apostila teoria da amostragem

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TEORIA DA MOSTRAGEM 1- INTRODUÇÃO A amostragem e, em particular, os processos de amostragem se aplicam em diversas áreas do conhecimento e constitui-se, muitas vezes, a única forma de obter as informações sobre uma determinada realidade.

A teoria da amostragem é, portanto, um dos instrumentos que possibilita o conhecimento científico da realidade, onde outros processos ou métodos alternativos, por razões diversas, não se mostram adequados ou até mesmo possíveis.

A teoria da amostragem estuda as relações existentes entre uma população e as amostras extraídas desse universo. É útil para avaliação de grandezas desconhecidas da população, ou para determinar se as diferenças observadas entre duas amostras são devidas ao acaso ou se são verdadeiramente significativas.

Em geral, a maioria das pesquisas observacionais consiste em estudar os elementos que compõem a amostra, extraída ao acaso da população de interesse (universo). O conceito de população é intuitivo; trata-se de um conjunto de indivíduos (ou objetos) que apresentam, em comum, determinadas características de interesse. Amostra é um subconjunto da população.

É compreensível que o estudo de todos os elementos da população possibilitaria o conhecimento “preciso” das variáveis pesquisadas (censo); todavia, nem sempre é possível obter informações de todos os elementos da população. Limitações de tempo, custo e as vantagens das técnicas de amostragem que proporcionam maior qualidade dos dados levantados justificam o seu uso. Torna-se claro que a representatividade da amostra depende do seu tamanho e de outras considerações de ordem metodológica. Isto é, o investigador procurará cercar de todos os cuidados, sempre visando obter uma amostra significativa, ou seja, que de fato represente "bem" toda a informação contida na população.

Após identificar o tipo de dados que deverão ser selecionados e a elaboração de um instrumento (questionário estruturado, por exemplo), o passo seguinte consiste em definir um plano de amostragem adequado

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e o instrumento de análise, visando assegurar a confiabilidade e a comparabilidade desses dados.

Assim, o plano de amostragem deverá começar por determinar qual o nível de extensão geográfica em que o processo de amostragem deverá ser conduzido (mundial, nacional, regional, urbano, rural, grupo de indivíduos, etc).

A construção da amostra propriamente dita envolve várias etapas igualmente importantes e que são:

(i) Identificação da população alvo/população inquirida: A identificação da população de uma forma clara e objetiva é imprescindível, embora possa parecer demasiado óbvia em muitas circunstâncias. Designa-se por população alvo a totalidade dos elementos sobre os quais se deseja obter determinado tipo de informações. Exemplo 1: Um estudo sobre as intenções de voto teria como população alvo todos aqueles que estão em idade e em condições de votar. No entanto, a população inquirida poderia incluir apenas aqueles que votaram nas últimas eleições.

Resumindo, a população alvo é constituída por todos os elementos sobre os quais se deseja obter um determinado conjunto de informações. No entanto, em muitas situações, não é operacional inquirir uma amostra retirada da população alvo e, portanto, haverá necessidade de definir qual população será inquirido, não coincidente com a população alvo e, a partir disso, retirar a amostra. (ii) Métodos de Seleção da Amostra: Basicamente, existem dois métodos para seleção da amostra: probabilístico (aleatório) e não probabilístico (ou intencional). (iii) Dimensionamento da Amostra: Escolha do plano de amostragem e a determinação do tamanho ótimo da amostra, de acordo com a precisão desejada (erro aceitável e determinado pelo pesquisador),

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variabilidade das informações e custo para a coleta da informação.

2- MÉTODOS DE SELEÇÃO DA AMOSTRA

O processo de amostragem pode ser do tipo probabilístico (aleatória) ou não probabilístico.

Na amostragem probabilística (aleatória), cada elemento da população tem uma probabilidade conhecida e diferente de zero de fazer parte da amostra.

2.1 - AMOSTRAGEM PROBABILÍSTICA (ALEATÓRIA)

Como foi dito, os métodos de amostragem probabilística (aleatória) exigem que cada elemento da população tenha uma probabilidade conhecida de ser selecionado. Assim, se N for o tamanho da população, a probabilidade de cada elemento fazer parte da amostra será de 1/N.

Somente com base em amostragens probabilísticas é possível fazer inferências estatísticas sobre a população, a partir do conhecimento da amostra, permitindo ainda medir a sua precisão. Ou seja, uma das vantagens da amostragem aleatória é a possibilidade de estimar as margens de erro dos resultados que são devidas à amostragem.

Além disso, o uso da amostragem aleatória evita a ocorrência de viés na seleção.

No entanto, devemos comentar algumas dificuldades na seleção de uma amostra aleatória. A principal dificuldade consiste na obtenção de uma listagem completa da população para serem inquiridas. Estas listagens são, na maioria dos casos, difíceis de conseguir, de custo elevado, demoradas na sua obtenção e nem sempre de confiabilidade aceitável.

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O segundo tipo de dificuldades relaciona-se com as não respostas. Depois de definidos os respondentes, não poderá haver substituições, pois as não-respostas constituem uma fonte importante de viés e, portanto, teremos que fazer de tudo para que a sua taxa seja minimizada. Todas as novas tentativas (por entrevista pessoal, telefone ou correio) para obter respostas bem sucedidas implicam no aumento de custos e demora na obtenção dos resultados.

A amostragem aleatória é, sem dúvida, o processo mais caro, mas os custos tendem a ser de pouca importância face à confiabilidade dos resultados obtidos.

2.1.1 Amostragem Aleatória Simples (AAS)

É o processo mais elementar e freqüentemente utilizado. Atribui-se a cada elemento da população um número distinto. Se a população for numerada, utilizam-se esses "rótulos". Efetuam-se sucessivos sorteios até completar o tamanho da amostra, n. Para realizar os sorteios, utilizam-se "tabelas de números aleatórios" que apresentam seqüências dos dígitos de 0 a 9, distribuídos aleatoriamente.

Se, por exemplo, a população tem 1000 elementos (N = 1.000), pode-se numerá-los de 000 a 999. Primeiro, faz-se um sorteio da posição (linha da tabela de números aleatórios), em seguida, retiram-se conjuntos de três algarismos para escolher os elementos que irão compor a amostra, n = 50. Suponha que a seqüência de dígitos aleatórios seja: 385; 559; 555; 432; 886; ...; logo, esses elementos serão os componentes da amostra.

Se o número sorteado superar o maior número dos elementos rotulados, abandona-se o número sorteado, prosseguindo-se o processo. Se o número sorteado for repetido, convém abandoná-lo.

Outro exemplo: Selecionar uma amostra, ao acaso, com n = 5 elementos de uma população de tamanho N = 30.

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Exemplo 2: Considere uma população X1, X2, ... , XN e uma amostra aleatória obtida de algum processo probabilístico, X1, X2, ... , Xn .

(a)- Quando a amostragem é feita com reposição, por exemplo, n = 2 temos:

212111211

1

N)xX(P).xX(P)xXxX(P ====================∩∩∩∩==== e

NN/

N/)xX(P

)xXxX(P)xX|xX(P

1

1

1 2

11

1211

1112========

====

====∩∩∩∩================

(b)- Quando a amostragem é feita sem reposição, temos:

01211

========∩∩∩∩==== )xXxX(P e sendo N

)xX(P1

11======== , então

1

11122

−−−−============

N)xX|xX(P

)xX(P)xXxX(P

)xX|xX(P11

2211

1122====

====∩∩∩∩================

6

)N(.

N)xX|xX(P).xX(P)xXxX(P

1

111122112211

−−−−========================∩∩∩∩====

Exemplo 3: Considere a população hipotética {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}.

A média da população é dada por: 59

921====

++++++++++++====

...µ .

Retiremos dessa população amostra de tamanho n = 3.

