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Aprender conceitos e procedimentos matemáticos e
aprender a pensar matematicamente
Temas de trabalho em estudos de aula
João Pedro da PonteInstituto de Educação, Universidade de Lisboa
Sumário
1. Estudos de aula como movimento internacional
2. Estudos realizados em Portugal – alguns resultados
3. Estudo com professoras do 1.º ciclo
4. Estudo com professoras do 2.º ciclo
5. Tarefas – dificuldades e capacidades dos alunos
6. Generalizações e justificações como processos de raciocínio
7. Aula em três fases e discussão coletiva
8. Abordagem exploratória
9. Conclusão
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Estudo de aula
Processo de desenvolvimento profissional de professores de cunho colaborativo e centrado na prática letiva.
Origem no Japão, no início do século XX, designado por jugyokenkyuu.
Popularizado através dos EUA, como lesson study.
Processo próximo de uma investigação sobre a própria prática profissional, realizado em contexto colaborativo, informado pelas orientações curriculares
e pelos resultados de investigações sobre um tema do currículo escolar.
3
Ciclo do estudo de aula
4
Ciclo do Estudo de Aula
Reflexão
Reflexão sobre a aula com base nos dados recolhidos
Aula de investigação
Observação da aula e recolha de dados
Planificação
Planeamento da aula de investigação tendo em conta objetivos relacionados com as
aprendizagens dos alunos
Questão
Definição da questão a investigar
Contextos e propósitos do estudo de aula
BrasilFélix (2010)
EUAHurd & Licciard-Musso
(2005)
IrlandaCorcoran(2011)
ChileMena-Lorca
(2008)
JapãoOshimaa et al.
(2006)
TurquiaVerhoef & Tall (2011) Reino Unido
Tall (2008)
IsraelRobinson &
Leikin (2012)
IndonésiaMarsigit (2007)
SuéciaPang & Marton
(2003)
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AustráliaWidjaja Vale, Groves, & Doig (2017)
Estudos realizados em Portugal
Estrutura do estudo de aula:
• Sessão 1 – apresentar e planear o estudo de aula;
• Sessões 2 a 6 – aprofundar o conhecimento do tópico e planear uma aula sobre ele;
• Sessão 7 – observar a aula de investigação;
• Sessão 8 – refletir sobre a aula;
• Sessões 9 a 12 – planear novas aulas e refletir sobre elas;
• Sessão 12 – reflexão final sobre todo o trabalho realizado.
Recolha de dados:
• Diário de bordo;
• Gravação áudio das sessões;
• Gravação vídeo da aula;
• Reflexões escritas dos professores;
• Entrevistas. 6
2013/14 - Num agrupamento
de Lisboa:
• 3 no 3.º e 4.º ano,
• 5 no 5.º e 6.º ano,
• 5 no 7.º e 8.º ano.
2011/12 - Em escolas dos arredores de Lisboa:
• 5 no 4.º ano,
• 5 no 7.º ano.2014/15 - Na formação inicial no IE• 7 futuros professores do
mestrado em ensino.
2016/17 - Formação de formadores• 10 professores da
educação pré-escolar e 1.º ciclo de um agrupamento
Objetivos de investigação
Qual o valor formativo da análise das dificuldades e estratégias dos alunos?
… E da análise dos seus processos de raciocínio (generalização e
justificação)?
Um estudo de aula favorece a compreensão das possibilidades de uma
abordagem exploratória no ensino da Matemática?
Promove a compreensão sobre as vantagens e desvantagens de diferentes tipos
de tarefa?
… E sobre o potencial das discussões coletivas?
Que fatores podem comprometer o sucesso de um estudo de aula?
1. Quais as aprendizagens profissionais dos professores num estudo
de aula?
2. Quais os elementos fundamentais da dinâmica de um estudo de
aula propiciadores de aprendizagens profissionais?
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Alguns resultados
Ponte, J. P., Quaresma, M., Mata-Pereira, J., & Baptista, M. (2016). O estudo de aula
como processo de desenvolvimento profissional de professores de matemática. BOLEMA,
30(56), 868-891.
Foco no processo formativo coletivo - Apresentação detalhada da dinâmica de um
estudo de aula, com uma reflexão aprofundada sobre a sua natureza.
Quaresma, M., & Ponte, J. P. (2015). Comunicação, tarefas e processos de raciocínio:
Aprendizagens profissionais proporcionadas por um estudo de aula. Zetetiké, 23(44),
297-310.
Foco no processo formativo individual – Estudo de caso do desenvolvimento
profissional de uma professora.
Ponte, J. P., Quaresma, M., Mata-Pereira, J., & Baptista, M. (2015). Exercícios, problemas
e explorações: Perspetivas de professoras num estudo de aula. Quadrante, 24(2), 11-
134.
