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Matemática em Casa por www.fabiovinicius.mat.br Conjuntos numéricos, Aritmética e Álgebra

[email protected] − 1 − 27 de maio de 2018

Conteúdo: Razão, proporção e regra de sociedade

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Professor: Fábio Vinícius Turma: ....................... Data: .............................. Nota: ........................

[X] Para “o lar” [X] Individual [X] Dupla [X] Trio [X] Quatro ou mais

[X] Consulta caderno [X] Consulta livro [X] Consulta internet [X] Consulta Celular [X] Calculadora de bolso

[X] Grafite [X] Azul/Preta [X] Corretivo [X] Rasura [X] Rascunho

Apresente suas soluções de forma clara, indicando, em cada caso, o raciocínio que conduziu à resposta.

• Razão: 𝑎

𝑏; 𝑐𝑜𝑚 𝑏 ≠ 0.

• Proporção: 𝑎

𝑏=

𝑐

𝑑; 𝑐𝑜𝑚 𝑏 ≠ 0 𝑒 𝑑 ≠ 0.

• Sejam 𝐴 = (𝑎1; 𝑎2; 𝑎3; ⋯ ; 𝑎𝑛) e 𝐵 = (𝑏1; 𝑏2; 𝑏3; ⋯ ; 𝑏𝑛) temos que

𝐴 e 𝐵 são grandezas diretamente proporcionais (GDP) quando 𝑎1

𝑏1=

𝑎2

𝑏2=

𝑎3

𝑏3= ⋯ =

𝑎𝑛

𝑏𝑛= 𝑘 e que

𝐴 e 𝐵 são grandezas inversamente proporcionais (GIP) quando 𝑎1 ∙ 𝑏1 = 𝑎2 ∙ 𝑏2 = 𝑎3 ∙ 𝑏3 = ⋯ = 𝑎𝑛 ∙ 𝑏𝑛 = 𝑘

Questão 1. (Unicamp-SP) A quantia de R$ 1.280,00 deverá ser dividida entre 3 pessoas. Quanto receberá cada

uma, se

a) a divisão for feita em partes diretamente proporcionais a 8, 5 𝑒 7?

b) a divisão for feita em partes inversamente proporcionais a 5, 2 𝑒 10?

Gabarito: a) 512; 320 𝑒 448; b) 320; 800 𝑒 160

Uma solução:

a) 𝑥

8=

𝑦

5=

𝑧

7= 𝑘 → {

𝑥 = 8 ∙ 𝑘𝑦 = 5 ∙ 𝑘𝑧 = 7 ∙ 𝑘

→ 20 ∙ 𝑘 = 1280 → 𝑘 =1280

20= 64 → {

𝑥 = 8 ∙ 64 = 512𝑦 = 5 ∙ 64 = 320𝑧 = 7 ∙ 64 = 448

b) 5𝑥 = 2𝑦 = 10𝑦 = 𝑘 →

{

𝑥 =

𝑘

5=

6𝑘

30

𝑦 =𝑘

2=

15𝑘

30

𝑧 =𝑘

10=

3𝑘

30

→24𝑘

30= 1280 → 𝑘 =

1280∙30

24= 1600 →

{

𝑥 =

1600

5= 320

𝑦 =1600

2= 800

𝑧 =1600

10= 160

Uma outra solução:

a) 𝑘 =1280

8+5+7= 64 → {

𝑥 = 8 ∙ 64 = 512𝑦 = 5 ∙ 64 = 320𝑧 = 7 ∙ 64 = 448

b) 𝑘 =12801

5+1

2+1

10

=1280

0,2+0,5+0,1=

1280

0,8= 1600 → {

𝑥 = 0,2 ∙ 1600 = 320𝑦 = 0,5 ∙ 1600 = 800𝑧 = 0,1 ∙ 1600 = 160



Questão 2. Divida o número 60 em partes diretamente proporcionais aos números 3, 5 𝑒 7?

Gabarito: 12; 20 𝑒 28

Uma solução:

𝑥

3=𝑦

5=𝑧

7= 𝑘 → {

𝑥 = 3 ∙ 𝑘𝑦 = 5 ∙ 𝑘𝑧 = 7 ∙ 𝑘

→ 15 ∙ 𝑘 = 60 → 𝑘 =60

15= 4 → {

𝑥 = 3 ∙ 4 = 12𝑦 = 5 ∙ 4 = 20𝑧 = 7 ∙ 4 = 28

Questão 3. Divida o número 45 em partes inversamente proporcionais aos números 3, 4 𝑒 6?

