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CURSO DE ARQUITETURA

SISTEMAS ESTRUTURAIS NA ARQUITETURA - I

Caderno de Exercícios da disciplina de Sistemas Estruturais na Arquitetura - I do Curso de Arquitetura da Universidade Católica Dom Bosco.

Professor: Eng. Civil Esp. Talles Mello

www.tallesmello.com.br [email protected]

Acadêmico:

Campo Grande – MS 1° Semestre de 2018

2ª Edição

Profº Talles Mello / www.tallesmello.com.br / [email protected] / 2ª Edição 2018 2

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A correspondência deve ser enviada diretamente ao autor, por meio do e-mail: [email protected]

Ficha Catalográfica

Mello, Talles.

Sistemas estruturais na arquitetura / Talles Taylor dos Santos Mello – Campo Grande, MS, 2017.

60 p. : il. color. – (Material didático)

Caderno de aula de exercícios da disciplina de Sistemas estruturais na arquitetura I, do Curso de Arquitetura da Universidade Católica Dom Bosco, de Campo Grande/MS.

1. Arquitetura – composição, proporção, etc. 2. Projeto estrutural. 3. Apostila. I. Universidade Católica Dom Bosco. Curso de Arquitetura. II. Título.

CDD (20) 720.7


SumárioSumárioSumárioSumário

1. REVISÃO DE CONCEITOS BÁSICOS 5

1.1. TEOREMA DE PITÁGORAS 5

1.2. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS : SENO, CO-SENO E TANGENTE 6

1.3. LEI DOS SENOS 7

1.4. LEI DOS COSSENOS 8

2. CONCEITUAÇÃO DE PONTO MATERIAL E CORPO EXTENSO 10

3. PROPRIEDADES DOS MATERIAIS 12

3.1. MÓDULO DE YOUNG OU MÓDULO DE ELASTICIDADE 12

3.1.1 REGIME ELÁSTICO 12

3.1.2. REGIME PLÁSTICO 13

3.2. COEFICIENTE DE POISSON 14

3.3. DUCTIBILIDADE 15

3.4. RESILIÊNCIA 15

3.5. TENACIDADE 16

3.6. RESISTÊNCIA 16

4. CONCEITOS FUNDAMENTAIS DA MECÂNICA 17

4.1. FORÇA 17

4.1.1. EXERCÍCIOS 17

4.2. MOMENTO 27

4.2.1 EXERCÍCIOS 27

4.3. TENSÕES 28

4.3.1.EXERCÍCIOS 30

4.4. FLAMBAGEM 32

4.4.1.FORMULA DE EULER 32

4.5. ÍNDICE DE ESBELTEZ 33

4.5.1 EXERCÍCIOS 33

5. PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS DAS DAS ESTRUTURAS 35

5.1. INTRODUÇÃO 35

5.1.1 CENTRO DE GRAVIDADE DA SEÇÃO TRANSVERSAL 35

5.1.1.1 SEÇÕES PARTICULARES 35

5.1.1.1.1.EXERCÍCIOS 36

5.2. MOMENTO DE INERCIA 37

5.2.1.TRANSLAÇÃO DE EIXOS (TEOREMA DE STEINER ) 37

5.2.1.1 EXERCÍCIOS 38


6. ESTUDO DAS ESTRUTURAS 40

6.1. CLASSIFICAÇÃO DAS PEÇAS OU ELEMENTOS ESTRUTURAIS 40

6.2. APOIOS (VÍNCULOS) 40

6.2.1.CLASSIFICAÇÃO QUANTO AOS GÊNEROS 41

6.2.2 – SISTEMAS ISOSTÁTICOS , HIPERESTÁTICOS E HIPOSTÁTICOS 41

6.3 – VIGAS 42

6.3.1 – CLASSIFICAÇÃO 42

6.4. SISTEMAS DE CARGAS 43

6.5. REAÇÕES DE APOIO 45

6.5.1.EXERCÍCIOS 46

7. ESTUDO DOS ESFORÇOS 49

7.1. CLASSIFICAÇÃO E DEFINIÇÕES 49

7.1.1 – CONVENÇÕES 50

7.1.2 – DIAGRAMAS (L INHAS DE ESTADO) – INTRODUÇÃO 51

7.1.2.1 – DIAGRAMAS 51

7.1.2.1.1 – ROTEIRO – REGRAS GERAIS 52

7.1.2.2 – EXERCÍCIOS 53


1. Revisão de Conceitos Básicos

1.1. Teorema de Pitágoras

Definimos (de maneira simplificada) por Triângulo a toda figura geométrica fechada

que possui três lados.

O Teorema de Pitágoras é válido para um Triângulo Retângulo. Definimos por

Triângulo Retângulo a todo Triângulo que possui um ângulo interno de 90º, também chamado de

ângulo reto (90º).

O Teorema de Pitágoras estabelece uma relação de cálculo entre os lados de um

triângulo retângulo. Chamamos de hipotenusa sempre ao maior dos lados de um triângulo

retângulo. Aos outros lados, chamamos de catetos. Portanto, todo triângulo retângulo terá uma

hipotenusa apenas e dois catetos.

