1

2

PRESIDENTE DA REPÚBLICA Luiz Inácio Lula da Silva MINISTRO DA EDUCAÇÃO Fernando Haddad GOVERNADOR DO ESTADO Wellington Dias REITOR DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ Luiz de Sousa Santos Júnior SECRETÁRIO DE EDUCAÇÃO DO ESTADO DO PIAUÍ Antonio José Medeiros SECRETÁRIO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA DO MEC Carlos Eduardo Bielschowsky DIRETOR DE POLITICAS PUBLICAS PARA EAD Hélio Chaves COORDENADORIA GERAL DA UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL Celso Costa COORDENADOR GERAL DO CENTRO DE EDUCAÇÃO ABERTA A DISTÂNCIA DA UFPI Gildásio Guedes Fernandes SUPERITENDÊNTE DE EDUCAÇÃO SUPERIOR NO ESTADO Eliane Mendonça DIRETOR DO CENTRO Helder Nunes da Cunha COORDENADOR DO CURSO NA MODALIDADE EAD João Benício de Melo Neto CHEFE DO DEPARTAMENTO Jurandir de Oliveira Lopes COODENADORA DE MATERIAL DIDÁTICO DO CEAD/UFPI Cleidinalva Maria Barbosa Oliveira DIAGRAMAÇÃO Emanuel Alcântara da Silva Ezequiel Vieira Lima Júnior João Paulo Barros Bem Joaquim Carvalho de Aguiar Neto Josimária da Silva Macedo

Copyright © 2008. Todos os direitos desta edição estão reservados à Universidade Federal do

Piauí (UFPI). Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida, transmitida e gravada, por qualquer

meio eletrônico, por fotocópia e outros, sem a prévia autorização, por escrito, do autor.

XXXX OLIVEIRA, G. L. Matemática para Administração/Gilvan Lima de Oliveira – Teresina: UFPI/UAPI

2008. 140p. Incluir bibliografia

1 – xx CDU: 32

3

APRESENTAÇÃO

Este texto destina-se aos estudantes que participam do

programa de Educação a Distância da Universidade Aberta do

Piauí (UAPI) vinculada ao consórcio formado pela Universidade

Federal do Piauí (UFPI), Universidade Estadual do Piauí

(UESPI) e Centro Federal de Ensino Tecnológico do Piauí

(CEFET-PI), com apoio do Governo do Estado do Piauí,

através da Secretaria Estadual de Educação.

O texto é composto de IV unidades, contendo itens e

subitens, que discorrem sobre:

Na Unidade 1, estudaremos, de forma prática e aplicada

à Administração, a teoria das funções reais de variável real e

seus gráficos. Daremos uma ênfase maior às funções

elementares: algébricas, trigonométricas, exponenciais,

logarítmicas e inversas.

Na Unidade 2, discutiremos a noção de limite e

continuidade das funções elementares descritas na unidade 1,

os quais serão de grande valia para o desenvolvimento da

unidade seguinte.

Na Unidade 3, faremos um estudo sistemático e prático

da noção de derivada das funções elementares, bem como de

sua interpretação geométrica e da sua caracterização como

taxa de variação entre grandezas. Como aplicação,

discutiremos sobre Análise Marginal de certas funções como:

Demanda, Receita, Custos, Lucros, Análise do Ponto de

Equilíbrio, Oferta, etc.

Na Unidade 4, abordaremos o conceito de integrais das

funções elementares, dando ênfase à relação existente entre

integrais e a noção de área sob curvas.

4

SUMÁRIO

UNIDADE 1: Funções e Gráficos 1.1 Introdução 8

1.2 Função 9

1.2.1. A Noção de Função 9

1.2.2. Funções Polinomiais 15

1.2.2.1. Função Afim 19

1.2.2.2. Função Quadrática 22

1.2.3. Funções Exponenciais 30

1.2.3.1. Potenciação 31

1.2.4. Funções Logarítmicas 33

1.2.4.1. Logaritmo 33

1.2.5. Funções Trigonométricas 37

1.2.5.1. Ciclo Trigonométrico 37

1.2.5.2. Função Seno 38

1.2.5.3. Função Cosseno 44

1.2.5.4. Função Tangente 49

Exercícios 52

UNIDADE 2: Limite e Continuidade 2.1. Introdução 57

2.2. Limite de Funções 58

2.2.1. Noção Intuitiva de Limite 58

2.2.2. Definição de Limite 59

2.2.3. Propriedades Operatórias de Limites 59

2.2.4. Limites Fundamentais 60

2.2.5. Limite da Função Composta

2.3. Continuidade de Funções 65

2.3.1. Definição de Continuidade 65

5

2.3.2. Pontos de Desconhecimento de uma Função 67

2.3.2. Propriedades Operatórias entre Funções Contínuas 68

UNIDADE 3: Derivadas 3.1. Introdução 74

3.2. Derivadas 74

3.2.1. Definição 74

3.2.2. Interpretação Geométrica 78

3.2.3. Propriedades Operatórias 79

3.2.4. Derivada da Função Inversa 81

3.2.5. Derivadas Sucessivas 86

3.2.6. Máximos e Mínimos 88

3.2.6.1. Localização dos Pontos de Máximos ou Mínimos 89

3.3.7. Regra de L’Hospital 92

UNIDADE 4: Noções de Integrais 4.1. Introdução 99

4.2. Integral Indefinida 100

4.2.1. Definição 100

4.2.2. Propriedades Operatórias de Integração 101

4.2.3. Tabela de Integrais Imediatas 106

4.3. Integral Definida 113

4.3.1. Soma Integral 113

4.3.2. Integral Definida 114

4.3.3. Teorema Fundamental do Cálculo 115

4.3.4. Aplicações: Cálculo de Áreas 116

Bibliografia 127

Sobre o Autor 130

6

7

SUMÁRIO

UNIDADE 1: Funções e Gráficos 1.1 Introdução 8

1.2 Função 9

1.2.1. A Noção de Função 9

1.2.2. Funções Polinomiais 15

1.2.2.1. Função Afim 19

1.2.2.2. Função Quadrática 22

1.2.3. Funções Exponenciais 30

1.2.3.1. Potenciação 31

1.2.4. Funções Logarítmicas 33

1.2.4.1. Logaritmo 33

1.2.5. Funções Trigonométricas 37

1.2.5.1. Ciclo Trigonométrico 37

1.2.5.2. Função Seno 38

1.2.5.3. Função Cosseno 44

1.2.5.4. Função Tangente 49

Exercícios 52

8

1. FUNÇÕES E GRÁFICOS 1.1 Introdução Um dos conceitos pertencente aos fundamentos da Matemática

Moderna é o de função. Trata-se de uma ferramenta de suma

importância no princípio de funcionamento de muitos

fenômenos na natureza. Por exemplo, a idéia de mapear o

comportamento evolutivo das células de um tecido cancerígeno

tem sido objeto de estudo de muitos pesquisadores atuais. O

objetivo deste procedimento nada mais é do que tentar se

descrever de forma precisa como tais células se desenvolvem

e a partir daí obter algo que possa controlar tal crescimento ou,

se possível, acabar com tal evolução. O controle da evolução

dessas células, passa pelo conhecimento da noção de função.

Outra situação, diz respeito à deterioração de uma substância

química com o passar do tempo, a qual também se utiliza a

noção de função. Numa empresa é importante, para efeito de

otimização de custos, precisar a quantidade ótima de

funcionários para o perfeito funcionamento da mesma, levando-

se em consideração as metas estabelecidas por esta empresa.

A quantidade de funcionários, suas remunerações, os custos

da mesma, constituem variáveis importantes para se

determinar o lucro ótimo desta empresa. Enfim, são muitas as

situações práticas onde o conceito de função faz-se necessário.

Portanto, é importante começarmos nosso livro abordando um

tema de natureza matemática simples, porém de muita

importância para o entendimento dos temas que virão

posteriormente.

9

1.2. Função

1.2.1. A Noção de Função A definição de função BAf →: , como um subconjunto do

produto cartesiano BA× , deixa muito a desejar e não fica claro

o verdadeiro sentido do que é função. Tal definição é, por

demais, simplória, formal, estática e não evidencia a idéia

intuitiva de função como uma correspondência, transformação,

dependência entre duas grandezas. Para nós, tais

características não podem deixar de serem evidenciadas e

mostradas aos nossos alunos para que estes possam fazer

suas reflexões a cerca do assunto. A definição que

mostraremos a seguir evidencia de forma clara a essência da

idéia correta do tema que estudaremos agora.

Função é uma terna composta de: um conjunto de saída

(domínio), um conjunto de chegada (contradomínio) e uma lei

(ou regra) que associa a cada elemento do conjunto de saída

um único elemento do conjunto de chegada.

Essa definição se apresenta de forma geral, conclusiva, não se

importando com a natureza dos conjuntos de saída e de

chegada, portanto mais abrangente. O importante nela é a

correspondência única existente entre cada elemento do

conjunto de saída com um elemento do conjunto de chegada.

Vale ressaltar aqui que nesse jogo nenhum elemento do

domínio pode ficar de fora e, esse deve estar em comunicação

com um, e apenas um, elemento do contradomínio.

Notação: A notação correta que utilizaremos para nos

referirmos às funções, será apresentada como segue:

( )xfxBAf

a

→:

O estudo de funções e de outros conteúdos do ensino médio pode ser complementado no site somatematica.

10

Aqui vale citar que A e B denotam o conjunto de saída,

(domínio) e o conjunto de chegada (contradomínio) da

função, respectivamente. A notação

( )xfx a

indica que, por meio de f , cada elemento Ax∈ , é associado o

elemento Bxf ∈)( .

No decorrer desse nosso texto, muitas vezes diremos a “função

f ” ao invés de “a função BAf →: ”. Isso não deverá provocar

no leitor dúvida alguma. Certifique-se!

A seguir mostraremos alguns exemplos e contra-exemplos, não

muito convencionais, de função. Nesses exemplos deixamos

claro que duas condições são imprescindíveis: não deve haver

exceções no domínio e não deve haver ambigüidades ao nos

referirmos ao correspondente ( )xf do elemento x oriundo do

domínio de f .

Exemplos:

1. Sejam T o conjunto dos triângulos do plano e ∗+ℜ o

conjunto dos números reais positivos e ∗+ℜ→Tf : a

correspondência que faz associar cada triângulo Tx∈ a

sua área )(xf . Claramente, f assim definida

representa uma função, uma vez que a qualquer

triângulo temos em correspondência sua área a qual é

única.

2. Aproveitando os conjuntos do exemplo anterior,

consideremos agora a correspondência Tf →ℜ∗+: que

associa cada número real positivo ∗+ℜ∈x , um triângulo

Txf ∈)( cuja área é x . Esta lei não representa uma

função, pois para cada ∗+ℜ∈x existem infinitos

triângulos )(xf cuja área é x .

Não devemos confundir a função f com o seu valor no ponto x, a saber, f(x).

11

3. Sejam ℜ o conjunto dos números reais e ℜ→ℜ:f a

correspondência que associa cada número real x um

número real )(xf , tal que 1)( =⋅ xfx . Do jeito que foi

definida f , esta regra não representa uma função, pois

para o número real 0=x não existe )(xf tal que

1)0(0 =⋅ f .

4. Por outro lado, se considerarmos ℜ→ℜ∗:f que

associa cada número real não-nulo x o número real

)(xf tal que 1)( =⋅ xfx , segue-se que esta regra

representa uma função.

Outra noção que queremos tornar clara aos nossos leitores é a

de Gráfico de uma função. O gráfico de uma função BAf →:

é o subconjunto BAfG ×⊆)( formado pelos pares ordenados

))(,( xfx , onde Ax∈ e Bxf ∈)( . Simbolicamente temos,

{ })(;),()( xfyBAyxfG =×∈= .

Reciprocamente, para que um subconjunto BAG ×⊆ seja

gráfico de uma função BAf →: é necessário e suficiente que,

para cada Ax ∈0 arbitrário, deve existir um único par ordenado

Gyx ∈),( 0 . Geometricamente esta condição significa que toda

reta paralelamente traçada, por um ponto Ax∈ , ao eixo das

ordenadas, ou seja, ao eixo dos sy' , deve cortar o gráfico G

num único ponto.

Figura 1

Seja a função BAf →: e AX ⊆ , um subconjunto não-vazio

de A , a imagem do conjunto X pela função f , é o conjunto

12

BXf ⊆)( formado pelos valores )(xf assumidos por f nos

pontos Xx∈ . Comumente, nos livros de ensino médio,

costuma-se indicar )(Xf pela notação )Im( f . Portanto,

simbolicamente:

{ }XxxffXf ∈== );()Im()( ,

de outra forma:

{ }XxxfyByfXf ∈=∈== ),(;)Im()( .

No caso em que AX = , diremos que o conjunto )(Af é a

imagem da função f .

Exemplos:

5. Para a função ℜ→ℜ:f dada pela lei 2)( xxf = , a

imagem de f é o conjunto +ℜ .

6. A imagem da função definida no Exemplo 4 acima é o

conjunto ∗ℜ ; de fato, dado ∗ℜ∈y , considerando y

x 1= ,

temos que yxf =)( .

Na maioria dos casos, para uma função BAf →: , a imagem

de f é um subconjunto próprio de B , isto é, BAf ⊂)( . Nos

casos em que BAf =)( , diremos que f é uma função

sobrejetiva (ou sobrejetora). Ou equivalentemente, diremos

que BAf →: é sobrejetiva quando, para cada By∈ existe

pelo menos um Ax∈ tal que yxf =)( . Isto é, todo e qualquer

elemento de B possui uma pré-imagem em A .

Observe que para caracterizar a sobrejetividade de uma função

f é preciso que saibamos, a priori, qual é o seu contradomínio

para que possamos compará-lo com a imagem de f . Isso

reforça o fato de que uma função só fica completamente

definida quando se é estabelecido seu domínio, seu

contradomínio e a lei que a rege. Isso quer dizer que não faz

13

sentido perguntarmos se determinada função f é sobrejetora,

ou não, se antes não especificarmos seu contradomínio.

Exemplos:

7. A função, ℜ→ℜ:f dada pela lei 2)( xxf = , não é

sobrejetora, uma vez que a imagem +ℜ=ℜ)(f é

diferente do contradomínio ℜ . Agora, se definirmos f

como +ℜ→ℜ:f , onde 2)( xxf = , a mesma, nestas

condições, passa a ser sobrejetora.

Ou seja, qualquer função pode tornar-se sobrejetora, bastando

para isso determinar o seu conjunto-imagem e colocá-lo como

sendo o contradomínio de f .

Seja BAf →: uma função. Diremos que f é injetiva (ou

injetora) quando, dados yx, quaisquer em A , se )()( yfxf = ,

então yx = , ou equivalentemente, se yx ≠ , em A , então

)()( yfxf ≠ , em B .

14

Exemplos:

8. A função ℜ→ℜ:f definida por 2)( xxf = não é injetiva,

uma vez que 4)2()2( ==− ff e, no entanto, 22 ≠− .

9. A função ℜ→ℜ:f dada por 3)( xxf = é injetiva, de

fato, )()( yfxf = , temos que 33 yx = , o que implica

yx = .

Uma função BAf →: é dita bijetiva (ou bijetora, ou

correspondência biunívoca) quando é sobrejetiva e injetiva ao

mesmo tempo.

Exemplos: 10. Sejam ba, números reais com 0≠a . A função

ℜ→ℜ:f , dada por baxxf +=)( é bijetora; de fato,

sejam yx, números reais tais que )()( yfxf = . Assim,

baybax +=+ , somando b− em ambos os lados da

igualdade temos que ayax = . Como 0≠a , temos que

existe a1 e multiplicando a última igualdade por a

1 ,

segue-se que yx = , isso mostra a injetividade de f .

Por outro lado, dado ℜ∈y no contradomínio de f ,

fazendo yxf =)( , segue-se que ybax =+ , portanto

temos que ℜ∈−

=a

byx ; isso mostra a sobrejetividade

de f . Daí, pela injetividade e sobejetividade de f ,

resulta que f é uma função bijetiva.

11. A função ℜ→ℜ+:f dada por xxf =)( não é bijetiva,

uma vez que a mesma não é sobrejetiva; de fato, a

imagem ++ ℜ=ℜ )(f a qual é diferente do contradomínio

de f . Por outro lado, se redefinirmos f da forma:

++ ℜ→ℜ:f , com xxf =)( , segue-se que tal função é

A noção de

sobrejetividade e

injetividade é de

suma

importância no

estudo das

funções, pois

com elas

podemos definir

a inversa de uma

função.

15

bijetiva. O leitor não terá dificuldades para comprovar tal

fato.

1.2.2. Funções Polinomiais

Dentre as funções elementares, podemos dizer que as

polinomiais representam as mais simples da classe. Trata-se

de funções fáceis de trabalhar; a soma, a diferença, o produto

e o quociente de polinômios são funções ainda muito simples e

de uma trabalhabilidade considerável.

Definição: Diz-se que ℜ→ℜ:p é uma função polinomial

quando existem números 011 ,,,, aaaa nn ⋅⋅⋅− tais que, para todo

ℜ∈x , tem-se

011

1)( axaxaxaxp nn

nn ++⋅⋅⋅++= −

− .

Se 0≠na , dizemos que p tem grau { }⋅⋅⋅⋅⋅⋅=∈ ,,,4,3,2,1 nNn .

A definição dada acima se encontra na referência [3]. Nós

vamos adotá-la por ser, sob nosso ponto de vista, a mais

correta, simples e direta definição de função polinomial.

A soma e o produto de funções polinomiais são ainda funções

polinomiais. Aqui vale ressaltar que ao somarmos duas funções

polinomiais, o grau da nova função polinomial pode ser menor

que o grau de cada função polinomial envolvida na soma; de

fato, por exemplo, se 132)( 21 +−= xxxp e 122)( 2

2 ++−= xxxp ,

temos que 2))(( 21 +−=+ xxpp . Este por sua vez é uma função

polinomial de grau 1, enquanto que as outras duas têm grau 2 .

Diremos que o número real α é raiz (ou zero) da função

polinomial 011

1)( axaxaxaxp nn

nn ++⋅⋅⋅++= −

− se, e somente se,

0)( =αp .

16

Exemplos: 12. O número real 2=α é raiz da função polinomial

53)( 2 +−= xxxp .

13. A função polinomial 44)( 23 +−−= xxxxp admite como

raízes reais os números 21 −=α , 12 =α e 22 =α .

14. Já a função polinomial 4)( 2 += xxp não possui raízes

reais; de fato basta observar que 442 ≥+x .

O resultado a seguir nos fornece uma caracterização para que

um número real seja raíz de uma função polinomial dada. Mas

antes apresentaremos uma definição que será necessária na

prova da proposição a seguir.

A função polinomial )(xpp = é divisível pela função polinomial

)(xdd = se, existe uma terceira função polinomial )(xqq = tal

que )()()( xqxdxp ⋅= .

Nestas condições, dizemos que as funções polinomiais

)(xdd = e )(xqq = são divisores da função polinomial

)(xpp = .

17

Exemplo:

15. A função polinomial 3232)( 23 −+−= xxxxp é divisível

por 32)( −= xxd ; de fato,

)32()1()( 2 −⋅+= xxxp .

Na verdade, de acordo com definição 3232)( 23 −+−= xxxxp

também é divisível por 1)( 2 += xxq .

Proposição: O número real α é uma raiz da função polinomial

011

1)( axaxaxaxp nn

nn ++⋅⋅⋅++= −

− se, e somente se, )(xp é

divisível por α−x .

Demonstração: Se )(xp é divisível por α−x segue-se que )()()( xqxxp ⋅−= α .

Portanto, 0)(0)()()( =⋅=⋅−= ααααα qqp . Essa é a parte fácil

da proposição. Suponhamos, por outro lado, que α seja raíz

da função polinomial 011

1)( axaxaxaxp nn

nn ++⋅⋅⋅++= −

− .

Inicialmente, observemos que nnx α− é divisível por α−x ; de

fato, para tal basta observarmos a identidade:

)()( 1221 −−−− ++⋅⋅⋅++⋅−=− nnnnnn xxxxx ααααα

Para quaisquer números reais x e α , temos:

)()()()()( 111

1 αααα −+⋅⋅⋅+++−=− −−− xaxaxapxp nn

nnn

n

Pela identidade citada acima cada parcela, desta última soma,

é divisível por α−x , logo )()()()( xqxpxp ⋅−=− αα , onde

)(xqq = é uma função polinomial de grau 1−n . Uma vez que

α é raiz de )(xpp = , ou seja, 0)( =αp , segue-se que

)()()( xqxxp ⋅−= α . Conforme queríamos demonstrar. ■

No caso em que a função polinomial )(xp possuir como raízes

kαααα ,,,, 321 ⋅⋅⋅ , o uso da proposição anterior indutivamente

implica que: ),()())()(()( 321 xqxxxxxp kαααα −⋅⋅⋅−−−= onde

)(xq é uma função polinomial de grau kn − , caso o grau de

)(xp seja n . Como conseqüência importante deste fato, temos

18

toda função polinomial )(xp de grau n , não possui mais do

que n raízes.

Dois fatos que têm importância muito grande na teoria das

funções polinomiais é o de função polinomial identicamente

nula e igualdade entre duas funções polinomiais. Porém, tais

noções são muito simples e não devem acarretar nenhuma

dificuldade de entendimento para o leitor.

Diremos que uma função polinomial )(xp é identicamente

nula, se 0)( =xp para todo ℜ∈x . Tal definição nos permite

atribuir valores convenientemente escolhidos e concluir que a

função polinomial,

011

1)( axaxaxaxp nn

nn ++⋅⋅⋅++= −

−

é identicamente nula se, e só se, todos seus coeficientes

011 ,,,, aaaa nn ⋅⋅⋅− são nulos.

