Prof. Lucas

CURSO

DE

MATEMÁTICA

1

ASSUNTO 1

1. Potências e Raízes

Seja a um número real e n um número inteiro positivo, então: an = a . a . a . ............. . a, onde a quantidade de a0 que aparecem nesse produto é igual a n.

Convenção: a1 = a, a0 = 1 (a ≠ 0) e am = m

1a

(a ≠ 0).

Exemplos:

a) 73 = 7 x 7 x 7 = 343

b) 02 = 0 x 0 = 0

c) (–3)2 = (–3) x (–3) = 9

Principais propriedades

I. am . an = am + n

II. m

m nn

a aa

−= , a ≠ 0

III. (am)n = am.n

IV. (a . b)m = am . bm

V. mm

m

a abb

=

, b ≠ 0

1.1 Raízes

Dado o número real a e um número inteiro positivo n, dizemos que o número b, b ≥ 0 é a raiz n-ésima (ou enésima) de a, se bn = a.

Principais Propriedadesn n n

nn

n

m n m.n

pnp pn n

I. a . b 2.b

a aII.bb

III. a a

IV. ( a) a a

=

=

=

= =

2. Produtos Notáveis e Fatoração

2.1 Quadrado da soma

I. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

II. (a – b)2 = a2 – 2ab – b2

2.2 Diferença de dois quadrados

a2 – b2 = (a + b) . (a – b)

2.3 Cubo perfeito

I. (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

II. (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

2.4 Soma e diferença de dois cubos

I. a3 + b3 = (a + b) . (a2 – ab + b2)

II. a3 – b3 = (a – b) . (a2 + ab + b2)

3. Racionalização

3.1 Introdução

Racionalizar uma expressão significa torná-la racional, ou seja, eliminar o(s) radical(is) que aparecem na expressão.

Para racionalizarmos os denominadores existem certas regras que estudaremos através do exercício a seguir.

Racionalizar os denominadores:

3

1a)2 34b)5

2c)5 3−

Exercícios de Sala

01. A professora Moralinda Koltron, nos seus comentários diários sempre falava que havia se casado muito nova com o Rolisdrigo Moltron. Certo dia ela propos aos seus alunos o seguinte problema.

A soma das idades dela e do marido é 45 anos, e a diferença entre suas idades é de 5 anos, então o valor da diferença dos quadrados dessas idades, em anos é:

a) 115b) 175c) 205d) 225e) 305

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2

02. (Enem 2010) Um professor dividiu a lousa da sala de aula em quatro partes iguais. Em seguida, preencheu 75% dela com conceitos e explicações, conforme a figura seguinte:

xxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxx xxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxx xxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxx xxxxxxxx

Algum tempo depois, o professor apagou a lousa por completo e, adotando um procedimento semelhante ao anterior, voltou a preenchê-la, mas, dessa, vez, utilizando 40% do espaço dela.

Uma representação possível para essa segunda situação é

a) xxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxx xxxxxxxx

b) xxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxx xxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxx xxxxxxxx

c) xxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxx xxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxx xxxxxxxx

d) xxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxx xxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxx xxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxx xxxxxxxx

e) xxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxx xxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxx xxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxx xxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxx xxxxtxxxx xxxxxxxx

03. (Enem 2005) Os números de identificação utilizados no cotidiano (de contas bancárias, de CPF, de Carteira de Identidade etc) usualmente possuem um dígito de verificação, normalmente representado após o hífen, como em 17326-9. Esse dígito adicional tem a finalidade de evitar erros no preenchimento ou digitação de documentos. Um dos métodos usados para gerar esse dígito utiliza os seguintes passos:

• multiplica-se o último algarismo do número por 1, o penúltimo por 2, o antepenúltimo por 1, e assim por diante, sempre alternando multiplicações por 1 e por 2.

• soma-se 1 a cada um dos resultados dessas multiplicações que for maior do que ou igual a 10.

• somam-se os resultados obtidos.• calcula-se o resto da divisão dessa soma por

10, obtendo-se assim o dígito verificador.

O dígito de verificação fornecido pelo processo acima para o número 24685 é

a) 1 d) 6b) 2 e) 8c) 4

04. (Enem-2010) Embora o Índice de Massa Corporal (IMC) seja amplamente utilizado, existem ainda inúmeras restrições teóricas ao uso e às faixas de normalidade preconizadas. O Recíproco do Índice Ponderal (RIP), de acordo com o modelo alométrico, possui uma melhor fundamentação matemática, já que a massa é uma variável de dimensões cúbicas e a altura, uma variável de dimensões lineares. As fórmulas que determinam esses índices são:

2 3

massa(kg) altura(cm)IMC RIP[altura(m)] massa(kg)

= =

ARAUJO, C. G. S.; RICARDO, D. R. Índice de Massa Corporal: um questionamento científico baseado em evidências. Arq. Bras. Cardiologia, volume 79, no 1,

2002 (adaptado).

Se uma menina, com 64kg de massa, apresenta IMC igual a 25 kg/m2, então ela possui RIP igual a

a) 0,4 cm/kg1/3

b) 2,5cm/kg1/3

c) 8 cm/kg1/3

d) 20 cm/kg1/3

e) 40 cm/kg1/3

Texto para as questões 05 e 06

O tempo que um ônibus gasta para ir do ponto inicial ao ponto final de uma linha varia, durante o dia, conforme as condições do trânsito, demorando mais nos horários de maior movimento. A empresa que opera essa linha forneceu, no gráfico abaixo, o tempo médio de duração da viagem conforme o horário de saída do ponto inicial, no período da manhã.

05. (Enem-2003) De acordo com as informações do gráfico, um passageiro que necessita chegar até as 10h30min ao ponto final dessa linha, deve tomar o ônibus no ponto inicial, no máximo, até as:

a) 9h20minb) 9h30minc) 9h00mind) 8h30mine) 8h50min

3

06. (Enem-2006) João e Antônio utilizam os ônibus da linha mencionada na questão anterior para ir trabalhar, no período considerado no gráfico, nas seguintes condições:

• trabalham vinte dias por mês; • João viaja sempre no horário em que o ônibus

faz o trajeto no menor tempo; • Antônio viaja sempre no horário em que o

ônibus faz o trajeto no maior tempo; • na volta do trabalho, ambos fazem o trajeto no

mesmo tempo de percurso.

Considerando-se a diferença de tempo de percurso, Antônio gasta, por mês, em média,

a) 05 horas a mais que João.b) 10 horas a mais que João.c) 20 horas a mais que João.d) 40 horas a mais que João.e) 60 horas a mais que João.

07. Se 4 4A 32 3 1250= + , então A é igual a:4

4

4

a) 17 2

b) 20 2

c) 25 2

d) 17 2

08. No sistema 3 2 2 3

2 2 2 2

x 3x y 3xy y 8(x y )(x 2xy y ) 12

− + − =

− − + =, o valor de

x + y, é:

a) 13b)22c)34d)3

Exercícios Propostos

01. (Enem-2010) A disparidade de volume entre os planetas é tão grande que seria possível colocá-los uns dentro dos outros. O planeta Mercúrio é o menor de todos. Marte é o segundo menor: dentro dele cabem três Mercúrios. Terra é o único com vida: dentro dela cabem sete Martes. Netuno é o quarto maior: dentro dele cabem 58 Terras. Júpiter é o maior dos planetas: dentro dele cabem 23 Netunos.

Revista Veja. Ano 41, nº 25, 25 jun. 2008 (adaptado).

Seguindo o raciocínio proposto, quantas Terras cabem dentro de Júpiter?

a) 406b) 1 334c) 4 002d) 9 338e) 28 014

02. (Enem-2009) O gráfico a seguir mostra a evolução, de abril de 2008 a maio de 2009, da população economicamente ativa para seis Regiões Metropolitanas pesquisadas.

FONTE: IBGE, Diretoria de Pesquisas, Coordenação de Trabalho e Rendimento, Pesquisa Mensal de Emprego.

Considerando que a taxa de crescimento da população economicamente ativa, entre 05/09 e 06/09, seja de 4%, então o número de pessoas economicamente ativas em 06/09 será igual a:

a) 23.940. b) 32.228. c) 920.800. d) 23.940.800. e) 32.228.000.

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4

03. (Enem-2009) O mapa abaixo representa um bairro de determinada cidade, no qual as flechas indicam o sentido das mãos do tráfego. Sabe-se que esse bairro foi planejado e que cada quadra representada na figura é um terreno quadrado, de lado igual a 200 metros.

Desconsiderando-se a largura das ruas, qual seria o tempo, em minutos, que um ônibus, em velocidade constante e igual a 40km/h, partindo do ponto X, demoraria para chegar até o ponto Y?

a) 25min.b) 15min.c) 2,5min.d) 1,5min.e) 0,15min.

04. (Uece-2013) Encerrado o horário para consulta de livros, na Biblioteca Pública, no dia 18 de setembro, o funcionário Bruno recolheu todos os volumes consultados, os quais eram sempre deixados sobre as mesas da biblioteca. Sua tarefa, a seguir, foi recolocá-los em quatro estantes, conforme suas respectivas classificações. A tarefa foi cumprida do seguinte modo: um terço dos volumes foi colocado na primeira estante, um quarto na segunda, um sexto na terceira e os dezoito restantes na última estante. Então, pode-se concluir corretamente que o total de volumes consultados naquele dia é um número localizado entre

a) 62 e 66.b) 66 e 70.c) 70 e 74.d) 74 e 84.

05. (Enem-2011) O medidor de energia elétrica de uma residência, conhecido por “relógio de luz”, é constituído de quatro pequenos relógios, cujos sentidos de rotação estão indicados conforme a figura:

Disponível em: http://www.enersul.com.br.Acesso em: 26 abr. 2010.

A medida é expressa em kWh. O número obtido na leitura é composto por 4 algarismos. Cada posição do número é formada pelo último algarismo ultrapassado pelo ponteiro.

O número obtido pela leitura em kWh, na imagem, é:

a) 2 614.b) 3 624.c) 2 715d) 3 725.e) 4 162.

06. (Enem-2002) Um estudo realizado com 100 indivíduos que abastecem seu carro uma vez por semana em um dos postos X, Y ou Z mostrou que:

• 45 preferem X a Y, e Y a Z.• 25 preferem Y a Z, e Z a X.• 30 preferem Z a Y, e Y a X.

