Funes, Equaes e Inequaes Trigonomtricas. Prof. Saldan Funes, Equaes e Inequaes TrigonomtricasProf. Saldan FORMULRIO TRINGULOS: RETNGULO E QUALQUER CO CA COsen(x) cos(x) tg(x)H H CACO: Cateto Oposto CA:Cateto Adjacente H:Hipotenusa(z ou y) (z ou y) (x)= = = = = = = = = = = = sen cosesen cos = = = = = = = = 2 2 2a b c 2 bc cos(A)a b c sen(B) sen(A) sen(C)= + = + = + = + = = = = = = = = RELAO FUNDAMENTAL E DEFINIES 2 2cos (x) s en(x) 1 ksen(x) 1tg(x) ; x k. sec(x) ; x kcos(x) 2 cos(x) 2cos(x) 1 1cotg(x) ; x k cos sec(x) ; x ktg(x) s en(x) s en(x)+ = + = + = + = = + = + = + = + = + = + = + = + = = = = = = = = = = = =

RELAES DECORRENTES DA RELAO FUNDAMENTAL 2 2 2 22 2 2 2cos (x) 1 sen(x) s en(x) 1 cos (x) ktg(x) 1 sec(x); x k. cotg(x) 1 cos sec(x); x k.2= = = = = = = = + = + + = + = + + = + = + + = + = + + =

ARCOS: ADIO / SUBTRAO DUPLO METADE 2 222sen(x y) sen(x) cos(y) sen(y) cos(x) sen(2x) 2sen(x) cos(x)cos(x y) cos(x) cos(y) sen(x)sen(y) cos(2x) cos (x) s en(x)tg(x) tg(y) tg(2x)tg(x y) ; x, y k. tg(2x) ; x k.1 tg(x)tg(y) 2 2 1 tg(x)cos(2x) 2cos (x = = = = = = = = = = = = = = = = = + = + = + = + = + = + = + = + = == =m mm mm mm m2) 1 cos(2x) 1 2sen(x)1 cos(x) 1 cos(x) 1 cos(x) x x xcos sen tg ; x 2k2 2 2 2 2 1 cos(x) = = = = + + + + | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |= = = + = = = + = = = + = = = + ||||||||||||+ ++ +\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ PRODUTO x y x ycos(x) cos(y) 2cos cos2 2x y x ycos(x) cos(y) 2s en sen2 2x y x ysen(x) sen(y) 2sen cos2 2+ + + + | | | | | | | | | | | | | | | |+ = + = + = + = ||||||||\ \ \ \ \ \ \ \ + + + + | | | | | | | | | | | | | | | | = = = = ||||||||\ \ \ \ \ \ \ \ | | | | | | | | | | | | | | | | = = = = ||||||||\ \ \ \ \ \ \ \ m mm m Funes, Equaes e Inequaes TrigonomtricasProf. Saldan CICLO TRIGONOMTRICO LINHAS TRIGONOMTRICAS cos OAsen OBtg TCcot g QDse c OFcos sec OE = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = Obs.: as linhas no tracejadas so fixas. MACETES QUANTO A REDUO AO PRIMEIRO QUADRANTEQUANTO AO SINAL NOS QUADRANTES F : falta;P: passa.+ SE12 TA13 CO14 Funes, Equaes e Inequaes TrigonomtricasProf. Saldan 1INTRODUO CICLO TRIGONOMTRICO Ociclooucircunfernciatrigonomtrica umconjuntodepontosqueestoaumadistncia fixa(1unidadedecomprimento)docentrodo sistemadecoordenadasperpendicularesxOy tambmchamadodePlanoCartesiano.uma circunferncia orientada,isto, atribui-seaum dossentidosque se pode percorrer-laumsinal, positivoou negativo.Nociclo trigonomtricoo sentidoanti-horriotomado como positivo. Finalmente,toma-secomoorigemdosarcoso ponto representado pelo par ordenado (1, 0). Nacircunfernciaderaio1,orientadaecom origemdefinida(ciclotrigonomtrico),umponto sobreacircunfernciarepresenta:umarcode medida;eumparordenado(x, y)talque x = cos()ey = sen(). ARCOS CNGRUOS Doisoumaisarcossochamadoscngruos quandotmamesmaextremidade,contudoso diferentes pelo nmero de voltas na circunferncia. Assim, arcos de medidas distintas tm o mesmo valorparaoseno,cosseno,tangente,secantee cossecante,seforemcngruos,poisrepresentam umpontocomumnociclotrigonomtrico.Por exemplo: sen (15) = sen (375) = sen (-345) =Asreticnciasindicamqueexisteminfinitas igualdades. 705 = 15 2.360 345 = 15 1.360 15 = 15 + 0.360 375 = 15 + 1.360 735 = 15 + 2.360 Generalizando: o oAB 15 k 360 = + = + = + = + . k Z Usualmente o arco medido em radianos, isto ,

