apostila de confiabilidade
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Apostila de confiabilidadeTRANSCRIPT
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1. CONCEITOS BSICOS DE CONFIABILIDADE
1.1. Introduo
Com o advento da economia globalizada, observou-se um aumento na demanda
por produtos e sistemas de melhor desempenho a custos competitivos.
Concomitantemente, surgiu a necessidade de reduo na probabilidade de falhas em
produtos (sejam elas falhas que simplesmente aumentam os custos associados aos
produtos ou falhas que possam implicar em riscos srios segurana pblica), o que
resultou numa nfase crescente em sua confiabilidade. O conhecimento formal
resultante da anlise de falhas e da busca da minimizao de sua ocorrncia prov uma
rica variedade de contextos nos quais consideraes acerca da confiabilidade surgem.
Em seu sentido mais amplo, confiabilidade est associada operao bem
sucedida de um produto ou sistema, na ausncia de quebras ou falhas. Em anlises de
Engenharia, todavia, necessria uma definio quantitativa de confiabilidade, em
termos de probabilidade. Tal definio apresentada a seguir; nos pargrafos que se
seguem os termos sublinhados na definio so explicados.
A confiabilidade de um item corresponde sua probabilidade de desempenhar adequadamente o seu propsito especificado, por um determinado perodo de tempo e sob condies ambientais pr-determinadas.
Na definio, subentende-se que o objeto de interesse seja um item. A definio
de item depende do propsito do estudo. Em certos casos, considera-se um sistema,
constitudo de um arranjo de diversos componentes, como um item; em outros casos,
onde existe interesse ou possibilidade de maior detalhe na anlise, o termo item refere-
se a um componente do arranjo em particular. Por exemplo, na anlise de um monitor
de computador, pode-se considerar o monitor (com todas as suas partes componentes)
como um item, ou pode-se estar interessado no estudo dos componentes
individualmente; neste caso, cada componente seria caracterizado como um item.
Confiabilidade definida como uma probabilidade. Isso significa que todas as
confiabilidades devem apresentar valores entre 0 e 1 e que os axiomas clssicos da
probabilidade podem ser aplicados em clculos de confiabilidade. Por exemplo, se dois
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componentes independentes apresentam confiabilidade, aps 100 horas de uso, de p1 e
p2 e a falha do sistema ocorre quando qualquer dos dois componentes falha, ento a
confiabilidade do sistema em uma misso de 100 horas dada por p1 p2.
Para a correta especificao do modelo matemtico que representa o
desempenho de um item, deve-se definir de maneira precisa o que se entende por seu
desempenho adequado. O modelo matemtico mais simples usado para representar a
condio de um item o modelo binrio, segundo o qual um item pode estar em um
estado de funcionamento (apresentando desempenho adequado) ou de falha. O modelo
binrio pode ser estendido para produtos que apresentam degradao a partir do
estabelecimento de um ponto de corte que separe os estados de funcionamento e de
falha. Mediante conhecimento do que se entende por desempenho adequado, possvel
definir quando o item falha, j que, mediante a ocorrncia da falha, o item deixa de
desempenhar adequadamente suas funes. Um padro deve ser usado na determinao
do que se entende por desempenho adequado. Se, por exemplo, o item em estudo for um
carro e se o padro (que estabelece o nvel adequado de desempenho) for um carro
capaz de se movimentar, um carro sem surdina continuar apresentando um
desempenho adequado.
A definio de confiabilidade implica na especificao do propsito ou uso
pretendido para o item em estudo. comum que um mesmo produto seja fabricado em
diferentes verses, conforme o uso pretendido. Por exemplo, uma furadeira pode ser
fabricada para uso domstico ou industrial; os produtos apresentam funes idnticas,
mas diferenciam-se quanto sua confiabilidade, pois foram projetados para cargas de
uso distintas.
Confiabilidade definida como funo de um perodo de tempo, o que implica
em cinco conseqncias: (i) o analista deve definir uma unidade de tempo (por exemplo,
minutos, horas ou anos) para realizao das anlises; (ii) os modelos que descrevem os
tempos-at-falha utilizam a varivel aleatria T (ao invs de X, como usual na
Estatstica clssica) para descrever o tempo at falha de um item; (iii) o termo tempo
no deve ser interpretado literalmente, j que em muitos contextos o nmero de milhas
ou o nmero de ciclos pode representar o tempo at falha de um item; (iv) o conceito de
confiabilidade deve ser associado a um perodo de tempo ou durao de misso (no faz
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sentido afirmar que um item apresenta confiabilidade de 0,7, por exemplo, sem
especificar durante qual perodo de tempo a anlise do item foi realizada), e (v) a
determinao do que deveria ser usado para medir a vida de um item nem sempre
bvia; por exemplo, o tempo-at-falha de uma lmpada eltrica pode ser definido como
o nmero contnuo de horas at a falha ou como o nmero somado de horas at falha,
considerando o nmero tpico de acionamentos a que a lmpada submetida.
O ltimo aspecto da definio de confiabilidade diz respeito a definio das
condies ambientais de uso do item. Um mesmo produto pode apresentar desempenho
distinto operando em ambientes de calor ou umidade intensos, se comparado a produtos
expostos a condies climticas amenas de uso.
1.2. Evoluo histrica da Confiabilidade e suas principais reas de aplicao
O conceito de confiabilidade em sistemas tcnicos vem sendo aplicado h pouco
mais de 50 anos. O conceito adquiriu um significado tecnolgico aps o trmino da I
Guerra Mundial, quando foi utilizado para descrever estudos comparativos feitos em
avies com um, dois ou quatro motores. Naquele contexto, a confiabilidade era medida
como o nmero de acidentes por hora de vo.
Durante a II Guerra Mundial, um grupo de engenheiros da equipe de von Braun
trabalhou, na Alemanha, no desenvolvimento dos msseis V-1. Aps o trmino da
guerra, soube-se que todos os prottipos desenvolvidos falharam quando testados,
explodindo antes (durante o vo) ou aterrisando antes do alvo. O matemtico Robert
Lusser foi contratado para analisar o sistema operacional dos msseis. A partir de sua
anlise, Lusser props a lei da probabilidade de um produto com componentes em srie,
em que estabelecia que a confiabilidade de um sistema em srie igual ao produto das
confiabilidades de suas partes componentes. Como consequncia direta, sistemas em
srie compostos por muitos componentes tendem a apresentar baixa confiabilidade e o
efeito da melhoria de confiabilidade dos componentes individualmente sobre o sistema
tende a ser pequeno.
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No final dos anos 1950 e incio dos anos 1960, o interesse dos norte-americanos
esteve centrado no desenvolvimento de msseis intercontinentais e na pesquisa espacial,
eventos motivados pela Guerra Fria. A corrida para ser a primeira nao a enviar uma
misso tripulada lua, em particular, motivou avanos na rea da confiabilidade, tendo
em vista os riscos humanos envolvidos. Em 1963 surgiu, nos Estados Unidos, a
primeira associao que reunia engenheiros de Confiabilidade e o primeiro peridico
para divulgao de trabalhos na rea, o IEEE Transactions on Reliability. Ao longo da
dcada de 1960 diversos livros-texto sobre confiabilidade foram publicados.
Na dcada de 1970, o estudo da confiabilidade esteve centrado na anlise dos
riscos associados construo e operao de usinas nucleares. A partir da, aplicaes
da confiabilidade nas mais diversas reas se consolidaram. Algumas dessas reas de
aplicao, associadas Engenharia de Produo, vm listadas a seguir.
Anlises de risco e segurana a anlise de confiabilidade essencial em estudos de risco e segurana. A parte causal de uma anlise de risco, por exemplo,
normalmente realizada usando tcnicas de confiabilidade como a anlise de modos
e efeitos de falhas (FMEA failure mode and effects analysis) e a anlise da rvore
de falhas.
Proteo ambiental estudos de confiabilidade podem ser usados na melhoria do projeto e regularidade operacional de sistemas anti-poluentes, como sistemas de
limpeza de dejetos lquidos e de emisses gasosas.
Qualidade a crescente adoo das normas ISO-9000 por empresas fez com que tcnicas de gesto e garantia da qualidade crescessem em importncia. Os conceitos
de qualidade e confiabilidade esto intimamente conectados. A confiabilidade pode
ser considerada em diversas situaes como uma caracterstica de qualidade a ser
considerada no projeto e otimizao de produtos e processos (talvez a mais
importante). Dessa forma, muita ateno vem sendo dada incorporao de
tcnicas de gesto e garantia da confiabilidade nos programas de garantia da
qualidade.
Otimizao da manuteno a manuteno realizada em sistemas com o objetivo de prevenir falhas ou de restaurar o sistema a seu estado operante, no caso de
ocorrncia de uma falha. O objetivo principal da manuteno , assim, manter e
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melhorar a confiabilidade e regularidade de operao do sistema produtivo. Muitas
indstrias (por exemplo, de aviao e nuclear) tm percebido a importante coneco
que existe entre manuteno e confiabilidade e implementado, consequentemente,
programas de manuteno centrados em confiabilidade. Tais programas tm por
objetivo reduzir custos e otimizar a manuteno em todos os tipos de indstrias,
promovendo melhorias na disponibilidade e segurana de equipamentos.
Projeto de produtos a confiabilidade considerada uma das mais importantes caractersticas de qualidade em produtos tcnicos. A garantia da confiabilidade
deve, assim, ser um dos mais importantes aspectos a serem considerados na
engenharia de desenvolvimento de produtos. Nesse sentido, muitas indstrias vm
integrando programas de confiabilidade ao processo de desenvolvimento de
produtos; exemplos incluem a indstria automobilstica e de aviao.
1.3. Qualidade e Confiabilidade
Os conceitos de confiabilidade e qualidade so frequentemente confundidos
entre si. A principal diferena entre esses dois conceitos que a confiabilidade
incorpora a passagem do tempo; o mesmo no ocorre com a qualidade, que consiste de
uma descrio esttica de um item. Dois transistores de igual qualidade so usados em
um aparelho de televiso e em um equipamento blico. Ambos os transistores
apresentam qualidade idntica, mas o primeiro transistor possui uma confiabilidade
provavelmente maior, pois ser utilizado de forma mais amena (em um ambiente de
menor stress). Parece claro que uma alta confiabilidade implica em alta qualidade; o
contrrio que pode no ser verdade.
Os conceitos de qualidade e confiabilidade se inter-relacionam no projeto e
manufatura de produtos e em sua posterior utilizao. A definio de qualidade pode ser
subdividida em duas partes. Primeiro, qualidade est associada habilidade de projetar
produtos que incorporem caractersticas e atributos otimizados para atender s
necessidades e desejos dos usurios; algumas caractersticas podem ser qualitativas,
relacionadas a aspectos estticos, por exemplo, ao passo que outras so especificadas
como caractersticas quantitativas de desempenho. Segundo, qualidade est associada
reduo da variabilidade nas caractersticas de desempenho; neste sentido, as fontes da
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variabilidade podem ser classificadas em (i) variabilidade nos processos de manufatura,
(ii) variabilidade no ambiente de operao e (iii) deteriorao do produto.
