ma14 – exercícios para av1
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Unidade 1Divisibilidade
1.2 Problemas
1. Sejam a, b, c ∈ Z e c 6= 0. Mostre que
ac|bc⇐⇒ a|b.
2. (ENC-98)1 A soma de todos os múltiplos positivos de 6 que se escrevem
(no sistema decimal) com dois algarismos é:
(A) 612 (B) 648 (C) 756 (D) 810 (E) 864
3. Com quanto zeros termina o número 100!?
4. (a) Mostre que o produto de i números naturais consecutivos é divisível
por i!.
(b) Mostre que 6|n(n+ 1)(2n+ 1), para todo n ∈ N.
5. Mostre, por indução matemática, que, para todo n ∈ N,
(a) 8|32n + 7
(b) 9|10n + 3.4n+2 + 5
(c) 9|n4n+1 − (n+ 1)4n + 1
(d) 169|33n+3 − 26n− 27
6. Mostre que 13|270 + 370.
7. Mostre que, para todo n,
(a) 9|10n − 1
(b) 8|32n − 1
(c) 53|74n − 24n
(d) 3|10n − 7n
(e) 13|92n − 24n
(f) 6|52n+1 + 1
(g) 19|32n+1 + 44n+2
(h) 17|102n+1+72n+1
(i) 14|34n+2 + 52n+1
8. Sejam a, b ∈ Z.
a) Se a 6= b, mostre que, para todo n ∈ N, n > 2,
an − bn
a− b= an−1 + an−2 · b+ · · ·+ a · bn−2 + bn−1.
1Exame Nacional de Cursos, MEC/INEP.
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Unidade 1 Problemas
b) Se a+ b 6= 0, mostre que, para todo n ∈ N,
a2n+1 + b2n+1
a+ b= a2n − a2n−1 · b+ · · · − a · b2n−1 + b2n.
c) Mostre que, para todo n ∈ N,
a2n − b2n
a+ b= a2n−1 − a2n−2 · b+ · · ·+ a · b2n−2 − b2n−1.
9. Para quais valores de a ∈ N
a) a− 2|a3 + 4?
b) a+ 3|a3 − 3?
c) a+ 2|a4 + 2?
d) a+ 2|a4 + 2a3 + a2 + 1?
10. Mostre que, para todos a,m, n ∈ Z,
m > n > 0 =⇒ a2n
+ 1|a2m − 1.
11. Mostre, para todo n ∈ N, que n2|(n+ 1)n − 1.
12. Mostre, para todo a ∈ Z, que
a) 2|a2 − a b) 3|a3 − a c) 5|a5 − a d) 7|a7 − a
13. Mostre que existem in�nitos valores de n em N para os quais 8n2 + 5 é
divisível por 7 e por 11.
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Unidade 2 Problemas
2.2 Problemas
1. Ache o quociente e o resto da divisão
a) de 27 por 5. b) de 38 por 7.
2. Mostre como, usando uma calculadora que só realiza as quatro operações,
pode-se efetuar a divisão euclidiana de dois números naturais em apenas
três passos. Aplique o seu método para calcular o quociente e o resto da
divisão de 3721056 por 18735.
3. Discuta a paridade
(a) da soma de dois números.
(b) da diferença de dois números.
(c) do produto de dois números.
(d) da potência de um número.
(e) da soma de n números ímpares.
4. (a) Mostre que um número natural a é par se, e somente se, an é par,
qualquer que seja n ∈ N.
(b) Mostre que an ± am é sempre par, quaisquer que sejam n,m ∈ N.
(c) Mostre que, se a e b são ímpares, então a2+ b2 é divisível por 2 mas
não divisível por 4.
5. Quais são os números que, quando divididos por 5, deixam resto igual
(a) à metade do quociente?
(b) ao quociente?
(c) ao dobro do quociente?
(d) ao triplo do quociente?
6. Seja n um número natural. Mostre que um, e apenas um, número de
cada terna abaixo é divisível por 3.
