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Prismas.Pirâmides,Cilindros,Cones e Esferas 1. (Fuvest 2015) O sólido da figura é formado pela pirâmide SABCD sobre o paralelepípedo

reto ABCDEFGH. Sabe-se que S pertence à reta determinada por A e E e que AE 2cm,

AD 4cm e AB 5cm.

A medida do segmento SA que faz com que o volume do sólido seja igual a 4

3 do volume da

pirâmide SEFGH é

a) 2 cm

b) 4 cm

c) 6 cm

d) 8 cm

e) 10 cm

2. (Uerj 2015) Um cubo de aresta EF medindo 8 dm contém água e está apoiado sobre um

plano α de modo que apenas a aresta EF esteja contida nesse plano. A figura abaixo

representa o cubo com a água.

Considere que a superfície livre do líquido no interior do cubo seja um retângulo ABCD com

área igual a 232 5 dm .

Determine o volume total, em 3dm , de água contida nesse cubo.

3. (Pucrj 2015) O que acontece com o volume de um paralelepípedo quando aumentamos a largura e a altura em 10% e diminuímos a profundidade em 20%? a) Não se altera b) Aumenta aproximadamente 3% c) Diminui aproximadamente 3% d) Aumenta aproximadamente 8%


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e) Diminui aproximadamente 8% 4. (Pucrj 2015) O diagrama abaixo mostra uma pilha de caixas cúbicas iguais, encostadas no canto de um depósito.

Se a aresta de cada caixa é de 30 cm, então o volume total dessa pilha, em metros cúbicos, é

de: a) 0,513 b) 0,729 c) 0,810 d) 0,837 e) 0,864

5. (Uerj 2015) Um funil, com a forma de cone circular reto, é utilizado na passagem de óleo para um recipiente com a forma de cilindro circular reto. O funil e o recipiente possuem a mesma capacidade. De acordo com o esquema, os eixos dos recipientes estão contidos no segmento TQ,

perpendicular ao plano horizontal .β

Admita que o funil esteja completamente cheio do óleo a ser escoado para o recipiente cilíndrico vazio. Durante o escoamento, quando o nível do óleo estiver exatamente na metade

da altura do funil H

, ,2

o nível do óleo no recipiente cilíndrico corresponderá ao ponto K na

geratriz AB. A posição de K, nessa geratriz, é melhor representada por:


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a)

b)

c)

d) 6. (Espcex (Aman) 2015) Um cone de revolução tem altura 4 cm e está circunscrito a uma

esfera de raio 1cm. O volume desse cone (em 3cm ) é igual a

a) 1

.3π

b) 2

.3π

c) 4

.3π

d) 8

.3π

e) 3 .π

7. (Uemg 2015) Um reservatório de água, de formato cônico, com raio da tampa circular igual

a 8 metros e altura igual a 9 metros, será substituído por outro de forma cúbica, de aresta

igual a 10 metros.

Estando o reservatório cônico completamente cheio, ao se transferir a água para o reservatório

cúbico, a altura do nível atingida pela água será de (considere 3π )

a) 5,76m.

b) 4,43m.

c) 6,38m.

d) 8,74m.

8. (Enem 2014) Na alimentação de gado de corte, o processo de cortar a forragem, colocá-la no solo, compactá-la e protegê-la com uma vedação denomina-se silagem. Os silos mais comuns são os horizontais, cuja forma é a de um prisma reto trapezoidal, conforme mostrado na figura.


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Considere um silo de 2m de altura, 6m de largura de topo e 20m de comprimento. Para cada

metro de altura do silo, a largura do topo tem 0,5m a mais do que a largura do fundo. Após a

silagem, 1 tonelada de forragem ocupa 32m desse tipo de silo.

EMBRAPA. Gado de corte. Disponível em: www.cnpgc.embrapa.br. Acesso em: 1 ago. 2012 (adaptado).

Após a silagem, a quantidade máxima de forragem que cabe no silo, em toneladas, é a) 110. b) 125. c) 130. d) 220. e) 260. 9. (Enem 2014) Uma lata de tinta, com a forma de um paralelepípedo retangular reto, tem as dimensões, em centímetros, mostradas na figura.

Será produzida uma nova lata, com os mesmos formato e volume, de tal modo que as

dimensões de sua base sejam 25% maiores que as da lata atual.

