pilares - dimensionamento

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA UNESP - Campus de Bauru/SP

FACULDADE DE ENGENHARIA Departamento de Engenharia Civil

Disciplina: 2323 - ESTRUTURAS DE CONCRETO II

NOTAS DE AULA

PILARES DE CONCRETO ARMADO

Prof. Dr. PAULO SRGIO DOS SANTOS BASTOS (wwwp.feb.unesp.br/pbastos)

Bauru/SP

Agosto/2015

APRESENTAO

Esta apostila tem o objetivo de servir como notas de aula na disciplina

2323 Estruturas de Concreto II, do curso de Engenharia Civil da Faculdade de Engenharia, da Universidade Estadual Paulista UNESP, Campus de Bauru/SP.

O texto apresenta parte das prescries contidas na NBR 6118/2014 (Projeto de estruturas de concreto Procedimento verso corrigida) para o dimensionamento de pilares de Concreto Armado. O dimensionamento dos pilares feito com base nos mtodos do pilar padro com curvatura e rigidez

aproximadas. Outros mtodos constantes da norma no so apresentados, e so estudados os pilares de

seo retangular e somente os de ns fixos (contraventados), com ndice de esbeltez at 90.

A apresentao do dimensionamento dos pilares feita em funo da classificao que os

individualiza em pilares intermedirios, de extremidade e de canto. Vrios exemplos numricos esto

apresentados para cada um deles.

O item 2 (Cobrimento da Armadura) no especfico dos pilares, porm, foi inserido no texto

porque muito importante no projeto, e contm alteraes em relao verso anterior da norma (2003).

No item 4 (Conceitos Iniciais) so apresentadas algumas informaes bsicas iniciais e os conceitos

relativos ao chamado Pilar Padro, cujo modelo utilizado pela NBR 6118 para a determinao aproximada do momento fletor de segunda ordem. Por ltimo so apresentados exemplos numricos de

dimensionamento de pilares de um edifcio baixo e com planta de frma simples.

O autor agradece aos estudantes que colaboraram no estudo dos pilares, Antonio Carlos de Souza

Jr., Caio Gorla Nogueira, Joo Paulo Pila DAloia, Rodrigo Fernando Martins e ao tcnico derson dos Santos Martins, pela confeco de desenhos.

Crticas e sugestes so bem-vindas.

SUMRIO

1 INTRODUO ........................................................................................................................... 1 2 AGRESSIVIDADE DO AMBIENTE ......................................................................................... 1 3 QUALIDADE DO CONCRETO DE COBRIMENTO ............................................................... 1 4 ESPESSURA DO COBRIMENTO DA ARMADURA .............................................................. 2 5 CONCEITOS INICIAIS .............................................................................................................. 4

5.1 Solicitaes Normais ........................................................................................................... 4 5.2 Flambagem .......................................................................................................................... 4 5.3 No-linearidade Fsica e Geomtrica .................................................................................. 5 5.4 Equao da Curvatura de Elementos Fletidos ..................................................................... 6 5.5 Compresso Axial ............................................................................................................... 8 5.6 Pilar-Padro ......................................................................................................................... 9

6 NOES DE CONTRAVENTAMENTO DE ESTRUTURAS ............................................... 11 6.1 Estruturas de Ns Fixos e Mveis ..................................................................................... 12 6.2 Elementos Isolados ............................................................................................................ 14

7 EXCENTRICIDADES .............................................................................................................. 14 7.1 Excentricidade de 1a Ordem .............................................................................................. 14 7.2 Excentricidade Acidental................................................................................................... 14 7.3 Excentricidade de 2a Ordem .............................................................................................. 15 7.4 Excentricidade Devida Fluncia ..................................................................................... 16

8 NDICE DE ESBELTEZ ........................................................................................................... 17 9 DETERMINAO DOS EFEITOS LOCAIS DE 2a ORDEM ................................................ 19

9.1 Mtodo do Pilar-Padro com Curvatura Aproximada ....................................................... 19 9.2 Mtodo do Pilar-Padro com Rigidez Aproximada ....................................................... 21

10 SITUAES BSICAS DE PROJETO ............................................................................... 22 10.1 Pilar Intermedirio ......................................................................................................... 22 10.2 Pilar de Extremidade ..................................................................................................... 23 10.3 Pilar de Canto ................................................................................................................ 24

11 DETERMINAO DA SEO SOB O MXIMO MOMENTO FLETOR ...................... 25 12 SITUAES DE PROJETO E DE CLCULO ................................................................... 26

12.1 Pilar Intermedirio ......................................................................................................... 27 12.2 Pilar de Extremidade ..................................................................................................... 27 12.3 Pilar de Canto ................................................................................................................ 28

13 CLCULO DA ARMADURA LONGITUDINAL COM AUXLIO DE BACOS ........... 29 13.1 Flexo Composta Normal .............................................................................................. 29 13.2 Flexo Composta Oblqua ............................................................................................. 30

14 RELAO ENTRE A DIMENSO MNIMA E O COEFICIENTE DE PONDERAO31 15 CLCULO DOS PILARES INTERMEDIRIOS ............................................................... 32

15.1 Roteiro de Clculo ......................................................................................................... 32 15.2 Exemplos Numricos..................................................................................................... 33

15.2.1 Exemplo 1 .................................................................................................................. 33 15.2.2 Exemplo 2 .................................................................................................................. 37

16 CLCULO DOS PILARES DE EXTREMIDADE .............................................................. 40 16.1 Roteiro de Clculo ......................................................................................................... 40 16.2 Exemplos Numricos..................................................................................................... 41

16.2.1 Exemplo 1 .................................................................................................................. 41 16.2.2 Exemplo 2 .................................................................................................................. 46 16.2.3 Exemplo 3 .................................................................................................................. 51 16.2.4 Exemplo 4 .................................................................................................................. 54

17 CLCULO DOS PILARES DE CANTO ............................................................................. 58

17.1 Roteiro de Clculo ......................................................................................................... 58 17.2 Exemplos Numricos..................................................................................................... 58

17.2.1 Exemplo 1 .................................................................................................................. 59 17.2.2 Exemplo 2 .................................................................................................................. 62 17.2.3 Exemplo 3 .................................................................................................................. 66

18 DISPOSIES CONSTRUTIVAS ...................................................................................... 70 18.1 Armadura Longitudinal de Pilares ................................................................................. 71

18.1.1 Dimetro Mnimo ...................................................................................................... 71 18.1.2 Distribuio Transversal ............................................................................................ 71 18.1.3 Armadura Mnima e Mxima..................................................................................... 71 18.1.4 Detalhamento da Armadura ....................................................................................... 72 18.1.5 Proteo contra Flambagem ....................................................................................... 72

18.2 Armadura Transversal de Pilares ................................................................................... 73 18.3 Pilares-Parede ................................................................................................................ 74

19 ESTIMATIVA DA CARGA VERTICAL NO PILAR POR REA DE INFLUNCIA ..... 74 20 PR-DIMENSIONAMENTO DA SEO TRANSVERSAL DO PILAR ......................... 75 21 DIMENSIONAMENTO DE PILARES DE UMA EDIFICAO DE BAIXA ALTURA . 76

21.1 Pilar Intermedirio P8.................................................................................................... 78 21.2 Pilar de Extremidade P5 ................................................................................................ 83 21.3 Pilar de Extremidade P6 ................................................................................................ 89 21.4 Pilar de Canto P1 ........................................................................................................... 93

UNESP, Bauru/SP Pilares de Concreto Armado

1

1 INTRODUO

Pilares so Elementos lineares de eixo reto, usualmente dispostos na vertical, em que as foras normais de compresso so preponderantes. (NBR 6118/20141, item 14.4.1.2).

Pilares-parede so Elementos de superfcie plana ou casca cilndrica, usualmente dispostos na vertical e submetidos preponderantemente compresso. Podem ser compostos por uma ou mais

superfcies associadas. Para que se tenha um pilar-parede, em alguma dessas superfcies a menor

dimenso deve ser menor que 1/5 da maior, ambas consideradas na seo transversal do elemento

estrutural. (item 14.4.2.4). O dimensionamento dos pilares feito em funo dos esforos externos solicitantes de clculo, que

compreendem as foras normais (Nd), os momentos fletores (Mdx e Mdy) e as foras cortantes (Vdx e Vdy) no

caso de ao horizontal.

A NBR 6118, na verso de 2003, fez modificaes em algumas das metodologias de clculo das

estruturas de Concreto Armado, como tambm em alguns parmetros aplicados no dimensionamento e

verificao das estruturas. Especial ateno dada questo da durabilidade das peas de concreto.

Particularmente no caso dos pilares, a norma introduziu vrias modificaes, como no valor da

excentricidade acidental, um maior cobrimento de concreto, uma nova metodologia para o clculo da

esbeltez limite relativa considerao ou no dos momentos fletores de 2a ordem e, principalmente, com a

considerao de um momento fletor mnimo, que pode substituir o momento fletor devido excentricidade

acidental. A verso de 2014 mantm essas prescries, e introduziu que a verificao do momento fletor

mnimo pode ser feita comparando uma envoltria resistente, que englobe a envoltria mnima com 2

ordem.

No item 17.2.5 (Processo aproximado para o dimensionamento flexo composta oblqua) a NBR 6118 apresenta um mtodo simplificado para o projeto de pilares sob flexo composta normal e

oblqua, que no ser apresentado neste texto.

Os trs itens seguintes (2,3 e 4) foram inseridos no texto porque so muito importantes no projeto

de estruturas de concreto, especialmente o cobrimento da armadura pelo concreto.

2 AGRESSIVIDADE DO AMBIENTE

Segundo a NBR 6118 (item 6.4.1), A agressividade do meio ambiente est relacionada s aes fsicas e qumicas que atuam sobre as estruturas de concreto, independentemente das aes mecnicas,

das variaes volumtricas de origem trmica, da retrao hidrulica e outras previstas no

dimensionamento das estruturas. Nos projetos das estruturas correntes, a agressividade ambiental deve ser classificada de acordo

com o apresentado na Tabela 1 e pode ser avaliada, simplificadamente, segundo as condies de exposio

da estrutura ou de suas partes (item 6.4.2).

Conhecendo o ambiente em que a estrutura ser construda, o projetista estrutural pode considerar

uma condio de agressividade maior que aquelas mostradas na Tabela 1.

3 QUALIDADE DO CONCRETO DE COBRIMENTO

Conforme a NBR 6118 (item 7.4), a ... durabilidade das estruturas altamente dependente das caractersticas do concreto e da espessura e qualidade do concreto do cobrimento da armadura.