Aes de melhoria da qualidade que reduzam ou compensem as fontes de
variabilidade acima podem resultar em melhorias na confiabilidade do produto, j que
falhas no produto podem ter sua origem explicada por uma ou mais dessas fontes. Por
exemplo, variabilidade no produto resultante de deficincias nos processos de
manufatura leva a falhas que se concentram no incio da vida do produto, usualmente
designadas por falhas precoces. Variabilidade causada por condies extremas no
ambiente de operao do produto levam a falhas que ocorrem aleatoriamente, em
qualquer momento durante a utilizao do produto. Finalmente, a deteriorao do
produto frequentemente leva a falhas por desgaste ou envelhecimento, concentradas no
final da vida til do produto.
Para que a melhoria da qualidade dos produtos apresente impacto sobre a sua
confiabilidade, devem-se relacionar as fontes de variabilidade e suas falhas associadas
aos estgios do ciclo de desenvolvimento de produtos. O desenvolvimento de produtos
pode ser dividido em trs grandes estgios: (i) projeto do produto, (ii) projeto do
processo e (iii) manufatura. O projeto do produto inclui a concepo do produto, onde
as necessidades dos usurios so convertidas em especificaes de desempenho, e o
detalhamento do projeto, onde a configurao dos componentes e partes estabelecida e
parmetros e tolerncias so identificados. O projeto do processo tambm inclui etapas
conceituais e de detalhamento; nelas, os processos de manufatura a serem utilizados so
selecionados e detalhados quanto as suas especificaes de operao. Finalmente, aps
especificao de processos e organizao da fbrica, tem incio o estgio de manufatura
e monitoramento da produo. A reduo da variabilidade nas caractersticas de
desempenho do produto s pode ser obtida integrando-se os trs estgios do
desenvolvimento de produtos.
A Tabela 1.1 traz uma viso do relacionamento entre os estgios de
desenvolvimento de produtos e as fontes de variabilidade (e falhas) listadas
anteriormente. A partir da tabela, fica claro que esforos de melhoria da confiabilidade
em produtos devem estar concentrados no estgio de projeto do produto. Somente a
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variabilidade no produto que leva a falhas precoces pode ser reduzida atravs dos
estgios de projeto do processo e manufatura.
Tabela 1.1. Estgios do desenvolvimento de produtos em que a reduo da variabilidade no desempenho dos produtos possvel.
Fontes de variabilidade Estgio de
desenvolvimento Processos de manufatura
Ambiente de operao
Deteriorao do produto
Projeto do produto 1 1 1 Projeto do processo 1 2 2 Manufatura 1 2 2 1 reduo da variabilidade possvel; 2 reduo da variabilidade no possvel.
1.4. Principais conceitos associados confiabilidade
Na seo 1, apresentou-se uma conceituao probabilstica de confiabilidade,
aceita e utilizada pela maioria dos pesquisadores que trabalha na rea da Confiabilidade.
Outras definies mais amplas, baseadas essencialmente no texto de normas como a
ISO-8402 e a QS-9000, existem, mas no sero utilizadas neste texto.
Os principais conceitos associados confiabilidade so o de qualidade,
disponibilidade, manutenibilidade, segurana e confiana. Tais conceitos so definidos
na seqncia tendo como base principal o texto das normas NBR ISO 8402.
Qualidade pode ser definida como a totalidade de caractersticas e aspectos de
um produto ou servio que tornam possvel a satisfao de necessidades implcitas e
explcitas associadas ao produto ou servio. De forma mais especfica, qualidade
definida como cumprimento a especificaes de projeto e manufatura com menor
variabilidade possvel, como visto na seo anterior.
Disponibilidade definida como a habilidade de uma unidade, mediante
manuteno apropriada, desempenhar sua funo requerida em um determinado instante
do tempo ou sobre um perodo pr-determinado de tempo. O conceito de
disponibilidade varia conforme a capacidade de reparo de uma unidade. Em unidades
no-reparveis, os conceitos de disponibilidade e confiabilidade se equivalem. Em
unidades reparveis, os possveis estados da unidade em um tempo t de anlise so
funcionando ou sofrendo reparo. Nesses casos, costuma-se supor que reparos devolvam
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a unidade condio de nova e trabalha-se com um valor mdio de disponibilidade para
a unidade, dado por:
MTTFAMTTF MTTR
= + , (1.1)
onde A denota a disponibilidade mdia da unidade, MTTF o tempo mdio entre falhas
(ou seja, o tempo mdio de funcionamento da unidade) e MTTR o tempo mdio at
concluso de reparos feitos na unidade.
Manutenibilidade definida como a habilidade de uma unidade, mediante
condies pr-estabelecidas de uso, ser mantida ou devolvida uma condio em que
possa desempenhar suas funes requeridas quando submetida manuteno sob
condies pr-estabelecidas e usando recursos e procedimentos padro. A
manutenibilidade um fator essencial no estabelecimento da disponibilidade de uma
unidade.
Segurana definida como a ausncia de condies que possam causar morte,
dano ou doenas ocupacionais a pessoas, bem como dano ou perda de equipamentos ou
de propriedade. Uma definio alternativa de segurana substitui o termo ausncia por
nvel aceitvel de risco, j que em muitas atividades impossvel chegar-se a uma
condio isenta de risco.
O termo confiana (dependability) utilizado para designar um coletivo que
inclui a disponibilidade e seus fatores determinantes: o desempenho da confiabilidade,
da manutenibilidade e do suporte tcnico. Pode-se visualizar os conceitos de confiana
e confiabilidade como anlogos; o termo confiana, todavia, estaria associado a uma
definio mais ampla, no estritamente probabilstica de confiabilidade.
1.5. Gesto da confiabilidade
Um programa de confiabilidade integrada (ou total) envolve a determinao de
procedimentos relacionados confiabilidade nas seguintes fases da vida de um produto:
(i) projeto e desenvolvimento, (ii) manufatura e instalao, (iii) operao e manuteno
e (iv) descarte, quando do final da vida operacional do produto. A gesto da
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confiabilidade demanda a existncia de um programa de confiabilidade e da definio
das tarefas e elementos deste programa.
Um programa de confiabilidade define a estrutura organizacional,
responsabilidades, procedimentos, processos e recursos utilizados na gesto da
confiabilidade. As tarefas em um programa de confiabilidade formam um conjunto de
atividades relacionadas a aspectos da confiabilidade de uma unidade ou o apoio para
produo de um resultado pr-estabelecido. Os elementos de um programa de
confiabilidade incluem uma tarefa ou conjunto de tarefas realizadas por um indivduo
ou equipe.
A implementao bem sucedida de um programa de gesto da confiabilidade
demanda um grupo dedicado exclusivamente para esse fim. Um grau adequado de
expertise demandado dos membros do grupo, devido ao carter multidisciplinar do
programa de gesto da qualidade. Assim, alm de dominar os princpios matemticos
bsicos de confiabilidade, o grupo deve ter familiaridade, por exemplo, com princpios e
tcnicas de desenvolvimento de produtos, fatores humanos e anlise de custos. Para
monitorar o desempenho de confiabilidade do sistema, o grupo deve montar um sistema
eficiente de coleta e anlise de dados, que permita a construo de uma base histrica de
dados de confiabilidade na empresa.
1.6. Medidas de confiabilidade
Nesta seo, apresentam-se diversas medidas de confiabilidade para uma
unidade no-reparvel (que no est sujeita a reparos). Por unidade designa-se desde um
pequeno componente at um grande sistema. As trs medidas mais importantes de
confiabilidade para unidades no-reparveis apresentadas nesta seo so (i) a funo de
confiabilidade R(t), (ii) a funo de risco h(t), e (iii) o tempo mdio at falha, MTTF
(mean time to failure). A funo de vida residual mdia L(t), uma medida de
confiabilidade de menor utilizao prtica, tambm apresentada. A seo encerrada
com um quadro de relacionamento entre as medidas apresentadas e um exemplo de
aplicao.
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1.6.1 Tempo-at-falha
Por tempo-at-falha de uma unidade entende-se o tempo transcorrido desde o
momento em que a unidade colocada em operao at a sua primeira falha.
Convenciona-se t = 0 como incio da operao do sistema. Por estar sujeito a variaes
aleatrias, o tempo-at-falha interpretado como uma varivel aleatria, designada por
T. O estado da unidade em um tempo t pode ser descrito por uma varivel de estado
X(t), que uma varivel aleatria definida por:
1,( )
0,se a unidade estiver funcionando em t
X tse a unidade estiver em um estado de falha em t
= .
A relao existente entre a varivel de estado X(t) e o tempo-at-falha T vem
ilustrada na Figura 1.1.1.
Como observado na definio da seo 1.1, o tempo-at-falha nem sempre
medido como tempo de calendrio, podendo assumir valores discretos, como nmero de
ciclos at falha. Para os propsitos deste texto, pressupe-se uma varivel T distribuda
continuamente, com densidade de probabilidade dada por ( )f t e funo de distribuio
dada por:
0( ) ( ) ( )
tF t P T t f u du= = , para t > 0. (1.2)
A funo denota, assim, a probabilidade de falha da unidade no intervalo de
tempo (0, t].
( )F t
A densidade de probabilidade ( )f t definida como:
0 0
( ) ( ) (( ) ( ) ( ) lim limt t
d F t t F t P t T tf t F t F tdt t t
)t+ < + = = = = . (1.3)
Para valores pequenos de , a seguinte aproximao pode ser usada: t( ) (P t T t t f t t< + ) . (1.4)
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Figura 1.1 A varivel de estado e o tempo-at-falha de uma unidade
1.6.2 Funo de confiabilidade, R(t)
Suponha unidades idnticas submetidas a um teste em condies
operacionais de projeto. Durante o intervalo de tempo (
0n
, )t t t , unidades falharam e unidades sobreviveram; observe que . A
confiabilidade da unidade definida como a sua probabilidade acumulada de sucesso;
assim, em um tempo t, a funo de confiabilidade
( )fn t
( )sn t 0( ) ( )f sn t n t n+ =
( )R t :
0
( ) ( )( )( ) ( )
s
s f
n t n tR tn t n t n
= =+s (1.5)
Considerando a varivel aleatria T definida anteriormente, a funo de confiabilidade
em um tempo t pode ser expressa como:
( ) ( )R t P T t= > . (1.6) A funo de distribuio de T, , o complemento de ( )F t ( )R t , ou seja:
0( ) 1 ( ) 1 ( ) ( )
t
tR t F t f u du f u
+= = = du . (1.7) Assim, a funo de confiabilidade ( )R t informa a probabilidade da unidade
sobreviver ao intervalo de tempo (0, t] e ainda estar funcionando no tempo t. A funo
de confiabilidade ( )R t tambm denominada funo de sobrevivncia.
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1.6.3 Funo de risco, h(t)
A funo de risco h(t) , provavelmente, a mais popular das medidas de
confiabilidade; tal funo pode ser interpretada como a quantidade de risco associada a
uma unidade no tempo t. A funo de risco bastante til na anlise do risco a que uma
unidade est exposta ao longo do tempo, servindo como base de comparao entre
unidades com caractersticas distintas. A funo de risco tambm conhecida em
Confiabilidade como taxa de falha ou taxa de risco.