Outra observação importante decorrente da nulidade de uma

função polinomial )(xp , é que nenhum número inteiro positivo

n pode ser grau de )(xp ; de fato, se 0)( =xp para todo ℜ∈x ,

então )(xp possui infinitas raízes, contrariando o fato

mencionado acima, de que uma função polinomial de grau n ,

possui n raízes no máximo.

A igualdade entre duas funções polinomiais )(xp e )(xq

decorre imediatamente da noção de nulidade estabelecida

anteriormente.

As funções polinomiais 011

1)( axaxaxaxp nn

nn ++⋅⋅⋅++= −

− e

011

1)( bxbxbxbxq nn

nn ++⋅⋅⋅++= −

− serão ditas iguais se, e

somente se, 001111 ,,,, babababa nnnn ==⋅⋅⋅== −− .

19

Dentre as funções polinomiais, há duas que devemos

dar uma importância maior devido às suas inúmeras aplicações

em situações práticas, a saber, a função afim e a função

quadrática.

1.2.2.1. Função Afim

Uma função polinomial ℜ→ℜ:p é dita afim quando existem

constantes ℜ∈ba, tais que baxxp +=)( , para todo ℜ∈x .

Como dizemos anteriormente, caso 0≠a tal função será dita

de grau 1. São casos particulares de funções afins: a função

identidade ℜ→ℜ:p , definida por xxp =)( ; as funções

lineares definidas por axxp =)( e as funções constantes

bxp =)( .

Exemplos: 16. Uma situação bem corriqueira refere-se ao preço pago

numa corrida de taxi, o qual é dado por uma função afim

baxxp +a: , onde x representa a distância percorrida

(geralmente expressa em quilômetros). Nesse caso, a

constante b representa a bandeirada e o preço de cada

quilômetro (ou metro) rodado é dado pelo valor da

constante a .

17. No regime de juros simples, o modelo matemático que

melhor retrata o valor atualizado do montante é

estabelecido pela função afim ( ) CniCnM += .. , onde n

representa o número de período da transação financeira,

i a taxa acordada pelas partes envolvidas na

negociação e C o capital investido.

O gráfico da função afim baxxp +a: é uma linha reta.

Do ponto de

vista

matemático,

existe uma

diferença sutil

entre função

polinomial e

polinômio. Em

nosso contexto,

não faremos

distinção, mas o

leitor interessado

em maiores

detalhes deve

consultar a

referência [3].

20

Existem várias maneiras de se mostrar esse fato, mas há uma

demonstração que, sob nosso ponto de vista, é bastante

simples, geométrica e que utiliza apenas a noção de distância

entre pontos. O leitor interessado pode consultar [3].

Geometricamente, a constante b representa a ordenada onde

a reta corta o eixo OY e a constante a representa a taxa de

variação da função afim baxxp +a: num determinado

intervalo, também chamada de inclinação (ou coeficiente

angular) dessa reta em relação ao eixo horizontal OX .

Na função afim baxxp +a: , a constante b fica determinada a

partir do valor )0(p ; a constante a , por sua vez, pode ser

conhecida a partir dos valores )( 1xp e )( 2xp , assumidos pela

função afim p em dois pontos distintos 1x e 2x ,

respectivamente; de fato, sendo baxxp += 11)( e baxxp += 22 )( ,

temos que ( )2121 .)()( xxaxpxp −=− , isto é:

21

21 )()(xx

xpxpa−−

= .

A partir desta expressão para o valor da constante a , podemos

caracterizar o crescimento ou decrescimento da função afim

baxxp +a: ; com efeito, sabemos que uma função é dita

crescente se )()( 2121 xpxpxx <⇒< e p será dita decrescente

se, dados 1x e 2x , com 21 xx < implicar que )()( 21 xpxp > .

Conseqüentemente, teremos que a função polinomial afim

baxxp +a: é crescente se, e só se, 0>a e será decrescente

se, e só se, 0<a . Ou seja, no sentido de crescimento da

variável independente x , quando 0>a , o gráfico de p é uma

reta ascendente e quando 0<a , a reta é descendente.

21

FIGURA 2

Exemplos:

18. A taxa de inscrição num clube de natação é de

R$ 150,00 para o curso de 12 semanas. Se uma pessoa

se inscreve após o início das aulas, a taxa é reduzida

linearmente. Nessas condições, expressar a taxa de

inscrição como função do número de semanas

transcorridas desde o início do curso. Para uma pessoa

que se inscreveu 5 semanas após o início do curso,

quanto irá pagar?

Solução: Nas condições do problema se chamarmos

)(xP o valor da taxa de inscrição a ser pago após x

semanas do início do curso, temos que 150)0( =P . Uma

vez que esta função é linear, segue-se que esta será

dada pela fórmula: 150)( += mxxP . Para determinarmos

o coeficiente angular, observemos que o mesmo é

negativo, pois se refere à diminuição do valor a ser pago

e observemos, também, que este nos dá o valor a ser

deduzido em cada semana após o início do curso,

portanto, será: 50,1212150

−=−=m . Portanto a função

obtida será: 1505,12)( +−= xxP . Daí, após 5 semanas do

início do curso uma pessoa deverá pagar:

50,871505,12)5( =+⋅−= xP

ou seja, R$ 87,50.

22

19. Um fabricante adquiriu uma máquina por R$ 2.000,00,

valor este que sofre uma depreciação linear até

R$ 100,00 após 10 anos. Calcule o valor da máquina

após 4 anos de uso.

Solução: Por se tratar de um modelo linear, temos que

a função que melhor modela essa situação é a função

afim. Sendo )(xV o valor após x anos de uso, temos

que: 2000)( += mxxV , onde 100 ≤≤ x . O valor do

coeficiente angular pode ser obtido através do quociente:

010)0()10(

−−

=VVm

isto é,

19010

2000100−=

−=m

Portanto, 2000190)( +−= xxV e, conseqüentemente,

1240200076020004190)4( −=+−=+⋅−=V

ou seja, R$ 1.240,00 será o valor da máquina após 4

anos de uso.

1.2.2.2. Função Quadrática

Uma função polinomial ℜ→ℜ:p é dita quadrática (ou de

grau 2) quando existem constantes ℜ∈cba ,, tais que

cbxaxxp ++= 2)( , para todo ℜ∈x , com 0≠a .

Exemplos:

20. A função ℜ→ℜ:p , dada pela lei 12)( 2 +−= xxxp ;

nesse caso, 1,2 −== ba e 1=c .

21. Para a função ℜ→ℜ:p definida por 1)( 2 +−= xxp ,

tem-se que 0,1 =−= ba e 1=c .

23

22. Já para a função ℜ→ℜ:p , dada por 3

)(2xxp = , tem-se

que 31

=a e 0== cb .

Da mesma forma que nas funções afins, geometricamente, a

constante c representa a ordenada onde a parábola corta o

eixo OY e a constante a dá a concavidade da função

cbxaxxp ++2: a ; na referência indicada acima [3], prova-se

que se 0>a , a concavidade da parábola está voltada para

cima e quando 0<a , a concavidade está voltada para baixo.

Vale ressaltar aqui que tal formato da concavidade diz respeito

ao eixo horizontal OX .

Construindo o Gráfico da Função Quadrática Para se construir o gráfico de uma função quadrática é

extremamente importante atentar para os seguintes pontos:

concavidade, o ponto do gráfico que corta o eixo das

ordenadas, os pontos que cortam o eixo das abscissas e

localizar o vértice da parábola.

O formato da concavidade da função quadrática é dado pelo

sinal da constante 0≠a ; como já citamos antes, se 0>a , a

concavidade fica voltada para cima e, quando 0<a a

concavidade fica voltada para baixo.

O ponto do gráfico da função quadrática que corta o eixo das

ordenadas, ou eixo dos sy' é obtido fazendo 0=x na

expressão cbxaxxp ++= 2)( , ou seja, cp =)0( . Portanto, o

ponto em questão é ),0( cP = . Este ponto já é automaticamente

fornecido pela expressão polinomial da função quadrática dada.

O gráfico de

uma função

quadrática é

uma curva plana

chamada

parábola. A

demonstração

desse fato

encontra-se

detalhada na

referência [3].

24

Por exemplo, para a função dada por 13)( 2 ++−= xxxp , o

ponto que corta o eixo dos sy' é o ponto )1,0(=P .

Os pontos que cortam o eixo das abscissas, ou eixo dos sx' ,

podem ser encontrados resolvendo a equação 02 =++ cbxax .

Para isolarmos a incógnita x nesta equação, podemos

conseguir por completude de quadrados como segue:

inicialmente, multiplicando a equação por a4 , obtém-se:

0444 22 =++ acabxxa

Depois, somemos 2b a ambos os membros desta última

igualdade, obtemos: 2222 444 bacbabxxa =+++

Mas esta equação, nada mais é do que: 24)2( bacbax =++

ou equivalentemente,

acbbax 4)2( 22 −=+

Fazendo acb 42 −=∆ , temos que se 0<∆ , a função quadrática

não corta o eixo das abscissas, pois a última equação não

possuirá raízes reais; se 0>∆ , então a equação acima

possuirá duas raízes reais e distintas, a saber:

abx

21∆−−

= e a

bx22

∆+−=

Finalmente, se 0=∆ , a solução da equação acima será dita

raiz real dupla da função quadrática e será dada por a

bx2

−= .

Geometricamente, temos que se 0<∆ o gráfico da função

quadrática não corta o eixo das abscissas, quando 0>∆ , o

gráfico corta duas vezes o eixo das abscissas, a saber, nos

pontos de abscissas a

bx21

∆−−= e

abx

22∆+−

= . Finalmente,

se 0=∆ , então o gráfico da função quadrática “toca” somente

25

uma vez no eixo das abscissas, exatamente no ponto

−= 0,

2abP .

FIGURA 3

O vértice da função quadrática cbxaxxpx ++= 2)(a , é o

ponto cuja abscissa é o número a

bxv 2−= , conseqüentemente,

a ordenada correspondente será o número )( vv xpy = , isto é,

ca

bba

bayv +

−+

−=

22

2

ou seja,

aacbc

ab

abayv 4

424

22

2

2 −−=+−

= .

Portanto, o vértice é o ponto do gráfico da parábola dado por:

∆

−−=aa

bV4

,2

.

Se 0<a , a parábola estará voltada para cima e, portanto, o

vértice V será dito ponto de mínimo da função quadrática,

enquanto que se 0>a , a parábola estará voltada para baixo e,

nesse caso, o vértice V será o ponto de máximo da função

quadrática.

Exemplos: 23. Um fabricante produz objetos por R$ 3,00 cada,

vendendo-os por R$ 5,00. Com este preço, tem havido

uma demanda de 5000 objetos por mês, pelos

consumidores. Pensando em elevar o preço, o

fabricante observa que venderá menos 500 objetos por

mês para cada R$ 1,00 aumentado. Nessas condições,

A observação da

concavidade da

função

quadrática é de

grande valia na

resolução de

problemas na

área Otimização.

26

qual deve ser o novo preço de cada objeto para se obter

o maior lucro possível nas vendas?

Solução: Para esse problema o que queremos é maximizar

a função-lucro. O lucro pode ser expresso da seguinte

maneira:

( ) ( )objetoporlucrovendidosobjetosdenúmeroLucro ⋅=

Seja x o novo preço de venda de cada objeto e )(xL o

lucro correspondente. De acordo com os dados do

problema, o número de objetos vendidos é dado através da

diferença:

( )55005000 −− x

onde 5−x representa o número de aumentos de R$ 1,00.

Como o custo de produção de cada objeto é R$ 3,00, temos

que o lucro por cada objeto é dado pela diferença 2−x .

Portanto, o lucro será dado como:

( )[ ] ( )355005000)( −⋅−−= xxxL

Ou seja,

( )( )315500)( −−= xxxL

Abaixo, está o gráfico da função-lucro obtida acima na

forma fatorada, restrito a seu domínio de importância prática.

Figura 4

27

O valor que fornece o valor máximo desta da função-lucro

corresponde à abscissa do vértice dessa função que é:

92

18==Vx

Ou seja, o novo preço de cada objeto para obtermos o

maior lucro possível deve ser R$ 9,00. E, de acordo com

nossos dados, o lucro máximo é obtido determinando a

imagem de 9=x . Portanto temos

( ) ( ) 180006650039915500)9( =⋅⋅=−⋅−⋅=L

Ou seja, o lucro máximo é R$ 18.000,00.

24. A demanda de um certo produto pelo consumidor é

dado pela fórmula 80050)( +−= ppD unidades mensais,

quando o preço de mercado é de p reais por unidade.

Estime o preço de mercado com o qual é maior o gasto

total mensal do consumidor.

Solução: Nesse caso, o gasto total, )( pG , a ser

determinado, será dado pelo produto entre a demanda e o

preço de mercado, ou seja:

( ) ppppDpG ⋅+−=⋅= 80050)()(

Observe que a função-gasto trata-se de uma função

polinomial de segundo grau em p com concavidade voltada

para baixo. Ademais, pondo

( ) pppG ⋅+−⋅= 1650)(

observamos facilmente que suas raízes são os números

reais 01 =p e 162 =p . Da mesma forma que na questão

anterior, o preço ótimo de mercado com o qual o gasto total

é máximo corresponde à abscissa do vértice dessa

parábola que é obtido como segue:

82

16==vp ,

isto é, R$ 8,00.

28

Figura 5

25. Dentre todos os retângulos de perímetro p qual aquele

de área máxima?

Solução: Essa pergunta pode ser respondida determinando

o valor máximo de uma função quadrática

convenientemente determinada; de fato, sendo x e y as

medidas do comprimento e altura, respectivamente, do

retângulo de perímetro p , temos que: pyx =+ 22 . A área

de tal retângulo é dada pela expressão xyA = . Portanto,

uma vez que 22xpy −

= , resulta que:

−⋅=

22xpxA , ou

seja,

xpxxA2

)( 2 +−=

Portanto, para que )(xAA = seja máxima, devemos

determinar o ponto de máximo de tal função, o qual é dado

pela abscissa do vértice da parábola xpxxA2

)( 2 +−= , pois

tal função é uma parábola com a concavidade voltada para

baixo. Logo:

4)1(22

2p

p

abxv =

−⋅−=−=

Portanto, a outra dimensão do retângulo é dada por

29

424

2p

ppy =

⋅−

=

Logo, tal retângulo de área máxima é um quadrado de

lado 4p .

26. Um ônibus de 60 lugares foi fretado para uma excursão

em Parnaíba (PI). A empresa exigiu de cada passageiro

R$ 40,00 mais R$ 5,00 por cada lugar desocupado. Para

que a rentabilidade da empresa seja máxima determine

o número de passageiros necessários.

Solução: Chamando de x o número de passageiros

presentes, temos que o número de lugares vagos é dado

por x−60 . Sendo )(xR a rentabilidade obtida em função

de x , segue-se que:

( )xxxxR −+= 60560)(

Isto é,

xxxR 3605)( 2 +−=

Portanto a função rentabilidade é uma função polinomial

quadrática com a concavidade voltada para baixo.

Sendo assim )(xR possui um ponto de máximo, a saber,

dado pela abscissa de seu vértice:

3610360

)5(2360

==−⋅

−=vx

Assim serão precisos 36 passageiros presentes para

que a rentabilidade seja a maior possível.

27. Tio João possui uma fábrica de sorvetes. Mensalmente

são vendidos, em média, 400 caixas de picolés pelo

preço R$ 25,00 cada. Com o objetivo de incentivar o

aumento da venda do número de caixas de sorvetes, Tio

João observa que a cada R$ 1,00 diminuído no preço da

caixa, ele vende 40 caixas a mais. Sendo assim, quanto

Tio João deveria cobrar pela caixa para que sua receita

fosse máxima?

30

Solução: Sendo x o número de R$ 1,00 deduzido no preço

de cada caixa, temos que o novo preço da caixa será x−25

e x40400+ será o número de caixas vendidas. Portanto a

receita total recebida por Tio João será dada pela

expressão:

( ) ( )xxxR 4040025)( +⋅−=

Ou seja,

1000060040)( 2 ++−= xxxR

O ponto de máximo desta função quadrática é dado pela

abscissa do vértice, isto é:

( ) 5,780600

402600

==−⋅

−=vx

Não esqueçamos que x é o número de R$ 1,00 deduzido

de R$ 25,00. Logo, o preço ótimo será fornecido pela

diferença

50,17$50,7$00,25$ RRR =−

1.2.3. Funções Exponenciais

As funções exponenciais desempenham um papel de suma

importância no entendimento de muitos modelos matemáticos

complexos. Operações financeiras como capitalização pelo

regime de juros compostos pode ser interpretada com o uso

adequado de manipulações algébricas e modelos exponenciais.

A desintegração radioativa de uma determinada substância, no

decorrer do tempo, pode ser entendida matematicamente

através de modelos exponenciais.

Portanto, faz-se necessário estudar funções exponenciais e,

para tal, começaremos entendendo as propriedades das

potências onde os expoentes são números reais, as quais

servem de alicerce para o desenvolvimento destas funções.

A importância

dos modelos

exponenciais

também aparece

nas operações

financeiras de

empréstimos.

31

1.2.3.1. Potenciação Definição: Seja a um número real tal que 10 ≠< a e n um

número natural. O número real na é definido como segue:

≠⋅⋅⋅⋅=

= 0,...0,1

nseaaaanse

avezesn

n

4434421

Por exemplo, ( ) ( ) ( ) ( ) 333933333

⋅=⋅=⋅⋅= . Como

vemos, a potenciação nada mais é do que uma operação

criada para sintetizar a idéia de um produto de fatores iguais.

Esta notação se presta muito bem a algumas manipulações

algébricas utilizadas em cálculos que envolvam modelos

exponenciais. Como veremos, a mesma tornar-se-á prática e

muito trabalhável. Mais esta definição está restrita a expoentes naturais, e isso

limita muito a aplicabilidade dessa importante ferramenta

matemática. Por exemplo, o que representaria 43− ? No caso

das potências com expoentes do tipo nm −= , onde Nn∈ ,

define-se:

nnm

aaa 1

== −

Por exemplo, 91

313 2

2 ==− . E se, quiséssemos calcular o valor

de 32

21 −

? Nesses casos, onde a potência possui um

expoente fracionário, usaremos a seguinte definição:

n mnm

aa =

Então voltando ao nosso exemplo, temos:

3

332

3

232

4

411

211

21

21

==

=

=

−−

32

E como se define a potência 25 ? Nesse caso, o que se faz é

considerar uma seqüência de números racionais )( nx

convergindo para 2 , isto é, 2→nx , com Qxn ∈ , e definir

nx

n5lim5 2

+∞→=

Agora estamos em condições de definir a função exponencial.

Definição: Seja a um número real tal que 10 ≠< a . A função

ℜ→ℜ:f , dada pela lei xaxfx =)(a , onde ℜ∈x , é

chamada função exponencial.

Observações: 1. Obviamente, temos que 1)0( =f ;

2. Para qualquer ℜ∈x , 0)( >= xaxf , ou seja, o gráfico da

função exponencial não toca o eixo das abscissas,

ficando sempre no semi-plano superior determinado por

tal eixo;

3. Se 10 << a , a função exponencial dada por xaxf =)( é

decrescente, pois se yx < , então yx aa > ;

4. Se 1>a , a função exponencial dada por xaxf =)( é

crescente, pois se yx < , então yx aa < ;

5. Uma propriedade, menos óbvia, da função exponencial

é que a mesma é convexa, isto é, o seu gráfico é

“voltado para cima”. Maiores informações, leia [4]. Veja

o gráfico da função exponencial nos dois casos citados

acima:

O corpo dos números reais é um conjunto completo, no sentido que toda seqüência de Cauchy é convergente. Este é um tópico avançado da Matemática e, portanto, foge ao escopo desse livro.

33

FIGURA 6

Exemplos:

28. ℜ→ℜ:f , dada por xxf 3)( = ;

29. ℜ→ℜ:f , dada por x

xf

=

21)( ;

30. ℜ→ℜ:f , dada por xxf π=)( ;

1.2.4. Função Logarítmica

A função que ora apresentaremos, tem com a função

exponencial uma relação muito intrínseca, na verdade uma é a

inversa da outra. Por isso, ambas desempenham um papel

importante no contexto elucidativo do comportamento de

determinadas grandezas matemáticas.

Do mesmo modo que fizemos no estudo das funções

exponenciais começaremos com algumas definições e

propriedades.

1.2.4.1. Logaritmo

Nomenclatura:

Na notação

cba =log , o

número a é

chamado base do

logaritmo, o

número b de

logaritmando e o

número real c é

o logaritmo.

34

Definição: Sejam a e b números reais tais que 10 ≠< a e

0>b . O logaritmo de b , na base a , o qual denotaremos pelo

símbolo balog , é o número real c , tal que cab = . Isto é:

ca abcb =⇔=log

Então, como vimos, o logaritmo de um determinado número

positivo é o expoente que devemos elevar a base para

obtermos o número positivo dado a priori.

Observe, nesta definição, a relação natural entre potências e

logaritmos; a partir de um se tem o outro e vice-versa. Nesse

sentido é que afirmamos que, como veremos, a função

logarítmica é a inversa da função exponencial.

Por exemplo,

1. 38log2 = , pois 823 = ;

2. 213log3 = , pois 332

1

= ;

3. 38log21 −= , pois 8

21 3

=

−

.

Agora apresentaremos uma lista de propriedades decorrentes

da definição dos logaritmos que serão muito úteis

posteriormente. A título de entendimento, demonstraremos

algumas destas propriedades e deixaremos as demais para o

leitor, como exercício. Por sinal, um belo exercício!

