aritm etica lei da reciprocidade quadr...

Aritmetica

Lei da Reciprocidade Quadratica

Carlos Humberto Soares Junior

PROFMAT - SBM

Objetivo

Determinar uma formula para calcular o sımbolo

de Legendre(

ap

), em que p e um primo ımpar.

PROFMAT - SBM Aritmetica , Lei da Reciprocidade Quadratica slide 2/24


O Teorema da Reciprocidade Quadratica, embora ja fosseconhecido por Euler e Legendre, so foi completamentodemonstrado em 1796 por Gauss, quando este tinha apenas 18anos de idade.



Inicialmente vamos demonstrar um lema tambem devido ao Gauss.

Lema (Gauss)

Sejam a, p ∈ N, em que p e primo e (a, p) = 1. Sejam r1, . . . , r p−12

os restos da divisao por p dos numeros a, 2a, . . . , p−12 a,

respectivamente. Se k e o numero dos ri que sao maiores do quep−1

2 , entao (a

p

)= (−1)k .



Demonstracao:

• (a, p) = 1 ⇒ a, 2a, . . . ,p − 1

2a incongruente modulo p ⇒

⇒ r1, . . . , r p−12

sao distintos, pois 1 ≤ ri ≤ p − 1.

• Divida o conjunto {r1, . . . , r p−12} em duas partes {b1, . . . , bk}

formada pelos elementos maiores que p−12 ; e {c1, . . . , c`} formada

pelos elementos menores ou iguais a p−12 .

Observe que k + ` = p−12 .



• Observe que p − b1, . . . , p − bk sao distintos entre si e menoresque p−1

2 . Alem disso, esses numeros sao distintos de {c1, . . . , c`}pois se p − bi = cj terıamos bi ≡ cj mod p, o que nao ocorre.

• Portanto, como k + ` = p−12 , temos

{p − b1, . . . , p − bk} ∪ {c1, . . . , c`} = {1, 2, . . . , p − 1

2}.

Assim,

c1 · · · c`(p − b1) · · · (p − bk) =

(p − 1

2

)!.



• Por outro lado, como para cada i ∈ {1, 2, . . . , p−12 }, temos que

a.i = pqi + ri , segue-se que

r1 ·r2 · · · r p−12

= A.p+(a)·(2a) · · · (p − 1

2a) = A.p+a

p−12

(p − 1

2

)!.

Concluımos assim que

b1 · · · bk · c1 · · · c` ≡ ap−1

2

(p − 1

2

)! mod p.



c1 · · · c`(p − b1) · · · (p − bk) =

(p − 1

2

)!.

b1 · · · bk · c1 · · · c` ≡ ap−1

2

(p − 1

2

)! mod p.

• Das identidades destacadas acima, concluımos que

b1 · · · bk · c1 · · · c` ≡ ap−1

2 (p − b1) · · · (p − bk)c1 · · · c` mod p.

Donde, por cancelamento

b1 · · · bk ≡ ap−1

2 (p − b1) · · · (p − bk) mod p.



• Como (p, p − bi ) = 1, para cada i , existe di tal que

di (p − bi ) ≡ 1 mod p.

Logo,

d1 · · · dkb1 · · · bk ≡ ap−1

2 mod p. (1)

• Note que dibi ≡ −1 mod p, portanto

d1 · · · dkb1 · · · bk ≡{

1, se k for par−1, se k for ımpar



Portanto

(−1)k ≡ ap−1

2 ≡*

(a

p

)mod p.

�

* Proposicao 12.3 (ii)


Exercıcio

Exercıcio

Verifique se 2 e 3 sao resıduos quadraticos modulo 13.

Solucao:

• Para a = 2 temos que os restos da divisao de a, 2a, 3a, 4a, 5a e6a por 13 sao, respectivamente,

2 4 6 8 10 e 12.

Portanto, como 8, 10 e 12 sao maiores que 6, segue-se que(2

13

)= (−1)3 = −1.

Logo 2 nao e um resıduo quadratico modulo 13.PROFMAT - SBM Aritmetica , Lei da Reciprocidade Quadratica slide 11/24

Exercıcio

• Para a = 3 temos que os restos da divisao de a, 2a, 3a, 4a, 5a e6a por 13 sao, respectivamente,

3 6 9 12 2 e 5.