(a)- Com reposição:

(a1)- amostra com os menores valores

→ 1, 1, 1 → 13

111====

++++++++====x → µε −−−−==== x = 1 – 5 = - 4

(a2)- amostra com os maiores valores

→ 9, 9, 9 → 93

999====

++++++++====x → µε −−−−==== x = 9 – 5 = 4

Portanto, 4≤≤≤≤−−−−==== |x||| µε

(b)- Sem reposição:

(bl)- amostra com os menores valores

→ 1, 2, 3 → 23

321====

++++++++====x → µε −−−−==== x = 2 – 5 = - 3

b2)- amostra com os maiores valores

→ 7, 8, 9 → 83

987====

++++++++====x → µε −−−−==== x = 8 – 5 = 3

Portanto, 3≤≤≤≤−−−−==== |x||| µε

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Neste caso, podemos verificar que o erro amostral é menor quando se usa amostragem sem reposição.

2.1.2 Amostragem Estratificada (AE)

No caso de população heterogênea em que podemos distinguir subpopulações mais ou menos homogêneas (estratos), é possível utilizar o processo de amostragem estratificada.

As variáveis de estratificação mais comuns são: classe social, idade, sexo, profissão, etc. ou qualquer outro atributo que revele os estratos dentro da população.

Após a determinação dos estratos, seleciona-se uma amostra aleatória simples de cada subpopulação (estrato).

Exemplo 4: Considere o exemplo anterior. Devemos usar uma variável de interesse (critério) para dividir a população em estratos. No exemplo, o critério de estratificação será:

E1: grupo formado pelos três menores valores; E1 = 1, 2, 3

E2: grupo formado pelos três valores centrais; E2 = 4, 5, 6

E3: grupo formado pelos três maiores valores; E3 = 7, 8, 9

Selecionemos dessa população um elemento de cada estrato para formarmos amostras aleatórias de tamanho n = 3.

(a1)- amostra com os menores valores

→ 1, 4, 7 → 43

741====

++++++++====x → µε −−−−==== x = 4 – 5 = - 1

(a2)- amostra com os maiores valores

→ 3, 6, 9 → 63

963====

++++++++====x → µε −−−−==== x = 6 – 5 = 1

Portanto, 1≤≤≤≤−−−−==== |x||| µε

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Podemos verificar que, quando a população não é homogênea, o

uso de amostragem estratificada diminui o erro amostral. Assim, no caso de população heterogênea em que podemos

distinguir subpopulações mais ou menos homogêneas, denominadas estratos, é possível utilizar o processo de amostragem estratificada.

As variáveis de estratificação mais comuns são: classe social, idade, sexo, profissão, etc. ou qualquer outro atributo que revele os estratos dentro da população.

Após a determinação dos estratos, seleciona-se uma amostra aleatória simples de cada subpopulações.

Para especificar o número de elementos de cada estrato que irá compor a amostra total, consideram-se duas situações: uniforme e proporcional Uniforme De k estratos retiram-se amostras de mesmo tamanho. Usada quando os estratos populacionais possuem o mesmo tamanho, ou seja,

kn

ni ====

Tabela 1 – Número de propriedades amostradas uniformemente de uma população estratificada quanto à área.

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Proporcionais

Quando queremos várias sub-amostras de tamanhos proporcionais aos respectivos números de elementos dos estratos.

O estrato i fornece uma quantidade ni de elementos, proporcional ao tamanho Ni populacional do respectivo estrato para formar a amostra de tamanho n.

nNN

n ii ====

Talela 2 – Número de propriedades amostradas proporcionalmente de uma população estratificada quanto à área

Exemplo 5: Considere uma população (finita) com 50.000 operários de uma indústria automobilística. Retira-se uma amostra aleatória e independente de 5% dos operários para estimar o salário médio.

Usando uma variável (cargo) como critério para estratificar a população, e retirando uma amostra de 5% de cada estrato, obtemos o seguinte quadro.

Cargos População Amostra Chefes de Seção 5000 250 Operários Especializados 15000 750 Operários Não Especializados 30000 1500 Total 50000 2500

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A amostragem estratificada tem as seguintes características:

• Dentro de cada estrato existe homogeneidade entre os elementos. • Entre os estratos existe grande heterogeneidade.

2.1.3 Amostragem Sistemática (AS)

Trata-se de uma variação da amostragem aleatória simples, ideal

quando a população está ordenada segundo algum critério, como fichas em um fichário, listas telefônicas, etc.

Calcula-se o intervalo de amostragem nN

aproximando-o para o

inteiro mais próximo, K. Em seguida, utilizando-se a tábua de números aleatórios, sorteia-se um número x entre 1 e K, formando-se uma amostra aleatória dos elementos correspondentes aos números x; x + K; x + 2k; x + 3K; ... ; etc.

Exemplo 6: Como exemplo, seja N = 1.000, n = 200. Logo:

200

1000========

nN

K = 5

Imagine que três seja o número sorteado entre 1 e 5. Portanto, os

elementos da população numerados por 3; 8; 13; .... ; 998 irão compor a amostra.

2.1.4 Amostragem por Conglomerados (AC)

Quando a população é formada por subgrupos (conglomerados), nesse caso, a forma como aparecem os subgrupos impedem a existência de uma listagem dos elementos da população, sendo possível apenas

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uma lista dos conglomerados (quarteirões, famílias, organizações, agências, edifícios, etc). Nesse caso, é possível fazer amostragem por meio desses conglomerados, que consiste em sortear um número suficiente de conglomerados cujos elementos constituirão a amostra.

Para a escolha da amostra, obtém-se uma AAS dos conglomerados;

nesse caso, a unidade amostral passa a ser conglomerado e; obtida uma amostra de conglomerados, mede-se todos os indivíduos dentro de cada conglomerado, como em um censo, ou seja, sorteia-se uma amostra de conglomerados, e após isso, entrevistamos todos os elementos dos conglomerados sorteados.

A amostra final (ou total) será constituída de todos os elementos

entrevistados, num total de ∑∑∑∑====

====C

ii

nn1

, onde ni é o total do conglomerado

i, e C é o número de conglomerados escolhidos na amostra.

Exemplo 7: Num levantamento populacional de uma determinada cidade, geralmente dispomos de um mapa indicando cada quarteirão, mas não dispomos da relação atualizada de seus moradores. Pode-se, então, sortear uma amostra aleatória dos quarteirões e fazer a contagem completa de todos os moradores que neles residem.

Exemplo 8: Para estimar o número de cabeças de gados de uma região, sorteiam-se alguns municípios dessa região e dentro dos municípios, sorteiam-se algumas propriedades para compor a amostra.

3 - MÉTODOS DE AMOSTRAGEM NÃO PROBABILÍSTICA

Na amostragem não probabilística, a probabilidade de seleção, muitas vezes, é desconhecida para alguns ou todos os elementos da população, ou seja, alguns dos elementos podem ter probabilidade nula

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de fazer parte da amostra, por exemplo, em amostragens intencionais, a esmo ou voluntários.

São amostragens em que há uma escolha deliberada dos elementos da amostra. Não é possível generalizar os resultados das pesquisas para a população, pois as amostras não probabilísticas não garantem a representatividade da população.

3.1 Amostragem Acidental

Trata-se de uma amostra formada por elementos que vão aparecendo e que são possíveis de obter até completar o número de elementos necessários na amostra. Geralmente utilizada em pesquisas de opinião, em que os entrevistados são acidentalmente escolhidos.

3.2 Amostragem Intencional

Segundo um critério, é escolhido intencionalmente um grupo de elementos que irão compor a amostra. Ou seja, o investigador dirige-se intencionalmente a um grupo de elementos dos quais se deseja obter a opinião porque considera que esses elementos possuem características típicas ou representativas da população.

Exemplo 9: Numa pesquisa opinião sobre preferência por determinado cosmético, o pesquisador dirige-se a um grande salão de beleza e entrevista as pessoas que ali se encontram. Exemplo 10: Numa pesquisa de mercado, para lançar uma nova marca de leite tipo A (longa vida), o pesquisador vai selecionar apenas indivíduos com poder aquisitivo médio-alto.

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3.3 Amostragem Sem Norma (a esmo)

Não se usa nenhum sorteio embora o pesquisador procure ser aleatório.

