apostila sistemas estruturais ufop

7/27/2019 Apostila Sistemas Estruturais UFOP

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Departamento de Engenharia Civil

Escola de MinasUniversidade Federal de Ouro Preto

CIV 403


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Programa Analtico

1 Aes e Segurana nas Estruturas

1.1 Introduo

1.2 Mtodo do Coeficiente de Segurana Interno

1.3 Mtodo do Coeficiente de Segurana Externo

1.4 Mtodo das Tenses Admissveis1.5 Introduo aos Mtodos Probabilsticos

1.6 Mtodo dos Estados Limites

1.7 Tipos e Natureza das Aes

1.8 Ao do Vento

2 Tipologia das Estruturas

2.1 Histr ico da Engenharia Estrutural

2.2 Classificao dos Sistemas Estruturais (Dimenses)

2.3 Classificao dos Sistemas Estruturais (Natureza dos Esforos)

2.4 Fios e Cabos

2.5 Arcos

2.6 Trelias

2.7 Vigas

2.8 Pilares

2.9 Grelhas

2.10 Estruturas de Superfcie


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Bibliografia

NBR 8681 Aes e Segurana nas Estruturas Associao Brasileirade Normas Tcnicas (ABNT)

NBR 6321 Foras devidas ao Vento nas Edificaes AssociaoBrasileira de Normas Tcnicas (ABNT)

NBR 8800 Projeto e Execuo de Estruturas de Ao de Edifcios Associao Brasileira de Normas Tcnicas (ABNT)

NBR 6118 Projeto e Execuo de Obras de Concreto Armado Associao Brasileira de Normas Tcnicas (ABNT)

Fundamentos Estatsticos da Segurana das Estruturas Fusco, P.B.

Fundamentos do Projeto Estrutural Fusco, P. B. Probabilidade: Aplicaes Estatstica Meyer, P. L. Vocabulrio de Teoria das Estruturas Associao Brasileira de

Concreto Portland(ABCP) Structural Analysis & Design of Tall Buildings Taranath, B. S. Structural Principles Engel, I. Structural Concepts and Systems for Architects and Engineers Lin,

T. Y and Stotesboury, S. D. Structural Engineering for Architects Lauer, K. R. Structural Analysis for Engineers Willems, N. and Lucas Jr., W. M. Sistemas Estruturais: Segurana nas Estruturas Sles, J. J.;

Gonalves, R. M. e Malite, M. Departamento de Engenharia deEstruturas, Escola de Engenharia de So Carlos, USP. Publicao041/93.

Sistemas Estruturais: Elementos Estruturais - Sles, J. J.; Gonalves,R. M. e Malite, M. Departamento de Engenharia de Estruturas, Escolade Engenharia de So Carlos, USP. Publicao 014/94.

Ao do Vento nas Edi ficaes Sles, J. J.; Gonalves, R. M. eMalite, M. Departamento de Engenharia de Estruturas, Escola deEngenharia de So Carlos, USP. Publicao 015/94.

Construes Metlicas e de Madeira (Notas de Aula) Reis, M. V. M.Departamento d4e Engenharia Civil, Escola de Minas, UFOP.


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APRESENTAO

Estas notas de aula foram elaboradas para a implementao da

disciplina eletiva Sistemas Estruturais, do currculo de graduao do Curso

de Engenharia Civil, oferecido pelo Departamento de Engenharia Civil da

Escola de Minas/UFOP.Exceto por pequenos detalhes e ligeiras correes, a presente verso

ainda a primeira, desenvolvida ao longo do primeiro semestre letivo de

1999.

importante ressaltar que o mesmo baseia-se, quase integralmente,

nas publicaes do Departamento de Engenharia de Estruturas da Escola

de Engenharia de So Carlos/USP referentes aos assuntos abordados.

Por esta razo, considerando o desprendimento dos autores dasmencionadas publicaes, manifesto meus mais sinceros agradecimentos

aos professores Jos Jairo de Sles, Maximiliano Malite e Roberto Martins

Gonalves.

Ouro Preto, agosto de 1999

Prof. Dr. Luiz Fernando L. Ribeiro

Departamento de Engenharia Civil Escola de Minas

Universidade Federal de Ouro Preto


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CIV 403 Sistemas Estruturais_________________________________________________________________________________________________________________

1. AES E SEGURANA NAS ESTRUTURAS

1.1 Introduo:

A palavra estrutura tem significado de considervel amplitude,

podendo ser definida, de modo genrico, como o modo de disposio das

diferentes partes que compem um corpo. Assim, referimo-nos estrutura

atmica para definir a disposio de tomos de uma molcula. De modo

figurado, tambm utiliza-se esta palavra para designar a ordem, a disposio

ou a distribuio das diversas partes que compem uma obra literria,

artstica, ou trabalho cientfico (artigo tcnico, monografia, dissertao ou

tese, etc.).

Na Engenharia Civil, a palavra estrutura utilizada para designar a

composio, construo, organizao e disposio arquitetnica de umedifcio, compreendendo todas as partes que o compem, incluindo as

fundaes, lajes, vigas, pilares, paredes, revestimentos, cobertura, pintura,

etc.

De modo ainda mais particularizado, tanto na Engenharia Civil quanto

na Arquitetura, a palavra, por definio, representa as partes que suportam

as cargas de uma construo e as transmitem s fundaes, constituindo-se

nos elementos fundamentais do chamado sistema estrutural.


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2

A conceituao apresentada, por si s, j caracteriza a importncia do

sistema estrutural de uma edificao. Porm, em inmeras ocasies, a

estrutura tambm explorada sob ponto de vista esttico, assumindo uma

dualidade de funes que impe a necessidade, qualquer que seja o

profissional envolvido no projeto, de slido conhecimento do funcionamento

dos sistemas estruturais, bem como de uma profunda interao entre os

profissionais de diferente formao (arquiteto e projetista estrutural)

envolvidos no projeto.

A necessidade deste conhecimento e/ou desta interao to maisvisvel se imaginarmos que, na etapa criativa, este processo basicamente


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intuitivo, sendo fundamental a ligao da intuio consciente com a

formulao matemtica para a compreenso e a representao da realidade

fsica.

O carter intuitivo daconcepo de uma estrutura

evidente em vrios fatos da vida

cotidiana, como por exemplo, ao

escolhermos o ngulo correto para

posicionarmos uma escada de

mo, bem como ao verificarmos,

intuitivamente, se as dimenses de

suas peas so suficientes parasuportar o nosso peso.

A importncia do sistema estrutural est, portanto, na mesma razo

da compreenso de seu funcionamento quanto de sua concepo, com toda

a simplicidade possvel, mesmo abstendo-nos de recorrer ao conhecimento

formal de frmulas matemticas e questes referentes s caractersticas

fsicas dos materiais, sem que isso signifique tratar o problema de forma

simplificada, mas sim reconhecer, nas situaes arquitetnicas prticas, os

pontos mais delicados do projeto estrutural, proporcionar-lhe as dimenses e

as propores adequadas, deixando para o projetista estrutural a parte

matemtica e o detalhamento.

No projeto de uma estrutura, desde as mais complexas at as mais

simples, como as constitudas por um nico elemento, fundamental que

exista a preocupao de que a mesma desempenhe as funes a que se

destina com o mximo de ECONOMIA e EFICINCIA.

O carter econmico da estrutura deve ser assegurado atravs de

uma anlise dos materiais e das tecnologias disponveis, comparando-se os

custos de matrias primas, distncias de transporte, consumo de materiais e

de mo-de-obra, tempo de execuo, etc. Definido o material e a tecnologia,

deve-se procurar a otimizao do sistema estrutural a ser adotado,

buscando o equilbrio entre o consumo de material e de mo-de-obra.

Em muitos projetos possvel obter bons resultados com a

padronizao das dimenses dos elementos, mesmo que s custas de um


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consumo maior de material, uma vez que, com a padronizao, possvel

diminuir-se consideravelmente o emprego da mo-de-obra.

Centro Esportivo Itaperuna/RJ

Para assegurar a eficincia de uma estrutura deve-se buscar um

projeto econmico mas que permita que a estrutura tenha CONDIES DE

SEGURANA, o que significa apresentar-se resistente, estvel e duradoura.

O conceito de segurana em estruturas costuma ter dois aspectos

que, algumas vezes, podem ser confundidos entre si.

O primeiro qualitativo, dizendo-se que uma estrutura possui ou nopossui segurana. O segundo quantitativo, buscando-se atribuir um valor

ao nvel de segurana alcanado ou desejado.

Qualitativamente, diz-se que uma estrutura segura quando ela

capaz de suportar, sem sofrer danos, todas as aes que vierem a solicit-

la, desde a fase de construo at o final de sua vida til, entendendo-se

como aes as causas externas capazes de produzirem esforos internos e

deformaes na estrutura. Incluem-se nesse caso as foras provenientes

dos pesos prprios dos elementos estruturais e construtivos, a ao do

vento, as variaes de temperatura, a movimentao das fundaes

(recalques de apoios), a circulao de pessoas, veculos, lquidos, gases,

etc.

Em termos de vida til das estruturas, pode-se dizer que ela varia de

acordo com a finalidade da construo. Para as catedrais medievais, por

exemplo, acredita-se que elas possuam vida til da ordem de 1000 anos,

enquanto as usinas hidreltricas so projetadas para durarem, no mnimo,


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100 anos. No caso das construes industriais, como as usinas siderrgicas,

os plos petroqumicos, as fbricas e oficinas so concebidas para uma vida

til de 50 anos, assim como edifcios e demais construes comerciais,residenciais e agrcolas.