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Unidade 2Divisão Euclidiana
(a) n, n+ 1, n+ 2
(b) n, n+ 2, n+ 4
(c) n, n+ 10, n+ 23
(d) n, n+ 1, 2n+ 1
7. Mostre que
(a) se n é ímpar, então n2 − 1 é divisível por 8.
(b) se n não é divisível por 2, nem por 3, então n2 − 1 é divisível por
24.
(c) ∀n ∈ N, 4 6 |n2 + 2.
8. Sejam dados os números naturais a,m e n tais que 1 < a < m < n.
(a) Quantos múltiplos de a existem entre m e n?
(b) Quantos múltiplos de 7 existem entre 123 e 2551?
(c) Quantos múltiplos de 7 existem entre 343 e 2551?
9. (ENC-2000) Mostre que, se um inteiro é, ao mesmo tempo, um cubo e
um quadrado, então ele é da forma 5n, 5n+ 1, ou 5n+ 4.
10. (ENC-2000)
(a) Mostre que, se um número a não é divisível por 3, então a2 deixa
resto 1 na divisão por 3.
(b) A partir desse fato, prove que, se a e b são inteiros tais que 3 divide
a2 + b2, então a e b são divisíveis por 3.
11. (ENC-2001) Seja N um número natural; prove que a divisão de N2 por
6 nunca deixa resto 2.
12. (ENC-2002) O resto da divisão do inteiro N por 20 é 8. Qual é o resto
da divisão de N por 5?
13. Mostre que, se n é ímpar, então a soma de n termos consecutivos de uma
PA é sempre divisível por n.
14. Ache o menor múltiplo de 5 que deixa resto 2 quando dividido por 3 e
por 4.
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Unidade 2 Problemas
Problemas Suplementares
15. Mostre, para todo n ∈ N, que
(a) 6|n3 + 11n
(b) 9|4n + 15n− 1
(c) 3n+2|103n − 1
(d) 7|23n − 1
(e) 8|32n + 7
(f) 7|32n+1 + 2n+2
(g) a2−a+1|a2n+1+
(a − 1)n+2, para
todo a ∈ N
16. Mostre que, se um inteiro é um quadrado e um cubo, então é da forma
7k ou 7k + 1.
17. (a) Mostre que um quadrado perfeito ímpar é da forma 4n+ 1.
(b) Mostre que nenhum elemento da sequência 11, 111, 1111, . . . é um
quadrado perfeito.
18. (a) Mostre que todo quadrado perfeito é da forma 5k ou 5k ± 1.
(b) Com que algarismo pode terminar um quadrado perfeito?
(c) Se três inteiros positivos veri�cam a2 = b2 + c2, então entre eles há
um múltiplo de 2 e um múltiplo de 5.
(d) A soma dos quadrados de dois inteiros ímpares não pode ser um
quadrado perfeito.
19. Mostre que, de n inteiros consecutivos, um, e apenas um, deles é divisível
por n.
20. Um número é dito livre de quadrados se não for divisível pelo quadrado
de nenhum número diferente de 1.
(a) Determine qual é o maior número de números naturais consecutivos
livres de quadrados.
(b) De�na números livres de cubos e resolva o problema correspondente.
21. Seja m ∈ N. Pode o número m(m + 1) ser a sétima potência de um
número natural? (generalize).
22. Dados a, b ∈ N, quantos números naturais divisíveis por b existem na
sequência a, 2a, . . . , ba?
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Unidade 2Divisão Euclidiana
23. Sejam a, d ∈ N. Mostre que, na sequência a+0d, a+d, a+2d, a+3d, . . .
ou não existe nenhum quadrado ou existem in�nitos quadrados.
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Unidade 3Sistemas de Numeração
3.2 Problemas
1. Mostre que, na base 10, o algarismo das unidades de um quadrado perfeito
só pode ser 0, 1, 4, 5, 6 ou 9.
2. Um certo número de três algarismos na base 10 aumenta de 36 se permu-
tarmos os dois algarismos da direita, e diminui de 270 se permutarmos os
dois algarismos da esquerda. O que acontece ao número se permutarmos
os dois algarismos extremos?