Ensaios comprobatrios de desempenho da durabilidade da estrutura frente ao tipo e classe de agressividade prevista em projeto devem estabelecer os parmetros mnimos a serem atendidos. Na falta

destes e devido existncia de uma forte correspondncia entre a relao gua/cimento e a resistncia

compresso do concreto e sua durabilidade, permite-se que sejam adotados os requisitos mnimos

expressos na Tabela 2. O concreto utilizado deve cumprir com os requisitos contidos na NBR 12655 e diversas outras

normas (item 7.4.3). Para parmetros relativos ao Concreto Protendido consultar a Tabela 7.1 da NBR

6118.

1 ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS. Projeto de estruturas de concreto Procedimento, NBR 6118. ABNT, 2014, 238p.


2

Tabela 1 Classes de agressividade ambiental CAA. (Tabela 6.1 da NBR 6118).

Classe de

agressividade

Ambiental

Agressividade

Classificao geral do

tipo de ambiente

para efeito de Projeto

Risco de deteriorao da

estrutura

I Fraca Rural

Insignificante Submersa

II Moderada Urbana1, 2 Pequeno

III Forte Marinha1

Grande Industrial1, 2

IV Muito forte Industrial1, 3

Elevado Respingos de mar

NOTAS: 1) Pode-se admitir um microclima com uma classe de agressividade mais branda (uma classe

acima) para ambientes internos secos (salas, dormitrios, banheiros, cozinhas e reas de servio de

apartamentos residenciais e conjuntos comerciais ou ambientes com concreto revestido com

argamassa e pintura).

2) Pode-se admitir uma classe de agressividade mais branda (uma classe acima) em obras em regies

de clima seco, com umidade mdia relativa do ar menor ou igual a 65 %, partes da estrutura

protegidas de chuva em ambientes predominantemente secos ou regies onde raramente chove.

3) Ambientes quimicamente agressivos, tanques industriais, galvanoplastia, branqueamento em

indstrias de celulose e papel, armazns de fertilizantes, indstrias qumicas.

Tabela 2 Correspondncia entre classe de agressividade ambiental e qualidade do Concreto Armado. (Tabela 7.1 da NBR 6118).

Concreto Classe de agressividade ambiental (CAA)

I II III IV

Relao

gua/cimento

em massa

0,65 0,60 0,55 0,45

Classe de concreto

(NBR 8953) C20 C25 C30 C40

4 ESPESSURA DO COBRIMENTO DA ARMADURA

Define-se cobrimento de armadura a espessura da camada de concreto responsvel pela proteo

da armadura num elemento. Essa camada inicia-se a partir da face mais externa da barra de ao e se

estende at a superfcie externa do elemento em contato com o meio ambiente. Em vigas e pilares comum

a espessura do cobrimento iniciar na face externa dos estribos da armadura transversal, como mostrado na

Figura 1.

nom

nom

Estribo

C

C

Figura 1 Espessura do cobrimento da armadura pelo concreto.


3

A NBR 6118 (item 7.4.7.1) define o cobrimento mnimo da armadura como o menor valor que deve ser respeitado ao longo de todo o elemento considerado.

Para garantir o cobrimento mnimo (cmn), o projeto e a execuo devem considerar o cobrimento

nominal (cnom), que o cobrimento mnimo acrescido da tolerncia de execuo (c). As dimenses das armaduras e os espaadores devem respeitar os cobrimentos nominais.

ccc mnnom Eq. 1

Nas obras correntes o valor de c deve ser maior ou igual a 10 mm. Esse valor pode ser reduzido para 5 mm quando houver um controle adequado de qualidade e limites rgidos de tolerncia da variabilidade das medidas durante a execuo das estruturas de concreto, informado nos desenhos de projeto.

A Tabela 3 (NBR 6118, item 7.4.7.2) apresenta valores de cobrimento nominal com tolerncia de

execuo (c) de 10 mm, em funo da classe de agressividade ambiental.

Tabela 3 Correspondncia entre classe de agressividade ambiental e cobrimento nominal

para c = 10 mm (Tabela 7.2 da NBR 6118).

Tipo de

estrutura

Componente ou

elemento

Classe de agressividade ambiental (CAA)

I II III IV2

Cobrimento nominal (mm)

Concreto

Armado4

Laje1 20 25 35 45

Viga/Pilar 25 30 40 50

Elementos estruturais

em contato com o

solo3 30 40 50

Notas: 1) Para a face superior de lajes e vigas que sero revestidas com argamassa de contrapiso, com revestimentos finais secos tipo carpete e madeira, com argamassa de revestimento e acabamento, como

pisos de elevado desempenho, pisos cermicos, pisos asflticos e outros tantos, as exigncias desta tabela

podem ser substitudas pelas de 7.4.7.5, respeitado um cobrimento nominal 15 mm. 2) Nas superfcies expostas a ambientes agressivos, como reservatrios, estaes de tratamento de gua e esgoto, condutos de esgoto, canaletas de efluentes e outras obras em ambientes qumica e intensamente

agressivos, devem ser atendidos os cobrimentos da classe de agressividade IV. 3) No trecho dos pilares em contato com o solo junto aos elementos de fundao, a armadura deve ter

cobrimento nominal 45 mm. 4) Para parmetros relativos ao Concreto Protendido consultar a Tabela 7.2 da NBR 6118. No caso de elementos estruturais pr-fabricados, os valores relativos ao cobrimento das armaduras (Tabela 7.2)

devem seguir o disposto na ABNT NBR 9062.2 (item 7.4.7.7).

Para concretos de classe de resistncia superior ao mnimo exigido, os cobrimentos definidos na

Tabela 3 podem ser reduzidos em at 5 mm.

A NBR 6118 (itens 7.4.7.5 e 7.4.7.6) ainda estabelece que o cobrimento nominal de uma

determinada barra deve sempre ser:

nc

c

nfeixenom

barranom

Eq. 2

A dimenso mxima caracterstica do agregado grado (dmx) utilizado no concreto no pode

superar em 20 % a espessura nominal do cobrimento, ou seja:

nommx c2,1d Eq. 3

2 ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS. Projeto e execuo de estruturas de concreto pr-moldado. NBR

9062, ABNT, 2001, 36p.


4

5 CONCEITOS INICIAIS

5.1 Solicitaes Normais

Os pilares podem estar submetidos a foras normais e momentos fletores, gerando os seguintes

casos de solicitao:

a) Compresso Simples

A compresso simples tambm chamada compresso centrada ou compresso uniforme. A

aplicao da fora normal Nd no centro geomtrico (CG) da seo transversal do pilar, cujas tenses na

seo transversal so uniformes (Figura 2).

CG

N N

N

d d

d

Figura 2 Solicitao de compresso simples ou uniforme.

b) Flexo Composta

Na flexo composta ocorre a atuao conjunta de fora normal e momento fletor sobre o pilar. H

dois casos:

- Flexo Composta Normal (ou Reta): existe a fora normal e um momento fletor em uma direo,

tal que Mdx = e1x . Nd (Figura 3a);

- Flexo Composta Oblqua: existe a fora normal e dois momentos fletores, relativos s duas

direes principais do pilar, tal que M1d,x = e1x . Nd e M1d,y = e1y . Nd (Figura 3b).

ex x

y y

N

N

d

d

e1x 1xe

e1y

a) normal; b) oblqua.

Figura 3 Tipos de flexo composta.

5.2 Flambagem

Flambagem pode ser definida como o deslocamento lateral na direo de maior esbeltez, com fora menor do que a de ruptura do material ou como a instabilidade de peas esbeltas comprimidas. A


5

runa por efeito de flambagem repentina e violenta, mesmo que no ocorram acrscimos bruscos nas

aes aplicadas.

Uma barra comprimida feita por alguns tipos de materiais pode resistir a cargas substancialmente

superiores carga crtica (Ncrt), o que significa que a flambagem no corresponde a um estado-limite

ltimo. No entanto, para uma barra comprimida de Concreto Armado, a flambagem caracteriza um estado-

limite ltimo.

5.3 No-linearidade Fsica e Geomtrica

No dimensionamento de alguns elementos estruturais, especialmente os pilares, importante

considerar duas linearidades que ocorrem, uma relativa ao material concreto e outra relativa geometria do

pilar.

a) no-linearidade fsica

Quando o material no obedece Lei de Hooke, como materiais com diagramas x mostrados na Figura 4b e Figura 4c. A Figura 4a e a Figura 4d mostram materiais onde h linearidade fsica.

O concreto simples apresenta comportamento elastoplstico em ensaios de compresso simples,

com um trecho inicial linear at aproximadamente 0,3fc .

= E(HOOKE)

a) elstico linear

CARGA

DESCARGA

RUPTURA

b) elstico no-linear

CARGA

RUPTURA

DESC

AR

GA

(CONCRETO)

c) elastoplstico

d) elastoplstico ideal

Figura 4 Diagramas x de alguns materiais.

b) no-linearidade geomtrica

Ocorre quando as deformaes provocam esforos adicionais que precisam ser considerados no

clculo, gerando os chamados esforos de segunda ordem, como o momento fletor M = F . a (Figura 5).


6

F

a) posio inicial

y

F

r

a

y

x

b) posio final

Figura 5 No-linearidade geomtrica originando esforos de segunda ordem.

5.4 Equao da Curvatura de Elementos Fletidos

O deslocamento local de 2a ordem aquele que ocorre em um lance3 do pilar, como os

deslocamentos horizontais da barra indicada na Figura 5b. A NBR 6118 comumente usa os termos efeitos locais de 2a ordem, onde, entre outros, o principal efeito o momento fletor de segunda ordem (M2), gerado a partir do deslocamento lateral da barra, igual a F . a no caso da barra da Figura 5b.

A determinao dos efeitos locais de 2a ordem em barras comprimidas pode ser feita por mtodos

aproximados, entre eles o do pilar-padro com curvatura aproximada, como preconizado na NBR 6118

(item 15.8.3.3.2). Com o intuito de subsidiar o entendimento do pilar-padro, apresentado adiante, e da

expresso para clculo do momento fletor de 2a ordem, apresenta-se agora a equao da curvatura de

elementos fletidos.4

Considerando a Lei de Hooke ( = E . ), a equao da curvatura de peas fletidas, como aquela mostrada na Figura 6, tem a seguinte deduo:

dx

dx

Edx

dx

Eq. 4

Aplicando yI

M na Eq. 4 fica:

yIE

M

dx

dx

dx

IE

M

y

dx

O comprimento dx pode ser escrito: dx = r d

dxIE

M

y

dx

r

dxd

Eq. 5

3 Lance a parte (comprimento) de um pilar relativa ao trecho entre dois pavimentos de uma edificao. 4 A equao da curvatura geralmente estudada na disciplina Resistncia dos Materiais.


