apostila - finanças

APOSTILA DE FINANÇAS

Conceitos Básicos de Matemática Financeira e Engenharia Econômica

Com aplicação prática na HP12C

Think Ahead Soluções e Estratégias Empresariais Ltda.

Sumário CONCEITO DE JUROS ................................................................................................................ 3

CONCEITO ECONÔMICO ........................................................................................................................... 3

CONCEITO FINANCEIRO ............................................................................................................................ 3

JUROS E RISCO .......................................................................................................................... 4

MERCADO PERFEITO DE CAPITAIS ......................................................................................... 5

JUROS SIMPLES ......................................................................................................................... 6

DESCONTOS – JUROS ANTECIPADOS .................................................................................. 10

JUROS COMPOSTOS ................................................................................................................ 12

CONCEITO DE MARK UP E MARGEM DE CONTRIBUIÇÃO ................................................. 17

EQUIVALÊNCIA DE TAXAS ...................................................................................................... 18

JUROS SIMPLES ....................................................................................................................................... 18

JUROS COMPOSTOS ............................................................................................................................... 18

SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO ................................................................................................ 22

SISTEMA FRANCÊS (TABELA PRICE) ........................................................................................................ 22

SISTEMA de AMORTIZAÇÕES CONSTANTES SAC .................................................................................... 27

CONCEITO E APLICAÇÃO DA TIR – TAXA INTERNA DE RETORNO .................................. 30

CONCEITO E APLICAÇÃO DA VPL (NVP) – VALOR PRESENTE LÍQUIDO ......................... 31

JUROS E INFLAÇÃO ................................................................................................................. 33

FÓRMULAS ÚTEIS .................................................................................................................... 35

MÁQUINA FINANCEIRA HP 12 C ............................................................................................. 36

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS........................................................................................... 37

3


CONCEITO DE JUROS

Juros é o elemento que permite comparar valores em datas diferentes.

CONCEITO ECONÔMICO

Juros é a remuneração pelo uso de determinado capital durante um determinado período de tempo, ou seja, a quantia cobrada pelo credor ao tomador de recursos por

utilizar o seu capital, denominado capital inicial ou principal.

Os juros são representados por meio de uma taxa ou porcentagem por unidade de

tempo.

CONCEITO FINANCEIRO

Juros é o elemento que torna os valores que são comparados equivalentes.

4


JUROS E RISCO

Quando nos referimos aos juros no item conceito econômico, não estávamos cogitando

a possibilidade deste não vir a ser devolvido ao seu proprietário original.

Seria o caso de um empréstimo absolutamente seguro, totalmente isento de riscos.

Neste caso a taxa de juro é chamada juro puro.

Entretanto, no mercado de capitais, nunca podemos desprezar a hipótese da perda do

capital emprestado.

Então, como consequência natural, a taxa de juros de um negócio cresce com a hipótese da perda de capital, que é chamado risco de negócio.

Apresentamos a seguir um gráfico onde mostramos a variação da taxa de juros em relação ao risco de perda do capital.

Se quisermos determinar qual o custo efetivo de um capital emprestado, temos que somar ao valor da taxa de juros puro, o custo pelo risco, o custo de impostos e o custo

dos serviços de intermediação.

JurosFunção do Risco

Risco

JurosTotal

RiscoNulo

Remuneraçãopelo Risco

Taxa deJuro Puro

0

5


MERCADO PERFEITO DE CAPITAIS

Na demonstração das fórmulas e na resolução dos problemas de Fluxo de Caixa vamos admitir a existência de um mercado perfeito de capitais, consubstanciada nas seguintes premissas:

Qualquer valor pode ser obtido ou aplicado à taxa de juros em vigor;

A taxa considerada é única e constante ao longo do tempo.

Na prática, entretanto, a situação real quase sempre não se adapta a estas duas premissas.

Para o primeiro caso, podemos lembrar que as operações financeiras têm sempre um custo para a sua realização. Estes custos são referentes aos serviços exigidos, desde a abertura até a liquidação final.

A taxa de juros dada ao investidor (custos de fundos) soma-se à remuneração destes serviços (spread), para constituir o custo do capital para o tomador do capital.

Existem, então, duas taxas de juros:

Uma para aplicação de capital e outra para obtenção de capital.