3. (Critério de divisibilidade por uma potência de 2) Seja dado um número
a, representado na base 10 por a = anan−1 . . . a0 . Usando o fato de que
2k|10k, mostre que 2k divide a se, e somente se, o número ak−1 . . . a1a0
é divisível por 2k. Em particular, a é divisível por 2 se, e somente se, a0é 0, 2, 4, 6 ou 8; também, a é divisível por 4 se, e somente se, a1a0 é
divisível por 4.
4. Escolha um número abc de três algarismos no sistema decimal, de modo
que os algarismos das centenas a e o das unidades c di�ram de, pelo
menos, duas unidades. Considere os números abc e cba e subtraia o
menor do maior, obtendo o número xyz. A soma de xyz com zyx vale
1089. Justi�que este fato.
5. Seja dado o número 4783 na base 10; escreva-o nas seguintes bases: 2,
3, 4, 7, 12 e 15.
6. O número 3416 está na base 7; escreva-o nas bases 5 e 12.
7. Um número na base 10 escreve-se 37; em que base escrever-se-á 52?
8. Considere 73 na base 10; em que base ele se escreverá 243?
9. Escreva a tabuada na base 5. Use-a para calcular 132 + 413 e 23 · 342.
10. Utilize o método dos antigos egípcios para calcular 527 · 72.
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Unidade 4Jogo de Nim
4.2 Problemas
1. Demonstre que as a�rmações feitas na variante 3 do jogo de Nim são
verdadeiras.
2. Determine, em cada caso apresentado abaixo, se a posição é segura ou
insegura.
(a) | | | |
(b) | | | | | | |
(c) | | | |
(d) | |
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Unidade 5 Problemas
5.2 Problemas
1. Para cada par de números naturais a e b dados abaixo, ache (a, b) e
determine números inteiros m e n tais que (a, b) = na+mb.
(a) 637 e 3887
(b) 648 e 1218
(c) 551 e 874
(d) 7325 e 8485
(e) 987654321 e 123456789
2. Seja n ∈ N. Mostre que
(a) (n, 2n+ 1) = 1
(b) (n+ 1, n2 + n+ 1) = 1
(c) (2n+ 1, 9n+ 4) = 1
(d) (n! + 1, (n+ 1)! + 1) = 1
3. Mostre que (a, a2 + na+ b)|b, quaisquer que sejam a, b, n ∈ N.
4. Dados a,m ∈ N, mostre que
(a)(a2m − 1
a+ 1, a+ 1
)= (a+ 1, 2m)
(b)(a2m+1 + 1
a+ 1, a+ 1
)= (a+ 1, 2m+ 1)
5. Calcule
(a)(240 + 1
28 + 1, 28 + 1
)(b)
(250 + 1
210 + 1, 210 + 1
)6. Um prédio possui duas escadarias, uma delas com 780 degraus e a outra
com 700 degraus. Sabendo que os degraus das duas escadas só estão no
mesmo nível quando conduzem a um andar, descubra quantos andares
tem o prédio.
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Unidade 6 Problemas
6.2 Problemas
1. Mostre que, se (a, b) = 1, a|c e b|c, então a · b|c.
2. (a) Mostre que, se (a, b) = 1, então (a · c, b) = (c, b).
(b) Mostre que (a · c, b) = 1 se, e somente se, (a, b) = (c, b) = 1.
3. Suponha que (a, b) = (a, d) = (c, b) = (c, d) = 1.
(a) Mostre que (a · c, b · d) = 1.
(b) Mostre que (an, bm) = 1, ∀n,m ∈ N.
(c) Mostre que, se n ∈ N, então (a+ b, bn) = (a− b, bn) = 1.
4. (a) Mostre que, se n é ímpar, então n(n2 − 1) é divisível por 24.
(b) Mostre que 24 divide n(n2 − 1)(3n+ 2) para todo n ∈ N.
5. (a) Mostre que n5 − n é divisível por 30.
(b) Mostre que n5 e n possuem o mesmo algarismo das unidades.
6. Mostre que a|bc se, e somente se,a
(a, b)|c.
