coc796 confiabilidade estrutural_ano_2003

COC796-Confiabilidade Estrutural PEC/COPPE/UFRJ Introdução

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1. INTRODUÇÃO A existência de incertezas nas cargas, nas propriedades mecânicas, nos parâmetros de resistência do solo e nas propriedades geométricas contribui para que exista uma probabilidade não nula de que a estrutura não atenda aos objetivos para os quais ela fora concebida. Esta probabilidade é definida como probabilidade de falha e pode ser avaliada pelos métodos de análise de confiabilidade estrutural. A confiabilidade estrutural é uma ferramenta que permite ao engenheiro considerar as incertezas inerentes às variáveis de projeto, através das correspondentes distribuições de probabilidade, permitindo obter, entre outros resultados, a probabilidade de falha da estrutura e a sensibilidade do projeto em relação a estas variáveis. Esta informação pode ser de fundamental importância na tomada de decisões que envolvam a segurança da estrutura. Existem várias aplicações práticas da confiabilidade estrutural e entre elas podemos citar: calibrações de normas de projeto, re-análise de estruturas existentes, revisão de planos de inspeções, avaliação de segurança de novas concepções estruturais e na escolha de alternativas de projeto. A maioria das normas de projeto utiliza fatores parciais de carga e de resistência. Antigamente estes coeficientes eram, basicamente, definidos na experiência de profissionais envolvidos em projetos estruturais. Atualmente, com o auxílio da confiabilidade estrutural é possível calibrar os fatores de segurança de uma maneira racional, a partir da definição de um nível alvo considerado aceitável para a probabilidade de falha estrutural. Neste sentido, a confiabilidade tem sido muito usada na revisão de normas antigas e na elaboração de códigos de projeto para novas concepções estruturais. As estruturas existentes estão sujeitas a acidentes e desgastes ao longo da vida útil, tais como: corrosão, trincas, etc. Porém, devido à redundância estrutural e a certas características de projeto, a falha (ou o desgaste) de um elemento não representa necessariamente a falha da estrutura como um todo. Através da análise de confiabilidade estrutural é possível avaliar o nível de segurança global da estrutura como um todo. Esta

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informação se constitui num elemento auxiliar valioso na tomada de decisões com relação à operação, à segurança física e ao estabelecimento de um cronograma de reparos para a estrutura. Nas estruturas submetidas a cargas cíclicas, a fadiga é muitas vezes um fator determinante do projeto. Devido à existência de muitas incertezas no cálculo da vida útil à fadiga, é comum inspecionar estas estruturas ao longo de sua vida útil. Geralmente os dados de inspeções anteriores não eram considerados na determinação do cronograma das inspeções futuras. Porém, com a utilização da análise de confiabilidade e da teoria Bayesiana de probabilidades, é possível reavaliar os prazos de inspeção em função dos resultados obtidos nas últimas inspeções, de forma a manter um nível de segurança aceitável da estrutura ao longo de sua vida útil. Muitas vezes o engenheiro deve decidir qual a alternativa de projeto a ser escolhida dentre várias alternativas possíveis, envolvendo a utilização de novos materiais e de novas concepções estruturais. Nestes casos, a confiabilidade estrutural, juntamente com a análise de custos, fornece as informações necessárias para a avaliação dos riscos associados aos projetos, fornecendo deste modo uma informação fundamental para a análise de decisões. Embora a confiabilidade possa ser uma ferramenta de apoio muito importante nos vários ramos da engenharia, é importante ressaltar que a análise confiabilidade depende da qualidade dos dados estatísticos relacionados ao problema e da precisão do modelo matemático usado para a análise das funções de estado limite. Embora neste curso o enfoque da análise de confiabilidade seja para problemas estruturais, observa-se que a mesma metodologia pode ser utilizada em outros problemas que envolvam variáveis com distribuições de probabilidades contínuas e funções de estado limite. Um exemplo comum de aplicação fora da área estrutural é na análise de investimentos.

COC796-Confiabilidade Estrutural PEC/COPPE/UFRJ Variáveis Aleatórias e Distribuições de Probabilidade

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2. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES Se os resultados dos experimentos de um determinado fenômeno são previsíveis, o fenômeno é chamado de determinístico. Por outro lado, se os resultados dos experimentos não forem previsíveis o fenômeno é chamado de aleatório ou randômico. Neste caso, cada experimento deve ser associado a um valor de probabilidade de ocorrência do evento relacionado ao fenômeno em observação. Intuitivamente pode-se observar que: (a) a probabilidade está relacionada com a frequência de ocorrência do evento ao longo de uma seqüência com um grande número de experimentos; (b) ela deverá estar situada entre 0 e 1 e (c) a soma da probabilidade de todos os possíveis resultados do fenômeno deverá ser igual a 1. Os vários resultados de um fenômeno aleatório podem ser vistos como os resultados de uma função. Esta função é definida como variável aleatória e é usualmente representada por uma letra maiúscula. Valores específicos de uma variável aleatória são representados por letras minúsculas. Sendo X uma variável aleatória, a sua função densidade de probabilidades f xX ( ) é definida de tal forma que

P xdx

X xdx

f x dxX( ) ( )− ≤ ≤ + =2 2

(2.1)

onde P(.) significa a probabilidade de (.). Usualmente uma função densidade de probabilidade é identificada por PDF (Probability Density Function). A expressão

P a X b f x dxXa

b( ) ( )≤ ≤ = ∫ (2.2)

indica a probabilidade da variável X assumir valores entre a e b. Qualquer f xX( ) que satisfaça as seguintes condições pode ser considerada como uma PDF: a) f xX ( ) .≥ 0 0 para qualquer x;

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b) f x dxX ( ) .−∞

∞

∫ = 10 (área unitária) e; (2.3)

c) f x dx P a X bXa

b( ) ( )∫ = ≤ ≤

A função cumulativa de probabilidades F xX ( ) de X é definida da seguinte forma:

F a f x dxX X

a( ) ( )=

−∞∫ (2.4)

onde F aX ( ) significa a probabilidade da variável X assumir valores menores ou iguais a a. Uma função cumulativa de probabilidades deve satisfazer as seguintes propriedades: a) FX ( ) .−∞ = 0 0 ; b) 0 10≤ ≤F xx( ) . e; (2.5) c) FX ( ) .∞ = 10 Graficamente f xX( )e F xX ( ) são apresentados na Figura (2.1).

(a) (b)

Figura 2.1 - Funções (a) densidade e (b) cumulativa de probabilidades

Notar que a seguinte relação pode ser observada

f x dF xdxXX( ) ( )

= (2.6)

Na literatura existem muitas funções teóricas que satisfazem as condições descritas anteriormente. A escolha de uma delas para representar um determinado fenômeno (ou variável) passa basicamente por um processo


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de ajuste em relação aos dados coletados (ou observados) do mesmo, como será visto mais adiante.

2.1 Valores Característicos de Uma Variável Aleatória

O valor médio, ou a média, ou o valor esperado de uma variável aleatória X é definido como:

E X xf x dxX x( ) ( )= =−∞

∞

∫µ (2.7)

onde f xX( ) é a PDF de X definida anteriormente. Outro resultado interessante é o valor médio quadrático de X definido como:

E X x f x dxx( ) ( )2 2=−∞

∞

∫ (2.8)

A variância mede a dispersão dos valores da variável em torno da média e é definida como

Var X x f x dxX X( ) ( ) ( )= − =−∞

+∞

∫ µ 2 x f x dx xf x dx f x dxX x X x X2 22

−∞

+∞

−∞

+∞

−∞

+∞

∫ ∫ ∫− +( ) ( ) ( )µ µ

(2.9) Var X E X X( ) ( )= −2 2µ O desvio padrão de X é definido como a raiz quadrada da variância, i.e., σX Var X= ( ) (2.10) O coeficiente de variação de X é definido como a razão entre o desvio padrão e a média, ou seja,

COV= δσµX

x

x= (2.11)

O coeficiente de variação mede, de forma adimensional (ao contrário da variância) a dispersão dos dados da variável aleatória em torno da média. Coeficientes de variação baixos indicam que os valores da variável aleatória estão distribuídos próximos a média, enquanto que valores altos indicam uma forte dispersão em torno da mesma. O coeficiente de skewness θ1 indica a simetria ou a assimetria da função densidade de probabilidades fx(X) com relação a média e é definido por


8

( )θ

µ

σ1

3

3=−E X x

x

(2.12)

onde

( )E X x f x dxX X x( ) ( )− = −−∞

∞

∫µ µ3 3 (2.13)

Valores positivos de θ1 indicam que os valores de X maiores que a média são mais dispersos que os menores, valores negativos indicam o contrário e um valor nulo indica que a função é simétrica com relação a média, conforme ilustrado na Figura (2.2).

Figura 2.2 - Ilustração do coeficiente de skewness

O coeficiente de kurtosis θ2 é uma medida de suavidade de uma função densidade de probabilidades, ou seja, quanto maior é este valor mais suave (os picos são menos agudos) é a função. θ2 é definido como

( )θ

µ

σ2

4

4=−E X x

x

(2.15)

onde

( )E X x f x dxX X x( ) ( )− = −−∞

∞

∫µ µ4 4 (2.16)

Os coeficientes de skewness e kurtosis podem ser úteis na seleção de distribuições teóricas que podem se ajustar a um determinado fenômeno em estudo. Estes coeficientes também são bastante usados na análise de processos aleatórios não-lineares, que é um tema que foge ao escopo deste curso. Usando a analogia com as propriedades de uma área, a média e a variância de uma variável aleatória X correspondem respectivamente, ao centro de gravidade, c.g., e o momento de inércia (com relação ao c.g.) da área definida por f xx( ) como será mostrado a seguir. Usando a Figura (2.3) como referência, o c.g. é calculado como


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x

xf x dx

area

xf x dx

xf x dxc g

x x

x. .

( ) ( )

.( )= = =−∞

∞

−∞

∞

−∞

∞∫ ∫∫10

(2.17)

que também é o primeiro momento da área (momento estático) de f xx( ) com relação à origem. O momento de inércia com relação ao c.g. é igual a

( )I x x f x dxy c g x= −−∞

∞

∫ . . ( )2

(2.18)

Comparando-se (2.17) e (2.18) com (2.7) e (2.9), observa-se então que a média corresponde ao xc.g. e a variância ao momento de inércia de f xx( ) com relação ao centro de gravidade. Por motivo desta analogia, é comum chamar a média de como o primeiro momento de f xx( ) e a variância como o momento de segunda ordem. A mesma analogia poderia ser usada para os coeficientes de skewness e kurtosis. Neste caso estes seriam, respectivamente, o momento de terceira e de quarta ordem.

Figura 2.3 - Uma área irregular representando uma PDF

Outras medidas importantes com relação à uma variável aleatória X qualquer são a moda e a mediana. A mediana é o valor da variável aleatória X cuja probabilidade de ocorrerem valores menores que ele ou maiores é 50%, ou seja, F(xmediana ) .= 0 50 . A moda é o valor mais provável da variável aleatória, ou seja, é aquele para o qual o valor da função densidade de


10

probabilidades é máximo. A Figura (2.4) ilustra estas medidas. Notar que para uma distribuição simétrica e unimodal (um só pico) a média, a mediana e a moda são iguais.

Figura 2.4 - Moda e mediana de uma variável aleatória

2.2 - Distribuições de Probabilidades

Como dito anteriormente qualquer função que satisfaça as condições dadas pela equação (2.3) pode ser usada como uma distribuição de probabilidades. O uso prático desta função depende da capacidade dela representar estatisticamente um determinado fenômeno que está sendo investigado. Porém, na literatura já existem várias funções que atendem às condições citadas anteriormente e que podem ser usadas na prática da engenharia. Algumas destas funções serão apresentadas a seguir.

2.2.1 - Distribuição Normal ou Gaussiana

Uma variável X é dita normalmente distribuída ou simplesmente uma variável Gaussiana, se a sua PDF for da seguinte forma:

f x xX

x

x

x( ) exp ( )= −

−

12

12

2

σ π

µσ

(2.19)

Esta distribuição tem somente como parâmetros a média µ x e do desvio padrão σ x da variável aleatória e é geralmente denotada por N(µx, σx). A sua função cumulativa só pode ser avaliada por integração numérica, ou usando tabelas disponíveis em livros de estatística. Na Figura (2.5) são mostradas as formas de duas distribuições normais com diferentes médias e desvios padrões.


11

0.00 40.00 80.00 120.00 160.00X, Y

0.00

0.04

0.08

0.12

pdf(x

), pd

f(y)

Y = N(70.00,5.00)

X = N(80.00,20.00)

0.00 40.00 80.00 120.00 160.00X, Y

0.00

0.40

0.80

1.20

F(x)

, F(y

)

Y = N(70.00,5.00)

X = N(80.00,20.00)

(a) (b) Figura 2.5 - Funções (a) densidade e (b) cumulativa de probabilidades de variáveis aleatórias normais. Uma alternativa equivalente e muito valiosa para a expressão (12) é obtida através da introdução de uma variável auxiliar, também conhecida como variável reduzida, definida como

Y X X

X=

− µσ

(2.20)

que como veremos mais adiante, conduz à conhecida distribuição normal padrão de probabilidades

f y y yY ( ) ( ) exp= = −

φπ

12

12

2 (2.21)

cuja média e desvio padrão são iguais a 0 e 1, respectivamente. A função cumulativa de probabilidades desta distribuição é usualmente denotada por Φ( )y e é definida por

( ) ( )Φ y f y dyY

y=

−∞∫ (2.22a)

No Apêndice A está uma tabela para avaliação de Φ( )y . Na Figura (2.6) esta distribuição é ilustrada graficamente. Se uma variável X segue uma distribuição normal, i.e. ( )X N x x= µ σ, , a probabilidade da mesma assumir valores entre a e b conforme a Figura (2.7), pode ser obtida usando as expressões (2.20) e (2.22a), i.e.,

P a X b e dsb as

a x x

b x x x

x

x

x( ) ( ) ( )

( )/

( )/≤ ≤ = =

−−

−−

−

−

∫12

12

2

π

µσ

µσµ σ

µ σΦ Φ (2.22b)


12

onde Φ(.) é a função cumulativa normal padrão.

2.2.2 - Distribuição Lognormal

Uma variável X tem uma distribuição lognormal quando estatisticamente ln( )X pode ser representado por uma distribuição normal. A CDF de uma variável lognormal é definida como :

f xx

xX ( ) exp (ln )= −

−

12

12

2

ξ πλ

ξ (2.23)

onde λ é o valor esperado de ln( )X , i.e. λ µ= =E x x(ln ) ln , e ξ é o desvio padrão de ln( )X , i.e. ξ σ= =Var x x(ln ) ln . λ e ξ se relacionam com a média e o desvio padrão de X através da seguintes relações

ξσµ

2 21= +

ln ( )x

x

(2.24)

λ µ ξ= −ln x12

2

-8.00 -4.00 0.00 4.00 8.00y

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

f(y) -

nor

mal p

adrã

o Y - N(0.0,1.0)

-8.00 -4.00 0.00 4.00 8.00y

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

F(y)

- no

rmal

padr

ão

Y - N(0.0,1.0)

(a) (b) Figura 2.6 - Funções (a) densidade e (b) cumulativa da distribuição normal padrão Se X é uma variável aleatória lognormal, P a X b( )≤ ≤ pode ser calculada como

P a X b b aX

X

X

X( ) (ln ) (ln )≤ ≤ =

−−

−Φ Φ

λξ

λξ

(2.25)


13

Notar que a equação acima corresponde exatamente à equação (2.22b), onde

a variável reduzida é definida como Y X X

X=

−ln λξ

.