AB k 212 = + = + = + = + ou

AB 2k12 = + = + = + = + PRATICANDO 01 Generalizeosarcosindicadosnasfiguras. D as solues em graus e em radianos. 02 (Cefet)Sabendo-seque3x 45e2x + 135 exprimemasmedidasdedoisarcoscngruos, pode-se afirmar que x dado por: a) 120.(2k + 1), sendo k Z b) 160.(3k + 1), sendo k Z c) 120.(3k + 1), sendo k Z d) 180.(2k + 2), sendo k Z e) 180.(2k + 1), sendo k Z Funes, Equaes e Inequaes TrigonomtricasProf. Saldan 2EQUAES TRIGONOMTRICAS Equaessoexpressesquepossuem necessariamenteumaigualdadee(pelomenos) uma incgnita. Naexpresso:cos(x)1=0,aincgnitax representa um arco (ngulo) associado ao cosseno.Chamaremos de equaes trigonomtricas as equaesemqueasincgnitasestiverem associadasaoseno,cosseno,tangente, cotangente, secante ou cossecante. Aresoluodeumaequaoconsiste basicamenteemencontrarvalor(es)paraa(s) incgnita(s)paraqueaexpressotorne-se verdadeira, solues ou razes da equao.importanteressaltarquepararesolveras equaestrigonomtricaspodemosedevemos utilizarastcnicasderesoluodeequaes:do 1grau;do2grau;polinomiais.Assimcomoos produtos notveis e as relaes trigonomtricas. EQUAES ELEMENTARES Dadaumaequaotrigonomtrica procuraremosescreve-laemumadasformas elementares: sen(x)=ncos(x)=ntg(x)=n onde n um valor numrico. Exemplo: cos(x) 1 = 0. Reescrevendo:cos(x) = 1. Paraencontraro(s)valor(es)dexque satisfazema expresso,observe nocicloosarcos (ngulos)emqueo cossenovale1. So eles 0 e 2 rad, isto,senos limitarmos a apenas umavoltanociclo. Contudoexistem infinitosvalores paraosquais cosseno igual a 1. Assim, a melhor soluo para a equao : S = {x R/ x = 2k, k Z} Observeanecessidadedeestarmosbem familiarizadoscomosconceitosdecongrunciae daslinhastrigonomtricasnociclotrigonomtrico. importantememorizarosvaloresdoseno, cossenoetangente,aomenosparaosprincipais arcos,porexemplo: 30; ; ; ; ; ; ;26 4 3 2 2 ,e seus simtricos. PRATICANDO 01 Encontre todas as solues para: a) sen(x) = 1 b) 2.cos(x) = 1 c) tg 3x 312 | | | | | | | |+ = + = + = + = ||||\ \ \ \ 02 Resolvaasequaesemxnoconjuntodos reais: a) 2.cos(x) 3.sec(x) = 5 b)3 sen(x) 3 cos(x) 0 = = = = 03 Parax[0,2],quantassoasrazesda equao, sen(2x) 0 0cos(3x) cos(x) sen(x) 0sen(4x) sen(x) cos(x) = == =. Funes, Equaes e Inequaes TrigonomtricasProf. Saldan 3FUNES TRIGONOMTRICAS Funessorelaestaisque,paratodo elementodeumconjunto(Domnio)existeume apenasumcorrespondentenumoutroconjunto (Contra-domnio). Paraoestudodefunestrigonomtricas tomaremosociclotrigonomtricocomosendo: C = {(x, y) RXR ; x2 + y2 = 1},comx=cos()e y=sen(). Assim,nafuno f: RR,definidapor f(x) = sen(x),x R,por exemplo,oselementos dodomniosopontos sobre a circunferncia e asrespectivasimagens seroasordenadas deste ponto. DOMNIO E IMAGEM Nasfunestrigonomtricasodomnioser obtidoobservando-seasrepresentaesdasseis linhastrigonomtricas(seno,cosseno,tangente, cotangente,secanteecossecante)nociclo trigonomtrico,ouainda,noscasosdatangente, cotangente,secanteecossecanteporsuas definies em funo do seno e do cosseno. Quantoimagemestanosfornecerentre outros,osextremos(valoresdemximoede mnimo,seexistirem),crescimentoe decrescimento,eainda,osinaldafuno(se positivo ou negativo). PERIODICIDADE Asfunestrigonomtricassoperidicas, isto , existe um nmero k 0 tal que f(x + k) = f(x), paratodox