Universidade de So Paulo Instituto de Fsica_______________________________________________________________

Conceitos Bsicos da Teoria de Erros

Manfredo H. Tabacniks

Embora este Guia fornea um esquema de trabalho para obter incerteza, ele no pode substituir pensamento crtico, honestidade intelectual e habilidade profissional. A avaliao de incerteza no uma tarefa de rotina, nem um trabalho puramente matemtico. Ela depende do conhecimento detalhado da natureza do mensurando e da medio. Assim, a qualidade e a utilidade da incerteza apresentada para o resultado de uma medio dependem, em ltima instncia, da compreenso, anlise crtica e integridade daqueles que contribuiram para atribuir o valor mesma.

Traduo de um trecho do Guide to the Expression of Uncertainty in Measurements, International Organization for Standardization, Geneva (1993).

1. EXPRESSO DE VALORES DE MEDIDAS EXPERIMENTAIS1.1. IntroduoO valor de uma grandeza submetida a medio costuma ser adquirido atravs de um procedimento que, em geral, envolve algum(s) instrumento(s) de medio. O prprio processo de medida, assim como o instrumento utilizado, tem limites de preciso e exatido, ou seja, toda medida realizada tem uma incerteza associada que procura expressar a nossa ignorncia (no bom sentido) do valor medido. A seleo do processo de medida, do instrumento usado e a reprodutibilidade da grandeza medida tm que ser expressa de alguma forma. Em alguns aparelhos, por exemplo, a incerteza do instrumento j vem marcada, caso contrrio, a metade da menor diviso da escala um bom comeo. Note que nada sabemos ainda sobre a reprodutibilidade do processo de medida. A incerteza importante na hora de compararmos resultados. Na tabela abaixo temos os resultados de duas medidas de uma mesma grandeza com diferentes aparelhos e um padro. medida A B padro viscosidade (g cm-1 s-1) 9,8 0,4 12,3 4,0 9,3

Na tabela, o valor aps o smbolo indica em geral o intervalo de confiana de um desvio padro1, ou seja, o intervalo com probabilidadede de 67% de conter uma medida da grandeza. A valor que segue o smbolo denominado incerteza2. No caso acima, apesar da medida A estar aparentemente mais prxima do padro sua incerteza, expressa pelo intervalo de confiana, indica um provvel erro de medida, enquanto o valor da medida B, apesar de ter uma incerteza maior, concorda com o valor do padro.

1.2. Algarismos significativosEm medidas fsicas facil encontrar uma disperso de valores muito grande. O raio de um tomo e o raio de um universo s um exemplo entre tantos. Para expressar esses valores adequadamente, conveniente o uso da notao cientfica. Escreve-se o valor com apenas um dgito antes da vrgula, completase com algarismos decimais necessrios (eventualmente truncando e arredondando o valor em alguma casa decimal) e se multiplica tudo pela potncia de dez adequada. Por exemplo, o comprimento de um fio vale 14269513 mm ou da ordem de 1,43x107 mm. Note que se usaram apenas dois algarismos aps a vrgula sendo que o ltimo foi arredondado para cima uma vez que 1,4269 est mais prximo de 1,43 que de 1,42. A regra de arredondamento aqui proposta a de arredondar o ltimo dgito para cima caso o prximo dgito seja 5, mantendo-o caso contrrio3. Note que ao truncar e arredondar as casas decimais, perdemos muito da informao inicial, mas isso pode ser remediado usando quantos algarismos forem necessrios depois da vrgula, como por exemplo, 1,4269513 x 107 mm reproduz o valor com toda a preciso inicial.

Em fsica e engenharia comum adotar um desvio padro para o intervalo de confiana. Em outras reas, tais como epidemiologia, sade e cincias mdicas dois ou at trs desvios padro so bastante comuns. 2 Deve-se evitar o termo erro para a incerteza. Se uma medida tem um erro, este deve ser corrigido! 3 Existem outras regras de arredondamento, mais complicadas, um pouco mais precisas, mas nenhuma exata. A regra aqui proposta tambm adotada pela maioria das calculadoras e algoritmos em computadores.