Se um dos postos encerrar suas atividades, e os 100 consumidores continuarem se orientando pelas preferências descritas, é possível afirmar que a liderança de preferência nunca pertencerá a:

a) X b) Y c) Z d) X ou Y e) Y ou Z

07. (Enem-2012) João decidiu contratar os serviços de uma empresa por telefone através do SAC (Serviço de Atendimento ao Consumidor). O atendente ditou para João o número de protocolo de atendimento da ligação e pediu que ele anotasse. Entretanto, João não entendeu um dos algarismos ditados pelo atendente e anotou o número 1 3 _ 9 8 2 0 7, sendo que o espaço vazio é o do algarismo que João não entendeu.

5

De acordo com essas informações, a posição ocupada pelo algarismo que falta no número do protocolo é a de

a) centenab) dezena de milharc) centena de milhard) milhãoe) centena de milhão

08. O valor de 1 0 1

2 3 4

2 2 22 2 2

−

− − −

+ ++ +

é igual a:

a) 6b) 8c) 24d) 31e) 38

09. Simplificando a expressão 3

2

x xx x

−−

, sendo x ≠ 0 e x ≠ 1, obtém-se:

a) x 1b) 1 xc) x 1

x 1d)x 1x 1e)x 1

−−+−++−

10. O valor do número 3 1 3 13 1 3 1

+ −+

− +, é:

a) 2b) 4c) 5d) 6e) 8

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Assunto 2

1. O Máximo Divisor Comum (M.D.C)

Entre dois ou mais números é o maior número que os divide exatamente.

Exemplo:

Vamos achar o M.D.C. entre 24 e 32 usando três métodos:

Método 1

D + (24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

D + (32) = {1, 2, 4, 8, 16, 32}

D + (24) ∩ D + (32) = {1, 2, 4, 8}, portanto o M.D.C (24 e 32) = 8

Método 22412

631

2223

32168421

22222

24 = 23 . 3

32 = 25

M.D.C (24 e 32) – 23 = 8

Método 31328

3240

8 M.D.C (24 e 32) = 8

2. Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C)

O mínimo ou menor múltiplo comum entre dois ou mais números, é o menor positivo divisível pelos números dados.

Exemplo:

Vamos achar o M.M.C entre 6 e 14 usando dois métodos:

Método 1

M + (6) = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, ...}

M + (14) = {14, 28, 42, 56, 70, ...}

M + (6) ∩ M + (14) = {42, 84, 126, ...}, portanto o

M.M.C (6 e 14) = 42

Método 26,143,71,71,1

23742

M.M.C (6 e 14) = 42

Observação:1. Se o M.D.C (a, b) = 1, dizemos que a e b são

primos entre si.2. O produto de dois números naturais não nulos,

a e b, é igual ao produto do M.D.C pelo M.M.C. Desses números.

a x b = m.d.c(a, b) x m.m.c (a, b)

3. Porcentagem

Porcentagem ou percentagem é toda razão na

qual o denominador é 100, ou seja p p%100

= .

Observações:

Para calcularmos p% de um valor n, multiplicamos p por n e dividimos o resultado por 100.

Assim, p% de n é igual a p.n100

.

4. Divisibilidade

4.1 Introdução

Dados dois números a e b inteiros (a ≠ 0), diz-se que a divide b ou que b é divisível por a ou ainda que múltiplo de a, quando b = a . q, onde q é um inteiro.

4.2 Teorema de Euclides

De um modo geral se a e b são números inteiros (a ≠ 0), então sempre existem inteiros q e r tal que = aq + r, onde 0 ≤ r < |a| e o resto da divisão de b por r. Veja que ser r = 0, a divisão é exata e nesse caso divisível por a.

4.3 Algumas regras de divisibilidade

Um número natural será divisível por:2, quando o último algarismo for par;3, quando a soma de seus algarismos for divisível

por: 4, quando o número formado pelos dois últimos algarismos for divisível por 4;

5, quando o último algarismo for 0 ou 5;6, quando for divisível, ao mesmo tempo por 2 e 3;7, quando a diferença entre a soma das classes

ímpares a soma das classes pares for divisível por 7;

8, quando o número formado pelos três últimos algarismos for divisível por 8;

77

9, quando a soma dos seus algarismos for divisível por; 10, quando o último algarismo for 0;

11, quando a diferença entre a soma dos algarismos de ordem par e a soma dos algarismos de ordem ímpar for divisível por 11.

Exercícios de Sala

01. A partir das 7 horas, as saídas de ônibus de Fortaleza para Sobral, Crato e Iguatu obedecem os seguintes horários:

Para Sobral: de 20 em 20 minutosPara Crato: de 30 em 30 minutosPara Iguatu: de 50 em 50 minutos

Depois de quanto tempo, após às 7 horas saem simultaneamente, pela primeira vez, os três ônibus?

a) 3 horasb) 4 horasc) 5 horasd) 6 horase) 7 horas

02. Um brinquedo de parque de diversões é composto por cadeiras dispostas em três círculos concêntricos que giram no mesmo sentido, com velocidades diferentes. Alberto, Bruno e Carlos estão sentados, respectivamente, nas cadeiras A, B e C, alinhadas.

Quando o brinquedo é acionado, Alberto completa uma volta em 32 segundos; Bruno, em 40 segundos e Carlos, em 60 segundos. O menor número de voltas que Alberto deve dar para eles estarem alinhados novamente nessa posição é:

a) 15 voltas;b) 14 voltas;c) 13 voltas;d) 12 voltas;e) 10 voltas.

03. A editora de um livro “Leitura Simples” recebeu o seguinte pedido de três livrarias:

Livraria Obol Olam AcolPedido 3000 1.250 2.500

A editora deseja remeter os três pedidos em k pacotes iguais, de forma que k seja o menor possível, então o valor de k, é:

a) 27b) 28c) 29d) 30e) 31

04. Entre algumas famílias de uma comunidade carente foram distribuídos 240 cadernos, 576 lápis e 1080 borrachas. A distribuição foi feita de tal modo que o maior número de famílias fosse contemplado e que cada família recebesse o mesmo número de lápis, o mesmo número de cadernos e o mesmo número de borrachas. Nestas, condições, o número de borrachas que cada família recebeu foi:

a) 24b) 28c) 36d) 45e) 48

05. Uma loja vende seus artigos nas seguintes condições: à vista com 30% de desconto sobre o preço da tabela ou no cartão de crédito com 10% de acréscimo sobre o preço de tabela. Um artigo que a vista sai por R$ 7.000,00 no cartão sairá por:

a) R$ 13.000,00b) R$ 11.000,00c) R$ 10.010,00d) R$ 9.800,00e) R$ 7.700,00

06. Após se fazer uma promoção em um clube de dança, o número de frequentadores do sexo masculino aumentou de 60 para 84, e, apesar disso, o percentual da participação masculina passou de 30% para 24%. Considerando-se essas informações, é correto afirmar que o número de mulheres que frenquentar esse clube, após a promoção, teve um aumento de:

a) 76%b) 81%c) 85%d) 90%

OS.:5746/12-Juliana

8

07. Um número inteiro de 3 algarismo, abc, é tal que se dele subtrairmos o número cba, obteremos para o resto um número positivo terminado em 4. Podemos afirmar que o resultado da subtração é:

a) 404b) 464c) 494d) 504e) 594

08. N e P são números naturais constrangidos pelos algarismos “a” e “b” de acordo com os seguintes formatos: N = ab e P = ba. No quadro abaixo, temos o algoritmo da divisão aplicado às divisões de N por a + b e de P por a – b, respectivamente:

N a + b

6 7

P a – b

2 6 Então, podemos afirmar que N – 2P é igual a:

a) 8b) 10c) 15d) 22e) 25

Exercícios Propostos

01. Uma pessoa precisa tomar um medicamento de três em três horas e um outro a cada período de quatro horas. Ao levantar-se, às 7 horas da manhã, ela tomou os dois medicamentos. Nesse dia, a que horas ela tomará os dois medicamentos juntos novamente?

a) 17 horasb) 18 horasc) 19 horasd) 20 horas

02. Pretende-se dividir três peças de tecido que medem, respectivamente, 90, 108 e 144 metros, em partes iguais e com maior tamanho possível. Determinar o tamanho de cada parte e o número de partes de cada peça sabendo que, nas três peças, o tecido tem a mesma largura.

a) 18, 5 peças, 6 peças e 8 peçasb) 19, 3 peças, 4 peças e 7 peçasc) 20, 2 peças, 3 peças e 4 peçasd) 21, 2 peças, 3 peças e 4 peçase) 22, 3 peças, 4 peças e 5 peças

03. No alto de uma torre de uma emissora de televisão as luzes “piscam” com frequências diferentes. A primeira pisca 15 vezes por minuto e a segunda pisca 10 vezes por minuto. Se num certo instante as luzes piscam simultaneamente, após quantos segundos voltarão a piscar simultaneamente?

a) 10b) 12c) 15d) 20e) 30

04. A editora do livro “Como ser Aprovado no Vestibular” recebeu os seguintes pedidos de três livrarias: Livraria A, 1300 exemplares; Livraria B, 1950 exemplares; Livrarias C, 3900 exemplares. A editora deseja remeter os três pedidos em n pacotes iguais de modo que n seja o menor possível.

O valor de n é:

a) 10b) 11c) 13d) 12e) 14

05. Numa sala há 100 pessoas, das quais 97 são homens. Para que os homens representem 96% das pessoas contidas na sala, deverá sair que número de homens?

a) 2b) 5c) 10d) 15e) 25

06. Um trabalhador participou de uma greve na qual era reivindicado um reajuste salarial de 15%. A greve foi encerrada após conscessão de 10%. No caso dele, bastariam mais R$ 10,00 para que fossem integralizados os 15%. Inicialmente pretendidos. O novo salário desse trabalhador, após a greve, é igual a:

a) R$ 160,00b) R$ 220,00c) R$ 240,00d) R$ 280,00e) R$ 320,00

9

07. 95% da massa de uma melancia de 10kg é constituida por água. A fruta é submetida a um processo de desidratação (que elimina apenas água) até que a participação da água na massa da melancia se reduza a 90%. A massa da melancia após esse processo de desidratação será igual a:

5a) kg99b) kg5

c) 5kgd) 9kge) 9,5kg

08. Considere três números inteiros e positivos a, b e c, onde um deles é igual a média aritmética dos outros dois.

A soma 2a + 2b + 2c é igual ao:

a) dobro de um dos números dadosb) triplo de um dos números dadosc) quádruplo de um dos números dadosd) sêxtuplo de um dos números dados

09. Numa divisão de dois números n1 e n2, o quociente é q e o resto é r. Somando-se 21 ao dividendo e 3 ao divisor, o quociente e o resto não se alteram. Então o valor de q é:

a) 4b) 5c) 6d) 7e) 8

10. Considere o número 360 e responda:

a) Quantos são os seus divisores naturais?b) O total de divisores?c) Quantos dos seus divisores são pares?d) Quantos dos seus divisores são ímpares?e) Quantos dos seus divisores são quadrados

perfeitos?