Foco nas aprendizagens das professoras participantes sobre tarefas, raciocínio e
comunicação na sala de aula.
Ponte, J. P. (2017). Lesson studies in initial mathematics teacher education. International
Journal for Lesson and Learning Studies, 6(2), 169-181.
Análise crítica de estudos de aula realizados na formação inicial de professores de
Matemática do ensino secundário. 8
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Apreciação da natureza das tarefas
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Tarefa
Tendo em conta que:
Descobre se é possível construir um quadrilátero com as características
definidas em cada situação, e regista as soluções encontradas.
a. Sem ângulos retos
b. Com 1 ângulo reto
c. Com 2 ângulos retos
d. Com 3 ângulos retos
e. Com 3 ângulos obtusos
f. Com 4 ângulos obtusos
g. Com 3 ângulos agudos
h. Com 4 ângulos agudos
Para alunos do 4.º ano - Tarefa de investigação
Tarefa de investigação
A Tarefa…
Requer a compreensão do que são ângulos agudos, retos e obtusos
(conceitos e termos desconhecidos dos alunos)
… Conjugar várias informações para responder a cada questão.
… A capacidade de “enquadrar” ângulos em figuras.
Vários casos admitem diversas soluções e é interessante identificá-las.
Alguns casos não têm solução e é interessante perceber porquê (justificar).
Permite verificar que é possível construir um quadrilátero com 4 ângulos
retos.
… Ou com ângulos obtusos e agudos “que se compensem” (em diversas
combinações, que é interessante identificar).
… Ou com ângulos retos, obtusos e agudos “que se compensem” (idem).
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Tarefas/ComunicaçãoRaciocínio
Estratégias, dificuldades…
Alguns alunos não conseguiram durante o período de trabalho autónomo responder a
algumas das questões, mas todos conseguiram sucesso parcial respondendo
corretamente a algumas alíneas da tarefa.
Diversos alunos verificaram que os casos (f) e (h) eram impossíveis.
Alguns alunos verificaram também que era possível construir um quadrilátero com 3
ângulos retos (e nesse caso o 4.º ângulo é também reto) e que nos outros casos de
possibilidade era necessário associar ângulos agudos e obtusos (havendo várias
maneiras de o conseguir).
Analisando as dificuldades dos alunos, as professoras indicaram que estas foram maiores
na construção de um quadrilátero com 3 ângulos retos e com 3 ângulos obtusos.
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As professoras
Mostraram compreender a lógica do trabalho exploratório, propondo tarefas aos
alunos a que estes procuraram responder usando os seus conhecimento prévios,
mostrando-se atentas às suas estratégias e dificuldades.
Conduziram a comunicação na sala de aula de modo a que os alunos pudessem
exprimir livremente o seu raciocínio, justificando as suas respostas.
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Apreciação da natureza das tarefas
Problemas, exercícios…
Maria: Quando eles têm os dados todos significa que é um exercício…
Marisa: Quando eles já adquiriram as ferramentas para resolver… . . .
Maria: É uma aplicação, é uma aplicação do conhecimento em vez de . . .
Enquanto problemas é um bocadinho mais do que isso, eles têm de descobrir
qualquer coisa…
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Explorações, investigações…
A propósito da soma da amplitude dos ângulos internos de um triângulo:
Luísa: Cortaram e colaram no caderno e depois começaram a dizer: Ah!
Professora, isto dá um ângulo raso.
Francisca: E não se esquecem! Isso é muito engraçado, fica lá.
As professoras
Aceitaram que é importante distinguir diferentes tipos de tarefa (exercício/problema),
Valorizaram a exploração realizada com materiais concretos e salientaram que as
descobertas realizadas foram marcantes para os seus alunos.
Tarefas para desenvolver o raciocínio
Problema
Exercício
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Investigação
Exploração
Desafio elevado
Desafio reduzido
Estrutura fechada
Estrutura aberta
Identificação de dificuldades dos alunos
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Maria: Como é que abordavam isto? Isto é 3
4e agora como é que
lhes pediam 1
2? Como é que eles vão…?
Tânia: Primeiro tentar acrescentar…
Inês: Divide-se esta parte…
Marisa: Primeiro eles perceberem o que é que é então a…
Professoras: [ao mesmo tempo] A unidade!
Tânia: Que isto não é uma unidade.
Maria: Dividem logo em quatro.
Professoras: Pois, exatamente!
Tânia: E aí é porque ainda não sabem… Eles ainda não sabem a
noção de… eles não têm a noção da fração como parte do todo.
Joana: É que muitas vezes eles trabalham ao contrário, ou seja, eles
têm o todo e é para indicar uma parte, agora terem uma parte…
Identificação de aspetos positivos nas resoluções dos alunos
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Francisca: Em relação ao 5.º C os meninos pintaram com facilidade as frações, mas a
representação em fração muitas vezes não a fizeram. Só leem metade, pronto.
