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TENSORES CARTESIANOS Tensores:

representam uma generalizao dos vetores so independentes do sistema de coordenadas so representados atravs de suas componentes em um dado

sistema Exemplos de Tensores Escalar - nmero (tensor de ordem zero): 1 5 energia

Vetor (tensor de primeira ordem):

121

, uvw

, aaa

1

2

3

Matriz (tensor de segunda ordem): 1 2 54 3 28 9 5

, 1 0 00 1 00 0 1

,

matriz de tenses

xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

a aa a

11 12

21 22

NOTAO INDICIAL Algumas das equaes que regem os problemas de Engenharia podem ser formuladas em termos de quantidades independentes das coordenadas. Estas equaes, normalmente, so bastante longas e seu manuseio pode ser extremamente tedioso. Neste tpico sero fornecidas algumas regras para notao destas equaes, que propiciam uma substancial economia de tempo, sem perda da capacidade de fornecer informaes por parte das equaes. Adicionalmente, este conjunto de

Tensores Cartesianos - Notao Indicial 2

regras possui um formato bastante adequado implementao computacional. Esta notao denominada notao indicial (NI). 1. Representao de Tensores em Notao Indicial

Seja a (a ou a) um vetor de dimenso 3: a =

aaa

1

2

3

O vetor a pode ser representado por somente um smbolo subscrito (ndice), o qual representa a i-sima coordenada do vetor a: ai Conveno:

ndices latinos (i, j, k, l, ...) variam de 1 a 3 (representam o espao tridimensional)

ndices gregos (, , , ...) variam de 1 a 2 (representam o espao bidimensional

Exemplos:

Vetores: P ou P ou P : P =

PP

1

2 (bidimensional - 2 componentes)

Pi ou Pj ou Pk : P =

PPP

1

2

3

(tridimensional - 3 componentes)

Matrizes: Aij : A = =

[ ]AA A AA A AA A A

11 12 13

21 22 23

31 32 33

, A : A = =

[ ]A

A AA A

11 12

21 22

ij :

11 12 13

21 22 23

31 32 33

2. Conveno Soma - ndices Mudos Considere a soma s a x a x a x a x a xn n= + + + + +1 1 2 2 3 3 4 4 , (1)

a qual pode ser escrita em forma simplificada como


s a xi ii

n=

=

1. (2)

Uma implementao computacional desta operao, utilizando a linguagem Fortran 77, mostrada abaixo: s = 0.0 do i = 1, n s = s + a(i) * x(i) end do Naturalmente, esta rotina e a eq. (2) podem ser escritas de forma diferente, mas exatamente com o mesmo significado. Ou seja

s a xj jj

n=

=

1, (3.a)

s a xm mm

n=

=

1, (3.b)

etc. Os ndices i, j e m, nas eqs. (2) e (3) so denominados ndices mudos, visto que o resultado final da equao independente do ndice utilizado. Conveno de Soma de Einstein:

Sempre que um ndice aparece repetido em uma equao, este um ndice mudo e indica uma soma ao longo do intervalo 1, 2, 3, n.

Desta maneira, as eqs. (1) a (3) podem ser escritas, em formato simplificado, suprimindo o smbolo de somatrio, como: s a x a x a xi i j j m m= = = com i, j, m = 1, 2, 3, , n. (4)

Devido a natureza vetorial das equaes que definem problemas de Engenharia e destas serem escritas, normalmente, nos espaos bi e tridimensional, pode-se adicionar uma nova conveno conveno de soma de Einstein, desta feita relacionada ao intervalo de validade dos ndices das equaes. Assim:

ndices gregos: , , , , , , , etc. Intervalo de variao: 1 a 2.


ndices latinos: i, j, k, l, m, n, p, r, s, t, etc. Intervalo de variao: 1 a 3.

Note-se que um ndice nunca poder aparecer mais de duas vezes em uma equao. Ou seja, a expresso a x xmm m p no possui significado algum em NI.

