conhecimentos
especializados com foco na multiplicação podem ser identificados nas teses desenvolvidas em
diferentes contextos formativos do PEM nos primeiros anos de escolarização? Ou ainda, quais
desses conhecimentos especializados, com foco na multiplicação, podem/necessitam ser
mobilizados nos diferentes contextos formativos do PEM nos primeiros anos de
escolarização?
3.3 Conhecimento especializado do professor que ensina matemática
Para se pensar em formação de professor e educação de qualidade, é
imprescindível ter clareza sobre o conhecimento a ser proposto nos processos formativos,
visando ao desenvolvimento profissional do professor. Logo, tão importante quanto investigar
a formação desse docente, é buscar identificar e compreender quais conhecimentos
matemáticos têm sido tratados e privilegiados nas pesquisas, de modo especial, naquelas
pertencentes ao corpus do presente estudo.
Com a finalidade de compreender o que as pesquisas relacionadas à formação de
professores abordam sobre o conhecimento do professor que ensina matemática nos anos
iniciais, nos diferentes contextos de formação tratados nesta investigação, revisitamos estudos
que discutem o modo como o conhecimento matemático vem sendo trabalhado na escola.
Para D’Ambrosio e Lopes (2015, p. 270), por exemplo,
o conhecimento matemático, na maioria das vezes, tem sido proporcionado pela
escola a partir da autoridade do professor e do livro didático, sem um entrelace entre
76
conjeturas e argumentos para a validade desse conhecimento. As ideias de
possibilidades, diversidades e incertezas raramente fazem parte desse espaço
formativo. Pouco se tem possibilitado aos alunos tornarem-se conhecedores da
Matemática, de maneira a serem capazes de avaliar e redimensionar o seu próprio
conhecimento e de discutir a legitimidade de suas elaborações matemáticas.
O destaque indicado pelas autoras pode ser evidenciado a partir dos resultados
apresentados por estudantes brasileiros no exame do Programme for International Student
Assessment – PISA46 que, mesmo demonstrando uma melhora em relação aos resultados
iniciais (2000), a proficiência matemática desses jovens ainda está longe de ser alcançada.
Assim, corroborando o estudo de Martins (2011), compreendemos que uma das condições
para um ensino de qualidade relaciona-se ao conhecimento que o professor tem da disciplina.
Ponte e Serrazina (2000, p. 15), nesse aspecto, salientam que
o professor precisa de se sentir à vontade na matemática que ensina. Para isso tem de
conhecer bem os conceitos, técnicas e processos matemáticos que intervêm neste
nível de escolaridade. Necessita de ter uma boa noção do que são as grandes ideias
da matemática e qual o seu papel no mundo de hoje. Precisa de ter uma noção clara
de todo o desenvolvimento do currículo de matemática no 1.º ciclo de educação
básica.
No contexto de um programa de formação contínua em matemática para
professores do 1º ciclo, Martins (2011) investigou o desenvolvimento profissional dos
professores envolvidos e discutiu o conhecimento profissional deles. A autora apresentou a
abordagem sobre os diferentes tipos de conhecimentos utilizados por professores para ensinar,
na perspectiva de vários autores, dentre eles, Azcárate (1998), Elbaz (1983), Grossman (1995)
e Guimarães (1999). A partir de Azcárate (1998), por exemplo, sinalizou que a maioria das
investigações realizadas nesse campo vem utilizando como referente, desde a década de 1980,
as propostas de Shulman.
Ao discutir o conhecimento do professor para ensinar matemática e as relações
desse com o desenvolvimento da confiança para ensiná-la, Serrazina (2014) também acentua
as contribuições de Shulman, reafirmando que “a ideia de que só se pode ensinar o que se
sabe tem vindo a ser discutida entre os educadores matemáticos, designadamente a partir dos
trabalhos de Shulman” (SERRAZINA, 2014, p. 1052). A afirmação da autora implica
diretamente na relação que se estabelece entre o conhecimento do professor e o processo
ensino-aprendizagem do aluno.
46
Esta avaliação de âmbito internacional mede o nível educacional de jovens de 15 anos por meio de provas de
Leitura, Matemática e Ciências. Esta avaliação tem como um de seus principais objetivos produzir indicadores
que favoreçam para as discussões relacionadas à qualidade da educação básica de modo a subsidiar políticas
nacionais de melhoria da educação dos países participantes e demais países.
77
Assim, cumpre destacar o estudo de Shulman que compreende o conteúdo do
ensino como sendo o principal aspecto do conhecimento profissional. Foi neste cenário
investigativo que o modelo de Shulman (1986) toma como foco o conhecimento profissional
do professor, distinguindo-o em três categorias:
Conhecimento do Conteúdo - relaciona-se à compreensão que o professor tem
sobre determinada disciplina, considerando fatos e conceitos. Isso implica no
entendimento das estruturas substantivas e sintáticas da disciplina, o que irá
influenciar em suas escolhas sobre o que e como ensiná-la.
Conhecimento Pedagógico do Conteúdo - trata-se de um conhecimento que vai
além do conteúdo a ser ensinado, englobando variados aspectos de um
determinado conteúdo necessários ao seu ensino. Considera que o conteúdo,
como objeto de ensino-aprendizagem, seja explorado de modo articulado aos
procedimentos didáticos.
Conhecimento Curricular - refere-se ao conhecimento que os professores
têm, não apenas sobre os programas de ensino, mas também acerca das
diretrizes estabelecidas para o ensino nas diferentes esferas governamentais,
sobre os materiais que podem ser utilizados nas disciplinas específicas, ou seja,
uma visão diacrônica em relação aos conteúdos estudados de uma mesma
disciplina; uma capacidade de relacionar os conteúdos trabalhados com outras
disciplinas do mesmo ano (SHULMAN, 1986).
Ao discutir esse modelo, Fiorentini, Souza Jr. e Melo (2011) destacam sua
relevância quanto à atenção dada a aspectos considerados fundamentais na formação teórica
do professor, sem, contudo, deixar de alertar quanto à existência de fortes limitações do
modelo em contextos de prática docente reflexiva.
O modelo de Shulman (1986) refere-se ao conhecimento profissional de modo
geral e, embora aponte para a importância do conhecimento do conteúdo, o faz sem
aprofundar-se nas especificidades desse conhecimento em relação ao ensino de matemática.
Nos estudos realizados no grupo PraPEM, buscamos discutir e aprofundar os
aportes teóricos acerca do conhecimento do professor para o ensino de matemática, iniciando
pelos estudos de Ball, Hill e Bass (2005); Ball, Thames e Phelps (2008); e, a seguir, o de
Carrillo (2014).
Ball, Hill e Bass (2005), apoiados nas propostas de Shulman, discutem sobre a
necessidade de o professor apresentar um conhecimento do conteúdo específico de
78
matemática, o que reverberou no modelo Mathematical Knowledge for Teaching (MKT)
(BALL; THAMES; PHELPS, 2008).
O modelo MKT pode ser entendido por “Conhecimento Matemático para o
Ensino”. Como indicado na Figura 3, o MKT é composto por dois domínios, sendo cada um
deles constituído por três subdomínios. Um dos domínios refere-se ao Subject Matter
Knowledge (SMK) e é constituído pelos subdomínios Common Content Knowledge (CCK),
Horizon Content Knowledge (HCK) e Specialized Content Knowledge (SCK). O outro
domínio, o Pedagogical Content Knowledge (PCK), constitui-se por outros três subdomínios,
a saber: Knowledge of Content and Students (KCS), Knowledge of Content and Teaching
(KCT) e o Knowledge of Content and Curriculum (KCC).
Figura 3- Domínios do Conhecimento Matemático para o Ensino
Fonte: Ball, Thames e Phelps (2008, p. 403)
Considerando a teoria sobre o conhecimento nos moldes de Shulman, que indica a
diferenciação entre o conhecimento específico e o conhecimento para ensinar, o modelo
trazido por Ball e seus colaboradores não foi o único a dedicar-se ao conhecimento
matemático do professor. Assim, como assinala Carrillo (2014, p.116, tradução nossa), outros
modelos têm surgindo, além do MKT:
79
- Knowledge Quartet (KQ) (Rowland, Turner, Thwaites y Huckstep, 2009), que
considera uma dimensão para as conexões entre os conteúdos e outra para situações
de contingência;
- Conocimiento Didáctico-Matemático (CDM) (Godino, 2009), que propõe um
refinamento dos subdomínios do MKT, considerando as facetas epistemológica,
cognitiva, afetiva, interações, mediações e ecológica, e seus correspondentes níveis
de análise e avaliação47
.
Ao mesmo tempo em que esse autor aponta o pioneirismo do modelo teórico
sobre o Conhecimento Matemático para o Ensino, desenvolvido por Ball e seus
colaboradores, considerando sua relevância para descrever os conhecimentos essenciais na
prática dos professores, realça também que, nesse modelo, a “descrição sobre o conhecimento
dos professores é parcial, omitindo outras dimensões igualmente importantes, tais como
crenças e conhecimento dos professores que não estão especificamente relacionados a
questões matemáticas48” (CARRILLO et al., 2013, p. 2.985-2.986, tradução nossa).
É neste contexto, norteado pelo modelo MKT e as conexões presentes no modelo
KQ, que o modelo Mathematics Teacher’s Specialized Knowledge (MTSK) foi desenvolvido
por um grupo de pesquisadores da Universidade de Huelva (CARRILLO et al., 2013;
CARRILLO, 2014).
Com o intuito de transcender as limitações do modelo MKT, observadas em
diferentes estudos (CARRILLO et al., 2013; MONTES, CONTRERAS, CARRILLO, 2013),
o modelo MTSK é constituído por dois domínios relativo ao Mathematical Knowledge (MK)
e o Pedagogical Content Knowledge (PCK), que são permeados pelas beliefs, que
representam as crenças e as concepções dos professores no âmbito de todos os subdomínios
que integram o modelo MTSK.
O Mathematical Knowledge encontra-se organizado por três subdomínios
Knowledge of Topics (KoT), Knowledge of the Structure of Mathematics (KSM) e o
Knowledge of Practices of Mathematics (KPM). O Pedagogical Content Knowledge (PCK)
também está organizado em três subdomínios: Knowledge of Mathematics Teaching (KMT),
Knowledge of Features of Learning Mathematics (KFLM) e Knowledge of Mathematics
Learning Standards (KMLS). Uma síntese do modelo pode ser observada na Figura 4:
47
“Knowledge Quartet (KQ) (Rowland, Turner, Thwaites y Huckstep, 2009), con la consideración de una
dimensión para las conexiones entre contenidos y otra para las situaciones de contingencia;
- Conocimiento Didáctico-Matemático (CDM) (Godino, 2009), que propone un refinamiento de los subdominios
del MKT a partir de la consideración de las facetas epistemológica, cognitiva, afectiva, interaccional,
mediacional y ecológica, con correspondientes niveles de análisis y consignas para su evaluación”. 48 “[…]’description of teachers’ knowledge is partial, omitting other equally important dimensions, such as
teachers’ beliefs and knowledge not specifically related to mathematical”.
80
Figura 4- Modelo MTSK
Fonte: Carrillo et al. (2013)
Considerando o modelo teórico MTSK, ora representado pela Figura 4,
percebenos a complexidade que envolve cada um dos domínios do conhecimento do
professor, quais sejam, o conhecimento matemático e o conhecimento pedagógico do
conteúdo. Cada um desses domínios compreende três subdomínios que envolvem
conhecimentos de naturezas distintas, além das crenças que os permeiam.
Assim como Ribeiro e Carrillo (2011), compreendemos o quanto é imprescindível
que a formação de professores tenha foco no que seja efetivamente necessário para ensinar.
Assim sendo, pretendemos nos aprofundar no modelo Mathematics Teacher’s Specialized
Knowledge (MTSK), em especial, nos três subdomínios do conhecimento matemático (MK) e
no subdomínio Knowledge of Mathematics Teaching (KMT) que integram o PCK, com o
propósito de identificar os conhecimentos especializados do PEM e o tratamento dado a eles
nas pesquisas acadêmicas brasileiras investigadas neste estudo.
81
Por fim, reafirmando que a presente pesquisa tem como objeto de estudo o
conhecimento especializado do PEM, na próxima seção apresentamos os principais elementos
que constituem cada um dos três subdomínios do Knowledge Mathematics, de modo especial
com uma lente direcionada à multiplicação, e, uma breve descrição dos três subdomínios do
Pedagogical Content Knowledge (PCK), com ênfase no KMT.
3.4 Conhecimento especializado do professor que ensina matemática: um olhar
na/para a multiplicação
Neste item pretendemos discutir com maior profundidade os domínios do modelo
Mathematics Teacher’s Specialized Knowledge (MTSK), para tanto apresentaremos os
domínios MK e PCK com seus respectivos subdomínios. Ressaltamos que atribuímos certa
ênfase aos subdomínios, cujas dimensões nos ajudam a analisar os conhecimentos por nós
identificados nas três teses que constituem o corpus do metaestudo desta pesquisa.
Quanto ao domínio Mathematical Knowledge (MK), o destaque caberá aos
subdomínios Knowledge of Topics (KoT) e, Knowledge of the Structure of Mathematics
(KSM); e quanto ao Pedagogical Content Knowledge (PCK), a ênfase será ao subdomínio
Knowledge of Mathematics Teaching (KMT). Para isso, tomamos por base as definições de
Carrillo et al. (2013), Flores, Escudero e Aguilar (2013), Flores-Medrano et al. (2014),
Montes, Contreras e Carrillo (2013) e Moriel Junior e Carrillo (2014).
O estudo de Ribeiro et al. (2014) evidencia que as operações se configuram
como um dos conteúdos críticos, quando se considera a relação entre as dificuldades dos
alunos e o conhecimento do professor. Apesar da constatação das dificuldades dos alunos em
relação às operações, as investigações sobre essa temática têm se concentrado
substancialmente nos alunos, em seus raciocínios ou aspectos correlatos, considerando-os não
apenas como origem, mas sobretudo como produto dessa problemática.
O foco dado a tais investigações caminha no mesmo sentido que vem sendo
discutido nos estudos de Martins e Ribeiro (2013), os quais destacam ser raras as
investigações direcionadas a identificar aspectos do conhecimento matemático que estejam
especificamente associados à necessidade da atuação docente visando contribuir para a
melhoria dessa formação.
Em vista disso, trazemos a seguir uma discussão que abrange os diferentes
elementos que compõem cada um dos subdomínios do MK, com o intuito de exemplificar
com diferentes dimensões que envolvem os conhecimentos relacionados ao tema
multiplicação.
82
3.4.1 Knowledge of Topics (KoT)
O subdomínio Knowledge of Topics (KoT) pode ser compreendido como o
conhecimento de temas matemáticos. Ele é constituído por aspectos do conhecimento que
transcendem ao conteúdo disciplinar da matéria, sem limitar-se ao conteúdo como objeto de
ensino e aprendizagem, que nesta pesquisa refere-se à multiplicação.
Consiste de um conhecimento profundo dos conteúdos escolares, considerando-se
que o professor deve conhecer o tema que está ensinando numa perspectiva mais abrangente
do aquela que os alunos aprendem (MUÑOZ-CATALÁN et al., 2015).
Segundo Flores-Medrano et al. (2014), no KoT são propostas cinco dimensões do
conhecimento que, correlacionadas, buscam caracterizar determinado tema no subdomínio do
KoT, as quais são fundamentais de serem abordadas pelo professor. Essas cinco dimensões
referem-se a fenomenologia, propriedades e seus fundamentos, registros de representação,
definições e procedimentos. A seguir, apresentamos cada uma dessas dimensões,
exemplificando-as com aspectos relacionados à multiplicação.
Fenomenologia: nesta dimensão são considerados os conhecimentos relacionados aos
aspectos fenomenológicos do tópico, como por exemplo, a origem do conceito e dos usos e
aplicações do tema dentro da própria matemática. No caso da multiplicação, essa tem suas
origens na extensão da adição, para o caso específico de repetidas parcelas iguais. Da mesma
forma como ocorre no campo das frações, em que é fundamental “identificar quando uma
fração expressa uma relação parte-todo (discreta ou contínua), a comparação de duas
quantidades discretas ou duas medidas, o resultado de uma divisão entre dois inteiros ou atua
como operador”49 (CONTRERAS et al., 2017, p.5), na multiplicação é essencial que sejam
identificados os diferentes significados expressos por ela, entre eles a soma de parcelas iguais,
a multiplicação comparativa, a configuração retangular, a combinatória, a proporcionalidade.
Propriedades e seus fundamentos: esta dimensão considera o conhecimento do
professor referente às propriedades e aos fundamentos atribuídos a determinado tema ou
procedimento específico. Nesta dimensão, alguns dos conhecimentos do PEM referem-se às
propriedades da multiplicação, como por exemplo:
Propriedade Comutativa: a ordem dos fatores envolvidos na multiplicação não
altera o resultado da operação:
Se , , então temos que . Isso é, operacionalmente, o
resultado de a × b é equivalente ao resultado de b × a.
49Tradução nossa para “identificar cuándo una fracción expresa una relación parte-todo (discreta o continua), la
comparación de dos cantidades discretas o dos medidas, el resultado de una división entre dos números enteros
o actúa como operador” (CONTRERAS et al., 2017, p.5).
83
Propriedade Associativa: o agrupamento ou associação dos fatores,
independentemente da ordem, não altera o resultado da operação:
Se , então temos que .
Propriedade Distributiva: um número multiplicado pela soma de duas ou mais
parcelas é equivalente à soma dos produtos de cada uma das parcelas pelo
respectivo número, ou seja:
.
Tal propriedade é válida também para a distribuição em relação à subtração.
Elemento Neutro: o número 1 é o elemento neutro da multiplicação nos números
reais, pois qualquer número real multiplicado por 1 resulta nele mesmo, isto é,
.
Elemento inverso: para todo número real , existe um outro número real
, tal que o produto é igual ao número 1. Tal número é igual ao
quociente .
Fechamento: o produto de dois ou mais números racionais é sempre um número
racional. Entretanto, o produto de dois números irracionais nem sempre é um
número irracional, por exemplo, é igual a 2, que é racional.
Anulação: a multiplicação de qualquer número real por zero resulta em zero. Isto é,
qualquer que seja a,
.
Também estariam contidas nesta dimensão do conhecimento, as definições e as
demonstrações informais, ainda que não sejam incorretas do ponto de vista do pensamento
matemático, como as que são realizadas através de exemplos, verificações, modelagem ou
outros (FLORES-MEDRANO et. Al, 2014).
Registros de representação: outra dimensão do conhecimento do professor que ensina
matemática refere-se às distintas formas de representação (numérica, gráfica, verbal, analítica,
etc.) relativas a cada um dos temas/tópicos a serem abordados. Diferentes formas de
representação também podem estar associadas com a notação e com o vocabulário adequado
(FLORES-MEDRANO et al., 2014).
No que se diz respeito à multiplicação, o sistema de representação pode ser
contemplado, por exemplo, por registros verbais (multiplicando, multiplicador, produto);
simbólico (×, ·, ou *), numéricos 5(2 + 20); pictóricos, dentre outros.
Nessa dimensão do KoT, da mesma forma que Contreras, Montes, Climent e
Carrillo (2017) consideram por elementos de linguagem associada ao tema frações (fração
irredutível, fração equivalente, fração imprópria, numerador, denominador), podem ser
84
entendidos como elementos da linguagem associados com a multiplicação, por exemplo as
expressões: fatores, múltiplos, dobro, triplo, entre outros.
Definições: de modo semelhante como acontece na matemática escolar em que
comumente o objeto matemático é definido a partir de uma série de propriedades que o
atendem (FLORES-MEDRANO et al., 2014), nesta dimensão o conhecimento pode ser
considerado pelo conjunto de propriedades que definem o objeto matemático, assim como as
formas alternativas que o professor usa para definir esse objeto, sem, contudo, incluir o
conhecimento das características necessárias à definição. Assim como acontece no âmbito das
frações, onde é desejável ao professor conhecer que a fração pode ser definida como o
quociente de números inteiros ou como a representação de uma relação de equivalência no
conjunto dos números racionais (CONTRERAS et al., 2017), no contexto da multiplicação
compreendemos que também é esperado que o professor conheça que esta operação, no
âmbito dos naturais, pode sempre ser definida também como a soma de parcelas iguais em
que
a × b ou a · b
(a)
a × b = b + b + b + ... + b
O número b refere-se à parcela que se repete, o qual é denominado por multiplicando.
O número a>1 refere-se ao número de vezes que b se repete, o qual é denominado por
multiplicador.
Aos dois números envolvidos, multiplicando e multiplicador, dá-se o nome de fatores;
e o resultado, nomeia-se por produto.
Vale destacar que, ao registrar na forma vertical, normalmente se apresenta
a
× b e se lê b vezes a.
Procedimentos: nesta dimensão é considerado, por exemplo, o conhecimento de
algoritmos convencionais ou alternativos, envolvendo conhecimentos relativos ao modo como
os algoritmos são usados, condições suficientes para seu uso, fundamentos dos algoritmos
(porquês) e as características que o objeto resultante associa ao tópico trabalhado.
Assim, para compreender por que ao dividir duas frações “multiplicamos em cruz”,
como algoritmo convencional, ou compreender que existem procedimentos
alternativos, tal como encontrar duas frações equivalentes às dadas, com o mesmo
denominador, e que o resultado é obtido pela divisão de seus numeradores, faz parte
dessa dimensão do conhecimento especializado. (CONTRERAS et al., 2017, p.5)
85
De modo semelhante, conhecer o algoritmo convencional da multiplicação e
outros alternativos integram essa dimensão do conhecimento. Como exemplos desses
algoritmos, destacamos alguns deles indicados em pesquisa sobre o tema, sendo o primeiro
considerado um algoritmo convencional, conforme a Figura 5.
Figura 5- Exemplos de algoritmos da multiplicação
Fonte: Fuson (2003, p. 303)
Conhecer algoritmos alternativos permite ao professor problematizar e explorar
distintos significados e procedimentos da multiplicação, favorecendo compreender questões
relacionadas a como se faz, quando se faz, porque se faz, potencializando, assim, caracterizar os
resultados relativos aos distintos significados.
3.4.2 Knowledge of the Structure of Mathematics (KSM)
Ao discutir a produção de tarefas de distintas perspectivas com um olhar para o
conhecimento especializado do professor e do formador, Ribeiro (2016) destaca que a
aprendizagem matemática dos alunos relaciona-se intensamente com a “qualidade da
matemática explorada, aos objetivos matemáticos perseguidos e às formas em que essa
matemática é explorada com os estudantes [...], deixando a ‘porta aberta’ para futuras
aprendizagens” (RIBEIRO, 2016, p.2). Entendemos essa “porta aberta” compreendida a partir
das dimensões do conhecimento pertencentes ao subdomínio KSM que é constituído por
conhecimentos das relações que o professor pode estabelecer entre diferentes conteúdos a
ensinar em determinado ano escolar ou em outros níveis escolares. Conforme ressaltam
Montes et al. (2013), o KSM contempla especificamente as conexões entre temas
matemáticos. Já para Contreras et al. (2017), o conhecimento de conexões estabelecidas entre
os objetos matemáticos é a essência do Knowledge of the Structure of Mathematics.
Para Flores-Medrano et al. (2014), são dois os aspectos que geram conexões que
interessam ao KSM: a temporalidade compreendida numa perspectiva sequencial que gera
86
conexões de complexidade e simplificação; e a delimitação de objetos matemáticos que geram
conexões intraconceituais e interconceituais.
Entretanto, sendo as conexões intraconceituais contempladas no KoT, no
subdomínio KSM são consideradas as conexões interconceituais. Esses autores propõem
quatro dimensões do conhecimento, nomeadamente: Conexões de Complexificação,
Conexões de Simplificação, Conexões de Conteúdos Transversais e Conexões Auxiliares.
Conexões de complexificação: as conexões matemáticas que integram essa
dimensão do conhecimento estão associadas às conexões que se estabelecem entre os
conteúdos que estão sendo abordados e aqueles a serem ensinados futuramente, em outros
anos escolares. Ensinar a matemática elementar tendo por base a matemática avançada, no
sentido de Klein (1993), se reflete na projeção dos conteúdos ensinados que potencializam o
ensino dos conteúdos futuros.
No caso da multiplicação, entendemos o conhecimento que um professor tem do
trabalho de fatoração, simplificação de frações, expressões numéricas e algébricas como uma
complexidade das atividades envolvendo a multiplicação e a propriedade distributiva em
relação à adição ou à subtração como parte desta dimensão do conhecimento.
Por exemplo, por meio de problemas ou aglomerados de problemas, na
perspectiva de Van de Walle (2009), envolvendo operações de adição e multiplicação, pode-
se, intencionalmente, problematizar questões relativas à ordem em que se realizam as
operações, o que é fundamental para compreender os porquês e dar sentido às “regras” usadas
na resolução de expressões numéricas. Como por exemplo:
1) Comprei cinco pacotes com quatro figurinhas cada e ganhei três pacotes com
4 figurinhas cada, com quantas figurinhas fiquei?
5 x 4 + 3 x 4
2) Ganhei cinco figurinhas de um amigo e comprei três pacotes com 4 figurinhas
cada, com quantas figurinhas fiquei?
5 + 3 x 4
Conexões de conteúdos transversais: as conexões matemáticas que constituem
essa dimensão do conhecimento referem-se à natureza de objetos matemáticos específicos
que, embora tenham abordagens sob várias formas e em diferentes contextos no transcorrer
dos anos escolares, tais objetos podem ser compreendidos a partir de uma característica
comum. No contexto da multiplicação, podemos exemplificar com os conteúdos de
proporção, razão, porcentagem, função afim, que, implicitamente, envolvem a
proporcionalidade que é uma característica comum a todos esses temas. Assim, para discutir a
87
proporcionalidade no ensino de função, o professor pode fazer uso do conteúdo de proporção,
sendo ambos conteúdos permeados, em comum, pela multiplicação na discussão da
proporcionalidade, uma vez que existe um fator de proporcionalidade comum aos dois temas,
conforme esquema elaborado a seguir:
Razão/ proporção Função
2 : 4 = 4 : 8
x 2
x 2
f(2) = 4
f(4) = 8
f (n) = 2 . n
Conexões auxiliares: esta dimensão considera conexões auxiliares e, no caso da
multiplicação, podemos, por exemplo, fazer uso da divisão como conexão auxiliar para
encontrar o número que deve ser atribuído ao multiplicando em determinados problemas. Em
casos onde necessite descobrir a relação um para muitos, é desejável um conhecimento que
permita descobrir o multiplicador para que se obtenha a proporcionalidade em qualquer
quantia a ser multiplicada em determinado problema.
No problema que segue, por exemplo, a divisão pode ser compreendida como uma
conexão auxiliar, uma vez que a divisão não se trata, aqui, de uma conexão intraconceitual
entre as operações de multiplicação e divisão.
Para confeccionar três carros são necessárias 12 rodas, quantas rodas preciso
para confeccionar 5 carros?
Carros Rodas
3 :3 12 :3
1 4
5 5 x 4 = 20
No problema proposto, é expectável que se identifique, dentre outras alternativas,
a relação um para muitos, recorrendo à divisão, e de modo especial, ao máximo divisor
comum, que pode ser considerado conhecimentos constituintes dessa dimensão, ou seja das
conexões auxiliares do KSM.
3.4.3 Knowledge of Practice of Mathematics (KPM)
O subdomínio Knowledge of Practice of Mathematics (KPM) abarca o
conhecimento relacionado às formas de conhecer, criar ou produzir na área de matemática –
conhecimento sintático – aspectos da comunicação matemática, raciocínio e prova
88
matemática. Está incluído nesse subdomínio o conhecimento sobre o que é definir, as
características da definição e seu papel na construção do conhecimento matemático.
No âmbito dos procedimentos em matemática, podemos incluir o reconhecimento
de contraexemplos para invalidar uma conjectura. No caso da multiplicação: um exemplo
pode ser dado a partir da questão: o produto de dois números quaisquer resulta sempre em um
valor maior que um dos fatores? Compreender a multiplicação para além dos números
naturais permite ao professor apresentar contraexemplos (como por exemplo: 0,5 x 0,4) que
resultam valores inferiores aos fatores envolvidos na multiplicação. Desde que um de seus
fatores não seja o elemento neutro da multiplicação, ou seja, o multiplicador ou multiplicando
não pode ser o número 1.
O conhecimento de uma demonstração específica do tema, no entanto, integra o
subdomínio do KoT. O subdomínio KPM é importante tanto para o professor “dar solidez ao
próprio conhecimento, como para saber gerir os raciocínios matemáticos colocados em jogo
por seus alunos na hora de aceitá-los, refutá-los ou refiná-los” (FLORES-MEDRANO et al.,
2014, p. 8).
Cabe destacar que a discussão que acabamos de tecer do Mathematical
Knowledge (MK), em especial dos três subdomínios que o constituem, não teve a pretensão
de delimitar todos os conhecimentos que integram as diferentes dimensões de cada
subdomínio, tendo em vista a complexidade do tema e o movimento contínuo de investigação
das dimensões do conhecimento especializado para o PEM.
Ao contrário, buscamos apenas encetar alguns exemplos relativos ao
conhecimento de multiplicação de modo a oferecer uma maior visibilidade à demanda de
investigações relativa ao conhecimento especializado do PEM relacionado à multiplicação.
No próximo item, passamos a discutir os elementos que compõem cada um dos
subdomínios que constituem o Pedagogical Content Knowledge (PCK), tencionando
exemplificar com conhecimentos didáticos relacionados ao tema multiplicação. Neste
domínio, daremos ênfase às dimensões do conhecimento que integram o subdomínio
Knowledge of Mathematics Teaching (KMT), tendo em vista a mobilização das diferentes
dimensões desse conhecimento nas pesquisas pertencentes às teses que constituem o corpus
do nosso metaestudo.
3.4.4 Knowledge of Mathematics Teaching (KMT)
Segundo Flores-Medrano et al. (2014), pertencem a esse subdomínio
conhecimentos relativos a recursos, materiais, às formas de apresentar o conteúdo e suas
potencialidades para ensiná-lo, assim como ao conhecimento de exemplos que sejam
89
adequados para cada conteúdo, intenção ou contexto específico. Os autores enfatizam que os
conhecimentos deste subdomínio são intrinsicamente dependentes dos temas matemáticos em
si, excluindo, por exemplo, os conhecimentos resultantes de uma visão pedagógica de modo
geral como, por exemplo, proposta de trabalho em duplas ou grupo.
Ao discutir e caracterizar os conhecimentos do subdomínio Knowledge of
Mathematics Teaching (KMT), Escudero-Ávila, Contreras e Vasco (2016) apresentam três
dimensões desse conhecimento, a saber: conhecimento de teorias de ensino associadas a um
conteúdo matemático, conhecimento de características matemáticas específicas de recursos
didáticos para o ensino do conteúdo matemático e conhecimento de estratégias, técnicas e
tarefas para o ensino do conteúdo matemático. A seguir, discutimos essas três dimensões.
Conhecimento de teorias de ensino associadas a um conteúdo matemático: essa
dimensão compreende, dentre outros aspectos, o conhecimento que o professor possa ter em
relação a teorias específicas da Educação Matemática ou de observações e reflexões da
atividade matemática da aula, as quais podem ser provenientes de pesquisas, propostas
didáticas contidas no currículo ou de experiências anteriores do professor (ESCUDERO-
ÁVILA; CONTRERAS; VASCO, 2016).
Por exemplo, conhecer as quatro etapas de uma aula investigativa, a partir dos
estudos de Ponte, Brocardo e Oliveira (2003), que envolvem: (a) preparação, por parte do
professor, de uma atividade exploratória e inquiridora para os alunos; (b) introdução da
atividade e arranque da sua realização pelos alunos; (c) realização, em grupo, da atividade e
da elaboração do relatório da atividade desenvolvida; (d) socialização e discussão coletiva dos
resultados produzidos pelos grupos.