Gabarito: 20; 15 𝑒 10

Uma solução:

3𝑥 = 4𝑦 = 6𝑦 = 𝑘 →

{

𝑥 =

𝑘

3=4𝑘

12

𝑦 =𝑘

4=3𝑘

12

𝑧 =𝑘

6=2𝑘

12

→9𝑘

12= 45 → 𝑘 =

45 ∙ 12

9= 60 →

{

𝑥 =

60

3= 20

𝑦 =60

4= 15

𝑧 =60

6= 10

Questão 4. Duas pessoas investiram R$ 45.000,00 e R$ 30.000,00 na compra de uma casa em sociedade. Após

determinado tempo eles resolveram vender a casa por R$ 90.000,00. Qual a parte que cada um irá receber pela

venda dessa casa?

Gabarito: 54 𝑒 36

Uma solução:

𝑘 =90

45 + 30= 1,2 → {

𝑥 = 45 ∙ 1,2 = 54𝑦 = 30 ∙ 1,2 = 36

Questão 5. Três pessoas formaram uma sociedade. A primeira entrou com R$ 20.000,00, a segunda, com R$

50.000,00 e a terceira, com R$ 30.000,00. No balanço final de ano houve um lucro de R$ 20.000,00. Qual foi a

quantia que cada sócio recebeu?

Gabarito: 𝑅$ 4.000,00; 𝑅$ 10.000,00 𝑒 𝑅$ 6.000,00

Uma solução:

𝑘 =20

20 + 50 + 30= 0,2 → {

𝑥 = 20 ∙ 0,2 = 4𝑦 = 50 ∙ 0,2 = 10𝑧 = 30 ∙ 0,2 = 6



Questão 6. Quatro amigos resolveram comprar um bolão da loteria. Cada um dos amigos deu a seguinte quantia:

Carlos: R$ 5,00, Roberto: R$ 4,00, Pedro: R$ 8,00 e João: R$ 3,00. Se ganharem o prêmio de R$ 500.000,00,

quanto receberá cada amigo, considerando que a divisão será proporcional à quantia que cada um investiu?

Gabarito: 𝑅$ 125.000; 𝑅$ 100.00; 200.000 𝑒 75.000

Uma solução:

𝑘 =500.000

5 + 4 + 8 + 3=500.000

20→ {

𝑥 = 5 ∙ 25.000 = 125.000𝑦 = 4 ∙ 25.000 = 100.00𝑧 = 8 ∙ 25.000 = 200.00

𝑡 = 3 ∙ 25.000 = 75.000

Questão 7. Pedro montou uma empresa no dia 01/01/12, tendo investido R$ 10.000,00. Em 01/07/2012, Tiago

entrou em sociedade com Pedro, investindo o mesmo valor. Se no fim de 2012 a empresa teve um lucro de R$

18.000,00, quanto coube a cada sócio?

Gabarito: 𝑅$ 12.000,00 𝑒 𝑅$ 6.000,00

Uma solução:

𝑘 =18

12 + 6= 1 → {

𝑥 = 12 ∙ 1 = 12𝑦 = 6 ∙ 1 = 6

Questão 8. Em uma sociedade o lucro foi de R$ 2.700,00. Calcular quanto os sócios Juca e Paulo devem receber,

sabendo que Juca investiu R$ 1.200,00 e trabalhou 3 meses, enquanto Paulo investiu R$ 900,00 e trabalhou 5

meses.

Gabarito: 𝑅$ 1.200,00 𝑒 𝑅$ 1.500,00

Uma solução:

𝑘 =27

12 ∙ 3 + 9 ∙ 5=

27

36 + 45=27

81=1

3→ {

𝑥 = 36 ∙1

3= 12

𝑦 = 45 ∙1

3= 15

Questão 9. Gabriela e Marina repartiram o lucro de uma negociação no valor de R$ 49.000,00, de forma

proporcional aos investimentos realizados. Sabendo que Gabriela investiu R$ 20.000,00 a mais que Marina e que

seu lucro foi de R$ 7.000,00 a mais que o de Marina, determine o valor do investimento de cada uma das sócias.

Gabarito: 𝐼𝑔 = 𝑅$ 80.000,00 𝑒 𝐼𝑚 = 𝑅$ 60.000,00

Uma solução:

{𝐿𝑔 − 𝐿𝑚 = 7

𝐿𝑔 + 𝐿𝑚 = 49→ 2 ∙ 𝐿𝑔 = 56 → 𝐿𝑔 = 28 → 𝐿𝑚 = 21

{

28

𝐼𝑔=

21

𝐼𝑚

𝐼𝑔 − 𝐼𝑚 = 20.000→

28

20+𝐼𝑚=

21

𝐼𝑚→ 4 ∙ 𝐼𝑚 = 60 + 3 ∙ 𝐼𝑚 → 𝐼𝑚 = 60 𝑒 𝐼𝑔 = 80



Conteúdo: Divisibilidade, MDC e MMC

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Apresente suas soluções de forma clara, indicando, em cada caso, o raciocínio que conduziu à resposta.