Para obter a altura da nova lata, a altura da lata atual deve ser reduzida em a) 14,4% b) 20% c) 32,0% d) 36,0% e) 64,0%

10. (Mackenzie 2014) Se um tetraedro regular tem arestas de comprimento 6 m, então podemos afirmar que

a) a altura é igual a 3 3m.

b) a altura é igual a 3 6m.

c) a altura é igual a 4,5 m.

d) o volume é igual a 327 3m .

2


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e) o volume é igual a 318 2m .

11. (Unicamp 2014) Considere um cilindro circular reto. Se o raio da base for reduzido pela metade e a altura for duplicada, o volume do cilindro a) é reduzido em 50%. b) aumenta em 50%. c) permanece o mesmo. d) é reduzido em 25%. 12. (Uemg 2014) Uma empresa deseja fabricar uma peça maciça cujo formato é um sólido de revolução obtido pela rotação de um trapézio isósceles em torno da base menor, como mostra a figura a seguir. As dimensões do trapézio são: base maior igual a 15 cm, base menor igual a 7 cm e altura do trapézio igual a 3 cm.

Considerando-se 3,π o volume, em litros, da peça fabricada corresponde a a) 0,212. b) 0,333. c) 0,478. d) 0,536. 13. (Espcex (Aman) 2013) O sólido geométrico abaixo é formado pela justaposição de um bloco retangular e um prisma reto, com uma face em comum. Na figura estão indicados os vértices, tanto do bloco quanto do prisma.

Considere os seguintes pares de retas definidas por pontos dessa figura: as retas LB e GE,

as retas AG e HI, e as retas AD e GK . As posições relativas desses pares de retas são,

respectivamente,


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a) concorrentes; reversas; reversas. b) reversas; reversas; paralelas. c) concorrentes, reversas; paralelas. d) reversas; concorrentes; reversas. e) concorrentes; concorrentes; reversas. 14. (Fgv 2013) A figura mostra a maquete do depósito a ser construído. A escala é 1: 500, ou

seja, 1cm, na representação, corresponde a 500 cm na realidade. Qual será a capacidade, em metros cúbicos, do depósito?

15. (Fgvrj 2013) Uma caixa sem tampa é construída a partir de uma chapa retangular de

metal, com 8 dm de largura por 10 dm de comprimento, cortando-se, de cada canto da chapa,

um quadrado de lado x decímetros e, a seguir, dobrando-se para cima as partes retangulares, conforme sugere a figura a seguir:

O volume, em 3dm , da caixa assim obtida é

a) 2 380x 36x 4x

b) 2 380x 36x 4x

c) 2 380x 18x x

d) 2 380x 18x x

e) 2 320x 9x x

16. (Ufmg 2013) Um cone circular reto de raio r 3 e altura h 2 3 é iluminado pelo sol a

um ângulo de 45°, como ilustrado a seguir.


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A sombra projetada pelo cone é delimitada pelos segmentos PA e PB, tangentes ao círculo da base do cone nos pontos A e B, respectivamente. Com base nessas informações, a) DETERMINE a distância de P ao centro O do círculo.

b) DETERMINE o ângulo ˆAOB.

c) DETERMINE a área da sombra projetada pelo cone. 17. (Pucrj 2013) De um disco circular, de raio medindo 6 e centro C, cortamos um setor cujo arco mede 13. Usando o pedaço maior, fazemos um cone reto juntando os lados CA e CB, como nas figuras abaixo.

Não use aproximações para π e determine:

a) o perímetro da base do cone; b) o raio da base do cone; c) o volume do cone. 18. (Fgv 2013) Um reservatório tem a forma de uma esfera. Se aumentarmos o raio da esfera em 20%, o volume do novo reservatório, em relação ao volume inicial, aumentará a) 60% b) 63,2% c) 66,4% d) 69,6% e) 72,8% 19. (Mackenzie 2012)


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O número mínimo de cubos de mesmo volume e dimensões inteiras, que preenchem completamente o paralelepípedo retângulo da figura, é a) 64 b) 90 c) 48 d) 125 e) 100 20. (Enem PPL 2012) O Museu do Louvre, localizado em Paris, na França, é um dos museus mais visitados do mundo. Uma de suas atrações é a Pirâmide de Vidro, construída no final da década de 1980. A seguir tem-se, na Figura 1, uma foto da Pirâmide de Vidro do Louvre e, na Figura 2, uma pirâmide reta de base quadrada que a ilustra.