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1

Denomina-se algarismo significativo o nmero de algarismos que compe o valor de uma grandeza, excluindo eventuais os zeros esquerda usados para acerto de unidades. Mas ateno: ZEROS DIREITA SO SIGNIFICATIVOS. Na tabela a seguir um mesmo valor do raio de uma roda escrito com diferente nmero de algarismos significativos. raio (mm) 57,896 5,79x101 5,789600x101 0,6x102 significativos 5 3 7 1

A escolha de quantos significativos sero usados no valor da grandeza depende da grandeza, do processo de medida e do instrumento utilizado. Na realidade o nmero de significativos de uma grandeza determinado pela sua incerteza. O NMERO DE ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS DE UMA GRANDEZA DETERMINADO PELA SUA INCERTEZA Para a expresso da incerteza adaptaremos a conveno sugerida por Vuolo (1992). Um outro exemplo ilustrado a seguir: Suponha que se deseje medir o tamanho do besouro na Figura 1.1

Figura 1.1. Medindo o tamanho de um besouro. Uma vez decidido o que caracteriza o tamanho do besouro, qual das alternativas abaixo melhor caracteriza a medida do tamanho do besouro? a) Entre 0 e 1 cm b) Entre 1 e 2 cm c) Entre 1,5 e 1,6 cm d) Entre 1,54 e 1,56 cm e) Entre 1,546 e 1,547 cm

Acertou quem optou pela alternativa d). Isso porque, na leitura de uma escala, o algarismo significativo mais direita de um nmero deve sempre ser o duvidoso (no esquea: o algarismo duvidoso significativo!). Resumindo: Qualquer medida por comparao entre um objeto e uma escala deve incluir alm dos dgitos exatos (1,5 nesse caso) uma estimativa do dgito (duvidoso). Uma vez que a rgua foi marcada em milmetros voc deve estimar o comprimento fracionrio (em dcimos de mm) que melhor expressa a medida. Voc pode no precisar se vale 1,54, 1,55 ou mesmo 1,56. Essa a expresso da sua incerteza.

S para confirmar: Qual o dimetro da moeda na Figura 1.2?

2

Figura 1.2. Medindo o dimetro de uma moeda. a) Entre 0 e 2 cm b) Entre 1 e 2 cm c) Entre 1,9 e 2,0 cm d) Entre 1,92 e 1,94 cm e) Entre 1,935 e 1,945 cm No exemplo acima podemos afirmar que a metade da menor diviso uma estimativa da nossa incerteza: portanto o dimetro da moeda pode ser expresso como: 1,92 0,05 cm 1,92(5) cm

1.2.1. EXPRESSO DA INCERTEZA. Como devemos expressar a incerteza de uma medida? Ou, posto de outra forma: quantos significativos devem ter a incerteza de uma medida? Usaremos a seguinte conveno4: Se o primeiro dgito significativo da incerteza for menor que 3, usaremos DOIS significativos. Caso o primeiro dgito significativo da incerteza for maior ou igual a 3, podemos usar UM ou DOIS algarismos significativos para a incerteza; Resumindo: qualquer que seja o caso sempre podemos usar dois significativos para expressar a incerteza. Mas ateno: quando a incerteza for resultado de uma estimativa ou apenas indicativa, tal como a metade da menor diviso de um instrumento, sugerimos usar apenas UM dgito significativo. No tem sentido, por exemplo, expressar a incerteza de uma rgua milimetrada com DOIS significativos (0,50mm), basta escrever 0,5mm. 1.2.2. EXPRESSO DA GRANDEZA Usar a mesma potncia de dez tanto para o valor da grandeza como para sua incerteza; O nmero de algarismos significativos da incerteza dado pela regra 1.2.1. acima; O nmero de dgitos depois da vrgula na incerteza tem que ser o mesmo que no mensurando; A notao cientfica pode ser usada para melhor legibilidade. Veja alguns exemplos abaixo. Note o casamento do nmero de casas decimais na incerteza e no valor do mensurando.