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ASSUNTO 3

Juros simples e Juros Compostos

1. Juros Simples

Chamamos de juros simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor do capital inicial.

J = c . i . t c capitali taxade jurost tempo

= = =

1.1 Montante

O montante é a soma dos juros com o capital.

M = J + cM = c . i . t + cM = c(1 + it)

Obs 1.:

No sistema de juros simples, os juros são obtidos por meio de uma função linear, isto é, do tipo f(x) = ax, com a ≠ 0.

Obs 2.:

No sistema de juros simples, o montante será obtido por meio de uma função afim, isto é, do tipo f(x) = ax + b.

2. Juros Compostos

Chamamos de juros compostos quando os juros gerados a cada período são incorporados ao capital para o cálculo dos juros do período seguinte.

M = c(1 + i)t

Obs 1.:

No sistema de juros compostos, o montante é obtido por uma função exponencial, isto é, do tipo f(x) = ax (com a > 0 e a ≠ 1).

Exercícios de Sala

01. O capital de R$ 10.000,00 foi aplicado a juros simples exatos 146 dias, a taxa de 0,049% ao dia. O valor desse juro é:

a) R$ 705,00b) R$ 720,00c) R$ 725,00d) R$ 715,00e) R$ 735,00

02. Para comprar um tênis de R$ 70,00, Renato deu um cheque pré-datado de 30 dias no valor de 74,20. A taxa de juros cobrada foi de:

a) 0,6% ao mêsb) 4,2% ao mêsc) 6% ao mêsd) 42% ao mêse) 60% ao mês

03. Os juros de uma aplicação de R$ 1.000,00 em 18 meses, se a taxa de juros é de 42% a.a. é de:

a) R$ 420,00b) R$ 630,00c) R$ 720,00d) R$ 756,00e) R$ 1.200,00

04. Cássia aplicou o capital de R$ 15.000,00 a juros compostos, pelo período de 10 meses e à taxa de 2% a.m. (ao mês). Considerando a aproximação (1,02)5 = 1,1. Cássia computou o valor aproximado do montante a ser recebido ao final da aplicação. Esse valor é:

a) R$ 18.750,00b) R$ 18.150,00c) R$ 17.250,00d) R$ 17.150,00e) R$ 16.500,00

05. Jorge aplicou um capital a juros compostos, durante dez meses, obtendo um rendimento igual ao capital aplicado. Qual a taxa mensal desta aplicação?

Use: log2 ≅ 0,3, 100,3 = 1,995 e 100,03 = 1,072

a) 3,2%b) 4,2%c) 5,2%d) 6,2%e) 7,2%

11

06. Em 1996, uma indústria iniciou a fabricação de 6000 unidades de certo produto e, desde então, sua produção tem crescido a taxa de 20% ao ano. nessas condições, em que ano a produção foi igual ao triplo de 1996?

Dados: log2 = 0,30 e log3 = 0,48

a) 1998 d) 2001b) 1999 e) 2002c) 2000

07. (EPCAr) O capital de R$ 6.000,00 aplicado à taxa anual de 30% de juros simples, no fim de 200 dias produzira o montante de:

a) R$ 6.800,00b) R$ 6.900,00c) R$ 6.950,00d) R$ 7.000,00e) R$ 7.350,00

08. (ESPM-SP) Um capital de R$ 6.000,00 é aplicado por 4 meses a juros compostos de 2% a.m. Qual é o valor dos juros resultantes dessa aplicação?

Você pode usar um dos dados abaixo:

1,024 = 1,08241,24 = 2,07361,02 . 4 = 1,08

a) R$ 6.946,40 d) R$ 494,00b) R$ 6.480,00 e) R$ 480,00c) R$ 6.441,60

Exercícios Propostos

01. Uma aplicação financeira rende juros de 10% ao ano, compostos anualmente. Utilizando para os cálculos as aproximações fornecidas na tabela, pode-se estimar que uma aplicação de R$ 1.000,00 seria resgatada no montante de R$ 1.000.000,00 após:

x logx

2 0,305 0,7011 1,04

2a) mais de 1 século d) de século33b) 1 século e) de século4

4c) de século5

02. Deolindo aplicou R$ 1.000,00 à taxa de 50% ao ano. Qual será o juro acumulado ao fim de 70 dias, sob regime de juro simples?

a) R$ 90,00b) R$ 93,20c) R$ 95,30d) R$ 96,00e) R$ 97,20

03. (Enem-2012) Arthur deseja comprar um terreno de Cléber, que lhe oferece as seguintes possibilidades de pagamento:

• Opção 1: Pagar à vista, por R$ 55.000,00.• Opção 2: Pagar a prazo, dando uma entrada

de R$ 30.000,00, e mais uma prestação de R$ 26.000,00 para dali a 6 meses.

• Opção 3: Pagar a prazo, dando uma entrada de R$ 20.000,00, mais uma prestação de R$ 20.000,00, para dali a 6 meses e outra de R$ 18.000,00 para dali a 12 meses da data da compra.

• Opção 4: Pagar a prazo dando uma entrada de R$ 15.000,00 e o restante em 1 ano da data da compra, pagando R$ 39.000,00.

• Opção 5: Pagar a prazo, dali a um ano, o valor de R$ 60.000,00.

Arthur tem o dinheiro para pagar à vista, mas avalia se não seria melhor aplicar o dinheiro do valor à vista (ou até um valor menor) em um investimento, com rentabilidade de 10% ao semestre, resgatando os valores à medida que as prestações da opção escolhida fossem vencendo.

Após avaliar a situação do ponto de vista financeiro e das condições apresentadas, Arthur concluiu que era mais vantajoso financeiramente escolher a opção

a) 1 d) 4b) 2 e) 5c) 3

04. (Enem-2011) Uma pessoa aplicou certa quantia em ações. No primeiro mês, ela perdeu 30% do total do investimento e, no segundo mês, recuperou 20% do que havia perdido. Depois desses dois meses, resolveu tirar o montante de R$ 3 800,00 gerado pela aplicação.

A quantia inicial que essa pessoa aplicou em ações corresponde ao valor de

a) R$ 4 222,22.b) R$ 4 523,80.c) R$ 5 000,00.d) R$ 13 300,00.e) R$ 17 100,00.

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05. (Enem-2012) Um laboratório realiza exames em que é possível observar a taxa de glicose de uma pessoa. Os resultados são analisados de acordo com o quadro a seguir.

Hipoglicemia taxa de glicose menor ou igual a 70mg/dL

Normal taxa de glicose maior que 70mg/dL e menor ou igual a 100mg/dL

Pré-diabetes taxa de glicose maior que 100mg/dL e menor ou igual a 125mg/dL

Diabetes Melito taxa de glicose maior que 125mg/dL e menor ou igual a 250mg/dL

Hiperglicemia taxa de glicose maior que 250mg/dL

Um paciente fez um exame de glicose nesse laboratório e comprovou que estava com hiperglicemia. Sua taxa de glicose era de 300 mg/dL. Seu médico prescreveu um tratamento em duas etapas. Na primeira etapa ele conseguiu reduzir sua taxa 30% e na segunda etapa em 10%.

Ao calcular sua taxa de glicose após as duas reduções, o paciente verificou que estava na categoria de:

a) hipoglicemia.b) normal.c) pré-diabetes.d) diabetes melitoe) hiperglicemia.

06. (Enem-2011) Um jovem investidor precisa escolher qual investimento lhe trará maior retorno financeiro em uma aplicação de R$ 500,00. Para isso, pesquisa o rendimento e o imposto a ser pago em dois investimentos: poupança e CDB (certificado de depósito bancário). As informações obtidas estão resumidas no quadro:

Rendimento mensal (%)

IR (imposto de renda)

POUPANÇA 0,560 ISENTO

CDB 0,876 4% (sobre o ganho)

Para o jovem investidor, ao final de um mês, a aplicação mais vantajosa é

a) a poupança, pois totalizará um montante de R$ 502,80.

b) a poupança, pois totalizará um montante de R$ 500,56.

c) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 504,38.

d) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 504,21.

e) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 500,87.

07. (FAFI-BH) Calcular o tempo que um capital de R$ 20.000,00 deve permanecer aplicado a uma taxa de juros simples de 25% ao mês, para render juros de R$ 15.000,00.

a) 3 meses d) 6 mesesb) 4 meses e) 7 mesesc) 5 meses

08. (Enem 2010) Uma empresa possui um sistema de controle de qualidade que classifica o seu desempenho financeiro anual, tendo como base o do ano anterior. Os conceitos são: insuficiente, quando o crescimento é menor que 1%; regular, quando o crescimento é maior ou igual a 1% e menor que 5%; bom, quando o crescimento é maior ou igual a 5% e menor que 10%; ótimo, quando é maior ou igual a 10% e menor que 20%; e excelente, quando é maior ou igual a 20%. Essa empresa apresentou lucro de R$132.000,00 em 2008 e de R$145.000,00 em 2009.

De acordo com esse sistema de controle de qualidade, o desempenho financeiro dessa empresa no ano de 2009 deve ser considerado

a) insuficiente.b) regular.c) bom.d) ótimo.e) excelente.