Figura 2.7 - Ilustração gráfica da probabilidade P a X b( )≤ ≤

2.2.3 - Outras Distribuições de Probabilidades

Além da distribuição normal e lognormal, existem muitas outras disponíveis na literatura [1,2]. Porém, para facilidade de uso a Tabela (2.1) apresenta um resumo daquelas mais empregadas para modelar as variáveis relacionadas à análise de confiabilidade estrutural.

2.2.4 - Distribuições de Probabilidades de Valores Extremos

Em muitos problemas de engenharia, os valores relevantes de uma determinada variável são os extremos, ou seja, os valores mínimos ou máximos da mesma. No caso específico da engenharia estrutural, o interesse recai sobre os valores máximos extremos dos carregamentos atuantes sobre a estrutura durante sua vida útil e de valores mínimos de resistência da mesma. Na avaliação da distribuição de probabilidades dos valores extremos o ideal seria ajustar uma distribuição de probabilidades à amostras de valores extremos observados. Por exemplo, a determinação da distribuição de valores extremos anuais de uma variável aleatória seria baseada em um banco de dados com os valores máximos observados em cada ano durante muitos anos (no mínimo 20 a 25 anos), ou seja, uma distribuição de probabilidades seria ajustada a estes valores. Na prática, na grande maioria das vezes, dados de


14

valores extremos máximos ou mínimos não constituem uma amostragem significativa para proceder de tal forma. Em virtude do que foi dito anteriormente, surgiu a chamada Estatística de Extremos que possibilidade definir a distribuição dos valores extremos (máximos e mínimos) de uma variável aleatória X a partir da função distribuição de probabilidades da mesma (observe que está variável inclui todo o intervalo de variação da variável em questão). Este tópico será abordado nas seções seguintes.


15

Distribuição fx(x), PDF F xX ( ) , CDF E(X), (média) Var X( ) , (des. padrão) Normal 1

212

2

πσµ

σexp −

−

x Φx −

µσ

µ

σ

Lognormal 12

12

2

πξ

λξx

xexp ln( )−

−

Φ

ln( )x −

λξ

exp λ ξ+

12

2

E X( ) exp( )ξ2 1−

Exponencial ( )λ λexp − x

( )1− −exp λx 1λ

1λ

Rayleigh x x

R Rσ σ2

212

exp −

1 1

2

2

− −

exp x

Rσ

πσ

2 R 22

−

πσR

Uniforme 1b a−

x ab a−−

a b+2

b a−12

Tipo I (máx.) (Gumbel)

( ) ( )( )( )α α αexp exp− − − − −x u x u exp( exp( ( )))− − −α x u u +

0 5772.α

π

α6

Tipo I (mínimos)

( ) ( )( )( )α α αexp expx u x u− − − 1− − −exp( exp( ( )))α x u u − 0 5772.

α π

α6

Tipo II (máximos)

kv

vx

vx

k k

−

+1

exp exp −

vx

k

vk

Γ 1 1−

v

k kΓ Γ1 2 1 12

12

−

− −

Tipo III (min.) (Weibull)

kv

xv

xv

k k

−

−1

exp 1− −

exp x

v

k

vk

Γ 1 1+

v

k kΓ Γ1 2 1 12

12

+

− +

Nota: ( )Γ é a função Gamma.

Tabela 2.1 - Algumas Distribuições de Probabilidades


16

2.2.4.1 - Distribuições Teóricas de Valores Extremos Máximos e Mínimos

Tomando-se diferentes conjuntos de observações (com n amostras cada uma) de uma variável aleatória X, verifica-se que o valor máximo observado em cada uma delas geralmente é diferente. Portanto, a população dos valores máximos de X constituem uma população própria, ou seja, o valor máximo extremo da variável aleatória X é também uma variável aleatória com uma distribuição própria de probabilidades. O mesmo raciocínio é válido para o valor mínimo extremo. Considere que a variável aleatória inicial X tenha a sua própria função cumulativa de probabilidades F XX ( ) e considere também várias amostras de tamanho n de X, i.e. ( )x x xn1 2, , , , onde os índices representam o primeiro, o segundo, ..., e o n-ésimo valor observado em cada uma das amostras. Uma vez que cada valor observado é imprevisível antes da observação, pode-se assumir que cada observação é o valor de uma variável aleatória e o conjunto de observações ( )x x xn1 2, , , é uma realização de variáveis aleatórias

( )X X Xn1 2, , , . O valor máximo extremo de uma amostra de tamanho n é uma variável aleatória definida como: ( )Y max X X Xn n= 1 2, , , (2.26) Observe que se Yn , o máximo valor entre ( )X X Xn1 2, , , , é menor que um determinado valor y, então necessariamente todas as variáveis ( )X X Xn1 2, , , devem ser menores que y. Assumindo-se que cada valor coletado numa amostra da variável X é independente dos demais e que X X Xn1 2, , são identicamente distribuídos como a variável X, tem-se que F x F x F x F xX X Xn X1 2( ) ( ) ( ) ( )= = = = (2.27) Assim a função cumulativa do valor máximo extremo pode ser definida como

( )

[ ]

F y P Y y

F y P X y X y X y

F y F y

Yn n

Yn n

Yn Xn

( )

( ) ( , , )

( ) ( )

= ≤

= ≤ ≤ ≤

=

1 2 (2.28)

e a correspondente função densidade de probabilidades

[ ]f ydF y

dyn F y f yYn

YnX

nX( )

( )( ) ( )= = −1 (2.29)


17

onde fX (.) é função densidade de probabilidades da variável inicial X. O valor mínimo de uma amostra de tamanho n, pode ser definido como ( )Y min X X Xn1 1 2= , , , (2.30) Observe que se Y1, o mínimo entre ( )X X Xn1 2, , , , é maior que y, então todas as variáveis ( )X X Xn1 2, , , devem ser maiores que y. Assumindo-se as mesmas hipóteses definidas acima, tem-se que

( )

[ ]

1

1

1 1

1

1 1 2

1

− = >

− = > > >

− = −

F y P Y y

F y P X y X y X y

F y F y

Y n

Y n

Y Xn

( )

( ) ( , , )

( ) ( )

(2.31)

ou seja, a função cumulativa do valor mínimo extremo é dada por ( ) [ ]F y Fx yY

n1 1 1= − − ( ) (2.32)

cuja correspondente função densidade de probabilidades é

[ ]f ydF y

dyn Fx y f yY

Y nX1

1 11( )( )

( ) ( )= = − − (2.33)

Nesta metodologia a distribuição de probabilidades (incluindo todas as observações) de X é chamada de distribuição parente. A variável n se refere ao número de amostras da variável X coletadas durante um determinado período de tempo. Por exemplo, se n significar o número de amostras coletadas em um ano as distribuições definidas por (2.28) e por (2.32) se referem ao valor máximo extremo anual e ao valor mínimo extremo anual, respectivamente. Nas Figuras (2.7) e (2.8) são apresentadas as funções cumulativa e densidade de probabilidades do valor máximo, obtidas a partir de uma distribuição normal (distribuição parente) com média 25.00 e desvio padrão 5.00,i.e., N(25.0,5.00). Nas Figuras (2.9) e (2.10) são apresentadas as funções correspondentes ao valor mínimo.

2.2.4.2 - Distribuições Assintóticas de Valores Extremos

Através de várias pesquisas no passado, estatísticos observaram que as distribuições de extremos tendem a distribuições assintóticas quando n tende a infinito. Foi também observado, que a forma da distribuição assintótica depende basicamente do comportamento da extremidade de interesse (máximos ou mínimos) da distribuição parente da variável investigada.


18

0 20 40 60 800

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

parenteextremos N=10extremos N=100extremos N=1000

X

PDF

Figura 2.7 - PDF dos valores extremos máximos para uma parente N(25,5).

Na literatura [2] são encontrados, basicamente, três tipos de distribuições assintóticas para valores extremos máximos e mínimos: distribuição de extremos Tipo I, Tipo II e Tipo III. As expressões matemáticas destas distribuições são mostradas na Tabela (2.2).

Distribuição F xX ( ) Média Desvio Padrão

Tipo I (máx.) (Gumbel)

exp( exp( ( )))− − −α x u

u +0 5772.

α π

α6

Tipo I

(mínimos)

1− − −exp( exp( ( )))α x u

u − 0 5772.

α π

α6

Tipo II

(máximos) exp −

vx

k

vk

Γ 1 1−

v

k kΓ Γ1 2 1 12

12

−

− −

Tipo III (min.) (Weibull)

1− −

exp x

v

k

vk

Γ 1 1+

v

k kΓ Γ1 2 1 12

12

+

− +

Nota: Γ(.) é a função Gamma

Tabela 2.2 - Distribuições Assintóticas de Extremos


19

0 20 40 60 800

0.2

0.4

0.6

0.8

1


X

CDF

Figura 2.8 - CDF dos valores extremos máximos para uma parente N(25,5).

0 10 20 30 40 500

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25


X

PDF

Figura 2.9 - CDF dos valores extremos mínimos para uma parente N(25,5). Embora as distribuições apresentadas na Tabela (2.2) tenham sido obtidas na análise de extremos, elas podem ser usadas igualmente como


20

distribuições de probabilidades para representar variáveis aleatórias que não representem valores extremos. O valor prático destas distribuições na análise de extremos é que para alguns tipos de distribuições parentes já se sabe a priori que suas distribuições de valores extremos tendem para distribuições assintóticas cujos parâmetros são facilmente calculados em função dos parâmetros das primeiras. Isto evita o uso das expressões (2.28) e (2.31). Alguns destes casos serão mostrados a seguir. Se uma variável X tem uma distribuição de Rayleigh com parâmetro σR , ou seja

( )F x xX

R

= − −

1 1

2

2

2expσ

(2.34)

então, pode se demonstrar que a distribuição dos seus valores máximos extremos Xn é do Tipo I com média e desvio padrão dados por

( )

( )µ σ

σ

σ π σ

Xn RR

Xn R

nn

n

= +

=

2 057722

2 3

ln .ln

ln( )

(2.35)

0 10 20 30 40 500

0.2

0.4

0.6

0.8

1


X

CDF

Figura 2.10 - CDF dos valores extremos mínimos para uma parente N(25,5).


21

Se Y for uma variável aleatória normal com média µ e desvio padrão σ, a distribuição dos valores máximos extremos assintoticamente se aproxima de uma Tipo I (máximos) com os parâmetros u e α dados por

α

σ

σπ

µ

=

= −+

+

2

2 42 2

ln( )

ln( ) ln(ln( )) ln( )ln( )

n

u n nn

(2.36)

Na Figura (2.11) é feita uma comparação entre a distribuição exata e assintótica tomando como base uma distribuição normal N(25,5). Como pode se observar, elas vão ficando mais próximas para valores maiores de n.

0 20 40 60 800

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

parenteextremos N=10 (exata)extremos N=10 (assint.)extremos N=100 (exata)

( i )

X

PDF

Figura 2.11 - Comparações entre as distribuições exata e assintótica.

Se Z for uma variável lognormal com parâmetros λ Z e ξZ , então a distribuição dos seus valores extremos assintoticamente se aproxima de uma distribuição Tipo II com os parâmetros

kn

v n nn

Z

Z Z

=

= −+

+

2

2 42 2

ln( )

exp ln( ) ln(ln( )) ln( )ln( )

ξ

ξπ

λ

(2.37)


22

Para outros tipos de distribuições (parentes) as distribuições assintóticas podem ser obtidas através de ajustes utilizando-se os métodos dos momentos (conforme a seção seguinte). Inicialmente calcula-se a distribuição teórica de extremos usando as expressões (2.28) e (2.29) ou, dependendo do caso, (2.31) e (2.32) e a partir delas calcula-se a média e o desvio padrão (momentos) da distribuição teórica usando as expressões (2.7) e (2.10). Com a média e desvio padrão calculam-se os parâmetros das distribuições Tipo I, II e III de acordo com a Tabela (2.2). Através de um software gráfico, plotam-se a distribuição teórica e as distribuições assintóticas e dentre estas últimas observa-se qual delas é a que melhor se ajusta à primeira. A vantagem de se trabalhar com assintóticas é que elas geralmente estão disponíveis em qualquer software de confiabilidade, enquanto que a distribuição teórica deve ser programada caso a caso.

2.2.4.3 - Um Breve Comentário Sobre Distribuições de Extremos

Para evitar grandes erros (devido ao expoente n), devemos usar como distribuição parente da variável em análise, aquela distribuição que melhor se ajusta aos valores observados na extremidade de interesse (máximos ou mínimos). Exercício 2.1 Escolha parâmetros quaisquer para três distribuições, uma normal, uma lognormal e uma Rayleigh. Para cada uma delas compare as distribuições teóricas de valores máximos com as distribuições de valores extremos assintóticas de acordo com descrito anteriormente. Considere os seguintes valores n=10, 100 e 1000. (Use o Mathcad) Exercício 2.2 Assumindo-se que as elevações da superfície do mar, num estado de mar definido por um Hs e um Tz, constituem um processo aleatório gaussiano, é possível demonstrar que as alturas individuais das ondas seguem uma distribuição de Rayleigh do tipo

( )F h hHsH = − −

1 2

2

exp

Assumindo que os estados de mar são de três horas, calcule em função de Hs, qual é o valor máximo esperado e qual o valor mais provável da altura da onda máxima extrema em três estados cujos Tz’s são 8s, 10.8s e 12s. Observe que o número de ondas em estado de mar é dado aproximadamente por (duração do estado de mar)/Tz.


23

2.3 - Ajuste de Distribuições de Probabilidades a Dados Observados

A representação de um determinado fenômeno por uma função distribuição de probabilidades é algo que facilita bastante o tratamento da mesma, i.e., uma vez definida a distribuição e os respectivos parâmetros é fácil calcular os níveis de probabilidades associadas aos diversos eventos que envolvem tal fenômeno. Na prática o problema é então definir qual é a função e os respectivos parâmetros que representam um fenômeno em observação. A base de definição são os valores medidos e registrados sobre o mesmo. A seguir serão apresentados alguns procedimentos para definições dos parâmetros estatísticos de uma variável aleatória a partir dos dados observados, bem como, o ajuste de uma distribuição de probabilidades aos mesmos.

2.3.1 - Determinação de Parâmetros Estatísticos

A partir da existência de uma amostra coletada da variável aleatória X (que representa o fenômeno de interesse) igual a ( )X x x xn= 1 2, , , , podem ser calculados vários parâmetros e definidas algumas representações gráficas. Uma representação gráfica bastante usada é o chamado histograma de frequência relativa, conforme a Figura (2.12). Neste diagrama a variável aleatória é dividida em pequenos intervalos. Para cada intervalo é observado o número de ocorrências dos valores da amostra. Depois disto então monta-se o diagrama representando cada intervalo versus a frequência relativa dos mesmos, ou seja, versus o número de ocorrências do intervalo dividido pelo número total de amostras.

Figura (2.12) - Histograma de Frequências Relativas

O tamanho do intervalo de um histograma é definido em função da experiência ou a partir de algumas expressões sugeridas na literatura [1].


