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fabiovinicius.mat.br 1 14 de janeiro de 2018

OBMEP na Escola 2017 – Polo CPII Campus Niterói – Professor Fábio Vinícius

Lista de Exercícios do Encontro de Apresentação do Nível 3

Conteúdo: Diversos

Aluno(s): ........................................................................................... No(s): .................... Turma: ............................

[X] Para “o lar” [X] Individual [X] Dupla [X] Trio [X] Quatro ou mais

[X] Consulta caderno [X] Consulta livro [X] Consulta internet [X] Consulta Celular [X] Calculadora de bolso

[X] Grafite [X] Azul/Preta [X] Corretivo [X] Rasura [X] Rascunho

Apresente suas soluções de forma clara, indicando, em cada caso, o raciocínio que conduziu à resposta.

Exercício 1. Na figura abaixo, três circunferências de mesmo raio se intersectam em seis pontos. Em cada um

destes pontos, existe um círculo menor, todos de mesmo raio. Coloque os números 1, 2, 3, 4, 5 e 6 nos círculos

pequenos, de modo que os números escritos em cada uma das circunferências maiores seja 14.

Exercício 2. João possui 30 barras de chocolate com os pesos: 2, 3 ou 4 quilos. A soma dos pesos das barras é 100

quilos. João possui mais barras de 2 Kg ou de 4 Kg?

Exercício 3. Um grupo de oito pessoas pediu uma pizza. O garçom conseguiu dividi-la em oito pedaços fazendo

apenas três cortes retos. Como ele conseguiu fazer isto?

Exercício 4. O professor Piraldo conhece muitos truques de multiplicação. Certo dia, Juquinha perguntou quanto

da 62·68 e rapidamente o professor respondeu 4216. Após alguns minutos de euforia da turma ele decidiu explicar

esse truque. O truque funciona ao multiplicar dois números de dois dígitos que possuem o mesmo digito nas

dezenas e a soma das unidades e 10. No exemplo, os dois tem 6 nas dezenas e 2 + 8 = 10. Ele explicou que o

resultado possui até 4 dígitos, o produto das unidades define os 2 últimos dígitos e os 2 primeiros, quando existirem

dois já que o resultado pode ter três dígitos no total, são o resultado do digito das dezenas multiplicado por seu

sucessor.

a) Usando o truque, calcule 45 · 45.

b) Usando o truque, calcule 71 · 79.

c) Agora vamos provar que o truque funciona. Considere dois números de dois dígitos ab = 10a +b e ac = 10a +c,

com b +c = 10. Mostre que o produto b · c determina os 2 dígitos finais e a(a +1) determina os 2 dígitos iniciais do

produto ab · ac.

Exercício 5. Encontre o valor de √1 + 2014 ∙ √1 + 2015 ∙ √1 + 2016 ∙ 2018.



Lista de Exercícios do Encontro 1 da 2ª semana do Ciclo 1 Nível 3 – Encontros de Aritmética

Conteúdo: Paridades, sistema decimal, divisão Euclidiana, múltiplos e divisores e critérios de divisibilidade

Aluno(s): ........................................................................................... No(s): .................... Turma: ............................





Exercício 1. Na divisão euclidiana de 802 por 𝑑 > 0 o quociente é 14 e o resto é r. Quais são os possíveis valores

para 𝑑 e 𝑟?

Exercício 2. O produto de um número de três algarismos por 7 termina (à direita) em 638. Qual é esse número?

Exercício 3. Determine todos os algarismos 𝑥 e 𝑦 tais que o número 2𝑥7𝑦 seja divisível por 4 e por 11.

Exercício 4. Os inteiros de 1 a 10 estão escritos no quadro. Dois números quaisquer 𝑎 e 𝑏 são apagados e

substituídos pelo número 𝑎 − 𝑏. Depois desse processo ser repetido diversas vezes, pode acontecer do único

número restante no quadro ser zero? (Dorichenko, problema 20.7)

Exercício 5. (Fomin, capítulo 1, problema 17) Pedro comprou um caderno com 96 folhas e numerou-as de 1 a 192.

Vitor arrancou 25 folhas do caderno de Pedro e somou os 50 números que encontrou escritos nas folhas. Esta soma

poderia ser igual a 1990? (Exercício 6, página 6, Apostila do PIC “Encontros de Aritmética”)

(Dica: Um problema muito parecido com este está resolvido no vídeo 20).

Exercício 6. (Banco de Questões 2006, nível 1, lista 1, problema 3) Considere dois números naturais, cada um

deles com três algarismos diferentes. O maior deles só tem algarismos pares e o menor só tem algarismos ímpares.

Se a diferença entre eles é a maior possível, qual é esta diferença? (Exercício 20, página 13, Apostila do PIC

“Encontros de Aritmética”)

Exercício 7. Na divisão de dois números inteiros, o quociente é 16 e o resto é o maior possível. Se a soma do

dividendo e do divisor é 125, determine o resto. (Exercício 5, página 31, Apostila do PIC “Encontros de

Aritmética”)

Exercício 8. (Fomin, capítulo 3, problema 10) Um inteiro é dito um quadrado perfeito quando é igual ao quadrado

de um inteiro.

a) Mostre que se um quadrodo perfeito é divisível por 3, então é divisível por 9.

b) Um número escrito com cem algarismos iguais a 0, cem iguais a 1 e cem iguais a 2, pode ser um quadrado

perfeito? (Dica para o item b: aplique os critérios de divisibilidade por 3 e por 9)



Lista de Exercícios do Encontro 2 da 4ª semana do Ciclo 1 Nível 3 – Encontros de Aritmética

Conteúdo: Máximo divisor comum (mdc), mínimo múltiplo comum (mmc), problemas de aplicação, algoritmo de

Euclides para o cálculo do mdc

Aluno(s): ........................................................................................... No(s): .................... Turma: ............................





Exercício 1. Em 1982 ocorreu uma conjunção entre os planetas Júpiter e Saturno, o que significa que podiam ser

vistos bem próximos um do outro quando avistados da Terra. Admitindo que Júpiter e Saturno dão uma volta

completa ao redor do Sol aproximadamente a cada 12 e 30 anos, respectivamente, determine qual foi o ano

imediatamente anterior a 1982 em que ocorreu uma conjunção entre os dois planetas.

Exercício 2. Quantos números entre 1 e 2012 são múltiplos de 6 ou de 15? (Exercício 22, página 84, Apostila do

PIC “Encontros de Aritmética”)

Exercício 3. Determine a quantidade mínima de placas quadradas que são necessárias para cobrir uma superfície

retangular de 12,8 𝑚 de comprimento por 9,6 𝑚 de largura. (Exercício 25, página 86, Apostila do PIC “Encontros

de Aritmética”)

Exercício 4. Determine o menor número inteiro positivo de três algarismos que é divisível, ao mesmo tempo, por 4,

8 e 12. (Exercício 26, página 87, Apostila do PIC “Encontgros de Aritmética”)

Exercício 5. Mariana produziu 108 barras de chocolate branco e 162 barras de chocolate ao leite.

a) Ela juntou toda a sua produção e colocou 18 barras em cada pacote. Quantos pacotes foram formados?

b) Se forem colocadas quantidades iguais em cada pacote, sem misturar os tipos de chocolate, quantas barras, no

máximo, poderá haver em cada pacote? Quantos pacotes de chocolate ao leito foram formados?

Exercício 6. Vamos supor que precisamos remeter duas encomendas de sabonetes idênticos para dois compradores

diferentes. Um pediu 420 sabonetes e o outro pediu 480 sabonetes. Queremos acondicionar os sabonetes em

embalagens idênticas que sirvam para atender aos dois pedidos. Quantos sabonetes devem cabar em cada uma das

embalagens para que possamos atender as duas demandas utilizando a menor quantidade possível de embalagens?

(Exercício 2, página 65, Apostila do PIC “Encontros de Aritmética”)

Exercício 7. Duas engrenagens A e B têm 16 e 28 dentes, respectivamente. Elas estão encaixadas de modo que um

motor ligado à engrenagem A a faz girar no sentido horário e esta faz a engrenagem B girar no sentido anti-horário.