notao errada 5,30 0,0572 124,5 11 0,0000200 0,0000005 (45 2,6)x101

notao correta 5,30 0,06 125 11 (200,0 5,0)x10-7 (45 3) x 101

1.3. Conceitos bsicos para expresso de incertezasO texto a seguir uma adaptao do Guia para Expresso da Incerteza de Medio publicada pelo INMETRO (1998). Infelizmente, normas metrolgicas so um assunto um tanto burocrtico, mas tambm parte da linguagem cientfica que precisamos dominar. No houve de modo algum a pretenso de exaurir o

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Conforme Vuolo (1992) e Inmetro (1998).

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assunto. Ao leitor interessado em aprofundar seus conhecimentos ou ansioso por outros exemplos, recomendamos fortemente consultar a referncia citada.

1.3.1. MedioO objetivo de uma medio determinar o valor do mensurando, isto , o valor da grandeza especfica a ser medida. Uma medio comea, portanto, com uma especificao apropriada do mensurando, do mtodo de medio e do procedimento de medio. Medio: conjunto de operaes que tm por objetivo determinar um valor de uma grandeza. Valor (de uma grandeza): expresso quantitativa de uma grandeza especfica, geralmente sob a forma de uma unidade multiplicada por um nmero. Exemplo: comprimento de uma barra: 5,34m Mensurando: grandeza especfica submetida medio. Exemplo: temperatura de fuso da glicerina. Grandeza (mensurvel): atributo de um fenmeno, corpo ou substncia que pode ser qualitativamente distinguido e quantitativamente determinado. O termo grandeza pode se referir a uma grandeza em sentido geral (comprimento, tempo, massa.) ou grandeza especfica (comprimento de uma barra, resistncia eltrica de um fio). Os smbolos das grandezas esto definidos na norma ISO 31. Mtodo de medio: seqncia lgica de operaes, descritas genericamente, usadas na execuo das medies. Exemplos: mtodo de substituio, mtodo diferencial, mtodo de zero... Procedimento de medio: conjunto de operaes, descritas especificamente, usadas na execuo de medies particulares de acordo com um dado mtodo. Um procedimento (de medio) deve ser um documento com detalhes suficientes para permitir que um observador execute a medio sem informaes adicionais.

1.3.2. Resultado de uma medioEm geral, o resultado de uma medio somente uma aproximao ou estimativa do valor do mensurando e, assim, s completa quando acompanhada pela declarao de incerteza dessa estimativa. Em muitos casos, o resultado de uma medio determinado com base em sries ou conjunto de observaes obtidas sob condies de repetitividade. Resultado de uma medio: valor atribuido a um mensurando obtido por medio. Deve-se indicar claramente se o resultado se refere indicao, se um resultado corrigido ou no corrigido e se corresponde ao valor mdio de vrias medies. A expresso completa do resultado de uma medio inclui informaes sobre a incerteza da medio.

Estimativa: valor de uma estatstica (uma conta) utilizada para estimar um parmetro (uma mdia, por exemplo) da totalidade de tens (em geral infinito), obtido como resultado de uma operao sobre uma amostra (em geral um conjunto limitado de dados) supondo um determinado modelo estatstico de distribuio (distribuio norma, por exemplo).

Incerteza (de medio): parmetro associado ao resultado de uma medio que caracteriza a disperso dos valores que podem ser razoavelmente atribudos ao mensurando. Entende-se que o resultado de uma medio a melhor estimativa do valor de um mensurando e que todos os componentes da incerteza, incluindo aqueles resultantes dos efeitos sistemticos, contribuem para a disperso.

4

Repetitividade (de resultados de medies): grau de concordncia entre os resultados de medies sucessivas de um mesmo mensurando, efetuadas sob as mesmas condies de medio. Condies de repetitividade incluem: - mesmo procedimento de medio - mesmo observador - mesmo instrumento de medio sob as mesmas condies - mesmo local - repetio em curto perodo de tempo

1.3.3. Erros e incertezasDeve-se atentar e distinguir com cuidado os termos erro e incerteza. Esses termos no so sinnimos, ao contrrio, representam conceitos completamente diferentes. No devem ser confundidos nem mal empregados.