7

Rearranjando os termos da Eq. 5 chega-se a equao da curvatura:

IE

M

r

1

dx

d

Eq. 6

x

v

y > 0

d

dx

dx + dx

1

2

r

Figura 6 Curvatura de uma pea fletida.

Do clculo diferencial tem-se a expresso exata da curvatura (linha elstica):

2/32

2

2

dx

dy1

dx

yd

r

1

Eq. 7

Para pequenos deslocamentos (pequena inclinao) tem-se

2

dx

dy


8

s

1

2 c

1/r

hd

Figura 7 Relao entre as deformaes nos materiais e a curvatura.

Para o Concreto Armado a Eq. 10 torna-se:

dr

1 cs Eq. 11

com: s = deformao na armadura tracionada;

c = deformao no concreto comprimido; d = altura til da pea.

A NBR 6118 aplica esta equao no clculo do momento fletor de 2a ordem (M2), com as

deformaes s e c substitudas por valores numricos (ver Eq. 19).

5.5 Compresso Axial

Este item apresenta a deduo da equao simplificada da curvatura de uma barra comprimida (Eq.

16), necessria ao dimensionamento de pilares.

Considere a barra comprimida como mostrada na Figura 8. Como definida na Eq. 8, a equao

simplificada da curvatura :

2

2

dx

yd

r

1

y

F

r

a

y

x

Figura 8 Curvatura de uma barra comprimida engastada na base e livre no topo.


9

O momento fletor externo solicitante Mext = F . y. Considerando a Eq. 9 (IE

M

dx

yd2

2

), com

material elstico linear, e fazendo o equilbrio entre o momento fletor externo e o momento fletor interno

(Mext = Mint) tem-se:

ykyIE

F

dx

yd 22

2

0ykdx

yd 22

2

com k2 = F/EI.

A soluo geral para a equao diferencial tem a forma:

y = C1 sen k x + C2 cos k x Eq. 12

As condies de contorno para definio das constantes C1 e C2 so:

a) para x = 0 y = 0 C1 . 0 + C2 . 1 = 0 C2 = 0

A Eq. 12 simplifica-se para:

y = C1 sen k x Eq. 13

b) para x = 0dx

dy

0kcosCkxkcosCkdx

dy1x1

x

Eq. 14

Para barra fletida, a constante C1 na Eq. 14 deve ser diferente de zero, o que leva a:

cos k = 0 k = /2 k = /2

A Eq. 13 toma a forma:

x2

senCy 1

Eq. 15

Para x = , o deslocamento y igual ao valor a (ver Figura 8). Portanto, aplicando a Eq. 15:

a2

senCy 1

, donde resulta que C1 = a.

Sendo 2 = e (e = comprimento de flambagem) e com a determinao da constante C1 , define-se a equao simplificada para a curvatura da barra comprimida:

e

xsenay

Eq. 16

5.6 Pilar-Padro

O pilar-padro uma simplificao do chamado Mtodo Geral5, o qual Consiste na anlise no linear de 2a ordem efetuada com discretizao adequada da barra, considerao da relao momento-

curvatura real em cada seo e considerao da no linearidade geomtrica de maneira no aproximada.

O mtodo geral obrigatrio para > 140. (NBR 6118, 15.8.3.2).

5 O Mtodo Geral no geralmente estudado em profundidade em curso de graduao.


10

O pilar-padro uma barra engastada na base e livre no topo, com uma curvatura conhecida

(Figura 9). importante salientar que o mtodo do pilar-padro aplicvel somente a pilares de seo

transversal constante e armadura constante em todo o comprimento do pilar.

A verificao da segurana feita arbitrando-se deformaes c e s tais que no ocorra o estado limite ltimo de ruptura ou alongamento plstico excessivo na seo mais solicitada da pea. (FUSCO, 1981).

x

y

Nd

e2

Figura 9 Pilar-padro.

Como simplificao a linha elstica pode ser tomada pela funo senoidal definida na Eq. 16, onde

a considerada igual a e2 (deformao de 2a ordem), conforme mostrado na Figura 9:

e2

xseney

A primeira e a segunda derivada da equao fornecem:

xcosedx

dy

ee2

yx

senedx

yd2

e

2

e2

2

e2

2

Considerando a Eq. 8 (2

2

dx

yd

r

1 ), da segunda derivada surge o valor para y em funo da curvatura

1/r:

r

1y

dx

yd2

e

2

2

2

r

1y

2

2e

Tomando y como o mximo deslocamento e2 tem-se:

r

1e

2

2e

2

Com 2 10 e sendo 1/r relativo seo crtica (base), o deslocamento no topo da barra :

base

2e

2r

1

10e

Eq. 17


11

O deslocamento mximo e2 chamado excentricidade de 2a ordem e ser considerado no dimensionamento dos pilares, como se ver adiante. Devido excentricidade local e2 surge o momento

fletor de segunda ordem:

M2d = Nd . e2 =base

2e

dr

1

10N

Eq. 18

Tomando a Eq. 11, o ao CA-50, s = 1,15 e c = 3,5 = 0,0035, pode-se determinar o valor da curvatura 1/r na base (seo crtica) do pilar-padro:

dr

1 cs =

d

00557,0

d

0035,000207,0

d

0035,021000

15,1/50

d

0035,0E

f

s

yd

A NBR 6118 (item 15.8.3.3.2) toma uma expresso aproximada para a curvatura na base, como:

h005,0

5,0h

005,0

r

1

Eq. 19

com (ni) sendo um valor adimensional relativo fora normal (Nd):

cdc

d

fA

N Eq. 20

onde: h = altura da seo na direo considerada;

Ac = rea da seo transversal;

fcd = resistncia de clculo do concreto compresso (fck/c).

Aplicando a Eq. 19 na Eq. 18 tem-se o mximo momento fletor de segunda ordem local, a ser

aplicado no dimensionamento de pilares pelo mtodo do pilar-padro com curvatura aproximada:

5,0h

005,0

10NM

2e

dd2

Eq. 21

6 NOES DE CONTRAVENTAMENTO DE ESTRUTURAS

Os edifcios devem ser projetados de modo a apresentarem a necessria estabilidade s aes

verticais e horizontais, ou seja, devem apresentar a chamada estabilidade global. Os pilares so os elementos destinados estabilidade vertical, porm, necessrio projetar outros elementos mais rgidos

que, alm de tambm transmitirem as aes verticais, devero garantir a estabilidade horizontal do edifcio

ao do vento e de sismos (quando existirem). Ao mesmo tempo, so esses elementos mais rgidos que

garantiro a indeslocabilidade dos ns dos pilares menos rgidos.

Com essas premissas classificam-se os elementos verticais dos edifcios em elementos de

contraventamento e elementos (pilares) contraventados.

Define-se o sistema de contraventamento como o conjunto de elementos que proporcionaro a estabilidade horizontal do edifcio e a indeslocabilidade ou quase-indeslocabilidade dos pilares

contraventados, que so aqueles que no fazem parte do sistema de contraventamento. A NBR 6118 (item 15.4.3) diz que, Por convenincia de anlise, possvel identificar, dentro da estrutura, subestruturas que, devido sua grande rigidez a aes horizontais, resistem maior parte dos esforos decorrentes

dessas aes. Essas subestruturas so chamadas subestruturas de contraventamento. Os elementos que

no participam da subestrutura de contraventamento so chamados elementos contraventados. Os elementos de contraventamento so constitudos por pilares de grandes dimenses (pilares-

parede ou simplesmente paredes estruturais), por trelias ou prticos de grande rigidez, ncleos de rigidez,

etc., como mostrados na Figura 10.


12

As lajes dos diversos pavimentos do edifcio tambm podem participar da estabilidade horizontal,

ao atuarem como elementos de rigidez infinita no prprio plano (o que se chama diafragma rgido),

fazendo a ligao entre elementos de contraventamento formados por prticos, por exemplo.

Segundo SSSEKIND (1984, p. 175), Toda estrutura, independentemente do nmero de andares e das dimenses em planta, deve ter seu sistema de contraventamento estudado e adequadamente

dimensionado.

Pilares ou Elementos de Contraventamentos

Pilares Contraventados

Figura 10 Pilares contraventados e elementos de contraventamento (FUSCO, 1981).

6.1 Estruturas de Ns Fixos e Mveis

No item 15.4.2 a NBR 6118 define o que so, para efeito de clculo, estruturas de ns fixos e de

ns mveis. A Figura 12 e a Figura 13 ilustram os tipos.

a) Estruturas de ns fixos

So aquelas quando os deslocamentos horizontais dos ns so pequenos e, por decorrncia, os efeitos globais de 2a ordem so desprezveis (inferiores a 10 % dos respectivos esforos de 1a ordem),

Nessas estruturas, basta considerar os efeitos locais e localizados de 2a ordem. No item 15.4.1 a NBR 6118 apresenta definies de efeitos globais, locais e localizados de 2a

ordem: Sob a ao das cargas verticais e horizontais, os ns da estrutura deslocam-se horizontalmente. Os esforos de 2a ordem decorrentes desses deslocamentos so chamados efeitos globais de 2a ordem. Nas

barras da estrutura, como um lance de pilar, os respectivos eixos no se mantm retilneos, surgindo a

efeitos locais de 2a ordem que, em princpio, afetam principalmente os esforos solicitantes ao longo delas.

Em pilares-parede (simples ou compostos) pode-se ter uma regio que apresenta no retilinidade

maior do que a do eixo do pilar como um todo. Nessas regies surgem efeitos de 2a ordem maiores,

chamados de efeitos de 2a ordem localizados (ver Figura 15.3). O efeito de 2a ordem localizado, alm de

aumentar nessa regio a flexo longitudinal, aumenta tambm a flexo transversal, havendo a necessidade

de aumentar a armadura transversal nessas regies. (ver Figura 11).

Figura 11 Efeitos de 2a ordem localizados (NBR 6118).


13

b) Estruturas de ns mveis

So aquelas onde os deslocamentos horizontais no so pequenos e, em decorrncia, os efeitos globais de 2a ordem so importantes (superiores a 10 % dos respectivos esforos de 1a ordem). Nessas

estruturas devem ser considerados tanto os esforos de 2a ordem globais como os locais e localizados. As subestruturas de contraventamento podem ser de ns fixos ou de ns mveis, de acordo com as

definies acima (Figura 12).