24

A partir dos dados contidos numa determinada da amostra de tamanho N da variável aleatória X, podem ser definidos os valores característicos da mesma. A média da amostra é dada por

XN

xii

N

==∑1

1

(2.38)

A variância da amostra por

sN

x XN

x NXX ii

N

ii

N2 2

1

2

1

21 1= − = −

= =∑ ∑( ) ( ) (2.39)

O desvio padrão e o coeficiente de variação são definidos respectivamente por s Variância sX x= = 2 (2.40) e

δXXs

X= (2.41)

Os coeficientes de skewness e de kurtosis são definidos, respectivamente, por

θσ

1

3

31

1=

−

=∑N

x Xi

xi

N ( ) (2.42)

e

θσ

2

4

41

1=

−

=∑N

x Xi

xi

N ( ) (2.43)

Usando dados já agrupados em k intervalos de um histograma de frequências relativas, onde qi é frequência relativa associada ao i-ésimo intervalo e xi o valor médio deste intervalo intervalo, tem-se que a média da amostra é dada por

X q xi ki

k

==∑

1

(2.44)

a variância por


25

s q x XX i ii

k2 2

1

= −=∑ ( ) (2.45)

e os coeficientes de skewness e de kurtosis, respectivamente, por

θσ

1

3

31

=−

=∑ q x Xi i

xi

k ( ) (2.46)

e

θσ

2

4

41

=−

=∑ q x Xi i

xi

k ( ) (2.47)

Estes valores são representativos da amostra em questão e, portanto, podem não representar a população total da variável X , exceto no caso em que a amostra seja suficientemente grande. Em outras palavras os parâmetros definidos anteriormente são apenas uma aproximação dos parâmetros reais da variável aleatória X. Intervalos de confiança sobre os valores calculados acima podem ser obtidos por vários procedimentos encontrados na literatura [1]. Porém, na prática, é necessário de alguma forma estimar os parâmetros estatísticos da variável aleatória de interesse e isto pode ser feito de várias maneiras. No que segue, serão apresentados duas destas maneiras.

2.3.1.1 - Métodos dos Momentos

Neste procedimento assume-se que os valores característicos da amostra da variável aleatória sejam iguais ao da sua população, i.e.,

E X X

Var X sX

X

( )

( )

= ≈

= ≈

µ

σ2 2 (2.48)

Como estas grandezas estão diretamente relacionadas aos parâmetros das distribuições de probabilidades (veja Tabela (2.1) ), estes últimos podem ser facilmente obtidos. Por exemplo, para uma distribuição normal os parâmetros µ e σ2 correspondem exatamente à média e a variância da variável. 2.3.1.2 - Método da Máxima Probabilidade

Este procedimento possibilita a avaliação dos parâmetros de uma distribuição diretamente a partir da amostra. Supondo que estamos interessados em obter o parâmetro θ de uma distribuição cuja PDF é definida por fx(x, θ) para verificar se a mesma se ajusta ou não à amostra observada

( )X x x xn= 1 2, , , (note que, por enquanto, a distribuição tem um só parâmetro). Baseado nesta amostra, a seguinte pergunta pode ser feita: Qual o valor mais provável de θ que produz o conjunto de observações x x xn1 2, , , ? Ou em


26

outras palavras, qual é o valor de θ que maximiza a possibilidade de obter a sequência x x xn1 2, , , ? A possibilidade de se obter tal sequência pode ser assumida como sendo proporcional ao valor da função densidade de probabilidades (PDF) calculada em cada xi. Assim, uma função de “probabilidades” pode ser definida como ( ) ( ) ( ) ( )P x x x f x f x f xn X X X n1 2 1 2, ,...., , , , ..... ,θ θ θ θ= (2.49) O valor de θ que maximiza esta função pode ser obtido resolvendo-se a seguinte expressão

( )∂ θ

∂θ

P x x xn1 2 0, ,...., ,

= (2.50)

Para distribuições dependentes de mais de um parâmetro, a função de probabilidades torna-se ( ) ( ) ( ) ( )P x x x f x f x f xn m X m X m X n m1 2 1 1 1 2 1 1, , , , , , , , , , , , ..... , , , θ θ θ θ θ θ θ θ= (2.51

e os mesmos são obtidos através da solução do seguinte sistema de equações

( )

( )

∂ θ θ

∂θ

∂ θ θ

∂θ

P x x x

P x x x

n m

n m

m

1 2 1

1

1 2 1

0

0

, ,...., , ,....,

, ,...., , ,....,

=

=

(2.52)

Exercício 2.3 Determine analiticamente usando o método da máxima probabilidade o parâmetro de uma distribuição de Rayleigh e o parâmetro de uma distribuição exponencial para uma amostra X = (x1, x2, ...., xn).

2.3.1 - Determinação da Distribuição de Probabilidades

Até agora foi mostrado como são definidos os parâmetros das distribuições de probabilidades, porém nada foi dito a respeito de qual é a


27

distribuição (normal, lognormal, exponencial, etc.) que melhor representa o fenômeno em observação. Em outras palavras, usando o método dos momentos, por exemplo, podem ser calculados os parâmetros da distribuições teóricas (ver Tabela 2.1) que reproduzem estes mesmos momentos, porém, isto não significa que a forma da distribuição reproduza a forma do histograma da amostra. Definidos os parâmetros das várias distribuições alguns procedimentos podem ser usados para verificar qual delas melhor representa o fenômeno observado. Este será o tópico das seções seguintes, porém antes é necessário chamar atenção que os procedimentos citados anteriormente são baseados na comparação da distribuição de probabilidades teórica com a distribuição aproximada dos dados observados. Uma aproximação da função densidade de probabilidades é obtida a partir do histograma de frequência relativa. Como este diagrama representa probabilidade, a densidade média de cada intervalo é dada por

f x Q xdxx i

i( ) ( )= (2.53)

onde Q(xi) é frequência relativa do intervalo e dx é o intervalo do histograma. Assim a distribuição teórica de probabilidades que melhor representa a variável X é aquela que melhor se ajusta a f xx i( ) .

2.3.2.1 - Testes de Aderência

Uma das maneiras de verificar se uma distribuição teórica se ajusta ao fenômeno investigado ou não é através de testes de aderência. Através de funções empíricas e certas tolerâncias definidas pelo usuário, estes testes comparam a distribuição teórica com a aproximada (eq. 2.53) para cada intervalo do diagrama de frequências relativas e no final dizem, de acordo com nível de confiança pré-estabelecido, se a distribuição teórica pode representar o fenômeno. Dentre estes testes estão o Teste Chi-quadrado e o Teste Kolmogorov-Smirnov. Maiores detalhes sobre estes testes podem ser obtidos na literatura sobre probabilidade e estatística [1].

2.3.2.2 - Comparação Visual

Outra maneira de verificar o ajuste de distribuições de probabilidade é visualmente. Anos atrás isto era feito através dos chamados “papéis de probabilidade”, porém, hoje em dia isto se faz utilizando programas de computador (exemplo: Mathcad, Maple, Statgraph, etc.). Nestes programas todas as distribuições teóricas são definidas e depois plotadas num mesmo gráfico que também inclui a distribuição aproximada. Visualmente o engenheiro (usuário) pode verificar qual delas melhor se ajusta.


28

2.4- Várias Variáveis Aleatórias

Frequentemente mais de uma variável aleatória precisam ser associadas a um experimento e então, o comportamento conjunto destas variáveis passa a ser de interesse. Aqui serão abordados experimentos dependentes de somente duas variáveis aleatórias X e Y, porém os conceitos empregados são válidos para qualquer número de variáveis aleatórias. De forma semelhante ao tratamento dado a uma única variável aleatória, a função densidade de probabilidades conjunta, f x yX Y, ( , ) , das variáveis aleatórias X e Y é definida de tal forma que

P x dx X x dx y dy Y y dy f x y dxdyX Y( , ) ( , ),− ≤ ≤ + − ≤ ≤ + =2 2 2 2

(2.54)

A função cumulativa conjunta de probabilidades é definida por

F x y P X a Y b f x y dydxX Y X Y

ba

, ,( , ) ( , ) ( , )= ≤ ≤ =−∞−∞ ∫∫ (2.55)

Para atender os axiomas básicos da teoria das probabilidades, a função densidade de probabilidades conjunta das variáveis X e Y deve satisfazer as seguintes condições: a) f x yX Y, ( , ) .≥ 0 0 para todo e qualquer x e y

b) f x y dydxX Y, ( , ) .−∞

∞

−∞

∞

∫∫ = 10 (2.56)

c) P a X b c Y d f x y dydxX Yc

d

a

b( , ) ( , ),≤ ≤ ≤ ≤ = ∫∫

A Figura (2.13) ilustra uma função densidade de probabilidades conjunta para duas variáveis X e Y. Quando as variáveis X e Y são estatisticamente independentes, ou seja a ocorrência de um valor de X não interfere na ocorrência de um valor de Y, a função densidade de probabilidades conjunta das variáveis X e Y pode ser escrita como f x y f x f yX Y X Y, ( , ) ( ) ( )= (2.57) sendo f xX( ) e f yY ( ) as funções densidade de probabilidades de X e Y respectivamente, obtidas tratando-se os dados de ambas independentemente.


29

Figura (2.13) - Ilustração da função densidade de probabilidades conjunta As distribuições marginais de cada uma das variáveis aleatórias X e Y, quando f x yX Y, ( , ) é conhecida, são obtidas da seguinte forma:

f x f x y dyX X( ) ( , ),Y=−∞

∞

∫

(2.58)

f y f x y dxY X Y( ) ( , ),=−∞

∞

∫

A covariância entre as variáveis X e Y é definida como Cov X Y E X Y E XY E X E Yx y( , ) [( )( )] ( ) ( ) ( )= − − = −µ µ (2.59) Cov X Y E XY x y( , ) ( )= − µ µ sendo que o valor esperado do produto XY, i.e. E(XY), é dado por

E XY xyf x y dxdyX Y( ) ( , ),=−∞

∞

−∞

∞

∫∫ (2.60)

Quando X e Y são independentes E XY E X E Y X y( ) ( ) ( )= = µ µ (2.61) e a covariância então, torna-se nula. Fisicamente, o significado da covariância pode ser melhor entendido através do coeficiente de correlação que é definido por


30

ρσ σX Y

x y

Cov X Y,

( , )= (2.62)

onde σ X e σ Y são respectivamente os desvios padrões das variáveis X e Y, obtidos em função das distribuições marginais e da expressão (2.10). Pode ser demonstrado que ρX Y, .2 10≤ e que quando ρX Y, .= ±10 existe uma forte relação linear entre X e Y. No caso de ρX Y, .= 10 , quando X assumir uma valor grande com relação a µ x , Y também assumirá um valor grande, na mesma proporção que X, com relação a µ Y . Por outro lado, caso ρX Y, .= −10 , então quando X assumir uma valor grande com relação a µ x , Y tenderá assumir um valor pequeno, mantendo a proporção absoluta de X, com relação µ Y . Quando ρX Y, .= 0 0 significa que não há uma relação linear entre X e Y, isto contudo não significa que não possa haver um outro tipo de relação entre elas. A ilustração do significado do coeficiente de correlação é mostrada na Figura (2.14).

ρ = 10. ρ = 0 0. ρ = −10.

0 10< <ρ . ρ = 0 0. ρ = 0 0.

Figura (2.14) - Interpretação gráfica do coeficiente de correlação Para várias variáveis aleatórias X1, X2,...,Xn, a matriz de correlação entre as mesmas é definida por


31

ρ

ρ ρ ρρ ρ

ρ

=

X X X X X Xn

X X X Xn

Xn Xn

Sim

1 1 1 2 1

2 2 2

, , ,

, ,

,

...

.... ... ...

(2.64)

onde ρXi Xj, é o coeficiente de variação entre as variáveis Xi e Xj. Exercício 2.4 Demonstre que a correlação de uma variável aleatória X com ela mesma é igual a 1.

2.5 - Soma ou Diferença de Variáveis Aleatórias

2.5.1 - Soma ou Diferença de Variáveis Aleatórias Normais

Se X e Y forem duas variáveis independentes e normais, Z = X + Y é também uma variável normal com média e desvio padrão dados por:

µ µ µ

σ σ σ

Z X Y

Z X Y

= +

= +2 2 (2.65)

Os resultados acima podem ser generalizados para qualquer função linear de variáveis randômicas normais, ou seja, se Z for igual a

Z a a Xi ii n

n

= +=∑0 (2.66)

onde ai são constantes e Xi variáveis aleatórias normais estatisticamente independentes, então Z é uma variável normal com média e variância dados por

µ µ

σ σ

Z i xii n

n

Z ii

n

xi

a a

a

= +

=

=

=

∑

∑

0

2 2

1

2

(2.67)

onde µ xi

e σ xisão a média e o desvio padrão, respectivamente, de cada

variável aleatória Xi. É possível também demonstrar que quando Z for uma combinação linear de variáveis normais estatisticamente dependentes, a sua média e sua variância correspondem respectivamente a


32

µ µ

σ ρ σ σ

Z i xii n

n

Z i j ij xij

n

i

n

xj

a a

a a

= +

=

=

==

∑

∑∑

0

2

11

(2.68)

onde ρXi Xj, é o coeficiente de variação entre as variáveis Xi e Xj. Qualquer nível

de probabilidade associado a um evento que envolva Z pode ser calculado usando ( )Z N z z= µ σ, . Utilizando os resultados acima é possível calcular a média e o desvio padrão da variável reduzida Y definida na equação (2.20), ou seja ,

Y X X

X=

− µσ

(2.69)

Y pode ser visto como uma função linear da variável X, portanto a sua média é,

µ µµσ σ

µY i xiX

Xi n

n

XXa a= + = − + =

=∑0

1 0 0.

e o seu desvio padrão é

σ σσ

σY ii

n

xix

xa2 2

1

22

21 10= =

=

=∑ .

Assim fica demonstrado que Y é uma variável normal com média 0.0 e desvio padrão 1.0. Considerando agora a soma de duas variáveis normais estatisticamente independentes X e Y, ou seja, Z = X + Y e introduzindo as variáveis W e U como as correspondentes variáveis reduzidas de X e Y, então, Z pode ser escrita como Z W UX X Y Y= + + +σ µ σ µ onde a sua média é dada por µ µ µ µ µ µ µ µ µZ W U X Y X Y X Y= + + + = + + + = +0 0 0 0. . e o desvio padrão σ σ σ σ σ σ σ σ σZ X W Y T X Y X Y= + = + = +2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1


33

Pode-se observar que os resultados acima são idênticos aos valores fornecido na Equação (2.65). Portanto, no caso da combinação linear de variáveis aleatórias normais, pode-se também operar com as variáveis reduzidas definidas usando a expressão (2.69).

2.5.2 - Soma ou Diferença de Variáveis Aleatórias com Distribuições Quaisquer

Quando uma variável aleatória Z é definida como uma combinação linear de outras variáveis e pelo menos uma destas variáveis não é normal, não é mais possível definir a sua distribuição de probabilidades diretamente como no item anterior. Neste caso, somente é possível avaliar o valor médio e a variância de Z. Estas grandezas são obtidas da mesma forma que no item anterior, ou seja, usando a equação (2.68). Deve ser observado mais uma vez que dispondo somente destas grandezas não é possível atribuir valores de probabilidade associados a eventos de Z, uma vez que a distribuição de probabilidades da mesma não é obvia como no item anterior.

2.6 - Produto de Variáveis Aleatórias Lognormais

Considere agora o caso de uma variável Z definida como

Z Xii

n

==∏

1

(2.70)

onde Xi são variáveis lognormais e estatisticamente independentes. A equação (2.70) pode ser reescrita como:

ln lnZ Xii

n

==∑

1

(2.71)

Lembrando que se Xi é lognormal, ln Xi é normal com média λXi e desvio padrão ξXi (ver item 2.2.2) . Então, de acordo com o que foi apresentado no item (2.5.1), lnZ é uma variável aleatória normal com média

E Z Z Xi(ln ) = =∑λ λ (2.72)

e desvio padrão dado por

ξ ξZ Xii

n

==∑ 2

1

(2.73)

Então, Z é uma variável lognormal com os parâmetros λ Z e ξ Z . Generalizando, o produto de variáveis lognormais também é uma variável lognormal.


34

Exercício 2.5 Uma determinada variável de interesse S é definida como

S PBIM

=

Assumindo que P,B,I e M são variáveis lognormais, cujas médias e coeficientes de variação são mostrados na tabela abaixo, calcule a probabilidade de S assumir valores maiores que 0.20.