O Teorema de Pitágoras estabelece uma relação de cálculo entre a hipotenusa e os

catetos de um triângulo retângulo. Tal Teorema tem grande aplicação prática em desenho, em

construção civil, em serralherias, em marmorarias, etc. Podemos enunciar o Teorema de Pitágoras da

seguinte maneira:

Para um Triângulo Retângulo, o quadrado do valor da sua hipotenusa será igual à

soma dos quadrados dos seus catetos.

Para entendermos, considere o triângulo retângulo abaixo, onde chamamos a hipotenusa

de a e os catetos de b e c, sendo a, b e c números quaisquer.

Exemplo:

1) Determine os lados desconhecidos nos triângulos retângulos apresentados abaixo:

40 cm

30 cm


Neste caso, o lado desconhecido está representado pela letra a, que no exemplo é o

maior dos lados (hipotenusa), conforme podemos identificar visualmente observando a figura.

Como a figura representa um triângulo retângulo onde precisamos calcular a sua

hipotenusa, podemos aplicar o Teorema de Pitágoras. Assim, temos:

a² = b² + c²

a² = 40² + 30²

a² = 1600 + 900

a² = 2500

a = √2500 = 50 cm

1.2. Funções Trigonométricas: Seno, Co-seno e Tangente

De maneira simplificada, são funções trigonométricas básicas, que podem ser aplicadas

num triângulo retângulo. Relacionam os ângulos formados entre dois dos lados de um triângulo

retângulo com um de seus ângulos internos.

Essas funções trigonométricas são sempre aplicadas em relação a um dos ângulos

internos de um triângulo retângulo. Assim, sabendo o valor de um dos ângulos internos do

triângulo retângulo podemos calcular o valor de um dos catetos desse triângulo ou até mesmo o

valor da sua hipotenusa.

Para entender as definições de seno, co-seno e tangente, se faz necessário conhecer uma

nomenclatura bastante comum aos triângulos. Para tanto, considere o triângulo retângulo abaixo,

onde b e c são os catetos:

Considerando o ângulo α:

- o cateto b encontra-se do outro lado do triângulo, ficando oposto ao ângulo α. Assim,

o cateto b será chamado de cateto oposto ao ângulo α;

- o cateto c encontra-se encostado no ângulo α, ficando adjacente a ele. Assim, o cateto

c será chamado de cateto adjacente ao ângulo α;

Considerando o ângulo β:

- o cateto c encontra-se do outro lado do triângulo, ficando oposto ao ângulo β. Assim, o

cateto c será chamado de cateto oposto ao ângulo β;

- o cateto b encontra-se encostado no ângulo β, ficando adjacente a ele. Assim, o cateto

b será chamado de cateto adjacente ao ângulo β;


Função Seno de um ângulo

Função Co-Seno de um ângulo

Função Tangente de um ângulo

Essas relações somente são válidas se aplicadas no triângulo retângulo, aquele que

possui um ângulo reto (90º) e outros dois ângulos agudos. Para triângulos quaisquer, utilizamos

a lei dos senos ou a lei dos cossenos com o objetivo de calcular medidas e ângulos

desconhecidos. Enfatizaremos neste texto a lei dos senos e mostraremos sua fórmula e alguns

exemplos de cálculos.

1.3. Lei dos Senos

a = b = c senA senB senC

Na lei dos senos, utilizamos relações que envolvem o seno do ângulo e a medida oposta ao ângulo. Exemplos:

1º). Determine o valor de x no triângulo a seguir.


sen120º = sen(180º – 120º) = sen60º = √3 ou 0,865 2

sen45º = √2 ou 0,705 2

x = 100 sen60° sen45°

x = 100 0,866 0,707

0,707x = 86,6

x = 122,5

2º) No triângulo a seguir, temos dois ângulos (45º e 105º, respectivamente), e um dos

lados mede 90 metros. Com base nesses valores, determine a medida de x.

Para determinar a medida de x, devemos utilizar a lei dos senos, mas, para isso,

precisamos descobrir o valor do terceiro ângulo do triângulo. Para tal cálculo, utilizaremos a

seguinte definição: a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º.

α + 105º + 45º = 180º α + 150º = 180º α = 180º – 150º

α = 30º Agora vamos aplicar a lei dos senos:

x = 90 sen45° sen30°

x = 90 0,707 0,5

0,5x = 63,63

x = 127,26

1.4. Lei dos Cossenos

Utilizamos a lei dos cossenos nas situações que envolvem triângulos não retângulos.

