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I -Fundamentos de Confiabilidade

Introduo

A melhor maneira de aprender um novo conceito partir de algo que muito familiar,

cuja ideia por demais conhecida, e acrescentar elemento a elemento at que um novo conceito passe a ser tambm fami liar. Assim, uma vez que o curso de confiabilidade e isso

lida com tempos de quebra de itens de uma forma estatstica, vamos iniciar quebrando,

hipoteticamente, um conjunto de N equipamentos idnticos que pertenam a um mesmo lote de fabricao.

Desta forma todos sero submetidos s mesmas condies operacionais previamente

especificadas. Entende-se por condies operacionais tanto a carga de trabalho a que o

equipamento est submetido, por exemplo: frequncia de utilizao, perodo de operao;

quanto as variveis ambientais, por exemplo: vibrao, temperatura, tenso, radiao. Essas

condies operacionais tm que ser identificadas e especificadas, pois sua alterao influencia

na confiabilidade do equipamento. Essa dependncia ser inclusive utilizada de forma

proveitosa quando quisermos acelerar os ensaios, por hora as manteremos fixas.

Neste ponto estamos aptos a fazer uma definio: A Confiabilidade de um item a

probabilidade dele no apresentar qualquer falha desde sua entrada em operao at um

tempo determinado, sob condies operacionais especficas.

Feitas essas consideraes, pressupe-se que os nossos N equipamentos apresentaro

tempos de falha de forma aleatria, cuja distribuio pretende-se modelar matematicamente. Por exemplo: suponhamos a seguinte tabela com a quebra de 50 itens cujos tempos esto em horas:

Tabela 1.1- Dados de quebra em horas de 50 component es.

14 84 119 137 158 183 218 255 312 415 22 96 121 140 162 189 225 264 330 420 61 104 125 145 167 190 230 273 345 447 77 111 128 149 171 197 237 282 360 472 80 112 132 153 175 210 243 301 383 490

Vale, ainda, lembrar que o estudo de confiabilidade tambm lida com variveis

aleatrias distintas do tempo de quebra, por exemplo, quilometragem rodada, nmero de

misses realizadas, nmero de ciclos executados, etc ..

Histograma

A primeira anlise grfica que pode ser feita a construo do Histograma das

quebras. Para tanto devemos definir a quantidade de classes bem como seus intervalos. A

regra que o nmero de classes seja um nmero inteiro o mais prximo da raiz quadrada do

Pereirallma I

Confiabilidade de Comp0111!1es e Sistemas t7t3722.bJgspot.com.br

nmero de elementos na amostra. O intervalo calculado com base na diferena entre o

maior e o menor valores encontrados dividida pelo nmero de classes. Por conveno, se o

tempo de quebra coincidir com os limites da classe, ser contado sempre na classe anterior.

Neste caso, adotaremos 7 classes com intervalos de 70 h cada. Assim pode-se obter a

distribuio de frequncia dos tempos de quebra simplesmente contando o nmero de

quebras cujos tempos estejam compreendidos entre os limites da classe. O resultado apresentado na tabela 1.2 e seu grfico na figura 1.1.

Tabela 1.2- Histograma de quebra de 50 componentes em sete classes de 70 horas cada.

Classes (h)

Frequnda q()

16 14 12 10 8 6 4 2

o

I

o

-i ~ ~ ~

o 70 140 210 A A A A 70 140 210 280 3 14 13 8

Histograma

}~ ,' ~-.

~,

I I ' ~ !'~

100 200 300

280 350 420 A A A

350 420 490 5 4 3

t- 1-

.... I trrN 400 500

Figura 1.1- Histograma de quebra de 50 componentes em sete classes de 70 horas cada.

Probabilidade lntervalar

De posse do grfico do histograma pode-se obter o grfico da probabilidade de

ocorrncia de cada classe, simplesmente dividindo a frequncia pelo nmero total de

elementos da amostra. Assim obtm-se os valores apresentados na tabela 1.3 e seu grfico na

figura 1.2. usual tomar o ponto mdio da classe para o seu posicionamento. Tabela 1.3- Probabilidade lntervalar de 50 componentes em sete classes de 70 horas cada.

Classes (h) 35 105 175 245 315 385 455 Probabilidade % 6 28 26 16 10 8 6

Pereira/i ma 2

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Probabilidade lntervalar 30,00%

5,00%

~~ -,1 I I I I I' [I 1', I I

-~

~I ' ~ 4 I I 1 -~ I ~ , ~~ .. !" ~' ~ ~ ~ ~

25,00%

20,00%

15,00%

10,00%

0,00% . - ~ T o 100 200 300 400 500

Figura 1.2- Grfico da Probabilidade de Ocorrncia de cada classe.

Densidade de Probabilidade

De posse do grfico da probabilidade intervalar pode-se obter o grfico da funo

densidade de probabilidade. A funo tem este nome porque ao se integr-la no intervalo da

classe obtm-se a probabilidade de ocorrncia da classe, assim: ,,

P(t1

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4,50E-03 4,00E-03 3,50E-03 3,00E-03 2,50E-03 2,00E-03 1,50E-03 1,00E-03 5,00E-04 O,OOE+OO

o

"1

I I A- .

l I'

.'

i ,

100

Densidade de Probabilidade

,._ ...

-~ I I

' ... ~ ~~

~ ~-1-~ ~ 200 300 400

Figura 1.3 - Funo Densidade de Probabilidade (H"1]. Probabilidade Acumulada

500

A probabilidade de falha obtida pela simples integrao da densidade de

probabilidade e a probabilidade de ocorrer a falha desde o tempo inicial (O) at o tempo de anlise (t), assim:

Seguem as propriedades:

I

F(t) = P( O=:; t' =:; t) =f J(t'}dt' o

ou ainda dF(t) = J(t) dt

o ~

F(O)= f J(t).dt=O F(oo)= f J(t}dt =l o o

(1.4)

(1.5) Assim, para o nosso exemplo, obtm-se os valores apresentados na tabela 1.5 e seu

grfico na figura 1.4. Observa-se que a funo monotnica crescente.

- --

Ptrelrallma

100,00% 90,00% 80,00% 70,00% 60,00% 50,00% 40,00% 30,00% 20,00% 10,00% 0,00%

o

Probabilidade de Falha J. ~~

-~4 ~ I _L

~ ~ .4

~~ ~, ' ' j

_l _j_

100 200 300 400

Figura 1.4- Funo Probabilidade de Falha.

500

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Tabela 1.5 - Probabilidade de Falhas de 50 componentes em sete classes de 70 horas. Classes [h) 35 105 175 245 315 385 455

Probabilidade% 6 34 60 76 86 94 100

Probabilidade Complementar

A confiabilidade justamente a probabilidade de no ocorrer falha desde o tempo inicial (O) at o tempo de anlise (t) e, portanto ser o complementar da probabilidade de fa lha e obtida subtraindo-se de 1 o valor desta lt ima.

~ I M

R(t) = 1- F(t) =f J(t').dt' - f J(t').dt' =f J(t').dt' 0 0 I

ou ainda dR(t) =-f (t) dt (1.6)

Assim, para o nosso exemplo, obtm-se os valores apresentados na tabela 1.6 e seu

grfico na figura 1.5. Observa-se que a funo monotnica decrescente.

Tabela 1.6- Confiabilidade de 50 componentes em sete classes de 70 horas.

Exerccios

Classes [h) Confiabilidade%

100,00% 90,00% 80,00% 70,00% 60,00% 50,00% 40,00% 30,00% 20,00% 10,00% 0,00%

o

'

35 105 175 245 315 385 455 94 66 40 24 14 6 o

Confiabilidade ,....-

~

~ ' .. I 1-

-

' ~ ~~ ... ~

i .. ~" i~ ~ 100 200 300 400 500

Figura 1.5- Funo Confiabilidade [%].

1.1 -Modifique os dados da tabela 1.1 multiplicando-os por n e subtraindo 10. Com os

novos valores determine o histograma, a funo densidade de probabilidade, a probabilidade

de falha acumulada e a confiabilidade. Faa o grfico de cada uma destas funes.

1.2 - Modifique os dados da tabela 1.1 dividindo-os por e, adicionando 20. Com os

novos valores determine o histograma, a funo densidade de probabilidade, a probabilidade

de falha acumulada e a conftabilidade. Faa o grfico de cada uma destas funes.

Pereira/i ma 5

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11 -Funo de Weibull e MTBF

Densidade de Risco

Para continuarmos na busca de um modelo matemtico precisamos da funo

densidade de risco, que definida como o oposto da taxa de confiabilidade:

h(t)= -1 dR(t) _ J(t) - R(t). dt - R(t)

I

(2.1) - Jh(()dr'

Integrando esta equao por separao de variveis, obtm-se: R(t) = R( O ).e 0 mas como F(O) = O ~ R(O) = 1 , segue que:

I

-J lt(t')til R(t) =e o (2.2)

Assim, para o nosso exemplo, obtm-se os valores apresentados na tabela 2.1 e seu grfico na figura 2.1. Observa-se que a funo no negativa.

Tabela 2.1- Densidade de Risco de 50 componentes em sete classes de 70 horas.