Alm disso, a conveno soma pode ser empregada para somatrios duplos, triplos, etc. A seguir, alguns exemplos de utilizao da conveno soma de Einstein: v v v v v v v v vi i

21 1 2 2 3 3= = + + (5.a)

u v = = +u v u v u v 1 1 2 2 (5.b)

a x x a x x a x x a x x

a x x a x x a x x

a x x a x x a x x

a x x a x x a x x

ij i j i i i i i i= + + =

= + + +

+ + + +

+ + +

1 1 2 2 3 3

11 1 1 12 1 2 13 1 3

21 2 1 22 2 2 23 2 3

31 3 1 32 3 2 33 3 3

(5.c)

3. ndices Livres Considere o seguinte sistema de equaes: v a x a x a x1 11 1 12 2 13 3= + +

v a x a x a x2 21 1 22 2 23 3= + + (6)

v a x a x a x3 31 1 32 2 33 3= + +

Utilizando NI, as eqs. (6) podem ser escritas como v a xm m1 1=

v a xm m2 2= (7)

v a xm m3 3=

Atravs de uma notao simplificada, o conjunto de eqs. (7) pode ser escrito como v a xi im m= . (8)

Um ndice que aparece somente uma vez em cada termo de uma equao (como o ndice i acima) denominado ndice livre e pode variar em qualquer


intervalo. No caso de ndices gregos, estes variam de 1 a 2. No caso de ndices latinos, variam de 1 a 3. A quantidade de ndices livres em uma equao, escrita em NI, indica a ordem da varivel final. Assim, um termo que no possua ndice livre indica que este um escalar. Caso ocorra somente um ndice livre, este termo um vetor, e assim por diante. No caso da eq. (8), esta indica que a i-sima componente de um vetor (vi) igual i-sima componente de outro vetor, calculado a partir do produto de uma matriz ([a]) por um vetor ({x}). Uma rotina em Fortran 77, representando este produto : do i = 1, 3 v(i) = 0.0 do m = 1, 3 v(i) = v(i) + a(i,m) * x(m) end do end do Deve-se enfatizar que, na rotina acima, o termo destacado em negrito corresponde exatamente eq. (8). O ndice livre que ocorre em um termo de uma equao deve ser exatamente o mesmo ndice livre dos outros termos desta equao. Assim, na soma de dois vetores a e b resultando em um vetor c, as equaes podem ser escritas em formato expandido como: c a b1 1 1= +

c a b2 2 2= + (9)

c a b3 3 3= + .

E em NI, esta pode ser simplificada para c a bn n n= + . (10)

A ocorrncia de dois ndices livres em uma equao indica que o resultado uma matriz, sendo que todos os termos desta equao tero os mesmos ndices livres. Assim, seja a seguinte equao escrita em NI: D L Uij im jm= . (11)

Expandindo a soma implcita no ndice mudo m, tem-se


D L U L U L Uij i j i j i j= + +1 1 2 2 3 3 . (12)

Note-se que esta equao corresponde a 9 termos (i = 1, 2, 3 e j = 1, 2, 3), os quais podem ser expandidos como

D L U L U L U L U

D L U L U L U L U

D L U L U L U L U

D L U L U L U L U

D L U L U L U L U

m m

m m

m m

m m

m m

11 1 1 11 11 12 12 13 13

12 1 2 11 21 12 22 13 23

13 1 3 11 31 12 32 13 33

21 2 1 21 11 22 12 23 13

33 3 3 31 31 32 32 33 33

= = + +

= = + +

= = + +

= = + +

= = + +

(13)

interessante comparar o volume das eqs. (13) com a simplicidade da eq. (11). Novamente, importante frisar que uma expresso do tipo R Smn mp= no

possui qualquer significado em NI. 4. Delta de Kronecker O delta de Kronecker ( ij ) a representao da matriz identidade e

definida, utilizando NI, como

ijse i jse i j

==

10

(14)

Ou seja, a matriz delta pode ser visualizada como

[ ]

ij =

=

11 12 13

21 22 23

31 32 33

1 0 00 1 00 0 1

. (15)

A matriz delta de Kronecker possui algumas propriedades que podem ser visualizadas abaixo. a) ii = + + = + + =11 22 33 1 1 1 3 (16)


b) Seja a expresso im m ia a= , bastante comum em expresses em NI.