Se a engrenagem A realiza uma revolução por minuto, após quanto tempo de o motor ter sido ligado as duas

engrenagens retornarão à posição inicial pela primeira vez? (Exercício 6, página 71, Apostila do PIC “Encontros de

Aritmética”)

Exercício 8. Use o Algoritmo de Euclides para calcular 𝑚𝑑𝑐(2282, 7063). (Exercício 8, página 100, Apostila do

PIC “Encontros de Aritmética”)



Lista das Tarefas de Casa do Encontro 1 da 2ª semana do Ciclo 1 Nível 3 – Encontros de Aritmética

Conteúdo: Sistema decimal, divisão Euclidiana, múltiplos e divisores e critérios de divisibilidade

Aluno(s): ........................................................................................... No(s): .................... Turma: ............................





Tarefa de casa 1. (Prova OBMEP 2005 – 2ª Fase – N3 – Questão 2)

A sequência 0, 3, 7, 10, 14, 17, 21, é formada a partir do número 0 somando-se alternadamente 3 ou 4 ao termo

anterior, isto é: o primeiro termo é 0, o segundo é 3 mais o primeiro, o terceiro é 4 mais o segundo, o quarto é 3

mais o terceiro, o quinto é 4 mais o quarto e assim sucessivamente.

a) Escreva os 20 primeiros termos desta sequência.

b) Qual é o 1000º termo desta sequência?

c) Algum termo desta sequência é igual a 2000? Por quê?


A figura representa o traçado de uma pista de corrida. Os pontos A, B, C e D são usados para partidas e chegadas

de todas as corridas. As distâncias entre pontos vizinhos, em quilômetros, estão indicadas na figura e as corridas

são realizadas no sentido indicado pela flecha. Por exemplos, uma corrida de 17 km pode ser realizada com partida

em D e chegada em A.

a) Quais são os pontos de partida e chegada de um corrida de 14 quilômetros?

b) E para uma corrida de 100 quilômetros, quais são esses pontos?

c) Mostre que é possível realizar corridas com extensão igual a qualquer número inteiros de quilômetros?


Tarefa de casa 3. (Prova OBMEP 2013 – 2ª Fase – Questão 6)

Dois grilos, Adonis e Basílio, pulam sempre para a frente; Adonis só dá pulos de 1 cm ou 8 cm e Basílio só dá

pulos de 1 cm ou 7 cm. Eles percorrem qualquer distância com o menor número de pulos possível. Por exemplo,

Adonis percorre 16 cm com apenas dois pulos de 8 cm cada, enquanto Basílio precisa de quatro pulos, sendo dois

de 7 cm e outros dois de 1 cm. Por outro lado, para percorrer 15 cm, Adonis precisa de oito pulos, sendo um de 8

cm e sete de 1 cm, enquanto Basílio precisa de apenas tres pulos, sendo dois de 7 cm e um de 1 cm. Indicando por

𝐴(𝑑) e 𝐵(𝑑), respectivamente, o número de pulos que Adonis e Basílio dão para percorrer 𝑑 d centímetros, temos

𝐴(15) = 8, 𝐵(15) = 3, 𝐴(16) = 2 e 𝐵(16) = 4.

a) Complete a tabela abaixo:

𝑑: distância em cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

𝐴(𝑑): número de pulos de Adonis 1 2 8 2

𝐵(𝑑): número de pulos de Basílio 1 2 3 4

b) Encontre um número 𝑑 entre 200 e 240 tal que 𝐵(𝑑) < 𝐴(𝑑) (isto é, encontre uma distância entre 200 cm e

240 cm tal que, para percorrê-la, Basílio dá menos pulos do que Adonis).

c) Encontre o maior número 𝑑 tal que 𝐵(𝑑) = 𝐴(𝑑).



Lista das Tarefas de Sala de Aula do Encontro 2 da 4ª semana do Ciclo 1 Nível 3 – Encontros de Aritmética

Conteúdo: Paridades, sistema decimal, divisão Euclidiana, múltiplos e divisores e critérios de divisibilidade,

Máximo divisor comum (mdc), mínimo múltiplo comum (mmc), problemas de aplicação, algoritmo de Euclides

para o cálculo do mdc

Aluno(s): ........................................................................................... No(s): .................... Turma: ............................

Valor obtido: ..................





Tarefa de Sala 1.

Seja 𝑎 um número inteiro tal que 𝑎 + 1 deixa resto 1 na divisão por 3. Explique por que 7𝑎 + 4 também deixa

resto 1 na divisão por 3.

Tarefa de Sala 2.

Tenho 84 𝑏𝑎𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑐𝑜 e 144 𝑏𝑎𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑐ℎ𝑜𝑐𝑜𝑙𝑎𝑡𝑒. Quero formar saquinhos de balas sem misturas sabores e sem

que sobrem balas. Todos os saquinhos devem ter a mesma quantidade de balas, que deve ser a maior possível.

Quantas balas devo colocar em cada saquinho e quantos saquinhos de cada tipo de bala devo formar?



Lista de Exercícios do Encontro 1 da 2ª semana do Ciclo 2 Nível 3 – Métodos de Contagem e Probabilidade

Conteúdo: Contagem – Princípios aditivo e multiplicativo

Aluno(s): ........................................................................................... No(s): .................... Turma: ............................





Exercício 1. De quantos modos 4 homens e 4 mulheres podem se sentar em 4 bancos de 2 lugares, sendo que em

cada banco deve haver um homem e uma mulher?

Exercício 2. O código Morse usa duas letras, ponto e traço. Quantas são as palavras do código Morse de no máximo

4 letras?

Exercício 3. Você deseja comprar um computador, mas está em dúvida sobre qual marca, modelo e cor irá escolher.

Há apenas duas marcas, que chamaremos de Marca A e Marca B, pelas quais você se interessa. A Marca A tem à

disposição três modelos e cada um desses pode ser comprado em quatro possíveis cores. Já a Marca B oferece dois

modelos, tais que, para cada um, há duas possíveis escolhas de cor. Quantas opções diferentes de compra você tem?

Exercício 4. Quantos algarismos são escritos ao se escreverem os números inteiros de 1 a 100.

Exercício 5. De quantos modos diferentes 6 pessoas podem ser colocadas em fila?

Exercício 6. Quantos anagramas da palavra CEBOLA começam e terminam por vogal?

Exercício 7. Quantos são os números de três algarismos distintos?

Exercício 8. Quantos números inteiros positivos pares com quatro algarismos podem ser escritos com os algarismos

0, 1, 2 e 4?



Lista de Exercícios do Encontro 2 da 4ª semana do Ciclo 2 Nível 3 – Métodos de Contagem e Probabilidade

Conteúdo: Contagem – Probabilidades de eventos de espaços amostrais equiprováveis

Aluno(s): ........................................................................................... No(s): .................... Turma: ............................





Exercício 1. Qual a probabilidade de se obter um resultado maior que 3, ao se lançar um dado honesto?

Exercício 2. Qual a probabilidade de se obter uma soma igual a 7, ao se lançar três dados honestos?

Exercício 3. Qual a probabilidade de se obter uma soma maior que 3, ao se lançar dois dados honestos?

Exercício 4. Pedro e João combinaram de lançar uma moeda 4 vezes. Pedro apostou que, nestes 4 lançamentos, não

apareceriam 2 caras seguidas; João aceitou a aposta. Quem tem maior chance de ganhar a aposta?

Exercício 5. Laura e Telma retiram um bilhete cada de uma urna em que há 100 bilhetes numerados de 1 a 100 (sem

reposição). Qual é a probabilidade de que o número retirado por Laura seja maior do que o de Telma?

Exercício 6. Em uma urna há 5 bolas vermelhas e 4 pretas, todas de mesmo tamanho e feitas do mesmo material.

Retiramos duas bolas sucessivamente da urna, sem repô-las. Qual é a probabilidade de que sejam retiradas duas bolas

vermelhas?

Exercício 7. Um casal planeja ter exatamente três crianças. Qual a probabilidade de que duas crianças sejam meninos

e a outra, menina, sabendo que a probabilidade de nascer filho ou filha é equiprovável?

Exercício 8. Em uma caixa há 4 bolas verdes, 4 azuis, 4 vermelhas e 4 brancas. Se tirarmos, sem reposição, bolas

desta caixa, uma a uma, qual a probabilidade de tirarmos, nesta ordem, bolas nas cores verde, azul, vermelha e

branca?



Lista das Tarefas de Casa do Encontro 1 da 2ª semana do Ciclo 2 Nível 3 – Métodos de Contagem e Probabilidade

Conteúdo: Contagem – Princípios aditivo e multiplicativo, Probabilidades de eventos de espaços amostrais

equiprováveis

Aluno(s): ........................................................................................... No(s): .................... Turma: ............................