A funo de risco pode ser derivada usando probabilidade condicional.
Considere, primeiramente, a probabilidade de falha entre t e t t+ , dada por:
( ) ( ) ( ) (t t
tP t T t t f u du R t R t t
+ + = = + ) . (1.8) Condicionando no evento da unidade estar operando no tempo t, chega-se seguinte
expresso:
( )P t T t t T t + = ( ) ( ) (( ) ( )
P t T t t R t R t tP T t R t
) + + = . (1.9)
Uma taxa de falha mdia no intervalo ( , )t t t+ pode ser obtida dividindo a eq. (1.9) por . Fazendo , obtm-se a taxa de falha instantnea, que a funo de risco,
dada por:
t 0t
0
( ) ( ) ( ) ( )( ) lim , 0( ) ( ) ( )t
R t R t t R t f th t tR t t R t R t
+ = = = . (1.10)
Todas as funes de risco devem satisfazer a duas condies:
(i) e (ii) para todo t 0. (1.11) 0
( )h t dt+ = + ( ) 0h t
A unidade de medida em uma funo de risco normalmente dada em termos de
falhas por unidade de tempo. A forma da funo de risco indica como uma unidade
envelhece. Como a funo de risco pode ser interpretada como a quantidade de risco a
que uma unidade est exposta em um tempo t, um valor pequeno para a funo de risco
implica em uma unidade exposta a uma menor quantidade de risco.
Existem trs classificaes bsicas para a funo de risco: (i) funo de risco
crescente, FRC, em que a incidncia de risco cresce com o tempo; (ii) funo de risco
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decrescente, FRD, em que a incidncia de risco decresce com o tempo; e (iii) funo de
risco constante ou estacionria, FRE, onde a unidade est exposta a uma mesma
quantidade de risco em qualquer momento do tempo. Produtos manufaturados
costumam apresentar uma funo de risco dada pela combinao das trs classificaes
acima, ilustrada na Figura 1.2 e conhecida como curva da banheira.
A Figura 1.2 pode ser facilmente interpretada resgatando os conceitos
introduzidos na seo 1.3. Como visto anteriormente, deficincias no processo de
manufatura de um produto levam a falhas precoces, que se concentram no incio de sua
vida, na chamada fase de mortalidade infantil. As falhas que incidem na fase de vida til
do produto devem-se tipicamente a condies extremas no ambiente de operao do
produto e podem ocorrer, uniformemente, em qualquer momento no tempo. Finalmente,
a deteriorao do produto frequentemente leva a falhas por desgaste, concentradas no
final da vida til do produto, na fase de envelhecimento.
Figura 1.2 Exemplo de curva da banheira
A funo de confiabilidade R(t) e a funo de densidade f(t) podem ser derivadas
a partir da funo de risco, conforme demonstrado a seguir. Usando como ponto de
partida a eq. (1.10), tem-se:
( )( ) ln ( )( )
R t dh t R tR t dt= = . (1.12)
Como , ento: (0) 1R =
0( ) ln ( )
th t dt R t= , (1.13)
e
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0( )
( )
t
h u du
R t e= . (1.14)
A partir da eq. (1.10) e do resultado na eq. (1.14), possvel estabelecer a
seguinte relao entre ( )f t e a funo de risco:
0
( )
( ) ( ) , 0.
t
h u du
f t h t e t=
(1.15)
Integrando-se a funo de risco sobre um perodo de tempo, obtm-se a funo
acumulada de risco, H(t), dada por:
0( ) ( ) , 0.
tH t h u du t= (1.16)
A funo acumulada de risco oferece uma representao alternativa da funo de risco,
na forma de uma funo no-decrescente no tempo. Entretanto, de maneira anloga as
funes de distribuio , a maioria das funes acumuladas de risco se assemelham
na forma, independente da distribuio que modela os tempos-at-falha.
)(tF
1.6.4 Tempo mdio at falha, MTTF
O tempo mdia at falha de uma unidade, designado por MTTF (mean time to
failure), definido como:
0( ) ( )MTTF E T tf t dt
+= = , (1.17) ou seja, trata-se do valor esperado da varivel T. Como, a partir da eq. (1.3),
( ) ( )f t R= t , uma expresso alternativa para a MTTF pode ser assim obtida:
0( )MTTF tR t dt
= . (1.18) Integrando por partes, obtm-se:
[ ]0 0( ) ( )MTTF tR t R t dt= + . (1.19) Se a MTTF < , pode-se demonstrar que [ ]0( ) 0tR t = . Neste caso, obtm-se a expresso alternativa para a MTTF, dada por:
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0( )MTTF R t dt
= . (1.20) O mesmo resultado pode ser obtido utilizando a transformada de Laplace da funo de
confiabilidade.
Para a maioria das funes de distribuies que a varivel T pode apresentar, a
determinao da MTTF a partir da expresso na eq. (1.20) costuma ser mais fcil, se
comparada expresso na eq. (1.17).
1.6.5 Funo de vida residual mdia, L(t)
A funo de vida residual mdia corresponde vida remanescente esperada da
unidade, T t, dado que ela sobreviveu at o tempo t; ou seja:
( ) , 0.L t E T t T t t= (1.21) O valor esperado no-condicional da distribuio de T, E(T), um caso especial
da funo L(t), quando t = 0. A frmula para clculo da expectncia na eq. (1.21) dada
por:
( ) 1( ) ( ) .( ) ( )t t
f uL t u du t uf u du tR t R t
= = (1.22) 1.6.6 Relao entre funes e exemplo
A Tabela 1.2 apresenta a relao entre as medidas de confiabilidade discutidas
nos itens anteriores desta seo. Analisando a tabela, pode-se constatar que, sendo
informada uma das medidas de confiabilidade, qualquer outra medida pode ser
derivada.
Tabela 1.2. Relao entre medidas de confiabilidade
f( t) R(t) h(t) H(t) L(t) f( t) ( )
tf u du
( ) ( )t
f tf u du
( )
( )t
t
u f u dut
f u du
R(t) R t( ) R t
R t( )
( ) ln ( )R t 1 ( )
( ) tR u du
R t
ln ( )t
f u du
15
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h(t) 0
( )( )
th u du
h t e 0 ( )
th u du
e 0 ( )
th u du 0
0
( )
( )t
h y dy
t
h u du
e d
e
u H(t) H t e H t( ). ( ) e H t ( ) H t( ) ( ) ( )H t H u
te e d
uL(t)
0
1 ( )( )
t L u duL ue+ 1+ L tL t
( )( )
01 ( )
( )t L u du
L u+ 0 1 ( )( )1 ( )
( )
t L u duL uL t e
L t
++
Considere o seguinte exemplo. Lmpadas eltricas costumam apresentar tempos-
at-falha descritos por uma distribuio exponencial, com funo de densidade dada
por:
( ) , 0tf t e t= . A funo de confiabilidade das lmpadas pode ser obtida por aplicao direta da
eq. (1.7):
( )( ) ( ) 0u u tt t
tR t f u du e du e e et
= = = = = . A funo de risco das lmpadas pode ser determinada usando a eq. (1.10):
( )( )( )
t
t
f t eh tR t e
= = =
.
Como uma constante, conclui-se que a funo de risco da distribuio exponencial do tipo FRE (funo de risco constante no tempo).
A funo de risco acumulada pode ser obtida diretamente da eq. (1.16):
0 0( ) ( )
t tH t h u du du t= = = . Atravs da eq. (1.20), ontm-se o tempo mdio at falha:
0 0
1 1( ) [ (0 1)0
t tMTTF R t dt e dt e = = = = 1= .
Ou seja, a MTTF para tempos-at-falha exponencialmente distribudos corresponde ao
recproco da taxa de falha .
16
-
Finalmente, a funo de vida residual mdia pode ser determinada diretamente
da eq. (1.22):
1 1( ) ( )( )
utt t
L t uf u du t u e du tR t e
= = 1 = .
O resultado acima indica que, mediante suposio de tempos-at-falha
exponencialmente distribudos, a vida residual mdia da unidade independe de sua
idade.
1.7. Exerccios
1) Calcule a funo de confiabilidade, a funo risco e o tempo mdio at falha para a
seguinte funo de probabilidade acumulada:
tt eetF 871
781)( += .
2) Uma fbrica de bobinas para motores est interessada em estimar a vida mdia de
suas bobinas. Para tanto, foram submetidas a testes de confiabilidade 150 bobinas. As
bobinas foram observadas e as falhas anotadas em intervalos de tempo. O nmero de
falhas por intervalo de tempo mostrado na tabela abaixo:
Intervalo de tempo(horas)
Falhas no intervalo
0 1,000 16 1,001 2,000 24 2,001 3,000 26 3,001 4,000 46 4,001 5,000 38
Estime a funo densidade f(t), a funo de risco h(t), a funo de probabilidade
acumulada F(t) e a funo de confiabilidade R(t). Plote os grficos destas funes. Use
as frmulas abaixo para estimar as funes:
,)(
)(tntn
tfo
f
= ,)(
)(tntn
ths
f
= ,)()()(
thtftR = ).(1)( tRtF =
17
-
3) Um certo componente eletrnico apresenta funo de risco constante com valor de
2,5 10-5 falhas por hora. Calcule a probabilidade do componente sobreviver pelo
perodo de 1 ano (104 horas). Caso um comprador adquirisse um lote deste componente
e fizesse um teste de 5.000 horas em uma amostra de 2.000 componentes, quantos deles
falhariam durante o teste?
4) Componentes como vlvulas apresentam funo de risco crescente, tth =)( . Encontre a funo densidade f(t), a probabilidade de falha no intervalo (0,t] F(t), a
funo de confiabilidade R(t), a funo acumulada do risco H(t) e a funo de vida
residual mdia.
Determine a funo de confiabilidade aps um ano de uso da vlvula, sabendo que
= 0,5 10-8. Qual a mdia de tempo para a reposio da mesma?
Considere que uma funo de risco crescente possui funo de densidade de Rayleigh;
assim sendo: 2
= e
=4
12 .
5) Dhillon (1979)1 prope um modelo de funo de risco dado por:
( ) ( ) btbc ebthctkth 11 1 += , 0,,, >cb , 10 k e , 0tonde
=cb, parmetros de forma, = , parmetros de escala, e
t = tempo. Derive a funo de confiabilidade e determine as condies que fazem a funo de risco
crescente, decrescente ou constante.
6) Um engenheiro estima a confiabilidade de uma mquina de corte, chegando a
seguinte expresso:
1 DHILLON, B. S. (1979). A Hazard Rate Model. IEEE Transactions on Reliability R28, p.150-158.
18
-
( ) ,1 20
= tttR 00 tt =>= tzPtTPtR ln)(
[ ])(
ln
)()(
tRt
t
tRtfth
==
Obs.: z refere-se a uma varivel normal padronizada. )( a integral tabelada cujo valor corresponde ordenada da funo de densidade de uma varivel normal
padronizada.