09. (Enem-2009) João deve 12 parcelas de R$ 150,00 referentes ao cheque especial de seu banco e cinco parcelas de R$ 80,00 referentes ao cartão de crédito. O gerente do banco lhe ofereceu duas parcelas de desconto no cheque especial, caso João quitasse esta dívida imediatamente ou, na mesma condição, isto é, quitação imediata, com 25% de desconto na dívida do cartão. João também poderia renegociar suas dívidas em 18 parcelas mensais de R$ 125,00. Sabendo desses termos, José, amigo de João, ofereceu-lhe emprestar o dinheiro que julgasse necessário pelo tempo de 18 meses, com juros de 25% sobre o total emprestado. A opção que dá a João o menor gasto seria a) renegociar suas dívidas com o banco. b) pegar emprestado de José o dinheiro referente

à quitação das duas dívidas. c) recusar o empréstimo de José e pagar todas

as parcelas pendentes nos devidos prazos. d) pegar emprestado de José o dinheiro referente

à quitação do cheque especial e pagar as parcelas do cartão de crédito.

e) pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação do cartão de crédito e pagar as parcelas do cheque especial.

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10. Uma instituição financeira oferece um tipo de aplicação tal que, após t meses, o montante relat ivo ao capi ta l apl icado é dado por M(t) = c . 20,04t, em que C > 0. O menor tempo possível para quadruplicar uma certa quantia aplicada nesse tipo de aplicação é:

a) 5 mesesb) 2 anos e 6 mesesc) 4 anos e 2 mesesd) 6 anos e 4 mesese) 8 anos e 5 meses

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ASSUNTO 4

razão, proporção e regra de três

1. Razão

A razão entre duas grandezas é o resultado da divisão entre essas grandezas.

Assim, dados dois números reais m e n, com n ≠ 0, calcula-se a razão entre m e n por meio da divisão de m por n.

mn

antecedente

consequente

2. Proporção

Proporção é uma igualdade de duas razões.

a cb d

= (a e d são chamados extremos e b e c são chamados de meios)

3. Números diretamente proporcionais

Os números de uma sucessão numérica X = (x1, x2, ..., xn) são ditos diretamente proporcionais aos números da sucessão numérica Y = (y1, y2, ..., yn), quando as razões de cada termo de x pelo seu correspondente y forem iguais, isto é:

31 2 n

1 2 3 n

xx x x... k

y y y y= = = = = (k é chamado de fator de

proporcionalidade)

4. Números inversamente proporcionais

Os números de uma sucessão numérica X = (x1, x2, ..., xn) são inversamente proporcionais aos números da sucessão numérica Y = (y1, y2, ..., yn). Quando os elementos da sucessão X são diretamente proporcionais aos inversos dos elementos da sucessão Y, isto é:

31 2 n

1 2 3 n

xx x x... k

1 1 1 1y y y y

= = = = = (k é chamado de fator de

proporcionalidade)

Exercícios de Sala

01. Sabe-se que as idades de Márcio, Flávio e Rodrigo são, 6, 8 e 9, respectivamente. Repartindo R$ 460,00 em partes diretamente proporcionais a essas idades, a parte que coubem em reais a Márcio, foi:

a) 90b) 102c) 120d) 132e) 150

02. Os funcionários de uma indústria, Maria, Márcio e Pedro, no mês de agosto faltaram ao serviço 8 dias, 5 dias e 2 dias, respectivamente. Se o diretor financeiro dessa indústria dividir R$ 396,00 entre esses funcionários, em partes inversamente proporcionais às faltas. O valor que Márcio vai receber, em reais, é:

a) 60b) 80c) 86d) 90e) 96

03. (Enem 2012) O esporte de alta competição da atualidade produziu uma questão ainda sem resposta: Qual é o limite do corpo humano? O maratonista original, o grego da lenda, morreu de fadiga por ter corrido 42 quilômetros. O americano Dean Karnazes, cruzando sozinho as planicíes da Califórnia, conseguiu correr dez vezes mais em 75 horas.

Um professor de Educação Física, ao discutir com a turma o texto sobre a capacidade do maratonista americano, desenhou na lousa uma pista reta de 60 centímetros, que representaria o percurso referido.

Disponível em: http://veja.abril.com.br. Acesso em: 25 jun. 2011 (adaptado)

Se o percurso de Dean Karnazes fosse também uma pista reta, qual seria a escala entre a pista feira pelo professor e a percorrida pelo atleta?

a) 1 : 700b) 1 : 7000c) 1 : 70.000d) 1 : 700.000e) 1 : 7000.000

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04. Dezoito operários, trabalhando 7 horas por dia durante 12 dias, conseguem realizar um determinado serviço. Trabalhando 9 horas por dia, 12 operários farão o mesmo serviço em quantos dias?

a) 14b) 15c) 16d) 17e) 18

05. Se m homens fazem um trabalho em d dias, então (m + r) homens farão o mesmo trabalho em:

a) d rb) d 2r

m.dc)m r

dd)m r

e) d 3r

++

+

++

06. (Enem 2012) Uma mãe recorreu à bula para verificar a dosagem de um remédio que precisava dar a seu filho. Na bula, recomendava-se a seguinte dosagem: 5 gotas para cada 2kg de massa corporal a cada 8 horas.

Se a mãe ministrou corretamente 30 gotas do remédio a seu filho a cada 8 horas, então a massa corporal dele é de:

a) 12kgb) 16kgc) 24kgd) 36kge) 75kg

07. Sabe-se que 5 máquinas, todas de igual eficiência, são capazes de produzir 500 peças em 5 dias, se operarem 5 horas por dia. Se 10 máquinas iguais às primeiras operassem 10 horas por dia, durante 10 dias, o número de peças produzidas seria de:

a) 1.000b) 2.000c) 4.000d) 5.000e) 8.000

08. Um navio que tinha víveres para 90 dias recebe ordem, na hora da partida, para permanecer no mar 15 dias além do previsto inicialmente. Com relação à ração diária prevista inicialmente para cada passageiro, a nova ração diária deve ser igual a:

2a)33b)44c)55d)66e)7

Exercícios Propostos

01. (Enem 2010) No monte de Cerro Armazones, no deserto de Atacama, no Chile, ficará o maior telescópio da superfície terrestre, o Telescópio Europeu Extremamente Grande (E-ELT). O E-ELT terá um espelho primário de 42 m de diâmetro, “o maior olho do mundo voltado para o céu”.

Disponível em: http://www.estadao.com.br. Acesso em: 27 abr. 2010 (adaptado).

Ao ler esse texto em uma sala de aula, uma professora fez uma suposição de que o diâmetro do olho humano mede aproximadamente 2,1cm. Qual a razão entre o diâmetro aproximado do olho humano, suposto pela professora, e o diâmetro do espelho primário do telescópio citado?

a) 1 : 20 b) 1 : 100 c) 1 : 200 d) 1 : 1 000 e) 1 : 2 000

02. (Enem 2011) Sabe-se que a distância real, em linha reta, de uma cidade A, localizada no estado de São Paulo, a uma cidade B, localizada no estado de Alagoas, é igual a 2 000 km. Um estudante, ao analisar um mapa, verificou com sua régua que a distância entre essas duas cidades, A e B, era 8 cm.

Os dados nos indicam que o mapa observado pelo estudante está na escala de

a) 1 : 250. d) 1 : 250 000.b) 1 : 2 500. e) 1 : 25 000 000.c) 1 : 25 000.

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03. (Enem 2011) Para uma atividade realizada no laboratório de Matemática, um aluno precisa construir uma maquete da quadra de esportes da escola que tem 28 m de comprimento por 12m de largura. A maquete deverá ser construída na escala de 1 : 250.

Que medidas de comprimento e largura, em cm, o aluno utilizará na construção da maquete?

a) 4,8 e 11,2b) 7,0 e 3,0c) 11,2 e 4,8d) 28,0 e 12,0e) 30,0 e 70,0

04. (Enem 2012) Em 20 de fevereiro de 2011 ocorreu a grande erupção do vulcão Bulusan nas Filipinas. A sua localização geográfica no globo terrestre é dada pelo GPS (sigla em inglês para Sistema de Posicionamento Global) com longitude de 124º 3’ 0” a leste do Meridiano de Greenwich.

Dado: 1º equivale a 60’ e 1’ equivale a 60”.

PAVARIN, G. Galileu, fev. 2012 (adaptado).

A representação angular da localização do vulcão com relação a sua longitude na forma decimal é:

a) 124,02º.b) 124,05º.c) 124,20º.d) 124,30º.e) 124,50º.

05. (Enem 2012) Dentre outros objetos de pesquisa, a Alometria estuda a relação entre medidas de diferentes partes do corpo humano. Por exemplo, segundo a Alometria, a área A da superfície corporal de uma pessoa relaciona-se com a sua

massa m pela fórmula 23A k.m= , em que k é uma

constante positiva.

Se no período que vai da infância até a maioridade de um indivíduo sua massa é multiplicada por 8, por quanto será multiplicada a área da superfície corporal?

3a) 16b) 4

c) 24d) 8e) 64

06. (Enem 2012) José, Carlos e Paulo devem transportar em suas bicicletas uma certa quantidade de laranjas. Decidiram dividir o trajeto a ser percorrido em duas partes, sendo que ao final da primeira parte eles redistribuiriam a quantidade de laranjas que cada um carregava dependendo do cansaço de cada um. Na primeira parte do trajeto José, Carlos e Paulo dividiram as laranjas na proporção 6 : 5 : 4, respectivamente. Na segunda parte do trajeto José, Carlos e Paulo dividiram as laranjas na proporção 4 : 4 : 2, respectivamente.

Sabendo-se que um deles levou 50 laranjas a mais no segundo trajeto, qual a quantidade de laranjas que José, Carlos e Paulo, nessa ordem, transportaram na segunda parte do trajeto?

a) 600, 550, 350b) 300, 300, 150c) 300, 250, 200d) 200, 200, 100e) 100, 100, 50

07. (Enem 2011) Cerca de 20 milhões de brasileiros vivem na região coberta pela caatinga, em quase 800 mil km2 de área. Quando não chove, o homem do sertão e sua família precisam caminhar quilômetros em busca da água dos açudes. A irregularidade climática é um dos fatores que mais interferem na vida do sertanejo.

Disponível em: http://www.wwf.org.br. Acesso em: 23 abr. 2010.

Segundo este levantamento, a densidade demográfica da região coberta pela caatinga, em habitantes por km2, é de:

a) 250 d) 0,25b) 25 e) 0,025c) 2,5

08. (Enem 2011) Nos últimos cinco anos, 32 mil mulheres de 20 a 24 anos foram internadas nos hospitais do SUS por causa de AVC. Entre os homens da mesma faixa etária, houve 28 mil internações pelo mesmo motivo.

