149 Unidade I Vetores 1 Situando a Temtica O propsito desta unidade temtica o de introduzir a nomenclatura que ser utilizada no decorrer deste curso. A ttulo de reviso e para que fi-quemaisprximodocursoatual,apresentaremosasdefiniesbsicasda lgebra de vetores. Entretanto, remetemos os alunos ao curso de Clculo Ve-torial e Geometria Analtica contido no segundo volume do curso de Licen-ciatura em Matemtica a Distncia. 2 Problematizando a Temtica Anecessidadedeumaentidadematemticaquepossarepresentar determinadasgrandezasfsicasclaraparatodosns.Bastacompararmos. Grandezascomotemperatura,massaouvolume,podemserespecificadas com um nico nmero. Quando algum diz que est fazendo 40 C, j sa-bemosqueestbastantequente.Noprecisoqualquerinformaoadicio-nal. Entretanto grandezas como fora, deslocamento ou velocidade, e outras que veremos ao longo deste curso, no podem ser descritas por meio de um niconmero.Paraqueavelocidadedeumapartculafiquebemdefinida nsdevemosespecificaroquorpidoestapartculaestsedeslocando, qual a direo do seu movimento se horizontal ou vertical, por exemplo e o sentido do movimento; para a esquerda ou para a direita? As grandezas que podem ser especificadas com um nico nmero so chamadas de grandezas escalaresenquantoqueaquelasondeprecisamosinformaroseutamanho (mdulo), a direo e o sentido, para que a grandeza fique devidamente defi-nida, so chamadas de grandezas vetoriais. Aentidadematemticacapazdecarregarastrsinformaesque so necessrias para descrever uma grandeza vetorial chamada de vetor. este objeto que ns estudaremos nesta unidade. 3 Vetor ComovistonadisciplinaClculoVetorial,umvetorumobjeto matemticoqueserrepresentado,geometricamente,porumsegmentode reta orientado e estar definido pelo seu mdulo (norma), direo e senti-do.Nos textos os vetores so representados por uma letra (ou um outro sm-bolo) em negrito, como r, ou com uma seta em cima, comor. Neste curso, ficaremoscomasegundarepresentao,ouseja,osmbolocomaseta. Quando escrevemos um smbolo, que representa uma grandeza vetorial, sem asetaemcima,porqueestamosnosreferindointensidadedagrandeza queelerepresenta.Portanto,sea umagrandezavetorial,entoa = |a |. Em fsica mais usual representarmos o mdulo de um vetor com uma barra de cada lado ao invs de duas como em lgebra linear. Assim, |a | = ||a ||. 1504 Vetor Deslocamento Comodissemos,umvetorumaentidadematemticaquetemum mdulo,umadireoeumsentido.Osvetoresserorepresentadosporum segmentoderetaorientado.Agrandezavetorialmaissimplesodesloca-mento que corresponde a uma mudana de posio de um objeto. Um vetor que representa um deslocamento ser chamado de vetor deslocamento. As-sim,quandoumapartculavaidaposio {A paraaposio {B ,diremos que ela sofreu um deslocamento de {Apara {Be representaremos este des-locamento por uma seta que aponta de {Apara {B . Na Fig. 1.1a as setas {Apara {Be de {Cpara {Dtm mesmo mdulo, direo e sentido, ento elas representamvetores deslocamentos idnticos. Na Fig. 1.1b as curvas I, II, e III representam trajetrias diferentes para o deslocamento da partcula {Apa-ra {B .Vemosentoqueovetordeslocamentononosdiznadaarespeito da trajetria seguida pela partcula. O vetor deslocamento representa a mudana de posio de uma partcula de {Apara {B . A definio de vetor deslocamento dada aqui ser usada at o final deste cur-so. 5 Soma Geomtrica, Produto Por um Escalar e Subtrao Nodecorrerdestecursousaremosaseguintenomenclatura:chama-remos de r AB o vetor deslocamento que representa amudana de posio deumapartculaquandoelavaidaposio {A paraaposio {B .Assim, um vetor deslocamento qualquer ser representado por r . NaFig.1.2arepresentamosdoisdeslocamentosseguidosdeuma partcula.Primeiroelavaide {A para {B eemseguidade {B para {C .As curvastracejadasrepresentampossveistrajetrias.Osvetoresdeslocamen-toscorrespondentesso r ABe r BC,respectivamente.Odeslocamento resultante (soma vetorial) destes dois deslocamentos o vetor r AC. ASOMAGEOMTRICAdedoisvetoresfeitacomomesmoesquema que utilizamos para fazer a soma geomtrica de dois deslocamentos, mesmo que eles representem outras grandezas fsicas. Assim, dois vetores quaisquer a eb sero somados, geometricamente, conforme mostrado na Fig. 1.2c.QuandofazemosoPRODUTODEUMVETORPORUMESCALAR(qualquer nmeroreal),ovetorresultanteteramesmadireoeomesmosentido que o vetor original, mas seu mdulo (tamanho) ficar multiplicado por . Se forumnmeronegativo,entoovetorresultanteteramesmadireo mas ter o sentido contrrio ao do vetor original, Fig. 1.3a. Quandomultiplicamosumvetora por1,ovetorresultantetera mesma direo, o mesmo mdulo mas ter sentido contrrio ao do vetora . O vetor a o negativo do vetora , Fig. 1.3b. claro quea + ( a ) = 0. Aqui,0(zero)representaovetornulo.Umvetornulotemmduloiguala 151zero e, portanto, no tem direo e nem sentido. No necessrio colocar a seta em cima do zero. Basta entender que se trata de um vetor nulo. Veremos as consequncias mais adiante. ASUBTRAOdedoisvetoresrealizadautilizandoasomacomonegativo do vetor, Fig. 1.4. Assim, fazemos ) ( b a b a,,,, + = .(1.1) 6 Vetores Unitrios Um VETOR UNITRIO um vetor que tem mdulo exatamente igual a 1 e aponta numa dada direo. Ele no tem dimenso e nem unidade. O nico propsito do vetor unitrio apontar, i.e., definir uma direo e um sentido. Osvetoresunitriosqueapontamnossentidospositivosdoseixosx,yez, como na Fig. 1.5, so chamados de i^,j^ e k^. Aqui, usamos o chapu ^ no lu-gar da seta para diferenciar os vetores unitrios dos outros vetores. 7 Soma Algbrica Somar vetores geometricamente pode ser cansativo ou nem ser pos-svel. Uma forma mais prtica e direta de somar vetores por meio da lge-bra.ChamaremosestatcnicadeSOMAALGBRICA.Paratanto,nsteremos que representar os vetores em um sistema de coordenadas.AFig.1.6mostraovetora emumsistemadecoordenadascomo eixo z saindo do papel. As projees do vetora nos eixos x, y e z so cha-madas componentes do vetor. Um vetor qualquer ser escrito genericamente como: kjiz y xa a a a + + =,(1.2) Emparticular,ovetordafiguraestcontidonoplanox,y(duasdi-menses), com ax = 3 e ay = 4 e pode ser escrito em termos dos vetores unit-rios como:a = 3 i^ + 4j^. 8 Produto Escalar e Produto Vetorial Na lgebra de vetores ns definimos, ainda, duas operaes entre ve-toresquesochamadasdeproduto.Aprimeiradelas,oPRODUTOESCALAR, uma operao entre dois vetores cujo resultado um escalar. O produto esca-lar representado por um ponto ( . ) e definido como: ) cos( b a b a = ,,,(1.3) onde a = ||a || = mdulo do vetora e b = ||b || = mdulo do vetorb . im-portantenotar,tambm,queoprodutoescalarcomutativo,ouseja, a . b =b . a . 152Problema Resolvido 1.1 (a) A partir da definio, calcule o produto escalar entre os vetores unitrios do sistema de coordenadas da Fig. 1.5. (b) Usando o resultado do item (a), calcule o produto escalar entre dois veto-resa eb . SOLUO: Na soluo devemos lembrar que os vetores unitrios formam um ngulo de 90 uns com os outros (so ortogonais entre si) e que qualquer ve-tor forma um ngulo nulo consigo mesmo. Assim,(a) O produto escalar entre os vetores unitrios fica: 1 1 1 1 ) 0 cos( |||| |||| = = = i i i i1 1 1 1 ) 0 cos( |||| |||| = = = j j j j1 1 1 1 ) 0 cos( |||| |||| = = = k k k k0 0 1 1 ) 90 cos( |||| |||| = = = = j i i j j i0 0 1 1 ) 90 cos( |||| |||| = = = = k i i k k i0 0 1 1 ) 90 cos( |||| |||| = = = = k j j k k j(b) Com o resultado do item (a) calculamos: _ _ _ _ _ _ _ _ ,,1 0 00 1 00 01) ( ) ( ) () ( ) ( ) () ( ) ( ) () ( ) (= = == = == == + + + + + + + + =+ + + + = k k b a j k b a i k b ak j b a j j b a i j b ak i b a j i b a i i b ak b j b i b k a j a i a b az z y z x zz y y y x yz x y x x xz y x z y x Assim,s componente dastermos em escalarprodutoz z y y x xb a b a b a b a + + = ,, (1.4) O produto vetorial uma operao entre dois vetores cujo resultado umterceirovetor,perpendicularaoplanodefinidopelosdoisvetoresen-volvidosnoproduto.Oprodutovetorialrepresentadopelosinaldemulti-plicao ( ) e definido por: = (Fig.1.8). direita mo da regra pela dado sentido O ). e vetores pelos definidoplano ao larperpendicu resultante vetordo direo A)) ( sen || || resultante vetordo mdulo O )iiib aiib a b ai,,,, (1.5) Problema Resolvido 1.2 A partir da definio (1.5), calcule o produto vetorial entre os vetores unit-rios do sistema de coordenadas da Fig. 1.5. 153SOLUO O produto vetorial entre os vetores unitrios fica: 0 ) 0 ( sen |||| |||| || || = = i i i i0 ) 0 ( sen |||| |||| || || = = j j j j0 ) 0 ( sen |||| |||| || || = = k k k kPortanto, o produto vetorial de um vetor unitrio por ele mesmo nulo. Ali-s, o produto vetorial de qualquer vetor por si mesmo nulo. E mais... 1 ) 90 ( sen |||| |||| || || = = j i j iAssim,oresultadodoprodutovetoriali^j^umvetorquetemmduloi-gual a 1, perpendicular ao plano x,y e est saindo do papel. Quem tem estas propriedades o vetor k^. Ento, k ek = = i j j i (1.6) O mesmo acontece com os produtos vetoriais i^ k^ej^ k^. 1 ) 90 ( sen |||| |||| || || = = k i k iO resultado do produto vetorial i^ k^ um vetor que tem mdulo igual a 1, perpendicular ao plano x,z e aponta para baixo. Este o vetor j^. Assim, j k e k = = i j i (1.7) E 1 ) 90 ( sen |||| |||| || || = = k j k jO resultado do produto vetorialj^ k^ um vetor que tem mdulo igual a 1, perpendicular ao plano y,z e aponta para a direita. Este o vetor i^. Assim, i j k i j e k = = (1.8) Problema Resolvido 1.3 Usando o resultado do acima, calcule o produto vetorial entre dois vetoresa eb quaisquer, em termos de suas componentes. SOLUO O produto vetorial entre dois vetoresa eb calculado como: _ _ _ _ _ _ _ _ _ ,,0 0 0) ( ) ( ) () ( ) ( ) () ( ) ( ) () ( ) (= ==== = = == + + + + + + + + =+ + + + = k k b a j k b a i k b ak j b a j j b a i j b ak i b a j i b a i i b ak b j b i b k a j a i a b az ziy zjx ziz y y ykx yjz xky x x xz y x z y x Portanto, k b a b a j b a b a i b a b a b az y y x x z z x y z z y) () () ( + = ,,(1.9) 154Mostre que o resultado acima equivalente a: = z y xz y xb b ba a ak j ib a det,, 9 Problemas Prob. 1.1 O vetora possui um mdulo igual a 5,0 m e est dirigido para o leste. O vetorb possui um mdulo igual a 4,0 m e est numa direo de 35 para o noroeste a partir do norte. Quais so (a) o mdulo e (b) a direo dea +b ? Quais so (c) o mduloe(d)adireodea b ?(e)Desenheumdiagramavetorialparacada combinao. Prob. 1.2Dois vetores so dados por:a = (4 m) i^ + (3 m) j^ + (1 m) k^ eb = (5 m) i^ + ( 2,0 m) j^. Na notao de vetor unitrio, encontre (a)a +b , (b)a b e (c) um terceiro vetorc tal quea b +c = 0. Prob. 1.3So dados dois vetores:a = (4 m)i^ + (3 m)j^ eb = (6 m)i^ + (8 m) j^. Quais so (a) o mdulo e (b) o ngulo (relativo a j^) dea ? Quais so (c) o mdulo e (d) o ngulo deb ? Quais so (e) o mdulo e (f) o ngulo dea +b ; (g) o mdulo e (h) o ngulo de b a ; (i) o mdulo e (j) o angulo dea b ? (k) Qual o ngulo entre as direes deb a ea b ? Prob.1.4Cadaumdostrsvetoresa ,b ec possuiummduloiguala50me pertence ao plano x,y. Suas direes relativas ao sentido positivo do eixo x so 30, 195 e 315, respectivamente. Quais so (a) o mdulo e (b) o ngulo do vetora + b +c e (c) o mdulo e (d) o ngulo dea b +c ? Quais so (e) o mdulo e (f) o ngulo de um quarto vetord tal quea +b ( c +dd) = 0? Prob.1.5Doisvetorescommdulosiguaisaaebfazemumnguloentresi quando fazemos coincidir as suas caudas. Prove, tomando as componentes ao longo de dois eixos perpendiculares, que + + = cos 22 2ab b a rfornece o mdulo da somar dos dois vetores. 