Juca quer pintar os algarismos do número 2013, como na figura abaixo, de modo que cada região seja pintada com

uma das cores branca, cinza ou preta e que regiões vizinhas tenham cores diferentes.

a) Observe que Juca pode pintar o algarismo 2 de 3 × 2 × 2 maneiras

diferentes. De quantas maneiras diferentes ele pode pintar o algarismo

1?

b) De quantas maneiras diferentes Juca pode pintar o algarismo 3?

c) De quantas maneiras diferentes Juca pode pintar o algarismo 0?

d) Escreva uma expressão numérica que permita calcular de quantas

maneiras Juca pode pintar o número 2013.


Em uma caixa há 10 bolas idênticas, numeradas de 1 a 10. O número de cada bola corresponde a um dos pontos da

figura, os quais dividem a circunferência em 10 partes iguais. Nos itens a seguir, considere que as bolas são retiradas

ao acaso, uma a uma e sem reposição.

a) Se forem retiradas duas bolas, qual é a probabilidade de que o segmento

determinado pelos pontos correspondentes seja um diâmetro da

circunferência?

b) Se forem retiradas três bolas, qual é a probabilidade de que os pontos

correspondentes sejam vértices de um triângulo retângulo? Um ângulo

inscrito em uma circunferência é reto se, e somente se, o arco

correspondente é uma semicircunferência.

c) Se forem retiradas quatro bolas, qual é a probabilidade de que os pontos

correspondentes sejam vértices de um retângulo?


Em uma caixa há 9 bolas amarelas numeradas de 1 a 9 e, em uma segunda caixa, há 9 bolas brancas, também

numeradas de 1 a 9. Todas as bolas são idênticas, exceto por sua cor e seu número. Uma bola amarela é sorteada e

colocada na segunda caixa; a seguir, uma bola é sorteada da segunda caixa.

a) Qual é a probabilidade de que a bola sorteada da segunda caixa seja amarela?

b) Qual é a probabilidade de que as duas bolas sorteadas tenham o mesmo número?

c) Qual é a probabilidade de que a bola sorteada da segunda caixa tenha o número 1?



Lista das Tarefas de Sala de Aula do Encontro 2 da 4ª semana do Ciclo 2 Nível 3 – Métodos de Contagem e

Probabilidade

Conteúdo: Contagem – Princípios aditivo e multiplicativo, Probabilidades de eventos de espaços amostrais

equiprováveis

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Valor obtido: ..................





Tarefa de Sala 1. (Banco de Questões 2014 - Nível 3 - Questão 17)

Papai Noel chegou à casa de Arnaldo e Bernaldo carregando dez brinquedos distintos e enumerados de 1 a 10 e disse

a eles: “o brinquedo número 1 é para você, Arnaldo, e o brinquedo número 2 é para você, Bernaldo. Mas esse ano,

vocês podem escolher ficar com mais brinquedos contanto que deixem ao menos um para mim”. Diga de quantos

modos Arnaldo e Bernaldo podem dividir entre eles o restante dos brinquedos (deixando pelo menos um para Papai

Noel).

Tarefa de Sala 2. (Banco de Questões 2012 - Nível 3 - Questão 16)

André, Bianca, Carlos e Dalva querem sortear um livro entre si. Para isto, colocam 3 bolas brancas e 1 preta em uma

caixa e combinam que, em ordem alfabética de seus nomes, cada um tirará uma bola, sem devolvê-la à caixa. Aquele

que tirar a bola preta ganhará o livro.

a) Qual é a probabilidade de que André ganhe o livro?

b) Qual é a probabilidade de que Dalva ganhe o livro?

Para sortear outro livro entre eles, André sugeriu usar 2 bolas pretas e 6 brancas. Como antes, o primeiro que tirar

uma bola preta ganhará o livro; se as primeiras quatro bolas saírem brancas, eles continuarão a retirar bolas, na mesma

ordem. Nesse novo sorteio:

c) Qual é a probabilidade de que Dalva ganhe o livro?



Lista de Exercícios do Encontro 1 da 2ª semana do Ciclo 3 Nível 3 – Geometria

Conteúdo: Ângulo, triângulo, quadrilátero (paralelogramos e trapézios), congruência de triângulos, perímetro e área

de triângulos, paralelogramos e trapézios.

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Exercício 1. (OBMEP 2009 – N1Q10 – 1ª Fase) Na figura, o

quadrado ABCD tem área 40 cm2. Os pontos P, Q, R e S são

pontos médios dos lados do quadrado e T é o ponto médio do

segmento RS. Qual é a área do triângulo PQT?

Exercício 2. (Banco de Questões 2011 – N1Q11 – Página 15) O

Tio Mané é torcedor doente do Coco da Selva Futebol Clube e

resolveu fazer uma bandeira para apoiar seu time no jogo contra o

Desportivo Quixajuba. Para isto, comprou um tecido branco

retangular com 100 cm de largura e 60 cm de altura. Dividiu dois

de seus lados em cinco partes iguais e os outros dois em três partes

iguais, marcou o centro do retângulo e pintou o tecido da forma

indicada na figura. Qual é a área do tecido que Tio Mané pintou?

Exercício 3. (Banco de Questões 2011 – N1Q12 – Página 15) As

flores de Geometrix têm formatos muito interessantes. Algumas

delas possuem a forma mostrada na figura, na qual há seis

quadrados e doze triângulos equiláteros. Uma abelha pousou no

ponto destacado e andou sobre a borda da flor no sentido horário

até voltar ao ponto inicial. Sabendo que a região cinza tem 24 cm2

de área, qual é a distância percorrida pela abelha?


Exercício 4. (OBMEP 2009 – N2Q18 – 1ª Fase) Na figura, ABCD

é um paralelogramo e o segmento EF é paralelo a AB. Qual é a

soma das áreas dos triângulos sombreados?

Exercício 5. Na figura plana a seguir, sobre o quadrado cinza

ABCD com 25 cm2 de área foi desenhado um losango branco

PQCD com 20 cm2 de área. Determine a área cinza do quadrado

que não ficou encoberta pelo losango.

Exercício 6. (Banco de Questões 2013 – N3Q23) Nos lados 𝐴𝐵 e

𝐵𝐶 de um triângulo equilátero 𝐴𝐵𝐶, fixam-se dois pontos 𝐷 e 𝐸,

respectivamente, de modo que 𝐴𝐷 = 𝐵𝐸. Se os segmentos 𝐴𝐸

e 𝐶𝐷 se cortam no ponto 𝑃, determine o ângulo 𝐴𝑃�̂�.

Exercício 7. (OBMEP 2006 – N3Q3 – 2ª fase) Na figura, os

triângulos 𝐴𝐵𝐶 e 𝐵𝐷𝐸 são congruentes e os ângulos 𝐵𝐴𝐶 e 𝐵𝐷𝐸

são retos.

a) Ache a razão entre a área do triângulo 𝐵𝐷𝐹 e a área do

quadrilátero 𝐴𝐸𝐹𝐶.

b) Determine a medida do ângulo 𝐵𝐹𝐸.

Exercício 8. (Banco de Questões 2008 – N2Q5 – Lista 6) Na figura,

o trapézio 𝐴𝐵𝐶𝐷 é isósceles, 𝐴𝐵 é paralelo a 𝐶𝐷 e as diagonais 𝐴𝐶

e 𝐵𝐷 cortam-se no ponto 𝑃. Se as áreas dos triângulos 𝛥𝐴𝐵𝑃 e

𝛥𝑃𝐶𝐷 são 4 𝑐𝑚2 e 9 𝑐𝑚2, respectivamente, qual é a área do

triângulo 𝛥𝑃𝐵𝐶?




Conteúdo: Círculo: definição, ângulo central e ângulo inscrito, perímetro e área de círculos.

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Exercício 1. Na figura a seguir a reta AB é tangente a

circunferência de centro O no ponto P. Se Q é um ponto da

circunferência tal que 𝑄�̂�𝐵 = 52°, determine a medida do ângulo

𝑥 = 𝑃�̂�𝑄.

Exercício 2. Na figura a seguir, AB é um segmento tangente às

circunferências de raio 2 cm e 5 cm. Se o comprimento do

segmento AB é igual a 10 cm, determine a distância entre os

centros das circunferências.

Exercício 3. (Banco de Questões 2016 – N2Q4) Duas tangentes

são desenhadas de um ponto 𝐴 a um círculo de centro 𝑂, tocando-

o em 𝐵 e 𝐶. Seja 𝐻 o ortocentro do triângulo 𝐴𝐵𝐶, sabendo que o

ângulo 𝐵𝐴�̂� = 40°, encontre o valor do ângulo 𝐻𝐶�̂�.

