2003 9-1 ufpr/tc405

9 9PILARES

9.1 Definio NBR 6118, item 14.4.1.2:

Pilares: Elementos lineares de eixo reto, usualmente dispostos na vertical, em que as foras normais de compresso so preponderantes.

9.2 Efeitos de 2 Ordem1 Efeitos de 2 ordem so aqueles que se somam aos obtidos numa anlise de primeira

ordem (em que o equilbrio da estrutura estudado na configurao geomtrica inicial), quando a anlise do equilbrio passa a ser efetuada considerando a configurao deformada (Figura 9.1).

Figura 9.1 Efeitos de 1 e 2 ordem

Os efeitos de 2 ordem, em cuja determinao deve ser considerado o comportamento no-linear dos materiais, podem ser desprezados sempre que no representem acrscimo superior a 10% nas reaes e nas solicitaes relevantes da estrutura. Na Figura 9.1, o efeito de 2 ordem (Nd x ) poder ser desconsiderado se M2d 0,10 M1d.

A anlise estrutural com efeitos de 2 ordem deve assegurar que, para as combinaes mais desfavorveis das aes de clculo, no ocorra perda de estabilidade, nem esgotamento da capacidade resistente de clculo.

A no-linearidade fsica, presente nas estruturas de concreto armado, deve ser obrigatoriamente considerada.

9.3 Classificao das Estruturas2 9.3.1 Efeitos Globais, Locais e Localizados de 2 Ordem

Sob a ao das cargas verticais e horizontais, os ns da estrutura deslocam-se horizontalmente. Os esforos de 2 ordem decorrentes desses deslocamentos so chamados efeitos globais de 2 ordem. Nas barras da estrutura, como um lance de pilar, os respectivos eixos

1 O texto relativo a esta seo , basicamente, uma cpia dos itens 15.2 e 15.3 da NBR 6118. 2 O texto relativo a esta seo , basicamente, uma cpia do item 15.4 da NBR 6118.

Md

Hd

Nd

321 lordem1

dd

d1d

HMMM

==

l

Md

Hd

Nd

4342143421 lordem2

d

ordem1

dd

d2d1d

)N()H(MMMM

+=+=

l

2003 9-2 ufpr/tc405

no se mantm retilneos, surgindo a efeitos locais de 2 ordem que, em princpio, afetam principalmente os esforos solicitantes ao longo delas.

9.3.2 Estruturas de Ns Fixos e Estruturas de Ns Mveis As estruturas so consideradas, para efeito de clculo, como de ns fixos quando os

deslocamentos horizontais dos ns so pequenos, e, por decorrncia, os efeitos globais de 2 ordem so desprezveis (inferiores a 10% dos respectivos esforos de 1 ordem). Nessas estruturas, basta considerar os efeitos locais e localizados de 2 ordem (Figura 9.2).

Figura 9.2 Estruturas de ns fixos

As estruturas de ns mveis so aquelas onde os deslocamentos horizontais no so pequenos e, em decorrncia, os efeitos globais de 2 ordem so importantes (superiores a 10% dos respectivos esforos de 1 ordem). Nessas estruturas devem ser considerados tanto os esforos de 2 ordem globais como os locais e localizados (Figura 9.3).

Figura 9.3 - Estruturas de ns mveis

9.3.3 Contraventamento Por convenincia de anlise, possvel identificar, dentro da estrutura, subestruturas que,

devido sua grande rigidez a aes horizontais, resistem maior parte dos esforos decorrentes dessas aes. Essas subestruturas so chamadas subestruturas de contraventamento. Os elementos que no participam da subestrutura de contraventamento so chamados elementos contraventados. As subestruturas de contraventamento podem ser de ns fixos ou de ns moveis, de acordo com o estabelecido em 9.3.2 (Figura 9.4).

Figura 9.4 Subestruturas de contraventamento e elementos contraventados

9.3.4 Elementos Isolados So considerados elementos isolados, os seguintes: os elementos estruturais isostticos; os elementos contraventados; os elementos das estruturas de contraventamento de ns fixos; e

subestrutura de contraventamento

elemento contraventado

elemento contraventado

caixa de elevador ou pilar parede

2003 9-3 ufpr/tc405

os elementos das subestruturas de contraventamento de ns mveis desde que, aos esforos nas extremidades, obtidos numa anlise de 1 ordem, sejam acrescentados os determinados por anlise global de 2 ordem.

9.4 Dispensa da Considerao dos Esforos Globais de 2 Ordem1 Os processos aproximados, apresentados em 9.4.1 e 9.4.2, podem ser utilizados para

verificar a possibilidade de dispensa da considerao dos esforos globais de 2 ordem, ou seja, para indicar se a estrutura pode ser classificada como de ns fixos, sem necessidade de clculo rigoroso.

9.4.1 Parmetro de Instabilidade Uma estrutura reticulada simtrica pode ser considerada como sendo de ns fixos se seu

parmetro de instabilidade satisfazer as seguintes condies:

+=

4n6,03nn1,02,0

IENH

ccs

ktot Equao 9.1

onde: n o nmero de nveis de barras horizontais (andares) acima da fundao ou de

um nvel pouco deslocvel do subsolo; Htot a altura total da estrutura, medida a partir do topo da fundao ou de um nvel

pouco deslocvel do subsolo; Nk a somatria de todas as cargas verticais atuantes na estrutura (a partir do nvel

considerado para o clculo de Htot), com seu valor caracterstico; e Ecs Ic representa a somatria dos valores de rigidez de todos os pilares na direo

considerada. No caso de estruturas de prticos, de trelias ou mistas, ou com pilares de rigidez varivel ao longo da altura, pode ser considerado o valor da expresso Ecs Ic de um pilar equivalente de seo constante.

Na anlise de estabilidade global pode ser adotado o valor do mdulo de elasticidade ou mdulo de deformao tangente inicial dado em 1.4.6 (???).

O valor de Ic deve ser calculado considerando as sees brutas dos pilares. A rigidez do pilar equivalente deve ser determinada (Figura 9.5) da seguinte forma:

calcular o deslocamento do topo da estrutura de contraventamento, sob a ao do carregamento horizontal;

calcular a rigidez de um pilar equivalente de seo constante, engastado na base e livre no topo, de mesma altura Htot, tal que, sob a ao do mesmo carregamento, sofra o mesmo deslocamento no topo.

Figura 9.5 Rigidez do pilar equivalente estrutura de contraventamento

O valor limite 0,6 prescrito para n 4 , em geral, aplicvel s estruturas usuais de edifcios. Pode ser adotado para associaes de pilares-parede, e para prticos associados a pilares-parede. Pode ser aumentado para 0,7 no caso de contraventamento constitudo exclusivamente por pilares-parede, e deve ser reduzido para 0,5 quando s houver prticos.

Exemplo 9.1: Classificar a estrutura abaixo representada de acordo com seu parmetro de instabilidade . A estrutura corresponde a um prtico constitudo por vigas e pilares de seo retangular.

1 O texto relativo a esta seo , basicamente, uma cpia do item 15.5 da NBR 6118.

F

F

Htot

2003 9-4 ufpr/tc405

Dados: concreto: C25; seo transversal dos pilares: 20 cm x 40 cm (na direo das solicitaes

horizontais); seo transversal das vigas: 20 cm x 50 cm (na direo das solicitaes

horizontais); vo entre pilares: 5 m; diferena de cota entre pisos: 3 m; carga acidental da cobertura: qk,cob = 3 kN/m; carga permanente da cobertura: gk,cob = 12 kN/m; carga acidental do pavimento tipo: qk,tipo = 5 kN/m; carga permanente do pavimento tipo: gk,tipo = 15 kN/m; e carga do vento: qk,vento = 5 kN/m.

Soluo: O parmetro de instabilidade fica definido pela Equao 9.1 (pgina 9-3). Por se tratar de um prtico, e sendo n = 4, o valor limite de deve ser tomado igual a 0,5.

a. Dados - uniformizao de unidades (kN e cm) C25kN/cm 2,5MPa 25f 2ck == deelasticida de mdulokN/cm8002MPa00028256005f6005E 2ckci ==== secante deelasticida de mdulokN/cm3802800285,0E85,0E 2cics === total alturacm1200m0,12Htot == fundao da acima andares de nmero4n = simples prtico 4,n5,0lim == b. Determinao de Nk Deve ser observado que as equaes de clculo para as aes, conforme

estabelecido em 3.3 (???), no se aplicam na determinao do parmetro . Especificamente para este caso, Fd no existe, resultando:

verticais cargas somenteFFFFF qkqkgkgkk +++= , constituindo-se na combinao de aes para da determinao de .

20x50 (tipo)

20x50 (tipo)

5 m 5 m

20x50 (tipo)

20x50 (cob)

20x40 cm2 20x40 20x40

12 m 3 m

2003 9-5 ufpr/tc405

Com o auxlio do programa FTOOL1, chega-se:

c. Rigidez do pilar equivalente Com o auxlio do programa FTOOL, chega-se:

23

c cm82762371216620I ==

fixos ns de estrutura5,024,082762373802

7501200

2003 9-6 ufpr/tc405

( )( )( )( ) ccisec

s's

s's

ccisec

ccisec

ccisec

IE8,0EIpilares

AAparaAApara

IE5,0EIIE4,0EI

vigas

IE3,0EIlajes

=

=

==

=

Equao 9.2

onde: Eci mdulo de elasticidade ou mdulo de deformao tangente inicial dado em 1.4.6

(???); e Ic o momento de inrcia da seo bruta de concreto, incluindo, quando for o caso,

as mesas colaborantes. O valor de z para cada combinao de carregamento dado pela expresso:

d,tot,1

d,totz

MM

1

1

= Equao 9.3

onde: M1,tot,d o momento de tombamento, ou seja, a soma dos momentos de todas as

foras horizontais da combinao considerada, com seus valores de clculo, em relao base da estrutura; e

Mtot,d a soma dos produtos de todas as foras verticais atuantes na estrutura, na combinao considerada, com seus valores de clculo, pelos deslocamentos horizontais de seus respectivos pontos de aplicao, obtidos da anlise de 1 ordem.

Considera-se que a estrutura de ns fixos se for obedecida a condio: z 1,1. Exemplo 9.2: Classificar a estrutura abaixo representada de acordo com seu parmetro de

instabilidade z. A estrutura corresponde a um prtico constitudo por vigas e pilares de seo retangular.

Considerar : estado limite ltimo combinao normal Dados: concreto: C25; seo transversal dos pilares: 20 cm x 40 cm (na direo das solicitaes

horizontais); seo transversal das vigas: 20 cm x 50 cm (na direo das solicitaes

horizontais); vo entre pilares: 5 m; diferena de cota entre pisos: 3 m; carga acidental da cobertura: qk,cob = 3 kN/m (0 = 0,5); carga permanente da cobertura: gk,cob = 12 kN/m; carga acidental do pavimento tipo: qk,tipo = 5 kN/m (0 = 0,5); carga permanente do pavimento tipo: gk,tipo = 15 kN/m; e carga do vento: qk,vento = 5 kN/m (0 = 0,6).