No segundo caso das taxas de juros constantes, é fácil notarmos que os negócios no mercado se fazem com as mais variadas taxas de juros, seja em função do poder de informação que a pessoa dispõe, seja em função do risco, etc.

Como podemos nos deparar pela exposição acima, o mercado perfeito de capitais é um modelo que não existe na realidade. Entretanto, o estudo do comportamento dos capitais no tempo sobre este modelo teórico, fornece os elementos necessários para a resolução dos problemas práticos de equivalência de valores datados, introduzindo-se em cada caso correções e as ressalvas necessárias.

Anotações:

6


JUROS SIMPLES

CONCEITO

Juro simples é aquele no qual a taxa de juros incide somente sobre o capital inicial. O cálculo dos juros em cada período é realizado multiplicando-se a taxa de juros pelo capital. O valor dos juros simples é constante e igual a PV x i.

Vamos supor o seguinte exemplo:

Uma pessoa que deseja fazer uma aplicação de $ 100 a uma taxa de 10% a.m. por um período de 06 (seis) meses. Qual o valor final desta aplicação usando o modelo de juros simples?

Diagrama:

Obtenção dos dados representados no diagrama:

7


Ganho no período:

Ganho no 1º período:

Valor final no 1º período:



"

"

"



Capital inicial x Taxa

100 x 0,10 = 10

100 + 10 = 110

100 x 0,10 = 10

110 + 10 = 120

"

"

"

100 x 0,10 = 10

150 + 10 = 160

DEDUÇÃO DA FÓRMULA BÁSICA

A título de comparação com o modelo de juros compostos, vamos usar a mesma nomenclatura. Portanto temos:

PV = Valor presente, capital ou montante inicial;

n = Número de períodos;

i = Taxas de juros;

FV = Valor futuro ou montante final.

Fazendo analogia com o exemplo numérico temos:

8









PV x i

PV + PV x i

PV x i

PV x i + PV + PV x i = PV + 2 x PV x i

PV x i

PV + 2 PV x i + PV x i = PV + 3 PV x i = PV x (1 + 3 x i)

E assim por diante...

Desta maneira, observando a lei de formação do montante final, notamos que ele é formado pelo valor presente (PV) multiplicado pelo fator (1 + n x i), onde n representa o período em que se está.

Portanto na data n teremos PV x (1 + n x i).

Mas, da definição de valor futuro (montante), podemos escrever que:

FV = PV x (1 + i x n)

que é a fórmula básica do modelo de juros simples.

Para saber o valor presente basta fazermos:

PV = FV x 1

(1 + i x n)

9


No mercado financeiro é bastante usada a expressão de taxa de juros, expressa por:

i = FV - 1

PV

n

ou

i = FV - PV

n x PV

Anotações:

10


DESCONTOS – JUROS ANTECIPADOS

Outro tipo bastante comum de negociação existente no mercado financeiro é o chamado desconto, desconto comercial, desconto “por fora”, juros antecipados ou juros adiantados.

CONCEITO

Vamos chamar de FV o valor do título na data do vencimento, valor futuro ou o valor nominal do título;

Seja n o número de períodos antes do vencimento do título;

Seja ia a taxa de desconto;

Temos que, Dc é o desconto comercial;

Finalmente temos PV que é o valor presente ou valor atual do título.

Obtêm-se o valor do desconto comercial Dc por meio da seguinte definição:

Dc = FV x ia x n

Portanto, o valor presente ou valor atual do título é dado pela expressão:

PV = FV – Dc = FV – FV x ia x n

PV = FV x (1 – ia x n) que é a formula básica do desconto comercial.

Exemplo: Um banco concede um empréstimo de $ 100.000 a um cliente usando os juros antecipados, cobrando a taxa de 3,00 % a.m. e com um pagamento ao final de noventa dias (03 - três meses).

Pergunta-se: Qual o valor presente (PV) deste empréstimo, ou seja, quanto de fato o cliente "põe no bolso"?

Temos que: PV = FV x (1 – ia x n)

PV = 100.000 x (1 – 0,03 x 3)

PV = 91.000

Portanto, o cliente recebe realmente $ 91.000 de empréstimo.

11


Anotações:

12


JUROS COMPOSTOS

CONCEITO

Os juros são ditos compostos quando eles incidem sobre o capital inicial e também sobre o ganho do capital.