Depois, nesta da ligação [questão 3], onde eles tiveram mais dificuldade foi
exatamente no 1/4 e no 1/8. Foi muito difícil para eles.
Marisa: Se calhar fazíamos as surpresas primeiro e depois as dificuldades.
Francisca: Surpresa, surpresa, foi no exercício 4, eles conseguiram facilmente chegar a
1/4 do chocolate. Eu achei giríssimo, porque já sabem fazer a conta [4/4 – 3/4 =
1/4]. Não estava à espera.
Tânia: E é o facto de eles já representarem as frações equivalentes. Por exemplo,
antigamente [antes do programa de 2007], quando eles chegavam aqui nós
tínhamos de começar por toda esta fase, porque eles sabiam o que era 1/4, 1/2,
mas não passavam daí. Não, eles agora já sabem o que é 3/8, 3/5, portanto...
Esta primeira fase eu acho que temos de passar isto à frente porque temos de
dar como adquirido, porque isto vê-se que já foi trabalhado.
Identificação de justificações e generalizações
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Tânia: É mais uma justificação, ele vai
arranjar um exemplo.
Inês: Isto aqui é uma justificação.
…
Tânia: Mas depois na outra já têm aqui uma
generalizaçãozinha.
…
Tânia: Já não é para todos.
Joana: Exatamente.
Identificação de justificações e generalizações
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Tânia: É mais uma justificação, ele vai
arranjar um [contra-]exemplo.
Dadas duas frações a
be
c
d, se a > c e b > d
Será que a
b>
c
d?
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Raciocínio
Raciocinar: 1. fazer uso da razão para depreender, julgar ou compreender; 2. encadear pensamentos de forma lógica; 3. apresentar razões; 4. ponderar; reflectir; pensar (Do lat. ratiocinári) (Dicionário Porto Editora)
Fazer inferências de forma justificada, ou seja, obter nova informação a partir de informação dada.
Tipos de raciocínio:
Dedutivo,
Indutivo,
Abdutivo.
Raciocínio, Representações e Significação
RepresentarLinguagem natural, pictórica, algébrica, geométrica, estatística…
Significar(“Sense making”)
Formular estratégias de resolução
Formular conjeturas específicas
Generalizar
Justificar(Informal e
formalmente)
DeduçãoIndução e Abdução
Formular questões
(específicas ou gerais) Testar
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Fazer cálculos, usar definições e propriedades matemáticas
Aplicar as estratégias
Mata-Pereira, J., & Ponte, J. P. (2012). Raciocínio matemático em conjuntos numéricos: Uma investigação no 3.º ciclo. Quadrante, 21(2), 81-110.
Criação de oportunidades para justificar e generalizar
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Luísa: Por acaso houve uma tarefa que eu encontrei num livro que tinha uma
generalização. Eles ao longo das várias questões que iam fazendo depois
encontravam a generalização da comparação.
Marisa: A generalização da…?
Luísa: Por exemplo, entre frações com o mesmo denominador em que aquela que
representa o número maior é aquela que tem maior numerador. Portanto era
uma questão em que eles começavam por ter várias frações...
Marisa: Então uma das coisas que podemos fazer com que eles generalizem é a
regra para…
Tânia: Para comparar frações com denominadores iguais e com numeradores iguais
já são logo duas das que eles têm, e depois as frações unitárias eles também
(Luísa: dão)
. . .
Luísa: Em que eles vão observando uma situação que se vai passando sempre e
eles começam a perceber que aquilo é assim para todos os casos, não é?
Aula/Tarefa em três fases
1. Introdução da tarefa.
2. Trabalho autónomo dos alunos (pares, grupos, individual).
3. Discussão (apresentação e confronto de resoluções, síntese final).
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1 2 3
Preparação da discussão coletiva
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Tânia: Ah! Porque é que escolheria o B? Para já escolheríamos o 3 porque é o que está
mais correto, matematicamente é o que está mais correto.
Inês: Portanto é o que está melhor a nível de apresentação e a nível da escrita
também.
Francisca: Mas depois também se tem de chamar à atenção destas. Pegar pelos
erros, na minha perspetiva, não é dizer que isto está errado, não é inferiorizar as
crianças, não é nada disso. É tentar ver os erros e tentar esclarecer o maior número de
alunos para aqueles erros, porque não são só estes que vão fazer este tipo de leitura, há
muitos mais na turma que vão fazer exatamente o mesmo tipo de coisa. Se eu pegar
logo no que está certo quase que padronizo aquilo tudo e não tiro a ideia, a
conceção, que lá está por detrás da tal metade, não é?
A B
Tarefa: Dobra uma tira de papel em 2, 4 e 8 partes iguais. Representa de
diversas formas as partes que obtiveste.