Para verificar se a estrutura est sujeita ou no a esforos globais de 2a ordem, ou seja, se a

estrutura pode ser considerada como de ns fixos, lana-se mo do clculo do parmetro de instabilidade

(NBR 6118, item 15.5.2) ou do coeficiente z (item 15.5.3). Esses coeficientes sero estudados na disciplina Estruturas de Concreto IV.

Para mais informaes sobre a estabilidade global dos edifcios devem ser consultados FUSCO

(2000) e SSSEKIND (1984).

Pilares

Contraventados Elementos de Contraventamento

ns mveis ns fixos

Figura 12 Pilares contraventados e elementos de contraventamento (FUSCO, 1981).

a) Estrutura deslocvel b) Estrutura indeslocvel

Figura 13 Estruturas de ns fixos e mveis (FUSCO, 1981).


14

6.2 Elementos Isolados

A NBR 6118 (item 15.4.4) define que so considerados elementos isolados os seguintes:

a) elementos estruturais isostticos;

b) elementos contraventados;

c) elementos que fazem parte de estruturas de contraventamento de ns fixos;

d) elementos das subestruturas de contraventamento de ns mveis, desde que, aos esforos nas

extremidades, obtidos em uma anlise de 1a ordem, sejam acrescentados os determinados por anlise

global de 2a ordem. Nesta apostila so apresentados somente os chamados elementos (pilares) contraventados.

7 EXCENTRICIDADES

Neste item so apresentadas outras excentricidades alm da excentricidade de 2a ordem, que

podem ocorrer no dimensionamento dos pilares: excentricidade de 1a ordem, excentricidade acidental e

excentricidade devida fluncia.

7.1 Excentricidade de 1a Ordem

A excentricidade de 1a ordem (e1) devida possibilidade de ocorrncia de momentos fletores

externos solicitantes, que podem ocorrer ao longo do comprimento do pilar, ou devido ao ponto terico de

aplicao da fora normal no estar localizado no centro de gravidade da seo transversal, ou seja,

existncia da excentricidade inicial a, como indicada na Figura 14.

Considerando a fora normal N e o momento fletor M (independente de N), a Figura 14 mostra os

casos possveis de excentricidade de 1a ordem.

N suposta

centrada e M = 0

N suposta aplicada

distncia a do CG,M = 0

N suposta

centrada

N suposta aplicada

distncia a do CG

1e = aM

e = 1e = a +1

M

1e = 0

aa

MM

y y y y

x x x x

NN

N

N

N

N

Figura 14 Casos de excentricidade de 1a ordem.

7.2 Excentricidade Acidental

No caso do dimensionamento ou verificao de um lance de pilar, dever ser considerado o efeito do desaprumo ou da falta de retilinidade do eixo do pilar [...]. Admite-se que, nos casos usuais de

estruturas reticuladas, a considerao apenas da falta de retilinidade ao longo do lance de pilar seja

suficiente. (NBR 6118, 11.3.3.4.2). A imperfeio geomtrica pode ser avaliada pelo ngulo 1 :

H100

11 Eq. 22

com: H = altura do lance, em metro, conforme mostrado na Figura 15;

1mn = 1/300 para estruturas reticuladas e imperfeies locais;

mx1 = 1/200


15

H

pilar de

contraventamentopilar

contraventado

Hi/2

ea

ea

1

1 1 1i

elemento de

travamento

a) Elementos de travamento b) Falta de retilinidade c) Desaprumo do pilar

(tracionado ou comprimido) no pilar

Figura 15 Imperfeies geomtricas locais.

A excentricidade acidental para um lance do pilar resulta do ngulo 1 :

2

He 1a Eq. 23

7.3 Excentricidade de 2a Ordem

A anlise global de 2a ordem fornece apenas os esforos nas extremidades das barras, devendo ser realizada uma anlise dos efeitos locais de 2a ordem ao longo dos eixos das barras comprimidas, de

acordo com o prescrito em 15.8. Os elementos isolados, para fins de verificao local, devem ser

formados pelas barras comprimidas retiradas da estrutura, com comprimento e , de acordo com o estabelecido em 15.6, porm aplicando-se s suas extremidades os esforos obtidos atravs da anlise

global de 2a ordem. (NBR 6118, item 15.7.4). Conforme a NBR 6118 (15.8.2), Os esforos locais de 2a ordem em elementos isolados podem ser

desprezados quando o ndice de esbeltez for menor que o valor-limite 1 [...]. O valor de 1 depende de diversos fatores, mas os preponderantes so:

- a excentricidade relativa de 1a ordem e1 /h na extremidade do pilar onde ocorre o momento de 1a ordem

de maior valor absoluto;

- a vinculao dos extremos da coluna isolada;

- a forma do diagrama de momentos de 1a ordem.

O valor-limite 1 :

b

1

1h

e5,1225

Eq. 24

com: 35 1 90, onde: e1 = excentricidade de 1a ordem (no inclui a excentricidade acidental ea);

h/e1 = excentricidade relativa de 1a ordem.

No item 15.8.1 da NBR 6118 encontra-se que o pilar deve ser do tipo isolado, e de seo e

armadura constantes ao longo do eixo longitudinal, submetidos flexo-compresso. Os pilares devem ter ndice de esbeltez menor ou igual a 200 ( 200). Apenas no caso de elementos pouco comprimidos com fora normal menor que 0,10fcd Ac , o ndice de esbeltez pode ser maior que 200. Para pilares com ndice


16

de esbeltez superior a 140, na anlise dos efeitos locais de 2a ordem, devem-se multiplicar os esforos

solicitantes finais de clculo por um coeficiente adicional n1 = 1 + [0,01( 140)/1,4].

O valor de b deve ser obtido conforme estabelecido a seguir (NBR 6118, 15.8.2):

a) para pilares biapoiados sem cargas transversais:

4,0M

M4,06,0

A

Bb Eq. 25

sendo: 0,4 b 1,0

MA e MB so os momentos de 1a ordem nos extremos do pilar, obtidos na anlise de 1a ordem no

caso de estruturas de ns fixos e os momentos totais (1a ordem + 2a ordem global) no caso de estruturas

de ns mveis. Deve ser adotado para MA o maior valor absoluto ao longo do pilar biapoiado e para MB o

sinal positivo, se tracionar a mesma face que MA , e negativo, em caso contrrio.

b) para pilares biapoiados com cargas transversais significativas ao longo da altura:

1b

c) para pilares em balano:

85,0M

M2,08,0

A

Cb Eq. 26

sendo: 0,85 b 1,0, MA = momento de 1a ordem no engaste;

MC = momento de 1a ordem no meio do pilar em balano.

d) para pilares biapoiados ou em balano com momentos menores que o momento mnimo estabelecido em

11.3.3.4.3:

1b

O fator b consta do ACI 318 (1995) com a notao Cm (item 10.12.3.1). Porm, ao contrrio da NBR 6118, que tambm considera a excentricidade relativa e1/h, tanto o ACI como o Eurocode 2 (1992) e

o MC-90 (1990) do CEB, calculam a esbeltez limite em funo da razo entre os momentos fletores ou

entre as excentricidades nas extremidades do pilar.

7.4 Excentricidade Devida Fluncia

A considerao da fluncia deve obrigatoriamente ser realizada em pilares com ndice de

esbeltez > 90 e pode ser efetuada de maneira aproximada, considerando a excentricidade adicional ecc dada a seguir: (NBR 6118, 15.8.4)

1718,2eN

Me sge

sg

NN

N

asg

sgcc Eq. 27

2e

ccie

IE10N

Eq. 28

onde: ea = excentricidade devida a imperfeies locais;


17

Msg e Nsg = esforos solicitantes devidos combinao quase permanente;

= coeficiente de fluncia; Eci = mdulo de elasticidade tangente;

Ic = momento de inrcia;

e = comprimento de flambagem.

8 NDICE DE ESBELTEZ

O ndice de esbeltez a razo entre o comprimento de flambagem e o raio de girao, nas direes

a serem consideradas (NBR 6118, 15.8.2):

i

e Eq. 29

com o raio de girao sendo: A

Ii

Para seo retangular o ndice de esbeltez :

h

3,46 e Eq. 30

onde: e = comprimento de flambagem; i = raio de girao da seo geomtrica da pea (seo transversal de concreto, no se

considerando a presena de armadura);

I = momento de inrcia;

A = rea da seo;

h = dimenso do pilar na direo considerada.

O comprimento de flambagem de uma barra isolada depende das vinculaes na base e no topo,

conforme os esquemas mostrados na Figura 16.

EngasteA. Simples

A. Simples

A. Simples

Engaste

Engaste

E. Elstico

E. Elstico

E. MvelLivre

F FF

F

e = 0,7 Le = 0,5 L

e 0,5 L < < L e = 2 L = Le

F

B

A A

B

A

B

A

B

B

A

L

Figura 16 Comprimento de flambagem.

Em edifcios, a linha deformada dos pilares contraventados apresenta-se como mostrada na Figura

17a. Uma simplificao pode ser feita como indicada na Figura 17b.


18

1

2

FUNDAO

1 TETO

2 TETO

n TETO

n2 TETO

1 TETO

FUNDAO

n

n TETO

() en

2e

23 1e

2

1

a) situao real; b) situao simplificada.

Figura 17 Situao real e simplificada de pilares contraventados de edifcios (SSSEKIND, 1984).

Nas estruturas de ns fixos, o clculo pode ser realizado considerando cada elemento comprimido isoladamente, como barra vinculada nas extremidades aos demais elementos estruturais que

ali concorrem, onde se aplicam os esforos obtidos pela anlise da estrutura efetuada segundo a teoria de

1a ordem. (NBR 6118, 15.6).

Assim, o comprimento equivalente (e), de flambagem, do elemento comprimido (pilar), suposto vinculado em ambas as extremidades, deve ser o menor dos seguintes valores:

hoe Eq. 31

com: o = distncia entre as faces internas dos elementos estruturais, supostos horizontais, que vinculam o pilar (Figura 18);

h = altura da seo transversal do pilar, medida no plano da estrutura em estudo;

= distncia entre os eixos dos elementos estruturais aos quais o pilar est vinculado.

h

h+

Figura 18 Valores de o e .

Para casos de determinao do comprimento de flambagem mais complexos recomenda-se a

leitura de SSSEKIND (1984, v.2).


19

Em funo do ndice de esbeltez, os pilares podem ser classificados como:

a) Pilar curto se 35;

b) Pilar mdio se 35 < 90;

c) Pilar medianamente esbelto se 90 < 140;

d) Pilar esbelto se 140 < 200.