Cla.sses [h] 35 105 175 245 315 385 Densidade (10 . h.1) 0,912 6,06 9,29 9,52 1,02 1,90

Densidade de Risco 2,00E-02

' ,

I 1,50E-02

I I

.. ~ ...

_."' I~ j~ j~ 1-l~"' ~ ~

1 ,OOE-02

5,00E-03

O,OOE+OO o 100 200 300 400 500

Figura 2.1- Densidade de Risco [h'1]. Risco Acumulado

Para facilitar a modelagem, define-se a funo de risco acumulado como:

O que implica em: ou ainda:

I

H (t) = f h(t')dt' o

R(t) = e- H(r) H(t) = - ln[R(t ))

455 -

(2.3) Assim, para o nosso exemplo, obtm-se os valores apresentados na tabela 2.2 e seu

grfico na figura 2.2. Observa-se que a funo monotnica crescente. Tabela 2.2- Risco Acumulado de 50 componentes em sete classes de 70 horas.

Cla.sses [h) 35 105 175 245 315 385 455 Risco[#] 0,0269 o, 181 0,398 0,620 0,854 1,22 .

Perelrallma 6

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Risco Acumulado

I 1 ,40E+00 1 ,20E+00 1 ,OOE+OO S,OOE-01 6,00E-01 4,00E-01 2,00E-01 0,00E+00

I I I ~-

l_ ._., I I _L I~ I I ' I :,ilft-

,. ..

4i'! ~~ 1- o 100 200 300 400 500

Figura 2.2- Risco Acumulado .

Funes de Weibu/1 e Log-Weibu/1 A modelagem agora pode ser encerrada com uma proposta para a funo H(t}. Vamos

estudar a funo proposta por Weibull:

(f - Jl. )r H(t) = a para t > Jl. posto queos parmetros :jl., a , re R ..

eH(t) = O paraJ.L> t >O (2.4) E tambm a sua similar Log-Weibull:

H(t) = cn(t!- Jl. r para t > eP posto que os parmetros :Jl., a , re R+ eH(t) =O para ~ '2:: t '2:: O (2.5) Trs exemplos da funo de Weibull podem ser vistos na figura 2.3. Do-se nomes

particulares para a funo Confiabilidade de acordo com o valor de y: assim, quando y=l a

funo ser a Exponencial, e quando y=2 a funo ser a Normal.

Funo de Weibull 8,00 ,..------------------

gama=2

gama=l 2,00 ~-----~=~~~~~:: gama=O,S

mu=l a=lSO o 100 200 300 400 500 600

Obs: o parmetro l.l desloca

a funo para a direita; o

parmet ro a inclina a funo

com relao abscissa; o

parmetro Y d curvatura

funo.

Figura 2.3- Funo de Weibull para r= 2; r= l; r= 0.5 ; ~l = 100; a= 150

Para visualizar a funo Log-Weibull basta substituir o eixo das abscissas por ln(t) ao invs de t.

- - -

P~reim/lmn 7

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CutVa da Banheira da Densidade de Risco A curva da banheira, muito estudada, retrata o fato de o parmetro y, na funo de

Weibull, no permanecer constante ao longo do tempo. Assim, a funo densidade de risco:

( )r-

h(t) = ~ 1-: apresentaria trs fases: a primeira, decrescente com o tempo, conhecida como mortalidade infantil, para r< 1; a segunda, constante no tempo, conhecida como taxa

de falhas constante, para r= 1 ; e a terceira, crescente no tempo, conhecida como

envelhecimento precoce, para r> 2.

Tempo Mdio entre/at Falha Um parmetro de muita utilidade o MTBF ou MTTF (Mean Time Between/To Failure),

..

que pode ser obtido da definio de mdia: MTTF = J t.f(t ).dt Lembrando ainda que: o

.. ..f dR(t) .. f t.R(t~0 = t. .dt + l.R(t).dt o dt o

, tendo em vista que: t.R(t ~; = O ento:

-

MTTF = f R(t }dt (2.6) o

Dois casos so de particular interesse, pois os respectivos MTTF's podem ser

calculados analiticamente, so eles: a confiabilidade Exponencial, e a confiabilidade Normal.

MTTFexp = j R(t }dt =f l.dt + j e{'-,: ) .dt = JL + j e-z .o-.dz = JL +O" o o p o (2.7)

(2.8) Dema is casos so ca lculados por int egrao numrica. Alternativamente integrao,

para o intervalo I ~r~2, pode-se uti lizar a seguinte interpolao:

MTTF = p + 1,1138 .u- 0 ,1138 .u.r.

Taxa de Falha

Outro parmetro comum a taxa de falha A, definida como: . = u - No caso

particular da confiabilidade ser exponencial, e ainda para J..l=O, o MTTF ser o inverso da taxa

de falha.

Consideraes

Todo desenvolvimento realizado para se modelar estatisticamente os tempos de

quebra pode ser rigorosamente aplicado a qualquer outra varivel aleatria.

Pereira/i ma 8

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Tempo Mdio entre Falhas Condicionado

Uma informao interessante a estimativa do tempo que ainda se deve esperar

antes que um item apresente falha sabendo que at aquele instante no apresentou falha,

denominado tempo mdio de vida residual. Este parmetro pode ser calculado pela obteno

do MTBF em t* condicionado informao de que no houve falha at t*. Trata-se do clculo

de probabilidade condicionada, resolvido pelo teorema de Bayes.

Teorema de Bayes

Este nos diz que a probabilidade de um evento A acontecer, sabendo-se que um

evento B ocorreu igual probabilidade de ocorrncia dos dois eventos A e B, dividida pela

probabi lidade do evento B ocorrer. Em linguagem matemtica tem-se:

P(A/B)= P(A.e.B) P(B) (2 .10}

Para exemplificar pode-se verificar que a probabilidade de, em um lanamento de

dados, sair o nmero 2, sabendo-se que o nmero que saiu par, 1/3. Pois:

A={2} P(A) =l/6

B ={2,4,6} P(B) = 3/ 6

Ae.B={2} P(A.e.B) = 1/ 6

Eventos Independentes e Mutuamente Exclusivos

=> P(A/B)= P(A.e.B) = 1/6 =_! P(B) 3/ 6 3

Antes de prosseguirmos, precisamos ainda saber as relaes de unio e interseco

destes eventos.

Para dois eventos quaisquer a relao de unio :

P(A.ou. B)= P(A)+ P(B )- P(A.e.B) (2.11} Dois eventos so independentes se a ocorrncia de um no altera a probabilidade de

ocorrncia do outro, e vice-versa, assim: P(A/ B)=P(A) e P(B/ A) =P(B) . Pelo Teorema de Bayes segue que: P(Ae.B)= P(A).P(B), o que implica em:

P(A.ou.B)= P(A)+ P(B)- P(A).P(B) (2.12} Dois eventos so mutuamente exclusivos se a ocorrncia de um anula a probabilidade

de ocorrncia do outro, e vice-versa, assim: P(A/ B) =O e P(B/ A) = O. Pelo Teorema de Bayes segue que: P(A.e.B) =O, o que implica em:

P(A.ou.B)= P(A)+ P(B) (2.13}

- --

Pereira/i ma 9

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Tempo M dio de Vida Residual

Uma vez compreendido o teorema, vamos aplic-lo ao clculo do MTBF, condicionado

ao fato de que o item no apresentou falha at t*, e, para evitar confuso, vamos nome-lo t' ..

MTBF* , assim: MTBF = J R(t )dt + J R(t )dt, sendo R*(t) a confiablidade condicionada ao o ,

fato de que o item no apresentou fa lha at t*.

Nomeemos os eventos:

Evento A: o item no falhou no intervalo (0, t) ou equivalentemente falhar no intervalo (t, oo) Evento B: o item no falhou no intervalo (0/ ) ou equivalentemente falhar no intervalo (t*, oo)

Para ca lcularmos a co nfiabilidade condi cionada devemos aplicar o Teo rema de Bayes e

para isso precisamos ca lcular P(AeB) para cada um dos dois intervalos de integrao:

1" intervalo r > t AeB = (r, oo) ~ P(AeB) = p~ < 1' < oo )= R(, ) 2intervalot

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Exerccios

2.1-Determine o tmvr para confiabilidade exponencial (Y.-1, Ji=O). 2.2- Faa o desenvolvimento da integral da expresso {2.8}. 2.3 -Para os tempos da tabela 1.1, calcule a confiabilidade experimental como:

R{t1)= N;i, sendo No tamanho da amostra e H(tJ=~N~J Faa os grficos destas funes e compare com os grficos das figuras 1.4 e 2.2.

- --- -

Perelrallm4 11

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111 - Det erminao de Parmetros

Uma vez estabelecida a funo de risco acumulado, resta determinar os valores de

seus parmetros a partir dos tempos de quebra experimentais. Neste captulo ser

apresentado o critrio da mxima verossimilhana bem como o desenvolvimento para sua

determinao.

Probabilidade de variveis discretas

Em um lanamento de um dado sextavado, a probabilidade de ocorrncia de qualquer

uma das faces um dividido pelo nmero de faces, 1/6 e no h qualquer dificuldade nesta

determinao. Pode-se ainda raciocinar que o valor da probabilidade uma relao entre as

reas de uma face somente e a soma de todas as faces.