155Unidade II Cinemtica 1. Situando a Temtica No estudo dos movimentos dos corpos precisamos entender o como um corpo se movimenta e porque um corpo se movimenta. O como e o por-que dos movimentos dos corpos compem a mecnica; a mais antiga das ci-ncias fsicas.A CINEMTICA a parte da mecnica que descreve os movimentos dos corpos. Astrajetrias,asvelocidadeseasaceleraesdosobjetos.Estesernosso objetivo para esta unidade. 2. Problematizando a Temtica O universo est em movimento. Todas as coisas que esto no univer-so esto em movimento. Mesmo as coisas aparentemente em repouso, como seucomputador,estoemmovimentocomaTerraaoredordoSol;coma rbita do Sol ao redor do centro da Via Lctea; da via Lctea em relao s outrasgalxias.Ento,oestudodosmovimentosdoscorpostemquefazer parte das cincias fsicas. Quandoumnibusespacialenviado Lua,precisamosdescrever, antecipadamente, a posio do nibus a cada instante (descrever sua trajet-ria), sua velocidade a cada instante e sua acelerao a cada instante. Isto a CINEMTICA. Estes so os conceitos que desenvolveremos nesta unidade. Entretanto, nesta unidade os objetos em estudo tero seus movimen-tos limitados s translaes. Isto significa que todos os corpos sero tratados como partculas; como se todas as foras estivessem atuando num nico pon-to.Nsfalaremosdepartculas,corposeobjetosindiscriminadamente,mas tendo em mente, sempre, que eles se comportam como partculas. Sem rota-o.precisonoconfundirmovimentoderotaocomtrajetriacircular. ATerratemummovimentodetranslaonasuarbitaquasecircularem torno do Sol e um movimento de rotao em torno de seu eixo. Os movimen-tos de rotao sero estudados nas unidades VI e VII. 3. Vetor Posio e Vetor Deslocamento h VETOR POSIO Ovetorrquelocalizaumapartculanoespaotridimensionalem relaoaumsistemadecoordenadaschamadodeVETORPOSIO.Nada mais justo que chamar de vetor posio o vetor que d a posio da partcu-la. O vetorr ser escrito como: k ji ,z y x r + + = (2.1) onde x, y e z so as projees do vetorr. 156 Seapartculaestiveremmovimento,entosuaposioestarvari-ando com o tempo e, consequentemente, tambm o vetor posio estar vari-ando com o tempo. Um vetor posio que varia com o tempor(t) (Fig. 2.1) ser escrito, at o fim desta disciplina, como: k ) ( i ) ( i ) ( ) (

,t z t y t x t r + + = (2.2) Isto significa que as coordenadas x(t), y(t) e z(t) esto variando com o tempo. h VETOR DESLOCAMENTO Como vimos na unidade anterior, o VETOR DESLOCAMENTO o vetor que repre-senta a mudana de posio do corpo durante um intervalo de tempo t. As-sim, se um corpo estiver na posio {A no instante t (incio do intervalo de tempo) e na posio {B no instante t + t (final do intervalo de tempo), en-to o seu deslocamento ser dado por: ) ( ) ( t r t t rr r rA B AB, ,, , , + = = (2.3) Se olharmos para a definio do vetor deslocamento Eq.2.2, podemos escre-ver o vetor deslocamento em termos das componentes do vetor como k j i] k ) ( i ) ( i ) ( [] k ) ( j ) ( i ) ( [ ,

, ,z y xt z t y t xt t z t t y t t x rAB + + =+ + + + + + + = (2.4) A Fig. 2.2 mostra um vetor deslocamento em duas dimenses. O vetor des-locamento resulta em j i j ) ( i ) (,, ,,AB AB A B A B ABy x y y x x r + = + = (2.5) Quando estivermos tratando de problemas em uma nica dimenso, o vetor deslocamentoterapenasumacomponentediferentedezero;x(t),y(t)ou z(t). 4. Velocidade Mdia e Velocidade Instantnea h VELOCIDADE MDIA Oconceitodevelocidademdiamaismatemticoqueintuitivo. No tem muito a ver com as nossas observaes do dia-a-dia. Vejamos.NaFig.2.2apartculavaide {Apara {Bnumintervalodetempo t. A velocidademdia,v, da partcula neste intervalo de tempo definida por (escalar) tempo de intervalo(vetor) to deslocamen vetor ==trv,,(2.6) Na definio acima, o vetor deslocamento r sempre o vetor ,que vaidaposioqueapartculaocupanoinciodointervalodetempo(posi-o inicial) at a posio que a partcula ocupa no final do intervalo de tem-po (posio final), como na Eq. 2.2. Assim, r =rfinal rinicial. 157Note que a velocidade mdia um vetor e a barra, que est sobre o vetor, indica o valor mdio. Utilizando a Eq. 2.4 obtemos k j i, , ,,tztytxv++= (2.7) Suponhamos que voc saia de sua casa, v at a padaria, compre um poevolteparacasa.Ovetordeslocamentototalcorrespondenteaotrajeto casapadariacasanulo,jque ovetorposionofinaldointervalo de tempo igual ao vetor posio do incio do intervalo de tempo. Olhando para a definio acima, conclumos que a sua velocidade mdia no trajeto ida e volta nula. No importa o quo rpido voc tenha ido e voltado. h VELOCIDADE INSTANTNEA Velocidade sempre um deslocamento por unidade de tempo. A ve-locidadeinstantneaaquelamedida numintervalodetempoinfinitesimal. claroquenumintervalodetempoinfinitesimalodeslocamentotambm ser infinitesimal.A velocidade instantnea definida como: dtt r dtt r t t rtrt vtt) ( ) ( ) (limlim ) (00, , ,,,= +== (2.8) Lembrando da definio do vetor posio, escrevemos: k j i k) (j) (i) () (, , , , , ,,z y xv v vdtt z ddtt y ddtt x dt v + + = + + = (2.9a) Ateno: As componentes vx, vy, e vz do vetor velocidade ficam: ( ) ( ) ( ); ;x y zd x t d y t d z tv v vdt dt dt= = = (2.9b) O vETOR velocidade instantnea a derivada do vetor posio. Como ovetorposiolocalizaapartculaacadainstante,entoeledatrajetria dapartcula.Destaforma,porseraderivada,avelocidadeinstantnea sempre tangente curva descrita pela partcula. 5. Velocidade Escalar e Velocidade Escalar Mdia h VELOCIDADE ESCALAR A velocidade escalar o mdulo da velocidade instantnea. a ve-locidade sem direo e sem o sentido. a velocidade marcada no velocme-trodoautomvel.Apenasolhandoparaovelocmetronsnosabemosse estamosindoouvoltando.Dparasaberapenasseestamosindorpidoou devagar. Portanto, a instantne e velocidad da mdulo || ) ( || = = t v v,(2.10) 158h VELOCIDADE ESCALAR MDIA A velocidade escalar mdia a que estamos acostumados no dia a dia. a distncia total percorrida, num dado intervalo de tempo. No impor-ta o que aconteceu pelo caminho. Ela definida como: (escalar) tempo de intervalo(escalar) percorrido espao. .==tSvm e(2.11) 6. Acelerao Mdia e Acelerao Instantnea A acelerao de uma partcula mede a taxa de variao de sua velo-cidade com o tempo. Assim, quando a velocidade de uma partcula varia, di-zemos que ela est sendo acelerada. Se a velocidade de uma partcula sofre uma variao v num inter-valo de tempo t, definimos acelerao mdia como: tva=,,(2.12a) Note que a acelerao mdia um vetor constante. constante por-que um valor mdio. O vetor velocidade tem componentes vx, vy e vz, como naEq2.9b.Assim,analogamenteaoquefizemosparaavelocidademdia, Eq 2.7, encontramos k j i, , ,,tvtvtvazyx++= (2.12b) h ACELERAO INSTANTNEA A acelerao instantnea mede a variao da velocidade de uma par-tcula num intervalo de tempo infinitesimal: dtv dtt v t t vtvt att, , ,,,= +== ) ( ) (limlim ) (00(2.13) Utilizando a Eq. 2.9, encontramos: kjik) (j) (i) () (z y xzyxa a adtt v ddtt v ddtt v dt a + + = + + =,(2.14) Ateno: As componentes ax, ay e az do vetor acelerao, so dtt v dadtt v dadtt v dazzyyxx) (;) (;) (= = = (2.15) A acelerao instantnea um vetor que pode depender do tempo e daposio.Ouseja,podemosnosdepararcomumproblemaonde a =a (x, y, z, t). Nosnossosproblemas,abordaremososcasosespeciaisemumae duas dimenses, com aceleraes constantes. Resolveremos tambm o pro-blema do movimento circular. 1597. Movimento Em Uma Dimenso Com Acelerao Constante h MOVIMENTO RETILNEO Omovimentorestritoaumanicadimenso,movimentoretilneo. Por exemplo, o de um carro que anda com velocidade constante em uma pis-ta reta e plana, ou o de um corpo que cai em queda livre partindo do repouso, ou o de um bloco preso a uma mola que oscila sobre uma mesa plana e assim por diante.Ostrsexemplosacimacorrespondemamovimentosemumadi-menso, i.e., retilneos, mas com caractersticas diferentes. O carro, andando com uma velocidade que no varia velocida-deconstante,caracterizaummovimentoretilneouniforme (MRU)nahorizontal.Ummovimentosemacelerao,oucom acelerao nula. Ocorpocaindoemquedalivrecaracterizaummovimentoretil-neo na vertical. Desta vez, como ele est sujeito a uma acelerao constante(dagravidade),omovimentoseruniformementevari-ado. O bloco que oscila est sujeito fora de uma mola que varia com aposio.Entoaaceleraotambmvariarcomaposio. Nestecasonsteremosummovimentoaindalinear,mascoma-celerao varivel. Mais complicado que os anteriores. Consideremosumcorpoquesemovimentanadireohorizontal com acelerao,a , constante (Fig. 2.3c). h preciso que o vetor acelerao seja constante para que o movimento se-ja retilneo;a = constante. Vamosescolheradireohorizontalparacolocaronossoeixox. Assim, as aceleraes nas direes y e z sero nulas. Da Eq. 2.15 encontra-mos: constante) (= =xxadtt v d ondeaxaaceleraonadireox.Integrandoarelaoacima,encontra-mos: constante ) ( + = = = = t a dt a dt a v dt a t v dx x x x x x. Assim,avelocidadedocorposerumafunolineardotempo, Fig.2.3b: 0 x x xv v a t = + (2.16) Onde v0x a velocidade do corpo no instante t = 0. A posio x em funo do tempo obtida a partir da Eq. 2.9b: 160) () (t vdtt x dx=Integrando a Eq.2.16 encontramos: constante) ( ) ( ) (22100+ + =+ = = = t a t vdt t a v dt v t x dt v t x dx xx x x x Finalmente. 2210 0) ( t a t v x t xx x+ + =(2.17) AEq2.17chamadadeequaohorriadapartcula.AFig.2.3a mostra o grfico de x(t). Observe que fazendo t = 0 na Eq. 2.17, obtemos x = x0 que a posio inicial da partcula. A Fig. 2.3c mostra o grfico da acelerao (constante) de uma part-cula em funo do tempo. Note que quando a acelerao constante, a acele-raomdiaigualaceleraoinstantnea.Avelocidademostradana Fig. 2.3b. Como a velocidade varia linearmente com o tempo, ento a velo-cidade mdia entre dois instantes t1 e t2, igual a mdia das velocidades; 22 1v vv+= (2.18) PodemoscombinarasEqs,2.16e2.17paraeliminarotempoeob-termos a relao: x a v v + = 2202(2.19) A Eq. 2.18 pode ser utilizada entre dois instantes tinicial e tfinal. As velocidades v e v0 correspondem aos instantes final e inicial, respectivamente. Problema Resolvido 2.1 Omotoristadeumcarro,viajando porumarodoviaa108km/h(30m/s), freia ao avistar um obstculo a 200 m na sua frente. Ele bate no obstculo 10 s depois de acionar os freios. (a) Qual a desacelerao do automvel, suposta constante? (b) Qual a velocidade do carro ao atingir o obstculo? SOLUO: Vamos supor que o movimento acontea ao longo do sentido po-sitivodoeixodox.Vamosconsiderar,tambm,ti=0oinstantequandoo motorista comea a frear e tf.