No regime de capitalização a juros compostos, o cômputo dos juros é realizado no primeiro período multiplicando-se a taxa de juros (i) pelo capital (PV). A partir do segundo período, calculam-se os juros em cada período multiplicando a taxa de juros pelo montante acumulado no fim de cada período imediatamente anterior (juros sobre juros). Os juros são incorporados a cada período a partir do montante acumulado no fim de cada período imediatamente anterior. Por conseguinte, o valor dos juros cresce exponencialmente com o passar dos períodos.

Vamos supor o seguinte exemplo:

Um capital de $ 100, emprestado a uma taxa de 10% a.m.

No modelo de juros teremos:


Valor final no 1º período 100 x 0,10 = 10 incidência sobre o capital inicial

100 + 10 = 110


Valor final no 2º período: 110 x 0,10 = 11 incidência sobre o capital inicial

110 + 11 = 121 mais o ganho de capital

E assim por diante..........

13


EXEMPLO NUMÉRICO

Vamos supor que uma pessoa deseja fazer uma aplicação de $ 100 a uma taxa de 10% a.m. durante um período de 06 (seis) meses. Qual o valor desta aplicação?

Fazendo o diagrama de fluxo de caixa da aplicação teremos o seguinte:


Capital: $ 100

Taxa: 10% ou 0,10

Ganho no 1º período: 100 x 0,10 = 10

Valor final no 1º período: 100 + 10 = 110

Ganho no 2º período: 110 x 0,10 = 11

Valor final no 2º período: 110 + 11 = 121

Ganho no 3º período: 121 x 0,10 = 12,10

Valor final no 3º período: 121 + 12,10 = 133,10

Ganho no 4º período: 133,10 x 0,10 = 13,31

Valor final no 4º período: 133,10 + 13,31 = 146,31


14





Onde,

Ganho = Capital x Taxa

Valor final = Capital Anterior + Ganho do Período

Temos, então que o valor final da aplicação de $ 100 por um período de 06 (seis) meses à taxa de 10% a.m. resulta num valor futuro de 177,15.

DEDUÇÃO DA FÓRMULA BÁSICA

Vamos usar em função das máquinas de calcular, uma nomenclatura dirigida às mesmas.

Nesse sentido, nossas variáveis são:

PV = Valor presente, capital ou montante inicial;

n = Número de períodos;

i = Taxas de juros;

FV = Valor futuro ou montante final.

Fazendo analogia com o exemplo numérico temos:


15








PV x i

PV + PV x i = PV x (1+i)

PV x (1+i) x i

PV x (1+i) + PV x (1+i) x i = PV x (1+i) x (1+i) = PV x (1+i)²

PV x (1+i)² x i

PV x (1+i)² x PV x (1+i)² x i = PV x (1+i)² x (1+i) = PV x (1+i)³

E assim por diante...

Desta maneira, observando a Lei de formação do montante final, que é o valor presente vezes o número (1 + i) elevado à potência do número de períodos, teremos na data n o valor PV (1 +

i)n. Mas como pela definição o valor futuro é igual à FV, temos:

FV = PV x (1 + i)ⁿ

A expressão deduzida estabelece a equivalência entre os valores datados FV e PV, isto é, para um dado valor presente (PV), a uma determinada taxa de juros (i) e para certo número de

períodos (n) determinamos o seu valor futuro (FV), multiplicando PV por (1+ i)n.

Mas existe também o caso de querermos determinar um valor presente (PV), a partir de um dado valor futuro (FV), uma determinada taxa de juros (i) e um certo número de períodos (n).

Neste caso, basta fazermos:

Vejamos agora o que vem a ser coeficiente. Em Matemática Financeira, chamamos de coeficiente uma expressão que multiplicada por um determinado valor nos leva a outro, isto é,

PV (1 + i)n nos leva a FV.