Esses triângulos não possuem ângulo reto, portanto, as relações trigonométricas de seno, cosseno

e tangente não são válidas. Para determinar valores de medidas de ângulos e de lados, utilizamos

a lei dos cossenos, que é expressa pela seguinte lei de formação:

a2 = b2 + c2 – 2·b·c·cosθ b2 = a2 + c2 – 2·a·c·cosβ

c2 = a2 + b2 – 2·a·b·cosα


1º) Em um triângulo ABC, temos as seguintes medidas: AB = 6 cm, AC = 5 cm e BC =

7 cm. Determine a medida do ângulo A. Vamos construir o triângulo com as medidas fornecidas

no exercício:

Aplicando a lei dos cossenos, temos: a = 7, b = 6 e c = 5

7² = 6² + 5² – 2 * 6 * 5 * cos A 49 = 36 + 25 – 60 * cos A 49 – 36 – 25 = –60 * cos A

–12 = –60 * cos A 12 = 60 * cos A 12/60 = cos A cos A = 0,2

A = arc cos (0,2) = 78º

2º) Calcule a medida da maior diagonal do paralelogramo da figura a seguir utilizando a

lei dos cossenos.

cos 120º = –cos(180º – 120º) = – cos 60º = – 0,5 x² = 5² + 10² – 2 * 5 * 10 * ( – cos 60º) x² = 25 + 100 – 100 * (–0,5)

x² = 125 + 50 x² = 175 √x² = √175 x = √5² * 7

x = 5√7 Portanto, a diagonal do paralelogramo mede 5√7 cm.


2. Conceituação de ponto material e corpo extenso

Ponto material (ou Partícula):

É todo objeto onde as suas dimensões são desprezíveis quando comparadas com o

movimento estudado.

Corpo extenso:

Todo objeto onde suas dimensões não podem ser desprezadas quando comparadas com

o movimento estudado.

Assim, o PONTO MATERIAL pode ser um corpo com qualquer tamanho ou forma,

assim entendido na abstração de cálculo como um objeto adimensional, pois suas dimensões são

desprezíveis ou não interferem significativamente nos resultados matemáticos das análises

físicas, quer seja no campo de estudo da cinemática, mecânica ou da estática.

Um bom exemplo disso é o do planeta Terra em seu movimento de translação. Apesar

da Terra ter uma vultuosa quantidade de massa, seu tamanho torna-se, por ordem de grandeza,

desprezível, se comparado à extensão de sua órbita.

Já o CORPO EXTENSO, seja ele qual for, se constitui de uma quantidade limitada de

matéria. Essa consideração se faz importante sempre que a massa desse corpo influi

significativamente no movimento; ou suas dimensões não podem ser desprezadas.

Como exemplo, temos o cálculo do deslocamento de uma locomotiva.


No exemplo, o trem não pode ser considerado um PONTO MATERIAL , pois, para

ultrapassar a ponte, com dimensão linear de 100 m, a composição deve se deslocar 300 m, que

corresponde à extensão da ponte acrescida do comprimento do próprio veículo ferroviário.

Assim, somente após um deslocamento de 300 m todo o trem terá ultrapassado a ponte.


3. Propriedades dos Materiais

3.1. Módulo de Young ou Módulo de Elasticidade (Y ou E).

É uma grandeza proporcional à rigidez de um material quando este é submetido

a uma tensão externa de tração ou compressão. Basicamente, é a razão entre a tensão

aplicada e a deformação sofrida pelo corpo, quando o comportamento é linear, como

mostra a equação E=δ/ε.

E= Módulo de elasticidade ou módulo de Young (Pascal)

δ= Tensão aplicada (Pascal)

ε= Deformação elástica longitudinal do corpo de prova (adimensional).

Observe que quanto maior o valor do módulo, menos flexível é o material.

Ocorre que elasticidade não deve ser confundida com flexibilidade.

3.1.1 Regime Elástico

Em Física, o termo elasticidade designa a propriedade mecânica de certos

materiais de sofrer deformações reversíveis, deformações elásticas quando se encontram

sujeitos à ação de forças exteriores e de recuperar a forma original se estas forças

exteriores se eliminam. Para pequenos níveis de carregamento, verifica-se que há um

comportamento aproximadamente linear entre a tensão aplicada em um corpo e sua


deformação. Com a retirada da tensão, a deformação cessa. Esse fenômeno é denominado

comportamento elástico do material ou Regime Elástico. A elasticidade linear, no entanto,

é uma aproximação da realidade, pois a grande parte dos materiais exibe um grau de

comportamento não-linear. A deformação elástica precede a deformação plástica.

3.1.2. Regime Plástico

Está relacionada com a deformação permanente que ocorre nos materiais devido

à ruptura das ligações intermoleculares. Ocorre quando o material é submetido a tensões

que ultrapassam o limite de elasticidade.

A partir da plastificação, não há mais existência da proporcionalidade entre

tensão e deformação, ou seja, a Lei de Hooke deixa de ser aplicável no material.

Microestruturalmente, a partir de uma determinada tensão (tensão de

escoamento), ocorre uma quebra de ligações entre os átomos e estes se movimentam uns

em relação aos outros, com isso, mesmo com a remoção da tensão, os átomos não

retornam a suas posições originais.

No caso particular dos materiais poliméricos, há um deslizamento entre as

cadeias de macromoléculas. Assim, o comportamento plástico do material inicia a partir

da tensão de escoamento.