Exercício 4. (Banco de Questões 2010 – N2Q215) A figura a

seguir é formada por quatro círculos tangentes de raio 𝑎.

Determine o comprimento do contorno externo, que está com o

traçado destacado.


Exercício 5. (Banco de Questões 2010 – N3Q72) Na figura, os

três círculos são concêntricos, e a área do menor círculo coincide

com a área do maior anel, destacado em cinza. O raio do menor

círculo é 5 𝑐𝑚 e do maior 13 𝑐𝑚. Qual é o raio (em cm) do círculo

intermediário?

Exercício 6. (OBMEP 2008 – N2Q2 – Lista 2) Na figura, 𝑂 é o

centro do semicírculo de diâmetro 𝑃𝑄, e 𝑅𝑀 é perpendicular a

𝑃𝑄. Se o arco 𝑃�̂� é o dobro do arco 𝑅�̂� qual é a razão entre PM e

MQ?

Exercício 7. (OBMEP – N3Q8 – 1ª Fase) A figura mostra um

círculo de área 36 𝑐𝑚2 sobre o qual estão desenhados quatro

triângulos equiláteros com um vértice comum no centro do

círculo. Qual é a área da região sombreada?

Exercício 8. (OBMEP 2006 – N3Q12 – 1ª Fase) Na figura os

quatro círculos são tangentes e seus centros são vértices de um

quadrado de lado 4 𝑐𝑚. Qual é o comprimento, em centímetros, da

linha destacada?



Lista das Tarefas de Casa do Encontro 1 da 2ª semana do Ciclo 3 Nível 3 – Geometria


de triângulos, paralelogramos e trapézios. Círculo: definição, ângulo central e ângulo inscrito, perímetro e área de

círculos.

Aluno(s): ........................................................................................... No(s): .................... Turma: ............................





Tarefa de Casa 1. (Prova OBMEP 2008 – N3Q4 – 2ª Fase) Quando um raio de luz incide sobre um espelho plano,

ele é refletido de modo a fazer ângulos iguais com o espelho, conforme ilustrado na figura 1. A figura 2 mostra dois

espelhos que se encontram formando um ângulo 𝛼. Um raio de luz, paralelo ao espelho I, atinge o espelho II no ponto

𝐴 e é refletido três vezes, até incidir perpendicularmente ao espelho I no ponto 𝐷.

a) Qual é a medida do ângulo 𝛼 ?

b) Seja 𝐴𝐵 perpendicular ao espelho I, como na figura 2. Se 𝐴𝐵 = 10 cm, qual é o comprimento de 𝐶𝐷?

Tarefa de Casa 2. (Prova OBMEP 2015 – N3Q5 – 2ª Fase) Nas figuras, 𝐴𝐵𝐶 é um triângulo isósceles, retângulo

em 𝐴. A altura do triângulo em relação à base 𝐵𝐶 mede 1 e a circunferência de centro 𝑂 tem raio 1. A

circunferência gira, sem deslizar, pela base do triângulo. Ao girar, o ponto de tangência 𝑇 (da circunferência com a

base 𝐵𝐶) move-se ao longo do lado 𝐵𝐶. A Figura 1 ilustra a situação em que 𝑇 é o ponto médio de 𝐵𝐶. A Figura 2

ilustra uma posição genérica do ponto 𝑇. Em ambas as figuras, 𝑃 e 𝑄 são os pontos de interseção dos lados 𝐴𝐵 e

𝐴𝐶, respectivamente, com a circunferência.


a) Na situação da Figura 1, quantos graus mede o arco determinado pelos pontos 𝑃 e 𝑄 que contém o ponto 𝑇?

b) Na situação da Figura 2, seja 𝐷 o ponto em que o prolongamento do cateto 𝐵𝐴 intersecta a circunferência.

Mostre que 𝐴𝐷 = 𝐴𝑄.

c) Explique por que, para qualquer posição de 𝑇, o comprimento do arco determinado pelos pontos 𝑃 e 𝑄 que

contém o ponto 𝑇 é sempre o mesmo.

Tarefa de Casa 3. (Prova OBMEP 2011 – N3Q6 – 2ª Fase) Em todas as figuras desta questão, vemos um

triângulo 𝐴𝐵𝐶 dividido em quatro partes; nesses triângulos, 𝐷 é ponto médio de 𝐴𝐵, 𝐸 é ponto médio de 𝐴𝐶 e 𝐹𝐺

mede 1

2𝐵𝐶.

a) Os quadriláteros 𝐷𝐽𝑀𝐴 e 𝐸𝐿𝑁𝐴 são obtidos girando de 180° os

quadriláteros 𝐷𝐻𝐹𝐵 e 𝐸𝐼𝐺𝐶 em torno de 𝐷 e 𝐸, respectivamente.

Explique por que os pontos 𝑀, 𝐴 e 𝑁 estão alinhados, ou seja, por

que a medida do ângulo 𝑀𝐴�̂� é igual a 180°.

b) Na figura, o ponto 𝐾 é a interseção das retas 𝐽𝑀 e 𝐿𝑁. Explique

por que os triângulos 𝐹𝐺𝐼 e 𝑀𝑁𝐾 são congruentes.

Os itens acima mostram que 𝐻𝐽𝐾𝐿 é um retângulo formado com as quatro partes em que o triângulo 𝐴𝐵𝐶 foi

dividido.

c) Mostre que 𝐿𝐻 = 𝐸𝐹.

d) Na figura o triângulo 𝐴𝐵𝐶 tem área 9 e 𝐻𝐽𝐾𝐿 é um quadrado.

Calcule o comprimento de 𝐸𝐹.



Lista das Tarefas de Sala de Aula do Encontro 2 da 4ª semana do Ciclo 3 Nível 3 – Geometria


de triângulos, paralelogramos e trapézios. Círculo: definição, ângulo central e ângulo inscrito, perímetro e área de

círculos.

Aluno(s): ........................................................................................... No(s): .................... Turma: ............................

Valor obtido: ..................





Tarefa de Sala 1. Na figura, o triângulo 𝐴𝐵𝐶 e o retângulo 𝑃𝑄𝑅𝑆 têm a mesma área e a mesma altura 1.

Qual é a razão entre 𝐴𝐵 e 𝑃𝑄 ?

Tarefa de Sala 2. As medidas em graus dos ângulos 𝐵𝐴�̂� , 𝐷𝐴�̂� , 𝐴𝐵�̂� e 𝐷𝐵�̂� estão indicadas na figura. O ponto

𝐸 é a interseção de 𝐵𝐶 com o prolongamento de 𝐴𝐷, e o ponto 𝐹 é a interseção de 𝐴𝐵 com a perpendicular a 𝐵𝐷

por 𝐸.

a) Qual é a medida do ângulo 𝐵𝐷�̂� ?

b) Mostre que os triângulos 𝐴𝐶𝐸 e 𝐴𝐹𝐸 são congruentes.



Lista de Exercícios do Encontro 1 da 2ª semana do Ciclo 4 Nível 3 – Aritmética

Conteúdo: Números primos e fatoração em primos; Cálculo do mdc e mmc usando a fatoração em primos.

Aluno(s): ........................................................................................... No(s): .................... Turma: ............................





Exercício 1. Uma empresa de logística é composta de três áreas: administrativa, operacional e vendedores. A área

administrativa é composta de 30 funcionários, a operacional de 48 e a de vendedores com 36 pessoas. Ao final do

ano, a empresa realiza uma integração entre as três áreas, de modo que todos os funcionários participem ativamente.

As equipes devem conter o mesmo número de funcionários de uma mesma área com o maior número possível.

Determine quantos funcionários devem participar de cada equipe e o número possível de equipes.

Exercício 2. Apresente dois números naturais que multiplicados por 168 e 180, respectivamente, resultam o mesmo

número natural. Agora determine os menores números naturais com esta propriedade.

Exercício 3. Determine o menor número inteiros n > 1 tal que n deixa resto 1 quando dividido por 156 e n também

deixa resto 1 quando dividido por 198.

Exercício 4. Mostre que os únicos números primos que dividem o número 𝑁 = 2103 + 2102 + 2101 − 2100 são

2 e 13.

Exercício 5. Um médico, ao prescrever uma receita, determina que três medicamentos sejam ingeridos pelo paciente

de acordo com a seguinte escala de horários: remédio A, de 6 em 6 horas, remédio B, de 8 em 8 horas e remédio C,

de 12 em 12 horas. Caso o paciente utilize os três remédios às 8 horas da manhã, qual será o próximo horário de

ingestão simultânea dos mesmos?