Expandindo-a tem-se

1 11 1 12 2 13 3 1m ma a a a a= + + = 2 21 1 22 2 23 3 2m ma a a a a= + + = (17)

3 31 1 32 2 33 3 3m ma a a a a= + + =

Reescrevendo as equaes acima: para i = 1 im ma a= 1

para i = 2 im ma a= 2 (18)

para i = 3 im ma a= 3

Pode-se notar que as eqs. (18) representam a verso expandida de im m ia a= .

c) im mj ijA A= (19)

Expandindo a equao acima 1 11 1 12 2 13 3 1m mj j j j jA A A A A= + + = 2 21 1 22 2 23 3 2m mj j j j jA A A A A= + + = (20) 3 31 1 32 2 33 3 3m mj j j j jA A A A A= + + =

Em forma geral tem-se im mj ijA A= (21)

d) im mj ij= (22)

Esta equao idntica eq. (21), sendo que a matriz A, neste caso, igual

matriz identidade. e) im mn np pj ij= (23)


f) Se e1, e2 e e3 so vetores unitrios normais entre si (por exemplo, vetores-base

de um sistema cartesiano de coordenadas), ento e ei j i j= . (24)

Definindo dois vetores (a e b) neste sistema de coordenadas, estes so dados por a e e e e= + + =a a a a i i1 1 2 2 3 3 (25.a)

e b e e e e= + + =b b b bi i1 1 2 2 3 3 . (25.b)

O produto interno entre dois vetores pode ser escrito como

( ) ( ) ( )a b e e e e = = = =

= = = + +

a b a b a b

a b a b a b a b a bi i j j i j i j i j i j

i i j j

1 1 2 2 3 3

(26)

5. Smbolo de Permutao O smbolo de permutao, denotado por i jk , definido em NI como

i jk

se permutacao parse permutacao imparse quaisquer indices i j k forem iguais

=+

110 , ,

(27)

ou seja,

123 231 312

321 132 213

111 112 113 211 212 333

1

1

0

= = = +

= = =

= = = = = = =

(28)

Deve-se notar a seguinte propriedade neste smbolo: i jk kij jki jik ik j kji= = = = = (29)


Sejam e1, e2 e e3 os vetores unitrios normais que definem os vetores-base de

um sistema cartesiano de coordenadas. Assim o produto externo (produto vetorial) entre estes vetores pode ser escrito como e e e1 2 3 = e e e2 3 1 = e e e3 1 2 =

e e e2 1 3 = e e e3 2 1 = e e e1 3 2 = (30)

e e e e e e1 1 2 2 3 3 0 = = =

Estes produtos vetoriais podem ser escritos, em NI, de maneira simplificada como e e e e ei j i jk k kij k jki k = = = . (31)

Note-se a existncia de ndices mudos (soma implcita) na eq. (31). deixada ao leitor a tarefa de expandir as eqs. (31) e mostrar que estas so equivalentes s eqs. (30). Sejam os dois vetores (a e b) definidos, neste sistema de coordenadas, pelas eqs. (25). Realizando o produto externo entre ambos e igualando a um vetor c, esta operao pode ser realizada como

( ) ( )

( ) ( )c a b e e e e e e

e e

= = + + + + =

=

a a a b b b

a bi i j j

1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 (32)

+1

2 3-1

2 3

(a) - Permutao par (b) - Permutao mpar. Figura 1: Definio de tipos de permutao entre 3 nmeros.


Note-se que, na equao acima, ocorrem duas somas implcitas (ndices mudos) e que os termos ai e bi representam as componentes de cada vetor e so escalares.

Assim a eq. (32) pode ser simplificada como

( ) ( ) ( )c e e e e e= = =a b a b a bi i j j i j i j i j i jk k , (33) o que representa que o vetor c possui componentes cuja forma final

c a bc a bc a b

o c a bi j ij

i j i j

i j i j

k i j i jk

1 1

2 2

3 3

===

=

log , . (34)

Assim, o vetor c pode ser escrito como c e= c k k , (35)

onde as componentes ck so calculadas atravs da eq. (34). 6. Manipulaes com Notao Indicial A manipulao algbrica de equaes escritas em NI, na maioria das vezes, de grande valia, podendo simplificar extremamente o nmero de operaes envolvidas. A seguir sero mostradas algumas destas manipulaes e os cuidados a serem tomados quando de sua realizao. A) Substituio: Sejam os dois escalares p e q, calculados a partir do produto interno de vetores conhecidos. Assim, p a bm m= (36.a)

e

q c dm m= . (36.b)


