apostila teoria - 2013 - 60

MATEMÁTICA

Teoria

Matemática básica

Este material possui toda a teoria apresentada no Curso de Matemática Básica

CENTRAL DE CURSOS PROF. PIMENTEL

SUMÁRIO

NÚMEROS DECIMAIS 1

NÚMEROS NÃO DECIMAIS 6

MÚLTIPLOS E DIVISORES 12

FRAÇÃO (NÚMEROS RACIONAIS) 17

REGRA DE TRÊS 21

RAZÃO E PROPORÇÃO 24

SISTEMAS DE MEDIDAS 33

PRINCIPAIS FIGURAS REGULARES 36

PRINCIPAIS SÓLIDOS GEOMÉTRICOS 39

EQUAÇÕES NUMÉRICAS 40

SISTEMA DE EQUAÇÃO DO 1° GRAU 43

PORCENTAGEM 48

JURO SIMPLES 53

MATEMÁTICA

1

NÚMEROS DECIMAIS

Definições

O sistema numérico que utilizamos no dia a dia é o sistema decimal. Desta forma temos 10 algarismos para representar os números:

Algarismos: São os símbolos que representam os números, assim sendo, os algarismos são representado por 10 símbolos.

0, 1, 2, 3, 4, 5 , 6, 7, 8, e 9

A cada 10 unidades formamos uma dezena;

A cada 10 dezenas formamos uma centena;

A cada 10 centenas formamos um milhar;

A cada 10 milhares formamos uma dezena de milhar;

A cada 10 dezenas de milhar formamos uma centena de milhar;

Os números são escritos obedecendo à seguinte formação:

O último algarismo representa a casa das unidades;

O penúltimo, a casa das dezenas;

O antepenúltimo, a casa das centenas;

O anterior, ao antepenúltimo da casa do milhar e assim por diante.

Exemplo: O número

4 8 3 7

4 milhares + 8 centenas + 3 dezenas + 7 unidades

VALOR ABSOLUTO × VALOR RELATIVO

Em relação ao número, o algarismo possui dois valores distintos:

1. Valor absoluto: é o valor do símbolo.

2. Valor relativo: é o valor que ele representa dentro do número.

Exemplo: no número acima:

O valor absoluto do 8 é 8 (mesmo valor do símbolo).

O valor relativo do 8 é 800 (como falamos ao ler o

número).

Todo número é a soma dos valores relativos dos algarismos que o compõe.

Exemplo: 4.837

O valor relativo de cada um seus algarismos é:

4 é 4.000

8 é 800

3 é 30

7 é 7

Somando 4.837

Podemos também escrever o número 4.837 como:

4 × 1.000 + 8 × 100 + 3 × 10 + 7 × 1

Quando dividimos um algarismo por 10, o resultado será um décimo desse algarismo, quando dividimos por 100 será um centésimo, por mil, milésimo e assim por diante.

Exemplo:

7,010

7 07,0

100

7

007,0000.1

7 0007,0

000.10

7

Os números que estão a esquerda da igualdade recebem o nome de fração decimal e os da direita número decimal.

Todo número decimal pode ser representado através de uma fração decimal e vice versa.


Lendo um número decimal

Podemos ler o número 0,725 da seguinte forma:

a. setecentos e vinte e cinco milésimos.

b. sete décimos, 2 centésimos e cinco milésimos

c. setenta e dois centésimos e 5 milésimos

Qualquer número é igual a soma dos valores relativos de seus algarismos.

1.000 100 10 1 10

1

100

1

000.1

1

3 8 2 5, 8 3 4

3 milhares 3.000

8 centenas 800

2 dezenas 20

5 unidades 5

8 décimos 0,8

3 centésimos 0,03

4 milésimos 0,004

Somando 3.825,834

Operações ( )

Soma ou Adição ( )

Na adição a ordem das parcelas não altera o valor da soma (propriedade comutativa).

Propriedade: se aumentarmos (ou diminuirmos) uma das parcelas de um determinado valor, o total ficará aumentado (ou diminuído) daquele valor.

No exemplo acima se aumentarmos a última parcela de 10 unidades teremos:

Propriedade: A operação adição pode ser resolvida por partes (propriedade associativa), essa propriedade permite dividir a soma em duas ou mais partes, assim achamos o total de cada uma das partes e depois efetuamos a adição dos resultados encontrados.

No exemplo acima, poderíamos fazer:

15 + 45 = 60 (1ª + 4ª) parcela

13 + 21 = 34 (2ª + 3ª) parcela

60 + 34 = 94

Média Aritmética

A média aritmética é obtida dividindo-se o total pelo número de parcelas. Em virtude desta definição podemos escrever:

parcelas de número

totalaritmética média

total = média aritmética × número de parcelas

aritmética média

totalparcelas de número

Exemplos

01. A média salarial dos 80 funcionários de uma empresa é de R$ 2.000,00, determinar quanto ganha em média cada mulher sabendo que o total de homens é 60 e a média salarial deles é de R$ 2.500,00.

Assim deduzimos:

F. Pgto. Empresa 80 × $ 2.000 = $ 160.000

F. Pgto. Homens 60 × $ 2.500 = $ 150.000

F. Pgto. Mulheres 20 × X = $ 10.000

20 × X = $ 10.000

X = 00,50020

000.10

20

000.10

Portanto, a média salarial das mulheres é de R$ 500,00.

MATEMÁTICA

3

02. A média salarial dos 120 funcionários de uma empresa é x se o total da folha de pagamento desta empresa tiver um aumento de R$ 60.000,00, podemos afirmar que a média salarial da empresa aumentou em:

Para descobrir quanto aumentou a média salarial da empresa basta dividir o aumento da Folha de Pagamento pelo número de funcionários. Assim:

Aumento = 120

000.60 = 500

Justificativa: se os 120 funcionários tiveram um aumento de $ 500,00, o total da folha será aumentado de 120 × 500,00 = $ 60.000,00.

Subtração ( )

178 Minuendo

– 37 Subtraendo

141 Resto ou diferença

Escrevendo em forma de igualdade

178 – 37 = 141 178 = 141 + 37

ou

178 – 37 = 141 37 = 178 – 141

Observem no exemplo acima (Prova real)

M – S = R M = S + R

M – S = R S = M – R

Propriedades: numa subtração, se aumentarmos (ou diminuirmos) o minuendo de um determinado valor, o resultado aumentará (ou diminuirá) deste valor.

No exemplo acima se aumentarmos o minuendo de 15 teremos:

193 (178 +15)

– 37

156 O resto aumentou 15

Em uma subtração, se aumentarmos (ou diminuirmos) o subtraendo de um determinado valor o resultado diminuirá (ou aumentará) deste valor.

No exemplo acima se diminuirmos o subtraendo de 12 teremos:

178

– 25 (37 – 12)

153 O resto aumentou 12

Numa subtração se aumentarmos (ou diminuirmos) o Minuendo e o Subtraendo de um determinado valor o resultado não sofrerá alteração.

No exemplo acima se aumentarmos o minuendo e o subtraendo de 3 unidades teremos:

181 (178 + 3)

– 40 (37 + 3)

141 O resultado não alterou

Multiplicação ( )

Em uma multiplicação podemos fragmentar um número de modo a facilitar a operação.

Exemplo: 29 × 41 =

29 × (40 + 1) =

29 29

× 40 + × 1

1.160 + 29 = 1.189

Divisão ( )

Escrevendo em forma de igualdade temos:

dividendo = divisor quociente + resto

Não podemos esquecer que o resto nunca poderá ser maior ou igual ao divisor.


Exemplo 1: quando dividimos 150 por 30 obtemos o mesmo resultado da divisão 15 por 3. Nesse caso estamos dividindo tanto o dividendo como divisor por 10.

3

15

1030

10150

Exemplo 2: quando dividimos 0,15 por 0,03 obtemos o mesmo resultado da divisão 15 por 3. Nesse caso estamos multiplicando tanto o dividendo como o divisor por 100.

3

15

10003,0

10015,0

Propriedade: se multiplicarmos ou dividirmos o dividendo e o divisor por um mesmo número, o resultado não se altera.

A propriedade acima nos permite, quando feita uma divisão e o número de casas decimais do dividendo for diferente do número de casas decimais do divisor, igualar o número de casas decimais com zeros e depois cortar a vírgula.

Casos Especiais:

Quando forem feitas as seguintes divisões:

Exemplo 1 (divisão por 5, “dobra-dobra”)

4,110

14

25

27

5

7

Neste exemplo utilizamos o caso: dobra-dobra, ou seja, dobramos o valor do numerador e o valor do denominador, pois a divisão fica simplificada quando o divisor é um número múltiplo de 10, já que podemos somente mudar a posição da vírgula.

Exemplo 2 (divisão por 25, “dobra-dobra”, “dobra-dobra”)

24,2100

224

250

2112

225

256

25

56

Neste exemplo utilizamos o caso: dobra-dobra, dobradobra, ou seja, dobramos o valor do numerador e o valor do denominador duas vezes, pois a divisão fica simplificada quando o divisor é um número múltiplo de 10, já que podemos somente mudar a posição da vírgula.

Regras de Sinais

Soma (+) a. sinais iguais: somam-se as parcelas e conserva-se o sinal.

Exemplo: (+3) + (+5) = +8

(–7) + (–5) = –12

b. sinais diferentes: subtrai-se um do outro e conserva-se o sinal do maior.

Exemplo: (–8) + (+3) = –5

(+10) + (–2) = +8

Subtração (–)

Troca-se o sinal (–) por (+), inverte-se o sinal do 2° termo da subtração e efetua-se a regra acima.

Exemplo: (+10) – (–3) = (+10) + (+3) = +13

(–8) – (–3) = (–8) + (+3) = –5

(–7) – (+4) = (–7) + (-4) = –11

Multiplicação e Divisão (×, ÷)

a. sinais iguais: faz-se a operação normalmente e o resultado será positivo.

Exemplo: (+24) ÷ (+2) = + 12

(–10) × (–5) = + 50

b. sinais diferentes: faz-se a operação normalmente e o resultado será negativo

Exemplo: (–40) ÷ (+8) = – 5

(+3) × (–2) = – 6

Operações Decimais Observe os exemplos abaixo:

1. 123 – 47 =

123 + 3 126

– (47 + 3) – 50

76

Podemos somar 3 aos dois números, transformando 123 em 126 e 47 em 50, deixando a conta mais fácil.

MATEMÁTICA

5

2. 467 – 85 =

467 + 15 482

– (85 + 15) – 100

382

3. 564 + 398 =

564 – 2 564

+ 398 + 2 + 400

962

4. 813 + 469 =

Solução 1

813 + 69 882

+ 469 – 69 + 400

1.282

Solução 2

813 – 31 782

+ 469 + 31 + 500

1.282

Somando 15 aos números transformamos 477 em 482 e 85 em 100, tornando mais fácil a subtração.

Nesta conta somamos e subtraímos 2 unidades, transformando 564 em 562 e 398 em 400.


NÚMEROS NÃO DECIMAIS

A base decimal não é a única a ser utilizada em, nosso cotidiano. Para tratarmos de problemas que envolvem, por exemplo, tempo ou ângulos, é necessário um tratamento diferente do utilizado anteriormente.

Ao trabalhar com divisão de números não decimais, é preciso levar em consideração o resto.

Por exemplo:

Quero dividir 200 bolinhas entre 30 meninos. Quantas bolinhas receberá cada um e quantas bolinhas sobrarão?

É lógico que você já chegou a conclusão que cada menino receberá 6 bolinhas e sobrarão 20 bolinhas. Mas vamos analisar as duas continhas abaixo:

Embora o quociente das duas contas tenha o mesmo valor, notem que na primeira o resto foi 20 e na segunda o resto foi 2; ele ficou dividido por 10.

Através do exemplo acima podemos concluir que toda vez que precisarmos do resto de uma divisão é aconselhável não usar o cancelamento, pois o resto também ficará dividido.

Dividiu bolinhas! O resto é bolinha!

Então:

Dividiu horas! O resto é hora!

Dividiu minutos! O resto é minuto!

E assim por diante.

Conversão de Unidades

Para um número não decimal ser convertido em outra unidade é necessário saber como é feita a conversão.

Exemplo 1:

Uma fábrica de fraldas embala seu produto de seguinte maneira: Cada caixa possui 23 embalagens, cada embalagem possui 15 pacotes, que por sua vez possui 25 fraldas.

Desejo comprar 1 caixa de fraldas, quantas fraldas estarei comprando no total?

Solução:

fraldas

Exemplo 2:

Um aluno mediu um ângulo com o transferidor e obteve a medida de 135,4°. A professora pediu ao menino que passasse esse valor para um número misto. Como ficaria esse número?

Solução:

È necessário ressaltar que ângulos são medidos em graus e seus submúltiplos são dados em minutos e segundos.

cccccccc135, 4

135 0,4 60 24

135 24'

Não confundir temperatura, que é medida em graus Celsius, com ângulo, que é medido em graus.

MATEMÁTICA

7

Problemas envolvendo tempo

Para facilitar nosso estudo, utilizaremos a tabela de conversão de tempo

Transformando número decimal em número misto

Ás vezes é necessário transformar um número misto em decimal ou vice versa, fato este muito usado nos problemas de velocidade.

Atenção: 2,50 h não são 2 horas e cinqüenta minutos.

2,50 h é igual a:

2 h + 0,50 h

2 h + 100

50 h

2 h + 100

50 × 60 min = 2 h 30 min

Quando a grandeza for hora ou minuto e estiver escrita na forma decimal, para transformá-la em número não decimal basta multiplicar a parte decimal por 60. O produto corresponderá aos minutos (ou segundos)

Assim temos:

2,5 horas = 2 horas e 30 min, pois 0,5 60 = 30

4,25 horas = 4 horas e 15 min, pois 0,25 60 = 15

Para transformar um número misto em número decimal basta:

1. transformar todas unidades para menor delas

2. aplicar uma regra de três para calcular a unidade desejada.