Erro Uma medio tem imperfeies que do origem a um erro no resultado da medio. O erro costuma ser classificado em dois componentes: erro aleatrio e erro sistemtico. O erro aleatrio tem origem em variaes imprevisveis tambm chamadas efeitos aleatrios. Essses efeitos so a causa de variaes em observaes repetidas do mensurando. O erro aleatrio no pode ser compensado, mas pode ser reduzido aumentando o nmero de observaes. Apesar de freqentemente citado, o desvio padro da mdia no o erro aleatrio da mdia. Representa, sim, uma medida da incerteza da mdia devido aos efeitos aleatrios. O erro sistemtico, em geral, no pode ser eliminado, mas pode eventualmente ser reduzido ou, caso seja identificado, deve ser corrigido.

1.4. EstatsticasQuando se trabalham com vrios resultados em condies de repetitividade de uma medio, usamse algumas estatsticas para resumir e consolidar as informaes obtidas. Por exemplo: ao tentar determinar o tempo de queda de um corpo, um aluno mediu uma nica vez o evento. Tendo a incerteza do aparelho utilizado, poderamos ter uma idia do acerto do aluno. Mas a incerteza cobre apenas o erro do aparelho e no a do aluno ou mesmo do procedimento experimental. O problema que se coloca : Como determinar a incerteza de uma medida? COMO DETERMINAR A INCERTEZA DE UMA MEDIDA? Uma abordagem alternativa para este problema medir vrias vezes o mesmo tempo e calcular a mdia. A variabilidade de cada medida dada pelo desvio padro e a variabilidade da mdia (caso se obtenham vrias mdias) ser dada pelo desvio padro da mdia5. O problema que para o valor mais provvel a partir de mdias, determinar desvios padro e desvio padro de mdias exige que se faam INFINITAS medidas e definitivamente no temos tempo para isso! Vamos, portanto, ESTIMAR o valor mais provvel, o desvio padro e o desvio padro da mdia para um conjunto pequeno de medidas. O desenvolvimeto terico e a justificativa para esse procedimento podem ser5 comum encontrar a afirmao de que se fazem muitas medidas de uma mesma grandeza para melhorar um resultado. Isto falso. A incerteza de um processo de medida uma caracterstica do processo expresso pelo desvio padro, que independe do nmero de medidas (para n grande, tpicamente n>10). verdade que ao realizar muitas medidas pode-se obter um valor mdio mais prximo do valor mais provvel, uma vez que o desvio padro da mdia (que expressa a incerteza da mdia) varia com 1/n. Entretanto, raramente se usa essa abordagem em medidas diretas (no estocsticas). Na prtica, quando se deseja uma medida com incerteza menor, procura-se simplesmente um procedimento ou um instrumento melhor (um micrmero no lugar de um paqumetro, por exemplo). A verdadeira razo de se repetir uma medida vrias vezes para estimar seu desvio padro.

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encontrados em qualquer livro texto bsico de estatstica, como, por exemplo, Helene e Vanin (1981). A mdia, o desvio padro e o desvio padro da mdia, para um conjunto finito com n dados podem ser estimados aplicando as equaes abaixo.

mdia de uma amostra com n valores:

m=

1 xi n

(1.1)

desvio padro de uma amostra:

s=

1 2 ( xi m) n 1

(1.2)

desvio padro da mdia com n valores:

sm =

1 s 2 ( xi m) = n (n 1) n

(1.3)