Propriedades dos Logaritmos:

1. 01log =a ;

2. 1log =aa ;

3. ( ) cbcb aaa logloglog +=⋅ ;

4. cbcb

aaa logloglog −=

;

5. ( ) bcb ac

a loglog ⋅= ;

6. ( ) bc

b aac log1log ⋅= ;

35

7. abb

c

ca log

loglog = . (Mudança de Base)

Prova: A título de exemplificação, mostremos a propriedade 4;

fazendo, xcb

a =

log , yba =log e zca =log , por definição,

segue-se que: xacb= , yab = e zac = . Portanto, substituindo

estas duas últimas igualdades na primeira, temos:

zyxaaaaa zyx

z

yx −=⇒=⇒= − ,

ou seja, cbcb

aaa logloglog −=

, como queríamos. ■

Definição: Seja a um número real tal que 10 ≠< a . A função

logarítmica é definida pela seguinte lei de formação:

xxfxf

alog)(: *

=ℜ→ℜ +

a

Exemplos:

3311.. ℜ→ℜ +*:f , dada por xxf 5,0log)( = ;

3322.. ℜ→ℜ +*:f , dada por xxf 5,1log)( = ;

3333.. ℜ→ℜ +*:f , dada por ( )xxf 3log)( π= ;

3344.. ℜ→ℜ +*:f , dada por

=

5log)( 3

xxf .

Convenções: No estudo dos logaritmos é comum fazer as

seguintes convenções: para o logaritmo na base 10=a ,

escreveremos apenas xlog , ao invés de x10log . E, quando

718,2≈= ea (Constante de Napier), escreveremos xln para

representar xelog .

NNeemm sseemmpprree oo ddoommíínniioo ddaa ffuunnççããoo llooggaarrííttmmiiccaa éé oo ccoonnjjuunnttoo ddooss

nnúúmmeerrooss rreeaaiiss ppoossiittiivvooss +ℜ* ; ddee ffaattoo,, aa ddeeffiinniiççããoo eexxiiggee qquuee oo

llooggaarriittmmaannddoo sseejjaa ppoossiittiivvoo ee iissssoo ppeerrmmiittee aalltteerraarr mmuuiittoo oo

36

ddoommíínniioo ddaa ffuunnççããoo llooggaarrííttmmiiccaa ddaaddaa.. PPoorr eexxeemmpplloo,, ppaarraa aa

ffuunnççããoo llooggaarrííttmmiiccaa ddaaddaa ppeellaa rreeggrraa ( )13log)( 3 −= xxf , devemos

impor que 013 >−x , ou seja, 31

>x . Nesse caso, o domínio da

função dada será o conjunto

>ℜ∈=

31; xxD . Vejamos mais

alguns exemplos.

EExxeemmppllooss::

3355.. ℜ→

−>ℜ∈

21;: xxf , ( )12log)( 5,0 += xxf ;

3366.. ℜ→

<ℜ∈

23;: xxf , ( )xxf 23log)( 5,1 −= ;

3377.. ℜ→ℜ*:f , xxf ln)( = ;

3388.. ℜ→

−−ℜ

23:f , 32ln)( += xxf .

OO ggrrááffiiccoo ddaa ffuunnççããoo llooggaarrííttmmiiccaa,, aaoo ccoonnttrráárriioo ddaa ffuunnççããoo

eexxppoonneenncciiaall,, aaoo iinnvvééss ddee sseerr ccoonnvveexxoo éé ccôônnccaavvoo vvoollttaaddoo ppaarraa

bbaaiixxoo.. PPeellaa pprróópprriiaa ddeeffiinniiççããoo,, nnããoo ttooccaarráá oo eeiixxoo ddaass oorrddeennaaddaass

nnoo ppllaannoo ccaarrtteessiiaannoo ee eessttaarr ssiittuuaaddoo àà ddiirreeiittaa ddoo rreeffeerriiddoo eeiixxoo,,

uummaa vveezz qquuee sseeuu llooggaarriittmmaannddoo éé ppoossiittiivvoo.. DDaa mmeessmmaa ffoorrmmaa

qquuee aa ffuunnççããoo eexxppoonneenncciiaall,, qquuaannddoo aa bbaassee ddoo llooggaarriittmmoo ffoorr

ppoossiittiivvoo ee mmeennoorr qquuee 11,, aa ffuunnççããoo llooggaarrííttmmiiccaa sseerráá ddeeccrreesscceennttee

ee qquuaannddoo aa bbaassee ffoorr mmaaiioorr qquuee 11,, aa ffuunnççããoo llooggaarrííttmmiiccaa sseerráá

ccrreesscceennttee..

FFIIGGUURRAA 77

37

1.2.5. Funções Trigonométricas

1.2.5.1. O Círculo Trigonométrico A maneira mais didática, e de certa forma mais elementar, de

se introduzir as funções trigonométricas é através da utilização

do ciclo trigonométrico. O ciclo trigonométrico nada mais é do

que uma circunferência de raio unitário centrada na origem do

plano cartesiano, onde se convencionou um sentido positivo de

percurso, a saber, o sentido contrário ao movimento dos

ponteiros de um relógio.

Na prática o que se faz é considerar o ângulo x , com medida

dada em radiano e, em seguida, percorrer no sentido positivo

de percurso um arco, no ciclo trigonométrico, de medida x . A

esse arco fica subtendido um ângulo central que mede x

radianos. Na figura abaixo representamos o Ciclo

trigonométrico, denotado por C , e as coordenadas de um

ponto genérico ( )yxQ ,= . Então, como CQ∈ , temos que x e

y , satisfazem à equação 122 =+ yx .

FIGURA 8

Do ponto de vista formal matemático o que acabamos de

estabelecer foi uma correspondência entre o conjunto dos reais

e o conjunto de pontos do ciclo trigonométrico; de fato, a cada

número real x associa-se um ponto P do ciclo trigonométrico,

Não esqueçam:

No Círculo

Trigonométrico

adota-se o

sentido positivo

como sendo o

sentido anti-

horário!

38

construído da maneira descrita acima. E dado um ponto P do

ciclo trigonométrico, a medida do arco OP , representa o

número real x determinado por tal ponto.

A correspondência obtida acima é sobrejetora, porém não é

injetora; de fato, suponhamos que o ponto P do ciclo

trigonométrico esteja associado a um certo número real x , o

mesmo ocorrerá com os números reais expressos pela

igualdade πkxy 2+= , onde k é um número inteiro positivo.

Essa observação é imediata, basta o leitor observar que o

inteiro positivo k indicará o número de voltas percorridas no

sentido positivo ao sairmos de O até chegarmos ao ponto final

P .

1.2.5.2. Função Seno Nesta seção faremos uma introdução ao seno de um número

real x , a partir do círculo trigonométrico, tal como foi feito no

ensino médio. Em seguida, definiremos a função seno e

estudaremos algumas propriedades da mesma.

Para definir o seno do número real x começamos, tal como

indicado na figura abaixo, considerando o ângulo orientado θ

cuja medida em radianos é x . A partir da correspondência

acima descrita, consideramos, no círculo trigonométrico, o

ponto P associado ao número real x . Tal ponto possui

coordenadas ),( βα=P tais que 122 =+ βα . Finalmente o seno

de x corresponde à ordenada do ponto P , isto é, xsen=β .

39

FIGURA 9

Desta forma, a cada número real x fica associado um outro

número real que chamaremos de seno de x , usualmente

designado por xsen .

De imediato, observemos que da igualdade 122 =+ βα e,

lembrando que xsen=β , vale a seguinte desigualdade

122 ≤= xsenβ , ou seja, 1≤xsen . Portanto, eliminando o

módulo, segue-se que:

11 ≤≤− xsen

O que fizemos foi definir o seno de um determinado número

real x . Portanto considerando arbitrariamente um número real

qualquer x , temos a seguinte função, chamada de Função

Seno:

[ ]xsenx

sena

1,1: −→ℜ

Para determinados valores de x , utilizando o círculo

trigonométrico, é muito fácil determinar o correspondente valor

do seno de x , senão vejamos:

( ) 12

0212

3

012

00

−=

−=−=

==

=

πππ

ππ

sensensen

sensensen

40

Para obtermos o seno de alguns outros ângulos elementares

podemos recorrer à trigonometria no triângulo retângulo. Para

isso devemos utilizar as razões trigonométricas seno e cosseno.

Mas também podemos utilizar o círculo trigonométrico, que traz

em si uma geometrização muito interessante. Por exemplo,

vamos obter o seno dos seguintes ângulos, expressos em

radianos, ,6π

3π e

4π . Para o cálculo do seno do ângulo

6π ,

observemos a figura abaixo:

Figura 10

O valor do seno do ângulo 6π , corresponde à medida do

segmento PR , ou seja, simbolicamente, PRsen =

6π . Mas

observemos que o triângulo OQP∆ é eqüilátero; de fato, tal

triângulo já é isósceles, pois os segmentos OP e OQ são

congruentes e, ambos, medem 1 unidade, que corresponde à

medida do raio do círculo trigonométrico. Por outro lado, os

ângulos OPR∠ e OQR∠ são congruentes e medem 3π

radianos. Isso mostra que o triângulo OQP∆ é eqüilátero e,

conseqüentemente, 1=== PQOQOP . Uma vez que os

triângulos ORP∆ e ORQ∆ são ambos retângulos e

congruentes, temos que os lados RP e RQ possuem a mesma

medida e, conseqüentemente, 21

== RQRP , isto é,

41

21

6=

πsen .

Para calcularmos o valor do seno de 4π recorreremos, mais

uma vez, ao círculo trigonométrico. Observando a figura abaixo,

Figura 11

temos que o triângulo OQP∆ é retângulo, em Q , e isósceles,

cuja hipotenusa mede 1 unidade de comprimento. Pelo

Teorema de Pitágoras, segue-se que:

122 =+QPOQ

Como QPOQ = , resulta: 1.2 2 =QP , ou seja, 22

=QP . Da

definição, temos que:

22

4=

πsen .

Finalmente, para o cálculo do seno de 3π , recorremos mais

uma vez ao círculo trigonométrico. Observe a figura abaixo.

Figura 12

42

Por construção, os triângulos ORS∆ e OQP∆ são retângulos

em S e Q , respectivamente e, além disso, são congruentes.

Pela correspondência de congruência, os lados SR e QP são

congruentes e, uma vez que

21

6=

=πsenQP ,

segue-se que 21

=SR . Aplicando o Teorema de Pitágoras no

triângulo ORS∆ , temos: ( ) ( ) 122 =+ SROS

Daí segue-se que:

( )43

211

22 =

−=OS

isto é, 23

=OS . Mas por construção, o comprimento do

segmento OS é exatamente o seno de 3π , logo acabamos de

mostrar que 23

3=

πsen .

Um fato muito importante nesse contexto é que a função seno

é uma função ímpar, isto é, para qualquer número real x , vale:

( ) xsenxsen −=−

De fato, esta igualdade fica muito evidente ao observarmos a

figura abaixo:

Figura 13

A curva obtida

ao construirmos

o gráfico da

função sendo, é

denominada

senóide.

43

os triângulos ORP∆ e ORQ∆ são congruentes e,

correspondentemente, RQRP = . Mas, por definição sabemos

que RPxsen = e ( ) RQxsen −=− ; portanto, segue-se que

( )xsenxsen −−= , como queríamos.

Analogamente, usado a mesma técnica utilizada acima,

podemos mostrar as seguintes igualdades, que serão de

grande valia para os cálculos que envolvem a função seno:

( )( )

−=

+

−=+=−

−=

+

xsenxsen

xsenxsenxsenxsen

xsenxsen

23

23

22

ππππ

ππ

Abaixo exibimos o gráfico da função seno restrita ao intervalo

]2,0[ π .

Figura 14

A função seno é periódica, de período π2 , isto é:

( ) ℜ∈∀=+ xxsenxsen ,2π .

Isto quer dizer que, a partir de π2 , ou seja, depois de uma

volta no círculo trigonométrico, os valores do seno se repetem

e, devido a isso, em termos do esboço gráfico a função seno se

estende de forma repetida ao que está figurado no intervalo

]2,0[ π , para a direita e para a esquerda do esboço acima. Veja

a figura abaixo:

44

Figura 15

Uma outra coisa muito importante envolvendo o seno de

números reais e que pode ser resolvido com o auxílio do

círculo trigonométrico diz respeito à resolução da equação: αsenxsen =

onde ℜ∈α . Como resolver esta equação? Como sabemos o

seno do número real α satisfaz: 11 ≤≤− αsen . Para resolver a

equação trigonométrica dada, basta observar que traçando-se

uma reta horizontal r definida pela equação αseny = , os

números reais x que são soluções da equação dada

correspondem aos pontos de interseção P e Q do círculo

trigonométrico com a reta αseny = . Conseqüentemente os

valores de x que resolvem tal equação é α ou απ − , ou difere

destes valores por um múltiplo inteiro de π2 . Desta forma,

temos:

παα kxsenxsen 2+=⇔= ou ( ) παπ kx 2+−=

onde Zk ∈ .

Figura 16

1.2.5.3. Função Cosseno

45

O cosseno de um número real x é definido de maneira

inteiramente análoga à dada para o seno de x . O cosseno de

x é a abscissa do ponto P do círculo trigonométrico associado

ao número real x , tal como está representado na figura abaixo.

FIGURA 17

A função cosseno é aquela que a cada número real x associa

o cosseno de x , que denotaremos por xcos , da seguinte forma:

[ ]xx cos1,1:cos

a

−→ℜ

Da mesma forma que a função seno, temos que a função

cosseno, tal como definida acima, é sobrejetiva, porém não é

injetiva.

A primeira expressão importante que relaciona o cosseno com

o seno e que justifica a razão do nome cosseno, que para ser

mais correto é escrito como co-seno, diz respeito aos arcos

complementares, ou seja:

−= xsenx

2cos π , para todo ℜ∈x .

Com efeito, observando a figura abaixo:

46

Figura 18

temos que os triângulos OQP∆ e ORS∆ são congruentes. O

segmento OQ corresponde ao cosseno do número real x ,

enquanto o segmento OS corresponde ao seno do número real

x−2π . Como eles representam dois lados correspondentes

pela congruência dos triângulos OQP∆ e ORS∆ , segue-se que:

−=⇒= xsenxOSOQ

2cos π .

Agora, o número real x que trabalhamos no parágrafo anterior

está relacionado com um ponto P do círculo trigonométrico

situado no primeiro quadrante. Mas este mesmo raciocínio

estende-se de forma bastante natural para os demais

quadrantes, de forma que:

ℜ∈∀

−= xxsenx ,

2cos π .

Esta igualdade permite-nos calcular o valor do cosseno de

alguns ângulos elementares nos quais sabemos calcular o

respectivo valor do seno, senão vejamos:

• 12

02

0cos =

=

−=

ππ sensen

• 23

3626cos =

=

−=

ππππ sensen

• 22

4424cos =

=

−=

ππππ sensen

47

• 21

6323cos =

=

−=

ππππ sensen

• 1222

cos −=

−=

−=

−=

πππππ sensensen

• ( ) 02

322

3cos =−=−=

−=

πππππ sensensen

• ( ) ( ) 112

32

322

2cos =−−=

−=

−=

−=

πππππ sensensen

Com a utilização do círculo trigonométrico, é fácil provar que a

função cosseno é par, isto é,

( ) ℜ∈∀−= xxx ,coscos

de fato,

( ) xxsenxsenx cos22

cos =

−=

+=−

ππ .

Vale também as seguintes igualdades, para todo ℜ∈x :

( )( ) xx

xxcoscoscoscos

−=−−=+

ππ

Para maiores esclarecimentos ao leitor, mostremos a primeira

dessas duas igualdades, a outra igualdade é demonstrada de

forma inteiramente análoga:

( ) ( )

−−=

+−=+ xsenxsenx

22cos ππππ

ou seja,

( ) xxsenxsenx cos22

cos −=

+−=

+−=+

πππ

A igualdade

−= xsenx

2cos π , mostra que o gráfico da função

cosseno pode ser obtido a partir do gráfico da função seno

transladando-o para a esquerda 2π unidades. Veja o gráfico da

função cosseno a seguir:

48

Figura 19

Seja x um número real e ( )δε ,=P o ponto no círculo

trigonométrico associado ao número real x dado. Por

definição, sabemos que xcos=ε e xsen=δ correspondem aos

catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 1

unidade de comprimento. Pelo Teorema de Pitágoras, segue-

se que 122 =+δε , isto é,

1cos 22 =+ xsenx .

Esta é conhecida como a Relação Trigonométrica

Fundamental, a qual é verdadeira para qualquer ℜ∈x .

Agora, como fizemos ao estudarmos a função seno, vamos

aprender resolver algumas equações trigonométricas

envolvendo o cosseno de números reais. Para tal comecemos

com a equação: αcoscos =x

onde α é um número real dado e x é a incógnita. Usando a

igualdade

−= xsenx

2cos π , resulta:

−=

− αππ

22senxsen ,

portanto, temos

παππ kx 222

+−=− ou παπππ kx 222

+

−−=− ,

para todo Zk ∈ , ou seja,

πα kx 2+= ou πα kx 2+−= ,

ou equivalentemente,

Zkkx ∈∀+±= ,2 πα .

49

Consideremos agora a equação do tipo: xsenx =cos , para todo

ℜ∈x . A idéia é transformarmos toda a equação em função

somente de seno ou cosseno. Uma vez que

−= xxsen

2cos π ,

logo,

−= xx

2coscos π ,

ou seja,

ππ kxx 22

+

−= ou ππ kxx 2

2+

−−=

A segunda equação é impossível, portanto, obrigatoriamente

temos que:

Zkkxkxx ∈∀+=⇒+

−= ,

42

2ππππ .

1.2.5.4. Função Tangente

A tangente de um número real x , denotado por xtg , é definido

como a razão entre o seno e o cosseno, nessa ordem, do

número real x , ou seja,

xxsenxtg

cos= .

Observemos que, para essa razão devemos impor que

0cos ≠x . Daí só existe tangente para os números reais x

pertencentes ao conjunto:

∈+≠ℜ∈= ZkkxxD ,

2; ππ

Portanto, a função tangente é definida como segue:

xxsenxtgx

Dtg

cos

:

=

ℜ→

a

50

Geometricamente, a tangente de um número real x

pertencente ao intervalo ,2

,0

π possui uma interpretação muito

simples no círculo trigonométrico, o qual encontra-se

representado no gráfico abaixo:

Figura 20

Observemos que os triângulos, representados no círculo

trigonométrico acima, OQP∆ e OSR∆ são semelhantes,

portanto seus lados são proporcionais, isto é:

OSSR

OQQP

=

Pela definição, OQQPxtg = e, observando que 1=OS , pois é o

raio do círculo trigonométrico, segue-se que:

SROQQPxtg ==

Para

∈

2,0 πx , como o círculo trigonométrico possui raio

medindo 1 unidade de comprimento, temos que o comprimento

do arco SP é igual à medida (em radianos) do ângulo ao

centro, ou seja, x . Concluímos assim que, para todo

∈

2,0 πx

, se tem xxsen ≤ . Retornando ao triângulo OSR∆ no círculo

anterior, temos que a área desse triângulo é maior que a área

do setor circular OSP . Por outro lado, como o raio do círculo

trigonométrico mede 1 unidade de comprimento, sabemos que

51

a área do setor circular OSP é dada por x21 e, a área do

triângulo OSR∆ é dada por SROS ⋅⋅21 ; portanto, segue-se que:

SROSx ⋅⋅≤⋅21

21

Uma vez que, 1=OS e xtgSR = , segue-se que:

xtgx ≤

Concluindo, para todo

∈

2,0 πx , temos que:

xtgxxsen ≤≤

52

EXERCÍCIOS

1. Sejam T o conjunto dos triângulos do plano e )(rC o

conjunto dos círculos do plano cartesiano de raio 0>r e

)(: rCTf → a correspondência que associa a cada

triângulo Tx∈ um círculo )()( rCxf ∈ que possuem

áreas iguais. Pergunta-se: “ f é função?” Justifique sua

resposta.

2. Determinar o domínio da função ℜ→Df : , definida

pela regra: xx

xxf313)( 2 −

+= .

3. Desde o início do mês, um reservatório de água de um

local tem sofrido um vazamento numa razão constante.

No dia 15, o reservatório possuía cerca de 100 milhões

de litros de água e, no dia 25, possuía somente 44

milhões de litros.

a) Expresse a quantidade de água como função do

tempo e construa o gráfico correspondente.

b) Calcule a quantidade de água do reservatório, no dia

12.

4. A cada 20 anos, um certo livro tem seu valor triplicado.

Originalmente, o preço do livro era de R$ 300,00.

Nestas condições, pede-se:

a) O valor do livro quando tiver 40 anos. E quando tiver

60 anos?

b) A relação entre o valor e o tempo do livro é linear?

Justifique.

5. Qual o conjunto imagem da função ℜ→ℜ:f definida

pela lei 1)( 2 −= xxf .

6. Determine o conjunto dos números reais x tais que:

.2

122

2

xxxx

−−+

53

7. Com um lápis cuja ponta tem mm02,0 de espessura,

deseja-se traçar o gráfico da função xxf 2)( = . Até que

distância à esquerda do eixo vertical pode-se ir sem que

o gráfico atinja o eixo horizontal?

8. A grandeza y se exprime como tbay = em função do

tempo t . Sejam d o acréscimo que se deve dar a t para

que y dobre e m (meia-vida de y ) o acréscimo de t

necessário para que y se reduza à metade. Mostre que

dm −= e dt

by 2.= , logo 2log

12loga

ad == .

9. Observações feitas durante longo tempo mostram que,

após período de mesma duração, a população da terra

fica multiplicada pelo mesmo fator. Sabendo que essa

população era de 2,68 bilhões em 1956 e 3,78 bilhões

em 1972, pede-se:

a) O tempo necessário para que a população da terra

dobre de valor.

b) A população estimada para o ano 2012.

c) Em que ano a população da terra era de 1 bilhão.