Exemplo 11: Escolher 100 galinhas num galinheiro dentre 3000, a esmo.

Exemplo 12: Quando se deseja retirar uma amostra de 100 parafusos de uma caixa contendo 10.000, evidentemente não se usa uma amostragem aleatória simples, pois seria extremamente trabalhoso, mas procedemos retiradas simplesmente a esmo.

Obs: Se a população for homogênea, então o processo é equivalente a amostragem probabilística.

3.4 Amostragem de População Formada com Material Contínuo

Neste caso, não é possível realizar amostragem probabilística pela impraticabilidade de um sorteio aleatório.

Exemplo 13: Se a população é formada por líquido (ou gás), devemos homogeneizar o material e retirar uma amostra a esmo.

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4 - CONCEITOS BÁSICOS População: Conjunto (universo populacional) formado por indivíduos (ou objetos) e que tem pelos menos uma característica (variável) em comum e observável. Por exemplo:

• População de operários da indústria automobilística; • População de peças fabricadas numa linha de produção; • População de indivíduos que votaram na próxima eleição para prefeito.

A população é considerada finita ou infinita. Finita quando o

número de elementos é conhecido (N) e possível de enumerar. Infinita quando o número de elementos é muito grande. Amostra: Uma vez definida a população de interesse, qualquer subconjunto formado por seus elementos é denominado amostra. Para indicar o número de elementos da amostra (tamanho da amostra), designaremos de (n).

Amostragem: é o processo de seleção da amostra que possibilita o estudo das características da população.

Parâmetro: é a medida usada para descrever uma característica numérica desconhecida da população em estudo. Geralmente representamos por θ . Exemplos de parâmetros populacionais: µ ; 2σ ;

DIFµ ;

P ; 21

µµ −−−− ; 2

2

2

1

σ

σ;

21PP −−−− ;

XYρ ; etc.

Amostra Aleatória: Seja X variável aleatória com uma distribuição de probabilidade específica. Sejam também (X1, X2, ... , Xn), n variáveis aleatórias independentes, cada um tendo a mesma distribuição de X. Nesse caso, (Xl , X2, ... , Xn) é definida como sendo uma amostra aleatória independente da variável aleatória X.

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Estatística ou Estimador: Seja (X1, X2, ... , Xn) uma amostra aleatória independente da variável aleatória X e (x1, x2, ... , xn) os valores assumidos pela amostra. Define-se estatística como sendo uma função da amostra, θ̂ = T(X1, X2, ... , Xn), que assume o valor t = t(xl, x2, ... , xn). Assim, as estatísticas s´θ̂ são os estimadores pontuais de θ´s (parâmetros populacionais). Exemplos de estimadores:

Estimadores Pontuais Parâmetros

1. n

xx

n

ii∑∑∑∑

======== 1

µ

2. 1

1

2

2

−−−−

−−−−====∑∑∑∑

====

n

)xx(s

n

ii

2σ

3. n

dd

n

ii∑∑∑∑

========1

DIFµ

4. n

x

m

xxx

n

ii

m

ii ∑∑∑∑∑∑∑∑

======== −−−−====−−−−11

21

21µµ −−−−

5.

1

1

1

2

2

1

2

1

2

2

2

1

−−−−

−−−−

−−−−

−−−−

====∑∑∑∑

∑∑∑∑

====

====

n

)xx(

m

)xx(

ss

n

ii

m

ii

2

2

2

1

σ

σ

6. 101 ,x,n

x

nX

p̂i

n

ii

============∑∑∑∑

====

P

7. 101121

21,x,

n

x

m

x

nX

mX

p̂p̂i

n

ii

m

ii

====−−−−====−−−−====−−−−∑∑∑∑∑∑∑∑

========

21PP −−−−

8. YX

n

iii

XY )n(

)yy)(xx(r

σσ11

−−−−

−−−−−−−−====∑∑∑∑

==== = YX

n

iii

)n(

yxnyx

σσ11

−−−−

−−−−∑∑∑∑====

XYρ

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Estimativa: é o valor numérico determinado pelo estimador.

Erro Amostral: é o erro que acontece justamente pelo uso da amostra, ou seja, erro que cometemos ao estimar o parâmetro θ (desconhecido) da distribuição da variável aleatória X pelo estimador T = t(X1, ... , Xn), baseado na amostra.

Logo, o erro amostral que designaremos por ε é definido por: θθε −−−−==== ˆ

Observe no exemplo 1 que há uma variação para mais ou menos no valor do erro ε em cada uma das nN possíveis amostras de tamanho n retiradas da população de interesse, como segue:

Amostra 1 → 1θθθθ̂

Amostra 2 → 2θθθθ̂

M

Amostra nN → nNθ̂θθθ

Assim, como θ̂ é uma variável aleatória, podemos determinar a esperança e a variância da distribuição amostral de θ̂ , ou seja, E[ θ̂] e Var[ θ̂].

Desmembrando o erro amostral em duas partes, temos:

)]ˆ[E(])ˆ[Eˆ(ˆ θθθθ−−−−θθθθ++++θθθθ−−−−θθθθ====θθθθ−−−−θθθθ====εεεε

sendo que, ])ˆ[Eˆ( θθ −−−− é considerada parte aleatória e )]ˆ[E( θθ −−−− é o viés

(ou vício). Quando )]ˆ[E( θθθθ−−−−θθθθ = 0, implica que θθθθ====θθθθ]ˆ[E e, portanto, θθθθ̂ é dito um estimador não viesado de θ.

O viés pode aparecer na forma de seleção da amostra, na coleta dos dados ou na estimação dos parâmetros.

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Viés de Seleção: A melhor forma de evitar o viés de seleção é usar amostragem probabilística, através de sorteio, seja ele manual ou por meio de uma tabela de números aleatórios, ou ainda pela geração de números aleatórios por computador.

Viés na Coleta de Dados: Este tipo de viés pode ocorrer principalmente quando substituímos uma unidade amostral por outra, ou quando há falta de respostas, por exemplo, em questionários.

Viés de Estimação: Este tipo de viés também pode ser controlado fazendo uso de amostragens probabilísticas.

Exemplo 1: Na população considerada normal, o nível médio de protombina é de 20mg/100ml de sangue. Em uma amostra (obtida de forma aleatória e independente) com n pacientes que tinham deficiência de vitamina K, foram observadas as estatísticas: nível médio de protombina, variância e desvio padrão. Com base nesta amostra, seria razoável suspeitar que a verdadeira média dos pacientes com deficiência da vitamina K é a mesma da população normal? Construa um intervalo de confiança de 95% para a verdadeira média da população com deficiência de vitamina K. Realize um teste de hipótese (teoria da decisão estatística). Simulação de 10000 dados de uma população tendo distribuição Normal (simétrica) com os seguintes parâmetros, µµµµ = 20 (média populacional ) e σσσσ = 5.0 (desvio-padrão populacional)

set.seed(1962) ## gera amostra com uma semente específica

x=rnorm(10000,20,5.0) ## comando para gerar aleatoriamente 10000 dados ## da distribuição Normal (Curva Gaussiana)

hist(x, freq=F,col=37) ## comando para verificar graficamente a distribuição

lines(density(x),lwd=2,col=2)

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x5=sample(x,5,replace=F) # amostra aleatória sem reposição de tamanho n = 5

hist(x5,freq=FALSE,col=39) curve(dnorm(x,20,5),from=-10,to=50,add=T,lwd=2,col=4) mean(x5) # cálculo da média amostral ( µµµµ̂oux )

var(x5) # cálculo da variância amostral ( 22 σσσσ̂ous )

sd(x5) # cálculo da desvio-padrão amostral ( σσσσ̂ous )

Retirando-se, ao acaso, 5 amostras de diferentes tamanhos (n = 5, 10 e 40), constata-se que há uma variação nas estimativas (erro de estimação), tanto nas médias como nos desvios padrões. Assim, precisamos conhecer o comportamento das distribuições amostrais das estatísticas: médias, variâncias, proporções, etc.