Finalizando, observemos que o coeficiente para obter o valor presente (PV) é o inverso do coeficiente para se obter o valor futuro (FV).

i) + (1

1 FV = PV

n

PV a leva nos ,

.

i) + (1

1 FV

n

coef

16


Anotações:

17


CONCEITO DE MARK UP E MARGEM DE CONTRIBUIÇÃO

CONCEITO

DE ONDE TIRAMOS:

MARGEM DE CONTRIBUIÇÃO OU MARGEM DE LUCRO - CONCEITO

DE ONDE TIRAMOS:

100 x Custo Preço

Custo Preço - Venda Preço Mark Up

100

Mark Up1 x Custo PreçoVenda Preço

100 x Venda Preço

Custo Preço - Venda Preço ãoContribuiç de Margem

100

ãoContribuiç Margem - 1

Custo Preço Venda Preço

18


EQUIVALÊNCIA DE TAXAS

JUROS SIMPLES

Dado fato do modelo de juros simples ser linear, a equivalência de juros neste modelo é muito simples.

Para sabermos a taxa de juros equivalente basta multiplicarmos o valor numérico da taxa de juros dada pela relação entre os períodos.

Exemplo: Qual a taxa anual equivalente à taxa de 10% ao mês?

Portanto 120% a.a. é a taxa equivalente a 10% a.m. no modelo de juros simples.

Exemplo: Qual a taxa mensal equivalente à taxa de 240% a.a.?

Logo, 20% a.m. é a taxa equivalente a 240% a.a.

JUROS COMPOSTOS

As taxas equivalentes em juros compostos são aquelas que ao serem aplicadas sobre um mesmo valor principal (PV), no mesmo prazo n expresso na unidade de tempo da taxa produzem o mesmo montante FV.

Entretanto neste regime de juros as taxas não são proporcionais.

1ª Maneira de Cálculo

O cálculo da equivalência de taxas de juros no modelo composto pode ser resolvido da seguinte maneira:

Consideremos os dois diagramas abaixo:

120% = 1

12 x %10 :Temos

20% = 12

1 x %240 :Temos

19


Sejam as taxas de juros i1 e i2 que estamos considerando serem equivalentes.

Nestas condições teremos:

a. O valor futuro (FV1) que nos levará à taxa i1, será igual ao valor futuro (FV2) que nos

levará a taxa i2, pois ambas partem de um mesmo valor presente (PV).

b. O período n1 referente à taxa i1 multiplicado pela unidade de tempo U1 relativa a esse

período nos dará o prazo de aplicação do valor presente (PV) que chamaremos N.

c. O período n2 referente à taxa i2 multiplicado pela unidade de tempo U2 relativa a esse

período nos dará o prazo de aplicação do valor presente (PV) que devido ao fato das taxas serem equivalentes será também igual a N.

ou (1)

PV

0

FV

n

1

1

i 1

PV

0

FV

n

2

2

i 2

222

11

)i + (1 PV = FV

)i + (1 PV = FV:Se 1

n

n

21 )i + (1 PV = )i + (1 PV

FV = FVComo

21

21

nn

(1 + i = (1 + i1 2) )n n1 2

20


Entretanto, n1 x U1 = N

n2 x U2 = N

Substituindo em (1) vem:

Elevando ambos os membros a potência

encontramos a expressão:

que nos fornece a relação entre taxas de juros.

2ª Maneira de Cálculo

A equivalência de taxas de juros pode ser feita através das teclas financeiras: PV, FV, i e n.

Vejamos o caso da Capitalização de Taxas

Exemplo: Dada à taxa de 10% a.m. determinar a taxa equivalente ao ano.

Façamos: $100 CHS PV ou FV – PV x 100

10 i PV

12 n

FV $ 313,84

11 U

N = n

22 U

N = n

(1 + i = (1 + i1 2) )/ /n U n U1 2

n

U 21 x U

(1 + i = (1 + i1 2) )U U2 1

1 i1 i

i1 i11

2 1

1

21

2

2

U

U

UU

21


Portanto, taxa anual = ou taxa anual = 213,84%.

Vejamos agora o caso de Descapitalização de Taxas.

Exemplo: Dada à taxa de 213,84 % a.a., determinar a taxa equivalente ao mês.

Façamos: $100 CHS PV ou i = FV ¹∕ᶰ - 1 x 100

$313,84 FV PV

12 n

i 10,00

Portanto, taxa mensal é igual a 10,00%.

Anotações:

100 x 100$

100 $ - 313,84 $

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SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO

SISTEMA FRANCÊS (TABELA PRICE)

As prestações (pagamentos - PMT) são iguais (constantes) e consecutivas e calculadas de tal modo que uma parte paga os juros do financiamento e a outra o valor principal. A dívida fica completamente paga ao final da última prestação.