= 10 s o instante que ele bate no obstculo. Sa-bemos que x(tf = 0) = 0 e x(t = 10s) = 200 m. Ento, da Eq. 2.17, temos: (a)2210 0) (f f x ft a t v x t x + + =Ento, 22 221/ 2/50300 20010 10 30 0 200s ms m a a == + + = Osinalde menosindicaqueaaceleraocontrriaaosentidodomovi-mento, i.e., um movimento uniformemente desacelerado. (b) Da Eq. 2.16, que d a velocidade em funo do tempo, temos: s ms m v t a v t v vf f x f x f/ 10/ ] 10 ) 2 ( 30 [ ) (0= + = + = = 161Apenas para conferir vamos fazer: m mtv vx t v xf200 10210 3021= +=+= = Problema Resolvido 2.2 Um automvel, que est parado no sinal de trnsito, parte assim que o sinal ficaverdecomumaaceleraode2m/s2.Nessemesmoinstanteumcami-nhoviajandocomvelocidadeconstantede10m/sultrapassaoautomvel. (a) A que distncia, contando a partir do semforo, o automvel ultrapassar o caminho? (b) Qual ser a velocidade do automvel neste instante? SOLUO:Vamossupor,novamente,queomovimentoaconteaaolongo do sentido positivo do eixo do x. Vamos considerar, tambm, x0 = 0 e ti = 0 o instante que o semforo fica verde. Neste exemplo ns temos o movimento uniforme do caminho (velocidade constante) eomovimento uniformemente acelerado do automvel (acelera-oconstante).AFig.2.4amostraqueosdoisveculostmamesmaposi-o x em dois instantes diferentes; em x = 0 e no instante de ultrapassagem. As equaes horrias so: (a) 2210, 0 00) (e) (t a t v x t xt v x t xaut aut autcam cam+ + =+ == Quandoelesestiveremnamesmaposioxcam(tu)=xaut(tu),ondetuoins-tante de ultrapassagem. Assim, 2210, 00000 u aut u aut u camt a t v x t v x + + = +== = Resolvendo para tu, encontramos: s savt t a t vautcamu u aut u cam10210 2 2221== = =Substituindo em qualquer uma das duas equaes horrias obtemos: m t v t x t xu cam u cam u aut100 ) ( ) ( = = =(b) A velocidade do automvel neste instante ser: ( ) s m s t a v t vu aut aut u aut/ 20 10 2 0 ) (, 0= + = + = 8. Acelerao de Queda Livre Quando deixamos um objeto cair verticalmente, observamos que ele acelerado. Desprezando a resistncia do ar, verificamos que esta acelerao aproximadamente constante nas proximidades da superfcie da Terra. Veri- 162ficamos tambm que todos os corpos caem com a mesma acelerao em um mesmopontodasuperfcie,independentementedasuamassa,tamanhoou forma. Este movimento chamado de queda livre e esta acelerao, constan-te, chamada de acelerao de queda livre, Fig 2.5. A acelerao de queda livre tem origem no campo gravitacional da Terra. a acelerao da gravi-dade,g,cujo mduloaproximadamenteiguala9,8 m/s2,prximodasu-perfcie da Terra.Asequaesqueencontramosparaummovimentocomacelerao constante na horizontal, eixo x, so vlidas para o movimento de queda livre nas proximidades da Terra. Aqui, o movimento acontece ao longo do eixo y. Assim. 2) () (2 102210 0y yyy yyv vvt g v t vt g t v y t y+= = + =(2.20) Valetambm,nointervalodetempoentretietf,instantesiniciale final, podemos escrever: _ yi f y i y fy y g v v = ) ( 22 2(2.21) Problema Resolvido 2.3 Um balo est estacionado sobre um lago quando o piloto do balo decide soltar os lastros para subir, Fig. 2.6. O lastro largado de uma altura de 4,9 m acima da superfcie do lago e cai verticalmente, sem perceber a resistncia doar.Entretanto,aopenetrarnaguaeleafundacomvelocidadeconstante devido resistncia da gua. O lastro atinge o fundo do lago 5 s aps ter sido solto do balo. (a) Qual a profundidade do lago? (b) Qual a velocidade m-dia do lastro desde {Aat {C ? (c) Se a gua fosse retirada, qual deveria ser a velocidade inicial (na vertical) do lastro para que ele chegasse ao fundo do lago vazio nos mesmos 5 s? (a)Destavezomovimentoacontecenavertical,nadireodoeixoy.Fa-remos yC = 0 s sgy yt t g t v y yB18 , 99 , 4 2) ( 2B A 2B 21B0oy A B=== + == Neste instante a velocidade da pedra : s m s m v t g v vB/ 8 , 9 / ) 1 8 , 9 0 (By 0y By = = =Osinalnegativoindicaqueavelocidadetemsentidocontrrioaosentido positivodoeixodo y.Afundandocomestavelocidade(constante)deBat C, durante um intervalo de tempo tBC = ttotal tAB = 4s, a lastro percorre uma distncia dada por: 163 m mt v y y t v y y2 , 39 ) 4 8 , 9 (BC By C B BC By B C= = = + = Portanto o lago tem uma profundidade de 39,2 m. (b) O vetor velocidade mdia, definida na Eq. 2.6, dado por jty yjtytrv ACA CACAC===,, j s m j s m v) / 82 , 8 (/51 , 44 0 = =, O mdulo do vetor velocidade mdia 8,82 m/s. (c) A velocidade inicial do lastro obtida a partir da equao horria: 2voo21voo Ay A Ct g t v y y + =Como queremos que o lastro demore os mesmos 5,0 s para chegar ao fundo, obtemos: s ms m t gty yv/ 68 , 15/ ] 5 8 , 95) 1 , 44 0 ([) (21voo21vooA CAy= ++ = += 9. Movimento em Duas Dimenses Nas duas ltimas sees estudamos movimentos em uma dimenso; numa reta. Agora, estudaremos dois movimentos, diferentes, que acontecem no plano: Movimento de um Projtil e o Movimento Circular. 9.1 Projteis Chamaremos de projtil um corpo que lanado, de alguma forma, com uma componente de velocidade na horizontal. Embora o movimento do projtil seja um movimento de queda livre, uma vez que ele est sujeito ape-nasaodagravidade,eleacontecenoplanoquandovistodoreferencial Terra. Da a diferena. O vetor posio da Eq. 2.2, que localiza a partcula no plano, fica: j) ( i) ( ) ( t y t x t r + =,(2.22) As aceleraes ao longo dos eixos x e y so 2/ 8 , 9 e 0 s m g a ay x = = =Como as duas componentes do vetor acelerao so constantes, o ve-tor acelerao constante. preciso que o vetor seja constante, e no apenas o seu mdulo, para que tenhamos um movimento uniformemente variado.Ao estudar omovimento do corpo no plano, ns podemos trabalhar comascomponentesx(t)ey(t)dovetorposio,separadamente.Assim,a 164partir das Eqs. (2.17) e (2.20), encontramos as equaes horrias para o mo-vimento do projtil ao longo das direes x e y, como: =+ = + + =0) () (0 0 2210 0xxx xat v x t xt a t v x t x (2.23) e = + = + + =g at g t v y t yt a t v y t yyyy y2210 0 2210 0) () ( (2.24) Ou seja,a equao horria x(t) na direo x aquela que corresponde a um movimento retilneo e uniforme com ax = 0 e vx = constante e a equao ho-rriay(t)nadireoyaquelaquecorrespondeaummovimentoretilneo uniformemente variado com ay = constante = g. A Fig. 2.7 mostra a trajetria de um projtil lanado a partir do solo comumavelocidadeinicialv0,queformaumngulo 0comahorizontal. Em termos das componentes o vetorv0 escrito como: jsen icos0 00 0 0 0 _ _ ,y xv vv v v + = (2.25) h A TRAJETRIA Apenas para facilitar os clculos (sem perda de generalidade), vamos colocaraorigemdonossosistemadecoordenadasnopontodelanamento do projtil, ou seja, x0 = 0 e y0 = 0. Da Eq. 2.23 temos: xvxt0= . Substituindo em (2.24) obtemos a equao da trajetria, y(x), 22 20220 00cos 2tan121) (xvgxxvg xvvt yx xy = =(2.26) que a equao de uma parbola. O sinal negativo no termo quadrtico indi-ca que uma parbola com a boca voltada para baixo. h O ALCANCE Chamamos de alcance a distncia total, R, que o projtil percorre na direo x (horizontalmente), independente do ponto de lanamento. Esta dis-tncia sempre dada por: voo xt v R0= (2.27) Onde tvoo o tempo que o projtil fica no ar. Quer dizer, a distncia percorrida pelo projtil na direo horizontal igual velocidade do projtil na direo x velocidade constante vezes o tempo de durao do movi-mento. Em particular, para um projtil lanado nas condies da Fig. 2.7, o tempo de vo calculado fazendo y(tvoo) = yfinal = 0. Ento. 0 ) (22102210000= + ===voo voo y voo voo y voogt t v gt t v y t y _ 165Portanto, gvtyvoo02= . Assim, o alcance fica ) (2 sencos sen 2220200 0 = = =gvgvgv vRx y(2.28) Vemos ento que o alcance de um projtil, cuja posio final est no mesmo nvel que sua posio inicial ( yfinal = yinicial ), ser mximo quando = 45. h O resultado) (2 sen20 =gvR vlido, apenas, para lanamentos onde yfinal = yinicial. O resultado que vale sempre o da Eq. (2.27). Problema Resolvido 2.4 Voc arremessa uma bola em direco a uma parede com uma velocidade de 25m/sfazendoumngulode37acimadahorizontal(Fig.2.8).Aparede esta20mdopontodelanamentodabola.(a)Aquedistnciaacimado pontodelanamentoabolabatenaparede?(b)Quaissoascomponentes horizontaleverticaldasuavelocidadequandoelabatenaparede?(c) Quando ela bate, ela j passou do ponto mais alto da sua trajetria? (use g = 10 m/s2, cos 37 = 0,8 ) SOLUO:(a) Chamaremos de tf o instante (final) quando a bola bate na parede. Preci-saremossaberesteinstanteparacalcularmosaposiofinaly(tf).Otempo de vo da bola igual ao tempo que a bola gasta para percorrer 20 m na ho-rizontal com um velocidade vox = vocos() = 20 m/s: s 1 s2020ff f o f= == + =oxooxvx xt t v x xEnto, a posio yf da bola ser: m 10m ] 1 10 1 ) 6 , 0 25 ( 0 [) (2212f21f o f f= + = + = = t g t v y t y yoy (b) As componentes devf so: m/s 20ox fx= = v vm/s 5 m/s ) 1 10 15 (f oy fy= = = gt v v(c)Comoacomponenteydavelocidadefinalpositiva,entoconclumos que a bola ainda est subindo. Logo a bola ainda no passou pelo mximo. 166Problema Resolvido 2.5 Quando o projtil da Fig. 2.9, lanado da posio {Ano solo, passa pela po-sio {Ba 15 m de altura, sua velocidade vB = (8 m/s)i^ + (10 m/s)j^. (a) DetermineovetorvelocidadevAnoinstantedolanamento.(b)Quanto tempo o projtil permanece no ar (tempo de vo) at atingir o solo no mes-monvel?(c)Qualaalturamximaatingidapeloprojtil?(d)Determineo vetor velocidade mdiavCD desde o instante que o projtil passa pelo ponto de altura mxima at o instante que ele atinge o solo. SOLUO: (a) O projtil est a 15 m do solo em dois instantes diferentes: na subida e na descida. Entretanto, como a componente y da velocidadevB positiva, con-clumosqueoprojtilaindaestsubindo.Destaforma,podemoscalculara componente vAy usando a Eq. 2.21. m/s 20m/s 15 10 2 100) ( 2 ) ( 22 2 2= + = + = =A B By Ay A B Ay Byy y g v v y y g v v Desta forma,vA = (8 m/s) j + (20 m/s) j. (b)Comooprojtilatingeosolonomesmonvelemquefoilanado,a componenteydavelocidadefinalserigualcomponenteyinicial,com sentido contrrio (vDy = vAy). Ento, y y voo y yv v t g v vA D A Dcom = =s 42 Portanto,A= =gvtyvoo (c) A altura mxima alcanada pelo projtil yC. Neste instante a componen-te y da velocidade nula. Assim temos: m 202g) ( 22AC A C2A2C= = =yy yvy y y g v v(d) A velocidade mdia vCD dada por: j ) m 20 ( i ) m 16 ( j H i2R i ) m 32 ( i i R comCvoo Ax CD ,

,, ,,+ = + == = ==rt v rtr rvDC D Finalmente, j ) m/s 10 ( i ) m/s 8 (s 2j ) m 20 ( i ) m 16 (CD , == v 1679.2Movimento Circular Outro exemplo de movimento que acontece no plano o de uma par-tculaquedescreveumatrajetriacircularcomoaquelamostradanaFig. 2.10. Ns vamos considerar nesta seo apenas os movimentos circulares u-niformes, i.e., aqueles onde o mdulo da velocidade permanece constante. h POSIO ANGULAR AFig.2.11mostraumapartculadescrevendoumatrajetriacircu-lar.Vamosconsiderarqueavelocidadedapartculatenhademdulocons-tante. Para localizarmos a partcula no crculo, precisamos conhecer apenas o ngulo . Como o ngulo est mudando a medida que a partcula se deslo-ca,nsprecisamosconhecer(t).Estaaposioangulardapartcula. Como na geometria, ngulos no sentido anti-horrio sero positivos e ngu-los no sentido horrio sero negativos. h DESLOCAMENTO ANGULAR Quando a partcula gira de A para B num intervalo de tempo t, o ngulomudadeAparaB.Istocorrespondeaumdeslocamentoangular = B A. h VELOCIDADE ANGULAR MDIA E VELOCIDADE INSTANTNEA A velocidade angular mdia definidacomo = = = t tinicial final(2.29) onde final a posio angular no final do intervalo de tempo e inicial a po-sio angular no incio do intervalo de tempo. Avelocidadeangularinstantneaavelocidademedidaquandoo intervalo de tempo tende a zero. Assim, dtt dtt t ttt) ( ) ( ) (lim ) (0= + = Nesta seo ns trataremos de problemas onde a velocidade angular constante, ento = . Assim, escolhendo a posio inicial 0 = 0 o deslo-camento angular da partcula (t) escrito como t t = ) ( (2.31) h ACELERAO RADIAL DaFig.2.11vemosqueovetorposior(t)escrito,emtermos das componentes como j) ( sen i) cos ( j) ( i) ( ) ( + = + = R R t y t x t r, onde R o raio da rbita. Com a Eq. 2.31, escrevemos j) sen( i) cos ( ) ( t R t R t r + =,(2.32) 168Derivando a Eq. 2.32 em relao ao tempo, encontramos a velocida-dev(t), j) cos ( i) sen() () ( t R t Rdtt r dt v + = =,, Derivando, agora, a Eq. 2.33 em relao ao tempo, encontramos a acelerao a(t) do movimento; [ ] r j R i Rj R i Rdtt v dt ar2 22 2) t sen () t cos () t sen () t cos () () ( = + = + = = _ ,,,(2.33) Portanto,nomovimentocircularuniformeaaceleraoumvetor quetemamesmadireodovetorr(t),mastemosentidocontrrioaodo vetorr(t). Ou seja, a acelerao um vetor que tem a direo radial e apon-ta para o centro. Por esse motivo (apontar para o centro) esta acelerao re-cebe o nome de acelerao centrpeta. Omdulodacomponenteradialdaacelerao(componentecentr-peta) R r aradial2 2|| || = =,.