2003 9-7 ufpr/tc405

Soluo: O parmetro de instabilidade z fica definido pela Equao 9.3 (pgina 9-6), com as rigidez de vigas e pilares definidas pela Equao 9.2 (pgina 9-6).

a. Dados - uniformizao de unidades (kN e cm) C25kN/cm 2,5MPa 25f 2ck == deelasticida de mdulokN/cm8002MPa00028256005f6005E 2ckci ==== b. Rigidez equivalente das vigas e pilares (Equao 9.2) ( )[ ] ( ) c

E

ciccivigasec IE4,0IE4,0EIviga,c

43421==

2viga,c cm/kN1120MPa20011000284,0E === ( )[ ] ( ) c

E

ciccipilarsec IE8,0IE8,0EIpilar,c

43421==

2pilar,c cm/kN2402MPa40022000288,0E === c. Combinaes de aes Deve ser observado que as equaes de clculo para as aes, conforme

estabelecido em 3.3 (???), se aplicam na determinao do parmetro z. As combinaes possveis das aes resultam:

)F6,0F(4,1F4,1F vento,qkacid,qkgk)1(

d ++= )F5,0F(4,1F4,1F acid,qkvento,qkgk

)2(d ++=

)F6,0F(4,1F0,1F vento,qkacid,qkgk)3(

d ++= )F5,0F(4,1F0,1F acid,qkvento,qkgk

)4(d ++=

d. 1 combinao )F6,0F(4,1F4,1F vento,qkacid,qkgk

)1(d ++=

vento,qkacid,qkgk)1(

d F84,0F4,1F4,1F ++= cobertura: vertical cargam/kN2134,1124,1)qg( d =+=+ tipo: lvertica cargam/kN2854,1154,1)qg( d =+=+ vento: horizontal cargam/kN2,4584,0)q( d ==

20x50 (tipo)

20x50 (tipo)

5 m 5 m

20x50 (tipo)

20x50 (cob)

20x40 cm2 20x40 20x40

12 m 3 m

2003 9-8 ufpr/tc405

Com o auxlio do programa FTOOL, chega-se:

kNmm400302kNm4,3022122,4

2)q(

M22

vento,ddtot,1, ==== l

fixos ns de estrutura1,1041,1

4003027,009121

1

MM

1

1

d,tot,1

d,totz

2003 9-9 ufpr/tc405

9.5 - Imperfeies Geomtricas - Efeitos de 1 Ordem1 De modo geral, os carregamentos (carga permanente, carga acidental, vento, etc),

combinados como mostrado em 3.3 (???), provocam nas estruturas solicitaes (momento fletor, fora normal, fora cortante, etc) e deformaes (deslocamentos, rotaes, etc). Quando as deformaes so de pequena monta, diz-se que os efeitos causados na estrutura so de 1 ordem.

sabido porm, que, de uma forma genrica, as construes de concreto so geometricamente imperfeitas, apresentando, antes do carregamento, deformaes decorrentes do processo construtivo.

No caso das estruturas reticuladas, por exemplo, existem imperfeies na posio e forma dos eixos das peas, na forma e dimenses da seo transversal, na distribuio da armadura, etc. Muitas dessas imperfeies podem ser cobertas apenas pelos coeficientes de ponderao, mas as imperfeies dos eixos das peas, no. Elas devem ser explicitamente consideradas, porque tm efeitos significativos sobre a estabilidade da construo. Esses efeitos decorrem no s das solicitaes diretamente atuantes, mas tambm da fluncia e da sensibilidade a imperfeies das estruturas de concreto. Esses efeitos so considerados, tambm, como de 1 ordem.

Na verificao do estado limite ltimo das estruturas reticuladas, devem ser consideradas as imperfeies geomtricas do eixo dos elementos estruturais da estrutura descarregada. Essas imperfeies podem ser divididas em dois grupos:

imperfeies globais; e imperfeies locais.

9.5.1 Imperfeies Globais Desaprumo da Estrutura Na anlise global das estruturas, sejam elas contraventadas ou no, deve ser considerado

um desaprumo dos elementos verticais conforme mostrado na Figura 9.6. Considerando 1 como sendo o desaprumo de um elemento vertical contnuo e a o desaprumo global da estrutura, seus valores so determinados pela Equao 9.4 e Equao 9.5, respectivamente.

Figura 9.6 Imperfeies geomtricas global

=

mveis ns de estruturas300

1

fixos ns de estruturas400

1

2001

H1001

1

1

Equao 9.4

2n11

1a

+= Equao 9.5

onde: H a altura total da edificao, em metros; e n o nmero total de elementos verticais contnuos.

1 O texto relativo a esta seo , basicamente, uma cpia do item 11.3.3.4 da NBR 6118.

a

n prumadas de pilares

H

2003 9-10 ufpr/tc405

NBR 6118, item 11.3.3.4.b: O desaprumo no deve necessariamente ser superposto ao carregamento de vento. Entre os dois, vento e desaprumo, pode ser considerado apenas o mais desfavorvel, que pode ser definido atravs do que provoca o maior momento total na base de construo.

Exemplo 9.3: Determinar o desaprumo da estrutura abaixo representada. Considerar estrutura de ns fixos e mveis.

Soluo: O desaprumo fica definido pela Equao 9.4 (pgina 9-9) e Equao 9.5 (pgina 9-9).

a. Dados estrutura da total alturam12H = contnuos verticais elementos de total nmero3n = b. 1 para estrutura de ns fixos fixos ns de estrutura

4001

2001

1

H100

11 =

346

112100

11 == OK

c. a para estrutura de ns fixos

2

n11

1a

+=

424

12

311

3461

a =+

= d. 1 para estrutura de ns mveis mveis ns de estrutura

3001

2001

1

300

1300

1346

112100

111 =

2003 9-11 ufpr/tc405

9.5.2 Imperfeies Locais Desaprumo de Um Lance de Pilar No caso de elementos que ligam pilares contraventados1 a pilares de contraventamento2,

usualmente vigas e lajes, deve ser considerada a trao decorrente do desaprumo do pilar contraventado, conforme mostrado na Figura 9.7.

Figura 9.7 Elementos de travamento (tracionado ou comprimido)

Considerando Hi como sendo a altura de um lance de pilar (Figura 9.7), em metros, define-se 1 como sendo:

=

3001

2001

H1001

i1 Equao 9.6

No caso da verificao de um lance de pilar, deve ser considerado o efeito da falta de retilinidade do eixo do pilar3 (Figura 9.8.a) ou do desaprumo (Figura 9.8.b). Admite-se que, nos casos usuais, a considerao apenas da falta de retilinidade ao longo do lance de pilar seja suficiente.

Figura 9.8 Imperfeies geomtricas locais

9.5.3 Momento Mnimo de 1 Ordem Considerao das Imperfeies Locais O efeito das imperfeies locais nos pilares pode ser substitudo em estruturas reticuladas

pela considerao do momento mnimo de 1 ordem dado a seguir: ( )h03,0015,0NM dmin,d1 += Equao 9.7 onde:

h a altura total da seo transversal na direo considerada, em metros; e Nd a fora normal de clculo.

Nas estruturas reticuladas usuais admite-se que o efeito das imperfeies locais esteja atendido se for respeitado esse valor de momento total mnimo. A este momento devem ser acrescidos os momentos de 2 ordem com apresentados em 9.7.

Pode-se dizer que o efeito das imperfeies locais estar atendido se for considerado atuando no pilar uma fora normal Nd associada a uma excentricidade mnima dada por: 1 Pilares de pouca rigidez a aes horizontais. 2 Pilares de grande rigidez a aes horizontais que resistem maior parte dos esforos decorrentes

dessas aes. 3 No caso da falta de retilinidade do eixo do pilar usar Hi/2 na raiz quadrada da Equao 9.6.

1 1

Hi

Pilar de contraventamento Pilar

contraventado

Elemento de travamento

Hi/2 1 Hi 1

a) falta de retilinidade b) desaprumo

2003 9-12 ufpr/tc405

h03,0015,0e min,1 += Equao 9.8 NBR 6118, item 16.3:

Deve-se observar, tambm, que no se aceita o dimensionamento de pilares para carga centrada.

De qualquer forma, possvel estabelecer uma equao geral para e1 que leva em considerao a falta de retilinidade do pilar, como mostrado na Figura 9.9.

Figura 9.9 Excentricidade mnima para falta de retilinidade de pilar

Da Figura 9.9 tem-se:

i

1

i

11 H

e2

2He ==

Considerando a Equao 9.6,com Hi/2 definindo a falta de retilinidade do pilar, chega-se:

=

==

6001

4001

2H200

1He

3001

2001

2H100

1He2

ii

1

ii

11

Desta forma, a Equao 9.8 pode ser estendida para:

metros em h e

h03,0015,0e

6001

4001

2H200

1He d1

ii

1

l

+

= Equao 9.9

Exemplo 9.4: Determinar o valor de excentricidade mnima de 1 ordem (e1) para um pilar cuja seo transversal tem altura (h) igual a 40 cm. Este pilar poder ter altura (Hi) variando entre 7 e 14 m.

Hi/2

e1

1

Nd

Nd

e1 Hi

2003 9-13 ufpr/tc405

Soluo: A soluo do problema consiste na aplicao da Equao 9.9 (pgina 9-12). a. Excentricidade mnima h03,0015,0e1 + ( ) cm7,2m027,04,003,0015,0e1 ==+ b. Pilar com 7 m da altura

400

1He

6001

4001

3741

27200

1

2H200

1He

i

1

ii

1 =

=

==

cm70,2em027,0m018,04007e 11 =

2003 9-14 ufpr/tc405

9.6 Anlise de Estruturas de Ns Fixos1 Nas estruturas de ns fixos, o clculo pode ser realizado considerando cada elemento

comprimido isoladamente (Figura 9.11), como barra vinculada nas extremidades aos demais elementos estruturais que ali concorrem, onde se aplicam os esforos obtidos pela anlise da estrutura efetuada segundo a teoria de 1 ordem.

O comprimento equivalente le do elemento comprimido (pilar), suposto vinculado em ambas as extremidades, dado pela Equao 9.10.

Figura 9.11 Elemento isolado de estrutura de n fixo

lll += h0e Equao 9.10 onde:

l0 a distncia entre as faces internas dos elementos estruturais, supostos horizontais, que vinculam o pilar;

h a altura da seo transversal do pilar, medida no plano da estrutura em estudo; e l a distncia entre os eixos dos elementos estruturais aos quais o pilar est

vinculado. A anlise dos efeitos locais de 2 ordem deve ser realizada de acordo com o estabelecido

em 9.7. Sob a ao de foras horizontais, a estrutura sempre calculada como deslocvel. O fato

de a estrutura ser classificada como sendo de ns fixos dispensa apenas a considerao dos esforos globais de 2 ordem.

9.7 Anlise de Elementos Isolados2 Os itens 9.7.1 e 9.7.2.1 so aplicveis apenas a elementos isolados de seo constante e

armadura constante ao longo de seu eixo, submetidos a flexo-compresso. Os pilares devem ter ndice de esbeltez menor ou igual a 200 ( 200). Apenas no caso de

postes com fora normal menor que 0,10 fcd Ac, o ndice de esbeltez pode ser maior que 200. O ndice de esbeltez deve ser calculado pela expresso:

iel= Equao 9.11

onde: le o comprimento equivalente do pilar; e i o raio de girao da seo transversal do pilar.

1 O texto relativo a esta seo , basicamente, uma cpia do item 15.6 da NBR 6118. 2 O texto relativo a esta seo , basicamente, uma cpia do item 15.8 da NBR 6118.

h

pilar

l0

eixo da viga

viga

l le

2003 9-15 ufpr/tc405

No caso de pilar engastado na base e livre no topo, o valor de le deve ser tomado igual a 2l (Figura 9.12). Nos demais casos adotar os valores calculados conforme 9.5 (Equao 9.10).

Figura 9.12 Comprimentos equivalentes de pilar

Exemplo 9.5: Estabelecer os ndices de esbeltez () para pilares de seo retangular e circular.