Considere os pontos A, B, C, D como na Figura 2. Suponha que alguns reparos devem ser efetuados na pirâmide. Para isso, uma pessoa fará o seguinte deslocamento: 1) partir do ponto A e ir até o ponto B. deslocando-se pela aresta AB; 2) ir de B até C, deslocando- se pela aresta que contém esses dois pontos; 3) ir de C até D, pelo caminho de menor comprimento; 4) deslocar se de D até B pela aresta que contém esses dois pontos.

Disponível em: http://viagenslacoste.blogspot.com. Acesso em: 29 fev. 2012. A projeção do trajeto da pessoa no plano da base da pirâmide é melhor representada por

a)

b)

c)

d)


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e)

21. (Ufsj 2012) Se o volume de um tetraedro regular é 3(2 2)/3 cm , a medida de sua aresta

é, em centímetros: a) 3 b) 2/3 c) 6 d) 2 22. (Insper 2012) Em uma pirâmide quadrangular regular, a área lateral é o dobro da área da base. Nesse caso, cada face lateral forma com o plano da base um ângulo que mede a) 15°. b) 30°. c) 45°. d) 60°. e) 75°. 23. (Espm 2012) Dois copos cilíndricos têm o mesmo volume. Seus diâmetros internos medem 6cm e 8cm, respectivamente. Se a soma das suas alturas é igual a 24cm, a diferença entre elas é de: a) 5,34 cm b) 8,12 cm c) 5,78 cm d) 7,66 cm e) 6,72 cm

24. (Fgvrj 2012) Em uma lata cilíndrica fechada de volume 35175 cm , cabem exatamente três

bolas de tênis. a) Calcule o volume da lata não ocupado pelas bolas. b) Qual é a razão entre o volume das três bolas e o volume da lata?

25. (Unicamp 2011) Depois de encher de areia um molde cilíndrico, uma criança virou-o sobre uma superfície horizontal. Após a retirada do molde, a areia escorreu, formando um cone cuja base tinha raio igual ao dobro do raio da base do cilindro.


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A altura do cone formado pela areia era igual a

a) 3

4da altura do cilindro.

b) 1


c) 2


d) 1



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Gabarito: Resposta da questão 1: [E]

Sabendo que ABCDEFGH é paralelepípedo reto, temos EF AB e EH AD. Portanto, segue

que o resultado pedido é dado por

4 1 4 1[SABCD] [ABCDHEFG] [SEFGH] SA AE (AE SA)

3 3 3 3

3 SA 9 2 4 (2 SA)

SA 10cm.

Resposta da questão 2:

No retângulo ABCD: : 8x 32 5 x 4 5dm

No triângulo AED: 2 2 2 2(4 5) 8 y y 16 y 4

Portanto, o volume do prisma (líquido) será dado por:

34 8 8V 128 dm

2

Resposta da questão 3: [C]

(inicial)V a b c (final) (inicial)V 1,1 a 1,1 b 0,8 c 0,968 V

(final) (inicial) (inicial)V V 0,032V , portanto houve uma redução de aproximadamente 3%.

Resposta da questão 4: [E]


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Volume de cada cubo em 3 3 3m V (0,3) 0,027m

Total de cubos na figura: 4 4 9 4 3 32

Volume Total: 332 0,027 0,864m

Resposta da questão 5: [A] Volume do cilindro: V

Volume do óleo no cone no momento considerado: Vi Daí, temos:

3

ii

HV V2 VV H 8

Portanto, o volume que estará no cilindro no instante considerado será: V 7V

V ,8 8

ou seja,

87,5% do volume do cilindro, portanto a alternativa [A] é mais adequada. Resposta da questão 6: [D]

Considerando O o centro da esfera, temos:

No triângulo AOD, temos: 2 2 2AD 1 3 AD 8cm

8 1 4ADO ABC r cm

4 r 8Δ Δ

Portanto, o volume V do cone será dado por:

22 31 1 4 8

V R h 4 cm3 3 38

ππ π

Resposta da questão 7: [A]


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O volume de água no reservatório cônico é igual a

2 318 9 576 m .

3

Portanto, a altura h atingida no reservatório cúbico será

210 h 576 h 5,76 m.


Como h 2 m, segue-se que b 6 2 0,5 5 m. Logo, segue que o volume total do silo é

igual a 36 520 220 m .