Exercício 6. Quantos divisores positivos possui o número 1500.

Exercício 7. Quantos zeros existem no final da representação decimal do número 100!.

Exercício 8. Considere 𝑝 = 𝑁2 − 1, sendo 𝑁 um inteiro. Sabendo que 𝑝 é um número primo, determine o valor de

𝑝. (Sugestão: use que 𝑁2 − 1 = (𝑁 − 1)(𝑁 + 1)).



Lista de Exercícios do Encontro 2 da 4ª semana do Ciclo 4 Nível 3 – Aritmética

Conteúdo: Progressões Aritméticas e Geométricas.

Aluno(s): ........................................................................................... No(s): .................... Turma: ............................





Exercício 1. Um jardim tem uma torneira e dez roseiras dispostas em linha reta. A torneira dista 50 metros da

primeira roseira e cada roseira dista 2 metros da seguinte. Um jardineiro, para regar as roseiras, enche um balde na

torneira e despeja seu conteúdo na primeira. Volta à torneira e repete a operação para cada roseira seguinte. Após

regar a última roseira e voltar à torneira para deixar o balde, quantos metros ele terá andado?

Exercício 2. Várias tábuas iguais estão em uma madeireira. A espessura de cada tábua é 0,5 cm. Forma-se uma pilha

de tábuas colocando-se uma tábua na primeira vez e, em cada uma das vezes seguintes, tantas quantas já estejam na

pilha. Ao final de nove dessas operações,

a) quantas tábuas terá a pilha? b) qual será a altura da pilha?

Exercício 3. Uma exposição de arte deseja arrecadar fundos para uma creche. No primeiro dia de exposição, 2

pessoas visitaram a exposição. A partir do segundo dia, a cada dia o número de pessoas que visitam a exposição é

igual ao dobro do número de pessoas que a visitaram no dia anterior. Se de cada pessoa é cobrado um ingresso de

3,00 reais, qual é o menor número de dias que a exposição deve permanecer aberta a fim de que o total arrecadado

atinja pelo menos o valor de 6138,00 reais?

Exercício 4. Larga-se uma bola de uma altura de 5 metros. Após cada choque com o solo, ela recupera apenas 4

9 da

altura anterior.

a) Calcule a distância total percorrida pela bola.

b) Sabendo que o tempo que uma bola gasta, partindo do repouso, para cair de uma altura ℎ é igual a √2ℎ 𝑔⁄ e quando

uma bola é lançada do solo verticalmente para cima, o tempo gasto na subida é igual ao tempo da descida, calcule o

tempo gasto pela bola até parar, supondo 𝑔 = 10 m/s2.

(Observação: o item (b) é opcional, ou seja, o professor pode escolher abordar ou não esse item)

Exercício 5. Um carro, cujo preço final é 24000,00 reais, pode ser adquirido dando-se uma entrada e o restante em

5 parcelas que se encontram em progressão geométrica. Um cliente que optou por esse plano, ao pagar a entrada, foi

informado que a segunda parcela seria de 4000,00 reais e a quarta parcela de 1000,00 reais. Quanto esse cliente

pagou de entrada na aquisição desse carro?

Exercício 6. Quatro números são tais que os três primeiros formam uma progressão aritmética de razão 6, os três

últimos uma progressão geométrica e o primeiro número é igual ao quarto. Determine os quatro números.

Exercício 7. Um garrafão contém 𝑝 litros de vinho. Retira-se 1 litro de vinho do garrafão e acrescenta-se 1 litro de

água, obtendo-se uma mistura homogênea; retira-se, a seguir, 1 litro da mistura e acrescenta-se 1 litro de água, e

assim por diante. Qual a quantidade de vinho que restará no garrafão após 𝑛 dessas operações?

Exercício 8. Calcule a soma dos divisores positivos de 12600.



Lista das Tarefas de Casa do Encontro 1 da 2ª semana do Ciclo 4 Nível 3 – Aritmética


Progressões Aritméticas e Geométricas.

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Tarefa de casa 1 (Prova OBMEP 2005 – 2a Fase – N3 – Questão 6) Capitu cortou uma folha de papel retangular

em 9 quadrados de lados 1, 4, 7, 8, 9, 10, 14, 15 𝑒 18 centímetros cada um.

a) Qual era a área da folha antes de ser cortada?

b) Quais eram as medidas da folha antes de ser cortada?

c) Capitu precisa montar a folha de novo. Ajude-a mostrando, com um desenho, como fazer esta montagem.

Tarefa de casa 2 (Prova OBMEP 2010 – 2a Fase – N3 – Questão 1) Uma calculadora diferente tem apenas as teclas

numéricas de 0 a 9 e duas teclas especiais A e B. Quando a tecla A é apertada, o número que aparece no visor é

elevado ao quadrado; quando a tecla B é apertada, soma-se 3 ao número que aparece no visor. Nessa calculadora é

possível obter 22 a partir do 1 apertando as teclas A e B na ordem BABB como ilustrado abaixo:

a) Com o 3 no visor, qual é o número que vai aparecer apertando as teclas A e B na ordem BBAB?

b) Mostre como obter 55 a partir do 1 usando as teclas A e B.

c) Explique por que não é possível obter 54 a partir do 2 usando as teclas A e B.

Tarefa de casa 3 (Prova OBMEP 2016 – 2a Fase – N3 – Questão 6) Uma figura é construída por fileiras

horizontais de quadradinhos 1 × 1, dispostos lado a lado, sem sobreposição e sem espaçamento. Cada fileira, com

exceção da primeira, está encostada inteiramente na fileira de baixo. A primeira fileira possui um número ímpar de

quadradinhos e cada uma das demais possui dois quadradinhos a menos do que a fileira imediatamente abaixo. A

última fileira sempre contém um único quadradinho. Abaixo, vemos uma figura na qual a primeira fileira contém

11 quadradinhos.

a) Encontre a área e o perímetro de uma figura com 13

quadradinhos na primeira fileira.

b) Mostre que, independentemente do número de

quadradinhos da primeira fileira, o número total de

quadradinhos de uma figura é o quadrado de um número

natural.

c) Mostre que, independentemente do número de

quadradinhos da primeira fileira, a área 𝐴 e o perímetro

𝑝 da fi gura satisfazem a igualdade (𝑝 + 2)2 = 36𝐴.



Lista das Tarefas de Sala de Aula do Encontro 2 da 4ª semana do Ciclo 4 Nível 3 – Aritmética


Progressões Aritméticas e Geométricas.

Aluno(s): ........................................................................................... No(s): .................... Turma: ............................

Valor obtido: ..................





Tarefa de Sala 1. Determine o menor inteiro positivo 𝑛 para que 2940𝑛 = 𝑚3, para algum inteiro 𝑚.

Tarefa de Sala 2. Sendo (40, 𝑥, 𝑦, 5) uma progressão geométrica de razão 𝑞 e (𝑞, 8 − 𝑎,7

2) uma progressão

aritmética, determine o valor de 𝑎.




Conteúdo: Teorema de Tales, Semelhança de triângulos, Teorema de Pitágoras.

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Exercício 1. Determine o valor de 𝑥 na figura abaixo, sabendo que

a reta 𝑟 é paralela à reta 𝑠 e que a reta 𝑠 é paralela à reta 𝑡.

Exercício 2. Na figura abaixo, determine as medidas de 𝑥 e 𝑦,

sabendo que 𝐴𝑅 é bissetriz do triângulo 𝐴𝐵𝐶 e que 𝐵𝐶 = 15.

Exercício 3. Três terrenos têm frente para a rua A e para a rua B,

como na figura abaixo. As divisas laterais são perpendiculares à rua

A. Qual a medida de frente de cada lote para a rua B, sabendo que

a frente total para essa rua tem 180 m?


Exercício 4. Determine se os triângulos 𝐾𝐿𝑀 e 𝑀𝑃𝑄, definidos na

figurar que segue, são semelhantes.

Exercício 5. Na figura abaixo, 𝐵𝐶 = 12 cm e 𝐴𝐻 = 8 cm, sendo

𝐴𝐻 altura do triângulo 𝐴𝐵𝐶. Determine o lado do quadrado 𝑀𝑁𝑃𝑄.

Exercício 6. Sabendo que 𝐴𝐵 = 15, 𝐵𝐶 = 20, 𝐴𝐷 = 10 e 𝐷𝐶 =

15, determine a medida de 𝐷𝐸 na figura abaixo.