Soluo: Os ndices de esbeltez () ficam definidos pela Equao 9.11 (pgina 9-14). Para a seo retangular devem ser observados os valores dos raios de girao (momentos de inrcia) nas duas direes.

a. Seo retangular

xdireo na flambagem possvel x direo na rigidez12

hhI

3xy

x = 1

ydireo na flambagem possvel y direo na rigidez12

hhI

3yx

y = 2 pilar do ltransversa seo da reahhA yxc =

1 Observar que o momento de inrcia Ix referido a direo x. Corresponde ao momento de inrcia Iyy da

Resistncia dos Materiais (momento de inrcia em torno do eixo yy). 2 Observar que o momento de inrcia Iy referido a direo y. Corresponde ao momento de inrcia Ixx da

Resistncia dos Materiais (momento de inrcia em torno do eixo xx).

l

le = 2l

le

hx

hy

x

y

2003 9-16 ufpr/tc405

xdireo na girao de raio12h

hh12

hh

AIi x

yx

3xy

c

xx =

==

ydireo na girao de raio12h

hh12

hh

AI

i yyx

3yx

c

yy =

==

xdireo na esbeltez de ndiceh

46,3h

12

12hi x

e

x

e

x

e

x

ex

llll ====

ydireo na esbeltez de ndiceh

46,3h

12

12hi y

e

y

e

y

e

y

ey

llll ====

Caso os comprimentos equivalentes sejam diferentes nas direes x e y (lex ley), os valores de resultam:

y

eyy

x

exx

h46,3

h46,3

l

l

=

=

A deformada pilar se dar no plano xz (flambagem na direo x) se x > y. Caso contrrio (y > x), a deformada pilar se dar no plano yz (flambagem na direo y).

b. Seo circular

direo qualquer em rigidez64

dI4=

x

y

distancia entre vigas no plano yz

z

hx

hy

ley2

ley1

lex

eixo de viga no plano yz

eixo de viga no plano xz eixo do

pilar (z)

dimenso do pilar na direo y

dimenso do pilar na direo x

distancia entre vigas no plano xz

deformada do pilar no plano xz

deformada do pilar no plano yz

2003 9-17 ufpr/tc405

pilar do ltransversa seo da rea4dA

2

c=

direo qualquer em girao de raio4d

4d

64d

AIi 2

4

c

=

==

direo qualquer em esbeltez de ndiced

0,4

4di

eee lll ===

9.7.1 Dispensa da Anlise dos Efeitos Locais de 2 ordem1 Os esforos locais de 2 ordem em elementos isolados podem ser desprezados quando o

ndice de esbeltez for menor que o valor limite 1 estabelecido a seguir. O valor de 1 depende de diversos fatores, mas os preponderantes so:

a excentricidade relativa de 1 ordem e1/h; a vinculao dos extremos da coluna isolada; e a forma do diagrama de momentos de 1 ordem.

O valor de 1 poder ser calculado pela expresso:

+

=

90

35

he5,1225 b

b

1

1 Equao 9.12

onde o valor de b deve ser obtido conforme estabelecido a seguir: a. pilares biapoiados sem cargas transversais

a.1 momentos de mesmo sinal (tracionam a mesma face) M1,A e M1,B so momentos de 1 ordem nos extremos do pilar, com M1,A M1,B(valores absolutos).

A,1

B,1b M

M40,060,0 +=

==

90. 9.7.2.1 Mtodo Geral

Consiste na anlise no-linear de 2 ordem efetuada com discretizao adequada da barra, considerao da relao momento-curvatura real em cada seo, e considerao da no-linearidade geomtrica de maneira no aproximada.

O mtodo geral obrigatrio para > 140. 9.7.2.2 Mtodo Aproximado 1 - Pilar Padro com Curvatura Aproximada

Pode ser empregado apenas no clculo de pilares com 90, seo constante e armadura simtrica e constante ao longo de seu eixo.

A no-linearidade geomtrica considerada de forma aproximada, supondo-se que a deformao da barra seja senoidal. A no-linearidade fsica considerada atravs de uma expresso aproximada da curvatura na seo crtica.

O momento total mximo no pilar deve ser calculado pela expresso:

min,d1A,d1

A,d1

2e

dA,d1btot,d

MM

Mr1

10NMM

+= l Equao 9.17

sendo M1d,min definido pela Equao 9.7. A curvatura na seo crtica pode ser avaliada pela expresso aproximada:

( )

cdc

d

fAN

h005,0

5,0h005,0

r1

=

+= Equao 9.18

onde: h a altura da seo do pilar na direo considerada; e a fora normal adimensional

O momento M1d,A e o coeficiente b tm as mesmas definies estabelecidas em 9.7.1, sendo M1d,A o valor de clculo de 1 ordem do momento M1,A. O momento M1d,min tem o significado e o valor estabelecidos em 9.5.3.

Exemplo 9.7: Determinar o valor de Md,tot para o pilar abaixo indicado. Esse pilar, de seo constante e armadura simtrica e constante ao longo de seu eixo, tem dimenso igual a 40 cm na direo do plano onde atuam os momentos fletores (direo x)

2003 9-24 ufpr/tc405

e dimenso 25 cm na outra direo (direo y). Na direo y existe uma viga intermediaria (meia altura) entre os pontos A e B. O valor de Md,tot dever ser calculado pelo Mtodo do Pilar Padro com Curvatura Aproximada, considerando concreto classe C20 (c = 1,4).

Soluo: A soluo do problema consiste na determinao do valor dado pela Equao 9.11 (pgina 9-14) e no valor 1 dado pela Equao 9.12 (pgina 9-17) para verificar a necessidade, ou no, de serem considerados os efeitos de 2 ordem. O valor de Md,tot fica definido pela Equao 9.17 (pgina 9-23) combinada com a Equao 9.18 (pgina 9-23). O valor de M1d,min definido pela Equao 9.7 (pgina 9-11).

a. Dados - uniformizao de unidades (kN e cm)

2c

ckcd cm/kN43,1MPa3,144,1

20ff ==== cm40hx = (direo x) cm25hy = (direo y) 2yxc cm10002540hhA === cm600m0,6ex ==l (direo x) cm300m0,3ey ==l (direo y) kN600Nd = kNcm0002kNm20M A,xd1 == (plano xz) kNcm5001kNm15M B,xd1 == (plano xz) ( )xdmin,xd1 h03,0015,0NM += ( )[ ] kNcm6201kNm2,1640,003,0015,0600M min,xd1 ==+= kNcm0kNm0M A,yd1 == (plano yz) kNcm0kNm0M B,yd1 == (plano yz) ( )ydmin,yd1 h03,0015,0NM += ( )[ ] kNcm3501kNm5,1325,003,0015,0600M min,yd1 ==+=

B

A

Md = 20 kNm

Nd = 600 kN

x

lex = 6,0 m

Md = 15 kNm

Nd = 600 kN

y

x

z

hx

hy

lex

deformada no plano xz (direo x)

2003 9-25 ufpr/tc405

42,043,11000

600fA

Ncdc

d === b. Determinao de x e y (ver Exemplo 9.5, pgina 9-15) 9,51

4060046,3

h46,3

x

exx === l (direo x)

5,4125

30046,3h

46,3y

eyy ===

l (direo y)

c. Determinao de 1 na direo x 0,1MM bx

kNm2,16

min,xd1

kNm20

A,xd1 43421321

cm33,3600

2000N

Mee

d

A,xd1A,x1x1 ====

40,0MM

40,060,0A,1

B,1b = (item 9.7.1.a.2, pgina 9-18)

40,0MM

40,060,0A,xd1

B,xd1bx =

40,040,030,02000150040,060,0 bxbx =

2003 9-26 ufpr/tc405

0,35

90

0,350,1

35

0,250,1

0,250,05,1225

y1y1 =

==

+= (direo y)

{ { ordem2 de efeitos considerar0,35

y1

5,41

y >

e. Determinao do raio de curvatura na direo y

( ) h005,0

5,0h005,0

r1 +=

( ) yyy h005,0

5,0h005,0

r1 +=

( )

1

x1

y

11

ycm

00051

r1

cm5000

125005,0

h005,0

cm5000

1cm60041

5,042,025005,0

r1

===

>=+=

f. Determinao do momento total mximo na direo y

A,d12e

dA,d1btot,d Mr1

10NMM += l

A,yd1y

2ey

dA,yd1bytot,yd Mr1

10NMM += l

kNcm3501kNm5,13MMM A,yd1kNm5,13

min,yd1

kNm0

A,yd1 ==< 43421321

( ) OKkNcm3501kNcm430200051

1030060035010,1M

2

tot,yd >=

+=

cm05,46004302

NM

ed

tot,ydtot,y === (direo y)

g. Condies de dimensionamento

h. Clculo mais conservador na direo x (NBR 6118/1980) Como pode ser observado, na direo x, no foram considerados os efeitos de

2 ordem. Se o limite para considerao de efeitos de 2 ordem for tomado igual a 40 (NBR 6118/1980), e tendo em vista que x resultou em 51,9, a seqncia de clculo, na direo x, resultaria:

40 cm

25 cm

y

x

3,33 cm

600 kN

y

x 4,05 cm 600 kN

25 cm

40 cm

2003 9-27 ufpr/tc405

h.1 Determinao do raio de curvatura na direo x

( ) xxx h005,0

5,0h005,0

r1 +=

( )

1

x1

x

11

xcm

00081

r1

cm00081

40005,0

h005,0

cm8000

1cm36071

5,042,040005,0

r1

===

>=+=

h.2 Determinao do momento total mximo na direo x

A,xd1x

2ex

dA,xd1bxtot,xd Mr1

10NMM += l

kNcm0002kNm20MMM A,xd1kNm2,16

min,xd1

kNm20

A,xd1 ==> 43421321

( ) OKkNcm0002kNcm500300081

10600600000240,0M

2

tot,xd >=

+=

cm83,56005003

NM

ed

tot,d1tot,x === (direo x)

9.7.2.3 Mtodo Aproximado 2 - Pilar Padro com Rigidez Aproximada Pode ser empregado apenas no clculo de pilares com 90, seo retangular constante,

armadura simtrica e constante ao longo de seu eixo. A no-linearidade geomtrica deve ser considerada de forma aproximada, supondo-se que a

deformao da barra seja senoidal. A no-linearidade fsica deve ser considerada atravs de uma expresso aproximada da rigidez.

O momento total mximo no pilar deve ser calculado a partir da majorao do momento de 1 ordem pela expresso:

=

min,d1

A,d1

2A,d1b

tot,d

M

M

1201

MM Equao 9.19

O valor da rigidez adimensional dado aproximadamente pela expresso:

+=

d

tot,d

NhM

5132 Equao 9.20

As variveis h, , M1d,A e b so as mesmas definidas em 9.7.2.2. Usualmente duas ou trs iteraes so suficientes quando se optar por um clculo iterativo.

Para o clculo interativo, pode-se adotar o seguinte procedimento: adotar um inicial dado por:

+

>

100

NhM

5132

2

d

A,d1

inicial

adotar, seqencialmente, valores de prximos da mdia obtida entre o arbitrado e o resultante da tentativa; e

2003 9-28 ufpr/tc405

nunca usar o resultante de uma tentativa para a prxima (a convergncia pode ser perdida).

Exemplo 9.8: Determinar o valor de Md,tot para o pilar abaixo indicado. Esse pilar, de seo constante e armadura simtrica e constante ao longo de seu eixo, tem dimenso igual a 40 cm na direo do plano onde atuam os momentos fletores (direo x) e dimenso 25 cm na outra direo (direo y). Na direo y existe uma viga intermediaria (meia altura) entre os pontos A e B. O valor de Md,tot dever ser calculado pelo Mtodo do Pilar Padro com Rigidez Aproximada, considerando concreto classe C20 (c = 1,4).