Durante o perodo previsto para a sua vida til, uma estrutura no

deve apresentar deformaes e/ou deslocamentos excessivos, trincas,

perda de equilbrio, colapso ou runa ou seja, no deve apresentar falhas

que impeam ou mesmo prejudiquem a utilizao para a qual foi projetada.

A principal questo relativa ao aspecto quantitativo a dificuldade

encontrada na mensurao da segurana oferecida por uma estrutura,verificando-se que vrios mtodos foram desenvolvidos e aperfeioados

para esta finalidade.

Na Antigidade o mtodo utilizado pelos construtores, que pode ser

denominado Mtodo Intuitivo, procurava somente obter construes

seguras, sem a preocupao de quantificar o grau de segurana. Com isso,

introduzia-se um conceito de segurana traduzido por meio de concepes

estruturais baseadas na intuio dos projetistas e construtores, condicionada

puramente nos sucessos e insucesso de construes similares j

executadas.

A aplicao desse mtodo primitivo, via de regra, conduzia a

estruturas que hoje seriam consideradas antieconmicas mas era obrigatria

face ao quase total desconhecimento das teorias quantitativas do

comportamento estrutural.

Com o desenvolvimento da Mecnica das Estruturas, foram sendo

criadas teorias quantitativas que reproduziam, cada vez melhor, os diversos

comportamentos estruturais, tanto na definio do comportamento reolgico

dos materiais, quanto na determinao dos esforos internos, deformaes e

deslocamentos produzidos por um dado carregamento, ou na definio dos

critrios de resistncia dos materiais.

Atravs dessas teorias, empregando-se processos analticos,

numricos ou grficos, pode-se determinar, com vrios graus de realismo, os

esforos internos, as deformaes e os deslocamentos nas estruturas,


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permitindo a sua comparao com os critrios de resistncia.

O desenvolvimento dos mtodos experimentais tambm contribui para

que sejam obtidas definies cada vez mais completas e claras dosaspectos comportamentais dos materiais e das estruturas, permitindo a

verificao experimental das teorias quantitativas, possibilitando, at hoje,

uma integrao circular que proporciona o desenvolvimento dos mtodos

que buscam atribuir valores segurana das estruturas.

Assim, os mtodos experimentais constituem-se em um quarto

processo de anlise de estruturas, podendo ser denominado processo

analgico , proporcionando uma nova alternativa para a determinao dasdeformaes e deslocamentos das estruturas e possibilitando a aferio dos

esforos internos.

importante ressaltar que todas as teorias mencionadas baseiam-se

na hiptese fundamental de que o comportamento estrutural de um certo

elemento determinstico, ou seja:

Para um mesmo elemento, com as mesmas

vinculaes, a aplicao de uma certa solicitao, de

acordo com uma certa lei de variao ao longo do

tempo, se pudesse ser repetida diversas vezes,

produziria, em todas as aplicaes, os mesmos esforos

internos, as mesmas deformaes e os mesmos

deslocamentos

Um outro parmetro, muito importante para a quantificao da

segurana, a intensidade das aes, assumidas como invariveis em

alguns casos. Entretanto, muito fcil de perceber que at mesmo o peso

prprio de uma estrutura pode variar ao longo do tempo ou por influncia de

reformas, manutenes ou mesmo de condies climticas.

Estabelecido o arcabouo quantitativo, surge o problema de como

deve ser introduzida a segurana no projeto estrutural. A seguir so

apresentados os diversos mtodos adotados para esta finalidade,

comentando-se, criticamente, a sua formulao e buscando-se mostrar,

dentro das perspectivas atuais, o potencial desses mtodos.


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1.2 Mtodo do Coeficiente de Segurana Interno

Este mtodo resultou da contnua evoluo experimentada no sculo

XIX pela Teoria da Elasticidade. A introduo da segurana no projeto

estrutural, por este mtodo, feita atravs do coeficiente de segurana

interno , impondo-se a condio de que as maiores tenses que ocorram

por ocasio da utilizao da estrutura no podem ultrapassar o valor das

correspondentes tenses, divididas por , de ruptura ou de

escoamento dos materiais, cujo valor resultante denominado tenso

admissvel de ruptura ou de escoamento, respectivamente.

O mtodo eqivale, portanto, imposio de um limite superior para

as mximas tenses atuantes, as quais no podem ultrapassar as

correspondentes tenses admissveis, ou seja:

Os valores a serem adotados para devem levar em considerao

as inevitveis variabilidades tanto das tenses de ruptura ou de escoamento

dos materiais, quanto das intensidades das aes, assim como expressar a

responsabilidade da estrutura e outros fatores que sero ainda discutidos.A determinao dos coeficientes de segurana internos emprica,

justificando-se seus valores pelos resultados disponveis de estruturas

projetadas com a sua utilizao, os quais tambm orientam a alterao dos

coeficientes, permitindo um progresso gradual e seguro dos critrios de

projeto, de modo a atender aos aspectos econmicos que exigem a

minimizao dos valores de .

Para estados mltiplos de tenses podem ser definidas grandezasque caracterizam os diferentes critrios de resistncia adotados para cada


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tipo de material, relativamente s quais so introduzidos os coeficientes de

segurana internos, verificando-se o mesmo para outros fenmenos como,

por exemplo, a fadiga em estruturas.

Analisando-se criticamente o mtodo, percebe-se que no so feitas

consideraes separadas a respeito das incertezas do sistema ou dos

parmetros, da natureza da estrutura ou das conseqncias da runa. Alm

disso, as aes so, geralmente, especificadas por outras normas, sob a

forma de valores mdios para as cargas permanentes, valores mximos

estimados para as acidentais e valores estatsticos estimados para a ao

do vento.Quanto s incertezas, cabe apenas ao calculista lev-las em

considerao, introduzindo, informalmente, hipteses conservadoras a

respeito do seu modelo terico e, formalmente, atravs da adoo de

valores para as aes e para as tenses admissveis.

Um outro aspecto muito importante a considerar o fato de que as

tenses mximas calculadas na estrutura ocorrem em pontos singulares,

constituindo-se em efeitos isolados. No caso de uma viga biapoiada

submetida a um carregamento uniformemente distribudo, por exemplo, o

momento mximo ocorre no ponto mdio do vo, e a tenso mxima

ocorrer tambm nesse ponto, mas apenas para as fibras longitudinais

superiores e inferiores.

A maioria das estruturas no entra em colapso simplesmente pelo fato

de existirem tenses altamente localizadas, ocorrendo redistribuio dessas

tenses para as regies menos solicitadas da seo transversal ou do

elemento. Esse o caso, por exemplo, de uma viga metlica bi-engastada,

com seo transversal I.


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Observa-se na figura acima que, medida que cresce a solicitao

(momento fletor) na seo transversal, crescem as tenses nos pontos mais

afastados da linha neutra, verificando-se, em determinada situao (M = My),

que a mxima tenso normal na seo transversal igual tenso deescoamento do material (y). Com o aumento da solicitao, ocorre uma

redistribuio de tenses para pontos em que a tenso atuante ainda

menor que y, at que todos os pontos da seo estejam solicitados pela

mesma tenso y, dizendo-se que a seo atingiu a plastificao total, para

solicitao igual ao momento fletor de plastificao total (M = Mp).

Analisando-se o comportamento da viga bi-engastada, observa-se

que o momento fletor mximo nos engastes, ocorrendo ento, nesses

pontos, a formao de rtulas plsticas quando Meng = Mp. A viga, portanto,

considerando-se que no h mais resistncia rotao nos apoios, passa acomportar-se como uma viga biapoiada, transferindo para outras sees


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transversais a responsabilidade pela resistncia ao acrscimo da

solicitao. O valor mximo do carregamento uniformemente distribudo ser

aquele correspondente solicitao de momento fletor de plastificao total

da seo do meio do vo, uma vez que, formada nesse ponto uma nova

rtula, ocorre a formao de um mecanismo e a viga sofre colapso.

Face ao exposto, o coeficiente de seguranai

deve procurar

representar uma srie de incertezas e imprecises que vo definir o grau de

segurana de uma estrutura. No estudo dos fatores que devem ser levados

em considerao na anlise da segurana estrutural, as comparaes entre

solicitaes e resistncias sero feitas por meio dos esforos solicitantes, o

que vlido apenas para as estruturas reticuladas (elementos que podem

ter seu estudo reduzido ao comportamento de seu eixo longitudinal) e de

superfcie (estudo do comportamento do plano mdio dos elementos).

No caso de estruturas que possuam as trs dimenses da mesma

ordem de grandeza, a comparao deve ser feita por meio das aes, sendo

necessrio englobar-se os grupos (a) e (b), descritos a seguir, em um

mesmo grupo de fatores que influenciam a resistncia das estruturas.(a) Fatores que influem nas aes

- variabilidade da intensidade das aes;

- probabilidade da ao simultnea das diversas aes que a

estrutura deve suportar.

(b) Fatores que influem nos esforos solicitantes

- erros da anlise estrutural:

decorrentes da atribuio de um esquema terico

de comportamento estrutura real

- erros numricos de clculo:

decorrentes da anlise de estruturas complexas

que exigem a soluo de grandes sistemas de

equaes, podendo atingir de 5% a 10%.