Questão 1. Considerar todas as divisões entre números naturais tais que o divisor é 13, e o resto é o triplo do

quociente. Determinar a soma dos possíveis quocientes dessas divisões.

Gabarito: 10

Questão 2. (EPCAR) Considere o número 𝑚 = 488𝑎9𝑏, em que 𝑏 é o algarismo das unidades, e 𝑎 é o algarismo

das centenas. Sabendo-se que 𝑚 é divisível por 45, o valor da soma 𝑎 + 𝑏 é:

Gabarito: 7

Questão 3. Determinar a quantidade de divisores positivos de 360.

Gabarito: 24

Questão 4. Calcular o máximo divisor comum dos números 90, 96 e 54.

Gabarito: 6

Questão 5. Calcular o mínimo múltiplo comum dos números 90, 96 e 54.

Gabarito: 4320

Questão 6. Determinar a soma dos algarismos do menor número natural que, quando dividido por 2, 3, 5 ou 9,

deixa resto 1.

Gabarito: 10

Questão 7. Determinar o menor número natural que deixa restos 3, 5 e 6 quando dividido por 5, 7 e 8

respectivamente.

Gabarito: 278

Questão 8. Em um terminal rodoviário, sabe-se que

• a cada 50 minutos parte um

ônibus da linha Amarela;


ônibus da linha Verde;


ônibus da linha Branca.

Considerando-se que, às 8 h, houve uma partida simultânea de um ônibus de cada uma das três linhas e que o

quadro de horários não sofrerá alterações, determine a hora exata em que a próxima partida simultânea ocorrerá.

Gabarito: 18 horas

Questão 9. Uma sala retangular de dimensões 36 m e 40 m deverá ter seu piso preenchido com placas idênticas, de

formato quadrado e de dimensões inteiras. Qual é o menor número de placas quadradas necessário para revestir

esse piso nas condições dadas, de maneira que não haja cortes ou sobras de material?

Gabarito: 90 placas



Questão 10. (UERJ – 2015) Na tabela a seguir, estão indicadas três possibilidades de arrumar 𝑛 cadernos em

pacotes:

Nº de pacotes Nº de cadernos por pacote Nº de cadernos que sobram

X 12 11

Y 20 19

Z 18 17

Se 𝑛 é menor do que 1200, a soma dos algarismos do maior valor de 𝑛 é:

(a) 12 (b) 17 (c) 21 (d) 26

Gabarito: (b)

Questão 11. (UFMG) No sítio de Paulo, a colheita de laranjas ficou entre 500 e 1.500 unidades. Se essas laranjas

fossem colocadas em sacos com 50 unidades cada um, sobrariam 12 laranjas e, se fossem colocadas em sacos com

36 unidades cada um, também sobrariam 12 laranjas. Assim, quantas laranjas sobrariam se elas fossem colocadas

em sacos com 35 unidades cada um?

(a) 4 (b) 6 (c) 7 (d) 2

Gabarito: (d)

Questão 12. (UFRN) Para se tratar de uma doença, Dona Cacilda toma, por dia, os remédios 𝐴 e 𝐵. Esses

medicamentos são vendidos em caixas de 30 e 28 comprimidos, respectivamente. O medicamento 𝐴 é ingerido de

oito em oito horas e o 𝐵, de doze em doze horas. Ela comprou uma quantidade de caixas de modo que os dois tipos

de comprimidos acabassem na mesma data e iniciou o tratamento às 7 horas de manhã do dia 15 de abril, tomando

um comprimido de cada caixa. A quantidade de caixas dos remédios 𝐴 e 𝐵 que Dona Cacilda comprou foi,

respectivamente,

(a) 5 e 5 (b) 5 e 7 (c) 7 e 5 (d) 7 e 7

Gabarito: (c)

Questão 13. (Unimontes – MG) Suponha que, da estação rodoviária de Montes Claros, saia um ônibus para o

bairro Santos Reis, a cada 45 minutos, e um ônibus para o bairro Independência, a cada 50 minutos. Suponha,

ainda, que a primeira saída conjunta do dia ocorra às 6 horas da manhã. A que horas, depois da primeira saída

conjunta, ocorrerá a próxima?

(a) 21h 15min (b) 13h 30min (c) 19h 20min (d) 16h 50min

Gabarito: (b)

Questão 14. (UNIFESP) Um número inteiro positivo 𝑚 dividido por 15 dá resto 7. A soma dos restos das divisões

de 𝑚 por 3 e por 5 é:

(a) 2 (b) 3 (c) 4 (d) 5 (e) 6

Gabarito: (b)

Questão 15. (FMC – RJ) Indique o número inteiro compreendido entre 387 e 429 que, ao ser dividido por 3, 5 e 7,

deixa sempre resto 2.

(a) 436 (b) 418 (c) 398 (d) 422

Gabarito: (d)

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