Em alguns materiais a partir da tensão de escoamento permanece ocorrendo

deformação até certo ponto, mesmo sem aumento da tensão. A este escoamento em

particular dá-se o nome de fluência ou patamar de deformação.

Essa deformação plástica pode progredir indefinidamente com o tempo até haver

a ruptura do material. A velocidade da fluência aumenta com a temperatura.


Já nos metais, onde não há patamar de deformação definido, admite-se que a

tensão de escoamento corresponde àquela que provoca uma deformação permanente

igual a 0,2%. Aumentando-se a tensão, a deformação progride até o limite de resistência,

quando ocorre a ruptura do material.

3.2. Coeficiente de Poisson (nnnn)

Mede a deformação transversal (em relação à direção longitudinal de aplicação

da carga) de um material homogêneo e isotrópico. Em particular, no caso da razão de

Poisson, a relação estabelecida não é entre tensão e deformação, mas sim entre

deformações ortogonais pela equação µ=-εx/εz=-εy/εz, em que:

nnnn = Razão de Poisson (adimensional)

εx= Deformação na direção x, que é transversal

εy= Deformação na direção y, que é transversal

εz= Deformação na direção z, que é a longitudinal

εy, εy e εz são também grandezas adimensionais, já que são deformações.

O sinal negativo na equação da razão de Poisson é adotado porque as

deformações transversais e longitudinais possuem sinais contrários. Materiais

convencionais contraem-se transversalmente quando esticados longitudinalmente e se

encolhem transversalmente quando comprimidos longitudinalmente. A contração

transversal em resposta à extensão longitudinal devido a uma tensão mecânica de tração

corresponde a um coeficiente de Poisson positivo. Ao se esticar uma borracha, por

exemplo, você notará que ela se contrairá na direção perpendicular àquela que você a

esticou inicialmente. Por outro lado, quando o material possui um coeficiente de

Poisson negativo (que são casos muitíssimo especiais) ele se expande transversalmente

quando tracionado. Materiais que apresentam coeficiente de Poisson negativo são

denominados auxéticos e também conhecidos como anti-borrachas.


3.3. Ductibilidade

É a capacidade que um material tem em deforma-se plasticamente até sua

ruptura. Um material que se rompe sem sofrer uma quantidade significativa de carga no

regime plástico é denominado de frágil.

O aço laminado, o ferro e os aços de baixo carbono e alguns materiais

poliméricos são dúcteis.

Já o concreto é quase-frágil, pois, mesmo após o pico de resistência, as partes

fraturadas ainda apresentam certa capacidade resistente, além de conseguir absorver

uma parcela de energia.

Sendo assim, o concreto é um compósito que ainda pode suportar deformações

plásticas antes da ruptura. Isso se deve a seu comportamento viscoelástico, pois é

composto por uma fase pasta e uma fase agregado.

Esse comportamento frágil, quase-frágil ou dúctil também influencia e

caracteriza a fratura dos materiais:

3.4. Resiliência

Capacidade de um material absorver energia mecânica em regime elástico (ou

resistir à energia mecânica absorvida) por unidade de volume e readquirir a forma

original quando retirada a carga que provocou a deformação. Quanto mais resiliente for

o metal, menos frágil este será. Materiais de alta resiliência possuem alto limite de

escoamento e baixo módulo de elasticidade, sendo os ideais para uso em molas.


3.5. Tenacidade

É a capacidade que um material tem em absorver energia ate a sua ruptura.

Também pode ser definida como a energia mecânica necessária para levar um material a

ruptura.

3.6. Resistência

A resistência, no campo da mecânica dos sólidos, é a reação resultante da

aplicação de uma força sobre um material, ou a capacidade de suportar as solicitações

externas sem que estas venham a lhe causar deformações plásticas. Logo, materiais ditos

resistentes são aqueles que possuem grande resiliência.

3.7. Dureza

A dureza se refere à resistência ao RISCO do material. Entenda-se risco como a

desagregação de partículas da superfície de um corpo sólido devido a aplicação de uma

força. Ou seja, material duro é aquele que não se risca facilmente.

A Escala de Mohs quantifica a dureza dos minerais, isto é, a resistência que um

determinado mineral oferece ao risco; e varia de valores de 1 a 10, sendo que o valor de

dureza 1 foi dado ao material menos duro da escala, que é o talco, e o valor 10 foi dado

ao diamante, que é a substância mais dura conhecida na natureza.


4. Conceitos Fundamentais da Mecânica

4.1. Força

Definição: alguma causa que aterá ou tenta alterar o estado de repouso de um

corpo ou seu estado de movimento uniforme.

Um tipo especial de força, muito importante no cálculo estrutural, é o peso de

um corpo. Cabe destacar que existe uma diferença entre peso e massa:

Massa: é a quantidade de substância contida dentro de um corpo;

Peso: é a força exercida sobre uma massa pela ação da gravidade (g=9,81m/s2).