19
-
10) O tempo de falha de um componente segue uma distribuio de Weibull com
parmetro de escala (horas)6100,5 = -1 e parmetro de forma 5,1= . Calcule o valor da MTTF.
11) A funo risco de um sistema de freios dada por falhas
por ano. Calcule a funo de sobrevivncia aps t = 10
)325,1(006,0)( 2ttth +=4 horas.
12) A resistncia rolante uma medida da energia perdida por um pneu de carga ao
resistir fora que ope sua direo de movimento. Em um carro normal, viajando a
oitenta quilmetros por hora, so usados aproximadamente 20% do poder da mquina
para superar a resistncia do rolamento dos pneus. Um fabricante de pneus introduz um
material novo que, quando acrescido combinao de borracha, melhora
significativamente a resistncia do rolamento do pneu. Uma anlise em laboratrio com
150 pneus demonstrou que a taxa de falha do pneu novo aumenta linearmente com o
tempo (em horas); isto pode ser expresso como . Calcule a funo de
confiabilidade do pneu aps um ano e a mdia de tempo at a troca do pneu. Formulrio
adicional fornecido abaixo:
tth 8105,0)( =
2
=
=4
12
Os prximos exerccios devem ser resolvidos com o auxlio do software Proconf, cujo tutorial encontra-se no Apndice, ao final deste captulo. 13) Os dados na tabela abaixo so tempos-at-falha, apresentados em ordem crescente,
medidos a partir de uma amostra de 50 unidades de um determinado componente eletro-
mecnico:
15 119 158 218 312 23 121 162 225 330 62 125 167 230 345 78 128 171 237 360 80 132 175 243 383 85 137 183 255 415 97 140 189 264 436 105 145 190 273 457 110 149 197 282 472
20
-
112 153 210 301 572
Pede-se: (a) plotar no Proconf as funes f(t), h(t), R(t) e F(t); (b) comentar os
resultados.
14) Os dados de tempo-at-falha a seguir foram obtidos em ensaios de confiabilidade
conduzidos sobre um tipo de componente eletrnico. Obtenha no Proconf os
histogramas das funes f(t), h(t), R(t) e F(t) e comente os resultados.
2,7 6,1 8,4 12,0 18,9 21,0 3,1 6,4 8,6 13,2 19,0 22,2 3,3 7,3 9,5 13,7 19,3 26,4 3,3 8,0 9,6 14,2 20,2 33,6 4,6 8,2 11,9 16,1 20,4 35,0
15) Os dados a seguir foram obtidos em testes com um componente mecnico que falha
por fadiga. Plote no Proconf os histogramas de funes f(t), h(t), R(t) e F(t) e comente
os resultados.
62 85 95 101 109 126 65 87 95 103 109 131 79 90 98 105 119 132 82 92 99 106 120 134 83 95 99 108 125 139
16) Considere os trs grupos de dados abaixo. O grupo no item (a) foi obtido testando o
nmero de dias at falha de lmpadas eltricas em condies de uso contnuo; o grupo
no item (b) corresponde ao tempo at falha, em milhares de horas, de bombas
submersas; o grupo no item (c) corresponde a um teste com mecanismos de pouso de
avies (os resultados esto em nmeros de pousos/decolagens, em condies normais).
Analise os grupos de dados e determine, utilizando o Proconf: (a) qual a distribuio de
probabilidade que melhor se ajusta aos dados (na dvida entre mais de uma distribuio,
informe os resultados para aquelas que oferecem melhor ajuste); (b) elabore um
relatrio com os grficos da funo de confiabilidade e de densidade da distribuio
selecionada; (c) a MTTF dos equipamentos; e (d) o tempo correspondente uma
confiabilidade de 95% para os equipamentos?
(a) Lmpadas
21
-
20,1 98,7 256,4 662,6 20,4 115,3 267,2 668,9 21,5 116,9 332,6 702,7 32,5 190,9 378,6 750,7 35,3 191,8 417,4 771,1 56,0 219,2 433,1 907,0 63,6 234,5 522,4 952,2 74,1 235,7 560,4 1072,4 78,1 253,3 577,0 1168,4 82,0 254,2 581,7
(b) Bombas submersas
58,9 57,3 38,0 26,8 27,4 89,7 16,3 41,2 39,7 20,7 14,8 102,2 63,2 58,0 75,4 31,1 60,7 15,1 110,6 13,7 30,0 41,4 39,5 171,7 13,8 23,6 51,1 62,7 106,7 30,5 40,5 28,0 127,0 14,3 36,5 38,7 47,7 118,0 14,5 18,8 81,1 49,5 72,3 20,0 174,2 12,7 20,8 6,5 24,3 59,3 19,0 21,8 32,0 125,5 21,9 58,6 29,5 101,0 165,3 46,6 46,8 75,6 26,5 11,3 28,4 43,3 34,0 55,2 42,8 24,5 18,5 43,5 66,9 51,0 13,7 194,4 32,2 48,2 32,8 20,2 44,8 64,6 28,5 10,6 29,1 19,4 47,6 108,1 98,6 11,4 23,4 68,9 79,8 123,8 27,3 16,6 18,0 13,5 56,1 36,3
(c) Trens de pouso
20937,3 19295,7 18076,7 10550,1 16618,8 16504,1 15868,6 19455,8 21300,5 14498,5 15672,5 19597,5 16606,6 15864,2 19558,7 19274,7 19485,0 18646,4 19593,3 27046,6 13572,6 14585,3 25814,3 18627,7 15579,3 19101,3 9797,0 16785,8 16724,8 18631,4 15525,7 20822,0 15854,5 15063,2 8384,93 11950,7 20130,6 22271,6 17342,7 20617,2 12328,2 16003,7 20703,5 26231,2 22068,3 12786,3 21788,0 19782,8 15845,8 12242,6 22179,6 20739,5 16217,6 17431,8 20900,8 11110,2 23469,6 26138,5 21370,0 14301,2
17) Um componente mecnico sujeito a stress cclico apresenta um tempo at falha
normalmente distribudo, com mdia 1980 ciclos e desvio-padro de 350 ciclos. O
fabricante oferece uma garantia de 1 ano, com total reposio do componente no caso
de falha (em um ano, estima-se uma mdia de 1580 ciclos de uso do componente).
Cada reposio custa $380,00 para o fabricante. Elabore um relatrio no Proconf com
as seguintes informaes: (a) apresente os grficos de confiabilidade, densidade de
22
-
probabilidade e taxa de falha do componente mecnico; (b) para cada 1000
componentes vendidos, qual o custo esperado para o fabricante incorrido com
reposies dentro do prazo de garantia? (c) o fabricante deseja um custo com reposies
na garantia $ 1000,00/mil peas vendidas; considerando o nvel de confiabilidade atual, qual deveria ser o prazo de garantia oferecido pelo fabricante para o produto?
18) Utilizando o Proconf, encontre a distribuio que melhor se ajusta aos dados e a
MTTF da seguinte amostra de tempos at a falha:
6 15 30 39 47 57 149 8 16 33 41 48 62 271 10 28 36 45 51 110
23
-
APNDICE A - UTILIZAO DO PROCONF A PARTIR DE UM
EXEMPLO
Considere os dados abaixo, obtidos em um teste de fadiga em hlices de
automveis (em milhares de horas). Nosso objetivo :
Inserir dados de falha no software
Analisar os grficos resultantes e escolher a distribuio de probabilidade mais apropriada na descrio dos tempos at falha
Obter valores de confiabilidade e MTTF para cada distribuio
Tabela 1.3. Dados de TTF de hlices de automveis
8.2 12.5 8.4 11.9 273.2 14.3 3.7 5.0 14.5 273.9 28.3 32.2 15.4 8.2 12.0 0.7 10.9 9.6 3.2 22.0 14.0 7.4 31.3 1.6 22.7 27.5 17.2 20.3 14.9 7.1 49.7 14.4 3.0 9.2 0.4 2.6 35.7 43.3 2.3 11.6 10.9 0.2
O PROCONF possui trs janelas de funes:
1. Dados
2. Anlise
3. Calculadora
A janela Dados a primeira a aparecer quando o programa aberto. Ela contm
quatro planilhas: (i) Informaes Bsicas, (ii) Dados de falha, (iii) Grficos de Barras e
(iv) Papel de Probabilidade. Em (i) o usurio fornece informaes sobre a anlise em
curso. Por exemplo, o Ttulo do Projeto poderia ser Tutorial, a Unidade de Tempo
poderia ser Milhares de Horas e o Nvel do Intervalo de Confiana poderia ser 95% (o
24
-
mais usual, na prtica). Em (ii) os dados de tempo at falha devero ser informados;
entre com os dados da tabela acima. Aps inserir os dados, clique em processar, para
atualizar o registro. Em (iii), analise os grficos de barra (histogramas) resultantes; eles
do uma idia da distribuio de probabilidade dos dados. Existem quatro opes:
freqncia, taxa de falha, confiabilidade e densidade acumulada de falha. A freqncia
corresponde funo de densidade, podendo dar uma idia da melhor distribuio para
os dados em estudo. Em (iv) os dados so plotados em quatro papis de probabilidade
(exponencial, Weibull, lognormal e Normal). Quanto mais prximos da reta os dados
estiverem, maior a probabilidade de pertencer a uma dada distribuio. Analise com
cuidado os dados nas extremidades; eles costumam ser decisivos na escolha da
distribuio apropriada.
A janela Anlise contm cinco planilhas: (i) Modelos, (ii) Ajuste/Estatsticas,
(iii) Funes de Confiabilidade, (iv) Grficos e (v) Testes de Aderncia. Em (i) o
usurio escolhe o modelo desejado (existem cinco opes de modelo); por exemplo, o
modelo escolhido pode ser o de Weibull. A partir da escolha do modelo, todas as
funes nas demais planilhas vo utilizar o modelo escolhido como referncia. Em (ii)
os parmetros da distribuio so calculados; algumas informaes como os percentis
10 e 50 e a MTTF tambm so fornecidos. A planilha (iii) traz as informaes usadas na
contruo dos grficos da planilha (iv). Em (iv) pode-se ter uma idia do formato das
funes de probabilidade associadas a distribuio selecionada, tendo em vista os dados
de TTF. importante ressaltar que os grficos so gerados independente da distribuio
selecionada ser aquela que melhor se ajusta os dados. O ajuste das distribuies aos
dados verificado na planilha (v), atravs de dois testes de aderncia: o teste do qui-
quadrado e o teste de Kolmogorov-Smirnov. A interpretao do resultado dos testes
vem dada na propria planilha. Para que o programa no rejeite a hiptese da distribuio
selecionada ser correta, ela precisa passar nos dois testes.
A janela Calculadora traz uma calculadora para determinao da confiabilidade,
dado uma determinada distribuio com parmetros informados (boto calcular
confiabilidade). A calculadora tambm pode determinar o tempo correspondente a uma
determinada confiabilidade (boto calcular tempo). A calculadora tambm apresenta os
grficos correspondentes distribuio informada.