(2.34) Note que o mdulo da acelerao radial constante quando a velocidade an-gular constante. Quando a velocidade angular no constante, ento porque a par-tcula est sendo acelerada (ou desacelerada). Nestes casos, alm da compo-nente radial a acelerao da partcula tem uma componente tangente traje-tria (perpendicular ao raio) como mostra a Fig. 2.10. Ainda assim, em qual-querinstanteaaceleraoradialestrelacionadacomavelocidadeangular como na Eq. 2.34. h VELOCIDADE ANGULAR E VELOCIDADE LINEAR AFig.2.12mostraodeslocamentodeumapartculanumintervalo de tempo t. A partcula se desloca de {Apara {Bao longo do arco de cir-cunferncias.Ovetordeslocamentoestrepresentadopelovetor r.O espao percorrido pela partcula est relacionado com o deslocamento angu-lar por: = R sQuando o intervalo de tempo tende a zero, os deslocamentos ficam infinite-simais. Assim, = = d R ds drdds sdr rt 0Ento encontramos as relaes: = = R vdtdRdtdr(2.35) 169Substituindo 2.35 em 2.34, encontramos: Rva2radial = (2.36) Estarelaovaleinstantaneamente,noimportandoseummovi-mento circular uniforme ou no. Por enquanto ns abordaremos apenas o movimento circular com ve-locidadeconstante.Aoabordarmosotemarotaes,aescreveremosuma relao equivalente Eq. 2.35 para a acelerao angular. Problema Resolvido 2.6 Umastronautacolocadoparagirar emumacentrfugahorizontalcomum raiode5m.(a)Qualomdulodasuavelocidadeescalarseaacelerao centrpeta(radial)possuiummdulode7g?(b)Quantasrotaespor minutosonecessriasparaproduzirestaacelerao?(c)Qualoperodo do movimento? (a) A Eq. 2.35b relaciona a acelerao radial e a velocidade escalar. Ento m/s 5 , 18 m/s 8 , 9 7 5radial = = a R v(b) Da Eq. 2.35a, podemos encontrar a velocidade angular: rad/s 7 , 3 rad/s55 , 18= = = Rv (c) O perodo do movimento s 7 , 1 s7 , 314 , 3 2 2== T 10. Problemas Prob 2.1 Voc dirige na rodovia interestadual de Joo Pessoa at Natal, metade do tempoa55km/heaoutrametadea90km/h.Nocaminhodevoltavocviaja metadedadistnciaa55km/heaoutrametadea90km/h.Qualasuavelocidade escalar mdia (a) de Joo Pessoa at Natal, (b) de Natal voltando para San Antnio, e(c)paraaviagemcompleta?(d)Qualasuavelocidademdiaparaaviagem completa?(e)Faaumesboodexcontratpara(a),supondoqueomovimento todonosentidopositivodex.Indiquecomoavelocidademdiapodeser determinada no esboo. Prob 2.2 Quando um trem de passageiros de alta velocidade trafegando a 161 km/h fazumacurva,omaquinistaficachocadoaoverqueumalocomotivaentrou incorretamentenotrilhosaindodeumramaleestaumadistnciaD=676m frente.Alocomotivaestsemovendoa29,0km/h.Omaquinistadotrem-bala acionaosfreiosimediatamente,(a)Qualdeveseromdulodadesacelerao constanteresultantemnimaparaseevitarumacoliso?(b)Suponhaqueomaqui-nista esteja em x = 0 quando, em t = 0, ele consegue avistar a locomotiva. Faa um esboo das curvas x(t) representando a locomotiva e o trem de alta velocidade para as situaes nas quais se evita uma coliso por pouco e quando ela no consegue ser evitada. 170Prob2.3Deixa-secair(dorepouso)umapedradoaltodeumedifciode60mde altura.Aquedistnciaacimadochoestarapedral,2santesdeelaatingiro cho? Prob2.4Umaboladegolfetacadaaonveldosolo.Avelocidadedabolade golfe em funo do lempo mostrada na Fig. 2.13, onde t = 0 no instante em que a bola tacada, (a) Que distncia a bola de golfe percorre na horizontal antes de voltar aonveldosolo?(b)Qualaalturamximaacimadonveldosoloqueabola alcana? Prob 2.5 Dois segundos aps ser projetado do nvel do cho, um projtil se deslocou 40 m na horizontal e 53 m na vertical acima do seu ponto de lanamento. Quais so as componentes (a) horizontal e (b) vertical da velocidade inicial do projtil? (c) No instante em que o projlil alcana a sua altura mxima acima do nvel do solo, qual a distncia percorrida na horizontal a partir do ponto de lanamento? Prob 2.6 Uma bola de futebol chutada do cho com uma velocidade inicial de 19,5 m/sfazendoumngulode45paracima.Naqueleinstante,umjogadorauma distnciade55mnadireodochutecomeaacorrerparareceberabola.Qual deve ser a sua velocidade escalar mdia para que ele chegue na bola imediatamente antes dela bater no cho? Despreze a resistncia do ar. Prob2.7Umaroda-gigantepossuiumraiode15mecompletacincovoltasem tomo do seu eixo horizontal por minuto, (a) Qual o perodo do movimento? Qual aaceleraocentrpetadeumpassageirono(b)pontomaisaltoe(c)pontomais baixo, supondo que o passageiro esteja em um raio de 15 m? Prob 2.8 O trem-bala francs conhecido como TGV (Train Grande Vitesse) possui uma velocidade mdia programada de 216 km/h. (a) Se o trem faz uma curva quela velocidade e o mdulo da acelerao que os passageiros sentem deve ser limitado a 0,050g(g=acelerao(agravidade),qualomenorraiodecurvaturaadmissvel para os trilhos? (b) A que velocidade o trem deve fazer uma curva com um raio de l km para que esteja no limite da acelerao? 171Unidade III Dinmica 1. Situando a Temtica Todas as coisas no universo esto interagindo, direta ou indiretamen-te, umas com as outras. Acreditamos que existam apenas quatro tipos de in-teraesfundamentaisnanatureza:interaofraca,interaoforte,intera-o eletromagntica e interao gravitacional. Chamamos de fora o resul-tadodeumainteraoentreduaspartculas;forafraca,foraforte(fora nuclear),foraeletromagnticaeforagravitacional.Soestasforasda naturezaquecolocamouniversoemmovimento.Apartedamecnicaque estuda o que acontece com uma partcula quando uma fora atua sobre ela chamada de DINMICA. Faremos isso nesta unidade. 2. Problematizando a Temtica O que faz com que a velocidade de uma partcula mude, so as for-asqueatuamsobreela.NaseoII.4,vimosquequandoavelocidadede umapartculaestmudando,porqueelaestsendoacelerada.Ouseja,as partculas so aceleradas pelas foras. Ns queremos saber como as partcu-las so aceleradas.Nestadisciplina,nsestudaremosproblemasdodia-a-dia;proble-masenvolvendoforassimples,namaioriadasvezesconstantes,semnos preocuparmos com suas origens. Nem poderamos fazer diferente. O estudo dasinteraesquecitamosnaseoanterioralgobastantecomplicado. Muito alm, mesmo, dos nossos propsitos. 3. Fora Dissemos acima que fora o resultado da interao entre dois cor-pos. De que maneira ns trataremos esta nova grandeza; como um escalar ou como um vetor? Se voc pudesse jogar duas bombas de calor num corpo, uma pela direita e outra pela esquerda, o corpo ficaria duas vezes mais quente. Entre-tantosevocempurrarumcorpocomumaforapeladireitaeoutra,de mesma intensidade, pela esquerda, ele no se mover duas vezes mais rpi-do. O corpo no sai do lugar. Isto nos diz que foras se somamcomo veto-res. As foras se comportam como vetores. A fora um vetor. Para caracte-rizarmosumaforacompletamente,precisoespecificarsuaintensidade (mdulo), sua direo e o sentido da fora. EmsuaobraPhilosophiaeNaturalisPrincipiaMathematica (Latim:PrincpiosMatemticosdaFilosofiaNatural),publicadaem5de julhode1687,SirIsaacNewton(Woolsthorpe,4dejaneirode1643 Londres, 31 demaro de1727) apresentou ao mundo a lei da gravitao e 172as trs leis de Newton que fundamentaram a MECNICA CLSSICA. Newton foiconsideradopelaRoyalSocietycomoocientistaquecausoumaior impacto na histria dacincia. De fato se pensarmos que estudamos corpos quesograndesobastanteparadispensarmosamecnicaquntica,nem muitorpidosenemmuitoimensosparanoprecisarmosdateoriada relatividade,entoelesserotratadosdeacordocomasleisdamecnica clssica.ComasleisdeNewton.DparairLuacombasanasleis publicadas em 1643! 4. Primeira Lei de Newton h LEI DA INRCIA Aindacomumaideiadequenecessrioumaforaparamanter um corpo em movimento. De fato, se nos basearmos nas observaes do dia-a-dia, isto bastante razovel. Basta olharmos para um objeto se deslocando sobreumpisoeconstatamosqueeleterminaparando.Assim,poderamos concluir,comosepensavaantesdeNewton,queprecisoumaforapara manterocorpoemmovimento.Naverdadeoqueacontecejustamenteo contrrio.Ocorpoparaporqueexistemforasatuandosobreelequefazem com que ele pare. Se eliminarmos todas as foras atuando sobre o corpo, ele continuar deslizando indefinidamente. hPrimeira Lei de Newton: Se a soma das foras que atuam sobre uma par-tcula nula, ento a velocidade (o vetor) da partcula no se altera; ou seja, a partcula no ser acelerada. 5. Segunda Lei de Newton A segunda lei de Newton relaciona a fora resultante sobre uma par-tcula com sua massa e sua acelerao, de uma forma simples e objetiva: hSegundaLeideNewton:Aforaresultantesobreumapartculaigual ao produto de sua massa por sua acelerao. Matematicamente, escrevemos (Fig. 3.1). h 2 Lei de Newton: a m Fres,,= (3.1) A segunda lei de Newton usada para definir uma unidade de fora. No SI (MKS) a unidade de fora o Newton (N). Definimos:Uma fora de intensidade igual a 1 N capaz de conferir uma acelerao de intensidade de 1 m/s2 a uma massa de 1 kg; ) / 1 ).( 1 ( 12s m kg N =precisotercuidadocomestaformadeenunciadoparaasegunda lei de Newton. Este resultado vale para partculas e corpos com massa cons-tante.NaseoVveremosoenunciadooriginalemtermosdomomentoli- 173near.Porenquantolembramosapenasqueamassanopodevariar;como acontece com as partculas. 