Vejamos um exemplo de aplicação de força:

4.1.1. Exercícios

1) O elo da figura está submetido as forças F1 e F2, determine a intensidade

e a orientação da força resultante.


2) Três forças atuam sobre o suporte mostrado. Determine o ângulo θ e a

intensidade de F1 de modo que a resultante das forças seja orientada ao longo do eixo x’

positivo e tenha intensidade de 1kN.

3) O gancho da figura está submetido as forças F1 e F2, determine a

intensidade e a orientação da força resultante.


4) O parafuso mostrado na figura está sujeito a duas forças F1 e F2 . Determine o

módulo e a direção da força resultante. (RESOLUÇÃO)

5) A extremidade da barra está submetida a três forças concorrentes e coplanares.

Determine a intensidade e a orientação da força resultante. (RESOLUÇÃO)


6) Encontre as forças componentes nas direções X e Y das forças F1 e F2

apresentadas na figura abaixo, bem como a Força Resultante FR e o ângulo θ.

(RESOLUÇÃO)


7) Ache as componentes de F sabendo que F = 350 kN


8) O parafuso tipo gancho mostrado na figura está sujeito a duas forças F1 e

F2 . Determine o módulo e a direção da força resultante

9) Determine a intensidade da força resultante e indique sua direção, medida

no sentido anti-horário, em relação ao eixo u positivo.


10) Determine a intensidade da força resultante e indique sua direção, medida

no sentido anti-horário, em relação ao eixo x positivo.

11) A tora de madeira é rebocada pelos dois tratores mostrados, sabendo-se que a

força resultante é igual a 10kN e está orientada ao longo do eixo x positivo,

determine a intensidade das forças FA e FB . Considere θ = 15º.


12) A caminhonete mostrada é rebocada por duas cordas. Determine os valores de

FA e FB de modo a produzir uma força resultante de 950N oreintada no eixo x

positivo, considere θ = 50º.

13) Determine a intensidade da força resultante e indique sua direção, medida no

sentido anti-horário, em relação ao eixo x positivo.


14) Determine a intensidade da força resultante e indique sua direção, medida no

sentido anti-horário, em relação ao eixo u positivo.

15) Duas forças são aplicadas ao olhal a fim de remover a estaca mostrada.

Determine o ângulo θ e o valor da força F de modo que a força resultante seja

orientada verticalmente para cima no eixo y e tenha uma intensidade de 750N.


16) Duas lanchas rebocam um barco de passageiros que se encontra com problemas

em seus motores. Sabendo-se que a força resultante é igual a 30kN, encontre

suas componentes nas direções AC e BC. (RESOLUÇÃO)


4.2.– Momento

O momento de uma força em relação a um ponto (eixo) é a grandeza física que

dá uma medida da tendência de aquela força provocar rotação em torno de um ponto

(eixo). O momento de uma força em relação a um ponto também pode ser denominado

de torque.

M = F . d

4.2.1 – Exercícios

1) A figura mostra uma régua homogênea em equilíbrio estático, sob a ação

de várias forças. Quanto vale a intensidade da força F, em N?

2) Determine o momento da força aplicada em A de 40N relativamente ao

ponto B.

3) Calcule o momento resultante em relação ao ponto O.


4) Calcule o momento resultante em relação ao ponto O.

4.3.– Tensões

Quando calculando uma estrutura, o engenheiro deve estimar todas as forças

agindo sobre a mesma e suas partes componentes. Os efeitos destas forças são então

considerados em relação à estabilidade da edificação como um todo, e as partes

componentes são feitas fortes o bastante para cumprirem completamente seu papel.

Cabe destacar que as forças a serem consideradas dependem do tipo e propósito

da estrutura. As fibras internas ou partículas das várias partes de uma estrutura são

postas em um estado de tensão pelas forças a que são chamadas a resistir.

As formas básicas de tensão são: tração, compressão, flexão, cisalhamento e

torção. Temos ainda a tensão de flexão, que se trata de uma combinação de tensões

básicas em um mesmo elemento.

Tração (solicitação que tende a alongar a peça no sentido da reta de ação da força aplicada.)

Compressão (solicitação que tende a encurtar a peça no sentido da reta da força aplicada).


Cisalhamento (solicitação que tende a deslocar paralelamente, em sentido oposto, duas seções de uma peça (força cortante)).

Torção (solicitação que tende a girar no sentido transversal de uma peça)

Flexão (solicitação que tende a modificar o eixo geométrico de uma peça. Ex.: uma barra inicialmente reta que passa a ser uma curva.)

A seção transversal é obtida por um corte transversal ao eixo longitudinal do

elemento estrutural.

Quando a linha de aplicação da força coincide com o CG do elemento, as

tensões de tração e compressão são uniformes em toda a seção transversal. Caso

contrário ocorrerá além das tensões normais de compressão e tração, tensão de flexão.