10. A função ( )tP 04,1.60= representa a estimativa do

Produto Interno Bruto em bilhões de dólares (PIB) de um

país no ano t adotando-se a seguinte convenção:

0=t representa o ano de 1996;

1=t representa o ano de 1997;

2=t representa o ano de 1998;

e assim por diante. Use a calculadora e responda:

a) Qual a estimativa do PIB em 2005?

b) Em que ano o PIB será o dobro do que era em

1996? E o triplo? Em geral, em que ano o PIB

será igual ao PIB inicial multiplicado por x ?

11. Determine as três menores soluções positivas da

equação: 04

3cos =

−

πx .

54

12. Determinar o conjunto dos números reais x tais que:

−

32tan πx

13. Para que valores de x tem-se 21

>xsen ?

14. Para que valores reais de m existe x tal que

23 −= mxsen ?

55

56

SUMÁRIO

UNIDADE 2: Limite e Continuidade 2.1. Introdução 57

2.2. Limite de Funções 58

2.2.1. Noção Intuitiva de Limite 58

2.2.2. Definição de Limite 59

2.2.3. Propriedades Operatórias de Limites 59

2.2.4. Limites Fundamentais 60

2.2.5. Limite da Função Composta

2.3. Continuidade de Funções 65

2.3.1. Definição de Continuidade 65

2.3.2. Pontos de Desconhecimento de uma Função 67

2.3.2. Propriedades Operatórias entre Funções Contínuas 68

Exercícios 70

57

2 LIMITE E CONTINUIDADE

2.1. Introdução

Em toda esta unidade estudaremos, sem muito rigor

matemático, as noções básicas de limites e derivadas. Na

verdade, dessas duas a mais importante pelo seu conteúdo é a

noção de limite, pois como veremos derivada é, por definição,

um limite especial.

Muitos estudiosos famosos estudaram e expuseram

suas idéias sobre o importante tema Limite. O matemático

francês, Augustin Louis Cauchy (1789-1857) foi, dentre outros,

um grande estudioso da Teoria dos Limites. Mas antes dele,

podemos citar outros grandes nomes, a saber, o matemático e

físico inglês Isaac Newton (1642-1727), o matemático alemão

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) já haviam desenvolvido

o Cálculo Infinitesimal.

A noção de Limite é essencialmente o que há de

sustentação na teoria de derivação e integração. Por conta

disso, essa noção também se estende às teorias de equações

diferenciais ordinárias, estas por sua vez desempenham um

papel crucial no desvendamento do comportamento de

determinados fenômenos tanto na Física como na Biologia,

Química e outras áreas das Ciências Exatas.

Basicamente esta unidade encontra-se dividida em duas

seções: na primeira estudaremos as noções básicas de limites,

enquanto que na segunda seção descreveremos o que há de

importante, nesse contexto, sobre derivadas.

As demonstrações de proposições e teoremas, aqui

enunciados, podem ser encontradas com rigor matemático em

muitas referências, mas queremos aqui indicar o livro de

Análise Real do autor Elon Lages Lima. Trata-se de uma

referência brilhante no assunto.

O tópico Limites, a nível de ensino médio, pode ser visto com mais detalhes no site da Revista do Professor de Matemática da Sociedade Brasileira de Matemática.

58

2.2. Limites Nesta seção dissertaremos sobre limites que se constitui

numa das mais belas e imprescindíveis idéias do calculo

diferencial e integral. Nós poderíamos citar milhões de

exemplos onde se utilizada largamente os cálculos envolvendo

limites. Mas deixaremos essa descoberta para o nosso aluno

que a partir de então se prevalecerá da aprendizagem de uma

das mais importantes idéias de toda a Matemática Moderna.

2.2.1. Noção Intuitiva de Limite

A idéia de limite, como o próprio nome diz, refere-se à

noção de proximidade, à noção de está próximo o suficiente.

Aqui estaremos preocupados em estudar o comportamento das

imagens de pontos que estão “próximos” de um determinado

número real.

Ou seja, estaremos considerando pontos arbitrariamente

próximos de um determinado ponto e ao olharmos para as

imagens desses pontos estaremos interessados em

observarmos se tais imagens ficam próximas de algum número

real. Caso afirmativo esse será o limite em questão.

Formalizando melhor esta idéia, consideremos uma

função

ℜ→ℜ⊆fDf :

e escolhamos um número real a tal que possamos se

aproximar desse número por pontos fDx∈ , isto é, para

qualquer número suficientemente pequeno 0>ε , a interseção

( ) φεε ≠∩+− fDaa ,

Assim sendo, para todo ( ) fDaax ∩+−∈ εε , , onde 0>ε e

arbitrário, queremos saber se )(xf estão próximos de algum

número real L .

59

2.2.2. Definição de Limite

Definição: Sejam que ℜ→ℜ⊆fDf : e a um ponto que pode

ser aproximado por pontos fDx∈ , diremos que o limite de

)(xf existe, e é igual a L , se, e somente se:

para fDx∈ “próximo” de a ⇒ )(xf esteja “próximo” de L

Simbolicamente, a representação será:

Lxfax

=→

)(lim

Exemplos:

1. 82lim 33

2==

→x

x

2. 31

3313

31lim

3=

−−+−

=

−+

−→ xx

x

3. 02

3cos2

2cos2

2coslim ==

−=

−

→

πππππ

xx

4. 204822lim22 2.33

2==

→

x

x

5. 14

tan44

.2tan4

2tanlim4

==

−=

−

→

πππππ

xx

2.2.3. Propriedades Operatórias de Limites

O resultado a seguir reúne todas as propriedades

indispensáveis para o andamento de nossos cálculos

referentes a derivadas. Não demonstraremos, uma vez que

essa meta foge aos objetivos deste livro. Mas o leitor

interessado em ver as demonstrações pode consultar [3].

Teorema: Sejam ℜ→ℜ⊆Dgf :, funções e ℜ∈a tais que

existam os limites:

Lxfax

=→

)(lim e Mxgax

=→

)(lim

Importante:

Não é necessário

que a pertença

ao domínio da

função. A

exigência que se

faz sobre o

número a é que o

mesmo possa ser

aproximado por

pontos do

domínio de f .

60

Então as funções gf + , gf − , gf ⋅ e gf admitem limite no

ponto ℜ∈a e, além disso, vale:

• ( ) ;)(lim)(lim)(lim MLxgxfxgfaxaxax

+=+=+→→→

• ( ) ;)(lim)(lim)(lim MLxgxfxgfaxaxax

−=−=−→→→

• ( ) ;)(lim)(lim)(lim MLxgxfxgfaxaxax

⋅=⋅=⋅→→→

• )0(,)(lim

)(lim)(lim ≠==

→

→

→M

ML

xg

xfx

gf

ax

ax

ax.

• Se )()( xgxf ≤ , para todo Dx∈ , então temos que:

)(lim)(lim xgxfaxax →→

≤ , isto é, ML ≤ .

Exemplos:

6. ( ) 912.2212lim 22

2=++=++

→xx

x

7. ( ) ( ) ( ) 1168123213lim 33

2−=++−=+−−−=+−

−→xx

x

8. ( )( ) ( )( ) ( ) 155.32.3112311lim 22

2−=−=−−=−−

→xx

x

2.2.4. Limites Fundamentais

A seguir enunciaremos alguns limites que serão de

grande valia para os nossos propósitos futuros, no que

concerne aos cálculos envolvendo limites e, posteriormente,

derivadas.

As demonstrações destes limites encontram-se nas mais

diversas referências bibliográficas, mas a título de sugestão, o

leitor interessado pode consultar [2] ou [3].

61

22..22..44..11.. LLiimmiittee TTrriiggoonnoommééttrriiccoo FFuunnddaammeennttaall

PPrrooppoossiiççããoo:: 1lim0

=→ x

xsenx

MMaaiiss uummaa vveezz,, aa ddeemmoonnssttrraaççããoo ddeessssee ffaattoo ppooddee sseerr

eennccoonnttrraaddoo eemm [[33]].. AAqquuii oo nnoossssoo oobbjjeettiivvoo éé uussaarr ttaall lliimmiittee nnaa

rreessoolluuççããoo ddooss pprroobblleemmaass qquuee eennvvoollvvaamm ccáállccuulloo ddee lliimmiitteess ddee

oouuttrraass ffuunnççõõeess ttrriiggoonnoommééttrriiccaass..

Exemplos:

9. Calcular o valor do seguinte limite: ( )x

xsenx

3lim0→

.

Solução: Para calcular o valor desse limite, basta fazermos

a seguinte mudança de variável xy 3= . Daí temos:

( )y

yseny

ysenx

xsen⋅== 3

3

3

Agora, observemos que se 0→x , temos que 0→y .

Portanto, segue-se que:

( ) 313lim33lim3lim000

=⋅=⋅=⋅=→→→ y

yseny

ysenx

xsenyyx

10. Calcular o limite:

6

32

lim6

π

π

π−

−

→ x

xsen

x.

Solução: Aqui fazendo a mudança de variável 3

2 π−= xy ,

temos que 26yx =−

π . E, observando que se 6π

→x resulta

que 0→y , segue-se que:

212lim22lim

2

lim

6

32

lim000

6

=⋅=⋅=

⋅==

−

−

→→→→ yysen

yysen

yysen

x

xsen

yyyx π

π

π

11. Calcule o limite: x

xx

cos1lim0

−→

62

Solução: Esse limite, aparentemente, não decorre do limite

trigonométrico fundamental. Mas, como havíamos dito antes,

qualquer limite que envolva funções trigonométricas

devemos pensar, a priori, no limite trigonométrico

fundamental. Sendo assim, observe que:

( )( )( ) ( )xx

xxx

xxx

xcos1

cos1cos1

cos1cos1cos1 2

+−

=+

+−=

−

Agora recordando a relação trigonométrica fundamental,

1cos 22 =+ xxsen ,

temos que xxsen 22 cos1−= , portanto voltando à igualdade

anterior envolvendo x

xcos1− , resulta que:

( ) xxsen

xxsen

xxxsen

xx

cos1cos1cos1 2

+⋅=

+=

−

Logo, calculando o limite teremos:

+

⋅=−

→→ xxsen

xxsen

xx

xx cos1limcos1lim

00

Pelas propriedades operatórias de limite, segue-se que:

00.1cos1

limlimcos1lim000

==

+

⋅

=

−→→→ x

xsenx

xsenx

xxxx

22..22..44..22.. LLiimmiittee EExxppoonneenncciiaall FFuunnddaammeennttaall

PPrrooppoossiiççããoo:: ex

x

x=

+

+∞→

11lim ,, oonnddee 32 << e ,, éé uumm nnúúmmeerroo

iirrrraacciioonnaall,, ddeennoommiinnaaddoo ccoonnssttaannttee ddee EEuulleerr..

NNaa vveerrddaaddee,, nnoo lliimmiittee ddeessssaa pprrooppoossiiççããoo,, ppooddeemmooss ssuubbssttiittuuiirr

+∞→x ,, ppoorr −∞→x qquuee oo rreessuullttaaddoo sseerráá oo mmeessmmoo.. OOuu sseejjaa,,

ex

x

x=

+

±∞→

11lim

VVaammooss nneessssee mmoommeennttoo ccaallccuullaarr oo vvaalloorr ddee aallgguunnss lliimmiitteess

qquuee eennvvoollvveemm oo lliimmiittee eexxppoonneenncciiaall ddeessccrriittoo aacciimmaa.. ÉÉ bboomm

rreessssaallttaarr qquuee nneessssee ppoonnttoo sseerriiaa mmuuiittoo iimmppoorrttaannttee qquuee oo lleeiittoorr,,

ccaassoo nneecceessssáárriioo,, ffaaççaa uummaa rreevviissããoo ssoobbrree ppootteenncciiaaççããoo..

63

EExxeemmppllooss::

1122.. CCaallccuullee oo vvaalloorr ddoo lliimmiittee:: x

x x

321lim

−

+∞→

SSoolluuççããoo:: PPaarraa ccaallccuullaarr oo vvaalloorr ddeessssee lliimmiittee,, sseerreemmooss bbeemm

oobbjjeettiivvooss ee pprrááttiiccooss.. AA iiddééiiaa éé ffaazzeerr ccoomm qquuee aappaarreeççaa aa

eexxpprreessssããoo x

x

+

11 ,, ccoomm ±∞→x ;; ppaarraa ttaall ffaarreemmooss aa

sseegguuiinnttee mmuuddaannççaa ddee vvaarriiáávveell:: xy21

−= ,, eeqquuiivvaalleenntteemmeennttee

tteemmooss yx 2−= .. SSeennddoo aassssiimm,, oobbsseerrvveemmooss qquuee ssee +∞→x ,,

tteemmooss qquuee −∞→y .. PPoorrttaannttoo,, rreessuullttaa::

6

663 11lim11lim21lim −

−

−∞→

−

−∞→+∞→=

+=

+=

− e

yyx

y

y

y

y

x

x

1133.. QQuuaall oo vvaalloorr ddoo lliimmiittee 12

21lim

−

+∞→

−+ x

x xx

SSoolluuççããoo:: IInniicciiaallmmeennttee,, oobbsseerrvveemmooss aass sseegguuiinntteess

mmaanniippuullaaççõõeess aallggéébbrriiccaass:: 1212

231

21 −−

−+=

−+ xx

xxx

AAggoorraa ffaazzeennddoo 2

31−

=xy

,, sseegguuee--ssee qquuee 23 += yx ,, llooggoo

363612 11111121

+⋅

+=

+=

−+

+−

yyyxx

yyx

PPoorr oouuttrroo llaaddoo,, ssee +∞→x ,, tteemmooss qquuee +∞→y ,, ppoorrttaannttoo

6636

12

11111lim21lim ee

yyxx

y

y

x

x=⋅=

+⋅

+=

−+

+∞→

−

+∞→

64

UUmmaa oouuttrraa ffoorrmmaa ddee oollhhaarrmmooss ppaarraa oo lliimmiittee eexxppoonneenncciiaall

ffuunnddaammeennttaall éé aattrraavvééss ddaa mmuuddaannççaa ddee vvaarriiáávveell x

y 1= ..

NNeessssee ccoonntteexxttoo,, tteemmooss qquuee ssee ±∞→x ,, eennttããoo 0→y ..

PPoorrttaannttoo,, oo lliimmiittee eexxppoonneenncciiaall rreedduuzziirr--ssee--áá::

( ) yyx

ye1

01limlim +==

→±∞→

1144.. QQuuaall oo vvaalloorr ddoo lliimmiittee;;

( ) x

xx 3

021lim −

→

SSoolluuççããoo:: NNeessssee ccaassoo ffaaççaammooss aa mmuuddaannççaa ddee vvaarriiáávveell

xy 2−= ,, ppoorrttaannttoo rreessuullttaa qquuee 2yx −= ;; llooggoo,, uummaa vveezz qquuee

0→x ,, rreessuullttaa ttaammbbéémm qquuee 0→y .. SSeennddoo aassssiimm tteemmooss::

( ) ( ) ( )[ ] 23

23

02

3

0

3

01lim1lim21lim

−−

→

−

→→=+=+=− eyyx y

y

y

y

x

x

2.2.5. Limite da Função Composta

Usaremos, para nossos propósitos, o resultado a seguir,

sem nos preocupar com demonstrações, uma vez que isso

foge aos objetivos desse livro.

Proposição:

Sejam f e g funções reais de variável real tais que:

bxfax

=→

)(lim e g seja contínua em b , isto é, )()(lim bgxgbx

=→

.

Então, podemos afirmar que:

( ) )()(lim))((lim bgxfgxfgaxax

==→→

AAllgguummaass aapplliiccaaççõõeess ddeessssee iimmppoorrttaannttee rreessuullttaaddoo ppooddeemm sseerr

vviissttaass nnooss eexxeemmppllooss aabbaaiixxoo::

1155.. ( ) ( )( ) ( ) 10ln24.3ln23limln23lnlim44

=−=−=−→→

xxxx

1166.. 21

3cos

32limcos

32coslim ==

−

=

−

→→

πππππ

xxxx

Sobre a

definição do

limite de uma

função

composta,

podemos

encontrar uma

argumentação

mais rigorosa, do

ponto de vista

matemático, em

[3].

65

1177.. ( ) ( ) 3333lim 1111lim1

1

22

12

=== +−+−+−

→

→xxxx

xx

2.3. Continuidade Uma primeira aplicação do conceito de limite diz respeito

à noção de continuidade. É muito importante tal conceito, uma

vez que, em sua quase maioria, a s funções com as quais

trabalhamos são funções contínuas e que possuam uma

“suavidade” bastante razoável para os nossos propósitos.

Mais adiante daremos um tratamento mais correto, do

ponto de vista matemático, dessa última afirmação feita no

parágrafo anterior.

2.3.1. Definição de Continuidade

Definição:

I. Diremos que uma função ℜ→ℜ⊆fDf : é

contínua num ponto fDa∈ se, e somente se:

)()(lim afxfax

=→

II. Diremos que ℜ→ℜ⊆fDf : é contínua, se ela é

contínua em todo fDa∈ .

Ou seja, a função )(xf é contínua num ponto a , se:

1) a função é determinada no ponto a , isto é, fDa∈ ;

2) existe o limite finito )(lim xfax→

;

3) além disso, este limite é igual ao valor da função no ponto a ,

isto é, )()(lim afxfax

=→

.

Uma outra forma de se expressar continuidade de uma

função um ponto de seu domínio, é através da mudança:

axh −= . Observe, que se x se aproxima de a , a diferença

66

axh −= se aproxima de zero. Portanto, o limite )()(lim afxfax

=→

,

pode ser reescrito na forma: )()(lim0

afhafh

=+→

ou equivalentemente, [ ] 0)()(lim0

=−+→

afhafh

. Observemos que

nessa última igualdade, a partir da igualdade axh −= ,

obtemos hax += .

Abaixo, mostramos alguns exemplos gráficos de funções

contínuas e outras que não o são.

Figura 2 1

Figura 22

Exemplos:

1188.. MMoossttrreemmooss qquuee aa ffuunnççããoo 2)( xxf = éé ccoonnttíínnuuaa ppaarraa ttooddoo

ℜ∈a ..

SSoolluuççããoo:: DDee ffaattoo,,

67

[ ] ( )[ ] [ ] 02limlim)()(lim 2

0

22

00=+=−+=−+

→→→hahahaafhaf

hhh

1199.. AAggoorraa,, vveerriiffiiqquueemmooss qquuee aa ffuunnççããoo xseny = éé ccoonnttíínnuuaa..

SSoolluuççããoo:: DDee ffaattoo,, uussaannddoo aa ffóórrmmuullaa iiddeennttiiddaaddee

ttrriiggoonnoommééttrriiccaa::

( )

+

=−+

2cos

22 hahsenasenhasen ,,

tteemmooss qquuee::

( ) hhah

hsenasenhasen ⋅

+⋅

=−+2

cos

2

2

UUmmaa vveezz qquuee,, ppaarraa ttooddoo ℜ∈x ,, tteemmooss::

,1cos ≤x

segue-se que:

hh

hsenhha

h

hsen⋅

≤⋅

+⋅

≤

2

22

cos

2

20

Ao limite com 0→h , observando que:

0lim1

2

2lim00

==

→→he

h

hsen

hh

segue-se que:

[ ] 0)()(lim0

=−+→

asenhasenh

ou seja,

( ) asenhasenh

=+→0

lim

2.3.2. Pontos de Descontinuidade de uma Função

Uma função )(xfy = é dita descontínua num ponto a

de seu domínio, quando a mesma não é contínua nesse ponto.

Por exemplo, a função ℜ→ℜ:f definida pelas sentenças:

68

2)( xxf = , se 0≤x e 1)( −= xxf , se 0>x , é descontínua no

ponto 0=x ; de fato, os limites laterais à esquerda e à direita,

valem respectivamente, 0 e 1− . Como esses limites laterais

são distintos, segue-se que a condição (2), da definição de

continuidade, é violada. Um outro exemplo é a função definida

pela lei ( )21

1)(−

=x

xf , se 1≠x e 0)1( =f ; aqui, a condição (2)

também é violada, pois o limite da função no ponto 1=x não é

finito.

2.3.3. Propriedades Operatórias de Continuidade

As propriedades de funções contínuas, praticamente são

as mesmas relacionadas no Teorema na seção de Limite.

Vamos enunciá-las, da mesma forma que fizemos no estudo

dos limites, para evidenciar a importância de todas elas e para

usá-las quando preciso.

Teorema 1:

Sejam ℜ→ℜ⊆Dgf :, funções contínuas num ponto

Da∈ . Então as funções gf + , gf − , gf ⋅ e gf , também são

contínuas no mesmo ponto Da∈ e, além disso, vale:

• ( ) );()()(lim)(lim)(lim agafxgxfxgfaxaxax

+=+=+→→→

• ( ) );()()(lim)(lim)(lim agafxgxfxgfaxaxax

−=−=−→→→

• ( ) );()()(lim)(lim)(lim agafxgxfxgfaxaxax

⋅=⋅=⋅→→→

• )0)((,)()(

)(lim

)(lim)(lim ≠==

→

→

→ag

agaf

xg

xfx

gf

ax

ax

ax.

Como na maioria dos casos as funções que trabalhamos

são funções oriundas da composição de outras funções, vamos

enunciar um resultado que trata da continuidade de funções

69

compostas. Como sempre, evitaremos as demonstrações

desses fatos, pois os mesmos fogem aos objetivos desse livro,

numa primeira instância.

Teorema 2: A composta de duas funções contínuas é contínua.

Ou seja, se ℜ→ℜ⊆Af : e ℜ→ℜ⊆Bg : são contínuas nos

pontos Aa∈ e Bb∈ , respectivamente, e, além disso,

BAf ⊂)( , então ℜ→ℜ⊆Afg :o é contínua no ponto Aa∈ .

Exemplos: 20. Uma vez que a função xx a é contínua em toda a reta

real, isto é, para todo ℜ∈x , pelo Teorema 1, o mesmo

ocorre com a função nxx a , para todo número natural

n .