Exemplo

Transformar 4 horas e 15 minutos em horas

4 horas e 15 min = 240 min + 15 min = 255 min

Resolvendo a regra de três:

Minutos Horas

60 1

255 X

60X = 255

X = 60

255 = 4,25 horas

Exemplo 2

Transformar em número decimal: 1 ano 4 meses e 15 dias

1 ano = 360 dias

4 meses = 120 dias

15 dias = 15 dias

Total = 495 dias

Neste caso temos o ano comercial.

1 ano = 365 dias

4 meses = 120 dias

15 dias = 15 dias

Total = 500 dias

Neste caso temos o ano exato.


Dias Anos

360 1

495 X

a. ano comercial

360X = 495

X = 360

495= 1,3750 anos

Dias Ano

365 1

500 X


b. ano exato

365 X = 500

X = 360

500= = 1,3698 anos

Observem a resposta dos dois casos. A diferença ocorreu praticamente na 3ª casa decimal.

Na maioria dos exercícios devemos usar o ano comercial (principalmente quando estamos trabalhando com problemas de juros).

Exemplos

a. Passar 2 anos, 4 meses e 15 dias para dias.

Quem desce a escada (da maior unidade para a menor), multiplica.

b. Quantos dias, horas, minutos e segundos correspondem 829.565 segundos?

Estamos indo da menor para maior unidade, assim vamos subir a escada degrau por degrau. Vamos começar dividindo por 60 para descobrir quanto minutos temos, depois por 60 novamente para descobrir quantas horas, depois por 24 para descobrir o número de dias.

Portanto: 829.565 segundos corresponde a 9 dias, 14 horas, 26 minutos e 5 segundos.

Exemplo 1

Dividir 46 horas por 9

Quando dividimos horas o resto será horas. Quando dividimos minutos o resto será minutos.

O resultado é: 5 h, 6 min e 40 seg.

Exemplo 2

Dividir 48 dias por 7

O resultado é: 6 dias, 20 horas, 34 min e 17 seg

Se quisermos, podemos continuar a divisão após apurarmos os segundos, achando décimos, centésimos ou milésimos de segundos.

Exemplo 3

Transforme 1.250.000 segundos em dias, horas, minutos e segundos.

Atenção: não podemos simplificar utilizando a técnica do cancelamento.

O resultado é: 14 dias, 11 horas, 13 minutos e 20 segundos.

MATEMÁTICA

9

Exercícios com tempo (forma decimal)

01. Determinar a velocidade média de um carro que faz o percurso de 260 Km em 1 hora e 30 minutos. A velocidade média é dada pela divisão da distância pelo tempo gasto, porém antes de efetuarmos a divisão devemos passar 1 hora e 30 minutos para hora (forma decimal)

1h e 30 min = 60 + 30 = 90 min

Resolvendo a regra de três, temos:

Minutos Horas

60 1

90 X

60 X = 90

X = 60

90 = 1,50 horas

Vm =

50,1

260 = 173,33 km/h

02. Determinar a velocidade média de um carro que faz o percurso de 800 Km em 3 horas e 20 minutos.

3h e 20 min = 180 + 20 = 200 min


Minutos Horas

60 1

200 X

60 . X = 200

X = 3

10

60

200 h

Dica importante: quando a divisão não for exata é preferível trabalhar com a fração.

Assim:

Operações com Números Não Decimais

Somando números não decimais

Para somar números não decimais inicialmente somamos cada uma das unidades separadamente.

Depois iniciando pelos submúltiplos menores, extraímos as partes inteiras e somamos na coluna anterior e assim sucessivamente. Verifique o exemplo abaixo:

Efetuar:

(5 h, 45 min e 50 seg ) + (7 h, 38 min e 47 seg)

Horas Min Seg

5 45 50

7 38 45

Total 12 h 83 min 97 seg

Extraindo a parte inteira dos submúltiplos

Horas Min. Seg.

5 45 50

7 38 45

Total 12 83 97

+ 1 – 60

12 84 37

+ 1 – 60

13 24 37

Solução: 13 horas, 24 minutos e 37 segundos

Subtraindo números não decimais

A subtração deve ser efetuada de forma análoga à adição, ou seja, vamos separar as unidades por colunas e depois efetuar as operações separadamente.

Quando o minuendo for menor que o subtraendo, devemos emprestar uma unidade na casa da unidade imediatamente superior e transformá-la na unidade que estamos operando adicionando-a ao minuendo, como mostra o exemplo abaixo


Efetuar:

(8 h 12 min e 15 seg) – (3 h 45 min e 50 seg)

Horas Min. Seg.

8 12 15

– 3 – 45 – 50

Como na coluna dos segundos não é possível tirar 50 de 15, vamos até a coluna dos minutos emprestamos um minuto que corresponde a 60 segundos e adicionamos aos 15 seg.

Assim ficamos:

Horas Min. Seg.

11 + 60

8 12 15

– 3 – 45 – 50

Repetindo a operação em relação às unidades min/hora.

Horas Min. Seg.

7 + 60

8 11 75

– 3 – 45 – 50

Agora, podemos fazer a subtração.

Horas Min. Seg.

7 71 75

– 3 – 45 – 50

4 26 25

Exemplo 1:

Um operário trabalhou das 11 da manhã até as 3 da tarde. Quantas horas ele trabalhou?

Solução:

É necessário transformar a informação “3 da tarde” para 15 horas, assim podemos efetuar a subtração:

Exemplo 2:

A senhora Marili Moroe, nascida em primeiro de junho de 1926 namorou o senhor João Kenedito, nascido em 20 de maio de 1917. Qual a diferença de idade entre o casal?

Solução:

Para resolver esse problema, é necessário subtrair a idade de quem nasceu primeiro, da idade que quem nasceu depois, já que, quem nasceu primeiro tem menos anos do que quem nasceu depois

Ano Mês Dia

1926 6 1

– 1917 – 5 – 29

Assim temos que:

Ano Mês Dia

5 + 30

1926 6 1

– 1917 – 5 – 29

Agora, podemos fazer a subtração.

Ano Mês Dia

1926 5 31

– 1917 – 5 – 29

9 0 2

Portanto a diferença de idade entre os dois é de 9 anos e dois dias.

MATEMÁTICA

11

Multiplicando números não decimais por um número inteiro

Para efetuar a divisão basta multiplicar cada uma das unidades pelo número inteiro. É necessário fazer as transformações quando os valores apurados forem maiores que as unidades imediatamente superiores.

Exemplo: efetuar a multiplicação (2 anos, 4 meses e 16 dias) por 6

2 anos 4 meses 16 dias

× 6 × 6 × 6


Fazendo as transformações, temos:


× 6 × 6 × 6


+ 3 meses – 90 dias

27 meses 6 dias

+ 2 anos – 24 meses


Dividindo números não decimais por inteiro

Para efetuar a divisão basta dividir cada uma das unidades observando que:

o quociente deve ser um número inteiro

o resto deve ser adicionado à unidade imediatamente inferior após a transformação.

A última unidade permite uma subdivisão decimal.

Dividir (15 h, 26 min e 44 seg) por 8

a. dividindo 15 por 8 o quociente é 1 e o resto 7.

b. multiplicando 7 por 60 obtém-se 420 que foi adicionado ao 26

Repetindo a operação com os min/seg:

Solução: 1hora 55 minutos e 50,5 segundos


MÚLTIPLOS E DIVISORES

Quando dividimos um número a pelo número b e a conta é exata, então podemos afirmar:

1. a é um múltiplo de b ou

2. b é um divisor de a

Exemplo:

8 2 = 4 ou 8 = 4 2

8 é múltiplo de 2

2 é divisor de 8

4 e 2 são fatores de 8

Números primos: são aqueles que admitem apenas dois divisores distintos, ele mesmo e o número 1.

Exemplo:

7 13 31 47 53

Atenção: o número 1 não é primo, ele tem apenas 1 divisor.

Números primos entre si: são aqueles que têm como divisor comum apenas o número um (1).

Exemplo:

- Os divisores do número 9 são { 1, 3, 9 }

- Os divisores do número 8 são { 1, 2, 4, 8 }

OBS. : os números 8 e 9 não são primos, porém o único divisor comum entre eles é o número 1

Propriedades

O M.D.C. de dois números primos entre si é 1.

O M.M.C. de dois números primos entre si será sempre o produto entre eles.

Exemplo:

- O M.D.C entre 15 e 16 é 1

- O M.M.C entre 15 e 16 é 15 16 = 240

Regras de Divisibilidade

Por 2: todo número será divisível por 2 quando o último algarismo que compuser o número for: 0, 2, 4, 6, 8.

Exemplo:

12 24 108 412

Por 3: todo número será divisível por 3 quando a soma de seus algarismos for múltiplo de 3.

Exemplo:

27 2 + 7 = 9

132 1 + 3 + 2 = 6

Por 4: todo número será divisível por 4 quando terminar em: 00 ou o número formado pelos últimos algarismos for divisível por 4.

Exemplo:

8016 6400 8532

Por 5: todo número será divisível por 5 quando terminar em: 0 ou 5.

Exemplo:

185 4.175 9999990

Por 6: todo número será divisível por 6 quando for divisível por 2 e 3 ao mesmo tempo.

Exemplo:

6.144 termina em 4, é divisível por 2,

6 + 1 + 4 + 4 = 15, é divisível por 3.

Por 8: todo número será divisível por 8 quando terminar em: 000 ou o número formado pelos três últimos algarismos for divisível por 8.

MATEMÁTICA

13

Exemplo:

105.432 432 é divisível por 8

87.000 termina em 000

Por 9: todo número será divisível por 9 quando a soma dos algarismos for múltiplo de 9.

Exemplo:

27.873 2 + 7 + 8 + 7 + 3 = 27

27 é múltiplo de 9; portanto, 26.873 é divisível por 9

Por 10: todo número é divisível por 10 quando terminar em 0.

Exemplo:

23.840 - 48.150 - 87.131.720

Por 11: todo número é divisível por 11 quando a diferença da soma entre os algarismos que ocupam as casas de ordem par com a soma dos algarismos que ocupam as casas de ordem ímpar for zero ou múltiplo de 11.

Exemplos:

8.734 1° + 3° 4 + 7 = 11

2° + 4° 3 + 8 = 11

11 – 11 = 0

91.839 1° + 3° + 5° 9 + 8 + 9 =26

2° + 4° = 3 + 1 = 4

26 – 4 = 22

OBS.: Se dois números primos entre si são divisores de um determinado número a, então o produto dos números primos entre si também será divisor do número a

Exemplo:

o número 3 é divisor de 30

o número 5 é divisor de 30

o produto 3 5 = 15 também será divisor de 30.

Exemplo :

Usando as regras acima determinar os divisores do número 3.960.

Resolvendo:

O último algarismo é par divisível por 2

60 (dois últimos algarismos) é múltiplo de 4

divisível por 4

3 + 9 + 6 + 0 = 18 divisível por 3 e 9

termina com zero divisível por 5 e 10

(3 + 6) – (9 + 0) = 0 divisível por 11

Se 3960 é divisível por:

2 e 3 ele será divisível por 2 3 = 6














Máximo Divisor Comum (M.D.C.)

Divisores de um Número

Para obtermos o conjunto dos divisores de um determinado número, vamos seguir a seguinte regra prática:

1. divide-se o número pelo menor divisor primo.

Ex.: divisores do número 120

2. divide-se o quociente pelo seu menor divisor primo.

3. repete-se a operação sucessivamente, até que o quociente seja 1.

Desta forma estamos decompondo o nº 120 em seus fatores primos e podemos escrever:

120 = 23 31 51

4. multiplicando todos os divisores encontrados, entre si; o resultado obtido será o conjunto dos divisores do número.

Disposição Prática

1

120 2 2

60 2 4

30 2 8

15 3 3, 6, 12, 24

5 5 10, 20, 40, 15, 30, 60, 120

1

Exemplo: dados os números 48 e 120, calcular os divisores comuns.

1

48 2 2

24 2 4

12 2 8

6 2 16

3 3 3, 6, 12, 24, 48

1

Divisores Comuns = {1, 2, 3, 4, 6, 8,12, 24}

Máximo Divisor Comum: 24

Quantidade de divisores distintos de um número: basta multiplicar entre si os expoentes de cada fator primo acrescido de 1.

Exemplos:

120 = 23 31 51

números divisores de 120

(3 + 1) (1 + 1) (1 + 1) = 16

72 = 23 32

número divisores de 72 = (3 + 1) (2 + 1) = 12

48 = 24 31

número divisores de 48 = (4 + 1) (1 + 1) = 10

Forma Rápida para Determinar o M.D.C

Neste caso vamos decompor os números como fazemos no m.m.c (não há necessidade de começarmos pelos menores divisores primos, basta chegarmos a conclusão que os três números são divisíveis um determinado número para efetuar a divisão).

O m.d.c. será o produto dos divisores comuns.

MATEMÁTICA

15

Determinar o m.d.c. de 2100, 1800 e 750.

2.100 – 1.800 – 750 10 todos são divisíveis por 10

210 – 180 – 75 5 todos são divisíveis por 5


14 – 12 – 5 Não há mais divisores comuns

primos entre si m.d.c. = 10 5 3 = 150

Determinar o mdc dos números 480, 144 e 600



20 – 6 – 25 Não há mais divisores comuns

primos entre si m.d.c. = 4 6 = 24

Problemas envolvendo o máximo divisor

Para sabermos se um problema deve ser resolvido através do M.D.C, temos três dicas importantes. Na leitura do exercício, devemos chegar às seguintes conclusões:

1ª de que o problema nos passa a idéia de divisão (dividir em números de partes);

2ª de que as partes são iguais (comum);

3ª e de que normalmente procuramos o maior número de partes iguais, o que significa (máximo).

4ª após descobrirmos que o problema é de M.D.C., devemos responder as duas perguntas:

O que é o m.d.c.? (a resposta está no contexto)

O que eu estou querendo?

Exemplo

Qual é a maior quantidade de pacotes iguais que poderei fazer se tenho 840 livros, 600 cadernos e 960 canetas ?