O conhecimento das potencialidades desse tipo de tarefa associado à
multiplicação para o desenvolvimento de tarefas para a aula, e do ambiente para o trabalho
matemático dessas atividades, integra essa dimensão do conhecimento especializado do PEM.
Os conhecimentos dessa dimensão tratam de aspectos teóricos que derivam de estudos
específicos da Didática da Matemática como disciplina científica.
Conhecimento das características matemáticas específicas de recursos didáticos
para o ensino do conteúdo matemático: nesta dimensão são considerados os conhecimentos
relativos às características matemáticas específicas associadas aos recursos didáticos, sejam
eles materiais ou virtuais para ensinar matemática (livro texto, régua, calculadora, softwares,
material manipulável estruturado, entre outros), assim como os benefícios e dificuldades
associados ao uso destes recursos como apoio para o ensino de determinado tema matemático
(FLORES-MEDRANO et al., 2014).
90
Conhecimento das estratégias, técnicas e tarefas para o ensino do conteúdo
matemático: a despeito de esta dimensão do conhecimento estabelecer intensa relação à
anterior, aqui o foco se volta à intencionalidade do professor em relação ao ensino de um
determinado tema matemático. Portanto, esta dimensão abarca o conhecimento sobre o
potencial matemático de certas sequências de atividades, tarefas, estratégias ou técnicas
didáticas na abordagem de um tema em casos particulares de ensino, de modo a atingir o
objetivo proposto. Dentre os aspectos que integram essa dimensão do conhecimento, podemos
considerar: a escolha de exemplos potentes para representar o conteúdo, considerando o
tempo disponível e a intencionalidade da proposta, os elementos que denotam a
intencionalidade do professor ao ensinar determinado tema (FLORES-MEDRANO et al.,
2014).
Segundo Escudero-Ávila, Contreras e Vasco (2016) também são incluídos nessa
dimensão os conhecimentos que abordam uma sequência estruturada de exemplos para
auxiliar na compreensão do significado de um conteúdo matemático, assim como o
conhecimento das condições específicas da sala para a qual se direcionam tais sequências.
Para esses autores, os aspectos dessa dimensão do conhecimento capacitam o professor a
optar/selecionar materiais (livro didático, por exemplo) em função dos benefícios que trazem
para o processo de aprendizagem.
Um exemplo que pode integrar essa dimensão de conhecimento refere-se à
elaboração e à implementação de cadeia de tarefas (ROCHA; MENINO, 2009), cujo estudo
apresenta uma cadeia para desenvolver estratégias de multiplicação. No estudo foram
desenvolvidas quatro tarefas intencionalmente focadas na transição do cálculo por contagem
para o cálculo por estruturação, apoiados na exploração de contextos envolvendo a disposição
retangular de objetos. Para esses autores, o uso de cadeia de tarefas torna-se imprescindível
quando se pretende que a competência matemática se amplie ao longo das experiências
matemáticas dos alunos.
Outro exemplo trata das cadeias numéricas, que objetiva desenvolver nos alunos
o cálculo mental eficiente que contribua a explicitar “determinadas ideias e procedimentos de
cálculo associados a propriedades dos números e multiplicação” (MENDES; BROCARDO;
OLIVEIRA, 2013, p. 143).
91
3.4.5 Knowledge of Features of Learning Mathematics (KFLM)
No subdomínio Knowledge of Features of Learnig Mathematics (KFLM) estão
incluídas diferentes dimensões do conhecimento relacionadas às características de
aprendizagem inerentes ao conteúdo matemático. Segundo Flores-Medrano et al. (2014), o
foco principal do processo de aprendizagem a ser analisado volta-se ao conteúdo matemático
como objeto de aprendizagem, tendo por interesse compreender o conhecimento relacionado
às características de aprendizagem decorrentes da interação do aluno com o conteúdo
matemático, e não nas características do primeiro.
Flores-Medrano et al. (2014) apresentam e discutem as quatro dimensões de
conhecimento incluídas nesse subdomínio a saber: formas de aprendizagem, fortalezas e
dificuldades associadas com a aprendizagem, formas de interação dos alunos com o conteúdo
matemático e concepções dos estudantes sobre matemática
Formas de aprendizagem: nesta dimensão, os autores consideram o conhecimento
do professor relativo aos modos de aprendizagem associados à natureza do conteúdo
matemático.
Fortalezas e dificuldades associadas com a aprendizagem: o foco desta dimensão
relaciona-se ao conhecimento do professor relativo a erros, obstáculos e dificuldades
associados à matemática de modo geral e a um determinado tema específico.
Formas de interação dos alunos com o conteúdo matemático: esta dimensão
envolve os conhecimentos que o professor possui acerca dos processos e estratégias de
aprendizagem dos estudantes, sejam eles convencionais ou não e dos conhecimentos relativos
à comunicação/linguagem e aos termos utilizados para abordar um conteúdo específico.
Concepções dos estudantes sobre Matemática: nesta dimensão estão incluídos os
conhecimentos que o professor possui em relação aos interesses e às expectativas dos
estudantes acerca da disciplina, como, por exemplo, o conhecimento que prejulga em relação
a facilidade ou dificuldade que os alunos associam a diferentes áreas da matemática.
3.4.6 Knowledge of Mathematics Learning Standards (KMLS)
O subdomínio Knowledge of Mathematics Learning Standards (KMLS) inclui os
conhecimentos dos padrões de aprendizagem matemática que têm como principais fontes
currículos institucionais ou não e resultados de pesquisas relacionadas ao estágio de
conhecimento matemático que podem vir de professores experientes. Na perspectiva do
MTSK, um padrão de aprendizagem é compreendido como “instrumento” que indica o nível
92
de habilidades atribuídas aos estudantes em determinado momento escolar para que eles
possam entender, construir e conhecer a matemática.
Para este subdomínio, Flores-Medrano et al. (2014) apresentam e discutem três
dimensões de conhecimento: conteúdos matemáticos elementares a ensinar, conhecimento ao
nível de desenvolvimento conceitual e procedimental esperado e sequenciação de diversos
temas.
Conteúdos matemáticos elementares a ensinar: esta dimensão envolve o
conhecimento do professor acerca de quais conteúdos matemáticos devem ser ensinados no
ano escolar em que está atuando, assim como quais habilidades específicas são esperadas para
desenvolver com estudantes desse ano escolar.
Conhecimento ao nível de desenvolvimento conceitual e procedimental esperado:
refere-se ao conhecimento que o estudante apresenta para um tema/conteúdo em determinado
momento/ano escolar. No caso da multiplicação, entendemos que conhecer o tipo de
procedimento, ou o sentido da multiplicação que se espera de um estudante, por exemplo, do
segundo ano, faz parte dessa dimensão do conhecimento.
Sequenciação de diversos temas: Esta dimensão de conhecimento refere-se ao
encadeamento de temas, seja no mesmo ano/curso ou em anos anteriores50 e subsequentes51.
Como exemplo para a multiplicação, pela proposta contida na BNCC, no 2º ano a
multiplicação (por 2, 3, 4 e 5) deve ser trabalhada de modo a desenvolver habilidades relativas
tanto à elaboração como à resolução de problemas, envolvendo adição de parcelas iguais, e os
significados de dobro, metade, terça parte.
No 3º ano, estende-se para os fatos básicos da multiplicação (por 2, 3, 4, 5, 10),
para o cálculo mental ou escrito, para a resolução e a elaboração de problemas de
multiplicação, envolvendo os significados de adição de parcelas iguais e elementos
apresentados em disposição retangular.
Além dos significados já trabalhados, no 4º ano é incluído o trabalho com a
proporcionalidade, utilizando estratégias diversas como cálculo por estimativa, cálculo mental
e algoritmos, reconhecendo que as regras do SND podem ser estendidas para representação
decimal de um número racional, relacionando-os aos décimos e aos centésimos no contexto
do sistema monetário brasileiro.
50 Conhecimento das habilidades prévias que o estudante tem para enfrentar as tarefas. 51 Conhecimento da potencialidade a ser desenvolvida em relação a um determinado assunto.
93
E, para o 5º ano se propõem problemas envolvendo a multiplicação de números
racionais52 em sua representação decimal, sendo finalmente explicitado o trabalho com o
sentido de combinatória, que envolve o princípio multiplicativo.
Em síntese, este capítulo apresentou uma discussão teórica sobre os principais
aspectos relativos ao ensino e à aprendizagem de multiplicação nos anos iniciais do Ensino
Fundamental de modo a compreender e aprofundar nossos conhecimentos acerca desse campo
de conhecimento. A seguir discutimos o conhecimento especializado do professor que ensina
matemática e descrevemos o modelo Mathematics Teacher’s Specialized Knowledge
(MTSK), visando identificar alguns dos conhecimentos especializados que integram as
diferentes dimensões do conhecimento nos subdomínios do Mathematical Knowledge (MK) e
do Pedagogical Content Knowledge (PCK).
Com base nos referencias discutidos nesse capítulo, passamos a apresentar nossas
análises a partir das sínteses interpretativas das três teses relativa ao PEM nos anos iniciais
que constituíram o corpus deste estudo metassintético.
52 Com restrição à representação decimal finita.
94
CAPÍTULO 4 - SÍNTESES INTERPRETATIVAS DAS TESES: UM OLHAR
PARA O CONHECIMENTO ESPECIALIZADO DO PEM SOBRE A
MULTIPLICAÇÃO
Neste capítulo, buscamos produzir sínteses interpretativas das três teses que
constituíram o corpus de análise relativo à metassíntese do presente estudo, sendo elas a de
Megid (2009), a de Silva (2009) e a de Merlini (2012). Apoiados em Fiorentini e Crecci
(2017), afirmo que essas sínteses não se restringem a resumir os trabalhos. Elas resultam da
elaboração da pesquisadora a partir da análise e da interpretação de cada um desses trabalhos,
com destaque aos aspectos que nos interessam, tendo em vista o foco de estudo da presente
pesquisa: o conhecimento especializado do PEM sobre ensino e a aprendizagem da
multiplicação nos anos iniciais da escolarização.
Para cada uma das sínteses interpretativas apresentamos, inicialmente, a trajetória
de cada pesquisadora, por entender que os desafios enfrentados por elas podem ter
influenciado suas escolhas em relação à definição ou à seleção dos conhecimentos tratados no
processo formativo. A vital relevância em apresentá-la deve-se ao fato de que, ao
compreender a trajetória profissional do formador, se podem desvendar importantes relações
entre sua trajetória e os diferentes aspectos do conhecimento matemático por ele privilegiado
na formação do PEM nos anos iniciais.
Na sequência, de modo a contextualizá-las, descrevemos o caminho
metodológico, destacando o objetivo e a questão ou problema investigativo, o contexto e os
sujeitos, o processo metodológico utilizado e as principais bases teóricas.
Por fim, a ênfase deste capítulo se dará, sobretudo, a partir de nossas intepretações
e análises dos dados e das análises apresentadas nas três teses já referidas, que apresentaram
discussões sobre diferentes aspectos relativos à multiplicação, uma no contexto de formação
inicial e outras duas em contexto de formação continuada.
Nosso interesse em revisitar essas teses objetiva identificar conhecimentos
especializados sobre multiplicação dos PEM, tomando como lente os subdomínios do MTSK.
Nossas análises e interpretações desenvolvem-se a partir dos indícios53 desses conhecimentos,
uma vez que, apesar de os trabalhos terem sido produzidos numa outra perspectiva,
entendemos que, certamente, encontraríamos aspectos do conhecimento especializado do
53 Aqui utilizamos o termo indício no sentido de oferecer sinais ou indicações de conhecimento especializado,
diferentemente do sentido considerado na estrutura analítica do MTSK em que indícios se configuram como
oportunidades de formular perguntas para indagar a amplitude e a profundidade de tal conhecimento.
95
PEM nos anos iniciais relativos à multiplicação, e analisá-los a luz da teoria do MTSK pode
contribuir para identificar e ampliar a compreensão desse campo de pesquisa.
4.1 – Síntese interpretativa do estudo de Megid (2009)
Nesta seção apresentamos uma síntese interpretativa da tese desenvolvida por
Megid (2009) com estudantes de um Curso de Pedagogia no contexto de disciplinas voltadas
ao ensino de matemática. Sua investigação caracterizou-se como uma pesquisa-ação
estratégica com base em Franco (2005) que, permeada pela escrita de memórias e narrativas
de aprendizagem das participantes, reuniu também características de uma pesquisa narrativa
(CLANDININ; CONNELLY, 2000). Dentre outros instrumentos, Megid (2009) organizou o
corpus de análise a partir das narrativas orais e escritas das resoluções das tarefas propostas
sob uma perspectiva exploratória, realizadas em diferentes momentos, ora individualmente
ora em pequenos grupos.
Esta seção subdivide-se em tópicos nos quais apresentamos o percurso da
pesquisadora e as relações que foram se estabelecendo ao longo de sua investigação, os
principais aportes teóricos e um breve contexto do processo formativo, os aspectos
metodológicos da pesquisa, finalizando com nossas interpretações relativas ao conhecimento
especializado para ensinar multiplicação nos anos iniciais identificados na tese de Megid
(2009).
4.1.1 - Trajetória da pesquisadora e conexões com o problema investigado
A trajetória docente de Megid teve início na Educação Infantil onde lecionou por seis
anos, passando depois por lecionar quatro anos nos anos iniciais do Ensino Fundamental.
Com formação em processamento de dados, portanto sem ainda ter cursado o Magistério54,
prezava por continuar a lecionar nos anos iniciais, o que a motivou cursar duas licenciaturas,
Pedagogia e Matemática, que lhe habilitaram à docência nos anos iniciais e finais do Ensino
Fundamental.
Compreender a constituição dos alunos em relação ao estudo de matemática foi
uma busca incessante da pesquisadora, o que pode ser evidenciado quando narra seus 29 anos
de atuação docente na Educação Infantil e no Ensino Fundamental. Destaca a construção do
conhecimento da profissão, ou seja, do seu “eu” professora, relacionando-o com a percepção
da necessidade que tinha em se informar cada vez mais (MEGID, 2009). Nessas buscas,
retornou à universidade, após 15 anos afastada, e encontrou no curso de especialização
54 Magistério – curso de nível médio para lecionar nos anos iniciais e Ed. Infantil.
96
intitulado “Ciência, Arte e Prática Pedagógica” a importância do trabalho em grupo de
professores, cujo ambiente permitia trocas de experiências, o que potencializou seu gosto
pelos estudos compartilhados.
Foi neste contexto que a pesquisadora passou a buscar a produção e a negociação
de significados entre alunos e também entre alunos e professora, sobretudo quando investigou
“os saberes discentes e docentes produzidos ‘em ação’ nas aulas de matemática de uma 6ª
série do Ensino Fundamental sobre o tema Números Relativos” (MEGID, 2009, p. 3). Atenta
aos desafios postos à educação básica, tais experiências mobilizaram-na a investigar, como
dissertação de mestrado, os conhecimentos matemáticos trabalhados e a importância da
interação entre os diferentes atores para que o aluno verbalize e represente matematicamente
suas ideias55.
Em continuidade ao movimento de constituir-se professora, passou a lecionar
disciplinas relacionadas à didática e à metodologia da matemática no curso de Pedagogia,
enfrentando novos desafios, então, no âmbito da formação inicial de professores.
Entendemos que o gosto pelos estudos compartilhados parece ter reverberado em
sua prática docente, uma vez que o enfrentamento à nova situação se desenvolveu em
sincronia com seu ingresso no Grupo de Estudos e Pesquisas sobre Formação de Professores
de Matemática - GEPFPM, vinculado ao Grupo de Pesquisa Prapem (Prática Pedagógica de
Ensino em Matemática).
Foi nesse contexto que, como formadora de professores no curso de Pedagogia
voltada à formação matemática e didático-pedagógica do PEM nos anos iniciais e seu contato,
no GEPFPM, com a Pesquisa Narrativa, procurou novos conhecimentos para formar as
futuras PEM na infância, tendo resultado desse processo sua pesquisa de doutorado.
A pesquisadora tencionou, na tese de doutorado, investigar a aprendizagem das
futuras professoras em relação às quatro operações aritméticas elementares, mediante uso de
narrativas relacionadas às memórias de aprendizagem das estudantes ao longo da vida, e teve
por base atividades reflexivas e tarefas exploratório-investigativas, na tentativa de responder à
seguinte questão de pesquisa:
Que contribuições as narrativas e as dinâmicas de cooperação em um contexto de
prática reflexiva e exploratório-investigativa, envolvendo as operações aritméticas
elementares, podem trazer ao processo de constituição de professoras que irão
ensinar matemática para os primeiros anos do Ensino Fundamental? (MEGID, 2009,
p. 5)
55 Dissertação intitulada: “O processo de produção e elaboração dos conhecimentos pelos alunos e o processo de
produção de conhecimentos pedagógicos e profissionais pela professora” (MEGID, 2009, p. 3).
97
A escrita da trajetória da pesquisadora Megid (2009), aliada aos itens que
trazemos na sequência, estabelece uma breve retrospectiva que nos auxilia a compreender a
organização do processo formativo narrado e analisado em sua tese. Evidenciar o contexto e
as motivações da pesquisadora permite uma maior compreensão acerca de suas escolhas,
contribuindo, assim, para que possamos discutir o conhecimento matemático do PEM na
infância, visando identificar conhecimentos especializados que possam contribuir em sua
atividade docente.
No próximo item, apresentamos a organização da tese de Megid (2009), com
destaque aos principais referenciais, de modo a proporcionar uma visão panorâmica geral de
sua pesquisa.
4.1.2 - Estrutura e caminhos da pesquisa
A tese de Megid56 (2009) investigou o processo de (re)significação do sistema de
numeração decimal e das quatro operações aritméticas básicas de alunas de um curso de
Pedagogia, durante a disciplina Ensino Aprendizagem de Matemática (EAM). Centrada na
(re)construção de saberes, de modo mais específico nas operações aritméticas fundamentais
das alunas participantes de um curso de formação para a docência, destaca como objetivo
investigativo:
analisar e interpretar como se dá o processo de aprendizagem profissional e de
(re)significação dessas noções pelas alunas participantes, bem como os indícios de
mudança de relação com a matemática e seu ensino que elas apresentam ao longo da
experiência formativa, quando utilizados recursos das dinâmicas de cooperação e
das narrativas. (MEGID, 2009, p. 50)
Sua pesquisa adota como aporte teórico Freitas (2006), Josso (2004, 2006), e
Suárez (2008), principalmente em relação às narrativas e às escritas de si; Fiorentini (2006) e
Nacarato (2008), relativo aos conteúdos matemáticos e didático-pedagógicos; e Alrø e
Skovsmose (2006), quanto às dinâmicas de cooperação. Contempla ainda os estudos de
Castro (2003) no que se refere às tarefas exploratório-investigativas, além das contribuições
de Powel e Bairral (2006) para as escritas de narrativas propostas durante a formação.
Em nossa compreensão, o objetivo investigativo e o aporte teórico adotado pela
pesquisadora nos indicam possibilidades de alguns conhecimentos especializados por parte da
formadora-pesquisadora. Ela explicita em seus objetivos e questão investigativa o uso de
conhecimentos fundamentado em teorias resultantes de investigação em Educação
Matemática, tais como as dinâmicas de cooperação e o uso de narrativas; e uma proposta de
56 Sempre que necessário, usaremos a expressão “tese de Megid” para nos referirmos à tese de Megid (2009).
98
formação pautada em contexto de prática reflexiva e exploratório-investigativa. Esse
conhecimento parece integrar uma das dimensões do subdomínio KMT (ESCUDERO-
ÁVILA; CONTRERAS; VASCO, 2016), visto que a experiência prévia da formadora em
relação a tais práticas combinadas com o conhecimento de teorias de ensino associadas a
determinados conteúdos matemáticos (ESCUDERO-ÁVILA; CONTRERAS; VASCO,
2016), podem ter contribuído para que ela fizesse uso desse conhecimento no delineamento da
formação proposta (SCHOENFELD; KILPATRICK, 2008).
Com base nesses referenciais, a pesquisadora focou suas análises em busca de
possíveis (re)significações e aprendizagens de conhecimentos das futuras professoras em
relação às operações aritméticas, a partir de atividades realizadas em experiência formativa
desenvolvida no contexto de formação inicial. Segundo ela, o contexto permeado pelas
Práticas Reflexivas e Exploratório-Investigativas envolveu, dentre outros instrumentos, as
escritas de narrativas de aprendizagem das estudantes, as quais foram tomadas como material
de análise por Megid. O recorte apresentado em sua pesquisa descreve e analisa as tarefas e as
atividades desenvolvidas no processo formativo, conforme a seguinte sequência:
a) o sistema indo-arábico e o trabalho com o ábaco; b) a atividade do cálculo mental;
c) a atividade envolvendo a adição; d) a descoberta do material dourado; e) a adição
e a subtração no ábaco; f) as reflexões sobre a subtração; g) os jogos como auxílio
na aprendizagem da adição e da subtração; h) a multiplicação; i) a tão esperada
divisão. (MEGID, 2009, p. 76)
Ao analisarmos as atividades que integraram a proposta do processo formativo,
encontramos indícios de conhecimentos relativos à sequência de diferentes conteúdos
(KMLS), cuja dimensão é atribuída ao encadeamento de conteúdos, sejam eles no mesmo
ano/curso ou em anos anteriores e subsequentes. A ordem atribuída às tarefas propostas na
formação visou contemplar uma sequência indicada por documentos oficiais.
As práticas desenvolvidas em sala de aula, sobretudo as relacionadas às operações
aritméticas, passavam por três momentos distintos: a princípio as estudantes registravam
individualmente em seus cadernos de narrativas sua própria resolução, usando o cálculo
mental e o algoritmo, conforme aprendido na escola. Feito isso, em duplas ou trios narravam
seus procedimentos umas às outras, discutiam-nos, e, em meio a negociações elaboravam um
registro único do grupo. O terceiro momento destinava-se à socialização, com a turma da sala,
dos diferentes registros de cada grupo, em busca da reconstrução de estratégias na realização
dos cálculos e alternativas diferenciadas para o ensino de algoritmos, fossem eles
99
convencionais ou não. A nosso ver, essa dinâmica contribuía para promover a (re)significação
de conceitos e propriedades de cada um dos conteúdos abordados.
A proposta formativa de Megid (2009) privilegiou, em suas aulas, tarefas e
atividades por ela denominadas como Práticas reflexivas e exploratório-investigativas.
Esperava, a partir da vivência e da reflexão dessas práticas, que esse processo formativo
ajudasse a compreender os aspectos matemáticos vivenciados anteriormente ou que pouco
sabiam, mas que lhes proporcionassem refletir sobre suas crenças, mobilizando-as a ir além da
repetição dos procedimentos que costumavam vivenciar na escola básica.
Percebemos que, fundamentada na literatura e em suas reflexões sobre sua própria
prática, a pesquisadora concebia esse57 processo formativo como um dos caminhos possíveis
para rever a formação inicial dos professores que ensinam matemática na infância. Este fato,
em nossa análise, oferece indícios de duas importantes dimensões do conhecimento
especializado acerca das Teorias de ensino (KMT) (ESCUDERO-ÁVILA; CONTRERAS;
VASCO, 2016). Uma delas, relativa ao conhecimento de teorias de ensino associada a um
conteúdo matemático (ESCUDERO-ÁVILA; CONTRERAS; VASCO, 2016), uma vez que se
apoia em teorias da Educação Matemática e em suas experiências como professora. A outra,
relativa ao conhecimento de estratégias, técnicas e tarefas para ensinar um tema matemático
(FLORES-MEDRANO et al., 2014), ao considerar estratégias e técnicas didáticas específicas
com vistas a atingir o objetivo proposto para a formação (FLORES-MEDRANO et al., 2014).
Ao assumir essa proposta formativa, apoia-se em Fiorentini (2004) e Freitas
(2006), para discutir o processo constitutivo do futuro professor que tende a tornar-se o
principal protagonista de sua formação e desenvolvimento profissional, quando engajado
nessas práticas em ambiente de colaboração. Neste processo, Megid (2009) defende a
necessidade da inserção do licenciando em “um jogo incessante de estranhamento,
problematização e ressignificação sobre o que fez e aprendeu no passado, o que pensa e faz no
presente, e sobre o que poderá fazer no futuro, quando assumir a docência” (MEGID;
FIORENTINI, 2011, p. 181).
Assim, objetivando que as alunas se reconhecessem como protagonistas de seu
desenvolvimento profissional, Megid escolheu estratégias que lhes proporcionassem trilhar
caminhos para (re)construir conceitos básicos de aritmética, julgados por elas como de difícil
compreensão. Para este percurso, elegeu a escrita de narrativas e histórias de vida, apoiada em
57 Tarefas e atividades denominadas por Práticas reflexivas e exploratório-investigativas.
100
Chaves (2000), Freitas e Fiorentini (2007), Josso (2004) e Souza (2006b), por entender que
este recurso metodológico é importante uma vez que
na medida em que permite que suas histórias e narrativas possam ser revistas por
cada aluna e também pelo grupo de alunas, destacando: os valores pessoais que
tinham; os saberes teóricos e práticos que possuíam; os caminhos que tencionavam
percorrer durante a formação inicial no curso de Pedagogia; os saberes teóricos e
para a prática que pretendiam construir. (MEGID, 2009, p. 18)
Nessa perspectiva, a pesquisadora tomou como pressuposto a necessidade de
problematizar as práticas vivenciadas pelas alunas no decorrer de sua trajetória e, para tanto,
convidou-as a resgatar histórias e episódios de aulas de matemática vivenciadas por elas desde
o Ensino Fundamental, por compreender que o trabalho realizado com as escritas
oportunizaria “o cruzamento da sua vida pessoal e a construção de sua prática docente”
(MEGID, 2009, p. 21-22), trazendo significativas contribuições à
(re)construção dos conceitos aritméticos envolvidos nas operações fundamentais,
seu emprego, suas formas de operar, tínhamos a intenção de que elas pudessem não
apenas construir saberes no que se refere à matemática das séries iniciais, mas
também organizar saberes para a docência. Superar as técnicas e os algoritmos com
os quais conviveram, na maioria das vezes sem perceber o sentido, os cálculos que
decoraram de forma descontextualizada, para compreenderem o quê, como e para
que irão ensinar matemática na sua prática docente.
No que se refere às experiências da formação inicial e suas possíveis
consequências à formação dos professores, a pesquisadora, apoiada em Larrosa (1995),
destaca a importância de se superar a repetição de jargões, raramente compreendidos,
utilizando-se de três ou quatro palavras descontextualizadas e geralmente sem sentido
intrínseco ao conteúdo. Assim, a pesquisadora buscou que as estudantes, a partir da escrita de
suas trajetórias, pudessem compreender os conceitos que estão subjacentes, (re)construindo os
conceitos matemáticos para além da dimensão técnica.
Alguns aspectos do conhecimento matemático e suas relações com a escrita
A opção da pesquisadora em problematizar as práticas das alunas a partir de suas
trajetórias, convidando-as a escrever suas narrativas e socializá-las com o grupo, encontram
respaldo na compreensão de que as reflexões acerca das experiências lhes proporcionariam
aprendizagens tanto no que tange à matemática como à atuação docente. Ela ressalta que o
conhecimento não provém da experiência por si só, pois essa apenas terá sentido e
significado se acompanhada de atos mentais e reflexões. Fundamentada em Powell e Bairral
(2006), enfatiza ainda a função “catalisadora de reflexões críticas” oferecidas pela escrita nos
planos individual e coletivo. Nas palavras da pesquisadora, esses autores “apontam a escrita
101
como recurso de natureza metacognitiva que se torna fundamental no processo de
aprendizagem de conceitos matemáticos, bem como na resolução de problemas” (MEGID,
2009, p. 23).
Ao estabelecer a relação entre a escrita, a (re)significação dos conceitos, os
procedimentos matemáticos e o conhecimento matemático, Megid, amparada em Powell e
Bairral (2006), afirma que os autores denominam de “matematização mediante o registro
escrito” o conhecimento matemático que surge por meio da escrita e, segundo ela,
consideram que é possível construir um processo de matematização quando há uma
integração da pessoa com um grupo em que todos têm oportunidade de dar
significados às idéias matemáticas. Essas idéias são constituídas e apresentadas
através de gestos, de desenhos, de narrativas ou de muitas outras formas úteis para
que o pensamento possa ser compartilhado. Assim, matematizar é um processo
natural, próprio de todos os homens e mulheres, que se desenvolve a partir da
tomada de consciência dos aspectos vivenciados. (MEGID, 2009, p. 23)
Desse modo, ao considerar as inquietações das alunas quanto às operações
aritméticas, ansiosas por resolvê-las corretamente58, a pesquisadora problematiza que as
“práticas utilizadas para o cálculo aritmético nas escolas fundamentais, os algoritmos
veiculados, representam uma entre as tantas produções humanas construídas no decorrer da
história para facilitar o cálculo” (MEGID, 2009, p. 26, grifo da autora) e, embora compreenda
a necessidade de que os algoritmos sejam abordados no contexto escolar, defende que não
devem ser o ponto de partida, mas sim de chegada,
de um caminho que se inicia com as ações concretas dos alunos, passando por suas
estratégias pessoais, muitas vezes ancoradas nas habilidades do cálculo mental. A
socialização dos recursos usados pelos diferentes alunos poderá promover uma
aproximação à resolução de cálculos de uma maneira mais simples, cabendo aos
alunos escolher seus próprios recursos. Somente ao final, caso o próprio grupo ainda
não tenha (re)construído os algoritmos tradicionais, estes poderiam ser apresentados
pelo professor. (MEGID, 2009, p. 28-29)
Uma vez apresentados a trajetória e os caminhos da pesquisa de Megid (2009),
cabe destacar que ela privilegiou a exploração dos possíveis modos para resolver mentalmente
as operações básicas, sendo seus procedimentos registrados pelas alunas individualmente em
seus cadernos. Na sequência, as resoluções eram discutidas em duplas ou trios e, por fim,
socializadas com grupo sala, momento em que eram relatados e analisados os diferentes
procedimentos de cálculo mental utilizados pelas integrantes de cada grupo. Conforme
destaca a pesquisadora, oportunizar que os alunos expressem a matemática a partir da escrita
contribui para que eles relacionem o que já sabem ao conhecimento matemático a ser
58 Consideravam resolver corretamente, se utilizassem o algoritmo ensinado nas escolas.
102
trabalhado, além de que a escrita permite a retomada de experiências, possibilitando superar
dificuldades anteriores.
Em nosso entendimento, ao utilizar as narrativas como recurso de natureza
metacognitiva na aprendizagem matemática das alunas de Pedagogia, identificamos indícios
de conhecimentos que integram a dimensão das formas de aprendizagem (KFLM), uma vez
que a formadora-pesquisadora parece ter utilizado as narrativas como uma forma de
aprendizagem associada à natureza do conteúdo matemático.
4.1.3 - Alguns aspectos metodológicos da investigação e o processo formativo
Ao considerar que uma investigação tem como ponto de partida um problema,
é importante destacar que este, quase sempre, vai sendo delineado processualmente, muitas
vezes no decorrer da trajetória profissional e/ou acadêmica do pesquisador. A opção pelo
trabalho com narrativas envolvendo as aprendizagens matemáticas, tem sua origem no
percurso formativo da pesquisadora, que, perpassando o cotidiano da sala de aula, os cursos
de especialização e o mestrado pôde perceber a fragilidade da simples resolução de exercícios
ou problemas nas aulas de matemática. Romper com essa tradição cultural de ensinar
matemática passa necessariamente pela formação do professor de matemática com ênfase na
problematização dessa prática. E, entendemos que o processo de escrita, vivenciado pela
autora por ocasião de sua monografia no curso de especialização, com a continuidade no
mestrado, contribuiu para que tomasse por prática, como formadora de professores, o
incentivo ao registro escrito de seus estudantes sobre esse processo de problematização.