IMPORTANTE: No se consideram previses

para enganos ou erros nos clculos .

- imprecises geomtricas construtivas:


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decorrentes de deformaes iniciais (ou residuais)

nos eixos das barras ou na superfcies mdias

dos elementos de superfcie (placas, cascas, etc.)

e do posicionamento das armaduras, entre outros.

- variabilidade das caractersticas mecnicas dos materiais em

laboratrio:

so inevitveis e decorrentes dos processos de

caracterizao do material.

- variabilidade das caractersticas mecnicas dos materiais, do

laboratrio para a obra:no caso de estruturas metlicas este fator

praticamente no existe, enquanto para estruturas

de concreto ele depende essencialmente do

controle de qualidade dos materiais recebidos na

obra, da dosagem

(c) Fatores que influem na responsabilidade da estrutura

- tipo e montante dos danos produzidos pela eventual runa da

estrutura

- capacidade de redistribuio dos esforos e de aviso de runa

iminente:

a capacidade de redistribuio dos esforos e de

aviso de runa iminente pode minorara

responsabilidade da estrutura, relativamente a

uma outra que no possua tais caractersticas,

por permitir uma reduo do montante dos danos

e, principalmente, por permitir a eliminao, ou

pelo menos a minimizao de perdas de vidas

humanas, no caso de uma eventual runa

A seguir so apresentados alguns exemplos de estruturas que

permitiro discutir e esclarecer alguns conceitos bsicos ligados segurana

estrutural, considerando-se apenas materiais com comportamento reolgico


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representado pelo diagrama tenso-deformao abaixo representado,

caracterizando um comportamento elasto-plstico perfeito (EP).

Quanto aos critrios de resistncia, admite-se que o material satisfaa

ao Critrio da Mxima Energia de Distoro (Hencky / Von Mises)

Exemplo 1:

Determinar a maior fora P

que pode ser suportada pelo

tirante da figura, com seo

transversal constante, sendo y =

30 kN/cm2 e adotando coeficiente

de segurana i = 3.

Soluo:

Sendo A = b.h, a tenso mxima na estrutura P /A e a condio de

segurana, decorrente do mtodo :

22

1 3 +adm ,

onde 1 a tenso normal mxima e tem valor nulo.

Portanto:

iyadm

adm

AP

e

//max

max

==

Desse modo:


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13

kNxx

APiy 4000

3

401030/max ==

Exemplo 2:

A viga da figura

constituda por material com sendo

y = 30 kN/cm2. Determinar o

mximo valor de P que pode ser

suportado pela viga, com i = 2.Soluo:

A maior tenso normal na estrutura dada por:

l

hM

2

max

max=

Sabendo-se que o momento mximo ocorre na seo transversal

correspondente ao engaste e vale M x l, tem-se:

kNxx

xxPou

lhbP

hb

lP

i

y

i

y

adm

12024006

401230

6

6

2

max

2

max2

==

==

Uma outra verificao que pode ocorrer aos mais detalhistas, a do

esforo cortante. Entretanto, analisando-se as distribuies de tenses para

as duas solicitaes, encontra-se a distribuio apresentada na figura a

seguir, onde observa-se que, quando uma tenso o seu valor mximo, a

outra nula. Pelo critrio de resistncia adotado, para o cisalhamento, tem-

se:

22_

3 +

e, para 0= , encontra-se: 4,06,03/___

== , que ,

aproximadamente, o valor utilizado em diversas normas.


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Do exemplo, para V = Pmax = 120 kN, tem-se:

bI

QV

.

.max

=

Sendo ( ) ( ) 12/8/4/2/ 3hbIehbhxhbQ === , obtm-se:

2_

2

max

/12304,04,0

/375,05,18

12

cmkNxe

cmkNA

V

bh

V

y===

===

Portanto, no cisalhamento:

32375,0

12

max

_

===

i

Este valor permite a constatao que, nos casos normais de flexo, o

fator limitante a tenso normal ( ) . A tenso de cisalhamento ( ) s

limitante em vigas com vos pequenos, submetidas a aes muito altas e

que possuam pequena largura (b), como no caso de vigas metlicas.

Pode parecer importante, ainda, a verificao em pontos onde ambas

as tenses no so nulas. Entretanto, uma vez que o valor da tenso normal

( ) varia muito mais rapidamente que o da tenso de cisalhamento ( ) ,

conclui-se que somente ocorrem mximos nos pontos mais afastados da

linha neutra.

Exemplo 3:


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Determinar a mxima fora P que pode ser suportada pela viga

mostrada acima, com seo transversal constante, considerando

2/18 cmkNy = e 2=i .

Soluo:

O momento mximo, bem como as tenses mximas, ocorrem na

seo do meio do vo, obtendo-se:

PPxx

x

hbxPl

0125,060204

660006

4 22max

===

A condio de segurana do mtodo permite escrever:

kNP

Pouiy

720

2/180125,0/_

max

= Nos problemas anteriores, conhecia-se o material e as dimenses das

barras e buscava-se o maior valor que a fora aplicada poderia atingir, com

determinado i . Diversos problemas de Engenharia apresentam-se desta

forma, mas, na grande maioria dos casos, conhece-se o carregamento, o

material e o coeficiente de segurana internoi

, buscando-se dimensionar a

seo transversal, como ser apresentado nos problemas a seguir.

Exemplo 4:

Para a viga biapoiada, com seo transversal constante, mostrada na


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figura, determinar a mnima altura h necessria para suportar o

carregamento p, com 4=i , utilizando material com2

/20 cmkNy = .

Soluo:

Tambm neste exemplo o momento mximo e as tenses mximas

ocorrem no meio do vo, obtendo-se:

cmcmh

cmkNh

hxxhbMxWM

cmkNxlpM

iy

1105445,1095

60000

/54/20//60000

20/2000006./6/

.2000008/400108/

2_

2

max

22

maxmaxmax

22

max

=

====

===

===

Exemplo 5:

Determinar o dimetro da viga de seo transversal constante da

figura, confeccionada com material que possui MPay 400= , utilizando

67,1=i .

Soluo:

O momento mximo, neste caso, ocorre nos apoios, sendo calculado

por

kNmxplM 2412/6812/22

max === ,

obtendo-se, para as tenses mximas:

( )max

3

maxmax /32/ MxDWM ==

Substituindo-se os valores e impondo-se a condio de segurana do

mtodo:

67,1

402400

32 _

3max == x

D


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cmx

xxD 100683,10

40

24003267,1==

Exemplo 6:

A estrutura da figura formada por barras iguais, de material com

mlecmkNxEcmAcmkNy 2/102,10,/242422 ==== . Determinar o

mximo carregamento P que pode ser aplicado estrutura, com 3=i .

Soluo:

Neste exemplo essencial a aplicao da teoria de 2 ordem, para

obter-se o equilbrio da estrutura na posio deslocada.

Desse modo, encontra-se:

lflfffl

lLL

//.sen.2===

+=

e, pelas equaes da Esttica, aplicadas na posio de equilbrio:

f

lP

L

lxf

LPNHH

f

LP

f

LxP

lHLVN

PVVV

BA

A

BA

22cos

22

/cos/

2/

====

====

===

Como so desconhecidos os valores de f, L e N, busca-se,

inicialmente no tringulo ACD, as relaes:

EAlNLf

EAlNLffl

/..

/./sen.

2

2

=

===

que, substituda na equao de N, aps elev-la ao quadrado, fornece:


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lN

LAEP

lNL

AELP

f

LPN

444

222

2

222 ===

l

LxAEP

N4

23 =

Admitindo-se que 1/ lL , obtm-se:

3 263,0 AEPN =

Esta equao, pela aproximao feita, conduz a um certo erro, mas

possui resoluo mais simples que a soluo exata, obtida atravs da

soluo de uma equao de 4 grau. O erro cometido fica em torno de 1 a

2%, o que pode ser considerado desprezvel.

Impondo-se que_

max/ ==AN encontra-se:

22

max

3_

/25,0 AExP=

ou, escrevendo-se em funo de Pmax: EAP /2

3_

max

=

e, para os valores numricos do exemplo:

( ) kNxxP 2,3102/3/24102 43max ==


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1.3 Mtodo do Coefic iente de Segurana Externo

Em 1849, dois anos aps o colapso de uma ponte sobre o Rio Dee

(Inglaterra), construda com trelias de ferro fundido, ainda era discutida a

utilizao desse material na construo de pontes. Vrios eminentes

engenheiros deparavam-se com a pergunta: Qual o mltiplo da maior

carga atuante em uma estrutura deve ser considerada como carga deruptura da mesma?. Brunel e Robert Stephenson, entre outros destacados

calculistas da poca, passaram a interessar-se pelo comportamento das

estruturas no caso de ocorrer uma sobrecarga, realizando provas de carga

de modo a assegurar-se de que a estrutura fosse capaz de suportar as

cargas de servio.

Esses engenheiros possuam uma intuio que parece inibida nos

profissionais modernos, distrado pela exatido da teoria da elasticidade e

pelo uso consequente das tenses admissveis. Se, por um lado, no pode

ser negado o sucesso da engenharia atravs da utilizao e do

desenvolvimento da teoria da elasticidade, por outro lamentvel que essa

teoria tenha sido to sufocante. No sculo atual, com o desenvolvimento

cada vez maior da teoria da plasticidade aplicvel s estruturas de ao e da

teoria da ruptura utilizada nas de concreto, tem ocorrido uma espcie de

retorno ao mtodo de avaliao da segurana que se revelou com aquela

pergunta feita em 1849.