7. Sejam a e b dois números inteiros com (a, b) = 1.
(a) Mostre que (b+ a, b− a) é 1 ou 2.
(b) Mostre que (a+ b, a2 + b2) é 1 ou 2.
8. Sejam a, b ∈ Z com (a, b) = 1 e m ∈ N.
(a) Se a 6= b, mostre que
(a− b,
am − bm
a− b
)= (a− b,m).
(b) Se a+b 6= 0 e m é ímpar, mostre que
(a+ b,
am + bm
a+ b
)= (a+b,m).
9. Mostre que, se a, b, x, y ∈ Z, com ax+ by = (a, b), então (x, y) = 1.
10. Calcule (1116, 984, 852).
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Unidade 6Propriedades do mdc
11. Três números inteiros são ditos primos entre si se (a, b, c) = 1. Mostre
que três números inteiros, dois a dois primos entre si, são primos entre
si. Mostre que não vale a recíproca; isto é, ache três números inteiros
primos entre si e que não dois a dois primos entre si.
12. Mostre que, para todo n ∈ N, tem-se que n+ 1 divide
(2n
n
).
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Unidade 7Mínimo Múltiplo Comum
7.2 Problemas
1. Calcule o mmc dos pares de números do Problema 3.1.1.
2. (a) Se m é um múltiplo comum não nulo de a e b, mostre que
m = [a, b] ⇐⇒(ma,m
b
)= 1.
(b) Se r e s não são nulos e ra = sb > 0, mostre que
ra
(r, s)=
sb
(r, s)= [a, b].
3. Sejam a, b, c três números naturais não nulos. Mostre que
abc = [a, b, c](ab, ac, bc).
4. Sejam a, b ∈ Z não nulos e seja n ∈ N; mostre que
[na, nb] = n[a, b].
5. Seja n ∈ N; calcule [n2 + 1, n+ 1].
6. Sejam a, b ∈ N. Mostre que (a, b) = [a, b] ⇐⇒ a = b.
7. Sejam a, b ∈ Z ambos não nulos. Considere o conjunto
M(a, b) = aZ ∩ bZ = {x ∈ Z; ∃n,m ∈ Z tais que x = na e x = mb}.
(a) Mostre que [a, b] = min (M(a, b) ∩ N).
(b) Mostre que M(a, b) = [a, b]Z.
8. Sejam d,m ∈ N. Mostre que uma condição necessária e su�ciente para
que existam a, b ∈ Z tais que (a, b) = d e [a, b] = m é que d|m.
9. Sejam a1, . . . , an ∈ Z. Mostre que
(ai, aj) = 1, i 6= j ⇐⇒ [a1, . . . , an] = |a1 · · · an|.
10. Sejam a, b, c ∈ Z não nulos. Mostre que
(a) (a, [b, c]) = [(a, b), (a, c)];
(b) [a, (b, c)] = ([a, b], [a, c]).
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Unidade 8Equações Diofantinas Lineares
8.2 Problemas
1. Resolva em Z as equações:
(a) 90X + 28Y = 22
(b) 50X + 56Y = 74
(c) 40X + 65Y = 135
(d) 8X + 13Y = 23
2. Para quais valores de c em N a equação 90X + 28Y = c não possui
soluções em N ∪ {0}?
3. Resolva em Z as equações:
(a) 16X + 7Y = 601
(b) 30X + 17Y = 201
(c) 47X + 29Y = 1288
(d) 8X + 13Y = 23
4. Dispondo de 100 reais, quais são as quantias que se podem gastar com-
prando selos de 5 reais e de 7 reais?
5. Determine todos os múltiplos de 11 e de 9 cuja soma é igual a
(a) 79
(b) 80
(c) 270
6. Determine o menor inteiro positivo que tem restos 11 e 35 quando divi-
dido, respectivamente, por 37 e 48.
7. Numa criação de coelhos e galinhas, contaram-se 400 pés. Quantas são
as galinhas e quantos são os coelhos, sabendo que a diferença entre esses
dois números é a menor possível?