Agora, se alterarmos o experimento para um gerador aleatrio de nmeros rea1s

compreendidos no intervalo [0;6], ento a probabilidade de ocorrncia de um nmero qualquer nula, apesar de um nmero sempre ser sorteado. Nossa anlise quantitativa falha

porque no h como comparar um ponto com um segmento de reta.

Probabildade de intervalos de variveis contnuas

No entanto, se alterarmos nossa pergunta admitindo certa incerteza em torno do

nmero de interesse, passamos a ter como comparar o segmento [x-e;x+e] para x E [0 + e;6- e], com o segmento [0;6] e ento a probabilidade pode ser determinada como a relao entre os comprimentos dos segment os obtendo-se P[x-e < t ~ x +e]= e/3

Essa forma de compreender a probabilidade de ocorrncia de um evento contnuo nos

possibilita responder seguinte pergunta: Qual a probabilidade de que em um ensaio de

quebras de componentes os tempos sejam os verificados? Admitindo-se uma incerteza E em torno de um tempo i determinado, sabemos:

r1+e

P; [t; -e ~ t ~ t; +e]= J J(t ).dt = 2.e.f(t;). Mas como uma quebra qualquer totalmente independente em relao a outra

quebra, a probabilidade de que todas elas ocorram ser o seu produto:

n n

p = rr ~ = (2.e)".I1 J(t;) i =l i=l

Se alm destes n componentes que quebraram, tivssemos encerrado o ensaio no

tempo t1 e ainda restado r componentes funcionando, ento, a probabildade deste evento ter

acontecido tambm deve ser levada em conta. A probabilidade de um componente no fa lhar

Pereira/i ma 12

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at o tempo t1 sua confiabilidade R(t1), e a de r componentes no falharem Fr(t1); incorporando probabilidade anterior tem-se:

n

P = (2.et0 J(tJK(t1 ) i =I (3.1}

Verossimilhana

Esta probabilidade pode ser mais bem condicionada se tomarmos o logaritmo

neperiano, e assim, definimos a funo Verossimilhana como: n 1r

L= ~)n[h(t1 ).R(t;)]+ r.ln[R(t1 )] =I {ln[h(t; ))- H(t;)} - r.H(t1 ) i=l l=i (3.2)

O termo constante e arbitrrio dependent e de E foi eliminado da definio, pois como

veremos a seguir no interfere na derivada.

Critrio da Mxima Verossimilhana

Estamos interessados em determinar os parmetros da distribuio que melhor se

ajustem aos dados de quebra, ou seja, maximizar a probabilidade da ocorrncia, assim, basta derivar a funo Verossimilhana em relao a um parmetro e desejado e igualar a zero:

()L n - =I ae i=l

1 dh(t;) _ dH(t1) _ r H(tJ _ O h(t1) ae ae ae - (3.3)

Parmetros da funo de Weibu/1 para Mxima Verossimilhana

Vamos determinar os parmetros da funo proposta por Weibull, usando o critrio da

mxima verossimilhana:

H(t)=e:J eH(t)=O

( )r-1

=?h(t)=; t-: =?h(t)=O

para t ~f.L

para f.L> t ~O posto que os parmetros f.L, (j, ye R+*

Para o parmetro o t em-se:

H =-LH(t)=? h = -L11(t) a(j (j a(j (j L = f_ (LH(tJ- L)+ rLH(t1 )=O ()(j i:l (j (j (j

n

I H(t1)-n +r.H(t1 )=O 1=1

" (t _ )r ~ ; (jf.L +r = n - -

Pereira/Imo IJ

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n L (t; - J.i Y + r.(t f - J.i )r = n.O'r 1=1

Para o parmetro y tem-se:

()H = ln(t- J.i ).H (t) ~ ar (j

~=i r- + [H(t1) -1].1n(ti - P)-1 or 1=1 (j '{'

1 +In(':) .h(t) ( ) t - p +rH tf .In ~f~-

0'

{3.4)

- 1

= 0

Esta equao t ra nscendental, sua soluo ser numrica e it erativa e, pelo mtodo do

gradiente ascendente, dada por:

()L 1 r k+1 = r k +1J.a sendo o< 1J < 1 porex.1J =-

r r,,p, n {3.5) Para o parmetro 1.1 tem-se:

aH r ( ) ah (r-t) ( ) ( )H t ~ - =-( )h t ap t-P ap , - p

-I - I

+ r.H (t f = 0

Esta equao t ambm transcendental, sua soluo ser numrica e iterativa e, pelo mtodo

do gradient e ascendente, dada por:

()L 1 J.ik+l = J.ik +1J. sendo O

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Mtodo de soluo iterativo

Uma vez que duas das equaes de determinao dos parmetros so

transcendentais, a soluo ser iterativa e simultnea na determinao dos parmetros y e IJ.

O mtodo ser primeiro calcular o valor de o usando os valores iniciais para y e IJ; note

que na sua equao seu valor no depende dele prprio. De posse dos trs valores, utilizam-se

as relaes de y e 1J para a determinao de seus novos valores, e iterativamente repete-se o

processo at a sua convergncia.

Para os nossos dados, ajustando-se a funo de Risco Acumulado por Weibull, obtivemos os valores apresentados nos grficos das figuras 3.1 e 3.3.

Um bom ponto de partida para o ajuste da funo de Weibull J1o = t1j2,e r o= l.

Ptrelrallma

I li l tl I I 1 11111 I I 1 1 1111 -r i titiir- 1 r ,,,,'jj,-- r r,,, ..

111 11111 1 11 111111 1 11 1 1111 1 - 't 1 't l "i11" 1 ~ - T t-Ht+l~ - ~'i" TI~ ITII-- ~ T r t~l -

11111 1111 I 1111111 1 11 111111 111 1 1111 6.5 - J. J .I. IJillt..- L ..l UWL- L. J. LI.HJJI_- L.1 L I.J. I

I I 1 1 11111 I I I 11111 I I 1 111111 I I 111 111 I 11111111 f li IIIJ I 11 111111 I 1111111

6 -r7TI1tTir - rr r -rtrnmt-- rrrn 5.

1 I 1111111 I I 111 11 I I 1111111 I I 111111 -f' 1 'tl"' rtU"'- t" "t T"H t-- J- "t 1"1,11'11-- J- 1" rt"tl

I I 1111111 I I 11111 I I 1111111 I I 111111 -1. .l J.UWL_ L ..1 J.UW _L.! J. I.JI!II __ L .l LUI

I I 1111111 I I 1111111 I I 1111111 I I 111111 111111111111111111111111111

-i 1 ilitTtr- r 1 T1Tn- r 1 it11Tit-- r r.-,, .. I I I 111111 I I I 111111 1 11 11111 I I 11 1111

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3.5 -L J !UI.IIL -L J LUiliL _ L LIJIJJI __ L 1 LtJI I I I I 11111 I I I 111111 I H 11111 f I I 11111 I I 1111111 I 11111111 I 1111111 t I 111111

3 -tTTtlTr-rtltl.nr-r. -~n,--rrr.itl I I 1111111 I 11111111 I I 11111 I I 111111

2.5 -i" -4 'tH tHI- - f-~ t-Ht+l~ - I- -++- HH- - I-+ rt~l I I 1 1 1 1111 I t 1111111 I I 11 111 I I 11 1111

~ t~ ~ ~ ti Figura 3.t lera;Oes paa IN ....,;oriz.mo a Verossinihan;a

2r~"~rr-~~mrr-.~~m-~~~ I li I 11111 11 I I 1 1 111 1 I 1111111 1 111111 11 1 1 1111 111 1 1 1111 111 1 1 11 1111

1.9 - to .... l of l fol ... - foo ""I+ I+H-- ._ + ... HIHI-- 1- ~ ... l -t i 1 11 11 1111 1 1 1111 111 1 11 1 11111 1 11 1 11 11 1 11 1 111 11 1 1 1111 111 111 1

1.8 -r T l"t"Tin- r -r T r n1m-- r r ri TI

1.7 1 11 1 1111 1111 1 11 1 11 111 1 1 11 1111

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1111 1111 1 11 111 111 1 11 111111 1 11 11 111 1.6 - + ~l~ l.f.l~ -I- -L ~11~1-- ~..a.. 4+1UI-- 1- ;. ~~ ~~

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1 11 1 11111 111111111 1 11 11 1111 1 11 111 11 I I 1 1 11111 I I 1111111 I I 1 11 1111 I I 1 11 111 ,_ T ~t"'T tnr- r T rt'ttnr- r.,.. r t"flnt-- r r rrrt I 11 1 11111 I 11111111 I I 1 111111 I 11 111 11 !.. .l ! IJiliL- L J. !.lli.L.JI_- L.!. !.I.!.IUI __ ,_L L IJ.II I 11 1 11111 I 11111111 I 11 111111 I 11 111 11 I f 1 1 11111 I lllllllf I 11111111 I 1111111 L. .L J.I . ULU .. -L. J. L.IJ.IJJ~ -L.. J.. U .LIUI- - L L LIJ.I 1 I 1111111 I I 1111111 I I 1111111 I I 111111 I I 1111111 I I 1111111 I I 1111111 I I 111111

1.2 - r 1 ,.I"'T mr- - r "t r r'tnH- -r .,.. r 1 "ttnt- - r r rn1 I I 1111111 I I 1111111 I I 1111111 I I 111111 I I 1111111 I I 1111111 I I 1111111 I I 111111

1.1 -f 1 Tt1iu-- f I l111i11- - ~- I l tl 1ii1-- f J tlut I 11111111 I 11111111 I 11111111 I 1111111 t~~WU~L-~LU~L-~LU~L-~WU~ 10 t01 VJ' 10' to'

f'Oira 3.3 lera;OO$ paa

Conflahilldade de ComponenJes e Sistemas en3722.hlogspot.com.br

Exerccios

3.1- Mostre que para a confiabilidade exponencial {Y=1), um bom estimador do MTBF, usando o critrio da mxima verossimilhana, a mdia dos tempos de falha da amostra, desde que todos os componentes tenham falhado.