Idéia divisão divisor

Pacotes iguais comum

Maior quantidade máximo

Desta forma a maior quantidade de pacotes iguais nada mais é do que o Máximo Divisor Comum entre os números 840, 600 e 960.

Mínimo múltiplo comum

Para determinarmos o M.M.C. de dois ou mais números, basta decompô-los simultaneamente em seus fatores primos (divisores) e, depois multiplicar os divisores encontrados, assim, o produto será o m.m.c.

180 240 108 2

90 120 54 2

45 60 27 2

45 30 27 2

45 15 27 3

15 5 9 3

5 5 3 3

5 5 1 5

1 1 1

2.160

Problemas envolvendo mínimo

Para sabermos se um problema deve ser resolvido através do m.m.c, temos três dicas importantes:

1ª na leitura do exercício devemos chegar a conclusão de que se trata de atos repetitivos (ou seja, múltiplos);

2ª após determinado intervalo, os acontecimentos deverão ser simultâneos (comuns)

3ª como normalmente procuramos a primeira coincidência, estamos diante do mínimo.

Quando o problema é de MMC, devemos responder às seguintes perguntas :

1 – É m.m.c. ?

2 - O que é o m.m.c.? (olhar contexto)

3 - O que o problema quer? (nem sempre é o M.M.C.)


Exemplo

Três viajantes passam por um determinado local respectivamente a cada 15, 20 e 25 dias. Sabendo-se que hoje os três se encontraram, quando acontecerá o novo encontro?

Observem:

a. idéia de repetição múltiplo

b. encontro em determinado dia comum

c. próximo encontro m.m.c

Resposta: será o m.m.c. (15,20,25) = 300 dias

Problemas dos pontos internos Referência: número de cortes Quando fazemos um corte, obtemos duas partes: Quando fazemos dois cortes, obtemos três partes Quando fazemos três cortes, obtemos quatro partes Quando fazemos n cortes , obtemos (n + 1) partes

5 cortes 6 pedaços Referência: número de partes.

Quando dividimos uma barra de chocolate em:

duas partes, precisamos fazer apenas um corte. três partes, precisamos fazer apenas dois cortes. quatro partes, precisamos fazer apenas três cortes. n partes, precisamos fazer apenas (n – 1) cortes.

6 pedaços 5 cortes Pontos internos + extremidades

Se temos n partes teremos :

[(n – 1) + 2] = (n + 1) pontos Onde (n – 1) é o número de pontos internos e 2 são os das extremidades .

6 pedaços 5 pontos Exemplo: Numa rua com 110 metros de comprimento serão plantadas árvores a cada 10 metros, sendo também plantada uma árvore em cada extremidade, quantas árvores serão necessárias. 110 : 10 = 11 (nº de pedaços) 11 pedaços → 10 pontos internos 10 pontos internos + 2 nas extremidades = 12 árvores Dica importante: todo problema de ponto o ideal é resolvê-lo graficamente. Exemplo 2: Um sarrafo de 1,80m deverá ser fixado numa parede qual a quantidade mínima de parafusos é necessário de modo que a distância entre eles fique sempre a mesma e ainda um dos parafusos deverá ser colocado a uma distância de 80 cm de uma das extremidades, não será fixado parafusos nas extremidades . Este problema envolve mdc (O mínimo de parafuso → Maior distância) Portanto o mdc representa o tamanho de cada pedaço. Estamos procurando número de pontos ( pontos internos) . Passando para cm temos: ( 80 cm e 100 cm) → MDC = 20 cm 80: 20 = (4 pedaços) → 3 pontos internos 100: 20 = (5 pedaços) → 4 pontos internos Total: (3 + 4) = 7 parafusos.

80 cm 100 cm

MATEMÁTICA

17

FRAÇÃO (NÚMEROS RACIONAIS)

Fração

Chamamos de fração ou de números fracionários

aqueles que são escritos da formab

a, onde a e b

são números inteiros e b ≠ 0. Fração pode ser dita como sendo uma divisão.

Nomenclatura

O número que fica acima do traço da fração recebe o nome de numerador e o que fica abaixo denominador.

rdenominado

numerador

5

3

Fração Própria

É aquela cujo valor absoluto do numerador é menor que o valor absoluto do denominador. Como conseqüência seu valor absoluto sempre será menor que 1 (um inteiro).

Exemplos

no

quadradinho =

no quadradinho =

Fração Imprópria

É aquela cujo valor absoluto do numerador é maior que o valor absoluto do denominador. Como conseqüência o seu valor absoluto sempre será maior que 1 (um inteiro).

Exemplos

no

quadradinho =

no

quadradinho =

Número Misto

É aquele composto por um número inteiro e uma fração própria.

Obs.: toda fração imprópria pode ser escrita como número misto e vice-versa.

Exemplos

a. escrever 3

7 na forma de número misto

3

7

b. escrever 3

14 na forma de fração imprópria

3

13

3

112

3

134

3

14

Fração Aparente

É aquela que embora escrita na forma de fração nada mais é do que um número inteiro.

Exemplos

3

15,

4

12,

5

10

Fração decimal

Quando o denominador de uma fração for 10 ou potência de 10 (10 ; 100; 1.000,...) ela receberá o nome de fração decimal.

Número decimal

Chamamos de número decimal todo número que após a vírgula tem um n° finito de casas decimais. Desta forma o número que ficar à esquerda da vírgula é a parte inteira e os que estão à direita de parte decimal.


Número decimal fração decimal

Para passar um número da forma decimal para forma de fração, basta escrever como numerador o número sem a vírgula e como denominador o algarismo 1 acompanhado de tantos zeros quantos forem os algarismos que estão após a vírgula:

Exemplo

2, 31 = 100

231 15,7876 =

000.10

876.157

Dízimas Periódicas

Dízima periódica é um número que quando escrito no sistema decimal apresenta uma série infinita de algarismos decimais que, a partir de certo algarismo, se repetem em grupos de um ou mais algarismos, ordenados sempre na mesma posição e chamados de período.

Exemplo

0,777777... (o 7 é o período)

0,8231231231... (o 231 é o período)

Dízima periódica simples

O período vem logo após a vírgula.

Portanto 0,7777... é uma dízima periódica simples.

Dízima periódica composta

Neste caso, o período, não vem logo após a vírgula.

0,8231231... é uma dízima composta

Toda dízima periódica pode ser escrita na forma de uma fração.

Chamamos esta fração de Fração Geratriz.

ENCONTRANDO A FRAÇÃO GERATRIZ

Na dízima periódica simples quando o número for menor do que 1.

Escrevemos a fração como se fosse um número decimal e subtraímos 1 do denominador.

Exemplo

0,333.... = 0,

Na dízima periódica simples quando o número for maior do que 1.

Devemos separar a parte inteira da decimal e escrever o nº na forma de soma. A seguir damos o tratamento anterior para forma decimal.

2,333... = 2 + 0,333... = 2

Na dízima periódica composta

1° devemos multiplicar por uma potência de dez, transformando em uma dízima simples

2° resolvemos a dízima periódica simples

3° dividimos a fração pela mesma potência de dez.

Exemplo

1° - 0,022... =(0, x 10) 10 = 0, 10 Multiplicamos e dividimos por 10

2° - 0, =

Resolvemos a dízima simples

3° -

=

Por último dividimos por 10.

MATEMÁTICA

19

Propriedade fundamental das frações

Observando as igualdades abaixo

26

12

5

10

4

8

3

6

2

4

1

2

Podemos concluir:

Se multiplicarmos ou dividirmos o numerador e o denominador de fração por um mesmo número, o resultado não ficará alterado.

Esta propriedade nos permite reduzir várias frações ao mesmo denominador (quando achamos o MMC entre eles) como também permite o cancelamento.

Operações com Frações

Soma ou Subtração

Somente podemos efetuar uma soma ou subtração de frações quando elas tiverem o mesmo denominador. Caso isso não ocorra, devemos transformá-los num mesmo denominador.

Para reduzirmos várias frações ao mesmo denominador, devemos achar o M.M.C. dos denominadores; depois, cada uma das frações terá como denominador o valor encontrado no M.M.C. e, para obtermos os novos numeradores, devemos dividir o M.M.C. encontrado pelo denominador anterior e depois multiplicar o quociente achado pelo respectivo numerador.

Depois de efetuada a redução para o mesmo denominador, efetuamos a soma ou a subtração (conforme o caso) entre os numeradores e conservamos os denominadores, observando as regras dos sinais.

Exemplo

12

4

12

31

12

3

12

1

20

23

20

15

20

8

4

3

5

2

Multiplicação

Na multiplicação, basta multiplicar os numeradores entre si, os denominadores entre si, respeitando a regra dos sinais.

Exemplo

35

6

57

23

5

2–

7

3

Divisão

Na divisão, mudamos o sinal () por (), invertermos o 2° termo da divisão e seguimos as regras acima.

Exemplo

12

10

4

5

3

2

5

4

3

2

Dicas para Resolução de Problemas com Frações

a. em matemática as preposições da, de e do significam multiplicação.

Exemplo: calcular a metade de um terço de 600

3

1

2

1 × 600 = 100

b. Quando vier a expressão do resto ou do que sobrou devemos usar a fração complementar (que falta para completar o inteiro, representada com o mesmo denominador)

Exemplo: Maria gastou de seu salário com supermercado e do resto comprou sapatos. Quanto do seu salário foi destinado à sapatos?

O resto vale 5

3

5

2

5

5

c. quando conhecemos o valor de uma determinada fração, para determinarmos o valor de qualquer outra basta utilizarmos a regra de três.


Exemplo: Se 5

2 de uma peça de tecido custa

R$ 48,00, quanto pagarei por 8

3

Fração R$

5

2 48,00

8

3 X

d. Sempre que possível, resolver o problema graficamente (através da visualização, a solução é mais rápida).

Exemplo:

Maria gastou 3

1 de seu salário com alimentação,

depois gastou 4

1 do que sobrou com aluguel

ficando com R$ 600,00. Qual era o salário de Maria?

a. representar o salário por um retângulo

b. dividir o retângulo em três e pintar uma parte, que representa a parte gasta com alimentação.

c. agora dividir o retângulo em 4 partes, pintando, na parte que sobrou a parte referente ao aluguel

Os 6 retângulos que sobraram representam o que sobrou do salário, assim podemos afirmar que:

6 = 600,00

= 100

O salário de Maria corresponde a:

12 = 1.200

MATEMÁTICA

21

REGRA DE TRÊS

Para estudarmos os problemas que envolvem regra de três simples, vamos considerar os casos abaixo:

1° Para fazer uma festa para a qual são convidadas 20 pessoas, necessito comprar 8 kg de carne; porém, se o número de convidados aumentar para 60 pessoas, quantos kg de carne terei que comprar?

Rapidamente você já deve ter concluído que deverei comprar 24 kg.

2° Para fazer um serviço em 10 dias, necessito de 8 operários; mas para fazê-lo em 5 dias, quantos operários necessitarei?

Rapidamente você conclui que deverei empregar 16 operários.

No 1° caso as grandezas são diretamente proporcionais, pois ao triplicar o número de pessoas, deverei triplicar a quantidade de carne.

No 2° caso, as grandezas são inversamente proporcionais, pois ao reduzir pela metade o tempo, deverei duplicar o número de operários.

Resolvendo a Regra de Três

Para resolvermos um problema de regra de três simples, vamos seguir a seguinte rotina:

1. Identificamos as grandezas, colocando os dados em duas colunas.

2. Estudamos a relação entre as grandezas identificadas no item 1: se são diretamente ou inversamente proporcionais.

- por convenção, colocaremos ao lado da coluna onde está a grandeza que estamos procurando (x), uma seta sempre voltada para cima.

Nas outras colunas devemos colocar as setas da seguinte maneira:

a) diretamente proporcionais, colocamos uma seta no mesmo sentido da anterior.

b) inversamente proporcionais, colocamos a seta no sentido contrário.

3. Após colocadas as setas, se elas tiverem o mesmo sentido, multiplicamos os termos em cruz e depois resolvemos a equação; se as setas tiverem sentidos contrários, invertemos os números de uma das colunas, de tal maneira que as flechas fiquem com o mesmo sentido, depois procedemos da mesma maneira anterior.

Exemplos:

No 1° caso: Diretamente proporcional

Pessoas Carne

20 8

X 60

Observe agora as perguntas, para descobrirmos quais são os tipos de grandezas com que estamos trabalhando:

Pergunta n° 1

Quanto maior o número de pessoas, necessito de mais ou menos carne?

Pergunta n° 2

– Se diminuir o número de pessoas, o que eu devo fazer com a carne?

Pergunta Resposta

Mesmo sentido

1º Aumenta Aumenta

2º Diminui Diminui


Colocando as Flechas

Pessoas Carne

20

8 Colocando as setas

60 X

Simplificando nas colunas

Pessoas Carne

1

8

(dividindo por 20 os termos da 1ª coluna) 3 X

Multiplicando em cruz

1 X = 3 8

X = 24 Kg

2° Caso: Inversamente proporcional

Dias Operários

10

8

5 X

Observe as perguntas. Para fazer o mesmo serviço:

Pergunta n° 1

Quanto mais dias, tenho que diminuir ou aumentar o número de operários?

Resposta: Diminuir.

Pergunta n° 2

Quanto menos dias, tenho que diminuir ou aumentar o número de operários?

Resposta: Aumentar

Resumindo:

Pergunta Resposta

1º Aumenta Diminui

2º Diminui Aumenta


Dias Operários

10

8

5 X

Invertendo as Setas

Dias Operários

5

8

10 X

Simplificando nas colunas

Dias Operários

1

8

(dividindo por 5 os termos da 1ª coluna) 2 X

Multiplicando em cruz

1 X = 2 8

X = 16

R: serão necessários 16 operários

Regra de três Composta

Vamos considerar o exemplo abaixo:

20 homens, trabalhando 6 horas por dia, durante 25 dias, constroem uma estrada com 1800 m de comprimento por 20 m largura, trabalhando num local de dureza 2. Quantos dias serão necessários para 25 homens fazerem outra estrada com 2100m de comprimento por 18m de largura, trabalhando 8 h/d num local de dureza 3?