Exercício 7. O triângulo 𝐴𝐵𝐶 é retângulo em 𝐴. Sua hipotenusa

mede 15 cm e um dos catetos é 3 cm maior do que o outro. Uma

das bissetrizes internas de 𝐴𝐵𝐶 intersecta o maior cateto (𝐴𝐶) no

ponto 𝐷. Determine a medida do segmento 𝐵𝐷.

Exercício 8. Na figura abaixo, temos 𝐴𝐶 = 𝐶𝐵 = 10 cm,

𝐴𝐵 = 6 cm e 𝐴𝑀 = 𝑀𝐵. Além disso, a altura 𝐵𝐻 tangencia

a semicircunferência com centro em 𝑀. Determine o raio

dessa semicircunferência.




Conteúdo: Volume do bloco retangular e Exemplos de cálculos de áreas e perímetros.

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Exercício 1. A parte superior de um palco tem a forma de um

trapézio isósceles com 112 m de perímetro e cujos lados paralelos

medem 24 m e 48 m. Se a superfície do palco for inteiramente

revestida de uma camada de borracha, ao preço de R$ 13,00 o

metro quadrado. Qual é o valor final da obra?

Exercício 2. Na figura que segue temos um quadrilátero 𝐴𝐵𝐶𝐷, no

qual 𝐴𝐵 = 6 cm, 𝐴𝐷 = 8 cm, 𝐶𝐷 = 24 cm. Além disso, o

segmento 𝐴𝐵 é perpendicular ao segmento 𝐴𝐷 e o segmento 𝐵𝐷 é

perpendicular ao segmento 𝐶𝐷. Determine o perímetro do

quadrilátero 𝐴𝐵𝐶𝐷.

Exercício 3. Aumentando em 10% o comprimento de um retângulo

e diminuindo em 10% sua largura, determine sua nova área,

sabendo que a área inicial era 100 cm².

Exercício 4. O retângulo da figura foi repartido por meio de três

segmentos em várias regiões, algumas retangulares e outras

triangulares. A linha não paralela aos lados é uma diagonal e os

números indicam as áreas em m² das regiões brancas em que se

encontram. Qual é a do retângulo original?


Exercício 5. No desenho abaixo, as retas 𝑟 e 𝑠 são paralelas. Se o

segmento 𝐼𝐽 é o dobro do segmento 𝐸𝐺, determine a razão entre as

áreas dos triângulos 𝐹𝐸𝐺 e 𝐻𝐼𝐽.

Exercício 6. No desenho abaixo, a área do triângulo 𝐴𝐵𝐷 é 30 m²

e a área do triângulo 𝐴𝐷𝐶 é 10 m². Determine a razão entre os

comprimentos dos segmentos 𝐵𝐷 e 𝐷𝐶.

Exercício 7. Determine a aresta de um cubo cujo volume é oito

vezes o volume de um cubo que tem aresta medindo 2 cm.

Exercício 8. No cubo da figura abaixo, cuja aresta mede 30 cm,

estão uma formiga e uma abelha no ponto 𝐴. As duas partem na

direção do ponto 𝐵, sendo que a abelha voa em uma linha reta e a

formiga vai andando pela superfície passando antes pelo ponto 𝐶

que é ponto médio da aresta. Qual a distância percorrida pela abelha

e pela formiga?



Lista das Tarefas de Casa do Encontro 1 da 2ª semana do Ciclo 5 Nível 3 – Geometria

Conteúdo: Teorema de Tales, Semelhança de triângulos, Teorema de Pitágoras, Volume do bloco retangular e

Exemplos de cálculos de áreas e perímetros.

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Tarefa de casa 1 (Prova OBMEP 2009 – 2a Fase – N3 – Questão 6)

Uma folha de papel retangular 𝐴𝐵𝐶𝐷 de 12 cm por 16 cm (figura 1) é cortada ao longo da diagonal 𝐴𝐶 (figura 2).

O triângulo 𝐴𝐵𝐶 é dobrado pelo segmento 𝐵𝑀 (figura 3), sendo 𝑀 o ponto de encontro das diagonais do retângulo

𝐴𝐵𝐶𝐷. Finalmente, é feita uma dobra ao longo de 𝑀𝑃, onde 𝑃 é escolhido de modo que 𝐶𝑀 coincida com 𝐴𝑀

(figura 4).

a) Explique porque o ângulo 𝐵𝑀�̂� na figura 4 é reto.

b) Mostre que o triângulo 𝑃𝑀𝐵 da figura 4 é semelhante ao triângulo 𝐴𝐵𝐶 da figura 2.

c) Calcule a área do triângulo 𝐵𝑀𝑃 da figura 4.

d) Calcule a área do quadrilátero 𝐴𝐵𝑀𝑃 da figura 4.

Tarefa de casa 2 (Prova OBMEP 2011 – 2a Fase – N3 – Questão 4, itens a e b)

Na figura, os lados do triângulo 𝐷𝐸𝐹 são paralelos aos lados do triângulo retângulo 𝐴𝐵𝐶. Os pontos 𝐻, 𝐷, 𝐹 e 𝐺

estão alinhados e 0 ≤ 𝑥 ≤ 5.

a) Calcule o comprimento de 𝐺𝐻 em função de 𝑥. b) Mostre que 𝐶𝐺 = 𝐹𝐺 =5𝑥

4 cm.



Quincas Borba uniu quatro blocos retangulares de madeira, cada um com 4 cm de comprimento, 1 cm de largura e 1

cm de altura, formando o objeto mostrado na figura.

a) Qual é o volume deste objeto?

b) Quantas arestas tem este objeto?

c) Qual a área da superfície deste objeto?



Lista das Tarefas de Sala de Aula do Encontro 2 da 4ª semana do Ciclo 5 Nível 3 – Geometria

Conteúdo: Teorema de Tales, Semelhança de triângulos, Teorema de Pitágoras, Volume do bloco retangular e

Exemplos de cálculos de áreas e perímetros.

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Valor obtido: ..................





Tarefa de Sala 1. Num triângulo 𝐴𝐵𝐶𝐷, os lados 𝐴𝐵 e 𝐵𝐶 medem 20 cm e 12 cm, respectivamente. Sejam 𝑀 o

ponto médio do lado 𝐴𝐵 e 𝐸 o ponto de interseção da diagonal 𝐵𝐷 de 𝐴𝐵𝐶𝐷 com o segmento de reta 𝐶𝑀. Seja 𝐹 o

ponto do lado 𝐴𝐵 tal que a reta 𝐸𝐹 seja perpendicular ao lado 𝐴𝐵.

a) Mostre que 𝐵𝐹 =5

3𝐸𝐹 e 𝐹𝑀 =

5

6𝐸𝐹. b) Calcule o comprimento do segmento de reta 𝐸𝐹.

Tarefa de Sala 2. As bases 𝐵𝐶 e 𝐴𝐷 do trapézio isósceles 𝐴𝐵𝐶𝐷 da figura abaixo medem 9 cm e 4 cm,

respectivamente. O lado 𝐶𝐷 de 𝐴𝐵𝐶𝐷 mede √34 cm.

a) Calcule a medida do lado 𝐴𝐵 de ABCD. b) Calcule a medida da diagonal 𝐵𝐷 de 𝐴𝐵𝐶𝐷.



Lista de Exercícios do Encontro 1 da 2ª semana do Ciclo 6 Nível 3 – Álgebra

Conteúdo: Fatoração de expressões algébricas, identidades algébricas notáveis, equações e inequações lineares,

sistemas de duas equações lineares em duas variáveis.

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Exercício 1. O preço a ser pago por um corrida de táxi inclui uma parcela fixa, denominada bandeirada, e uma

parcela que depende da distância percorrida. Se a bandeirada custa R$ 3,50 e cada quilômetro rodado custa R$

0,50, determine que distância pode-se percorrer com um valor entre R$ 20,00 e R$ 30,00.

Exercício 2. Em um teste de 25 questões, cada acerto vale 4 pontos e cada erro vale – 1 ponto. Daniel respondeu

todas as questões e marcou 65 pontos. Quantas questões ele acertou?

Exercício 3. Em um complexos de salas de cinema, há um dia da semana em que os ingressos têm preços reduzidos

de modo que o preço da meia entrada é igual a R$ 7,50 e o preço da inteira é igual a R$ 15,00. Sabendo que, em

uma determinada sessão desse dia, foram ocupados 240 lugares e foram arrecadados R$ 2.370,00, qual é o número

de espectadores de cada categoria de ingresso?