3.2 - Escreva uma rotina computacional e determine numericamente os parmetros

para os dados de quebra da tabela 1.1 usando o critrio da mxima verossimilhana. Compore seus resultados com os grficos das figuras 3.1 e 3.3.

3.3 -Faa o desenvolvimento analtico para determinao dos parmetros utilizando a funo Log-Weibu/1 e o critrio da mxima verossimilhana.

-- -- -

l!trelrallma 16

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IV- Ensaios Acelerados

Justificativa Muitas vezes, o tempo necessrio para que um dado item apresente falha pode ser

muito elevado, o que no s encarece o ensaio como tambm pode inviabiliz-lo, pois a

informao j no ter utilidade quando estiver disponvel. Sendo assim muito interessante utilizar o fato de que os fatores de estresse, tanto as condies ambientais quanto a carga de

trabalho, diminuem o MTIF na medida em que so aumentados. Desta forma o ensaio poder

ser realizado em um tempo menor e os dados obtidos serem correlacionados s condies

operacionais desejadas. Hipteses

Para que possamos tirar proveito da influncia que os fatores de estresse exercem

sobre a distribuio de falhas, necessrio estabelecer hipteses de trabalho para que os

valores dos parmetros das distribuies em diferentes nveis de estresse possam ser

correlacionados. So duas as hipteses:

1. Hiptese de equiprobabilidade: R(t, B) = R'(t', B') 2. Hiptese de proporcionalidade: t = A(s,s'}t' (4.1)

Os apstrofos indicam variveis no nvel mais estressado, enquanto sem o apstrofo

no nvel menos estressado. A o fator de acelerao, maior do que um, e dependente dos

nveis de estresse comparados (s, s'). O diagrama apresent ado na figura 4.1 utilizado em Lgica Fuzzy para ilustrar o

princpio de extenso de Zadeh, que suporta toda matemtica de funes de variveis fuzzy,

aqui ns o utilizamos para ilustrar as duas hiptese acima alm de estabelecer uma

comparao com o princpio de Zadeh.

t t=A.t'

R'(t' )

Figura 4.1- Diagrama ilustrativo do Princpio de Zadeh.

Pereira// ma 17

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No quarto quadrante plotado o grfico de R'(t' ) obtido no ensaio acelerado; no primeiro quadrante plotada a relao linear entre te t', hiptese 2; no segundo quadrante

plotado o grfico de R(t) admitindo a igualdade com R'(t' ), hiptese 1. A comparao com o princpio de Zadeh se faz ao tomarmos nossa varivel aleatria tempo de quebra como uma

varivel fuzzy e a confiabilidade como uma funo de pertinncia.

Nossas hipteses trazem as seguintes consequncias imediatas:

- consequncias da equiprobabilidade

F(t , B) = 1- R(t, B) = 1- R'(t', B') = F'(t', B') H(t, B) = -ln[R(t, B)] = - ln[R'(t', B')) = H'(t', B') - consequncias da proporcionalidade para as derivadas

J (t, B) = dF(t,B) = dF'(t', B'). dt' = I_ f'(t' ,B') dt dt' dt A

h(t B) = dH(t ,B) = dH'(t', B').dt' = ~h'(t' B') ' dt dt' dt A '

- consequncia da proporcionalidade para a integral

MITF(B) = r R(t,B}dt =r R'(t', B').A.dt' = AMITF'(B') Correlao entre parmetros para diferentes nveis de estresse

(4.2)

(4.3)

(4.4)

Calculemos agora a correlao existente entre os parmetros das distribuies para

diferentes nveis de estresse a partir do valor do fator de acelerao:

( t - J.L)' Funo deWeibull: H(t)= . a parat > J.l O para O < t < J.l

Usando-se as hipteses e suas consequncias obtm-se:

r=r ou

I a = A.a

,

J.l = A.j.t (4.5) Lembre que a confiabilidade exponencial e a normal so casos particulares de Weibull

para os valores de r = 1 e r = 2' respectivamente.

( ln{t~- J.l ) 7 parat > e11 Funo Log-Weibull: H(t) = O para O < t < e 11

Usando-se as hipteses e suas consequncias obtm-se:

Pere/r(/ma 18

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ou

(4.6) Determinao do fator de acelerao

Vamos admitir que se queira ajustar a funo de Weibull. Para isso determinam-se primeiramente quais nveis de est resse sero ensaiados, respeitando-se um nmero mnimo

de dois nveis distintos.

Para efeito de raciocnio, podemos utilizar o critrio da mxima verossimilhana ao

conjunto de dados de quebra do nvel de estresse mais prximo das condies norma is, e determinar os parmetros J.t, a, Y. Como visto anteriormente, o parmetro Yk no modificado

pelo fator de acelerao, sendo, portanto feito constante para todos os demais nveis de

estresse ensaiados quando da determinao dos demais parmetros """' ak.

No entanto estes parmetros no esto livres para variar, pois devem respeitar a:

f.L = Ak 1-lt e

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Agora podemos pensar numa funo verossimilhana que englobe todos os ensaios

acelerados e impor sua maximizao para determinao dos parmetros Jl, a, Y.

Onde: k o contador do ensaio, variando de O a m;

i o contador do tempo de quebra de cada ensaio, variando de 1 a nk

O o ensaio com nvel de estresse mais prximo s condies normais, e Ao=1

Para o parmetro cr tem-se:

m n*

L LH.t(t;k )+rk.Hk(tfk ) k=O 1=1

I 1 m "t r

u = =L L (A:Jik- ,u}Y+rk.(Ak.tjk- ,u)r n .t,:Q 1=1

Para o parmetro v tem-se:

(4.8)

Esta equao transcendental, sua soluo ser numrica e iterativa e, pelo mtodo do

gradiente ascendente, dada por:

aL 1 "' r p+l = r p +TJ.- sendo o

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Lei da potncia inversa

O problema da determinao dos parmetros da funo de risco acumulado em

condies normais (sn), uma vez conhecidos estes parmetros em condies estressantes {s0), passa a ser a determinao do fator de acelerao A{sn.s0).

Agora podemos propor uma funo para o fator de acelerao em funo do nvel de

estresse, proceder ao seu ajuste e finalmente us-la para fazer a extrapolao para as condies normais.

Uma proposta de funo bastante intuitiva a proporcional a uma potncia do nvel

de estresse (tambm conhecida como potncia inversa), de expoente q E R..,. ajustado

experimenta lmente, assim: (s1) = s1 So

Para mais facilmente aplicarmos o critrio dos mnimos quadrados e obtermos o valor

S; ( ) do expoente {, vamos definir as variveis auxiliares: x1 = ln e y1 = ln A; , ficando a so

1 m ? Definindo o erro quadrtico mdio como: EQM =-L (y1 - y1 )- e minimizando o

nl 1=1

m

L Y; .X; seu valor em relao ao expoente { obtm-se: q = -=~==-!-, --

2:x/ 1=1

(4.8)

Obs.: Caso a varivel de estresse seja a carga de trabalho, ento o parmetro {pode, a priori, ser igua lado unidade, prescindindo-se de um segundo ensaio.

Agora podemos extrapolar o fator de acelerao para as condies normais, e uma vez

que, o fator de acelerao definido como maior que a unidade, procede-se ao seu clculo

~ e, finalmente, O'N =0'0.(sN)

-- -

Ptrelrallma 21

Confiabilidade de Compo1retrtes e Sistemas eJt1722.hJgspot.cotll.br

Estresse sob mltiplos fatores A fim de acelerar ainda mais os ensaios de quebra, pode-se submeter o componente a

estresse mltiplo, aumentando-se simultaneamente os valores de mais de uma varivel

operacional. Neste caso, o fator de acelerao tambm ser funo de mltiplos fatores.

Uma funo razovel, consequncia da potncia inversa, a produtria de potncias

dos fatores de estresse. Assim:

Onde: i o contador do ensaio, variando de 1 a m;

k o cont ador do fator de estresse, variando de 1 a n .. I

O o ndice do ensaio de referncia onde todos os fatores de estresse esto mais perto

das condies normais.

