LUGARGEOMÉTRICO

2009

Informática Educativa II - 4.2009Pós-graduanda:

Terezinha Ribeiro AmaranteTutora a distância:

Paula Prata

ESTUDODAS

CÔNICAS

Ao chegarem as instruções para trabalharmos com cônicas, procurei me inteirar. E procurar o material.

No primeiro momento, a preocupação em contextualizar o estudo, buscando na História da Matemática informações onde pudesse apoiar o trabalho: Apolônio!

APOLÔNIO DE PERGATudo leva a crer, pelas evidências, ter sido Apolônio o fundador da Astronomia Matemática grega.

Otto Neugbauer

Na chamada Idade Helenística sobressaíram três grandes contribuidores que alicerçaram destacando a visão de um mundo matemático dos demais. Foram ees: Euclides, Arquimedes e Apolônio.

A “Idade Áurea” da Matemática grega acontece por volta de 300 a 200 a.C., mas pelo visto esse nome pomposo não foi ganho pela contribuição dos matemáticos, mas sim pelas Artes e Literatura, datadas do século V a.C.

Figura – Biblioteca de Alexandria antiga

Figura - Segunda maior cidade do Egito,

Alexandria está a cerca de 220 quilômetros do Cairo.

Alexandria foi o local onde se deu o foco matemático de todo o Ocidente.

Apolônio, bem como Arquimedes, não nasceram aí. Tendo como berço Pérgamo na Panfília (ver um mapa e colocar) no sul da Ásia Menor. Pelo visto buscaram a cidade de Alexandria para obter suas formações. “Centro cultural (mostrar uma foto da época e um recente).

Sua marca registrada: Apolônio de Pérgamo, devido a tantos outros Apolônios. Grande parte de sua obra foi perdida (coleção matemática de Papus, todo o livro I e parte do II se perderam).

Figura 3 - Praticamente todas as cidades possuem sítios arqueológicos

com monumentos milenares.

Em “Tesouro da Análise”, pode se observar que várias obras de Apolônio foram perdidas, mas muito do que sabemos sobre a Geometria Analítica são informações valiosas deixadas por Apolônio de Pérgamo. O título de “O Grande Geômetra” foi dado a ele, e não a Euclides.

Restauração das Obras PerdidasPor volta do século XVI, desenvolveu-se um esporte, creio que misturado com arte, o de reconstruir livros de geometria e os tratados de Apolônio esta van entre os favoritos. Entre estes estava “Lugares Planos”, sendo dois dos lugares dignos de nota:

(1) O lugar dos pontos cuja diferença de quadrado das distâncias a dois pontos fixos é constante, é uma reta perpendicular à reta que une os dois pontos; (2) O lugar dos pontos cuja razão das distâncias a dois pontos fixos é constante –e diferente de 1– é um círculo. Esse último lugar é chamado “Círculo de Apolônio”.

Não sendo uma colocação verídica pois já era conhecido por Aristóteles, que o utilizou para justificar matematicamente a forma semicircular do arco-íris.

Apolônio também se destacou como célebre astrônomo. Manteve uma rivalidade com Eudoxo sobre os movimentos dos planetas. Enquanto Eudoxo usa um conceito de esfera concêntricas, Apolônio propõe dois sistemas alternativos, um feito de movimentos epicíclicos, outro de movimentos excêntricos.

A Obra-Prima: As CônicasAs seções cônicas não eram nenhum segredo, sendo conhecidas há mais ou menos 150 anos. Apolônio retoma esse estudo direcionando-o à curvas. Com esse célebre estudo, Apolônio derruba todos os seus rivais no campo das seções cônicas. Rivais como Euclides e Aristeu (estudo Exposições Gerais).

Sendo Os Elementos de Euclides e As Cônicas de Apolônio as maiores obras em seus campos.

A pedido de um geômetra chamado Naucrates, Apolônio escreveu uma versão apressada de As Cônicas em 8 livros.

Sendo já conhecido e estando nos livros de Euclides, Apolônio afirma que alguns dos teoremas no livro II são seus. Visto que Euclides não tinha completado os lugares ali considerados.

Antes de Apolônio, a elipse, a parábola e a hipérbole eram obtidas de 3 tipos diferentes de cones circulares retos, conforme o ângulo no vértice fosse agudo, reto ou obtuso.

Apolônio apresenta pela primeira vez que poderia tornar seções perpendiculares a um elemento do cone e mais de um único cone podem ser obtidas todas as três espécies de seções cônicas.

Para isso bastando a inclinação do plano de seções.

Passo importante para determinar os três tipos de curvas. A segunda generalização ocorre quando Apolônio provou que o cone não precisa ser reto, sendo perpendicular ao eixo da base circular, podendo ser um cone oblíquo ou escaleno.