A representação gráfica é a seguinte:

Em nosso estudo vamos considerar as seguintes premissas básicas:

a) Os pagamentos efetuados são todos iguais; b) Os pagamentos são consecutivos.

Modelos de Amortização

Amortização Antecipada - os pagamentos são efetuados no início do período;

23


Amortização Postecipada - os pagamentos são efetuados no final do período;

Dedução da Expressão da Amortização Postecipada

Sejam n períodos iguais e consecutivos, desde a data zero (0) até a data n.

Sejam n prestações (PMT), devidas cada uma delas ao final de cada um dos períodos, isto é, nas datas 1, 2, 3, ..... n.

Seja uma taxa de juros constante, i, referida ao mesmo período n.

Queremos determinar o capital, PV, equivalente às n prestações (PMT), à taxa de juros i na data zero (0).

Temos:

PV = FV x 1

(1 + i)ⁿ

24


ou colocando-se PMT em evidência:

PV = PMT x

A expressão entre colchetes é a soma dos termos de uma progressão geométrica com as seguintes características:

Valor da soma: S = Primeiro termo = =

Último termo = = Razão q = =

Como na prática i ≥ 0, tem-se q ≤ 1.

Substituindo-se os valores respectivos na fórmula da soma, tem-se:

S = colocando em evidência temos:

S =

Multiplicando-se o numerador e denominador por (1+ i), temos:

S =

S = como , temos: S = ou

S =

ni1

1.............................

i1

1

i1

1

i1

132

q-1

q x aa n 1

a1

1

1+ i 1i1

an 1

1+ in n i1

1

1 + i 1i1

1

11

i11

i1i1i+1

n

11

i

1

1

i11

i11i1

n

1

1

i1i1i1

i1i11i+1

n

0

0

i1i1

i+1-1i1

n

1 10 i

1 1

1

i

i -1

n

1 1 i

i

n

25


Entretanto, a fórmula mais usual para a Soma é obtida multiplicando-se o numerador e o

denominador da expressão anterior por :

S = = =

S =

Portanto, a expressão da amortização é: PV = P x

Podemos também calcular a prestação (PMT) em função de PV, n e i :

ou P = PV x

Nesta última expressão, o coeficiente tabelado para valores de i e de n, é conhecido popularmente por Tabela Price.

Exemplo prático:

Uma empresa recebe um financiamento de $ 100.000,00 pelo prazo de 04 (quatro) meses por meio da Tabela Price. Os juros cobrados são de 4% a.m. Admite-se que o empréstimo foi feito no início do primeiro mês e que as prestações sejam pagas ao final de cada mês.

Pede-se, construir a planilha de pagamento.

Cálculo do valor da prestação com a calculadora HP 12 C:

Temos: $ 100.000,00 CHS PV

4 i

4 n

PMT $ 27.549,00

Portanto a planilha de financiamento será:

1 in

n

nn

i+1i

i1i11

nnnn

i+1 i

i1i1i1

nn

i+1 i

i1i1 0

n

n

i+1 i

1i1

ii1

1i1

n

n

1i+1

ii1

n

n

1i+1

ii1

n

n

26


Meses Saldo Devedor Prestação (PMT)

Taxa Juros ao mês (%)

Amortização Juros ($)

0 $ 100.000,00 $ 00.000,00 $ 0.000,00

1 $ 76.451,00 $ 27.549,00 4 $ 23.549,00 $ 4.000,00

2 $ 51.960,04 $ 27.549,00 4 $ 24.490,96 $ 3.058,04

3 $ 26.489,44 $ 27.549,00 4 $ 25.470,60 $ 2.078,40

4 $ 00.000,02 $ 27.549,00 4 $ 26.489,42 $ 1.059,58

Total $ 110.196,00 $ 99.999,98 $ 10.196,02

Construção do 1o mês da tabela de pagamentos:

a. O valor da prestação é constante e vale $ 27.549,00 sendo então colocado na coluna “Prestação” (PMT) nos meses de 1 a 4;

b. Os juros de $ 4.000,00 do 1o mês é obtido multiplicando-se a taxa de juros, 4% (0,04) pelo valor da dívida que no caso é $ 100.000,00 (0,04 x $ 100.000,00 = $ 4.000,00);

c. A amortização do 1o mês é calculada subtraindo-se do valor da prestação ($ 27.549,00) os juros de $ 4.000,00 ($ 27.549,00 – $ 4.000 = $ 23.549,00);

d. O saldo devedor ao final do 1o mês é achado pela subtração do saldo devedor anterior ($ 100.000,00) pelo valor da parcela de amortização do mês que vale $ 23.549,00 ($ 100.000 – $ 23.549,00 = $ 76.451,00).