A teoria da plasticidade tornou oportuno lembrar que, para avaliar-se

a segurana da estrutura, importante conhecer as condies de colapso.

Decorre da a introduo de um fator de carga em alguns mtodos de

dimensionamento e sua definio como carga de colapso, dividida pela

carga de servio, exatamente a mesma relao utilizada h 150 anos. A

nica diferena que hoje, faz-se uma estimativa da carga de colapso por

clculo terico, enquanto, naquela poca, somente era possvel estimar-se o


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20

seu valor atravs de provas de carga.

Embora a determinao da carga de colapso, por meios tericos

(adotando-se modelos simplificados), seja menos precisa que a obtida pormeio de provas de carga, hoje pode-se contar com os ensaios em modelos

reduzidos, eliminando-se a necessidade de construo da estrutura para

obter-se a carga de colapso (ou a existncia de estruturas similares, j

construdas, para a execuo da prova de carga).

Se as estruturas apresentassem resposta linear durante toda a sua

histria de carregamento proporcional e crescente, ou seja, se elas

apresentassem, em todas as condies, proporcionalidade entre aintensidade do carregamento e a intensidade das tenses correspondentes,

em todos os pontos e em todos os planos, seria possvel dar uma

interpretao externa ao coeficiente de segurana interno i , que passaria

a ser um coeficiente que, ao multiplicar o carregamento de utilizao da

estrutura, definiria um carregamento proporcional ao mesmo, produzindo

ruptura ou colapso da estrutura.

A resposta linear de uma estrutura, porm, somente existe enquanto

as relaes tenso-deformao do seu material permanecerem lineares

(linearidade fsica), enquanto sua geometria ficar pouco alterada pelos

deslocamentos produzidos pelo carregamento (linearidade geomtrica) e

enquanto todas as aes na estrutura permanecerem proporcionais entre si.

Entretanto, a maioria das estruturas sujeitas a um carregamento

proporcional, mesmo apresentando resposta linear em uma certa faixa

desse carregamento, antes de atingir a ruptura ou o colapso, deixa de


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21

apresentar tal tipo de resposta, quer por perder, sensivelmente, a linearidade

geomtrica, quer por perder a linearidade fsica, ao deixar de seguir a Lei de

Hooke em alguns de seus pontos.Observa-se que, a rigor, so poucas as estruturas que no perdem

linearidade geomtrica, adotando-se a teoria linear como uma aproximao

do comportamento no-linear das mesmas. No entanto, existem estruturas

em que esse afastamento terico pouco sensvel, at que elas atinjam a

ruptura ou o colapso. Como conseqncia, a interpretao externa que se

poderia dar a i e que, quase certamente, estava implcita na conceituao

de seus introdutores, perde significado.Para medir-se, externamente, a distncia entre as condies de

utilizao da estrutura e as correspondentes condies de ruptura ou

colapso, define-se como coeficiente de segurana externo e de uma

estrutura, sujeita a um certo carregamento, ao valor pelo qual deve-se

multiplicar as intensidades desse carregamento, proporcional ao primeiro, de

forma a produzir a ruptura ou o colapso da estrutura.

Exemplo 7:

Determinar o coeficiente de

segurana externo e da estrutura

do Exemplo 1, agora comprimida,

submetida ao carregamento P =4000 kN. Utilizar 2/30 cmkNe =

e E = 20000 kN/cm2

Soluo:

A tenso normal mxima correspondente ao carregamento de

utilizao especificado ( )2

/101040/4000 cmkNx == . Se a estrutura


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22

mantivesse resposta linear at a ruptura, teramos 0,3== ei , uma vez

que 0,310/30/ ==e .

No entanto, ao ser atingida a carga de flambagem da estrutura, o

comportamento da estrutura deixa de ser linear, verificando-se um

crescimento das tenses, a partir de ento, muito mais rapidamente que o

das aes.

Assim sendo, a ruptura da estrutura se d com um carregamento

muito pouco superior a flP , podendo ser, na prtica, confundido com este

valor, ou seja:

kNxx

xxxx

l

IEPfl 34,4112

200412

1040102

43

342

2

2

===

e, portanto,

028,14000

34,4112===

P

Pfl

e

Isto mostra que a aplicao do mtodo do coeficiente interno, neste

caso, conduziu a uma distncia insuficiente entre o carregamento de

utilizao da estrutura e o de ruptura, j que ambos foram praticamente

coincidentes. Este fato, devido perda da linearidade geomtrica da

estrutura, produzida pela flambagem, foi o primeiro grande argumento

levantado contra o mtodo do coeficiente de segurana interno, conduzindo,

j de longa data, utilizao de e em estruturas sujeitas flambagem.

A figura seguinte ilustra o comportamento altamente no-linear da

estrutura considerada.

possvel, porm, determinar o valor de P para que se tenha


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23

0,3=e . Para isto, basta fazer:

kNPPelfadm 13713/34,4112/ ==

Uma outra opo, mantendo-se o valor de P = 4000 kN, seria

redimensionar a seo transversal da barra, para obter-se 0,3=e , ou seja:

kNxPPeadmlf 1200034000. ==

ou kNlIE 120004/ 22

83,972620000/20041200012/223

= xxxbhI

Como h = 40 cm, b = 10 cm e a flambagem ocorrer segundo o eixo

de menor inrcia (paralelo a h), aumentando-se b a inrcia aumenta muitomais rapidamente.

cmb

bxI

29,14

83,972612/403

=


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24

1.4 Mtodo das Tenses Admissveis:

Este o mtodo que serviu de base s normas de dimensionamento

das estruturas at quase os dias de hoje mas, devido a algumas falhas que

sero discutidas mais adiante, vem sendo substitudo por outros mtodos.

Este mtodo introduz a segurana no dimensionamento, de duas

maneiras distintas:a) Nos elementos submetidos a solicitaes estabilizantes, como as

de trao, utiliza o coeficiente de segurana interno i ;

b) Nos elementos que podem apresentar flambagem, como por

exemplo, em pilares ou vigas que no possuem adequadas

contenes laterais, o mtodo utiliza o coeficiente de segurana

externo, s que dividindo o carregamento terico de ruptura ou de

colapso para obter o valor admissvel.

Exemplo 8:

Determinar a tenso admissvel do pilar calculado no exemplo 7, para

obter 0,2=e .

Soluo:

A tenso admissvel, nesse caso, nada mais do que a tenso deflambagem dividida pelo coeficiente de segurana externo, ou seja:

cmkNxx

e

lf

adm /4895,1023,1440

12000===

Esta tenso conduz a uma carga admissvel (Padm) de:

kNxxAxPadmadm 60003,14404895,10 ==

que corresponde, exatamente, ao valor da carga dividido por e , ou seja:

kNPP elfadm 60002/12000/ ===


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25

Conforme j visto, atravs dos coeficientes de segurana, o mtodo

das tenses admissveis procura:

a) Estabelecer uma medida da segurana das estruturas;

b) Estabelecer uma sistemtica para a introduo da segurana nos

projetos estruturais.

No que diz respeito medida da segurana introduzida, pode-se, de

imediato, observar que ela bastante deficiente. Como j afirmado, o

coeficiente de segurana i deve depender, entre outros fatores, da

variabilidade das resistncias dos materiais, crescendo com o crescimento

das disperses correspondentes. Este fator justifica a utilizao de 2=i

em uma estrutura metlica e a utilizao de 4=i , por exemplo.

A simples considerao deste exemplo permite concluir quei no

uma boa medida de segurana, uma vez que, quando se projeta uma

estrutura de madeira com 4=i , no se deseja e nem se consegue que ela

tenha uma segurana maior do que a de uma estrutura metlica projetada

com 2=i

, mas sim, que as duas estruturas tenham a mesma segurana

ou, pelo menos, segurana da mesma ordem de grandeza.

Por outro lado, a constatao de que apenas o valor dei no define

a segurana de uma estrutura acaba por mostrar a deficincia de tal medida

de segurana. Para exemplificar, se duas estruturas, uma de madeira e

outra metlica, possurem 2=i , a primeira ter segurana menor que a

Segunda, embora ambas tenham o mesmoi .

No que diz respeito sistemtica para a introduo da segurana nos

projetos estruturais que o mtodo das tenses admissveis estabelece,

podem ser feitas crticas ainda mais contundentes.

Inicialmente, cabe a crtica de que h uma preocupao apenas com

o estabelecimento de uma conveniente distncia entre a situao de

utilizao da estrutura e aquela que corresponderia a uma ruptura da

estrutura (desagregao do material) ou a um colapso da mesma (perda da

capacidade portante da estrutura, por se tornar parcial ou totalmente


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26

hiposttica). No h preocupao com a verificao de outras condies que

possam invalidar a utilizao da estrutura, como por exemplo o

aparecimento de deformabilidade exagerada da mesma.

Esta crtica no , contudo, a mais grave, pois outras condies que

possam colocar a estrutura inadequada utilizao, poderiam ser satisfeitas

por meio de verificaes adicionais, em separado.