Para mais facilmente aplicarmos o critrio dos mnimos quadrados e obtermos o valor

dos expoentes {k, vamos definir as variveis auxiliares: xk (i)= In

ficando a estimativa y(i) = In([s(O ), s(i )])=f t .xt (i). k=l

1 m ? Definindo o erro quadrtico mdio como: EQM = - L(.y(i) - y(i))- e minimizando

m t=l

o seu valor em relao a cada um dos expoentes {1 obtm-se:

111 1/1

L x2(i).xi (i) = L Y(i).xi (i); para j = lan i=l 1=1

e finalmente:

m m - I

m m

l LX1 (i).x1 (i) L~(i).x. (i) L x, (i).x1 (i) L y(i ).x1 (i) i=l =l =l I= I no m m 111

2 LX1 (i ).x2 (i) Lx2(i~~(i) ... L x, (i ).x2(i) LY(i~x2 (i) 1=1 /=I 1=1 i=l (4.9) . .

.

. , no m 111 m L x l (i ).x, (i) L ~(i).x, (i) L XII (i ).x, (i) L Y(i ~x,(i) ... i=l i= I =l 1=1

Ptrt.lra/lmn 22

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Modelos f sicos para determinao do fator de acelerao

Em alguns casos possvel estabelecer uma lei fsico-qumica entre o valor do fator de

acelerao e a varivel ambiental, facilitando o clculo da extrapolao. O modelo de

Arrhenius relaciona o fator de acelerao A1 com a Temperatura T1 atravs de;

Os valores das temperaturas na frmula de Arrhenius esto em Kelvin.

Para essa lei preciso determinar-se o valor de {r, assim, pelo menos dois ensaios em temperaturas distintas so necessrios.

Analogamente ao que foi feito anteriormente para aplicarmos o critrio dos mnimos

quadrados e obtermos o valor do expoente { r, vamos definir as variveis auxiliares:

x. = , ~ _ _.!_ e y1 = ln(A;), ficando a estimativa y1 = ln ((T; ))= ~r .x1 I;, ~ Define-se o erro quadrtico mdio e minimiza-se o seu valor em relao ao expoente

{ r e obtm-se a frmula (4.8). Por ltimo pode-se misturar mais de um modelo, para vrios fatores de estresse,

multiplicando-se as funes. O nmero total de ensaios ser o do nmero de variveis de

estresse acrescido de um, para a referncia.

Exerclcios

4.1- Desenvolva a frmula para determinao do fator de acelerao caso a funo de

Risco Acumulado que se quer ajustar seja a Log-Weibulf.

- --

Perelralhnr~ 23

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V - Associaes Fundamentais

Componentes so montados de formas bastante particulares dando origem a modelos

complexos. Para que possamos analisar estes modelos vamos iniciar estudando associaes

bsicas e deduzir suas relaes fundamentais, ou seja, determinar a confiabilidade do sistema a partir das confiabilidades conhecidas de seus componentes.

Associao Sr ie

A primeira e mais simples das associaes a Srie, nela est representada a situao

onde o funcionamento do sistema depende do funcionamento de todos os seus componentes.

A fa lha de qualquer um deles leva falha do sistema. Graficamente pode ser representada ou

pelo Diagrama de Confiabilidade, f igura 5.1.a, ou pela rvore de Falhas, figura 5.l.b.

F alha do S istema

l R1 R2 ~ ou v I I I I

F1 '2 'N Figura 5.1.a- Diagrama de Confiabilidade Figura 5.1.b- rvore de Falhas

A probabilidade de o sistema estar operante ser a probabilidade de todos os

componentes estarem operantes, e como so independentes entre si, tm-se:

N

Rs(t)= n R;(t) (5.1) =l

Associao Paralelo

A segunda e no menos simples das associaes a Paralelo, nela est representada a

situao onde a falha do sistema depende da falha de todos os seus componentes. A operao

de qualquer um deles garante a operao do sistema. Graficamente representada conforme

figuras 5.2 a e b.

Rl F a lha d o S1stema

R2

E '\ ~I I I I

I I 1 l Rn F1 '2 ~

Figura 5.2.a -Diagrama de Confiabilidade Figura 5.2.b- rvore de Falhas

Pereir(ima

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A probabilidade de o sistema falhar ser a probabilidade de todos os componentes falharem, e como so independentes entre si, tm-se:

(5.2) i: I

A.ssociao Srie(de)-Paralelo(s)

Uma combinao elementar das duas anteriores uma srie de associaes em

paralelo. Graficamente representada conforme figuras 5.3 a e b.

Falha do S1stema

,-- R1 1- R2

L- R1 1- R2

Figura 5.3.a -Diagrama de Confiabilidade Figura 5.3.b- rvore de Falhas A probabi lidade de o sistema estar operante ser a probabil idade de todas as

associaes paralelo estarem operantes:

2 2

RsP(t)= f1 1-fi F {5.3) i=l j =l

Associao Paralelo(de)-Srie(s)

Out ra combinao elementar das duas bsicas um paralelo de associaes em srie.

Graficamente representada conforme figuras 5.4 a e b.

Falha do Sisttema

E

- R1 R2

- R1 R2

Figura 5.4.a - Diagrama de Confiabilidade Figura 5.4.b -rvore de Falhas A probabilidade de o sistema falhar ser a probabilidade de todas as associaes srie

2 2 falharem: FPS (t)= rr 1-rrR (5.4)

i =l j=l

Ptrelrallmn 25

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Uma comparao entre essas duas associaes, tomando-se n componentes por

associao e n associaes, pode ser feita para pequenos valores de F (F l/n), assim:

RPs{t)- 1- n" .F"(t) R5p(t) = 1- n.F"(t)

chegando-se concluso que as redundncias em nvel mais elementar produzem melhor

confiabilidade sistmica do que as redundncias em nvel mais elaborado.

Associao Paralelo K (fora) de N Uma associao tambm muito til a associao em paralelo onde um nmero

limitado de componentes, no caso k (k

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VI - Associaes Complexas

Modelos mais complexos no admitem a aplicao imediata das tcnicas apresentadas

no capitulo anterior, exigem mtodos de soluo diferenciados. Neste capitulo sero

abordados quatro mtodos de soluo: Decomposio, Tie-Set, Cut-Set e Tabela Booleana.

Mtodo da Decomposio

O mtodo consiste em decompor o evento em dois conjuntos mutuamente exclusivos e recuperar a confiabilidade do todo pela soma das partes. Assim, supondo que S designe o

sistema complexo que desejamos calcular a sua confiabilidade e A um de seus componentes:

U = (A.ou.A ) ( ) ( -) => S = S.e.A .ou. S.e.A

S = S.e.U => R(S)= R(Sj A).R(A)+ R(S/A).R(A)

Ou dito de outra forma, a confiabilidade do sistema igual confiabilidade do sistema

sabendo-se que o componente A no apresenta falha multiplicada pela confiabilidade do

componente mais a confiabilidade do sistema sabendo-se que o componente A apresentou

falha multiplicada pela probabilidade de falha do componente.

comum usar-se a seguinte notao: (6.1)

Sendo que 11 e o, indicam a substituio do componente i no sistema ou por um componente

infalvel (11) ou por outro que j falhou (O;). Convm mencionar uma propriedade importante: a confiabilidade do sistema linearmente dependente da confiabilidade de cada componente

tomado isoladamente:

(6.2)

Esta propriedade ser explorada no ca ptulo sobre ndices de desempenho.

Como exemplo do mtodo da decomposio, vamos calcular a confiabilidade do

sistema complexo visto na figura 6.1.

R a Rb

R e Rd

R c Figura 6.1- Sistema complexo de cinco componentes, sendo o E o componente chave.

Perelrallma 27

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Escolhe-se o elemento que mais simplifica a anlise, neste caso o componente E, e

aplicando o mtodo obtm-se os diagramas mostrados na figura 6.2 a e b.

R a Rb

R e Rd

~-Re

R c

Figura 6.2.a- Diagrama de Confiabilidade aps a decomposio.

F d

Falha do Sistema

E

F 1- F e

F c

Figura 6.2.b -rvore de falhas aps a decomposio .

Rb

Rd

Obs: A rvore de Falhas da figura 6.2.b fo i obt ida a partir do Diagrama de Conf iabilidade aps a aplicao do Mtodo da Decomposio, figura 6.2.a, aplicando-se as Leis de Morgan.

Finalmente obtemos:

- -- - -----

Perelrallmfl 28

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M todo do Tie-Set

Este mtodo consiste em se determinar todos os sub-sistemas mnimos de

componentes que mantm o sistema operacional quando todos os demais componentes no

pertencentes a este sub-sistema falharam. Para que o sub-sistema escolhido seja mnimo, necessrio que a falha de qualquer um de seus componentes leve falha do sistema. A

confiabilidade do sistema ser a confiabilidade de todos os subsistemas.

Vamos, para exemplificar o mtodo do Tie-Set, trabalhar com o mesmo sistema

complexo apresentado na figura 6.1.