– Observe que agora temos diversas grandezas. Vamos colocá-las em colunas, cada grandeza na sua coluna:

Homens H/D Dias Comp. Larg. Dureza

20 6 25 1.800 20 2

25 8 X 2.100 18 3

MATEMÁTICA

23


1° Vamos colocar a primeira flecha na coluna onde está o (x) com a seta voltada sempre para cima; esta flecha será o referencial;


20

6

25

1.800

20

2

25 8 X 2.100 18 3

2° Agora, vamos colocar as demais; repare nas perguntas, observe que os valores numéricos são o que menos interessa e, quando estamos pesquisando uma coluna, vamos supor que as demais sejam sempre setas.

P: Quanto mais homens, preciso de mais ou menos dias?

R: Menos (inversamente proporcionais = flechas contrárias)


20 6

25 1.800

20

2

25 8 X 2.100 18 3

P: Quanto mais horas por dia (H/D), preciso de mais ou menos dias?

R: Menos (inversamente proporcionais = flechas contrárias)


20

6

25

1.800

20

2

25 8 X 2.100 18 3

P: Quanto maior o comprimento, preciso de mais ou menos dias?

R: Mais (diretamente proporcionais = flechas no mesmo sentido)


20

6 25 1.800 20

2

25 8 X 2.100 18 3

P: Quanto maior a largura, preciso de mais ou menos dias?

R: Mais (diretamente proporcionais = flechas no mesmo sentido)


20

6

25

1.800 20 2

25 8 X 2.100 18 3

P: Quanto maior a dureza, preciso de mais ou menos dias?

R: Mais (são diretos = flechas no mesmo sentido)


20

6

25

1.800

20

2

25 8 X 2.100 18 3

Invertendo flechas contrárias


25

8

25

1.800

20

2

20 6 X 2.100 18 3

Simplificando nas Colunas


5 4 25 6 10 2

4 3 X 7 9 3

Rezando


5 4 25 6 10 2

4 3 X 7 9 3

Determinando X:

R – São necessários 24 dias.

o que está na cruz sobreX=

o que está fora da cruz desce

25 4 3 7 9 3 56.700X= 23,625

5 4 6 10 2 2.400


RAZÃO E PROPORÇÃO

Quando perguntamos, qual é a razão entre 8 e 2?

– Logo vem a cabeça é 4

O que fizemos?

Dividimos 8 por 2

A afirmação é correta, pois a razão entre dois números nada mais é que o resultado da divisão do primeiro número pelo segundo.

Exemplo 1

Numa prova com 50 candidatos, apenas 20 foram aprovados. Qual é a razão entre o n° de aprovados e o número de candidatos?

n° de aprovados: 20

n° de candidatos: 50

razão =5

2

50

20

Exemplo 2

A razão entre o número de homens e mulheres de uma sala é 3/2, sabendo-se que o total de mulheres é 30, qual é o número de homens?

razão =

homens = 30 = 45

Exemplo 3

Num mapa a escala (escala é a razão entre a medida no desenho e o correspondente na medida real) é de 1: 250000, calcule a distância real, sabendo-se que a distância entre 2 pontos no mapa vale 40 cm.

E =

d. real = 40 x 250.000 cm

d. real = 10.000.000 cm d. real = 100 km

Exemplo 4

A distância entre duas cidades é 300 km. Quanto tempo gasta uma pessoa para fazer esse percurso na velocidade de 75 km/h?

A velocidade é a razão . Portanto:

tempo = 4 horas

Como já deu para perceber, os problemas envolvendo razão são de fáceis soluções, uma vez que, ou conhecemos a razão e estamos procurando um dos termos, ou conhecemos os dois termos e procuramos o valor da razão.

No primeiro caso basta igualar os dados e resolver a equação; no segundo basta dividir o primeiro dado pelo segundo e teremos a razão.

Dando nome aos termos:

como se lê: (oito está para 4)

Exercícios

01. Um homem de 1,80 m de altura mediu o comprimento de sua sombra e a de um poste, e obteve respectivamente 60 cm e 2,40 m. Como ele sabe que a razão entre sua altura e a do poste é a mesma que obterá entre as sobras, é possível determinar a altura do poste? Em caso afirmativo, qual é a altura?

02. Num mapa a distância entre duas cidades é de 40 cm, qual é a distância real entre as cidades, sabendo que a escala utilizada é de 1 : 250.000?

03. O número total de alunos de uma escola é 1.200, sabendo que o número de meninos supera o de meninas em 200, determinar qual é a

MATEMÁTICA

25

razão entre o número de meninos e o número de meninas.

Proporção

Observe as seguintes razões:

Embora os antecedentes e consequentes sejam diferentes, constatamos que o valor da razão é constante. Desta forma podemos escrever:

quando temos igualdade de razão, estamos diante de uma proporção.

Como se lê:

dois está para um, assim como quatro está para dois, assim como seis está para três, assim como oito está para quatro...

Propriedades

Vamos pegar somente uma igualdade:

multiplicando em cruz, temos:

6 4 = 3 8

(os n° 6 e 4 são extremos)

(os n° 3 e 8 são meios)

Conseqüência

Observe que os termos são invertidos

6 4 = 3 8 4 6 = 3 8

6 4 = 3 8 6 4 = 8 3

Numa proporção, podemos escrever os termos da maneira que for mais conveniente.

26


Exemplo

Numa proporção, a está para b assim como 2 está para 3.

Vamos gravar esta propriedade da seguinte forma:

Primeira Propriedade

O produto dos meios é igual ao produto dos extremos.

Como conseqüência, podemos escrever os termos da proporção da forma mais conveniente, desde que multiplicando em cruz o produto fique sempre o mesmo.

Exemplo

Escrever as proporções abaixo na forma mais conveniente.

a. 3 a = 2 b

b. 5x = 3y

c. 2x = 5y

d. 2 × 5x = 3 × 3 y

É importante estarmos familiarizado com estas transformações quando estivermos resolvendo problemas que envolvem razão e proporção.

Segunda Propriedade

Quando efetuamos qualquer combinação linear (somamos ou subtraímos quaisquer múltiplos) dos antecedentes e repetirmos a mesma combinação com os antecedentes os resultados obtidos darão a mesma razão da proporção original.

Exemplo 1

somando as razões (2), (4) e (5), temos:

Exemplo 2

somando (1); (3); (5) e subtraindo (2) e (4), temos:

Exemplo 3

Multiplicando a razão (3) por 5 e somando a razão (4) multiplicado por 3 e subtraindo (5) multiplicado por 2, temos:

Esta propriedade é muito importante, pois muitas vezes conhecemos o valor de uma expressão, mas não conhecemos os valores individuais. Se determinarmos o valor da razão, será possível resolver cada razão individualmente.

No popular

Numa proporção, a razão continuará constante se, tudo que fizermos em cima, fizermos embaixo.

Aplicação

1º Caso

1. Dividir o número 240 em partes diretamente proporcionais a 2, 3 e 5:

Vamos chamar as partes por a, b e c. Não conhecemos as partes, porém, se juntarmos as três partes, teremos: a + b + c = 240

Banco de dados: a + b + c = 240

Usando a 2ª propriedade:

MATEMÁTICA

27

Passando por cota

Muitas vezes podemos resolver esses problemas mentalmente, neste caso bastaria desenvolver o seguinte raciocínio:

a corresponde a 2 cotas

b corresponde a 3 cotas

c corresponde a 5 cotas

juntas correspondem a 10 cotas

Se as 10 cotas juntas valem 240, cada cota corresponde a 24, portanto:

a = 2 × 24 = 48

b = 3 × 24 = 72

c= 5 × 24 = 120

2. Uma determinada importância foi dividida em partes diretamente proporcionais as idades de 3 pessoas que tinham respectivamente 30, 35 e 45 anos, determinar quanto recebeu o terceiro se o primeiro recebeu R$ 600,00 a menos que o segundo.

Resolvendo usando as cotas

a corresponde a 30 cotas

b corresponde a 35 cotas

c corresponde a 45 cotas

diferença corresponde a 5 cotas entre b e a

Se a diferença do número de cotas é 5 cotas e corresponde a R$ 600,00, cada cota vale (R$

600,00 5) = R$ 120,00

Portanto o corresponde a 45 × R$ 120,00 = R$ 5.400,00

Resolvendo usando a 2ª propriedade

a razão = 120

R$ 120,00 c = 45 × R$ 120,00 = R$ 5.400,00

3. Determinar o número que, quando dividido em partes diretamente proporcionais a 5, 7 e 9, o dobro do primeiro, mais o triplo do segundo, menos o terceiro, resulta 220.

– chamamos as partes de a, b e c.

2a + 3b – c = 220

banco de dados:

Usando a 2ª Propriedade:

Portanto a razão vale 10, assim temos:

Portanto o número procurado é:

50 + 70 + 90 = 210

Resolvendo usando as cotas

Dobro do 1º Corresponde a 10 cotas

Triplo do 2º Corresponde a 21 cotas

Terceiro Corresponde a 9 cotas

2.a + 3.b – c Correspondem a 22 cotas

Se 22 cotas correspondem a 220, cada uma vale

220 22 =10

A 5 × 10 = 50

B 7 × 10 = 70

C 9 × 10 = 90

Total = 50 + 70 + 90 = 210

Terceira Propriedade:

Se dividirmos R$ 1.000,00 em partes diretamente proporcionais a 2, 3 e 5, chegaremos a conclusão que a razão (ou cota) vale R$ 100,00. Desta maneira as partes correspondem respectivamente R$ 200,00; R$ 300,00; e R$ 500,00.

Agora se dividirmos R$ 1.000,00 em partes diretamente proporcionais a 20, 30 e 50, chegaremos a conclusão que a razão (ou cota)

28


vale R$ 10,00. Desta maneira as partes correspondem respectivamente R$ 200,00; R$ 300,00; e R$ 500,00.

Observem que nos dois casos embora as séries fossem diferentes o valor de cada parte não alterou (Ah! mas a razão alterou. Mas o que estamos procurando são as partes, portanto devemos nos preocupar com o valor das partes e não da razão)

Vamos tirar uma propriedade importante que vai facilitar na resolução dos problemas.

1º Caso – Divisão por números diretamente proporcionais.

Série A Equivale Série B

2 3 5 Multiplicando

Dividimos

20 30 50

Qualquer série proporcional (direta ou inversa), se multiplicarmos ou dividirmos todos os números por uma constante o resultado das partes não se altera.

Aplicação:

Simplificar as seguintes séries

Série dada Simplificando Equivalente

120 600 690 ( ÷ por 120) 1 5 8

0,125 0,25 0,5 ( ÷ por 120)

e (÷ por 125) 1 2 4

2º Caso – Divisão por números inversamente proporcionais

Dividir um número em partes inversamente proporcionais é o mesmo que dividir o número em partes diretamente pelo inverso das partes.

Exemplo: Dividir um número em partes inversamente proporcionais a 2 e 3 é o mesmo que dividir em partes diretamente proporcionais a

Exemplo

Dividir o número 3.100 em partes inversamente proporcionais aos números 2 , 3 e 5.

Se o número é inversamente proporcional aos números 2, 3 e 5; então ele será diretamente

proporcional aos números .

a + b + c = 3.100

banco de dados:

Resolvendo:

– reduzindo ao mesmo denominador

– cancelando os denominadores que são iguais:

– ficamos com um problema de divisão diretamente proporcional.

a = 15 100 = 1.500

b = 10 100 = 1.000

c = 6 100 = 600

Forma segura (simplificando os cálculos)

No exercício anterior, os números são inversamente a: 2, 3 e 5; portanto são proporcionais a 1/2, 1/3 e 1/5. Antes de montar o banco de dados, vamos reduzir ao mesmo denominador e depois fazemos o cancelamento dos mesmos.

Os números: 15, 10, 6, nesta ordem, recebem o nome de série equivalente. Agora trabalhamos normalmente como se fosse diretamente.

MATEMÁTICA

29

Forma Rápida

Para obtermos a série equivalente de uma forma pratica devemos proceder da seguinte forma:

O primeiro número da série equivalente será obtido pelo produto de todos os números da série com exceção do o primeiro número da série dada.

O segundo número da série equivalente será obtido pelo produto de todos os números da série com exceção do segundo número da série dada

Repetir a operação tantas vezes for a quantidade de números da série, e se houver necessidade efetuar a simplificação da série obtida no final.

Exemplo:

Sendo a série 2, 3 e 5 inversamente, podemos determinar a série equivalente (direta).

Série dada Tum-Tum-Tum s.equival

2 3 5 1º número 2 × 3 × 5 15

2 3 5 2º número 2 × 3 × 5 10

2 3 5 3º número 2 × 3 × 5 6

série equivalente direta é 15 , 10 e 6

Exemplos

Transformar cada uma das séries abaixo inversa na sua equivalente direta.

INVERSA Tum-Tum-Tum Canc. DIRETA

7 – 8 8 – 7 8 – 7

3 – 6 – 8 6 × 8 – 3 × 8 – 3 × 6 : 6 8 – 4 – 3

48 – 24 – 18

15 – 20 – 30 20×30 – 15×30 – 15 ×20 : 150 4 – 3 – 2

600 – 450 – 300

0,125 – 0,25 – 0,5 *

125 – 250 **

– 5001 - 2 - 4 2×4 – 1×4 – 1×2

8 – 4 – 2 : 2 4 – 2 – 1

* multiplicamos a série por 1.000

** dividimos por 125

3º Caso – Divisão simultânea por 2 séries diretas

a. Dividir 2.700 diretamente por :

2, 3, 5

e

4, 3, 2.

Atenção: o e significa multiplicação, portanto o n° será dividido pelo produto obtido da multiplicação dos números de uma série com os respectivos da outra série

1ª série 2 3 5

2ª série 4 3 2

Produto 8 9 10

A série equivalente ficou sendo 8, 9 e 10

Resolvendo:

a + b + c = 2.700

a = 800 b = 900 c = 1.000

4º Caso – Divisão simultânea por 2 séries (uma direta e uma inversa)

a. Dividir 2600 em partes diretamente proporcionais a 2, 3 e 5 e inversamente a 4, 3 e 1.