Execício 4. O que é maior, 333333 × 444444 ou 222222 × 666667? Qual é a diferença entre eles?

(Dica: primeiro, compare os números 333333 × 444444 e 222222 × 666666)

Exercício 5. Quais são os valores de 𝑥 que satisfazem 1

𝑥−2≤ 4 ?

Exercício 6. Encontre os valores positivos de 𝑥 que satisfazem

(𝑥 − 1) ∙ (𝑥 − 2) ∙ (𝑥 − 3) < 0.

(Banco de Questões 2006, nível 3, lista 9, questão 1)

Exercício 7. Seja 𝑛 inteiro positivo e considere

𝑓(𝑛) =4𝑛 + √4𝑛2 − 1

√2𝑛 + 1 + √2𝑛 − 1

Calcule o valor de 𝑓(1) + 𝑓(2) + 𝑓(3) + ⋯ + 𝑓(40).

(Banco de Questões 2011, nível 3, questão 83)

Exercício 8. A diferença de idade entre dois irmãos é de três anos. Um ano atrás, a idade do pai desses irmãos era o

dobro da soma das idades dos irmãos e, dentro, de vinte anos, a idade do pai será a soma das idades desses dois

irmãos. Qual é a idade de cada um dos irmãos?

(Banco de Questões 2010, níveo 3, questão 199)



Lista de Exercícios do Encontro 2 da 4ª semana do Ciclo 6 Nível 3 – Funções

Conteúdo: Coordenadas no plano, conceito de função e seu gráfico, proporcionalidade e porcentagem, função afim

e seu gráfico.

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Exercício 1. Usando 9 caminhões basculantes por 12 horas diárias, uma empresa costuma transportar 216 toneladas

de terra por dia para a construção de uma enorme barragem. Como a empreiteira que administra a obra está

interessada em acelerar o trabalho, a empresa terá que passar a transportar 272 toneladas diárias. Por outro lado, em

virtude de um acordo com o sindicato dos motoristas, a empresa deverá operar os caminhões por 8 horas por dia.

Diariamente, quantos caminhões devem ser usados para transportar terra à barragem?

Exercício 2. Dois caminhões-tanque carregam o mesmo volume de misturas de álcool e gasolina. A mistura de

contém 3% de álcool, e a do outro, 5% de álcool. Os dois caminhões descarregam suas cargas em um reservatório

que estava vazio. Qual é a razão do volume de álcool para o de gasolina na mistura formada no reservatório, após os

caminhões terem descarregado?

Exercício 3. De modo geral, a lei que rege as transações comerciais é 𝑉 = 𝐿 + 𝐶, onde 𝑉 é o preço de venda do

produto, 𝐶 é o custo do produto e 𝐿 é o lucro obtido na transação. Para produzir um objeto, uma firma tem o custo

de R$ 1,20 por unidade. Além disso, há um custo fixo de R$ 4000,00, independente da quantidade produzida. O

preço de venda é de R$ 2,00 por unidade. Admitindo que todas as unidades produzidas são vendidas, qual é o número

mínimo de unidades que devem ser produzidas partir do qual a firma começa a ter lucro?

Exercício 4. O valor total cobrado por um eletricista A inclui uma parte fixa, como visita, transporte, etc., e outra

que depende da quantidade de metros de fio requerida pelo serviço. O gráfico abaixo representa o valor do serviço

efetuado em função da quantidade de fio utilizada, em metros.

a) Qual é o valor da parte fixa cobrado pelo eletricista A?

b) O preço cobrado por um eletricista B depende unicamente do número de metros de fio utilizado, não sendo

cobrada a parte fixa. Se o preço do serviço é de R$ 4,50 por metro de fio utilizado, a partir de quantos metros deve

o consumidor preferir o eletricista A ao eletricista B?


Exercício 5. Uma piscina vazia foi abastecida de água por duas torneiras A e B, ambas com vazão constante. Durante

4 horas, as duas torneiras ficaram abertas e encheram 50% da piscina. Em seguida, a torneira B foi fechada e durante

2 horas a torneira A encheu 15% do volume da piscina. Após este período a torneira A foi fechada e a torneira B

aberta. Durante quanto tempo esta torneira teve de ficar aberta para que ela sozinha terminasse de encher a piscina?


Exercício 6. Se 15% dos membros de uma população foram afetados por uma doença e 8% dos afetados morreram,

qual é a porcentagem da mortalidade em relação à população inteira?


Exercício 7. Um carro é denominado flex se ele pode ser abastecido com gasolina ou com álcool. Considere que os

preços do álcool e da gasolina sejam, respectivamente, R$ 1,59 e R$ 2,49 por litro.

a) Suponha que um carro flex rode 12,3 km por litro de gasolina, que indicamos 12,3 km/l. Qual deve ser a relação

km/l desse carro, para o álcool, para que a utilização do álcool seja financeiramente mais vantajosa que a de

gasolina?

b) Se o desempenho de um carro flex é de 𝑥 km/l com gasolina e de (𝑥

2+ 1) km/l com álcool, escreva a expressão

da função 𝑔(𝑥) que fornece o custo desse carro rodar 100 km utilizando gasolina e a expressão da função 𝑎(𝑥)

que fornece o custo desse carro rodar 100 km utilizando álcool.

c) Para que o custo seja o mesmo, tanto com álcool como com gasolina, qual deve ser a relação km/l para a gasolina

e para o álcool?

d) Em que condição o uso do álcool é mais vantajoso, financeiramente, que o da gasolina? Dê um exemplo numérico

que satisfaça a condição.


Exercício 8. Uma formiga anda sobre o contorno de um retângulo 𝐴𝐵𝐶𝐷. Ela parte do ponto 𝐴, anda 20 cm até

chegar em 𝐵, depois anda mais 10 cm até chegar em 𝐶 e finaliza seu trajeto em 𝐷. Após andar 𝑥 centímetros, a

formiga está em um ponto 𝐹 do contorno.

a) Quantos centímetros a formiga anda em seu trajeto de 𝐴 até 𝐷?

b) Calcule a área do triângulo 𝐴𝐷𝐹 quando 𝑥 = 22 cm.

c) Qual é a maior área possível para um triângulo 𝐴𝐷𝐹?

d) Esboce, no plano cartesiano 𝑂𝑥𝑦, o gráfico da função que associa ao comprimento 𝑥 o valor da área do triângulo

𝐴𝐷𝐹.

(Prova da 2ª Fase da OBMEP, 2014, questão 2)



Lista das Tarefas de Casa do Encontro 1 da 2ª semana do Ciclo 6 Nível 3 – Álgebra e Funções


sistemas de duas equações lineares em duas variáveis. Coordenadas no plano, conceito de função e seu gráfico,

proporcionalidade e porcentagem, função afim e seu gráfico.

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Tarefa de casa 1 (Prova OBMEP 2009 – 2a Fase – N3 – Questão 2, itens a e c)

Um número inteiro n é simpático quando existem inteiros positivos 𝑎, 𝑏 e 𝑐 tais que 𝑎 < 𝑏 < 𝑐 e 𝑛 = 𝑎2 + 𝑏2 − 𝑐2.

Por exemplo, os números 1 e 2 são simpáticos, pois 1 = 42 + 72 − 82 e 2 = 52 + 112 − 122.

a) Verifique que (3𝑥 + 1)2 + (4𝑥 + 2)2 − (5𝑥 + 2)2 é igual a 2𝑥 + 1, qualquer que seja 𝑥.

b) Mostre que o número 4 é simpático.


A figura mostra um polígono 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 em que todos os lados, exceto 𝐴𝐸, são horizontais ou verticais e têm os

comprimentos indicados na figura. Considere, agora, uma reta vertical distante 𝑥 do vértice 𝐴, com 0 < 𝑥 ≤ 5. Ela

divide o polígono 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 em dois polígonos, um situado à direita da reta e outro à esquerda. Considere a função 𝑓

que associa a cada valor de 𝑥 o perímetro do polígono situado à esquerda da reta. Por exemplo, 𝑓(3) é o perímetro

do triângulo 𝐴𝐻𝐸, enquanto 𝑓(5) é o perímetro do polígono 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸.

a) Calcule 𝑓(3).

b) Calcule 𝑓(5).

c) Escreva as expressões de 𝑓(𝑥) para 0 < 𝑥 ≤ 3 e

para 3 < 𝑥 ≤ 5.

d) Esboce o gráfico da função 𝑓.