Época. 25 abr. 2010 (adaptado). Suponha que, nos próximos cinco anos, haja um

acréscimo de 8 mil internações de mulheres e que o acréscimo de internações de homens por AVC ocorra na mesma proporção.

De acordo com as informações dadas, o número de homens que seriam internados por AVC, nos próximos cinco anos, corresponderia a

a) 4 mil. d) 35 mil.b) 9 mil. e) 39 mil.c) 21 mil.

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09. (Enem 2009) Uma escola lançou uma campanha para seus alunos arrecadarem, durante 30 dias, alimentos não perecíveis para doar a uma comunidade carente da região. Vinte alunos aceitaram a tarefa e nos primeiros 10 dias trabalharam 3 horas diárias, arrecadando 12kg de alimentos por dia. Animados com os resultados, 30 novos alunos somaram-se ao grupo, e passaram a trabalhar 4 horas por dia nos dias seguintes até o término da campanha.

Admitindo-se que o ritmo de coleta tenha se mantido constante, a quantidade de alimentos arrecadados ao final do prazo estipulado seria de

a) 920kg

b) 800kg

c) 720kg

d) 600kg

e) 570kg

10. (Enem 2009) Uma resolução do Conselho Nacional de Política Energética (CNPE) estabeleceu a obrigatoriedade de adição de biodiesel ao óleo diesel comercializado nos postos. A exigência é que, a partir de 1º de julho de 2009, 4% do volume da mistura final seja formada por biodiesel. Até junho de 2009, esse percentual era de 3%. Essa medida estimula a demanda de biodiesel, bem como possibilita a redução da importação de diesel de petróleo.

Disponível em: http://www1.folha.uol.com.br. Acesso em: 12 jul.

2009 (adaptado).

Estimativas indicam que, com a adição de 4% de biodiesel ao diesel, serão consumidos 925 milhões de litros de biodiesel no segundo semestre de 2009. Considerando-se essa estimativa, para o mesmo volume da mistura final diesel/biodiesel consumida no segundo semestre de 2009, qual seria o consumo de biodiesel com a adição de 3%?

a) 27,75 milhões de litros.

b) 37,00 milhões de litros.

c) 231,25 milhões de litros.

d) 693,75 milhões de litros.

e) 888,00 milhões de litros.

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ASSUNTO 5geometria analítiCa i

1. Coordenadas Cartesianas Ortogonais

Em um plano a, consideremos dois eixos perpendiculares x e y, cuja origem é a intersecção O, e que tenham a mesma unidade de medida. Sobre cada um desses eixos está estabelecido um sistema de coordenadas cartesianas. A localização de um ponto P qualquer do plano a pode ser feita através da associação do ponto a dois números reais obtidos pelo seguinte processo: conduzimos por P retas paralelas aos eixos; uma delas encontra o eixo x no ponto P1 de abscissa xp, e a outra encontra o eixo y no ponto P2 de ordenada yp. Os números xp e yp chamam-se coordenadas cartesianas ortogonais de P As coordenadas do ponto P são representadas na forma de um par ordenado, onde xp é a primeira componente e yp é a segunda componente; P(xp, yp).

Veja:

2. Bissetrizes dos Quadrantes

2.1. Na figura, a reta r é chamada de bissetriz dos quadrantes ímpares. Cada ponto P(xp, yp) dessa reta apresenta a propriedade de ter abscissa igual à ordenada, isto é: xP = yp

Ex.: A(1,1) B(3, 3) C(–2, –2)

a2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2

2 2 2A,B 2 1 1d (x x ) (y y )= − + −

A(1, –3) B(5, –8)2 2

A,Bd ( 4) 5 16 25 41= − + = + =

2.2. Na figura, a reta s é chamada bissetriz dos quadrantes pares. Se P(xp, yp) é um ponto qualquer dessa reta, temos: xp = –yp

Ex.: A(1, –1) B(–2, 2)

Observação:

Os eixos ortogonais, eixo x das abscissas e eixo y das ordenadas, dividem o plano cartesiano em 4 regiões ou quadrantes.

y

x

2o quadrante 1o quadrante

3o quadrante 4o quadrante

A localização do ponto no plano depende dos sinais de suas coordenadas, isto é:

A (xA, yA) ∈ 1o Q ↔ xA > 0 e yA > 0B (xB, yB) ∈ 2o Q ↔ xB < 0 e yB > 0C (xC, yC) ∈ 3o Q ↔ xC < 0 e yC < 0D (xD, yD) ∈ 4o Q ↔ xD > 0 e yD < 0E (xE, yE) ∈ OX ↔ yE = 0F (xF, yF) ∈ OY ↔ xF = 0

Graficamente temos:

(x,0)Eixo x(0,y)

Eixo y (0,y)

=

=

b13 = (x, x)b24 = (x, –x)

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3. Distância entre Dois Pontos

Sejam os pontos A(xA, yA) e B(xB, yB) representados no gráfico abaixo.

A distância entre A e B é igual à medida da hipotenusa do triângulo ABC. Para calcular essa medida, aplicamos o teorema de Pitágoras:

(dAB)2 = (dAC)2 + (dBC)2

(dAB)2 = (xB – xA)2 + (yB – yA)2

2 2AB B A B Ad (x x ) (y y )= − + −

Quaisquer que sejam A(xA, yA) e B(xB, yB) no plano cartesiano, temos:

2 2ABd ( x) ( y)= D + D , onde:

(Dx)2 = (xA – xB)2 = (xB – xA)2 e (Dy)2 = (yA – yB)2

= (yB – yA)2

Exercícios Resolvidos

01. Determine K para o ponto B(k – 1; 2k + 1) pertença ao 2o quadrante.

Solução: Para que o ponto B pertença ao 2o quadrante

deve-se ter xB < 0 e yB > 0.

k 1 0 k 1e

12k 1 0 k2

− < ∴ < + > ∴ > −

A intersecção das duas condições dá-nos a

resposta: 1 k 12

− < <

02. O centro de uma circunferência está sobre a bissetriz dos quadrantes ímpares. Sabendo que a circunferência passa pelos pontos A(–5, 2) e B(–3, –2), determine o seu raio.

Solução: Seja C o centro da circunferência. Se C está

na bissetriz dos quadrantes ímpares, podemos escrever C (a, a). Além disso, devemos ter:

DA,C = DB,C

2 2 2 2(a 5) (a 2) (a 3) (a 2)+ + − = + + +

Elevando cada um dos lados ao quadrado e desenvolvendo, obteremos:

2a 10 a+ 225 a+ 4a 4− +2a

=

= 6a+ 29 a+ + 4a+ 4+

4a = 16 ∴ a = 4; logo C (4, 4)

Para obtermos o raio, devemos calcular DC,A.2 2

C,AD r (4 5) (4 2) r r 85= ∴ + + − = ∴ =

4. Divisão de Segmentos

4.1 Ponto médio de um segmento

Considere:• um segmento com extremidades A(x1, y1) e

B(x2, y2);• o ponto M(x, y), ponto médio do segmento AB.

Aplicando o teorema de Tales, temos:

1 1 11 2

21 1

1 2

2 2 11 2

22 2

1 2

A M x xAM 1 x x x xx xMB M B

x xx

2A M y yAM 1 y y y y

y yMB M By y

y2

−= ∴ = ∴ − = − ∴

−

+=

−= ∴ = ∴ − = − ∴

−

+=

Daí, podemos concluir que:• a abscissa do ponto médio do segmento

é a média aritmética das abscissas das extremidades.

• a ordenada do ponto médio do segmento é a média aritmética das ordenadas das extremidades.

OS.:5746/12-Juliana

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Importante!Sejam A(xa, ya) e B(xb, yb). Quando dividimos

o segmento AB em n partes iguais, as abscissas de todos os pontos que dividem o segmento formam uma

PA. de razão b ax

x xr

n−

= .

Exercícios de Sala

01. (Unimontes-MG-2009) Um raio luminoso, emitido por uma lanterna localizada no ponto M(4, 8), reflete-se em N(6, 0). A equação da semirreta r, trajetória do raio refletido, é:

a) y + 4x – 24 = 0b) y – 4x – 24 = 0c) y – 4x + 24 = 0d) y + 4x + 24 = 0

02. (Mackenzie) A distância do ponto de interseção das retas 2x – 3y + 26 =0 e 5x + 2y – 49 = 0 à origem é:

a) 13b) 15c) 17d) 18e) 23

03. Considere um móvel que descreve uma trajetória com velocidade constante, cujo gráfico do espaço em função do tempo sai da origem do sistema cartesiano e contém o ponto P( 3,3). O ângulo que o segmento OP forma com o eixo das abscissas é:

a) 0º d) 60ºb) 30º e) 90ºc) 45º

04. (UF-PR) Suponha que duas partículas P e Q se movem no plano cartesiano, de modo que em cada instante t a partícula P está no ponto (2t, 3 – t) e a partícula Q está no ponto (4t, 3t – 2). No instante t = 1, a distância entre as partículas é:

a) 3

b) 2 3

c) 5

d) 2 5

e) 3 5

05. O ponto de interseção das retas

1 2

1 2

x 2t x 2 tr : e s:

y 1 t y t 1= = −

= − = − − é:

8 1a) ,3 37 1b) ,3 35 1c) ,3 34 1d) ,3 32 1e) ,3 3

− −

Use o enunciado abaixo para as questões 6 e 7

(UF. Ouro Preto - MG; Adaptado)

A posição de uma certa cidade num mapa montado

sobre um sistema cartesiano de coordenadas é dada

pelo ponto P(1, 2).

Um trem descreve uma trajetória retilínea dada pela

equação x + 3y – 30 = 0.

06. Em qual ponto da trajetória o trem estará mais

próximo da cidade?