Para solução do problema temos três maneiras diferentes para trabalharmos:

a. quando temos uma série direta e uma inversa, demos dividir os respectivos números, os quocientes obtidos formarão a série equivalente;

direta 2 3 5

inversa 4 3 1

(1) quociente

(2) Achando o MMC

Eliminando o denom. 1 2 10

Série equivalente 1 2 10

b. transformando as duas séries em séries diretas .

Primeiro vamos achar a série equivalente da série inversa,

inversamente 4 3 1

diretamente 3 x 1 4 x 1 4 x 3

série equivalente 3 4 12

efetuando a multiplicação.

30


1ª série 2 3 5

2ª série 3 4 12

Produto 6 12 60

cancel. por 6 1 2 10


c. Forma rápida (rezando)

s. direta 2 3 5

s. inversa 4 3 1

Rezando 2 x 3 x 1 3 x 4 x 1 5 x 4 x 3

Cancelando 6 6 = 1 12 6 = 2 60 6 = 10


Observação: para rezar, basta colocar a série inversa sob a série direta, na mesma ordem. Para achar qualquer termo equivalente, fazemos uma cruz em cima do n° que pertence à série inversa e efetuamos a multiplicação de todos os n° contidos na cruz, porém deixaremos de fora aquele que estiver na intersecção dos traços. Obtido os produtos, podemos simplificar a série, dividindo todos os termos por um mesmo número, quando for possível.

Resolvendo

a + b + c = 2.600

a = 200 b = 400 c = 2.000

5° Caso – Divisão simultânea por 2 séries inversas

Dividir em partes

inversamente a 2, 3 e 5 e

inversamente a 4, 3 e 2.

Para resolvermos, temos dois caminhos:

a. primeiro efetuamos a multiplicação entre os termos respectivos e depois achamos a série equivalente, ou achamos a série equivalente de cada uma delas e depois efetuamos a multiplicação.

1ª série 2 3 5

2ª série 4 3 2

Produto (inversa) 8 9 10

Tum-tum-tum 9×10 = 90 8×10 = 80 8×9= 72

Cancelando p/2 45 40 36

Assim o número será dividido diretamente por;

45 40 36

b. transformando cada série em série diretamente.

Primeiro vamos achar as séries equivalentes das séries inversas,

inversamente 2 3 5

diretamente 3 x 5 2 × 5 2 × 3

s. equiv. 15 10 6

inversamente 4 3 2

diretamente 3 x 2 4 x 2 4 x 3

s. equiv. 6 8 12

efetuando a multiplicação.

1ª série (direta) 15 10 6

2ª série (direta) 6 8 12

Produto (direta) 90 80 72

cancel. Por 2 45 40 36


6° Caso

Dividir 970 diretamente por

Quando a série for fração, podemos decompô-la da seguinte forma:

Observação: chegamos a conclusão de que estamos diante de duas séries, onde os numeradores são diretamente proporcionais, e os denominadores são inversamente. Assim temos:

direto 2 1 3

inverso 3 5 4

rezando 2 x 5 x 4 1 x 3 x 4 3 x 3 x 5

série equival. 40 12 45

Banco de dados a + b + c = 970

MATEMÁTICA

31

a = 400 b = 120 c = 450

7° Caso

Dividir 940 em partes inversamente proporcionais

a

Se invertermos as frações, elas ficarão diretamente, daí por diante é só seguir o roteiro.

a + b + c = 940

Invertendo as frações e depois rezando:

(série equivalente)

Resolvendo:

a = 180 b = 600 c = 160

Regra de Sociedade

Caso 1 – Se ao constituir uma sociedade :

A entra com R$1.000,00,

B entra com R$ 2.000,00, e

C entra com R$ 3.000,00.

Na hora da divisão dos lucros, como deve ser feita?

Se A recebe uma parte,

B deve receber o dobro, e

C deve receber o triplo.

Então podemos afirmar que a divisão dos lucros deve ser feita diretamente proporcional ao capital empregado por cada sócio.

Caso 2 – Agora os participantes entram com a mesma quantia, porém:

A fica 3 meses na sociedade,

B fica 6 meses, na sociedade e

C fica 9 meses na sociedade.

A divisão do lucro também terá a mesma lógica, ou seja:

A recebe uma parte,

B recebe o dobro ,e

C recebe o triplo.

Então podemos afirmar que a divisão será diretamente proporcional ao tempo.

Resumindo: Numa sociedade a divisão dos lucros será diretamente ao tempo e ao capital empregado, ou seja:

onde

L = La + Lb + Lc

Exemplo 1

Três sócios ficaram respectivamente, 6 meses, 9 meses e 15 meses, com capitais de R$20000, R$15000 e R$10000. O lucro obtido foi de R$ 5.400. Quanto recebeu cada sócio?

Tempo capital produto s. equiv

A 6 20.000 120.000 8

B 9 15.000 135.000 9

C 15 10.000 150.000 10

Resolvendo

La = 08 200 = 1.600

Lb = 09 200 = 1.800

Lc = 10 200 = 2.000

32


Exemplo 2

Numa sociedade os sócios ficaram com os capitais aplicados conforme abaixo:

tempo capital

A 6 meses $ 2.000,00

8 meses $ 15.000,00

B 4 meses $ 12.000,00

10 meses $ 16.000,00

C 8 meses $ 20.000,00

O lucro foi de R$ 250.000,00.

Quanto coube a cada um?

Para resolvermos, vamos considerar para cada período, como se fosse um sócio diferente, depois somamos os lucros.

meses capital s. equiv. soma

A 6 2.000,00 3

8 15.000,00 30 33

B 4 12.000,00 12

10 16.000,00 40 52

C 8 20.000,00 40 40

Resolvendo

La = 66.000 Lb = 104.000

Lc = 80.000

MATEMÁTICA

33

SISTEMAS DE MEDIDAS

Medida de Comprimento

A unidade padrão de medida de comprimento é o metro. Usamos para símbolo m para indicar o metro.

Múltiplos do metro Submúltiplos do metro

1 km 1 hm 1 dam m

1 dm 1 cm 1 mm

1.000 m 100 m 10 m 0,1 m 0,01 m 0,001 m

Múltiplos Submúltiplos

km – quilômetro dm – decimetro

hm – hectômetro cm – centímetro

dam – decâmetro mm - milímetro

Obs.: Cada unidade é dez vezes maior que a unidade imediatamente inferior.

Exemplo

1 km = 10 hm 1hm = 10 dam, etc.

Conversão das unidades de comprimento

A conversão é feita deslocando-se a vírgula o mesmo número de casas, e no mesmo sentido que corresponde a mudança.

Forma Prática de Conversão

a. escrever a tabela

b. escrever o número na 2ª linha da tabela, colocando um algarismo em cada casa de modo que aquele que está acompanhado da vírgula fique na casa indicada pelo exercício.

c. Para conversão, basta colocar a vírgula na casa em que estamos convertendo.

d. Observar que depois que o número foi escrito na tabela ele ficará inalterado. Somente a vírgula é que vai se deslocar.

km hm dam m dm cm mm medida

1 8, 3 5 dam

0, 1 8 3 5 km

1, 8 3 5 hm

1 8 3, 5 m

1 8 3 5, dm

1 8 3 5 0, cm

1 8 3 5 0 0, mm

Exemplo

Transformar:

1. 8,32 m em dm 8,32 m = 83,2 dm

onde: 8 m

3 dm

2 cm

2. 57,4 dm em mm 57,4 dm = 740 mm

onde: 5 m

7 dm

4 cm

3. 835 mm em cm 835 mm = 83,5 cm

onde: 8 dm

3 cm

5 mm

Medida de Superfície

Área é a medida de uma superfície em uma certa unidade.

Unidade padrão – metro quadrado – m².

Metro quadrado de 1 m de lado.


km² hm² dam² m² dm² cm² mm²

1.000.000 m²

10.000 m²

100 m²

1 m²

0,01 m²

0,0001 m²

0,000001 m²


km² – quilômetro quadrado dm² – decímetro quadrado

hm² – hectômetro quadrado cm² – centímetro quadrado

dam² – decâmetro quadrado mm² – milímetro quadrado

34


Obs.: Cada unidade de superfície é 100 vezes maior que a unidade imediatamente inferior e 100 vezes menor que a unidade imediatamente superior.

Conversão

É feita deslocando-se a vírgula o dobro do número de casas, e no mesmo sentido que corresponder à mudança.

Exemplo

a. 132 dam² = 13.200 m²

A vírgula desloca-se duas casas para direita.

b. 32 m² = 3.200 dm²

A vírgula desloca-se duas casas para direita.

c. 3.204cm² = 0,3204 m²

A vírgula desloca-se quatros casas para esquerda.

Medida Agrária

Na agricultura, usam-se outras unidades de área. Nessas unidades, a unidade padrão é o are. Um are equivale a 1 dam². Seu símbolo é a.

1a = 1 dam² = 100 m²

O múltiplo do are é o hectare, que vale 100 ares. Seu símbolo é ha.

1 ha = 100 a

1 ha = 1 hm² = 10.000 m²

O submúltiplo do are é o centiare, que vale 0,01 are. Seu símbolo é ca.

1 ca = 0,01 a 1 ca = 1 m²

Exemplo

Transformar:

a. 3a em ca 3a = 300 ca

A vírgula desloca-se duas casas à direita.

b. 32,8 a em ha 32,8 a = 0,328 há

A vírgula desloca-se duas casas à esquerda.

Medida de Volume

Chamamos de volume a medida do espaço ocupado por um sólido em certa unidade.

Unidade padrão: metro cúbico – m3

Obs.: O metro cúbico é o espaço ocupado por um cubo de 1 m de aresta.

km³ hm³ dam³ m³ dm³ cm³ mm³

Obs.: Uma unidade de volume é igual a 1000 vezes maior que a unidade imediatamente inferior e 1000 vezes menor que a unidade imediatamente superior.

1 km3 = 1000 hm3 1 hm3= 1000m3

Medida de Capacidade

Unidade padrão: litro – l

kl hl dal l dl cl ml


kl – quilolitro dl – decilitro

hl – hectolitro cl – centilitro

dal – decalitro ml – mililitro

Cada unidade de capacidade é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior e 10 vezes menor que a unidade imediatamente superior.

Conversão:

É feita deslocando-se a vírgula o mesmo número de casas, e no sentido que corresponder à mudança.

Exemplo:

a. 15 l = 1,5 dal

A vírgula desloca-se uma casa para a esquerda

b. 4,105 l = 410,5 cl

A vírgula desloca-se duas casas para a direita

MATEMÁTICA

35

Relações importantes

Relação entre as unidades de volume e unidade de capacidade: (obs. quando falamos em relação estamos falando de regra de três)

1 m3 = 1000 l 1 dm³ = 1l 1cm³ = 1 ml

Medida de Massa

A unidade padrão de massa é o grama (cuidado não é o quilograma e não confundir peso com massa.)

kg hg dag g dg cg mg


kg – quilograma dg – decigrama

hg – hectograma cg – centigrama

dag – decagrama mg – miligrama

Obs.: Cada unidade de massa é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior e 10 vezes menor que a unidade imediatamente superior.

1 tonelada (t) = 1000 kg

Conversão:

É feita deslocando-se a vírgula o mesmo número de casas, e no mesmo sentido que corresponder a mudança.

Exemplo

a. 6 kg = 6000g

A vírgula desloca-se três casas para a direita.

b. 512 mg = 0,512 g

A vírgula desloca-se três casas para a esquerda.

Tabela genérica para conversões:

Quilo

k

Hecto

h

Deca

da

Unidade

Central

Deci

d

Centi

c

Mili

m

Lembrando que para utilizar esta tabela devemos escrever o número de forma que a vírgula fique na casa da unidade atual da medida e após isto movimentar a vírgula para a unidade desejada.

36


PRINCIPAIS FIGURAS REGULARES

Quadrado

Polígono regular que tem 4 lados iguais e 4 ângulos reto. A sua diagonal o divide em dois triângulos retângulos isósceles.

l = lado d = diagonal

perímetro = 4 l área = l 2

l 2 + l 2 = d2 Retângulo

Polígono regular que tem 4 ângulos reto; este fato faz com que os lados paralelos tenham a mesma medida. A sua diagonal o divide em dois triângulos retângulos isósceles.

a = comprimento b = largura

d = diagonal perímetro = 2 (a + b)

área = a b a2 + b 2 = d 2

Círculo Circunferência

Circunferência: é o lugar geométrico (lugar onde se encontram todos os pontos) que eqüidistam de um determinado ponto, chamado centro. Essa distância recebe o nome de raio.

Círculo: é a área limitada pela circunferência.

AO = OB = raio AB = diâmetro = 2 raio

Perímetro: é a linha que delimita o círculo = 2 raio

Área: é a parte limitada pela circunferência

= (raio)2

= 3,1416 (aproximado)

Triângulos

Triângulo é a figura plana que tem 3 lados e consequentemente 3 ângulos.

Os triângulos podem ser classificados quanto aos lados como também quanto aos ângulos.

a = lado b = lado

c = lado h = altura

A = vértice B = vértice

C = vértice

Perímetro: soma dos lados = (a + b + c)

áreabase×altura

2

Classificação quanto aos lados

Triângulo qualquer Os três lados são desiguais

Isóceles Dois lados são iguais

Equilátero Os três lados são iguais

Classificação quanto aos ângulos

Acutângulo Todos os ângulos são agudos

Retângulo Um dos ângulos mede 90o

Obtusângulo Um dos ângulos é maior que 90o

d

l

d b

a

A B O

MATEMÁTICA

37

Importante

a. A soma dos ângulos internos de triângulo mede sempre 180°

b. A altura divide o triângulo em dois outros triângulos retângulo.

c. O lado maior é sempre menor que a soma dos outros dois lados.

d. Mediana é o segmento que vai do vértice ao lado oposto do triângulo, dividindo-o em duas partes iguais

O cruzamento das medianas de um triângulo é sempre um ponto interno do triângulo e recebe o nome de baricentro. O baricentro divide a mediana em 2 partes sendo que a maior é o dobro da menor.