Ao perceber as potencialidades da escrita na problematização e na
compreensão dos conteúdos a serem desenvolvidos pelos futuros professores nas aulas de
matemática do Ensino Fundamental, Megid formula a hipótese de que a “utilização do recurso
de narrativas reflexivas no processo ensino-aprendizagem de matemática poderia constituir-se
numa dimensão formativa e auxiliar ao desenvolvimento dos saberes docentes das professoras
em formação” (MEGID, 2009, p. 47), e, procura, então, investigar as potencialidades desse
recurso no espaço da universidade.
Ao analisar a pesquisa em tela, foi possível evidenciar a relação estabelecida entre
teoria-prática da pesquisadora quando, por exemplo, optava pelo uso das narrativas. Megid,
desse modo, evidenciou conceber a formação como um espaço importante de (re)significação
do conhecimento matemático, compreendendo-a como um processo contínuo e permanente já
no contexto da formação inicial.
103
Assim sendo, apesar da ênfase dada à coleta de dados no 1º semestre durante a
disciplina “Ensino-Aprendizagem de Matemática A”, a pesquisadora manteria o contato com
as alunas em disciplinas ministradas nos três semestres subsequentes. Para ela, o tempo
relativamente longo pode ser explicado “em função da natureza dos processos formativos, os
quais são mais bem percebidos e compreendidos a partir de uma perspectiva diacrônica do
que de uma perspectiva apenas sincrônica” (MEGID, 2009, p. 48).
Tendo em vista a natureza do processo formativo desenvolvido nesses dois anos,
compreendemos que diferentes dimensões do conhecimento especializado possam ter sido
exploradas a partir das relações passíveis de serem estabelecidas, por exemplo, entre os
momentos em que eram protagonistas de sua aprendizagem e os estágios curriculares. Há que
se destacar o papel do estudo numa perspectiva longitudinal no sentido de viabilizar a
realização de entrevistas e de escritas de narrativas em momentos diferenciados do processo
formativo.
Embora em nossa pesquisa, tenhamos optado por investigar as tarefas referentes
às atividades relacionadas à multiplicação, trazemos, o Quando 3, que mostra uma síntese
com os instrumentos utilizados para a coleta de dados pela pesquisadora em cada um dos
semestres em suas respectivas disciplinas.
Quadro 3 –Síntese dos instrumentos de coleta de dados utilizados
1º semestre de 2007
Ensino
Aprendizagem de
Matemática A
2º semestre de 2007
Ensino
Aprendizagem de
Matemática B
1º semestre de 2008
Ensino
Aprendizagem de
Matemática C
2º semestre
de 2008
Inst
rum
ento
de
cole
ta d
e d
ad
os
Aplicação de três
tarefas exploratório-
investigativas.
Escrita de
narrativas.
Gravações em
áudio e vídeo
durante os trabalhos
em classe e nas
apresentações dos
grupos.
Narrativa final,
envolvendo aspectos da
divisão.
Relatos finais das
aprendizagens nos anos
iniciais acerca das
operações fundamentais.
Entrevistas individuais
audiogravadas com seis
alunas participantes do
grupo.
Entrevistas individuais
audiogravadas com duas
alunas do grupo.
Última atividade com as
alunas: narrativa coletiva a
respeito das ações
realizadas nas três
disciplinas.
Gravação em vídeo da
construção coletiva da
narrativa.
Narrativa
final escrita
das três
alunas
escolhidas
para a
composição
das
narrativas de
formação.
Fonte: Dados extraídos de Megid (2009, p. 49)
A síntese dos instrumentos apresentada no Quadro 3 pode, implicitamente,
expressar a quantidade de material produzido a ser analisado pela pesquisadora. Entretanto,
dado o objetivo investigativo da experiência do processo formativo em
analisar e interpretar como se dá o processo de aprendizagem profissional e de
(re)significação dessas noções pelas alunas participantes, bem como os indícios de
mudança de relação com a matemática e seu ensino que elas apresentam ao longo da
experiência formativa, quando utilizados recursos das dinâmicas de cooperação e
das narrativas (MEGID, 2009, p. 50-51),
104
a pesquisadora optou por construir o processo analítico, tecendo sua narrativa em dois
caminhos: o primeiro constitui-se pelas narrativas centradas nas operações fundamentais, em
que faz discussões a partir dos registros orais e escritos das alunas em geral, dos cartazes
realizados em grupos e das anotações apontadas nos cadernos de memórias. O segundo, a
partir da difícil decisão em eleger a narrativa de formação de uma das alunas – Andressa –,
definida por critério de ser a única aluna participante que, à época, atuava59 com crianças de
1ª a 4ª série do Ensino Fundamental.
Assim, após definir e organizar o corpus de análise da tese, a pesquisadora
desenvolveu suas análises, baseada na triangulação das fontes de dados e das alunas
participantes da pesquisa, seguindo o modelo usado por Lopes (1998), conforme se vê na
Figura 6.
Figura 6 – Esquema de triangulação de sujeitos e fontes de informações
Fonte: Megid (2009, p. 52)
A Figura 6 sintetiza o cenário investigativo da pesquisa, que teve como
elementos centrais para a coleta de informações três polos distintos, constituídos
simultaneamente em sujeitos e objetos de investigação: a professora-pesquisadora; as alunas
(em ações individuais); os pequenos grupos (duplas, trios ou a turma toda). A pesquisadora
destaca que o trabalho realizado em colaboração nos grupos, os debates e as discussões, as
59 Sua atuação era como professora de reforço em escola regular.
105
exposições orais e os cartazes, além das narrativas coletivas, contribuíram para que as alunas
superassem suas individualidades e se tornassem sujeito-objeto coletivo (MEGID, 2009).
Após essa breve síntese interpretativa da tese de Megid (2009), apresentamos, na
sequência, nossas interpretações acerca dos principais episódios dentre os quais identificamos
discussões relativas ao nosso tema de interesse, qual seja a multiplicação. Assim, a partir das
análises tecidas por Megid, desenvolvemos nossas análises e interpretações com auxílio dos
autores que abordam questões relativas ao campo da multiplicação discutidas no capítulo 3 e
com as lentes do conhecimento especializado do professor que ensina matemática na
perspectiva do MTSK (Carrillo et al., 2013).
4.1.4 – Conhecimento especializado para ensinar multiplicação: alguns indícios identificados
na tese de Megid (2009)
A tese de Megid (2009) apresentou e analisou diversos episódios envolvendo
conteúdos relativo ao Sistema de Numeração Decimal e às operações de adição, subtração,
multiplicação e divisão, realizadas em diferentes etapas de trabalho. Com base nas tarefas
exploratórias, sua proposta privilegiou as dinâmicas de cooperação e as narrativas, tendo
atuado como formadora-pesquisadora.
O nosso objetivo em revisitar sua tese consiste em descrever e analisar os indícios
de conhecimento especializado do professor para ensinar multiplicação nos primeiros anos de
escolarização que se encontram subjacentes ou presentes em pesquisas brasileiras produzidas
nos programas de pós-graduação stricto sensu nas áreas de Educação e Ensino, no período de
2001 a 2012 e, para isso, nos concentramos em focar alguns dos episódios que mobilizam ou
exploram conhecimentos matemáticos docentes relativos ao ensino de multiplicação.
Entretanto, considerando que tais episódios decorrem da tarefa proposta ao grupo sala,
realizamos inicialmente uma discussão acerca dos conhecimentos especializados que
pudemos identificar na tarefa elaborada pela formadora para, na sequência, tecer algumas
análises relativas aos episódios.
Baseada no conceito “cenários de investigação” de Alro e Skovsmose (2006, p.
56), a pesquisadora construiu um ambiente para a realização de atividades pautadas no que
denominou de práticas exploratório-investigativas.
106
Para problematizar as diferentes estratégias e possibilidades de cálculo aritmético,
a formadora inicialmente propôs a realização de uma atividade envolvendo cálculo mental60
na perspectiva de Parra (1996), com objetivo de levar as alunas a compreender “que a melhor
maneira para resolver um cálculo, para uma pessoa, não necessariamente o será para outra”
(MEGID, 2009, p. 88). Após a realização e a discussão dessa atividade, foram propostas
tarefas relativas à adição e à subtração, ao uso do material dourado, além de jogos para
auxiliar a compreensão da adição e da subtração.
Na sequência, a formadora propôs o desenvolvimento da tarefa de multiplicação,
em três etapas diferentes, descrita na Figura 7.
Figura 7- Ficha roteiro de tarefa sobre a multiplicação
Fonte: Megid (2009, p. 121)
Em nossa análise, relativamente à tarefa proposta, convém destacar algumas
dimensões do conhecimento especializado relativo ao PEM que pudemos identificar em
diferentes domínios integrantes do modelo MTSK.
A formadora elaborou as tarefas de multiplicação, considerando a construção de
um ambiente de aprendizagem e, para isso, tomou por base o conceito de “cenários de
investigação”, compreendendo-o como um conhecimento resultante de investigações em
Educação Matemática. Este fato nos oferece indícios de conhecimento de uma das dimensões
que integra o KMT relativo ao conhecimento de teorias sobre o ensino por parte da
formadora.
60 Nesta tarefa inicial, as alunas organizaram-se em grupos e trabalharam as quatro operações aritméticas.
107
Em nossa compreensão, ao traçar como objetivos da tarefa: Conhecer, explorar,
representar e caracterizar a multiplicação, e, Reconhecer as propriedades da multiplicação e
suas aplicações, a proposta da formadora parece favorecer a mobilização das big ideas da
multiplicação na perspectiva de Fosnot e Dolk (2011). Neste sentido, entendemos que, para
atingir tais objetivos (da tarefa), é fundamental ao formador um conhecimento aprofundado de
multiplicação, considerando, por exemplo, a compreensão de um grupo como unidade
unitizing, a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição e à subtração; a
propriedade comutativa e a propriedade associativa da multiplicação; e os padrões de valor de
posição associados à multiplicação por dez, ou seja, as big ideas, conforme Fosnot e Dolk
(2011). Embora a problematização e a exploração das tarefas possam desempenhar um papel
importante na mobilização das big ideas na formação do PEM, há que se investigar o
conhecimento que se espera do formador do PEM.
Após essa breve análise da tarefa aplicada às alunas de Pedagogia, selecionei
alguns registros de episódios apresentados e analisados por Megid (2009), nos quais
identificamos conhecimentos especializados do PEM com foco na multiplicação.
Eles se referem aos excertos das discussões trazidas por integrantes do primeiro
grupo, ao apresentar e discutir o cartaz com a turma61, acerca da realização de tarefas de
multiplicação. Outros registros selecionados referem-se ao cartaz e a excertos de apresentação
oral de outros dois grupos que, em minhas análises, se complementam, tendo sido
selecionados pela riqueza de conhecimentos mobilizados.
O foco de análise desses excertos consistiu em identificar e analisar o
conhecimento especializado, com ênfase nos três subdomínios do Mathematical Knowledge
(MK) mobilizados nesse contexto, e, no subdomínio Knowledge of Mathematics Teaching
(KMT) que integra o domínio Pedagogical Content Knowledge (PCK).
Neste primeiro episódio, discutimos as tarefas e as atividades de multiplicação
realizadas a partir de reflexões individuais, atividades em pequenos grupos e socialização do
trabalho realizado com a turma toda. A Figura 8 apresenta a atividade realizada
individualmente pela aluna Tayná, iniciando pelo algoritmo tradicional, seguido de suas
explicações e procedimentos alternativos.
61 Deste primeiro grupo, analisamos episódios desenvolvidos nos três momentos acerca da realização de tarefas
de multiplicação. A escolha por esse grupo deve-se ao fato de podermos complementar as análises com outros
conhecimentos que pudessem ser mobilizados nas apresentações de grupos subsequentes a ele.
108
Figura 8- Registro individual da aluna Tayná sobre multiplicação
Fonte: Megid (2009, p. 122)
Quando Megid analisou o registro individual da aluna Tayná, ela destacou a
percepção da aluna acerca de iniciar a operação pelas unidades ou dezenas; isto é, da esquerda
para a direita ou da direita para a esquerda. Megid parece associar essa percepção como sendo
(2)
(1)
109
resultante de um processo que teve seu início com as explorações anteriormente realizadas
com a operação de adição.
Agora, no trabalho com tarefas de multiplicação, ao utilizar e explicar um
procedimento não tradicional, a aluna percebeu que também na multiplicação não há a
obrigatoriedade em iniciar a operação pela unidade. “O interessante é que na 1ª operação eu
comecei a multiplicação pela unidade, e na 2ª operação eu comecei pela dezena” (Registro de
Tayná [MEGID, 2009, p. 122]).
Em nossa interpretação, na perspectiva do MTSK, a percepção da aluna oferece
indícios de conhecimento referente às propriedades e aos fundamentos da multiplicação
(KoT) visto que, conforme destaque na Figura em (1)62, a princípio utilizou informalmente a
propriedade distributiva em relação à adição. Na sequência, posteriormente, no destaque (2)
da figura, buscou generalizar o uso informal da distributiva para qualquer situação de
multiplicação, exemplificando ainda com números envolvendo a ordem das centenas.
Consideramos, assim como Megid, que este é um forte argumento, pois o uso de
um procedimento não convencional, no caso a decomposição aditiva de um dos fatores
envolvidos na multiplicação 23 × 2, pode ter auxiliado a explicitar as duas parcelas resultantes
da multiplicação de cada uma das parcelas oriundas da decomposição, como podemos
observar a seguir:
Decompondo
aditivamente o 23:
Recorrendo à propriedade
distributiva
46
Em nossa interpretação, a solicitação de que a operação fosse realizada de mais de
uma maneira denota um conhecimento especializado, por parte da formadora referente à
dimensão do Conhecimento e das estratégias, técnicas e tarefas para ensinar um conteúdo
matemático (KMT) que dentre outros aspectos, Flores-Medrano et al. (2014) ressaltam como
conhecimentos integrantes da dimensão do conhecimento relativa à escolha de exemplos
potentes para representar o conteúdo, considerando o tempo disponível e a intencionalidade
da proposta do professor ao ensinar determinado tema, neste caso a multiplicação.
Decorrente desse fato, há indícios de que, ao estabelecer a relação entre a
estratégia utilizada – decomposição aditiva – e a multiplicação, a futura PEM nos anos iniciais
explicita um conhecimento relativo à propriedade distributiva da multiplicação, sendo essa
62 Destaques (1) e (2) apontados por nós na Figura 7
110
uma dimensão do conhecimento matemático referente as propriedades e fundamentos
atribuídos a determinado tema ou procedimento específico (KoT).
Compreendemos que o uso do procedimento alternativo realizado pelas alunas
parece fazer parte de “frutos iniciais” do trabalho previamente desenvolvido no processo
formativo em análise, que teve como ponto de partida a exploração do cálculo mental,
realizado a partir das tarefas que antecederam as quatro operações. Assim, entendemos que a
sequência de tarefas elaboradas pela formadora parece reunir conhecimentos sobre o
potencial matemático de uma determinada sequência de atividades, tarefas na abordagem
das operações aritméticas, de modo a atingir o objetivo proposto, que se constitui em uma
dimensão do conhecimento que integra o KMT.
Ainda que representada informalmente, a decomposição aditiva (20 e 3) parece ter
favorecido o uso da propriedade distributiva, possibilitando ao estudante estabelecer a relação
entre esses resultados e a operação de adição, evidenciando que a soma de a e b equivale à
soma de b e a. Comprovada essa relação de equivalência entre as parcelas, ainda que não
tenha sido explicitada, pode ter favorecido a percepção de que a multiplicação pode iniciar
por qualquer um dos algarismos dos fatores envolvidos na operação, e, nesse aspecto, as
relações observadas entre tais procedimentos matemáticos podem ter mobilizado diferentes
dimensões do conhecimento que integram os subdomínios do Mathematics Teacher’s
Specialized Knowledge associados à operação de multiplicação do futuro PEM.
Em nossas análises, compreendemos que a natureza da tarefa proposta numa
perspectiva exploratório-investigativa, referindo-nos de modo mais específico ao primeiro
momento em que as alunas foram convidadas a escrever, individualmente, “com palavras” a
forma utilizada para resolver duas das operações explicando os procedimentos escolhidos,
denota um conhecimento que integra uma outra dimensão do KMT, a que envolve
conhecimentos de teorias de ensino associadas a um conteúdo matemático (ESCUDERO-
ÁVILA; CONTRERAS; VASCO, 2016). Este fato encontra respaldo na opção da formadora
pela proposta do trabalho com narrativas e tarefas exploratórias, pautadas em Teorias da
Educação Matemática.
Comunicar por escrito o modo pelo qual resolveram as operações parece ter
mobilizado o sentido matemático de conhecimentos que eram ressignificados à medida que a
sintaxe e a semântica puderam ser exploradas de maneira inter-relacionada no decorrer do
processo. Isso posto, entendemos que o conhecimento produzido em contexto de tarefas
exploratório-investigativas pode ser altamente contributivo nos processos formativos na
medida em que viabiliza ao professor justificar os procedimentos utilizados e conhecer outros,
111
relacionando-se à sua necessidade em conhecer profundamente a matemática que ensina
(FIORENTINI; OLIVEIRA, 2013).
Megid (2009) ressalta que teve como intenção oferecer um ambiente que
permitisse o envolvimento das alunas, levando-as a reflexões acerca das tarefas propostas, de
modo a promover um processo de investigação. Entretanto, cabe explicitar que, embora em
seu estudo tenha optado por nomear as atividades utilizadas de “práticas reflexivas e
exploratório-investigativas”, sua proposta quanto ao processo de investigação apoia-se no
sentido de Alro e Skovsmose (2006, p. 123): “Realizar uma investigação significa abandonar
a comodidade da certeza e deixar-se levar pela curiosidade”.
Em nossa interpretação, essa proposta parece ter promovido certos conflitos entre
o modo de fazer matemática das estudantes individualmente e no coletivo do grupo,
mobilizando-as a encontrar e ressignificar os caminhos para o trabalho com multiplicação. Na
Figura 9, apresentamos a síntese do grupo registrada pela própria Tayná.
Figura 9- Registro do grupo Tayná/Andressa/Andreia – Multiplicação
Fonte: Megid (2009, p. 123)
(1)
(2)
(3)
112
Na segunda etapa do processo formativo, outros conhecimentos profissionais
foram identificados por Megid (2009). Em sua análise, a autora destacou que muitas das
considerações contidas no registro de Tayná foram também registradas na síntese do grupo,
fato este que se deve à semelhança dos procedimentos utilizados individualmente pelas
integrantes do grupo.
Entretanto, em nosso zoom sobre as três etapas realizadas por esta equipe de
estudantes, inferimos que o fato de a aluna Tayná ter elaborado a síntese do grupo pode ter
influenciado a ênfase do que ela própria tenha realizado em suas tarefas individuais. Portanto,
cabe problematizar o papel de cada um dos participantes de uma equipe em processo de
formação de professores, um aspecto que talvez demande mais investigações nos contextos de
formação inicial.
Em nossa interpretação, destacar essa questão evidencia-se contributiva para
compreender como se dá a mobilização de conhecimentos do professor/futuro professor em
processo formativo, pois, nessa segunda etapa, ao que tudo indica, parece ter havido uma
tentativa de sistematização dos “achados matemáticos” das alunas, o que pode ter ocorrido a
partir da discussão do material produzido individualmente. Tal discussão foi possível devido
ao planejamento inicial da pesquisadora/autora que disponibilizou um espaço-tempo
suficiente que permitiu a realização dessa atividade, em sala de aula, na segunda etapa
proposta.
Embora todas as alunas tivessem inicialmente realizado a operação utilizando o
método convencional, no registro do grupo fica explícito a descoberta de outros métodos
como destaques (1) (Fig. 9) para resolver as multiplicações para além do convencional.
Utilizaram a decomposição dos fatores e apoiaram-se nos princípios da propriedade
distributiva para desenvolver a multiplicação. A afirmação do grupo parece oferecer indícios
de conhecimentos que integram a dimensão dos Procedimentos relativo à multiplicação
(KoT), uma vez que os procedimentos alternativos utilizados podem ajudar na compreensão
dos fundamentos do algoritmo (CONTRERAS et al., 2017).
Ao explicar o primeiro procedimento63 utilizado, elas enfatizaram a
potencialidade desse para que seus alunos (as crianças da escola) compreendam a relação de
ordem – centenas, dezenas, unidades (c.d.u) – associando-os aos valores absolutos e relativos.
Entendemos que essa relação estabelecida pelas futuras PEM evidencia indícios de
conhecimentos que integram a dimensão das conexões interconceituais (KSM), uma vez que
63 Conforme expresso no destaque (2) da Figura 9.
113
se constitui de conhecimentos de relações estabelecidas entre diferentes conteúdos a ensinar
em diferentes níveis escolares (MONTES et al., 2013). Compreendemos que o conhecimento
de procedimentos alternativos para a multiplicação não seja suficiente, mas talvez
fundamental para que o PEM nos anos iniciais sinta-se à vontade na matemática que ensina
(PONTE; SERRAZINA, 2000).
Ao analisarmos o registro síntese deste grupo, encontramos indícios de que a
discussão ocorrida nos grupos permitiu uma negociação de sentido dos procedimentos
utilizados individualmente, os quais parecem ter sido contributivas à promoção de outros
conhecimentos relativos à multiplicação. Destacamos, na Figura 10, os principais indícios que
identificamos, consoantes ao referencial teórico discutido em nossa pesquisa.
Figura 10 - Registro de dois modos do grupo Tayná/Andressa/Andréia multiplicar 23 por 67
10a 10b
Fonte: Megid (2009, p. 123)
No registro da síntese do grupo, as alunas apresentaram dois procedimentos
parecidos para efetuar a multiplicação de 23 × 67.
No primeiro (Fig. 10a), se utilizaram da decomposição linear dos números e,
informalmente, ao aplicar a propriedade distributiva, apoiaram-se no cálculo mental para
multiplicar as parcelas duas a duas. Ao registrar, detalhadamente, destacaram o “e”,
indicando-o com um “+”, na busca de melhor compreender ou explicar (a si próprias e às
colegas) o sentido a ele atribuído, ou seja, cada um dos valores refere-se a uma parcela
resultante da multiplicação a ser somada para a obtenção do produto.
Ao descrever o segundo procedimento (Fig. 10b), embora utilizassem a
decomposição dos números e a propriedade distributiva, desta vez, as alunas “armarram” as
contas verticalmente, o que parece tentar mesclar os dois métodos que vinham utilizando: o
convencional e o alternativo. Nesse está implícito o uso da propriedade distributiva, seguida
do uso do algoritmo convencional da multiplicação, conhecimentos que integram a dimensão
114
das propriedades e dos fundamentos da multiplicação (KoT). Ao justificar esse procedimento,
elas relataram que “nesse tipo de operação utilizamos a separação das casas (dezena e
unidade). É interessante esse modo, pois estimula o aluno a prestar atenção no número e saber
realmente quanto ele vale” (MEGID, 2009, p. 123). Em nossa interpretação, a justificativa da
aluna – futura professora – apresenta indícios de conhecimento especializado relativo ao
ensino de matemática (KMT). O fato de ela explicitar o potencial matemático da estratégia
utilizada na multiplicação, relacionando-a a outros conteúdos matemáticos envolvidos (SND),
integra a dimensão de Conocimiento de las estrategias, técnicas y tareas para la enseñanza
referente ao conteúdo de multiplicação (KMT). Entendemos esse como um conhecimento
especializado do professor para ensinar multiplicação, visto que lhe oferece conhecimentos
para optar por exemplos que considerem o tempo e a intencionalidade proposta ao ensino do
tema (FLORES-MEDRANO et al., 2014) que, neste caso em especial, refere-se à
multiplicação.
Em nosso entendimento, este segundo procedimento oferece indícios de uma
tentativa de aprimoramento dos procedimentos iniciais, que pode ter sido desenvolvida a
partir da confiança que foi sendo adquirida pelas estudantes de Pedagogia em relação aos
aspectos operacionais da multiplicação que, gradativamente, foram sendo compreendidos no
decorrer do processo formativo. Em nossa análise, consideramos ainda que, possivelmente, a
discussão ocorrida na negociação de sentidos parece ter contribuído para que utilizassem
distintas representações, as quais foram sendo “refinadas” para que elas pudessem
compreender, ressignificar e dar sentido à operação de multiplicação.
No último registro produzido na síntese do grupo, evidenciamos a organização das
ideias contidas nos registros iniciais de modo ainda mais detalhado para a compreensão da
decomposição do primeiro número multiplicado pelos valores decompostos aditivamente do
segundo número, indicando os resultados parciais, os quais são totalizados ao final (vide Fig.
11).
115
Figura 11 - Registro do grupo Tayná/Andressa/Andréia multiplicar 23 por 12
Fonte: Megid (2009, p. 123)
Em nosso entendimento no registro da operação 23 × 12 (Fig. 11), o grupo quis
evidenciar os valores relativos de cada um dos algarismos que compõem os números
envolvidos na multiplicação de modo ordenado/organizado, com a indicação dos respectivos
subtotais. É possível perceber que, nessa etapa, as alunas explicitaram as multiplicações
resultantes da propriedade distributiva, tentando apresentá-las de modo organizado: iniciando
pelas dezenas e depois pelas unidades, diferentemente do que normalmente se faz ao utilizar o
algoritmo tradicional da multiplicação.
Pensamos também que tais explicitações podem ter sido decorrentes do tipo de
tarefa proposta pela formadora que, numa perspectiva exploratória, oferecia “atividades
abertas, exploratórias e não-diretivas do pensamento do aluno e que apresentam múltiplas
possibilidades de alternativa de tratamento e significação” (FIORENTINI; CRISTOVÃO,
2006, p. 29), o que novamente identificamos como indícios de um conhecimento que integra
uma das dimensões do KMT, a que envolve conhecimentos de teorias de ensino associadas a
um conteúdo matemático (ESCUDERO-ÁVILA; CONTRERAS; VASCO, 2016) por parte da
formadora.
Na sequência64, entendemos que as estudantes aplicaram as ideias da propriedade
distributiva para realizar a operação 5 × 23, considerando, a princípio, os valores absolutos do
multiplicando, o que pode ser observado ao registrarem inicialmente:
5 × 23 2 × 5 = 10 [...]
Entretanto, considerando que a resolução da multiplicação 23 × 12 (Fig. 11) nos
dê indícios de que as alunas já haviam percebido/compreendido o uso do valor relativo na
resolução da multiplicação, ao decompor os fatores envolvidos, compreendemos que elas
buscaram uma alternativa para concluir a expressão a contento. Em decorrência desse fato,
64 Registro da resolução da operação 5 × 23 na Figura 10.
(1)
116
entendemos que parece que elas perceberam não fazer sentido o resultado 10, porque, logo na
sequência, se empenharam em “reparar” a resolução, complementando com a multiplicação
por 10, indicando com um “d” que parece indicar dezena: “× 10d”, fazendo o mesmo para o
“×1u” em que o “u” parece indicar unidade.
5 × 23 2 × 5 = 10 × 10d = 100 (sic em relação a primeira igualdade)
3 × 5 = 15 × 1u = 15
Em nosso entendimento, essa complementação nos permite discutir diferentes
aspectos relativos ao conhecimento de multiplicação.
Um deles refere-se à visibilidade dada pelo exemplo anterior de que o uso de
diferentes procedimentos65, de certa forma, exige do professor um conhecimento profundo da
matemática que está a ensinar, uma vez que, o “reparo”, ou seja, o complemento por “× 10d”
parece ser decorrente da compreensão gradativa que vinha sendo realizada em relação à
decomposição e à propriedade distributiva. Tal “reparo” auxiliou a resgatar conhecimentos
relativos ao sistema de numeração decimal (SND), sobretudo, ao especificarem o 10
indicando com um “d” que se trata de dezena (× 10d), e o 1, seguido por “u”, para indicar que
se trata de unidade (×1u).
Apesar do equívoco66 em relação ao uso do sinal de igualdade, as expressões
destacadas acima parecem ter oferecido uma “porta aberta” para futuras aprendizagens
(RIBEIRO, 2016, p. 2), uma vez que, em nosso entendimento, essa representação pode
contribuir para explorar outros temas como, por exemplo, a escrita de um número por meio da
decomposição e o uso da potência de base 10.
Ao finalizar as atividades realizadas pelo grupo de Tayná, apresentamos, na
Figura 12, o cartaz em que as alunas expuseram, e apresentaram as principais etapas da
exploração – terceiro momento –, com as observações e/ou análises da professora formadora,
e em seguida, voltamos nosso olhar para o conhecimento matemático do futuro PEM referente
à multiplicação.
65 Algo que, por vezes, pode parecer “aparentemente” simples. 66 Este equívoco relativo ao sinal de igualdade será problematizado mais adiante.
117
Figura 12 - Cartaz do grupo Tayná/Andressa/Andréia e a respectiva apresentação oral
Tayná: Todas resolvemos primeiro da forma
tradicional. Depois, fizemos pela decomposição.
Vimos que trabalhava a adição junto com a
multiplicação.
A segunda foi pela decomposição.
O que a gente quer ressaltar é esta terceira, que foi
bem diferente.
Mas tem que ser vezes 10 novamente, porque o 2 é
da dezena, então é 20.
5 x 2 = 10 x 10 = 100 (sic, em relação à primeira
igualdade)
3 x 5 = 15 x 1 = 15
Formadora: Quem de vocês fez desse jeito?
Andressa: Eu, porque queria fazer de outro
jeito, e porque nunca tinha pensado nisso.
Comecei fazendo a distributiva e aí não deu
certo. Porque percebi que não era 5 x 2.
Agora o outro jeito, o 2º, é o aperfeiçoamento
desse. Com a ajuda da Tayná e da Andréia a
gente fez assim, mas esse modelo é da Andréia.
Formadora: Tayná comentou que não conseguia perceber o porquê daquele 10 vezes 20:
Tayná: Fiquei me perguntando e não conseguia entender. Até perguntei: Gente, por que 20 x 10?
Com a ajuda do grupo é que vi que era da dezena.
Andréia: Esses dois modelos acabam mostrando qual realmente é a posição do número, que o número
não é sempre unidade, às vezes é dezena e aí dá para perceber o porquê do resultado.
Andressa: É perceber a diferença entre o valor absoluto e relativo do número que está dentro da
multiplicação. O valor relativo do 2 é vinte, ele está na dezena.
Fonte: Adaptado de Megid (2009, p. 124-125)
20, porque está na dezena, e 10, porque
também o 1 está na dezena. Aí dá 200.
Daí o 20 de novo, porque o 2 é da
dezena, vezes o 2, dá 40. O 3 vezes o
10, porque o 1 é da dezena, fica 30. E o 3
x 2, que é 6, porque os dois são unidades.
118
Ao tomar como um dos focos de análise a aprendizagem docente, Megid (2009)
evidencia, nesse terceiro momento, a percepção das alunas em relação ao valor relativo dos
algarismos que compõem os números. Ao constatar o papel da reflexão em grupo, a
pesquisadora apoia-se em Kraemer (2008), entendendo que os momentos de debate
apresentados mostram a importância das reflexões e das discussões sobre as questões
levantadas em atividades realizadas no âmbito de um grupo restrito de colegas comprometidas
num mesmo trabalho (KRAEMER, 2008 apud MEGID, 2009, p. 125).
Em nossa pesquisa, com foco no conhecimento especializado relativo à
multiplicação, na tese de Megid (2009), analisamos os registros relativos à apresentação pela
equipe de Tayná no coletivo da sala de aula.
Para nós, a justificativa do grupo apresentada por Tayná demonstra que as alunas
do grupo conhecem o algoritmo típico da multiplicação expressa na frase: Todas resolvemos
primeiro da forma tradicional. Compreendemos que este conhecimento se relaciona àquele da
matemática escolar, isto é, um conhecimento comum – no sentido de Ball, Thames e Phelps
(2008) – e que todos devem saber e aprender. Entretanto, há de se frisar que conhecer a forma
tradicional de realizar uma operação de multiplicação é apenas uma das dimensões do
conhecimento deste tema, a que está associada aos procedimentos matemáticos relacionados
ao conteúdo de multiplicação (KoT) no sentido de Carrillo et al. (2013).