Variável Média COV P 1.00 0.10 B 6.00 0.00 I 0.60 0.10

M 32.0 0.15

2.7 - Média e Variância de Uma Função Genérica

Considere a variável aleatória Z definida como ( )Z g X X Xn= 1 2, , , (2.74) onde g(.) é uma função qualquer das variáveis aleatórias Xi (normais ou não). Assumindo-se que as variáveis Xi são estatisticamente independentes, a média e a variância exatas de Z são dadas por

( ) ( ) ( ) ( )E Z g X X X f x f x dx dxn x xn n n=−∞

∞

−∞

∞

∫∫ 1 2 1 1 1, , (2.75)

e ( ) ( ) ( )( )Var Z E Z E Z= −2 2 (2.76)

onde

( ) ( ) ( ) ( )E Z g X X X f x f x dx dxn x xn n n2

1 22

1 1 1=−∞

∞

−∞

∞

∫∫ , , (2.77)

Deve-se observar que nas expressões (2.75) e (2.77) é necessário avaliar uma integral n-dimensional que, dependendo do caso, pode ser uma tarefa bastante pesada. Para evitar tal integração uma aproximações da média e da variância de Z podem ser obtidas através da linearização ( )g X X Xn1 2, , , em torno da média das variáveis aleatórias, através da série de Taylor, i.e.,


35

( ) ( ) ( )Z g X

g X X XxX X Xn i Xi

i

nn

i≈ + −

=∑µ µ µ µ

∂

∂1 21

1 2, , ,, ,

(2.78)

Usando o que foi apresentado na seção (2.5.2) tem-se então que ( ) ( )E Z g X X Xn≈ µ µ µ1 2

, , , (2.79)

e

( ) ( )Var Z

g X X Xx

n

iX i

=

∑ ∂

∂σ1 2

22, , (2.80)

Notar mais uma vez que além das expressões (2.79) e (2.80) serem valores aproximados, a distribuição de probabilidades de Z não pode ser definida.

2.8 - Correlação entre Duas Funções Lineares de Variáveis Aleatórias

Dado um conjunto de variáveis aleatórias ( )X X Xn1 2, , , e duas outras variáveis aleatórias Y e Z que são funções lineares das mesmas, i.e.,

Y a a Xi ii n

n

= +=∑0 (2.81)

e

Z b b Xi ii n

n

= +=∑0 (2.82)

O coeficiente de correlação entre Y e Z pode ser calculado como:

ρσ σY Z

Y Z

Cov Y Z,

( , )= (2.83)

onde Cov Y Z E Y Z E YZ E Y E ZY Z( , ) [( )( )] ( ) ( ) ( )= − − = −µ µ (2.84)

Cov Y Z a bi ii

n

i j Xi Xji

n

( , ) ,===∑∑

11

ρ σ σ

e


36

σ σ

σ σ

Y i Xii

n

Z i Xii

n

a

b

=

=

=

=

∑

∑

2 2

1

12

2 2

1

12

(2.85)

Notar que na equação (2.84) o coeficiente de correlação de uma variável com ela mesma é um, ou seja, ρi i, .= 10 . Também deve ser observado que a correlação entre Y e Z independe do tipo de distribuição de probabilidades das variáveis. Exercício 2.6: Dadas as variáveis aleatórias Y e Z, onde Y = S + 2T + 4W - 2.5R Z = 1.5S + 2W - R e sabendo-se que S=T=W=R=N(1,0.2) e são estatisticamente independentes, calcule a) a probabilidade de Y ser maior que 6.0; b) a probabilidade de Z ser maior que 4.0 e menor que 5.0; c) a coeficiente de correlação entre as variáveis Y e Z.


37

2.9 - Distribuições Normais Equivalentes

Para uma variável aleatória X, cuja distribuição de probabilidades não é normal, uma distribuição normal equivalente num ponto x∗ pode ser obtida, igualando-se as funções cumulativa e densidade de probabilidades de uma normal e da distribuição real de X no referido ponto. Este procedimento é ilustrado na Figura (2.15). Obter uma normal equivalente significa obter a média e o desvio padrão desta distribuição. Estas grandezas são calculadas através da resolução do seguinte sistema de equações:

Φ( ) ( )x F xXN

XN X

∗∗−

=µ

σ

(2.86)

1σ

φµ

σXN

XN

XN X

x f x( ) ( )∗

∗−=

onde φ(.) e Φ(.) correspondem, respectivamente, às funcões densidade e cumulativa da distribuição normal padrão, fX (.) e FX (. ) correspondem, respectivamente, às funcões densidade e cumulativa da variável X e σ µX

NXNe são, respectivamente, a média e desvio padrão da normal

equivalente no ponto x∗ .

Figura 2.15 - Princípio da Normal Equivalente A solução do sistema de equações (2.86) é dada por

[ ]{ }

[ ]σ

φ

µ σ

XN X

X

XN

XN

X

F x

f x

x F x

=

= −

− ∗

∗

∗ − ∗

Φ

Φ

1

1

( )

( )

( )

(2.87)

sendo que Φ−1(.) corresponde a inversa da distribuição cumulativa normal padrão. Em outras palavras, Φ−1( )p corresponde ao valor da variável reduzida cuja probabilidade de ocorrerem valores menores ou iguais a ela seja igual a p.


38

Exemplo 2.2: Uma variável aleatória Y tem média ( µ Y ) 10.00 e desvio padrão (σ Y ) 2.00 e sua distribuição de probabilidades é uma Tipo I para valores máximos. Calcule a média e o desvio padrão da normal equivalente no ponto y∗ = 14 00. . Solução A PDF e a CDF de uma distribuição Tipo I para valores máximos são f y y u y uF y y u

Y

Y

( ) exp( ( ) exp( ( )))( ) exp( exp( ( )))

= − − − − −= − − −α α α

α

onde

απ

σπ

µα

= = =

= − = − =

61

61

2 000 64128

0 5772 10 00 0 57720 64128

910

Y

Yu

..

. . ..

.

Desta forma f y f

F y FY Y

Y Y

( ) ( . ) .

( ) ( . ) .

*

*

= =

= =

14 0 0 026522

14 0 0 95774

Para encontrarmos a normal equivalente temos que resolver [ ]Φ− ∗1 F yY ( ) . Usando uma

tabela de distribuição normal padrão tem-se

[ ] [ ] [ ]Φ Φ Φ− ∗ − −= = =1 1 114 00 0 95774 17258F y FY Y( ) ( . ) . .

Lembrando que

φπ

( ) exp( )x x= −12

12

2

tem-se que

[ ]{ }φ φΦ− ∗ = =1 17258 0 089978F yY ( ) ( . ) . e assim


39

[ ]{ }σ

φYN Y

Y

F y

f y= = =

− ∗

∗

Φ 10 0899780 026522

3 3927( )

( )..

.

[ ]µ σYN

YN

Yy F Y x= − = − =∗ − ∗Φ 1 14 00 3 3927 17258 8144976( ) . . . .

são os parâmetros da distribuição normal equivalente. Exercício 2.7: Demonstrar que a média e o desvio padrão de uma distribuição normal equivalente a uma variável aleatória X lognormal, com parâmetros λ e ξ , no ponto x∗ , correspondem respectivamente a : µ λ

σ ξXN

XN

x x

x

= − +

=

∗ ∗

∗

( ln )1

Exercício 2.8 : Uma variável aleatória X foi observada durante um ano. Os valores observados da mesma com o respectivo número de ocorrências são indicados na tabela abaixo: X 0.00 -

0.50 0.50 - 1.00

1.00 - 1.50

1.50 - 2.00

2.00 - 2.50

2.50 - 3.00

3.00 - 3.50

3.50 - 4.00

4.00 - 4.50

4.50 - 5.00

No. de ocorr.

113318 192959 154047 85294 41072 16850 7269 2914 1312 585

X 5.00 - 5.50

5.50 - 6.00

6.00 - 6.50

6.50 - 7.00

7.00 - 7.50

7.50 - 8.00

8.00 - 8.50

8.50 - 9.00

9.00 - 9.50

9.50 - 10.00

No. de ocorr.

266 116 51 20 18 3 5 1 2 2

A partir dos dados acima : a) ajuste uma distribuição de probabilidades para a variável X; b) estabeleça a distribuição (assint.) do valor máximo extremo centenário. Sugestão: use o Mathcad ou software similar

2.10 - Referências Bibliográficas

1. Ang, A.H-S. and Tang, W.H. - Probability Concepts in Engineering Planning and Design, Vol. I, John Willey and Sons, New York, 1975.

2. Ang, A.H-S. and Tang, W.H. - Probability Concepts in Engineering

Planning and Design, Vol. II, John Willey and Sons, New York, 1984.

COC799-Confiabilidade Estrutural PEC/COPPE/UFRJ Alguns Conceitos em Confiabilidade Estrutural

43

3. ALGUNS CONCEITOS EM CONFIABILIDADE ESTRUTURAL. O principal objetivo da confiabilidade estrutural é a avaliação da segurança de uma estrutura, ou a avaliação da probabilidade de que a mesma não falhe em atender aos objetivos para os quais ela foi projetada, durante a sua vida útil. Na realidade não existe estrutura 100% confiável, sempre existe o risco dela vir a falhar, porém, ele deve ser mantido em níveis aceitáveis de acordo com critérios de segurança e economia. A confiabilidade de uma estrutura, C, é definida como o complemento da probabilidade de falha pf, ou seja, C pf= −1 (3.1) Como geralmente pf é pequena para estruturas, na ordem de 10-3 a 10-6, é comum usar pf como a medida de confiabilidade de uma estrutura. A avaliação de pf é objeto do capítulo 4, porém, a seguir serão apresentados alguns tópicos que são introdutórios a tal capítulo. Maiores detalhes sobre os tópicos a serem apresentados a seguir podem ser encontrados nas referências [1-3].

3.1 - Definição de Probabilidade de Falha

Como já foi dito anteriormente, a probabilidade de falha é uma medida muito importante na análise de segurança de estruturas. A avaliação da probabilidade de falha é baseada numa função de performance do sistema em estudo. Esta função também é conhecida como função de estado limite, ou função de falha ou margem de segurança e é denominada ( )G U (ou simplesmente Z), onde U é um vetor que inclui todas as variáveis aleatórias consideradas na análise. indicado na Figura (3.1) para o caso bidimensional. O limite ( )G U = 0 0. é conhecido como superfície de falha.


44

Figura 3.1 - Definição da função de falha

Para a avaliação da segurança de uma estrutura, o interesse recai justamente na possibilidade de acontecerem falhas, ou seja, na probabilidade da função de falha assumir valores pertencentes ao domínio de falha. Esta probabilidade é usualmente definida como probabilidade de falha e é definida por ( )pf G= ≤ P ( ) .U 0 0 (3.2) Sabendo-se que fu U( ) representa a função densidade de probabilidades conjunta de todas as variáveis randômicas U envolvidas na análise, a probabilidade de falha pode ser reescrita como: pf f d

F= ∫ u U u( ) (3.3)

onde F indica o domínio de falha ( G( )U ≤ 0), conforme ilustra a Figura (3.2) para o caso bidimensional (duas variáveis aleatórias). A avaliação da expressão (3.3) não é muito simples, uma vez que ela envolve a avaliação de uma integral n-dimensional num domínio complexo ( G( ) .U ≤ 0 0 ), onde n é o número de variáveis aleatórias pertencentes a U . Mesmo com o desenvolvimento de técnicas modernas de integração numérica e com computadores cada vez mais eficientes, na prática a avaliação da equação (3.3), por integração, tem se restringido a problemas com 5 a 6 variáveis aleatórias no máximo. Devido a isto outros métodos para avaliar a probabilidade de falha foram desenvolvidos, como será visto mais adiante. A


45

avaliação da probabilidade de falha de estruturas, geralmente, é identificada simplesmente como análise de confiabilidade estrutural.

Figura 3.2 - Representação gráfica da probabilidade de falha A seguir será apresentado de forma sucinta o índice de confiabilidade de segunda ordem e depois disto, para facilitar o entendimento dos métodos de avaliação de pf, será apresentada em detalhes a análise de confiabilidade de um sistema do tipo R-S (resistência - solicitação).

3.2 - Índice de Confiabilidade de Segunda Ordem

Devido às dificuldades ilustradas acima, as atividades iniciais dos pesquisadores em confiabilidade estrutural, levaram ao uso do chamado índice de confiabilidade de segunda ordem, βSO , na avaliação da segurança de uma estrutura. Este índice baseia-se simplesmente na média e no desvio padrão das variáveis U aleatórias e também no coeficiente de correlação entre elas (não considera o tipo de distribuição das variáveis) e é definido como

( )( )( )

βSOE G

Var G=

U

U( ) (3.3)

onde E(G(U)) e Var(G(U)) são, respectivamente, o valor esperado e a variância de G(U) que podem ser calculados de acordo com o item 2.7 deste trabalho. Como pode ser observado na figura (3.3) este índice mede a distância entre o valor médio de G(U) e zero em unidades de desvios padrões. Porém


46

como já ilustrado no item (2.7), para uma função qualquer os valores calculados da média e da variância de G(U) são aproximados, pois os mesmos dependem do ponto onde foi linearizada a função. O índice βSO é somente invariante para o caso de funções lineares. Para análise de confiabilidade, a expressão (3.3) apresenta certas inconsistências. Uma delas é que para uma determinado problema que pode ter sua função de falha representada por duas funções de estado limite diferentes, porém equivalentes, os índices de confiabilidade obtidos para ambas podem ser diferentes, como ilustrado no exemplo (3.1). Exemplo 3.1 Suponha uma barra de treliça com resistência R e solicitação S, ambas aleatórias onde são conhecidos os seus valores médios (µR e µS ) e os respectivos desvios padrões (σR e σS ). Uma função de falha para esta barra pode ser simplesmente definida como Z R S= − Para este caso, usando as equações (3.3), (2.79) e (2.80), o índice de confiabilidade de segunda ordem é dado por

βµ µ

σ σSO

R S

R S

=−

+2 2

Observe que uma outra função de falha, significando a mesma coisa, pode ser simplesmente definida como

Z RS

=

ln

porém para esta expressão tem-se que

βµ µ

σµ

σµ

µ µ

δ δSO

R S

R

R

S

S

R S

R S

=−

+

=−

+

ln( ) ln( ) ln( ) ln( )2 2 2 2

onde δR e δS são os coeficientes de variação de R e S, respectivamente. Como pode se observar βSO não é o mesmo e portanto inconsistente uma vez que o problema é o mesmo.


47

Figura 3.3 - Ilustração do índice de confiabilidade de segunda ordem

O índice de confiabilidade de segunda ordem foi simplesmente o começo da análise de confiabilidade estrutural uma vez que o mesmo significa uma medida de segurança e com ele não é possível avaliar pf (exceto o caso de uma função linear de variáveis normais). As inconsistências foram sendo superadas e permitiram o desenvolvimento de métodos eficientes para avaliação da probabilidade de falha, como será visto no capítulo seguinte. Portanto, o índice βSO tem um sentido histórico e por isto foi incluído neste curso.