Numa certa cidade existem apenas duas empresas de táxi, a Dona Leopoldina e a Dom Pedro II. A Dona Leopoldina

cobra uma taxa fixa de R$ 3,00 mais R$ 0,50 por quilômetro rodado. Já a Dom Pedro II cobra uma taxa fixa de

R$ 1,00 mais R$ 0,75 por quilômetro rodado.

Os amigos Bento, Sofia e Helena trabalham nessa cidade e sempre voltam de táxi do trabalho para casa. Para pagar

menos, Helena sempre usa os táxis da Dona Leopoldina e, pelo mesmo motivo, Bento só usa os da Dom Pedro II.

Sofia usa os táxis das duas empresas, porque paga o mesmo preço em ambas.

a) Quanto Sofia paga para ir de táxi do trabalho para casa?

b) Qual dos três amigos percorre, de táxi, a menor distância entre seu trabalho e sua casa?



Lista das Tarefas de Sala de Aula do Encontro 2 da 4ª semana do Ciclo 6 Nível 3 – Álgebra e Funções


sistemas de duas equações lineares em duas variáveis. Coordenadas no plano, conceito de função e seu gráfico,

proporcionalidade e porcentagem, função afim e seu gráfico.

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Valor obtido: ..................





Tarefa de Sala 1. Durante o período de exibição de um filme, foram vendidos 2000 bilhetes, e a arrecadação foi de

R$ 7600,00. O preço do bilhete para adulto era de R$ 5,00 e, para criança, era de R$ 3,00. Calcule as quantidades

de crianças e de adultos que assistiram ao filme nesse período.

Tarefa de Sala 2. Em um açougue o preço do quilograma de um tipo de carne é R$ 4,00. Durante certo período foi

feita a seguinte promoção:

• Na compra de uma quantia maior do que 3 kg e menor do que 5 kg, desconto de R$ 1,00 no total.

• Na compra de 5 kg ou mais, desconto de 10%.

a) Determine a quantia a ser paga na compra de 2 kg, 4 kg e 5 kg.

b) Determine a expressão da quantia 𝑄(𝑥), em reais, a ser paga em função da quantidade 𝑥 de quilogramas

comprados, nos casos 𝑥 ≤ 3, 3 < 𝑥 < 5 e 𝑥 ≥ 5.

c) Esboce o gráfico de 𝑄(𝑥).

d) Determine a quantidade de carne que se pode comprar com R$ 17,00.



Lista de Exercícios do Encontro 1 da 2ª semana do Ciclo 7 Nível 3 – Álgebra

Conteúdo: Equações e inequações quadráticas

Aluno(s): ........................................................................................... No(s): .................... Turma: ............................





Exercício 1. Sejam 𝑎 e 𝑏 números inteiros positivos tais que 𝑎 > 𝑏. O professor Fernando disse ao aluno Raul que

se ele calculasse o número 𝐴 = 𝑎2 + 4𝑏 + 1, o resultado seria um quadrado perfeito. Raul, por engano, trocou

os números 𝑎 e 𝑏 e calculou o número 𝐵 = 𝑏2 + 4𝑎 + 1 que, por acaso, também é um quadrado perfeito.

a) Mostre que 𝐴 = (𝑎 + 1)2. b) Encontre os números 𝑎, 𝑏, 𝐴 e 𝐵.


Exercício 2. Riquinho distribuiu 𝑅$ 1000, 00 reais entre os seus amigos: Antônio, Bernardo e Carlos da seguinte

maneira: deu, sucessivamente, 1 real ao Antônio, 2 reais ao Bernardo, 3 reais ao Carlos, 4 reais ao Antônio, 5 reais

ao Bernardo, etc. Quanto que o Bernardo recebeu?

(Banco de Questões 2007, Lista 3, nível 3, questão 5)

Exercício 3. Se 3 e 1/3 são as raízes da equação 𝑎𝑥2 − 6𝑥 + 𝑐 = 0, qual é o valor de 𝑎 + 𝑐?

(a) 1 (b) 0 (c) −9

5 (d)

18

5 (e) −5


Exercício 4. Duas partículas, 𝐴 e 𝐵, percorrem uma circunferência de 120m de comprimento. A partícula 𝐴 gasta

3 segundos menos que 𝐵, por estar animada com uma velocidade maior de 2 metros por segundo. Qual é a

velocidade de cada partícula?


Exercício 5. Na equação 𝑥2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 = 0, os coeficientes 𝑝 e 𝑞 podem assumir quaisquer valores do intervalo

[−1,1]. Quais são os possíveis valores das raízes de tal equação?


Exercício 6. Resolva em R a equação √𝑥2 + 9 + √𝑥2 − 6𝑥 + 10 = 5.


Exercício 7. Qual o menor valor da fração 𝑥4+𝑥2+5

(𝑥2+1)2 ?


Exercício 8. No dia de seu aniversário em 2006, o avô de Julia disse a ela: “Eu nasci no ano 𝑥2 e completei 𝑥 anos

em 1980. Quantos anos eu completo hoje? ”

A resposta certa é:

(a) 61 (b) 64 (c) 67 (d) 70 (e) 72



Lista de Exercícios do Encontro 2 da 4ª semana do Ciclo 7 Nível 3 – Funções

Conteúdo: Funções quadráticas e seus gráficos

Aluno(s): ........................................................................................... No(s): .................... Turma: ............................





Exercício 1. A função 𝑓 está definida para cada 𝑦, 0 ≤ 𝑦 < 2,

de modo que 𝑓(𝑦) = área do quadrilátero sombreado, como

indicado na figura abaixo.

(a) Escreva as equações das retas 𝑟 e 𝑠.

(b) Determine 𝑓(0).

(c) Escreva a expressão de 𝑓(𝑦), 0 ≤ 𝑦 < 2.

(d) Esboce o gráfico de 𝑓(𝑦).


Exercício 2. Para castigar os alunos de sua turma por indisciplina, o professor Zerus decidiu descontar da nota

mensal de cada aluno uma percentagem igual à nota da prova, isto é: quem tirou 60, terá um desconto de 60% na

nota, quem tirou 20, um desconto de 20% da nota, e assim por diante. A nota mensal máxima é 100.

(a) Quem vai ficar com a maior nota?

(b) E a menor?

(c) Alunos que tiraram boas notas reclamaram que vão ficar com a mesma nota dos que tiraram más notas. Eles

estão certos?


Exercício 3. O quadrado 𝐴𝐵𝐶𝐷 desenhado na figura abaixo tem

lado 3 cm. Os pontos 𝑃 e 𝑄 podem ser deslocados sobre os

segmentos 𝐴𝐵 e 𝐴𝐷 respectivamente de forma que o comprimento

do segmento 𝐴𝑃 meça a metade do comprimento do segmento 𝐴𝑄.

a) Determine o valor da área do quadrilátero hachurado em função

do comprimento do segmento 𝐴𝐵.

b) Determine a área máxima que o quadrilátero hachurado pode

assumir.



Exercício 4. Uma bola, ao ser chutada num tiro de meta por um goleiro, numa partida de futebol, teve sua trajetória

descrita pela equação ℎ(𝑡) = – 2𝑡² + 8𝑡 (𝑡 ≥ 0) , onde 𝑡 é o tempo medido em segundo e ℎ(𝑡) é a altura em

metros da bola no instante 𝑡. Determine, apos o chute:

a) o instante em que a bola retornará ao solo.

b) a altura atingida pela bola.

Exercício 5. Calcule o valor de 𝑘 de modo que a função 𝑓(𝑥) = 4𝑥² – 4𝑥 – 𝑘 não tenha raízes, isto é, o gráfico

da parábola não possui ponto em comum com o eixo 𝑥.

Exercício 6. Um móvel realiza um MUV obedecendo à função 𝑓(𝑡) = 2𝑡2

− 18𝑡 + 36, sendo 𝑠 medido em

metros e 𝑡 em segundos. Em que instante o móvel muda de sentido?

Exercício 7. Seja a função quadrática representada no gráfico:

Essa função é dada por:

(a) −1

4𝑥2 + 𝑥

(b) −𝑥2 + 4𝑥

(c) 1

4𝑥2 − 𝑥

(d) 1

2𝑥2 − 2𝑥

Exercício 8. Determine para que valores de 𝑝, o gráfico da função real definida por 𝑓(𝑥) = 𝑝𝑥² − 4𝑥 + 𝑝

intercepte o eixo dos 𝑥 em dois pontos distintos.

apresente suas soluções de forma clara, indicando, em cada ... · tarefa de casa 1. (prova obmep...

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