Há que se ressaltar que neste subdomínio (KoT), segundo as dimensões do
conhecimento na perspectiva de Escudero-Avila (2015), conhecer os procedimentos
associados a um determinado conteúdo está relacionado ainda com outros dois aspectos, quais
sejam: o “como se faz” e o “quando se pode fazer”. Dentre esses dois aspectos, entendemos
que o primeiro tenha sido contemplado nas discussões tecidas ao longo da pesquisa de Megid
(2009). Quanto ao segundo aspecto, o “quando se pode fazer”, mesmo sem a intencionalidade
de contextualizar a multiplicação, reconhecendo sua importância, a formadora/pesquisadora
salienta ter discutido alguns dos contextos em que poderiam utilizá-lo:
Ela se encontra no sentido do cálculo das diferentes áreas; nas situações que
envolvem o sentido combinatório; nas disposições retangulares; no cálculo da soma
de parcelas iguais, como indicado por vezes pelas alunas, entre outras situações
possíveis. Sendo assim, consideramos importante explorar cada uma delas como
possibilidade de ampliar a compreensão desta operação. (MEGID, 2009, p. 142)
E, neste sentido, cabe ressaltar a potencialidade da tarefa investigativa quanto às
possibilidades em contemplar tais aspectos, diante das solicitações elencadas na tarefa.
Enquanto as três primeiras solicitações da parte individual da tarefa contribuíram para
responder ao “como se faz?”, a última “Diga como esse procedimento seria utilizável em
119
qualquer situação de multiplicação”, pôde auxiliar a discussão e a problematizaçãode
“quando se pode fazer?”.
Compreendemos que a discussão e a problematização dos procedimentos
utilizados, nos diferentes contextos de formação, podem ser consideradas fundamentais para
promover o conhecimento especializado do professor que ensina matemática nos anos
iniciais. Entretanto, sabemos que discutir e problematizar cada uma das temáticas demanda
não apenas tempo, mas também um conhecimento especializado do formador. Urge, ainda,
enfatizar que, para além do conhecimento especializado do formador, há tempo as pesquisas
brasileiras acusam que o espaço destinado à formação inicial do professor em quase nada tem
contribuído para que essas problematizações possam efetivamente ocorrer.
Continuando nossas análises, como segunda opção, a mesma estudante Tayná parece
expor com firmeza e propriedade a realização da operação de multiplicação por meio da
decomposição, como se expressa na frase: “Depois, fizemos pela decomposição. Vimos que
trabalhava a adição junto com a multiplicação. A segunda foi pela decomposição”.
A afirmação apresentada no fragmento acima demostra que as integrantes do
grupo tinham um certo conhecimento a respeito da decomposição numérica e isso nos dá
indícios de que estabeleciam alguma relação entre a adição e a multiplicação, quando
destacam que “Vimos que trabalhava a adição junto com a multiplicação”, conforme
explicitaram no registro a seguir, visto na Figura 13.
Figura 13 – Excerto do cartaz do grupo Tayná/Andressa/Andréia
Fonte: Megid (2009, p. 124)
Este conhecimento apresentado pelas graduandas de Pedagogia acerca da
decomposição numérica, quer seja expresso no cartaz ou na exposição oral à turma, –“Depois
fizemos pela decomposição” – está relacionado ao subdomínio dos procedimentos
algorítmicos, que, neste caso, se trata de um procedimento alternativo (KoT). O argumento
120
utilizado pelas alunas parece enfatizar o uso da decomposição e justificar esse uso com a
afirmação de que “Vimos que trabalhava a adição junto com a multiplicação”.
As tarefas67 antecedentes à de multiplicação foram também realizadas numa
perspectiva exploratória. As estudantes já haviam discutido outras tarefas – cálculo mental
(T1), adição (T2), adição e subtração (T3) –, em que utilizaram a decomposição dos números
como estratégia para realizar a conta de maneira diferente das quais conheciam. Assim,
embora tenhamos escolhido analisar o conhecimento matemático do PEM relativo às
operações de multiplicação, torna-se imprescindível esse destaque, haja vista terem
estabelecida a relação entre a adição e multiplicação, conforme evidencia a expressão “Vimos
que trabalhava a adição junto com a multiplicação” (KSM). Ao utilizar as lentes do MTSK,
interpretamos que a percepção de que a decomposição aditiva de um ou mais fatores também
poderia ser uma estratégia para realizar a multiplicação parece indicar uma conexão
estabelecida pela estudante entre os tópicos da adição e da multiplicação, o que entendemos
ser característico da dimensão do conhecimento que envolve as conexões relativas à
complexificação de conteúdos matemáticos (KSM).
Passamos, agora, a analisar a estratégia que as próprias graduandas destacaram
por ter sido bem diferente dos demais exemplos, ao expressar: “O que a gente quer ressaltar é
esta terceira, que foi bem diferente”. Isso pode ser observado na Figura 14.
Figura 14 – Recorte relativo a discussão oral do grupo Tayná/Andressa/Andréia
Fonte: Megid (2009, p. 124)
Nessa resolução dois fatos nos chamaram atenção: o uso da propriedade
comutativa e o conflito referente ao valor absoluto e ao valor relativo.
O primeiro deles diz respeito à operação efetivamente proposta que foi 23 x 5,
diferentemente do que a aluna explicitou como sendo por 5 x 23. Se por um lado ela
apresentou implicitamente a aplicação da propriedade comutativa, oferecendo indícios de que
possui determinados conhecimentos relativos à dimensão do conhecimento que integra as
67
Extraídas da pesquisa de Megid (2009), envolveram cálculo mental (T1), adição (T2), subtração e adição (T3).
121
propriedades e fundamentos da multiplicação (KoT); por outro, identificamos aí um
conhecimento diferencial, no sentido de que, do ponto de vista algébrico (propriedade
comutativa), “a x b” pode ser equivalente (ou igual) a “b x a”, mas, em termos de
representação do processo multiplicativo, essas expressões representam relações diferentes,
tendo em vista a convenção de que o primeiro número é o operador (o multiplicador) e o
segundo é o que sofre a operação (o multiplicando). Tanto o conhecimento da propriedade
comutativa da multiplicação como o da definição de multiplicação, – sendo o primeiro termo
o multiplicador e o segundo o multiplicando – integram o subdomínio do conhecimento do
tema da multiplicação (KoT), bem como o conhecimento relativo à fenomenologia que
envolve os significados da multiplicação, como por exemplo a disposição retangular, a
combinatória, a proporcionalidade, entre outros (KoT).
O segundo fato refere-se ao que as alunas consideraram como “bem diferente”. A
aluna tentou aplicar a propriedade distributiva representando a decomposição do fator 23,
considerando o valor absoluto dos dígitos, sem ater-se à posição que estes ocupavam. Ao
registrar o procedimento “bem diferente”, constatou que deveria novamente multiplicar por
10, ao perceber o valor posicional do 2 na casa das dezenas:
“Mas tem que ser vezes 10 novamente, porque o 2 é da dezena, então é 20.”
Nessa afirmação, podemos perceber a mobilização de conhecimentos em termos
matemáticos “dezena”, o qual está relacionado ao conteúdo de ordens que integram o sistema
de numeração decimal (SND).
Assim, ao considerarmos que o ensino das propriedades da multiplicação
atualmente é proposto para o 4º ano (BRASIL, 2017), a discussão tecida nos permite
identificar diferentes dimensões do conhecimento matemático relativo ao tema. Para ensinar
as propriedades de multiplicação, especificamente a distributiva, é fundamental ao professor
compreender outros objetos de conhecimento, tais como ordem, valor posicional, composição
e decomposição de números, conteúdos relacionados ao SND propostos para o 2º ano.
Percebe-se assim uma outra dimensão do conhecimento do PEM – as conexões de
simplificação (KSM) – uma vez que o conhecimento do PEM relativo à propriedade
distributiva esteve o tempo todo relacionado a conhecimentos de conteúdos trabalhados em
anos anteriores.
Ao continuarem a explicação do cartaz, as alunas justificaram a necessidade de
multiplicar por 10, apresentando a expressão:
122
5 x 2 = 10 x 10 = 100 (sic, em relação à primeira igualdade)
3 x 5 = 15 x 1 = 15
Ao analisar a transcrição, podemos afirmar que a pesquisadora-formadora
percebeu e sinalizou o erro em relação à igualdade. Entretanto, dado seu foco de análise
centrado nas aprendizagens ocorridas no processo formativo, não encontramos evidências de
ter tratado ou problematizado esse aspecto com as futuras professoras.
Em nosso entendimento, ao multiplicar novamente por 10 expresso em “5 x 2 =
10 x 10 = 100 (sic, em relação à primeira igualdade)”, a expressão pode ter sido registrada a
partir da compreensão da aluna quanto ao valor posicional do algarismo 2 como 20. Portanto,
sabendo que o produto entre 5 x 20 seria 100, parece ter tentado expressar um modo de
encontrar o resultado “100” e, com isso, validar o valor obtido. Nessa situação identificamos
a tentativa da aluna como indício de uma das dimensões do conhecimento relativo à
comunicação em matemática que integra o subdomínio do (KPM).
Com olhar investigativo voltado ao conhecimento matemático, produzido ou não,
entendemos a necessidade de uma análise mais aprofundada dessa expressão em relação ao
uso da igualdade com PEM nos anos iniciais. Em nossa pesquisa, problematizar a
inadequação do registro realizado por Andressa mobiliza a identificação de um conhecimento
matemático pertencente ao subdomínio da estrutura da matemática no âmbito das conexões
(KSM) (MONTES et al., 2013).
Pensamos que o erro indicado pode ser decorrente de um sentido de igualdade
amplamente utilizado nos anos iniciais, qual seja: “o resultado é”. Há fortes indícios de que
Andressa não tenha tido oportunidade, em sua trajetória escolar, de explorar de maneira
significativa discussões acerca do uso da igualdade no sentido de equivalência de valores.
Considerando a equivalência como uma das ideias fundamentais68 para o
desenvolvimento do pensamento matemático, corroboramos a ideia de Fiorentini (2000, p. 8),
ao defender que o conceito ou sentido de igualdade como equivalência (vale tanto quanto que)
deveria ser explorado e problematizado pelos formadores e professores desde os anos iniciais
de escolarização, pois “um ensino inadequado da aritmética, nas séries iniciais, poderia levar
as crianças a ver ‘o igual’ como um ‘operador’ que dá uma resposta e não como um símbolo
relacional que expressa equivalência, no sentido de ‘é o mesmo que’”.
É nesse sentido que identificamos o conhecimento matemático relativo à
“igualdade no sentido de equivalência de valores”, associado à dimensão do conhecimento
68Segundo Brasil (2017) as demais ideias tratadas como fundamentais referem-se à ordem, proporcionalidade,
interdependência, representação, variação e aproximação. O documento indica que tais ideias devem ser
convertidas, na escola, em objetos de conhecimento (p. 224).
123
que integra as conexões de maior complexidade (KSM) ao longo do currículo, como é o caso
da álgebra. Compreender o conceito de igualdade como um símbolo relacional que expressa a
equivalência é um conhecimento especializado importante ao PEM nos anos iniciais. Tal
entendimento poderá promover um trabalho adequado no ensino da aritmética, de modo que
ele possa ser articulado ao estudo formal da álgebra em anos subsequentes.
Finalizando a explicação da tarefa apresentada pelo grupo, Andressa afirmou que
o segundo69 procedimento utilizado se tratava de um aperfeiçoamento do primeiro e, para
fazê-lo, tomaram por base o modelo da Andréia, como vemos na Figura 15.
Figura 15- Explicação da aluna Andréia
Fonte: Megid (2009, p. 124)
A princípio, Tayná não havia compreendido o porquê da multiplicação 20 x 10.
Entretanto, a discussão empreendida no grupo, com posterior apresentação70a toda classe,
parece ter contribuído para seu entendimento. Megid (2009) acentua que as reflexões
realizadas em grupo promoveram a percepção das alunas quanto à importância do valor
relativo dos algarismos, uma vez que puderam constatar que multiplicar um algarismo
posicionado na casa das dezenas trará como resultado tantas dezenas quantas resultarem de
sua multiplicação.
Essa afirmação parece indicar o conhecimento de diferentes registros de
representação associados a um mesmo conteúdo matemático (KoT), além de conexões de
simplificação da representação da multiplicação.
Compreendemos que a discussão tecida nos diferentes momentos, seja entre as
integrantes do grupo ou no grupo sala, amplia o entendimento sintático-semântico, indicando
que essa prática é altamente formativa para o licenciando em Pedagogia. A comunicação
estabelecida nesse ambiente parece permitir ao aluno vivenciar e perceber-se como construtor
de seu conhecimento matemático por meio das relações que vai estabelecendo no decorrer das
apresentações e das interações com o outro.
69 Referem-se ao 2º como o modo linear de resolver a operação. 70 Os trechos dessa discussão podem ser encontrados no excerto completo disponibilizado na figura 11.
20, porque está na dezena, e 10, porque
também o 1 está na dezena. Aí dá 200.
Daí o 20 de novo, porque o 2 é da dezena,
vezes o 2, dá 40. O 3 vezes o 10, porque o
1 é da dezena, fica 30. E o 3 x 2, que é 6,
porque os dois são unidades.
124
Concluindo essas análises iniciais, cabe ressaltar a potencialidade da tarefa
investigativa quanto às possibilidades em contemplar diferentes aspectos do conhecimento
para ensinar multiplicação, dada a intencionalidade dos objetivos (matemáticos) elencados na
tarefa. Embora, de um lado, algumas das questões da parte individual da tarefa contribuam
para responder ao “como se faz?”, outras podem auxiliar a problematizar sobre “quando se
pode fazer?”
O enfrentamento que o aluno assume diante dos questionamentos que surgem a
partir das tarefas propostas parece contribuir para que, na busca de outras estratégias de
resolução, as alunas encontrem/descubram propriedades não apenas por elas próprias
(propriedades), mas que, de fato, lhes tragam sentido para o que estão fazendo, isto é para um
fazer matemático que, ao ser compreendido, possa também ser explorado na prática de ensino.
4.2 – Síntese interpretativa do estudo de Silva (2009)
Nesta seção apresentamos uma síntese interpretativa da tese desenvolvida por
Silva (2009), que analisou as aprendizagens das professoras participantes de um grupo de
estudos sobre matemática nas séries iniciais. O subtítulo adotado nesta seção tem o objetivo
de caracterizar o delineamento dado à pesquisa de Silva (2009), que utilizou metáforas para
reunir os temas que se inter-relacionavam com a aprendizagem do professor, destacando que
alguns deles foram sendo descobertos no caminhar da pesquisa. Embora inicialmente tivesse
uma expectativa de tratar-se de pesquisa da própria prática, seu estudo longitudinal,
desenvolvido ao longo de dois anos, foi caracterizado como pesquisa qualitativa com
perspectiva humanística, centrada num estudo de caso.
Iniciamos pela apresentação do percurso da pesquisadora e das relações que foram
se estabelecendo ao longo de sua investigação. Na sequência, trazemos os principais aportes
teóricos e um breve contexto do processo formativo, que prossegue com os aspectos
metodológicos da pesquisa. Por fim, tecemos nossas análises do conhecimento especializado
para ensinar multiplicação nos anos iniciais.
4.2.1 – Trajetória da pesquisadora e conexões com o problema investigado
Ao interpretarmos os percursos da pesquisadora (SILVA, 2009), pudemos
evidenciar a ênfase dada à sua experiência profissional em sua opção para trabalhar com a
formação continuada de professores. Ao licenciar-se em matemática no ano 2000, relata ter
dificuldades quanto à compreensão em relação a determinados processos de ensino, à
aprendizagem e à avaliação de matemática que permeiam a atividade profissional do
125
professor. Embora não descreva tais dificuldades, atribui a elas a carência de debates acerca
do assunto no contexto de sua formação inicial.
Já tendo atuado como professora do Ensino Médio, à época da pesquisa atuava
como professora nas séries finais do Ensino Fundamental71 na Prefeitura Municipal de Vitória
(PMV) no estado do Espírito Santo e no Ensino Superior. Afirma que essas experiências
possibilitaram ampliar sua compreensão acerca do ensino de matemática. Nesse percurso
pôde constatar que diversos outros professores pareciam passar por dificuldades semelhantes
às suas, pois não lhes era oferecido um espaço, que, em nossa interpretação refere-se não só
ao físico, mas também ao temporal, para discussões pertinentes ao ensino, à aprendizagem e à
avaliação em matemática.
O trânsito entre os diferentes níveis de ensino fê-la certificar-se de que: “em
alguns casos, professores acabavam por ‘culpar’ outros profissionais de níveis de ensino
anteriores, quando identificavam ‘problemas na aprendizagem dos alunos em matemática”
(SILVA, 2009, p. 18). Dentre outras inquietações, esse conjunto de fatores a encorajou a
investigar algumas das causas desses problemas em seu cotidiano.
Para além disso, em nossa leitura, interpretamos que outras experiências da
pesquisadora provocaram conflitos contributivos à sua decisão de investigar sobre a
matemática desenvolvida nas séries iniciais, sendo elas: o trabalho com professores das séries
iniciais na escola em que lecionava e os encontros de formação continuada oferecidos pela
rede municipal de Vitória (ES). Compreendemos que a experiência, como formadora de
professores, tenha gerado reflexões acerca da crença da pesquisadora – professora de
matemática – sobre quem é esse professor que ensina matemática nos anos inicias. Foi a partir
dessas vivências que passou a (des)construir a crença de que “esses professores eram
malpreparados e não desejavam aprender ou aprofundar seus conhecimentos em conteúdos
matemáticos” (SILVA, 2009, p. 19). Em sua atuação como formadora, percebeu o desejo
desses professores em aprender e modificar suas práticas em aulas de matemática, mas
destaca a falta de condições que lhes eram oferecidas para isso: “Com um novo olhar, passei a
conceber esses profissionais como sujeitos aprendentes” (SILVA, 2009, p. 20).
Dada a nossa preocupação em discutir o que as pesquisas trazem sobre o
conhecimento especializado sobre multiplicação do PEM nos anos iniciais, algumas das
dificuldades explicitadas por professores no percurso experienciado em formações
continuadas por Silva (2009) nos chamaram a atenção. A partir das discussões sobre os
71 Atualmente corresponde aos Anos Finais do Ensino Fundamental: 6º ao 9º ano.
126
desafios e as dificuldades encontradas por professores em curso que objetivou apresentar as
propostas para o ensino de matemática das Diretrizes Curriculares para o Ensino
Fundamental, a pesquisadora pôde notar “certa vontade por parte de alguns professores em
superar determinadas dificuldades explicitadas, de continuarem a aprender” (SILVA, 2009,
p. 19). E afirma: “Precisavam, portanto, de estudar conteúdos matemáticos” (SILVA, 2009,
p. 19). Suas percepções tomam por base algumas das alegações dos professores descritas por
ela, dentre as quais destacamos:
Devido às mudanças ocorridas nos últimos anos, sentem-se desorientados quanto ao
conteúdo matemático e respectivas metodologias.
Desconhecimento de conteúdos que sejam importantes para o aprendizado do aluno.
Críticas ao livro didático, em relação ao distanciamento deste com a realidade do
aluno e à inadequação de alguns exercícios.
Para finalizar o caminho trilhado pela pesquisadora, frisamos, ainda, sua
participação em grupo de estudos junto com professores de matemática, espaços esses que,
segundo ela, propiciam “momentos de trabalho coletivo” (SILVA, 2009, p. 20)., que
permitem aos professores se conhecerem também como aprendizes. Isso porque foi aí que, ao
considerar o relato de eventos e os fatos ocorridos nas aulas de matemática, os estudos e
ideias sobre assuntos matemáticos, as leituras de educação matemática e educação, percebeu a
potencialidade de propostas diferenciadas de formação continuada que, perspectivada numa
formação mais ampla, poderia contribuir para a prática de sala de aula.
As experiências apresentadas nessa seção nos ajudam a compreender o percurso
da pesquisadora e o movimento no qual esteve envolvida como professora de matemática em
processo de reflexão crítica sobre a formação continuada. Durante esse caminho, muitas
foram as questões que motivaram a pesquisa de Silva (2009). Incentivada pelas discussões do
grupo de estudo, seu interesse, a princípio, incidia abordar na pesquisa a investigação sobre a
própria prática, entretanto, ao longo do trabalho, foi percebendo que a investigação permearia
as reflexões ocorridas com as professoras sobre suas práticas, não podendo, portanto, ser ela
própria o foco do estudo.
A partir de então, considerando os demais focos que haviam surgido no
desenvolvimento do trabalho, em função do tempo a produzir a pesquisa, Silva (2009) decidiu
tomar como eixo central de sua pesquisa as aprendizagens das professoras dos anos iniciais,
resultantes da participação em um grupo de estudos e acompanhamento em suas aulas de
matemática. Em nossa interpretação, este movimento em busca do eixo central da pesquisa de
Silva (2009) nos leva a destacar a pertinência de estudos de cunho teórico-bibliográfico, em
127
especial, a metassíntese, no sentido de evidenciar outros conhecimentos a partir da
diversidade de focos que podem ter sido pouco explorados naquele dado espaço de tempo.
Isso posto, buscamos identificar os conhecimentos do PEM acerca da multiplicação a partir
das aprendizagens resultantes no processo formativo produzido na pesquisa de Silva (2009).
4.2.2 – Estrutura e caminhos da pesquisa
As experiências relatadas por Silva (2009) a encorajaram a formar um grupo de
estudos que lhe permitisse investigar as aprendizagens das professoras sobre matemática nos
anos iniciais e em suas práticas pedagógicas, decorrentes desse contexto de formação
continuada. O grupo inicial foi constituído por cinco professoras, sendo duas atuantes nos
anos iniciais72, duas nos anos finais73 do Ensino Fundamental e uma professora da
universidade74. Ao acompanhar a participação intensa e contínua das professoras nos
encontros do grupo de estudo, realizados no ano de 2006, a pesquisadora motivou-se a
encaminhar um estudo longitudinal, o que contribuiu para propor um acompanhamento das
aulas de matemática das professoras que atuavam nos anos iniciais. Desse modo, apesar de
seu olhar inicialmente voltado ao grupo, o movimento realizado em seu estudo longitudinal,
ao longo de dois anos, provocou-a a analisar algumas aprendizagens das professoras “no
processo coletivo de explicitar, discutir e refletir, criticamente, alguns aspectos do processo de
ensino, aprendizagem e avaliação de matemática das séries iniciais” (SILVA, 2009, p. 17).
O referencial teórico utilizado por Silva (2009) foi se complementando no
movimento da pesquisa, diante de situações em que a pesquisadora percebia os diferentes
tópicos/temas que se inter-relacionavam à aprendizagem dos professores. A autora buscou
aprofundar-se em quatro eixos teóricos: aprendizagem docente; ensino e aprendizagem e
avaliação de matemática; formação de professores que ensinam matemática; e, aspectos
afetivos e suas relações com aprendizagem docente. Para compreender melhor sua pesquisa,
apresentamos, a seguir, uma breve visão panorâmica de cada um desses eixos.
Quanto ao primeiro eixo aprendizagem docente, procurou restringir-se a autores
que tratassem da aprendizagem do ponto de vista do professor em contexto de grupo de
estudo sobre matemática de professores dos anos iniciais, com a preocupação em analisar o
modo de aprender dos adultos. A pesquisadora buscou aprofundamento teórico nos estudos de
Colinvaux (2007), Freire (1996), Llinares e Krainer (2006), Mizukami (2004, 2006), Nacarato
72 Suzana e Beatriz 73 Lúcia e Sandra (pesquisadora) 74 Vânia – coorientadora do trabalho
128
(2000), Polenttini e Sabaraense (1999), Rocha (2005) e Vigotsky (1988) e, ao considerar o
processo ensino e aprendizagem, esclarece que, em sua pesquisa, não os separaria, mas apenas
focaria seu estudo em parte desse processo, ou seja, na aprendizagem.
Para investigar a aprendizagem gerada a partir da reflexão crítica com as
professoras, a pesquisadora defende a ideia de compreender o professor não como sujeito,
mas como parceiro da pesquisa desenvolvida em contexto de grupo de estudo. Dessa forma,
utilizou em suas análises as ideias sobre reflexão crítica concebidas por Llinares e Krainer
(2006), Schön (2000/1998) e Serrazina (2003).
Quanto às discussões relativas à metacognição, apoiou-se em Santos (1993, 1994,
1995) e para definir sua compreensão acerca desse assunto, tomou por base os estudos de
Bairral e Rodriguez (2005), Davis, Nunes e Nunes (2005), Ferreira (2003), Jou e Sperb
(2006), Ribeiro (2003) e Santos (1995). Para a pesquisadora, uma melhor compreensão sobre
o tema contribuiria com sua pesquisa de modo a conduzir as “professoras a terem
conhecimento e controle intencional acerca de seus processos cognitivos e os produtos desses
e também para desenvolverem a habilidade de monitoramento e auto-regulação para
potencializar sua atividade cognitiva” (SILVA, 2009, p. 50).
Em relação ao conhecimento de professores, tema que interessa à nossa
investigação, Silva (2009), apresenta uma breve revisão bibliográfica sobre o tema,
ancorando-se em estudos de Bairral (2003), Fennema e Franke (1992), Llinares e Krainer
(2006), Ponte (2001), Serrazina (2003) e Shulman (1986), Embora não tenha tecido qualquer
discussão acerca das diferentes nomenclaturas utilizadas em relação aos termos saberes e
conhecimentos, destaca que utilizaria em sua pesquisa a palavra conhecimentos. A partir da
revisão apresentada no trabalho, define uma categorização dos conhecimentos dos professores
para utilizar em seu estudo:
o Conhecimento dos Conteúdos Matemáticos: o que se relaciona com a
apropriação dos conceitos matemáticos pelos professores e seleção dos conteúdos
matemáticos ensinados.
o Conhecimento Pedagógico: modos como os professores abordam o trabalho dos
conteúdos em sala de aula, assim como se apropriam do contrato didático.
o Conhecimento Pedagógico Matemático: modos como os professores trabalham
conteúdos específicos de matemática com seus alunos.
o Conhecimento do Currículo de Matemática: organização dos conteúdos
matemáticos pelo professor.
o Conhecimento dos Alunos: que se relaciona às aprendizagens, ao aspecto
emocional e cognitivo dos alunos. (SILVA, 2009, p. 53)
Em nossa interpretação, a categorização definida por Silva (2009) baseia-se nos
estudos de Shulman e seus colaboradores (1986), sem, no entanto, ficar restrita a ele, pois esse
autor não tratou de modo específico do conhecimento matemático.
129
Em relação ao segundo eixo, ensino e aprendizagem e avaliação de matemática:
a pesquisa apresenta breve revisão bibliográfica referente a conceitos e conteúdos
matemáticos, identificados como incidentes críticos no decorrer da pesquisa, sendo estes:
geometria e a resolução de problemas, envolvendo as operações fundamentais. Tendo em
vista nosso interesse em investigar os conhecimentos especializados para ensinar
multiplicação, em nossa síntese interpretativa da tese de Silva (2009) destacamos, de modo
mais específico, o que foi investigado em relação às operações fundamentais. Esta
pesquisadora aborda as quatro operações em conjunto com a resolução de problemas, visto
que, no processo formativo, elas estavam usualmente envolvidas por situações problema e
suas resoluções.
Em nossa interpretação, o destaque, concedido às operações aritméticas no
decorrer do processo formativo desenvolvido pela pesquisadora, relaciona-se com a
problemática do presente estudo, ao afirmar que
mesmo sendo uma abordagem e conteúdo amplamente trabalhado pelas professoras,
olhamo-la, diferentemente, e percebemos que solicitava a apreendermos alguns
conceitos que envolvem as operações fundamentais de maneira aprofundada e
diferenciada. (SILVA, 2009, p.61)
A pesquisadora-formadora reconhece a intensidade de trabalhos que têm sido
desenvolvidos sobre as operações nos anos iniciais75 e frisa que, embora não tenha
informações sobre a compreensão do referido tema por parte das crianças com base em sua
experiência, admite como parâmetros os questionamentos sobre a compreensão das crianças
analisadas por professores dos anos finais do Ensino Fundamental. Neste sentido, vem se
questionando, também, se os próprios professores licenciados em matemática se apropriam
claramente das ideias subjacentes às quatro operações elementares (adição, subtração,
multiplicação e divisão).
É pertinente destacar o reconhecimento da pesquisadora de que ampliar as
discussões acerca da compreensão das operações com as professoras favoreceria, a todas as
integrantes do grupo, o entendimento das operações fundamentais Essa percepção tem origem
na falta de clareza de cada uma das integrantes em relação a todos os aspectos e sentidos de
cada operação no decorrer das discussões realizadas nos encontros.
Para discutir a compreensão acerca das operações, no âmbito da formação de
professores, a autora partiu dos argumentos apresentados por Jesus (2005, p. 93), tais como:
75 Abrantes, Serrazina e Oliveira (1999), Brasil (1997), Carraher, Carraher e Schielman (2003,1988), Selva e
Borba (2005), Vasconcellos (1998).
130
Crianças com uma sólida compreensão das operações estão aptas a usá-las
significativamente e com flexibilidade. [...] contrariamente, aprender regras e
procedimentos sem entendimento pode provocar sérias consequências a longo prazo
e que não se vêem imediatamente. Se os procedimentos são aprendidos como peças
soltas de informação sem conexão com o conhecimento conceptual, os alunos tem
maior dificuldade de os relembrar e transpor para os outros contextos.
Apoiada nessa afirmação, Silva (2009) ampliou sua discussão sobre o
entendimento que os professores têm sobre as operações, pois, se eles não tiverem construído
uma sólida compreensão das operações, certamente apresentarão dificuldades em trabalhar o
tema com seus alunos (SILVA, 2009).
Sem se aprofundar nos estudos realizados por Piaget, Kamii e Vergnaud, a
pesquisadora aborda as operações fundamentais, considerando separadamente adição e
subtração ou campo aditivo; e a multiplicação e divisão ou campo multiplicativo. Apresenta
as ideias subjacentes a cada uma das operações e as relações entre elas de modo a situar suas
discussões. Para discutir a multiplicação e a divisão ou campo multiplicativo utilizou como
referenciais: Carraher (1998), Correa (2006), Correa e Spinillo (2004), Greer (1992), Nunes et
al. (2005), Saiz (1996) e Selva (1998).
Quanto aos estudos sobre multiplicação, também contemplados no campo
multiplicativo ou estruturas multiplicativas, Silva (2009) reconhece a necessidade em
aprofundar os conhecimentos, como professores, sobre as ideias que envolvem essa operação.
Destaca a ênfase dada ao significado de multiplicação associado à adição de parcelas
repetidas, ao se trabalhar com as estruturas multiplicativas, o que pode dificultar a exploração
dos demais significados que podem ser atribuídos às estruturas multiplicativas.
A seguir, apresentamos os significados e respectivos exemplos sobre as estruturas
multiplicativas que, na perspectiva de Silva (2009), se encontram organizados em cinco
grupos, conforme Quadro 4.
Quadro 4 - Exemplos de multiplicação e de divisão relacionados com ideia de grupos equivalentes
1) Problemas relacionados aos grupos equivalentes
Multiplicação
Divisão partitiva Divisão quotativa
Matheus comprou cinco pacotes
de figurinhas com três
figurinhas em casa um. Quantas
figurinhas Matheus conseguiu
com essa compra?
Matheus comprou 5 pacotes de
figurinhas e agora tem 15
figurinhas. Quantas figurinhas
tem em cada pacote?
Matheus comprou pacotes de
figurinhas e agora tem 15
figurinhas. Se em cada pacote
vêm 3 figurinhas, quantos
pacotes ele comprou? Fonte: Silva (2009, p. 75)
131
Quadro 5 - Exemplos de multiplicação e de divisão relacionados com a ideia de multiplicação
comparativa
2) Multiplicação comparativa ou comparação multiplicativa
Multiplicação
Divisão partitiva Divisão quotativa
Ana possui cinco bonecas e
Rosangela possui três vezes
mais bonecas que Ana.
Rosangela possui quantas
bonecas?