21. Ainda com o uso do Teorema 1, temos que todo

polinômio ℜ→ℜ:p , dado por:

012

21

1)( axaxaxaxaxp nn

nn +++⋅⋅⋅++= −

−

onde os coeficientes 0121 ,,,,, aaaaa nn ⋅⋅⋅− são números

reais, são funções contínuas.

22. Também é contínua, toda função racional )()()(

xqxpxf =

(quociente de dois polinômios), nos pontos onde é

definida, ou seja, nos pontos onde seu denominador não

se anula, ou seja, 0)( ≠xq .

23. Agora consideremos a função ℜ→ℜ:f , definida por

xx

xf =)( , se 0≠x e 0)0( =f . Nesse caso, 1)( −=xf

para 0<x e 1)( =xf para 0>x . Portanto, a função f é

contínua para todo 0≠x , mas não o é para 0=x , uma

vez que não existe o limite )(lim0

xfx→

.

70

EEXXEERRCCÍÍCCIIOOSS

11)) MMoossttrree,, aattrraavvééss ddee eexxeemmppllooss,, qquuee aa eexxiissttêênncciiaa ddoo lliimmiittee

( ))()(lim xgxfax

⋅→

,,

nnããoo iimmpplliiccaa nnaa eexxiissttêênncciiaa ddooss sseegguuiinntteess lliimmiitteess::

)(lim)(lim xgexfaxax →→

22)) CCaallccuullaarr oo vvaalloorr ddee ccaaddaa lliimmiittee aabbaaiixxoo::

aa)) 11lim

3

1 −−

→ xx

x

bb))

−−

−→ 31 13

11lim

xxx

cc)) 20

cos1lim

xx

x

−→

33)) CCaallccuullaarr oo lliimmiittee aabbaaiixxoo::

aa)) 2

121lim

x

x xx

++

+∞→

bb)) ( )x

xx

+→

1lnlim0

44)) DDeetteerrmmiinnee oo vvaalloorr ddaa ccoonnssttaannttee ℜ∈k qquuee ttoorrnnee

ccoonnttíínnuuaa aa ffuunnççããoo aabbaaiixxoo::

>+≤−

=2,22,1

)(2

xkxxx

xf

55)) DDêê eexxeemmpplloo ddee dduuaass ffuunnççõõeess ccuujjaa ssoommaa éé ccoonnttíínnuuaa,, mmaass

ttaaiiss ffuunnççõõeess nnããoo sseejjaamm ccoonnttíínnuuaass..

66)) DDêê eexxeemmpplloo ddee dduuaass ffuunnççõõeess ccuujjoo pprroodduuttoo éé uummaa ffuunnççããoo

ccoonnttíínnuuaa,, ppoorréémm ttaaiiss ffuunnççõõeess ssããoo ddeessccoonnttíínnuuaass..

77)) AA ffuunnççããoo ℜ→ℜ:f ddeeffiinniiddaa ppeellaa lleeii::

=

≠−−+

=0,

21

0,11

)(x

xx

xx

xf

71

éé ccoonnttíínnuuaa eemm ttooddoo oo sseeuu ddoommíínniioo?? JJuussttiiffiiqquuee ssuuaa

rreessppoossttaa..

88)) EExxpprreessssee aa áárreeaa ddee uumm ccaammppoo rreettaanngguullaarr ccuujjoo ppeerríímmeettrroo

éé ddee 332200 mmeettrrooss ccoommoo ffuunnççããoo ddoo ccoommpprriimmeennttoo ddee uumm

ddooss llaaddooss.. CCoonnssttrruuaa oo ggrrááffiiccoo ccoorrrreessppoonnddeennttee ee ccaallccuullee

aass ddiimmeennssõõeess ddoo ccaammppoo ddee áárreeaa mmááxxiimmaa..

99)) MMoossttrree qquuee aa ffuunnççããoo ℜ→ℜ:f ,, ddaaddaa ppoorr xxf cos)( = éé

ccoonnttíínnuuaa.. FFaaççaa oo mmeessmmoo ppaarraa aa ffuunnççããoo ddaaddaa ppoorr

xsenxf =)( ..

72

73

SUMÁRIO UNIDADE 3: Derivadas 3.1. Introdução 74

3.2. Derivadas 74

3.2.1. Definição 74

3.2.2. Interpretação Geométrica 78

3.2.3. Propriedades Operatórias 79

3.2.4. Derivada da Função Inversa 81

3.2.5. Derivadas Sucessivas 86

3.2.6. Máximos e Mínimos 88

3.2.6.1. Localização dos Pontos de Máximos ou Mínimos 89

3.3.7. Regra de L’Hospital 92

Exercícios 96

74

3 DERIVADAS 3.1. Introdução

A noção de derivada é uma das importantes no ramo da

Matemática. A idéia de derivada está intrínsicamente

relacionada com a idéia de taxa de variação (crescimento e

decrescimento) de grandezas. Por exemplo, se considerarmos

uma partícula deslocando-se de um ponto A para um ponto B

sobre uma reta R . Definamos a função [ ] ℜ→ℜ⊆Tf ,0: que,

para cada instante [ ]Tt ,0∈ , dá a posição da partícula sobre a

reta R . Fixado [ ]Tc ,0∈ , a razão incremental

ctcftf

−− )()(

representa a velocidade média da partícula no trecho entre

)(tf e )(cf . O limite desse quociente no ponto c representa a

velocidade da partícula no instante ct = .

Vamos, a partir de agora, aprofundar um pouco mais

sobre a noção de derivada. Mas, evitaremos demonstrações

matemáticas da maioria das afirmações que faremos, uma vez

que tais demonstrações são dispensáveis ao profissional da

área de Administração.

3.2. Derivadas

3.2.1. Definição: Diremos que uma função ℜ→ℜ⊆Df : é

derivável num ponto fDa∈ se, e somente se, existe o limite

−−

→ axafxf

ax

)()(lim

As idéias, aqui

apresentadas, se

estendem

naturalmente ao

estudo de custo

marginal, receita

marginal e, de

uma forma geral,

análise marginal,

conceito muito

importante nas

áreas de

Administração e

Economia.

75

O limite acima, quando existe, é chamado a derivada da

função f no ponto ax = e, denotaremos o valor desse limite

pelo símbolo )(' af ou pelo símbolo )(adxdf . Ou seja,

−−

=→ ax

afxfafax

)()(lim)('

Há uma outra forma de nos referirmos ao limite acima é através

da mudança de variável axh −= . Uma vez que ax → , temos

que 0→h . Portanto, podemos dar uma nova versão para a

definição da derivada a partir da variação em termos de h , a

saber:

hafhafaf

h

)()(lim)('0

−+=

→

EExxeemmppllooss::

24. UUssaannddoo a definição de derivada, obtenha )(' af ,

sabendo se nxxf =)( , onde Nn∈ .

Solução: Nesse caso, usaremos a primeira forma de definir a

derivada; portanto

axax

axafxfaf

nn

axax −−

=−−

=→→

lim)()(lim)('

O quociente axax nn

−− pode ser obtido por um processo

elementar utilizado na divisão de polinômios. Esse processo

nos leva à seguinte identidade:

( )( )123221 −−−−− ++⋅⋅⋅+++−=− nnnnnnn axaxaaxxaxax

Portanto, temos:

( ) 1123221lim)(' −−−−−−

→=++⋅⋅⋅+++= nnnnnn

axnaaxaxaaxxaf

Importante: A notação, )(' af , por ser mais simples e prática é a mais utilizada, porém nela não fica claro a variável na qual está sendo feita a derivação. Nesse sentido, a segunda notação

)(adxdf é mais

completa.

76

25. Obter a derivada da função xsenxf =)( , para todo ℜ∈x .

Solução: Usando a definição, teremos:

ax

axaxsen

axasenxsenaf

axax −

+

−

=−−

=→→

2cos

22

limlim)('

Ou seja,

+

⋅−

−

=→ 2

cos

2

2lim)(' axax

axsenaf

ax

Agora lembremos, via limite trigonométrico fundamental,

que

1

2

2lim =−

−

→ ax

axsen

ax,

Logo segue-se que: aaf cos)(' = .

26. Agora, calcule a derivada da função xxf cos)( = , para

todo ℜ∈x .

Solução: Usando a definição, teremos:

ax

axsenaxsen

axaxaf

axax −

+

−

−=

−−

=→→

222

limcoscoslim)('

Ou seja,

+

⋅−

−

−=→ 2

2

2lim)(' axsenax

axsenaf

ax

Da mesma forma que exemplo anterior, via limite

trigonométrico fundamental, segue-se que: asenaf −=)(' .

77

27. Determine a derivada da função xaxf =)( , onde

10 ≠< a .

Solução: Usando a segunda versão para a definição de derivada,

temos que:

( )h

aah

aah

aaafh

h

xhx

h

xhx

h

1lim1limlim)('000

−⋅=

−=

−=

→→

+

→

Uma vez que,

ah

ah

hln1lim

0=

−→

Portanto, segue-se que: aaxf x ln)(' = .

28. Vamos agora determinar a derivada da função

xxf alog)( = , onde 10 ≠< a .

Solução: Usando a definição temos:

( )h

xhxxf aa

h

logloglim)('

0

−+=

→

Usando as propriedades de logaritmos para simplificar o

quociente temos que:

( )axh

ax

hx

hxhx

hhxhx

h

aaa

ln

1ln

ln

ln1log1loglog

1

+

=

+

⋅=

+

⋅=−+

Observando que

xxh h

h

11lim1

0=

+

→

Sendo assim, segue-se que

axaxh

xf

h

h ln1

ln

1lnlim)('

1

0 ⋅=

+

=→

78

3.2.2. Interpretação Geométrica

Para entendermos o que representa geometricamente a

idéia de derivada, basta que entendamos inicialmente o que

representa geometricamente o quociente

axafxf

−− )()(

Observando a figura abaixo, para o gráfico de uma função

arbitrária f , temos que o quociente ax

afxf−− )()( representa o

coeficiente angular da reta secante ao gráfico da função f nos

pontos ( ))(, afa e ( ))(, xfx .

FIGURA 23

Ao limite com ax → , o que se observa é que as retas secantes

com coeficientes angulares expressos pelo quociente mostrado

acima tendem para uma reta que se mostra tangente ao gráfico

da função f no ponto com coordenadas ( ))(, afa .

Dessa forma, quando o limite

axafxf

ax −−

→

)()(lim

existir, ele representará o coeficiente angular da reta tangente

ao gráfico da função f no ponto com coordenadas ( ))(, afa .

Essa é de fato a interpretação geométrica da noção de

derivada.

Um projeto da Universidade Estadual de Maringá produziu um Kit de sobrevivência em Cálculo.

79

3.2.3. Propriedades Operatórias

AA sseegguuiirr lliissttaarreemmooss aass pprroopprriieeddaaddeess qquuee sseerrvviirrããoo ddee

bbaassee ppaarraa oobbtteerrmmooss ddeerriivvaaddaass ddee oouuttrraass ffuunnççõõeess.. EEssssaa lliissttaa

vviirráá nnoo ffoorrmmaattoo ddee uumm tteeoorreemmaa ee aa ddeemmoonnssttrraaççããoo ddoo mmeessmmoo

ppooddeerráá sseerr eennccoonnttrraaddoo eemm [[33]]..

TTeeoorreemmaa::

SSeejjaamm ℜ→ℜ⊆Igf :, ffuunnççõõeess ddeerriivváávveeiiss nnoo ppoonnttoo

Ia∈ .. EEnnttããoo vvaallee::

aa)) ( ) );(')(')(' agafagf +=+

bb)) ( ) );(')(')(' agafagf −=−

cc)) ( ) )('.)('. afkafk = ,, oonnddee ℜ∈k ;;

dd)) ( ) )(').()().(')('. agafagafagf += ;;

ee)) [ ]2)(

)(').()().(')('ag

agafagafagf −

=

,, oonnddee 0)( ≠ag

ff)) ((DDeerriivvaaddaa ddaa FFuunnççããoo CCoommppoossttaa))::

( ) )(')).((')(' agagfagf =o

AAggoorraa vvaammooss mmoossttrraarr aallgguummaass aapplliiccaaççõõeess eennvvoollvveennddoo aass

pprroopprriieeddaaddeess ooppeerraattóórriiaass ddaass ddeerriivvaaddaass qquuee ccoonnssttaamm nnoo

tteeoorreemmaa aacciimmaa.. EEllaass ssããoo ppoorr ddeemmaaiiss úútteeiiss ee sseerrããoo ddee ggrraannddee

vvaalliiaa eemm iinnúúmmeerrooss ccáállccuullooss qquuee eennvvoollvveemm aa nnooççããoo ddee ddeerriivvaaddaa..

AApplliiccaaççõõeess::

2299.. Derive aa ffuunnççããoo 212)(

−+

=xxxf ..

SSoolluuççããoo::

AApplliiccaannddoo aa rreeggrraa ppaarraa aa ddeerriivvaaddaa ddoo qquuoocciieennttee qquuee

ccoonnssttaa nnoo tteeoorreemmaa aacciimmaa,, rreessuullttaa::

( ) ( )( ) ( )22

'

23

21.122.2

212)('

−−

=−

+−−=

−+

=xx

xxxxxf

80

3300.. OObbtteennhhaa aa ddeerriivvaaddaa ddaa ffuunnççããoo ddaaddaa ppeellaa lleeii

( )13ln)( 2 +−= xxxf ..

SSoolluuççããoo::

AApplliiccaannddoo aa rreeggrraa ppaarraa aa ddeerriivvaaddaa ddaa ffuunnççããoo ccoommppoossttaa,,

tteemmooss::

( )13

323213

1)(' 22 +−−

=−⋅+−

=xx

xxxx

xf

3311.. DDeetteerrmmiinnee aa eeqquuaaççããoo ddaa rreettaa ttaannggeennttee aaoo ggrrááffiiccoo ddaa

ffuunnççããoo ℜ→ℜ:f ,, ddaaddaa ppeellaa lleeii xsenxf =)( ,, nnoo ppoonnttoo

ddee aabbsscciissssaa 3π

=x ..

SSoolluuççããoo::

CCoommoo vviimmooss,, oo ccooeeffiicciieennttee aanngguullaarr ddaa rreettaa ttaannggeennttee aaoo

ggrrááffiiccoo ddee f ,, sseerráá ddaaddoo ppeelloo nnúúmmeerroo rreeaall

3' πf ;; oorraa,, ccoommoo

ffooii vviissttoo aanntteerriioorrmmeennttee,, xxf cos)(' = .. PPoorrttaannttoo,,

21

3cos

3' =

=

ππf

AAssssiimm,, aa eeqquuaaççããoo ddaa rreettaa eemm qquueessttããoo rreedduuzz--ssee aa::

bxxT +=21)(

oonnddee aa ccoonnssttaannttee b rreepprreesseennttaa oo ccooeeffiicciieennttee lliinneeaarr ddaa

rreeffeerriiddaa rreettaa.. PPaarraa ddeetteerrmmiinnaarrmmooss eessssaa ccoonnssttaannttee,, bbaassttaa

oobbsseerrvvaarrmmooss qquuee ttaall rreettaa ppaassssaa ppeelloo ppoonnttoo ddee ccoooorrddeennaaddaass

23,

3π .. DDeessssaa ffoorrmmaa,, sseegguuee--ssee qquuee::

633

321

23 ππ −

=⇒+⋅= bb

PPoorrttaannttoo,, aa eeqquuaaççããoo ddaa rreettaa ttaannggeennttee ssoolliicciittaaddaa,, nnaa ffoorrmmaa

rreedduuzziiddaa,, éé ddaaddaa ppeellaa eeqquuaaççããoo::

633

21)( π−

+= xxT

81

3322.. DDeetteerrmmiinnee aa eeqquuaaççããoo ddaa rreettaa nnoorrmmaall aaoo ggrrááffiiccoo ddaa

ffuunnççããoo ddeeffiinniiddaa ppoorr 2)( xxf = ,, nnoo ppoonnttoo ddee aabbsscciissssaa

1=x ..

SSoolluuççããoo::

AA iiddééiiaa éé qquuee ddeetteerrmmiinneemmooss,, iinniicciiaallmmeennttee,, oo ccooeeffiicciieennttee

aanngguullaarr ddaa rreettaa ttaannggeennttee aaoo ggrrááffiiccoo ddee f ee,, eemm sseegguuiiddaa,,

uussaannddoo ppeerrppeennddiiccuullaarriiddaaddee eennttrree rreettaass,, ddeetteerrmmiinnaarr aa

eeqquuaaççããoo ddaa rreettaa nnoorrmmaall..

PPaarraa aa oobbtteennççããoo ddoo ccooeeffiicciieennttee aanngguullaarr ddaa rreettaa ttaannggeennttee

aaoo ggrrááffiiccoo ddee f ,, nnoo ppoonnttoo ddee aabbsscciissssaa 1=x ,, bbaassttaa qquuee

ccaallccuulleemmooss ( )1'f ;; oorraa aa ddeerriivvaaddaa ddaa ffuunnççããoo éé xxf 2)(' = ,,

ppoorrttaannttoo sseegguuee--ssee qquuee:: ( ) 21' =f ..

LLooggoo oo ccooeeffiicciieennttee aanngguullaarr ddaa rreettaa nnoorrmmaall aaoo ggrrááffiiccoo ddee

f nnoo ppoonnttoo ddee aabbsscciissssaa 1=x ,, sseerráá iigguuaall aa 21

− .. PPoorrttaannttoo,, aa

eeqquuaaççããoo ppeeddiiddaa tteerráá oo ffoorrmmaattoo

bxxN +−=21)(

PPaarraa ddeetteerrmmiinnaarrmmooss oo ccooeeffiicciieennttee aanngguullaarr b ,, uusseemmooss oo ffaattoo

qquuee ttaall rreettaa ppaassssaa ppeelloo ppoonnttoo ddee ccoooorrddeennaaddaass ( )1,1 ..

SSuubbssttiittuuiinnddoo eessssaa iinnffoorrmmaaççããoo nnaa eeqquuaaççããoo ddaa rreettaa nnoorrmmaall,,

sseegguuee--ssee qquuee::

23

2111

211 =+=⇒+⋅−= bb

FFiinnaallmmeennttee,, aa eeqquuaaççããoo ddaa rreettaa nnoorrmmaall ssoolliicciittaaddaa sseerráá ddaaddaa

ppeellaa lleeii ddee ffoorrmmaaççããoo::

23

21)( +−= xxN ..

3.2.4. Derivada da Função Inversa

EEssssaa sseeççããoo éé ddeessttiinnaaddaa àà oobbtteennççããoo ddaass ffuunnççõõeess iinnvveerrssaass,,

ffuunnççõõeess ccoommoo aarrccoo--sseennoo,, aarrccoo--ccoosssseennoo,, aarrccoo--ttaannggeennttee,, eettcc..

EEssssaass,, àà pprriimmeeiirraa vviissttaa,, ppooddeemm aappaarreennttaarr ddee ppoouuccaa uuttiilliizzaaççããoo,,

82

mmaass ssee pprreessttaamm ppeerrffeeiittaammeennttee aa rreessoollvveerr eeqquuaaççõõeess qquuee

eennvvoollvvaamm ffuunnççõõeess ttrriiggoonnoommééttrriiccaass.. AAqquuii,, tteemmooss mmaaiiss uummaa

bbrriillhhaannttee aapplliiccaaççããoo ddaa ddeerriivvaaddaa ppaarraa ffuunnççõõeess ccoommppoossttaass

((ccoonnhheecciiddaa ccoommoo RReeggrraa ddaa CCaaddeeiiaa))..

CCoommeeççaarreemmooss eessttaa sseeççããoo rreelleemmbbrraannddoo uummaa ddeeffiinniiççããoo

mmuuiittaa uuttiilliizzaaddaa nnoo eennssiinnoo mmééddiioo,, qquuee éé aa ddee ffuunnççããoo iinnvveerrssaa..

DDeeffiinniiççããoo::

SSeejjaamm BAf →: ee CBg →: ffuunnççõõeess.. DDiizz--ssee qquuee aa

ffuunnççããoo g éé aa iinnvveerrssaa ddaa ffuunnççããoo f ,, ee ddeennoottaarreemmooss 1−= fg ,, ssee,,

ee ssoommeennttee ssee,, ppaarraa ttooddoo Ax∈ ,, ttiivveerrmmooss qquuee::

( ) ( ) xxfgxgf == )()( oo

OObbsseerrvvee qquuee ddeessssaa iigguuaallddaaddee,, ppooddeemmooss oobbtteerr ffaacciillmmeennttee

aa ddeerriivvaaddaa ddaa ffuunnççããoo iinnvveerrssaa.. DDee ffaattoo,, ddeerriivvaannddoo aammbbooss ooss

llaaddooss ddeessssaa úúllttiimmaa iigguuaallddaaddee sseegguuee--ssee qquuee::

( ) ( ) 1')()(' == xfgxfg o

PPeellaa RReeggrraa ddaa CCaaddeeiiaa,, tteemmooss::

1)('))((' =⋅ xfxfg ,,

LLooggoo,, ssuuppoonnddoo 0)(' ≠xg ,, tteerreemmooss::

)('1))(('

xfxfg = ..

EEssssaa éé aa ffóórrmmuullaa qquuee nnooss ppeerrmmiittiirráá oobbtteerr aa ddeerriivvaaddaa ddaass

ffuunnççõõeess aarrccoo--sseennoo,, aarrccoo--ccoosssseennoo ee aarrccoo--ttaannggeennttee.. AAss oouuttrraass

ffuunnççõõeess ssããoo oobbttiiddaass aapplliiccaannddoo--ssee oo mmeessmmoo pprroocceeddiimmeennttoo ccoomm

aass ddeevviiddaass aaddaappttaaççõõeess..