µµµµ = 20 (média populacional ) e σσσσ = 5.0 (desvio-padrão populacional) n = 5 n = 10 n = 40 mean sd mean sd mean sd Amostra 01 23.68685 5.616357 20.57992 4.955696 19.575120 5.423480 Amostra 02 20.19549 6.823957 21.79075 6.422069 19.834050 5.103577 Amostra 03 22.79406 7.353665 20.86891 4.539070 19.984380 4.725706 Amostra 04 20.08150 6.887941 18.74310 4.576508 20.097630 5.347176 Amostra 05 22.50877 5.081862 21.30383 4.371076 20.430010 4.907666

19 ========================================================================================

n = 5

n = 10

n = 40

========================================================================================

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5 - DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS

Vimos que o problema da inferência estatística é fazer afirmações sobre os parâmetros da população, através da amostra, na presença da incerteza. Digamos que nossa afirmação deva ser feita sobre um parâmetro da população, θ, por exemplo, a média, a variância ou qualquer outra medida.

Decidimos que usaremos uma AAS de n elementos selecionados dessa população. Nossa decisão será baseada na estatística T, que será uma função da amostra (X1, X2, ... , Xn), ou seja, T = f(X1, X2, ... , Xn). Selecionada uma amostra, teremos observado um valor particular de T, digamos to, e com base nesse valor, faremos afirmação sobre o parâmetro populacional θ (desconhecido).

Veja a Figura 10.1(a) abaixo.

A validade de nossas respostas seria bem compreendida se

soubéssemos o que acontece com a estatística T quando retiramos todas as amostras possíveis dessa população, segundo algum plano amostral adotado. Ou seja, qual o comportamento da distribuição da estatística T quando (T1, T2, ... , Tn) assume todos os valores possíveis. Esta

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distribuição é chamada de distribuição amostral da estatística T e desempenha papel fundamental na teoria da inferência estatística.

Esquematicamente, teríamos o procedimento representado na Figura 10.1(b) acima: (i)- uma população X com determinado parâmetro de interesse; (ii)- retiram-se todas as amostras dessa população, segundo algum procedimento amostral (plano amostral); (iii)- de cada amostra, calcula-se o valor t da estatística T; (iv)- os valores t formam uma nova população, cuja distribuição recebe o nome de distribuição amostral da estatística T.

Vejamos alguns exemplos simples para entender o conceito de distribuição amostral de uma estatística. Nosso principal objetivo é identificar um modelo que explique bem a distribuição amostral de T. É evidente que a distribuição de T irá depender da distribuição de X e do plano amostral, em nosso caso reduzido AAS. Exemplo 1: Seja X uma população hipotética constituída dos seguintes elementos {1, 2, 2, 3}. Neste caso, temos que a média populacional (µµµµ) e a variância populacional (σσσσ2) são dadas por:

024

3221.====

++++++++++++====µµµµ ; 50

4

23222221 22222 .

)()()()(====

−−−−++++−−−−++++−−−−++++−−−−====σσσσ

2

1 2 3

Vamos extrair, aleatoriamente, com reposição, todas amostras de tamanho n = 2 elementos. Então, Nn = 42 = 16 é o número de amostras possíveis para N = 4 e n = 2.

(1, 1) (1, 2) (1, 2) (1, 3) (2, 1) (2, 2) (2, 2) (2, 3) (2, 1) (2, 2) (2, 2) (2, 3) (3, 1) (3, 2) (3, 2) (3, 3)

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Se calcularmos para cada amostra a sua média, n

xx

n

ii∑∑∑∑

======== 1 ,

obtemos a seguinte população de médias para amostras de tamanho n = 2.

2.0 2.0 1.5 2.0 2.5 1.5 2.0 2.5 1.5 2.0 2.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

A distribuição de probabilidade da variável aleatória x é dada por:

Distribuição Amostral das Médias

x 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 P(x) 1/16 4/16 6/16 4/16 1/16

x=c(1,1.5,2,2.5,3) fx=c(1/16,4/16,6/16,4/16,1/16) plot(x,fx,type="h",main="Distribuição de Freqüências",ylab="Freqüências", xlab="Médias",lwd=5,col=2)

Calculando-se a média e a variância dessa distribuição, encontramos:

23

E[x] = )x(pxi

c

ii∑∑∑∑

==== 1

= 16

103

16

152

16

102

16

151

16

101 ××××++++××××++++××××++++××××++++×××× ..... = 2.0;

E[x2] = )x(pxi

c

ii∑∑∑∑

==== 1

2 = 16

103

16

152

16

102

16

151

16

101 22222 ××××++++××××++++××××++++××××++++×××× ).().().().().( = 4.25;

Var[x] = E[x2] – { E[x]}2 = 4.25 – (2.0)2 = 0.25

Observando os resultados acima, verificamos que E[ x ] = µµµµ e

Var[ x ] = n

2σ, que é a metade da variância da população, pois n = 2.

Essas relações importantes podem ser constatadas pelos teoremas abaixo: Teorema 1: Se a população é infinita, ou se a amostragem é com reposição, então, a média e a variância da distribuição amostral das médias são dadas por:

E[ x ] = µ e Var[x ] = n

2σ

Teorema 2: Se a população é finita, ou se a amostragem é sem reposição, a média e a variância da distribuição amostral das médias são dadas por:

E[x] = µ e Var[x] =

−−−−

−−−−××××

1

2

NnN

nσ

Exercício 1: Verifique o Teorema 2 numericamente, utilizando os dados do Exemplo 1. Obs 1: a expressão (N - n)/(N - 1) é denominada fator de correção para população finita. Obs 2: Quando retiramos uma amostra pequena de uma população com tamanho muito maior, ou seja, n << N, é indiferente o uso de fator de correção para população finita, pois o erro é muito pequeno.

24

3.1- Distribuição Amostral das Médias ( 2σ - Conhecido) Teorema 3: Seja X uma variável aleatória normalmente distribuída com média µ (desconhecida) e variância 2σ (conhecido). Suponha que (X1, X2, ... , Xn) seja uma amostra aleatória independente retirada dessa população. Então,

n,N~x

2σµ e ),(N~

n/x

z 10σ

µ−−−−==== (caso infinito)

−−−−

−−−−σσσσµµµµ

1

2

NnN

n,N~x e ),(N~

NnN

n

xz 10

1−−−−

−−−−σσσσ

µµµµ−−−−==== (caso infinito)

3.2 - Distribuição Amostral das Médias ( 2σ - desconh. – n ≥ 40) Teorema 4: Seja X uma variável aleatória normalmente distribuída com média µ e variância 2σ (desconhecido). Suponha que (X1, X2, ... , Xn) seja uma amostra aleatória independente retirada dessa população. Então, para n suficientemente grande (n → ∞),

),(N~n/s

xz 10&


),(N~

NnN

n

s

xz 10

1

&

−−−−

−−−−


Teorema 5: (Teorema Central do Limite) Considere uma amostra aleatória e independente (Xl, X2, ... , Xn) retirada de uma população com média µ e variância 2σ finita (note que a distribuição da variável aleatória não é especificada), então:

∞∞∞∞→→→→σσσσ

µµµµ−−−−nquando),(N~

n/

x10&

25

O teorema 5 diz que para n suficientemente grande, a distribuição amostral da média, devidamente padronizada, se comporta segundo a distribuição normal padrão. Na prática podemos dizer que as aproximações são razoáveis quando n > 40. Exemplo 2: Uma variável aleatória X tem distribuição normal, com média 100 e desvio padrão 10.

(a) Qual a probabilidade de X estar entre 90 e 110? (b) Se x for a média de uma amostra de 16 elementos retiradas

dessa população, calcule a probabilidade de x estar entre 90 e 110.

(c) Que tamanho deveria ter a amostra para que P(90 < x < 110) = 0.95?