Rosangela possui 15 bonecas,
sabemos que ela tem três vezes
mais bonecas que Ana. Quantas
bonecas a Ana tem?
Rosangela possui 15 bonecas e
Ana 5 bonecas. Quantas vezes é
que Rosangela tem a mais
bonecas que Ana?
Fonte: Silva (2009, p. 75)
Quadro 6- Exemplos de multiplicação e de divisão relacionados com a ideia de proporção
3) Comparação entre “razões” – Ideia de “proporção”
Multiplicação
Divisão partitiva Divisão quotativa
Um carro se move a uma
velocidade média de 60 km por
hora. Quantos quilômetros esse
carro percorreu em 5 horas?
Um carro percorreu 300 km em
5 horas. Se percorrer sempre à
mesma velocidade, quantos km
andou por hora?
Um carro se move a uma
velocidade média de 60 km por
hora. Quantas horas demora
para percorrer 300 km? Fonte: Silva (2009, p. 75)
Quadro 7- Exemplos de multiplicação e de divisão relacionados com a ideia de representação
retangular
4) “Representação retangular”
Multiplicação
Divisão partitiva Divisão quotativa
Uma sala de aula possui cinco
filas com seis carteiras cada
uma. Quantas crianças no
máximo podem estar nessa sala?
Numa sala de aula tem 30 carteiras dispostas em filas com a mesma
quantidade de carteiras. Quantas carteiras tem em cada uma das 5
filas?
Fonte: Silva (2009, p. 75)
Quadro 8- Exemplos de multiplicação e de divisão relacionados com a ideia de combinatória
5) “Combinatória”
Multiplicação
Divisão partitiva Divisão quotativa
Numa sorveteria existem cinco
sabores diferentes de sorvete e
três coberturas diferentes. De
quantos modos podemos fazer
um sorvete de um sabor com
uma cobertura?
Uma sorveteria faz 15 tipos de sorvetes com coberturas diferentes.
Sabendo que essa sorveteria oferece 5 sabores de sorvete, quantas
são as coberturas?
Fonte: Silva (2009, p. 75)
Apresentado um panorama das ideias relacionadas às operações fundamentais, a
autora finaliza o segundo eixo com uma breve discussão sobre avaliação, baseando-se no
estudo de Santos (1997), que permeou as discussões sobre formas de avaliação da
aprendizagem pessoal e dos alunos.
132
Já no terceiro eixo Formação de professores que ensinam matemática, a
pesquisadora apresenta de forma concisa alguns estudos que vêm discutindo a formação de
professores nos mais variados contextos. De modo mais amplo, destaca aqueles que tratam de
formação em diferentes contextos, seja inicial ou continuada (FIORENTINI, 2003;
FIORENTINI; NACARATO, 2005; NACARATO; PAIVA, 2006; SILVER, 2006). Dentre os
estudos realizados no contexto da formação inicial, buscou apoiar-se em Curi (2005), Nasser e
Santos (1994), Nasser e Tinoco (1997), Reis (2007), Santos-Wagner. Na formação continuada
analisou os estudos de Jiménez Espinosa (2002), Ferreira (2003, 2003a), Gimenes (2006),
Marquesin (2007), Nacarato (2000) e Silva (2007). Considerando o tipo de formação que
desejavam desenvolver, procurou contribuições nas leituras de Cury (2001), Geraldi,
Fiorentini e Pereira (1998), Krainer e Peter-Koop (2003), Moreira e David (2005), Peter-Koop
et al. (2003), Saraiva e Ponte (2003).
Embora tenha pesquisado esses vários trabalhos sobre formação de professores,
enfatiza que nem todos foram utilizados em suas análises e, uma vez que o foco se relacionou
à aprendizagem do professor dos anos iniciais, buscou apoio nos estudos de Serrazina (2003)
que enfatiza a necessidade em desenvolver atitudes de investigação e questionamentos
relativos à matemática do professor, quando envolvido em contextos formativos “além de
desenvolver uma abertura em relação à experimentação e à inovação” (SILVA, 2009, p. 81).
Por fim, no quarto eixo Aspectos afetivos e suas relações com aprendizagem
docente, a pesquisadora procurou estudos que lhe permitiram um olhar mais amplo para
compreender as influências de diferentes aspectos afetivos dos professores em relação aos
processos de ensino e aprendizagem de matemática. Para a autora, o estudo desses aspectos
foi contributivo para investigar a aprendizagem do professor, considerando que o profissional
não está desprendido da pessoa do professor que ensina matemática. Apresenta neste eixo
uma revisão do tema, com base em estudos relativos às crenças e às concepções (CURY,
2004; GÓMEZ CHACÓN, 2003; MORON; BRITO, 2005; THOMPSON, 1992); em estudos
mais específicos relacionados às atitudes (GONÇALEZ; BRITO, 2002; MATOS, 1992;
MENDUNI, 2003; MORON; BRITO, 2005; PIROLA; BRITO, 2005); e na abordagem dada
às pesquisas realizadas pelo grupo Psycology of Education Mathematics – PME entre os anos
de 1976 a 2006, por meio de uma síntese organizada por Gutiérrez e Boero (2006).
133
4.2.3 - Alguns aspectos metodológicos da investigação e o processo formativo
Com a finalidade de compreender e analisar quais são e como acontecem as
aprendizagens dos professores participantes do grupo de estudo, a investigação, de natureza
qualitativa (CHAPMAN, 2005, 2006; FIORENTINI; LORENZATO, 2006; FLICK, 2004;
LINCOLN; GUBA, 1985) desenvolve um estudo longitudinal num período de 2 anos e 4
meses.
A pesquisadora explicita que, influenciada pelas leituras de Ponte (2002) e Ponte
e Serrazina (2003) em conjunto com sua experiência no grupo de estudo, pensou, a princípio,
em desenvolver uma investigação da própria prática. Entretanto, os questionamentos e os
comentários tecidos por colegas e professores da banca de qualificação e novas leituras,
levaram-na a perceber as dificuldades de propor essa abordagem uma vez que não atuava
diretamente nos anos iniciais.
Sendo assim, a pesquisadora, percebendo-se como investigadora iniciante, foi
ressignificando o conceito de investigação da própria prática e, dado seu objetivo em
investigar a complexidade relativa à aprendizagem das professoras participantes do grupo,
constatou a necessidade em delimitar a metodologia. Nesse movimento, ao considerar que
“cada professora estava num estágio de desenvolvimento profissional e agindo de forma
diferenciada no que se refere a sua participação, interação e vivência no grupo” (SILVA,
2009, p. 104), era preciso “expressar a particularidade da situação envolvida e a análise
detalhada de cada professora” (SILVA, 2009, p. 104), e num processo de idas e vindas
encaminha sua pesquisa trabalhando
com o procedimento metodológico de estudo de caso, quando olhamos para cada
professora em seu contexto diferenciado e em sua interação com o grupo, e que
possui algumas características da pesquisa-ação, na formação, constituição e
desenvolvimento das atividades do grupo, ao interagirmos e intervirmos inclusive
nas atitudes das professoras participantes. (SILVA, 2009, p. 106)
Neste momento, cabe destacar que esses conflitos contribuíram para compreender
o processo de um modo mais amplo, visto que, concomitantemente às intervenções na prática,
era também necessário refletir sobre ela. Apoiada em Fiorentini (2004), a pesquisadora
preocupava-se mais em desenvolver uma pesquisa qualitativa que envolvesse a formação
continuada de professores, do que, propriamente, definir rigorosamente um enquadramento
teórico-metodológico para a pesquisa.
Assim, considerando o estudo longitudinal, há de se considerar o amplo material
coletado na pesquisa de campo, uma vez que foram utilizados diferentes instrumentos. Alguns
deles perpassaram todo o estudo, enquanto outros apenas em alguns momentos e, por vezes,
134
sofreram algumas modificações de acordo com a demanda do estudo. Ainda que nem todos os
instrumentos tenham sido analisados, cabe indicá-los, tendo em vista o conjunto de
instrumentos utilizados que constituiu o processo formativo do grupo de estudos analisado em
sua pesquisa.
Os principais instrumentos de sua pesquisa pautaram-se em atividades utilizando
metáforas; textos escritos pelas professoras em forma de narrativas, memórias, histórias de
aulas e relatos de experiência; cadernos de bordo da pesquisadora, sobre o grupo e sobre as
observações e/ou participações em aulas de matemática das professoras; relatos e reflexões
escritas e compartilhadas por e-mail com a coorientadora; gravações em áudio de encontros
do grupo e aulas; registros obtidos de atividades trabalhadas em sala de aula; materiais
impressos e aplicados pelas professoras; avaliações sobre a pesquisa; entrevistas
semiestruturadas, individuais e coletivas.
O grupo começou a constituir-se no ano de 2006. É interessante destacar que o
reduzido número de participantes no grupo era algo que incomodava a pesquisadora em
alguns momentos, o que foi levado para discussão no momento da qualificação. Em nosso
entendimento, esse incômodo parece ter perdurado ainda em outros momentos, tendo em vista
os aspectos salientados quando ela subdividiu os quatro momentos de sua pesquisa com
ênfase no número de participantes em cada um deles.
I - Constituição do grupo: 13 encontros em 2006. Um estudo exploratório inicial
acerca de aprendizagens, concepções, crenças e atitudes em relação à matemática das três
professoras76: Beatriz77, Susana78 e Sandra(P), que promoveu reflexões crítico-pessoais das
envolvidas;
II – Ingresso da Profa. Vania:o grupo então com quatro participantes79, sentiu-se
fortalecido e percebeu a necessidade de aproximação da realidade da sala de aula das duas
professoras atuantes nos anos iniciais.
III – Novas professoras (duas80) passaram a fazer parte do grupo entre 2007 e 2008.–
Uma delas (Lucia) iniciou em 07/2008 e seguiu participando de alguns encontros de 2008; a
outra (Elisa) compareceu apenas em dois encontros. O curto espaço de tempo frequentado
76 Grifo nosso. 77
Atua no magistério há mais de 30 anos, com graduação em Letras Português/UFES e pós-graduação em
Planejamento Educacional. 78 Atua no magistério há mais de 20 anos, cursou Magistério no Instituto de Educação (Vitória), com graduação
em Pedagogia/UFES e pós-graduação em Supervisão Escolar. Atua como Professora dos anos iniciais do Ensino
Fundamental e, como pedagoga, em escolas da Prefeitura Municipal de Vitória. 79 Grifo nosso. 80 Grifo nosso.
135
pela segunda e a descontinuidade da presença da primeira dificultaram a obtenção de dados
dessas professoras para a pesquisa de Silva (2009).
IV – Atividades de 2008: grupo consolidado com características próprias.
Conhecendo-se entre si, o grupo trabalhava de modo mais consciente e independente. Nesta
etapa, segundo a autora, foram realizadas “algumas descobertas importantes sobre a influência
do grupo em nossas aulas de matemática e sobre nossas crenças e atitudes em relação a esse
conteúdo” (SILVA, 2009, p. 113-114).
Nesses quatro momentos da pesquisa, foram abordados diferentes conteúdos
matemáticos ensinados nos anos iniciais, porém, segundo a pesquisadora, os que mais se
destacaram nas discussões do grupo referem-se a:
Números: inteiros, decimais e frações.
Quatro operações: adição, subtração, multiplicação e divisão.
Geometria plana e espacial: formas e medidas.
Observamos que, com exceção de estatística ou tratamento da informação,
praticamente todo o conteúdo parece ter tido destaque nas discussões desenvolvidas no
processo formativo proposto. A pesquisadora apresenta suas análises subdivididas em dois
itens: resolução de problemas e geometria. Com base em seus referenciais teóricos, analisou
as “aprendizagens das professoras em uma formação continuada ocorrida num grupo de
estudos sobre matemática nas séries iniciais e em suas práticas pedagógicas” (SILVA, 2009,
p. 27), investigando as seguintes questões:
Que aprendizagens das professoras participantes se destacam num grupo de estudos
e em suas práticas pedagógicas? Que relações entre aprendizagens de professoras e
alguns aspectos afetivos são evidenciadas num grupo de estudos de matemática?
Como percebemos a influência do grupo de estudos de matemática nas
aprendizagens das professoras participantes e em suas práticas? (SILVA, 2009, p.
27)
Portanto, percebemos que, seja nos objetivos ou nas questões investigativas, a
preocupação da pesquisadora era em relação à aprendizagem das professoras em contexto de
um grupo de estudo.
Após essa breve síntese do percurso da pesquisa de Silva (2009) e de seu
contexto, apresentamos, a seguir, as análises e as intepretações dos indícios do conhecimento
especializado do professor que ensina matemática relativo ao ensino de multiplicação, que foi
tratado e evidenciado pela pesquisa.
136
4.2.4 – Conhecimento especializado para ensinar multiplicação: alguns indícios identificados
na tese de Silva (2009)
Dando continuidade à síntese interpretativa do estudo de Silva (2009), trazemos
nesta seção os recortes de discussões tecidas em sua tese que envolveram aspectos da
multiplicação. Esses serão revisitados em nossa pesquisa com outro objetivo, ou seja, nosso
interesse consiste em descrever e analisar os indícios de conhecimento especializado do
professor para ensinar multiplicação nos primeiros anos de escolarização e que se
encontram subjacentes ou presentes em pesquisas brasileiras produzidas nos programas de
pós-graduação stricto sensu nas áreas de Educação e Ensino, no período de 2001 a 2012.
Portanto, dentre os incidentes críticos81 ou significativos analisados na pesquisa de Silva
(2009), teceremos nossas análises sobre dois que apresentaram discussões relativas ao
conteúdo de multiplicação. Enquanto um deles tratou de questões conceituais, o outro focou
algumas questões mais operacionais, envolvendo números racionais em sua representação
decimal.
A princípio, traremos o incidente crítico que nos permite discutir algumas
questões conceituais sobre a multiplicação. A atividade relativa a esse incidente foi
desenvolvida no segundo momento do caminhar do grupo que, ocorrida sua fase inicial de
constituição, passa a fortalecer-se graças aos questionamentos das professoras participantes e
à aproximação com a realidade da sala de aula.
As discussões acontecidas no grupo levaram-nas a um estudo sobre as quatro
operações, o qual foi realizado por meio da análise de problemas. A proposta da atividade
organizada pela formadora consistiu em selecionar 18 problemas82 em grupos de operações
semelhantes, os quais foram, posteriormente, separados em problemas que apresentassem a
mesma ideia operatória. Conforme proposto, os problemas foram agrupados, e, após
identificar e discutir os que envolviam as ideias de adição e subtração, o grupo tentou
identificar os significados de multiplicação envolvidos em cada um dos seis problemas
encontrados sobre o tema:
1) Joana tem 5 irmãs e distribuiu (sic) para cada uma delas 3 tíquetes para a peça
de teatro. De quantos tíquetes Joana precisa?
2) Um jardineiro plantou 16 canteiros de margaridas, com 8 mudas em cada
canteiro. Quantas mudas ele plantou ao todo?
3) Eu tenho 4 vasos de flores e quero colocar 3 rosas em cada vaso. Quantas rosas
eu preciso ter?
81Apoiada em Lopez e Real (2003), Silva considerou como “momentos ou incidentes significativos aqueles
apresentados pelos professores participantes do grupo, como os que representavam possíveis situações que
incluíam sucesso ou insucesso nas situações de ensino” (SILVA, 2009, p. 131, grifo do autor). 82 Atividade extraída do livro de Santos (1997).
137
4) Uma banda escolar tem 8 filas de instrumentista, com 7 membros em cada fila.
Quantos alunos estão na banda?
5) Eu tenho 3 camisas de cores diferentes e 4 shorts de cores distintas. Quantos
trajes distintos eu posso formar?
6) Sorvete Sem Nome tem 6 sabores de sorvete e 8 coberturas diferentes. Quantos
sorvetes de casquinhas diferentes podem ser feitos?
(SILVA, 2009, p. 178)
A seguir apresentamos os excertos83 dos diálogos84 tecidos entre o grupo no
contexto em que discutiam os significados relativos à operação de multiplicação:
Susana: Agora tem a multiplicação, né.
[...]
Eu [Formadora]: Multiplicação, vamos lá...
Susana: Eu tenho 3 vasos de flores e quero colocar 3 rosas em cada vaso. Quantas
rosas eu preciso ter? Combinatória?
Eu [Formadora]: Não,... Parcelas iguais,...
Susana: Parcelas iguais...
Eu [Formadora]: Sim,..., 4 vasos, 3 rosas em cada uma. Parcelas iguais
Transcrição da gravação de áudio de 19/mar/07
(SILVA, 2009, p. 177)
A partir de nosso olhar para esse diálogo, observamos a ênfase dada pela
professora Susana quanto à tentativa de identificar o significado da multiplicação no
problema, reduzindo sua atenção aos demais aspectos envolvidos no problema85.
Interpretamos que o equívoco apresentado em relação aos valores pode relacionar-
se à dimensão do conhecimento relativo aos Registros de Representação (KoT). Com foco em
um dos elementos do problema, isto é, no significado da multiplicação, a professora Susana,
centrada nesse objetivo, parece ter limitado sua atenção aos valores efetivamente apresentados
no problema. Desse modo, cabe destacar o importante papel dos registros de representações
nos processos formativos, visto que é comum o professor reportar-se a tais equívocos em
relação às atividades desenvolvidas por seus próprios alunos.
Essa observação leva-nos a problematizar a natureza das dimensões do
conhecimento que constituem as tarefas propostas nos diferentes contextos formativos, que
parecem privilegiar ora questões relacionadas à sintaxe, ora relacionadas à semântica.
Entendemos que ambos aspectos do conhecimento matemático – o sintático e o semântico –
precisam ser explorados de maneira inter-relacionada nos processos formativos. Desse
entendimento, ressalta-se uma das dimensões do conhecimento do PEM ainda pouco
83 Estes dados, apresentados na tese de Silva (2009) refere-se à transcrição da gravação de áudio de 19/mar/07). 84 As falas correspondentes a cada uma das professoras encontram-se identificadas pelo nome de cada uma delas
(Susana ou Beatriz). Entretanto, para as falas da formadora-pesquisadora, manteremos o termo “Eu” utilizado
originalmente na tese em análise, complementado por [Formadora], o que resulta em Eu-Formadora. Desse
modo, o leitor poderá identificar cada um dos atores envolvidos no decorrer de nossas análises. 85 Essa nossa observação relativa aos valores, refere-se a um aparente equívoco ocorrido por parte da professora
em relação à quantidade efetivamente indicada - 4 vasos e não 3 como relatado por ela no diálogo.
138
discutida: a do conhecimento de teorias de ensino associadas a um conteúdo matemático
(KMT) (ESCUDERO-ÁVILA; CONTRERAS; VASCO, 2016).
Outra constatação refere-se ao entendimento do problema dos vasos apresentado
pela professora Susana, que o identificou como envolvendo a ideia de “combinatória”.
Com base no diálogo apresentado, entendemos que, se por um lado, parece ter
faltado espaço-tempo para a professora Susana defender sua opção por “combinatória”, por
outro, o seu aceite quanto a “parcelas iguais...” sem defender sua opção inicial (combinatória)
parece indicar uma carência de exemplos potentes que caracterizem os distintos significados
de multiplicação por parte da professora Susana. Esse fato parece indicar a demanda de
investigações que se aprofundem no tema.
Esta comprovação relaciona-se com a dimensão do conhecimento relativa a
estratégias, técnicas e tarefas para o ensino de conteúdo matemático (KMT) (FLORES-
MEDRANO et al., 2014). A exploração de exemplos potentes relacionados aos significados
de multiplicação implica no aumento do conhecimento do PEM sobre a matemática e de
como as crianças podem aprendê-la, além de que tais aspectos podem ampliar as discussões
sobre a qualidade dos materiais de ensino (ESCUDERO-ÁVILA; CONTRERAS; VASCO,
2016).
Em nossa compreensão, a ausência em explicitar os motivos que levaram a
professora Susana a optar pelo significado de combinatória para o problema dos vasos pode
ter tolhido uma negociação dos significados da multiplicação em relação ao problema
proposto. Temos por hipótese que uma discussão sobre os motivos pelos quais a professora
Susana considerava o problema contendo a ideia de combinatória poderia mobilizar outros
conhecimentos matemáticos e potencializar aproximações de outros significados da
multiplicação.
Com base em Serrazina (2012, p. 271), destacamos que “o tipo e a qualidade das
perguntas que o professor consegue fazer aos seus alunos é um fator determinante do
ambiente de aprendizagem que lhes proporciona”, o que compreendemos que possa também
ser extensivo aos formadores de professores.
Em nossa compreensão, problematizar os diferentes significados de multiplicação
pode contribuir para que o PEM nos anos iniciais mobilize conhecimentos acerca de
propriedades e fundamentos da multiplicação característicos do subdomínio KoT.
A seguir, destacamos o diálogo ocorrido no grupo em que as participantes
discutem qual a ideia que envolve o problema: “Um jardineiro plantou 16 canteiros de
margaridas, com oito mudas em cada canteiro. Quantas mudas ele plantou ao todo?”:
139
Susana: Esta daqui está parecendo,..., um jardineiro...
Beatriz: Um jardineiro plantou 16 canteiros de margaridas, com oito mudas em cada
canteiro. Quantas mudas ele plantou ao todo?
Eu [Formadora]: (concordou) um jardineiro plantou 16 com 8 em cada uma,...,
parcelas iguais.
Transcrição da gravação de áudio de 19/mar/07
(SILVA, 2009, p. 177)
Em continuidade ao diálogo anterior, observamos que, antes mesmo de as
professoras tentarem responder, a formadora já havia indicado que a ideia de multiplicação,
associada ao problema, é a adição de parcelas iguais. Em nossa interpretação, entendemos
que, talvez, as professoras ainda não tivessem consolidado a compreensão de outros
significados da multiplicação e, portanto, pautavam-se na identidade de multiplicação numa
abordagem tradicional de ensino, considerando-a basicamente no sentido de adição de
parcelas iguais (BORBA et al., 2008; MAGINA; SANTOS; MERLINI, 2014; MENDES;
BROCARDO; OLIVEIRA, 2013). A despeito da concordância expressa pelo “concordou”,
por parte da formadora, pelo menos nos registros da tese, o diálogo não apresenta respostas
das professoras Susana e Beatriz, mas somente o da formadora, indicando-a como “...parcelas
iguais”.
No decorrer dessas análises, sentimos a necessidade de destacar o papel da
comunicação nos processos formativos como elemento que favorece a negociação de sentidos
e significados do conhecimento matemático. O fato de concordar não impede que se
problematize a resposta, por exemplo, com a solicitação de uma justificativa. É a partir dela,
quase sempre, que o formador poderá identificar os reais conhecimentos matemáticos do
professor, fomentando assim um aprofundamento ou uma ampliação deles. Temos por
hipótese que solicitar às professoras representações distintas para solucionar o problema do
“jardineiro” poderia levar o grupo a aproximar-se de outros significados da multiplicação, os
quais, por serem conhecimentos relacionados aos aspectos fenomenológicos da multiplicação
(KoT), fazem parte do conjunto de conhecimentos fundamentais para o PEM. Entendemos
que a situação envolvida no problema sugere uma representação em que o grupo de objetos se
associa a uma disposição retangular, o que, segundo Fosnot e Dolk (2001), são relevantes para
estruturar progressivamente a multiplicação.
Na discussão realizada sobre o significado de multiplicação que envolveu o
terceiro problema, apesar da pronta resposta dada por Susana – “parcelas iguais...” – notamos
que houve um desafio diante do enunciado de um dos problemas identificados no âmbito da
multiplicação.
Susana: Já... Joana tem 5 irmãs e distribuiu para cada uma delas 3 tíquetes para a
peça de teatro. De quantos tíquetes Joana precisa? Também é de parcelas iguais...
140
Eu [Formadora]: Eu acho que essa pergunta está errada. Deveria ser “de quantos
tíquetes Joana precisou?”. Se ela já distribuiu...
Susana: Alguma coisa está estranha, alguma coisa não está batendo.
[...]
Eu [Formadora]: Eu vi isso, mas depois eu parei e olhei que ela distribuiu para cada
uma três, então é a ideia de parcelas iguais... Mais o quê?
Transcrição da gravação de áudio de 19/mar/07
(SILVA, 2009, p. 177-178)
Em nossa interpretação, a afirmação inicial da professora Suzana “Também é de
parcelas iguais”, se configurava como uma boa oportunidade para problematizar o
significado da multiplicação como soma de parcelas iguais, associado ao conceito de divisão
como operação inversa da multiplicação. Problematizar a situação permitiria que o diálogo
tecido neste contexto pudesse ultrapassar o nível da simples identificação dos significados da
multiplicação, possibilitando a mobilização, por parte dos participantes (professoras e
formadora) de novos sentidos para esses significados.
Cabe, neste problema, devido à forma como foi elaborado o enunciado,
problematizar também um aspecto importante do conhecimento especializado do PEM nos
primeiros anos de escolarização – benefícios e dificuldades correspondentes ao uso de
recursos e problemas no ensino de determinado tema matemático – que, à medida que for
compreendido e reconhecido, poderá ser contributivo na organização de futuros processos
formativos.
Em nossa compreensão, essa dimensão do conhecimento especializado relaciona-
se à reformulação do problema, proposto diretamente pela formadora, no sentido de adequá-lo
coerentemente ao objetivo proposto pela tarefa. Isto nos oferece indícios de consciência (isto
é, conhecimento) e intencionalidade do formador em explorar uma dimensão dos
conhecimentos do PEM, os quais envolvem as características matemáticas específicas dos
recursos didáticos para ensinar determinado conteúdo matemático (KMT). Como já
informado, os problemas em discussão foram retirados de um livro didático, sendo esse um
dos principais recursos que o PEM nos anos iniciais utiliza para ensinar multiplicação.
Conhecer os benefícios e as dificuldades do uso do livro didático para o ensino de
multiplicação faz parte do conhecimento especializado do PEM. Assim como destacam
Escudero-Ávila, Contreras e Vasco (2016), compreendemos que os aspectos relativos a essa
dimensão do conhecimento capacitam o professor a selecionar os materiais didáticos em
função dos benefícios oferecidos para a aprendizagem dos alunos. Entretanto enfatizamos que
essas questões, além de serem identificadas, necessitam ser problematizadas e discutidas pelo
PEM, principalmente em contextos de formação continuada aspecto este que, na nossa
interpretação, poderia ter sido mais bem explorado pela formadora-pesquisadora.
141
Como vimos até aqui, os três problemas analisados acabaram sendo assumidos
pelas professoras como situações que enfatizavam a multiplicação como a ideia de soma de
parcelas iguais. A seguir, apresentamos os três últimos problemas.
Susana: Uma banda escolar, num é? Tem 8 filas de instrumentista, com 7 membros
em cada fila...Agora a ideia de combinatória, .. Tem o sorvete sem nome que tem 6
sabores de sorvete e 8 coberturas...E a outra que eu tenho camisas de cores
diferentes e 4 shorts cores distintas. Não é isso? Deu para entender. Com uns
probleminhas desses é alguma coisa simples de você [...]etá... né.
Transcrição da gravação de áudio de 19/mar/07
(SILVA, 2009, p. 178, grifo da autora)
Este recorte é uma continuidade da discussão anterior e, com base nele, não foi
possível identificar o significado de multiplicação atribuído ao problema da “banda escolar”
pela professora Susana, uma vez que, sem concluir seu raciocínio em relação a ele, a
professora parece buscar os problemas envolvendo a ideia de combinatória.
Entretanto, Silva (2009) em suas análises, afirma ter identificado duas das ideias
de multiplicação nos seis problemas discutidos/propostos: os quatro primeiros referem-se à
soma de parcelas iguais; e os dois últimos, à ideia de combinatória. A formadora-
pesquisadora86 descreve em suas análises que as professoras tiveram a impressão de que
outras ideias poderiam estar associadas à soma de parcelas iguais, mas elas não conseguiram
identificar as possíveis sutilezas que envolviam os problemas, devido à falta de conhecimento
que tinham sobre os significados de multiplicação. Apesar de terem relacionado os quatro
primeiros problemas envolvendo o significado de soma de parcelas iguais, ela destaca que, em
alguns livros87, o segundo e terceiro (sic)88 problemas denotam o significado de configuração
retangular.
Esse fato merece uma discussão mais aprofundada, e vale destacar esses dois
problemas:
(2) Um jardineiro plantou 16 canteiros de margaridas, com 8 mudas em cada
canteiro. Quantas mudas ele plantou ao todo?
(4) Uma banda escolar tem 8 filas de instrumentista, com 7 membros em cada
fila. Quantos alunos estão na banda?
Em nossa compreensão, considerar esses dois problemas como soma de parcelas
iguais parece indicar a forte relação das professoras com esse significado da multiplicação.
Logo, embora as professoras percebessem alguma sutileza, como parece ter ocorrido, decidem
optar pelo significado que já conhecem e que dão conta para resolver o problema no sentido
86 Neste momento na posição de pesquisadora. 87 Silva remete-se ao PCN (BRASIL, 1997). 88 Entendemos que Silva pretendia se referir aos 2º e 4º problemas.
142
de especificamente obter um resultado. Entretanto, a nosso ver, obter um resultado pode não
estar associado a aspectos conceituais, entendemos que a multiplicação não pode ser reduzida
somente aos aspectos operacionais, ou somente aos aspectos conceituais.
Compreendemos que as “possíveis sutilezas”89 envolvendo esses dois problemas,
cujas ideias foram associadas à soma de parcelas iguais, pudessem estar relacionadas ao
significado de configuração retangular. Neste caso, problematizar tais “sutilezas” – outros
significados da multiplicação – implicaria em aproximações à dimensão do conhecimento
especializado do PEM nos anos iniciais relativo aos aspectos fenomenológicos da
multiplicação. Segundo Mendes, Brocardo e Oliveira (2011), o uso do modelo retangular
contribui na construção e na consolidação do uso das propriedades distributivas e associativas.
Problematizar e discutir tais “sutilezas” poderia ter auxiliado a compreender a
pertinência em identificar as diferentes dimensões do conhecimento relativo à multiplicação
que parecem ser fundamentais ao PEM nos anos iniciais. Como afirma Muñoz-Catalán et al.
(2015), para ter um conhecimento profundo do conteúdo escolar, é preciso que o professor
conheça o tema numa perspectiva mais ampla daquela que os alunos aprendem. O problema
da banda escolar tem potencial para gerar uma discussão acerca do significado de disposição
ou configuração retangular, contribuindo para o aprofundamento de conhecimentos
matemáticos fundamentais ao PEM nos anos iniciais.
A problematização dessa questão parece estabelecer relações com o princípio de
extensão no ensino da multiplicação (ISODA; OLFOS, 2011). Para esses autores, o processo
de extensão relaciona-se ao aprofundamento que é dado ao objeto de aprendizagem e à
disponibilidade de diferentes representações desses objetos. Assim, entendemos que a
proposta de abordagem mais aberta (isto é, exploratória) do problema permite ao professor
transitar pelas big ideas (FOSNOT; DOLK, 2011) referentes à multiplicação. Dentre elas,
destacamos a compreensão de um grupo como unidade; a propriedade distributiva da
multiplicação em relação à adição e à subtração; a propriedade comutativa e a propriedade
associativa da multiplicação.
Um segundo episódio que trouxemos para discutir aspectos do conhecimento
especializado do professor que ensina matemática nos anos iniciais, refere-se aos dados
coletados a partir das observações/participação na sala de aula da professora Susana.
Em continuidade ao trabalho realizado com sua turma na “oficina do material
escolar”, a professora Susana aproveitou determinados contextos de problemas inventados por
89 Conforme expresso pela pesquisadora (SILVA, 2009).
143
seus próprios alunos com o propósito de trabalhar conceitos relativos aos números decimais e
suas operações. No decorrer da aula, a professora propôs à turma o seguinte problema:
Anny Gabrieli comprou na papelaria 2 cadernos de R$ 2,00 cada, 1 cx de lápis de
cor por 2,00, estojo de canetinhas pelo mesmo preço, apontador e borracha por 1,00
cada, 1 régua por 1,50 e lápis por 50,00. Como você faria uma tabela disso?