Caracteristícas dos Principais Triângulos

Triângulo Retângulo

Triangulo retângulo é aquele que tem um ângulo reto (90o).

Os lados que formam o ângulo reto recebem o nome de cateto e o lado oposto de hipotenusa.

Teorema de Pitágoras

Através deste teorema, na maioria das vezes podemos calcular os lados necessários para resolução dos problemas.

b2 + c2 = a2

O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos.

Outras relações entre os componentes do triângulo retângulo:

Na figura abaixo, temos

a base é a hipotenusa;

AP é altura relativa a base que chamaremos de h

m é a projeção de b na hipotenusa

n é a projeção de c sobre a hipotenusa

m + n corresponde a hipotenusa a

b2 = a n c2 = a m

h2 = m n

a × h cateto × catetoárea = ou

2 2

Triângulo Isóceles

O radical iso significa simetria, assim um triângulo é considerado isósceles se apresentar simetria, portanto ele deverá ter pelo menos 2 lados iguais com também ter pelo menos ângulos agudos iguais.

Nestas condições observamos que o triângulo ABC ficou dividido em e triângulos retângulos iguais

ABM e ACM sendo que:

AM é altura do triângulo ABC

AM é cateto dos outros dois menores

BM = MC.

Ainda em relação a este triângulo podemos afirmar que bissetriz, a mediana, a altura e a mediatriz relativa à base BC são todas coincidentes.

38


Triângulo Equilátero

É aquele que tem os três lados e consequentemente o três ângulos internos iguais que medem 60o, por isso mesmo podemos afirmar que ele também é isóceles.

Nestas condições observamos que o triângulo ABC ficou dividido em e triângulos retângulos iguais

ABP e ACP sendo que:

AP é altura do triângulo ABC

AP é cateto dos outros dois menores

BP = PC.

Ainda em relação a este triângulo podemos afirmar que as bissetrizes, as medianas, as alturas e a mediatrizes relativas a qualquer um dos lados são coincidentes .

Portanto o ponto M cruzamentos dos segmentos acima é ao mesmo tempo:

– Incentro (centro da circunferência inscrita )

– Circuncentro (centro da circunferência circunscrita)

– Baricentro (divide o segmento em duas partes na proporção de 2 para 1).

– Ortocentro (cruzamento das alturas)

Aplicação:

Dado o triângulo equilátero de lado 10, determinar:

a. sua altura;

b. sua área;

c. área da circunferência inscrita;

d. área da circunferência circunscrita

a. Calculando a altura

Aplicando Pitágoras temos:

52 + h2 = 102 h2 = 100 – 25

h2 = 75

h =

Portanto a altura mede: 35

b. Calculando a área:

3252

3510

2

alturabaseárea

c. Calculando o raio da circunferência inscrita.

Ele mede um terço da (mediana = altura)

3

35raio

d. Calculando o raio da circunferência circunscrita.

Ele mede dois terços da (mediana = altura) ou o dobro do raio da circunferência inscrtia

3

310

3

352

raio

MATEMÁTICA

39

PRINCIPAIS SÓLIDOS GEOMÉTRICOS

Cubo

Cubo é o sólido geométrico formado por 6 quadrados iguais, dispostos em perpendicular entre si, conforme a figura abaixo.

l = lado do quadrado área da face = l 2

área lateral = 4 l 2 área total = 6 l 2

Volume = base altura Volume = l 3

d2 = l 2 + l 2

d’2 = d2 + l 2

Paralelepípedo

O paralelepípedo é um sólido geométrico formado por faces planas no formato de retângulos. Observando vamos verificar que as faces paralelas são iguais:

ABEF = CDGH

ACGE = BGHF

ACBD = EGFH

AC = EG = FH = BD = a

AB = EF = CD = GH = b

AE =CG = BF = DH = c

Os segmentos GF e EH (d) são chamados de diagonais da base. Cada diagonal divide a base em 2 triângulos retângulos iguais.

O segmento AH (d’) é chamado de diagonal do paralelepípedo.

Se observarmos vamos verificar que o triângulo AEH é um triângulo retângulo onde AH é a hipotenusa.

Fórmulas:

Área da face = lado lado

Área total = soma das áreas das faces

Volume = área da base altura = (a b c)

Cilindro

r = raio g = geratriz

h = altura g = h

Área da base = × r² Área lateral = 2r × g

Área total: (soma da base)

Área lateral = 2 × área da base

Volume: área base × altura

Volume: = × r² × g

Cilindro é um sólido geométrico originado da rotação de um retângulo em torno da altura, ele é composto de duas bases circulares.

40


EQUAÇÕES NUMÉRICAS

Expressão numérica é a forma que vários números aparecem agrupados através de operações elementares ou complexas. O resultado obtido, após efetuadas as operações, obedecendo às convenções matemáticas, recebe o nome de valor da expressão.

Convenções: Numa expressão, em primeiro lugar devem ser resolvidas todas as operações que estão dentro dos parênteses ( ), apurando assim apenas um valor para cada um e eliminando os respectivos parênteses, o mesmo deve ser feito posteriormente com as operações dentro dos colchetes, [ ]; repetindo com as operações que estão dentro das chaves, { }.

Finalmente resolve-se as operações restantes.

As operações seguirão a seguinte ordem:

– primeiro as multiplicações e divisões e posteriormente as somas e subtrações.

Exemplo

50 + {30 – [25 + 50 (15 + 2 5)] – [40 (8 2 – 24 3)]}

Resolvendo e dentro dos parênteses:

50 + {30 – [25 + 50 (15 +10)] – [40 (16 – 8)]}

Resolvendo + e – dentro dos parênteses

50 + {30 – [25 + 50 (25)] – [40 (8)]}

Eliminando os parênteses:

50 + {30 – [25 + 50 25] – [40 8]}

50 + {30 – [25 + 2] – [40 8]}

Resolvendo dentro dos colchetes [ ]

50 + {30 – [27] – [5]}

Eliminando os colchetes [ ]

50 + {30 – 27 – 5}

Resolvendo dentro da chave

50 + {– 2}

Eliminando a chave

50 – 2 = 48

Propriedade Fundamental da Igualdade

A = B B = A

Esta propriedade é fundamental, pois permite, na resolução das equações, iniciarmos qualquer operação do lado da igualdade que for mais conveniente.

Procurando o Termo Desconhecido

Numa igualdade, para isolarmos um determinado termo, devemos primeiramente agrupar a expressão que contém o termo num dos lados da igualdade , e do outro lado os demais termos, lembrando que, para mudar de lado, devemos fazer a operação inversa. Essa mudança pode ser feita em várias etapas devendo seguir a ordem: soma ou subtração, depois divisão ou multiplicação. Em cada etapa, devem ser efetuadas as operações possíveis.

Exemplo

5X – 25 = 2X – 40

5X – 2X = – 40 + 25

3X = –15

X = –15 3 X = – 5

Equação do 1° Grau

É uma sentença aberta do tipo:

ax + b = 0 onde a ≠ 0

Resolução:

ax + b = 0 x =–

Conjunto verdade: –

Obs.: Sempre que tivermos igualdade e o termo desconhecido (incógnita) tiver como expoente apenas o nº 1, a igualdade será uma equação do primeiro grau. Para resolvê-la, devemos primeiramente agrupar os termos em dois blocos, um com os que apresentam a incógnita e o outro com os termos independentes, lembrando que, toda vez que mudarmos de lado na igualdade, deverá ser feita a operação contrária.

Exemplo1 – Resolver a equação

3x – 12 = 0

a = 3 b = –12

Resolvendo, temos: 3x = 12 x = =

V = { 4}

MATEMÁTICA

41

Exemplo 2 – Resolver a equação

8 (2 – x) + 3 x = 3 (2x – 5)

Aplicando a propriedade distributiva

16 – 8x + 3x = 6x – 15

Isolando os termos com x

– 8x + 3x – 6x = –15 – 16

Reduzindo termos semelhantes

– 11x = – 31

Determinando x x = = –

–

Equações com Fração

Para resolução, devemos seguir os seguintes passos:

a. reduzir todas frações ao mesmo denominador (achar o MMC)

b. cancelar os denominadores (propriedade da igualdade)

c. deixar de um lado da igualdade os termos com a incógnita

d. colocar do outro lado da igualdade os demais termos

e. efetuar a soma algébrica

f. multiplicar tudo por (–1) se o coeficiente da incógnita for negativo

g. achar o valor da incógnita

Exemplo

Resolver a equação:

–

–

a. reduzindo ao mesmo denominador

–

–

b. eliminando os denominadores e efetuando as multiplicações:

6x + 3 – 12x + 20 = 96

c. para um lado, os termos com as incógnitas; para o outro, os termos sem incógnitas:

6x – 12x = 96 – 3 – 20

d. efetuando as somas algébricas

– 6x = 73

e. multiplicando tudo por (–1)

6x = –73

f. determinado a incógnita

x = –

Equação do 2º Grau

Definição

É uma sentença aberta do tipo ax² + bx + c = 0,

onde a 0

Assim :

a. sempre será o termo que aparece com x2

b. sempre será o termo que aparece com x

c. sempre será o termo independente

Obs.: numa equação do 2° grau os termos b e c poderão ser nulos (não aparecerem na equação), porém jamais o a será nulo, se tal fato acontecer, a equação se transformará numa equação de primeiro grau.

Para determinarmos o valor de x é necessário que a equação fique da forma que foi apresentada, ou seja, sempre uma igualdade onde um dos lados é zero.

No caso de ser apresentada de forma diferente, antes de usar a fórmula resolutiva abaixo, devemos passar todos os termos para um lado da igualdade.

Fórmula resolutiva:

–

Onde:

–

42


Exemplo

Resolver a equação:

– 2x2 + 10x – 12 = 0

Banco de dados:

–

–

– – – – –

Portanto: x1 = 3 e x

2 = 2

V = {3; 2}

Analisando o

Se > 0, então teremos duas raízes reais e diferentes. O conjunto verdade V será:

–

– –

Se = 0, então teremos duas raízes reais iguais (x1

= x2 )

–

Se < 0, então não teremos raízes reais (não existe raiz de número negativo)

V = (supondo V R}

Propriedades das raízes

S = x1 + x

2 =

–

P = x1 x

2 =

Resolvendo a equação pela soma e pelo produto

Seja a equação: ax² + bx + c = 0

Se dividirmos tudo por a, teremos:

como:

– e

Toda equação do 2º grau cujo conjunto verdade é { x

1 ; x

2} poderá ser escrita da seguinte forma;

x² – S · x + P = 0

Onde S = x1 + x

2 (soma das raízes)

P = x 1 · x

2 (produto das raízes)

Equação produto ou equação quociente

Muitas vezes temos um equação sendo do produto ou quociente de outras duas equações, assim temos

E = e1 · e

2 = 0 e

1 = 0 ou e

2 = 0

E =

e

1 = 0 e e

2 0

Equações redutíveis a do 1° ou 2° grau

Se a equação proposta não é nem do 1º e nem do 2º grau, deve-se, se possível:

a. fatorar (transformá-la em multiplicação)

Exemplo 1

x3 – 4x2 – x + 4 = 0 fatorando x2

x2 (x – 4) – (x – 4) = 0 fatorando (x – 4)

(x – 4) (x2 – 1 ) = 0 Para o produto se zero

(x – 4 ) = 0 ou x2 – 1 = 0

Logo V = {1; – 1; 4}

Exemplo 2

x3 – 25x = 0 fatorando x

x – (x2 – 25) = 0 Para o produto se zero

x = 0 ou x2 – 25 = 0

Logo V = {0, + 5, – 5}

b. trocando a variável

Exemplo 3

x4 – 5x2 + 4 = 0

pode ser transformada numa equação do 2º grau se substituirmos x2 por y, assim ficamos:

y2 – 5y + 4 = 0 y =

y = 4 ou y = 1

lembrando que y = x2, temos;

x2 = 4 x = ± 2 e

x2 = 1 x = ± 1, logo

V = {– 2, – 1, 1, 2}

MATEMÁTICA

43

SISTEMA DE EQUAÇÃO DO 1° GRAU

Chamamos de sistema de equação quando estamos diante de duas ou mais equações contendo duas ou mais incógnitas

Condição necessária para resolução:

Para que um sistema seja possível e determinado, é necessário que o número de equações seja igual ao número de incógnitas, e que nenhuma das equações seja múltipla de outra equação do sistema.

Exemplo

5x – 4y = 0

2x + 3y = 23

Um sistema é considerado possível e indeterminado quando o número de incógnitas for maior que o número de equações; ou se o número de equações e de incógnitas forem iguais, porém se uma delas for múltipla de uma outra.

Exemplo

5x – 4y – z = 10

2x + 3y + 3z = 28

Observar que neste caso temos 3 incógnita e 2 equações.

Exemplo

5x – 4y – z = 10

2x + 3y + 3z = 28

6x + 9y + 9z = 84

Observar que neste caso temos 3 incógnitas e 3 equações, porém a 3ª nada mais é do que o triplo da 2ª.

Um sistema é considerado impossível quando temos duas equações, sendo que os termos que apresentam as incógnitas na segunda equação são múltiplos de um determinado número da primeira; porém o termo independente não o é.

Exemplo

2x + 3y + 3z = 28

4x + 6y + 6z = 79

Observar que os coeficientes da 2ª equação corresponde ao dobro da 1ª, porém 79 não é o dobro de 28.