33 89a) ,10 1032 88b) ,10 1031 87c) ,10 1029 86d) ,10 1027 85e) ,10 10

21

07. Qual será a distância entre a trajetória do trem e a cidade nessas condições?

23 10a)10

22 10b)10

21 10c)10

19 10d)10

18 10e)10

08. (U.F. Ouro Preto-MG) Sejam as retas r: x + 2y + 3 = 0 e t ⊥ r. Se t passa pelo ponto P(2, 3), então sua equação é dada por:

a) 2x + y – 3 = 0b) 2x + y + 1 = 0c) 2x – y – 1 = 0d) 2x – y + 3 = 0

Exercícios Propostos

01. (UFMG) A relação entre m e n, para que as retas das equações 2x – my + 1 = 0 e nx + 3y + 5 = 0 sejam paralelas, é:

m 2a)n 3m 2b)n 3m 3c)n 2

d) mn 6e) mn 6

=

= −

=

= −=

02. Considere uma cidade em que as ruas são representadas por retas e as casas, por pontos. Num mapa cartesiano dessa cidade, com medidas em km, a padaria Pannetuttti se localiza no ponto P(–5, 0) e o açougue Quasar se localiza no ponto Q(–1, –3). Uma pessoa que estiver na origem desse mapa e quiser se dirigir à Rua Pedro Quintão, na qual se localizam a padaria e o açougue, terá de caminhar uma distância de, no mínimo,

a) 2km d) 3,5kmb) 2,5km e) 4kmc) 3km

03. Num sistema cartesiano, um trem segue uma trajetória retilínea dada pela reta 2x + 3y – 6 = 0. A menor distância entre uma cidade localizada no ponto P(3, 13) e o trem é:

a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

04. (CEFET-MG-2010) Num supermercado em construção, serão instalados quatro terminais para consulta de preços. Considerando-se um sistema de coordenadas no plano do chão, os locais onde serão colocados os terminais coincidem com os pontos de interseção das retas de equações y = 1, y = 2, y = x e y = x – 3, tomadas duas a duas. O polígono formado por esses pontos possui área igual a:

a) 2b) 3c) 4d) 5e) 6

05. (UFF-RJ) O elenco de um filme publicitário é composto por pessoas com cabelos louros ou olhos verdes. Sabe-se que esse elenco tem, no máximo, vinte pessoas dentre as quais, pelo menos, doze possuem cabelos louros e, no máximo, cinco possuem olhos verdes. No gráfico a seguir, pretende-se marcar um ponto P(L,V), em que L representa o número de pessoas do elenco que têm cabelos louros e V o número de pessoas do elenco que têm olhos verdes.

O ponto P deverá ser marcado na região indicada por:a) R1b) R2c) R3d) R4e) R5

OS.:5746/12-Juliana

22

06. Num mapa localizado sobre um sistema cartesiano, 3 cidades se localizam nos pontos A(2, 3), B(–5, 0) e C(4, –1). A área da região triangular determinada pelas cidades é:

a) 15u.a.b) 17u.a.c) 19u.a.d) 21u.ae) 23u.a

07. (Cefet-PR) Um engenheiro cartográfico fez o levantamento topográfico de um terreno com contorno poligonal, conforme a figura, e obteve as seguintes coordenadas, em metros, para seus vértices: A(0, 0), B(10, 0), C(12,4), D(6, 10) e E(–4,8).

A área do terreno, em metros quadrados, é de:

a) 112 b) 122 c) 132d) 144e) 154

08. (UF-GO) Um motobói entrega cartuchos (c) e bobinas (b) para uma empresa. Cada bobina pesa 0,3kg e cada cartucho, 0,25kg. O motobói recebe R$ 0,30 por bobina e R$ 0,08 por cartucho entregue. Ele pode carregar no máximo 75kg e deve receber no mínimo R$ 30,00 por entrega. As quantidades de cartuchos e bobinas a serem entregues pelo motobói, por entrega, de acordo com esses dados, determinam, no plano cartesiano b x c:

a) um quadrilátero com um dos vértices na origem.

b) dois triângulos com um vértice em comum. c) um trapézio determinado por duas retas

paralelas. d) uma região triangular, no 1o quadrante. e) uma região ilimitada, no 1o quadrante.

09. (UF-MA) As equações paramétricas de uma reta r

são x 3 2ty 1 4t

= − = +

. Então o coeficiente angular da reta

r é:

a) –3b) 1c) –2d) 4e) 2

10. (UF-MG) Sejam A e B dois pontos da reta de equação y = 2x + 2, que distam duas unidades da origem. Nesse caso, a soma das abscissas de A e B é:

5a)8

8b)55c)8

8d)5

−

−

23

ASSUNTO 6geometria analítiCa ii

1. Equação Reduzida da Reta

Seja r uma reta não-perpendicular ao eixo x, cujo coeficiente angular é m e cuja intersecção com o eixo y é o ponto A(0, n). Consideremos um ponto P(x, y) qualquer de r distinto de A.

Temos: y nmx−

= ou y = mx + n

Esta equação é chamada de equação reduzida da reta r, onde:

m coeficienteangular daretan coeficientelinear dareta

= =

Observação:

Devemos observar que as retas perpendiculares ao eixo x não possuem equação reduzida.

2. Equação Segmentária da Reta

Consideremos a reta r que intercepta o eixo x no ponto A(p, 0) e o eixo y no ponto B(0, q), com p ≠ 0 e q ≠ 0.

O coeficiente angular dessa reta é:q 0 q qm0 p p p

−= = = −

− −

A equação da reta r é:qy mx n(mas m e n q)p

= + = − =

qy q py qx pq(dividindo os membrosp

por pq 0)

= − + ∴ = − +

≠

x y 1(equação segmentária)p q

+ =

3. Equações Paramétricas da Reta

Até o momento, mostramos que as equações geral, reduzida e segmentária de uma reta relacionam diretamente entre si as coordenadas x e y.

Porém, podemos escrever a equação de uma reta em função de uma terceira variável t, denominada parâmetro.

As equações abaixo são denominadas equações paramétricas da reta.

1 11 2

1 2

x x k t(t ,k 0 ou k 0)

y y k t= + ∈ ≠ ≠ = +

R

Para obtermos a equação geral de uma reta definida por equações paramétricas, eliminamos o parâmetro t das duas equações.

Observação:

Intersecção de duas retasTodo ponto de intersecção de duas retas tem de

satisfazer as equações de ambas as retas. Portanto, obtemos o ponto comum P(x, y) a duas retas concorrentes resolvendo o sistema formado pelas suas equações.

4. Paralelismo e Perpendicularismo

4.1 Introdução

Consideremos as retas (r): y = m1x + nr e (s): msx + ns de inclinações a1 e a2 respectivamente.

a) Podem ocorrer os seguintes casos

1° Caso: a1 = a2 ∴ a1 = a2 → tg a1 = tg a2 → mr = ms

Nesse caso, as retas (r) e (s) são paralelas (r // s) ou coincidentes (r ≡ s).

Observe:

OS.:5746/12-Juliana

24

Observação:

Se a1 = a2 = 90°, então as retas (r) e (s) são verticais.

2° Caso: a1 ≠ a2 (com a1 ≠ 90° e a2 ≠ 90°)

a1 ≠ a2 → tga1 ≠ tga2 ↔ mr ≠ ms

Nesse caso, as retas (r) e (s) são concorrentes (r x s).

Observe:

3° Caso: as retas (r) e (s) são perpendiculares.

Consideremos duas retas (r) e (s) concorrentes num ponto P, de tal forma que nenhuma delas seja vertical e r ⊥ s.

Do DAPB, vem:a2 = a1 + 90º ∴ tga2 = tg(a1 + 90º) ∴

12

1

1 12

1 1

12

2 2

sen( 90º )tg

cos( 90º )sen .cos90º sen90º.cos

tgcos .cos90º sen .sen90º

cos 1tg tgsen tg

a +∴ a =

a +

a + a∴ a =

a − a

a∴ a = − ∴ a = −

a a

Como tga1 = mr e tga2 = ms, temos quemr . ms = –1

Observação:

Pontos e retas simétricos em relação a uma reta dada Consideremos um ponto A e uma reta r, tais que

A ∉ r. Para obter o ponto B simétrico do ponto A em relação à reta r, fazemos assim:• Traçamos por A a reta s perpendicular à reta r.

• Determinamos o ponto M, intersecção de r e s. (M é a projeção ortogonal de A sobre r).

• Marcamos B de modo que M seja o ponto médio do segmento AB.

Assim, dizemos que o ponto B é o simétrico do ponto A em relação à reta r.

Exercícios de Sala

01. (Enem-2010) Um foguete foi lançado do marco zero de uma estação e após alguns segundos atingiu a posição (6, 6, 7) no espaço, conforme mostra a figura. As distâncias são medidas em quilômetros.

Considerando que o foguete continuou sua trajetória, mas se deslocou 2km para frente na direção do eixo x, 3km para trás na direção do eixo y, e 11km para frente, na direção do eixo z, então o foguete atingiu a posição:

a) (17, 3, 9).b) (8, 3, 18).c) (6, 18, 3).d) (4, 9, –4).e) (3, 8, 18).

25

02. O mapa de certa cidade foi dividido em quatro quadrantes, por meio de duas retas perpendiculares e numeradas, que se cortam no ponto (0, 0), cada um deles correspondendo a um quadrante do plano cartesiano. O sentido positivo do eixo y é o norte, e o sentido positivo do eixo x é o leste. Edificações que, nessa cidade, estiverem a mais de um quilômetro a oeste e a mais de um quilômetro ao norte do ponto (0, 0) estarão localizadas no:

a) primeiro quadrante.b) segundo quadrante.c) terceiro quadrante.d) quarto quadrante.e) ponto (0, 0).

03. (UCDB-MS) Um triângulo tem vértices A(15, 10), B(6, 0) e C(0, 10). Então, a mediana AM mede:

a) 9u.cb) 10u.cc) 11u.cd) 12u.ce) 13u.c

04. Considere um poste perpendicular ao plano do chão. Uma aranha está no chão, a 2m do poste, e começa a se aproximar dele no mesmo instante em que uma formiga começa a subir no poste. A velocidade da aranha é de 16cm por segundo e da formiga é de 10cm por segundo após 5 segundos do início dos movimentos, a menor distância entre a aranha e a formiga é:

a) 1,3mb) 1,5mc) 1,8md) 2,0me) 2,2m

05. (UFAL) Sejam P(2, 1) e o ponto Q, de abscissa 4, localizado no 1o quadrante. Se a distância de Q a P é igual à distância de Q ao eixo das abscissas, então Q é o ponto:

5a) ,42

5b) 4,2

c) (4,3)d) (4,4)e) (4,5)

06. (Enem-2011) Um bairro de uma cidade foi planejado em uma região plana, com ruas paralelas e perpendiculares, delimitando quadras de mesmo tamanho. No plano de coordenadas cartesianas seguinte, esse bairro localiza-se no segundo quadrante, e as distâncias nos eixos são dadas em quilômetros.