O produto destes dois escalares pode ser realizado normalmente em NI, resultando em um outro escalar r. Entretanto, a expresso para r no poder conter o ndice mudo m repetido 4 vezes. Assim, requerida a substituio dos ndices mudos da expresso para o escalar p ou de q. r p q a b c d a b c dm m n n n n m m= = = . (37)

Note-se que a expresso (37) possui dois ndices mudos indicando duas somas implcitas. interessante o leitor realizar a expanso destas somas e mostrar que a expresso final corresponde ao produto de dois escalares (p e q), os quais so resultado de dois produtos internos. B) Fatorao: Seja uma matriz [ ]T , conhecida e que define uma transformao de coordenadas no sistema cartesiano. Quando [ ]T aplicada sobre um vetor genrico { }n , resulta em um vetor { }p . A transformao [ ]T responsvel por uma rotao e um escalonamento do vetor { }n . Esta operao pode ser escrita, em notao matricial, como

ppp

T T TT T TT T T

nnn

1

2

3

11 12 13

21 22 23

31 32 33

1

2

3

=

. (38)

Esta operao representa uma transformao linear atravs da aplicao do operador linear [ ]T sobre a varivel { }n , resultando em um vetor { }p . Em NI, esta transformao pode ser escrita como p T ni ij j= . (39)

O problema de autovalores/autovetores, associado matriz de transformao [ ]T , corresponde busca de trs escalares (autovetores) relacionados a trs vetores (autovetores). A caracterstica principal do problema que quando realizada a transformao sobre um autovetor qualquer { }n , ir resultar em um vetor { }p na mesma direo do vetor { }n . A relao entre os mdulos dos vetores { }p e { }n o escalar (denominado autovetor associado esta direo { }n ). Este problema pode ser escrito em notao matricial como


ppp

T T TT T TT T T

nnn

nnn

1

2

3

11 12 13

21 22 23

31 32 33

1

2

3

1

2

3

=

=

(40)

Em NI, a eq. (40) corresponde a p T n ni ij j i= = . (41)

Utilizando a matriz delta de Kronecker, tem-se que o ltimo termo da eq. (41) pode ser escrita como n ni ij j= (42)

e a eq. (41) resulta em ( )T n n T n n T nij j i ij j i j j ij i j j = = = 0 . (43) Ou seja, a eq. (43) deve ser solucionada para obter os trs valores caractersticos do problema. Note-se que, em notao matricial a eq. (43) corresponde a

T T TT T TT T T

nnn

nnn

T T TT T TT T T

nnn

nnn

11 12 13

21 22 23

31 32 33

1

2

3

1

2

3

11 12 13

21 22 23

31 32 33

1

2

3

11 12 13

21 22 23

31 32 33

1

2

3

000

=

=

=

(44.a)

Simplificando, tem-se a forma final do problema de autovalores/autovetores associado matriz [T]:

T T T

T T TT T T

nnn

11 12 13

21 22 23

31 32 33

1

2

3

000

=

(44.b)


C) Contrao: Seja uma matriz [ ]T , conhecida. Define-se trao da matriz como sendo a soma dos termos da diagonal da mesma. Assim, pode-se calcular este escalar utilizando a matriz delta de Kronecker (tambm denominado tensor de contrao), da seguinte maneira: [ ]tr T T T T T Tkk ij i j= + + = =11 22 33 . (45) Ou seja, a soma dos termos da diagonal de uma matriz qualquer pode ser calculada fazendo o produto desta matriz pela matriz delta de Kronecker. Isto resulta em uma contrao dos ndices. Exemplo: A matriz de tenses em um ponto material P qualquer de um slido pode ser calculada em funo da matriz de deformaes (se o material isotrpico, elstico e linear) atravs da lei de Hooke generalizada, dada por

ij ij kk ijG= +

2 1 2. (46)

Neste caso, G o mdulo de elasticidade transversal e o coeficiente de Poisson. Esta equao pode ser invertida, resultando em

ij ij kk ijG=

+

12 1

. (47)

A deformao volumtrica ( ) v em um ponto pode ser calculada atravs da soma das trs componentes de deformaes lineares neste ponto. Assim, pode-se determinar a relao entre a deformao volumtrica e as tenses responsveis pela mesma atravs da contrao desta matriz. Esta operao e a operao de inverso da eq. (46) so deixadas como atividades para o leitor.