A principal crtica que se pode e que se deve fazer ao mtodo das

tenses admissveis justamente a respeito da distncia que ele introduz

entre a situao de utilizao da estrutura e aquela que corresponderia a

uma ruptura ou a um colapso da mesma. A medida da distncia entre assituaes mencionadas fica muito mais bem definida quando procura-se

estabelecer uma relao entre os carregamentos correspondentes a elas

( )e

do que procurando-se estabelecer a relao entre as tenses

correspondentes a tais situaes ( )i .

As estimativas tericas so seguras, desde que a idealizao do

comportamento da estrutura seja feita de forma conservadora. Alm disso, a

carga de colapso obtida de modo muito mais rpido e econmico que a

obtida por prova de carga. O maior avano do mtodo do coeficiente

externo, em relao ao mtodo do coeficiente interno, que nele, tenta-

se considerar a forma de comportamento da estrutura ou seja, como o

modelo ideal da estrutura se comportaria se essa estrutura fosse construda.

Entretanto, o mtodo ainda apresenta muitos defeitos, como por

exemplo, o fato de no existir uma separao entre as incertezas do sistema

e a incerteza dos parmetros. Alm disso, as aes so especificadas damesma forma que para o mtodo do coeficiente interno ou seja, uma mistura

de mdias, mximas e valores estatsticos estimados. Existe, tambm

neste mtodo, uma confuso filosfica e falta de rigor, no existindo uma

estrutura lgica de raciocnio, por meio da qual possam ser examinados

todos os estados limitativos da estrutura.

Como conseqncia, o mtodo das tenses admissveis no retrata

com boa preciso a condio de colapso, nem permite que seja feita uma

avaliao confivel dessa condio. O mtodo, contudo, representa uma


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27

sub-estimativa da segurana, ou seja, um limite inferior de segurana, alm

de ser um mtodo simples, direto e de fcil utilizao, desde que os

coeficientes de segurana sejam adequadamente escolhidos.

Entretanto, como no um mtodo realista, poderia apresentar perigo

nos casos em que o calculista, baseando-se em uma anlise mais

sofisticada da estrutura, imaginasse ser possvel a reduo do coeficiente de

segurana. Isso somente seria possvel caso fosse feito um estudo mais

rigoroso a respeito das incertezas do sistema e dos parmetros.

Adicionalmente, bvio que outros efeitos, que no sejam tenses,

dever ser analisados no projeto de uma estrutura, como, por exemplo,deformaes, controle de fissuras, etc. No obstante as normas tratarem

desses efeitos, o mtodo permanece obscuro e desprovido de unidade

filosfica, apresentando uma nfase excessiva s tenses elsticas e pouca

s restries que devem ser impostas utilizao da estrutura. Em resumo,

a moderna Engenharia j ultrapassou este mtodo.


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28

1.5 Introduo aos Mtodos Probabilst icos

Os conceitos e as anlises apresentadas parecem indicar que um

mtodo de introduo de segurana em uma estrutura deve levar em

considerao a completa conceituao de segurana, observando-se todos

os seus aspectos e adotando-se, para medida de segurana, o coeficiente

de segurana externo.

Um mtodo com estas caractersticas, porm, permite a crtica

fundamental de que, alm da premissa de que o comportamento estrutural

um fenmeno determinstico, considera-se que os parmetros mecnicos

e geomtricos da estrutura tambm o so.

A primeira premissa, relativa ao comportamento estrutural

determinstico lgica e verificada experimentalmente, no se conhecendo

situaes que a contradigam. Entretanto, a hiptese no verificada

experimentalmente no que se refere aos parmetros mecnicos e

geomtricos, observando-se, por exemplo, que a tenso correspondente ao

limite de escoamento de um materialy

uma varivel aleatria

contnua, qual deve-se associar uma lei de distribuio de densidade de

probabilidade.

Esta constatao, inclusive, suficiente para que possa-se formular

uma idia fundamental:e

tambm no uma medida satisfatria da

segurana de uma estrutura uma vez que, mesmo considerando-se que

apenas y no tenha um comportamento determinstico, duas estruturas

geometricamente iguais e igualmente solicitadas, projetadas com o mesmo

e , mas construdas com materiais cujos y apresentam diferentes

disperses, apresentaro nvel de segurana diferente, sendo menor a

segurana da estrutura cujo material apresentary com maior disperso.

Por exemplo, uma estrutura metlica e uma de madeira, geometricamente


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29

iguais e igualmente solicitadas, ambas projetadas com 3=e , possuem

diferentes nveis de segurana, sendo menos segura a estrutura de madeira

por apresentar maior disperso para y .

A concluso apresentada, obtida com a considerao de que apenas

y comporta-se como varivel aleatria, fica reforada com a considerao

de que todas as caractersticas geomtricas e mecnicas da estrutura

tambm so variveis aleatrias e, ainda mais, com a considerao

adicional de que as aes tambm o so.

Exemplo 9:

Considere a viga do

exemplo 2 construda com um

material comy apresentando

uma distribuio log-normal de

mdia 2/30 cmkNm = e

coeficiente de variao de 15%.

Determinar os valores de P e as

correspondentes probabilidades de

runa, para coeficientes de

segurana internos iguais a 1, 2 e

3.

Soluo:

Suponhamos que, para a determinao dem tenham sido realizados 200

ensaios de caracterizao do material da viga, obtendo-se os resultados

apresentados na tabela.

Dispondo-se os valores em ordem crescente, e tomando-se o nmerode valores encontrados dentro de intervalos, por exemplo de 2 kN/cm2,

pode-se traar um grfico relacionando a freqncia relativa dos valores de

y (nmero de ocorrncias dividido pelo nmero total de valores da

amostra) com os valores mdios de cada intervalo.

Se, no limite, reduzirmos o valor dos intervalos a zero, obtemos a

funo densidade de probabilidade (f.d.p.) dos valores dey , tal que:


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30

Amostra y Amostra y Amostra y Amostra y1 18,96 51 26,89 101 29,76 151 32,892 20,96 52 26,97 102 29,80 152 32,98

3 21,46 53 27,01 103 29,85 153 33,03

4 21,85 54 27,09 104 29,89 154 33,13

5 22,15 55 27,13 105 29,93 155 33,23

6 22,41 56 27,21 106 30,02 156 33,28

7 22,65 57 27,25 107 30,07 157 33,38

8 22,85 58 27,33 108 30,11 158 33,48

9 23,06 59 27,37 109 30,16 159 33,58

10 23,19 60 27,41 110 30,20 160 33,63

11 23,37 61 27,49 111 30,25 161 33,73

12 23,54 62 27,54 112 30,34 162 33,83

13 23,68 63 27,62 113 30,38 163 33,93

14 23,79 64 27,66 114 30,48 164 34,03

15 23,93 65 27,74 115 30,52 165 34,08

16 24,04 66 27,78 116 30,57 166 34,19

17 24,18 67 27,82 117 30,61 167 34,29

18 24,29 68 27,91 118 30,70 168 34,44

19 24,40 69 27,95 119 30,75 169 34,54

20 24,51 70 28,03 120 30,80 170 34,65

21 24,62 71 28,07 121 30,89 171 34,75

22 24,69 72 28,12 122 30,93 172 34,86

23 24,80 73 28,20 123 30,98 173 34,96

24 24,92 74 28,24 124 31,03 174 35,12

25 24,99 75 28,28 125 31,12 175 35,22

26 25,07 76 28,37 126 31,17 176 35,3827 25,18 77 28,41 127 31,26 177 35,49

28 25,25 78 28,45 128 31,31 178 35,64

29 25,33 79 28,50 129 31,35 179 35,75

30 25,40 80 28,58 130 31,40 180 35,91

31 25,48 81 28,62 131 31,49 181 36,07

32 25,59 82 28,67 132 31,54 182 36,23

33 25,67 83 28,75 133 31,63 183 36,40

34 25,75 84 28,80 134 31,68 184 36,56

35 25,82 85 28,84 135 31,73 185 36,78

36 25,86 86 28,88 136 31,82 186 37,00

37 25,98 87 28,97 137 31,87 187 37,22

38 26,02 88 29,01 138 31,97 188 37,44

39 26,10 89 29,05 139 32,01 189 37,6740 26,17 90 29,10 140 32,11 190 37,89

41 26,25 91 29,14 141 32,16 191 38,23

42 26,29 92 29,23 142 32,21 192 38,52

43 26,37 93 29,27 143 32,30 193 38,87

44 26,45 94 29,32 144 32,35 194 39,27

45 26,53 95 29,40 145 32,45 195 39,75

46 26,57 96 29,45 146 32,54 196 40,28

47 26,65 97 29,49 147 32,59 197 41,01

48 26,73 98 29,54 148 32,64 198 42,00

49 26,77 99 29,62 149 32,74 199 43,60

50 26,85 100 29,67 150 32,79 200 46,42


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31

=


36/171


32

distribuio) e a mdia.

15 20 25 30 35 40 45 50

0

10

20

30

40

y

Moda = 29

Mdia = 30,06

f.

d.

p.

Uma distribuio log-normal de densidade de probabilidade para a

varivel aleatriay

uma distribuio tal que ln y apresenta uma

distribuio normal de densidades de probabilidade. A figura a seguir

apresenta a f.d.p para os dados do problema.