4.3.1. Exercícios

1) Uma força axial de 40 kN é aplicada a um bloco de madeira de pequena

altura apoiado em uma base de concreto que repousa sobre o solo. Determine:

a) a máxima tensão normal na base de concreto;

b) as dimensões da base de concreto para que a tensão no solo seja de 145 kPa.

2) Uma barra de seção circular com 50 mm de diâmetro, é tracionada por

uma carga normal de 36 kN. Determine a tensão normal atuante na barra.

3) Calcule a tensão que acontece nos tirantes dos seguintes esquemas:

a) Tirante com seção circular.


b) Tirante com seção quadrada.

c)Tirante de seção retangular.

4) Calcular a força capaz de romper um tirante de seção quadrada, como na

figura abaixo, sabendo-se que a sua tensão de ruptura à tração é de 600 N/ mm², e que o

lado da seção transversal vale 15 mm.

5) Um pilar de concreto com altura de 6 m e seção transversal quadrada

deve ser dimensionado para sustentar um caixa d´água pesando 30.000N. A figura

ilustra este problema. Sabendo-se que o módulo de elasticidade do concreto do pilar (E)

é igual a 20.000 N/mm2 e que a tensão admissível (σadm =12 N/mm²) ignorando a

possibilidade de flambagem e desprezando o peso próprio do pilar, calcule o seguinte:

(a) A menor dimensão possível para o lado do quadrado da seção transversal do

pilar para suportar a caixa d´água com segurança, i.e., a tensão no concreto deve ser no

máximo igual à tensão admissível.

(b) A variação de comprimento do pilar de concreto após a aplicação do peso da

caixa d´água. Use a seção transversal do pilar obtida em (a).


4.4. Flambagem

Flambagem é um fenomeno de instabilidade que pode ocorrer em elementos

estruturais comprimidos. Manifestando-se pelo aparecimento de uma flexao lateral

progressiva que pode causar a ruptura do elemento. Como exemplo de elementos

estruturais que podem apresentar flambagem tem-se: pilares ou colunas, vigas

protendidas, perfis metalicos, cascas, placas, etc.

Portanto, os elementos estruturais comprimidos podem ser divididos em dois

grupos:

a) Elementos curtos ou nao esbeltos

A ruptura desses elementos se da por compressao simples, sem flambagem e a

tensão e deformacao sao dadas pelas seguintes formulas:

Portanto a carga maxima é :

b) Elemento esbelto

A ruptura deste tipo de elemento e dada por flambagem a partir de uma certa

carga critica. O projeto destes elementos deve ser aquele onde a carga aplicada no

mesmo não deve ultrapassar a carga crítica de flambagem.

4.4.1. Formula de Euler (Geral: )


4.5. Índice de Esbeltez

É o índice que avalia o quanto uma barra comprimida é mais ou menos

vulnerável ao efeito da flambagem. O índice de esbeltez é uma medida mecânica

utilizada para estimar com que facilidade um pilar irá encurvar. É dado por:

� � ��

Onde:

Lf = comprimento de flambagem da peça em metros →�� ∗ �

i = raio de giração em metros → ��

4.5.1 - Exercícios

1) A barra AB é livre em sua extremidade A e engastada em sua

base B. Determinar a carga centrada admissível P, quando a liga de alumínio

(E=70 GPA) usada:


2) Uma carga centrada P deve ser suportada pela barra de aço AB. Sabendo-se

que σe = 250 MPa e E = 200 GPa, determinar a menor dimensão d da seção

transversal que pode ser usada, quando: a) P = 60 kN; b) P = 30 kN.

Resp.: a) 37,4 mm b) 25,6 mm.

3) Um tubo estrutural retangular tem a seção transversal mostrada e é usado

como uma coluna de 5 m de comprimento efetivo. Sabendo-se que σ = 250

MPa e E = 200 GPa, determinar a maior carga centrada que pode ser

aplicada na coluna.

Resp.: 422 KN.


5. Propriedades Geométricas das Seções Transversais das Estruturas

5.1. Introdução

As propriedades geométricas da seção transversal da estrutura são fundamentais

para:

- Cálculo das tensões internas do material;

- Cálculo das deformações e dos deslocamentos que sofrem a estrutura;

- Projeto e dimensionamento dos elementos estruturais.

5.1.1. Centro de Gravidade da Seção Transversal (CG)

O centróide representa o centro geométrico de um corpo. Esse ponto coincide

com o centro de massa ou centro de gravidade somente se o material que compõe o

corpo for uniforme ou homogêneo. Em alguns casos, o centróide está localizado em um

ponto que não está sobre o objeto. Além disso, esse ponto estará sobre qualquer eixo de

simetria para o corpo.

TEOREMA DE VARIGNON

5.1.1.1.1. Seções Particulares


5.1.1.1.2. Exercícios

1) Calcule o centro de gravidade das figuras abaixo:

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)


2) Calcule o centro de gravidade das figuras abaixo:

5.2. - Momento de Inercia

O momento de inércia, ou inércia rotacional, é uma medida da resistência que um corpo oferece ao movimento de rotação. Ou seja, é o análogo rotacional da massa no movimento linear.