Os sub-sistemas mnimos so:~ ={A,B} T2 = {E,B} 1'_1 = {E,D} T4 ={C,D} A confiabilidade da unio de todos ser :

Rs = R(~)+ R(T2 )+ R(T3 )+ R(~)+ - R(T;.e:T2 ) - R(T,.e:rJ- R(T;.ei4 ) - R(T2.ei3 ) - R(T2 .ei4 ) - R(T3.e~ )+ + R(T; .e.T2 .e.J;)+ R(T; .e:I'2 .e:I'4 )+ R(T;.e.J;.e.T4 )+ R(T2 .e:I'3 .e:I'4 )+ - R(T; .e:J'2 .e.T3 .e.T4 )

Calculando as confiabilidades temos:

Para os termos unitrios positivos:

R('T;) = R11 .R8 R(T2 )= RE.R8 R(T3 )= RE.R0 R(TJ= Rc.Ro Para os termos dois a dois negativos:

R(T; .e.T2 )= R11 .R8 .RE R(T2 .e.T3 )= R8 .R0 .RE

R(T;.e.T3 )= R11 .R8 .R0 .RE R(T2 .e:T4 ) = R8 .Rc.R0 .RE

Para os termos t rs a trs positivos:

R(~.e.T4 ) = R11 .R8 .Rc.R0 R(T3.e:J'4 )= Rc.R0 .RE

R(T; .e.T2 .e.T3 ) = R11 .R8 .R0 .R E R (r. .e.T3 .e.T4 ) = R11 .R8 .Rc .R0 .RE

R(I;.e.T2 .e.TJ= R11 .R8 .Rc.R0 .RE R(T2 .e.T3 .e.T4 )= R8 .Rc.R0 .RE

Para o termo dos quatro, negativo:

R(~ .e.T2 .e:J;.e.T4 ) = R11 .R8 .Rc .R0 .RE Somando-se todos os t ermos:

Ptrelrallmn 29

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M todo do Cut-Set

Este mtodo consiste em se determinar todos os sub-sistemas mnimos de

componentes que mantm o sistema inoperante quando todos os demais componentes no

pertencentes a este sub-sistema esto operantes. Para que o sub-sistema escolhido seja mnimo, necessrio que a operao de qualquer um de seus componentes leve operao

do sistema. A no confiabilidade do sistema ser a no confiabilidade de todos os subsistemas.

Vamos, para exemplificar o mtodo do Cut-Set, trabalhar com o mesmo sistema

complexo apresentado na figura 6.1.

Os sub-sistemas mnimos so:

A no confiabilldade da unio de todos ser:

Fs =F(C,)+F(C2 )+F(C3 )+F(CJ + - F(C1.e.C2 ) - F(C1.e.C3 )- F(C1.e.C4 )- F(C2.e.C3 ) - F(C2 .e.C4 ) - F(C3 .e.C4 )+ + F(C1.e.C2 .e.C3 )+ F(C1.e.C2 .e.C4 )+ F(C1.e.C3 .e.C4 )+ F(C2 .e.C3 .e.C4 )+ - F(C1 .e.C2 .e.C3.e.C4 )

Calculando as no confiabilidades temos:

Para os termos unitrios positivos:

Para os termos dois a dois negativos:

F(C1.e.C2 )= FA.F8 .Fc.Fo.Fe F(C2 .e.C3 ) = FA .F8 .F0 .F e

F(C1.e.C3 )= FA.Fc .F0 .Fe F(C2 .e.C4 )= F8 .Fc .F0 .Fe

F(C1.e.C4 )= FA.F8 .Fc.Fe F(C3 .e.C4 )= FA.F8 .Fc .F0 .Fe

Para os termos trs a t rs posit ivos:

F(C1.e.C2 .e.C3 )= FA.F8 .Fc.F0 .Fe F(C1.e.C3 .e.C4 )= FA.F8 .Fc.F0 .Fe

Para o termo dos quatro, negativo:

F( C1.e.C2 .e.C4 ) = r~ .F8 .F c .F0 .FE F(C2 .e.C3 .e.C4 )= FA.F8 .Fc .F0 .Fe

F(C1.e.C2 .e.C3.e.C4 ) = FA .F8 .Fc.F0 .Fe Somando-se todos os termos:

Ptrelrallma 30

Co~tflahilidade de Compottettles e Sistemas eltJ722.blogspot.com.br

Mtodo do Tabela Booleano

Este mtodo consiste em se montar uma tabela contendo todas as combinaes

possveis dos estados operante (1) e inoperante (O) de cada componente e o respectivo estado operante/inoperante do sistema. Aps isso, agrupam-se os estados operante/inoperante do

sistema e extrai-se uma expresso lgica dependente das confiabilidades dos componentes.

Vamos montar nossa tabela para o sistema da figura 6.1.

Tabela 6.1- Tabela Booleana para o diagrama de confiabilidade da f igura 6.1 A B c o E s 1 1 1 1 1 1 ABCDE o 1 1 1 1 1 A BC DE BCDE 1 o 1 1 1 1 A BC DE .BC DE COE o o 1 1 1 1 A.BCDE 1 1 o 1 1 1 AB.CDE DE o 1 o 1 1 1 B,CDE B~DE -,oE 1 o o 1 1 1 ABCDE .BJ: DE o o o 1 1 1 AB_cDE 1 1 1 o 1 1 ABC.OE o 1 1 o 1 1 ABC.OE BC,QE 1 o 1 o 1 o o o 1 o 1 o B.OE B.QE 1 1 o o 1 1 AB.CQE B.C.OE o 1 o o 1 1 ABalE 1 o o o 1 o o o o o 1 o 1 1 1 1 o 1 ABCDf o 1 1 1 o 1 ABCDE BCDE 1 o 1 1 o 1 ABCDE .BC DE COE COE o o 1 1 o 1 A.BCOf 1 1 o 1 o 1 AB.CD.E: ABCD.E; ABDf ABOE o 1 o 1 o o 1 o o 1 o o o o o 1 o o 1 1 1 o o 1 ABCD.E o 1 1 o o o 1 o 1 o o o AB.Qf. AB.Qf. AB.Df o o 1 o o o 1 1 o o o 1 AB.CDE o 1 o o o o 1 o o o o o o o o o o o

Aps as sucessivas simpli f icaes, obtm-se a confiabilldade do sistema com:

R5 = R0 .RE + R8 .(1 - R0 ).RE + Rc.(l- RE ~R0 + RA.(1- Rc ).R8 .(1- RE ).R0 + RJl - R0 ).R8 .(1-RE) Por ltimo deve-se mencionar que uma forma alternativa pode ser montada a partir

dos est ados inoperantes do sistema, obtendo-se a no confiabilidade do sistema.

Verifique que, apesar de aparentemente as frmulas para a confiabilidade do sistema

determinadas pelos quatro mtodos serem diferentes, ao substituirmos as confiabili dades dos

componentes pelos respectivos nmeros, as quatro determinam o mesmo valor.

- --- -

Pereirfimn 31

Confiahilidade de Compo1umtes e Sistemas enJ722.bJgspot.com.br

Ajuste da funo de Risco Acumulado do Sistema Uma vez determinada a expresso da confiabilidade do sistema em funo das

confiabilidades dos componentes, por qualquer um dos mtodos apresentados, pode-se

pensar em ajustar uma funo para o Risco Acumulado que reproduza os dados numricos. Neste caso, o critrio para a determinao dos parmetros ser a minimizao do Erro

Quadrtico Mdio (EQM) entre os dois valores da funo de risco acumulado, o calculado pela funo a ser ajustada e o calculado numericamente a partir dos componentes.

Critrio do M fnimo Erro Quadrtico Mdio

Pode-se dete rminar o va lor numrico da funo de risco acumulado como:

O erro quadrtico mdio associado f ica:

1 11 2 1 " 2 CJEQM 2 11 CJH(t ) EQM=- :L{H(t1)-Hexp(t;)} =-I: e; com () =-:Le;. () 1 =0

n r-t n l=t B n 1 .. 1 B

Parmetros da funo de Weibu/1 para Mnimo EQM

Admitindo-se a funo de Weibull para a funo de r isco acumulado, procede-se

derivao em funo de cada um dos seus parmetros.

Para o parmetro o tem-se:

k ).(t; -p)Y i =I

I r

(6.3)

Esta equao transcendental, sua soluo ser numrica e iterativa e, pelo mtodo do

gradiente descendente, dada por:

Pereira/i ma

CJEQM r~: = rk -TJ. ar sendo O < TJ < 1

(6.4)

32

Confiahilidade de Compo11etrJes e Sistemas e11J 722.bJgspot.com.br

Para o parmetro~ tem-se:

aEQM _-2Ln H( {t;-J.l)-1-0 --=~- - e.. t -a I I IJ.i n j,.j r Esta equao tambm transcendental, sua soluo ser numrica e iterativa e, pelo mtodo

do gradiente descendente, dada por:

sendo O < TJ < 1 (6.5)

Parimetros da Conjiabildade Exponencial para Mnimo EQM

Quando a confiabi lidade for Exponencial o desenvolvimento ser ligeiramente

diferente, chegando-se a:

(6.5.a)

Parmetros da funo Log-Weibu/1 para Mnimo EQM

O desenvolvimento anlogo ao realizado para a funo de Weibull, e o resultado

semelhante, substituindo-se apenas os tempos t1 por ln(t1) nas equaes (6.3) a (6.5).