Uma maneira grfica de analisar estatisticamente esses dados atravs de um histograma ou grfico de barras. Neste tipo de grfico, para uma visualizao mais direta, o eixo x divido em intervalos iguais que se chamam celas. H 3 grandezas que podem ser graficadas na forma de histograma: a freqncia absoluta, fa, a freqncia relativa, fr, e a densidade de probabilidade, dp. A freqncia absoluta o grfico onde o eixo y representa a quantidade absoluta de termos dentro de uma cela. Freqncia relativa tem no eixo y a frao da quantidade de termos dentro de uma cela. No grfico de densidade de probabilidade dP = fr/x, grafica-se no eixo y o resultado da diviso de fr pelo tamanho da cela, x. Neste caso a rea do grfico a probabilidade de ocorrer o valor contido na cela ou intervalo (da o nome densidade de probabilidade). Este ltimo tem a vantagem de independer do tamanho da cela, valendo at mesmo para histogramas com tamanho de cela varivel, pois a rea total sempre unitria! Veja o exemplo a seguir:Tabela 1: Tempos de queda de um corpo. (ms)

4.93 2.21 4.12 3.83

0.77 6.00 5.40

7.01 5.17 2.56

Tabela 2: Anlise estatstica dos tempos.

Cela 1 2 3 4

Intervalo 0,00 | 2,00 2,00 | 4,00 4,00 | 6,00 6,00 | 8,00

fa 1 3 4 2

fr=fa/n 0,10 0,30 0,40 0,20

dp=fr/x 0,05 0,15 0,20 0,10

Note que n = 10 a quantidade de dados e o intervalo representado por um smbolo que, no caso, exclui o valor mximo da cela. 6

dP = fr/x (ms-1)

m = 4,2 ms

0,20

0,15s = 1,9 ms

0,10~2/3 da altura

0,05

0,00

0

2

4

6

8

10

tempo de queda (ms)

Figura 1.3. Histograma dos tempos de queda de um corpo.

O histograma dos dados na Tabela 1 est na Figura 1.3 acima. Note que a escala do eixo y est em unidades de densidade de probabilidade, que tem unidades de ms-1. Para valores aleatrios distribuidos de acordo com a lei Normal com mdia e desvio padro , o histograma de dP pode ser modelado por uma curva contnua, tambm denominada Gaussiana, dada por:1 0,5 * ( x m) 2 f dP = r = exp( ) s2 x s 2

(1.4)

Onde m a estimativa da mdia e s a estimativa do desvio padro. Neste histograma ajustamos uma curva e estimamos sua tendncia central, m, ou seja, a mdia e sua largura, s, o desvio padro. O desvio padro pode ser estimado graficamente, calculando o valor de x para o qual |x-m| = s. Neste caso, a equao (1.4) vale:dP(| x m |= s ) = Yo exp( 0,5 * ( s ) 2 ) s2

(1.5)

onde Yo a altura do mximo da curva. Isso resulta que o desvio padro pode ser estimado graficamente como a metade da largura total de uma gaussiana medida aproximadamente a 2/3 da altura, pois2 dPs = Yo exp( 0.5) = 0.61 Yo Yo 3

(1.6)

Note tambm que a rea do histograma da Figura 1.1. unitria, assim como a rea da gaussiana.

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1.5. Referncias e bibliografiaDiretrio Central dos Estudantes. Normalizao de trabalhos acadmicos & referncias bibliogrficas. 2a. Ed. Pontifcia Universidade Catlica de Campinas. - (1998). 52p Fernandes, Normando C. O laboratrio de projetos: inmeras variaes sobre o mesmo tema. Preprint IFUSP/ P-564. (1986). Frota, Maurcio Nogueira, Ohayon, Pierre. eds. Padres e Unidades de Medida - Referncias Metrolgicas da Frana e do Brasil. INMETRO - Rio de Janeiro: Qualitymark Ed. 1999. 120p Helene, Otaviano A.M. e Vanin, Vito R. Tratamento estatstico de dados em fsica experimental. Ed. Edgard Blcher, So Paulo, SP. 1981. INMETRO, SBM. Guia para expresso da incerteza de medio. ABNT, Rio de Janeiro. (1998). 120p Referncias Bibliogrficas de Multimeios e Documentos Eletrnicos. Pontifcia Universidade Catlica de Campinas. Projeto Disque-Biblio, (1998) 19p. Saad, Fuad Daher, Yamamura, Paulo; Watanabe, Kazuo . Introduo a interpretao grfica de dados, grficos e equaes. 25p. IFUSP (sem data). Vuolo, Jos Henrique. Fundamentos da teoria de erros. Ed. Edgard Blcher, So Paulo, SP. 2a Ed. 1992. Yamamura, Paulo e Watanabe, Kazuo Instrumentos de Medio in Manuais Didticos de Fsica. 18p. IFUSP (sem data).