Exemplo 3: Uma fabrica produz 50000 válvulas cuja duração em condições normais, segue distribuição normal com média de 800 horas e desvio padrão de 100 horas. Um comprador quer saber qual a probabilidade de, numa amostra aleatória de 400 válvulas, a durabilidade média seja de no máximo 700 horas? Exemplo 4: Numa certa cidade, a duração de conversas telefônicas (em minutos) originadas de telefones públicos, tem média igual a 3 e variância igual a 9. Observando-se uma amostra aleatória de n = 50 dessas chamadas, qual será a probabilidade delas, em média, não ultrapassarem 4 minutos?

)x(P 4≤≤≤≤ =

−−−−≤≤≤≤

−−−−

503

34

/)(

n/x

Pσ

µ = 0.9909.

Ou seja, é praticamente certo que a média estará abaixo de 4 minutos.

26

3.3- Distribuição Amostral das Proporções

Uma importante aplicação do Teorema Central do Limite relaciona-se com a distribuição amostral das proporções.

Suponha que X ~ B(n, p), sendo que X = Sn representa a quantidade de indivíduos que apresentam uma característica "A" de interesse na amostra e p é a proporção amostral calculada por:

nS

nX

p̂ n========

Observe que, E[p̂ ] = p e Var[p̂ ] = n

)p(p −−−−1.

Assim, de acordo com o TCL, p̂ terá distribuição

aproximadamente normal com média p e variância n

)p(p −−−−1 quando

∞∞∞∞→→→→n , ou seja,

−−−−

n)p(p

,pN~p̂1

&

que é a distribuição amostral das proporções. Neste caso, temos que:

)X(V]X[EX

z−−−−

==== = )p(np

npX−−−−

−−−−

1 = ),(N~

n)p(p

pp̂10

1&

−−−−

−−−− quando ∞∞∞∞→→→→n ,

Teorema 6: (Teorema Moivre-Laplace). Sejam (X1, X2, ... , Xn) variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com

média p e variância pq, ou seja, Xi ~ B(1, p). Seja também Sn = ∑∑∑∑====

n

iiX

1 =

X = X1 + X2 + . . . + Xn, onde, E[Sn] = E[X] = np e V[Sn] = E[X] = npq = np(1 – p). Neste caso, Sn = X ~ B(n, p). Então, para n suficientemente grande (n → ∞),

Zp = ))p(np

npSn

−−−−

−−−−

1 = ),(N~

n)p(p

pp̂10

1&

−−−−

−−−−

27

Vejamos a constatação desse resultado com exemplos. a=30 n1=10; p1=0.20 n2=10; p2=0.5 x1=rbinom(a,n1,p1) z1=((x1/n1)-p1)/(sqrt((p1*(1-p1))/n1)) x2=rbinom(a,n2,p2) z2=((x2/n2)-p2)/(sqrt((p2*(1-p2))/n2)) par(mfrow=c(2,2)) hist(x1);hist(z1) hist(x2);hist(z2) shapiro.test(z1); shapiro.test(z2) Shapiro-Wilk normality test data: z1 W = 0.9268, p-value = 0.04043 Shapiro-Wilk normality test data: z2 W = 0.9616, p-value = 0.3408 Hipótese testada pelo teste de Shapiro-Wilk. HO: os dados seguem o comportamento da Distribuição Normal (Hipótese nula) HA: os dados não seguem a Distribuição Normal (Hipótese Alternativa) Critério de Decisão Se p-value < 0.05, rejeita-se a hipótese HO e conclui-se que, ao nível de significância αααα = 5% (0.05), os dados amostrais não seguem o comportamento da distribuição normal. Caso contrário, aceita-se a hipótese HO.

28

a=30 n1=30; p1=0.20 n2=30; p2=0.5 x1=rbinom(a,n1,p1) z1=((x1/n1)-p1)/(sqrt((p1*(1-p1))/n1)) x2=rbinom(a,n2,p2) z2=((x2/n2)-p2)/(sqrt((p2*(1-p2))/n2)) par(mfrow=c(2,2)) hist(x1);hist(z1) hist(x2);hist(z2) shapiro.test(z1); shapiro.test(z2) Shapiro-Wilk normality test data: z1 W = 0.9613, p-value = 0.3350 Shapiro-Wilk normality test data: z2 W = 0.9828, p-value = 0.8938

29

Exemplo 5: Seja X uma população hipotética formada por duas mulheres e um homem; S = {M1, M2, H}.

Suponha que p seja a proporção de mulheres na população (característica de interesse). Logo, p = 2/3 é a probabilidade de ocorrência de mulheres e (1 - p) = 1/3 é a probabilidade de ocorrência de um homem na população, respectivamente.

Vamos retirar todas as amostras possíveis de tamanho 2 (n = 2), com reposição, e calculemos para cada amostra a estimativa (p̂ ) de p para a proporção de mulheres na população. Distribuição Amostral da Proporção de Mulheres na População Amostras M1M1 M1M2 M1H M2M1 M2M2 M2H HM1 HM2 HH

p̂ 1 1 1/2 1 1 1/2 1/2 1/2 0

Logo, a distribuição amostral da proporção amostral de mulheres é dada por:

p̂ 0 1/2 1 p(p̂ ) 1/9 4/9 4/9

30x=c(0,0.5,1) fx=c(1/9,4/9,4/9) plot(x,fx,type="h",main="Distribuição de Freqüências",ylab="Freqüências", xlab="Proporção",lwd=5,col=2)

E[p̂ ] = )p̂(pp̂i

c

ii∑∑∑∑

==== 1

= 9

10×××× +

9

4

2

1×××× +

9

401 ××××. =

3

2;

E[p̂ 2] = )p̂(pp̂i

c

ii∑∑∑∑

==== 1

2 = 9

102 ×××× +

9

4

2

12

××××

+ 9

412 ×××× =

9

5;

Var[p̂ ] = E[p̂ 2] – { E[p̂ ]}2 = 9

5 –

2

3

2

= 9

1

Portanto, usando-se o Teorema Central do Limite, temos:

E[p̂ ] = p = 2/3 e Var[p̂ ] = p(l - p)/n = (2/3)(1/3)/2 = 1/9 Observação: Quando a população é finita aqui também é conveniente considerar o fator de correção (N - n)/(N - 1). Verifique!! Exemplo 6: Suponha que a proporção de peças fora de especificação em um lote é de 40%. Se for retirada uma amostra aleatória e independente de tamanho n = 50, qual é probabilidade dessa amostra fornecer uma proporção de peças defeituosas menores que 0.50?

31

A probabilidade pode ser calculada de forma exata e aproximada pela distribuição Normal.

Seja X: número de peças defeituosas na amostra X ~ B(n = 50, p = 0.40).

P(p̂ < 0.50) = P(50

X< 0.50) = P(X < 25) = 0.9021926.

= pbinom(24,50,0.40) = 0.9021926 (Usando R) Considerando aproximação Normal, temos que:

P(p̂ <0.50) =

−−−−

−−−−<<<<

−−−−

−−−−

50

4001400

400500

1 ).(.

..

n)p(p

pp̂P = P(Z < 1.44) = 0.9250663.

Distribuição Qui-Quadrado (2

)k(χχχχ )

A distribuição qui-quadrado, 2

)k(χχχχ , é uma distribuição importante usada, principalmente, como uma aproximação em várias estatísticas tais como: testes de aderência, testes de independência e testes de homogeneidade. Definição: Diz-se que a v.a. contínua X tem Distribuição qui-quadrado com k graus de liberdade, se a sua f.d.p. é dada por:

≤≤≤≤

>>>>>>>>

ΓΓΓΓ====

−−−−

−−−−

00

00

22

2

21

2

xse,

k;xse,k

ex

)x(fk

xk

32

plot(function(x) dchisq(x,1),xlim=c(0,10),ylab="f(x)") plot(function(x) dchisq(x,2),xlim=c(0,10),add=T,col="2") plot(function(x) dchisq(x,3),xlim=c(0,10),add=T,col="3") plot(function(x) dchisq(x,4),xlim=c(0,10),add=T,col="4") legend(6.5,1,c("dchisq(x,1)","dchisq(x,2)","dchisq(x,3)","dchisq(x,4)"))

0 2 4 6 8 10

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

x

f(x)

dchisq(x,1)dchisq(x,2)dchisq(x,3)dchisq(x,4)

Propriedades: i). E(X) = k ii). Var(X) = 2k iii). A distribuição qui-quadrado se encontra Tabelada para valores de k ≤ 30. Para valores de k > 30 podemos usar o resultado,

2χχχχZ = 1)N(0,k2X2 ~&−−−−

Significa que se a variável aleatória X tem distribuição qui-quadrado, então, quando k tende para o infinito (k > 30), 2χχχχ

Z tende para N(0, 1).