3,0 3,2 3,4 3,6 3,80

5

10

15

20

25

30

Mdia = 3,39

ln ()

Sendom

e c, respectivamente a mdia e o coeficiente de variao

da distribuio log-normal. A distribuio normal de ln y apresenta mdia

ln e desvio padro dados por:


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33

( ) 2/2 21 =+= eecnl y

No caso de ter-se c = 0,15 (15%), vem:

( )

39,3ln

cm/kN6681,29ex30

1492,015,01nl

22/)1492,0(

2

2

=

==

=+=

A partir da mxima tenso que ocorre na estrutura pode-se obter o

correspondente valor de P:

l6

hbP

hb

lP6 2

2

==

Fazendo-se iy / == , para os valores de i do problema,

obtm-se:

i (kN/cm2) P (kN)

1,0 30 240

2,0 15 120

3,0 10 80

Para calcularmos as probabilidades de runa correspondentes aos

valores de P obtidos, deve-se considerar a forma reduzida da f.d.p. de y ,

da forma

( )

= 2

e)(lnf 2/uy

2

, onde

= nlnlu .

A probabilidade da varivel y situar-se em um intervalo (a,b) ser

expressa por:

( ) ( )yb

a

2/uy de

2

1bap

2

=

que representada pela rea hachurada da figura, entre os valores a e b.

Analogamente, fixada uma certa probabilidade p, pode ser


38/171


34

determinado o intervalo em torno da mdia (no caso ln ) dentro do qual

devem estar situados todos os valores da varivel, definindo-se tal intervalo

em funo do parmetro u(p%) e do desvio padro .

ba

ln ( ) + u(p%)ln ( ) - u(p%) ln ( )

= =

p %

( )ln y

de

nsidadedeprobabilidade

Entretanto, esta integral no pode ser calculada pelos meios comuns,

uma vez que no possvel encontrar uma funo cuja derivada seja igual a

2/u2e , sendo necessrio recorrer a mtodos de integrao numrica que

permitem a tabulao dos valores de p em funo de u.Por exemplo, para o concreto, as normas prevem que a

probabilidade de que, em apenas 5% dos casos, a resistncia do concreto

possa apresentar valor inferior resistncia caracterstica calculada. Assim,

o quantil de 5% (p = 0,05) deve ser procurado na tabela da distribuio

normal para obter-se o correspondente valor de u.

Utilizando-se, por exemplo, a tabela apresentada por Meyer, P.L.

(Probabilidade: Aplicaes Estatstica, p.369-370), obtm-se:

- para p = 0,9495 u = 1,64

- para p = 0,9505 u = 1,65

Interpolando-se os valores, linearmente, tem-se:

- para p = 0,95 u = 1,645

Portanto, a resistncia caracterstica do concreto deve ser calculada

como:

= 645,1ff cjck


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35

- onde fcj a resistncia mdia dos corpos de prova

ensaiados e o desvio padro do lote ensaiado.

Para o caso do exemplo, utilizando as tabelas, obtm-se:

-

( ) ( )

=

=

==

%97,525297,0p

0745,01492,0

6681,29ln30lnu

cm/kN30 2

-

( ) ( )

=

=

==

%001,010

5712,41492,0

6681,29ln15ln

/15

5

2

p

ucmkN

-( ) ( )

=

===

%000000001,010p

2888,71492,0

6681,29ln10lnucm/kN10

11

2

Deve-se observar que a variao da probabilidade de runa, embora

tenha uma relao direta com o valor da tenso mxima atuante na estrutura

ou carga P aplicada, no diretamente proporcional a ela, ou seja, uma

reduo de 50% na tenso mxima atuante (de 30 para 15 kN/cm2) reduziu

a probabilidade de runa de 52,97% para 0,001%, correspondente a uma

reduo de 99,8%.

Para melhor observao desse fenmeno, vamos considerar ainda os

valores 1,5 e 1,515 para de i , obtendo-se:

i (kN/cm2) P (kN) u p (%)

1,5 20 160 -2,64 0,41

1,515 19,8 158,4 -2,71 0,34

0,8 37,5 300 1,57 94,18

Observa-se que a reduo de 1% na carga aplicada resultou em 17%,

aproximadamente, de reduo da probabilidade de runa.

A ltima linha da tabela acima foi includa para que seja observado

que probabilisticamente, o fato de a tenso mxima atuante ter superado a

tenso mdia 22 /30/5,37 cmkNcmkN m =>= no implica,

necessariamente, em runa da estrutura, havendo 94,18 % de probabilidade

de que isto venha a acontecer.


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Existem ainda outras idias fundamentais que podem ser agora

introduzidas, como por exemplo, as interpretaes fsicas da probabilidade

de runa de uma estrutura.

A probabilidade p de um certo evento pode ser entendida como o

limite para o qual tende a freqncia relativa da ocorrncia daquele evento,

quando o nmero de repetio das situaes em que ele pode ocorrer tende

para infinito. Assim sendo, se forem construdas e carregadas n estruturas

igualmente especificadas e controladas, se o nmero de runas for r,

medida que n crescer, a relao r/n tender a p, podendo-se, para um n

suficientemente grande, supor npr = . Por exemplo, se 410p = , para n

suficientemente grande, 1 em cada 10000 estruturas construdas dever

atingir a runa.

Por intermdio da probabilidade de runa de uma estrutura, pode-se

chegar a uma medida conceitualmente perfeita da segurana de uma

estrutura. Sendo p a probabilidade de runa, (1 p) pode expressar a

segurana, levando em considerao todos os fatores que influem na

mesma. Entretanto, devido aos valores assumidos por p, a possibilidade de

sobrevivncia de uma estrutura apresenta uma faixa de variao muito

estreita, por exemplo, entre 0,999 e 0,999999, o que torna inconveniente a

sua utilizao corrente, face sua falta de sensibilidade numrica.

Para contornar esse inconveniente, diversas medidas da segurana

podem ser introduzidas, sendo uma delas, perfeitamente satisfatria, o

ndice de segurana, definido por s = colog p.

Do exemplo 8 pode-se, ento extrair os seguintes valores de s:

i p s

0,8 0,9418 0,026

1,0 0,5297 0,28

1,5 0,0041 2,39

1,515 0,0034 2,47

2 10-5 5

3 10-11 11


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Portanto, dentro da concepo probabilstica que, obrigatoriamente,

deve ser introduzida nos mtodos de dimensionamento, os conceitos de

coeficientes de segurana devem ser abandonados, por no representarem,

efetiva e satisfatoriamente, o conceito de segurana desejado.

Apesar disso, ser visto a seguir, que no estgio atual de

desenvolvimento dos mtodos probabilsticos de dimensionamento, ainda

parecer ser conveniente a manuteno dos coeficientes de segurana,

principalmente em face das grandes dificuldades ainda existentes para o

clculo de s nos casos reais de projeto. No entanto, a sua manuteno s

pode e somente deve ser feita sabendo-se que ela provisria, formalmente imperfeita e deve subordinar-se, sempre que possvel, aos

mtodos probabilsticos.

A concluso de que a segurana estrutural um problema

probabilstico tem implicaes conceituais, ticas e econmicas.

O conceito de que uma estrutura, ao ser projetada e construda,

apresenta sempre uma probabilidade de runa pode parecer chocante a

muitas pessoas e mesmo a muitos engenheiros. Durante muitos e muitos

anos, a teoria das estruturas deu a falsa sensao de que era possvel

alcanar uma segurana absoluta, especialmente se houvesse um controle

operacional das aes que viessem a agir sobre a estrutura.

Embora desde 1936 j estivesse clara a conceituao probabilstica,

apenas recentemente ela vem impondo-se de uma forma mais ampla.

Assim, resta aos engenheiros projetar e construir estruturas que apresentem

baixas probabilidades de runa, comparveis quelas probabilidades de risco

inevitveis, ligados a outras atividades humanas.

Por exemplo, a probabilidade de uma pessoa ser morta em acidentes

de estradas de 0,7%, igual probabilidade de sofrer um acidente uma

pessoa que voa 10 horas por ano. Para uma pessoa que faz 300 viagens de

trem por ano, a probabilidade de acidente de 0,2%, enquanto a

probabilidade de que qualquer pessoa, em perfeitas condies fsicas e

mentais venha a falecer, antes de terminar o dia, da ordem de 10-5.

Consideraes desse tipo acabam por levar concluso de que so


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normalmente admissveis para as estruturas probabilidades de runa entre

10-3 e 10-6, ou seja, valores do ndice de segurana s de 3 a 6.

Sob o aspecto tico, cabe ao engenheiro definir as probabilidades de

runa aceitveis em cada situao, levando em considerao no s os

riscos humanos e materiais envolvidos mas, principalmente, considerando o

fato consumado de que o risco inevitvel. Por outro lado, cabe sociedade

passar a entender e a julgar os engenheiros, considerando a inevitabilidade

desse risco e a no pressupor que eles trabalham com segurana absoluta.

Porm, para que isso possa efetivamente ocorrer, essencial que os

prprios engenheiros distingam, clara e corajosamente, no caso deacidentes, aqueles devidos a erros de projeto ou de execuo, daqueles

devidos aleatoriedade inevitvel dos fatores de que a segurana depende.

Sob o aspecto econmico, cabe ao engenheiro tomar uma deciso

perante a incerteza, fixando a probabilidade de runa p com que ir projetar

e construir uma certa estrutura, levando em considerao os custos da

construo e o montante de danos decorrentes de uma eventual runa da

mesma.