M todo de soluo iterativo

Analogamente determinao dos parmetros para os componentes, aqui tambm a

soluo ser por iterao numrica, porm, aqui o nmero de termos das somatrias no

envolve custos de ensaio, uma vez que seus valores so obtidos por simples clculo numrico,

sendo o nico inconveniente o tempo de processamento.

Usando-se os dados obtidos no exerccio 2.3 para a funo de r isco acumulado, e

ajustando-se a funo de Weibull obtivemos os valores apresentados nos grficos das figuras 3.2 e 3.4.

Exerccios

5.1 -Faa o desenvolvimento analtico para determinao dos parmetros utilizando a

funo Log-Weibu/1 e o critrio do mnimo erro quadrtico mdio.

5.2 - Escreva uma rotina computacional e determine numericamente os parmetros

para os dados de quebra da tabela 1.1 usando o critrio do mnimo e"o quadrtico mdio.

Compare seus resultados com os grficos das figuras 3.2 e 3.4.

Pereirallma 33

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VIl- fnd ices de Desempenho

Uma questo muito importante em confiabilidade saber determinar qual

componente deve ter sua confiabilidade melhorada de forma a otimizar a melhora da

confiabilidade do sistema. Intuitivamente pode-se responder a esta questo priorizando o

componente de menor confiabilidade. No entanto, como veremos, isto s valido para

sistemas srie simples. Outra questo saber identificar rapidamente a causa de uma falha de

sistema. Para, ento, poder-se responder a estas questes de forma sistemtica e confivel,

que se desenvolveu o conceito de ndice de desempenho em conflabilidade. E o mais

interessante que dependendo da questo a responder um ndice ser o mais indicado.

fndice de Birmbaun

O ndice de Birmbaun igual probabilidade de um componente estar em estado

crtico. Um componente se encontra em estado crtico quando o seu estado, operante ou

inoperante, determina o estado do sistema de forma idntica. Seu clculo obtido pela

derivada da confiabilidade do sistema em funo da confiabilidade do componente:

I~ = :iRs ' :iR

t (7.1) Por esta frmula percebe-se facilmente porque este ndice o indicado para priorizar

qual dos componentes deve ter sua confiabilidade aumentada para se obter uma melhora da

confiabilidade do sistema.

H uma forma alternativa muito prtica para se calcular este ndice, usando o mtodo

da decomposio para exprimir a confiabilidade do sistema em funo da confiabilidade do

componente, equao (6.3), e em seguida derivando obtm-se:

(7.2) Para fixao dos conceitos vamos calcula r o ndice de Birmbaun pela derivada, pe lo

mtodo da decomposio e pela definio da probabilidade de o componente estar em estado

crtico.

A B

c D

Figura 7.1-Sistema complexo com quatro componentes.

Pereira/i ma

Confiahilidade de Compo11etes e Sistemas e1tJ 722.bJgspot.cotn.br

O clculo da confiabilidade do sistema complexo da figura 7.1 foi executado aplicando-

se o mtodo da decomposio para o componente A. Alm disso usou-se a notao:

Calculando o ndice de Birmbaun a partir das derivadas para os componentes da figura

7.1 obtm-se:

Faamos ago ra o clculo do ndice de Birmbaun pela definio da probabilidade de o

componente esta r em estado crtico.

O componente A estar em estado crtico quando D estiver operante e C estiver 8 - -inoperante, ou quando D estiver inoperante e B estiver o perante assim: I A = R 0 .R c + R8 .R0

Verifique que esta forma igual anterior.

O componente B estar em estado crtico quando D estiver inoperante e A estiver 8 -

operante,assrm: 18 = RA.Rv

O componente C estar em estado crtico quando A estiver inoperante e D estiver 8 -

o perante, assrm: I c = R 0 .R A

O componente D estar em estado crtico quando A estiver operante e B estiver

inoperante, ou quando A estiver inoperante e C estiver operante assim: /~ = RA .R8 + Rc~. Por ltimo, aplicando o mtodo da decomposio obtm-se:

I~= Rs (1J- Rs(OJ = (1 - R8 .R0 ) - RcRv l% = Rs (1 8 )- Rs (08 ) = RA .R0 + R0 .(1- RA .RJ- R0 .{1- R" .R c )= RA .R0 Ig = Rs (lc )- Rs (Oc )= RA.RD + RJl- R8 .R0 ) - RJl - R8 .R0 )= RA.RD

1g = Rs (l0 )- Rs(00 )= {1- RA.Rc )- RAR8 lndice de Importncia Crtica

Suponhamos que uma pane tenha ocorrido em um sistema de distribuio de energia

eltrica ou em um sistema de transporte coletivo ferrovirio, em ambos os casos o tempo de

deteco da falha deve ser minimizado de modo a minimizar o tempo da manuteno

corretiva. Se houver um mapa de busca dos componentes, ordenados pela sua probabilidade

de terem causado a pane, ento uma busca orientada por tal mapa, minimizaria em mdia o

tempo de deteco.

Ento podemos pensar num ndice de desempenho que mea a probabilidade de um

determinado componente ter causado a falha no sistema. Neste caso estamos falando da

- --

Perelrallma 35

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probabilidade de "o componente i estar em estado crtico e falhar", evento A, condicionada

probabilidade de "o sistema falhar", evento B.

( ) P(A.e.B) Aplicaremos o teorema de Bayes: P A/ B = P(B)

O evento A subconjunto do evento B, pois A um dos modos de falha de B, assim: A.e.B = A. J o evento A a ocorrncia de dois eventos independentes, pois "o componente i

estar em estado crtico", evento C, no depende de "sua prpria falha", evento D, assim:

Fi na I mente tem-se:

(7 .3) lndice de Potencial de Melhora

Este ndice mede o valor mximo que se pode agregar confiabilidade do sistema caso

fosse possvel levar a confiabilidade do componente i a 100%. , portanto, um valor limite para o ganho da confiabilidade do sistema melhorando-se indefinidamente a confiabilidade do

componente i.

Seu clculo decorre imediatamente da definio como:

(7.4)

Alternativamente, usando-se a relao da decomposio:

ItM = 1;8 .(1-R;)= 1;8 .F; (7.5) Comparando-se este ltimo resultado com o ndice de Importncia Crtica v-se que:

I,''M =I/c .F5 , o que torna estes ndices equivalentes quando comparados dentro de um mesmo sistema.

Exerccios

Para os componentes do diagrama de confiabldade da figura 6.1, adote Ra=0,95; Rb=0,75;

Rc=0,7; Rd=0,9; Re=~B. 7.1- Calcule numericamente os ndices de Birmbaun dos componentes.

7.2- Calcule numericamente os ndices de Importncia Crtica dos componentes.

7.3- Calcule numericamente os ndices de Potencial de Melhora dos componentes.

7.4- Determine qual a melhor ordem dos componentes para detectar o possvel responsvel por uma pane sistmica.

7.4- Determine qual a melhor ordem dos componentes para melhorar a confiabilidade sistmica.

Pereira/i ma 36

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VIII - Processos Estocsticos

Define-se um processo estocstico como sistemas dinmicos cujas variveis de estado so aleatrias e evoluem ao longo do tempo de acordo com leis de probabilidades. Uma

sequncia: x(O), x(1), .. , x(n) das variveis de estado uma realizao particular do processo.

Cadeia de Markov

Caso o estado atual do sistema x(t) seja dependente somente do estado imediatamente anterior x(t-1} diz-se que este processo estocstico sem memria e constitui-se numa cadeia de Markov de tempo e estados discretos. Especifica-se um processo

Markoviano por todos os seus estados acessveis e as probabilidades de transio de cada um

desses estados para todos os demais estados em cada instante t .

Devem ser conhecidas todas as probabilidades condicionais p ... (t) 1 que a jk

probabilidade de no instante t+1 o estado ser j sabendo-se que no instante t o estado era k. ~ admit ido que o estado do sistema possa permanecer o mesmo na transio entre t e t+1.

Como todos os estados so mutuamente exclusivos e como o sistema sempre estar n

em um dos estados, isto implica em L p ,.. (t) = 1 1 para todo k . j=l jk.

Define-se a matriz de transio de estados P(t) como: p ... (t)

11

p ... (t) P(t) = 2~

.

p .. (t) 111

p ... (t) ... 12

P- (t) ... 22 .

.

p ... (t) 11 2

.. .

p .. (t) In

p ... (t) 2n

.

11/f

Se quisermos saber a probabilidade de o sistema ocupar o estado i no instante t+11 e denominemos este evento por A, precisamos conhecer todas as probabil idades de o sistema

ter ocupado cada estado k no instante t, e denominemos cada um destes eventos por Bk 1 e

ainda a matriz de transio de estados P(t). ll

Pelo teorema de Bayes: P(A/Bk).P(Bk)= P(A.e.Bt ), mas: UBk =U e ainda: k=l

11 n

A= A.e.U = A.eU Bk = U A.e.Bt , e como os estados so mutuamente exclusivos: L= l k=l

Perelrallma 37

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Matricialmente:

p, (t + 1) P~ (t) P~ (t) P~ (t) p,(r) 11 12 In p2 (t+ 1) P- (t) P- (t) p .. (t) P 2 (t) 21 22 21

. .