Resolvendo o Sistema

Temos 3 métodos para resolver um sistema com duas incógnitas. O método da adição, da comparação e da substituição. O mais usado é o da adição, que consiste em multiplicarmos cada uma das igualdades por um número conveniente, de modo que um dos termos fique simétrico nas duas equações: Depois somamos as duas equações. Desta maneira os termos simétrico se anularam e ficaremos com apenas um incógnita

Exemplo 1

Resolver o sistema

5x + 9y = 23 Vamos eliminar o x

7x + 6y = 19 Então multiplicamos:

5x + 9y = 23 (+ 7) A primeira por (7)

(coef. de x da 2ª)

7x + 6y = 19 (– 5) A segunda por (–5) (coef. de x da 1ª)

35 x + 63 y = 161

– 35 x – 30 y = – 95

33 y = 66

y = 2

5x + 9 · 2 = 23

5x = 23 – 18 = 5

Portanto, x = 1

V = {(1; 2)}

44


Exemplo 2

3x + 2y = 11

2x – 3y = 3

Vamos eliminar o y; Então multiplicamos:

3x + 2y = 11 (+3) A primeira por (3) (coef. de y

da 2ª)

2x – 3y = 3 (+2) A segunda por (2) (coef. de y

da 1ª)

9 x + 6 y = 33

4 x – 6 y = 6

13 x = 39

x = 3

2 · 3 – 3y = 3

3y = 3 – 6 (–1)

3y = 3 y = 1

V = {(3; 1)}

Exercícios Resolvidos

01. A expressão (2x – 5)2 equivale a:

a. 4x – 2 – x + 25

b. 4x2 – 20x – 25

c. 4x2 + 25 – 20 x

d. 4x2 – 25

Produto notável: quadrado da diferença de dois termos é quadrado do primeiro menos duas vezes o primeiro pelo segundo mais o quadrado

do segundo (2x – 5)2 = 4x2 – 2 · 2x · 5 + 52

(2x – 5)2 = 4x2 – 20x + 25

02. A expressão (3x5 – 8) · (3x5 + 8) é equivalente a:

a. (3x5 – 8)2

b. 9x10 – 64

c. 6x25 – 64

d. 9x25 – 64

Produto notável: produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo

(3x5 – 8) · (3x5 + 8) = (3x5)2 – (8)2

(3x5 – 8) · (3x5 + 8) = 9x10 – 64

03. A expressão é equivalente a: (3x4 + 1)2

a. 9x16 + 1

b. 9x8 + 6x4 + 1

c. 9x16 + 6x4 + 1

d. 9x8 + 1

Produto notável: quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro mais duas vezes o primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo (3x4 + 1)2 =

9 · (x4)2 + 2 · 3x4 · 1 + 12 (3x4 + 1)2 =

9x8 + 6x4 + 1

04. A igualdade 2x – 20 = x – (–x + 10) – 10 é uma:

a. equação do primeiro grau;

b. identidade

c. insensatez

d. 0

é uma identidade

2x – 20 = x – (–x + 10) – 10

2x – 20 = x + x – 10 – 10

2x – 20 = 2x – 20

05. A raiz da equação 4x – 8 = 2x – (–x) – (–1) é:

a. negativa

b. inteira e negativa

c. 9;

d. {9}

4x – 8 = 2x – (–x) – (–1) 4x – 8 = 2x + x + 1

4x – 3x = 1 + 8x = 9 (resposta correta é c). Obs.: se o exercício pedisse o conjunto solução da equação então a resposta seria d

MATEMÁTICA

45

06. O valor de a pertencente ao conjunto N que satisfaz a igualdade; 2 (3a – 5) – 10 = a + 3 (4a – 6) é:

a. { }

b. –

c. inexistente

d. + 2

2 (3a – 5) – 10 = a + 3 (4a – 6)

6a – 10 – 10 = a + 12a – 18

6a – 13a = – 18 + 20

– 7a = 2 a = –

resposta correta é alternativa a pois o valor procurado deveria ser um número pertencente ao conjunto dos naturais

07. O conjunto verdade da equação:

a.

b. {4}

c.

d. n.d.a

160x + 20 + 144x – 96 + 60 = 75 – 60x

304x + 60x = 75 + 16

364x = 91 (91) 4x = 1

x =

08. A solução para igualdade abaixo é:

a.

b. 3

c.

d. 0,31

16x – 16 = 18 + 6x – 3 16x – 6x = 15 + 16

10x = 31 x =

10. A solução do sistema: 5x + 9y = 23 7x + 6y = 19

a. x = 1 e y = 2

b. x = 2 e y = 1

c. x = – 2 e y = – 1

d. x = – 1 e y = – 2

5x + 9y = 23 (+7)

7x + 6y = 19 (– 5)

35 x + 63 y = 161

– 35x – 30 y = – 95

33 y = 66

Y = 2

Substituindo y na igualdade

5x + 9 = 23 5x = 5 x = 1

11. O conjunto solução do sistema: 5x – 4y = 0 2x + 3y = 23

a. {(3, 4)}

b. {(4, 5)}

c. {(5, 4)}

d. {5, 4}

5x – 4y = 0 (+3)

2x + 3y = 23 (+4)

15 x + 12 y = 0

8 x – 12 y = 92

23 x = 92

x = 4

Substituindo x na igualdade

2 × 4 + 3 y = 23 5y = 15 y = 5

46


12. Podemos afirmar que no sistema:

3x + 2y = 11

2x – 3y = 3

a. x é menor que y;

b. y é a quarta parte de x;

c. x é o triplo de y;

d. y é a metade de x.

3x + 2y = 11 (+3)

2x – 3y = 3 (+2)

9 x + 6 y = 33

4 x – 6 y = 6

13 x = 39

x = 3

Substituindo x na igualdade

2 · 3 – 3y = 3

3y = 3 – 6 (–1)

3y = 3 y = 1

13. Seja 3a – 4b = 2 então temos:

7a – 9b = 7

a. a = 10 e b = 7;

b. a < b;

c. a = – 6 e b = 10;

d. a = 4 e b = 10

3a – 4b = 2 (7)

7a – 9b = 7 (–3)

21 a – 28 b = 14

– 21 a + 27 b = – 21

– b = – 7

b = 7

Substituindo b na igualdade 3a – 4 7 = 2

3 a = 30 a = 10

14. Para o sistema

os valores de x e y são respectivamente

a. 7 e 12

b. 5 e 6

c. 6 e 6

d. 7 e 6

Resolução:

1. tirar o mmc e eliminar os denominadores

2. resolver normalmente

15. O conjunto verdade do sistema:

a. {2, 10}

b. {– 0,5 , – 0,2}

c. {3, 5}

d. {5, 2}

Resolução:

1. multiplicando as duas equações 10, temos

–

2. resolver normalmente

16. O sistema

a. é indeterminado

b. é impossível

c. é satisfeito para qualquer valor de x e y

d. é falso

Observem que a segunda equação nada mais é do que o triplo da primeira, portanto o sistema é indeterminado.

MATEMÁTICA

47

17. O sistema

tem por solução:

a.

b.

c.

d. – –

Resolução:

1. achar o m.m.c e eliminar o denominador na primeira das equações;

2. resolver normalmente.

18. No sistema

a. Não tem solução

b. é impossível

c. é indeterminado pois precisamos de mais uma equação

d. n.d.a.

Para um sistema ser possível e determinado é necessário que o número de incógnitas seja igual ao número de equações, além disso nenhuma equação pode ser combinação linear das demais. Este sistema tem 3 incógnita e apenas 2 equações, portanto ele é indeterminado.

19. Se um sistema tem 4 incógnitas então para termos solução:

a. obrigatoriamente deveremos ter 4 equações,

b. deveremos ter no mínimo 4 equações.

c. Mesmo tendo 4 equações, pode ser que não teremos solução.

d. n.d.a.

A alternativa correta é a: c) Mesmo tendo 4 equações, pode ser que não teremos solução Porque se uma das equações for combinação das demais o sistema será indeterminado

48


PORCENTAGEM

Introdução

O nosso dia a dia é repleto de problemas onde a porcentagem é a ferramenta principal, apesar disto, é importante fazermos um estudo organizado do assunto uma vez que o domínio desta ferramenta torna-se indispensável para a maioria dos problemas relativos à matemática comercial.

Porcentagem

Quando falamos 15%, estamos nos referindo a uma fração cujo numerador é 15 e o denominador 100, desta forma temos:

As três formas acima são equivalentes, e durante nosso estudo ora usaremos uma, ora usaremos outra, o importante é saber transformar uma forma na outra automaticamente.

Toda fração ou toda porcentagem e sempre de alguma grandeza, que chamaremos de valor principal e a fração chamaremos de taxa, desta forma podemos escrever a seguinte:

Porcentagem = Valor Principal × taxa

Exemplo: determinar quanto vale 30% de R$ 1.400,00

Resolvendo por regra de três

Os problemas que envolvem porcentagem, podem ser resolvidos por regra de três, uma vez que o valor principal corresponde ao inteiro (100%), temos a correspondência entre as duas grandezas.

Exemplo: calcular 30% de 1.400.

% R$

100 1.400

30


Toda vez que conhecermos o valor de uma porcentagem, podemos resolver o problema através de regra três

Sabendo que ao pagar uma conta antecipadamente tive um de desconto de R$ 300,00 correspondente a 15%. Determinar o valor que paguei.

Aplicando a regra de três:

% R$

15 300

85

Reslvendo a regra de três, temos:

Notar que quando você conhece o valor de uma porcentagem, para determinar outro valor não é necessário determinar primeiro o valor principal.

Exercícios resolvidos

01. quanto é 13% de 200?

solução:

resposta: 13 % de 200 são 26

02. calcular 250% de 32.

Solução:

MATEMÁTICA

49

Resposta: 250% de 32 são 80

03. 40% de um serviço foi feito em 3 horas. Quanto tempo levará para terminar o referido serviço.

Solução:

% horas

40 3

60


Operações de venda que utilizam porcentagem

Há palavras como lucro, abatimento, comissão que vêm sempre acompanhadas de taxa percentual, sem a qual perderiam o sentido como que vimos até agora, podemos resolver problemas que envolvem essas expressões sem muita dificuldade. Veremos alguns exemplos práticos envolvendo operações comerciais.

Exemplo 1 - lucro sobre a compra

Por quanto devo vender um objeto que comprei por R$ 4.000,00, a fim de obter lucro de 20% sobre a compra?

Este é o caso mais simples e comum do cálculo de lucro, entendemos por lucro a diferença entre preço de venda e o preço de compra , para resolver esse problema, o que temos de fazer é aplicar 20% em R$ 4.000,00:

Dessa forma, o lucro será de R$ 800,00,

A venda: R$ 4.000,00 + R$ 800,00 = R$4.800,00.

A resolução deste problema é considerada de baixo grau de dificuldade, porém, se tivéssemos que achar o lucro sobre a venda com os dados

acima, ficaria complicado aplicar diretamente a regra de três, pois não conhecemos o valor principal , antes teríamos que desenvolver o seguinte raciocínio;

Se o lucro é sobre a venda, então o valor principal, que corresponde a 100% é a venda.

Como a venda corresponde a soma da compra e o lucro,

Temos a seguinte relação tanto em valores como em porcentagem:

Venda = compra + lucro

Portanto se a venda corresponde a 100% e o lucro 20% e substituindo na relação acima temos:

100% = Compra + 20% Compra = 80%

Agora sim, podemos montar a regra de três.

% R$

80 4.000

100

Portanto:

Para facilitar, nas resoluções deste problemas podemos utilizar o diagrama abaixo, conhecido como:

Para tal basta distribuir os valores conhecidos nas suas respectivas células:

Exemplo 1: Por quanto devo vender uma mercadoria adquirida por R$ 200,00 se pretendo ganhar 20% sobre a compra.

Venda = compra + lucro

Venda = Compra + Lucro

100 20 %

200 R$

Na primeira linha da coluna, para determinar o valor da venda, basta efetuar a soma (compra + venda), desta forma teremos:


120 100 20 %

200 R$

50


Desta forma, temos a regra de três pronta para ser resolvida. Reparem que a coluna do lucro vamos desprezar, pois só queremos o valor da venda.

Exemplo 2: Por quanto devo vender uma mercadoria adquirida por R$ 200,00 se pretendo ganhar 20% sobre a venda.


100 20 %

200 R$

Na primeira linha da coluna, para determinar o valor da compra, basta efetuar a (100 – 20 ), desta forma teremos:


100 80 20 %

200 R$

Novamente a regra de três já está pronta, agora temos:

O valor da venda será de R$ 250,00

Exemplo 3. Vendi certa mercadoria pelo valor de R$ 1.500,00 com prejuízo de 25% sobre o valor da compra, qual foi o valor do prejuízo.

Distribuindo:

Venda = Compra – Prejuízo

100 25 %

1.500 R$

Agora a Venda corresponde a 100% – 25% = 75%

Venda = Compra – Prejuízo

75 100 25 %

1.500 R$

Neste caso vamos desprezar a coluna da compra, a resolução da regra de três fica:

O prejuízo é de R$ 500,00.

Esta ferramenta ora apresentada é muito útil não só nos problemas de compra e venda mas também podemos utilizar em outros tipos de transações como por exemplo abatimento, montante de juros simples, etc. para tal vamos mudar o nome de vendas para valor final e de compra para valor inicial, do lucro para aumento e dos prejuízo para descontos.

Então: “o quadradinho do Pimentel”: ficaria

No caso de aumento:

Vfinal = Vinicial + aumento

%

R$

No caso de desconto:

Vfinal = Vinicial – desconto

%

R$

Dica importante:

1) O valor principal é sempre 100%

2) Quando dois valores de uma linha são conhecidos sempre é possível determinar o 30 valor.

3) A equação colocada na primeira linha sempre tem que ser observada na distribuição dos valores

4) Sempre uma coluna é desprezada.

Resolvendo através de fórmula

Para que tem facilidade para aplicar fórmulas, vamos deduzir algumas delas:

MATEMÁTICA

51

a) Quando temos lucro sobre a compra

O lucro será uma porcentagem da compra por tanto podemos escrever:

( representa a taxa utilizada.)

Substituindo na relação:

Venda = Compra + Lucro temos

Venda = Compra + Compra (evidência)

Venda = Compra (1 + )

Ou

A expressão

pode ser substituída por

Assim, toda vez que dividirmos o valor final pelo

final obteremos o índice (1 + ) onde representa a taxa de aumento (quando o valor final for maior que o inicial ) e de desconto (quando for ao contrário) .