33..22..44..11.. DDeerriivvaaddaa ddaa FFuunnççããoo AArrccoo--SSeennoo::

QQuuaannddoo eessccrreevveemmooss xseny = ,, eessttaammooss ddiizzeennddoo,, ddee

uummaa oouuttrraa ffoorrmmaa,, qquuee::

““ x éé oo aarrccoo ccuujjoo sseennoo éé y ””

EEssccrriittoo ddee uummaa ffoorrmmaa ssiimmbboolliiccaammeennttee mmaatteemmááttiiccaa,, tteemm--ssee:: ysenarcxxseny =⇔=

83

EExxeemmppllooss::

3333.. 22

422

4senarcsen =⇔=

ππ ;;

3344.. 23

323

3senarcsen =⇔=

ππ ;;

3355.. 21

621

6senarcsen =⇔=

ππ

EEnnttããoo,, ccoonnssiiddeerreemmooss aa ffuunnççããoo [ ] ℜ→− 1,1:f ,, ddeeffiinniiddaa ppeellaa lleeii::

xsenarcxf =)(

PPeelloo qquuee ffooii ddiittoo aanntteerriioorrmmeennttee,, rreessuullttaa qquuee::

( ) xxfsenxsenarcxf =⇔= )()(

DDeerriivvaannddoo eessttaa úúllttiimmaa iigguuaallddaaddee,, sseegguuee--ssee qquuee::

( ) ( ))(cos1)('1)(')(cos

xfxfxfxf =⇒=⋅

AAggoorraa,, ddaa RReellaaççããoo TTrriiggoonnoommééttrriiccaa FFuunnddaammeennttaall,, tteemmooss qquuee::

( ) ( ) ( ) ( ))(1)(cos1)()(cos 2222 xfsenxfxfsenxf −=⇒=+

PPoorrttaannttoo,, ssuubbssttiittuuiinnddoo eessttaa úúllttiimmaa iigguuaallddaaddee nnaa eexxpprreessssããoo ddee

)(' xf ,, tteemmooss qquuee::

( ))(11)('

2 xfsenxf

−= ,,

mmaass ( ) xxfsen =)( ,, llooggoo

( )21

1)(')('x

xsenarcxf−

==

EExxeemmpplloo::

3366.. AAssssiimm,, ppaarraa ddeerriivvaarr aa ffuunnççããoo ddaaddaa ppeellaa lleeii ddee ffoorrmmaaççããoo::

( )13)( −= xsenarcxf

uussaannddoo aa RReeggrraa ddaa CCaaddeeiiaa sseegguuiirr--ssee--áá::

( )( )

( )22 131

3'13131

1)('−−

=−⋅−−

=x

xx

xf

SSiimmpplliiffiiccaannddoo,, rreessuullttaa::

84

2963)('

xxxf

−=

33..22..44..22.. DDeerriivvaaddaa ddaa FFuunnççããoo AArrccoo--CCoosssseennoo::

QQuuaannddoo eessccrreevveemmooss xy cos= ,, eessttaammooss ddiizzeennddoo,, ddee

uummaa oouuttrraa ffoorrmmaa,, qquuee::

““ x éé oo aarrccoo ccuujjoo ccoosssseennoo éé y ””

SSiimmbboolliiccaammeennttee,, tteemm--ssee:: yarcxxy coscos =⇔=

EExxeemmppllooss::

3377.. 22cos

422

4cos arc=⇔=

ππ ;;

3388.. 23cos

623

6cos arc=⇔=

ππ ;;

3399.. 21cos

321

3arcsen =⇔=

ππ ..

EEnnttããoo,, ccoonnssiiddeerreemmooss aa ffuunnççããoo [ ] ℜ→− 1,1:f ,, ddeeffiinniiddaa ppeellaa lleeii::

xarcxf cos)( =

TTeemmooss qquuee::

( ) xxfxarcxf =⇔= )(coscos)(

DDeerriivvaannddoo eessttaa úúllttiimmaa iigguuaallddaaddee,, sseegguuee--ssee qquuee::

( ) ( ))(1)('1)(')(

xfsenxfxfxfsen −=⇒=⋅−

PPeellaa RReellaaççããoo TTrriiggoonnoommééttrriiccaa FFuunnddaammeennttaall,, tteemmooss qquuee::

( ) ( ) ( ) ( ))(cos1)(1)()(cos 2222 xfxfsenxfsenxf −=⇒=+

PPoorrttaannttoo,, ssuubbssttiittuuiinnddoo eessttaa úúllttiimmaa iigguuaallddaaddee nnaa eexxpprreessssããoo ddee

)(' xf ,, tteemmooss qquuee::

( ))(cos11)('

2 xfxf

−−= ,,

PPoorréémm,, ( ) xxf =)(cos ,, llooggoo

( )21

1)('cos)('x

xarcxf−

−==

85

EExxeemmpplloo::

4400.. PPaarraa ddeerriivvaarr aa ffuunnççããoo ddaaddaa ppeellaa lleeii ddee ffoorrmmaaççããoo::

( )12cos)( 2 −= xarcxf

vviiaa RReeggrraa ddaa CCaaddeeiiaa sseegguuee--ssee::

( )( )

( )22

2

22 121

4'12121

1)('−−

=−⋅−−

−=x

xxx

xf

SSiimmpplliiffiiccaannddoo,, rreessuullttaa::

42 444)('

xxxxf−

=

33..22..44..33.. DDeerriivvaaddaa ddaa FFuunnççããoo AArrccoo--TTaannggeennttee::

QQuuaannddoo eessccrreevveemmooss xy tan= ,, eessttaammooss ddiizzeennddoo,, ddee uummaa

oouuttrraa ffoorrmmaa,, qquuee::

““ x éé oo aarrccoo ccuujjaa ttaannggeennttee éé y ””

SSiimmbboolliiccaammeennttee,, tteemm--ssee:: yarcxxy tantan =⇔=

EExxeemmppllooss::

4411.. 1tan4

14

tan arc=⇔=ππ ;;

4422.. 33tan

633

6tan arc=⇔=

ππ ;;

4433.. 3tan3

33

tan arc=⇔=ππ ..

EEnnttããoo,, ccoonnssiiddeerreemmooss aa ffuunnççããoo

−→ℜ

2,

2: ππf ,, ddeeffiinniiddaa ppeellaa

lleeii::

xarcxf tan)( =

TTeemmooss qquuee::

( ) xxfxarcxf =⇔= )(tantan)(

DDeerriivvaannddoo eessttaa úúllttiimmaa iigguuaallddaaddee,, sseegguuee--ssee qquuee::

( ) ( ))(sec1)('1)(')(sec 2

2

xfxfxfxf =⇒=⋅

86

UUmmaa iiddeennttiiddaaddee ttrriiggoonnoommééttrriiccaa rreellaacciioonnaannddoo aa ffuunnççããoo ttaannggeennttee

ee aa ffuunnççããoo sseeccaannttee éé aa sseegguuiinnttee::

( ) ( ))(tan1)(sec 22 xfxf +=

PPoorrttaannttoo,, ssuubbssttiittuuiinnddoo eessttaa úúllttiimmaa iigguuaallddaaddee nnaa eexxpprreessssããoo ddee

)(' xf ,, tteemmooss qquuee::

( ))(tan11)(' 2 xf

xf+

= ,,

mmaass ( ) xxf =)(tan ,, llooggoo

( ) 211)('tan)('x

xarcxf+

==

EExxeemmpplloo::

4444.. OObbtteennhhaa aa ddeerriivvaaddaa ddaa ffuunnççããoo ddeeffiinniiddaa ppoorr::

( )2tan)( xxarcxf −=

vviiaa RReeggrraa ddaa CCaaddeeiiaa sseegguuee--ssee::

( )( )

( )22

222 1

21'1

1)('xxxxx

xxxf

−+

−=−⋅

−+=

3.2.5. Derivadas Sucessivas

AA pprreesseennttee sseeççããoo sseerrvvee ddee pprreeppaarraaççããoo ppaarraa aa sseeççããoo

sseegguuiinnttee qquuee ttrraattaarráá ddaa bbuussccaa ddee ppoonnttooss ddee mmááxxiimmooss ee ppoonnttooss

ddee mmíínniimmooss.. AA ddeetteerrmmiinnaaççããoo ddeesssseess ppoonnttooss éé mmuuiittoo iimmppoorrttaannttee

nnooss pprroobblleemmaass ddee mmaaxxiimmiizzaaççããoo ee mmiinniimmiizzaaççããoo..

DDaaddaa uummaa ffuunnççããoo f vviimmooss,, aattéé oo pprreesseennttee,, mmoommeennttoo

rreeggrraass ooppeerraattóórriiaass qquuee nnooss ppeerrmmiittiiaamm ddeetteerrmmiinnaarr aa ssuuaa

ddeerriivvaaddaa 'f ..

EEssssaass mmeessmmaass pprroopprriieeddaaddeess sseerrvveemm ppaarraa oobbtteerrmmooss aass

ddeerriivvaaddaass ssuuppeerriioorreess ddee 'f .. DDaaqquuii pprráá ffrreennttee,, tteerreemmooss::

( ) ( ) ⋅⋅⋅== ,'''''','''',' fffff

87

DDee uumm mmooddoo ggeerraall,, ssiimmbboolliiccaammeennttee,, ddaaddoo *Nn∈ ,, aa ddeerriivvaaddaa

ddee oorrddeemm n ddaa ffuunnççããoo f nnoo ppoonnttoo a sseerráá iinnddiiccaaddaa ccoomm aa

nnoottaaççããoo ( ) )(af n ee ddeeffiinniiddaa iinndduuttiivvaammeennttee::

[ ] ( ) [ ] ( ) ( )[ ] )(')(...,),(''')()('''),('')('' 13 afafafafafafaf nn −====

PPoorr eexxeemmpplloo,, ppaarraa aa ffuunnççããoo ℜ→ℜ:f ,, ddeeffiinniiddaa ppeellaa lleeii

134)( 23 −++= xxxxf

tteerreemmooss::

•• 1612)(' 2 ++= xxxf

•• 624)('' += xxf

•• 24)(''' =xf

•• ( ) ( ) 4,0)()(4 ≥∀==⋅⋅⋅= nxfxf n

EExxiisstteemm aallgguummaass ffuunnççõõeess qquuee ssuuaass ddeerriivvaaddaass ddee oorrddeemm

ssuuppeerriioorreess ppeerrmmaanneecceemm iinnvvaarriiáávveeiiss,, ccoommoo éé oo ccaassoo ddaa ffuunnççããoo

eexxppoonneenncciiaall xexf =)( ,, ppaarraa ttooddoo ℜ∈x .. NNaa vveerrddaaddee,, tteemmooss:: ( ) xn exf =)( ,,

ppaarraa ttooddoo Nn∈ ..

HHáá uummaa oouuttrraa ccllaassssee ddee ffuunnççõõeess qquuee aass ddeerriivvaaddaass ddee

oorrddeemm ssuuppeerriioorreess ffiiccaamm ssee rreeppeettiinnddoo eemm cciiccllooss,, ccoommoo éé oo ccaassoo

ddaass ffuunnççõõeess ttrriiggoonnoommééttrriiccaass sseennoo ee ccoosseennoo.. SSeennããoo vveejjaammooss::

•• xsenxf =)(

•• xxf cos)(' =

•• xsenxf −=)(''

•• xxf cos)(''' −=

•• ( ) xsenxf =)(4 ,,

•• ee aassssiimm ssuucceessssiivvaammeennttee..

88

3.2.6. Máximos e Mínimos

A noção de máximos e mínimos para uma função

definida num intervalo [ ] ℜ⊂ba, , é a mais clara possível e

utilizaremos, a posteriori, a noção de derivada para a

determinação daqueles.

Definição: Sejam [ ] ℜ→baf ,: uma função e [ ]bax ,0 ∈ .

Diremos que 0x é um ponto de máximo local (ou mínimo

local) de f , se existir 0>δ , tal que ( ) [ ]baxxx ,, 00 ⊂+−∈∀ δδ ,

tivermos que )()( 0xfxf ≤ (ou )()( 0xfxf ≥ ).

De forma inteiramente análoga, definimos máximos e mínimos

absolutos de uma função [ ] ℜ→baf ,: . É o que faremos nesse

instante.

Definição: Sejam [ ] ℜ→baf ,: uma função e [ ]bax ,0 ∈ .

Diremos que 0x é um ponto de máximo absoluto (ou mínimo

absoluto) de f se, e somente se, )()( 0xfxf ≤ (ou

)()( 0xfxf ≥ ) para todo [ ]bax ,∈ .

FIGURA 24

Por exemplo, para a função ℜ→ℜ:f dada por 2)( xxf = , o

ponto 00 =x é o ponto de mínimo absoluto, pois 02 ≥x , para

todo ℜ∈x . Enquanto que para a função ℜ→ℜ:f dada por

89

1)( 2 +−= xxf , o ponto 00 =x é o ponto de máximo absoluto de

f , uma vez que:

ℜ∈∀=≥+= xfxxf ,1)0(1)( 2 .

3.2.6.1. Localização dos Pontos de Máximos ou Mínimos

Observe a função ℜ→ℜ:f representada no gráfico abaixo.

FIGURA 25

Conforme observamos no gráfico, nos pontos de

máximo ou de mínimo, a função admite uma reta tangente

paralela ao eixo das abscissas. Isto significa que nesses

pontos a derivada tem quer nula, pois como vimos

anteriormente, a derivada representa o coeficiente angular

dessas retas tangentes. E, uma vez que nesse caso a reta

tangente é paralela ao eixo das abscissas, segue-se que tais

retas têm coeficiente angular nulos.

Portanto, concluímos que nos pontos 0x de máximos, ou

de mínimos de uma função f , devemos ter obrigatoriamente

que 0)(' 0 =xf .

Mas aí surge uma pergunta natural: quer dizer que se

0)(' 0 =xf , então 0x é um ponto de máximo ou um ponto de

mínimo? A resposta é não! Existem pontos 0x nos quais

0)(' 0 =xf , no entanto eles não são nem de máximo e nem de

90

mínimos. Tais pontos são denominados de Pontos de Inflexão.

Nesse ponto enunciaremos um resultado de Análise

Real que caracteriza os pontos de máximos ou pontos de

mínimos ou pontos de inflexão. Porém, não exibiremos a

demonstração desse teorema, pois isso foge aos objetivos

dessas notas.

Teorema: Seja ℜ→ℜ⊆If : uma função n vezes derivável num

ponto Ia∈ . Se 0)(' =af , a chama-se um ponto crítico de f .

Suponhamos que: ( ) ,0)()('')(' 1 ==⋅⋅⋅== − afafaf n

mas ( ) .0)( ≠af n Afirmamos que:

1º) Se n for par, então a será um ponto de máximo local

desde que ( ) ,0)( <af n ou um ponto de mínimo local se ( ) .0)( >af n

2º) Se n for ímpar, o ponto a não será de máximo nem

de mínimo.

Prova: Veja [3].

EExxeemmppllooss::

45. AA função definida pela lei 2

)( xexf −= possui um ponto

de máximo local (de fato, máximo absoluto) no ponto

0=x ; com efeito, inicialmente a derivada de f é: 2

2)(' xxexf −−= ,

portanto,

002)('2

=⇔=−= − xxexf x .

A derivada segunda de f é: 22 242)('' xx exexf −− +−=

Para encontrar os pontos de mínimo e pontos de máximo de uma função f, devemos buscar dentre aqueles nos quais a derivada de f se anula.

91

Daí, 02)0('' <−=f e, pelo Teorema citado acima, 0=x

é ponto de máximo local.

Uma vez que 0)(''2

>= −xexf , para todo ℜ∈x , segue-

se que 0=x é ponto de máximo absoluto da função f ,

cujo valor máximo é igual a 1)0( =f .

46. Agora consideremos a função ℜ→ℜ:f dada por

133)( 23 −+−= xxxxf . Daí tem-se 363)(' 2 +−= xxxf ,

logo o ponto crítico de f é o ponto 1=x . Além disso,

temos 0)1('' =f e 0)1(''' >f . Logo, 1=x não é ponto de

máximo local nem de mínimo local, nesse caso, 1=x é

ponto de inflexão.

47. Para a função ℜ→ℜ:f dada por 6)( xxf = , temos que: ( ) ( ) 0)0()0()0(''')0('')0(' 54 ===== fffff

e, finalmente, ( ) 0720)0(6 >=f . Portanto, 0=x , de

acordo com nosso Teorema, é ponto de mínimo local.

Na verdade, 0=x , é ponto de mínimo absoluto; com

efeito, ,0)( 6 ≥= xxf para todo ℜ∈x . Observe, que o

valor mínimo é alcançado, pois 0)0( =f .

48. Para a função ℜ→ℜ:f , dada por xsenxf =)( , temos

que xxf cos)(' = . Os pontos críticos de f são os pontos

soluções da equação trigonométrica: 0cos =x , ou seja,

para os pontos ππ kx +=2

, com Zk ∈ . Além disso,

observemos que:

xsenxf −=)(''

Portanto, nos pontos ππ kx 22+= , com Zk ∈ , temos

pontos de mínimos de f , enquanto que nos pontos

ππ kx 22

3+= , temos os pontos de máximos de f .

92

49. DDeennttrree ooss rreettâânngguullooss ddee ppeerríímmeettrroo iigguuaall aa cm24 ,,

ddeetteerrmmiinnee oo ddee áárreeaa mmááxxiimmaa..

SSoolluuççããoo:: SSeennddoo x ee y aa bbaassee ee aa aallttuurraa,, rreessppeeccttiivvaammeennttee,,

ddoo rreettâânngguulloo,, tteemmooss qquuee::

122422 =+⇒=+ yxyx

A área de tal retângulo é dada por: yxA ⋅= , portanto

usando a relação entre x e y , segue-se que

xxxxxA 12)12()( 2 +−=−⋅=

Derivando a função área, temos 122)(' +−= xxA . Portanto o

único ponto crítico desta função é obtido fazendo 0)(' =xA ,

ou seja, 6=x . Este é um máximo local (de fato, máximo

absoluto), pois 02)6('' <−A . Logo, o retângulo de área

máxima solicitado é um quadrado de lado cm6 .

3.2.7. Regra de L’Hospital

Na maioria dos cálculos de limites que envolvem

funções racionais, isto é, funções que são quocientes de

polinômios, nos deparamos com indeterminações do tipo 00 .

Nesses casos o procedimento a ser adotado é eliminarmos de

alguma forma tal indeterminação. Às vezes, as manipulações

algébricas para obtermos tal êxito são complicadas e

trabalhosas.

Para esses casos temos um resultado de grande

importância para a solução de tais problemas. Trata-se da

Regra de L’Hospital, cujo enunciado daremos a seguir e cuja

demonstração pode ser encontrada em [3]. Como veremos esse resultado transformará tais

problemas em simples cálculos de limites envolvendo funções

que permitam um cálculo quase que imediato do limite em

questão.

93

Proposição (Regra de L’Hospital): SSeejjaamm ℜ→ℜ⊆Igf :,

ffuunnççõõeess n vveezzeess ddeerriivváávveeiiss nnoo ppoonnttoo Ia∈ .. SSuuppoonnhhaammooss qquuee

f ee g ,, jjuunnttaammeennttee ccoomm ssuuaass ddeerriivvaaddaass aattéé oorrddeemm 1−n

((iinncclluussiivvee)) ssee aannuullaamm nnoo ppoonnttoo a mmaass qquuee ( ) )(af n ee ( ) )(ag n

nnããoo ssããoo aammbbaass nnuullaass.. AAlléémm ddiissssoo,, ssuuppoonnhhaammooss qquuee 0)( ≠xg ,,

ppaarraa ttooddoo ax ≠ qquuee eesstteejjaamm ssuuffiicciieenntteemmeennttee pprróóxxiimmoo ddee a ..

NNeessttee ccaassoo,, tteemmooss::

•• ( )

( ) )()(

)()(lim

agaf

xgxf

n

n

ax=

→,, ssee ( ) ;0)( ≠ag n

•• +∞=→ )(

)(limxgxf

ax,, ssee ( ) .0)( =ag n

33..22..77..11.. AApplliiccaaççõõeess ddaa RReeggrraa ddee LL’’HHoossppiittaall nnoo CCáállccuulloo ddee

LLiimmiitteess ddee FFuunnççõõeess

CCoommoo vveerreemmooss aa sseegguuiirr,, aa RReeggrraa ddee LL’’HHoossppiittaall ppooddee sseerr

aammppllaammeennttee uuttiilliizzaaddaa nnooss ccáállccuullooss ddee lliimmiitteess ddee ffuunnççõõeess ee ttaaiiss

ccáállccuullooss,, aanntteess mmuuiittoo ccoommpplliiccaaddooss,, ttoorrnnaamm--ssee mmeerrooss ccáállccuullooss

ssiimmpplleess ddee lliimmiitteess.. OObbsseerrvveemm ooss eexxeemmppllooss aabbaaiixxoo..

EExxeemmppllooss::

5500.. CCaallccuullee oo vvaalloorr ddoo lliimmiittee

24lim

2

2 −−

→ xx

x

SSoolluuççããoo:: AAqquuii nnooss ddeeppaarraammooss ccoomm uummaa iinnddeetteerrmmiinnaaççããoo ddoo

ttiippoo 00 .. AApplliiccaannddoo aa RReeggrraa ddee LL’’HHoossppiittaall,, tteemmooss qquuee::

412lim

24lim

2

2

2==

−−

→→

xxx

xx..