A reta de equação y = x + 4 representa o planejamento do percurso da linha do metrô subterrâneo que atravessará o bairro e outras regiões da cidade. No ponto P = (–5; 5) localiza-se um hospital público. A comunidade solicitou ao comitê de planejamento que fosse prevista uma estação do metrô de modo que sua distância ao hospital, medida em linha reta, não fosse maior que 5km. Atendendo ao pedido da comunidade, o comitê argumentou corretamente que isso seja automaticamente satisfeito, pois já estava prevista a construção de uma estação no ponto:

a) (–5; 0) b) (–3; 1) c) (–2, 1) d) (0; 4)e) (2; 6)

07. Sendo A(–2, 5) e B(8, 0), determine as coordenadas dos pontos que dividem o segmento AB em 5 partes iguais.

08. (FEI-SP) Os pontos X, Y e Z possuem, respectivamente, as seguintes coordenadas no plano cartesiano: (0, 0), (m, 8), (n, n+ 3). Se Z é o ponto médio do segmento XY, então:

a) m = 2 b) m = 1 c) n = 3d) m = 5e) n = 2

OS.:5746/12-Juliana

26

09. (Uece) Se o ponto P1 (x1, y1) é equidistante dos pontos O(0, 0), M(7, –7) e N(8, 0), então 2 2

1 2x x+ é igual a:

a) 13b) 17c) 25d) 29

Exercícios Propostos

01. Seja P(x, y) um ponto equidistante dos eixos coordenados e de distância 1 da origem. Pode-se afirmar que o número de pontos que satisfazem essas condições é:

a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

02. Em um experimento sobre orientação e navegação de pombos, considerou-se o pombal como a origem O de um sistema de coordenadas cartesianas e os eixos orientados Sul-Norte (SN) e Oeste-Leste (WL). Algumas aves foram liberadas em um ponto P que fica 52km ao leste do eixo SN e a 30km ao sul do eixo WL. O ângulo azimutal de P é o ângulo, em graus, medido no sentido horário a partir da semirreta ON até a semirreta OP.

No experimento descrito, a distância do pombal até o ponto de liberação das aves, em km, e o ângulo azimutal, em graus, desse ponto são, respectivamente:

Dado: 3604 60≈

a) 42,5 e 30.b) 42,5 e 120.c) 60 e 30.d) 60 e 120.e) 60 e 150.

03. Dois navios navegavam pelo Oceano Atlântico, supostamente plano: X, à velocidade constante de 16 milhas por hora, e Y, à velocidade constante de 12 milhas por hora. Sabe-se que, às 15 horas de certo dia, Y estava exatamente 72 milhas ao sul de X e que, a partir de então, Y navegou em linha reta para o leste, enquanto X navegou em linha reta para o sul, cada qual mantendo suas respectivas velocidades. Nessas condições, às 17 horas e 15 minutos do mesmo dia, a distância entre X e Y, em milhas, era:

a) 45b) 48c) 50d) 55e) 58

04. Deseja-se construir uma rodovia para servir duas cidades, porém, para servir bem às cidades, a construção deve ser feita de tal maneira que uma pessoa, em qualquer ponto da rodovia, se encontre a igual distância das duas cidades.

Representando-se as duas cidades em um plano cartesiano pelos pontos A(6, 2) e B(3, 5), a equação cartesiana da reta que representa a rodovia é dada por:

a) x + y = 2 d) x – y = 1b) x – y = 4 e) x + y = 6 c) x – y = 6

05. (UF-PA) Um arquiteto gostaria de construir um edifício de base quadrada em frente à praia, de tal forma que uma das diagonais de sua base fosse paralela à orla, conforme ilustração abaixo. Utilizando um sistema de coordenadas cartesiano, ele determinou que os vértices da base que determinam a diagonal paralela à orla deverão ser A(2,6) e C(8,2). Determine as coordenadas dos outros dois vértices, de modo que o quadrilátero ABCD seja, de fato, um quadrado.

y

0D

B

x

C(8, 2)

A(2, 6)

orla

a) 15b) 16c) 17d) 18e) 19

27

06. (Mackenzie-SP) Na representação em escala, os quadrados são iguais e cada centímetro representa 100km. Um avião sai da cidade A, faz escala na cidade C, chegando à cidade B, conforme a figura.

Entre as alternativas dadas, identifique em que consta o valor mais próximo da distância percorrida pelo avião, de A até B, passando por C.

a) 1000km b) 950km c) 1150kmd) 1400km e) 1250km

07. (UF-GO) Para medir a área de uma fazenda de forma triangular, um agrimensor, utilizando um sistema de localização por satélite, encontrou como vértices desse triângulo os pontos A(2,1); B(3,5) e C(7,4) do plano cartesiano, com as medidas em km. A área dessa fazenda, em km2, é de:

17a)2

b) 17

c) 2 17

d) 4 17

17e)2

08. (PUC-RJ) Os pontos (–1, 6), (0, 0) e (3, 1) são três vértices consecutivos de um paralelogramo. Identifique a opção que apresenta o ponto correspondente ao quarto vértice.

a) (2, 7)b) (4, –5)c) (1, –6)d) (–4, 5)e) (6, 3)

09. (Mackenzie-SP) O segmento OA descreve um ângulo de 30° em torno da origem, como indica a figura.

Adotando p = 3, a distância percorrida pelo ponto A é:

a) 1,7 b) 2,5 c) 3,4 d) 4,5 e) 5,5

OS.:5746/12-Juliana

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ASSUNTOS 7 e 8geometria analítiCa iii

1. Circunferência

Chama-se circunferência o conjunto de todos os pontos de um plano equidistantes de um ponto fixo C do mesmo plano, chamado centro da circunferência.

1.1. Equação reduzida da circunferência

(x – a)2 + (y – b)2 = r2

1.2. Equação geral da circunferência

x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r = 0

Fazendo: A = –2a B = –2b C = a2 + b2 – r2, temos:

x2 + y2 + Ax + By + C = 0

1.3. Condição para ser uma circunferência2 2

2 2 2 2

2 22

A Br a b c r x C2 2

A Br C4 4

= + − → = − − − →

→ = + − →

4r2 = A2 + B2 – 4C, se:A2 + B2 – 4C > 0, temos uma circunferência de

centro c(a, b), com2 2A B 4CA Ba , b e r

2 2 2+ −

= − = − = .

Exercícios de Sala

01. (UFSM-2008) A massa utilizada para fazer pastéis folheados, depois de esticada, é recortada em círculos (discos) de igual tamanho. Sabendo que a equação matemática da circunferência que limita o círculo é x2 + y2 – 4x – 6y – 36 = 0 e adotando p = 3,14, o diâmetro de cada disco e a área da massa utilizada para confeccionar cada pastel são, respectivamente:

a) 7 e 113,04b) 7 e 153,86c) 12 e 113,04d) 14 e 113,04e) 14 e 153,86

02. (FGV-SP-Adaptada) Uma empresa produz apenas dois produtos, A e B, cujas quantidades anuais (em toneladas) são, respectivamente, x e y. Sabe-se que x e y satisfazem a relação:

x2 + y2 + 2x + 2y – 23 = 0

Se por razão de estratégia a quantidade produzida por B for o dobro da quantidade de A, então a produção de B em toneladas é aproximadamente:

a) 1,63b) 1,78c) 2,36d) 3,15e) 3,26

03. (UFSM-2007) A construção da cobertura de um palanque usado na campanha política, para o 1o turno das eleições passadas, foi realizada conforme a figura. Para fixação da lona sobre a estrutura de anéis, foram usados rebites assim dispostos: 4 no primeiro anel, 16 no segundo, 64 no terceiro e assim sucessivamente.

Se, no plano cartesiano, a equação da circunferência externa do anel externo da figura da questão anterior é x2 + y2 – 12x + 8y + 43 = 0, então o centro e o raio dessa circunferência são, respectivamente,

a) (6, –4) e 3b) (–6, 4) e 9c) (6, –4) e 9d) (–6, 4) e 3e) (6, 4) e 3

04. (FEI-SP) Num sistema cartesiano ortogonal Oxy, tem-se uma circunferência centrada em C(3, –4) e de raio 5. Os valores de m para que o ponto M(3m, –4m) pertença à circunferência dada, são:

a) 0 e 2b) 1 e 3c) –1 e 3d) 2 e 5e) –3 e 4

29

05. (U.F. Juiz de Fora-MG) Dadas a reta de equação 5x – 3y + 8 = 0 e a circunferência de equação x2 + y2 + 2x – 4y + 1 = 0, a equação da reta perpendicular à reta dada, contendo o centro da circunferência, é:

a) 3x + 5y – 7 = 0b) –2x + 3y – 2 = 0c) 3x + 5y – 4 = 0d) 4x + 6 = 0e) –2x + 3y + 5 = 0

06. (U.E. Londrina-PR) Na decoração de uma pré-escola são usadas placas com formas de figuras geométricas. Uma dessas placas é formada por uma figura que pode ser definida por x2 + y2 – 8x – 8y + 28 ≤ 0 quando projetada em um plano cartesiano xy, onde x e y são dados em metros. Esta placa vai ser pintada usando duas cores, cuja separação é definida pela reta y = x no plano xy. Considerando o plano cartesiano xy como referência, a região acima da reta será pintada de vermelho e a região abaixo da reta, de verde. Sabendo que a escola vai fazer 12 destas placas e que, é necessária uma lata de tinta para pintar 3m2

de placa, serão necessárias, no mínimo, quantas latas de tinta vermelha?

a) 12 b) 24 c) 26 d) 32 e) 48

07. (Fatec-SP) Na figura abaixo os pontos A, B e C estão representados em um sistema de eixos cartesianos ortogonais entre si, de origem O.