25
-
2. DISTRIBUIES DE PROBABILIDADE EM CONFIABILIDADE: ESTIMATIVAS DE PARMETROS E
TEMPOS-AT-FALHA
2.1. Introduo
A definio mais usual de confiabilidade de uma unidade (componente ou
sistema) dada em termos de sua probabilidade de sobrevivncia at um tempo t de
interesse. A determinao de tal probabilidade possvel atravs da modelagem dos
tempos-at-falha da unidade em estudo. Conhecendo-se a distribuio de probabilidade
que melhor se ajusta a esses tempos, possvel estimar a probabilidade de sobrevivncia
da unidade para qualquer tempo t, bem como outras medidas de confiabilidade, como o
seu tempo-mdio-at-falha (MTTF mean time to failure) e funo de risco. A
modelagem dos tempos-at-falha , assim, central em estudos de confiabilidade.
Por tempo-at-falha de uma unidade entende-se o tempo transcorrido desde o
momento em que a unidade colocada em operao at a sua primeira falha. Tais
tempos podem ser conhecidos de registros histricos ou obtidos a partir de observaes
do desempenho do produto em campo ou em laboratrio, sob condies controladas.
Convenciona-se t = 0 como incio da operao da unidade. Por estar sujeito a variaes
aleatrias, o tempo-at-falha interpretado como uma varivel aleatria no-negativa,
designada por T . Tempos-at-falha nem sempre so medidos como tempo de
calendrio, podendo assumir valores discretos, como nmero de ciclos at falha. Para os
propsitos deste texto, pressupe-se uma varivel T distribuda continuamente, com
funo de densidade de probabilidade dada por e funo de distribuio dada por: )(tf
== t duuftTPtF 0 )()()( , para . (2.1) 0tF(t) denota, assim, a probabilidade de falha da unidade no intervalo de tempo (0, t].
A densidade de probabilidade definida como: )(tf
0 0
( ) ( ) (( ) ( ) ( ) lim limt t
d F t t F t P t T tf t F t F tdt t t
)t+ < + = = = = (2.2)
26
-
Conhecendo-se [ou ], possvel determinar a confiabilidade da
unidade para qualquer tempo t , alm de outras medidas de interesse. A densidade
plenamente caracterizada pelo seu vetor de parmetros
)(tf )(tF )(tR
)(tf
= [ ]K,, 21 . Os parmetros da funo que caracteriza uma determinada unidade so estimados utilizando
informaes de tempos-at-falha, atravs de mtodos de estimao como o da mxima
verossimilhana, apresentado mais adiante.
As distribuies de probabilidade usadas em estudos de confiabilidade podem
apresentar at trs parmetros, classificados em parmetros de (a) localizao, (b) escala
e (c) forma. Parmetros de localizao so usados para deslocar a distribuio de
probabilidade ao longo do eixo do tempo, sendo tambm conhecidos como parmetros
de vida mnima ou de garantia. Um exemplo conhecido a mdia da distribuio
Normal. Parmetros de escala so usados para expandir ou contrair o eixo do tempo.
Um exemplo conhecido o parmetro da distribuio exponencial; a funo de densidade possui sempre a mesma forma, mas as unidades no eixo do tempo so
determinadas por . Os parmetros de forma so assim designados por afetarem a forma da funo de densidade. Um exemplo conhecido o parmetro da distribuio de Weibull.
2.2. Mtodos de estimao de parmetros
Considere uma amostra aleatria completa (sem truncamento) de tempos-at-
falha obtida de uma populao de interesse tal que: (a) s so variveis
aleatrias independentes e (b) todo segue a mesma distribuio de probabilidade.
Deseja-se utilizar a informao na amostra para estimar o vetor de parmetros da distribuio. Para tanto, deve-se desenvolver uma estatstica que, a partir da amostra,
fornea uma estimativa de ; em outras palavras, deseja-se desenvolver um estimador para .
( nTT ,,1 K ) iT iT
Os mtodos mais difundidos para estimar parmetros populacionais so o
mtodo (i) dos momentos, (ii) dos mnimos quadrados, e (iii) da mxima
verossimilhana. Este ltimo, talvez o mais utilizado dos mtodos, detalhado a seguir.
27
-
Independente do mtodo de estimao utilizado, deseja-se obter estimadores com as
seguintes propriedades:
No-tendencioso estimador que no subestima ou superestima, de maneira sistemtica, o valor real do parmetro; isto , E = , onde [ ]E denota o operador de expectncia.
Consistente estimador no-tendencioso que converge rapidamente para o valor real do parmetro medida que o tamanho de amostra aumenta.
Eficiente estimador consistente que apresenta a menor varincia dentre os estimadores usados para estimar o mesmo parmetro populacional.
Suficiente estimador eficiente que utiliza toda a informao acerca do parmetro que a amostra possui.
Um dos melhores mtodos para obter estimadores pontuais de parmetros
populacionais o mtodo da mxima verossimilhana. Como o nome sugere, um
estimador de mxima verossimilhana ser dado pelo valor do parmetro que maximiza
a funo de verossimilhana.
Sejam variveis aleatrias que seguem uma distribuio de
probabilidade
1, , nT TK
( , )f t , onde um parmetro desconhecido. Sejam os valores observados em uma amostra aleatria de tamanho n. A funo de verossimilhana da
amostra :
1, , nt K t
1 2( ) ( , ) ( , ) ( , )nL f t f t f t = K
t
. (2.3)
A funo na eq. (2.3) informa sobre a possibilidade (ou verossimilhana) das
variveis assumirem os valores ; tal possibilidade dada pelo valor da
funo de densidade. Para o caso de variveis discretas, a verossimilhana um valor de
probabilidade.
1, , nT TK 1, , nt K
A expresso na eq. (2.3) funo apenas do parmetro desconhecido . O estimador de mxima verossimilhana de , assim, o valor de que maximiza ( )L ; tal valor obtido derivando a eq. (2.3) com relao a e igualando o resultado a 0; isto :
28
-
( ) 0L = . (2.4)
importante ressaltar que ( )L e ( ) ln[ ( )]l L = apresentam seus mximos no mesmo valor de ; em muitos casos, mais fcil resolver a derivada na eq. (2.4) para ( )l . No restante deste texto, o estimador do parmetro designado por e suas
estimativas por
.
O mtodo de mxima verossimilhana pode ser usado em situaes onde
diversos parmetros desconhecidos, digamos 1, , k K , devam ser estimados. Nesses casos, a funo de verossimilhana seria uma funo dos k parmetros desconhecidos e
os estimadores de mxima verossimilhana 1 , , k K poderiam ser encontrados a partir de k derivadas parciais, 1( , , ) , 1, ,k iL i k =K K , igualadas a zero e resolvidas para os parmetros de interesse.
Estimadores de mxima verossimilhana apresentam, em geral, propriedades
assintticas favorveis. O estimador de mxima verossimilhana de qualquer
parmetro
no tendencioso para tamanhos grandes de n e apresenta uma varincia
to pequena quanto possvel de ser obtida com qualquer outro estimador.
Exemplo 1: Distribuio exponencial
Tempos-at-falha seguem uma distribuio exponencial com parmetro e funo de densidade dada por:
( , ) , 1, , .itif t e i = = K n
i
(2.5)
Aplicando a eq. (2.3), obtm-se a seguinte funo de verossimilhana:
1
1 1
( ) ( , )
n
ii
n n ttn n
ii i
L f t e e =
= =
= = = , (2.6) com logaritmo dado por:
[ ]1
( ) ln ( ) lnn
ii
l L n =
= = t . (2.7) 29
-
A derivada da funo na eq. (2.7) dada por:
1
( ) 0.n
ii
l n t = = = (2.8)
O estimador de mxima verossimilhana de facilmente obtido isolando :
1
n
ii
n
t=
=
. (2.9)
Exemplo 2: Distribuio Weibull com dois parmetros
Tempos-at-falha seguem uma distribuio de Weibull com parmetros e e funo de densidade dada na eq. (2.10) e funo de verossimilhana dada na eq. (2.11):
1( ) , 1, , .it
if t t e i
= = K n (2.10)
1
11
1
( , )
n
ii
n t
ii
L t e
=
=
= (2.11) As derivadas do logaritmo da funo na eq. (2.11) com relao a e so
obtidas, igualadas a zero, avaliadas em e e rearranjadas, resultando nas seguintes equaes:
1
1
1
ln1 1 ln 0
n
i i ni
ini
ii
t tt
nt
=
==
=
, (2.12)
1
1
n
ii
t n
=
= . (2.13)
A estimativa de na eq. (2.12) obtida iterativamente. O valor de , ento, substitudo na eq. (2.13), resultando na estimativa de .
2.3. Distribuies de tempos-at-falha
30
-
Quatro distribuies de probabilidade frequentemente utilizadas para descrever
tempos-at-falha de componentes e sistemas so detalhadas na sequncia; so elas: (i)
Exponencial, (ii) Weibull, (iii) Gama, e (iv) Lognormal. As representaes apresentadas
para as distribuies so as mais comumente usadas em estudos de Confiabilidade:
funo de densidade ( )f t , funo de confiabilidade ( )R t , funo de risco e
tempo-mdio-at-falha
( )h t
MTTF .
Distribuio exponencial
A distribuio exponencial desempenha um importante papel em estudos de
confiabilidade por ser a nica distribuio contnua com funo de risco constante. A
simplicidade matemtica das expresses derivadas da exponencial difundiram o seu uso,
as vezes inadequado. Suas representaes de confiabilidade, para , vm dadas
abaixo; as eqs. (2.14) a (2.16) so ilustradas na Figura 2.1, para
0t 1 = e 2 = .
( ) tf t e= (2.14)
( ) tR t e = (2.15)
( )h t = (2.16)
[ ] 1MTTF E T = = (2.17)
O estimador de mxima verossimilhana de para amostras completas apresentado na eq. (2.9).
A exponencial apresenta trs importantes propriedades. A primeira diz respeito
ausncia de memria de unidades com tempos-at-falha modelados pela exponencial;
isto , supem-se unidades com uma mesma confiabilidade ( )R t para qualquer t,
independente de sua idade ou tempo de uso. Tal suposio restringe a aplicao da
exponencial a alguns componentes eltricos, como, por exemplo, fusveis; unidades que
apresentam desgaste ou fadiga so modeladas adequadamente pela exponencial apenas
durante o seu perodo de vida til, quando a ocorrncia de falhas for relativamente
constante no tempo.
31
-
A segunda propriedade importante da exponencial diz que se so
variveis exponenciais independentes e identicamente distribudas, ento
~ , onde denota a distribuio do Qui-quadrado com 2n graus de
liberdade. Tal propriedade permite a determinao de um intervalo de confiana para
1, , nT K T
=ni iT12 22n 22n
baseado nas realizaes observadas de n variveis exponenciais independentes. O
intervalo para com confiana 100(1 )% dado por:
2 22 ,1 / 2 2 , / 2
1 12
n n
n i ni i
T = =
< e 0 > , vm dadas nas equaes abaixo:
1( )t
f t t e
= (2.19)
( )t
R t e
= (2.20)
32
-
1( ) th t
= (2.21)
( )1 1MTTF = + (2.22) Na eq. (22), designa a funo gama, uma integral indefinida tabelada. Os
estimadores de mxima verossimilhana para
( ) e , os parmetros de forma e escala
da Weibull, vm dados nas eqs. (2.12) e (2.13) para amostras completas.