(SILVA, 2009, p. 196)
Este problema foi tema de discussão na reunião do grupo90, cujos excertos são
apresentados por Silva (2009) de modo a descrever o pensamento da professora para
compreender as possíveis relações estabelecidas entre os registros orais e escritos dos valores
monetários envolvidos no problema.
Apesar de a formadora-pesquisadora já, em sala de aula, ter considerado
“estranho” o valor atribuído ao lápis (R$ 50,00), em outro momento a professora declarou que
a escolha havia sido proposital. A opção em usar o referido valor no problema, deveu-se ao
fato de a professora Susana ter percebido que, em atividade anterior uma de suas alunas,
representou 50 centavos por meio do registro escrito como sendo R$50,00. Nesta perspectiva,
a professora compreendeu que o uso desse valor no problema “seria uma situação
provocadora e interessante, para levantar algumas discussões com seus alunos” (SILVA,
2009, p. 196).
A formadora91 destaca que também os alunos questionaram o valor atribuído ao
lápis no problema proposto, e que a aluna explicita que pretendia escrever 50 centavos. Foi
então que a professora passou o problema ao grupo classe, questionando-os sobre como
deveria ser a escrita de 50 centavos. Para melhor compreender o pensamento da professora,
destacamos um trecho extraído da tese de Silva (2009, p.197):
Algumas propostas foram colocadas por eles, dentre as respostas, destacamos a do
aluno que disse que deveria ser 00,50. Nesse momento, a professora perguntou se
haveria necessidade de escrever dois zeros antes da vírgula. Outro aluno observou
que o zero deveria ser colocado após o 50 ficando 0,500. Logo, a professora Susana
iniciou alguns questionamentos sobre a fala do aluno: “colocar outro zero depois do
0,50?”. Ela comentou que ficariam 500 centavos, o que assustou alguns alunos que
perguntaram se com 500 centavos daria para comprar alguma coisa. A explicação
dada pela professora foi que 500 centavos correspondem a 5 reais, logo dava para
comprar alguma coisa. Além disso, ela afirmou que 500 centavos poderiam ser
pensados como 500 moedas de 1 centavo. Assentou também que 1 centavo
corresponde a 1 centésimo de 1 real, isto é, poderíamos repartir 1 real em 100
pedaços e 1 desses representa 1 centavo.
Silva (2009) destaca a articulação entre alguns conteúdos na abordagem do
pensamento da professora, porém, incomodada com a escrita dos 500 centavos como 0,500
aproveitou o encontro do grupo de estudos, nesse mesmo dia, para retomar a discussão.
90 Esta reunião do grupo ocorreu no mesmo dia da observação da aula da professora Susana (03/03/2008). 91 Neste momento na condição de pesquisadora.
144
Assim, nesse encontro, a proposta era conversar, discutir e verificar a justificativa
e a explicação da professora sobre a escrita dos 500 centavos e se esta poderia ser ou não
0,500. Após começar a discussão sobre os acontecimentos durante as aulas, a profa. Susana
repetiu sua interpretação sobre os 500 centavos, buscando, de certa forma, justificar o motivo
que a fizera acrescentar um zero, utilizando, agora, dez centavos e sua transformação,
mediante multiplicação, em 100 centavos.
Na compreensão da pesquisadora, para a professora Susana multiplicar um
número por 10 seria o mesmo que acrescentar um zero ao final dele, obtendo 0,100, o que
para ela equivale a 100 centavos. Em suas análises, Silva (2009) reforça que, embora a
professora Susana expressasse verbalmente que o resultado era 1 real (1,00), apesar das
discussões sobre a multiplicação e o uso da vírgula, Suzana não conseguia perceber tais
elementos na operação por ela realizada.
De modo semelhante à pesquisadora, em nossa interpretação também
consideramos que a professora Susana utilizou mecanicamente uma regra operatória da
multiplicação – para multiplicar um número qualquer por 10 basta acrescentar um zero ao
final do número – que, embora seja válida para números inteiros, não o é para os números
racionais não inteiros. Este fato parece relacionar-se com a dimensão do conhecimento que
envolve as potencialidades e as dificuldades associadas à aprendizagem do aluno (KFLM),
neste caso a multiplicação por potências de base 10. Isto porque, normalmente o professor
apresenta uma regra prática em que, ao multiplicar um número inteiro por uma potência de
base 10, basta acrescentar, ao final do número, a mesma quantidade de zeros que indicar o
expoente da base 10. Esse é um modo que facilita a aprendizagem do aluno. Em vista disso,
cabe evidenciar a importância de uma outra dimensão do conhecimento especializado para
ensinar multiplicação – o das conexões – (KSM), uma vez que o sistema de numeração
decimal pode ser considerado um tema estruturante para o ensino das operações ao longo de
toda a escolaridade.
Quanto à aprendizagem dos alunos, essa “pedagogia da facilitância”, comumente
utilizada no ensino da matemática para facilitar uma certa aprendizagem mecânica da
matemática funciona, conforme Jiménez Espinosa (2002), como obstáculos de origem
didática, no sentido de Brousseau (1986), pois são simplificações didáticas introduzidas pelos
145
professores visando simplificar a memorização de um fato ou de algum procedimento de
cálculo.
A formadora92 destaca a questão da regra prática, questionando a si mesma e aos
leitores acerca da necessidade de que seja observado o uso de algumas regras.
Em que situações isso é verdade? O que significa acrescentar zeros? Será que nós,
professores de matemática, formadores de professores estamos dando atenção
devida a esse tipo de colocação? Será que acreditamos que isto é algo simples e que
não precisa ser explicado? São perguntas que nos levaram a refletir. (SILVA, 2009,
p. 199).
Entretanto, em nossa interpretação, parece haver um conflito entre dois tipos de
registro, o escrito (que privilegia a sintaxe) e o mental (que privilegia a semântica). O
conhecimento da equivalência entre 1,00 e 100 centavos pode estar relacionado à
familiaridade com o contexto monetário, que permite pensar em quantidades de moedas de
0,10, agrupando-as mentalmente, por exemplo de 5 em 5, o que implica em 2 x 0,50 que
resulta em 1,00. Entendemos que ao defender que 1,00 equivale a 100 centavos, Susana
pauta-se em aspectos fenomenológicos da multiplicação, em especial quanto ao significado de
multiplicação como proporcionalidade (KoT), mas, em termos de representação escrita desses
valores, necessita desenvolver mais estudos em relação ao tratamento sintático desses
registros, principalmente no campo dos racionais não inteiros. Esse tipo de conhecimento
especializado é fundamental para quem pretende ensinar multiplicação nos anos iniciais de
escolarização.
Interpretamos, além disso, que a dificuldade em perceber elementos relativos à
vírgula no registro escrito nos dá indícios de fragilidades por parte da professora referente a
conhecimentos relativos aos padrões de valor de posição associados à multiplicação por 10.
Tais fragilidades de certa forma podem impactar no ensino da multiplicação de números
racionais restritos à representação decimal finita, proposto para ser trabalhado no 5º ano
(BRASIL, 2017).
A seguir, trazemos a síntese interpretativa do estudo de Merlini (2012) que, tal
como a de Silva (2009), se desenvolveu no contexto de formação continuada.
92 Aqui também na condição de pesquisadora.
146
4.3 Síntese interpretativa do estudo de Merlini (2012)
Nesta seção apresentamos uma síntese interpretativa da tese de Merlini (2012)
que, integrante de um processo formativo com dimensões colaborativas, desenvolveu um
estudo de caso com uma professora da 3ª série participante de um grupo formado por 14
professoras dos anos iniciais.
A síntese foi subdividida em dois tópicos. No primeiro, mostramos a motivação
de Merlini para pesquisar sobre o tema, seguido dos principais aspectos metodológicos e do
processo formativo desenvolvido na pesquisa. No segundo tópico, tecemos nossas
interpretações acerca de episódios tratados em diferentes momentos de sua pesquisa, com
foco no conhecimento especializado sobre multiplicação do PEM nos anos iniciais à luz do
MTSK.
4.3.1 Alguns aspectos metodológicos da investigação e o processo formativo
A experiência inicial de Merlini como formadora em projeto de formação
continuada93 de professores, acrescida aos questionamentos após os estudos do mestrado,
despertou seu interesse por investigar e trabalhar com formação de professores dos anos
iniciais do Ensino Fundamental. Visando investigar as possibilidades de o professor, a partir
de um processo de formação, expandir seus conhecimentos da prática pedagógica em
matemática, estabelece como objetivo de sua pesquisa de doutorado:
investigar as contribuições e os limites que um processo formativo, com dimensões
colaborativas, proporciona no que tange à reflexão na e sobre a prática de uma
professora das séries iniciais do Ensino Fundamental, no âmbito do Campo
Conceitual Multiplicativo. (MERLINI, 2012, p. 24)
Seu estudo apoiou-se fundamentalmente na Teoria dos Campos Conceituais
(VERGNAUD, 1988, 1990) e, de modo mais específico, nas categorias de base do Campo
Conceitual Multiplicativo (CCM) (VERGNAUD, 1983). Em relação à formação de
professores, adotou como principais aportes teóricos: Candau (1996), Fiorentini (2008, 2009),
93 Projeto denominado “Curso de Especialização em Educação Matemática”.
Esse curso foi financiado pelo Programa das Nações Unidas para o Desenvolvimento (PNUD), uma rede global
de desenvolvimento da Organização das Nações Unidas, presente em 166 países. O curso, além de gratuito,
oferecia aos seus participantes materiais didáticos e apoio financeiro para sua locomoção.
147
Fiorentini e Nacarato (2002), Pimenta (2010), Ponte (2009), Schön (2000), Serrazina (2010),
Zeichner (1993, 2008), dentre outros.
A pesquisa, desenvolvida em contexto de formação continuada, apresenta um
estudo de caso em que a pesquisadora atuou como um dos formadores de um processo
formativo com dimensões colaborativas, cujo objetivo era contemplar estratégias formativas
contidas na espiral REPARE em três dimensões: reflexão, planejamento e ação.
Merlini acompanhou uma professora94 da 3ª série95, integrante de um grupo
formado por 14 professoras atuantes em diferentes séries do Ensino Fundamental, em três
momentos distintos:
Inicialmente no processo formativo em que a professora atuava com um subgrupo
de professores da 3ª série do Ensino Fundamental.
Em seguida, em momentos de observação nas aulas da professora, nos quais eram
aplicadas situações relativas ao Campo Conceitual Multiplicativo – CCM -
desenvolvidas no subgrupo da 3ª série.
E finalmente, em entrevistas semiestruturadas realizadas logo após as aulas
observadas.
Com vistas a discutir os elementos tratados nesses diferentes momentos, a
pesquisadora sintetiza um estudo de caso, especificando, detalhadamente, as atividades
desenvolvidas no decorrer do processo formativo de uma das professoras ao longo de três
fases denominadas por: 1) Conhecendo a professora Maria; 2) Acompanhando a professora
Maria; e 3) Fechamento do processo formativo de Maria.
A primeira fase, Conhecendo a professora Maria, permitiu traçar um diagnóstico
das professoras, dividido em duas etapas. Inicialmente foi aplicado um questionário com
intuito de traçar o perfil profissional das professoras participantes. A segunda etapa dessa fase
foi subdividida em três momentos nos quais foram propostas às professoras: i) a elaboração,
individual, de seis problemas distintos relativos ao CCM; ii) a realização, individual, de um
prognóstico do desempenho de seus alunos em relação às 13 situações envolvendo diferentes
94 A professora Maria. 95
A escola em que a pesquisa de Merlini foi realizada, ainda não havia sido reorganizada de acordo com a Lei nº
11 274, aprovada em fevereiro de 2006, que regulamentou o Ensino Fundamental de nove anos. Deste modo, a
escola ainda mantinha a divisão dos anos iniciais em quatro séries.
148
eixos do campo multiplicativo; iii) as atividades em grupo em que Maria e as professoras do
3º ano classificariam as situações propostas aos alunos.
Na primeira fase, após a aplicação96 do instrumento diagnóstico para os alunos
das professoras participantes do processo formativo, um dos encontros foi disponibilizado à
socialização dessa experiência pelas professoras. Nessa reunião, foi definida, em comum
acordo pelo grupo e a formadora, a dinâmica dos encontros, considerando: a) Subgrupos com
professoras de uma mesma série; b) Apresentação em painel aberto do registro e das
discussões dos subgrupos. Definida a dinâmica, os subgrupos se organizaram por série e cada
um deles passou a expor a classificação e as análises das 13 situações do diagnóstico.
Ao final das apresentações, a pesquisadora explicitou o intuito em realizar um
estudo de caso, fazendo o convite às professoras que tivessem interesse em colaborar. Embora
tivesse havido o aceite de duas professoras, uma da 1ª série e outra da 3ª série, como a
pesquisadora tivesse interesse em acompanhar uma professora da 3ª série, cujos alunos já
tivessem estudado o Campo Conceitual Multiplicativo formalmente, Merlini encaminhou o
estudo de caso com a profa. Maria da 3ª série.
A segunda fase - Acompanhando a professora Maria - teve seu desenvolvimento
em três momentos: O primeiro deles no decorrer do processo formativo em que esteve
inserida no grupo do 3º ano – G3; o segundo, em sua prática pedagógica; e por último, na
entrevista.
O foco do primeiro momento desta segunda fase direcionou a discussão dos
seguintes eixos97 do Campo Conceitual Multiplicativo: eixo 1: proporção simples; eixo 3:
comparação multiplicativa; eixo 4: produto de medidas (4A configuração retangular e 4B
combinatória). Merlini (2012) subdividiu as estratégias do processo formativo em três etapas:
ação teórica; ação prática; e ação reflexiva, as quais se encontram detalhadas em seu estudo.
Ao final de cada encontro, pautada nas discussões teóricas dos diferentes eixos, no
segundo momento, Maria elaborou com o G3 duas situações que seriam aplicadas a seus
alunos, sendo sua prática pedagógica observada pela formadora-pesquisadora.
96 Dois instrumentos precederam o processo formativo: um prognóstico respondido pelas professoras em relação
ao desempenho de seus alunos acerca das questões contidas no instrumento diagnóstico a ser aplicado aos
alunos; e um instrumento diagnóstico contendo situações do Campo Conceitual Multiplicativo, aplicado aos
alunos por cada uma das professoras participantes. 97 Diante do envolvimento de ideias matemáticas mais complexas das situações pertencentes ao eixo da
proporção múltipla (eixo 2), que, segundo Merlini (2012), extrapolavam o nível de ensino em que se trabalhava,
este não foi foco no processo formativo.
149
O terceiro momento refere-se às entrevistas semiestruturadas, realizadas após o
término de cada aula observada, cujo roteiro tinha o intuito de promover reflexões da
professora Maria sobre sua prática pedagógica com seus alunos.
Na terceira e última fase do processo formativo, denominada Fechamento do
processo formativo, foram desenvolvidas as duas últimas atividades realizadas
individualmente não apenas pela professora Maria, mas também pelas demais professoras, ou
seja: 1) elaboração de seis problemas relacionados ao Campo Conceitual Multiplicativo; 2)
questionário relativo à avaliação do processo formativo. Enquanto a primeira atividade
objetivou comparar o tipo de situações elaboradas antes do processo formativo e depois dele,
a segunda contribuiria para repensar novas ações aos processos formativos.
Considerando os distintos momentos contemplados no processo formativo da tese
de Merlini, selecionamos três recortes que abordam a temática da nossa pesquisa, sob os quais
teceremos nossas interpretações relativas ao conhecimento especializado do PEM nos anos
iniciais do Ensino Fundamental.
4.3.2 Conhecimento especializado para ensinar multiplicação: alguns indícios identificados na
tese de Merlini (2012)
Contextualizado o processo formativo e conhecido o objetivo do estudo de
Merlini (2012), apresentamos nesta seção alguns recortes de sua tese que consideramos
essenciais de serem revisitados com as lentes do referencial teórico acerca do conhecimento
especializado do PEM (Carrillo, 2014) nos anos iniciais. Cabe destacar, que, diferentemente
do objetivo de Merlini (2012), o foco da nossa pesquisa consiste em identificar e analisar
indícios do conhecimento especializado do PEM, nos anos iniciais, relativo à multiplicação e
ao seu ensino.
Por isso, em busca de identificar indícios de conhecimento especializado no
âmbito da multiplicação, a princípio interessamo-nos em analisar os seis problemas
elaborados pela professora Maria. Entretanto, a não disponibilização do conjunto de
problemas elaborados no primeiro momento pela profa. Maria, conduziu-nos a revisitar o
estudo, tecendo nossas interpretações acerca de protocolos e episódios apresentados e
discutidos na tese de Merlini (2012), a saber: i) Distribuição de problemas elaborados pelas
professoras por eixo do CCM, ii) Alguns problemas propostos e a prática pedagógica da
profa. Maria
150
Consideramos pertinente tecer nossas interpretações sobre o conhecimento
especializado de multiplicação a partir das análises do diagnóstico apresentado por Merlini
(2012). Isso porque os diagnósticos podem indicar os significados de multiplicação que têm
sido privilegiados na elaboração de problemas relativos ao CCM pelas PEM nos anos iniciais,
sendo os significados da multiplicação um dos conhecimentos especializados relativos aos
aspectos fenomenológicos da multiplicação, uma das dimensões do conhecimento relativo à
multiplicação que integra o subdomínio do (KoT). Portanto, iniciamos pela distribuição dos
problemas elaborados pelas professoras.
i) Distribuição de problemas elaborados pelas professoras por eixo do CCM
Antes de discutir e analisar os significados privilegiados na fase de elaboração de
problemas, é importante ressaltar que, dentre um total de 84 problemas elaborados pelas 14
professoras participantes da formação, Merlini identificou 13 considerados incompatíveis com
que havia sido proposto98. Tais problemas foram por ela categorizados em três tipos de
incompatibilidade: (tipo 1) situações pertencentes ao Campo Conceitual Aditivo; (tipo 2)
descrição na linguagem natural de uma operação matemática; (tipo 3) falta de dados.
Portanto, considerando os 71 problemas compatíveis elaborados pelas professoras,
Merlini (2012) os classifica de acordo com os quatro eixos do Campo Conceitual
Multiplicativo, conforme dados disponibilizados em seu estudo,apresentados na Tabela 1.
Tabela 1: Distribuição dos problemas de acordo com os eixos do Campo Conceitual Multiplicativo
Fonte: Merlini (2012, p. 133)
Do mesmo modo que Merlini (2012), podemos afirmar que os dados apresentados
na Tabela 1, indicam que todas as professoras participantes do processo formativo
privilegiaram a elaboração de problemas relacionados ao eixo Proporção simples. A partir
98 Foi solicitada às professoras uma primeira construção de problemas no seguinte formato: “Elaborar nos
espaços abaixo, seis problemas distintos envolvendo multiplicação e/ou divisão (a seu critério)”.
151
dessa constatação, ao interpretarmos esses resultados, consideramos ser pertinente
problematizar os resultados relativos ao eixo 3 - comparação multiplicativa; e ao eixo 4 –
produto de medidas – sendo que este último envolve dois significados da multiplicação:
combinatória e configuração retangular.
O primeiro deles refere-se ao baixo percentual da elaboração de problemas99
relativos ao eixo comparação multiplicativa. Este fato nos inquietou e fez com que
levantássemos duas hipóteses, que podem estar relacionadas a possíveis fragilidades relativas
a duas importantes dimensões do conhecimento especializado do PEM nos anos iniciais, a
saber: aos aspectos fenomenológicos que envolvem os significados da multiplicação e aos
registros de representação.
Uma de nossas hipóteses refere-se à possível complexidade em compreender os
problemas deste eixo como problemas relacionados à multiplicação ou do campo
multiplicativo, tendo em vista o uso de expressões em língua materna, tais como dobro, triplo,
metade, terça parte, dentre outros. Nesses casos, a não explicitação de termos específicos da
operação de multiplicação (multiplicar, produto, fatores, dentre outros) pode dificultar que o
professor considere problemas dessa natureza como problemas relacionados à multiplicação
ou ao campo multiplicativo. A outra hipótese refere-se à possibilidade de que os seis
problemas identificados nesse eixo possam ter sido elaborados, em sua maioria, pelas
professoras dos 1ºs ou 2º anos, uma vez que esse significado de multiplicação é proposto para
ser trabalhado nos primeiros anos. Embora não tenhamos como confirmar ou refutar tais
hipóteses, compreendemos serem necessários novos estudos que se dediquem a investigar
com maior profundidade o conhecimento especializado do PEM nos anos iniciais relativo a
este eixo, uma vez que o conhecimento especializado do professor acerca da multiplicação
impacta no ensino que se faz desse tema, não apenas nos anos iniciais, mas em todos os
demais níveis de escolarização.
O segundo diz respeito à elaboração de um único problema relativo ao eixo
produto de medidas com foco no significado de combinatória, formulado pela professora
Maria, qual seja: Paula tem em seu armário cinco blusas e três saias. Quantos conjuntos ela
pode formar? Em suas análises, Merlini (2012) levanta a hipótese de que Maria e/ou os
estudantes poderiam utilizar-se de duas estratégias para a resolução desse problema: uma
refere-se ao CCM em que se multiplica a quantidade de blusas (5) pela quantidade de saias
99 Segundo Merlini (2012), a ideia central desses problemas envolveu relações de “dobro” ou “triplo” entre duas
quantidades.
152
(3); e a outra, decorrente da pequena quantidade envolvida no problema, utiliza-se da árvore
de possibilidades, considerando-a como uma estratégia que integra o Campo Conceitual
Aditivo, por partir da contagem de todas as possibilidades, como exemplifica a Figura 16.
Figura 16 – Representação horizontal auxiliar para a resolução do problema proposto por
Maria
Fonte: Merlini (2012, p. 137)
Em nossa interpretação, dentre outras alternativas para a resolução do problema
elaborado por Maria, consideramos ainda que, a partir da árvore de possibilidades, a
professora ou os alunos poderiam também se utilizar da estratégia de comparação
multiplicativa, envolvendo a ideia de proporcionalidade. Por exemplo, se para uma blusa
tenho três opções de conjuntos, tendo o dobro de blusas, terei o dobro de conjuntos e,
portanto, se tenho cinco blusas que é o quíntuplo de blusas, terei também o quíntuplo de
conjuntos, isto é, 5 x 3 = 15.
Entendemos ainda que a utilização da árvore de possibilidades pode não ser uma
estratégia do campo aditivo, principalmente se, após fazê-la, a criança percebe claramente que
se trata do fato de que as três saias se repetem cinco vezes, isto é, repete para cada uma das
cinco blusas chegando à conclusão da quantidade de conjuntos pela multiplicação 5 x 3.
Neste caso, pensamos ser pertinente discutir o papel do professor ou do formador,
considerando que, por vezes, a própria disposição do desenho pode favorecer ao aluno
perceber que a situação envolve uma estrutura multiplicativa.
Desse modo, à medida que o professor/formador passa a explorar outros modos de
desenhar a árvore de possibilidades, é possível que alguns alunos a construam de diferentes
formas, como por exemplo na disposição vertical, como se vê na Figura 17.
153
Figura 17 – Representação vertical auxiliar para a resolução do problema proposto
Fonte: Elaborada pela pesquisadora
A disposição vertical da árvore de possibilidades pode favorecer a percepção do
aluno de que obterá a mesma quantidade de conjuntos para cada uma das blusas, e que,
portanto, terá cinco vezes a quantidade de conjuntos obtida para cada uma das blusas, ou seja
5 x 3. Nosso entendimento quanto à potencialidade da disposição vertical apoia-se em uma
das big ideas defendidas por Fosnot e Dolk (2001) para a aprendizagem da multiplicação, a de
unitizing, ou seja, a compreensão de um grupo como unidade. O desenho da árvore de
possibilidades na posição vertical parece favorecer a compreensão de um grupo de três
conjuntos por blusa.
Assim sendo, em nossa compreensão, parece ser importante explorar com o PEM
nos anos iniciais que o uso pelo aluno da árvore de possibilidades, necessariamente não
implica em estratégia integrante do Campo Conceitual Aditivo. O uso que se faz da árvore de
possibilidades dependerá, em parte, dos desafios propostos pelo professor com base na
situação elaborada e do objetivo proposto, o que demanda um conhecimento especializado do
PEM nos anos iniciais. Em especial, entendemos que esta demanda esteja associada à
154
dimensão do conhecimento relativo Conhecimento das estratégias, técnicas e tarefas para o
ensino do conteúdo matemático (KMT), uma vez que, dentre outros, dois aspectos integram
essa dimensão do conhecimento especializado: a escolha de exemplos potentes para
representar o conteúdo, considerando o tempo disponível e a intencionalidade da proposta
(FLORES-MEDRANO et al., 2014), e, a sequência estruturada de exemplos para auxiliar na
compreensão do significado de um conteúdo matemático (ESCUDERO-ÁVILA;
CONTRERAS; VASCO, 2016).
Interessados em identificar o conhecimento especializado do PEM nos anos
iniciais no âmbito da multiplicação, concentramo-nos em tentar compreender e problematizar
a ausência da elaboração de problemas, por parte das professoras, envolvendo o significado de
configuração retangular. Em nossa interpretação, essa ausência na elaboração desse tipo de
problema, pelas professoras participantes do processo formativo, parece oferecer indícios de
que a multiplicação com o significado de configuração retangular estivesse sendo muito
pouco utilizado pelas professoras até aquele momento e, até mesmo, talvez, lhes fossem
desconhecidas a relevância e a potencialidades desse significado.
Apoiados em Fosnot e Dolk (2001), enfatizamos a importância da compreensão
da multiplicação envolvendo o significado de configuração retangular por parte dos
professores e formadores. Esses autores destacam que a organização de tarefas seja proposta a
partir de contextos que contribuam para estruturar progressivamente a multiplicação,
iniciando com grupos de objetos com o mesmo cardinal e ir avançando para situações que
envolvem grupos de objetos, aos quais se associem uma disposição retangular.
Em nosso entendimento, a utilização e a exploração de problemas envolvendo os
diferentes significados de multiplicação, aqui de modo especial o de configuração retangular,
podem estar relacionadas às diferentes dimensões do conhecimento especializado que
integram o subdomínio do Knowledge of Mathematics Teaching (ESCUDERO-ÁVILA,
CONTRERAS E VASCO,2016). Nesta perspectiva, ao considerarmos a multiplicação ou o
campo multiplicativo como um tema/conteúdo que, à medida que estabelece conexões com
diferentes conteúdos, perpassam os diversos anos escolares da Educação Básica, há que se
destacar os estudos de Menino e Rocha (2009) e os de Mendes, Brocardo e Oliveira (2013),
que trazem contribuições importantes relativa a estratégias, técnicas e tarefas para o ensino
de multiplicação.
O primeiro estudo apresenta o que os autores denominam de Cadeia de tarefas:
quatro tarefas com foco na transição do cálculo por contagem para o cálculo por estruturação,
apoiando-se na exploração de contextos envolvendo a disposição retangular de objetos. Já o
155
segundo, o estudo de Mendes, Brocardo e Oliveira (2013), utiliza-se das Cadeias numéricas
que, focalizando o cálculo mental, parece ser apropriado para elucidar procedimentos de
cálculo associados às propriedades dos números e operações.
As tarefas propostas nesses dois estudos permitem identificar conhecimentos
especializados relativos a estratégias, técnicas e tarefas que consideramos ser fundamentais ao
professor que ensina matemática nos anos iniciais, uma vez que potencializam a
aprendizagem da multiplicação, permitindo estabelecer interconexões entre temas
matemáticos.
Isso posto, entendemos que as tarefas propostas nestes estudos, assim como as
tarefas elaboradas numa perspectiva exploratório-investigativa, dentre outras, podem oferecer
contribuições significativas a processos formativos que se disponham a trabalhar mais
especificamente com a multiplicação ou com o campo multiplicativo.
Para além do conhecimento relativo aos problemas relacionados a cada um dos
eixos100 do PEM nos anos iniciais, é importante que o contexto formativo promova também o
desenvolvimento de outros conhecimentos especializados, como por exemplo, aqueles
relativo a estratégias, técnicas e tarefas de multiplicação que possibilitem ao professor
estabelecer interconexões entre diferentes conteúdos matemáticos, potencializando o ensino
acerca desse tema.
ii) Alguns problemas propostos e a prática pedagógica da profa. Maria
Ao acompanhar as aulas da professora Maria, a pesquisadora Merlini (2012)
percebeu que, em diferentes situações envolvendo o campo multiplicativo, os alunos da
professora Maria pareciam insistir no uso da adição, realizando a contagem e não a
multiplicação. Essa percepção pode ser evidenciada a partir de um dos episódios ocorridos na
prática pedagógica da profa Maria, no qual aplicou aos seus alunos uma situação
desenvolvida no grupo de professoras da 2ª série, denominado de problema da promoção. A
seguir, apresentamos o problema e a Figura 16 que representa a estratégia realizada por um
dos estudantes da sala.
100 O que por si só parece ser um grande desafio.
156
Figura 18- Problema e a estratégia de resolução
João foi ao supermercado com sua mãe. Ficou
empolgado com a seguinte promoção em cartaz:
“PROMOÇÃO: Compre 5 barras de chocolate e
ganhe 3 chicletes de bola.”
Se João comprar 15 barras de chocolate, quantos
chicletes de bola ganhará?
Fonte: Merlini (2012, p. 173-174)
Após elaborar o desenho em que representa os três agrupamentos com as cinco
barras de chocolate (retângulos) e outros três com os três chicletes (circunferências), o aluno
respondeu prontamente que João ganharia nove chicletes na compra. Ao questioná-lo sobre
como havia pensado e, mais especificamente, que conta havia realizado para obter o
resultado, a professora Maria recebeu a seguinte resposta do estudante 1: “eu não fiz conta
nenhuma, eu só somei três mais três mais Três. Nove chicletes” (MERLINI, 2012, p. 174).
Na análise desse episódio, Merlini (2012) destaca a possibilidade de que o
estudante não tivesse consciência de que, ao relacionar a cada cinco chocolates, três chicletes,
ele estivesse estabelecendo a proporcionalidade de cinco para três, que, na perspectiva de sua
base teórica, se trata de um teorema em ação.
Já, em nossa interpretação, focamos nossas análises e nosso olhar voltados ao
conhecimento especializado do PEM nos anos iniciais relativo à multiplicação e ao seu
ensino. Observamos que o aluno consegue representar a situação problema de maneira
adequada/coerente por meio de um desenho. Porém, compreendemos que a pequena
quantidade de grupos,101 envolvida na situação proposta, favoreceu que o aluno se apoiasse na
adição de parcelas iguais. Ao se pensar em uma situação ou problema, é fundamental que o
professor pense também na estratégia didática que lhe possibilite explorar as matemáticas
envolvidas numa determinada situação.
Portanto, parece pertinente destacar que o desafio matemático pode se constituir
como uma importante estratégia de aprendizagem dos estudantes. Todavia, o uso que se faz
das estratégias de aprendizagem relaciona-se com o conhecimento especializado do PEM nos
anos iniciais em relação às Formas de Interação dos alunos com o conteúdo matemático, as
quais se constituem em uma das dimensões que integra um dos subdomínios do conhecimento
pedagógico do conteúdo, o Knowledge of Features of Learnig Mathematics (KFLM).
Quanto ao tipo de conhecimento especializado do PEM nos anos iniciais, cabe
problematizar o diálogo tecido entre a professora Maria e o estudante 1:
101 Referimo-nos a grupos no sentido do conceito de unitizing (FOSNOT; DOLK, 2001).
157
PROFA. MARIA – Então se comprarmos 15 barras de chocolate ganharemos 9
chicletes? Vocês concordam?
CLASSE – sim, concordamos.
PROFA. MARIA – Muito bem. E se ao invés de 15 barras de chocolate,
comprarmos 20 barras, quantos chicletes ganharíamos?
ESTUDANTE 1 – É fácil, quando a gente aumenta cinco barras, a gente ganha mais
três chicletes. Nove mais três dá 12 chicletes.