3.3 - Sistemas do Tipo R-S (Resistência-Solicitação)

A análise de confiabilidade estrutural pode ser vista como um problema de suprimento versus demanda, i.e., um problema de confiabilidade pode ser definido como avaliação da probabilidade de que a demanda (i.e., a carga máxima na estrutura) exceda a capacidade de suprimento (i.e., a resistência da estrutura), durante a vida útil da mesma. Genericamente para um elemento de treliça podemos definir R = capacidade de suprimento = resistência do elemento S = demanda = carga máxima na estrutura Assim a função de falha ( )G U , com ( )U = R S, , pode ser escrita como G Z R S( )U = = − (3.4)


48

É também comum na análise de confiabilidade estrutural definir ( )G U ou Z como “margem de segurança”. Assumindo que as distribuições de probabilidades de R e S são conhecidas e estatisticamente independentes, a probabilidade de falha pode ser calculada como

pf f r f s drds F s f s dsR S R

s

S= =−∞

∞

−∞−∞

∞

∫∫∫ ( ) ( ) ( ) ( ) (3.5)

ou como

pf f r f s dsdr F r f r drR S Sr

R= = −−∞

∞∞

−∞

∞

∫∫∫ ( ) ( ) ( ( )) ( )1 (3.6)

onde f rR( ) e f sS( ) são as funções densidade de probabilidades e F rR( ) e F sS( ) são as funções cumulativas de probabilidades de R e S, respectivamente. Se as distribuições de R e S são normais e relembrando que uma combinação linear de variáveis aleatórias normais resulta numa variável normal, tem-se

pf P Z Z

Z= ≤ =

−

= −( . ) . ( )0 0 0 0

Φ Φµ

σβ (3.7)

onde µ µ µZ R S= − , σ σ σZ R S= +2 2 , Φ(.) a distribuição cumulativa normal padrão (ver Apêndice A) e β é o chamado índice de confiabilidade, definido como

βµ µ

σ σ=

−

+R S

R S2 2

(3.8)

Deve-se observar que a avaliação da probabilidade de falha utilizando a equação (3.8) é bem mais simples que empregar a expressão (3.5) ou a (3.6). A equação (3.8) representa a mesma coisa que as outras duas, porém devido as propriedades da distribuição normal, o cálculo se torna bem mais simples.

3.3.1 - Espaço Reduzido

A avaliação da probabilidade de falha para um sistema R-S, com R e S normais, pode ser também feito utilizando as variáveis reduzidas (variáveis normais com média 0 e desvio padrão 1, conforme item 2.2.1), i.e.,


49

s S S

S=

− µσ

(3.9)

r R R

R=

− µσ

No espaço das variáveis reduzidas a função de falha Z (ou G(U)) pode ser escrita como Z r rR R S S= + − −σ µ σ µ (3.10) Na Figura (3.4) é mostrada a superfície de falha ( ( )G U = 0 0. ) no espaço das variáveis reduzidas.

Figura 3.4 - Representação da superfície de falha no espaço reduzido

Através da geometria analítica é fácil demonstrar que a distância da reta ( )G U = 0 0. até a origem, no espaço das variáveis reduzidas, é igual a

d R S

R S

=−

+

µ µ

σ σ2 2 (3.11)

que justamente coincide com o índice de confiabilidade β definido na equação (3.8), a distância do ponto sobre a superfície de falha mais próximo a origem até a origem é o próprio índice de confiabilidade. Deve ser observado que o ponto sobre a superfície de falha e mais próximo a origem ( r s∗ ∗, ) é também o ponto sobre a reta, cujo valor da função densidade de probabilidades conjunta ( f r s r sR S, ( , ) ( ) ( )= φ φ ) das duas variáveis é maior. Este ponto é chamado de ponto de projeto ou ponto mais provável de falha.


50

Os resultados acima podem ser estendidos facilmente para um número n qualquer de variáveis aleatórias normais estatisticamente independentes

( )U Ni i i= µ σ, , i.e., usando U para identificar as variáveis aleatórias envolvidas na análise e u para as correspondentes variáveis reduzidas, tem-se

( )G a a Ui ii

n

U = +=∑0

1

(3.12)

onde o índice confiabilidade é dado por

β

µ

σ

=

+=

=

∑

∑

a a

a

i Uii

n

i Uii

n

01

2 2

1

(3.12)

A expressão (3.12) corresponde à distância do hiperplano, que representa a superfície de falha, até a origem no espaço das variáveis reduzidas. É possível também demonstrar que as coordenadas do ponto mais próximo à origem, u∗ , no espaço das variáveis reduzidas são dadas por ui i

∗ = −α β (3.13) onde α i é a componente do vetor normal à superfície de falha, calculado no ponto de projeto, e definida por

α

∂∂

∂∂

ii

ii

n

Zu

Zu

=

=∑

2

1

(3.14)

onde ∂∂

Zui

é a componente relacionada à variável ui , do vetor gradiente da

função de falha Z, i.e. ∂∂Zu

, avaliado no espaço das variáveis reduzidas e no

ponto de projeto. Em outras palavras, α i é o cosseno diretor do vetor que une o


51

ponto de projeto à origem com relação ao eixo da variável ui , como mostra a Figura (3.5). O ponto de projeto no espaço original, pode ser obtido através da generalização da expressão (3.9), ou seja, U ui i i i

∗ ∗= +σ µ (3.15) De acordo com as equações (3.4) e (3.10), observa-se que o gradiente da função de falha no espaço reduzido se relaciona ao gradiente avaliado no espaço original através da seguinte expressão

∂∂

σ∂∂

Zu

ZUi

ii

= (3.16)

Figura 3.5 - Relações geométricas nos espaço das variáveis reduzidas

3.4 - Classificação das Incertezas na Análise de Confiabilidade Estrutural

As várias incertezas relacionadas ao projeto, fabricação e uso de uma estrutura podem ser classificadas em incertezas normais e incertezas associadas a erros humanos e outros fatores que independem do engenheiro estrutural [2-3]. As incertezas normais podem ser ainda subdivididas em incertezas inerentes ou fundamentais e incertezas devido ao incompleto ou imperfeito conhecimento na avaliação das cargas, solicitações e resistência de uma estrutura. As incertezas inerentes ou fundamentais resultam da variabilidade natural de uma determinada variável, por exemplo, altura de onda, velocidade do vento, etc. Estas incertezas não podem ser eliminadas com um maior número


52

de informações. As incertezas devido ao imperfeito ou incompleto conhecimento, também denominadas como epistêmicas, estão diretamente relacionadas à quantidade limitada de dados para definir estatisticamente as incertezas fundamentais e à imperfeição nos modelos matemáticos usados para calcular cargas, solicitações e a capacidade resistente de uma estrutura. Estas incertezas podem ser reduzidas a partir de um número maior de informações ou através do emprego de modelos matemáticos mais precisos. Incertezas associadas a erros humanos e outros fatores, tais como sabotagem, colisões, etc., estão presentes no projeto, execução, manutenção e uso de uma estrutura e podem ser reduzidas através de mecanismos como controle de qualidade, inspeções, sistemas de alarme, etc. As incertezas normais podem ser representadas através de variáveis aleatórias enquanto que as incertezas associadas a fatores humanos não. Estas últimas podem ser tratadas através de uma taxa de ocorrência a partir de um histórico de observações e contempladas no âmbito da confiabilidade de sistemas. A análise de confiabilidade estrutural determina a probabilidade de uma estrutura falhar associada às incertezas normais e não contempla aquelas relacionadas a erros humanos. Assim esta probabilidade constitui-se de apenas uma parcela que contribui para a probabilidade “real”de falha de uma estrutura. Por este motivo, a probabilidade de falha calculada pela confiabilidade estrutural não pode ser comparada a valores obtidos a partir de falhas acontecidas com estruturas.

3.5 - Referências Bibliográficas

1. Ang, A.H-S. and Tang, W.H. - Probability Concepts in Engineering Planning and Design, Vol. II, John Willey and Sons, New York, 1984.

2. Madsen, H.O., Krenk, S., Lind, N.C. - Methods of Structural Safety,

Prentice-Hall Inc., New Jersey, 1986. 3. Melchers, R.E. - Structural Reliability: Analysis and Prediction, Ellis

Horwood, Chichester, 1987.

COC796-Confiabilidade Estrutural PEC/COPPE/UFRJ Métodos Analíticos para Análise de Confiabilidade

53

4. MÉTODOS ANALÍTICOS PARA ANÁLISE DE CONFIABILIDADE ESTRUTURAL De acordo com o que foi definido anteriormente, um dos objetivos da confiabilidade é a avaliação da integral apresentada na equação (3.3). Para problemas reais , onde podem existir várias variáveis dependentes uma das outras e não-normais e a função de falha complexa, a avaliação numérica da equação (3.3) é não é tarefa fácil de ser executada. Por este motivo, métodos alternativos são geralmente empregados na sua avaliação. Estes métodos se dividem basicamente em métodos analíticos e métodos baseados na simulação de Monte Carlo. A seguir serão apresentados os métodos analíticos, conhecidos como FORM e SORM.

4.1 - Método FORM (First Order Reliabilty Method)

Como foi visto no item (3.3.1), no espaço reduzido das variáveis normais padrão estatisticamente independentes e para uma função de falha linear, a confiabilidade pode ser facilmente obtida através da distância da função até a origem. Esta é a idéia principal do método FORM. No método FORM, as variáveis aleatórias U, cujas distribuições são quaisquer e podem ser dependentes entre si ou não, são transformados em variáveis V normais padrões estatisticamente independentes. A função de falha G(U) é escrita em função das variáveis V como g(V). Depois disto, a superfície de falha g(V)=0.0 é aproximada por uma superfície linear (ou hiperplano) no ponto com a menor distância até a origem, identificado como V ∗ (é o ponto de projeto no espaço das variáveis reduzidas). A partir disto a probabilidade de falha, de acordo com o que foi apresentado no item 3.3, pode ser simplesmente calculada como pf = −Φ( )β (4.1)


54

onde β é a distância do ponto V ∗ até a origem e é calculado como

β = ∗V (4.2)

Da mesma forma que foi mostrado no item 3.3.1, temos que

V

V

∗

=

= −

= −∑α β

β αg vi ii

n

( )1

(4.3)

onde α é o vetor normal à superfície de falha no ponto de projeto. Na Figura (4.1) é ilustrado o procedimento de cálculo da probabilidade de falha pelo método FORM.

Figura (4.1) - Representação gráfica do método FORM

Deve ser observado que o método FORM é um método que calcula a probabilidade de falha de forma aproximada e dependendo da forma da função g(V) no espaço das variáveis reduzidas. Como mostra a Figura (4.2), esta aproximação pode ser a favor da segurança quando g(V) for convexa em torno do ponto de projeto ou ser contra a segurança no caso contrário. Porém, para


55

casos práticos de estruturas, a diferença entre valor real e o valor aproximado da probabilidade de falha é irrelevante. O principais desafios no método FORM são a busca ao ponto de projeto V ∗ e a transformação das variáveis em variáveis normais padrão. Como será visto a seguir, a transformação das variáveis pode ser feita utilizando a distribuições normais equivalentes e o ponto de projeto pode ser obtido através da solução de um problema de otimização (ou programação não-linear).

4.1.1 - Transformação de variáveis

Existem várias possibilidades para transformar as variáveis aleatórias U em variáveis normais padrão e estatisticamente independentes V. Porém, a metodologia com maior uso em confiabilidade estrutural, baseia-se na transformação de variáveis normais correlacionadas em variáveis em normais estatisticamente independentes. Este transformação é conhecida como transformação de Nataf [Kiureghian and Liu, 1986].

Figura (4.2) - Aproximação pelo FORM para superfícies côncavas e convexas

Se U contiver somente variáveis normais e estas forem correlacionadas entre si (ou não) um conjunto de variáveis normais padrão estaticamente independentes pode ser obtido pela seguinte transformação:

V U m= −− Γσ 1( ) (4.4)


56

onde m é o vetor com as médias das variáveis U, σ é uma matriz diagonal contendo aos desvios padrões das variáveis U e Γ = −L 1 , sendo L a matriz triangular inferior obtida da decomposição de Choleski da matriz dos coeficientes de correlação de U, e é expressa por

L =

LL L

L L Ln nn

11

12 22

1 2n

0 0 00 0

. . . ..

(4.5)

onde n é o número de variáveis aleatórias envolvidas na transformação e os termos Lij são definidos como

LL

LL

r L L

L L

i i

ikkk

ik ijj

k

kj

ii ijj

i

11

1 1

1

1

2

1

1

10

1

1

==

= −

=

−

∑

∑

.ρ i = 1, n

1< k < i

= - i > 1=

-

(4.6)

onde ρij é o coeficiente de correlação entre as variáveis Ui e Uj . Como será visto no item seguinte, para a determinação do ponto de projeto é necessário a definição do Jacobiano da transformação, ou seja,

J VU

=∂∂

(4.7)

A partir da equação (4.4) temos

J = −Γ σ 1 (4.8) Na maioria dos casos as variáveis não são normais e para estes casos, então, uma transformação em normal equivalente, como apresentada no item 2.9, pode ser empregada para podermos operar com a equação (4.4). Deve ser colocado que a transformação em normais equivalentes, apresentada no item


57

2.9, não considera casos onde as variáveis são correlacionadas. No caso de variáveis correlacionadas também é possível usar a mesma transformação para obtermos normais equivalentes, desde que os coeficientes de correlações entre as variáveis originais sejam corrigidos para coeficientes de correlações entre as normais equivalentes. Sejam duas variáveis Ui e Uj com distribuições de probabilidades quaisquer e dependentes entre si, cuja dependência é definida pelo coeficiente de correlação ρij , então, o coeficiente de correlação equivalente entre as duas distribuições normais equivalentes às variáveis Ui e Uj pode ser definido como

ρ ρijE

ijF= (4.9) onde F é um valor que depende somente de ρij e dos coeficientes de variação das variáveis Ui e Uj . Este valor não depende do ponto onde transformação está sendo realizada. Kiureghian and Liu [1986] desenvolveram expressões analíticas para o fator F para um grande número de distribuições de probabilidades. Uma vez definidas as normais equivalentes para as variáveis U e as suas correlações equivalentes, a expressão (4.4) pode ser então empregada para obter variáveis normais padrões estatisticamente independentes V. A transformação de Nataf exposta anteriormente simplesmente opera com a distribuição marginal das variáveis aleatórias e com o coeficiente de correlação entre as variáveis, ou seja, a função densidade de probabilidades conjunta fu U( ) não é conhecida. Por este motivo, se diz que tais informações, distribuição marginal e coeficientes de correlação, são informações probabilísticas incompletas. Porém, este é o caso da grande maioria das aplicações práticas. No caso onde as informações probabilísticas completas são conhecidas, ou seja fu U( ) é conhecida, a transformação de Rosenblatt [Madsen, et al. 1986] é a mais indicada para a transformação das variáveis V em U. Esta transformação é definida como

( )( )

( )

V F U

V F U U

V F U U U U

U

U

n Un n n

11

1 1

21

2 2 1

11 2

=

=

=

−

−

−

Φ

Φ

Φ

( )

( / )

( / )

(4.10)


58

onde F U U U UUi i i( / )1 2 1 − é a função cumulativa de probabilidades da variável Ui

condicionada a valores conhecidos da variáveis U1, U2, ..., Ui-1 e Φ−1(.) é o inverso da função cumulativa normal padrão. Como poucas vezes na prática estão disponíveis os dados na forma adequada para serem utilizados na transformação de Rosenblatt, a transformação de Nataf é a mais usada. Mesmo para os casos onde distribuição de probabilidade conjunta das variáveis é conhecida, o modelo de Nataf pode ser empregado, utilizando alguns detalhes a mais do que foi apresentado anteriormente. Este tópico foge ao escopo deste curso mas pode ser visto com maiores detalhes em [Kiureghian and Liu, 1986].