5511.. CCaallccuullee oo vvaalloorr ddoo lliimmiittee

Nnaxax nn

ax∈

−−

→,lim

94

SSoolluuççããoo:: EEssssee lliimmiittee jjáá ffooii ccaallccuullaaddoo aanntteerriioorrmmeennttee,, mmaass

aaggoorraa ccaallccuullaarreemmooss vviiaa RReeggrraa ddee LL’’HHoossppiittaall,, ppooiiss ttrraattaa--ssee ddee

uumm lliimmiittee qquuee oorriiggiinnaa uummaa iinnddeetteerrmmiinnaaççããoo ddoo ttiippoo 00 ::

11 ..limlim −−

→→==

−− nn

ax

nn

axanxn

axax

5522.. CCaallccuullee oo lliimmiittee::

xa x

x

1lim0

−→

,, )10( ≠< a

SSoolluuççããoo:: MMaaiiss uummaa vveezz,, nnooss ddeeppaarraammooss ccoomm uummaa

iinnddeetteerrmmiinnaaççããoo ddoo ttiippoo 00 .. AApplliiccaannddoo aa RReeggrraa ddee LL’’HHoossppiittaall,,

tteemmooss qquuee::

( ) aaax

a x

x

x

xlnln.lim1lim

00==

−→→

5533.. CCaallccuullaarr oo lliimmiittee aabbaaiixxoo::

20

cos1limx

xx

−→

SSoolluuççããoo:: UUmm ccáállccuulloo ddiirreettoo mmoossttrraa--nnooss qquuee ttaall lliimmiittee nnooss

lleevvaa àà iinnddeetteerrmmiinnaaççããoo ddoo ttiippoo 00 .. AAggoorraa,, vviiaa RReeggrraa ddee

LL’’HHoossppiittaall,, tteemmooss qquuee::

21

2limcos1lim

020−=

−=

−→→ x

xsenx

xxx

,,

ppooiiss ssaabbeemmooss qquuee:: 1lim0

=→ x

xsenx

..

5544.. CCaallccuullaarr oo vvaalloorr ddoo lliimmiittee::

axasenxsen

x −−

→0lim

SSoolluuççããoo:: EEssssee lliimmiittee ppooddeerriiaa sseerr rreessoollvviiddoo uuttiilliizzaannddoo

ssuubbssttiittuuiiççõõeess ttrriiggoonnoommééttrriiccaass ccoonnvveenniieenntteess,, ppoorr eexxeemmpplloo,,

uuttiilliizzaannddoo aa iigguuaallddaaddee::

+

−

=−2

cos2

2 axaxsenasenxsen

95

MMaass ccoommoo ttrraattaa--ssee ddee uumm lliimmiittee qquuee nnooss lleevvaa aa uummaa

iinnddeetteerrmmiinnaaççããoo ddoo ttiippoo 00 ,, ppooddeemmooss ccaallccuullaarr ttaall lliimmiittee

uuttiilliizzaannddoo aa RReeggrraa ddee LL’’HHoossppiittaall,, oouu sseejjaa,,

axax

asenxsenaxax

coscoslimlim ==−−

→→

5555.. CCaallccuullee oo vvaalloorr ddoo lliimmiittee::

xsenxx

x

−→

2

0lim

SSoolluuççããoo:: EEssssee lliimmiittee ttaammbbéémm sseerriiaa eexxttrreemmaammeennttee

ccoommpplliiccaaddoo rreessoollvvêê--lloo sseemm oo aauuxxíílliioo ddaa RReeggrraa ddee LL’’HHoossppiittaall,,

aa qquuaall ssee aaddééqquuaa ppeerrffeeiittaammeennttee.. PPoorrttaannttoo,, sseegguuee--ssee::

1cos

12limlim0

2

−=−

==−

→→ xx

xsenxx

xax..

5566.. AApplliiccaannddoo aa RReeggrraa ddee LL’’HHoossppiittaall,, ccaallccuullee oo vvaalloorr ddoo lliimmiittee::

( )xx

x ln1cos1lim

1

−−→

SSoolluuççããoo:: VViiaa RReeggrraa ddee LL’’HHoossppiittaall,, tteemmooss qquuee::

( ) 01

1lim1

=−

→

x

xsenx

96

EEXXEERRCCÍÍCCIIOOSS

11.. CCaallccuullaarr oo vvaalloorr ddee ccaaddaa lliimmiittee aabbaaiixxoo::

aa)) 11lim

3

1 −−

→ xx

x

bb))

−−

−→ 31 13

11lim

xxx

cc)) 20

cos1lim

xx

x

−→

22.. CCaallccuullaarr oo lliimmiittee aabbaaiixxoo::

aa)) 2

121lim

x

x xx

++

+∞→

bb)) ( )x

xx

+→

1lnlim0

33.. DDeetteerrmmiinnaarr aa eeqquuaaççããoo ddaa rreettaa ttaannggeennttee aaoo ggrrááffiiccoo ddaa

ffuunnççããoo ℜ→ℜ:f ,, ddeeffiinniiddaa ppoorr 13)( 3 +−= xxxf ,, nnoo

ppoonnttoo ddee ccoooorrddeennaaddaass )1,1( −=P ..

44.. OObbtteennhhaa aa eeqquuaaççããoo ddaa rreettaa nnoorrmmaall aaoo ggrrááffiiccoo ddaa ffuunnççããoo

ddaaddaa ppeellaa lleeii ( )12ln)( −= xxf ,, ppaarraa 21

>x ,, nnoo ppoonnttoo ddee

ccoooorrddeennaaddaass ( )3ln,2=P ..

55.. DDeerriivvee aa ffuunnççããoo ddeeffiinniiddaa ppeellaa lleeii::

+−

=212tan)(

xxarcxf

66.. DDeemmoonnssttrraarr qquuee aa ffuunnççããoo 2

2x

xey−

= ssaattiissffaazz aa eeqquuaaççããoo

ddiiffeerreenncciiaall ( )yxxy 21' −= ..

77.. DDeetteerrmmiinnaarr ooss vvaalloorreess mmíínniimmoo ee mmááxxiimmoo aabbssoolluuttooss ddaa

ffuunnççããoo 33)( 3 +−= xxxf ,, nnoo sseeggmmeennttoo 25

23

≤≤− x ..

88.. TToorrcceerr uumm ffiioo ddee aarraammee ddee ccoommpprriimmeennttoo l ddee mmaanneeiirraa aa

ffoorrmmaarr uumm rreettâânngguulloo,, ccuujjaa áárreeaa sseejjaa aa mmaaiioorr ppoossssíívveell..

97

98

SUMÁRIO

UNIDADE 4: Noções de Integrais 4.1. Introdução 99

4.2. Integral Indefinida 100

4.2.1. Definição 100

4.2.2. Propriedades Operatórias de Integração 101

4.2.3. Tabela de Integrais Imediatas 106

4.3. Integral Definida 113

4.3.1. Soma Integral 113

4.3.2. Integral Definida 114

4.3.3. Teorema Fundamental do Cálculo 115

4.3.4. Aplicações: Cálculo de Áreas 116

Exercícios 125

Bibliografia 127

Sobre o Autor 130

99

4 NOÇÕES DE INTEGRAIS

4.1. Introdução

Nesta unidade daremos uma noção introdutória do

integral de Riemann. A principal motivação para os conceitos e

resultados introduzidos nesta unidade encontra-se em

calcularmos áreas de regiões planas. Ou mais especificamente,

suponhamos dada uma função [ ] ℜ→baf ;: , contínua (na

verdade, precisaríamos apenas que f fosse limitada).

Admitamos por razões de simplicidade, que f seja não-

negativa no intervalo [ ]ba; , isto é, 0)( ≥xf , [ ]bax ;∈∀ .

Consideremos a seguinte região do plano determinada pelo

gráfico de f : ( ){ })(0,;, 2 xfybxayxC ≤≤≤≤ℜ×ℜ=ℜ∈= , a

qual é formada pelos do plano que estão compreendidos entre

o eixo das abscissas, o gráfico de f , e as retas verticais ax =

e bx = . Pergunta-se: qual a área desta região do plano?.

Como veremos a integral definida nos fornecerá uma

forma efetiva de determinar a medida de tal grandeza.

Uma circunstância notável é que a noção de área está

estritamente relacionada com a noção de derivada. Como diz o

Prof. Elon Lages Lima, em seu livro: Curso de Análise – vol. 1,

esta interdependência entre a derivação e a integração é

expressa pelo fato de que o conjunto C , acima associado à

função f , tem como área o número )()( aFbF − , desde que F

seja uma função cuja derivada é f . Essa afirmação é o que

consta essencialmente no enunciado de um dos mais

importantes resultados da Matemática, a saber, o Teorema

Fundamental do Cálculo.

Nesta unidade, apresentaremos as definições de Integral

Indefinida ou Primitiva e Integral Definida de uma função f .

Enunciaremos o Teorema Fundamental do Cálculo e faremos

Para uma excelente complementação do estudo de Cálculo, veja o site de um projeto da Universidade de São Paulo.

100

algumas aplicações deste magnífico resultado para o cálculo

de áreas de regiões planas.

4.2. Integral Indefinida A integração indefinida nada mais é do que o processo

inverso da derivação. Ou seja, nesse contexto nos será

fornecida a derivada de uma função e, em seguida, estaremos

interessados a obter informações da função original.

4.2.1. Definição: (Primitiva de uma Função) A integral indefinida ou primitiva de uma função

ℜ→ℜ⊆If : é uma função ℜ→ℜ⊆IF : , tal que

IxxfxF ∈∀= ),()(' .

Notação: Se ),()(' xfxF = simbolicamente, teremos:

∫ += ,)()( cxFdxxf

onde ℜ∈c é uma constante arbitrária.

Observações sobre a notação: a. A função )(xff = é denominada função integrando;

b. O símbolo ∫ é chamado de integral;

c. A função )(xFF = é chamada primitiva ou integral

indefinida ou antiderivada;

d. O símbolo dx indica a variável que está sendo

considerada para obtermos )()(' xfxF = .

Exemplos:

1. ∫ ++=+ cxxdxx 2)12( ; de fato, pois derivando a

função integrando com respeito à variável x obtém-se:

12)( 2 +=++ xcxxdxd ;

2. ∫ += cxsendxxcos ; de fato, xcxsendxd cos)( =+ ;

101

3. ∫ += cdxx

x

2ln22 ; pois x

x

cdxd 2

2ln2

=

+ ;

4.2.2. Propriedades Operatórias de Integração

Citaremos nesse ponto algumas das principais regras

para obtermos a primitiva de uma determinada função. A

verificação dessas propriedades é imediata, do ponto de vista

matemático. Na verdade segue-se da própria definição e das

propriedades operatórias das derivadas.

1) Se )()(' xfxF = , então:

∫ ℜ∈+= ccxFdxxf ,)()( ;

2) ∫ ∫= dxxfadxxaf )()( , onde *ℜ∈a ;

3) ( )∫ ∫ ∫±=± dxxgdxxfdxxgxf )()()()( ;

4) Se ∫ += cxFdxxf )()( e )(xu ϕ= é derivável, então

∫ ℜ∈+= ccuFduuf ,)()( .

4.2.3. Método de Substituição A Tabela acima contém um número razoavelmente

grande de integrais indefinidas prontas para serem utilizadas.

Porém para uma integral que não faz parte da tabela, como

deveremos proceder para achar sua primitiva? Essa pergunta

não pode ser respondida em sua totalidade, mas podemos

utilizar algumas técnicas, ou métodos, que nos auxiliam na

determinação dessas primitivas. Existem vários métodos, mas

nos restringiremos a apenas dois, os quais num certo sentido

implicam no surgimento dos demais.

Começaremos com o Método de Substituição, que se

constitui numa versão em integração da regra da cadeia.

102

Suponha que )(tgx = , onde t é uma nova variável e g

uma função contínua derivável, na qual 0)(' ≠tg . Então,

teremos

( )∫ ∫= dttgtgfdxxf )(')()(

A função g deve ser escolhida de tal maneira que o segundo

membro da fórmula integral acima tome uma forma mais

adequada para a integração. A seguir faremos alguns

exemplos para explicar melhor o que estamos dizendo.

Exemplo: 4. Achar a integral:

∫ + dxxx 12

Solução: Fazendo 12 += xt , obtemos

212 −

=tx

donde segue-se que: dttdx = . Então a integral original tornar-

se-á:

( ) ( )∫∫ ∫ −=⋅⋅

−=+ dtttdttttdxxx 24

2

21

2112

Daí obtemos:

( )∫ +

−=− cttdttt

3521

21 35

24

Uma vez que nossa variável independente original é x ,

devemos expressar o nosso resultado em função desta, para

isso substituímos a nova variável t pela expressão que

utilizamos para resolver a integral. Logo, em nosso caso, após

fazermos tal substituição obteremos:

( ) ( )∫ ℜ∈++−+=+ ccxxdxxx ,126112

10112 35

Vamos supor que, de alguma maneira, conseguimos

transformar a expressão dxxf )( na seguinte forma:

,)()( duugdxxf =

103

onde )(xu ϕ= . Se a nova integral ∫ duug )( é conhecida, ou

seja,

∫ += cuFduug )()( ,

então, segue-se que:

∫ += cxFdxxf ))(()( ϕ

Na maioria das vezes essa sistemática adotada torna o

processo de integração mais simples e mais rápido de se fazer.

Exemplos: 5. Achar a integral

∫+

dxx

x21

Aqui vamos fazer 21 xu += , daí obteremos dxxdu 2= .

Então a integral inicial tornar-se-á:

∫ ∫ ∫ ++−

⋅===+

+−− cuduu

ududx

xx

1212

121

21

121

21

2

Ou seja,

∫ ℜ∈++=+=+

ccxcudxx

x ,11

2

2

6. Determinar a primitiva )(xFF = da função real, de

variável real, definida por 22 3

)( += xexxf , tal que

1)0( −=F .

Solução: Inicialmente, devemos achar:

∫ += dxexxF x 22 3

)(

Fazendo, 23 += xu , temos que dxxdu 23= , daí:

∫ ∫ ∫ +==

=+ cedueduedxex uuux

31

31

322 3

Logo,

cexF x += +23

31)(

Uma vez que 2)0( =F , segue-se que:

22

3122

31)0( ecceF −=⇒=+=

104

Nessas condições, segue-se que;

32

31)(

223 eexF x −+= +

7. Ache a integral

∫ +1xedx

utilizando a substituição: tx ln−= .

Solução: Fazendo tx ln−= , segue-se que:

teet xx 1

=⇒= −

além disso, dtt

dx 1−= . Fazendo as substituições na integral

original resulta:

( )∫ ∫ ++−=+

−=+

−ctdt

tt

dtt 1ln

11

11

1

Portanto, obtemos:

( ) ℜ∈++−=+

−∫ ccee

dx xx ,1ln

1

4.2.4. Integração por Partes O método de integração por partes refere-se à

determinação de integrais onde a função integrando é um

produto de duas outras funções. Ou seja, tal método é mais

utilizado ao nos deparar com a integral:

∫ dxxgxf )()(

Nem sempre essa integral é simples, porém quando um dos

fatores da função integrando é derivada de alguma outra

função, então esse cálculo pode tornar-se mais trabalhável

mediante o método de integração por partes.

Num certo sentido, essa técnica é uma reformulação da

regra do produto para derivação. Senão vejamos, da derivada

do produto de duas funções f e g sabemos que:

105

( ) )(')()()('')()( xgxfxgxfxgxf +=

Nessa última equação, integrando ambos os membros, segue-

se que:

∫ ∫+= dxxgxfdxxgxfxgxf )(')()()(')()(

Logo, temos, por exemplo, que:

∫ ∫−= dxxgxfxgxfdxxgxf )()(')()()(')(

Essa é a fórmula que utilizaremos para acharmos algumas

integrais onde a função integrando é um produto de funções.

Vamos aos exemplos para melhor entendermos essa

pequena teoria sobre integrais.

Exemplos: 8. Achar a integral

∫ dxxx ln

Solução: Aqui fazendo xxf ln)( = e xxg =)(' , teremos:

xxf 1)(' = e

2)(

2xxg = . Portanto, segue-se que:

∫ ∫∫ −=−= dxxxxdxxx

xxdxxx2

ln22

1ln2

ln222

Assim sendo, temos

∫ +−= cxxxdxxx4

ln2

ln22

9. Achar a função ∫= dxxxF ln)( , tal que 2)1( =F .

Solução: Para acharmos a função integral ∫= dxxxF ln)( ,

observamos que a função integrando pode ser vista como

produto de duas outras funções, da seguinte maneira:

∫ ∫ ⋅== dxxdxxxF ln1ln)(

Procedendo da mesma forma que na questão anterior,

façamos xxf ln)( = e 1)(' =xg . Então, segue-se que

xxf 1)(' = e xxg =)( . Portanto, usando a fórmula de

integração por partes teremos:

106

∫ ∫ ∫−=−= dxxxdxxx

xxdxx 1ln1lnln

ou seja,

∫ ℜ∈+−= ccxxxdxx ,lnln

Dessa forma, cxxxxF +−= ln)( , onde ℜ∈c . Uma vez que

2)1( =F , segue-se que:

321211ln1 =⇒=+−⇒=+−⋅ ccc

Isto é,

( ) 3ln1)( +−= xxxF

4.2.5. Tabela de Integrais Imediatas

Uma grande parte das integrais encontradas em

Ciências Sociais, Ciências Humanas, como Administração, e

Ciências Naturais, como Biologia, Química, pode ser resolvida

aplicando-se técnicas discutidas aqui em nosso livro. Porém,

às vezes, uma integral pode não ser resolvida utilizando tais

técnicas. Nesse caso, faz-se muito necessária a utilização de

Tabelas de Integrais. Na maioria dos livros de Cálculo

encontramos tais tabelas. Abaixo, exibimos uma pequena

amostra de fórmulas que aparecem nessas tabelas.

A verificação das igualdades, constantes na tabela abaixo,

é feita de forma imediata usando a definição de primitiva e,

conseqüentemente, as propriedades das derivadas.

A. ∫ −≠++

=+

1,1

1

ncnxdxx

nn ;

B. ∫ += cxx

dx ln ;

C. ∫ += cxdxxsen cos ;

D. ∫ +−= cxsendxxcos ;

E. ∫ += ca

adxax

x

ln, onde 10 ≠< a ;

F. ( )∫ +−= cxxdxx ln1ln ;

107

G. ∫ +=+

caxarctg

aaxdx 1

22 , onde 0≠a ;

H. ∫ ++−

=−

caxax

aaxdx ln

21

22 , onde 0≠a ;

I. ∫ +−+

=−

cxaxa

axadx ln

21

22 , onde 0≠a ;

J. ( )∫ ++

=+

cbax

xbbaxx

dx ln1 , onde 0≠b ;

K. ∫ +±+=±

caxxax

dx 22

22ln , onde 0≠a ;

L. ∫ +=−

caxarcsen

xadx

22, onde 0>a ;

M. ∫ += cxtgx

dx2cos

;

N. ∫ +−= cxgxsen

dx cot2 ;

O. cxctgxeccxtgxsen

dx+−=+=∫ cosln

2ln ;

P. ∫ ++=+

+= cxtgxcxtg

xdx secln

42ln

cosπ

Os exemplos a seguir ilustram a utilização destas fórmulas,

bem como os métodos de integração até aqui discutidos.

Exemplos: 10. Calcule a integral

( )∫ + 53xxdx

Solução: Fazendo uso da fórmula integral no ítem (J) da

tabela acima, com 3=a e 5=b , obtemos:

( )∫ ++

=+

cxx

xxdx

53ln

51

53, onde ℜ∈c

Método Alternativo: (Funções Racionais) Para acharmos a integral do item (10) acima, podemos

ter outro procedimento. Na verdade, não existe um

procedimento único para determinarmos a primitiva de uma

108

função dada, até porque o que queremos é acharmos uma

função cuja derivada é a função dada anteriormente.

Portanto, essa é uma meta que pode ser alcançada por

diversas formas. Senão vejamos, a função integrando do

item anterior

( )531)(+

=xx

xf

pode ser transformada numa soma de funções racionais

mais simples; de fato, tentemos achar constantes A e B

tais que:

( ) 53531)(

++=

+=

xB

xA

xxxf

Simplificando a soma do lado direito da expressão cima,

obteremos

( )( )( )53

5353

1)(+++

=+

=xx

BxxAxx

xf

Logo, temos

( )( )

( )5353

531)(

+++

=+

=xx

AxBAxx

xf

Como estamos interessados achar A e B satisfazendo a

igualdade acima, devemos impor a igualdade:

( ) 153 =++ AxBA

onde a igualdade acima é válida para todo ℜ∈x . Pela

igualdade entre polinômios, devemos, obrigatoriamente, ter

03 =+ BA e 15 =A . Assim sendo, temos que:

51

=A e 53

−=B .

Portanto, voltando à nossa integral original segue-se que:

( ) ( )∫ ∫ ∫ ∫ +−=

+

−=+ 535

351

5353

51

53 xdx

xdxdx

xxxxdx

Dessa forma, obtém-se:

( ) ,3

53ln53

5ln

53c

xxxxdx

++

−=+∫

Ou seja,

109

( ) [ ] cxxcxx

xxdx

++

=++−=+∫ 53

ln5153lnln

51

53

Esse procedimento pode ser utilizado sempre que

pudermos transformar uma função racional )()(

xQxP numa

soma de funções racionais mais simples do tipo bax

A+

,

onde A , a e b são constantes reais.

11. Achar a integral

∫ − 249 xdx .

Solução: Podemos utilizar o item (I) da Tabela acima ou

podemos utilizar a técnica das funções racionais discutida

acima; de fato, inicialmente observemos a identidade:

( )( )xxx 23231

491

2 +−=

−

Então achemos constantes reais A e B tais que:

( )( ) xB

xA

xx 232323231

++

−=

+−

Daí simplificando o lado direito da igualdade acima,

( )( )( ) ( )( )( )xx

xBxAxx 2323

23232323

1+−

−++=

+−,

Isto é,

( )( )( ) ( )( )( )xx

xBABAxx 2323

232323

1+−−++

=+−

Logo, por igualdade de polinômios, segue-se que:

( ) 13 =+ BA e 0=− BA . Daí temos, BA = e, por

conseguinte, 16 =A , o que implica que BA ==61 . Portanto,

voltando à nossa integral temos:

∫ ∫ ∫ ++

−=

− xdx

xdx

xdx

2361

2361

49 2

Daí segue-se que:

∫ +

++−−=

−cxx

xdx 23ln

2123ln

21

61

49 2

110

Portanto, fazendo as simplificações necessárias, obtemos:

∫ ℜ∈+−+

=−

ccxx

xdx ,

2323ln

121

49 2 .