6. Terceira Lei de Newton Talvez a mais contundente das trs, a terceira lei diz: h Terceira Lei de Newton: A toda ao (uma fora) corresponde uma rea-o (outra fora) de mesma intensidade (mdulo), mesma direo e sentido contrrio. Aterceiraleinosdizque,nouniverso,asforassempreaparecem aos pares. Isto faz sentido, j que estamos definindo fora a partir das intera-es e nas interaes sempre h uma troca de partculas. Nas interaes e-letromagnticas as partculas trocam ftons (partculas de luz), nas intera-es fortes as partculas trocam gluons, nas interaes fracas as partculas trocambsonsWeZenasinteraesgravitacionaistalvezasmassas troquem grvitons. Talvez, porque o grviton ainda no foi detectado. Es-taspartculastrocadassochamadasdemediadoresoupariculas transportadoras de fora. 7. Atrao Gravitacional Peso de Newton a primeira teoria da gravitao. Esse Newton era bom mesmo, no?! Ele entendeu como os planetas giram em torno do Sol, postu-lou a existncia de uma fora de atrao gravitacional resultado da in-terao gravitacional entre as massas e calculou que eles descrevem r-bitaselpticasemtornodosol.DeacordocomNewton,omdulodafora de atrao gravitacional entre duas massas, M1 e M2, separadas por uma dis-tncia r, Fig. 3.2a, dado por: 22 1rM MG F =(atrao gravitacional)(3.2) onde G = 6,67 10 11 m3/s2 kg a constante de gravitao universal.AFig.3.2bmostraumcorpoemtrsposiesdiferentes.Observe que a fora radial e o seu mdulo varia com a distncia ao centro da Terra. Se MT a massa da Terra e m a massa do corpo, ento o mdulo F da fora ser: = =2 2rMG mrM mG FT T(3.3) Comparando este resultado com a segunda lei, Eq. 3.1, encontramos: g m F = (3.4) onde gravidade da acelerao2= =rMG gT(3.5) 174Estaaforadeatraoqueaparecenumainteraogravitacional. A Eq. 3.4 d a fora de atrao gravitacional que a Terra exerce sobre todos os corpos. Esta fora usualmente chamada de peso. Osdetalhesdestesclculoseoslimitesdavalidadedateoriade NewtonserovistosdisciplinaFsicaGeral2.Porenquantoabordaremos problemas envolvendo massas nas proximidades da Terra. O fato de estarmos prximos da Terra leva a duas simplificaes: i)O mdulo da acelerao da gravidade pode ser considerado constan-te. Ele varia pouco de um ponto para outro na superfcie da Terra. ii)Prximos da Terra, ns no percebemos a sua curvatura e ento po-demosconsiderarovetorgcomoumvetorvertical.claroque um vetor vertical no equador diferente de um vetor vertical no plo. 8. Foras de Contato h FORA NORMAL Quandoumcorpoestapoiadosobreumasuperfcie,Fig.3.3,com-primindo-a, a superfcie reage com uma fora de mesmo mdulo, mesma di-reoesentidocontrrio;comoprevaterceiraleideNewton.Asforas deste par ao e reao so perpendiculares superfcie de contato e, por is-so,aforaqueasuperfcieexercesobreocorpochamadadeforaper-pendicular ou fora normal. h Fora Normal: Quando um corpo comprime uma superfcie, ela empurra o corpo com uma fora N que normal superfcie. As foras que atuam na caixa: Fgc = fora de atrao gravitacional da Terra sobre a caixa. Nc= componente normal (sobre a caixa) da fora de contato entre a caixa e a mesa. As foras que atuam na mesa: Fcm = Nc = componente normal (sobre a mesa) da fora de conta-to entre a caixa e a mesa. Fgc = fora de atrao gravitacional da Terra sobre a mesa. Nc= componente normal (sobre a mesa) da fora de contato entre a mesa e o solo. Noteque,Fig.3.4ae3.4b,umadasforasdeumparaoreao estnumcorpoeaoutraestnooutrocorpo.Senofosseassim,todasas coisasestariamemrepouso.NaFig.3.4temosumnicoparaoreao: Nc e Fcm. 175Problema Resolvido 3.1 Uma caixa de 10 kg colocada sobre uma balana que est dentro de um e-levador. O elevador partedo trreo aceleraa uma taxa de 2m/s2e ao parar no 10 andar ele desacelera com mesma taxa de 2 m/s2. Determine o peso da caixa e a leitura da balana (a) quando o elevador est parado, (b) quando o elevador est partindo do trreo e (c) quando o elevador est parando no 10 andar. SOLUO:A primeira coisa a ser compreendida que a balana marca a fora que a caixa faz sobre ela; esta ser a leitura da balana. Agora, a fora que a cai-xa faz sobre a balana tem mesmo mdulo, mesma direo e sentido contr-rio fora que a balana faz sobre a caixa. Ao e reao. A Fig, 3.7 mostra um diagrama das foras que atuam na caixa. A componente normal (s tem ela) da fora de contato , justamente, a fora que a balana faz sobre a cai-xa. Desta forma, ns precisamos, apenas, determinar o valor da normal para cada caso. Da 2 lei de Newton temos: a m P N,, ,= +hAteno:Asomafeitasemprecomosinaldemais.nasubtrao que aparece o sinal de menos. No importa para onde o vetor aponta. As-sim,quandoaleideNewtondizqueasomadasforasigualamassa vezes acelerao, ns devemos que fazer a soma vetorial de todas as for-as que atuam no corpo. Os vetores da relao (3.9) so escritos como: j e j ,ja a P P N N = = =,, , Lembre que N = | N | e P = |P |. O sinal no vetor acelerao correspon-de ao movimento acelerado na sada retardado na chegada, respectivamente. Assim, (a) O peso da caixa a fora que a Terra faz sobre a caixa e vale: P = mg = 98 NQuando o elevador est parado, a = 0. Ento a Eq 3.9 fica: N P = 0 N = P = 98 N que a leitura da balana. Portanto a balana marcar 98 N. (b) O peso da caixa continua sendo a fora que a Terra faz sobre a caixa e vale: P = mg = 98 NQuandooelevadorestpartindodotrreo,aaceleraoparacimaFig. 3.5a. Assim, a m P N a m P N = = jj) (assimqueosinalde menosaparece.Usandoosvaloresdoproblema,en-contramos: N 118 N ) 2 8 , 9 ( 10 ) ( = + = + =+ =a g ma m g m N 176Portanto a balana marcar118 N . (c) O peso da caixa sempre a fora que a Terra faz sobre a caixa:P = mg = 98 N Quando o elevador est parando no 10o andar, a acelerao para baixo Fig. 3.5b. Ento, a m P N a m P N = = jj) (Vetores que tm o mesmo sentido aparecem com o mesmo sinal na equao. o que acontece, agora, com os vetores peso e acelerao. Usando os valo-res do problema, encontramos: N 78 N ) 2 8 , 9 ( 10 ) ( = = = =a g ma m g m N Portanto a balana marcar 78 N . h FORA DE ATRITO Quando o corpo apoiado sobre uma superfcie est deslizando sobre estasuperfcieoutentandodeslizarsobreela,aparecerumaforaopon-do-seaomovimentooutentativademovimento.Estaforachamadade fora de atrito e sempre paralela superfcie de contato.Na realidade, o que existe uma nica fora de contato que aparece no contato entre duas superfcies. Esta fora , essencialmente, a soma veto-rial de todas as interaes eltricas entre os tomos das duas superfcies. Os tomosnoconseguemsepararforanormaleforadeatrito.Elesnoso to espertos assim. Os tomos interagem e a soma vetorial destas interaes que resulta numa fora de contato e que ns separamos numa componente perpendicularsuperfcie(foranormal)enumacomponenteparalela superfcie (fora de atrito). Senohouverummovimentorelativo,outendnciademovimento relativo,entreasduassuperfcies,entoacomponenteparaleladaforade contato(foradeatrito)sernula.Lembre-se:elaqueseopeaomovi-mento. h COMPONENTE PERPENDICULAR E COMPONENTE PARALELA Consideremos uma caixa sobre uma mesa como na Fig. 3.3a. Neste momento,duasforasatuamsobreacaixa:aforadeatraogravitacional (peso) e a fora que a mesa exerce sobre caixa perpendicularmente super-fcie (normal). h Ateno: Estas foras no formam um par ao e reao. A reao ao pe-so est no centro da Terra; a Terra puxa a caixa e a caixa puxa a Terra. A reao normal est na mesa; a caixa empurra a mesa e a mesa empurra a caixa.Tendo em mente a 3 lei de Newton ( F = m.a) vemos que a caixa no se mover. Observamos, experimentalmente, que ao empurrarmos a cai-xa com uma foraF crescente (Fig.3.6a), ela no se mover no inicio. Ento 177deve existir uma fora de mesmo mdulo, direo e sentido contrrio fora Faplicadaparaqueasomadzero.AFig.3.6bmostraumdiagramapara estas foras. A partir de um certo valor de F a caixa entrar em movimento. Vamos entender cada caso. i)Enquantonohmovimento,outendnciaaomovimento,aforade contato tem apenas a componente normal. A componente paralela (for-a de atrito) nula. ii)Quandocomeamosempurraracaixa,surgeumacomponenteparalela deforaqueseopeaomovimento.Estaaforadeatritoesttica. Esttica porque ainda no existe movimento relativo entre as superfcies. iii)medidaqueaforaaplicadaaumenta,aforadeatritoestticatam-bmaumenta,deformaqueacaixanosemove.Entretanto,constata-mos,empiricamente,queaforadeatritoestticanocresceindefini-damente.Umahoraacaixasedesloca!Voccertamentejviveuesta experincia. iv)A fora aplicada superou o limite da fora de atrito esttica e a caixa en-trou em movimento. Agora, a componente paralela da fora de contato chamadadeforadeatritodinmica(oucintica).Porqueexistemo-vimento relativo entre as duas superfcies. Constatamos tambm, sempre experimentalmente, que a componen-te paralela da fora de contato (atrito) proporcional componente perpen-dicular da fora de contato (normal) Fig.3.7. N N fatrito = (3.6) A constante de proporcionalidade, , chamada de coeficiente de atrito.Quandonoexistemovimentorelativoentreassuperfcies,chama-remos de coeficiente de atrito esttico ( e). Neste caso, mxima) esttica atrito de (foraesttica) atrito de (foraemxee eN fN f = (3.7) Quando existe movimento relativo entre as superfcies, chamaremos de coeficiente de atrito dinmico (ou cintico, d); N fd d = (fora de atrito dinmica)(3.8) Note que as Eqs. 3.7 explicitam o fato de haver um valor mximo para a for-a de atrito esttica. Quandoassuperfciesestosuficientementepolidas,podemoscon-siderar a fora de atrito desprezvel, ou e = 0 e d = 0. Nestes casos, a fora decontatoterapenasacomponentenormaleomovimentonoserretar-dado pelo atrito. 178hAteno:Nempenseemcolocarsetasnarelao(3.6).Ascomponentes normal e de atrito, da fora de contato (Fig. 3.7), so ortogonais entre si e, portanto, so linearmente independentes! No d para escrever uma relao de proporcionalidade na forma vetorial. Apenas os mdulos so proporcio-nais. Problema Resolvido 3.2 Umacaixade10kgempurradanumasuperfcieplanaporumaforaque forma um ngulo de 37 com a horizontal como mostra a Fig. 3.8. Os coefi-cientes de atrito esttico e cintico entre a caixa e a superfcie so 0,5 e 0,2 respectivamente.(a)Faaumdiagramadasforasqueatuamnacaixa.(b) DetermineosvaloresdaforadeatritoedaaceleraoparaF=40N?(c) Determine os valores da fora de atrito e da acelerao para F = 200 N? (use g = 10 m/s2 e sen 37 = 0,6) Soluo:(a) Ao lado, o diagrama (esquema) das foras que atuam na caixa. Elas so: F = fora aplicada. N= componente normal da fora de contato.P= fora gravitacional (peso) fa = componente paralela da fora de contato.(fora de atrito) A 2 lei de Newton para as componentes x e y ficam:direo x:Fcos fa = ma(1) direo y:N P Fsen = 0(2) (b)Primeiramente,precisamossabersehavermovimento.Ouseja,preci-samos saber se a caixa ser arrastada ou no, para sabermos se a fora de a-trito ser esttica ou dinmica. Para tanto, vamos comparar acomponentex da fora aplicada, Fx = Fcos(), com o mximo que o atrito consegue segu-rar, i.e., com a fora de atrito de esttica mxima. Ento: Fx = Fcos = 400,8 = 32 N Da relao (2), temos N = P + Fsen = (10 kg 10 m/s2) + (40 0,6 N) = 124 N e f emx = e N = 0,5 124 N = 62 N Portanto, como Fx (= 32 N) f emx(= 110 N), haver movimento. Assim conclumos: fa = fd = e N= 0,2 220 N = 44 N e, da relao (1), a=Fcos fdm=0,8 200 N 44 N10 kg = 11,6 m/s2 Problema Resolvido 3.3 Um aeromodelo de 1,6 kg, voando com velocidade constante de 10 m/s, des-creve um crculo horizontal a uma altura de 15 m do solo preso por um cabo de 25 m. O aeromodelo voa com as asas na horizontal de forma que a fora desustentao(empuxo)atuaverticalmentesobreoaeromodelo.(a)Faa um diagrama das foras que atuam sobre o avio quando ele passa por A. (b) Determine a tenso no cabo que prende o aeromodelo. (c) Determine a fora de sustentao que atua sobre o aeromodelo. (use g = 10 m/s2) SOLUO: (a) O diagrama mostra as foras quando o aeromodelo passa por A. E = Empuxo P = Peso T = Tenso (b)Anicaforaquetemumacomponentenoplanox,yatenso.Esta componente da tenso tem a direo radial e assim, Rvm a m T TRadial Radial2sen = = =com m 202 2= = H L R . Portanto, N 10 N8 , 0 20106 , 1sen2 2= ==Rvm T . (c) A equao de movimento (2 lei de Newton) na direo z fica: E P Ty= 0 E = P + Tcos = 16 N + (10 0.6) N Portanto E = 22 N. Problema Resolvido 3.4 Um avio est voando em um crculo horizontal com uma velocidade de 720 km/h (Fig. 3.10). Se as asas esto inclinadas 37 sobre a horizontal e supon- 180do-se que a fora de sustentao aerodinmica seja perpendicular super-fcie das asas: (a) Faa um diagrama das foras que atuam sobre o avio. (b) Determine o raio do crculo descrito pelo avio. (use g = 10 m/s2 e sen 37 = 0,6) SOLUO: (a) A 2a Lei de Newton em termos das componentes dos vetores fica: No plano x,y ) 1 ( sen 2radial radialRvm E a m E = =Na direo z ) 2 ( cos 0 mg E P Ez= = (b) Fazendo (1) (2) obtemos: ms ms mgvRg Rv5330/ 10) / 200 ( tan tan4322 2 2= = = 9. Problemas Propostos Prob.3.1Trsastronautas,impulsionadospormochilasajato,empurrameguiam um asteride de 120 kg em direo a uma plataforma de processamento, exercendo as foras mostradas na Fig. 3.11. Qual a acelerao do asteride (a) na notao de vetor unitrio e como (b) um mdulo e (c) uma direo? Prob. 3.2 Uma garota de 40 kg e um tren de 8,4 kg esto sobre o gelo sem atrito de um lago congelado, a uma distncia de 15 m um do outro mas unidos por uma corda de massa desprezvel. A garota exerce uma fora horizontal de 5,2 N sobre a corda. (a)Qualaaceleraodotren?