4.1.2 – Pesquisa do Ponto de Projeto

Um dos passo fundamentais para o cálculo da probabilidade de falha pelo método FORM é o de encontrar o ponto V ∗ sobre a superfície de falha mais próximo à origem. Isto pode ser formulado como um problema de otimização P1 (ou programação não-linear) com uma restrição tal que

P 10

:( )

minimizesujeito a g

VV =

(4.11)

Existem vários algoritmos de otimização para resolver este problema. O algoritmo mais usado na análise de confiabilidade estrutural é aquele desenvolvido por Hasofer and Lind [1974] e aprimorado po Rackwitz and Fiessler [1978]. Este algoritmo é comumente identificado como HLRF e é resumido pela seguinte expressão recursiva:

[ ]VV

V V V VK

K

K T K K K T

gg g+ =

∇∇ − ∇1

21 g

( )( ) ( ) ( ) (4.12)

onde ∇g K( )V é o gradiente da função de falha no espaço reduzido e g K( )V é o valor da função de falha, ambos avaliados no ponto V K . Para a utilização do método HL-RF, são de extrema utilidade as seguintes relações

g( ) ( )V U G=

V U m = −−Γσ 1( ) (4.13)


59

∇ = ∇−g GT( ) ) ( )V J U ( 1 onde ∇G(U) é o gradiente da função de falha no espaço original avaliado no ponto U. As demais variáveis já foram definidas previamente. A experiência tem mostrado que embora na maioria das vezes este método alcance a convergência rapidamente, ele pode não convergir em algumas situações.

4.2 - Método SORM (Second Order Reliabilty Method)

A idéia do método analítico SORM é basicamente a mesma do FORM. A diferença entre ambos consiste na aproximação feita para superfície de falha no espaço reduzido. No SORM, ao invés de se fazer uma superfície linear no ponto de projeto V ∗ se faz uma aproximação por uma superfície quadrática, como mostra a Figura (4.3).

Figura 4.3 - Ilustração dos Métodos Analíticos FORM e SORM


60

Para esta aproximação várias expressões para o cálculo da probabilidade de falha pf foram propostas, porém a mais simples delas é a fórmula de Breitung [Breitung, 1984]

( ) ( )pf i

n

i= − +=

−− Φ Πβ βκ

1

11 21 / (4.14)

onde κ i são as curvaturas principais da superfície de falha no ponto de projeto V * e n o número de variáveis randômicas na análise. A avaliação de κ i é feita segundo procedimentos apresentados em [Liu and Kiureghian, 1989; Madsen et al., 1986; Breitung, 1984]. Esses procedimentos envolvem a avaliação das derivadas de segunda ordem da função de falha no ponto de projeto. A expressão (4.14) é uma aproximação assintótica, i.e., ela converge para o valor exato para valores pequenos de pf. A solução exata para a probabilidade correspondente a uma superfície de estado limite quadrática foi recentemente obtida por Tvedt [1990]. Esta solução é um pouco mais complicada que a expressão (4.14) pois a mesma envolve uma integração envolvendo números complexos.

4.3 - Algoritmo para Análise de Confiabilidade pelos Métodos FORM e SORM

De acordo com o que foi apresentado anteriormente, a análise de confiabilidade pelos métodos analíticos FORM e SORM podem ser resumida pelo seguinte algoritimo: 1) Avaliar as correlações equivalentes entre as variáveis e montar a matriz Γ; 2) Escolher um ponto de partida U no espaço original (geralmente as médias); 3) Avaliar as médias e desvios padrões das normais equivalentes no ponto de partida através das expressões

( )( ){ }

( )σ

ϕUiN Ui i

Ui i

F U

f U=

-1Φ *

*

( )( )µ σUiN

i UiN

Ui iF U U = − −* *Φ 1

e depois montar as matrizes σ e m, com os respectivos desvios padrões e médias das normais equivalentes; 4) Avaliar a função de falha G(U), o Jacobiano e o gradiente de G(U) no espaço reduzido através das expressões


61

g( ) ( )V U G= J 1= −Γσ ∇ = ∇−g GT( ) ) ( )V J U ( 1 5) Transformar o ponto de partida para o espaço reduzido usando V J(U m)= − 6)Avaliar o novo ponto V next através do algoritmo HLRF

[ ]VV

V V V Vnext g =∇

∇ − ∇1

2gg gT T

( )( ) ( ) ( )

7) Avaliar o índice de confiabilidade β = V next

8) Avaliar o novo ponto U next no espaço original através da seguinte expressão

( )U U J V Vnext T next= + −−1 ( )

9) Tomar U next como novo ponto de partida e repetir os passos 3 a 8 até a convergência, i.e.,

V V

V

next

nextTOL

−≤

10) Avaliar a probabilidade de falha pelo método FORM por pfFORM = −Φ( )β ou pelo método SORM como

( ) ( )pf SORM

i

n

i = − +=

−−Φ Πβ βκ

1

11 21 /

A avaliação da probabilidade de falha pelo método FORM envolve além da avaliação da função de falha nos pontos calculados pelo algoritmo a avaliação das suas derivadas para compor o vetor gradiente. Para problemas


62

práticos o cálculo destas derivadas pode ser feito numericamente via diferenças finitas. Este cálculo envolve no mínimo n avaliações a mais da função de falha por iteração do algoritmo HLRF, onde n é o número de variáveis aleatórias. Portanto, para problemas onde a função de falha G(U) é computacionalmente cara de ser avaliada é melhor se possível trabalhar com derivadas analíticas e não numéricas. No SORM é necessário calcular as derivadas de segunda ordem de G(U) para a avaliação das curvaturas no ponto de projeto. Embora o cálculo destas derivadas possa ser feito somente quando houve a convergência do algoritmo HLRF, valem as observações feitas anteriormente para funções de falha que requerem elevados tempos de computador para serem avaliadas. Na grande maioria dos problemas práticos apenas o método FORM tem sido usado. Exemplo 4.1 Uma barra com resistência R está submetida a uma solicitação S. Sabendo-se que R é uma variável aleatória com distribuição lognormal com média 10.0 e desvio padrão 2.0 e S é uma variável aleatória com distribuição normal com média 5.0 e desvio padrão 2.0, calcule a probabilidade da barra falhar. Solução Definição da função de falha: U

U=

= −( , )

( )R S

G R S

Parâmetros da distribuição de R

ξσµ

RR

R

= +

=ln .1 0198

2

2 λ µ ξR R= − =ln( ) .12

2 2832

Equações para cálculo das normais equivalentes Para R : µ λR

NRR R= − +( ln )1 e σ ξR

NRR=

Para S: µ µRN

R= e σ σRN

R= Passos do algoritmo


63

1) Γ =

1 00 1

2) Ponto de Partida ( )U T = 10 5, 3) Usando as expressões acima µ λR

NRR R= − + =( ln ) .1 9 804 ; σ ξR

NRR= = 198.

µ µSN

S= = 5 0. ; σ σSN

S= = 2 0.

e σ σσ

=

=

RN

SN

00

198 00 2 0.

.; ( ) ( )m T

RN

SN= =µ µ, . , .9 804 5 00

4) Avaliação da função de falha e seus gradientes no espaço original e reduzido ( )G R SU = − = − =10 0 5 00 5 00. . . ; ( ) ( )G GV U= = 5 00.

J = =

−Γσ 1 0 505 00 0 500

..

; ( )J 1− =

T 198 00 2 00.

.

( ) ( )∆G TU = −1 1, ; ∇ = ∇ =−

−g GT( ) ) ( )..

V J U ( 1 1982 00

5) Ponto de partida no espaço reduzido

V J U m = − =

( )

.

.0 0990 000

6) Novo ponto de projeto

[ ]VV

V V V Vnext g =∇

∇ − ∇ =−

1 120112132g

g gT T

( )( ) ( ) ( )

..

7) Índice de confiabilidade β = V next β = 1707.

8) Ponto de projeto no espaço original


64

( )U U J V V1next T next= + − =

− ( )..

7 4267 426

A partir de agora o processo se repete até a convergência. O resumo da análise é mostrado na tabela abaixo.

Iteração Variável Ponto de Projeto U

σUiN µUi

N β Novo ponto de Projeto

1 R 10.00 1.980 9.804 1.707 7.426 S 5.000 2.000 5.000 7.426

2 R 7.426 1.471 9.490 1.809 7.914 S 7.426 2.000 5.000 7.914

3 R 7.914 1.567 9.610 1.814 7.856 S 7.914 2.000 5.000 7.856

4 R 7.856 1.556 9.598 1.814 7.864 S 7.856 2.000 5.000 7.864

5 R 7.864 1.557 9.599 1.814 7.863 S 7.864 2.000 5.000 7.863

onde a probabilidade de falha pelo método FORM é dada por pfFORM = − = − =Φ Φ( ) ( . ) .β 1814 0 035 O valor exato da probabilidade de falha, calculado pelas equações (3.5) ou (3.6) é pf = 0 032. Exemplo 4.2 Seja a função de performance ( )G YW MU = −

onde U T Y W M= ( , , ) com as seguintes características estatísticas

Variável Média COV (δ) Distribuição Y 40.00 0.125 Lognormal W 50.00 0.050 Lognormal


65

M 1000.00 0.2000 Ext. Tipo I Assumindo que Y e W são correlacionados com ρY W, .= 0 40 . Calcule a probabilidade de G(U) assumir valores menores ou iguais a zero. Solução Passos do algoritmo 1) Cálculo das correlações equivalentes ρ ρY W

EY WF, ,=

F para duas distribuições lognormais (Liu and Kiureghian, 1986)

F Y W Y W

Y W W Y

=+

+ +=

ln( )

ln( )ln( ).,

,

1

1 11003

2 2

ρ δ δ

ρ δ δ

e ρY W

E, . . .= × =1003 0 40 0 4013

Com isto a matriz de correlação entre as variáveis é dada por

ρ =

1 0 4013 00 4013 1 0

0 0 1

..

Usando a expressão (4.6) tem-se

Γ = −

1 0 00 438 1092 0

0 0 1. .

2) Ponto de Partida ( )U T = 40 501000, , 3)usando as expressões as equações para transformação de normais equivalentes µY

N = 39 69. ; σYN = 4 98.

µWN = 49 94. ; σW

N = 2 50. µM

N = 966 09. ; σMN = 19123.


66

e σσ

σσ

=

=

YN

WN

MN

0 00 00 0

4 98 0 00 2 50 00 0 19123

..

.;

( ) ( )m T

YN

WN

MN= =µ µ µ, , . , . , .39 69 49 94 966 09

4)Avaliação da função de falha e seus gradientes no espaço original e reduzido ( )G YW MU = − = × − =40 50 1000 1000 00. ; ( ) ( )G GV U= = 1000 00.

J 1= = −

−Γσ0 20078 0 00 08797 0 4370 0

0 0 0 005229

.. .

.;

( )J 1− =

T4 9806 10026 0

0 2 2884 00 0 191229

. ..

.

( ) ( )∆G W YTU = −, , 1 ; ∇ = ∇ =−

−g GT( ) ) ( ).

..

V J U ( 1289 14915419123

5)Ponto de partida no espaço reduzido

V J U m = − = − −

( )...

0 062265 33 150 17732

E

6)Novo ponto de projeto

[ ]VV

V V V Vnext g =∇

∇ − ∇ =−−

12 2850 7231511

2gg gT T

( )( ) ( ) ( )

.

..

7)Índice de confiabilidade β = V next β = 2 8335.

8)Ponto de projeto no espaço original


67

( )U U J V V1next T next= + − =

− ( )...

28 3145 99

1255 09

A partir de agora o processo se repete até a convergência. O resumo da análise é mostrado na tabela abaixo.

Iteração Variável Ponto de

Projeto (U)

σUN

i µU

Ni β G(U) Novo

Ponto de

Projeto 1 Y 40.00 4.98 39.69 28.31 W 50.00 2.50 49.94 2.8330 1000.00 45.99 Z 1000.00 191.23 966.09 1255.09 2 Y 28.31 3.53 37.88 32.64 W 45.99 2.30 48.78 2.7460 48.87 47.42 Z 1255.09 286.43 893.82 1541.45 3 Y 32.64 4.06 39.02 33.69 W 47.42 2.37 49.87 2.6660 6.174 47.72 Z 1541.45 389.18 718.94 1607.46 4 Y 33.69 4.19 39.21 33.78 W 47.72 2.38 49.89 2.6644 0.3216 47.75 Z 1607.46 411.21 670.57 1612.99 5 Y 33.78 4.21 39.23 33.78 W 47.75 2.39 49.89 2.6644 0.0025 47.75 Z 1612.99 413.02 666.42 1613.28 6 Y 33.78 4.21 39.23 33.78 W 47.75 2.39 49.89 2.6644 3.93E-5 47.75 Z 1613.28 413.12 66.20 1613.30

A probabilidade de falha pelo método FORM é dada por pfFORM = − = − =Φ Φ( ) ( . ) .β 2 6644 0 003857 Exercício 4.1 Dada a seguinte função de performance ( )G dmax AF BFU = − − −2 ε


68

onde

( )U T A F B= , , ,ε cujas variáveis aleatórias são as seguintes

Variável Média COV (ou σ) Distribuição F 25.00 0.23 Lognormal A 0.00113 0.30 Tipo I (max.) B 0.0006 0.30 Lognormal ε 0.0 σ=0.10 normal

Assumindo que A e B são correlacionados com ρA B, .= 0 60 , calcule a probabilidade de G(U) ser menor ou igual a zero para dmax=1.0.

4.4- Medidas de Sensibilidade

O método analítico FORM fornece, além da probabilidade de falha, outras medidas de grande importância para análises práticas de confiabilidade. Estas medidas são conhecidas como medidas de sensibilidade. Existem várias medidas de sensibilidade, como pode ser visto em [Madsen, et al., 1986]. Neste curso somente serão comentadas algumas delas: fatores de importância, fatores de omissão e fatores de sensibilidade paramétricos. O fator de importância de cada variável aleatória i envolvida na análise de confiabilidade e definido por Ii i= α2 (4.15) onde α i é o cosseno diretor com relação a variável Ui do vetor normal a superfície de falha no ponto de projeto e no espaço das variáveis reduzidas. De acordo com o que foi definido no item 4.1.1

α iig

g=∆

∆

( )( )

*

*

VV

(4.16)

onde ∆g i( )*V é a componente do gradiente da função de falha no espaço das variáveis reduzidas avaliado no ponto de projeto V * . Os fatores de importância


69

indicam, como o nome próprio nome diz, qual é a importância relativa de cada variável no valor final da probabilidade de falha. As variáveis com fator de importância baixo podem ser consideradas como determinísticas na análise. Somente as variáveis com fatores de importância altos que efetivamente contribuem para a probabilidade de falha. Assim, para melhorar um projeto por exemplo, um investimento maior deveria ser feito sobre estas variáveis. O chamado fator de omissão está diretamente ligado ao fator de importância e é definido como a relação inversa entre o índice de confiabilidade atual e o índice de confiabilidade considerando que a variável aleatória Ui é determinística. Para variáveis estatisticamente independentes e o valor determinístico como sendo a média este fator é definido por

( )

γβ µ

β αUi

i Ui

i

U=

==

−

1

1 2 (4.17)

Para variáveis dependentes e valores determinísticos diferentes da média a expressão geral do fator de omissão pode ser vista em [Madsen, 1988; Sagrilo, 1994]. Os fatores de sensibilidade paramétricos são aqueles que fornecem a variação do índice de confiabilidade quando ocorrem mudanças nos parâmetros que definem a distribuição de probabilidade de uma variável aleatória. Para uma variação ∆pj em um parâmetro pj da distribuição de probabilidades da variável i, o novo índice de confiabilidade é dado por

β β∂β∂

novo velhoji jp

p= + ∆ (4.18)

sendo ∂β∂pj

i obtido através de expressões que envolvem a transformação de

variáveis, o índice de confiabilidade (“velho” ou atual) e o ponto de projeto como pode ser visto em [Madsen, et al. 1986; Sagrilo, 1994]. Através da expressão (4.18) é possível fazer uma previsão dos valores de um determinado parâmetro de uma determinada variável de forma a atender um determinado índice de confiabilidade, sem repetir a análise.