A distribuio de Weibull modela adequadamente uma ampla variedade de
situaes onde unidades apresentam funes de risco distintas. O tipo de funo de risco
da Weibull definido pelo seu parmetro de forma. Quando 1 < , decrescente. Quando
( )h t
1 = , constante e a Weibull transforma-se na distribuio exponencial. Quando
( )h t
1 > , crescente. Dois casos especiais so: (i) ( )h t 2 = , quando uma reta com inclinao
( )h t2(2 / ) e a Weibull transforma-se na distribuio de Rayleigh, e (ii)
3,26 = , quando a Weibull apresenta funo de densidade com formato similar ao da distribuio normal. Os cenrios para acima vm ilustrados na Figura 2.2. ( )h t
Figura 2.2. Cenrios de h(t) para diferentes valores de
O parmetro da Weibull frequentemente designado por alguns autores como vida caracterstica da unidade modelada por esta distribuio. Da eq. (2.20), tem-se que:
( ) 1 0,3679R e = para todo 0 > . (2.23)
Todas as funes de confiabilidade da Weibull se encontram no ponto ,
independente do valor de
1( , )e .
33
-
A distribuio de Weibull, assim como a exponencial, apresenta a propriedade
de auto-reproduo. Se so tempos-at-falha seguindo uma distribuio de
Weibull com parmetros de forma idnticos, ento o mnimo destes valores segue uma
distribuio de Weibull; mais especificamente,
1, , nT TK
{ }nTTMin ,,1 K ~ ( ) =ni iWeibull 1 , . Distribuio Gama
A distribuio gama uma segunda importante generalizao da distribuio
exponencial. Considere uma unidade que exposta a uma srie de choques que ocorrem
conforme um processo de Poisson homogneo, com intensidade . Os intervalos de tempo entre choques consecutivos so, ento, independentes e
exponencialmente distribudos, com parmetro
1 2, ,T T K , conforme visto anteriormente. Se a
unidade falhar no k-simo choque, o tempo-at-falha da unidade :
1 2 kT T T T= + + +K (2.24)
e pode-se demonstrar que T segue uma distribuio gama.
As medidas de confiabilidade de interesse para a distribuio gama so ( ,
parmetro de forma
0t 0 > e parmetro de escala 0 > ):
( ) 1( )( )
tf t t e = (2.25)
( ) 101( ) 1
txR t x
= e dx (2.26)
( ) ( ) ( )h t f t R t= (2.27)
MTTF = (2.28)
Os formatos assumidos pela densidade da distribuio gama so bastante
similares aos da Weibull, sendo difcil diferenciar as distribuies a partir de suas
funes de densidade. Analogamente Weibull, a distribuio gama apresenta funo
de risco decrescente quando 1 < , constante quando 1 = e crescente quando 1 > ; ao contrrio de ( )f t , o formato de h(t) da gama e da Weibull diferenciam-se bastante, em
34
-
particular para valores maiores de t; os formatos vm exemplificados na Figura 2.3 para
1 = e diversos valores de . Para qualquer , lim ( )t h t = , indicando que tempos-at-falha que seguem uma distribuio gama apresentam uma cauda
exponencial.
Figura 2.3. Formatos de h(t) para a distribuio gama p/ diferentes valores de
A funo de verossimilhana da distribuio gama dada por:
[ ] 11
1
( , )( )
n
ii
n n t
ini
L t
=
=e
= (2.29)
Aplicando o logaritmo e obtendo as derivadas parciais de ( , )L em relao a e , obtm-se um conjunto de equaes em termos de e . As estimativas de mxima verossimilhana dos parmetros podem ser encontradas utilizando mtodos
numricos.
Duas situaes especiais da distribuio gama so de interesse. A primeira
ocorre quando o parmetro de forma um inteiro positivo; neste caso, a gama transforma-se na distribuio de Erlang, cuja funo de confiabilidade
matematicamente tratvel. A Erlang a distribuio da varivel aleatria descrita pela
soma de variveis exponencialmente distribudas. A segunda situao especial ocorre
quando 12 = e 2n = e a distribuio gama transforma-se na distribuio do Qui-quadrado, onde n designa o nmero de graus-de-liberdade da distribuio.
Distribuio Lognormal
35
-
O tempo-at-falha T de uma unidade segue uma distribuio lognormal se
for normalmente distribudo. A lognormal uma distribuio limitada
esquerda, sendo muito utilizada na modelagem de tempos-at-reparo em unidades
reparveis. Nesse caso, razovel supor que a probabilidade de completar uma ao de
reparo aumenta com o passar do tempo. No caso do reparo demorar muito a ser
concludo, h um indicativo de causas especiais sobre o processo (por exemplo,
ausncia de peas necessrias para realizar o reparo). Assim, costuma-se supor que a
taxa de reparo (isto , a intensidade com que reparos so concludos) se assemelhe
funo de risco de uma distribuio lognormal, conforme ilustrado na Figura 2.4.
Observe que a funo de risco da lognormal apresenta o formato de uma curva da
banheira invertida, com h(t) crescendo inicialmente e, aps, decrescendo
assintoticamente.
lnY = T
Figura 2.4. Funo de risco da lognormal para = 1 e = 0,5
As medidas de confiabilidade de interesse para a distribuio lognormal so
( ): 0t 21 1 (ln )( ) exp
22tf t
t
= (2.30)
ln( ) tR t = (2.31)
[ ][ ]
( ln ) / /( )
( ln ) /t t
h tt
= (2.32)
( )2 2MTTF e += (2.33)
36
-
Nas expresses acima, (x) o valor da funo de distribuio da distribuio normal padronizada avaliada em x, e () o valor da funo de densidade da distribuio normal padronizada avaliada em x.
Por ser uma distribuio limitada esquerda, a lognormal no centrada em , como o caso da normal. Ao contrrio, a mediana Mt da distribuio, que satisfaz
dada por ( ) 0,5MR t = Mt e= .
Os estimadores de mxima verossimilhana de e so dados por:
1
1 lnn
ii
tn
=
= , (2.34) 2
22
1 1
1 (ln ) (ln )n n
i ii i
t tn
= =
= n . (2.35)
2.4. Verificao do ajuste de dados a distribuies de probabilidade
As duas formas mais usuais de verificao de ajuste de dados a distribuies
hipotetizadas so: (i) grfica, atravs de histogramas de frequncia e papis de
probabilidade, e (ii) analtica, atravs de testes de aderncia.
Uma hiptese inicial acerca da distribuio de probabilidade que melhor se
adequa a dados amostrais pode ser obtida atravs da anlise dos histogramas empricos
de frequncia e de risco, obtidos a partir dos dados. A verificao feita por
comparao com distribuies tabeladas conhecidas. Uma vez constatada a
similaridade, pode-se refinar a anlise grfica utilizando o papel de probabilidade da
distribuio hipotetizada, quando disponvel. Nos papis de probabilidade, dados
amostrais so transformados de forma a se distribuirem em torno de uma reta que
representa o seu comportamento esperado, mediante hiptese de uma determinada
distribuio. Quanto mais prximos os dados transformados estiverem da reta que
representa a distribuio, melhor ser o seu ajuste distribuio hipotetizada. Os papis
de probabilidade variam conforme a distribuio em questo, podendo ser de utilizao
trabalhosa quando implementados manualmente.
37
-
Os testes analticos de aderncia mais utilizados so o do Qui-Quadrado e o de
Kolmogorov-Smirnov. Ambos os testes apresentam a estrutura de um teste de hipteses,
onde a hiptese nula (H0) de que os dados seguem uma determinada distribuio
hipotetizada. O teste do Qui-Quadrado um teste paramtrico, com estatstica de teste
seguindo uma distribuio do Qui-Quadrado caso a H0 seja verdadeira. A idia
calcular a soma dos quadrados das diferenas entre frequncias esperadas (considerando
a distribuio em H0) e frequncias empricas observadas; se a soma ultrapassar um
determinado valor tabelado, rejeita-se H0 o que no , obviamente, o objetivo do teste.
O teste de Kolmogorov-Smirnov (KS) trabalha com frequncias acumuladas ao invs de
frequncias absolutas, utilizando melhor a informao contida na amostra. O KS um
teste no-paramtrico, de uso mais adequado em situaes onde poucos dados amostrais
esto disponveis. O teste do Qui-Quadrado formalizado na sequncia.
Considere uma amostra de n observaes de tempos-at-falha, obtida de de uma
populao com distribuio de probabilidade desconhecida. Organize os n pontos
amostrais em uma tabela de frequncia, distribuindo-os em k classes (onde k
usualmente dado por n ). Seja a frequncia observada na i-sima classe e a
frequncia esperada caso a populao amostrada siga a distribuio de probabilidade
hipotetizada em H
iO iE
0. O teste do Qui-Quadrado compara e atravs da seguinte
expresso:
iO iE
=
=k
i i
ii
EEO
1
220
)( . (2.36)
Caso a distribuio hipotetizada modele os tempos-at-falha amostrados, pode-
se demonstrar que segue uma distribuio do Qui-Quadrado, com k p 1 graus de liberdade (p denota o nmero de parmetros da distribuio em H
20
0).
Exemplo 3: Teste do Qui-quadrado usando dados simulados
Suponha uma amostra completa, sem inspeo, composta de 49 pontos amostrais
correspondendo a tempos-at-falha observados em fontes de alimentao de
microcomputadores. Os dados foram obtidos por simulao a partir de uma distribuio
lognormal, sendo apresentados na Tabela 2.1 (tempos em milhares de horas).
38
-
Tabela 2.1. Dados simulados a partir de uma distribuio lognormal
15 137 218 41523 140 225 43662 145 230 45778 149 237 47280 153 24285 158 25597 162 264105 167 273110 171 282112 175 301119 183 312121 189 330125 190 345128 197 360132 210 383
Tempos at falha (x 1000)
O histograma de frequncia dos dados na Tabela 2.1 dado na Figura 2.5. O
grfico sugere duas possveis distribuies para os dados: Weibull e lognormal. Os
clculos relativos a cada hiptese so apresentados na Tabela 2.2. O nvel de
significncia quando H0: Weibull de 62%; para H0: lognormal, tem-se um
significncia de 82%, evidenciando um melhor ajuste dos dados distribuio
lognormal, como esperado.
Figura 2.5. Histograma de frequncia dos dados na Tabela 2.1
Tabela 2.2. Clculos para o teste do Qui-Quadrado no exemplo
39
-
Freq. Freq. Freq. Freq.Limite Inferior Limite Superior Observada Esperada Limite Inferior Limite Superior Observada Esperada
0 61,8 2 4,2 0 61,8 2 3,261,8 123,7 10 9,3 61,8 123,7 10 12,4
123,7 185,6 14 10,8 123,7 185,6 14 11,5185,6 247,4 9 9,5 185,6 247,4 9 7,8247,4 309,3 5 6,9 247,4 309,3 5 5309,3 371,1 4 4,3 309,3 371,1 4 3,1371,1 432,9 2 2,3 371,1 432,9 2 2432,9 Mais 3 1,8 432,9 Mais 3 4
Ho: Weibull Ho: Lognormal
2.5. Exerccios
1) Um certo componente para televisores foi testado em 20 aparelhos e seus tempos at
falha anotados. Os valores abaixo so os tempos at falha em horas.