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1.6 Mtodo dos Estados Limi tes

O conceito de dimensionamento nos estados limites foi desenvolvido

na Rssia, de 1947 a 1949, aprovado em 1955 e introduzido na Engenharia

Civil em 1958. Foi a primeira tentativa de disciplinar todos os aspectos da

anlise de estruturas, incluindo a especificao de aes e a anlise da

segurana. um critrio utilizado para definir um limite acima do qual um

elemento da estrutura no poder mais ser utilizado (estado limite de

utilizao), ou acima do qual ser considerado inseguro (estado limite

ltimo). Portanto, quando um elemento da estrutura tornar-se inadequado

para utilizao, ou quando uma estrutura deixar de satisfazer a uma das

finalidades de sua construo, diz-se que ela atingiu um estado limite, ou,

por extenso, que atingiu a runa.

Combinando-se esta definio com a conceituao de segurana,

pode-se dizer que segurana de uma estrutura a capacidade que ela

apresenta de suportar as diversas aes que vierem a solicit-la

durante a sua vida til, sem atingir qualquer estado limite.

Como visto, os estados limites podem ser classificados em duas

categorias:

- estados limites ltimos

- estados limites de utilizao

Os estados limites ltimos so aqueles correspondentes ao

esgotamento da capacidade portante da estrutura, podendo ser originados,

em geral, por um ou vrios dos seguintes fenmenos:

- perda da estabilidade de equilbrio de uma parte ou do

conjunto da estrutura, assimilada a um corpo rgido. Por

exemplo, tombamento, arrancamento de suas fundaes,

etc.;


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- colapso da estrutura, ou seja, transformao da estrutura

original em uma estrutura parcial ou totalmente hiposttica,

por plastificao;- perda da estabilidade de uma parte ou do conjunto da

estrutura, por deformao;

- deformaes elsticas ou plsticas, deformao lenta e

fissurao (no caso de concreto estrutural) que provoquem

uma mudana de geometria que exija uma substituio da

estrutura;

- perda de capacidade se sustentao por parte de seuselementos, ruptura de sees, por Ter sido ultrapassada a

resistncia do material, sua resistncia flambagem,

fadiga, etc.;

- propagao de um colapso que inicia-se em um ponto ou

regio da estrutura, para uma situao de colapso total

(colapso progressivo ou falta de integridade estrutural);

- grandes deformaes, transformao em mecanismo,

instabilidade global.

De forma geral, pode-se dizer que os estados limites ltimos esto

relacionados ao colapso da estrutura ou de parte dela (colapso real ou

convencional), com uma probabilidade muito pequena de ocorrncia, uma

vez que ter como conseqncia a possvel perda de vidas humanas e da

propriedade.

Um estado limite ltimo tambm pode ocorrer devido sensibilidade

da estrutura aos efeitos da repetio das aes, do fogo, de uma exploso,

etc. Estas causas devem ser consideradas por ocasio da concepo da

estrutura e os estados limites ltimos a elas associados devero ser

obrigatoriamente verificados, mesmo no estando previstos explicitamente

nas normas de dimensionamento.

Os estados limites de utilizao esto relacionados interrupo da

utilizao normal da estrutura, aos danos e deteriorao da mesma. Para

esses estados limites poder ser tolerada maior probabilidade de ocorrncia,


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pelo fato de no representarem situaes to perigosas quanto os estados

limites ltimos.

Em ltima anlise, os estados limites de utilizao correspondem sexigncias funcionais e de durabilidade da estrutura, podendo ser

originados, em geral, por um ou vrios dos seguintes fenmenos:

- deformaes excessivas para uma utilizao normal da

estrutura como, por exemplo, flechas ou rotaes que

afetam a aparncia da estrutura, o uso funcional ou a

drenagem de um edifcio, ou que possam causar danos a

componentes no estruturais e aos seus elementos deligao;

- deslocamentos excessivos, sem perda de equilbrio;

- danos locais excessivos (fissurao, rachaduras, corroso,

escoamento localizado ou deslizamento) que afetam a

aparncia, a utilizao ou a durabilidade da estrutura;

- vibrao excessiva que afeta o conforto dos ocupantes da

edificao ou a operao de equipamentos.

O dimensionamento pelo mtodo dos estados limites um processo

que envolve:

1) a identificao de todos os modos de colapso ou maneiras

pelas quais a estrutura poderia deixar de cumprir as

finalidades para as quais foi projetada (estados limites);

2) a determinao de nveis aceitveis de segurana contra a

ocorrncia de cada estado limite;

3) a considerao, pelo calculista da estrutura, dos estados

limites significativos.

No projeto de edifcios comuns, os itens (1) e (2) so contemplados

pelas normas, como por exemplo a NBR 8800/86 Projeto e execuo de

estruturas de ao de edifcios, que indica os estados limites que devem ser

considerados. Para estruturas corriqueiras, o calculista responsvel pelo

item (3), geralmente comeando-se pelo estado limite mais crtico.

Dentre as etapas enumeradas acima, a etapa (2) aquela que


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envolve a introduo da segurana aceitvel ou desejvel, relativamente a

cada estado limite pertinente, baseando-se em mtodos probabilsticos para

levar em considerao a variabilidade das aes e das resistncias, embora,no projeto de uma estrutura, o calculista no tenha que trabalhar,

explicitamente, com o clculo de probabilidades.

As principais vantagens do mtodo de dimensionamento baseado no

conceito de estados limites (mtodo dos estados limites) so as seguintes:

confiabilidade mais coerente entre as vrias situaes de

projeto, uma vez que a variabilidade das resistncias e das

aes representada, de forma explcita e independente,para resistncias e aes;

possibilidade de escolha do nvel de confiabilidade, de tal

forma que possa refletir as consequncias do colapso;

melhor possibilidade de compreenso, por parte do

calculista, dos requisitos a serem atendidos pela estrutura e

do comportamento estrutural necessrio para que esses

requisitos sejam atendidos; simplicidade do processo de dimensionamento;

permite ao calculista a avaliao de situaes no rotineiras

de projeto;

permite, de maneira mais racional, a atualizao das

normas de dimensionamento, em funo dos avanos na

determinao das variabilidades das aes e das

resistncias;

utiliza variveis probabilsticas, refletindo melhor o carter

dos fenmenos envolvidos.

1.6.1 Verificao de projeto

No dimensionamento de uma estrutura, o objetivo do calculista

assegurar-se, com razovel nvel de probabilidade, que, no todo ou em

parte, a estrutura no atingir um estado limite, durante a sua construo ou


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durante o perodo previsto para sua utilizao (vida til). Para alcanar este

objetivo, o dimensionamento pelo mtodo dos estados limites consiste,

essencialmente, na determinao das aes, ou sua combinao, cujosefeitos conduzem a estrutura a um estado limite e garantir que so

superiores s aes, determinadas probabilisticamente, a que ela pode estar

sujeita nesse perodo.

Na prtica, o processo de verificao , no entanto, inverso e baseia-

se no conceito de efeito das aes (Sd) e no conceito de resistncia

correspondente (Rd) e em garantir-se que :

dd RS O carter semi-probabilstico da verificao da segurana e das boas

condies de servio (confiabilidade) introduzido definindo-se as aes e

as resistncias dos materiais atravs de seus valores caractersticos (Sk e

Rk) determinados estatisticamente ou baseados na prtica de projeto.

Por sua vez, os valores de clculo (ou de projeto) das aes (ou

seus efeitos) e das resistncias so obtidos dos correspondentes valores

representativos, afetados por fatores de segurana, respectivamente f e

m , determinados por consideraes probabilsticas para cada tipo de

estado limite, geralmente como produtos de coeficientes parciais.

A subdiviso em coeficientes parciais tem por objetivo quantificar,separadamente, as vrias causas de incerteza, umas quantificveis


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probabilisticamente e outras dependentes de opes subjetivas. O fator f

paras as aes (F) e efeitos S(F) e, geralmente, considerado como produto

de trs fatores:

-1f

para levar em considerao a possibilidade de ocorrncia

de aes que se afastem do valor caracterstico;

-2f

chamado fator de combinao, cuja funo traduzir a

probabilidade reduzida de todas as aes, que atuam

combinadas, atingirem valores elevados simultaneamente.

Este fator , usualmente, identificado como 0 ;-

3f para levar em considerao a impreciso na determinao

dos efeitos das aes (solicitaes ou tenses) e o efeito

da variao das dimenses nos esforos gerados na

montagem ou execuo.

Para quantificao dos vrios f e, para o estabelecimento das

regras de combinao, as aes so classificadas, segundo sua

variabilidade ao longo do tempo, em trs categorias:

- permanentes (G)

- variveis (Q)

- excepcionais (E)

As aes permanentes so aquelas cuja variao no tempo

desprezvel em relao ao tempo mdio de vida til da estrutura, podendo

ser divididas em duas classes:

- diretas so consideradas aes permanentes diretas os

pesos prprios da estrutura e de todos os

elementos construtivos permanentes, os pesos

dos equipamentos fixos e os empuxos devidos

ao peso prprio de terras no removveis e de

outras aes sobre elas aplicadas e, em casos

particulares, os empuxos hidrostticos tambm

podem ser considerados como permanentes;- indiretas so consideradas como aes permanentes


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indiretas a protenso, os recalques de apoio e

a retrao dos materiais.