Para os demais meses o procedimento é o mesmo.

27


SISTEMA de AMORTIZAÇÕES CONSTANTES SAC

As parcelas de amortização são iguais e os juros são calculados, a cada período, multiplicando-se a taxa de juros contratada (na forma unitária).

Por exemplo: mês pelo saldo devedor existente no período anterior.

A representação gráfica é a seguinte:

Exemplo prático:

Uma empresa recebe um financiamento de $ 100.000,00 que será amortizado no prazo de 04 (quatro) meses por meio do Sistema de Amortização Constante (SAC). Os juros cobrados são de 4% a.m. Admite-se que o empréstimo foi feito no início do primeiro mês e que os juros sejam pagos ao final de cada mês.

Pede-se, construir a planilha de pagamento.

Cálculo do valor da amortização:

0 n Períodos

Valor daPrestação

Juros

Amortização

28


Amortização =

Portanto a planilha de financiamento será:

Construção do 1º mês da tabela de pagamentos:

Meses Saldo Devedor Prestação (PMT)

Taxa Juros ao mês (%)

Amortização Juros ($)

0 $ 100.000,00 $ 00.000,00 $ 0.000,00

1 $ 75.000,00 $ 29.000,00 4 $ 25.000,00 $ 4.000,00

2 $ 50.000,00 $ 28.000,00 4 $ 25.000,00 $ 3.000,00

3 $ 25.000,00 $ 27.000,00 4 $ 25.000,00 $ 2.000,00

4 $ 00.000,00 $ 26.000,00 4 $ 25.000,00 $ 1.000,00

Total $ 110.000,00 $ 100.000,00 $ 10.000,00

a. Como a amortização é constante e vale $ 25.000,00 esse valor é colocado na coluna de amortização do mês 1 ao mês 4;

b. Os juros de $ 4.000,00 do 1o mês é obtido multiplicando-se a taxa de juros de 4% (0,04) pelo valor da dívida que no caso é $ 100.000,00 (0,04 x $ 100.000,00 = $ 4.000,00);

c. O valor da prestação do 1o mês é obtido somando-se o valor da amortização ($ 25.000,00) e o dos juros ($ 4.000,00), ou seja, ($ 25.000,00 + $ 4.000,00 = $ 29.000,00);

d. O saldo devedor ao final do 1o mês é encontrado pela subtração do saldo devedor anterior ($ 100.000,00) pelo valor da parcela de amortização do mês que vale $ 25.000,00 ($ 100.000,00 - $ 25.000,00 = $ 75.000,00).

Para os outros meses o procedimento é o mesmo.

29


Anotações:

30


CONCEITO E APLICAÇÃO DA TIR – TAXA INTERNA DE RETORNO

Temos dois conceitos para a Taxa Interna de Retorno, o econômico e o financeiro.

Conceito Econômico

A TIR é a remuneração pelo capital empregado pela empresa.

Conceito Financeiro

A TIR é a taxa de equilíbrio entre os planos de investimento (financiamento) que estão sendo analisados.

Aplicações serão vistas na parte prática.

31


CONCEITO E APLICAÇÃO DA VPL (NVP) – VALOR PRESENTE LÍQUIDO

O conceito do VPL ou NPV é trazer todos os valores do Fluxo de Caixa que se está analisando para a data zero (data 0) usando para isso, uma determinada taxa de juros.

O resultado desta análise pode ser positivo, negativo ou nulo e fornece informações sobre o investimento (financiamento) que se está avaliando.

Aplicações serão vistas na parte prática.