4.5 - Análise de Confiabilidade de Sistemas pelo Método FORM

Existem casos em que um mesmo problema pode envolver mais de uma função de performance. Como um simples exemplo, uma viga-coluna que pode falhar por flexão ou por flambagem, i.e., mais de um modo de falha e cada um deles representado por sua função de performance (ou de falha) particular.


70

Neste caso, a probabilidade de falha pode ser calculada, usando o método FORM, para cada modo de falha, sendo depois avaliada a probabilidade do sistema falhar como um todo, considerando a contribuição de todos os modos. A representação gráfica de alguns destes casos é mostrada na Figura (4.4). Estes problemas são tratados na análise de confiabilidade estrutural dentro de uma linha denominada confiabilidade de sistemas. Um sistema é chamado de sistema em série quando a falha de um dos seus modos (ou componentes) leva o mesmo a falhar também, por outro lado um sistema é chamado de sistema em paralelo quando a falha do mesmo ocorre depois da falha de todos os seus modos (ou componentes).

Figura 4.4 - Definições de Sistemas na Análise de Confiabilidade Estrutural (a) sistemas em série e (b) sistemas em paralelo Outros problemas, como a existência de mais de um ponto de mínimo no espaço reduzido para uma mesma função de falha conforme ilustra a Figura (4.5), também se enquadram na definição de sistemas. A avaliação da probabilidade de falha para sistemas, usando o método FORM, é uma extensão do que foi apresentado anteriormente como será visto a seguir. Deve-se enfatizar que componentes e sistemas na análise de confiabilidade estrutural tem uma conotação diferente da análise estrutural propriamente dita. Por exemplo, uma simples viga pertencente a uma


71

determinada estrutura pode ser vista como um sistema na análise de confiabilidade estrutural, pois a mesma pode falhar por flambagem lateral, flexão, etc. Entretanto, na análise estrutural ela é simplesmente um componente integrante da estrutura, que neste caso é o sistema.

Figura 4.5 - Uma função de falha com mais de um ponto de mínimo

No que segue, a denominação componente será empregado para identificar cada hiperplano tangente aos pontos de mínimo sobre a superfície de falha do problema em questão. Um sistema é dito em série quando a falha de um dos seus componentes significa a falha completa do mesmo e neste caso a probabilidade de falha do sistema é dada pela probabilidade de qualquer um dos componentes falhar. Matematicamente esta probabilidade é expressa pela união dos eventos que representam a falha dos componentes individuais, ou seja,

( )( )pf P gsi

i

j

= ≤

=

V 0 01

. (4.19)

onde j é o número de componentes individuais identificados na análise. Um sistema é dito em paralelo quando a falha do mesmo somente ocorre após a falha de todos os seus componentes. A probabilidade de falha deste sistema é expressa pela intersecção dos eventos que representam a falha dos componentes individuais, ou seja,


72

( )( )pf P gsi

i

j

= ≤

=

V 0 01

. (4.20)

Utilizando os conceitos básicos da teoria das probabilidades para a união de eventos, a probabilidade de falha de um sistema em série pode ser escrita como

( )( )pf P g

P P P

si

i

j

ii

j

ikk i

j

i

j

ikll k

n

k i

n

i

n

= ≤

= − + −

=

= >= >>=∑ ∑∑ ∑∑∑

V 0 01

1 1 1

.

(4.21)

onde

( )( )( )( ) ( )( )[ ]( )( ) ( )( ) ( )( )[ ]

P P g

P P P g P g

P P P g P g P g

i i

ik i k

ikl i k l

= ≤

= ≤ ∩ ≤

= ≤ ∩ ≤ ∩ ≤

V

V V

V V V

0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

.

. .

. . .

e gi identifica o i-ésimo componente do sistema. Como as probabilidades de falha dos componentes individuais geralmente são baixas na análise de problemas estruturais, os termos Pikl

podem ser desprezados. Pelo FORM o domínio de falha ( )( )gii

j

V ≤=

0 01

. é

delimitado pela superfície de poliédrica formada pelos hiperplanos tangentes em cada ponto de mínimo (ver Figuras 4.4 e 4.5 ) e assim a probabilidade de falha de um sistema em série (equação 4.21) pode ser calculada utilizando as seguintes expressões

( )( )

P

Pi i

ik i j ik

= −

= − −

Φ

Φ

β

β β ρ, , (4.22)

sendo β i , β j os índices de confiabilidade de cada um dos componentes; ρik a correlação entre dois componentes, i.e., ρ α αik i k= , onde α i e α j são


73

os vetores normais nos pontos de mínimo de cada um dos componentes; ( )Φ é a função cumulativa de probabilidades normal padrão; ( )Φ , ,ρ é a função cumulativa bidimensional normal padrão. A função cumulativa bidimensional normal padrão, utilizando algumas propriedades da distribuição normal [ Madsen et al., 1986], pode ser calculada como:

( ) ( ) ( )Φ Φ Φ( , , ) , ,,,

− − = − − + − −∫β β ρ β β ϕ β βρ

i j i j i j i ji j

z dz0

(4.23)

onde ( )ϕ ρ, , é a função densidade de probabilidades bidimensional padrão

( )

−−+

−−

= 2

22

2 12

21exp

121,,

ρρ

ρπρϕ xyyxyx

(4.24) A integral da expressão (4.23) deve ser avaliada numericamente. Alternativamente, os chamados limites de Ditlevsen [Ditlevsen, 1979] podem ser usados evitar a avaliação numérica desta integral. Neste caso são obtidos os limites superior e inferior da probabilidade de falha de um sistema em série, expressa pela equação (4.21). Exercício 4.2 Provar que a correlação entre dois hiperplanos gi(V)=0 e g2(V)=0 no espaço das variáveis reduzidas é dada por ρ α αik i k= , onde α i e α j são os vetores normais nos pontos de mínimo de cada um dos componentes. Sugestão: usar as expressões (2.85) e (4.3). O cálculo da probabilidade de falha de um sistema em paralelo, utilizando o método FORM, é um pouco mais complicado e menos preciso do que um sistema em série, porém, para o caso de dois componentes a probabilidade de falha pode ser calculada por ( )Pik i j ik= − −Φ β β ρ, , (4.25) onde ( )Φ , ,ρ é a função cumulativa bidimensional normal padrão dada pela expressão (4.23).


74

Existem também os chamados sistemas mistos que envolvem combinações de sistema em série e sistemas em paralelo num mesmo sistema. A aplicação de sistemas mistos na análise de confiabilidade estrutural é muito pequena e por isto este tópico não será abordado neste curso. Exemplo 4.3 Uma viga bi-apoiada está sujeita a uma carga uniformemente distribuída como mostra a figura abaixo.

Exemplo 4.3 - Viga bi-apoiada

Assumindo que a viga pode falhar por flexão, i.e.,

G M w Lo121

8( )U = −

ou por cisalhamento, i.e.,

G V w Lo212

( )U = −

ou por um modo combinado de cisalhamento e flexão; i.e.,

G MM

VVo

30

1( )U = − +

Nas equações acima L é o comprimento da viga e U = ( w, Mo, Vo), sendo w a intensidade da carga distribuída, Mo é a capacidade resistente à flexão e V0 é a capacidade resistente ao cisalhamento da viga, respectivamente. As grandezas U são aleatórias com as características definidas na tabela abaixo.

Variável Média Desvio Padrão Distribuição w 6.00 1.50 Normal


75

Mo 470.00 47.00 Normal Vo 159.00 23.85 Normal

De acordo com os dados acima calcular a probabilidade de falha da viga assumindo que as propriedades mecânicas do material da viga são idênticas ao longo da viga. Solução: Deve-se notar que a falha por flexão pode ocorrer no centro do vão, a falha por cisalhamento nas extremidades da viga e o modo combinado de flexão na seção em que

MM

VVo

+

0é máximo. Pode ser demonstrado para a viga em análise que, após encontrar

esta seção, a função de falha G3(U) pode ser reescrita como:

G w LM

w MVo

o3

2

021

8 2( )U = − +

Assim, o método FORM é utilizado para as três funções de falha correspondentes aos três modos de falha da viga chegando-se aos seguintes valores,

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

β α β

β α β

β α β

1 1

2 2

3 3 3

19207 0 8474 5310 0 0 0 27385 01

3 514 0 5324 0 0 0 8465 0 22090 03

15730 0 8911 0 4403 01094 0 57860 01

= = − = − = −

= = − = − = −

= = − − = − = −

. . , . , . .

. . , . , . .

. . , . , . .

P

P

P

1 1

2 2

3

Φ

Φ

Φ

E

E

E sendo a correlação entre os modos ρ α αρ α αρ α α

12 1 2

13 1 3

23 2 3

0 45110 98890 5670

= == == =

.

..

Usando os resultados acima e intengrando numericamente a expressão (4.23) tem-se as seguintes probabilidades cruzadas P EP EP E

12

13

23

0 88817 040 27341 01016550 03

= −= −= −

.

.

.

E finalmente, então, a probabilidade de falha do sistema é dada por


76

Pf P P P P P P

Pf E

s

s

= + + − − −

= − =

1 2 3 12 13 23

0 57869 01 15729. . eqβ

Como pode se observar, a probabilidade de falha do sistema e basicamente igual aa probabilidade de falha do modo combinado. Isto ocorre devido a alta correlação que existe entre o modo 1 e o modo 3 e também porque a contribuição do modo 2 é muito baixa comparada aos outros dois. Exercício 4.3 Suponha que um determinado sistema estrutural possa falhar em qualquer uma de três formas distintas cujas funções de performance das mesmas são definidas respectivamente por

( )( )( )

G Z Z Z Z F h

G Z Z Z Z F h F h

G Z Z Z F h

H

H V

v

1 1 2 4 5

2 1 2 4 5

1 2 3 4

2 2

2

UUU

= + + + −

= + + + − −

= + + −

Assumindo-se que h = 5.0 e ( )U = Z Z Z Z Z F FH v1 2 3 4 5, , , , , , , calcule a probabilidade da estrutura falhar considerando as características estatísticas das variáveis definidas na tabela abaixo.

Variável Distribuição Média Desvio Padrão Z1,.....Z5 Lognormal 134.90 13.49

FH Lognormal 50.00 15.00 FV Lognormal 50.00 12.00

Exercício 4.4 A placa mostrada na figura abaixo está submetida a uma tensão cíclica com amplitude constante S e apresenta uma trinca inicial com uma profundidade ao. A espessura da placa t é de 50mm. Pela mecânica da fratura o crescimento da profundidade da trinca em função do número de ciclos de tensões é dado pela seguinte expressão

( ) ( )a N m t C S N amm

mo

mm

( ) .= − +

−−

1 015 0.35 2 1 0.15

11 0.15

π

onde C e m são constantes do material da placa.


77

Exercício 4.4 - Placa com uma trinca

Assumindo que as variáveis aleatórias de maior importância neste problema são aquelas definidas na tabela abaixo, pede-se a) calcular probabilidade de ocorrer uma trinca passante para N=2.0E+05, N=4.0E+05, N=6.0E+05 e N=8.0E+05. b) calcular a probabilidade de falha para N=6.0E+05 e N=8.0E+05 sabendo-se que em N=4.0E+05 foi feita uma inspeção na chapa e verificou-se que a profundidade da trinca é menor que ai. ai é uma variável aleatória normal com média 3.0 mm e desvio padrão 0.40mm. Sugestões: 1) use o PACONF (ver item 4.1.7) para os cálculos; 2) para o item b usar a expressão de probabilidade de eventos condicionados, i.e., P A B P A B P B( / ) ( ) / ( )= ∩

Variável Distribuição Média Desvio Padrão S Normal 60.00 10.00 C Lognormal 5.203E-15 2.00E-15 m Normal 3.50 0.25 ao Exponencial 1.00 1.00

Notas: 1)todas as unidades são coerentes 2) C e m são correlacionados com ρ = -0.89


78

4.7 - Programas Para Análise de Confiabilidade

Atualmente existem vários programas comerciais para análilse de confiabilidade estrutural. Entre outros podemos citar o PROBAN, o CALREL e o SYSREL. O PROBAN (Probabilistic Analysis Program) foi desenvolvido pela DnV Research, Inc. na Noruega e inclui modelagem das variáveis aleatórias (tratamento estatístico), métodos analitícos FORM e SORM e o método de Monte Carlo com vários outros esquemas derivados do mesmo. O CALREL foi desenvolvido por pesquisadores do Departamento de Engenharia Civil da Universidade de Berkeley nos Estados Unidos e inclui a avaliação da probabilidade de falha pelos métodos analíticos FORM e SORM e por técnicas de simulação de Monte Carlo. O SYSREL (SYStem RELiability) foi desenvolvido por pesquisadores da Universidade de Munique na Alemanha e atualmente é comercializado em versão para Windows pela empresa GmB, Inc. da mesma localidade. O SYSREL possui inúmeras facilidades e o seu forte é a avaliação da confiabilidade pelos métodos analíticos. Todos os programas citados acima incluem o cálculo das medidas de sensibilidade da probabilidade de falha. Por ser um programa com uma apresentação bem mais simples e com um objetivo educacional, o CALREL é o mais barato entre eles. Neste curso será usado o programa PACONF desenvolvido por pesquisadores do Programa de Engenharia Civil da COPPE/UFRJ. Atualmente, este programa inclui o cálculo da probabilidade de falha e das medidas de sensibilidade pelos métodos analíticos FORM e SORM e pelo método (“crude”) de Monte Carlo. Este programa também dispõe de recursos para a análise de sistemas em série. Exercício 4.5 Dada a seguinte função de performance ( )G YA FU = −

cujas características estatísticas das variáveis são indicadas abaixo.

Variável média COV Distribuição Y 10.00 0.15 Lognormal A 1.000 0.05 Normal F 4.000 0.30 Weibull

Usando o PACONF, avalie a probabilidade do evento ( )G U ≤ 0 0. para os seguintes casos: a)ρY A, .= 0 0 e b)ρY A, .= 0 60


79

4.8 - Bibliografia


2. Breitung, K. - Asymptotic Approximations for Multinormal Integrals, Journal

of Engineering Mechanics (ASCE), Vol. 110, No.3, 1984. 3. Kiureghian, A.D. and Liu, P.L. - Structural Reliability Under Incomplete

Incomplete Probability Information, Journal of Engineering Mechanics (ASCE), Vol. 112, No.1, 1986.

4. Hasofer, A.M. and Lind, N.C. - Exact and Invariant Second-Moment Code

Format, Journal of Engineering Mechanics (ASCE), Vol. 100, No. EM1, 1974.

5. Liu, P.L. and Kiureghian, A.D. - Finite-Element Reliability Methods for

Geometrically Nonlinear Sthocastic Structures, Report No UCB/SEMM-89/05, Department of Civil Engineering, University of California at Berkeley, 1989.

6. Madsen, H.O., Krenk, S., Lind, N.C. - Methods of Structural Safety,

Prentice-Hall Inc., New Jersey, 1986. 7. Madsen, H.O. - Omission Sensitivity Factors, Structural Safety, Vol. 5,

1988. 8. Racwitz, R. and Fiessler, B. - Structural Reliability Under Combined Random

Load Sequences, Computer and Structures, Vol. 9, 1978. 9. Sagrilo, L.V. S. - Análise de Confiabilidade Estrutural Utilizando os

Métodos Analíticos FORM e SORM, Tese de Doutorado, Programa de Engenharia Civil, COPPE/UFRJ, 1994.

10. Tvedt, L. - Distribution of Quadratic Forms in Normal Space - Application to

Structural Reliability, Journal of Engineering Mechanics (ASCE), Vol. 116, No.6, 1990.