5.2.1. - Translação de Eixos (Teorema de Steiner)


5.2.1.1 – Exercícios

1) Calcule o momento de inercia das figuras abaixo:

a)


b)

c)


6. Estudo das Estruturas

6.1. Classificação das peças ou elementos estruturais

Elementos de 1ª categoria: são os elementos denominados de LINEARES,

onde uma dimensão é dominante. Ex: hastes ou barras (Pilares, vigas, tirantes, escoras,

etc.)

Elementos de 2ª categoria: são os elementos bi-espaciais ou com duas

dimensões dominantes. Ex: placas, discos, chapas, etc.

Elementos de 3ª categoria: são os elementos que não tem dimensão dominante.

Ex: blocos de fundação, maciços, etc.

6.2. Apoios (Vínculos)

Os vínculos podem ser de apoio e de ligação ou transmissão não havendo

nenhuma distinção rígida entre os dois tipos, dependendo da função que o vínculo esteja

exercendo no momento em que é analisado.

Por exemplo, analisando o sistema formado por:

LAJE – VIGA – PILAR – FUNDAÇÃO

Se analisarmos o sistema LAJE – VIGA , a viga trabalhará como vínculo de

apoio, mas se a análise for da LAJE – VIGA – PILAR , este último (o pilar) é que

trabalhará como vínculo de apoio, passando a viga para a condição de vínculo de

ligação da laje com o pilar, e assim teremos casos semelhantes, impossibilitando-nos a

uma separação distinta entre APOIO e LIGAÇÃO.


6.2.1. – Classificação quanto aos gêneros

-Vínculo de 1º gênero ou apoio móvel

É o vínculo que IMPEDE UM movimento, deixando LIVRE os outros DOIS.

Representação:

-Vínculo de 2º gênero ou apoio fixo

É o vínculo que IMPEDE DOIS movimentos, deixando LIVRE os outros UM.

Representação:

-Vínculo de 3º gênero ou engastamento

É o vínculo que IMPEDE todos os TRÊS movimentos.

Representação:

6.2.2 – Sistemas isostáticos, hiperestáticos e hipostáticos

De acordo com o número de vinculações, podemos classificar os sistemas como:

- SISTEMAS ISOSTÁTICOS: são aqueles cujos números de vínculos são os

estritamente necessários, isto é: Nº EQUAÇÕES = Nº INCÓGNITAS

- SISTEMAS HIPOESTÁTICOS: Nº EQUAÇÕES > Nº INCÓGNITAS

- SISTEMAS HIPERESTÁTICOS: Nº EQUAÇÕES < Nº INCÓGNITAS


Como sistemas isostáticos podemos citar alguns exemplos conforme segue:

6.3 – Vigas

Viga é um elemento estrutural onde uma das suas dimensões é predominante,

portanto, elemento de 1ª categoria.

6.3.1 – Classificação

a) Vigas bi apoiadas:

b) Vigas engastadas:

c) Vigas bi apoiadas com balanço:

d) Vigas inclinadas:

e) Vigas Gerber:


f) Vigas contínuas:

6.4. Sistemas de Cargas

a) Carga concentrada:

b) Carga distribuída:

b.1) Uniformemente: quando a intensidade da carga distribuída for constante.

Sendo: q = taxa de distribuição (a unidade dada em: Kgf/m ou tf/m)

(unid. Força/ unid. Comprimento)

b.2) Não uniforme: quando a intensidade da carga for variável.

Um objeto sobre uma laje A reação de uma viga apoiada sobre outra.

A ação do pilar sobre a fundação

Parede sobre laje Parede sobre viga


c) Carga conjugada:

d) Carga Momento: (unid. Força x distância perpendicular do ponto até a

carga)

e) Outras cargas

e.1) Cargas acidentais (variável):

e.2) Cargas permanentes: (ex: peso próprio)

e.3) Cargas Estáticas:

e.4) Cargas dinâmicas:

• Vento; • Empuxo; • Frenagem; • Sobrecargas; • Terremoto; • Neve; • Cargas móveis.


6.5. Reações de Apoio

As reações nos vínculos de um modo geral, quer sejam apoios, quer sejam

simples transmissão, são determinadas com a aplicação das seguintes regras que

decorrem imediatamente do estudo da estática.

a) Substituir os vínculos (apoios ou transmissão) pelas forças de ligação

correspondentes, tendo sempre presente que “a cada movimento impedido

corresponde a uma força de ligação (reação)”.

b) Arbitrar um sentido para cada reação.

c) Escrever as equações fundamentais de equilíbrio.

d) CONSERVAR os sentidos arbitrados para as reações que resultarem

positivas e INVERTER os sentidos das que resultarem negativas.


6.5.1. Exercícios

1) Determine as reações de apoio da viga abaixo:




7. Estudo dos Esforços

7.1. Classificação e definições

Um sistema de forças quaisquer, que satisfaça as equações universais da estática,

atuando sobre um corpo rígido, provocará nele o aparecimento de esforços que,

analisados segundo seu eixo e uma seção que lhe é perpendicular, poderão ser definidos

como esforços simples e classificados como seguem:

ESFORÇO NORMAL (N): é o esforço que age no sentido paralelo ao eixo

longitudinal da barra, no sentido de comprimir ou tracionar a seção.