A expressão é chamada de índice

Desta forma, quando conhecemos o valor incial e desejamos encontrar o valor final basta aplicar o índice que consiste adicionar (no caso de aumento) 1 a taxa escrita na forma decimal ou tirar o inteiro o valor da taxa no caso de desconto.

Exemplo: Por quanto devo vender um objeto que comprei por R$ 4.000,00, a fim de obter lucro de 20% sobre a compra?

Venda = Compra substituindo na fórmula.

Venda = R$ 4.000,00

b) Prejuízo sobre a compra

O prejuízo será uma porcentagem da compra por tanto podemos escrever:

Prejuízo = Compra ( representa a taxa utilizada.)


Venda = Compra – Prejuízo temos:

Venda = Compra – Compra (compra em

evidência)

Venda = Compra (1 – )

Ou

–

c) Lucro sobre a venda

O Lucro será uma porcentagem da venda por tanto podemos escrever:

Lucro = Venda ( representa a taxa utilizada.)


Venda = Compra + Venda (ajeitando)

Compra = Venda – Venda (evidência)

Compra = Venda –

Ou

–

d) Prejuízo sobre a venda

O Prejuízo será uma porcentagem da venda por tanto podemos escrever:

Prejuízo = Venda ( representa a taxa utilizada.)


Venda = Compra – Venda (ajeitando)

Compra = Venda + Venda (evidência)

52


Compra = Venda

Ou

–

Exemplo: comprei certa mercadoria por R$ 1.200,00 ao vendê-la tive um prejuízo sobre a venda de 25%. Qual foi o valor da venda?

Compra = Venda

1.200,00 = Venda

Venda =

= 960

Venda = R$ 960,00

Exemplo: Calcular o lucro e por quanto devo vender um objeto que comprei por R$ 4.000,00 para ganhar 20% sobre o preço de venda.

a) Vamos achar o valor da venda

b) Calculamos o valor do lucro

Compra = Venda

4.000 = venda

Lucro = venda – compra

Lucro = 5.000 – 4.000 = 1.000

Aumentos e descontos sucessivos

Quando temos aumentos e descontos sucessivos temos até três maneiras para resolver o problema

1ª) resolve um a um cada um dos aumentos/descontos até chegar no valor final, lembrando que o valor encontrado na primeira operação será a base de cálculo para a segunda e assim por diante, o inconveniente deste método que poderá ser longo e consequentemente demorado.

2º) Um método rápido é através do uso da fórmula. Lembrando que:

Na primeira operação temos:

Na 2ª. o valor inicial será o valor final da 1ª. operação

Na 3ª. o valor inicial será o valor final da 2ª. operação e assim por diante, em resumo temos.

O Produto de todos os índices fornecerá o índice final.

3º) Utilizando a régua “a régua do Pimentel”

Para utilização deste método o interessante é dar para o valor inicial 100, mesmo que ele seja conhecido.

Exemplo:

Uma mercadoria teve os seguintes reajustes: aumento de 10%, 20% e 25% e finalmente um desconto de 40%. Quanto essa mercadoria aumento ou diminuiu no final.

Chamando de Valor inicial de 100, temos:

O Valor inicial é 100 e o final é de 99.

Assim diminuiu de R$ 1,00.

Observem que como a escolha para o valor inicial

foi de R$ 100,00, bastou fazer – e

obtivemos o resultado.

Porém se tivéssemos utilizado outro valor deveríamos utilizar a fórmula:

MATEMÁTICA

53

JURO SIMPLES

Introdução

Nos preços de venda de objetos expostos em vitrinas de lojas, geralmente se observam cartazes com os seguintes dizeres:

R$ 2.400,00 à vista ou

em 6 prestações de R$ 520,00

O comprador já sabe que, a prazo, o preço aumenta. Para o vendedor, tudo se passa como se ele estivesse emprestando $ 2.400,00 ao comprador, que os devolverá com um acréscimo referente ao seu aluguel.

Esse acréscimo é chamado de juros.

O mesmo acontece nos empréstimos pessoais em bancos ou nos financiamentos de quaisquer bens.

Esses juros nem sempre são calculados da mesma maneira. Neste capítulo estudaremos uma delas.

Juros Simples

Em geral, os juros são calculados periodicamente: ao final de um dia, de um mês, de um ano, ou de qualquer outro período pré-fixado por ocasião do investimento ou empréstimo.

Se os juros têm taxa fixa e forem calculados sempre a partir da quantia inicial, são chamados, então, de JUROS SIMPLES.

Por exemplo, considere um empréstimo no valor de R$ 2.000,00 pelo qual se deverão pagar 5% de juros simples por mês.

Ao final de um mês, os juros serão:

5% de $ 2.000,00 =

2.000 = 100

No segundo mês, estes juros dobram, no terceiro triplicam, e assim por diante. Para calcular os juros num período n de tempo, poderíamos fazer:

juros = 2.000

n

De um modo geral, os juros simples J, resultantes da aplicação de um capital C a uma taxa i durante um período n de tempo, podem ser calculados através da fórmula:

J = C × i × n

Aqui, naturalmente, i e n devem ter as mesmas unidades. Por exemplo: se temos uma taxa diária, n deverá ser em dias; se a taxa for mensal, n deverá ser em meses, etc.

Taxa e Período

Como já foi observado no item passado, nos problemas de juros devemos tomar um cuidado especial no manejo das taxas e dos períodos de tempo, a fim de não tratá-los com unidades diferentes.

Precisamos prestar atenção também no fato de que os juros podem ser calculados com base no mês e no ano comercial ( 30 e 360 dias respectivamente) ou com base no mês e no ano civil. Trataremos destes problemas por meio de exemplos.

Exemplo 1

Calcular o juro simples que um capital de $ 2.500,00 rende à taxa de 27% a.m., quando aplicado de 1 de fevereiro até 14 de maio.

Na resolução desse problema, vamos fazer o seguinte cálculo:

fevereiro = (28 – 1) = 27

março = 31

abril = 30

maio = 14

total de dias 102

Observem que o tempo e a taxa estão em unidades diferentes, vamos passar o tempo para mês lançando mão da regra de três.

Dias mês

30 1

102 X

Usando a fórmula: J = C × i × n

54


J = 2.500 ×

= 2.295,00

Portanto, o juro foi de $ 2.295,00.

Exemplo 2

Um investimento de juros simples, realizado com base no ano civil, em 18 de julho, rendeu em 30 de setembro, à taxa de 80% a.a, juros de $ 118,40. Calcular a quantia investida.

Ano Civil = 365 dias

Calculando os dias:

Julho (31 – 18) = 13

Agosto = 31

setembro = 30

total de dias = 74

Passando dias para ano

Dias Ano

365 1

74 X

Aplicando a fórmula: J = C x i x n

= 730,00

Portanto, foram investidos $ 730,00.

Exemplo 3

Um banco anuncia que um investimento de $ 952.380,00 rende em seis meses a quantia de $ 104.762,00. Qual é a taxa anual, calculada com base no ano comercial?

Como o problema pede taxa anual, vamos passar 6 meses para ano, ou seja 6 meses = ½ ano

Lembrando-se de que J = C x i x n, temos:

J = 104.762 = 952.380 ×

= 104.762

= 22

Portanto, a taxa anual é de 22%.

Exemplo 4

Calcular em quanto tempo um capital de $ 1.200,00 renderá $ 144,00 de juros, quando aplicado a 3% a.m.

144 = 1.200

= 144

= 4

Como a taxa é mensal, o tempo encontrado também é dado em meses. Portanto serão necessários 4 meses.

MATEMÁTICA

55

Montante

Há problemas em que é necessário trabalhar com a soma capital mais os juros. O resultado dessa soma recebe o nome de MONTANTE, ou seja:

Nessa expressão, M é o montante, C é o capital e J os juros.

Como J = C x i x n, podemos escrever a expressão acima da seguinte maneira:

Colocando C em evidência, obtemos:

Essa fórmula relaciona o montante com o capital, com a taxa e com o período de tempo.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1. Qual é o montante resultante de uma aplicação de $ 29.800,00 à taxa de 12% a.m. durante 6 meses ?

Vamos determinar os juros:

J = C i n

Sendo o Montante = Capital + Juros, temos:

M = $ 29.800,00 + $ 21.456,00 = $ 51.256,00

Poderíamos resolver esse problema, usando a fórmula:

M = C (1 + i n)

Assim, temos:

M = 29.800 ( 1 + 0,12 6)

M = 29.800 1,72 = 51.256

Resposta: De qualquer maneira que se resolva esse problema, o montante será de $ 51.256,00.

2. Coloquei uma certa quantia em um banco a 120% a.a. e retirei, depois de 4 anos, $ 928 000,00. Quanto recebi de juros, sabendo que a aplicação foi feita à base de juros simples?

Solução

Como J = C i n,

então: J = C 1,2 4

J = 4,8 C

M = C + J → M = C + 4,8 C

M = C + J 928.000 = C + 4,8 C

928.000 = 5,8 C

= 160.000,00

O capital investido foi, portanto, de $ 160.000,00. Para achar os juros, basta subtrair o montante do capital:

M = C + J J = M - C

J = 928.000 – 160.000

Poderíamos também resolver usando as fórmulas

M = C (1 + i n) ou C = M

i n1 .

Nessas fórmulas, substituindo as letras pelos valores, temos:

C = 928 000

1 1 2 4

.

,

M = C + J

J = 768.000,00

56


C = 928 000

5 8

.

, = 160 000

Resposta: De qualquer maneira, os juros serão de R$ 768.000,00, pois

M = C + J J = M - C

Portanto: J = 928.000 - 160.000 =768.000

RESOLVENDO MONTANTE POR REGRA DE TRÊS

Para resolvermos um problema de montante através da regra de três vamos utilizar “o quadradinho do Pimentel”:

Uma vez que o montante é o valor final de uma aplicação e os juros representa o acréscimo, basta dentro do “o quadradinho do Pimentel”: no lugar de Vfinal escrever Montante, e na coluna do lucro escrever juros, assim termos:

M = C + J

%

R$

O único cuidado que devemos tomar é que porcentagem que representa os juros é o produto da taxa pelo tem, desta forma, o “o quadradinho do Pimentel”: ficará :

M = C + Juros

)100( ni 100 )( ni %

$ $ $ R$

O capital sempre corresponderá a 100%.

Exemplo 1: Determinar o capital que, aplicado à taxa de 5% a m., durante 4 meses, gerou um montante de R$ 48.000,00.

20%45%ni

5%i

meses 4n

capital

48.000,00 montante

dados de Banco

?

M = C + Juros

120 100 20 %

48.000 x R$

Resolvendo a regra de três

40.000,00=120

100× 48.000 =x

120. C = 100.4800 4.000 120

4800 . 100 C

120. C =.480.000

Portanto o Capital será de R$ 40.000,00

Exemplo 2: Após 3 meses de aplicação a juros simples, um aplicador resgatou um montante de R$ 23.600,00. Qual o valor dos juros se a taxa contratada foi de 6% a m?

%136%ni

6%i

meses 3n

juros

23.600,00 montante

dados de Banco

8

?

M = C + Juros

118 100 18 %

23.600 x R$

Resolvendo a regra de três

3.600,00=118

18×23.600 =x

Portanto o juro será de R$ 3600

MATEMÁTICA

57

Calculando tempo médio, taxa média ou Capital médio

Introdução:

Se uma pessoa fizer os seguintes investimentos no regime de juros simples:

CAPITAL

R$

TAXA

% a.m

TEMPO

meses

1º. 20.000,00 3,5 4

2º. 45.000,00 5 6

3º. 25.000,00 6 3

4º. 30.000,00 4 5

Com esses dados podemos pedir para ser calcular a taxa média.

Para fazermos o cálculo, a somatória dos juros das aplicações deverá ser igual quando calculado com a taxa média.

Assim teremos:

800.24100

5,3000.20 1J

500.136100

5000.45 2J

500.43100

6000.25 3J

000.65100

4000.30 4J

Calculando com a taxa média, teremos:

mm1 iiJ 000.804000.20

mm2 iiJ 000.2706000.45

mm3 iiJ 000.753000.25

mm4 iiJ 000.1505000.30

Somatório dos juros = 575.000 mi

Como os somatórios são iguais, temos a igualdade:

575.000 mi = 26.800

Portanto: 000.575

800.26mi

mi = 0,0466 = 4,66%

A taxa média é de 4,66%

Observem que o numerador foi a somatória J1+J2 + J3 + J4 e o denominador somatória do

Capital taxa, de cada uma das aplicações.

Para achar o tempo médio o numerador continua o mesmo só que o denominador será a somatória

do Capital

Para achar o valor médio o numerador continua o mesmo só que o denominador será a somatória da taxa tempo.

Facilitando as coisas:

taxa) tem (não nCj onde jjj

jjjim

´

´´´ 321

321

tempo) tem (não iCj onde jjj

jjjnm

´

´´´ 321

321

capital) tem (não nij onde jjj

jjjCm

´

´´´ 321

321

Exemplo de aplicação:

Determinar a taxa média, o tempo médio e também o valor médio das seguinte aplicações feita de através do sistema de juros simples.

CAPITAL

R$

TAXA

% a.m

TEMPO

meses

1º. 20.000,00 4 4

2º. 30.000,00 5 6

3º. 25.000,00 6 3

58


Para aplicação, podemos na série do Capital dividir tudo por 5.000,00 (esse procedimento não altera o resultado pois estaremos dividindo os valor no numerador e também no denominador pelo mesmo número.

Após o cancelamento o quadro ficará :

C i n niC nC iC ni

1º. 4 4 4 64 16 16 16

2º. 6 5 6 180 36 30 30

3º. 5 6 3 90 15 30 18

somatório 334 67 46 64

Assim, temos :

67

334mi = 4,985 %

46

334mn = 7,26 meses = 7 meses +

100

26 m

mn = 7 m e 8 d

64

334mC 5.000

mC = 26093,75

como dividimos, temos que multiplicar, uma vez que o capital não foi para o denominador

apostila teoria - 2013 - 60

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