7. Tensores A manipulao algbrica de equaes escritas em NI, freqentemente, recai em equaes com dois ou mais ndices livres. Neste caso, buscando uma homogeneidade da nomenclatura, define-se tensores. Pode-se mostrar que tensores transformaes lineares e, como tal, possui todas as propriedades destas operaes matemticas. No funo deste texto mostrar estas propriedades. Entretanto, ser fornecida somente a nomenclatura. Assim, em uma sentena escrita em NI, tem-se termo com 0 ndice livre escalar tensor de ordem zero termo com 1 ndice livre vetor tensor de primeira ordem termo com 2 ndices livres matriz tensor de segunda ordem termo com 3 ndices livres - - - tensor de terceira ordem termo com 4 ndices livres - - - tensor de quarta ordem e assim por diante. 8. Simetria e Anti-simetria de Tensores de Segunda Ordem Um tensor de segunda ordem (matriz) dito ser simtrico se [ ] [ ]T T= T , onde o smbolo [ ] T denota o transposto da matriz. Assim, um tensor simtrico tem a propriedade

T T Tij i jT

ji= = , (48)

ou seja, T T12 21= , T T13 31= , e T T32 23= .

Um tensor de segunda ordem (matriz) dito ser anti-simtrico se [ ] [ ]T T= T . Assim, as componentes de um tensor anti-simtrico tm a propriedade

T T Tij i jT

ji= = , (49)


ou seja, T T T11 22 33 0= = = e T T12 21= , T T13 31= , e T T32 23= .

Qualquer tensor [T] pode ser decomposto na soma de um tensor simtrico e de um tensor anti-simtrico, ou seja,

T T Tij i jS

i jAs= + . (50)

Neste caso, estes tensores so dados por

TT T T T

ijS ij i j

Tij ji=

+=

+

2 2 (51.a)

e

TT T T T

ijAs ij ij

Tij ji=

=

2 2. (51.b)

deixado como atividades para o leitor, mostrar que as eqs. (50) e (51) so vlidas para qualquer tensor [T] de segunda ordem. 9. Operadores Diferenciais1 A considerao de uma grandeza tensorial qualquer (escalar U, vetor {v} ,

matriz [T] ou tensor de ordem superior), dependente da posio de um ponto P, conduz ao conceito de funo tensorial de ponto (ou funo de posio), sendo do tipo escalar ( )U P , vetorial ( ){ }v P , matricial ( )[ ]T P ou tensorial de ordem superior. Se a cada ponto P de uma regio do espao corresponde uma grandeza escalar ou vetorial, diz-se que esta grandeza um campo escalar ou um campo vetorial. Generalizando, diz-se que uma grandeza tensorial. Assim, a temperatura em cada um dos pontos em um ambiente qualquer um campo escalar, enquanto que as velocidades das partculas de um fluido, internas a um recipiente, um campo vetorial e a inrcia de um ponto material em relao a um sistema de eixos de coordenadas uma grandeza matricial. Tendo como base estes campos tensoriais, pode-se definir uma srie de outras funes denominadas operadores diferenciais. Alguns dos principais 1 Visando a aplicao da notao indicial, conveniente denominar as direes cartesianas x, y, e z por x1, x2 e x3.


operadores diferenciais so gradiente, divergente e rotacional. Estes operadores possuem grande aplicao em problemas da Engenharia e de vital importncia o conhecimento dos conceitos relacionados aos mesmos. 9.1 Conveno Comma Inicialmente, ser discutida uma notao bastante simples e empregada na maioria das bibliografias relacionadas rea. Trata-se da conveno comma. Esta conveno baseada na substituio, pura e simples, do operador derivada parcial por uma vrgula. Assim, tm-se as seguintes equivalncias matemticas, vlidas para qualquer campo tensorial:

Ux

U= ,1 (52.a)

2 2

12 21U

x yU

y xU U= = =, , (52.b)

3

2

3

2 112 121 211U

x yU

y xU U U= = = =, , , (52.c)

2 2

123 132v

y zv

z yv vx x= = =, , (52.d)

Ty

Txy = 12 2, (52.e)

9.2 Gradiente Seja um campo U(P) ou U(x, y, z), onde as variveis x (ou x1), y (ou x2) e z (ou x3) so as coordenadas do ponto P em relao a um sistema de coordenadas cartesiano ortogonal fixo, uma funo escalar caracterstica de campo. Denomina-se gradiente da funo escalar U e se indica por grad U ao vetor

grad U e e e= + +

Ux

Uy

Uz1 2 3

, (53)

cujas componentes so as derivadas parciais da funo em relao s coordenadas x, y e z. Os vetores e e e1 2 3, e so os vetores unitrios fundamentais do triedro do

sistema de coordenadas de referncia.