ESFORÇO CORTANTE (V): é o esforço que age no sentido de cortar ou

cisalhar a seção, ocorre perpendicular ao eixo longitudinal da barra.

MOMENTO FLETOR (MF): é o esforço que age no sentido de envergar ou

flexionar o eixo longitudinal da viga.

MOMENTO TORSOR (T): é o esforço que age no sentido de torcer ou girar

a seção em relação ao eixo longitudinal da viga.


7.1.1 – Convenções

Esforço Normal:

quando o esforço comprimir a seção, será

quando o esforço tracionar a seção, será

Esforço Cortante:

quando a seção tende a girar no sentido horário, será

quando a seção tende a girar no sentido anti-horário, será

Momento Fletor:

quando o momento (M) tracionar as fibras inferiores e comprimir as fibras

superiores, será

quando o momento (M) comprimir as fibras inferiores e tracionar as fibras

superiores, será


Momento Torçor: regra da mão direita.

7.1.2 – Diagramas (Linhas de Estado) – Introdução

Chama-se de Linhas de Estado o estudo gráfico dos esforços simples (N, V, M)

7.1.2.1 – Diagramas

Para traçar os diagramas de esforços simples de uma estrutura, algumas regras

básicas devem ser observadas, conforme veremos a seguir:

a) Determinar os valores dos esforços simples para as seções principais,

devidamente destacadas na estrutura a ser calculada.

b) Marcar os valores dos esforços simples nas seções principais, tendo em vista

que, para os esforços cortantes e normais, os valores positivos serão marcados para cima

do eixo em barras horizontais e para fora em barras verticais, enquanto que os valores

dos momentos, ao contrário, por serem os valores marcados do lado das fibras

tracionadas.

c) Para o Momento Fletor, ligar esses pontos por linhas RETAS: CHEIAS nos

trechos descarregados e TRACEJADAS nos trechos onde existam carregamentos

distribuídos. Nas tracejadas e no sentido de atuação da carga distribuída e sempre

perpendicular ao eixo da barra, marcar os valores das parábolas correspondentes ao

trecho. Assim, os trechos com cargas distribuídas apresentarão sobre as tracejadas,

parábolas cujos graus serão duas unidades acima do grau da ordenada de carga. Para o

Esforço Cortante, os valores encontrados para as seções principais serão ligadas por

linhas retas nos trechos descarregados. Nos trechos onde há carregamentos distribuídos,

as seções extremas serão ligadas por linhas correspondentes a uma função com grau de

uma unidade acima da ordenada de carga. Para o Esforço Normal, os valores das seções

principais serão ligados por linhas retas cheias.


d) Aparecerá DESCONTINUIDADE nos seguintes casos:

- No diagrama de Momento Fletor, onde houver carregamento aplicado (carga

momento, carga conjugada ou binário).

- No diagrama de Esforço Cortante, onde houver carga concentrada aplicada

que seja perpendicular ao eixo da barra.

- No diagrama de Esforço Normal, onde houver carga concentrada aplicada que

seja paralela ao eixo da barra.

e) Onde houver carga concentrada aplicada, o diagrama de momento fletor

apresentará angulosidade no sentido da força.

7.1.2.1.1 – Roteiro – Regras Gerais

1. Verificar o tipo de sistema da estrutura. (isostático, hipoestático, hiperestático)

2. Se a estrutura é Isostática, então, determinar as reações de apoio da estrutura.

3. Determinar os valores dos esforços nos pontos principais da estrutura.

4. Marcar os valores assim obtidos a partir do eixo da viga respeitando-se a

convenção de sinais.

5. Ligar os pontos assim marcados por linhas:

-para o momento fletor: retas cheias nos trechos descarregados e por retas

tracejadas nos trechos sujeitos há carregamentos distribuídos;

-para o cortante: retas cheias nos trechos descarregados e com carregamentos

distribuídos e uniformes e por parábolas nos trechos onde houver carregamentos

distribuídos e não uniformes.

6. A partir das linhas tracejadas, na direção perpendicular ao eixo da viga e no

sentido do carregamento, marcam-se os valores correspondentes as parábolas dos

momentos em cada trecho.

7. Ao final, hachurar o espaço compreendido entre as parábolas e/ou as linhas

retas cheias, chamadas de linha de fechamento e o eixo da peça e tem-se assim os

diagramas dos esforços simples para uma determinada estrutura.


7.1.2.2 – Exercícios

Traçar os diagramas dos esforços para as estruturas a seguir.

1)

2)


3)

4)


5)

6)


7)

8)


9)

10)


11)

12)


13)

14)


15)

16) Determinar o máximo valor da carga distribuída “q” para a viga abaixo

sabendo que o MMAX = 150 kNm.

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