Exemplo 7: Para ilustrar a aproximação, suponha que X ~ 230)(χχχχ . A

Tabela indica que, P(X > 43.77) = 0.05.

33

1-pchisq(43.77297,30) [1] 0.05000002 qchisq(1-0.05,30) (Usando R) [1] 43.77297 Através da aproximação normal, podemos calcular:

P(X > φ) ≈ )]k)kx[(P 2222 −−−−φφφφ>>>>−−−−

P(X > 43.77) ≈ ])().(Z[P]kZ[P 3027729743222 22 −−−−>>>>====−−−−φφφφ>>>>χχχχχχχχ

P(X > 43.77) ≈ ].Z[P 6112 >>>> = 0.0570 [1-pnorm(1.61)= 0.053698] Teorema 7: Sejam Z1, Z2, … , Zk variáveis aleatórias independentes com Zi ~ N(0, 1). Então, a variável W = 22

221 kZ...ZZ ++++++++++++ tem

distribuição qui-quadrado com k graus de liberdade.

Notação: W ~ 2

)k(χχχχ , se lê : W tem distribuição qui-quadrado com k graus de liberdade (g.l.). Uso da tabela:

p)(P k,p ====>>>> 22 χχ

p,k

34

Exemplos: χχχχ2

0,05 ;18 = 28.8693 χχχχ2

0.025 ;29 = 45.7222 χχχχ2

αααα ;10 tal que P(χχχχ2 > χχχχ2αααα ;10 ) = 0.025 ⇒ χχχχ2

αααα ;10 = 20.4831 χχχχ2

αααα ;20 tal que P(χχχχ2 ≤ χχχχ2αααα ;20) = 0.95 ⇒ χχχχ2

αααα ;20 = 10.851 Propriedades de Reprodutividade: • Se χχχχ2

(m) e χχχχ2(n) são independentes: χχχχ2

(m) + χχχχ2(n) ~ χχχχ2

(m+n) • Se (X1, X2, … , Xn ) é uma amostra aleatória de X ~ N(µ, σ2), então:

(i) 2

)(2

1

2

~)µ(

n

n

iiX

U χσ

−

=∑

=

(ii) 2

)1(

2

~/

χ

σ

µ−=

nx

Z

(iii) 2)1(2

1

2

2

2

~)x(

)1(−

=χ

σ

−

=σ

−=

∑n

n

iiX

snV

3.3 - Distribuição Amostral da Variância Tomando-se todas as amostras aleatórias possíveis, de tamanho n, de uma população e calculando a variância de cada amostra, obtemos a distribuição amostral da variância. Porém, é mais conveniente determinar a distribuição amostral da variável aleatória relacionada à variância amostral.

35

Teorema 8: Seja (X1, X2, … , Xn ) uma amostra aleatória obtida de uma população com distribuição normal, X ~ N(µ, σ2). Então, a estatística (ou quantidade pivotal) da distribuição amostral da variância, tem distribuição qui-quadrado com (n - 1) graus de liberdade, ou seja,

V = 2

)1(2

2

~)1(

−χσ

−n

sn

Neste caso, 112

2

−−−−====

σσσσ

−−−−==== n

s)n(E]V[E ⇒ E[ 2s ] = 2σσσσ

)n(s)n(

V]V[V 1212

2

−−−−====

σσσσ

−−−−==== ⇒ V[ 2s ] =

1

2 4

−−−−

σσσσ

n

Distribuição t-Student Definição: Diz-se que a variável aleatória contínua X tem distribuição t-student com k graus de liberdade, se a sua f.d.p. é dada por:

∞+<<∞−+

π

Γ

+Γ= +− tse,)k/t1(

k2

k]2/)1(k[

f(x) 2/)1(2 k

Teorema 9: Sejam Z ~ N(0, 1) e 2

)(~ kV χ , Z e V são independentes. Então:

(k)t~V/k

ZT = .

36

Propriedades:

(i) E(T) = 0 e Var(T) = 2K

k

− , se k > 2.

(ii) Se (X1, X2, … , Xn) é uma amostra aleatória independente de uma população X ~ N(µ, σ2), então:

nx

Z/σ

µ−= ~ N(0, 1) e

2

2)1(

σ

−=

snV ~ χχχχ2

(n-1) ,

logo:

nsx

nsn

nx

nVZ

T/

)1/()1(

/)1/(

2

2

µ−=

−

σ

−

σ

µ−

=−

= ~ t(n-1)

(iii) A curva é simétrica entorno de 0, porém com caudas mais pesadas que a distribuição Normal. Uso da tabela:

37

Exemplos: (a) t(0,025 ; 10) = 2,2281 (b) t(0,05 ; 20) = 1,7247 (c) t(0,95 ; 15) = - t(0,05 , 15) = - 1,7531 (d) Encontre t(αααα ; 10) tal que : P(t > t(αααα ; 10)) = 0,05 ⇒ t(αααα ; 10) = 1,8125.

3.4 - Distribuição Amostral das Médias ( 2σ - desconh. – n < 40) Teorema 10: Seja X uma variável aleatória normalmente distribuída com média µ (desconhecido) e variância 2σ (também desconhecido). Suponha que (X1, X2, ... , Xn) seja uma amostra aleatória independente retirada dessa população. Então, para n suficientemente pequeno, temos a seguinte quantidade pivotal:

}1{~/ −

µ−= nt

nsx

T

3.5 - Distribuição Amostral das Médias das Diferenças ( DIFµ ) (Amostras Dependentes, Relacionadas ou Pareadas)

Em estudos chamados pareados ou relacionados, temos uma

amostra aleatória independente avaliada duas vezes, antes e após (ou lado direito e lado esquerdo). Neste caso, a suposição de que as amostras são independentes não é razoável.

Tais situações ocorrem, por exemplo, em estudos de avaliações mensuradas antes e após um tratamento, no mesmo indivíduo (ou na mesma unidade amostral). Como esperado, as duas mensurações dentro do mesmo indivíduo, são mais prováveis de serem similares e, portanto, não podem ser consideradas estatisticamente independentes.

38

Assim, as observações pareadas são representadas pelas variáveis aleatórias:

X11, ... , X1n : medida 1 (antes) X21, ... , X2n : medida 2 (após)

e nesse caso, devemos trabalhar com as diferenças entre as medidas de cada par como,

iiiXXd

12−−−−==== , i = 1, ... , n.

Temos agora uma amostra aleatória independente das diferenças e assumindo que d1, ... , dn ~ N(

DIFµ , 2

DIFσσσσ ), podemos usar os métodos das quais já estamos familiarizados.

Neste caso,

n

dd

n

ii∑

==

1 →→→→ Média amostral das diferenças

1

)(1

2

2

−

−

=∑

=

n

dds

n

ii

DIF → Variância amostral das diferenças

2DIFDIF ss = → Desvio padrão amostral das diferenças

Teorema 11: Seja D uma variável aleatória normalmente distribuída com média DIFµµµµ e variância 2

DIFσσσσ (conhecido). Suponha também que (d1, d2, ... , dn) seja uma amostra aleatória independente das diferenças entre as mensurações, retirada dessa população. Então, as distribuições amostrais das médias das diferenças são dadas por:

σσσσµµµµ

n,N~d DIF

DIF

2

e ),(N~n/

dz

DIF

DIFDIF 10

σσσσ


−−−−

−−−−σσσσµµµµ

1

2

NnN

n,N~d DIF

DIF e ),(N~

NnN

n

dz

DIF

DIFDIF 10

1−−−−



39

3.5 - Distribuição Amostral para Diferença entre Médias de Duas Populações Independentes

(a) Populações Normais e variâncias conhecidas Suponha que agora temos duas populações independentes, a

primeira com média 1µµµµ e variância 21σσσσ e a segunda com média 2µµµµ e

variância 22σσσσ .