Eq. 32

Os pilares curtos e mdios representam a grande maioria dos pilares das edificaes. Os pilares

medianamente esbeltos e esbeltos so bem menos frequentes.

9 DETERMINAO DOS EFEITOS LOCAIS DE 2a ORDEM

De acordo com a NBR 6118 (15.8.3), o clculo dos efeitos locais de 2a ordem pode ser feito pelo

Mtodo Geral ou por mtodos aproximados. O Mtodo Geral obrigatrio para elementos com > 140. A norma apresenta diferentes mtodos aproximados, sendo eles: mtodo do pilar-padro com

curvatura aproximada (item 15.8.3.3.2), mtodo do pilar-padro com rigidez aproximada (15.8.3.3.3), mtodo do pilar-padro acoplado a diagramas M, N, 1/r (15.8.3.3.4) e mtodo do pilar-padro para

pilares de seo retangular submetidos flexo composta oblqua (15.8.3.3.5). Sero agora apresentados

os mtodos do pilar-padro com curvatura aproximada e com rigidez aproximada, que so simples de

serem aplicados no dimensionamento. O pilar-padro foi apresentado no item 5.6.

9.1 Mtodo do Pilar-Padro com Curvatura Aproximada

Conforme a NBR 6118 (15.8.3.3.2), o mtodo pode ser empregado apenas no clculo de pilares com 90, com seo constante e armadura simtrica e constante ao longo de seu eixo. A no linearidade geomtrica considerada de forma aproximada, supondo-se que a deformao da barra seja

senoidal. A no linearidade fsica considerada atravs de uma expresso aproximada da curvatura na

seo crtica. A equao senoidal para a linha elstica foi definida na Eq. 16, que define os valores para a

deformao de 2a ordem (e2) ao longo da altura do pilar. A no linearidade fsica com a curvatura

aproximada foi apresentada na Eq. 11 e na Eq. 19.

O momento fletor total mximo no pilar deve ser calculado com a expresso:

A,d1

2e

dA,d1btot,d Mr

1

10NMM

Eq. 33

onde: b = parmetro definido no item 7.3; Nd = fora normal solicitante de clculo;

e = comprimento de flambagem. 1/r = curvatura na seo crtica, avaliada pela expresso aproximada (Eq. 19):

h

005,0

)5,0(h

005,0

r

1

A fora normal adimensional () foi definida na Eq. 20:

cdc

d

f.A

N

Embora o item 15.8.3.3.2 da verso de 2014 da NBR 6118, diferentemente da verso de 2003, no

apresente diretamente, deve-se considerar que:

M1d,A M1d,mn Md,tot M1d,mn


20

com: M1d,A = valor de clculo de 1a ordem do momento MA , como definido no item 7.3;

M1d,mn = momento fletor mnimo como definido a seguir;

Ac = rea da seo transversal do pilar;

fcd = resistncia de clculo compresso do concreto (fcd = fck /c); h = dimenso da seo transversal na direo considerada.

Na verso de 2003, a NBR 6118 introduziu um parmetro novo no clculo dos pilares: o momento

fletor mnimo, o qual consta no cdigo ACI 318 (1995) como equao 10-15 e: a esbeltez levada em considerao aumentando-se os momentos fletores nos extremos do pilar. Se os momentos atuantes no

pilar so muito pequenos ou zero, o projeto de pilares esbeltos deve se basear sobre uma excentricidade

mnima, dada pelo momento mnimo. Na verso de 2014 da NBR 6118 (11.3.3.4.3), como na verso de 2003, consta que o efeito das

imperfeies locais nos pilares e pilares-parede pode ser substitudo, em estruturas reticuladas, pela

considerao do momento mnimo de 1a ordem dado a seguir (item 11.3.3.4.3):

)h03,0015,0(NM dmn,d1 Eq. 34

com h sendo a altura total da seo transversal na direo considerada, em metro (m).

A NBR 6118 ainda informa que ao se considerar o momento fletor mnimo pode-se desconsiderar

a excentricidade acidental ou o efeito das imperfeies locais, e que ao momento mnimo devem ser

acrescidos os momentos de 2a ordem.

A rigor, o momento fletor total mximo deve ser calculado para cada direo principal do pilar. Ele

leva em conta que, numa seo intermediria onde ocorre a excentricidade mxima de 2a ordem, o

momento fletor mximo de 1a ordem seja corrigido pelo fator b. Isto semelhante ao que se encontra no

item 7.5.4 de FUSCO (1981), com a diferena de que novos parmetros foram estabelecidos para b . Se o momento fletor de 1a ordem for nulo ou menor que o mnimo, ento o momento fletor mnimo, constante

na altura do pilar, deve ser somado ao momento fletor de 2a ordem.

Ainda no item 11.3.3.4.3 da NBR 6118: Para pilares de seo retangular, pode-se definir uma envoltria mnima de 1 ordem, tomada a favor da segurana, conforme mostrado na Figura 19.

1M

M

M

M2

yy,mn,d1

y,mn,d1

2

xx,mn,d1

x,mn,d1

Eq. 35

M1d,mn,xx = Nd (0,015 + 0,03h)

M1d,mn,yy = Nd (0,015 + 0,03b)

sendo: M1d,mn,xx e M1d,mn,yy = componentes em flexo composta normal;

M1d,mn,x e M1d,mn,y = componentes em flexo composta oblqua.

Figura 19 Envoltria mnima de 1 ordem (NBR 6118).


21

Neste caso, a verificao do momento mnimo pode ser considerada atendida quando, no dimensionamento adotado, obtm-se uma envoltria resistente que englobe a envoltria mnima de 1

ordem. Quando houver a necessidade de calcular os efeitos locais de 2 ordem em alguma das direes do

pilar, a verificao do momento mnimo deve considerar ainda a envoltria mnima com 2 ordem,

conforme 15.3.2. No item 15.3.2 a norma reapresenta o diagrama da Figura 19, mas com a envoltria mnima

acrescida dos efeitos da 2a ordem, e mostrando tambm a envoltria resistente (Figura 20). Para pilares de seo retangular, quando houver a necessidade de calcular os efeitos locais de 2 ordem, a verificao

do momento mnimo pode ser considerada atendida quando, no dimensionamento adotado, obtm-se uma

envoltria resistente que englobe a envoltria mnima com 2 ordem, cujos momentos totais so calculados

a partir dos momentos mnimos de 1 ordem e de acordo com item 15.8.3. A considerao desta envoltria

mnima pode ser realizada atravs de duas anlises flexo composta normal, calculadas de forma

isolada e com momentos fletores mnimos de 1 ordem atuantes nos extremos do pilar, nas suas direes

principais.

Figura 20 Envoltria mnima com 2 ordem (NBR 6118).

9.2 Mtodo do Pilar-Padro com Rigidez Aproximada

Conforme a NBR 6118 (15.8.3.3.3), o mtodo pode ser empregado apenas no clculo de pilares com 90, com seo retangular constante e armadura simtrica e constante ao longo de seu eixo. A no linearidade geomtrica deve ser considerada de forma aproximada, supondo-se que a deformao da

barra seja senoidal. A no linearidade fsica deve ser considerada atravs de uma expresso aproximada

da rigidez.

O momento total mximo no pilar deve ser calculado a partir da majorao do momento de 1a

ordem pela expresso:

A,d12

A,d1btot,Sd M

/1201

MM

Eq. 36

sendo o valor da rigidez adimensional dado aproximadamente pela expresso:

d

tot,Rdaprox

N.h

M5132 Eq. 37

Em um processo de dimensionamento, toma-se MRd,tot = MSd,tot . Em um processo de verificao, onde a armadura conhecida, MRd,tot o momento resistente calculado com essa armadura e com Nd = NSd

= NRd .

As variveis h, , M1d,A e b so as mesmas definidas anteriormente. A varivel representa o

ndice de esbeltez e o coeficiente adimensional relativo fora normal (Eq. 20).


22

Substituindo a Eq. 37 na Eq. 36 obtm-se uma equao do 2o grau til para calcular diretamente o

valor de MSd,tot , sem a necessidade de se fazer iteraes:

0cMbMa tot,Sd2

tot,Sd Eq. 38

A,d1b2

d

A,d1b

2ed

d2

MhNc

Mh5320

NNhb

h5a

Eq. 39

a2

ac4bbM

2

tot,Sd

Eq. 40

O clculo do momento fletor total pode ser feito aplicando as trs equaes acima (Eq. 38, Eq. 39 e

Eq. 40), ou tambm com a equao do segundo grau (com Md,tot ao invs de MSd):

0MNh3840M)M19200NhNh3840(M19200 A,d1dbtot,dA,d1bd2

d2

tot,d Eq. 41

10 SITUAES BSICAS DE PROJETO

Para efeito de projeto, os pilares dos edifcios podem ser classificados nos seguintes tipos: pilares

intermedirios, pilares de extremidade e pilares de canto. A cada um desses tipos bsicos corresponde uma

situao de projeto diferente.

10.1 Pilar Intermedirio

Nos pilares intermedirios (Figura 21) considera-se a compresso centrada na situao de projeto,

pois como as lajes e vigas so contnuas sobre o pilar, pode-se admitir que os momentos fletores

transmitidos ao pilar sejam pequenos e desprezveis. No existem, portanto, os momentos fletores MA e MB

de 1a ordem nas extremidades do pilar, como descritos no item 7.3.

y

x

Nd

Figura 21 Arranjo estrutural e situao de projeto dos pilares intermedirios.

PLANTA

SITUAO DE PROJETO


23

10.2 Pilar de Extremidade

Os pilares de extremidade, de modo geral, encontram-se posicionados nas bordas das edificaes,

sendo tambm chamados pilares laterais ou de borda. O termo pilar de extremidade advm do fato do pilar ser extremo para uma viga, aquela que no tem continuidade sobre o pilar, como mostrado na Figura

22. Na situao de projeto ocorre a flexo composta normal, decorrente da no continuidade da viga.

Existem, portanto, os momentos fletores MA e MB de 1a ordem em uma direo do pilar, como descritos no

item 7.3.

O pilar de extremidade no ocorre necessariamente na borda da edificao, ou seja, pode ocorrer

na zona interior de uma edificao, desde que uma viga no apresente continuidade no pilar.

Nas sees de topo e base ocorrem excentricidades e1 de 1a ordem, na direo principal x ou y do

pilar:

d

AA,1

N

Me e

d

BB,1

N

Me Eq. 42

dN

x

y

e1

Figura 22 Arranjo estrutural e situao de projeto dos pilares de extremidade.