4.2.6. Integrais Indefinidas: Aplicações

Nessa seção aplicaremos, através de vários exemplos,

os conceitos estudados a respeito de integração indefinida na

resolução de problemas dos mais variados tipos, com o intuito

de mostrar ao leitor a importância dessa ferramenta

matemática.

Exemplos: 12. Estima-se que daqui a t meses, a população de uma

certa cidade variará a uma taxa de 32

54 t+ pessoas por

mês. Se a população atual é de, aproximadamente,

10.000 pessoas, qual será a população daqui a 8 meses?

Solução: Nesse caso, devemos achar a função população.

Foi dito no problema, que a derivada de tal função é dada

pela lei 32

54 t+ , isto é, 32

54)(' ttP += . Portanto,

∫

+= dtttP 3

254)(

ou seja,

ℜ∈++

⋅+=+

cctttP ,13

254)(

132

isto é,

ℜ∈++= cctttP ,34)( 35

Uma vez que a população atual, )0(P , é igual a 10.000,

resulta 000.10=c . Portanto, a função população é dada por:

000.1034)( 35++= tttP

Logo, daqui a 8 meses a população será:

128.10000.108384)8( 35

=+⋅+⋅=P pessoas.

111

13. O preço de revenda de certa máquina decresce a uma

taxa que varia com o tempo. Quando a máquina tiver t

anos de uso, a taxa de variação de seu valor será

( )10220 −t reais por ano. Se a máquina foi comprada por

R$ 12.000,00, quanto valerá daqui a 10 anos?

Solução: No contexto do problema, a função-preço dessa

máquina é interpretada como sendo a primitiva da função

( )10220 −t , isto é:

( )∫ −= dtttP 10220)(

Portanto, temos que:

( ) ℜ∈+−= ccttP ,10110)( 2

Se a máquina foi comprada por R$ 12.000,00, segue-se

que 12000)0( =P , ou seja:

( ) 100012000100110 2 =⇒=+− cc

Assim sendo, temos ( ) 100010110)( 2 +−= ttP . Dessa forma,

temos que, daqui a 10 anos, o preço da máquina será

obtido através da substituição 10=t , ou seja,

1000)10( =P

Isto é, R$ 1.000,00.

14. Um objeto se move a uma velocidade expressa pela

função quadrática 326 2 ++ tt metros por minuto, após t

minutos. Qual a distância percorrida pelo objeto durante

o segundo minuto?

Solução: Como sabemos, a velocidade é a taxa de

variação do espaço percorrido, como função do tempo, ou

seja,

( )∫ ++= dtttts 326)( 2

Portanto, segue-se que:

ℜ∈+++= cctttts ,33)( 22

Para calcular a distância percorrida pelo objeto durante o

segundo minuto, basta obtermos )0()2( ss − . Sendo assim,

segue-se que:

112

2223223)0()2( 22 =⋅++⋅=− ss

isto é, 22 metros.

15. Um fabricante calculou que o custo marginal é 16 +q

reais por unidade, quando q unidades são produzidas.

O custo total de produção da 1ª unidade é de R$ 130,00.

Qual o custo total de produção das 10 primeiras

unidades?

Solução: Como sabemos, o custo marginal é a derivada do

custo total. Portanto, o custo total de produção de q

unidades é dado por:

( )∫ += dqqqC 16)(

ou seja,

ℜ∈++= kkqqqC ,3)( 2

Uma vez que o custo total de produção da 1ª unidade é de

R$ 130,00, temos que:

13013)1( =++= kC

ou seja, 126=k , portanto, a função custo-total é expressa

por: 1263)( 2 ++= qqqC . Nessas condições, o custo total de

produção das 10 primeiras unidades é dado por )10(C , isto

é,

4361261010.3)10( 2 =++=C

Ou seja, o custo total é R$ 436,00.

16. Um fabricante estima que a receita marginal seja de

21

100 −q reais por unidade, ao produzir q unidades. O

custo marginal correspondente é de q4,0 reais por

unidade. Suponha que o fabricante lucre R$ 520,00, ao

produzir 16 unidades. Qual será o lucro do fabricante, ao

produzir 25 unidades?

Solução: Nessas condições, temos que o lucro marginal

(receita marginal – custo marginal) é dado, via integração,

por:

113

∫

−= − dqqqqL 4,0100)( 2

1

Portanto, segue-se que:

ℜ∈+−+−

⋅=+−

kkqqqL ,2,012

1100)( 2

121

Isto é,

ℜ∈+−= kkqqqL ,2,0200)( 221

Uma vez que o lucro do fabricante, ao produzir 16 unidades, é

R$ 520,00, temos que: 520)16( =L , portanto

80,24880,748520520162,016200 221

−=−=⇒=+⋅−⋅ kk

Logo, a função lucro-total é dada por:

80,2482,0200)( 221

−−= qqqL

Dessa forma, o lucro do fabricante, ao produzir 25 unidades

será:

80,248252,025200)25( 221

−⋅−⋅=L

ou seja,

20,626)25( =L

Portanto, o lucro do fabricante, ao produzir 25 unidades será de

R$ 626,20.

4.3. Integral Definida

4.3.1. Soma Integral. Seja )(xff = uma função definida no

segmento bxa ≤≤ e bxxxxa n =<⋅⋅⋅<<<= 210 , uma divisão

arbitrária deste segmento em n partes, como mostra a figura

abaixo. A soma expressa por

∑−

=

∆=1

1)(

n

iiin xfS ξ ,

onde,

( )1,,3,2,1,0;; 11 −⋅⋅⋅=−=∆≤≤ ++ nixxxxx iiiiii ξ ,

114

recebe o nome de Soma Integral da função )(xff = no

intervalo fechado [ ]ba; . Observe que nS representa

geometricamente a soma algébrica das áreas dos retângulos

correspondentes, conforme figura abaixo.

FIGURA 26

4.3.2. Integral Definida.

Na soma nS representada na seção anterior,

considerando-se o limite com +∞→n e 0→∆ ix , caso esse

exista, chamaremos ao valor desse limite de integral definida

de )(xff = entre os limites de integração ax = e bx = , ou

seja,

∫∑ =∆−

=→∆

b

a

n

iiixmáx

dxxfxfi

)()(lim1

10ξ .

A integral, definida geometricamente, é a soma algébrica

das áreas dos retângulos esboçados na figura, na qual as

áreas das partes, situadas sobre o eixo OX, são tomadas com

sinal positivo, enquanto que as áreas das partes que se

encontram abaixo do eixo OX são tomadas com sinal negativo.

Portanto, para uma função [ ] ℜ→baf ;: , contínua e positiva,

isto é, 0)( >xf , para todo [ ]bax ;∈ , a integral definida

115

∫b

a

dxxf )(

Representa a área do plano delimitada pelas desigualdades

)(0 xfyebxa ≤≤≤≤ ,

e pelas retas ax = e bx = . Veja a figura abaixo.

FIGURA 27

4.3.3. Teorema Fundamental do Cálculo.

O resultado que enunciaremos a seguir constitui-se num

dos mais importantes e belos resultados da Matemática. É de

uma praticidade enorme e de uma utilização teórica fabulosa.

No nosso contexto o utilizaremos apenas para cálculo de áreas

de figuras planas. Mas sua utilização estende-se a

determinação de outras grandezas como, comprimento de

curvas, volume de corpos sólidos de revolução, cálculo de

áreas superficiais, etc.

O aluno que se interessar em sua demonstração, pode

encontrá-la no livro Curso de Análise, de autoria de Elon Lages

Lima [3].

Teorema Fundamental do Cálculo. Se uma função integrável

[ ] ℜ→baf ;: possui uma primitiva [ ] ℜ→baF ;: , então:

116

)()()( aFbFdxxfb

a

−=∫ .

Entendendo o Teorema Fundamental do Cálculo: É preciso que entendamos o que, de fato, o teorema

fundamental do cálculo se refere. Na prática, para calcularmos

áreas de figuras planas definidas por uma função [ ] ℜ→baf ;: ,

o que teremos que fazer é o seguinte: inicialmente,

determinemos a primitiva [ ] ℜ→baF ;: de f , ou seja,

determinemos uma função F tal que fF =' e, em seguida,

calculemos a diferença entre os valores )(bF e )(aF .

Não podemos esquecer que o valor da diferença

representa uma soma algébrica de áreas, portanto para o

nosso caso, como estamos considerando a nossa função

contínua e positiva, tal diferença sempre será positivo. Mas a

priori, tal diferença pode ser negativa, nula ou positiva.

4.3.4. Aplicações das Integrais Definidas 4.3.4.1. Aplicações em Cálculo de Áreas

1. Determinar o valor da área limitada pela parábola 2)( xxf = , pelas retas 1=x e 3=x e pelo eixo das

abscissas.

Solução: Neste caso, o valor da área será dado por:

326

319

31

33

3

333

1

33

1

2 =−=−=== ∫xdxxA .

Logo, a área solicitada é igual a: ..3

26 auA =

2. Calcular a área da figura limitada pela curva 22 yyx −−= e pelo eixo das ordenadas.

117

Solução: Neste caso, os eixos coordenadas estão invertidos e

devido a isso a área procurada é dada pela expressão

integral:

( ) ..29

3222

1

2

1

2

322 auyyydyyyA =

−−=−−= ∫

− −

Os limites de integração 21 −=y e 12 =y correspondem

às intersecções da curva com o eixo das ordenadas.

Numa situação mais geral, quando a área A da região

plana, a qual estamos querendo calcular, encontra-se limitada

por duas curvas contínuas )(1 xfy = e )(2 xfy = e pelas retas

verticais ax = e bx = , onde )()( 21 xfxf ≤ para bxa ≤≤ ,

conforme a figura abaixo:

FIGURA 28

Então, teremos:

[ ]∫ −=b

a

dxxfxfA )()( 12 .

118

Exemplos: 3. Calcular a área da figura plana compreendida entre as

curvas 2xyexy ==

Solução: Inicialmente observemos que as intersecções

dessas duas curvas ocorrem nos pontos de abscissas 0=x

e 1=x . Ademais, no segmento 10 ≤≤ x temos que

xx ≤≤ 20 . Portanto segue-se que:

( ) ..61

31

21

32

1

0

321

0

2 auxxdxxxA =−=

−=−= ∫

4. Calcule a área da figura plana compreendida entre as

curvas xyexy == 2 .

Figura 29

Solução: Da mesma forma que no exemplo anterior, as

intersecções entre essas duas curvas ocorrem nos pontos

de abscissas 0=x e . Além disso, nesse segmento,

temos que xx ≤≤ 20 . Assim sendo, temos:

( )∫ ∫

−=−=

1

0

1

0

221

2 dxxxdxxxA

logo,

..31

31

32

332

1

0

323

auxxA =−=

−=

1=x

119

5. Você possui uma quantidade de dinheiro para aplicar em

um plano de investimentos escolhido entre dois planos

concorrentes. Após x anos, o primeiro plano produzirá

uma renda com taxa de 21 350)( xxR += milhares de

reais por ano, enquanto que o segundo produzirá uma

renda com taxa constante de 200)(2 =xR milhares de

reais por ano. Se utilizar o segundo plano, que renda

você receberá a mais do que se utilizasse o primeiro

plano, após 5 anos?

Solução: As funções )(1 xR e )(2 xR representam as

taxas de variação do primeiro e do segundo planos de

investimentos, respectivamente e a diferença

)()( 12 xRxR − representa a taxa de variação entre o

segundo e o primeiro plano de investimento, nessa

ordem. Segue-se que a renda, a mais, recebida por

você ao se utilizar o segundo plano em detrimento do

primeiro, após 5 anos será dada através da integral

definida:

( )dxxRxR∫ −5

012 )()(

isto é,

( )[ ] ( )∫ ∫ −=+−5

0

5

0

22 3150350200 dxxdxx

Portanto, pelo Teorema Fundamental do Cálculo segue-

se que:

( ) ( )∫ =−⋅=−=−5

0

35

0

32 625551501503150 xxdxx

Logo o segundo plano de investimento renderá, a mais

do que o primeiro, R$ 625.000,00.

6. Quando uma máquina tem x anos de uso, gera dinheiro

a uma taxa de 254575)( xxR −= reais por ano, e resulta

em custos que se acumulam com uma taxa de 2101200)( xxC += reais por ano.

120

(a) Por quantos anos o uso da máquina é lucrativo?

(b) Qual é o ganho total líquido gerado pela máquina

durante o período do item (a)?

Solução: (a) Para sabermos por quantos anos o uso da máquina

é mais lucrativo, basta determinarmos todos os

valores reais de x para os quais se tenha:

0)()( ≥− xCxR

ou seja,

( ) ( ) 010120054575 22 ≥+−− xx

isto é,

( ) ( )( ) 015151522515 2 ≥+−=− xxx

Então, resolvendo esta inequação produto, levando

em consideração o contexto do problema, obtemos

como conjunto-solução:

{ }150; ≤≤ℜ∈= xxS

Portanto, até os 15 primeiros anos de uso a

utilização da máquina será lucrativa.

(b) O ganho total líquido gerado pela máquina durante

esses 15 anos será obtido através da utilização da

integral definida:

( ) ( )∫ ∫ −=−15

0

15

0

2153375)()( dxxdxxCxR

Portanto, via Teorema Fundamental do Cálculo,

teremos:

( ) ( )∫ −=−15

0

15

0

32 53375153375 xxdxx

isto é,

( )∫ =⋅−⋅=−15

0

32 33750155153375153375 dxx

Ou seja, o ganho total líquido gerado pela máquina

durante esses 15 anos será de R$ 33.750,00.

121

4.3.4.2. Valor Médio de uma Função Existem muitas situações práticas é muito importante

calcularmos o valor médio de uma grandeza matemática; por

exemplo, o nível médio de poluição do ar, em um determinado

período do dia; a velocidade média de um automóvel durante

uma viagem de 4 horas; a pressão média sangüínea de um

paciente durante uma cirurgia; a produtividade média de um

operário no trabalho num determinado período de meses; a

média do total dos alunos aprovados, num determinado curso,

num programa seriado de ingresso a uma universidade, a

quantidade média dos alunos cotistas que não conseguiram

aprovação num vestibular, etc.

No estudo das integrais definidas, existe uma fórmula

que nos permite trabalhar com essas situações; trata-se do

valor médio de uma função que enunciaremos a seguir:

Proposição: (Valor Médio de uma Função) O valor médio de uma função contínua )(xfy = em um

intervalo bxa ≤≤ , o qual denotaremos por )( fVM , é dado

pela fórmula:

∫−=

b

a

dxxfab

fVM )(1)(

No contexto desse livro é mais interessante

entendermos melhor o que, de fato, representa o valor médio

de uma função.

A fórmula da integral para valor médio de uma função

admite uma interpretação geométrica bastante interessante.

Inicialmente, observemos que tal fórmula pode ser reescrita na

seguinte maneira:

( ) ∫=−b

a

dxxffVMab )()(

Portanto, se a função f for não-negativa, como

sabemos, a integral do lado direito dessa igualdade representa

A demonstração da Propriedade do Valor Médio de uma função é apresentada na maioria dos livros de Cálculo Diferencial e Integral onde se utiliza, basicamente, a soma de Riemann discutida no início deste capítulo.

122

a área da região do plano abaixo do gráfico de f , entre as

retas verticais ax = e bx = e, limitada inferiormente, pelo eixo

dos sx' , isto é, a reta 0=y . No lado esquerdo dessa igualdade,

temos geometricamente a área de um retângulo cuja base

mede ab − e, cuja altura, é dada pelo valor médio de f , no

intervalo bxa ≤≤ . Assim sendo, o valor médio de f , no

intervalo bxa ≤≤ é igual à altura do retângulo cuja base é o

intervalo de comprimento ab − e cuja área é equivalente à área

abaixo do gráfico de )(xfy = entre ax = e bx = e, limitada

inferiormente, pelo eixo das abscissas, isto é, pela reta 0=y .

Figura 30

Exemplos: 7. Estima-se que t horas após a meia-noite, a temperatura

de certo local seja dada pela regra 1043,0)( 2 ++−= tttf

graus centígrados. Qual era a temperatura média no

local entre 9 horas da manhã e meio-dia?

Solução: Pela fórmula do Valor Médio da função f ,

temos que:

( )∫ ++−−

=12

9

2 1043,0912

1)( dtttfVM ,

ou seja,

( )12

9

23 1021,031)( tttfVM ++−=

Segue-se daí que,

( ) ( )[ ]901629,721202888,17231)( ++−−++−=fVM

123

isto é,

7,181,5631)( =⋅=fVM

Portanto, a temperatura média nes te local entre 9 horas

da manhã e meio-dia é 18,7°C.

8. Após t meses no emprego, um funcionário dos Correios

consegue classificar a correspondência a uma taxa de tetQ 5,0400700)( −−= cartas por hora. Determine a taxa

média segundo a qual o funcionário classifica a

correspondência durante os 3 primeiros meses.

Solução: Nesse caso, utilizando a fórmula do valor

médio para a função )(tQQ = dada no enunciado do

problema, temos que:

( )∫ −−=3

0

5,040070031)( dteQVM t

Ou seja,

( )3

0

5,080070031)( tetQVM −+=

Realizando as substituições 0=t e 3=t na expressão

acima, segue-se que:

( )[ ]800800210031)( 5,1 −+= −eQVM

logo,

83,49238001300)(

5,1

≅+

=−eQVM

Portanto, a taxa média segundo a qual o funcionário

classifica a correspondência durante os 3 primeiros

meses é de, aproximadamente, 492,83 cartas por hora.

9. Estima-se que daqui a t meses após o início do ano, o

preço de certo produto será dado pela expressão

matemática 2,12,006,0)( 2 +−= tttP reais por quilograma.

Nessas condições, qual o preço médio do produto

durante o primeiro semestre do ano?

124

Solução: O valor médio solicitado será calculado como

segue:

( )∫ +−=6

0

2 2,12,006,061)( dtttPVM

portanto, temos

( ) 6

0

23 2,11,002,061)( tttPVM +−=

isto é,

( ) 32,1692,762,161,0602,0

61)( 23 ==⋅+⋅−⋅=PVM

Logo, o preço médio do produto durante o primeiro

semestre do ano é de R$ 1,32.

125

EXERCÍCIOS

1) Determinar as primitivas das funções indicadas em

cada item abaixo:

a) ∫ −12xdx

b) ( )∫ −+− dxxxx 14 23

c) ∫

++ dx

xx

1232

2) Determinar a primitiva da função ℜ→ℜ:f definida

pela lei ( )xsenxf 2)( = que passa pelo ponto

2;

4π .

3) O lucro marginal (receita marginal – custo marginal)

de uma certa fábrica é de q2100 − reais por unidade,

quando q unidades são produzidas. Se o lucro é de

R$ 700,00, produzindo-se 10 unidades, qual será o

lucro máximo da fábrica?

4) Um estudo do meio ambiente de certa comunidade

indica que, daqui a t anos, a taxa de monóxido de

carbono no ar estará variando de 1,01,0 +t partes por

milhão por ano. Se a taxa de monóxido de carbono

no ar é de 3,4 partes por milhão, qual será a taxa

daqui a 3 anos?

5) Uma árvore foi transplantada e, após x anos, está

crescendo a uma taxa de ( )21

11+

+x

metros por ano.

Após 2 anos, alcançou 5 metros de altura. Qual era a

sua altura, quando foi transplantada?

6) Calcular a área da figura plana limitada pela curva

( )1ln −= xy , pelas retas 2=x e 9=x e pelo eixo das

abscissas.

126

7) Determinar a área da figura limitada pela parábola 22 xxy −= e pela reta xy −= .

8) Calcular a área do segmento da parábola 2xy = , que

corta a reta xy 23 −= .

9) Calcular a área da figura compreendida entre as

parábolas 3

2xy = e 2

324 xy −= .

10) Calcular a área da figura compreendida entre as

curvas xseny = e xy cos= , no intervalo 2

0 π≤≤ x .

127

BIBLIOGRAFIA

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130

Sobre o autor

Prof. Dr. Gilvan Lima de Oliveira, graduou-se no Curso de

Licenciatura Plena em Ciâncias com Habilitação em

Matemática, em 1986, pela Universidade Federal do Piauí.

Em 1995 obteve título de Mestre em Ciências pela

Universidade Federal do Ceará, apresentando a dissertação

de Mestrado intitulada: “Evolução de Curvas Convexas Pela

Curvatura”, sob a orientação do Prof. Dr. Levi Lopes de

Lima – UFC. Obteve grau de Doutor em Engenharia de

Sistemas e Computação em 2002 na Universidade Federal

do Rio de Janeiro – COPPE/UFRJ, apresentando a tese

intitulada: “Uma Nova Classe de Métodos de Ponto

Proximal com Métrica Variável Para Problemas em

Otimização com Restrições de Positividade”, sob a

orientação do Prof. Dr. Paulo Roberto Oliveira – UFRJ e do

Prof. Dr. João Xavier da Cruz Neto – UFPi. Atualmente é

professor adjunto–1, lotado no Departamento de

Matemática do Centro de Ciências da Natureza da

Universidade Federal do Piauí, membro da Comissão

Permanente de Vestibular – COPEVE e Coordenador

Regional de Iniciação Científica dentro do Projeto das

Olimpíadas Brasileiras de Matemática – OBMEP

(http://www.obmep.org.br/)