Seja 1x a média amostral de tamanho n1 retirada da primeira

população, e seja 2x a média amostral de tamanho n2 retirada da segunda população, ambas independentemente. (i) Se as duas populações têm distribuições normais, temos que:

σσσσ++++

σσσσµµµµ−−−−µµµµ−−−−

2

22

1

21

2121 nn,N~xx

Assim,

),(N~

nn

)()xx(Z xx 10

2

22

1

21

212121

σσσσ++++

σσσσ

µµµµ−−−−µµµµ−−−−−−−−====−−−−

(ii) Se as duas populações não são Normais, porém n1 e n2 são ambas suficientemente "grandes" ( ≥ 40):

)n,n(quando),(N~

nn

)()xx(∞∞∞∞→→→→∞∞∞∞→→→→

σσσσ++++

σσσσ

µµµµ−−−−µµµµ−−−−−−−−21

2

22

1

21

2121 10&

40

Exemplo 8: Os tubos de televisão das fábricas A e B têm as seguintes características (em anos): Tubo A Tubo B µA = 6,5 µB = 6,0 σA = 1,0 σB = 1,2 Determine a probabilidade de, uma amostra aleatória de 64 tubos da marca A ter vida média maior que a vida média de 81 tubos da marca B, em pelo menos 0.91 anos?

50656 ..

BABXAX====−−−−====−−−−====

−−−−µµµ

0.030481

21

64

122

2 ====++++====++++====−−−−

.nn

B

B

A

A

BXAX

σσσ

)

...

Z(P).XX(P BA

03040

50910910

−−−−>>>>====>>>>−−−−

= 2.35)P(Z-12.35) ≤≤≤≤====>>>>Z(P = 009400.9906-1 .==== (b) Populações Normais e variâncias desconhecidas Se as variâncias são desconhecidas, mas ambas são iguais:

HO: 22

221 σσσσ====σσσσ====σσσσ (Hipótese)

Então, temos que:

),(N~

nn

)()xx(Z 10

11

21

2121

++++σσσσ

µµµµ−−−−µµµµ−−−−−−−−====

Temos ainda que, 212

211

1

1)n(~

s)n(−−−−χχχχ

σσσσ

−−−− e 2

122

2

21)n(~

s)n(−−−−χχχχ

σσσσ

−−−− são ambas

independentes, então:

41

222

211

2

211

21

11)nn(~

s)n(s)n(−−−−++++χχχχ

σσσσ

−−−−++++

σσσσ

−−−−

Assim, sob a hipótese de variâncias iguais, podemos calcular uma estimativa da variância amostral ponderada, dada por:

2

11

21

222

2112

−−−−++++

−−−−++++−−−−====

nns)n(s)n(

sp

Neste caso, temos que:

222

221

21

2)nn(

p ~s)nn(

−−−−++++χχχχσσσσ

++++++++,

logo:

)nn(

pp

t~

nns

)()xx(

)nn/(s)nn(

nn/)]()xx[(

T 2

21

2

2121

212

221

212121

2111

22

11

−−−−++++

++++

µµµµ−−−−µµµµ−−−−−−−−====

++++++++

σσσσ

++++++++

++++σσσσµµµµ−−−−µµµµ−−−−−−−−

====

(c) Populações normais, mas variâncias desconhecidas e diferentes (Ho: 2

2

2

1σσ ≠≠≠≠ )

(Quantidade pivotal aproximado)

A violação da hipótese de variâncias iguais (22

221 σσσσ====σσσσ====σσσσ ) induz

a um sério problema teórico, uma vez que não será possível encontrar uma quantidade pivotal para a diferença entre duas médias com distribuição teórica conhecida. Mesmo assim, se o pesquisador tem interesse em estudar o parâmetro 21 µµµµ−−−−µµµµ , deve levar em conta o problema de ordem teórica na interpretação dos resultados quando existe diferença substancial entre 2

1σ e 2

2σ .

A literatura estatística apresenta vários métodos para resolver este problema, mas nenhum deles é completamente satisfatório. Um

42

procedimento possível (e aproximado) consiste em utilizar a estatística pivotal:

(((( )))) (((( )))))(

.aprox

t~

ns

ns

XXt νννν

++++

µµµµ−−−−µµµµ−−−−−−−−====

2

22

1

21

2121 sendo

)n(

ns

)n(

ns

ns

ns

11 2

2

2

22

1

2

1

21

2

2

22

1

21

−−−−

++++−−−−

++++

====νννν

Distribuição F de Snedecor Definição: Diz-se que a variável aleatória contínua X tem distribuição F de Snedecor, com n1 e n2 graus de liberdade, se a sua f.d.p. é dada por:

0

12

n

2

n2

(n

f(x)

2

2

1

2

2

2

2

1

21

21

21

11

>>>>

++++

ΓΓΓΓ

ΓΓΓΓ

++++ΓΓΓΓ

====++++

−−−−

x,

xnn

xnn

)n

)nn(

)n(n

Teorema 12: Sejam U e V duas variáveis aleatórias independentes, cada uma com distribuição qui-quadrado, n1 e n2 graus de liberdade, respectivamente. Então,

2

1

n/Vn/U

F ====

tem distribuição F de Snedecor com n1 e n2 graus de liberdade.

43

F{0,01; 4; 9} = 6.422 F{0,05; 15; 10} = 2,845 Propriedades:

(i) – E[X] = 22

2

++++nn e V[X] =

)n()n(n

)nn(n

42

22

22

21

2122

−−−−−−−−

−−−−++++

(ii) – Para encontrar os valores inferiores, pois a distribuição não é simétrica, usa-se a identidade

}n;n;{}n;n;{ F

F12

21

11

αααααααα−−−− ====

(iii) – Se as variáveis aleatórias 2

12

211

1

1)n(~

s)n(U −−−−χχχχ

σσσσ

−−−−==== e

212

222

2

1)n(~

s)n(V −−−−χχχχ

σσσσ

−−−−==== são independentes, então:

)n,n(F~/S

/S

)n(S)n(

)n(S)n(

Fn

Vn

U

11

11

11

2122

22

21

21

222

222

121

211

1

1

2

1 −−−−−−−−σσσσ

σσσσ====


−−−−


−−−−

========−−−−

−−−−

Veja as demonstrações formais dos teoremas 8, 10 e 12. (Somente Leitura, mas em Cálculo de Probabilidades, deve saber demonstrar).

44

Teorema 13: Sejam X1, X2, ... , Xn v.as. independentes e identicamente distribuídas (iid) tendo N(µ, σ2). Então,

V = 2)1n(

n

1i

2i

2

2

~xxs)1n(

−−−−====

χχχχ

σσσσ

−−−−====

σσσσ

−−−−∑∑∑∑

Prova:

2n

1ii

2n

1ii )]x()xx[()x( µµµµ−−−−++++−−−−====µµµµ−−−− ∑∑∑∑∑∑∑∑

========

= })x()x()xx(2)xx{( 2i

2n

1ii µµµµ−−−−++++µµµµ−−−−−−−−++++−−−−∑∑∑∑

====

onde, ∑∑∑∑ ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑==== ============