O operador gradiente associa um campo vetorial a um campo escalar e representa, resumidamente, a direo de maior crescimento da funo escalar U no ponto onde foi calculado. A forma final do operador, aplicado a um campo escalar, escrito em NI

( )grad U Ux

Uii

i= = ,

. (54)

Seja um campo v P( ) ou v (x, y, z), uma funo vetorial caracterstica de campo, dado por ( ) ( ) ( )v e e e= + +v x y z v x y z v x y z1 1 2 2 3 3, , , , , , . (55) Alguns exemplos de campos vetoriais so deslocamentos de pontos em uma estrutura quando carregada, as velocidades dos pontos de um fluido em escoamento, as foras de inrcia em uma estrutura slida sob acelerao, foras de superfcie aplicadas sobre o contorno de um corpo, etc. O gradiente deste campo pode ser calculado, sobre cada componente, resultando em

[ ]grad v =

vx

vy

vz

vx

vy

vz

vx

vy

vz

1 1 1

2 2 2

3 3 3

. (56)

Note-se que a i-sima linha da matriz corresponde ao vetor gradiente da funo escalar que define i-sima componente ( vi ) do vetor v. Uma interpretao

geomtrica deste tensor ser dada posteriormente no estudo da cinemtica de deformao de slidos. Por outro lado, a eq. (56) pode ser escrita, em NI, como

[ ]grad v ij ij

i jvx

v= = ,

. (57)

Da mesma maneira, o gradiente de um campo tensorial de ordem superior (tenses, por exemplo) pode ser calculado, resultando em


[ ][ ]grad TT

xT

ijkij

kij k= =

,. (58)

Note-se que a aplicao do operador gradiente resulta no aumento da ordem da varivel resultante. Ou seja, o gradiente de um escalar (tensor de ordem zero) resulta em um vetor (tensor de primeira ordem), o gradiente de um vetor resulta em uma matriz (tensor de segunda ordem), e assim por diante. 9.3 Divergente Seja um campo tensorial T de qualquer ordem, uma funo tensorial caracterstica de campo. O divergente deste campo, o qual associado a um parmetro de crescimento desta funo no ponto, pode ser calculado como ( )div T tr T( ) = grad . (59) No caso de um campo vetorial u, o divergente deste campo dado por ( )div tr u u u u ui j i j k k( ) , , , , ,u grad u= = = = + + 11 2 2 3 3 . (60)

O divergente de um campo tensorial de segunda ordem T calculado por [ ]( ) [ ]( )div T tr T T T T T Ti j k jk ik k i i i= = = = + +grad , , , , , 11 2 2 3 3 . (61) Ser mostrado, no transcorrer do curso, a relao existente entre estas definies puramente matemticas e conceitos e variveis de grande importncia para a compreenso do processo de deformao dos meios contnuos em geral. 9.4 Rotacional de um Campo Vetorial Seja A um campo vetorial. O rotacional desse campo dado pelo produto vetorial entre o operador gradiente ( ) e o vetor A.

rot xAx

j

iijk k( )A A= =

e ou ( )rot Ak j i ijk( ) ,A =


10 Transformao de Coordenadas Sejam x ( x1 , x2 , x3 ) e x' ( x1

' , x2

' , x3

' ) dois sistemas de coordenadas

cartesianos, tendo em comum a origem. Um ponto P, de coordenadas xi em relao ao primeiro sistema de coordenadas, ter coordenadas xi

' no segundo sistema. A

seguir ser visto como essas coordenadas se relacionam e desta forma como faz-se a transformao de coordenadas de tensores. 10.1 Sistema de Coordenadas Bidimensional

x1'

x1

x2'

x2 P

Figura 2: Transformao de coordenadas: sistema bidimensional.

x x x

1 1 2' cos sen= +

x x x2 1 2' sen cos= +

Observando a figura 2, tem-se cos( , ) cos'x x1 1 11= = cos( , ) cos( ) sen'x x1 2 1290= = = cos( , ) cos( ) sen'x x2 1 2190= + = = cos( , ) cos'x x2 2 22= =

e

212111' xxx1

+=

222121' xxx2

+=

ou xx

xx

1 1

2

11 12

21 22 2

'

'

=


Em notao indicial:

x x ' = Lei de Transformao de Coordenadas para

Tensores de Primeira Ordem = cos( ; )

'x x cossenos diretores do sistema x' .

