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POLÍGONOS

Definição

Polígonos Convexos e não-Convexos

Professor: Jarbas

Existem dois tipos de linhas:

As linhas formadas por CURVAS:

As linhas formadas por segmentos de RETAS:

Linha

Poligonal

Linhas Poligonais: Com

cruzamento

Simples

Abertas

Fechadas

Formam duas

regiões: interna e

externa Polígono

Definição de Polígono

Polígono é uma linha poligonal

fechada e simples com sua região

interna e externa.

Pode ser convexo e não-convexo.

Polígono Não- Convexo

Polígono Convexo

Nomes Especiais Nome Nº. lados Nº. ângulos

Triângulo 3 3

Quadrilátero 4 4

Pentágono 5 5

Hexágono 6 6

Heptágono 7 7

Octógono 8 8

Eneágono 9 9

Decágono 10 10

... ... ...

Combinando figuras geométricas, podemos criar mosaicos. Veja:

A regularidade de formas encontradas na natureza tem chamado a

atenção do ser humano há muitos séculos. Ao observar e estudar essas formas,

o homem tem aprendido muitas coisas.

Com as abelhas, por

exemplo, ele compreendeu que o

formato dos favos de mel é muito bom

para guardar objetos com grande

economia de espaço.

MATEMÁTICA, 8º Ano do Ensino Fundamental Soma dos Ângulos Internos de um Polígono Convexo Qualquer

Imagem: Chris Severn / Creative Commons

Attribution-Share Alike 3.0 Unported

Exemplos da aplicação do formato das colmeias são blocos de

calçamento e suportes de garrafas para o armazenamento de bebidas

alcoólicas em adegas.

Imagem: (a) KKK2352 / Rua / Public Domain; (b) Che / Adega / Creative Commons Attribution-Share Alike 2.5 Generic.

Soma dos ângulos interno de um polígono convexo

Todo polígono convexo pode ser decomposto em triângulos quando

traçamos as diagonais que partem de um único vértice:

4 lados

2 triângulos (4 – 2)

2 x 180º = 360º

5 lados


3 x 180º = 540º

6 lados


4 x 180º = 720º

• Então, a soma dos ângulos internos depende do número de lados;

• A quantidade de triângulos será sempre o números de lados menos 2;

• Portanto:

2 180ºiS n

Ângulos de Polígonos Regulares

• Polígonos regulares tem todos os lados e ângulos de mesma medidas;

• Então, a medida de seu ângulo interno é a soma deles dividida pelo número de lados:

n

Sai n

nai

1802ou

i1

i2

i3

i4

e1

e2

e3

e4 i1 + e1 = 180

i2 + e2 = 180

i3 + e3 = 180

i4 + e4 = 180

in + en = 180

Si + Se = 180

∙ n

Se = 180

∙ n – Si

Se = 180

∙ n – 180

∙ (n – 2)

Se = 180

∙ n – 180

∙ n + 360

Se = 360

A soma Se das

medidas dos

ângulos externos

de um polígono

qualquer é 360º.


Num polígono regular, todos os ângulos externos ae são

congruentes entre si. Portanto, para encontrar a medida de cada ângulo

externo, basta dividir a soma das medidas dos ângulos externos Se pelo

número n de lados.

ae ae = 360

n


E, ainda, sempre e em qualquer polígono convexo, 180ºi ea a

Observe a figura:

Ela é formada por hexágonos regulares que se encaixam sem se

sobrepor ou deixar vãos.

Todos os hexágonos são regulares, isto é,

possuem lados e ângulos de mesma medida, o que

significa que Â = B = C. Além disso, a soma desses

três ângulos é igual a 360

, ou seja, eles formam um

ângulo de uma volta completa: Â + B + C = 360

.

Imagem: (a) Jackhmo / Hexágonos /

Public Domain

Imagem: (b) HB / 4 Hexágonos /

Public Domain

Â ^ B

^ C

Já usando só pentágonos ...

A figura é formada por pentágonos regulares que se encaixam

sem se sobrepor, mas deixam um vão de 36

.

Haverá, então, sobra quando tentarmos encaixar os pentágonos

regulares. Logo, não é possível fazer revestimentos usando apenas

ladrilhos com a forma de pentágonos regulares, como se pode ver na

figura acima.


180

180

180

36

1. (ENEM) Na construção civil, é muito comum a utilização de

ladrilhos ou azulejos com a forma de polígonos para o

revestimento de pisos ou paredes. Entretanto, não são todas as

combinações de polígonos que se prestam a pavimentar uma

superfície plana sem que haja falhas ou superposições de

ladrilhos, como ilustram as figuras:

Figura 1: Ladrilhos retangulares

pavimentando o plano.

Figura 2: Heptágonos regulares não pavimentam o plano (há

falhas ou superposição).

A tabela traz uma relação de alguns polígonos regulares, com as

respectivas medidas de seus ângulos internos.

Se um arquiteto deseja utilizar uma combinação de dois tipos

diferentes de ladrilhos, entre os polígonos da tabela, sendo um

deles octogonal, o outro tipo escolhido deverá ter a forma de um:

135º 135º


Nome Triângulo Quadrado Pentágono Hexágono Octógono Decágono

Figura

Ângulo 60° 90° 108° 120° 135° 144°

a) Triângulo

b) quadrado

c) Pentágono

d) Hexágono

e) eneágono

x

Diagonais de um Polígono Convexo

• Diagonal de um polígono é um segmento de reta que tem por extremidades dois vértices não-consecutivos do polígono.

A

B

Número de Diagonais de um Polígono Convexo

Seja n o número de vértices;

Cada vértice faz ligação com todos os outros n vértices, menos

com seus adjacentes e ele próprio, ou seja, com (n – 3) vértices;

Como há n vértices, então podemos fazer n.(n – 3) ligações;

Porém, estaremos contabilizando duas vezes a mesma ligação,

isto é, diagonal. Por exemplo: A diagonal de vai do vértice A até o C é

a mesma que vai do C até o A.

Portanto:

A

C

2

)3.(nnd

Exemplos:

1) Os ângulos externos de um polígono regular medem 20

. Então, o

número de diagonais desse polígono é:

a) 90

b)104

c)119

d)135

e)152

2) Os números dos lados de dois polígonos convexos são consecutivos

e um deles tem 9 diagonais a mais que o outro. Que polígonos são

esses?

22

Polígonos- Relações Importentes

Soma das medidas

dos ângulos internos: 180º 2iS n

Soma das medidas

dos ângulos externos: 360ºeS

Ângulos internos de

um polígono regular:

180º 2 ou i

i i

nSa a

n n

Ângulos externos de

um polígono regular:

360º ou e

e e

Sa a

n n

Número de diagonais

de um polígono:

3

2

n nd

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