PROFA. MARIA – E se forem 30 barras?
ESTUDANTE 1 – Espere um pouco. [nesse ínterim observamos que ele está
fazendo contas] já sei, 18 chicletes.
PROFA. MARIA – Como você chegou nesse resultado? Que conta você efetuou?
ESTUDANTE 1 – Eu já sabia quanto seria com 20 barras, acrescentando mais cinco
e mais cinco tenho 30 barras, então era fazer a mesma coisa do outro lado, 12 mais 3
mais 3, dezoito chicletes, “tá” certo, Professora? (MERLINI, 2012, p. 174-175)
Podemos observar que, a princípio, a professora Maria questionou os alunos da
classe, e teve como resposta, da classe, uma concordância, que se subentende ser uma
manifestação de modo geral.. Entretanto, em nosso entendimento, o tipo de questão “Vocês
concordam?” proporciona uma resposta fechada dos alunos, ou seja: sim ou não, o que pode
inviabilizar a exploração de algumas outras estratégias utilizadas pelos demais alunos,
reduzindo, de certa forma, a interação dos demais alunos com a aprendizagem do conteúdo.
Na sequência, a discussão parece restringir-se à professora Maria e ao estudante 1.
Nesse diálogo, percebemos que a professora passa a questionar o aluno aumentando de modo
gradativo o número de barras de chocolate, supondo que dessa forma ele passaria a utilizar a
multiplicação como estratégia para resolução do problema, o que não aconteceu.
Embora a professora tentasse explorar a situação proposta, partindo da estratégia
utilizada pelo aluno, a natureza dos questionamentos realizados parece não ter oferecido um
desafio ao estudante, uma vez que, para respondê-las, ele não precisou recorrer a outros
conceitos matemáticos além dos que já havia mobilizado até o momento. Isto é, no primeiro
questionamento, o aumento de “mais um grupo” de cinco barras permitiu que o estudante
permanecesse utilizando a mesma estratégia para resolver o problema e, portanto, bastou
adicionar mais três chicletes para solucionar o problema.
A representação pictórica apresentada por ele já indicava sua percepção de que o
aumento de cinco barras de chocolate implicaria também no aumento de três chicletes, o que
pôde ser evidenciado na sua fala: “É fácil, quando a gente aumenta cinco barras, a gente
ganha mais três chicletes. Nove mais três dá 12 chicletes” (MERLINI, 2012, p. 174).
Essa afirmação do estudante desperta em nós uma curiosidade: qual teria sido sua
resposta, ou talvez de outros alunos da sala, se a professora Maria lhes apresentasse a questão:
Se João comprar 50 barras de chocolates, quantos chicletes de bola ganhará? E se fossem
100 ou 150? Que outras estratégias seriam utilizadas não apenas pelo estudante 1, mas
158
também pelos demais? A adição de parcelas iguais? A multiplicação por 10? A divisão para
encontrar a quantidade de grupos de 5 barras? Ou ainda, e, se no lugar de 20 barras fosse
diretamente questionada a quantidade de chicletes na compra de 30 barras de chocolate?
Diante dessa curiosidade, outras se revelaram: e se essas questões fossem apresentadas à
professora Maria? Quais seriam as estratégias que ela utilizaria? Em que suas estratégias se
diferenciariam das de seus alunos?
Tal inquietação nos remete à tríade de ensino concebida por Potari e Jaworski
(2002) que inter-relaciona três aspectos relativos à complexidade de ensinar matemática: o
desafio matemático, a sensibilidade do professor em relação aos alunos e a gestão da
aprendizagem. Embora as autoras indiquem forte inter-relação e interdependência entre os
três domínios constituintes da tríade, queremos aqui destacar a compreensão dada ao primeiro
deles: o “desafio matemático: descreve os desafios apresentados aos alunos de forma a
mobilizá-los no raciocínio e na atividade matemática. Isto inclui as tarefas propostas,
colocação de questões e ênfase no processamento metacognitivo102” (POTARI; JAWORSKI,
2002, p. 353), o que nos leva a enfatizar a importância do desafio matemático na perspectiva
trazida pelas autoras.
Entendemos que a situação ou a tarefa proposta não determina, por si própria, um
desafio matemático ao estudante, uma vez que os conhecimentos e raciocínios deles se
diferenciam entre si. Logo, as situações ou as tarefas propostas pelo PEM nos anos iniciais
podem tornar-se potencialmente desafiadoras à medida que o professor desenvolver
conhecimentos especializados que lhe permitam elaborar também as estratégias didáticas
necessárias a atingir o objetivo proposto pela situação ou tarefa, os quais integram a dimensão
de Conhecimento das estratégias, técnicas e tarefas para o ensino do conteúdo matemático
(KMT) FLORES-MEDRANO et al., 2014).
Para finalizar nossa interpretação desse episódio, destacamos a resposta dada por
Maria ao questionamento da formadora feito durante a entrevista. Percebendo que, embora a
professora tentasse levá-los a usar como estratégia a multiplicação, a formadora observou que
esta seria uma segunda situação103 em que os alunos insistiam em resolvê-la usando a adição
e, ao questioná-la: “A que você atribui essa persistência por parte deles?” Merlini (2012, p.
175) obteve a resposta:
102Tradução nossa do original: Mathematical challenge describes the challenges offered to students to engender
mathematical thinking and activity. This includes tasks set, questions posed and emphasis on metacognitive
processing (POTARI; JAWORSKI, 2002, p. 353). 103 De modo semelhante, a professora Maria já havia utilizado essa estratégia em uma outra situação problema, a
dos canteiros de flores da escola.
159
PROFA. MARIA – Tenho que admitir que ao introduzir o conceito de
multiplicação, normalmente, trabalho com a soma de parcelas repetidas. Penso que
dessa maneira é mais fácil para que o aluno entenda a multiplicação como uma
forma mais rápida de se chegar ao resultado, ao invés de fazer adições imensas da
mesma parcela. Acho que é por esse motivo que eles insistem tanto em somar as
parcelas, ao invés de multiplicar. (MERLINI, 2012, p. 175)
Do mesmo modo que Merlini (2012), percebemos que a resposta da professora
revela que ela recorreu à soma de parcelas repetidas para introduzir o conceito de
multiplicação, e concordamos que isso não constitui propriamente um problema para a
resolução da situação em questão. Entretanto, o uso exclusivo de situações que reforçam
apenas essa significação pode proporcionar dificuldades para a resolução e a compreensão de
situações multiplicativas que não sejam substancialmente aditivas.
Nesse sentido, em um contexto de formação continuada, entendemos que seria
pertinente retomar o desenho apresentado anteriormente para explorar com o grupo outras
possibilidades de significação da multiplicação a partir da situação principalmente, do
desenho do aluno:
Figura 19 - Representação da estratégia de resolução do problema
Fonte: Merlini (2012, p. 174)
Isto porque, embora o estudante possa ter recorrido ao pensamento aditivo,
pautando-se no significado da multiplicação como adição de parcelas repetidas, em nossa
interpretação, o desenho do aluno oferece ao professor profícuas possibilidades de
problematização a partir da exploração, de outros significados da multiplicação, além de
conexões com outros conteúdos matemáticos, como por exemplo, a divisão, proporção, dentre
outros.
De modo mais específico, compreendemos que quanto aos significados de
multiplicação, o desenho possibilita ao professor explorar os significados de
proporcionalidade/comparação multiplicativa (se ao comprar 3 conjuntos de 5 barras se ganha
9 chicletes, então, por exemplo, para o dobro, isto é para 30 barras se obteria também o dobro
de chicletes ou seja, 18 chicletes), dentre outros, desde que, sensível à aprendizagem dos
alunos (POTARI; JAWORSKI, 2002), ele, o professor, promova desafios matemáticos,
mobilizando-os a procurar outros conceitos para além da adição de parcelas repetidas.
160
Entendemos que possibilitar tais discussões com os professores e os professores-
pesquisadores do grupo é fundamental na formação continuada, uma vez que, sobretudo nesse
contexto, se pode, de fato, problematizar os conhecimentos e os conhecimentos especializados
do PEM nos anos iniciais sobre multiplicação, podendo, assim, potencializar a incorporação
desses conhecimentos em sua prática pedagógica. Entendemos que os contextos de formação
continuada podem ser ambientes profícuos para que o formador possa problematizar a prática
pedagógica do professor, permitindo que ele possa, efetivamente, desenvolver conhecimentos
especializados no âmbito da multiplicação.
161
CAPÍTULO 5 - SÍNTESE INTEGRATIVA E ALGUMAS DISCUSSÕES
O intuito desta síntese integrativa é sistematizar e problematizar, mediante
interrelação e contraste, o tratamento que foi dado ao conhecimento especializado relativo à
multiplicação pelas três teses de doutorado por nós interpretadas e analisadas no capítulo
anterior: Megid (2009), Silva (2009) e Merlini (2012). Embora elas tenham sido
desenvolvidas em período bem próximo, as sínteses interpretativas tecidas no capítulo IV nos
revelam, de certa forma, perspectivas diferenciadas e complementares para o tratamento do
tema da multiplicação, seja nos processos formativos privilegiados seja nos processos
investigativos realizados acerca do conhecimento sobre ensino de multiplicação do professor
ou futuro professor que ensina matemática nos primeiros anos de escolarização.
Nesse sentido, tentaremos realizar nesta seção um balanço que permita revelar
tanto as possibilidades e contribuições trazidas pelas pesquisas em tela como também as
limitações e os desafios relativos aos processos formativos e à investigação desses processos,
tendo em vista o conhecimento especializado do professor que ensina multiplicação nos anos
iniciais de escolarização.
Primeiramente, cabe destacar que duas das pesquisas, duas realizaram um estudo
longitudinal desenvolvido ao longo de dois anos, e ambas apresentaram como um dos focos
de análise a aprendizagem docente envolvendo, dentre outros temas, o ensino da
multiplicação, e uma delas teve como foco de análise as contribuições de um processo
formativo em relação às reflexões de uma professora sobre o Campo Conceitual
Multiplicativo.
Todas as pesquisadoras atuaram como formadoras de professores dos anos iniciais
no desenrolar de suas pesquisas. Megid (2009) desenvolveu seu estudo no contexto da
formação inicial de futuras professoras no âmbito das disciplinas de Ensino e Aprendizagem
de Matemática. Silva (2009) e Merlini (2012) realizaram suas investigações no contexto da
formação continuada de professoras em serviço nos anos iniciais de escolarização. Silva
(2009), para desenvolver sua pesquisa, formou um grupo de estudos que tinha como foco de
reflexão e análise a prática de ensinar e aprender matemática neste contexto. Merlini (2012),
no entanto, preferiu realizar um estudo de caso no qual acompanhou uma professora de 3ª
série do Ensino Fundamental I em diferentes momentos de seu processo formativo com
dimensões colaborativas no âmbito do Campo Conceitual Multiplicativo.
162
Para problematizar e promover a aprendizagem e os conhecimentos sobre ensino
da multiplicação, as três procuraram estabelecer - embora de modos distintos - um ambiente
exploratório de reflexão sobre a prática de ensinar e aprender esse tema, tentando estabelecer
uma inter-relação entre teoria e prática.
Megid (2009) investigou o processo de (re)significação do sistema de numeração
decimal e das quatro operações aritméticas básicas junto a alunas de um curso de Pedagogia,
durante as disciplinas de Ensino Aprendizagem de Matemática, acompanhando-as por quatro
semestres consecutivos. Visando proporcionar às futuras professoras um conhecimento
compreensivo da multiplicação, em termos tanto conceituais como procedimentais, optou por
trabalhar com tarefas exploratório-investigativas, focando o cálculo mental e o cálculo escrito,
sem limitar-se apenas ao algoritmo tradicional ou convencional e à noção de adição de
parcelas iguais. Para problematizar o próprio conhecimento e a prática das estudantes acerca
da multiplicação, lançou mão do uso de narrativas (orais e escritas) para que elas trouxessem
para análise e discussão em classe não apenas suas práticas, procedimentos e conhecimentos
atuais de multiplicação, mas, sobretudo, suas práticas e procedimentos pretéritos vivenciados
ao longo do processo de escolarização.
Silva (2009), por sua vez, optou, em um primeiro momento, por explorar, através
da resolução de problemas, os diferentes significados de multiplicação que caracterizam um
conhecimento especializado para o ensino de multiplicação e que dizem respeito: à adição de
parcelas iguais; ao raciocínio combinatório; ao pensamento proporcional; à configuração
retangular. Em um segundo momento, explorou e discutiu situações, dificuldades e erros
vivenciados pelas próprias professoras em suas práticas de sala de aula.
Merlini (2012) também no contexto de formação continuada, investigou as
contribuições de um processo formativo com dimensões colaborativas analisando as reflexões
na e da prática de uma professora da 3ª série do Ensino Fundamental no âmbito do Campo
Conceitual Multiplicativo. Para isso buscou contemplar como estratégias formativas a
reflexão, o planejamento e a ação (REPARE) visando acompanhar a professora Maria em três
momentos distintos que envolveram sua participação em um subgrupo de professores da 3ª
série; observação de suas aulas, ao aplicar atividades desenvolvidas nesse subgrupo; e,
entrevistas realizadas após a observação das aulas. As entrevistas realizadas pós-aula levaram-
na a propor reflexões à professora Maria frente aos desafios relativos a ênfase em um único
significado da multiplicação ao iniciar o trabalho com essa operação.
A análise da aprendizagem docente evidencia, no caso de Megid (2009), um
ambiente rico de ressignificação dos conceitos e dos procedimentos multiplicativos, graças,
163
sobretudo, ao processo de reflexão e análise da própria prática das estudantes em um ambiente
de cooperação e negociação de significados e, principalmente, de problematização da inter-
relação entre a sintaxe e a semântica que perpassa o estudo da multiplicação. De fato, as
análises produzidas pela pesquisadora trazem fortes evidências de que foi esse processo de
reflexão e problematização sobre os procedimentos e seus significados relativos à
multiplicação que contribuiu fortemente para a aprendizagem das futuras professoras de
conhecimentos especializados sobre ensino de multiplicação, dentre os quais destacamos: os
múltiplos modos de explorar, no contexto dos anos iniciais, a operação de multiplicação,
utilizando, com compreensão e significação, o cálculo mental, o cálculo escrito, o algoritmo
convencional e os algoritmos alternativos, bem como os diferentes modos de registrá-los e
comunicá-los.
As análises de Silva (2009), por outro lado, destacam que, nesse estudo, dentre os
diferentes conteúdos matemáticos ensinados nos anos iniciais, as quatro operações foi um dos
tópicos de maior destaque nas discussões desenvolvidas pelo grupo de estudos. Revisitar este
trabalho, desenvolvido em um contexto de formação continuada, também permitiu evidenciar
a importância da inter-relação teoria-prática em seu delineamento e desenvolvimento. O
trânsito dessa pesquisadora pelas diferentes modalidades de ensino, associado ao trabalho
como formadora de professores, mobilizou-a a enfrentar a crença do malpreparo e do
desinteresse dos professores dos anos iniciais em aprender ou aprofundar seus conhecimentos
referentes aos conteúdos matemáticos. Ao priorizar um processo de formação continuada
baseado na inter-relação teoria-prática, passou a percebê-los como sujeitos aprendentes e
interessados em se apropriar dos conhecimentos específicos fundamentais para ensinar
matemática nos anos iniciais.
Essa sinopse de Silva (2009) nos permite evidenciar três aspectos que necessitam
ser compreendidos/estudados, quando se quer investigar o conhecimento do PEM nos anos
iniciais: a crença em relação ao malpreparo e ao desinteresse dos professores em relação a
aprender e aprofundar conhecimentos do campo da matemática; as dificuldades de
compreensão de processos de ensino, aprendizagem e avaliação matemática que envolvem a
profissão docente, resultante da ausência desses elementos no contexto da formação inicial; e
a indicação das quatro operações como tópico de grande destaque nas discussões do grupo.
A complexidade que envolve cada um desses três elementos não permite
elucidações no contexto da presente pesquisa, entretanto cabe problematizá-los no âmbito dos
estudos de revisão sistemática. Entendemos que a relação estabelecida entre as dificuldades
referidas por Silva (2009), relativas ao processo de ensino, aprendizagem e avaliação
164
matemática e a ausência desses elementos em sua formação inicial, reforça a necessidade do
aumento de carga horária das disciplinas voltadas ao ensino de Matemática, aumento esse que
tem sido, insistentemente, apontado como urgente e necessário por várias pesquisas
(CASTRO & FIORENTINI, 2017; TAQUES, 2012). Embora nosso estudo também reforce a
necessária ampliação da carga horária de disciplinas voltadas ao ensino de matemática nos
cursos para formação do professor dos anos iniciais, caso das Licenciaturas em Pedagogia,
entendemos que tal ampliação deva se estender também para os cursos de Licenciatura em
Matemática, isso porque praticamente todos os PEM nos anos iniciais tiveram, tiveram como
uma primeira referência sobre a prática de ensinaraprender matemática seus próprios
professores dessa disciplina.
A análise da aprendizagem docente observada no estudo de Merlini (2012) nos
remete à complexidade do ensino de multiplicação no que se refere às possíveis conexões a
serem estabelecidas entre aspectos semânticos e sintáticos da multiplicação. Essa constatação
procede das discussões tecidas entre um estudante e a professora Maria, quando ela tenta
induzir o aluno ao pensamento multiplicativo, sem contudo lhe oferecer desafios que o
levassem a procurar outra estratégia que permitisse ir além do pensamento aditivo. Talvez, a
dificuldade da professora em compreender as cinco barras de chocolate como um grupo, o que
compreendemos tratar-se de um aspecto sintático da multiplicação relacionado com uma das
big ideas da multiplicação tratadas por Fosnot (2001), a de unitizing, pode ter impossibilitado
à professora de explorar outros significados da multiplicação (aspecto semântico). O estudo
permitiu evidenciar as reflexões da professora Maria em relação à sua prática pedagógica,
levando-a a perceber que a ênfase em um dos significados da multiplicação (adição de
parcelas iguais) ao introduzir este conceito, pode comprometer a passagem do pensamento
aditivo ao pensamento multiplicativo.
Em relação aos indícios de mobilização, tratamento e aprendizagem de
conhecimentos especializados do PEM nos anos iniciais, tendo em vista o ensino de
multiplicação e que integram diferentes domínios do modelo MTSK (CARRILLO et al.,
2013), destacamos, no caso de Megid (2009), a exploração da propriedade distributiva da
multiplicação em relação à adição, para efetuar e justificar um procedimento alternativo na
resolução da operação proposta e que diz respeito ao subdomínio do conhecimento
matemático (KoT), integrando a dimensão das definições, propriedades e seus fundamentos e
a dimensão dos procedimentos. Cabe reforçar que o uso de procedimentos alternativos por
parte das futuras professoras, não foi ao acaso. Isso certamente é decorrente do tipo de tarefa
proposta pela formadora – tarefa exploratório-investigativa – sem a qual dificilmente isso
165
seria produzido. Compreendemos que o uso desse tipo de tarefa demonstra, por parte da
formadora, a mobilização de um conhecimento especializado que integra um subdomínio do
conhecimento pedagógico da formadora (KMT) de modo especial a dimensão relativa aos
conhecimentos de teorias de ensino associadas a um conteúdo matemático (ESCUDERO-
ÁVILA; CONTRERAS; VASCO, 2016).
Esse tipo de tarefa de natureza mais aberta favoreceu às futuras professoras
problematizar suas significações sobre diferentes aspectos da multiplicação104, permitindo
estabelecer uma intepretação sintático-semântica em relação às ideias e às resoluções
matemáticas produzidas pelas alunas e expressas em suas narrativas.
Já na tese de Silva (2009), observamos que a discussão, a negociação de
significados e a problematização ficaram bastante reduzidas, como evidencia um dos diálogos
estabelecidos entre a formadora e uma das professoras do grupo (Susana)105. Essa
interlocução parece decorrente da natureza da tarefa proposta, uma vez que o tipo de tarefa –
fechada –praticamente não abre espaço para a problematização e a aprendizagem efetiva dos
conhecimentos fundamentais para quem vai ensinar multiplicação.
Embora a formadora tenha tido o mérito de abrir espaço, no processo de formação
continuada, para o relato e a discussão de atividades, erros e dificuldades vivenciados pelas
professoras em suas práticas de sala de aula, é também visível, de outro lado, a ausência de
problematização e tratamento sintático-semântico das situações e das significações trazidas e
produzidas pelas professoras e de seus alunos sobre, por exemplo, a compreensão (semântica)
e o registro ou representação (sintaxe) de números decimais associados ao sistema monetário.
Apesar de saber, por exemplo, que 500 centavos equivalem a 5 reais ou que 100 centavos
equivalem a 1 real, não teve oportunidade para explorar e compreender/justificar
sintaticamente que a representação escrita de 500 centavos e 100 centavos não é
respectivamente 0,500 e 0,100 e que 0,10 x 10 não é igual 0,100. Ou seja, para o professor
que ensina matemática não basta saber somar ou multiplicar valores monetários oralmente,
tão somente no plano semântico. Ele precisa ir além, procurar o porquê desses resultados e
104 Há que se lembrar que, na formação inicial do professor que irá atuar nos anos iniciais do Ensino
Fundamental, há uma carga horária muito limitada para trabalhar todos os temas do campo da Educação
Matemática, tanto do ponto de vista conceitual como didático-pedagógico, tendo em vista o seu ensino. 105 Susana: Agora tem a multiplicação, né.
[...]
Eu [Formadora]: Multiplicação, vamos lá...
Susana: Eu tenho 3 vasos de flores e quero colocar 3 rosas em cada vaso. Quantas rosas eu preciso ter?
Combinatória?
Eu [Formadora]: Não,... Parcelas iguais,...
Susana: Parcelas iguais...
Eu [Formadora]: Sim,..., 4 vasos, 3 rosas em cada uma. Parcelas iguais.
166
como representar, comunicar e justificar por escrito esses valores, de modo a se habilitar a
explorar e trabalhar essas relações com seus alunos. E entendemos que é nisso que reside o
conhecimento especializado do professor.
Ao finalizar o presente estudo, podemos dizer que a metassíntese produzida
sobre estes três trabalhos nos aponta, em suma, que o professor, para ensinar multiplicação,
deve saber muito mais do que multiplicar com habilidade os números inteiros e racionais ou
saber resolver problemas que envolvam o uso da multiplicação. Para ensinar multiplicação o
PEM nos anos iniciais precisa possuir, sobretudo, conhecimentos especializados (CARRILLO
et al., 2013) que o habilitem a ensinar este tema, tais como:
1) os múltiplos sentidos e significados da multiplicação (KoT) – aspecto explorado, em
parte, por Megid (2009) e Silva (2009), e, elementos esses explorados por Merlini (2012)
com a professora participante de seu estudo de caso com ênfase nos aspectos semânticos
da multiplicação;
2) os múltiplos modos de realizar – com compreensão e significação – a operação de
multiplicação, compreendendo e sabendo justificar os porquês de determinados
procedimentos ou algoritmos (KoT e KPM), seja mediante utilização do cálculo mental
seja mediante cálculo escrito, utilizando algoritmos e representações convencionais e não
convencionais, privilegiando a relação dialética entre sintaxe e semântica, aspecto
fortemente explorado e problematizado por Megid (2009).
3) estratégias ou metodologias de ensino que ajudem a explorar e desenvolver esses
significados de multiplicação (KMT) – aspecto bastante explorado nos três estudos,
embora, às vezes pouco problematizado e discutido com as professoras, como foi o caso
de Silva (2009).
4) situações-problema que permitam promover os múltiplos sentidos e significados de
multiplicação conectados a outras dimensões do conhecimento matemático (KSM, KMT e
KMLS - conforme CARRILLO et al., 2013), como é o caso da adição de parcelas iguais,
da divisão, da combinatória, da proporcionalidade, da geometria (no caso da
configuração/disposição retangular do produto de dois fatores), da álgebra (no caso do
sentido da igualdade como equivalência, da utilização das propriedades comutativa,
distributiva, associativa, elemento neutro da multiplicação, da operação inversa à
multiplicação) etc. Aspecto este parcialmente explorado e problematizado em duas das
pesquisas (Silva, 2009; Megid, 2009), tendo sido este aspecto destacado na pesquisa de
Merlini (2012). Mesmo Silva (2009) tendo buscado em propostas curriculares ou proposto
situações-problema visando promover alguns desses significados, a problematização foi
167
pouco efetiva para ajudar as professoras a se apropriarem desses significados, limitando-
se a apenas identificar as possíveis significações e conexões a serem estabelecidas. Megid
(2009), por sua vez, embora não tenha trabalhado com situações-problema, visando essas
conexões de significação, as tarefas exploratório-investigativas implementadas permitiram
às futuras professoras negociarem significados e problematizarem vários procedimentos
operatórios, mediante conexão com a adição, a divisão e álgebra (distributividade,
associatividade, expressões equivalentes), elementos do sistema de numeração decimal,
dentre outros. Por outro lado, Merlini (2012) apesar da reduzida exploração quanto aos
aspectos procedimentais e operatórios em conexão às propriedades no âmbito da
multiplicação, as entrevistas realizadas ao final das aulas possibilitavam reflexões à
professora Maria relacionadas à ênfase dada em um dos significados para introduzir o
conceito de multiplicação. Diferentemente do diagnóstico inicial, em que os problemas
elaborados, pela professora Maria, restringiram-se a problemas relativos a dois eixos (eixo
1 - Proporção simples; e eixo 4 - Produto de medidas – combinatória) do Campo
conceitual Multiplicativo, o foco das discussões do grupo, em explorar diferentes
situações voltadas à ampliação do Campo conceitual multiplicativo, auxiliaram, no
diagnóstico final, Maria a elaborar problemas relativos aos três eixos (1-proporção
simples; 3 – comparação multiplicativa; e 4 – Produto de medidas: configuração
retangular e combinatória), sendo, porém, pouco problematizados no sentido de
estabelecer conexões entre os distintos significados da multiplicação e diferentes
conteúdos matemáticos.
Quanto às formadoras de professores, a metassíntese evidenciou que, além de
precisar dominar os conhecimentos especializados anteriormente descritos, necessitam
também conhecer tarefas e estratégias (ou dinâmicas de significação ou negociação de
significados) que ajudem as professoras ou futuras professoras dos anos iniciais a
problematizar e a promover a aprendizagem e a ressignificação do ensino da multiplicação. A
esse respeito, Serrazina (2012), por exemplo, nos lembra que, na formação inicial ou
continuada, é fundamental que os formadores ofereçam oportunidades para os professores
problematizarem e ressignificarem os conhecimentos matemáticos e didático-pedagógicos, de
modo a possibilitar a organização de tarefas que mobilizem distintos raciocínios relativos à
multiplicação.
168
CONCLUSÕES E CONSIDERAÇÕES FINAIS
Ao fazer uma breve retrospectiva da trajetória desta pesquisa, cabe destacar que
este estudo teve origem, primeiramente, nos desafios enfrentados por mim quando atuava
como formadora de professores dos anos iniciais em relação ao campo da Educação
Matemática. Dentre outros aspectos, deparei-me com o reduzido espaço-tempo destinado à
formação específica desses professores, tendo em vista sua futura prática docente nos anos
iniciais do Ensino Fundamental. Trata-se de um problema que não é exclusivo da disciplina
de matemática, como tem apontado D’Ambrósio (2005) e Fiorentini e Castro (2017), mas
também de outras disciplinas como Língua Portuguesa, História, Ciências, Educação Física,
Educação Artística.
A delimitação da problemática da pesquisa, no entanto, surgiu depois, durante
minha participação106 no Projeto “Mapeamento e Estado da Arte da Pesquisa Brasileira sobre
o Professor que Ensina Matemática”, uma pertinente aproximação às pesquisas brasileiras
sobre o PEM e sua formação produzidas no período de 2001 a 2012 em programas de pós-
graduação stricto sensu nas áreas de Educação e Ensino da Capes. Surgiu principalmente
quando tentamos confrontar os estudos brasileiros sobre formação do professor que ensina
matemática com a literatura atual em nível internacional e que apontava para a necessidade de
o professor que atua nos anos iniciais de escolarização se apropriar de um conhecimento
especializado para ensinar matemática (BALL et al. 2008; CARRILLO et al. 2013). Isso me
mobilizou a desenvolver uma pesquisa acerca da aproximação das pesquisas brasileiras ao
conhecimento especializado do professor para ensinar multiplicação nos anos iniciais.
Diante desse problema e considerando, de um lado, sua relevância e, de outro, a
demanda por estudos de revisão sistemática no âmbito da Formação de Professores que
ensinam, optamos por investigar o conhecimento especializado do PEM nos anos iniciais no
âmbito da multiplicação, mobilizou-me, de modo especial, a desenvolver uma metassíntese de
teses de doutorado produzidas no Brasil até o ano de 2013 e que tiveram como foco de estudo
a formação de professores que ensinam multiplicação nos anos iniciais de escolarização. .
Para poder responder à pergunta de pesquisa - Que conhecimentos especializados
do professor que ensina multiplicação nos anos iniciais são concebidos, identificados e
tratados por essas pesquisas - busquei apoio teórico na literatura internacional (FOSNOT &
106 Desde nosso ingresso no doutoramento.
169
DOLK 2001; MENDES et al., 2013; MENDES, 2012; CARRILO et al., 2013) e nacional
(BORBA et al., 2008; MAGINA et al., 2014).
Desse modo, a abordagem teórico-metodológica utilizada nesta investigação
possibilitou, por meio das sínteses interpretativas e integrativas, que o presente estudo
evidenciasse diferentes aspectos do conhecimento especializado do PEM nos anos iniciais
sobre multiplicação privilegiados tanto em contexto de formação inicial quanto continuada a
partir de teses produzidas no período de 2001 a 2012.
Os resultados obtidos pelas três sínteses interpretativas e pela integrativa
evidenciam a complexidade da relação entre o domínio consciente do conhecimento
especializado por parte dos formadores e as estratégias e práticas de formação inicial ou
continuada para que os professores ou futuros professores possam mobilizar e efetivamente se
apropriar desses conhecimentos especializados para ensinar multiplicação nos anos iniciais.
Ficou evidente, nesta revisão sistemática, que sem análise e problematização desses
conhecimentos especializados em situações de sala de aula, envolvendo análises e
interpretações dos processos mobilizados pelos professores e pelas crianças em situação de
aprendizagem, os professores dificilmente se apropriam desse conhecimento especializado,
seja na perspectiva de Ball et al. (2008) seja na perspectiva de Carrillo et al. (2013). E esse
processo de aprendizagem docente ganha força e efetividade se envolver, como evidenciaram
os três estudos revisados, uma prática dialógica e colaborativa entre professores e
pesquisadores envolvidos, em uma perspectiva de produção e negociação de significados
sobre o ensinaraprender nos anos iniciais, reafirmando, assim, resultados obtidos por
pesquisas desenvolvidas pelo Grupo de Pesquisa PraPEM (FIORENTINI, 2004, 2013;
CARVALHO & FIORENTINI, 2013; FIORENTINI & CARVALHO, 2015).
Essa constatação, por outro lado, nos permite perceber que, em termos de
identificação e sistematização deste conhecimento especializado da prática de
ensinaraprender, seja a matemática escolar na educação infantil e no Ensino Fundamental,
seja especificamente as quatro operações básicas é ainda um empreendimento a ser
desenvolvido pela comunidade de educadores matemáticos e especialmente pelos formadores
de professores que ensinam matemática. O que conseguimos colocar em evidência neste
estudo de revisão sistemática é apenas a ponta de um iceberg.
Com base neste estudo, sobretudo nas discussões tecidas na síntese integrativa,
pudemos discutir e compreender um pouco sobre o que poderia ser o conhecimento
especializado do professor para ensinar multiplicação nos anos iniciais. E vimos que esse
conhecimento não pode ser prescritivo, mas um conhecimento que ganha visibilidade e
170
compreensão, a partir de problematizações da prática de ensinaraprender, seja da prática
pedagógica do professor em serviço, como é o caso da formação continuada investigadas por
Silva (2009) e Merlini (2012); seja na exploração dos processos e conceitos pretéritos
mobilizados e adquiridos por futuras professoras quando eram estudantes da escola básica e
trazidos para o contexto da formação inicial através de narrativas de suas memórias, como
pudemos ver na pesquisa de Megid (2009).