Os momentos fletores MA e MB so devidos aos carregamentos verticais sobre as vigas, e obtidos

calculando-se os pilares em conjunto com as vigas, formando prticos planos, ou, de uma maneira mais

simples e que pode ser feita manualmente, com a aplicao das equaes j apresentadas em BASTOS

(2015).6 Conforme a Figura 23, os momentos fletores, nos lances inferior e superior do pilar, so:

vigasupinf

infenginf

rrr

rMM

Eq. 43

vigasupinf

supengsup

rrr

rMM

Eq. 44

6 BASTOS, P.S.S. Vigas de Concreto Armado. Disciplina 2123 Estruturas de Concreto II. Bauru/SP, Departamento Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia - Universidade Estadual Paulista, jun/2015, 56p.

http://wwwp.feb.unesp.br/pbastos/pag_concreto2.htm

PLANTA

SITUAO DE PROJETO


24

com: Meng = momento fletor de engastamento perfeito na ligao entre a viga e o pilar;

r = I/ = ndice de rigidez relativa; I = momento de inrcia da seo transversal do pilar na direo considerada;

= vo efetivo do tramo adjacente da viga ao pilar extremo, ou comprimento de flambagem do pilar.

Na determinao dos momentos fletores de 1a ordem que ocorrem nos pilares de edifcios de

pavimentos deve-se considerar a superposio dos efeitos das vigas dos diferentes nveis (Figura 23).

Considerando-se por exemplo o lance (tramo) do pilar compreendido entre os pavimentos i e i + 1, os

momentos fletores na base e no topo do lance so:

1iinf,isup,base M5,0MM

isup,1iinf,topo M5,0MM

Eq. 45

Se os pavimentos i e i + 1 forem pavimentos tipo, ou seja, idnticos, os momentos fletores na base

e no topo sero iguais e:

Msup,i = Minf,i+1

Mbase = Mtopo = 1,5 Msup,i = 1,5 Minf,i+1

Eq. 46

+ 12 MM

inf

tramo extremo

sup,i-1

+ 12 Msup,i-1M inf,i nvel (i - 1)

inf,i

viga

infM

M

12 M sup

supM

pilar de extremidade

+ 12 M

+ 12 MM sup,i

M inf,i+1

inf,i+1 nvel i

sup,i nvel (i + 1)

Figura 23 Momentos fletores nos pilares de extremidade provenientes da ligao com a

viga no contnua sobre o pilar (FUSCO, 1981).

Os exemplos numricos apresentados no item 21 mostram o clculo dos momentos fletores

solicitantes por meio da Eq. 43 a Eq. 46.

10.3 Pilar de Canto

De modo geral, os pilares de canto encontram-se posicionados nos cantos dos edifcios, vindo da o

nome, como mostrado na Figura 24. Na situao de projeto ocorre a flexo composta oblqua, decorrente

da no continuidade das vigas apoiadas no pilar. Existem, portanto, os momentos fletores MA e MB de 1a

ordem, nas suas duas direes do pilar, ou seja, e1x e e1y . Esses momentos podem ser calculados da mesma

forma como apresentado nos pilares de extremidade.


25

Nd

e1,x

y

x

e1

,y

Figura 24 Arranjo estrutural e situao de projeto dos pilares de canto.

11 DETERMINAO DA SEO SOB O MXIMO MOMENTO FLETOR

Sendo constante a fora normal (Nd) ao longo da altura do pilar, no dimensionamento deve ser

analisada qual seo do pilar, ao longo de sua altura, estar submetida ao maior momento fletor total,

segundo as direes principais do pilar. Normalmente basta verificar as sees de extremidade (topo e

base) e uma seo intermediria C, que aquela correspondente ao mximo momento fletor de 2a ordem

(M2d).

A Figura 25 mostra alguns casos diferentes de atuao dos momentos fletores de 1a ordem (M1d,A e

M1d,B), e mostra tambm os momentos fletores mnimo e de 2a ordem. No caso de momento fletor de 1a

ordem varivel ao longo da altura (lance) do pilar, o valor maior deve ser nomeado M1d,A , e considerado

positivo. O valor menor, na outra extremidade, ser nomeado M1d,B , e considerado negativo se tracionar a

fibra oposta de M1d,A . O momento fletor de 1a ordem existente deve ser comparado ao momento fletor

mnimo (M1d,mn), e adotado o maior.

-

+

++

+

C

(M >1d,A M )1d,B

+

M1d,mn1d,AM

OU

0

M1d,A

1d,BM

1d,AM

1d,BM

1d,AM = M1d,B

M 2,mx

B

A A

B

base

topo

1d,CM

seo

intermediria

+

OU OU OU

Figura 25 Momentos fletores de 1a ordem com o de 2a ordem nas sees do lance do pilar.

PLANTA

SITUAO DE PROJETO


26

Na determinao do mximo momento fletor total, da base ao topo do pilar, em cada direo, e

considerando as sees de extremidade e a seo intermediria C, tem-se:

a) Sees de extremidade (topo ou base)

mn,d1

A,d1

tot,dM

MM Eq. 47

b) Seo intermediria (C)

d2mn,d1

d2C,d1

tot,dMM

MMM Eq. 48

Com o momento de 1a ordem M1d,C avaliado como:

A,d1

B,d1A,d1

C,d1M4,0

M4,0M6,0M Eq. 49

A Eq. 49 tem os coeficientes 0,6 e 0,4 relativos varivel b , definida no item 7.3.

12 SITUAES DE PROJETO E DE CLCULO

O clculo dos pilares pode ser feito diretamente dos valores da fora normal e do momento fletor

total solicitante no pilar, sem se explicitar as excentricidades da fora Nd . Por outro lado, clculo tambm

pode ser feito explicitando as excentricidades, que so funo dos momentos fletores.

No dimensionamento dos pilares, conforme a antiga NB 1/78, o clculo era feito considerando-se

as excentricidades. J a NBR 6118 de 2003 introduziu o momento fletor mnimo e a equao do momento

fletor total (Md,tot), direcionando de certa forma o clculo via momentos fletores e no via as

excentricidades. Claro que o clculo correto, em funo dos momentos fletores ou das excentricidades,

conduz aos mesmos resultados. Nos itens seguintes procura-se ilustrar os dois modos de clculo, deixando-

se ao estudante a escolha do modo a aplicar.

Nos itens seguintes esto mostradas as excentricidades que devem ser consideradas no

dimensionamento dos pilares, em funo do tipo de pilar (intermedirio, de extremidade ou de canto) e

para mx 90. As excentricidades a serem consideradas so as seguintes:

a) Excentricidade de 1a ordem

d

A,d1A,1

N

Me

d

B,d1B,1

N

Me Eq. 50

b) Excentricidade mnima

e1,mn = 1,5 + 0,03 h , com h em cm Eq. 51

c) Excentricidade de 2a ordem

h5,00005,0

e2

e2

Eq. 52

com definido na Eq. 20.


27

d) Excentricidade de 1a ordem na seo intermediria C

A,1

B,1A,1

C,1e4,0

e4,0e6,0e Eq. 53

12.1 Pilar Intermedirio

A Figura 26 mostra a situao de projeto (S.P.) e as situaes de clculo (s.c.) dos pilares

intermedirios com mx 90. Na 1a s.c. esto indicadas as excentricidades que ocorrem na direo x, e na 2a s.c. as excentricidades na direo y.

Como no se considera a existncia de momentos fletores de 1a ordem, a situao de projeto de

Compresso Simples (ou Uniforme). Se o pilar tiver 1 nas duas direes, tem-se que e2x = 0 e e2y = 0, e as excentricidades de 2a ordem mostradas na Figura 26 no existiro. Neste caso basta considerar a

excentricidade mnima em cada direo. Por outro lado, se > 1 em uma ou ambas as direes, a excentricidade de 2a ordem deve ser somada excentricidade mnima. A excentricidade mnima

corresponde ao momento fletor mnimo, apresentado no item 9.1 (Eq. 34).

1 s.c.S.P.

Nd

e

2 s.c.

1y,mn

Nd

e

x

y

Nd

1x,mn

x

e

e 2yeye

2x

Figura 26 Situao de projeto e situaes de clculo de pilares intermedirios com mx 90.

Para cada situao de clculo deve ser determinada uma armadura longitudinal, considerando-se,

porm, o mesmo arranjo (posicionamento) das barras da armadura na seo transversal. Isso importante

porque a armadura final deve atender s situaes de clculo existentes. A armadura final a maior entre

as calculadas.

12.2 Pilar de Extremidade

No pilar de extremidade ocorre a Flexo Composta Normal na situao de projeto, com existncia

de excentricidade de 1a ordem em uma direo do pilar. As sees de extremidade (topo e base) devem

sempre ser analisadas (Figura 27). A seo intermediria C deve ser analisada somente na direo em que

ocorrer excentricidade de 2a ordem (Figura 28).

Na base e topo do pilar, devido aos apoios (vnculos), no ocorre deslocamento horizontal, de

modo que a excentricidade de 2a ordem zero. Nas sees ao longo da altura do pilar ocorrem

excentricidades de 2a ordem, mas se 1 , as excentricidades so pequenas e podem ser desprezadas. Por

outro lado, se ocorrer > 1 , a mxima excentricidade de 2a ordem (e2x ou e2y na seo intermediria C) deve ser considerada, e a excentricidade de 1a ordem deve ser alterada de e1x,A para e1x,C (ou de e1y,A para

e1y,C) na situao de projeto (Figura 28).

Do mesmo modo como no pilar intermedirio, para cada situao de clculo deve ser calculada

uma armadura, considerando-se o mesmo arranjo (posicionamento) das barras na seo transversal, e a

armadura final ser a maior entre as calculadas.


28

1x,A

x

y

2 s.c.

Nde1y,mn

e e{ 1x,mn

1x,Ae

dN dN

S.P. 1 s.c.

Figura 27 Situao de projeto e de clculo para as sees de extremidade (topo e base) dos pilares de extremidade.

e2x

1y,mne

e y

dN

2 s.c.

e2y

1x,Ce

x

1x,mn

1x,C{ee

e

S.P. 1 s.c.

Nd Nd

Figura 28 Situao de projeto e situaes de clculo para a seo intermediria

dos pilares de extremidade.

12.3 Pilar de Canto

No pilar de canto a solicitao de projeto a flexo composta oblqua, com a existncia de

excentricidade de 1a ordem nas duas direes principais do pilar. Na seo de extremidade A, como

mostrado na Figura 29, apenas uma situao de clculo suficiente, comparando-se as excentricidades de

1a ordem com as excentricidades mnimas em cada direo.