10.2 Sistema de Coordenadas Tridimensional

x2

x3' x3

x1

P

x2'

x1'

x2'

x1'

x3'

x1x2x3

Figura 3: Transformao de coordenadas: sistema tridimensional.

Da mesma forma que para o sistema de coordenadas bidimensional, tem-se

x xi ij j' = ij i jx x= cos( ; )'

Caracterstica dos cossenos diretores: ki kj ij=

Transformao de coordenadas para tensores de vrias ordens

Ordem zero - escalar: invariante com o sistema de coordenas

Primeira ordem - vetor: A Ai ij j' =

Segunda ordem - matriz: A Aij ik jl kl' =


EXERCCIOS Exerccio 1. Dados os tensores,

[ ]T =

1 0 30 4 23 2 4

e { }n =

13 2

11

4,

calcule:

a) Tpp b) HT

ijpp

ij= 3 c) Hqq

d) S TT

ij ijpp

ij= 3 e) Sqq f) T Tij ij

g) T nij j h) T n nij i j i) n ni i

Exerccio 2. Dada a seguinte relao entre os tensores tenso [ ] e deformao [ ]

ij ij kk ijG= +

2 1 2,

mostre que a energia de deformao especfica U, calculada atravs da expresso

U = ( )12 11 11 12 12 13 13 21 21 33 33 + + + + + ,

pode ser escrita em NI como

( )U = 1

4 22

G Eij ij kk

,

onde ( )E G= +2 1 .


Exerccio 3. Dados os tensores,

[ ]S =

0 1 21 2 32 3 1

, { }p =

13 2

11

4 e { }q =

125

304

a) calcule r p qk ijk i j= e mostre que este resultado o mesmo que o produto

vetorial r p q= ; b) calcule i jk i jp p e mostre que este resultado vlido para qualquer vetor p;

c) calcule ( )S S SijS ij ji= +12 e mostre que o tensor SijS simtrico e vlido para

qualquer tensor [S];

d) calcule ( )S S SijAs ij ji= 12 e mostre que o tensor SijAs anti-simtrico e vlido

para qualquer tensor [S]; e) calcule os traos dos tensores Sij

S e SijAs .

Exerccio 4. Seja o campo vetorial u P( ) ou u (x, y, z), uma funo vetorial caracterstica de campo, dado por ( ) ( ) ( )u e e e= + +u x y z u x y z u x y z1 1 2 2 3 3, , , , , , a) mostre a obteno do tensor gradiente de u, em NI e em formato expandido

(matriz expandida); b) obtenha o divergente de u; c) obtenha a parcela simtrica do tensor gradiente de u, nos dois formatos

especificados acima; d) idem para a parcela anti-simtrica; Exerccio 5. A seguir fornecido o campo de deslocamentos u na estrutura visualizada abaixo.

( )u x y zR

zR

xR

y m z y12 2 21

2 2 2, , =

+

+ +


( )u x, y, zR

x y n z x2 = +

( )u x, y, z 1R

x z m x n y p3 = + + + +

Neste caso, R o raio de curvatura da viga, o coeficiente de Poisson e m, n, p, , e so constantes a serem determinadas. Assim, para este problema pede-se: a) obtenha o tensor gradiente de u; b) obtenha o divergente de u; c) obtenha a parcela simtrica do tensor gradiente de u; d) obtenha a parcela anti-simtrica do tensor gradiente de u;

Exerccio 6. Encontre a forma final das equaes a seguir: a) i jk k ji b) i jk i j

x

yM

M

z

x

MP1

P2

P3

Figura 4 - Viga prismtica submetida a flexo pura.

apostila notacao indicial utfpr

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