Entretanto, essa possibilidade de problematização, produção e sistematização dos
conhecimentos nos processos formativos e, sobretudo, investigativos, nos trazem alguns
desafios e questionamentos: De que modo o formador do professor que ensina matemática nos
anos iniciais pode contribuir na/para a problematização de conhecimentos do futuro professor
relativo à multiplicação? Como esses conhecimentos sobre isso podem ser percebidos ou
encontrados nas/em pesquisas brasileiras produzidas em programas de pós-graduação stricto
sensu ou em artigos publicados em periódicos científicos no Brasil e no exterior?
Que conhecimentos especializados sobre multiplicação podem possibilitar ao
PEM nos anos iniciais o estabelecimento de conexões entre diferentes conteúdos matemáticos
que contribuam no desenvolvimento do pensamento multiplicativo dos estudantes?
171
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181
APÊNDICE 1: Resumo das pesquisas que constituíram o estudo metassintético
1. MEGID, Maria Auxiliadora Bueno Andrade. Formação inicial de professoras mediada
pela escrita e pela análise de narrativas sobre operações numéricas. Tese (Doutorado em
Educação). Faculdade de Educação, UNICAMP, Campinas, 2009. (Orientador: Prof. Dr.
Dario Fiorentini).
O trabalho apresenta um estudo sobre a formação inicial de professoras que ensinam
matemática para os anos iniciais do Ensino Fundamental mediada pela escrita e pela análise
de narrativas sobre as operações numéricas. Teve por objetivo analisar e interpretar como se
dá o processo de aprendizagem profissional e de (re)significação do sistema de numeração
decimal e das quatro operações aritméticas básicas em alunas de um curso de Pedagogia, bem
como os indícios de mudança da relação com a matemática e seu ensino ao longo da
experiência formativa, quando utilizados recursos das dinâmicas de cooperação e das
narrativas. No percurso da pesquisa foram utilizados, entre outros autores, aportes teóricos de
Josso (2004; 2006), Freitas (2006) e Suárez (2008) relativamente às narrativas e escritas de si,
e de Fiorentini (2006) e Nacarato (2008) no que se refere aos conteúdos matemáticos e
didático-pedagógicos. A coleta de dados teve por base as dinâmicas de cooperação (Alrø e
Skovsmose, 2006), as práticas reflexivas exploratório investigativas e as escritas de narrativas
pelas alunas. Os dados originaram-se de três fontes distintas: da professora-pesquisadora, das
alunas, individualmente, e do grupo de alunas a partir dos trabalhos colaborativos realizados
em duplas, pequenos grupos ou grupo-classe. Foram coletados por intermédio de registros
escritos, diário de campo e gravações em áudio ou vídeo. As práticas em sala de aula
centraram-se nas quatro operações aritméticas fundamentais: adição, subtração, multiplicação
e divisão. Para cada uma delas ocorreram três etapas de trabalho: uma primeira, onde as
alunas individualmente refletiam sobre a operação em pauta e registravam em seus cadernos
as formas que utilizavam para realizá-las, utilizando o cálculo mental e algoritmos aprendidos
na escola básica; uma segunda, onde em duplas ou pequenos grupos narravam às colegas seus
procedimentos, elaborando um registro único do grupo; e uma terceira, com toda a turma, que
envolvia a socialização dos diferentes registros, em que se buscava a reconstrução de
estratégias utilizadas na realização das operações e também alternativas para o ensino de
algoritmos convencionais ou não. As análises feitas apontam que os procedimentos utilizados
auxiliaram na (re)significação de conceitos matemáticos e na construção de perspectivas
pedagógicas para o ensino de Matemática nos anos iniciais. As aulas e o desenvolvimento da
pesquisa explicitaram as incompreensões das alunas, permitindo a exposição de suas
angústias e ansiedades, o que proporcionou a interlocução entre as vidas das alunas, de seus
ambientes socioculturais e incentivou o processo de desnaturalização da transmissão dos
algoritmos. Foi possível a percepção de que as operações matemáticas podem ser aprendidas a
partir da utilização dos recursos do cálculo mental e da utilização das propriedades a elas
relacionadas, mesmo que de forma intuitiva. Além disso, as narrativas aliadas às dinâmicas de
cooperação potencializadas pelo diálogo mostraram-se ingredientes fundamentais no
ambiente de ensino e aprendizagem.
PALAVRAS CHAVE:
Formação de Professores; Operações Numéricas; Narrativas; Educação Matemática; Ensino
Fundamental; Pedagogia.
182
2. SILVA, S. A. F. Aprendizagens de professores num grupo de estudos sobre Matemática
nas séries iniciais. 2009. 365 f. Tese (Doutorado), Universidade Federal do Espírito Santo,
Vitória. 2009.
Esta tese de doutorado foi um estudo longitudinal qualitativo, de dois anos e quatro meses,
que analisou aprendizagens de professoras em um grupo de estudos sobre matemática nas
séries iniciais. Entre os anos de 2006 e 2008, constituímos uma formação continuada em
contexto com um grupo de estudos com as professoras Susana e Beatriz, ambas regentes de
séries iniciais na rede municipal de Vitória. Além dessas, mais três professoras de matemática
participaram do grupo, incluindo a pesquisadora. Realizamos uma investigação do tipo estudo
de casos com perspectiva humanística. Investigamos as seguintes questões: Que
aprendizagens das professoras participantes se destacam num grupo de estudos e em suas
práticas pedagógicas? Que relações entre aprendizagens de professoras e alguns aspectos
afetivos são evidenciadas num grupo de estudos de matemática? Como se percebe a
influência do grupo de estudos de matemática nas aprendizagens das professoras
participantes e em suas práticas pedagógicas? Os dados foram coletados nos encontros
semanais do grupo e nas aulas observadas e/ou participadas das professoras. Dados obtidos
nos incidentes críticos ou significativos da investigação permitiram desvelar aprendizagens
das professoras Susana, Beatriz e da pesquisadora. Obtivemos evidências de algumas
aprendizagens sobre: conhecimentos dos conteúdos matemáticos, em especial o de geometria
e de resolução de problemas envolvendo as quatro operações; conhecimento pedagógico, em
especial o de contrato didático, estabelecido e executado em aulas; conhecimento pedagógico
matemático, ações diferenciadas utilizando escrita nas aulas de matemática e oficinas com
materiais manipulativos; conhecimento do currículo matemático, organização e valorização
de diferentes conteúdos; e conhecimento dos alunos, enquanto aprendizes de matemática.
Notamos como um trabalho diferenciado de formação continuada em contexto, num grupo no
qual atuamos como amigos críticos uns dos outros, influenciou e envolveu as integrantes.
Nesse grupo, as professoras se respeitavam, ouviam e eram ouvidas em suas vitórias e
anseios, opinavam, lançavam propostas e contribuíam para a construção dos diferentes
conhecimentos. Esse comportamento influenciou as aprendizagens e as atitudes das
professoras em relação à matemática, resultando em ressonâncias em suas práticas em sala de
aula. A reflexão crítica contribuiu para que cada professora desenvolvesse sua própria
metacognição, reconhecendo-se de forma consciente, enquanto aprendiz e professora de
matemática. Também concluímos que é importante analisar crenças, concepções e emoções
das professoras na influência de suas atitudes em relação à matemática, ao seu ensino, à
aprendizagem e à avaliação.
Palavras-chave: Aprendizagens; grupo de estudos; matemática das séries iniciais; formação
continuada em contexto.
183
3- MERLINI, V. L. As potencialidades de um processo formativo para a reflexão na e sobre
a prática de uma professora das séries iniciais: um estudo de caso. 2012. 262 f. Tese
(Doutorado), Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo. 2012.
A presente tese teve por objetivo investigar as contribuições e os limites que um processo
formativo, com dimensões colaborativas, proporciona no que tange à reflexão na e sobre a
prática de uma professora das séries iniciais do Ensino Fundamental, no âmbito do Campo
Conceitual Multiplicativo, e como suporte teórico a Teoria dos Campos Conceituais
(VERGNAUD; 1998, 2008). Para tanto foi realizado um estudo de caso o qual acompanhou
uma professora da 3ª série do Ensino Fundamental em três momentos distintos: (i) no
processo formativo junto ao seu respectivo subgrupo G3 (por série) e as demais professoras
da escola; (ii) na observação de sua aula em que houve a aplicação das situações
desenvolvidas pelo G3, relativas ao Campo Conceitual Multiplicativo; e, logo em seguida a
essa aula, (iii) na entrevista semi-estruturada realizada com a referida professora. Os dados
coletados foram analisados sob três tópicos: (a) os diagnósticos coletados; (b) a expansão dos
conhecimentos teóricos e práticos por meio da vivência e da reflexão da professora; e (c) a
ressignificação das concepções da professora em relação ao Campo Conceitual Multiplicativo
e das suas estratégias didáticas. Os resultados apontam as contribuições e limitações sob três
pontos de vista: didático – a concepção de que a aprendizagem dos estudantes pode ser
construída de forma compartilhada, contudo as discussões a respeito das situações que
contemplaram a operação de divisão foram insuficientes; conceitual – o desenvolvimento da
capacidade de categorizar situações segundo os eixos trabalhados do Campo Conceitual
Multiplicativo, em contraponto a elaboração de uma situação de divisão partitiva afirmando,
de forma equivocada, que se tratava de uma divisão quotitiva; cognitivo – a necessidade de
fazer o estudante entender a situação como um todo, e que sua estratégia de resolução não
estivesse atrelada a alguma palavra-chave, no entanto não foi proporcionado aos estudantes
situações que contemplassem o modelo de divisão quotitiva, que permitissem gerar outros
esquemas cognitivos para sua resolução. Esses resultados levam a concluir que de fato houve
expansão dos conhecimentos no Campo Conceitual Multiplicativo por parte da professora,
contudo é possível que o limitador maior tenha sido o tempo do processo formativo, que fora
restrito.
Palavras-chave: Ensino Fundamental, Formação de professor, Campo Conceitual
Multiplicativo, estudo de caso.
184
APÊNDICE 2 - Relação de Dissertações e Teses Brasileiras que versam sobre o Professor
que Ensina Matemática nos Anos Iniciais defendidas em Programas de Pós-Graduação Stricto
Sensu - Período de 2001 a 2012.
1. ABRAHÃO, A. M. C. O professor que ensina Matemática e suas visões sobre a
prática pedagógica. 2007. 195 f. Tese (Doutorado) – Universidade do Estado do Rio
de Janeiro, Rio de Janeiro, 2007.
2. AGUIAR, G. S. Quem ensina matemática no Brasil? Um estudo dos perfis dos
professores a partir dos dados do SAEB de 1997 e 1999. 2001. 164 f. Dissertação
(Mestrado) – Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro,
2001.
3. ALENCAR, E. S. Conhecimento profissional docente de professores do 5º ano de uma
escola com bom desempenho em Matemática: o caso das estruturas multiplicativas.
2012. 182 f. Dissertação (Mestrado) – Universidade Bandeirante de São Paulo, São
Paulo, 2012.
4. ALMEIDA, D. P G. Representações sociais do ensino da Matemática e suas relações
com o IDEB. 2011. 141 f. Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal de
Pernambuco, Recife, 2011.
5. ALMEIDA, E. O. Como as crianças constroem procedimentos matemáticos:
reconcebendo o fazer matemática na escola entre modelos e esquemas. 2006. 250 f.
Dissertação (Mestrado) – Universidade de Brasília, Brasília, 2006.
6. ALMEIDA, M. B. A formação inicial de professores no curso de Pedagogia:
constatações sobre a formação matemática para a docência nas séries iniciais do
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saberes em movimento. 2007. 176 f. Tese (Doutorado) – Universidade Federal do Rio
Grande do Norte, Natal, 2007.
8. AMARAL, M. H. A estatística e a formação inicial com alunos de um curso de
Pedagogia: reflexões sobre uma sequência didática. 2007. 87 f. Dissertação
(Mestrado Profissional) – Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo,
2007.
9. AMARANTE, A. A. O uso do tinkerplots para exploração de dados por professores
de escolas rurais. 2011. 158 f. Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal de
Pernambuco, Recife, 2011.
10. AMARILHA, L. A. Saberes e fazeres docentes referentes ao ensino das formas
geométricas nos dois primeiros anos do Ensino Fundamental. 2009. 158 f.
Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal do Mato Grosso do Sul, Campo
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11. ARAÚJO, A. M. A passagem da 4ª para a 5ª série: o que pensam professores dessas
séries sobre os conteúdos essenciais de Matemática. 2003. 227 f. Dissertação
(Mestrado) – UFPR, Curitiba, 2003.
12. ARAÚJO, A. R. Práticas pedagógicas em transformação: contribuições da
interdisciplina Representação do Mundo pela Matemática no curso de Pedagogia a
distância da Universidade Federal do Rio Grande do Sul. 2009. 133 f. Dissertação
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13. ARAUJO, L. C. Concepções e competências de um grupo de professores polivalentes
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14. ARDILES, R. N. Um estudo sobre as concepções, crenças e atitudes dos professores
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entendimento do professor polivalente. 2006. 178 f. Dissertação (Mestrado) –
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um grupo de professoras em processo de formação continuada. 2012. 242 f. Tese
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17. BAGÉ, I. B. Proposta para a prática do professor do Ensino Fundamental I de
noções básicas de geometria com o uso de tecnologias. 2008. 199 f. Dissertação
(Mestrado Profissional) – Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo,
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18. BARBIZAN, R. D. A Matemática na visão de professores e alunos de escolas da Rede
Municipal de Ensino do município de Arvorezinha. 2009. 137 f. Dissertação
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19. BARBOSA, C. P. O pensamento geométrico em movimento: um estudo com
professores que lecionam Matemática nos anos iniciais do Ensino Fundamental de
uma escola pública de Ouro Preto (MG). 2011. 187 f. Dissertação (Mestrado
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20. BARBOSA, M. G. Pró-letramento: relações com o saber e o aprender de tutores do
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Paulista Campus Presidente Prudente, Presidente Prudente, 2012.
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fazer diferente. 2007. 143 f. Dissertação (Mestrado) – UNIJUÍ, Ijuí, 2007.
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trabalho no curso de Pedagogia. 2005. 140 f. Tese (Doutorado) – Universidade Federal
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Feira de Santana, Feira de Santana, 2008.
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48. CORDEIRO, R. M. A. Análise do processo de formação de professores para o ensino
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171 f. Dissertação (Mestrado) – Universidade Cruzeiro do Sul, São Paulo, 2011.
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54. CUNHA, D. R. A Matemática na formação de professores dos anos iniciais do Ensino
Fundamental: relações entre a formação inicial e a prática pedagógica. 2010. 108 f.
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medida em atividades de ensino. 2008. 135 f. Tese (Doutorado) – Universidade
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60. EIVAZIAN, A. M. B. O computador móvel e a prática de professores que ensinam
Matemática em uma escola do Projeto UCA. 2012. 173 f. Dissertação (Mestrado) –
Universidade Bandeirante de São Paulo, São Paulo, 2012.
61. ESTEVES, A. K. Números decimais na Escola Fundamental: Interações entre os
conhecimentos de um grupo de professores e a relação com sua prática pedagógica.
2009. 153 f. Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal do Mato Grosso do Sul,
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62. ETCHEVERRIA, T. C. Educação continuada em grupos de estudo: possibilidades
com foco no ensino da Geometria. 2008. 102 f. Dissertação (Mestrado) – PUC-RS,
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63. FARIAS, M. V. O. Formação docente e entrada na carreira: uma análise dos saberes
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Dissertação (Mestrado) – Universidade de São Paulo, São Paulo, 2010.
70. FRANÇA, M. R. Limites e potencialidades em Educação Matemática de diferentes
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públicas de Três Lagoas/MS. 2012. 150 f. Dissertação (Mestrado) – Universidade
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71. FREIRE, P. F. A gestão pedagógica do erro em aulas de Matemática: reflexões e
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iniciais do Ensino Fundamental. 2011. 181 f. Tese (Doutorado) – Universidade
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73. FREITAS, I. C. Critérios de escolha do livro didático de Matemática: a experiência de
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Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Duque de Caxias, 2010.
74. GABRIEL, N. C. Concepções epistemológicas e pedagógicas de professores e suas
relações com os processos de ensino de Matemática. 2012. 121 f. Dissertação
(Mestrado) – UNOESC, Joaçaba, 2012.
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Dissertação (Mestrado) – Universidade São Francisco, Itatiba, 2012.
76. GALVÃO, W. R. A temporalidade dos saberes relacionados à Matemática entre os
professores do primeiro segmento do Ensino Fundamental. 2011. 107 f. Dissertação
(Mestrado) – Universidade Federal Fluminense, Niterói, 2011.
77. GARCIA, M. F. Os saberes dos professores de educação infantil em relação à
construção numérica: formação de professores em um grupo cooperativo. 2006. 251 f.
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2006.
78. GAUTÉRIO, V. L. B. (Re)significando aprendizagens matemáticas: uma experiência
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FURG, Rio Grande, 2010.
79. GIMENES, J. Contribuições de um grupo de estudo para a formação matemática de
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Universidade Estadual Paulista Campus Rio Claro, Rio Claro, 2006.
80. GIRALDELI, M. S. C. Os diferentes níveis de formação para o ensino de
Matemática: concepções e práticas de docentes que atuam nos anos iniciais do Ensino
Fundamental. 2009. 226 f. Dissertação (Mestrado) – Universidade Católica Dom
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81. GIUSTI, N. M. R. Formação continuada de professores dos anos iniciais: uma
experiência sobre o conteúdo de tratamento da informação. 2012. 146 f. Dissertação
(Mestrado) – ULBRA, Canoas, 2012.
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82. GOMES, R. Q. G. Saberes docentes de professores dos anos iniciais sobre frações.
2010. 112 f. Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal do Rio de Janeiro, Rio de
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83. GONÇALEZ, N. Atitudes dos alunos do curso de Pedagogia com relação à disciplina
de estatística no laboratório de informática. 2002. 173 f. Tese (Doutorado) –
Universidade Estadual de Campinas, Campinas, 2002.
84. GONÇALVES, E. C. N. O ensino da geometria nas séries iniciais em Petrolina: do
abandono a uma nova perspectiva. 2004. 183 f. Dissertação (Mestrado) –
Universidade Federal do Espírito Santo, Vitória, 2004.
85. GONÇALVES, H. J. L. A educação estatística no Ensino Fundamental: discussões
sobre a práxis de professoras que ensinam Matemática no interior de Goiás. 2005. 145
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86. GONÇALVES, K. L. N. Pró-letramento em Matemática no pólo de São Luís/MA: o
(inter) dito dos docentes na/da formação continuada. 2009. 147 f. Dissertação
(Mestrado) – Universidade Federal do Pará, Belém, 2009.
87. GRAÇA, J. S. D. A Educação Matemática no desenvolvimento profissional do
professor (a) no curso de Pedagogia da Universidade Federal de Sergipe. 2011. 85 f.
Dissertação (Mestrado) – Fundação Universidade Federal de Sergipe, São Cristóvão,
2011.
88. GREGIO, B. M. A. Formação continuada de professores e pesquisa-formação:
possibilidades e dificuldades na formação de professores para uso de tecnologias no
ensino da Matemática. 2012. 334 f. Tese (Doutorado) – Universidade Federal do Mato
Grosso do Sul, Campo Grande, 2012.
89. GUIMARÃES, A. P. S. Aprendendo e ensinando o sistema de numeração decimal:
uma contribuição à prática pedagógica do professor. 2005. 106 f. Dissertação
(Mestrado Profissional) – Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Natal, 2005.
90. GUIMARÃES, L. M. Longe da escola, na escola: os significados do PROCAP na
construção dos saberes e na prática dos professores. 2003. 146 f. Dissertação
(Mestrado) – Universidade Federal de Uberlândia, Uberlândia, 2003.
91. IGNÁCIO, R. S. Um estudo das concepções de professores polivalentes sobre área e
perímetro. 2006. 122 f. Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal da Paraíba,
Campina Grande, 2006.
92. JESUS, C. C. Análise crítica de tarefas matemáticas: um estudo com professores que
ensinam Matemática nos anos iniciais do Ensino Fundamental. 2011. 97 f. Dissertação
(Mestrado) – UEL, Londrina, 2011.
93. JUSTO, J. C. R. Resolução de problemas matemáticos aditivos: possibilidades da ação
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94. KLEIN, J. A. A representação social sobre a Matemática de professoras da Educação
Infantil e séries iniciais do Ensino Fundamental de escolas da rede municipal de
Itajaí-SC. 2006. 105 f. Dissertação (Mestrado) – Univali, Itajaí, 2006.
95. KOCHHANN, M. E. R. Gestar: formação de professores em serviço e a abordagem da
Geometria. 2007. 273 f. Tese (Doutorado) – Universidade Estadual Paulista Campus
Bauru, Bauru, 2007.
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Aditivo: uma investigação em um processo formativo. 2012. 158 f. Dissertação
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201. SILVEIRA, D. S. Professores dos anos iniciais: experiências com o material
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pelo professor do Ensino Fundamental. 2009. 172 f. Dissertação (Mestrado) –
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trabalho com números e operações nos anos iniciais do Ensino Fundamental. 2009.
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formação matemática do pedagogo. 2010. 220 f. Dissertação (Mestrado) –
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205. SOUZA, A. P. G. Contribuições da ACIEPE histórias infantis e Matemática
na perspectiva de egressas do curso de Pedagogia. 2012. 243 f. Tese (Doutorado) –
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aprendizagem da Matemática, por professores do Ensino Fundamental: encontros e
desencontros entre concepções e práticas. 2008. 236 f. Dissertação (Mestrado) –
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212. TAQUES FILHO, L. S. A formação matemática de futuros pedagogos-
professores das séries iniciais do Ensino Fundamental. 2012. 141 f. Dissertação
(Mestrado) – PUC-PR, Curitiba, 2012.
213. TEIXEIRA, C. B. O ensino de Matemática no 5º ano: o contexto da prática
pedagógica em escolas públicas estaduais de Teresina-PI. 2012. 182 f. Dissertação
(Mestrado) – Universidade Federal do Piauí, Teresina, 2012.
214. THOMACHESKI, E. G. B. Uma trajetória da Educação Matemática na Rede
Municipal de Ensino de Curitiba: do currículo pensado ao vivido, os olhares dos
sujeitos. 2003. 178 f. Dissertação (Mestrado) – PUC-PR, Curitiba, 2003.
215. TORICELLI, L. A colaboração em um grupo de alunas da Pedagogia que
ensinam (ou ensinarão) Matemática. 2009. 184 f. Dissertação (Mestrado) –
Universidade São Francisco, Itatiba, 2009.
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das séries iniciais. 2004. 155 f. Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal do
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217. TRUJILLO, W. A formação inicial e os conhecimentos do o que e do como
ensinar Matemática nos anos iniciais do Ensino Fundamental: encontros e
desencontros. 2009. 212 f. Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal do Mato
Grosso, Cuiabá, 2009.
218. VACCAS, A. A. M. A significação do planejamento de ensino em uma
atividade de formação de professores. 2012. 160 f. Dissertação (Mestrado) –
Universidade de São Paulo, São Paulo, 2012.
200
219. VALERIANO, W. P. O. Uma análise das influências da realização da Prova
Brasil na atividade pedagógica de professores que ensinam Matemática nos anos
iniciais. 2012. 138 f. Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal de Goiás,
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220. VALMORBIDA, T. I. V. A formação do professor das séries iniciais do
Ensino Fundamental e o ensino da Matemática: um estudo de caso. 2008. 108 f.
Dissertação (Mestrado) – UNOESC, Joaçaba, 2008.
221. VASCONCELOS, C. F. B. S. A (re)construção do conceito de dividir na
formação dos professores: o uso do jogo como recurso metodológico. 2008. 159 f.
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Matemática. 2010. 150 f. Dissertação (Mestrado) – Universidade Cruzeiro do Sul, São
Paulo, 2010.
223. VERAS, C. M. A estatística nas séries iniciais: uma experiência de formação
com um grupo colaborativo com professores polivalentes. 2010. 136 f. Dissertação
(Mestrado Profissional) – Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo,
2010.
224. VILELA, E. O. Eu pesquiso, tu pesquisas, eles ... e quem ensina e quem
aprende Matemática? Um estudo sobre a produção acadêmica do GT Educação
Matemática - Anped (2000 - 2007). 2008. 199 f. Dissertação (Mestrado) – UFSC,
Florianópolis, 2008.
225. WACHILISKI, M. O movimento de constituição da formação continuada na
rede municipal de Curitiba: de 1963 a 2008. 2008. 185 f. Dissertação (Mestrado) –
UFPR, Curitiba, 2008.
226. YAMANAKA, O. Y. Estudo das concepções e competências dos professores:
a passagem da aritmética à introdução da representação algébrica nas séries iniciais do
Ensino Fundamental. 2009. 151 f. Dissertação (Mestrado) – Pontifícia Universidade
Católica de São Paulo, São Paulo, 2009.
227. ZAMBON, A. E. C. A Geometria em cursos de Pedagogia da região de
Presidente Prudente. 2010. 186 f. Dissertação (Mestrado) – Universidade Estadual
Paulista Campus Presidente Prudente, Presidente Prudente, 2010.
228. ZANON, T. X. D. Formação continuada de professores que ensinam
Matemática: o que pensam e sentem sobre ensino, aprendizagem e avaliação. 2011.
300 f. Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal do Espírito Santo, Vitória,
2011.
229. ZIMER, T. T. B. Aprendendo a ensinar Matemática nas séries iniciais do
Ensino Fundamental. 2008. 308 f. Tese (Doutorado) – Universidade de São Paulo,
São Paulo, 2008.
201
APÊNDICE 3 Ficha 1 (Projeto Universal) ― Mapeamento de dissertações/teses que têm o
professor que ensina Matemática como foco de estudo/análise
FORMULÁRIO DE FICHAMENTO
FICHA 1 (Projeto Universal) ― Mapeamento de dissertações/teses que têm o professor que ensina Matemática como foco de estudo/análise SOBRENOME, Autor. Título. Ano. .xxx p. Diss/Tese (MA, MP, DO em...) - Faculdade ou Instituto, IES, Local. Orientador. Disponível em: Pesquisador responsável pelo fichamento:
Palavras-chave:
Persp
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e a
spa
s, i
nd
ica
nd
o a
pá
gin
a)
Problema/Objetivos/Objeto/Questão
da pesquisa
Procedimentos Metodológicos Resultados
Relativos ao
Professor que
Ensina
Matemática -
PEM
Principais Referenciais
teóricos
Relativos ao PEM Tipo de Pesquisa
Coleta/produção
dados
Organização
do material de
análise ou
Corpus de
análise
Os objetivos estão explícitos no
trabalho?
Não Sim
Transcreva os objetivos, indicando a
página.
Transcreva os objetivos, indicando a
página.
A questão investigativa está
explícita?
Não Sim
Assinale o(s)foco(s) de análise
Saberes e competências.
Atitudes, crenças e concepções.
Identidade e profissionalidade do
PEM.
Cursos/licenciatura/programas/projetos
de formação inicial.
Cursos/programas de formação
continuada de professores que
envolvem ensino-aprendizagem de matemática.
Características e condições do
trabalho docente, inclusive saúde ou estresse docente, do PEM.
Performance ou desempenho
docente do PEM.
História de professores que
ensinam Matemática.
História da formação do PEM.
Formação, aprendizagem,
desenvolvimento profissional do PEM.
Atuação, pensamento ou saberes do formador de PEM.
Outro:
Natureza da
pesquisa
Teórica,
bibliográfica ou documental
Empírica ou de
campo
Autobiográfica
Abordagem
metodológica da
pesquisa
Qualitativa
Quantitativa
Quali-quanti
Tipo de pesquisa
quanto aos
procedimentos
Etnográfica ou participante.
Laboratório ou
experimental.
Bibliográfica,
documental.
História oral ou de vida.
Pesquisa ação.
Pesquisa da própria prática.
Pesquisa
colaborativa ou
com grupos
colaborativos ou
em comunidade de prática.
Estado da arte,
metanálise.
Estudo de caso:
Instrumentos de
produção de
dados:
Entrevista
(estruturada,
semiestrut. ou narrativa).
Questionário
(fechado, aberto ou misto).
Diário de
Verificar e
escrever qual
foi
efetivamente o
corpus de
análise, isto é,
os materiais,
eventos e
registros que
foram
efetivamente
tomados como
objeto de
análise.
Descrever ou
transcrever
(colocando
entre aspas e
respectiva
página) os
principais
resultados ou
achados da
pesquisa.
Observe que os
resultados
diferem das
conclusões, por
essas últimas
passarem por
um processo
de síntese ou
generalização.
Citar os principais
campos teóricos e seus
respectivos autores que
foram tomados como
base para a concepção
do objeto de pesquisa e
principalmente no
processo de análise e de
produção de resultados
e conclusões.
Exemplos (Veja nota
final)
202
campo.
Relato ou narrativa (oral ou
escrito).
Videogravação e/ou
audiogravação.
Observação e registro de aulas.
Uso de
protocolo ou ficha para coleta de
dados.
Problema/problemática de partida e
questão investigativa
Relativa ao PEM
Contexto &
Sujeitos
Procedimentos
e Categorias ou
eixos de análise
Principais
conclusões no
que se refere à
prática e ao
campo de
conhecimento
sobre o PEM
Destacar a perspectiva
ou campo teórico e sua
presença durante a
análise
O problema está explícito no
trabalho?
Não Sim
Transcreva o problema, indicando a
página. (Note que o problema não é
a questão investigativa, pois a
pergunta indica o modo ou direção
de abordar um problema)
Como o problema ou problemática
foi tratada até chegar à questão de
pesquisa?
O problema não está relacionado à questão de pesquisa.
Não explicita como chegou.
Não tem questão.
Pela literatura.
Pelo memorial (pessoal ou
acadêmico)
A partir de uma problematização
(teórica e/ou prática).
A partir de resultados de avaliação.
Outros
Assinalar a alternativa e descrever
suscintamente como o autor chegou
à questão investigativa.
O contexto da
pesquisa foi
definido?
Não Sim
Descreva o
contexto da
pesquisa.
Os sujeitos da
pesquisa foram
caracterizados?
Não Sim
Descreva os
sujeitos e
respectivas
características
Transcrever um
recorte em que o
autor explicite
sua concepção de
pesquisa.
Descrição do
processo
analítico:
O responsável
pelo
fichamento
deve tentar
fazer uma
síntese a
respeito desse
processo,
citando,
sempre que
possível, as
próprias
palavras do
autor.
Utilizou
categorias ou
eixos de
análise?
Não
Sim
Citar/descrever
as categorias
ou eixos de
análise,
utilizando as
expressões
próprias do
autor.
Transcrever as
conclusões
produzidas a
partir de
tentativas de
generalização
ou de síntese
das análises e
dos resultados
ou do
confronto
entre os
resultados da
pesquisa e a
parte teórica
ou outros
estudos.
(Indicar a
página)
O autor
aponta
algumas
contribuições
ou
recomendações
à prática de
formação de
professores ou
às políticas
públicas?
Não
Sim
Se sim, citar:
Indicar/descrever se
o campo (ou
perspectiva) teórico
(acima referido) é
contemplado ao
longo de toda a
pesquisa, isto é,
perpassa desde a
construção do objeto
de pesquisa e
sobretudo do
processo de análise e
de produção dos
resultados e
conclusões.
Confirma,
complementa ou
amplia
resultados/conclusões
de outros estudos?
Neste caso, quais?
Persp
ecti
vaP
esq
uis
ad
or
Pro
j_U
niv
Considerações complementares do responsável pelo fichamento.
Contatos: E-mail do responsável pelo fichamento:
Fonte: Fiorentini et al. (2017, p. 41)