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Unidade 8 Problemas
8. Subindo uma escada de dois em dois degraus, sobra um degrau. Subindo
a mesma escada de três em três degraus, sobram dois degraus. Determine
quantos degraus possui a escada, sabendo que o seu número é múltiplo
de 7 e está compreendido entre 40 e 100.
9. (ENC 2002) Em certo país, as cédulas são de $4 e $7. Com elas, é
possível pagar, sem troco, qualquer quantia inteira
(a) a partir de $11, inclusive.
(b) a partir de $18, inclusive.
(c) ímpar, a partir de $7, inclusive.
(d) que seja $1 maior do que um múltiplo de $3.
(e) que seja $1 menor do que um múltiplo de $5.
10. De quantas maneiras pode-se comprar selos de 3 reais e de 5 reais de
modo que se gaste 50 reais?
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Unidade 9
Esta unidade será dedicada à resolução de uma lista de problemas sobre a
matéria até agora desenvolvida.
1. (a) Quantos múltiplos de 5 existem no intervalo [1, 120]? e no intervalo
[1, 174]?
(b) Quantos múltiplos de 7 existem em cada um dos intervalos [70, 342]
e [72, 342]?
2. Dados 0 < a ≤ n < m, mostre que no intervalo [1, n] existem q múltiplos
de a, onde q é o quociente da divisão de n por q. Quantos são os múltiplos
de a no intervalo [n,m]? (Na última situação, divida a análise em dois
casos: n múltiplo de a e o contrário.)
3. Mostre que dados m inteiros consecutivos um, e apenas um, deles é
múltiplo de m.
4. Mostre que o produto de quatro números inteiros consecutivos, quaisquer,
é sempre múltiplo de 24.
5. (a) Ache o menor inteiro positivo n tal que o número 4n2 + 1 seja
divisível por 65.
(b) Mostre que existem in�nitos múltiplos de 65 da forma 4n2 + 1.
(c) Mostre que se um dado número divide um número da forma 4n2+1,
ele dividirá uma in�nidade desses números.
(d) Para este último resultado, existe algo de especial nos números da
forma 4n2+1? Teste o seu resultado para números da forma an2+
bn+ c, onde a, b, c ∈ Z, com a e b não simultaneamente nulos.
(e) Mostre que existem in�nitos múltiplos de 7 da forma 8n2 + 3n+ 4.
6. (a) Sejam dados os dois números a = 10c+r e b = c−2r, com c, r ∈ Z.Mostre que a é divisível por 7 se, e somente se b é divisível por 7.
(b) Deduza o seguinte critério de divisibilidade por 7:
O número n = ar · · · a1a0 é divisível por 7 se, e somente se, o
número ar · · · a1 − 2a0 é divisível por 7.
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Unidade 9Atividade EspecialRevisão
(c) Utilize repetidas vezes o critério acima para veri�car se 2.368 é ou
não divisível por 7.
Um número inteiro n é dito um quadrado se existe a ∈ Z tal que n = a2.
Dizemos que n é uma potência m-ésima quando n = am.
7. (a) Mostre que o algarismo das unidades de um quadrado só pode ser
um dos seguintes: 0, 1, 4, 5, 6 e 9.
(b) Mostre que nenhum dos números 22, 222, 2222, . . ., ou 33, 333, 3333, . . .,
ou 77, 777, 7777, . . ., ou ainda 88, 888, 8888, . . . pode ser um qua-
drado.
8. (a) Mostre que todo quadrado ímpar é da forma 4n+ 1.
(b) Mostre que nenhum número na sequência 11, 111, 1111, 11111, etc.,
é um quadrado.
(c) Mostre que nenhum número na sequência 44, 444, 4444, 44444, etc.,
é um quadrado.
(d) Mostre que nenhum número na sequência 99, 999, 9999, 99999, etc.,
é um quadrado.
(e) Mostre que nenhum número na sequência 55, 555, 5555, 55555, etc.,
é um quadrado.
9. (a) Mostre que nenhum número da forma 4n+ 2 é um quadrado.
(b) Mostre que nenhum dos números 66, 666, 6666, . . . é um quadrado.
10. (a) Mostre que a soma de quatro inteiros consecutivos nunca é um
quadrado.