Portanto, como dois destes numeros sao maiores que 6, segue-seque (

3

13

)= (−1)2 = 1.

Logo 3 e um resıduo quadratico modulo 13. �



Proposicao

Sejam a, p ∈ N ımpares, com p primo e (a, p) = 1. Pondo

p′ = p−12 , e κ =

[ap

]+[

2ap

]+ · · ·+

[p′ap

], temos que(

a

p

)= (−1)κ.

Demonstracao: Sejam r1, r2, . . . , rp′ os restos da divisao dea, 2a, . . . , p′a por p, respectivamente.



Temos que

a = p

[a

p

]+ r1

2a = p

[2a

p

]+ r2

...

p′a = p

[p′a

p

]+ rp′

Somando membro a membro temos

p2 − 1

8a = (1 + · · ·+ p′)a = pκ+ r1 + · · ·+ rp′ .



Usando as notacoes do lema de Gauss, pondo B = b1 + · · ·+ bk eC = c1 + · · ·+ c`, temos que r1 + · · ·+ rp′ = B + C .

Portanto,

p2 − 1

8a = pκ+ B + C . (2)

Entretanto,

{c1, . . . , c`, p − b1, . . . , p − bk} = {1, . . . , p′}.

Donde

p2 − 1

8= 1 + · · ·+ p′ = pκ− B + C . (3)



Subtraindo (3) de (2), obtemos

p2 − 1

8(a− 1) = p(κ− k) + 2B. (4)

Como a− 1 e par e p e ımpar, decorre da igualdade acima que κ ek tem a mesma paridade.

Logo, segue do lema de Gauss que(a

p

)= (−1)k = (−1)κ.

�


Exercıcio

Exercıcio

Verifique se 2X 2 − 34Y = 14 tem solucao inteira.

Solucao: Observe que esta equacao e equivalente a

X 2 + 17Y = 7

a qual tem solucao inteira se, e somente se, 7 e um resıduoquadratico modulo 17.

Entretanto

κ =

[7

17

]+

[14

17

]+

[21

17

]+

[28

17

]+

[35

17

]+

[42

17

]+

[49

17

]+

[56

17

]= 11.


Exercıcio

Portanto (7

17

)= (−1)11 = −1.

Decorrendo daı que 7 nao e um resıduo quadratico modulo 17. �



Lema (Eisenstein)

Sejam p e q primos ımpares distintos. Entao[q

p

]+

[2q

p

]+· · ·+

[p−1

2 q

p

]+

[p

q

]+

[2p

q

]+· · ·+

[q−1

2 p

q

]=

p − 1

2

q − 1

2.



Teorema (Lei da Reciprocidade Quadratica de Gauss)

Sejam p e q primos ımpares distintos. Entao(p

q

)(q

p

)= (−1)

p−12

q−12 .

Demonstracao: Sejam

κ =

[p

q

]+

[2p

q

]+ · · ·+

[q−1

2 p

q

]e

κ′ =

[q

p

]+

[2q

p

]+ · · ·+

[p−1

2 q

p

].



Vimos que(p

q

)(q

p

)=∗ (−1)κ(−1)κ

′= (−1)κ+κ′ =? (−1)

p−12

q−12 .

�

∗ Lema de Gauss (proposicao 12.25).

? Lema de Einsenstein (lema 12.28).


Exercıcio

Exercıcio

Verifique se 31 e um resıduo quadratico modulo 41.

Solucao: Observe que 31 e 41 sao primos. Entao(31

41

)(41

31

)= (−1)15(−1)20 = −1.

Logo, (31

41

)= −

(41

31

).


Exercıcio

Como 41 ≡ 10 mod 31, temos que(41

31

)=

(10

31

)=

(2

31

)(5

31

).

• Observe que(5

31

)(31

5

)= (−1)15(−1)2 = −1

e que 31 ≡ 1 mod 5, portanto(5

31

)= −

(31

5

)= −

(1

5

)= −1.


Exercıcio

• Observe que(2

31

)≡ 215 ≡ (25)3 ≡ 1 mod 31.

Portanto, (2

31

)= 1.

Logo(31

41

)= −

(41

31

)= −

(10

31

)= −

(2

31

)(5

31

)= −1.(−1) = 1.

provando que 31 e um resıduo quadratico modulo 41. �


aritm etica lei da reciprocidade quadr...

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