Soluo: A soluo do problema consiste na determinao do valor dado pela Equao 9.11 (pgina 9-14) e no valor 1 dado pela Equao 9.12 (pgina 9-17) para verificar a necessidade, ou no, de serem considerados os efeitos de 2 ordem. O valor de Md,tot fica definido pela Equao 9.19 (pgina 9-27) combinada com a Equao 9.20 (pgina 9-27). O valor de M1d,min definido pela Equao 9.7 (pgina 9-11).

a. Dados - uniformizao de unidades (kN e cm)

2c

ckcd cm/kN43,1MPa3,144,1

20ff ==== cm40hx = (direo x) cm25hy = (direo y) 2yxc cm10002540hhA === cm600m0,6ex ==l (direo x) cm300m0,3ey ==l (direo y) kN600Nd = kNcm0002kNm20M A,xd1 == (plano xz) kNcm5001kNm15M B,xd1 == (plano xz) ( )xdmin,xd1 h03,0015,0NM += ( )[ ] kNcm6201kNm2,1640,003,0015,0600M min,xd1 ==+= kNcm0kNm0M A,yd1 == (plano yz)

B

A

Md = 20 kNm

Nd = 600 kN

x

lex = 6,0 m

Md = 15 kNm

Nd = 600 kN

x

y

z

hx

hy

lex

deformada no plano xz (direo x)

2003 9-29 ufpr/tc405

kNcm0kNm0M B,yd1 == (plano yz) ( )ydmin,yd1 h03,0015,0NM += ( )[ ] kNcm3501kNm5,1325,003,0015,0600M min,yd1 ==+= 42,0

43,11000600

fAN

cdc

d === b. Determinao de x e y (ver Exemplo 9.5, pgina 9-15) 9,51

4060046,3

h46,3

x

exx === l (direo x)

5,4125

30046,3h

46,3y

eyy ===

l (direo y)

c. Determinao de 1 na direo x 0,1MM bx

kNm2,16

min,xd1

kNm20

A,xd1 43421321

cm33,3600

2000N

Mee

d

A,xd1A,x1x1 ====

40,0MM

40,060,0A,1

B,1b = (item 9-17.a.2, pgina 9-18)

40,0MM

40,060,0A,xd1

B,xd1bx =

40,040,030,02000150040,060,0 bxbx =

2003 9-30 ufpr/tc405

d. Determinao de 1 na direo y 0,1MM by

kNm5,13

min,yd1

kNm0

A,yd1 =< 43421321 (item 9.7.1.a, pgina 9-17)

cm0,06000

NM

eed

A,yd1A,y1y1 ====

0,35

90

0,350,1

35

0,250,1

0,250,05,1225

y1y1 =

==

+= (direo y)

{ { ordem2 de efeitos considerar0,35

y1

5,41

y >

e. Determinao do momento total na direo y kNcm3501kNm5,13MMM A,yd1

kNm5,13

min,yd1

kNm0

A,yd1 ==< 43421321

0,1by = 5,41y = cm25hy = 42,0=

=

min,d1

A,d1

2A,d1b

tot,d

M

M

1201

MM

kNcm1350

42,0120

5,411

35010,1M

M

M

1201

MM

y

2tot,yd

min,yd1

A,yd1

y

2y

A,yd1bytot,yd

=

=

kNcm1350028,61

3501M

y

tot,yd

=

+=

d

tot,d

NhM

5132

42,060025

M5132

NhM

5132 tot,yddy

tot,ydy

+=

+=

214,223

M44,13 tot,ydy +=

+

>

100

NhM

5132

2

d

A,d1

inicial

2003 9-31 ufpr/tc405

=

=

+

>

+

>233,7

1005,4142,0

488,1942,060025

13505132

100

NhM

5132

2inicial,y

2y

dy

A,d1y

inicial,y

488,19inicial,y = 1 tentativa: y = 19,488

y

tot,yd 028,61

3501M

=

kNcm1955

488,19028,61

3501M tot,yd =

=

214,223

M44,13 tot,ydy +=

198,22214,223

195544,13y =+=

843,202

198,22488,19med,y =+=

2 tentativa: y = 20,843 %9,2

955118999551kNcm1899

843,20028,61

3501Mtot,ydMtot,yd =

==

=

949,21214,223

899144,13y =+=

396,212

949,21843,20med,y =+=

3 tentativa: y = 21,396 %0,1

899118801899kNcm1880

396,21028,61

3501Mtot,ydMtot,yd =

==

=

862,21214,223

880144,13y =+=

629,212

862,21396,21med,y =+=

4 tentativa: y = 21,629 OK%4,0

880118721880kNcm1872

629,21028,61

3501Mtot,ydMtot,yd =

==

=

Se fosse necessria uma preciso de 0,00%, os resultados corresponderiam a Myd,tot = 1866 kNcm e y = 21,799.

OKkNcm3501kNcm1872M tot,yd >= cm12,3

6008721

NM

ed

tot,ydtot,y === (direo y)

2003 9-32 ufpr/tc405

f. Condies de dimensionamento

Observar que, para estas caractersticas de pilar, o mtodo do Pilar Padro com Curvatura Aproximada mostrou-se mais conservador que o mtodo do Pilar Padro com Rigidez Aproximada. O valor de Myd,tot resultou em 2 430 kNcm para a Curvatura Aproximada (Exemplo 9.7, pgina 9-23) e em 1 872 kNcm para a Rigidez Aproximada.

g. Clculo mais conservador na direo x (NBR 6118/1980) Como pode ser observado, na direo x, no foram considerados os efeitos de

2 ordem. Se o limite para considerao de efeitos de 2 ordem for tomado igual a 40 (NBR 6118/1980), e tendo em vista que x resultou em 51,9, a seqncia de clculo, na direo x, resultaria:

- Determinao do momento total na direo x kNcm0002kNm20MMM A,xd1

kNm2,16

min,xd1

kNm20

A,xd1 ==> 43421321

40,0bx = 9,51x = cm40hx = 42,0=

kNcm0002

42,0120

9,511

00024,0M

M

M

1201

MM

y

2tot,xd

min,xd1

A,xd1

x

2x

A,xd1bxtot,xd

=

=

kNcm0002428,91

800M

x

tot,xd

=

42,060040

M5132

NhM

5132 tot,xddx

tot,xdx

+=

+=

143,357

M44,13 tot,xdx +=

=

=

+

>

+

>313,11

1009,5142,0

040,1942,060040

00025132

100

NhM

5132

2inicial,x

2x

dx

A,d1x

inicial,x

040,19inicial,x =

40 cm

25 cm

y

x

3,33 cm

600 kN

y

x 3,12 cm 600 kN

25 cm

40 cm

2003 9-33 ufpr/tc405

1 tentativa: x = 19,040 kNcm5851

040,19428,91

800M tot,xd =

=

878,17143,357

585144,13x =+=

459,182

878,17040,19med,x =+=

2 tentativa: x = 18,459 %2,3

585163515851kNcm6351

459,18428,91

800Mtot,ydMtot,xd =

==

=

018,18143,357

635144,13x =+=

239,182

018,18459,18med,x =+=

3 tentativa: x = 18,239 %28,1

635165616351kNcm6561

239,18428,91

800Mtot,ydMtot,xd =

==

=

077,18143,357

656144,13x =+=

158,182

077,18239,18med,x =+=

4 tentativa: x = 18,158 OK%5,0

656166416561kNcm6641

158,18428,91

800Mtot,ydMtot,xd =

==

=

Se fosse necessria uma preciso de 0,00%, os resultados corresponderiam a Mxd,tot = 1668 kNcm e x = 18,112.

kNcm0002MkNcm0002kNcm6641M tot,xdtot,xd = 40. O mtodo do Pilar Padro com Rigidez Aproximada se mostrou mais coerente que o mtodo do Pilar Padro com Curvatura Aproximada.

9.7.2.4 Mtodo do Pilar Padro para Pilares de Seo Retangular Submetidos Flexo Composta Obliqua

Quando a esbeltez de um pilar de seo retangular submetido flexo composta oblqua for menor que 90 ( < 90) nas duas direes principais, pode ser aplicado o processo aproximado descrito no item 9.7.2.3 (Pilar Padro com Rigidez Aproximada) simultaneamente em cada uma das duas direes.

A amplificao dos momentos de 1 ordem em cada direo diferente pois depende de valores distintos de rigidez e esbeltez.

Uma vez obtida a distribuio de momentos totais, de 1 e 2 ordem, em cada direo, deve ser verificada, para cada seo ao longo do eixo, se a composio desses momentos solicitantes

2003 9-34 ufpr/tc405

fica dentro da envoltria de momentos resistentes para a armadura escolhida. Essa verificao pode ser realizada em apenas trs sees: nas extremidades A e B e num ponto intermedirio onde se admite atuar concomitantemente os momentos Md,tot nas duas direes (x e y)

Exemplo 9.9: Determinar os valores de Mxd,tot e Myd,tot para o pilar abaixo indicado. Esse pilar, de seo constante e armadura simtrica e constante ao longo de seu eixo, tem dimenso igual a 20 cm na direo x e dimenso 40 cm na direo y. Os valores de Md,tot, nas duas direes, devero ser calculados pelo Mtodo do Pilar Padro para Pilares de Seo Retangular Submetidos Flexo Composta Obliqua (Mtodo da Rigidez Aproximada), considerando concreto classe C30 (c = 1,4).

Soluo: A soluo do problema consiste na aplicao separada (direo x e direo y) do Mtodo do Pilar Padro com Rigidez Aproximada. Os valores sero dados pela Equao 9.11 (pgina 9-14) e os valores 1 dados pela Equao 9.12 (pgina 9-17), necessrios para verificar a necessidade, ou no, de serem considerados efeitos de 2 ordem. Os valores de Md,tot ficaro definidos pela Equao 9.19 (pgina 9-27) combinada com a Equao 9.20 (pgina 9-27). Os valores de M1d,min sero definidos pela Equao 9.7 (pgina 9-11).

a. Dados - uniformizao de unidades (kN e cm)

2c

ckcd cm/kN14,2MPa4,214,1

30ff ==== cm20hx = (direo x) cm40hy = (direo y) 2yxc cm8004020hhA === cm500m0,5ex ==l (direo x) cm500m0,5ey ==l (direo y) kN800Nd = kNcm5001kNm15M A,xd1 == (plano xz) kNcm0001kNm10M B,xd1 == (plano xz)

Mxd = 10 kNm

Mxd = 15 kNm

Myd = 15 kNm

z

y

x hx = 20 cm

hy = 40 cm

ly = 5,0 m

lx = 5,0 m

Nd = 800 kN

Nd = 800 kN

Myd = 25 kNm

2003 9-35 ufpr/tc405

( )xdmin,xd1 h03,0015,0NM += ( )[ ] kNcm6801kNm8,1620,003,0015,0800M min,xd1 ==+= kNcm50002kNm25M A,yd1 == (plano yz) kNcm5001kNm15M B,yd1 == (plano yz) ( )ydmin,yd1 h03,0015,0NM += ( )[ ] kNcm1602kNm6,2140,003,0015,0800M min,yd1 ==+= 467,0

14,2800800

fAN

cdc

d === b. Determinao de x e y (ver Exemplo 9.5, pgina 9-15) 5,86

2050046,3

h46,3

x

exx === l (direo x)