44, 128, 55, 102, 126, 77, 95, 43, 170, 130, 112, 130, 150, 180, 40, 90, 125, 106, 93, 71.
Os tempos at falha deste componente seguem uma distribuio gama. Encontre as
estimativas dos parmetros e .
2) Os tempos at falha de um certo sistema de transmisso seguem uma distribuio
exponencial. Os tempos at falha deste sistema foram anotados de forma contnua,
obtendo-se os seguintes valores:
48, 80, 122, 188, 189, 220, 253, 311, 325, 358, 490, 495, 513, 723, 773, 879, 1.510,
1.674, 1.809, 2.005, 2.028, 2.038, 2.870, 3.103, 3.205.
Calcule a estimativa de de acordo com o mtodo da mxima verossimilhana.
3) Encontre o estimador para o parmetro da distribuio de Rayleigh seguindo o mtodo da mxima verossimilhana. A funo de distribuio dada por
2
2
)(x
xexf
= .
4) Um determinado componente apresenta os tempos-at-falha 15, 21, 30, 39, 52 e 68
horas em um teste de confiabilidade. Os tempos seguem uma distribuio de Rayleigh.
Determine a estimativa do parmetro .
40
-
5) Use o mtodo da mxima verossimilhana para encontrar o parmetro da seguinte
funo de densidade: tetf21)(
= .
6) Considere a distribuio xexf
x=)( . Encontre o estimador de mxima verossimilhana de baseado numa amostra aleatria de tamanho n.
7) Encontre a funo de verossimilhana e o estimador de mxima verossimilhana para
a seguinte distribuio: ( ) xxxf 2125)( = . 8) Dada a seguinte amostra, distribuda segundo um modelo de Weibull com = 5, determine o valor de .
2,0467; 2,1855; 2,2458; 2,283; 2,3148; 2,4232; 2,4301; 2,6576; 2,7338; 2,9255; 2,9908;
3,1101; 3,1316; 3,7602; 4,0101.
9) Dada a seguinte amostra de uma distribuio lognormal, encontre o valor de , sabendo que = 2.
0,8354; 1,3501; 1,6027; 2,1866; 2,6564; 2,8457; 2,8771; 3,1694; 3,1822; 3,8758;
3,8874; 6,1022; 6,1826; 6,3748; 6,4106; 6,5976; 8,0894; 9,248; 10,1226; 10,2311;
11,7324; 14,5509; 15,0022; 17,2304; 17,8238; 25,8404; 25,9037; 26,0993; 35,7513;
43,5031.
10) Feito um teste com 6 radiadores para automveis, chegou-se aos seguintes tempos
at a falha (em milhares de horas de uso):
9,0 15,7 22,1 90,9 92,1 166,2
Sabendo-se que esta amostra segue uma distribuio exponencial, encontre (a) a taxa de
falha; (b) a MTTF e (c) a confiabilidade em t = 100 dos radiadores.
Os prximos exerccios devem ser resolvidos utilizando o software Proconf.
41
-
11) Simule uma amostra normalmente distribuda de tamanho 10 (utilize 5= e 1= ). Determine os estimadores de mxima verossimilhana de e . Simule
amostras normalmente distribudas de tamanho 30 e 50 (utilizando os mesmos valores
de e ) e verifique se as estimativas de mxima verossimilana dos parmetros da distribuio esto mais prximas de seus valores reais.
12) Simule uma amostra normal de tamanho 50, com mdia 50 e desvio-padro 5. Quais
so as estimativas de mxima verossimilhana dos parmetros e , supondo um modelo de Weibull para os dados simulados?
13) Determine o estimador de mxima verossimilhana, a taxa de falha e a MTTF para a
amostra abaixo, supondo uma distribuio exponencial.
1,6 11,2 24,4 43,1 51,9 86,6 3,0 11,5 29,2 44,2 54,4 96,4 5,5 15,8 29,3 45,2 54,7 100,7 5,8 18,2 32,5 48,5 57,9 124,1 9,4 21,2 35,7 51,9 63,2 139,0
14) Um teste realizado com 30 interruptores apresentou os seguintes tempos at a falha
(dados em nmero de usos), os quais seguem uma distribuio lognormal.
232 1018 1877 3224 5246 10303 409 1179 2068 3568 5859 12498 562 1345 2270 3914 6607 15818 711 1517 2490 4296 7538 21710 862 1694 2756 4733 8728 38331
Determine (a) o estimador de mxima verossimilhana dos parmetros da distribuio
hipotetizada para os dados, e (b) calcule a confiabilidade para uma misso de 2000 usos.
42
-
3. MODELOS DE RISCO E AS FASES DA VIDA DE UM ITEM
3.1. Introduo
A funo de risco h(t) , provavelmente, a mais popular das medidas de
confiabilidade; tal funo pode ser interpretada como a quantidade de risco associada a
uma unidade (componente ou sistema) no tempo t. A funo de risco bastante til na
anlise do risco a que uma unidade est exposta ao longo do tempo, servindo como base
de comparao entre unidades com caractersticas distintas. A funo de risco tambm
conhecida em confiabilidade como taxa de falha ou taxa de risco.
Neste captulo, revisam-se e aprofundam-se alguns conceitos apresentados no
Captulo 1. Seja T uma varivel aleatria contnua que designa o tempo-at-falha de
uma unidade, com densidade de probabilidade dada por ( )f t e funo de distribuio
dada por:
0( ) ( ) ( )
tF t P T t f u du= = , para t > 0. (3.1) A funo de confiabilidade da unidade, ( )R t , o complemento de , ou seja: ( )F t
0( ) 1 ( ) 1 ( ) ( )
t
tR t F t f u du f u
+= = = du
)
. (3.2)
A funo de risco da unidade, h(t), pode ser derivada usando probabilidade
condicional. Considere, primeiramente, a probabilidade de falha entre t e : t t+
( ) ( ) ( ) (t t
tP t T t t f u du R t R t t
+ + = = + . (3.3) Condicionando no evento da unidade estar operando no tempo t, chega-se na
seguinte expresso:
( )P t T t t T t + = ( ) ( ) (( ) ( )
P t T t t R t R t tP T t R t
) + + = . (3.4)
Uma taxa de falha mdia no intervalo ( , )t t t+ pode ser obtida dividindo a eq. (3.4) por . Fazendo , obtm-se a taxa de falha instantnea, que a funo de
risco, dada por:
t 0t
43
-
0( ) ( ) ( ) ( )( ) lim , 0( ) ( ) ( )t
R t R t t R t f th t tR t t R t R t
+ = = = . (3.5)
Todas as funes de risco devem satisfazer a duas condies:
(i) e (ii) para todo t 0. (3.6) 0
( )h t dt+ = + ( ) 0h t
A unidade de medida da funo de risco normalmente dada em termos de
falhas por unidade de tempo. Como apresentado no Captulo 1, as funes de
confiabilidade e densidade podem ser derivadas a partir da funo de risco.
3.2. Categorias da funo de risco e fases da vida de produtos
Existem duas categorias bsicas para a funo de risco: (i) crescente, IFR
(increasing failure rate), em que a incidncia de risco no decresce com o tempo; e (ii)
decrescente, DFR (decreasing failure rate), em que a incidncia de risco no cresce
com o tempo. As duas categorias vm ilustradas na Figura 3.1. Uma funo de risco
constante, em que a unidade est exposta a uma mesma quantidade de risco em qualquer
momento do tempo (como no caso da distribuio exponencial), o caso fronteirio
entre IFR e DFR, pertencendo a ambas as categorias. Alguns autores apresentam duas
categorias adicionais, derivadas das categorias bsicas acima; elas so designadas por
funo de risco crescente ou decrescente na mdia, sendo designadas por IFRA ou
DFRA. Uma funo de risco considerada IFRA (DFRA) se ( )H t t no decresce
(cresce) quando t aumenta.
Vrios exemplos prticos ilustram a categoria IFR, correpondendo a itens que se
desgastam ou degradam com o tempo; componentes mecnicos, na quase totalidade,
apresentam funo de risco do tipo IFR. Exemplos prticos de funes DFR so menos
frequentes, mas podem ser encontrados na modelagem de confiabilidade de softwares,
onde a incidncia de bugs diminui a medida em que o produto sofre revises. A maioria
dos produtos manufaturados, entretanto, costuma apresentar uma funo de risco dada
pela combinao das categorias acima, ilustrada na Figura 1.2 e conhecida como curva
da banheira.
A partir do modelo da curva da banheira, divide-se a vida operacional de um
produto em trs estgios: (1) de mortalidade infantil (quando ocorrem falhas precoces),
44
-
(2) de vida til (onde a incidncia de falhas relativamente estvel no tempo) e (3) de
envelhecimento (quando o produto passa a apresentar desgaste acentuado e falhas
passam a ocorrem com maior frequncia).
O primeiro estgio da curva da banheira (t < t2) uma regio de alta, porm
decrescente, taxa de falha. Nesse estgio, a taxa de falha dominada por defeitos
relacionados a matrias-primas e operaes de manufatura que no atendem s normas
de especificao (causas especiais). O estgio de mortalidade infantil pode ser reduzido
atravs da adoo de projetos robustos de produto e de prticas de controle de qualidade
na manufatura. Caso essas medidas no sejam eficazes, as unidades devem ser
submetidas a um perodo de burn in. Durante o burn in, testam-se as unidades em
condies normais de uso por um perodo de tempo suficiente para que defeitos
precoces sejam detectados e corrigidos antes da ocorrncia de falhas. Alternativamente,
testam-se unidades em condies severas de uso, de forma a promover a falha daquelas
apresentando defeitos por causas especiais.
Figura 3.1. Categorias de funes de risco
O segundo estgio da curva da banheira, de vida til (t2 < t < t3), traz a menor
taxa de falha do grfico na Figura 1.2, sendo aproximadamente constante. Tal
comportamento caracterstico de falhas causadas por eventos aleatrios, designadas
por causas comuns e no-relacionadas a defeitos inerentes s unidades. Por exemplo,
sobrecargas de voltagem, vibrao e impactos, aumentos na temperatura e umidade
durante a operao normal das unidades. Falhas por causas comuns podem ser reduzidas
atravs da melhoria nos projetos dos produtos, tornando-os mais robustos as condies
de uso a que so submetidos.
45
-
O ltimo estgio da curva da banheira, de envelhecimento (t > t3), uma regio
de taxa de falha crescente, dominada por falhas relacionadas ao desgaste da unidade.