2

Em consequência, sabendo que 1 tonelada de forragem ocupa

32 m , podemos concluir que o resultado pedido é 220

1102

toneladas.

Resposta da questão 9: [D]

Se H é a altura da lata atual, então seu volume é igual a 2 324 Hcm . Agora, sabendo que as

dimensões da nova lata são 25% maiores que as da lata atual, e sendo h a altura da nova

lata, temos

225 16

24 h 24 H h H h 64% H,4 25

isto é, a altura da lata atual deve

ser reduzida em 100% 64% 36%.


A altura do tetraedro regular é igual a 6 6

2 6 m,3

e seu volume é 3

36 218 2 m .

12


Sejam V, r e h, respectivamente, o volume, o raio da base e a altura do cilindro. Logo, como

2V r h,π segue-se que a variação percentual pedida é dada por

2

2

2

r2h r h

2100% 50%,

r h

π π

π

isto é, houve uma redução de 50% no volume do cilindro.

Resposta da questão 12: [B]

Volume da embalagem em cm3: cilindro coneV V 2V

2 2 31V 3 15 2 3 4 135 24 111 333cm 0,333L

3π π π π π


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As retas LB e GE são as retas suporte das diagonais GE e LB. Logo, as retas LB e GE são

concorrentes no ponto de interseção das diagonais do bloco.

Como as retas AG e HI são coplanares e não paralelas, segue que AG e HI são

concorrentes.

Como AD e GK são distintas, não têm ponto em comum e não são coplanares, temos que

AD e GK são reversas. Resposta da questão 14:

O depósito pode ser dividido em um paralelepípedo reto-retângulo de dimensões

0,9cm 3cm 7,2cm; e um prisma triangular reto de altura 7,2cm, com uma das arestas da

base medindo 3cm e altura relativa 0,6cm. Logo, a capacidade do depósito da maquete é

dada por

33 0,60,9 3 7,2 7,2 25,92cm .

2

Portanto, como a escala adotada é 1: 500 e 3 6 31cm 10 m , segue que a medida real da

capacidade do depósito é

33

6

25,92 5003240 m .

10

Resposta da questão 15: [A] O volume da caixa é dado por

2

2 3

x (8 2x) (10 2x) x (80 16x 20x 4x )

80x 36x 4x .



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a) O POTΔ é isósceles, pois PO = OT, logo PO = 2 3 (figura 1)

b) No POAΔ (figura 2), temos:

3 1cos 60 AÔB 2 120

22 3α α α

c) Sendo A = área da sombra do cone, temos:

PAOB setor(120 )

2

A A A

1 3A 2 3 2 3 sen60 3 3 .

2 3

ππ


a) O perímetro da base do cone é dado por

2 6 13 (12 13) u.c.

b) Seja r o raio da base do cone. Do item (a), sabemos que o perímetro da base do cone mede

12 13. Logo,

12 132 r 12 13 r u.c.

2

c) Como CA 6 corresponde à geratriz do cone e 12 13

r ,2

segue que a altura do cone é

dada por

2

2 13 (24 13)12 136 u.c.

2 2

Portanto, o volume do cone é igual a

2 213 (24 13)1 12 13 1 12 13

13 (24 13) u.v.3 2 2 24


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Seja r o raio da esfera. Logo, após aumentarmos r de 20%, teremos

3 3

3

4 4(1,2 r) r

3 3 100% (1,728 1) 100%4

r3

72,8%,

π π

π

ou seja, o volume do novo reservatório, em relação ao volume inicial, aumentará 72,8%.

Resposta da questão 19: [B] A medida da aresta dos cubos de mesmo volume que preenchem completamente o

paralelepípedo retângulo da figura é dada por mdc(8, 36, 20) 4. Portanto, o resultado pedido

é dado por

8 36 202 9 5 90.

4 4 4

Resposta da questão 20: [C] A figura abaixo mostra a projeção do caminho feito sobre a pirâmide no plano de sua base.

Portanto, alternativa [C] está correta. Resposta da questão 21: [D] Fórmula para o volume do tetraedro regular de aresta a:

3a 2

V12

3

3a 2 2 2a 8 a 2

12 3

Resposta da questão 22: [D]


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Considere a figura, em que V é o vértice da pirâmide, O é o centro da base e M é o ponto

médio da aresta AB.

Queremos calcular a medida do ângulo VMO.