(b) Mostre que a soma dos quadrados de quatro inteiros consecutivos
nunca é um quadrado. Faça o mesmo para a soma dos quadrados
de três inteiros consecutivos.
11. (a) Mostre que todo quadrado é da forma 8n, 8n+ 1 ou 8n+ 4.
(b) Mostre que nenhum número na sequência 3, 11, 19, 27, etc., é um
quadrado.
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Unidade 9
12. Mostre que numa sequência de inteiros da forma
a, a+ d, a+ 2d, a+ 3d, . . . ,
se existir algum número que é quadrado, existirão in�nitos números que
são quadrados.
13. Dados dois inteiros a e b distintos, mostre que existem in�nitos números
n para os quais mdc(a+ n, b+ n) = 1.
14. Resolva o seguinte sistema de equações:{mdc(x, y) = 6
mmc(x, y) = 60
15. Observe que mdc(x, y) divide mmc(x, y), quaisquer que sejam x, y ∈ Z,não nulos.
Mostre que se no seguinte sistema:{mdc(x, y) = d
mmc(x, y) = m
d - m, ele não admite solução. Mostre que se d | m, o sistema sempre
admite solução.
16. Mostre que
(a) mdc(a2, b2) = [mdc(a, b)]2.
(b) mmc(a2, b2) = [mmc(a, b)]2.
(c) Generalize.
17. (Esse é um problema proposto no século 16) Um total de 41 pessoas entre
homens, mulheres e crianças foram a um banquete e juntos gastaram
40 patacas. Cada homem pagou 4 patacas, cada mulher 3 patacas e
cada criança um terço de pataca. Quantos homens, quantas mulheres e
quantas crianças havia no banquete?
18. (Proposto por Euler) Um grupo de homens e mulheres gastaram numa
taberna 1.000 patacas. Cada homem pagou 19 patacas e cada mulher
13. Quantos eram os homens e quantas eram as mulheres?
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Unidade 9Atividade EspecialRevisão
19. (Proposto por Euler) Uma pessoa comprou cavalos e bois. Foram pagos
31 escudos por cavalo e 20 por boi e sabe-se que todos os bois custaram
7 escudos a mais do que todos os cavalos. Quantos cavalos e quantos
bois foram comprados?
20. Em um certo país, as cédulas são de $4 e $7. Quais das a�rmações a
seguir são verdadeiras? Com elas é possível pagar, sem troco, qualquer
quantia inteira
(a) a partir de $11, inclusive.
(b) a partir de $18, inclusive
(c) ímpar, a partir de $7, inclusive
(d) que seja $1 maior do que um múltiplo de $3
(e) que seja $1 menor do que um múltiplo de $3
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Unidade 10Expressões Binômias
10.2 Exercícios
1. Sejam a,m, n ∈ N. Mostre que an − 1|am − 1 se, e somente se, n|m.
2. Sejam n,m ∈ N com n|m em
nímpar. Se a ∈ N, mostre que
(am + 1, an + 1) = an + 1.
3. Sejam a,m, n ∈ N, com m > n. Mostre que(a2
m − 1, a2n
+ 1)= a2
n
+ 1.
4. Calcule
(a) (5202 + 1, 574 + 1)
(b) (36497 + 1, 36210 + 1)
(c) (3144 − 1, 378 + 1)
5. Seja (Mn)n a sequência de�nida por Mn = 2n− 1. Mostre que 3|Mn se,
e somente se, n é par.
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Unidade 11 Problemas
11.2 Problemas
1. Mostre que, se na sequência de Fibonacci existir um termo divisível por
um número natural m, então existem in�nitos tais termos.
2. Na sequência de Fibonacci, mostre que um é par se, e somente se, m é
divisível por 3.
3. Na sequência de Fibonacci, mostre que um é divisível por 5 se, e somente
se, m é divisível por 5.
4. Na sequência de Fibonacci, mostre que um é divisível por 7 se, e somente
se, m é divisível por 8.
5. Na sequência de Fibonacci, mostre que um é divisível por 4 se, e somente
se, m é divisível por 6.
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