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2. PROPAGAO DE ERROS E INCERTEZAS2.1. Introduo

Um processo de medida tem sempre por objetivo determinar o valor mdio verdadeiro, ymv, de uma grandeza, cujo valor verdadeiro yv. Acontece que, em geral, o valor verdadeiro nos desconhecido, e para se obter o valor mdio verdadeiro, so necessrias infinitas medidas! Dessa forma, para um conjunto de medidas, {y1, y2, y3, ...yn}, o valor mdio verdadeiro dado por:1 n ymv = lim yi n n i =1

(2.1)

Como em geral ymv um valor inacessvel, usam-se estimativas: a mdia dada pela equao 1.1, a estimativa do desvio padro (eq. 1.2) e do desvio padro da mdia (eq. 1.3). Apenas relembrando alguns termos novos que usaremos com frequncia: MENSURANDO: Grandeza a ser determinada num processo de medio. VALOR VERDADEIRO:

Valor consistente com a definio de uma determinada quantidade. Em princpio, apenas obtido num processo de medida perfeito. Parmetro associado ao resultado de uma medida que caracteriza a disperso dos valores que podem satisfato-riamente ser atribuidos ao mensurando. Reflete o desconhecimento do valor exato do mensurando. a diferena entre a medida e o valor verdadeiro. Quanto menor o erro maior a exatido (acurcia).

INCERTEZA:

ERRO:

ERRO SISTEMTICO: ERRO PADRO:

Erro constante caracterstico do processo ou instrumento.

Desvio padro dos valores mdios em relao ao valor verdadeiro.

A grande diferena entre a incerteza e o erro (seja ele qual for) que o erro pode, em princpio, ser corrigido enquanto a incerteza um intervalo de confiana das medidas. Logo, caso sua experincia tenha um erro, existe uma falha no procedimento que pode e deve ser corrigido.

Exemplo 1. Medida da tenso de uma pilha: Neste exemplo, pretendemos determinar o valor mais provvel e a respectiva incerteza da tenso de uma pilha. Usaremos um voltmetro cuja incerteza nominal (fornecida pelo fabricante) de 1 = 0,25% do valor indicado. A incerteza do processo de medida deve, portanto, ser combinada com a incerteza do fabricante, para gerar o resultado procurado. Algumas frmulas utilizadas sero explicadas adiante. Retorne ao exemplo assim que terminar a leitura deste captulo. As medidas realizadas esto na Tabela 2.1.

Tabela 2.1. Tenso de uma pilha medida com voltmetro (incerteza nominal 0,25%) 9

n 1 2 3 4 5 6

U (volt) 1,572 1,568 1,586 1,573 1,578 1,581

incerteza nominal (V) 0,004 0,004 0,004 0,004 0,004 0,004

Antes, um comentrio: a tabela 2.1 acima tem trs colunas. A ltima contm a incerteza nominal das medidas que, como vemos, no varia ao longo das medidas. A tabela poderia ter apenas 2 colunas e a incerteza das medidas ser incorporada no ttulo da coluna 2. A nova tabela ficaria como no exemplo abaixo, tabela 2.1b. Tabela 2.1b. Tenso de uma pilha medida com voltmetro (incerteza nominal 0,25%) n 1 2 3 4 5 6 U 0,004 (V) 1,572 1,568 1,586 1,573 1,578 1,581

Vamos aos clculos. Note que em clculos intermedirios usamos um dgito significativo a mais, para apenas no final expressarmos o valor da medio conforme as normas discutidas no captulo anterior. Valor mdio:

U =

1 6 U i = 1,5763 V 6 i =1

Desvio padro das medidas:

=

1 6 (Vi 1,5763) 2 = 0,0066 V 6 1 i =1

Desvio padro do valor mdio:

m =

0,0066 = = 0,0027 V n 6

Incerteza nominal do voltmetro (0,25% da medida)

0,25 Lr = 1,5763 = 0,0039 V 100 Verifique que o desvio padro das medidas (na realidade do processo de medio) maior que a incerteza nominal do voltmetro. Isso era esperado, pois, na composio da incerteza do processo de medidas, a incerteza do voltmetro apenas um dos componentes. Uma nica medida, por exemplo, a primeira medida na Tabela 2.1b, pode ser expressa como:

U1 = (1,572 0,007 )V

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A incerteza de nossa medida difere da incerteza nominal citada na tabela 2.1. Tivemos que fazer uma srie de medidas para determinar o NOSSO desvio padro. Uma vez que realizamos uma srie de 6 medidas, podemos expressar nosso resultado de forma mais precisa, usando o valor mdio das seis medidas e seu desvio padro (o desvio padro da mdia). Portanto nosso resultado ficaria assim:

U = (1,5763 0,0027 )VEste resultado est timo para desenvolver nossos estudos e verificar alguma dependncia da tenso da pilha com outras grandezas. Mas o nosso voltmetro pode ter um erro de calibrao. Explicando: Na fbrica so produzidos milhares de voltmetros. Em mdia todos iguais. Mas no varejo, ao comparar os valores medidos por diferentes voltmetros, um indica um valor um pouco maior, outro um pouco menor... Como ento comparar medidas feitas com voltmetros diferentes? Temos que retornar ao manual do aparelho e procurar a incerteza de calibrao do mesmo, ou seja, o desvio padro de calibrao dos voltmetros. Em geral (mas no necessariamente) a incerteza do instrumento e o desvio padro de calibrao so semelhantes. Seria um desperdcio se assim no fosse. (Quem compraria um aparelho muito preciso e caro mal calibrado? Por que calibrar cuidadosamente um aparelho vagabundo?). Podemos supor ento que o desvio padro de calibrao do voltmetro da mesma ordem que sua incerteza nominal. Dessa forma possvel que instrumentos diferentes indiquem valores diferentes para uma mesma medida, nesse nosso caso, com um desvio padro de 0,004V. Caso tenhamos em nosso laboratrio mais que um voltmetro do mesmo modelo, temos que incorporar esse desvio padro de calibrao em nosso resultado. Isso pode ser feito por meio de uma soma quadrtica, denominada de erro padro, em que se compe quadraticamente o desvio padro da mdia com o desvio padro de calibrao do instrumento: Erro padro:

p = 2 + L2 = 0,0048V m rFinalizando, o valor mais provvel da tenso da pilha pode ser representado por:

U P = (1,5763 0,0048)VAfinal, qual o valor que devemos usar? Depende. Para comparar sries de medidas no mesmo instrumento, podemos usar a mdia U e o desvio padro da mdia. Para comparar medidas entre si, basta o desvio padro. Para comparar medidas em instrumentos diferentes, precisamos do erro padro.

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2.2. PROPAGAO DE INCERTEZASMuitas vezes usaremos o valor do mensurando numa equao para determinar uma outra grandeza qualquer. O que fazer com a incerteza associada? Para o mensurando temos a incerteza do processo de medida, enquanto que para grandezas determinadas atravs de frmulas temos a incerteza propagada. 2.2.1. Clculo da propagao de incertezas O problema pode ser posto da seguinte maneira: dada uma funo w = w(x, y, z) onde x, y, z so grandezas experimentais com incertezas dadas por x, y, z e independentes entre si, quanto vale w ? A independncia entre x, y, z necessria para a validade das frmulas a seguir, mas no ser discutida por enquanto. Para simplificar suponha w apenas funo de x. No grfico abaixo est representando w(x).