Sabendo que a a área lateral é o dobro da área da base, vem que

2

bAB VM

A 2 A 4 2 AB2

VM AB.

Portanto, do triângulo VOM, obtemos

AB

OM 2cosVMO cosVMOVM AB

1cosVMO

2

cosVMO cos60

VMO 60 .


2 2.3 .x .4 .y

9x 16y

9x 16yresolvendo o sistema ,x 15,36 e y 8,64

x y 24

fazendo x y,temos: 15,36 8,64 6,72.

π π


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a) Sejam h e r, respectivamente, a altura e o raio do cilindro.

Como o raio de cada bola é igual ao raio do cilindro e h 6r, temos

2 3 1725r 6r 5175 r .

2π

π

Daí, segue que o volume de cada bola é igual a

3

3

4 4 1725r

3 3 2

1150cm .

π ππ

Portanto, o resultado é 35175 3 1150 1725cm .

b) A razão entre o volume das três bolas e o volume da lata é 3450 2

.5175 3

Resposta da questão 25: [A] Como o volume de areia é o mesmo, segue que:

2 2 2 2con con cil cil con cil

con cil

1 1r h r h (2R) h R h

3 3

3h h .

4


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Resumo das questões selecionadas nesta atividade Data de elaboração: 28/04/2015 às 19:48 Nome do arquivo: Pris.

Legenda: Q/Prova = número da questão na prova Q/DB = número da questão no banco de dados do SuperPro® Q/prova Q/DB Grau/Dif. Matéria Fonte Tipo 1 ............. 135922 ..... Média ............ Matemática ... Fuvest/2015 ......................... Múltipla escolha 2 ............. 137067 ..... Média ............ Matemática ... Uerj/2015 ............................. Analítica 3 ............. 135427 ..... Média ............ Matemática ... Pucrj/2015 ............................ Múltipla escolha 4 ............. 135445 ..... Média ............ Matemática ... Pucrj/2015 ............................ Múltipla escolha 5 ............. 132710 ..... Elevada ......... Matemática ... Uerj/2015 ............................. Múltipla escolha 6 ............. 134945 ..... Elevada ......... Matemática ... Espcex (Aman)/2015 ........... Múltipla escolha 7 ............. 137587 ..... Baixa ............. Matemática ... Uemg/2015 .......................... Múltipla escolha 8 ............. 135547 ..... Baixa ............. Matemática ... Enem/2014 ........................... Múltipla escolha 9 ............. 135574 ..... Baixa ............. Matemática ... Enem/2014 ........................... Múltipla escolha 10 ........... 131036 ..... Baixa ............. Matemática ... Mackenzie/2014 ................... Múltipla escolha 11 ........... 128174 ..... Baixa ............. Matemática ... Unicamp/2014 ...................... Múltipla escolha 12 ........... 131151 ..... Média ............ Matemática ... Uemg/2014 .......................... Múltipla escolha 13 ........... 120722 ..... Baixa ............. Matemática ... Espcex (Aman)/2013 ........... Múltipla escolha 14 ........... 125952 ..... Média ............ Matemática ... Fgv/2013 .............................. Analítica 15 ........... 121147 ..... Baixa ............. Matemática ... Fgvrj/2013 ............................ Múltipla escolha 16 ........... 123863 ..... Elevada ......... Matemática ... Ufmg/2013 ........................... Analítica 17 ........... 121535 ..... Média ............ Matemática ... Pucrj/2013 ............................ Analítica 18 ........... 125940 ..... Baixa ............. Matemática ... Fgv/2013 .............................. Múltipla escolha 19 ........... 111846 ..... Baixa ............. Matemática ... Mackenzie/2012 ................... Múltipla escolha 20 ........... 127157 ..... Média ............ Matemática ... Enem PPL/2012 ................... Múltipla escolha 21 ........... 117313 ..... Média ............ Matemática ... Ufsj/2012 .............................. Múltipla escolha 22 ........... 115721 ..... Média ............ Matemática ... Insper/2012 .......................... Múltipla escolha


Página 20 de 20

23 ........... 114756 ..... Média ............ Matemática ... Espm/2012 ........................... Múltipla escolha 24 ........... 109838 ..... Média ............ Matemática ... Fgvrj/2012 ............................ Analítica 25 ........... 100784 ..... Baixa ............. Matemática ... Unicamp/2011 ...................... Múltipla escolha

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