(b)Qualaaceleraodagarota?(c)Aque distncia da posio inicial da garota eles se encontram? Prob.3.3Doisblocosestoemcontatosobreumamesasematrito.Umafora horizontalaplicadaaoblocomaior,comomostradonaFig.3.12.(a)Semt=2,3 kg, m2 = 1,2 kg e F = 3,2 N, ache o mdulo da fora entre os dois blocos, (b) Mostre que se uma fora de mesmo mdulo F for aplicada ao bloco menor mas no sentido contrrio,omdulodaforaentreosblocosser2,lN,quenoomesmovalor calculado em (a), (c) Explique a diferena. Prob. 3.4 Um trabalhador arrasta um caixote pelo piso de uma fbrica puxando uma corda presa ao caixote (Fig. 3.13). O trabalhador exerce uma fora de 450 N sobre a corda, que est inclinada de 37 em relao horizontal, e o piso exerce uma fora horizontal de 125 N que se ope ao movimento. Calcule o mdulo da acelerao do caixote se (a) a sua massa for de 310 kg e (b) o seu peso for de 310 N (use sen 37 = 0,6). Prob. 3.5 Um piloto de 60 kg com sua motocicleta acelera a 3 m/s2 para subir uma ladeirainclinada10acimadahorizontal,(a)Qualomdulodaforaresultante agindo sobre o motoqueiro? (b) Qual o mdulo da fora que a motocicleta exerce sobre o motoqueiro? Prob. 3.6 Na Fig. 3.14, uma caixa de lpis de 1 kg sobre um plano inclinado de 30 sem atrito est ligada a uma caixa de canetas de 3 kg sobre uma superfcie horizontal sem atrito. A roldana no possui atrito nem massa, (a) Se o mdulo deF for 2,3 N, qual a trao no fio de ligao? (b) Qual o maior valor que o mdulo de F pode ter sem que o fio de ligao fique frouxo? 181 Prob. 3.7 Um balo de ar quente de massa M est descendo na direo vertical com aceleraoparabaixodemduloa.Quantodemassa(lastro)deveserjogadafora paradaraobaloumaaceleraoparacimademdulo a(mesmomdulo,masno sentido contrrio)? Suponha que a fora para cima do ar (a sustentao) no se altera por causa da reduo na massa. Prob.3.8UmaforahorizontalFdemduloiguala12Nempurraumblocoque pesa 5 N contra uma parede vertical (Fig. 3.15). O coeficiente de atrito esttico entre aparedeeoblocode0,60,eocoeficientedeatritocinticode0,40.Suponha que o bloco no esteja se movendo inicialmente, (a) O bloco ir se mover? (b) Qual a fora da parede sobre o bloco, na notao de vetor unitrio? Prob.3.9OsblocosAeBdaFig.3.16pesam44Ne22N,respectivamente,(a) DetermineopesomnimodoblocoCparaimpedirqueoblocoAdeslizesee, entre o bloco A e a mesa for de 0,20. (b) O bloco C removido subitamente de cima do bloco A. Qual ser a acelerao do bloco A se d entre A e a mesa for de 0,15? Prob.3.10 Umblocode3,5kgpuxadosobreumasuperfciehorizontalpor unia fora F de intensidade igual a 15 N que faz um ngulo = 37 acima da horizontal. O coeficiente de atrito cintico entre o bloco e o piso de 0,2. Calcule a intensidade (a)daforadeatritoqueopisoexercesobreoblocoe(b)aaceleraodobloco. (use sen 37 = 0,6) Prob. 3.11 O corpo A da Fig. 3.17 pesa 100 N e o corpo B, 30 N. Os coeficientes de atrito entre A e a rampa so e = 0,5 e d = 0,25. O ngulo igual a 37. Encontre aaceleraodeA(a)seAestiverinicialmenteemrepouso,(b)seAestiver inicialmentesemovendoparacimadarampae(c)seAestiverinicialmentese movendo para baixo da rampa. (use sen 37 = 0,6) Prob.3.12NaFig.3.17,doisblocosestoligadosporumfioquepassaporuma polia. A massa do bloco A igual a 10 kg e o coeficiente de atrito cintico entre A e arampade0,20.0nguloBdeinclinaodarampaiguala30.OblocoA desliza para baixo da rampa com velocidade constante. Qual a massa do bloco B? Prob. 3.13 Os dois blocos (com m = 2 kg e M = 10 kg) mostrados na Fig. 3.18 no esto presos um ao outro. O coeficiente de atrito esttico entre os blocos e = 0,4, mas a superfcie embaixo do bloco maior lisa. Qual a menor intensidade da fora horizontalFnecessriaparaevitarqueoblocomenorescorregueparabaixodo bloco maior? Prob.3.14NaFig.3.19,umacaixadeformigasfmeas(massatotalm1=1,5kg)e uma caixa de formigas machos (massa total m2 = 3 kg) descem um plano inclinado, ligadas por uma haste de massa desprezvel paralela ao plano. O ngulo da rampa = 30. O coeficiente de atrito cintico entre a caixa de formigas fmeas e o plano 1=0,2;ocoeficienteentreacaixadeformigasmachoseoplano2=0,1. Calcule (a) a trao na haste e (b) a acelerao comum s duas caixas, (c) Como as respostas para (a) e (b) mudariam se a caixa das formigas machos estivesse atrs da caixa de formigas fmeas? Prob. 3.15 Como mostrado na Fig. 3.20, uma bola de 2kg est ligada, por dois fios de massa desprezvel, a uma haste vertical que est girando. Os fios esto ligados haste e esto esticados. A trao no fio de cima de 50. (a) Desenhe o diagrama de corpolivreparaabola.(b)Qualatraonofiodebaixo?(c)Qualafora resultante sobre a bola e (d) qual a velocidade da bola? 182Unidade IV Trabalho e Energia 1. Situando a Temtica Vimos que a partir das leis de Newton podemos estudar o movimen-to de qualquer objeto, que no seja nem quntico e nem relativstico. No en-tanto, alguns problemas de mecnica podem ser resolvidos mais facilmente, emalgunscasosunicamente,utilizandoaenergiadosistema.Assim,nesta seo ns introduziremos o conceito de energia e estabeleceremos alguns re-sultados para a soluo de problemas em mecnica. 2. Problematizando a Temtica Nossaprimeiradificuldadejustamenteencontrarumadefinio fechada para a energia. Certamente voc j ouviu falar de muitas energi-as; energia eltrica, energia nuclear, energia trmica, etc. Entretanto, como seriaa definio tcnica que contemple todas estas coisas simultaneamente. Por causa destas dificuldades, vamos nos concentrar no ponto de vista da di-nmica. A energia aparece de muitas formas diferentes, e por isso o conceito deenergiadeumsistemasetornamuitoamploedifcildeprecisar.Tecni-camente,aenergiaumagrandezaescalarqueestassociadaaumadada configurao do sistema. Quando o sistema evolui de uma configurao para outra,suaenergiamuda.Comopontodepartida,podemospensarqueae-nergia um nmero que est associado a uma configurao possvel para um sistemacompostodeumoumaisobjetos.Destaforma,quandoumafora atua sobre o sistema fazendo com que ele seja acelerado, o nmero (energia) associadoaosistemamuda.essavariaoquenosajudarnoestudode algunsproblemasquetmsoluescomplicadasquandotratadosapenas com as leis de Newton. Neste captulo vamos nos ater a uma nica forma de energia: energia mecnica. 3. Energia Cintica A energia cintica a energia associada aomovimento de um cor-po. Quando um objeto de massa m se move com velocidadev, dizemos que ele possui uma energia cintica, K, definida como: 221mv K =(energia cintica)(4.1) onde v = |v |. Desta forma, quanto maior for a velocidade do corpo e/ou sua massa, maior ser a sua energia cintica. Devemos notar que a energia cin-ticadeumobjetonotemumvalorabsoluto,umavezqueeladependeda velocidadeeavelocidadedependedoreferencial.Destaforma,umcorpo 183podeterenergiacinticanulaquandomedidanosistemaderefernciaSe assumir um outro valor qualquer no referencial S. Entretanto, isto no ser um obstculo para a soluo dos nossos problemas pois ns estaremos inte-ressados nas variaes da energia do sistema quando este evolui de uma con-figurao A para uma configurao B. No SI, qualquer forma de energia ser medida em joules (J) . Assim, a partir da Eq. (7.1) definimos: 2 21 1 1 s m kg J joule / = =Comoexemplo,umautomvelde1000kg(1tonelada)viajandoa30m/s (108 km/h) ter uma energia cintica de 1000 kg (30 m/s)2 = 9 105 J. 4. Trabalho Realizado Por Uma Fora Oconceitodetrabalhorealizadoporumaforaest,demuitasma-neiras, ligado a aes do dia-a-dia, como levantar um objeto ou arrastar um mvel. Fisicamente falando, quando um agente externo aplica uma fora so-breumsistemaelepromoveumatransfernciadeenergiaparaosistema. Chamaremosessatransfernciadeenergiadetrabalho.Diremosentoque esteagente, ou estafora, realizou um trabalho sobre o sistema.Matemati-camente, o trabalho realizado por uma foraF que atua sobre uma partcula durante um intervalo de tempo dt definido como: r d F dW,, =(trabalho realizado por uma fora)(4.2) onded r =r(t + dt) r(t)odeslocamentodapartculanointervalode tempodt(Fig.4.1)edWotrabalhoinfinitesimalrealizadopelaforadu-rante esse intervalo de tempo infinitesimal.QuandoumaforaFatuasobreumcorpoduranteumintervalode tempo macroscpico t = tfinal tinicial e a partcula se desloca desde uma po-sioinicialAdeterminadapelovetorposiorA,atumaposiofinalB, determinada pelo vetor posio rB, ento o trabalho dever ser calculado co-mo uma soma das infinitas contribuies da Eq. (4.2), ao longo da trajetria. =BArrFB Ar d F W,,,,) ((4.3) Comotrabalhorealizadoporumaforacorrespondetransferncia de algum tipo de energia de um sistema para outro, ele ser medido em uni-dades de energia que no SI o joule (J). 5. Trabalho Realizado Por Uma Fora Constante Quando a fora que atua sobre o corpo constante, ento a integral em (3.2) pode ser resolvida facilmente como: 184d Fr F r r Fr d F r d F WB A B ArrrrFB ABABA, ,,,, ,,,,,,,,,, = = = = = ) () ((4.4) onded o vetor deslocamento do objeto da posio A para a posio B. h EXEMPLO DE FORA CONSTANTE: PESO Vamos considerar como exemplo a fora gravitacional exercida pela Terrasobreoutrasmassas.Prximodasuperfcieaforagravitacional,ou peso, pode ser considerada constante. Nestas condies o trabalho realizado pelo peso sobre um corpo de massa m que vai de uma posio A at uma po-sio B, por uma trajetria qualquer (Fig. 4.2), ser dado por: ( ) ( )ABA ByyrrrrFB Ay mgy y mg dy mgk dz j dy i dx j mgr d P WBABABA = = =+ + = =) () (,,,,, , , ,,, ou ABAB AB ABAB A BrrrrFB Ay mgk z j y i x j mgr P r r Pr d Pr d P WBABA = + + = = = = =) ( ) () () (, , , ,,,, ,,,,,,,,,, Este resultado exatamente o mesmo que: ABAB AB ABB AFB Ay mgk z j y i x j mgd P r P W = + + = = = ) (( ) () (, , , ,, ,,,(4.5) Problema Resolvido 4.1 Um bloco de 10 kg, sustentado por uma fora horizontal de 50 N (Fig. 4.3), desce desde A at B com velocidade constante de 2 m/s. (a) Qual o trabalho realizado pela fora F no trecho AB? (b) Qual o trabalho realizado pelo peso no trecho AB? (c) Qual o trabalho total realizado pela fora de atrito no tre-cho AB? (d) Qual o valor da fora de atrito dinmica? (Use g = 10 m/s2) 185SOLUO: Como as foras so constantes, calcularemos os trabalhos fazen-do, simplesmente, o produto da fora pelo deslocamento. Assim, (a) O trabalho realizado pela foraF dado por: J 000 2 ) ( cos ) m 50 ( N) 50 () 180 ( cos) ( cos | | | |ABAB AB(F)AB = = = = =r Fr F r F W,,,,, (b) O trabalho realizado pela foraP dado por: J 000 3 ) ( sen ) m 50 ( N) 100 () 90 ( cos) ( cos | | | |ABAB AB(P)AB= = = = =r Pr P r P W,,,, (c) O trabalho realizado pela fora de atritofd ser obtido