Exemplos de falhas por envelhecimento so corroso e trincas por fadiga. O aumento da
taxa de falha normalmente indica a necessidade de reposio de peas no produto,
informando acerca da durao aproximada de sua vida de projeto. As alternativas para
amenizar a intensidade do envelhecimento incluem o projeto de produtos com
componentes e materiais mais durveis, prticas de manuteno preventiva e corretiva e
controle de fatores ambientais de stress que possam intensificar a taxa de falha do
produto.
Apesar da Figura 1.2 apresentar caractersticas gerais presentes nas funes de
risco de vrios tipos de produtos manufaturados, um dos trs mecanismos pode ser
predominante para uma determinada classe de sistemas. Por exemplo, computadores e
componentes eletrnicos costumam apresentar uma funo de risco dominada pelo
estgio de vida til, com perodos curtos de mortalidade infantil e envelhecimento. Para
sistemas desse tipo, ateno especial deve ser dada a falhas aleatrias e a mtodos de
controle do ambiente de utilizao do produto. Em contra-partida, em equipamentos e
componentes mecnicos a funo de risco dominada pelos estgios 1 e 3 da curva da
banheira, sendo o estgio 2, de vida til, pouco relevante.
3.3. Modelos de risco
As categorias da funo de risco discutidas na seo anterior podem ser
formalizadas atravs da definio de seis modelos de risco: constante, crescente,
decrescente, curva da banheira piecewise linear, funo de potncia e exponencial. A
utilizao combinada desses modelos permite representar a quase totalidade dos
mecanismos de risco existentes na prtica.
Modelo de risco constante
A funo de risco constante representada por:
( )h t = falhas/unidade de tempo, (3.6) onde uma constante. A partir da eq. (1.15), determina-se a densidade correspondente a esse modelo:
46
-
0( ) expt
tf t du e = = , (3.7) que a funo de densidade de uma varivel exponencialmente distribuda.
Modelo de risco linearmente crescente
Um modelo de risco crescente corresponde ao ltimo estgio da curva da
banheira na Figura 1.2, sendo normalmente representado por uma funo no-linear. A
funo linear a seguir uma simplificao desse modelo:
( )h t t= , (3.8) onde uma constante. A funo de densidade associada eq. (3.8) pode ser obtida a partir da eq. (1.15):
2
2
0
( ) expt t
f t t tdu te
= = , (3.9) correspondendo funo de densidade da distribuio de Rayleigh.
Modelo de risco linearmente decrescente
O modelo de risco linearmente decrescente prov uma representao
simplificada do primeiro estgio da curva da banheira, dada por:
( )h t a bt= , (3.10) tal que a e b so constantes, e . A funo de densidade associada eq. (3.10) no
corresponde a nenhuma distribuio de probabilidade em particular.
a bt
Modelo de risco linear piecewise da curva da banheira
O modelo linear da curva da banheira bastante verstil, ajustando-se
satisfatoriamente a funes de risco calculadas empiricamente. O modelo oferece uma
aproximao linear da curva da banheira, tipicamente no-linear, apresentada na Figura
1.2; tal aproximao dada por:
0
0 0
, 0( ) ,
( ) ,
a bt t a bh t a b t t
c t t t t
+ =
+
-
onde > 0. A funo acima decresce linearmente at no tempo a b , permanece constante at , e cresce linearmente para tempos maiores que . A funo de
densidade associada regio de risco constante, por exemplo, dada por:
0t 0t
( )2 0( ) exp 2 ,f t t a b a b = + < t t . (3.12) Modelo de risco da funo de potncia
Uma funo de risco pode ser caracterizada por uma funo de potncia. A partir
da seguinte parametrizao da funo de potncia:
1
( ) th t
= , (3.13)
obtm-se a seguinte densidade associada:
1( )t
f t t e
= (3.14)
que a densidade da distribuio de Weibull. A Weibull permite uma representao
no-linear plena da curva da banheira na Figura 1.2, a partir da escolha apropriada do
valor de , que o parmetro de forma da distribuio. A representao do estgio 1 obtida quando 1 < , do estgio 2 quando 1 = , e do estgio 3 quando 1 > .
Modelo de risco exponencial
O modelo de risco exponencial pode ser usado quando a funo de risco crescer
ou decrescer abruptamente, apresentando comportamento exponencial. Esse modelo
dado por:
( ) th t ce= . (3.15) A natureza do modelo na expresso acima depende dos valores das constantes c e . A funo de densidade associada funo de risco na eq. (3.15) um caso especial da
distribuio do valor extremo.
48
-
3.4. Classificao de distribuies de tempos-at-falha a partir da funo de risco
Das diversas distribuies de probabilidade tabeladas existentes na literatura,
quatro distribuies so frequentemente utilizadas para descrever tempos-at-falha de
componentes e sistemas; so elas: (i) exponencial, (ii) Weibull, (iii) gama, e (iv)
lognormal. Tais distribuies podem ser classificadas, conforme o comportamento de
suas funes de risco, nas categorias bsicas IFR e DFR apresentadas na seo 3.2. O
resultado da classificao vem apresentado na Tabela 3.1.
Os parmetros listados na Tabela 3.1 provm das funes de densidade das
quatro distribuies analisadas. As funes de densidade da exponencial e da Weibull
esto apresentadas nas eqs. (3.7) e (3.14), respectivamente; as densidades da gama e
lognormal so dadas nas eqs. (3.16) e (3.17) abaixo.
( ) 1( ) , , 0( )
tf t t e = > , (3.16)
21 1 (ln )( ) exp22
tf tt
= . (3.17)
Tabela 3.1. Classificao das distribuies de probabilidade Distribuio IFR DFR Exponencial p / todoSIM p / todoSIM
Weibull 1SIM 1SIM Gama 1SIM 1SIM
Lognormal NO NO
Observe na Tabela 3.1 que nenhuma combinao de parmetros da lognormal
resulta em h(t)s exclusivamente IFR ou DFR. A funo de risco da lognormal
apresenta, aproximadamente, o formato de uma curva da banheira invertida ao longo do
eixo vertical.
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-
3.5. Estimativa da funo de risco a partir de dados empricos
Os procedimentos para estimao da funo de risco a partir de dados empricos
dependem do tamanho da amostra disponvel. Nesta seo, os procedimentos so
apresentados a partir de dois exemplos.
Exemplo 1
Os dados na Tabela 3.2 representam milhares de ciclos at a falha de oito molas
utilizadas em um automvel e ilustram o procedimento de estimao de h(t) para
pequenas amostras.
Tabela 3.2. Dados de falha e estimativa de h(t) amostra de tamanho pequeno Nmero da
falha Kilociclos at falha
( )h t Nmero da falha
Kilociclos at falha
( )h t
1 190 0,0024 5 350 0,0180 2 245 0,0050 6 365 0,0247 3 275 0,0070 7 380 0,0294 4 300 0,0171 8 400 -
O estimador para h(t) no caso de pequenas amostras dado por:
( )( )11( )
0,7i i ih t
t t n i+= +
, (3.18)
onde n o tamanho da amostra. Aplicando a expresso acima aos dados da Tabela 3.2,
obtm-se os resultados na coluna da mesma tabela. Os valores de vm
plotados na Figura 3.2. A curva ajustada aos dados corresponde, aproximadamente,
funo de risco de uma distribuio de Weibull, com
( )h t ( )h t
4 = e 1 = .
Figura 3.2. Funo de risco emprica para os dados de falha das molas
50
-
Exemplo 2
Os dados na Tabela 3.3 representam falhas no cmbio verificadas em um teste
com 46 tratores agrcolas e ilustram o procedimento de estimao de h(t) para grandes
amostras. Neste exemplo, os dados foram agrupados em intervalos de classe de 20.000
km.
Tabela 3.3. Dados de falha e estimativa de h(t) amostra de tamanho grande Intervalo (km) Nmero de falhas ( )h t 0 m 20.000 19 0,0000207
20.000 < m 40.000 11 0,0000204 40.000 < m 60.000 7 0,0000219 60.000 < m 80.000 5 0,0000278 80.000 < m 100.000 4 0,0000500
m > 100.000 0 -
O estimador para h(t) no caso de amostras grandes dado por:
( ) ( )( )( )
N t N t th tN t t + = (3.19)
onde ( )N t o nmero de unidades sobreviventes no tempo t e t o intervalo de classe. Para o primeiro grupo na Tabela 3.3, por exemplo, a eq. (3.19) resulta em:
46 27( ) 0,000020746(20000)
h t = = .
Os demais resultados vm apresentados na coluna da Tabela 3.3. Os valores
de esto plotados na Figura 3.3.
( )h t
( )h t
Figura 3.3. Funo de risco emprica para os dados de falha dos cmbios
51
-
3.6. Exerccios
1) Baseado em dados anteriores, se sabe que o 15 componente de uma amostra a falhar
dura 597 horas de uso e o 16 dura 600 horas. Estime a taxa de risco sabendo que a
amostra tem 25 componentes.
2) Os seguintes dados so o tempo de uso em milhares de horas de um
microprocessador antes da falha. Estime a funo de risco para o tempo de uso de
200.000 horas.
37 70 123 223 307 49 73 159 259 349 52 99 200 280 390
3) A seguir so apresentados os tempos-at-falha (dados em milhares de horas de
trabalho) dos componentes de uma amostra de 20 circuitos eletrnicos. Estime a taxa de
risco de um circuito trabalhando h 159.000 horas.
15 75 159 246 321 29 99 177 268 339 37 118 200 281 347 58 139 215 304 375
4) Os dados a seguir representam o nmero de componentes de uma furadeira que
falharam em determinados perodos de tempo. Estime a taxa de risco para o intervalo de
40.000 a 80.000 utilizaes.
Nmero de utilizaes Nmero de falhas De 0 a 40000 163
De 40000 a 80000 218 De 80000 a 120000 148 De 120000 a 160000 126
Acima de 160000 95
5) Na tabela a seguir tm-se os dados de falha de um motor de caminho. Estime a taxa
de risco para a faixa dos 100.000 a 150.000 quilmetros de uso.
Quilometragem Nmero de falhas De 0 a 50000 12
De 50000 a 100000 21 De 100000 a 150000 27 De 150000 a 200000 33
52
-
Acima de 200000 17
6) Dada uma funo de risco ( )h determine o valor da funo acumulada de risco quando t igual a 5 segundos.
tt eet 22+= ,
7) Para uma funo de risco com modelo exponencial com c = 7 e = 3, determine h(t), H(t), R(t) e f(t).
8) A funo de risco associada distribuio ( ) ttetf 36 = crescente, constante ou decrescente?
9) Quinze unidades de um certo componente so testadas e a sua vida til medida em
quilociclos. As falhas ocorreram em 100, 160, 250, 350, 420, 460, 510, 560, 610, 720,
780, 800, 840, 890 quilociclos. Plote um grfico com a densidade de falhas e a funo
risco baseada nos dados acima.
10) Considere a curva da banheira e as funes de risco definidas por trs regies de
interesse apresentadas abaixo:
111 0 )( tttcbth = 2112111 )( ttt)(t-tctcbth =
++= tt)(t-tc)-t(tctcbth 223122111 )( As constantes das expresses acima satisfazem as exigncias de normalidade para que
h(t)