COC796-Confiabilidade Estrutural PEC/COPPE/UFRJ Superfícies de Resposta na Análise de Confiabilidade Estrutural

80

5. SUPERFÍCIES DE RESPOSTA NA ANÁLISE DE CONFIABILIDADE ESTRUTURAL Como visto no capítulo anterior, a análise de confiabilidade estrutural é baseada na existência de uma função de falha G(U). Para muitos problemas reais, esta função pode ser computacionalmente muito cara de ser avaliada, i.e., cada avaliação de G(U) demanda um elevado de tempo de CPU. Isto é um problema sério para praticamente todos os métodos de análise de confiabilidade. Mesmo o método analítico FORM, que é supostamente o método que requer menos avaliações de G(U), pode ficar inviabilizado devido a necessidade da avaliação numérica do gradiente ∇G(U). Devido a isto surge a idéia de se obter uma função de falha ( )G U mais simples de ser avaliada e que aproxime de maneira adequada a função de falha original G(U). Para esta finalidade é utilizada a chamada técnica de superfície de resposta. Superfície de resposta é uma técnica clássica usada em estatística onde um modelo complexo é aproximado por uma relação funcional mais simples que relaciona os resultados de um experimento às variáveis de entrada. Freqüentemente, estas relações são representadas por superfícies lineares, quadráticas ou cúbicas e para obtenção das mesmas são empregados o método dos mínimos quadrados ou a expansão em série de Taylor. Mais recentemente, procedimentos interpolação que empregam funções do tipo spline, como será visto em algumas aplicações apresentadas neste curso, têm se mostrado bastante atrativos. Com uma função de falha aproximada ( )G U qualquer um dos métodos de confiabilidade pode ser utilizado. No caso dos métodos analíticos uma das principais vantagens é que o gradiente ( )∇G U é facilmente obtido. Entretanto, o sucesso desta técnica depende do grau de aproximação da função ( )G U na região de interesse, i.e., próximo aos pontos de projeto. Deve-se enfatizar que não necessariamente toda G(U) precisa ser substituída por uma função aproximada. Por exemplo, se G(U) pode ser


81

desmembrada em ( ) ( ) ( )G R SU U U= − , R(U) pode ser representada por função aproximada ( )R U enquanto S(U) é calculada sem nenhuma aproximação, ou vice-versa. Aplicações desta natureza podem ser vistas em Holm (1990); Sagrilo et al. (1996).

5.1 - Aproximação por Superfícies Lineares e Quadráticas

A maneira mais simples de se obter uma superfície aproximada para uma função ( )f x qualquer, onde ( )x = x x xn1 2, , , é a aproximação feita por uma superfície linear (ou hiperplano) da forma:

( )f a a xo i ii

n

x = +=∑

1

(5.1)

onde a a ao n, ,1 são os coeficientes do hiperplano e n é o número de variáveis envolvidas. Os coeficientes ai são obtidos a partir de n+1 pontos iniciais (ponto onde a verdadeira ( )f x deve ser avaliada) ( )x i i i

nix x x= 1 2, , , i n= 0 1, , , e da

solução do seguinte sistema de equações lineares:

( )( )

( )

11

1

10 0

11 1

1

0

1

0

1

x xx x

x x

aa

a

ff

f

n

n

nnn

n n

=

xx

x

(5.2)

Para os casos em que ( )f x não é linear a aproximação dada pela equação (5.1) pode ser pode ser bastante pobre dando bons resultados somente onde os pontos iniciais x i foram tomados. Notar que neste caso n+1 avaliações de ( )f x se fazem necessários. Uma melhor aproximação de ( )f x pode ser obtida através do uso de uma superfície quadrática completa ou incompleta. Uma superfície quadrática incompleta corresponde ao hiperplano linear acrescido dos termos quadráticos diagonais, i.e.,

( )f a a x b xo i i i ii

n

i

n

x = + +==∑∑ 2

11

(5.3)

onde a a ao n, ,1 são os coeficientes dos termos lineares e b b bo n, ,1 são os coeficientes correspondentes aos termos quadráticos. Os coeficientes ai e bi são


82

obtidos a partir de 2n+1 pontos iniciais ( )x i i inix x x= 1 2, , , i n= 0 1 2, , , e da

solução do seguinte sistema de equações lineares:

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )( )

( )

( )

1

1

1

1

10 0

10 2 0 2

11 1

11 2 1 2

11 1

11 2 1 2

12n 2n

12n 2 2n 2

0

1

1

0

1

1

2n

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

aa

b

b

ff

f

f

n n

n n

nnn n

nn

n n n

n

+ + + + +

=

xx

x

x

(5.4)

Uma superfície quadrática completa corresponde à superfície quadrática incompleta acrescentada dos termos quadráticos cruzados, i.e.,

( )f a a x b x c x xo i i i ii

n

i

n

jk j kk j

n

j

n

x = + + +== = +=

−

∑∑ ∑∑2

11 11

1

(5.5)

onde cjk são os coeficientes dos termos cruzados. Os coeficientes da expressão (5.5) são obtidos de forma semelhante aos das superfícies anteriores, porém neste caso o número de pontos iniciais para obter a superfície completa é ( )n n+ +1 2 2( ) / , o que limita a sua aplicação. Para que a matriz do sistema de equações apresentado anteriormente não se torne singular, é necessário tomar alguns cuidados na geração dos ponto iniciais. Uma maneira de se proceder, no caso se uma aproximação linear, é a partir de um ponto inicial ( )x 0

10

20 0= x x xn, , arbitrário, determinar os

demais pontos a partir da expressão x x xi i= +0 ∆ (5.6) onde ∆x i é um vetor que contém um determinado incremento arbitrário δxi somente para a variável xi, i.e., ( )∆x i ix= 0 0 0, , , , , δ (5.7) Para outros tipos de superfícies a idéia é semelhante, i.e., para completar o número de pontos emprega-se mais um δxi diferente do primeiro. A experiência acumulada no uso de técnicas de superfícies de resposta permite melhores escolhas dos pontos iniciais.


83

5.2 - Aplicação de Técnicas de Superfície de Resposta na Análise de Confiabilidade pelos Métodos Analíticos FORM e SORM

Embora a aplicação de técnicas se superfície de resposta não se restrinja aos métodos analíticos, no que segue somente este tipo de aplicação será abordado. A aplicabilidade das técnicas de superfície de resposta na análise de confiabilidade pelos métodos FORM e SORM é uma aplicação direta do que foi aplicado na seção anterior. A função de falha ( )G U é representada por uma superfície linear ou quadrática ( )G U e esta é então usada na análise. Deve-se notar que esta aproximação pode ser feita tanto no espaço original como no espaço das variáveis reduzidas. Porém, neste curso nos limitaremos a comentar somente o caso do espaço original por ser uma aplicação simples e direta. Maiores detalhes sobre aproximações feitas no espaço das variáveis reduzidas podem ser encontrados em Holm (1990) e Sagrilo (1994).

Figura 5.1 - Aproximações por superfícies de falha

Deve-se salientar que a base dos métodos analíticos é o ponto de projeto, ou seja, o ponto sobre a superfície de falha cuja distância até a origem, no espaço das variáveis reduzidas, é menor. Como inicialmente este ponto de projeto não é conhecido, a superfície aproximada pode ser bastante imprecisa na região do mesmo, ou em outras palavras, o ponto de projeto calculado a partir da função aproximada ( )G U pode ser diferente do verdadeiro. Para melhorar a precisão nestes casos, sugere-se que uma nova função de falha seja definida tomando-se como ponto de partida para definição dos coeficientes


84

desta função o ponto de projeto obtido com a primeira função aproximada. Este procedimento é ilustrado na Figura (5.1). Exercício 5.1 Dada a seguinte função de falha ( ) ( )G d d E A PmaxU = − , ,

onde as variáveis aleatórias ( )U = E A, ,P são definidas na tabela abaixo.

Variável Distribuição Média Desvio Padrão E Lognormal 5.00 0.40 A Normal 3.00 0.30 P Gumbel 10.0 2.00

A função ( )d E A P, , é definida como o primeiro componente do vetor d ,i.e. d1, conforme definido pelo sistema Kd F= onde

( )

K =

−

EAL

EAL

EAL

EAL

EAL

Sim EAL

3 2

2 2

2

2

22

/

.

, e ( )

F =

32

89

12

PP

P

.

Sabendo-se que L = 2.0 e dmax = 1.0, calcule a probabilidade de ( )G U ≤ 0 0. usando o método FORM clássico

5.3 - Bibliografia

1. Holm, C.A. - Reliability Analysis of Structural Systems Using Nonlinear Finite Element Methods, D. Sc. Thesis, Division of Structural Engineering, The Norwegian Institute of Technology, The University of Trondheim, 1990.

2. Sagrilo, L.V. S. - Análise de Confiabilidade Estrutural Utilizando os Métodos Analíticos FORM e SORM, Tese de Doutorado, Programa de Engenharia Civil, COPPE/UFRJ, 1994.

3. Sagrilo, L.V.S., Lima, E.C.P. and Rodriguez, S.G.H. - Reassessment of Fixed Offshore Structures Using Reliability and Nonlinear Analyses, Proceedings of the ISOPE’96 Conference, Los Angeles, USA, 1996.

COC796-Confiabilidade Estrutural PEC/COPPE/UFRJ Calibração de Normas de Projeto

85

6. CALIBRAÇÃO DE NORMAS DE PROJETO Num projeto estrutural, alguns estados limites são verificados com a relação a certos valores estabelecidos para as variáveis (geralmente aleatórias) que governam tais estados. Cada valor estabelecido, ou valor de projeto, de cada variável aleatória resulta do produto de um valor característico da variável por um coeficiente parcial de segurança. O valor característico de projeto de uma determinada variável é especificado arbitrariamente como um valor que, de acordo com a distribuição de probabilidades da variável, representa um determinado nível percentual de excedência. Os valores característicos dependem do tipo de material (aço, concreto, etc...) e da classe da estrutura (residencial, offshore, etc...). Como um exemplo, geralmente em estruturas metálicas o valor característico de projeto da tensão de escoamento do aço (Fyk ) é tomado como o valor da tensão de escoamento cuja probabilidade de excedência é de 95%, ou seja, existe somente 5% de chance (ver Figura 6.1) da tensão real do material ser menor que o valor característico.

Figura 6.1 - Valor característico da tensão de escoamento do aço

O projeto estrutural, então, consiste em determinar parâmetros (dimensões) de modo a atender os estados limites levando em consideração os


86

valores de projeto (valores característicos multiplicados pelos coeficientes de segurança). Em muitos casos a definição dos coeficientes de segurança, para uma determinada classe de estruturas, foi feita com base na experiência dos profissionais ligados a projetos estruturais desta classe. Atualmente a determinação destes coeficientes, definida como calibração de normas de projeto, vem sendo feita numa base científica, onde a análise de confiabilidade é uma das principais ferramentas utilizadas. Na prática não é muito simples obter coeficientes parciais de segurança para toda uma classe de estruturas, porque todas as estruturas são únicas e é muito difícil alcançar o mesmo nível de confiabilidade para todas elas com um mesmo código. Neste caso, os coeficientes parciais de segurança podem ser calibrados usando técnicas de otimização que procurem minimizar a diferença de confiabilidade entre as estruturas. Dentro do limite deste curso, somente será abordada a calibração de fatores de segurança para um projeto específico. Maiores detalhes sobre calibração podem ser encontrados nas referências [1-4]

6.1 Calibração de Coeficientes Parciais de Segurança Para um Projeto Específico.

Na calibração dos coeficientes parciais de segurança para um estado limite de uma estrutura específica, o objetivo é determinar os valores destes coeficientes de modo que um valor prescrito (valor "alvo") para a probabilidade de falha seja alcançado. A determinação dos coeficientes parciais de segurança pode ser feita utilizando o método analítico FORM. Nesta metodologia, um dos resultados é o ponto de projeto. Este ponto é a combinação dos valores das variáveis aleatórias, que em caso de falha, tem a maior probabilidade de ocorrência. Assim se os valores de projeto fossem iguais ao ponto de projeto, a estrutura teria a probabilidade de falha resultante da análise. Deste modo, a calibração começa com a caracterização estatística (médias, desvios padrões, distribuições, etc...) das variáveis aleatórias que governam o problema e o valor aceitável para a probabilidade de falha. Depois disto, define-se um projeto inicial (uma tentativa de dimensões iniciais) e avalia-se a probabilidade de falha do estado limite considerado pelo método FORM. O projeto é modificado (dimensões alteradas) e a confiabilidade novamente avaliada até o valor "alvo" da probabilidade de falha ser alcançado. Depois disto, define-se os valores característicos de cada uma das variáveis a serem


87

usados no projeto e obtem-se os fatores parciais de segurança relacionadas a cada uma delas como

γ ii

ik

UU

=*

(6.1)

onde Ui

* é o valor correspondente à variável i no ponto de projeto quando a probabilidade de falha "alvo" foi alcançada e Ui

k é o valor característico desta variável a ser usado no projeto. O procedimento acima assume que existe um coeficiente parcial para cada variável aleatória envolvida no projeto. Quando os coeficientes parciais correspondem a um número menor do que o número de variáveis aleatórias, alguma arbitrariedade deve ser usada. Exemplo 6.1 [2] Calcule os coeficientes parciais de segurança, com objetivo de obter uma probabilidade de falha de 10 4− , para uma barra de treliça cuja estado limite de projeto é verificado por γ γFy k L kFy A L≥ onde γ Y e γ L são os coeficientes parciais de segurança, Fyk é o valor característico da tensão de escoamento do material (valor com 5% de chance da tensão real ser menor que ele), A a área da seção transversal da barra e Lk o valor característico do carregamento (definido como o valor médio). As distribuições das variáveis são apresentadas na tabela abaixo.

Variável Média Desvio Padrão Distribuição Fy 400.00 24.00 Lognormal L 80.00 2.00 Tipo I (max.)

Solução: G A Fy L( )U = − Na tabela abaixo são resumidas as várias tentativas para o valor da área até encontrar o valor alvo para a probailidade de falha. usando o programa PACONF.


88

Tentativa Área pf pf (alvo) 1 0.2400 0.002696 0.0001 2 0.2800 0.000001 3 0.2600 0.000056 4 0.2500 0.000407 5 0.2550 0.000152 6 0.2575 0.000093 7 0.2563 0.000119 8 0.2568 0.000107 9 0.2572 0.000098

10 0.2570 0.000102 Na última tentativa obteve-se o seguinte ponto de projeto: Fy

L

*

*

.

.

=

=

335 77

86 292

Os valores característicos para as variáveis são: Lk = 80 00. Fyk = 36179. (5% da lognormal F yY ( ) ) Finalmente os coefiecientes parciais são dados por

γ Fy = =335 7736179

0 928..

.

γ L = =86 29280 00

1079..

.

Exercício 6.1 Determinar os coeficientes parciais de segurança, para os valores alvos de 10 10 103 4 5− − −, e para a probabilidade de falha, do seguinte estado limite

γγ γ γ

Fy kD k L k E kFy D L E

A≥

+ +

onde as variáveis aleatórias são as seguintes

Variável Média COV Distribuição Fy 355.00 0.06 Lognormal D 30.00 0.05 Normal


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L 10.00 0.10 Normal E 70.00 0.30 Weibull

Considere como valores característicos de projeto as médias para D, L, E e o valor com 10% de chance da variável Fy ser menor que ele como valor característico para a mesma.

6.2. Bibliografia


2. DnV (Det Norske Veritas) - Structural Reliability Methods, Classification Notes 30.6, 1991.

3. Madsen, H.O., Krenk, S., Lind, N.C. - Methods of Structural Safety, Prentice-Hall Inc., New Jersey, 1986.

4. Melchers, R.E. - Structural Reliability: Analysis and Prediction, Ellis Horwood, Chichester, 1987.