Na seo intermediria C as excentricidades de 1a ordem alteram-se de e1,A para e1,C , como

apresentado na Figura 30. Existindo as excentricidades de 2a ordem, elas devem ser acrescentadas s

excentricidades de 1a ordem, segundo a direo em que existir.

A armadura final do pilar ser a maior calculada entre as situaes de clculo, considerando-se as

barras distribudas de modo idntico no clculo das armaduras.

1x,A

1y,A

e

ee

1y,A

1y,mne{

1x,A

1x,mn

e{ed

N

S.P. 1 s.c.

Nd

y

x

Figura 29 Situao de projeto e de clculo para as sees de extremidade dos pilares de canto.


29

2 s.c.S.P. 1 s.c.

dN d

N

dN

e 2ye y

e{e

1y,mn

1y,C

e{e

1x,mn

1x,C

e1x,C

e1y,C

ex

y

x

2x

e

1x,C

1x,mn

e{e

1y,C

1y,mn

e

{e

Figura 30 Situao de projeto e situaes de clculo para a seo intermediria dos pilares de canto.

13 CLCULO DA ARMADURA LONGITUDINAL COM AUXLIO DE BACOS

No dimensionamento dos pilares feito manualmente, os bacos so imprescindveis, porque

permitem a rpida determinao da taxa de armadura, sem necessidade de aplicar as equaes tericas da

Flexo Composta Normal ou Oblqua. Alm disso, os bacos proporcionam a fcil escolha de diferentes

arranjos de armadura na seo transversal.

Nesta apostila sero aplicados os bacos de VENTURINI (1987)7 para a Flexo Composta Normal

e de PINHEIRO (1994)8 para a Flexo Composta Oblqua. Esses bacos devem ser aplicados apenas no

dimensionamento de pilares com concretos do Grupo I de resistncia (fck 50 MPa), porque foram desenvolvidos com alguns parmetros numricos que no se aplicam aos concretos do Grupo II .

Para cada caso de solicitao, bacos diferentes podem ser utilizados, no entanto, o baco deve ser

escolhido de modo a resultar na menor armadura, e assim a mais econmica.

13.1 Flexo Composta Normal

A Figura 31 mostra a notao aplicada na utilizao dos bacos de VENTURINI (1987) para a

Flexo Composta Normal (ou Reta). A distncia d paralela excentricidade (e), entre a face da seo e o

centro da barra do canto. De modo geral tem-se d = c + t + /2, com c = cobrimento de concreto, t =

dimetro do estribo e = dimetro da barra longitudinal.

Nd

d

h/2

h/2

d

e

b

Figura 31 Notao para a Flexo Composta Normal (VENTURINI, 1987).

7 VENTURINI, W.S. Dimensionamento de peas retangulares de concreto armado solicitadas flexo reta. So

Carlos, Departamento de Engenharia de Estruturas, Escola de Engenharia de So Carlos USP, 1987. Disponvel em: http://wwwp.feb.unesp.br/pbastos/pag_concreto2.htm 8 PINHEIRO, L.M. ; BARALDI, L.T. ; POREM, M.E. Concreto Armado: bacos para flexo oblqua. So Carlos,

Departamento de Engenharia de Estruturas, Escola de Engenharia de So Carlos USP, 1994. Disponvel em: http://wwwp.feb.unesp.br/pbastos/pag_concreto2.htm


30

As equaes para a construo dos bacos foram apresentadas na publicao de VENTURINI

(1987). A determinao da armadura longitudinal iniciada pelo clculo dos esforos adimensionais (ni)

e (mi). O valor adimensional foi definido na Eq. 20:

cdc

d

f.A

N

O valor de , em funo do momento fletor ou da excentricidade, :

cdc

tot,d

fAh

M , ou Eq. 54

h

e Eq. 55

com: Nd = fora normal de clculo;

Ac = rea da seo transversal do pilar;

fcd = resistncia de clculo do concreto compresso (fck/c); Md,tot = momento fletor total de clculo;

h = dimenso do pilar na direo considerada;

e = excentricidade na direo considerada.

Escolhida uma disposio construtiva para a armadura no pilar, determina-se o baco a ser

utilizado, em funo do tipo de ao e do valor da relao d/h. No baco, com o par e , obtm-se a taxa

mecnica . A armadura calculada pela expresso:

yd

cdcs

f

fAA

Eq. 56

13.2 Flexo Composta Oblqua

A Figura 32 mostra a notao aplicada na utilizao dos bacos de PINHEIRO et al. (1994) para a

Clexo Composta Oblqua. As distncias dx e dy tm o mesmo significado de d, porm, cada uma em uma direo do pilar.

M

h

xMd

yd

d

x

yh

dN

x

yd

Figura 32 Flexo Composta Oblqua (PINHEIRO, 1994).


31

A determinao da armadura iniciada pelo clculo dos esforos adimensionais e , com segundo as duas direes principais do pilar:

cdc

d

f.A

N

x

x

cdcx

x,tot,dx

h

e

fAh

M Eq. 57

y

y

cdcy

y,tot,dy

h

e

fAh

M Eq. 58

Escolhida uma disposio construtiva para a armadura no pilar, determina-se o baco a ser

utilizado, em funo do tipo de ao e dos valores das relaes dx/hx e dy/hy . No baco, com o trio (, x ,

y), obtm-se a taxa mecnica . A armadura calculada com a Eq. 56:

yd

cdcs

f

fAA

14 RELAO ENTRE A DIMENSO MNIMA E O COEFICIENTE DE PONDERAO

Os pilares com seo transversal retangular so diferenciados dos pilares-parede em funo da

relao entre os lados, conforme a regra (Figura 33):

h 5 b pilar

h > 5 b pilar-parede Eq. 59

b

h

Figura 33 Classificao dos pilares e pilares-parede de seo retangular.

A NBR 6118 (item 13.2.3) impe que A seo transversal de pilares e pilares-parede macios, qualquer que seja a sua forma, no pode apresentar dimenso menor que 19 cm. Em casos especiais,

permite-se a considerao de dimenses entre 19 cm e 14 cm, desde que se multipliquem os esforos

solicitantes de clculo a serem considerados no dimensionamento por um coeficiente adicional n , de acordo com o indicado na Tabela 13.1 e na Seo 11. Em qualquer caso, no se permite pilar com seo

transversal de rea inferior a 360 cm2., o que representa a seo mnima de 14 x 25,7 cm. A Tabela 4 apresenta o coeficiente adicional. importante salientar que o texto indica que todos os esforos

solicitantes atuantes no pilar devem ser majorados por n , ou seja, a fora normal e os momentos fletores que existirem.

Tabela 4 Coeficiente adicional n para pilares e pilares-parede (Tabela 13.1 da NBR 6118).

b 19 18 17 16 15 14

n 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25

Nota: O coeficiente n deve majorar os esforos solicitantes finais de clculo quando de seu dimensionamento.

n = 1,95 0,05 b b = menor dimenso da seo transversal (cm).


32

15 CLCULO DOS PILARES INTERMEDIRIOS

Apresenta-se o roteiro de clculo dos chamados pilares intermedirios, com a aplicao do

Mtodo do pilar-padro com curvatura aproximada e do Mtodo do pilar-padro com rigidez aproximada. Em seguida so apresentados dois exemplos numricos de aplicao.

15.1 Roteiro de Clculo

No pilar intermedirio, devido continuidade das vigas e lajes sobre o pilar, tem-se que os

momentos fletores de 1a ordem so nulos em ambas as direes do pilar (MA = MB = 0), portanto, e1 = 0.

a) Esforos solicitantes

A fora normal de clculo pode ser determinada como:

Nd = n . f . Nk Eq. 60

onde: Nk = fora normal caracterstica do pilar;

n = coeficiente de majorao da fora normal (Tabela 4);

f = coeficiente de ponderao das aes no ELU (definido na Tabela 11.1 da NBR 6118).

b) ndice de esbeltez (Eq. 29 e Eq. 30)

i

e , A

Ii para seo retangular:

h

3,46 e

c) Momento fletor mnimo (Eq. 34)

M1d,mn = Nd (1,5 + 0,03 h) , com h = dimenso do pilar, em cm, na direo considerada.

d) Esbeltez limite (Eq. 24)

b

1

1

h

e12,5 25

, com 35 1 90

e1 = 0 para pilar intermedirio.

1 no considera-se o efeito local de 2 ordem na direo considerada;

> 1 considera-se o efeito local de 2 ordem na direo considerada.

e) Momento de 2a ordem

e1) Mtodo do pilar-padro com curvatura aproximada

Determina-se Md,tot com a Eq. 33:

mn,d1

A,d12e

dA,d1btot,dM

M

r

1

10NM.M

, e M1d,A M1d,mn

e2) Mtodo do pilar-padro com rigidez aproximada Determina-se Md,tot com a Eq. 41:


d2

tot,d


33

15.2 Exemplos Numricos

Os exemplos numricos a seguir so de pilares intermedirios, biapoiados na base e no topo, de

ns fixos (contraventados) e sem foras transversais atuantes. Os clculos sero feitos em funo dos

momentos fletores solicitantes e, a ttulo de exemplo, sero feitos tambm em funo das excentricidades,

segundo as sees de extremidade e intermediria, como mostrado no item 11.

Os seguintes dados so comuns em todos os exemplos: concreto C20; ao CA-50 ;

d = 4,0 cm ; coeficientes de ponderao: c = f =1,4 e s = 1,15.

15.2.1 Exemplo 1

Dimensionar a armadura longitudinal vertical do pilar mostrado na Figura 34, sendo conhecidos:

Nk = 785,7 kN ; seo transversal 20 x 50 (Ac = 1.000 cm2)

comprimento equivalente (de flambagem): ex = ey = 280 cm

=

280 c

mey

ey

=

280 c

m

dN

x

y

h = 50 cmx

h =

20 c

my

Figura 34 Posio do pilar em relao s vigas, vnculos na base e no topo nas direes x e y, dimenses da seo transversal e situao de projeto.

RESOLUO

Embora a armadura longitudinal resultar do clculo segundo a direo de menor rigidez do pilar

(dir. y), a ttulo de exemplo ser demonstrado tambm o clculo segundo a direo x.