Metade; 1
2; 1 : 2 ; 50% ; 0,5
Quarta-parte; 1
4; 1 : 4 ; 25% ; 0,25
Oitava-parte; 1
8; 1 : 8 ; 12,5% ; 12,5
Metade; 1
2; 1 : 2 ; 50% ; 0,5
Quarta-parte; 1
4; 1 : 4 ; 25% ; 0,4
Oitava-parte; 1
8; 1 : 8 ; 12,5% ; 0,8
Preparação da discussão coletiva
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Tânia: Ah! Porque é que escolheria o B? Para já escolheríamos o
B porque é o que está mais correto, matematicamente é o que
está mais correto.
Inês: Portanto é o que está melhor a nível de apresentação e a
nível da escrita também.
Francisca: Mas depois também se tem de chamar à atenção destas. Pegar
pelos erros, na minha perspetiva, não é dizer que isto está errado, não é
inferiorizar as crianças, não é nada disso. É tentar ver os erros e tentar
esclarecer o maior número de alunos para aqueles erros, porque não são só
estes que vão fazer este tipo de leitura, há muitos mais na turma que vão
fazer exatamente o mesmo tipo de coisa. Se eu pegar logo no que está certo
quase que padronizo aquilo tudo e não tiro a ideia, a conceção, que lá está por
detrás da tal metade, não é?
Aprendizagens profissionais dos professores
Os momentos aqui analisados indiciam diversas aprendizagens dos
professores:
• Desenvolveram a sua capacidade de analisar dificuldades dos alunos.
• Perceberam a necessidade de propor tarefas que promovam a
compreensão de aspetos importantes
– do conceito de ângulo (propriedades dos ângulos retos, agudos e
obtusos);
– da noção de número racional (reconstrução da unidade e comparação de
números racionais).
• Mostraram ser capazes de identificar e valorizar aspetos interessantes do
trabalho dos alunos;
• Perceberam como se pode analisar o raciocínio dos alunos e identificam
oportunidades de generalizar e justificar;
• Valorizaram as discussões coletivas, para analisar na turma soluções
erradas e tirar partido da comparação de diferentes resoluções.
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Abordagem exploratória - 1
Os alunos
Trabalham em tarefas para as quais não têm um método de resolução
imediato – para as resolver têm de construir o seu próprio método,
usando conhecimentos prévios.
Têm oportunidades para construir ou aprofundar a sua compreensão de
conceitos, procedimentos, representações e ideias matemáticas.
Assumem um papel ativo na interpretação das questões, na
representação da informação apresentada e na conceção e
concretização de estratégias de resolução.
São chamados a apresentar e justificar os seus raciocínios.
O professor
Em lugar de ensinar diretamente procedimentos e algoritmos,
mostrando exemplos e propondo exercícios para praticar,
… Propõe aos alunos um trabalho de descoberta e promove momentos
de negociação de significados, argumentação e discussão coletiva. 28
Abordagem exploratória - 2
A abordagem exploratória tem dois suportes principais:
a escolha de tarefas apropriadas, suscetíveis de promover a construção de
conceitos, a formulação de estratégias de resolução de problemas e de
conjeturas e justificações.
o estabelecimento de um ambiente de comunicação na sala de aula
capaz de favorecer a participação e reflexão por parte dos alunos, com
relevo para os momentos de discussão coletiva.
Esta abordagem enfatiza a construção de conceitos, a modelação de
situações e a utilização de definições e propriedades de objetos
matemáticos para se fazerem raciocínios – generalizar e justificar.
Presta atenção aos aspetos computacionais da Matemática, mas
valoriza os aspetos concetuais – ou seja, considera importante obter
resultados, mas mais importante ainda perceber a estratégia que foi
usada e a sua justificação. 29
Conclusão
O raciocínio é uma capacidade transversal que, embora não exclusiva da
Matemática, pode ser promovida de modo muito importante no trabalho
em Matemática.
Vertentes fundamentais do raciocínio em Matemática são as justificações
(alicerce do raciocínio dedutivo) e as conjeturas e generalizações (obtidas
na sua maioria de forma indutiva).
O trabalho em torno do raciocínio matemático não é exclusivo das anos de
escolaridade mais avançados – pode e deve começar nos primeiros anos.
Dar maior visibilidade ao desenvolvimento do raciocínio matemático,
através de uma abordagem exploratória, é um aspeto fundamental de
um ensino da Matemática com compreensão.
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Conclusão
O estudo de aula
- realizado em contexto colaborativo,
- combinando momentos de trabalho estruturado e trabalho
exploratório dos professores,
- conjugando o conhecimento proveniente da investigação com o
conhecimento experiencial dos participantes,
Constitui, para os professores, uma verdadeira investigação sobre a
prática profissional,
favorecendo o seu desenvolvimento profissional sobre questões relativas
à aprendizagem dos alunos e também relativas ao seu ensino.
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