So consideradas como aes variveis as cargas acidentais dasconstrues, bem como seus efeitos, tais como foras de frenagem, de

impacto e centrfugas, os efeitos do vento, das variaes de temperatura, do

atrito nos aparelhos de apoio e, em geral, as presses hidrostticas e

hidrodinmicas. Em funo de sua probabilidade de ocorrncia durante a

vida til da construo, as aes variveis so classificadas em normais ou

especiais.

As aes variveis normais so aquelas cuja probabilidade deocorrncia suficientemente grande para que sejam, obrigatoriamente,

consideradas no projetos das estruturas de um determinado tipo de

construo, enquanto so classificadas como aes variveis especiais as

aes ssmicas ou cargas acidentais de natureza ou intensidades especiais,

atuantes em tipos particulares de estruturas.

Exemplos:

nos edifcios habitacionais

- sobrecarga devido utilizao da edificao (pessoas, objetos,

mobilirio, etc.) e foras devidas presso do vento.

nos edifcios industriais e comerciais

- sobrecarga de utilizao (equipamentos, pessoas, etc.) e foras

devidas presso do vento

nas pontes e passarelas

- sobrecarga de utilizao (pessoas e veculos) e foras devidas

ao vento

nas barragens e centrais nucleares

- efeitos de natureza ssmica

So consideradas como aes excepcionais as decorrentes

exploses, choques de veculos, incndios, enchentes ou sismos

excepcionais. Os incndios, ao invs de serem tratados como causa de

aes excepcionais, tambm podem ser levados em considerao por


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intermdio de reduo do valor das propriedades fsicas dos materiais

constitutivos da estrutura.

Tendo em vista as diversas aes levadas em considerao no

projeto, o ndice do coeficiente f pode ser alterado para identificar a ao

considerada, resultando nos smbolos g , q , p e , respectivamente

para as aes permanentes, variveis, de protenso e para os efeitos de

deformaes impostas (aes indiretas).

Os valores representativos das aes, como j comentado, podem ser

valores caractersticos, caractersticos nominais, reduzidos de combinao,

convencionais excepcionais, reduzidos de utilizao e valores raros de

utilizao, de acordo com o estado limite em questo.

Assim, para os estados limites ltimos, so considerados os

seguintes valores representativos:

1. valores caractersticos

os valores caractersticos Fk das aes so definidos em

funo da variabilidade de suas intensidades;

os valores caractersticos das aes variveis, estabelecidos

por consenso e indicados em normas especficas,

correspondem a valores que tm 25% a 35% de probabilidade

de serem ultrapassados no sentido desfavorvel, durante um


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perodo de 50 anos;

para as aes permanentes que produzam efeitos

desfavorveis na estrutura, o valor caracterstico correspondeao quantil de 95% da respectiva distribuio de probabilidade

(valor caracterstico superior) e, para as aquelas que produzem

efeitos favorveis o valor caracterstico corresponde ao quantil

de 5% de suas distribuies (valor caracterstico inferior).

2. valores caractersticos nominais

para as aes que no tenham sua variabilidade

adequadamente expressa por distribuies de probabilidade,os valores caractersticos so substitudos por valores

nominais, convenientemente escolhidos.

3. valores reduzidos de combinao

so determinados a partir dos valores caractersticos, pela

expresso k0 F e so empregados nas condies de

segurana relativas a estados limites ltimos, quando existem

aes variveis de diferentes naturezas, levando emconsiderao a baixa probabilidade de ocorrncia simultnea

dos valores caractersticos de duas ou mais dessas aes;

por simplicidade, qualquer que seja a natureza das aes

variveis, o valores de 0 nico.

4. valores convencionais excepcionais

so valores arbitrados para as aes excepcionais,

estabelecidos por consenso entre o proprietrio da construoe as autoridades governamentais que nela tenham interesse.

Para os estados limites de utilizao, os valores representativos

so:

1. valores reduzidos de utilizao

so determinados a partir dos valores caractersticos, pelas

expresses k1 F e k2 F , e empregados, respectivamente,

na verificao da segurana em relao a estados limites de


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utilizao decorrentes de aes que se repetem muitas vezes

e de aes de longa durao;

os valores reduzidos k1 F e k2 F so designados,respectivamente, por valores freqentes e valores quase-

permanentes das aes variveis.

2. Valores raros de uti lizao

Quantificam as aes que podem acarretar estados limites de

utilizao, mesmo que atuem com durao muito curta sobre a

estrutura.

A verificao da segurana em relao aos estados limites ltimos feita em funo das combinaes ltimas de aes e em relao aos

estados limites de utilizao feita em funo das combinaes de

utilizao.

Em termos de carregamentos, durante a vida til da estrutura, podem

ocorrer carregamentos normais, carregamentos especiais ou carregamentos

excepcionais, sendo necessria, em alguns casos particulares, a

considerao do carregamento de montagem ou de construo.O carregamento normal decorre da utilizao prevista para a

construo, admitindo-se que possa ter durao igual ao perodo de

referncia da estrutura (vida til). Este tipo de carregamento deve ser

sempre considerado na verificao da segurana, tanto em relao a

estados limites ltimos quanto em relao a estados limites de utilizao.

O carregamento especial decorre da atuao de aes variveis de

natureza ou intensidade especiais, cujos efeitos superam, em intensidade,

os efeitos produzidos pelas aes consideradas no carregamento normal.

Os carregamentos especiais so transitrios, com durao muito pequena

em relao ao perodo de referncia da estrutura e so, em geral,

considerados apenas na verificao da segurana em relao aos estados

limites ltimos, correspondendo, a cada carregamento especial, uma nica

combinao ltima especial de aes.

O carregamento excepcional decorrente de aes excepcionais

que podem provocar efeitos catastrficos e somente devem ser


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considerados no projeto de estruturas de determinados tipos de construo,

para os quais a ocorrncia de aes excepcionais no possa ser desprezada

e que, alm disso, na concepo estrutural, no possam ser tomadasmedidas que anulem ou atenuem a gravidade das conseqncias dos

efeitos dessas aes. O carregamento excepcional transitrio, com

durao extremamente curta, sendo considerado apenas na verificao da

segurana em relao a estados limites ltimos, por intermdio de uma

nica combinao ltima excepcional de aes.

O carregamento de construo considerado apenas nas

estruturas em que haja risco de ocorrncia de estados limites, durante a fasede construo, portanto transitrio, e sua durao deve ser definida em cada

caso particular. Devem ser consideradas tantas combinaes de aes

quantas sejam necessrias para a verificao das segurana em relao a

todos os estados limites que so de se temer durante a fase de construo.

Portanto, a verificao da segurana para cada tipo de carregamento

deve considerar todas as combinaes de aes que possam acarretar os

efeitos mais desfavorveis na estrutura, observando-se, sempre, que:

- as aes permanentes devem ser consideradas em sua totalidade;

- devem ser consideradas apenas as parcelas das aes variveis

que produzam efeitos desfavorveis;

- as aes mveis devem ser consideradas em suas posies mais

desfavorveis.

As aes includas em cada uma das condies indicadas devem ser

consideradas com seus valores representativos, multiplicados pelos

coeficientes de ponderao, adotando-se os seguintes critrios:

- as aes permanentes devem figurar em todas as combinaes de

aes;

- em cada combinao ltima normal, uma das aes variveis deve

ser considerada como principal, admitindo-se que ela atue com

seu valor caracterstico Fk, enquanto as demais devem ser

consideradas como secundrias, adotando-se os seus respectivos

valores reduzidos de combinao k0 F ;


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- nas combinaes ultimas, especiais ou excepcionais, a ao

varivel, especial ou excepcional, deve ser considerada com seu

valor representativo ( 0,1=f ) e, para as demais aes variveis,

devem ser adotados valores correspondentes a uma probabilidade

no desprezvel de atuao simultnea com a ao varivel

especial ou excepcional.

Os coeficientes de ponderao g (aes permanentes) majoram os

valores representativos que provocam efeitos desfavorveis e minoram os

valores representativos daquelas que provocam efeitos favorveis para a

segurana da estrutura. Nas combinaes ltimas, salvo indicao em

contrrio expressa em norma relativa ao tipo de construo e de material

utilizado, devem ser tomados com os valores bsicos indicados na tabela 1.

Para a determinao do coeficiente de ponderao g as aes

permanentes so divididas em dois grupos:

aes permanentes de grande variabilidade

- so as constitudas pelo peso prprio das estruturas, dos

elementos construtivos permanentes no estruturais e dos

equipamentos fixos, todos considerados globalmente, quando o

peso prprio da estrutura no superar 75% da totalidade desses

pesos permanentes;

aes permanentes de pequena variabilidade

- so as aes permanentes quando o peso prprio da estrutura

supera 75% da totalidade dos pesos permanentes;

A tabela 1 indica, alm dos coeficientes de ponderao das aes

permanentes e variveis, os valores que devem ser adotados para aes

decorrentes de recalques de apoio e de retrao dos materiais.

Os fatores de combinao 0 , salvo indicao em contrrio, expressa

em norma relativa ao tipo de construo e de material utilizado, esto

indicados na tabela 2, juntamente com os fatores de reduo 1 e 2

referentes s combinaes de utilizao.


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Tabela 1 Valores caractersticos de ponderao das aes

Combi-

naes.

Aes PermanentesAes

Variveis

Recalques de

apoio e

retrao

Grande

variabilidade

Pequen

apostila sistemas estruturais ufop

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