A fora normal de clculo (Eq. 60): Nd = n . f . Nk = 1,0 . 1,4 . 785,7 = 1.100 kN

com n determinado na Tabela 4, em funo da largura da seo transversal do pilar. Tratando-se de um pilar intermedirio, no existem momentos fletores e excentricidades de 1a ordem em ambas as direes do

pilar.

b) ndice de esbeltez (Eq. 30)

O ndice de esbeltez deve ser calculado para as direes x e y, conforme os eixos mostrados na

Figura 34. A fim de padronizar e simplificar a notao, aqui considera-se a direo, e no o eixo do pilar, o

que pode ser diferente de consideraes adotadas em outras disciplinas.

4,1950

28046,3

h

46,3

x

exx

4,4820

28046,3

h

46,3

y

eyy


34

c) Momento fletor mnimo

O momento fletor mnimo, em cada direo, calculado com a Eq. 34:

M1d,mn = Nd (1,5 + 0,03 h) , com h em cm.

Dir. x: M1d,mn,x = 50.03,05,11100 = 3.300 kN.cm ; e1x,mn = 1100

33003,00 cm

Dir. y: M1d,mn,y = 20.03,05,11100 = 2.310 kN.cm ; e1y,mn = 1100

23102,10 cm

Esbeltez limite (Eq. 24)

b

1

1

h

e12,5 25

, com 35 1 90

Nos pilares intermedirios no ocorrem momentos fletores e excentricidades de 1a ordem, da e1 =

0 e b = 1,0 (ver item 7.3). Assim:

1,x = 1,y = 25 35 1,x = 1,y = 35

Desse modo:

x = 19,4 < 1,x no so considerados os efeitos locais de 2 ordem na direo x;

y = 48,4 > 1,y so considerados os efeitos locais de 2 ordem na direo y.

Em pilares retangulares correntes, geralmente h a necessidade de considerar a excentricidade de

2a ordem na direo da largura do pilar.


O momento de 2a ordem ser avaliado pelos mtodos do pilar-padro com curvatura aproximada e

do pilar-padro com rigidez aproximada.

e1) Mtodo do pilar-padro com curvatura aproximada (Eq. 33)

mn,d1

A,d12e

dA,d1btot,dM

M

r

1

10NMM

, e M1d,A M1d,mn

Fora normal adimensional (Eq. 20): 77,0

4,1

0,21000

1100

f.A

N

cdc

d

Curvatura na direo y sujeita aos momentos fletores de 2a ordem (Eq. 19):

1-41-4 cm 10.5,2

20

005,0cm 10.9685,1

5,077,020

005,0

50,0h

005,0

r

1

ok!

A excentricidade mxima de 2a ordem na direo y (Eq. 17):

54,110.9685,110

280

r

1

10e 4

22e

y2 cm

Com b = 1,0 e fazendo M1d,A = M1d,mn em cada direo, tem-se os momentos fletores totais em cada direo principal do pilar:

Dir. x: Md,tot,x = M1d,mn,x = 3.300 kN.cm


35

Dir. y: 008.410.9685,110

28011002310.0,1M 4

2

y,tot,d kN.cm

Md,tot,y = 4.008 kN.cm M1d,mn,y = 2.310 kN.cm ok!

O clculo de dimensionamento da armadura longitudinal do pilar pode seguir aps determinados os

momentos fletores totais, como mostrados na Figura 35. No entanto, a ttulo de exemplo, so mostradas

tambm as excentricidades (Figura 36), calculadas em funo dos momentos fletores. O valor admensional

pode ser calculado em funo do momento fletor ou da excentricidade, como feito na sequncia.

Dir. x Dir. y

1d,mn,xM

3.300 2.310

M1d,mn,y

1.698

+

2d,mx,yM

Figura 35 Momentos fletores atuantes no pilar, nas direes x e y.

Nd

e 1x,mn

y

x

Nd

S.P.

e = 3,64y

1y,mne = 2,10

2ye = 1,54

Nd

1 s.c.a 2 s.c.a

3,00

Figura 36 Situao de projeto e situaes de clculo do pilar intermedirio.

A anlise dos momentos fletores totais e das excentricidades permite observar que a direo crtica

do pilar a direo y, dado que o maior momento fletor total (Md,tot,y de 4.008 kN.cm) relativo menor

dimenso do pilar (largura hy = 20 cm). A 2 s.c., com a maior excentricidade total, na direo da largura

do pilar, tambm mostra o fato, comprovado pelo clculo da armadura longitudinal. A armadura pode ser

calculada apenas para a direo crtica y, porm, com o objetivo de ilustrar os cuidados que devem ser

tomados, a armadura calculada para as duas direes principais do pilar.

Com = 0,77 e utilizando os bacos de VENTURINI (1987)9 para Flexo Reta, faz-se o clculo de

(Eq. 54 ou Eq. 55) e d/h, segundo as direes x e y: Dir. x:

9 Os bacos podem ser encontrados em: http://wwwp.feb.unesp.br/pbastos/pag_concreto2.htm


36

= cdcx

x,tot,d

f.A.h

M = 05,0

4,1

0,21000.50

3300 ou 05,0

50

00,377,0

h

e

x

x

x

x

h

'd =

50

0,4 = 0,08 0,10 com o baco A-25: = 0,05

Outros bacos diferentes do A-25 podem ser utilizados, no entanto, este baco interessante

porque no fixa o nmero de barras a serem dispostas na seo transversal, fixa apenas as faces do pilar

que devem alojar as barras. Neste caso, o baco A-25 proporciona que as barras sejam distribudas no lado

maior do pilar.

Observe que o baco A-25 tem a armadura posicionada na direo paralela excentricidade e (ver figura no baco) da fora normal Nd , portanto, na direo horizontal paralela excentricidade e1x,mn

da 1a s.c., coincidente com o lado maior do pilar.

Dir. y:

= cdcy

y,tot,d

f.A.h

M=

4,1

0,21000.20

4008 0,14 ou 14,0

20

64,377,0

h

e

y

y

y

y

h

'd =

20

0,4 = 0,20 com o baco A-4: = 0,38

Para a solicitao na direo y o baco A-4 compatvel com o baco A-25 da direo x, pois

proporciona o mesmo arranjo de barras do baco A-25 na seo transversal, ou seja, as barras distribudas

ao longo do lado maior do pilar. Isso mostrado na figura do baco A-4, onde a armadura posicionada na

direo perpendicular excentricidade da fora normal Nd , portanto, na direo horizontal perpendicular

excentricidade total da 2a s.c., e coincidente com o lado maior do pilar.

A maior armadura resulta do maior valor de , de 0,38 da 2a s.c., como esperado:

As = yd

cdc

f

fA = 49,12

15,1

50

4,1

0,21000.38,0

cm2

e2) Mtodo do pilar-padro com rigidez aproximada

Aplicando a Eq. 41 numericamente para a direo y, com M1d,A = M1d,mn, tem-se:


d2

tot,d

02310.1100.20.0,1.3840M)2310.0,1.192001100.20.4,481100.20.3840(M19200 tot,d22

tot,d

010.951488,1M11408320M19200 11tot,d2

tot,d

010164000M2,594M tot,Sd2

tot,d

A raiz positiva da equao de 2o grau :

Md,tot = 3.500 kN.cm M1d,mn,y = 2.310 kN.cm ok!

Com = 0,77 e utilizando os bacos de VENTURINI (1987) para Flexo Reta:


37

= cdcy

y,tot,d

f.A.h

M=

4,1

0,21000.20

3500 = 0,12

y

y

h

'd =

20

0,4 = 0,20 com o baco A-4: = 0,30

As = yd

cdc

f

fA = 86,9

15,1

50

4,1

0,21000.30,0

cm2

15.2.2 Exemplo 2

Este segundo exemplo (Figura 37) igual ao primeiro, com exceo da maior fora normal de

compresso. So conhecidos:

Nk = 1.071 kN

seo transversal 20 x 50 (Ac = 1.000 cm2)

comprimento de flambagem:

ex = ey = 280 cm

coeficientes de ponderao:

c = f = 1,4 ; s = 1,15

dN

x

y

h = 50 cmx

h =

20 c

my

Figura 37 Dimenses da seo transversal e posio da fora normal.

RESOLUO


A fora normal de clculo : Nd = n . f . Nk = 1,0 . 1,4 . 1071 = 1.500 kN, com n da Tabela 4.

b) ndice de esbeltez

4,1950

28046,3

h

46,3

x

exx

4,4820

28046,3

h

46,3

y

eyy

c) Momento fletor mnimo

O momento fletor mnimo em cada direo :

M1d,mn = Nd (1,5 + 0,03 h) , com h em cm.

Dir. x: M1d,mn,x = 50.03,05,11500 = 4.500 kN.cm ; e1x,mn = 1500

5004 3,00 cm

Dir. y: M1d,mn,y = 20.03,05,11500 = 3.150 kN.cm ; e1y,mn = 1500

50312,10 cm


38

d) Esbeltez limite

b

1

1

h

e12,5 25

, com 35 1 90

Tem-se que b = 1,0 e e1 = 0, portanto, do mesmo modo como no exemplo anterior:

1,x = 1,y = 25 35 1,x = 1,y = 35

Desse modo:

x = 19,4 < 1,x no so considerados os efeitos locais de 2 ordem na direo x;

y = 48,4 > 1,y so considerados os efeitos locais de 2 ordem na direo y.


O momento de 2a ordem ser avaliado pelos mtodos do pilar-padro com curvatura aproximada e

do pilar-padro com rigidez aproximada.

e1) Mtodo do pilar-padro com curvatura aproximada

mn,d1

A,d12e

dA,d1btot,dM

M

r

1

10NMM

, e M1d,A M1d,mn

Fora normal adimensional: 05,1

4,1

0,21000

1500

f.A

N

cdc

d

Curvatura na direo y sujeita a momentos fletores de 2a ordem:

1-41-4 cm 10.5,2

20,0

005,0cm 10.6129,1

5,005,120

005,0

50,0h

005,0

r

1

ok!

A excentricidade mxima de 2a ordem na direo y :

r

1

10e

2e

y2

26,110.6129,1

10

280 42

cm

Fazendo M1d,A M1d,mn em cada direo, tem-se os momentos totais mximos:

Dir. x: Md,tot,x = M1d,mn,x = 4.500 kN.cm

Dir. y: 047.510.6129,110

28015003150.0,1M 4

2

y,tot,d kN.cm

Md,tot,y = 5.047 kN.cm M1d,mn,y = 3.150 kN.cm ok!

Os momentos fletores atuantes no pilar, nas direes x e y, esto indicados na Figura 38. A

situao de projeto e as situaes de clculo esto mostradas na Figura 39.

UNESP, Bauru/SP

pilares - dimensionamento

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