a partir do teorema do Trabalho-Energia: AB(fat)AB(P)AB(F)ABtotalABK W W W W = + + =Comooblocosedeslocacomvelocidadeconstante,avariaodaenergia cintica nula. Ento, J 000 10(P)AB(F)AB(fat)AB(fat)AB(P)AB(F)AB = = = + + W W W W W W O trabalho realizado pela fora de atrito escrito como: ) 180 ( cosAB d AB d(fat)AB = = r f r f W,, N 20m 50) J 000 1 (AB(fat)ABd= = = rWf 6. Trabalho Realizado Por Uma Fora Varivel Nemsempreasforasqueatuamnumsistemasoconstantes.No mundoreal,asforasresultantesqueatuamsobreossistemasfsicosrara-mente so constantes. Elas podem variar com o tempo e com a posio,F = F(x,y,z,t). Neste primeiro curso de fsica, as foras que variam com o tempo no sero abordadas. Consideraremos apenas as foras que variam com a po-sio. O exemplo mais simples de fora varivel o de uma fora que varia linearmente em uma nica direo. Uma fora deste tipo a fora elstica de umamola que satisfaz a lei de Hook, ou sejaF = k xi onde x o deslo-camento em relao posio de equilbrio e k a constante elstica da mola (Fig.4.4).Osinalnegativoindicaqueaforatemsentidocontrrioquela 186da deformao x. Foras que se opem s deformaes so chamadas de for-as restauradoras. Queremoscalcularotrabalhorealizadopelaforaelsticadamola sobre um bloco de massa m que vai da posio de equilbrio xA = 0 at uma posioxBqualquer.Almdaforadamola,outrasforasatuamsobreo bloco. Neste exemplo em particular devemos ter ao menos uma fora de con-tato entre o bloco e a superfcie. Ento, da Eq. 4.3 podemos calcular o traba-lho realizado pela foraFm exercida pela mola; 202 2) (21) (21) ( ) (B A BxxxxxxmFB Ax k x x k kxdxk dz j dy i dx i kx r d F WBABABAm = = =+ + = == , , , ,,, Assim ao distendermos ou comprimirmos uma mola em uma distn-cia x, em relao sua posio de equilbrio, o trabalho realizado pela fora elstica da mola ser: 221kx W = (4.6) O sinal negativo indica que a mola se ope s deformaes. 7. Teorema do Trabalho Energia Calcularemosaseguirotrabalhorealizadopelafora resultanteso-bre uma partcula. _ _ _ , , , , ,,,z y xIBAzIBAyIBAxBAz y xBAdz F dy F dx Fk dz j dy i dx k F j F i F r d F W + + =+ + + + = = ) ( ) ( Resolveremosestasintegraisseparadamente.ComoFrepresentaa fora resultante, ns usamos a Eq. 3.1 (2 lei) para escrever,F = ma , onde a a acelerao resultante. Assim, dxdvmvdtdxdxdvmdtdvm ma Fxxx xx x= = = = . Assim, a primeira integral fica: 2 22121Ax Bxvvx xBAxx xmv mv dv mv dxdxdvmv IBxAx = = = Analogamente, as integrais Iy e Iz sero dadas por 2 22121Ay Byvvy yBAyy ymv mv dv mv dydydvmv IByAy = = = e 1872 22121Az Bzvvzz zBAzz zmv mv dv mv dzdzdvmv IBz = = = Somando as trs integrais obtemos: ABA B A BvAz Ay AxvBz By Bx z y xABtotalKK K mv mvv v v m v v v m I I I WA B = = + =+ + + + = + + =2 22 2 2 2 2 22121) (21) (212 2 _ _ (4.7) Oresultadoacimanosdizqueotrabalhototalrealizadosobreum sistema que evolui de uma configurao A para uma configurao B igual variao da energia cintica do sistema. preciso que fique claro que tra-balhodaforaresultanteigualaotrabalhodasomadetodasasforase, portanto, igual a soma dos trabalhos realizados por todas as foras: ABnAB ABrrnrrrrrrnrrte resulABtotalW W Wr d F r d F r d Fr d F F F r d F WBABABABABA+ + + = + + + = + + + = = ......) ... (2 12 12 1 tan,,,,,,,,,,,,,,,,,, , ,,,(4.8) 8. Foras Conservativas Quando um sistema passa de uma configurao A para uma configu-rao B devido ao de uma fora, esta fora realiza um trabalho WAB e a energia cintica do sistema muda de KA para KB. Digamos que o sistema te-nhaperdidoenergiacintica.SeaoretornardeBparaA,sobaaoda mesmafora,osistemarecuperaraenergiacinticaperdida,entodiremos que uma fora conservativa. Se a energia cintica no for recuperada, en-to diremos que uma fora no-conservativa. Vamos refazer esta anlise, usando o resultado do teorema do traba-lho-energia. Quando o sistema levado da configurao A para a configura-o B, sob a ao de uma fora F, o trabalho realizado, de acordo com o teo-rema do trabalho-energia, tal que: B A A B ABK K K W = = . Na volta, o trabalho realizado A B B A BAK K K W = = . Se a energia cintica puder ser recuperada, ento, 0 = + A B B AK K . Ou seja, como na Fig.4.5, 0 = +BA ABW W (4.9) independentemente dos caminhos de ida e volta. Assim, h O trabalho total realizado por uma fora conservativa sobre uma partcu-la que de move ao longo de qualquer percurso fechado nulo. 188Matematicamente, a definio acima fica: 0) (= = r d F WFA B A,,(4.10) Como a partcula pode se deslocar por qualquer caminho na ida e na volta,entoumadefiniocompletamenteequivalenteparaumaforacon-servativa : h O trabalho realizado por uma fora conservativa que atua sobre uma par-tcula que se desloca de um ponto A para um ponto B no depende do ca-minho. Os dois exemplos resolvidos anteriormente a fora gravitacional e aforaelsticadamolasoexemplosdeforaconservativa.Observe que nos dois casos ns no precisamos especificar o caminho para encontrar o trabalho. Isto significa que qualquer caminho serve. A integral (o trabalho) no depende do caminho. 9. Energia Potencial DefinimosaquiumafunoUassociadaaumaforaconservativa (ou a um campo de foras) que chamaremos de energia potencial. Assim,associaremosforagravitacional(peso)umaenergiapo-tencial gravitacional, que depender da separao entre objetos que se atra-em.Associaremos fora elstica da mola uma energia potencial els-tica,quedependerdesuadeformaoemrelaosuaposiodeequil-brio. Definimos a energia potencial associada a uma foraF como: ) () ( ) ( ) (FABBAFAFBFABW r d FU U U = = = ,, (4.11) Ouseja:quandoumapartculasedeslocadeumaposioApara uma posio B sob a ao de uma fora conservativaF, ela sofre uma vari-ao na energia potencial associada a esta fora que igual a menos o tra-balho realizado pela fora. Desta forma, o resultado (4.5) estabelece a energia potencial gravi-tacional como: ) () (A BgravABy y mg U = .(4.12) Note que, pelo fato de termos definido a energia potencial a partir de uma variao, o zero da energia potencial arbitrrio. usual, para proble-mas envolvendo objetos prximos da superfcie da Terra, que o zero seja por aqui mesmo; na superfcie. Para problemas envolvendo corpos que esto no espao, o zero posto no infinito. 189Destaforma,seoeixoyestiverorientadoparacima,quandosubi-mosacoordenadayB(posiofinal)maiorqueacoordenadayA(posio inicial)eentoenergiapotencialaumenta.Quandodescemosasituaose inverte. A coordenada yfinal ser menor que yinicial e a a energia potencial di-minui. O resultado (4.6) estabelece a energia potencial elstica como: 22102 221) () ( x k x x k UA BmolaAB= = =(4.13) onde x significa o deslocamento em relao posio de equilbrio. 10. Energia Mecnica Consideremosumsistemaisolado,formadoporumcorposujeitoa uma fora conservativa. Quando este corpo vai de uma posio A para uma posioB,aforaconservativarealizaumtrabalho.Doteoremadotraba-lho-energia temos ABFABK W =) ( e, da definio de energia potencial ABFABU W =) ( Ento, igualando as duas coisas, encontramos: 0 = + AB ABU Kou 0 ) ( = + ABU K (4.14) ChamamosdeENERGIAMECNICA,E,asomadaenergiacintica com a energia potencial,U K E + = Energia Mecnica(4..15) Oresultado(4.14)deveserentendidodaseguintemaneira:quando umcorpoestsujeitoaodeforasconservativas(apenas)suaenergia mecnica permanece constante. Neste caso ns escrevemos: 0) (= + = iiAB ABABU K E (4.16) Ondicedesoma,i,devecontemplartodasasenergiaspotencias (todas as foras) presentes no problema.Quando houver foras no-conservativas atuando no sistema, ento teremos que computar o trabalho realizado por estas foras separadamente j quenopodemosassociarumaenergiapotencialaelas.Vamosentorees-crever o trabalho total, separando o trabalho realizado pelas foras conserva-tivas (F1 ...Fn ) do trabalho realizado pelas foras no-conservativas. ABc nnAB AB ABABc nABnAB AB ABtotalW U U UW W W W W. .) ( ) 2 ( ) 1 (. .vas conservati foras2 1...+ =+ + + + = _ 190Desta forma, o teorema do trabalho-energia fica: ABc nnAB AB ABABW U U U K. .) ( ) 2 ( ) 1 (+ = Ou ento, ABc nnAB AB ABABW U U U K. .) ( ) 2 ( ) 1 (= + + + + (4.17) Quer dizer:h A soma da variao da energia cintica com as variaes de todas as ener-gias potenciais igual ao trabalho realizado pelas foras no-conservativas. Resumindo,quandoumsistemapassadeumaconfiguraoApara uma configurao B, podemos afirmar: . .c n A BW E E = (4.18) Lembrando que a energia mecnica de um sistema numa dada confi-guraoasomadesuaenergiacinticacomtodasasenergiaspotenciais desta configurao. Problema Resolvido 4.2 O bloco da Fig. 4.6, de 10 kg, parte do repouso do ponto A e escorrega sobre uma superfcie inclinada onde o coeficiente de atrito dinmico vale 0,5. Em seguida desliza sobre uma superfcie plana de coeficiente atrito desprezvel, at colidir com uma mola de constante elstica 100 N /m. (a) Qual o trabalho realizado pelo atrito? (b) Qual a velocidade do bloco ao passar pelo ponto B? (c) Qual a compresso mxima da mola? SOLUO: (a) O trabalho realizado pelo atrito dado por: ) 180 ( cosAB d AB d(fat)AB = = r f r f W,, Por outro ladoN 40 N 100 5 , 0 cos54d d d= = = = P N fEnto, J 200 ) 180 ( cos 5 40(fat)AB = = W(b) Da conservao da energia de A B, temos n.c. A BW E E = ou B A d(g)A0A(g)BB) ( ) (K r f U K U = + += B A d A B2B21r f y mg y mg v m = +Portanto, mr f y y mgmr f y mg y mgvB A d B AB A d B AB) (22 = = 191Numericamente fica: m/s 5 , 4 m/s105 40 ) 3 10 10 (2B = v(c) Da conservao da energia de B D temos 0n.c. B D== W E EO trabalho das foras no conservativas de B at D nulo porque no tem a-trito nem outras foras no conservativas. Ento, 0 ] [ ] K [0(m)BB(m)D0D= + +== _ U K U0 ] [ ] [2B212mx21= + mv x kPortanto, m 4 , 110020 102Bmx= =kv mx 11. Potncia Oconceitodepotnciaestassociado,usualmente,aodesempenho de algum tipo de motor ou equipamento. A potncia mdia definida como: h POTNCIA MDIA A potncia mdia realizada por uma fora (ou por um motor) igual razo entre o trabalho realizado por esta fora e o intervalo de tempo gasto para realiz-lo; tWtemporealizado TrabalhoP= = (4.19) h POTNCIA INSTANTNEAA potncia instantnea calculada no limite quando t tende a zero. Assim, dtdWtWt Pt== 0lim ) ( (4.20) Quando uma fora est realizando um trabalho, a potncia fica: v Fdtr dFdtr d FdtdWt P,,,,,, = == = ) ( (4.21) No SI, a unidade de potncia o watt (W) em homenagem a James Wattqueaperfeioouorendimentodasmquinasavapor.Assim, 1 watt = 1 Joule/segundo 192 12. Problemas Propostos Prob. 4.1 Um bloco de gelo de 45 kg desce deslizando um plano inclinado liso de 5 mdecomprimentoe3mdealtura.Umtrabalhadoraplicaumaforaparacima contra o bloco de gelo na direo paralela ao plano inclinado, para que o bloco desa deslizandocomvelocidadeconstante,(a)Encontreaintensidadedaforado trabalhador. Quanto trabalho realizado sobre o bloco (b) pela fora do trabalhador, (c) pela fora gravitacional, (d) pela fora normal superfcie do plano inclinado e (e) pela fora resultante? Prob. 4.2 Um helicptero eleva uma astronauta de 70 kg verticalmentepor 20 m a partirdooceanopormeiodeumcabo.Aaceleraodaastronautag/10.Quanto trabalho realizado sobre a astronauta (a) pela fora do helicptero e (b) pela fora gravitacional agindo sobre ela? Quais so (c) a energia cintica e (d) a velocidade da astronauta imediatamente antes de ela alcanar o helicptero? Prob.4.3UmacordausadaparaabaixarverticalmenteumblocodemassaM, inicialmente em repouso, com uma acelerao constante para baixo de g/4. Quando o bloco tiver descido uma distncia d, encontre (a) o trabalho realizado pela fora da corda sobre o bloco, (b) o trabalho realizado pela fora gravitacional sobre o bloco, (c) a energia cintica do bloco e (d) a velocidade do bloco. Prob.4.4Umblocode250gsoltosobreumamolaverticalindeformadaque possuiumaconstantedemolak=2,5N/cm.Oblocoaficapresomola comprimindo-a 12 cm antes de parar por um instante. Durante a compresso, qual o trabalho realizado sobre o bloco (a) pela fora gravitacional que age sobre ele e (b) pelaforadamola?