w

w

wi w = w x x

x xi x

A incerteza de w, neste grfico, pode ser obtida pela simples projeo da incerteza de x. Para pequenos intervalos no eixo x, temos em primeira ordem:

w =

w x x

(2.2)

Para mais de uma varivel independentes entre si, podemos escrever uma frmula geral (visualize uma soma de catetos em n dimenses): w 2 w 2 w 2 = x + y y + z z + ... (2.3) x 2 2 2 w 2

Acompanhe os exemplos a seguir:

A) Adio de valores experimentaisConsidere a soma de dois segmentos:

A incerteza no segmento soma pode ser calculada aplicando a equao (2.3):

L 2 L 2 = a + b a b 2 2 = 1. a + 1. b2 2 2 L

que resulta: 12

2 = 2 2 + 0,52 = 4,25 L L = 2,06 cmLogo L = (20,0 2,1) cm

B) Subtrao de valores experimentais Seguindo o mesmo esquema do exemplo anterior, a incerteza associada subtrao de duas grandezas experimentais dada por:

Novamente, usando a equao (2.3):

L L 2 2 = 2 + b L a a b 2 2 = 1. a + 1. b2 2

resulta:

2 L = 22 + 22 = 8 L = 2,8 cm

Logo

L = (4,0 2,8) cm

Note que na soma, tanto a grandeza como a incerteza aumentaram, mas na diferena de duas grandezas experimentais, apesar do resultado ser menor em mdulo, a incerteza final maior que a das partes. C) Multiplicao de grandezas experimentais: volume de um cilindro Vamos agora determinar o volume do cilindro na figura abaixo em que se mediram o raio e a altura.

Propagaremos as incertezas em todos os termos do produto: , R e L. 13

V 2 V 2 V 2 = + R + L R L = ( R 2 L) 2 2 + ( 2 RL) 2 2 + ( R 2 ) 2 R L 2 2 2 2 V

dividindo por V 22 V ( R 2 L) 2 2 + ( 2 RL) 2 2 + ( R 2 ) 2 R L = ( R 2 L ) 2 V2

V 2 = + R + L V R L 2 2 2

2

Calculando cada um dos termos acima usando os valores fornecidso na figura:

=0

(i)

1 2 R = R 2,0e

(ii)

L 0,5 = L 10,0Somando i, ii e iii em quadratura:

(iii)

V = 0 2 + 0,52 + 0,052 = 0,5025 VMUITO IMPORTANTE: Na equao acima, de propagao de incertezas na multiplicao e diviso, obtivemos a incerteza relativa V V . NO ESQUEA DE MULTIPLIC-LA PELO RESULTADO (V) PARA OBTER A INCERTEZA ABSOLUTA. Multiplicando V por V e ajustando o nmero de significativos...

V = 0,5025 V = 0,5025 125,7 = 63O resultado do volume do cilindor vale:

V = (126 63) cm3ou ainda

V = (13 6) x 10 cm3Os resultados acima so mais gerais do que parece primeira vista. Para as quatro operaes podem ser resumidos como segue:

Na soma ou subtrao, a incerteza absoluta do resultado a soma em quadratura das incertezas absolutas.14

Na multiplicao ou diviso, a incerteza relativa do resultado dada pela soma em quadratura das incertezas relativas dos operandos (no esquea de converter a incerteza relativa em absoluta).NOTA: por soma em quadratura entende-se a raiz quadrada da soma dos quadrados...

No Quadro 2.1, a seguir, esto resumidos os principais casos de propagao de incertezas. Uma importante regra prtica pode ser obtida se notarmos que o resultado de propagao de incertezas no precisa ser feito com preciso numrica maior que cerca de 5%. Logo: Qualquer termo menor que 1/3 do maior termo na soma em quadratura pouco contribui no resultado final e em geral, pode ser desprezado. Exemplificando: Volte para o exemplo A, a soma de dois segmentos: L calculamos o resultado de :

2 = 2 2 + 0,5 2 = 4,25 Lobserve que 0,52