R.Omenornmerok > 0que satisfaaarelaoanteriorditoperododa funo.Geometricamenteistosignificaqueo grficodafunoserepeteemintervalosde tamanho k no eixo das abscissas. SIMETRIAS - PARIDADE Para testar a paridade de uma funo faremos asubstituiode(x)por(x).Secasonohouver alteraonasuaimagem,isto,f(x) = f(x)ento a funo dita par, e observa-se uma simetria do grficoemrelaoaoeixodasordenadas.Sea imagemforoposta,isto,f(x) = f(x),afuno chamadampar,eobserva-seumasimetriaem relaoaocentrodoplanocartesiano.Afuno serclassificadacomonemparenemmpar,caso no acontea nenhum dos casos anteriores. PRATICANDO 01 Dodomnio,faaumesboodogrficoe indique o perodo e a imagem das funes: a) f(x) = cos(x) Dom(f) = Grfico: xy 0 /2 3/2 2 P(f) = Im(f) = b) f(x) = 1 + cos(x) Dom(f) = Grfico: xy 0 /2 3/2 2 P(f) = Im(f) = 02 Qual a paridade das funes do exerccio anterior? Funes, Equaes e Inequaes TrigonomtricasProf. Saldan 403 Dodomnio,faaumesboodogrficoe indique o perodo e a imagem das funes: a) f(x) = 2.cos(x) Dom(f) =Grfico: xy 0 /2 3/2 2 P(f) =Im(f) = b) f(x) = 2.cos(x) Dom(f) =Grfico: xy 0 /2 3/2 2 P(f) =Im(f) = c) f(x) =1 2.cos(x) Dom(f) =Grfico: xY 0 /2 3/2 2 P(f) =Im(f) = d) f(x) = 1 + cos(x+/3) Dom(f) =Grfico: x+/3xy 0 /2 3/2 2 P(f) =Im(f) = OBSERVE E REFLITA Nosexercciosdesteassunto,ataqui,as funes podem ser escritas, generalizando, como: f(x)=A+B.cos(Cx+D). Existem relaes diretas estabelecidas entre os valoresdeA,B,C,Deogrficodafuno.Estas relaespodemresultarnumamaioragilidadena resoluo de alguns exerccios. ABSTRAINDO 01 Dosexercciosresolvidosataqui,pode-se observaralteraesnosgrficos,nosperodos, nos zeros e nas imagens das funes, decorrentes dasalteraesnosvaloresdeA,B,C,D. Estabeleadaasrelaesmencionadas.Estas relaes podem ser estendidas para a funo seno. Funes, Equaes e Inequaes TrigonomtricasProf. Saldan 5FUNES TRIGONOMTRICAS (continuao) Excluindo-se as funes seno e cosseno, todas asdemaisfunestrigonomtricasapresentam problemas no conjunto domnio. f(x)=A+B.tg(Cx+D) e f(x)=A+B.sec(Cx+D) Das suas definies temos que: sen(Cx D)tg(Cx D)cos(Cx D)+ ++ ++ = + = + = + =+ ++ + e 1sec(Cx D)cos(Cx D)+ = + = + = + =+ ++ + Satisfeita a condio de: cos (Cx + D) 0 Logo,oconjuntodomnio,dasfunestangentee secante, pode ser encontrado fazendo: Dom(f ) x ;Cx D k, k .2 = + + = + + = + + = + + ` ` ` ` ) ) ) ) f(x)=A+B.cotg(Cx+D) e f(x)=A+B.cossec(Cx+D) Das suas definies temos que: cos(Cx D)cotg(Cx D)sen(Cx D)+ ++ ++ = + = + = + =+ ++ + e 1sec(Cx D)sen(Cx D)+ = + = + = + =+ ++ + Satisfeita a condio de: sen (Cx + D) 0 Logo,oconjuntodomnio,dasfunescotangente e cossecante, pode ser encontrado fazendo: { {{ { } }} } Dom(f ) x ;Cx D k, k . = + = + = + = + PRATICANDO 01 Dodomnio,faaumesboodogrficoe indique o perodo e a imagem das funes: a) f(x) =tg(x) Dom(f) =Grfico: xy P(f) =Im(f) = b) f(x) =cossec(x) Dom(f) =Grfico: xy P(f) =Im(f) = OBSERVE E REFLITA Novamentedadafunoescritanaforma generalizada como: f(x)=A+B.funo(Cx+D). Existem relaes diretas estabelecidas entre os valoresdeA,B,C,Deogrficodafuno.Estas relaespodemresultarnumamaioragilidadena resoluo de alguns exerccios. Valeressaltarquedevemostentarescreveruma funo trigonomtrica nas formas anteriores. Funes, Equaes e Inequaes TrigonomtricasProf. Saldan 6INEQUAES TRIGONOMTRICAS Inequaessoexpressesquepossuem necessariamente uma desigualdade (>, ,