3,4340

50046,3h

46,3y

eyy ===

l (direo y)

c. Considerao dos momentos atuando no plano xz (direo x)

kNcm5001kNm15M A,xd1 == (plano xz) kNcm0001kNm10M B,xd1 == (plano xz) kNcm6801kNm8,16M min,xd1 == c.1. Determinao de 1 na direo x 0,1MM bx

kNm8,16

min,xd1

kNm15

A,xd1 =< 43421321 (item 9.7.1.a.2, pgina 9-18)

cm88,18005001

NM

eed

A,xd1A,x1x1 ====

B

A

Md = 15 kNm

Nd = 800 kN

x

lex = 5,0 m

Md = 10 kNm

Nd = 800 kN

y

x

z

hx

hy

lex

deformada no plano xz (direo x)

2003 9-36 ufpr/tc405

+

=

90

35

he5,1225 bx

bx

x

x1

x1

0,35

90

0,3500,135

18,2600,1

0,2088,15,1225

x1x1 =

==

+= (direo x)

{ { ordem2 de efeitos considerar 0,35x1

5,86x >

c.2. Determinao do momento total na direo x kNcm6801kNm8,16MMM A,xd1

kNm8,16

min,xd1

kNm15

A,xd1 ==< 43421321

0,1bx = 5,86x = cm20hx = 467,0=

kNcm6801

467,0120

5,861

68010,1M

M

M

1201

MM

y

2tot,xd

min,xd1

A,xd1

x

2x

A,xd1bxtot,xd

=

=

kNcm6801118,291

6801M

x

tot,xd

=

467,080020

M5132

NhM

5132 tot,xddx

tot,xdx

+=

+=

133,214

M944,14 tot,xdx +=

=

=

+

>

+

>942,34

1005,86467,0

790,22467,080020

68015132

100

NhM

5132

2inicial,x

2x

dx

A,d1x

inicial,x

942,34inicial,x = 1 tentativa: x = 34,942

kNcm08010

942,34118,291

6801M tot,xd =

=

018,62133,214

08010944,14x =+=

480,482

018,62942,34med,x =+=

2003 9-37 ufpr/tc405

2 tentativa: x = 48,480 %3,58

08010207408010kNcm2074

480,48118,291

8061Mtot,ydMtot,xd =

==

=

591,34133,214

2074944,14x =+=

536,412

591,34480,48med,x =+=

3 tentativa: x = 41,536 %63,33

207461952074kNcm6195

536,41118,291

8061Mtot,ydMtot,xd =

==

=

185,41133,214

6195944,14x =+=

361,412

185,41536,41med,x =+=

4 tentativa: x = 41,361 OK%0,1

619556766195kNcm6765

361,41118,291

8061Mtot,ydMtot,xd =

==

=

Se fosse necessria uma preciso de 0,00%, os resultados corresponderiam a Mxd,tot = 5664 kNcm e x = 41,396.

OKkNcm6801kNcm6765M tot,xd >= cm10,7

8006765

NM

ed

tot,xdtot,x === (direo x)

d. Considerao dos momentos atuando no plano yz (direo y)

kNcm50002kNm25M A,yd1 == (plano yz) kNcm5001kNm15M B,yd1 == (plano yz) kNcm1602kNm6,21M min,yd1 ==

A

B

Md = 15 kNm

Nd = 800 kN

y

ley = 5,0 m

Md = 25 kNm

Nd = 800 kN

z

x

y hy

hx

ley

deformada no plano yz (direo y)

2003 9-38 ufpr/tc405

d.1. Determinao de 1 na direo y 0,1MM by

kNm6,21

min,yd1

kNm25

A,yd1 2,70 do topo. Como as excentricidades maiores ocorrem simultaneamente na seo intermediaria, basta fazer o dimensionamento para esta seo.

9.8 Dimensionamento de Pilares - ELU 9.8.1 Hipteses Bsicas

Na anlise dos esforos resistentes de uma seo de pilar, devem ser consideradas as seguintes hipteses bsicas:

Nd = 800 kN Mxd

kNm Myd

kNm exd cm

eyd cm

Topo 16,80 21,60 2,10 2,70

Intermediaria 56,76 25,00 7,10 3,13 Base 16,80 25,00 2,10 3,13

800 kN

40 cm

y

x

exd

20 cm

eyd

2003 9-39 ufpr/tc405

as sees transversais se mantm planas aps deformao; a deformao das barras aderentes, em trao ou compresso, deve ser a mesma do

concreto em seu contorno; as tenses de trao no concreto, normais seo transversal, podem ser

desprezadas, obrigatoriamente no ELU; a distribuio de tenses no concreto se faz de acordo com o diagrama

parbola-retngulo, definido em 4.1 (???), com tenso de pico igual a 0,85 fcd, com fcd definido em 3.5.2.2 (???). Esse diagrama pode ser substitudo pelo retngulo de altura 0,8 x (onde x a profundidade da linha neutra), com a seguinte tenso: 0,85 fcd no caso da largura da seo,

medida paralelamente linha neutra, no diminuir a partir desta para a borda comprimida;

0,80 fcd no caso contrrio;

a tenso nas armaduras deve ser obtida a partir dos diagramas tenso-deformao, com valores de clculo, definidos em 3.5.2.3 (???) e 4.2.2 (???); e

o estado limite ltimo caracterizado quando a distribuio das deformaes na seo transversal pertencer a um dos domnios definidos na Figura 9.13.

Figura 9.13 Domnios de estado limite ltimo de uma seo transversal

0,85 fcd

x

linha neutra y = 0,8 x

0,80 fcd

x

linha neutra y = 0,8 x

c = 3,5 c = 2 d

alongamentos

s = yd 4a

5 4

2

1

3 d

s = 10

As

As

(4/7)h

(3/7)h

encurtamentos

a

b

2003 9-40 ufpr/tc405

Na Figura 9.13 as retas e domnios correspondem a: Ruptura convencional por deformao plstica excessiva:

reta a: trao uniforme, obtida por fora de trao centrada em sees simtricas; domnio 1: trao no uniforme, sem compresso, obtida por fora de trao excntrica; domnio 2: flexo simples ou composta sem ruptura compresso do concreto

(c < 3,5 e com mximo alongamento permitido para armadura), obtida por momento fletor isolado ou fora de compresso excntrica.

Ruptura convencional por deformao plstica excessiva: domnio 3: flexo simples (seo subarmada) ou composta com ruptura

compresso do concreto e com escoamento do ao (s yd), obtida por momento fletor isolado ou fora de compresso excntrica; domnio 4: flexo simples (seo superarmada) ou composta com ruptura

compresso do concreto e ao tracionado sem escoamento (s < yd), obtida por momento fletor isolado ou fora de compresso excntrica; domnio 4a: flexo composta com armaduras comprimidas, obtida por fora de compresso excntrica; domnio 5: compresso no uniforme, sem trao, obtida por fora de compresso excntrica; reta b: compresso uniforme, obtida por fora de compresso centrada em sees simtricas.

Deve ser observado que a reta a e o domnio 1 (trao uniforme e trao no uniforme) s aplicvel aos tirantes de concreto armado. No entanto, os bacos usados para a resoluo de pilares (Figura 9.16), normalmente englobam a soluo para tirantes.

9.8.2 Valores Limites para Armaduras Longitudinais de Pilares1 9.8.2.1 Valores Mnimos

Conforme especifica a NBR 6118, item 17.3.5.3.1, a armadura longitudinal mnima deve ser:

cyd

dmin,s A%4,0f

N15,0A = Equao 9.21

9.8.2.2 Valores Mximos Conforme especifica a NBR 6118, item 17.3.5.3.2, a maior armadura possvel em pilares

deve ser 8% da seo real, considerando-se inclusive a sobreposio de armadura existente em regies de emenda (Equao 9.22), respeitado o disposto em 9.10.1.2.

cmax,s A%0,8A = Equao 9.22 Devido ao processo construtivo, a grande maioria dos pilares executada por etapas (pisos)

de tal forma que de um piso para o outro sejam necessrias armaduras de emenda (armaduras de espera). Isto far com que na regio de emenda venha a ocorrer uma regio de sobreposio de armaduras, cuja taxa de armadura total As/Ac (espera mais armadura calculada) deva ficar limitada a 8,0%. Desta forma, quando do clculo da armadura longitudinal de pilares com emendas, no seu dimensionamento, e j prevendo as esperas, deve-se limitar a taxa de armadura calculada a 4,0% (4% para a armadura calculada mais 4% para as esperas).

9.8.3 Condies de Segurana Para uma condio geral de solicitao normal de uma seo transversal de concreto

armado, valem as notaes mostradas na Figura 9.14.

1 O texto relativo a esta seo , basicamente, uma cpia do item 17.3.4.3 da NBR 6118.

2003 9-41 ufpr/tc405

Figura 9.14 Seo de concreto armado submetida a flexo oblqua

Definindo as solicitaes de clculo como NSd, MSxd e MSyd de tal forma que:

0e e compresso de N para poisitivo yeixo do torno em momento

eNM

0e e compresso de N para positivo xeixo do torno em momento

eNM

ySdySdSyd

xSdxSdSxd

>=

>= Equao 9.23

a condio de segurana (estado limite ltimo) resulta:

RydSyd

RxdSxd

RdSd

RydRxdRdSydSxdSd

MM

MM

NN

M,M,NRM,M,NS Equao 9.24

com:

=

=

=

+==

+==

+=

n

1isisisi

AcyRdRyd

n

1isisisi

AcxRdRxd

n

1isisi

AcRd

yAdydxyeNM

xAdydxxeNM

AdydxN

cc

cc

cc

Equao 9.25

A resoluo da Equao 9.25 conduz a uma superfcie de interao, como mostrado na Figura 9.15.

x

ey

ex

y

si

NSd

s

c

c

y = 0,8 x

x

d

h

dx, dy

Asi, xsi, ysi

Acc MSyd = NSd x ey

MSxd = NSd x ex

2003 9-42 ufpr/tc405

Figura 9.15 Superfcie de interao

Os diagramas de interao mais usados para dimensionamento de pilares so os desenvolvidos pela Escola de Engenharia de So Carlos - USP, especificamente:

Dimensionamento de Peas Retangulares de Concreto Armado Solicitadas Flexo Reta, de W. S. Venturini, 1987; e

bacos para Flexo Obliqua, de L. M. Pinheiro, L. T. Baraldi e M. E. Porem, 1994. Dentre os programas computacionais desenvolvidos para o dimensionamento de pilares

podem ser destacados os desenvolvidos por M. F. F. de Oliveira e C. A. W. Zandona, CESEC UFPR, 2001, a saber1:

Normal 1.3 Flexo Composta Reta; e Obliqua 1.0 Flexo Composta Obliqua. Os bacos apresentados por Venturini, para flexo normal composta, tem o aspecto

mostrado na Figura 9.16, onde: a posio 1 representa uma seo dimensionada com segurana, porm com excesso

de material (concreto ou ao); a posio 2 corresponde condio limite de segurana, sem excesso de material; e a posio 3 corresponde a uma seo fora dos limites de segurana, devendo ser

alterada em suas dimenses ou na quantidade de armadura. Os bacos e programas computacionais referidos preferem no fazer distino entre valores

correspondentes a solicitaes e a valores de resistncia. Os valores apresentados nos bacos e programas usam, para fora normal e momentos fletores, as expresses de clculo Nd, Mxd e Myd, no lugar de NRd, MRxd e MRyd, respectivamente.

1 Acesso aos programas pelo www.cesec.ufpr.br/concretoarmado.

NRd

MRxd

MRyd

diagrama de interao NRd, MRxd

(flexo normal composta)

diagrama de interao NRd, MRxd, MRyd (flexo obliqua

composta)

2003 9-43 ufpr/tc405

Figura 9.16 baco para flexo normal composta

Exemplo 9.10: Determinar a armadura para a seo transversal de um pilar submetido ao carregamento abaixo indicado.