(c)Qualavelocidadedoblocoimediatamenteantesdeele colidir com a mola? (Suponha que o atrito seja desprezvel) (d) Se a velocidade no impacto for duplicada, qual ser a compresso mxima da mola. Prob. 4.5 Caixas so transportadas de uma posio para outra em um armazm por meio de uma correia transportadora que se move com velocidade constante de 0,50 m/s. Em um determinado local, a correia transportadora sobe 2,0 m em uma rampa inclinadade10comahorizontal,percorremais2,0mnahorizontalefinalmente desce2,0memumarampaqueformaumngulode10comoplanohorizontal. Suponhaqueumacaixade2,0kgtransportadapelacorreiasemdeslizar.Quala taxa com que a fora da correia transportadora est realizando trabalho sobre a caixa (a) quando a caixa est subindo a rampa de 10, (b) quando a caixa est se movendo horizontalmente e (c) quando a caixa est descendo a rampa de 10o? Prob. 4.6 Na Fig. 4.7 um pequeno bloco de massa m pode deslizar ao longo de um loop sem atrito. O bloco solto do repouso no ponto A, a uma altura h = 5R acima dapartemaisbaixadoloop.Quantotrabalhoaforagravitacionalrealizasobreo blocoenquantooblocosedeslocadopontoA(a)atopontoCe(b)ataparte maisaltadoloop?Seaenergiapotencialgravitacionaldosistemabloco-Terrafor tomada como nula na parte mais baixa do loop, qual ser a energia potencial quando o bloco estiver (c) no ponto A, (d) no ponto C e (e) no ponto mais alto du loop? (f) Se, em vez de ser solto do repouso, o bloco receber alguma velocidade inicial para baixoaolongodapistaasrespostasparaositemsde(a)at(e)aumentam, diminuem ou permanecem as mesmas? Prob.4.7NoProblema4.6quaisso(a)acomponentehorizontale(b)a componente vertical da fora resultante que age sobre o bloco nos pontos B e C (c) Aquealturahoblocodevesersoltodorepousodemodoqueeleestejana iminncia de perder contato com a pista no ponto mais alto do loop? (Na iminncia de perder o contato significa que a fora normal que a pista exerce sobre o bloco praticamente nula.) Prob. 4.8 A Fig. 4.8 mostra uma pedra de 8 kg em repouso em cima de uma mola. A molaestcomprimidade10cmpelapedra.(a)Qualaconstantedemola?(b)A pedra empurrada para baixo mais 30 cm e ento solta. Qual a energia potencial 193elsticadamolacomprimida(10cm+30cm)imediatamenteantesdeapedraser solta? (c) Qual a variao da energia potencial gravitacional do sistema pedra-Terra quando a pedra se move do ponto em que foi solta at a sua altura mxima? (d) Qual ser essa altura mxima, medida a partir do ponto em que a mola solta? Prob. 4.9 Um bloco de 2 kg cai verticalmente sobre uma mola de massa desprezvel, deumaalturade40cmacimadamola(Fig.4.9).Aconstantedemolakiguala 1960 N/m. Encontre a distncia mxima que a mola foi comprimida. Prob.4.10Tarzan,quepesa700N,saltadeumpenhascosebalanandona extremidade de um cip de 18 m de comprimento (Fig. 4.10). A diferena de altura entre o alto do penhasco e o ponto mais baixo da trajetria descrita pelo Tarzan de 3,2 m. A tenso mxima suportada pelo cip de 1000 N. (a) O cip ir se romper? (b) Caso no se rompa, qual a maior fora que atua sobre ele durante o balano? Prob.4.11Umblocode700gsoltodorepousodeumaalturahacimadeuma molaverticalcomconstantedemolak=400N/memassadesprevezvel.Obloco fica preso mola e para por um instante aps comprimir a mola em 19 cm. Quanto trabalho foi realizado (a) pelo bloco sobre a mola e (b) pela mola sobre o bloco? (c) Qual o valor de h? (d) Se o bloco fosse solto de uma altura 2h acima da mola, qual seria a compresso mxima da mola? Prob.4.12NaFig.4.11,umblocode2,5kgdeslizadeencontroaumamolacuja constante de mola igual a 320 N/m. Quando o bloco para, a mola fica comprimida de7,5cm.Ocoeficiente deatritocinticoentreo bloco easuperfciehorizontal iguala0,25.Enquantooblocoestemcontatocomamolaesendolevadoao repouso, (a) qual o trabalho realizado pela fora da mola e (b) Qual a velocidade do bloco no instante em que o bloco atinge a mola? Prob.4.13Umblocopodedeslizaraolongodeumapistacomasextremidades elevadaseumapartecentralplana,comomostradonaFig.4.12.Aparteplana possuiumcomprimentoL.Nohatritonaspartescurvasdapista,masnaparte plana o coeficiente de atrito cintico k igual a 0,20. O bloco parte do repouso no ponto A,que est a uma altura h = L/2 acima da parte plana da pista. Aonde o bloco ir parar? Prob. 4.14 O cabo de trao da cabine do elevador de 1800 kg da Fig. 4.14 se rompe quandoacabineseencontraemrepousonoprimeiropiso,ondeofundodacabine est a uma distncia d = 3,7 m acima de uma mola amortecedora, cuja constante de molak=0,15106N/m.Umdispositivodeseguranafazcomqueacabinese agarre aos trilhos-guia, fazendo com que uma fora de atrito constante de 4,4 kN se oponha ao movimento da cabine. (a) Encontre a velocidade da cabine imediatamente antesqueelabatanamola.(b)Determineadistnciamximaxdecompressoda mola(aforadeatritocontinuaatuandoduranteestacompresso),(c)Encontrea distnciaqueacabineirsubirdevoltanoprismadoelevador,(d)Usandoa conservaodaenergia,encontreumaaproximaoparaadistnciatotalquea cabine ir se deslocar antes de atingir o repouso. (Suponha que a fora de atrito que atua sobre a cabine seja desprezvel quando a cabine estiver em repouso.) 194Unidade V Momento Linear 1. Situando a Temtica Quando estudamos a natureza, observamos que existem algumas leis deconservao,i.e.,existemgrandezasfsicasquesoconservadasquando um sistema levado, ou evolui espontaneamente, de uma configurao inici-al para uma configurao final. Por exemplo, vimos na seo anterior que a energiamecnicaE=K+Uconservadaquandoexistemapenasforas conservativasatuandonosistema,massehouverforasno-conservativas atuandonosistemaentoaconservaodaenergiamecnicanofunciona mais. Existemoutrasleisdeconservao,comoconservaodacarga, conservao da massa, conservao do momento angular, etc. Em seu livro, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, New-ton escreveu suas leis em termos de uma grandeza chamada quantidade de movimento, que igual ao produto da massa do corpo pela velocidade com a qual ele est se deslocando. Ele percebeu que a quantidade de movimento de um sistema permanecia inalterada (constante) a menos que uma fora ex-ternaaosistemaatuassesobreele.Aquantidadedemovimentorecebeuo nome de momento linear. esta grandeza e esta lei de conservao que ns estudaremos aqui. 2. Problematizando a Temtica Muitos problemas so resolvidos atravs da conservao do momen-tolinear.Nascolisesoudecaimentodepartculasaconservaodomo-mento linear est presente. possvel predizer a existncia de uma partcula desconhecidanumprocessodecolisooudecaimento.Mesmoenvolvendo corposmacroscpicos,automveisporexemplo,valeaconservaoda quantidade de movimento. o que veremos agora. Vimos no estudo dos projteis que uma partcula lanada ao ar com umacomponentedevelocidadehorizontaldiferentedezero,descreveuma trajetriaparablica.Poroutrolado,aFig.5.1mostracomopoderiasero movimento de um basto de beisebol quando lanado ao ar. O movimento do basto complicado, uma vez que ele tem um movimento de translao e de rotao.Entretanto,opontopretonobastodescreveumatrajetriaiguala da partcula, i.e., uma trajetria parablica. Este ponto chamado de centro de massa. Vamos estud-lo tambm. 3. Centro de Massa Sevocolharatentamente,notarqueopontopretodaFig.5.1se deslocacomo(1)setodamassaestivesseconcentradanelee(2)comosea 195fora gravitacional atuasse apenas nesse ponto. Estas so as propriedades do centrodemassa.Elasseromuitoimportantes,emalgunscasosfundamen-tais, na soluo dos nossos problemas. h O centro de massa de um corpo ou de um sistema de partculas o ponto que se move como se toda massa estivesse concentrada neste ponto e como se todas as foras (fora resultante) externas estivessem atuando sobre ele. h POSIO DO CENTRO DE MASSA.Consideremos um sistema de n partculas com massas m1,...,mn, e si-tuadasnasposiesr1,r2,..., rnemrelaoaumsistemadecoordenadas qualquer.Aposiodocentrodemassadestesistemadepartculasdada por: =ni i CMr mMr11 , , (posio do centro de massa)(5.1) onde M = m1 + m2 ++ mn a massa total do sistema eri o vetor posio da i-sima partcula.. Aequaovetorial5.1correspondeatrsequaesescalares;uma para cada direo. Assim, lembrando quekjii i i iz y x r + + =, podemos escrever as coordenadas do centro de massa como ===ni i CMni i CMni i CMz mMzy mMyx mMx1111massa) de centro do as (coordenad ;1;1(5.2) Se,aoinvsdeumadistribuiodiscretademassa(partculas),ns tivermosumadistribuiocontnua,entoocentrodemassasercalculado como:

=volumeCMdm rMr, , 1 (distribuio contnua de massa)(5.3) Estaequaovetorialnoslevaatrsequaesescalares,comoem (5.2). preciso esclarecer uma questo importante. Para calcular a posio docentrodemassanstemosquedefinirumsistemadecoordenadaspara podermos localizar uma dada partcula mi, ou um elemento de massa dm. Is-to um artifcio matemtico. O centro de massa um ponto do sistema que no depende da escolha de nenhum sistema de coordenadas em particular. A posio do centro de massa de uma dada distribuio de massa absoluta e com qualquer sistema de coordenadas encontraremos a mesma posio, em-bora representada por diferentes coordenadas. 196Problema Resolvido 5.1 Determine a posio do centro de massa do sistema de trs partculas, no ins-tante mostrado na Fig. 5.2. Considere que as partculas se deslocam no plano x,y e tm massas m1 = 4 kg, m2 = 6 kg e m3 = 10 kg . SOLUO: As coordenadas xCM e yCM, que do a posio do centro de massa, so obtidas a partir da Eq. 5.2: m 9 , 0 m10 6 42 10 ) 1 ( 6 1 413 2 13 3 2 2 1 11=+ + + + =+ ++ += =m m mx m x m x mx mMxni i CM e m 5 , 1 m10 6 42 10 3 6 ) 2 ( 413 2 13 3 2 2 1 11=+ + + + =+ ++ += =m m my m y m y my mMyni i CM A posio do centro de massa est indicada na Fig. 5.2. Problema Resolvido 5.2 Determine a posio do centro de massa da haste fina e homognea, de com-primento L e massa M, mostrada na Fig. 5.3.SOLUO:Umahasteumadistribuiocontnuademassa.Acoordenada yCM, nula, uma vez que ns pusemos o eixo x ao longo da haste. A posio xCM do centro de massa dada por: =fixxCMdm xMx1 Para uma haste homognea, amassa dm contida no comprimento dx dada por uma rega de trs simples: dxLMdmdm dxM L= Ento, 2Portanto,211 1020 0LxxLdx xLdxLMxMxCMLL LdmCM=== = _ Ou seja, o centro de massa da haste (homognea) est no meio da haste. Este resultado ns j espervamos. 1974. Movimento do Centro de Massa h VELOCIDADE DO CENTRO DE MASSA. Para encontrar a velocidade do centro de massa vamos derivar a Eq. 5.1 em relao ao tempo: ( )n nnnni i CMv m v m v mMdtr dmdtr dmdtr dmMr mdtdMV, , ,, , ,,,+ + + =+ + + ==2 2 1 122111111(5.4) onde ns usamos a definio de velocidade instantnea dada na Eq. (2.8). Derivando, agora, a Eq. (5.4) encontramos: ( )( )n n