Para a resolução do NPV na calculadora financeira HP 12 C adotam-se os seguintes passos:

Pressione f Clear Reg para apagar os registradores numéricos (20 registradores);

Para um fluxo de caixa com as características do apresentado abaixo:

Introduza o investimento inicial, pressione CHS e depois g CF0;

Introduza os outros valores usando g CFj;

Introduza a taxa de juros em “i”;

Pressione f NPV;

Se NPV 0 sob o aspecto financeiro é um ótimo negócio;

Se NPV 0 sob o aspecto financeiro “pode ser” um mau negócio;

Se NPV = 0 sob o aspecto financeiro é um bom negócio.

32


Fluxo de Caixa

Anotações:

__

+0 1 2 3 ...................... n

gCF0

gCFj gCFj gCFj ..................... gCFj

i

33


JUROS E INFLAÇÃO

Num regime de inflação, a taxa de juros que vigora no mercado financeiro deixa de representar a verdadeira remuneração do capital, porque ao aumento do valor nominal de um montante de moeda se opõe o decréscimo do seu poder de compra.

Um problema que se apresenta nestas circunstâncias é de se determinar qual o rendimento real do capital tirando daí o relacionamento entre as taxas de juros e a taxa de inflação.

DEDUÇÃO DA EXPRESSÃO DE RELAÇÃO ENTRE AS TAXAS

Para isso vamos introduzir as seguintes variáveis:

i = taxa real de juros;

j = taxa nominal de juros;

k = taxa de inflação;

No caso, a taxa de inflação ou a taxa de crescimento dos preços k, será definida como uma fração pura, relacionada com certo período de tempo e indicará o crescimento dos preços desde o início até o final deste período. Assim os preços P0 que vigoram no início do período, no seu

término terão crescido para P0 + P0k, isto é P0 x (1+k). Supondo um ritmo constante de inflação,

no final de n períodos os preços terão subido para P0 x (1+k)n.

Por sua vez, se o juro nominal é j, o capital nominal no final de um período estará multiplicado por (1+j), isto é, valerá PV + PVj ou PV x (1+j).

Para n períodos, e supondo j=cte, teremos PV x (1+j)n. O capital real nestas condições e ao final de n períodos serão expressos por:

Capital Real = Poder de Compra × Capital Nominal, ou seja:

n

n

n jPVP

PiPV 11 0

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Portanto, é a relação entre as 3 variáveis.

A relação vista acima na área de Economia é denominada relação de Fisher (Irving Fisher – Apreciation and Interest – N.Y. Macmillan – 1896).

nn

n jPVkP

PiPV

1

11

0

0

11

1

ij

k

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FÓRMULAS ÚTEIS

Juros Compostos - Valores Datados: FV = PV x ou PV = FV x

Juros Compostos - Amortização: ou

Equivalência de Taxas : ip = [(1+ id)n -1] x 100 Capitalizar Taxas

ip = [(1+ id)p/n -1] x 100 Descapitalizar Taxas

ip = taxa procurada

id = taxa dada

p<n

Juros Antecipados - Descontados: PV = FV x (1 - i x n)

Juros Reais, Nominais e Inflação: (relação de Fischer)

i - juros reais

j - juros nominais

k - taxa de inflação

Anotações:

1 i n 1

1 in

ii

iPPV

n

n

1

11 11

1

n

n

i

iiPVP

a

k

ji

1

11

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MÁQUINA FINANCEIRA HP 12 C

Lógica Vertical e Lógica Horizontal - A tecla ENTER

Teclas de 2 ou 3 funções - teclas f e g

Registradores (Memórias)

Registradores Numéricos - 0 a 9, .0 a .9

Registradores Financeiros - n , i, PV, PMT, FV

Pilha Operacional; X, Y, Z, T

LST x

Tecla R

Tecla X >< Y

O colchete dourado CLEAR

PRGM, FIN, REG, PREFIX

Tecla P/R - Modo de Programação

Tecla CLx

Teclas STO e RCL

Teclas Yx e 1/x

Tecla CHS

Modo END e BEG

Função DATE e Função Δ DYS - Calendário D.MY e M.DY

Funções de Porcentagens - %, Δ%, %T

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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

GOMES, J.M; Mathias, WF. Matemática financeira. São Paulo: Atlas, 2004.

Mendonça, L. G. et al Matemática financeira. Rio de Janeiro: FGV, 2005.

Neto, Alexandre A. Matemática financeira e suas aplicações. São Paulo: Atlas, 2009

Sobrinho, J. D. V. Matemática financeira. São Paulo: Atlas.

Abr/16

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