µµµµ++++−−−−µµµµ−−−−====µµµµ++++−−−−µµµµ−−−−====µµµµ−−−−−−−−n

1i

2n

1iii

n

1i

2ii

n

1ii xnxnxxx)xxxxx()x()xx(

= xnxnxnxnx 2 µµµµ++++−−−−µµµµ−−−− = 0

nesse caso, ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑============

µµµµ−−−−++++−−−−====µµµµ−−−−n

1i

22n

1ii

2n

1ii )x()xx()x(

e 22n

1i

i2n

1i

2n

1i

i2n

1i

i

n/

xxxxxxx

σσσσ

µµµµ−−−−++++

σσσσ

−−−−====

σσσσ

µµµµ−−−−++++

σσσσ

−−−−====

σσσσ

µµµµ−−−−∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑================

U = V + 2xZ

Logo, ]e[E)t(M)t21()t(M)Z

xx(t

)Zxx

(

2/nU

2X

2n

1i

i

2X

2n

1i

i

++++∑∑∑∑

σσσσ

−−−−

++++∑∑∑∑

σσσσ

−−−−

−−−− ====

====

========−−−−====

= )Z(txx

t 2X

2n

1i

i

e[E].e[E∑∑∑∑

σσσσ

−−−−

==== = )t(M).t(M 2

X2n

1i

i Zxx∑∑∑∑

σσσσ

−−−−

====

= 2/1

xx)t21).(t(M 2n

1i

i

−−−−

∑∑∑∑

σσσσ

−−−−−−−−

====

Portanto, 2

)1n(2/12/n

xx)t21()t21()t21()t(M 2n

1i

i

−−−−−−−−

−−−−

∑∑∑∑

σσσσ

−−−−−−−−====−−−−−−−−====

====

c.q.d

45

Teorema 14: Seja o par (X, Y) vetor aleatório contínuo com f.d.p. conjunta fxy(x, y). Sejam Z = H1(X, Y) e W = H2(X, Y) funções de variáveis aleatórias satisfazendo as seguintes condições: (a) - As equações z = H1(x, y) e w = H2(x, y) podem ser resolvidas univocamente para x e y, em termos de z e w, isto é, existem as transformações inversas, x = H1

-1(z, w) e y = H2-1(z, w)

(b) - As derivadas parciais ∂x/∂z, ∂x/∂w, ∂y/∂z e ∂y/∂w existem e são contínuas.

(c) – O Jacobiano da transformação inversa, J(z, w) = det

∂∂∂∂

∂∂∂∂

w/yz/y

w/xz/x,

é diferente de zero para (z, w), dentro de amplitude da transformação. Então, o vetor aleatório (Z, W) tem f.d.p. conjunta dada por:

fzw(z, w) = fxy{H1-1(z, w), H2

-1(z, w)}.| J(z, w) | Teorema 2: Se Z ~ N(0, 1), W ~ 2

)k(χχχχ e se Z e W são independentes,

então a v.a k/W/ZT==== tem distribuição t–student com k graus de liberdade. Prova: Vejamos a distribuição conjunta de Z e W. Como Z e W são independentes, temos:

fzw(z, w) = fz(z).fw(w) =

ΓΓΓΓ

ππππ

−−−−−−−−−−−− 2/w1)2/k(

2/k2

z

ew21

)2/k(1

.e2

12

, -∞ < z < +∞ ,

w > 0 Faça a transformação: t = H1(z, w) = k/W/Z y = H2(z, w) = w (variável auxiliar) z = H1

-1(t, y) = t).k/y( w = H2

-1(t, y) = y

46

O Jacobiano J(t, y) = det

∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂

∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂

y/wt/w

y/zt/z = det

∂∂∂∂

∂∂∂∂

10yz

k/y = k/y .

A f.d.p. conjunta de (t, y) é dada por: Fty(t, y) = fty{H1

-1(t, y), H2-1(t, y)}.| J(t, y) |

fty(t, y) = ky

ey21

)2/k(1

.e2

1 2/y1)2/k(2/k

tk

y

2

1 2

ΓΓΓΓ

ππππ

−−−−−−−−−−−−

, -∞ < t < +∞ , y > 0

A f.d.p. marginal de t é obtida por:

fT(t) = dyey21

)2/k(1

k2

1

0

1k

ty

2

11

2

1k2/k2

∫∫∫∫∞∞∞∞

++++−−−−

−−−−

++++

ΓΓΓΓππππ

Fazemos mudança de variável

++++==== 1

kt

y21

u2

⇒ 12

1kt

u2y−−−−

++++==== ⇒ du1

kt

2dy12 −−−−

++++====

y = 0 → u = 0 ; y = + ∞ → u = + ∞ Assim,

fT(t) = du1kt

2e1kt

u221

)2/k(1

k2

112

0

u

12

1k122/k −−−−∞∞∞∞

−−−−

−−−−

++++−−−−

++++

++++

ΓΓΓΓππππ∫∫∫∫

fT(t) = dueu1kt

221

)2/k(1

k2

1

0

u1

2

1k2

1k2

2

1k2/k

∫∫∫∫∞∞∞∞

−−−−

−−−−

++++

++++−−−−

++++

++++

ΓΓΓΓππππ

47

fT(t) = ]2/)1k([1kt

2)2/k(

1

k2

1 2

1k2

2

1

++++ΓΓΓΓ

++++

ΓΓΓΓππππ

++++−−−−

, - ∞∞∞∞ < t < + ∞∞∞∞

fT(t) =

++++

++++

ππππΓΓΓΓ

++++ΓΓΓΓ

2

1k2

1kt

1

k

1)2/k(

]2/)1k([ , - ∞∞∞∞ < t < + ∞∞∞∞

que é a f.d.p. de uma v.a. que tem distribuição t-student com k graus de liberdade. Teorema 15: Se U ~ 2

)m(χχχχ , V ~ 2)n(χχχχ e se U e V são independentes, então a

v.a. n/Vm/U

X ==== tem distribuição F-Snedecor com m e n graus de

liberdade. Prova: Vejamos a distribuição conjunta de U e V. Como U e V são independentes, temos:

fUV(U, V) = fU(u).fV(v) =

Γ

Γ

−−−− 2/1)2/(2/

2/1)2/(2/

2

1

)2

(

1.

2

1

)2

(

1 vn

n

um

m

evn

eum

I{0, ∞}(u) ×

I{0, ∞}(v); - ∞ < U < +∞ ; -∞ < V < +∞.

Faça a transformação: x = H1(u, v) = nV

mU

/

/

y = H2(u, v) = v (variável auxiliar)

u = H1-1(x, y) = vx

n

m

v = H2-1(x, y) = y

O Jacobiano J(x, y) = det

∂∂∂∂

∂∂∂∂

yvxv

yuxu

//

// = det

10

0vn

m

= vn

m .

A f.d.p. conjunta de (x, y) é dada por:

fxy(x, y) = fxy{H1

-1(x, y), H2-1(x, y)}.| J(x, y) |

48

fxy(x, y) = ( ) yn

meyxy

n

m

nm

yxyn

mn

mnm

ΓΓ

+−

−−

+

2

11

2

122

2

1

)2/(

1

)2/(

1 , -∞ < t < +∞ , y > 0

= ( ) ( )

ΓΓ

+−

−+

−

+

12

11

21

222

2

1

)2/(

1

)2/(

1 xn

mynmm

nmm

eyxnmn

m

A f.d.p. marginal de x é obtida por:

fx(x) = ( ) ( ) dyeyxnmn

m xn

mynmm

nmm

∫∞

+−

−+

−

+

ΓΓ

0

12

11

21

222

2

1

)2/(

1

)2/(

1

Fazemos mudança de variável

+= 1

2

1x

n

myz ⇒

1

12−

+= x

n

mzy ⇒ dzx

n

mdy

1

12−

+=

y = 0 → z = 0 ; y = + ∞ → z = + ∞ Assim,

fx(x) = ( ) ( ) dzxn

mex

n

mzx

nmn

m z

nm

nmm

nmm1

0

121

21

222

12122

1

)2/(

1

)2/(

1−

∞−

−

+−

−+

−

+

∫

+

+

ΓΓ

= ( )dzez

xn

m

x

n

m

nm

z

nm

nm

mm

∫∞

−−

+

+

−

+

ΓΓ 0

12

2

122

1)2/(

1

)2/(

1

fx(x) = ( )∞<<

+

ΓΓ

+Γ

+

−

xparan

m

xn

m

x

nm

nm m

nm

m

0

1)

2()

2(

)2

(2

2

12

que é a f.d.p. de uma v.a. que tem distribuição F com m e n graus de liberdade.

apostila teoria da amostragem

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