Considerar: estado limite ltimo combinao normal de carregamento; concreto: C25; e ao: CA-50.

Soluo: A soluo do problema consiste na aplicao direta do baco A-1 apresentado em Dimensionamento de Peas Retangulares de Concreto Armado Solicitadas Flexo Reta, W. S. Venturini, EESC/USP. A armadura mnima deve ser verificada pela Equao 9.21 (pgina 9-40) e a armadura mxima com a Equao 9.22 (pgina 9-40).

a. Dados - uniformizao de unidades (kN e cm)

2c

ckcd cm/kN79,1MPa9,174,1

25ff ====

2s

ykyd cm/kN5,43MPa43515,1

500ff ==== cm60h =

trao compresso

cdc

d

fAN=

he=

zona de segurana

cdc

yds

fAfA=

1

2

3

Nd

e

20 cm

3 cm

54 cm

3 cm

0,5 As

0,5 As

Nd = NSd = 1289 kN

e = 20 cm

2003 9-44 ufpr/tc405

cm20b = cm3'd = 05,0

603

h'd ==

2c cm12006020hbA === c

yd

dmin,s A%4,0f

N15,0A =

=

=

= 2min,s

2

2

min,s cm80,4A

cm80,42001100

4,0

cm44,45,43

128915,0

A

emendas de regio admitidoA%0,4A cmax,s = 2max,s cm0,482001100

0,4A == kN1289NN Sdd == cm20e = b. Coeficientes e 60,0

79,112001289

fAN

cdc

d ===

20,0602060,0

he

fhAeN

fhAM

cdc

d

cdc

d ===== c. Coeficiente e determinao de As Utilizando o baco A-1, obtm-se = 0,32

cdc

yds

fAfA=

)cm 16,0816mm 8(cm80,15A79,112005,43A32,0 22ss ==

=

compresso trao

0,60

he=

0,20

cdc

d

fAN=

= 0,30

= 0,40

= 0,32

d

Nd e

b

d

h

0,5 As

0,5 As

2003 9-45 ufpr/tc405

OKcm0,48

cm80,4cm08,16A

2

2

2s

=

d. Verificao da outra direo cm60b = cm20h = cm3'd = 15,0

203

h'd ==

2c cm12002060hbA === 2min,s cm80,4A = 2max,s cm0,48A = kN1289NN Sdd == cm1,2m021,0)2,03,0(015,0h03,0015,0ee min,d1 ==+=+==

60,0= 063,0

201,260,0

he ===

Utilizando o baco A-12, obtm-se = 0,00

Como o calculado pela segunda verificao (0,00) resultou inferior ao da primeira verificao (0,32), prevalece a soluo = 0,32 (8 16 mm).

4 16

4 16

Nd e

60 cm

3 cm

14 cm

3 cm

Nd = 1289 kN

e = 2,1 cm

compress trao

0,60

he=

0,063

cdc

d

fAN=

= 0,00 Nd e

b

d

d

h

2003 9-46 ufpr/tc405

Os bacos apresentados por Pinheiro, Baraldi e Porem, para flexo obliqua composta, tem o aspecto mostrado na Figura 9.17, onde:

a posio 1 representa uma seo dimensionada com segurana, porm com excesso de material (concreto ou ao);

a posio 2 corresponde condio limite de segurana, sem excesso de material; e a posio 3 corresponde a uma seo fora dos limites de segurana, devendo ser

alterada em suas dimenses ou na quantidade de armadura.

Figura 9.17 baco para flexo obliqua composta

Exemplo 9.11: Determinar a armadura para a seo transversal de um pilar submetido ao carregamento abaixo indicado.

Considerar: estado limite ltimo combinao normal de carregamento; concreto: C25; e ao: CA-50.

y

yy h

e=

x

xx h

e=

8,0fA

N

cdc

d ==

zona de segurana cdc

yds

fAfA=

1

2

3

2,1fA

N

cdc

d == 4,1fA

N

cdc

d ==

0,1fA

N

cdc

d ==

2003 9-47 ufpr/tc405

Soluo: A soluo do problema consiste na aplicao direta do baco A-51 apresentado em bacos para Flexo Obliqua, L. M. Pinheiro, L. T. Baraldi e M. E. Porem, EESC/USP. A armadura mnima deve ser verificada pela Equao 9.21 (pgina 9-40) e a armadura mxima com a Equao 9.22 (pgina 9-40).

a. Dados - uniformizao de unidades (kN e cm)

2c

ckcd cm/kN79,1MPa9,174,1

25ff ====

2s

ykyd cm/kN5,43MPa43515,1

500ff ==== cm20hx = cm40hy = )h20,0(cm4d x

'x =

)h10,0(cm4d y'y =

2yxc cm8004020hhA === c

yd

dmin,s A%4,0f

N15,0A =

=

=

= 2min,s

2

2

min,s cm20,3A

cm20,3800100

4,0

cm98,15,43

57315,0

A

emendas de regio admitidoA%0,4A cmax,s = 2max,s cm0,32800100

0,4A == kN573NN Sdd == cm5ex = cm15ey =

(dy)

y

x

Nd

ex

ey

4 cm 4 cm

12 cm 4 cm

32 cm

4 cm Nd = 573 kN (NSd) ex = 5 cm ey = 15 cm hx = 20 cm hy = 40 cm dx = 4 cm (0,20 hx) dy = 4 cm (0,10 hy)

(dx)

2003 9-48 ufpr/tc405

b. Coeficientes e x e y 40,0

79,1800573

fAN

cdc

d ===

10,020540,0

he

hfAeN

hfAM

x

x

xcdc

xd

xcdc

xdx =====

15,0401540,0

he

hfAeN

hfAM

y

y

ycdc

yd

ycdc

ydy ===

== c. Coeficiente e determinao de As Utilizando o baco A-51, obtm-se = 0,42

cdc

yds

fAfA=

)cm 18,84mm20 6(cm83,13A79,18005,43A42,0 22ss ==

=

OKcm0,32

cm20,3cm84,18A

2

2

2s

=

9.9 Anlise de Estruturas de Ns Mveis1 Na anlise estrutural de estruturas de ns mveis devem ser obrigatoriamente considerados

os efeitos da no-linearidade geomtrica e da no-linearidade fsica e, portanto, no dimensionamento, devem ser obrigatoriamente considerados os efeitos globais e locais de 2 ordem.

9.9.1 Anlise No-Linear com 2 Ordem Uma soluo aproximada para a determinao dos esforos globais de 2 ordem, consiste

na avaliao dos esforos finais (1 ordem + 2 ordem) a partir da majorao adicional dos

1 O texto relativo a esta seo , basicamente, uma cpia do item 15.7 da NBR 6118.

0,15

0,10

x

xx h

e=

4,0=

= 0,40

= 0,50

= 0,42

y

yy h

e= Mxd

Myd

Nd ey

ey

hx

dy

dx

hy

Mxd = Nd ex Myd = Nd ey

20 cm

40 cm

20 mm

2003 9-49 ufpr/tc405

esforos horizontais da combinao de carregamento considerada por 0,95 z. Esse processo s vlido para z 1,3. 9.9.2 Considerao Aproximada da No-Linearidade Fsica

Para a anlise dos esforos globais de 2 ordem, em estruturas reticuladas com no mnimo quatro andares, pode ser considerada a no-linearidade fsica de maneira aproximada, tomando-se como rigidez dos elementos estruturais os valores seguintes: ( )

( )( )

( ) ccisecs

'sccisec

s'sccisec

ccisec

IE8,0EI:pilares

AAIE5,0EI

AAIE4,0EI:vigas

IE3,0EI:lajes

=

==

=

=

Equao 9.26

onde: Ic o momento de inrcia da seo bruta de concreto, incluindo, quando for o caso,

as mesas colaborantes. Quando a estrutura de contraventamento for composta exclusivamente por vigas e pilares e

z for menor que 1,3, permite-se calcular a rigidez das vigas e pilares por: ( ) ccisec IE7,0EI = Equao 9.27 Os valores de rigidez adotados neste item so aproximados e no podem ser usados para

avaliar esforos locais de 2 ordem, mesmo com uma discretizao maior da modelagem.

9.9.3 Anlise dos Efeitos Locais de 2 Ordem A anlise global de 2 ordem fornece apenas os esforos nas extremidades das barras,

devendo ser realizada uma anlise dos efeitos locais de 2 ordem ao longo dos eixos das barras comprimidas, de acordo com o prescrito em 9.7.

Os elementos isolados, para fins de verificao local, devem ser formados pelas barras comprimidas retiradas da estrutura, com comprimento le, de acordo com o estabelecido em 9.6, porm aplicando-se s suas extremidades os esforos obtidos atravs da anlise global de 2 ordem.

9.10 Disposies Construtivas1 As exigncias que seguem referem-se a pilares cuja maior dimenso da seo transversal

no exceda cinco vezes a menor dimenso, e no so vlidas para as regies especiais2.

9.10.1 Armaduras Longitudinais 9.10.1.1 Dimetro Mnimo e Taxa de Armadura

O dimetro das barras longitudinais no deve ser inferior a 10 mm e nem superior 1/8 da menor dimenso transversal.

A taxa geomtrica de armadura deve respeitar os valores mximos e mnimos especificados em 9.8.2.

9.10.1.2 Distribuio transversal As armaduras longitudinais devem ser dispostas na seo transversal de forma a garantir a

adequada resistncia do elemento estrutural. Em sees poligonais, deve existir pelo menos uma barra em cada vrtice; em sees circulares, no mnimo seis barras distribudas ao longo do permetro.

O espaamento livre entre as armaduras, medido no plano da seo transversal, fora da regio de emendas, deve ser igual ou superior ao maior dos seguintes valores: 1 O texto relativo a esta seo , basicamente, uma cpia do item 18.4 da NBR 6118 2 Seo 21 da NBR 6118.

2003 9-50 ufpr/tc405

20 mm; dimetro da barra, do feixe ou da luva; e 1,2 vezes o dimetro mximo do agregado. Para feixes de barras, deve-se considerar o dimetro do feixe n = n. Esses valores aplicam-se tambm s regies de emendas por traspasse de barras. Quando estiver previsto no plano de concretagem o adensamento atravs de abertura

lateral na face da forma, o espaamento das armaduras deve ser suficiente para permitir a passagem do vibrador.

O espaamento mximo entre eixos das barras, ou de centros de feixes de barras, deve ser menor ou igual a duas vezes a menor dimenso no trecho considerado, sem exceder 400 mm.

9.10.2 Armaduras transversais A armadura transversal de pilares, constituda por estribos e, quando for o caso, por

grampos suplementares, deve ser colocada em toda a altura do pilar, sendo obrigatria sua colocao na regio de cruzamento com vigas e lajes.

O dimetro dos estribos em pilares no deve ser inferior a 5 mm nem a 1/4 do dimetro da barra isolada ou do dimetro equivalente do feixe que constitui a armadura longitudinal.

O espaamento longitudinal entre estribos, medido na direo do eixo do pilar, para garantir o posicionamento, impedir a flambagem das barras longitudinais e garantir a costura das emendas de barras longitudinais nos pilares usuais, deve ser igual ou inferior ao menor dos seguintes valores:

200 mm; menor dimenso da seo; e 24 para CA-25, 12 para CA 50. Pode ser adotado o valor t < /4 desde que as armaduras sejam constitudas do mesmo

tipo de ao e o espaamento respeite tambm a limitao

yk

2t

max f19000s

= (fyk em MPa)

Quando houver necessidade de armaduras transversais para cortantes e toro, esses valores devem ser comparados com os mnimos especificados no item (???) para vigas, adotando-se o menor dos limites especificados.