Apolônio, na verdade, deu a mesma definição de cone circular usada hoje: 

1. Propriedades Fundamentais

a) “Lugares planos” consistia das retas e círculo.b) “Lugares Sólidos” eram formados das seções cônicas.c) “Lugares Lineares” reunia todas as demais curvas.

2. Cônicas Semelhantes

“Duas cônicas se dizem semelhantes se as ordenadas, quando traçadas a distâncias proporcionais do vértice, são respectivamente proporcionais às abscissas correspondentes.

No livro VI escrito por Apolônio, as proporções mais fáceis de se verificar são as que demonstram que todas as parábolas são semelhantes (VI. 11), e que parábolas não semelhantes a uma elipse ou a uma hipérbole e nem elipse a uma hipérbole (VI.14, VI.15).

Outra proposição (VI.26, VI.27) prova que um cone qualquer é cortado por dois planos paralelos em seções elípticas ou hiperbólicas, as seções serão semelhantes, mas não iguais.

Definição por Geração

Podemos dar uma definição mas as definições exigem três coisas:

1. Que seja universal,2. Que seja própria e3. Que seja clara.

Uma definição de superfície cônica: a superfície gerada por uma reta G (geratriz), que se move apoiando-se sobre uma curva fixa C (diretriz) e passando sempre por um ponto fixo (vértice).

A superfície cônica oferece-nos um exemplo bem simples de uma superfície definida por sua geração. Três elementos são definidos nominalmente: a geratriz, o vértice e a diretriz.

Apolônio não deixou claro em seus livros esses focos. Não se pode afirmar que o desconhecesse, pois muitas de suas obras foram perdidas.

As Cônicas de Apolônio constituem um tratado de amplitude e profundidade tão extraordinário que ficamos surpresos de não encontrarmos algumas propriedades que nos parecem tão evidentes fundamentais.

De como as curvas são agora introduzidas em livros de textos, os focos têm um papel proeminente; no entanto, Apolônio não tinha nomes paa esses pontos e se referia a eles apenas indiretamente.

Pressupõe-se que ele, talvez Aristeu e Euclides, conhecessem na verdade a propriedade foco-diretriz das curvas, mas sequer é mencionada em As Cônicas.

Mas como disse a nossa tutora Paula Prata, isso de modo nenhum vem tirar o brilho da grande obra de Apolônio e de outros grandes contribuidores da História da Matemática.

Carl B.BoyerA definição e estudo das curvas pelos gregos em comparação com a flexibilidade e extensão do tratamento moderno ficam em posição desfavorável. Na verdade, aos antigos escapou quase que completamente o papel que curvas de vários tipos desempenham no mundo que os cercava. Um dos povos mais bem dotados de todos os tempos, as únicas curvas que acharam nos céus e na Terra foram combinações de retas e círculos.

Não explorando sequer dois métodos de definição de curvas que admitam.

O método cinemático e o uso de seções planas de superfície admitem generalizações de grande alcance, no entanto apenas uma dúzia de curvas era familiar aos antigos.

Mesmo no exemplo da figura 1 citada.

Mesmo a cicloide gerada por um ponto de um círculo que rola sobre uma reta, parece não ter sido percebida por eles. Que Apolônio, o maior geômetra da Antiguidade, não tenha desenvolvido a geometria analítica se devem provavelmente à pobreza de curvas mais do que de ideias.

Mas Carl Boyer conclui... os inventores modernos da Geometria Analítica tinham toda a álgebra da Renascença à sua disposição enquanto que Apolônio trabalhava necessariamente com instrumento mais rigoroso mas menos manejável da álgebra geométrica.

Definição Dupla de hipérbole: é a curva plana tal que a diferença das distâncias de qualquer um de seus pontos a dois pontos fixos de seu plano é constante.

Em outras palavras, Hipérbole é o lugar geométrico dos pontos do plano cuja diferença das distâncias a dois pontos fixos desse plano é constante.

13) Conforme Carvalho, M. III 287.

Uma definição simples da curva denominada parábola: Parábola é o lugar geométrico dos pontos do plano equidistante de um ponto fixo e de uma reta fixa desse plano.

Definição do livro de Malba Tahan, Maravilhas da Matemática (pág. 48).

Figura 1 – Biblioteca de Alexandria antiga: http://ovilacondense.blogspot.com/2004_05_01_archive.html

Figura 2 – Alexandria moderna: http://cylaeduca.blogdrive.com/

Figura 3 – http://www.khanelkhalili.com.br/mapasEgito.htm

No segundo momento, a procura nos livros didáticos.

Terceiro momento: Buscar material na natureza: construção, arquitetura, industrias de embalagens, e nos vegetais.

No quarto momento, a seleção e organização dos materiais.

Quinto momento: Desenvolvimento do trabalho, conceitos e

definições de cone, hipérbole e parábola, verificando onde

poderiam ser aplicados.

A SEGUIR, ALGUMAS FOTOS DE

LUGARES GEOMÉTRICOS NA VIDA COTIDIANA