. .

.

. .

Pn(t+ 1) p,_ (t) P ~ (t) nl n2

... p .. (t) "''

p) r) n

Para qualquer instante t tem-se: L p i (t) = 1. Caso a matrix P seja independente do j=l

tempo t : p(t) = P' .p( O), isto nos permite calcular a distribuio final de probabilidades dos estados atravs de (I - P ). p( oo) = O .

Como a soma dos elementos das col unas da matriz P sempre 1, a matriz {1-P} ser no inversvel, o que permite uma so luo no trivial.

Em confiabilidade com um haver uma hierarquia nos possveis estados do sistema,

sendo que este sempre passa de um est ado mais operante para um estado menos operante e

nunca o contrrio. Isto faz com que a matriz de transio de estados seja triangular inferior. Como exemplo vamos calcular a d istribuio final de probabilidades de um sistema

que pode assumir trs possveis estados: El = totalmente operante, E2 = parcialmente

operante e E3 ::: inoperante; com as seguintes probabilidades de transio:

De El para E1 p .. = 0,990 ; De El para E2 P~ = 0,009; De El para E3 p .. = 0,001 11 21 31

De E2 para E2 p .. = 0,880; De E2 para E3 p .. = 0,120 ; De E3 para E3 p. = 1,000 22 32 33

A matriz de transio de estados fica:

0,990 o o 0,001 o o P = 0,009 0,880 o (l - P) = - 0,009 0,120 o

0,001 0,120 1 - 0,001 - 0,120 o

O que leva a p1 (oo) = O p2(oo) = 0 p3(oo) = l.

PtrelrailltW 38

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MTTF do usurio

Uma forma pouco ortodoxa da teoria da confiabilidade a obteno do MTTF

utilizando-se dados da produo e da assistncia tcnica mensais de um determinado produto

de uma indstria. Os valores de produo fornecero a quantidade de produtos que so

colocados em operao ms a ms enquanto os dados da assistncia tcnica fornecero a

quantidade de produtos que apresentaram falha naquele ms. Neste caso, uma hiptese que

foi utilizada, a de que as condies operacionais so controladas no vl ida, pois os produtos

vendidos estaro espalhados geograficamente, no sendo controladas as condies

ambientais, e, to pouco, a carga de trabalho ser conhecida, pois depende de um nmero

grande de usurios. Assim teremos que admitir que a variabilidade das condies operacionais

de natureza aleatria, influenciando a confiabilidade de maneira no enviesada.

Falta ainda uma informao, que o tempo ocorrido entre o produto ter sido

colocado em operao at a sua falha. O modelo que ser desenvolvido usa a confiabilidade

exponencial que prescinde desta informao. Passemos sua apresentao.

Vamos iniciar a contagem de tempo quando o primeiro lote de produtos for posto no

mercado e por convenincia vamos batiz-lo de P0, neste ms obviamente no haver

quebras. A partir deste ms zero, os demais meses apresentaro dados de produo e quebra

que sero designados genericamente por P;e Q; respectivamente.

Para o primeiro ms de quebra, tem-se a seguinte relao entre quebra e produo

usando-se uma funo de confiabilidade exponencial (Y 1 e ~=O na funo de Weibull):

R(l)=e-.u =F;, - Q.o => Qto = Po ~- e-.u ) Po

Ql = QIO Para o segundo ms de quebra, tem-se a seguinte re lao entre quebra e produo:

e-,U = Po - (Q20 + QIO ) => Q20 = Po.(l- e-U )- fo.(J- e-.t.l ) Po

e-,!.1 = ~ - Q2t => Q = P. .(1-e-.u ) P, 21 I

I

Q Q Q P. ( -.t.l -.

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e-1.3 = Po -(Q3o +Q2o +QIO ) ~ Q30 = Po.(1-e-3 )- Po.(e-.I -e-.2 )- Po.(1-e-.t) Po e-.u = P.- (Q31 + Qz1) ~ Q3, = J=:.(1- e-2 )- J=:.(l- e-.I ) P. e-.I = P2-Q32 ~Q32 =Pz.(1-e--t)

p2 Q3 = Q3o + Q31 +Q32 = Po.(e-.u - e-.o )+ r:.(e-.t - e-.l )+ P2.(1-e-..tl)

Por induo tem-se a seguinte relao entre quebra e produo para o ms genrico n : 11

Q = "' p . f e - .(i- 1) - e -.v) lt L..J ,_, \1 i=l

e por recorrncia tem-se:

Este modelo prediz a quantidade de quebras futura, um ms adiante, baseada nos

dados de quebra e produo presentes e uma estimativa do parmetro taxa de falhas A.

Podemos agora definir um critrio para a determinao deste parmetro utilizando-se

uma srie histrica de dados de quebra e produo. Esse critrio ser a minimizao do erro

quadrtico mdio entre o valor de quebra estimado pelo modelo e o constatado pela

assistncia tcnica:

1 11 {;::;. EQM =-L~; - Q}

n i=l

Para facilidade na notao das derivadas, vamos definir B = e-.t , assim:

11 L [(Q,_I - P;_J ).e- (Q, - P;_l )].[Qf-1 - P;_l] =o i= l

11 L (Q; - P;_l ).(Qi-1 - P;_l ) B = .....:.:i=t;:__ _______ _

n L (i-1 - P,_l ).(Qi-1 - P;_l) i = I

Finalmente obtm-se a estimativa do MTIF como:

PtrelrallrtUI

1 - 1 MITF = 1 = ln(B)

(8.1)

(8.2)

40

Conflabilidade de Compolletes e Sistemas enJ 722.bJgspot.com.br

Universidade Federal do ABC Engf!. de Instrumentao, Automao e Robtica

Prof. Dr. Pedro Srgio Pereira/imo peralima@ufabc.edu.br

ndice Parte I - Confiabilidade de Componentes

I - Fundamentos de Confiabilidade Introduo

Histograma Probabilidade lntervalar

Densidade de Probabilidade Probabilidade Acumulada

Probabilidade Complementar Exerclcios

11 - Funo de Weibull e MTBF Densidade de Risco

Risco Acumulado Funes de Weibu/1 e Log-Weibu/1

Curva da Banheira da Densidade de Risco Tempo Mdio entre/at Falha

Taxa de Falha Consideraes

Tempo Mdio entre Falhas Condicionado Teorema de Bayes

Eventos Independentes e Mutuamente Exclusivos Tempo Mdio de Vida Residual

Interpretao da Densidade de Risco Exerci cios

111 - Determinao de Parmetros Probabilidade de variveis discretas

Probab/dade de intervalos de variveis contnuas Verossimilhana

Critrio da Mxima Verossimilhana Parmetros da funo de Weibu/1 para Mxima Verossimilhana

Parmetros da confiabilidade Exponencial para Mxima Veros. Parmetros da da funo Log-Weibu/1 para Mxima Veros.

Perelrallma

Mtodo de soluo iterativo Exerclcios

1 1 2 3 4 5 5

6 6 7 8 8 8 8 9 9 9

10 10 11

12 12 13 13 13

14 14 15 16

4 1

Confiahilldade de Comp011etes e Sistemas

IV- Ensaios Acelerados Justificativa

Hipteses Correlao entre parmetros para diferentes nveis de estresse

Determinao do fator de acelerao Lei da potncia inversa

Estresse sob mltiplos fatores Modelos f sicos para determinao do fator de acelerao

Parte 11 - Confiabilidade de Sistemas V - Associaes Fundamentais

Associao Srie Associao Paralelo

Associao Srie-Paralelo Associao Paralelo-Srie

Associao Paralelo K de N VI - Associaes Complexas

Mtodo da Decomposio Mtodo do Tie-Set Mtodo do Cut-Set

Mtodo da Tabela Booleana Ajuste da funo de Risco Acumulado do Sistema

Critrio do Mnimo Erro Quadrtico Mdio Parmetros da funo de Weibu/1 para Mnimo EQM

Parmetros da confiabilidade Exponencial para M nimo EQM Parmetros da funo Log-Weibu/1 para Mnimo EQM

Mtodo de soluo iterativo Exerci cios

VIl- fndices de Desempenho fndice de Birmbaun

fndice de Importncia Crtica fndice de Potencial de Melhoria

Exerccios VIII - Processos Estocsticos

Objetivo

Cadeia de Markov MTTF do Usurio

ettJ722.bJgspot.com.br

17 17 18 19 21 22 23

24 24 25 25 26

27 29 30 31 32 32 32 33 33 33 33

34 35 36 36

37 39

O objetivo deste blog disponibilizar notas de aula da disciplina optativa Confiabilidade de Componentes e Sistemas - EN3722 aos alunos do curso de Engenharia da UFABC, sendo vedada sua utilizao comercial. Este curso fo i montado em cima da bibliografia bsica: Fogliattto, F.S. e Ribeiro, J.L.D. - Confiabilidade e Manuteno lndustrial 2009 Elsevier.

Pereira/i ma 42

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