9.11 Simbologia Especfica d dimetro da seo transversal de concreto altura til da viga - distncia da fibra de concreto mais comprimida at o centro de

gravidade da armadura tracionada d' distncia da fibra de concreto mais comprimida at o centro de gravidade da

armadura comprimida dx dimenso infinitesimal de um elemento de concreto comprimido dy dimenso infinitesimal de um elemento de concreto comprimido e excentricidade e1 excentricidade de 1 ordem e1,min excentricidade de 1 ordem associada ao momento fletor M1d,min e1x excentricidade de 1 ordem, na direo x e1y excentricidade de 1 ordem, na direo y etot excentricidade referente ao Md,tot ex excentricidade na direo x ex,tot excentricidade referente ao Mxd,tot ey excentricidade na direo y ey,tot excentricidade referente ao Myd,tot fcd resistncia compresso do concreto de clculo

2003 9-51 ufpr/tc405

fck resistncia compresso do concreto caracterstica fyd resistncia ao escoamento do ao de clculo g valor da ao permanente h altura total da seo transversal altura da seo transversal de pilar na direo considerada hx altura da seo transversal de pilar na direo x hy altura da seo transversal de pilar na direo y i raio de girao da seo transversal do pilar ix raio de girao referido direo x iy raio de girao referido direo y l altura de um lance de pilar l distncia entre eixos de elementos estruturais aos quais um pilar esteja vinculado l0 distncia entre as faces internas dos elementos estruturais, supostos horizontais,

que vinculam o pilar le comprimento equivalente de pilar lex comprimento equivalente de pilar na direo x ley comprimento equivalente de pilar na direo y n nmero de nveis de barras horizontais (andares) nmero total de elementos verticais contnuos q valor da ao varivel r raio de curvatura rx raio de curvatura na direo x ry raio de curvatura na direo y x altura da linha neutra coordenada de um elemento infinitesimal de concreto comprimido xsi coordenada de uma barra genrica y altura da regio de tenses constantes no concreto comprimido coordenada de um elemento infinitesimal de concreto comprimido ysi coordenada de uma barra genrica Ac rea da seo transversal de concreto Acc rea de concreto comprimido A's rea da seo da armadura longitudinal de compresso As rea da seo transversal da armadura longitudinal de trao rea da seo transversal da armadura longitudinal de pilar Asi rea da seo transversal da armadura longitudinal de uma barra genrica Eci mdulo de deformao tangente inicial do concreto Ecs mdulo de deformao secante do concreto EI rigidez F fora Fd valor de clculo das aes Fgk valor caracterstico das aes permanentes diretas Fgk valor caracterstico das aes permanentes indiretas Fk valor caracterstico das aes Fqk valor caracterstico das aes variveis Fqk valor caracterstico das aes variveis indiretas H altura total da edificao Hd fora horizontal de clculo Hi altura de um lance de pilar

2003 9-52 ufpr/tc405

Htot altura total da estrutura, medida a partir do topo da fundao ou de um nvel pouco deslocvel do subsolo

I momento de inrcia Ic momento de inrcia da seo bruta de concreto Ix momento de inrcia referido direo x (Iyy) Iy momento de inrcia referido direo y (Ixx) M momento fletor M1 momento de 1 ordem M1,tot,d momento de tombamento - soma dos momentos de todas as foras horizontais da

combinao considerada, com seus valores de clculo, em relao base da estrutura

M1d momento de 1 ordem de clculo M1d,min momento total de 1 ordem de clculo mnimo que possibilita o atendimento da

verificao das imperfeies localizadas de um lance de pilar M1xd momento de 1 ordem de clculo na direo x M1xd,min momento total de 1 ordem de clculo mnimo na direo x M1yd momento de 1 ordem de clculo na direo y M1yd,min momento total de 1 ordem de clculo mnimo na direo y M2 momento de 2 ordem M2d momento de 2 ordem de clculo MA momento de 1 ordem no extremo do pilar MB momento de 1 ordem no extremo do pilar MC momento de 1 ordem no meio do pilar em balano Md momento fletor de clculo Md,tot momento total mximo no pilar MRd momento fletor resistente de clculo MRxd momento fletor resistente de clculo na direo x MRyd momento fletor resistente de clculo na direo y MSd momento fletor solicitante de clculo MSxd momento fletor solicitante de clculo na direo x MSyd momento fletor solicitante de clculo na direo y Mxd,tot momento total mximo no pilar na direo x Myd,tot momento total mximo no pilar na direo y N fora normal Nd fora normal de clculo Nk somatria de todas as cargas verticais atuantes na estrutura (a partir do nvel

considerado para o clculo de Htot), com seu valor caracterstico NRd fora normal resistente de clculo NSd fora normal solicitante de clculo R resistncia S solicitao parmetro de instabilidade b fator que define as condies de vnculo nos apoios bx fator que define as condies de vnculo nos apoios, na direo x by fator que define as condies de vnculo nos apoios, na direo y c deformao especfica do concreto s deformao especfica do ao trao

2003 9-53 ufpr/tc405

si deformao especfica do ao de uma barra genrica 's deformao especfica do ao compresso yd deformao especfica de escoamento do ao z coeficiente de majorao dos esforos globais finais de 1 ordem para obteno

dos finais de 2 ordem rigidez adimensional inicial valor inicial da rigidez adimensional x rigidez adimensional na direo x y rigidez adimensional na direo y ndice de esbeltez x ndice de esbeltez na direo x y ndice de esbeltez na direo y 1 valor limite para ndice de esbeltez momento fletor reduzido adimensional fora normal adimensional a desaprumo global de uma estrutura 1 desaprumo de um elemento vertical contnuo desaprumo de um lance de pilar de altura Hi c tenso compresso no concreto si tenso na armadura longitudinal de uma barra genrica taxa mecnica de armadura longitudinal deslocamento Mtot,d soma dos produtos de todas as foras verticais atuantes na estrutura, na

combinao considerada, com seus valores de clculo, pelos deslocamentos horizontais de seus respectivos pontos de aplicao, obtidos da anlise de 1 ordem

9.12 Exerccios Ex. 9.1: Dimensionar e detalhar as armaduras (longitudinal e transversal) para o pilar de

seo transversal como abaixo indicado, de altura igual a 7 m (comprimento de flambagem), sujeito a uma carga axial centrada de clculo (Nd) de 4000 kN.

Considerar: estado limite ltimo combinao normal de

carregamento; concreto: C25; ao: CA-50; cobrimento da armadura: 3 cm; dimetro da armadura transversal: 5 mm; e dimetro da armadura longitudinal: 16 mm. Ex. 9.2 Determinar o dimetro da armadura para a seo transversal do pilar abaixo

representado, de altura igual a 4 m (comprimento de flambagem), sujeito a uma carga axial centrada de clculo (Nd) de 1716 kN.

Considerar: estado limite ltimo combinao normal de carregamento; concreto: C20; ao: CA-50; cobrimento da armadura: 3 cm; dimetro da armadura transversal: 5 mm; e armadura longitudinal: 8 .

60 cm

30 cm

40 cm

2003 9-54 ufpr/tc405

Ex. 9.3: Determinar a mxima carga axial (Nd) que o pilar, de seo transversal como abaixo representado, pode suportar.

Considerar: estado limite ltimo combinao normal de carregamento; concreto: C20; ao: CA-50; cobrimento da armadura: 3 cm; dimetro da armadura transversal: 5 mm; armadura longitudinal: 8 12,5 mm; e altura do pilar (comprimento de flambagem): 3 m. Ex. 9.4: Determinar o dimetro da armadura para a seo transversal do pilar abaixo

representado. Considerar: estado limite ltimo combinao normal de carregamento; concreto: C20; ao: CA-50; cobrimento da armadura: 3 cm; dimetro da armadura transversal: 5 mm; armadura longitudinal: 8 ; altura do pilar (comprimento de flambagem): 4 m; carregamento axial (Nd): 2317 kN; e excentricidade: 5 cm. Ex. 9.5: Considerando que as duas sees transversais de pilar, como abaixo

representadas, devero suportar uma mesma fora normal centrada de mesma intensidade, pede-se:

a. o valor de clculo desta fora normal (Nd); e b. a definio de qual seo dever possuir a maior taxa de armadura longitudinal.

30 cm

40 cm

30 cm

60 cm

Nd

z

y

x hx

hy

lex = 5 m

ley = 2 m

40 cm

30 cm

y

x Nd

y

x Nd 30 cm

40 cm

2003 9-55 ufpr/tc405

Considerar: estado limite ltimo combinao normal de carregamento; concreto: C20; ao: CA-50; cobrimento da armadura: 2,5 cm; dimetro da armadura transversal: 5 mm; e dimetro da armadura longitudinal: 16 mm. Ex. 9.6: Determinar mxima carga axial (Nd) que o pilar, de seo transversal como abaixo

representado, pode suportar. Considerar: estado limite ltimo combinao normal de carregamento; concreto: C20; ao: CA-50; cobrimento da armadura: 3 cm; dimetro da armadura transversal: 5 mm; dimetro da armadura longitudinal: 16 mm; e armadura longitudinal (As): 20,11 cm2.

Ex. 9.7: Os pilares P01 e P02 foram executados com o mesmo tipo de ao e o mesmo concreto e tm as caractersticas geomtricas indicadas abaixo. Os dois pilares suportam foras normais centradas, sendo a carga do pilar P02 dez por cento maior que a carga do pilar P01. Nestas condies, determinar a armadura necessria para o pilar P02, considerando as distribuies de barras conforme indicadas na figura.

Considerar: estado limite ltimo combinao normal de carregamento; ao: CA-50; cobrimento da armadura: 2,5 cm; dimetro da armadura transversal: 0,53 mm; altura do pilar P01 (comprimento de flambagem): 3,0 m; altura do pilar P02 (comprimento de flambagem): 2,5 m; taxa de armadura longitudinal () do pilar P01: 1,75%; e carga (NSd) atuante no pilar P01: 1400 kN (centrada).

z

y

x hx

hy

lex = 5,0 m

ley = 2,5 m y

x Nd 25 cm

50 cm

2003 9-56 ufpr/tc405

Ex. 9.8: O pilar central P2 de um edifcio recebe, em cada nvel, as reaes de apoio das vigas V1, V2, V3 (pavimento tipo) e V4 (cobertura). Sabendo-se que, em cada lance, o peso prprio do pilar pode ser avaliado como sendo igual a 1% da fora normal acumulada atuante no seu topo, pede-se:

a. o valor da fora normal de clculo, suposta centrada, atuante no primeiro lance do pilar P2 (carga atuante no pilar situado abaixo da V1);

b. o dimensionamento da seo transversal do primeiro lance (definio de hx), prevendo-se uma taxa geomtrica de armadura em torno de 2%; e

c. o dimensionamento da armadura para a carga estabelecida no item a, com hx definido no item b.

Considerar: estado limite ltimo combinao normal de carregamento; concreto: C20; ao: CA-50; e reaes das vigas:

V4: 300 kN; V1 = V2 = V3: 400 kN.

30 cm

60 cm

X

Y

P01

armadura uniformemente distribuda nas quatro faces

25 cm

P02

75 cm X

Y armadura

uniformemente distribuda nas duas

faces maiores

z

x

1 lance

2 lance

4 lance

P1

V1 (tipo)

V2 (tipo)

V3 (tipo)

V4 (cob)

Elevao do Edifcio

P3 P2

3 lance

3 m

3 m

3 m

3 m

20 cm x

hx

V?

y

Seo Transversal Pilar P2

V1, V2, V3 e V4

2003 9-57 ufpr/tc405

Obs: admitir dx/hx = 0,10 e dy/hy = 0,20; edifcio constitudo por pavimento trreo, trs pavimentos tipo (onde atuam as vigas

V1, V2 e V3) e cobertura (onde atua a viga V4); largura do pilar hx como mltiplo de 5 cm; e armadura longitudinal do pilar colocada paralelamente ao lado hx (metade para cada

lado). Ex. 9.9: Determinar o dimetro mnimo () para as barras do pilar abaixo representado

(desenho fora de escala). O pilar dever ser constitudo por dez barras longitudinais dispostas, cinco a cinco, paralelamente ao lado maior.

Considerar: estado limite ltimo combinao normal de carregamento; concreto: C20 (c = 1,40); ao: CA-50 (s = 1,15); Nd: 2053 kN (compresso ao longo do eixo z); e d/h = 0,10 (nas duas direes).

y

x

60 cm

30 cm

Seo Transversal

I

Elevaes Diagrama Md

Momentos atuantes no plano yz

100 kNm

100 kNm

154 kNm

154 kNm

y

z

x

z

30 cm 60 cm

6,0 m

3,0 m

3,0 m

J

K

2003 9-58 ufpr/tc405

Obs: o eixo z da figura corresponde altura do pilar e o plano xy contm a seo

transversal do mesmo; efetuar o clculo da armadura (determinao obrigatria dos valores de As)

considerando, isoladamente, as duas direes; e nas consideraes envolvendo a posio J, os momentos fletores atuantes no pilar

(plano yz) no devero ser somados. Ex. 9.10: Determinar o menor valor possvel para hx (valor mltiplo de 5 cm) de tal forma que

o pilar abaixo representado possa resistir a uma fora normal suposta centrada de clculo (Nd) igual 5105 kN. Este pilar, componente de uma estrutura de 5 pavimentos, ser construdo por etapas (por pisos) o que vale dizer que na sua regio inferior as armaduras sero emendadas (emendas por traspasse).

Considerar: estado limite ltimo combinao normal de carregamento; concreto: C20; ao: CA-50; cobrimento da armadura: 3 cm; dimetro da armadura transversal: 5 mm; e dimetro da armadura longitudinal: 16 mm. Obs: obedecer rigorosamente s taxas limites de armadura estabelecidas pela NBR-6118.

Ex. 9.11: Determinar a armadura longitudinal do pilar indicado abaixo, sabendo que a fora normal de clculo (Nd), no lance em questo, de 2250 kN e que o momento fletor de clculo transferido pela viga V1 ao pilar (MSd - momento fletor atuante no plano y), tanto no piso superior quanto no piso inferior, de 125 kNm. A armadura do pilar dever ser distribuda uniformemente ao longo das faces paralelas ao eixo y (metade em cada face de 50 cm).

Considerar: estado limite ltimo combinao normal de carregamento; concreto: C20; ao: CA-50; cobrimento da armadura: 3 cm; dimetro da armadura transversal: 5 mm; e dimetro da armadura longitudinal: 16 mm.

z

y

x hx

hy

lex = 5,6 m

ley = 2,8 m y

x Nd 30 cm

hx

2003 9-59 ufpr/tc405

Obs: considerar o prtico como indeslocvel.

Ex. 9.12: As cargas Nd1, Nd2 e Nd3 atuam simultaneamente sobre o eixo x, tal como indicado na figura. Admitindo que a armadura longitudinal As seja distribuda igualmente em dois lados (paralelos ao eixo x), determine o mximo valor admissvel para o conjugado Nd2 e Nd3.

Considerar: estado limite ltimo combinao normal de carregamento; concreto: C20; ao: CA-50; cobrimento da armadura: 3 cm; dimetro da armadura transversal: 5 mm; armadura longitudinal: 10 16 mm; altura do pilar (comprimento de flambagem): 3,2 m; e carregamento axial (Nd1): 1290 kN; Obs: admitir dx/hx = 0,10 e dy/hy = 0,20.

B

Elevao

A

2,80 m

V1 V2

V1 V2

Pilar

30 cm

y

x

B

A

125 kNm

125 kNm

solicitaes

2250 kN

2250 kN

y

50 cm

30 cm

V1

V2

x

Planta

2003 9-60 ufpr/tc405

Ex. 9.13: Determinar qual das duas sees transversais de pilar, S1 ou S2, a mais adequada (mais econmica) para o carregamento abaixo indicado (desenho fora de escala). Determinar, tambm, qual a bitola (dimetro) necessria para compor as barras da seo S1 e da seo S2. As sees transversais S1 e S2 tem a mesma rea de concreto (1500 cm2) e a mesma quantidade de armadura (20 barras).

Considerar: estado limite ltimo combinao normal de carregamento; ao: CA-50 (s = 1,15); bitolas: 10 mm, 12,5 mm, 16 mm, 20 mm, 22 mm, 25 mm e 32 mm; concreto: C20 (c = 1,4); fora normal de clculo: Nd = 2145 kN; excentricidade (eixo y): ey = 7,5 cm; posio da armadura: d = 0,10 h; e pilar curto: < 35.

20 cm

Nd3 = - Nd2 Nd2

Nd1

x

60 cm

25 cm

0,5 As

0,5 As

20 cm

50 cm

30 cm

X

Y

S1

Nd

20 cm

S2

75 cm X

Y

Nd

2003 9-61 ufpr/tc405

Obs.: necessrio (obrigatrio) efetuar as verificaes em todas as direes,

independentemente da existncia, ou no, de excentricidades iniciais. Ex. 9.14: Usando bitolas () de 20 mm, determinar o nmero total de barras da armadura

longitudinal que, colocadas conforme disposio indicada na seo transversal, so necessrias para o pilar pr-moldado representado na figura abaixo (desenho fora de escala).

Considerar: estado limite ltimo combinao normal de carregamento; concreto: C30 (c = 1,40); ao: CA-50 (s = 1,15); altura do pilar: l3,2 m; fora normal (eixo z): NSd = Nd = 1028,57 kN; momento fletor (plano yz): MSd = MA,d = MB,d; e posio da armadura: d = 0,10 h. Obs.: o pilar tem seo transversal constante (40 cm x 40 cm) e armadura simtrica

constante (paralela ao eixo x) ao longo do eixo z; o pilar deve ser considerado livre no topo e engastado na base (le = 2l); a fora normal Nd atua com uma excentricidade de 30 cm somente na direo y; no plano yz, o diagrama de momentos o indicado na figura; no plano xz, no existem momentos provenientes do carregamento atuante; e no dimensionamento da armadura considerar apenas os esforos (solicitaes) no

plano yz.

Ex. 9.15: Um pilar curto (

2003 9-62 ufpr/tc405

cobrimento da armadura: 3 cm; dimetro da armadura transversal: 5 mm; e armadura longitudinal: 4 20 mm.

Ex. 9.16: Determinar o dimetro da armadura para a seo transversal do pilar abaixo representado.

Considerar: estado limite ltimo combinao normal de carregamento; concreto: C20; ao: CA-50; cobrimento da armadura: 3 cm; dimetro da armadura transversal: 6,3 mm; armadura longitudinal: 10 ; altura do pilar (comprimento de flambagem): 3 m; carregamento axial (Nd): 3004 kN; excentricidade na direo x: 3 cm; e excentricidade na direo y: 7 cm.

Ex. 9.17: O pilar abaixo esquematizado servir, temporariamente, como suporte (engaste) para um guindaste cujo peso corresponde 2284 kN (Ngk). Verificar se este pilar tem condies de suportar o iamento e transporte de uma carga de 100 kN (Nqk), distante 5,79 m (llana) do centro de girao do guindaste (centro de gravidade do pilar). O iamento da carga, aps a fixao do guindaste no topo do pilar, se dar na seguinte seqncia:

a. inicialmente a carga ser parcialmente levantada na posio A (ngulo de 45 com o eixo horizontal); e

b. posteriormente o guindaste far uma rotao de 135 at a carga atingir a posio C, quando ser totalmente iada.

A verificao das condies de segurana dever ser feita apenas no topo do pilar (engaste do guindaste), para as posies de carga e descarga em A, B e C, no sendo necessrio verificar situaes intermediarias.

Considerar: estado limite ltimo combinao especial (construo) de carregamento (g = 1,3;

q = 1,2; c = 1,2; s = 1,15); concreto: C20; ao: CA-50; b = 1,0; cobrimento da armadura: 3 cm; dimetro da armadura transversal: 8 mm;

70 cm (hy)

30 cm (hx)

Nd

y

x 30 cm

30 cm

ex

ey

2003 9-63 ufpr/tc405

armadura longitudinal: 10 32 mm; e altura do pilar (comprimento de flambagem): 6 m.

Ex. 9.18: Determinar os valores das excentricidades atuantes no topo (J), na base (K) e na seo intermediria do pilar abaixo representado (desenho fora de escala). Esse pilar tem seo transversal constante e armadura simtrica e constante ao longo de seu eixo. Os valores de Md,tot, necessrios para a determinao das excentricidades na seo intermediria devero ser calculados pelo Mtodo do Pilar Padro para Pilares de Seo Retangular Submetidos Flexo Composta Obliqua (Mtodo da Rigidez Aproximada), considerando concreto classe C20.

Nd = 1140 kN Mxd

kNm Myd

kNm ex cm

ey cm

Topo

Intermediaria

Base

Obs: as solicitaes (fora normal e momentos fletores) correspondem a valores de clculo;

e considerar efeitos de 2 ordem, independentemente de 1 (ignorar 1 e ir diretamente

ao Mtodo da Rigidez Aproximada).

C

B

A

y

x

Plano de giro da lana do guindaste Carga a 5,79 m do centro de girao

Seo transversal do pilar

90 cm

60 cm

MSd = (q Nqk) x llana NSd = (g Ngk) + (q Nqk)

Carregamento do pilar

2003 9-64 ufpr/tc405

Ex. 9.19: Abaixo representado um pilar de concreto armado (desenho fora de escala) com altura de um lance igual a 3,8 m e seo transversal quadrada com 40 cm x 40 cm. Considerando os esforos solicitantes de clculo indicados abaixo e sabendo que a seo transversal do pilar ter dez barras, com a distribuio indicada na figura, pede-se a rea de ao (As) necessria e o dimetro () das barras.

Considerar: estado limite ltimo combinao normal de carregamento; concreto: C20 (c = 1,4); ao: CA-50 (s = 1,15); taxa de armadura: As = 8% Ac; e d = 4 cm. Obs: as solicitaes (fora normal e momentos fletores) correspondem a valores de clculo; o pilar tem seo transversal constante e armadura simtrica e constante ao longo de

seu eixo (z); os momentos fletores 50,10 kNm e 183,04 kNm atuam no plano xz (direo x), os

momentos fletores 62,40 kNm e 91,52 kNm atuam no plano yz (direo y); hx corresponde dimenso do pilar na direo x, hy corresponde dimenso do pilar

na direo y; e o preenchimento do quadro abaixo obrigatrio.

1140 kN

57 kNm

114 kNm

y

x

K

J

114 kNm

57 kNm

Solicitaes (valores de clculo)

1140 kN

K

Elevao

J

9,25 m

V1 V2

V1 V2

Pilar

40 cm y

40 cm

40 cm

V1

V2

x

Planta

2003 9-65 ufpr/tc405

Nd = 2746 kN Mxd

kNm Myd

kNm ed cm

ed cm

Topo

Intermediaria

Base

y

x

2746 kN

50,10 kNm

183,04 kNm

K

J

62,40 kNm

91,52 kNm

Solicitaes (valores de clculo)

2746 kN

40 cm (hy)

40 cm (hx)

Seo Transversal