É verdade que a equação da:a) circunferência de centro em B e raio 1 é x2 +

y2 – 8x – 6y + 24 = 0.b) circunferência de centro em B e raio 1 é x2 +

y2 – 6x – 4y + 15 = 0.c) reta horizontal que passa por A é y = 2.d) reta que passa por C e é paralela à bissetriz

do 1o quadrante é x – y – 2 = 0.e) reta que passa por C e é paralela à bissetriz

do 1o quadrante é x + y – 2 = 0.

08. (UF-AM) Os pontos A = (4, 0) e B = (0, 6) são extremos de um diâmetro da circunferência. Então a equação da circunferência é:

a) x2 + y2 – 6x – 4y = 0b) x2 + y2 – 4x – 6y = 0c) x2 + y2 + 4x – 6y = 0d) x2 + y2 + 4x + 6y = 0e) x2 + y2 – 6x + 4y = 0

Exercícios Propostos

01. (Cefet-MG) A circunferência de equação x2 + y2 + 2x – 4y – 11 = 0 tem raio:

a) inteiro e maior que 5.b) inteiro e menor que 5.c) racional e menor que 2.d) irracional e menor que 3.e) irracional e maior que 3.

02. (Umesp-SP) Sobre a circunferência de equação x2 + y2 – 4x – 4y + 4 = 0 é correto afirmar que:

a) o seu centro é o ponto (–2, –2).b) o seu raio é igual a 4.c) todos os seus pontos estão no quarto

quadrante.d) ela passa pela origem O(0, 0) do sistema

cartesiano.e) ela tangencia os eixos coordenados.

03. (U.F. Santa Maria - RS) A equipe de arquitetos e decoradores que fez o projeto de um shopping center deseja circunscrever uma circunferência ao quadrado maior Q1, que possui lado de 10m.

OS.:5746/12-Juliana

30

Se as coordenadas do centro da circunferência forem dadas pelo ponto (10, 8) e se forem usadas a parede da porta de entrada (x) e a lateral esquerda (y) como eixos coordenados referenciais, a equação da circunferência será:

a) x² + y² – 20x – 16y + 139 = 0b) x² + y² – 20x – 16y + 64 = 0c) x² + y² – 20x – 16y + 114 = 0d) x² + y² – 20x – 16y – 36 = 0e) x² + y² – 16x – 20y + 139 = 0

04. (Unicamp) No desenho abaixo, que não está em escala, a reta y = 3x é perpendicular à reta que passa pelo ponto (2,0). O ponto de interseção dessas retas é A. A equação da circunferência com centro em A e tangente ao eixo x é dada por:

2 2

2 2

2 2

2 2

1 3 3a) x y5 5 5

3 1 1b) x y5 5 5

1 3 9c) x y5 5 25

3 1 1d) x y5 5 25

− + − =

− + − =

− + − =

− + − =

05. (UFSM-2006)

Supondo que agora o percurso feito por você e o Sr. Jones é descrito pela reta r, cuja equação é 2x – 3y + 5 = 0, então, a equação da reta perpendicular a r e que passa pelo ponto P(5, 10) é:

a) 3x + 2y – 35 = 0b) 2x + 3y – 5 = 0c) 2x + 3y + 35 = 0d) 2x – 3y + 5 = 0e) 3x – 2y + 35 = 0

06. (Ufla 2007) "Cientistas europeus, baseados na

forma de locomoção de anelídeos, desenvolveram

um robô para engatinhar através do intestino

humano. Esse robô será útil para médicos

diagnosticarem, por meio de microcâmeras,

doenças e infecções."

(Revista Galileu, julho/2006)

Na figura abaixo, é apresentado um esquema do

protótipo desse robô.

Quais devem ser as coordenadas do ponto B, de

modo que os pontos A, B e C sejam colineares?

(d 2) ma) ,2 3

(d 2) mb) ,2 3

mc) d 1,3md) d 1,2

+

+ + +

07. O comprimento da corda determinada pela reta

(r) x – y + 4 = 0 sobre a circunferência (l) x2 + y2

– 2x – 4y – 4 = 0, é:

a) 3 2

b) 4 2

c) 5 2

d) 6 2

e) 7 2

31

08. (Ufpr 2011) Um balão de ar quente foi lançado de uma rampa inclinada. Utilizando o plano cartesiano, a figura abaixo descreve a situação de maneira simplificada.

Ao ser lançado, o balão esticou uma corda presa aos pontos P e Q, mantendo-se fixo no ar. As coordenadas do ponto P, indicado na figura, são, então:

a) (21,7).b) (22,8).c) (24,12).d) (25,13).e) (26,15).

09. (UF-SC) Dados os pontos A(2, 0), B(2, 3) e C(1, 3), vértices de um triângulo, o raio da circunferência circunscrita a esse triângulo é:

10a)3

10b)32c)

210d)2

e) 10

10. (FMU/Fiam/Faam-SP) As coordenadas do ponto da circunferência (x – 4)2 + (y – 3)2 = 9 que fica mais próximo do ponto (0, 0) são:

a) (1, 3)8 6b) ,5 5

c) (4, 6)d) (4,0)e) (7,3)

Gabaritos

ASSUNTO 1

01 02 03 04 05 06b c d - e a

07 08 09 10 11a c b c a

ASSUNTO 2

01 02 03 04 05 06c a b b b c

07 08 09 10c d d -

ASSUNTO 3

01 02 03 04 05 06e e d c d d07 08 09 10a c e c

ASSUNTO 4

01 02 03 04 05 06e e c b b b07 08 09 10b d a d

ASSUNTO 5

01 02 03 04 05 06d c c b d b07 08 09 10a d e b

ASSUNTO 6

01 02 03 04 05 06d d a d - d

07 08 09 10e a a b

ASSUNTOS 7 E 8

01 02 03 04 05 06b e c c a d07 08 09 10a c d b

OS.:5746/12-Juliana

32

Prof. Eduardo Leão

CURSO

DE

MATEMÁTICA

33

ASSUNTO 1TrigonomeTria no Triângulo reTângulo i

1. Razões trigonométricas no triângulo retângulo:

Considere o triângulo ABC retângulo em A e procuremos determinar as funções trigonométricas a partir de seus elementos principais.

B

a

c

C

b

Aa

b

m(AB) = c m( A ) = 90ºm(BC) = a M( B ) = am(AC) = b m( C ) = b

O lado que se opõe ao ângulo reto em um triângulo é conhecido por hipotenusa (lado BC na figura) e os lados que são adjacentes ao mesmo são conhecidos por catetos (lado AB e lado AC).

1.1 Definições:seno(sen)

O seno de um ângulo é igual à razão entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa.

Assim, da figura, obtemos:cateto opostoseno ângulo

hipotenusa=

ACsenBBC

= , ou seja, sen ba

a =

ABsenCBC

= , ou seja, sen ca

b=

1.2 Cosseno(cos)

O cosseno de um ângulo é igual à razão entre o cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa.

Assim, da figura, obtemos:cateto adjacentecosseno ângulo

hipotenusa=

ABcosBBC

= , ou seja, ccosa

a =

ACcosCBC

= , ou seja, bcosa

b=

1.3 Tangente(tg)

A tangente de um ângulo é igual à razão entre o cateto oposto ao ângulo e o cateto adjacente a ele. Assim, da figura, obtemos:

cateto opostotangente ângulocatetoadjacente

=

ACtgBAB

= , ou seja, btga

a =

ABtgCAC

= , ou seja, ctgb

b=

Existem outras razões trigonométricas que seriam as inversas das três primeiras, são elas:

1.4 1cossec xsenx

=

1.5 1cotgxtgx

=

1.6 1secxcos x

=

Note Bem!

cos xcotgxsenx

= , para a senxtgxcos x

=

Muito importante!Agora vamos observar o triângulo abaixo:

b csen sena ac bcos cosa a

b ctg tgc b

a acossec cossecb c

a asec secc bc bcotg cotgb c

• a = • q=

• a = • q=

• a = • q=

• a = • q=

• a = • q=

• a = • q=

Mas, a + q + 90 = 180 → a + q = 90º, portanto são complementares, e quando dois ângulos são complementares, dizemos que suas cofunções são iguais.

OS.:5746/12-Juliana

34

Veja alguns exemplos:

b) cos 20º = sen 70º

c) tg 40º = cotg 50º

d) sec 80º = cossec 10º

a) sen 30º = cos 60º

90º

e) sen (30 + a) = cos (60 – a)

90º

f) cossec (20 + b) = sec (70 – b)

90º

90º

90º

90º

Generalizando, temos:

sen x = cos (90º – x)cos x = sen (90º – x)tg x = cotg (90º – x)sec x = cossec (90º – x)

Curiosidade:

sen x cos x2p − =

, tgx = cotg(90º – x)

Exercícios de Sala

01. Ao morrer, o pai de João, Pedro e José deixou como herança um terreno retangular de 3km × 2km que contém uma área de extração de ouro delimitada por um quarto de círculo de raio 1km a partir do canto inferior esquerdo da propriedade. Dado o maior valor da área de extração de ouro, os irmãos acordaram em repartir a propriedade de modo que cada um ficasse com a terça parte da área de extração, conforme mosta a figura.

aa

a

Em relação à partilha proposta, constata-se que a porcentagem da área do terreno que coube a João corresponde, aproximadamente, a:

Dado: 3 0,583

=

a) 50%b) 43%c) 37%d) 33%e) 19%

02. Para determinar a distância de um barco até a praia, um navegante utilizou o seguinte procedimento: a partir de um ponto A, mediu o ângulo visual a fazendo mira em um ponto fixo P da praia. Mantendo o barco no mesmo sentido, ele seguiu até um ponto B de modo que fosse possível ver o mesmo ponto P da praia, no entanto sob um ângulo visual 2a. A figura ilustra essa situação:

Suponha que o navegante tenha medido o ângulo a = 30º e, ao chegar ao ponto B, verificou que o barco havia percorrido a distância AB = 2 000 m. Com base nesses dados e mantendo a mesma trajetória, a menor distância do barco até o ponto fixo P será:

a) 1000m

b) 1000 3m

3c) 2000 m3

d) 2000m

e) 2000 3m

03. Abílio (A) e Gioconda (G) estão sobre uma superfície plana de uma mesma praia e, num dado instante, veem sob respectivos ângulos de 30° e 45°, um pássaro (P) voando, conforme é representado na planificação abaixo.

35

Considerando desprezíveis as medidas das alturas de Abílio e Gioconda e sabendo que, naquele instante, a distância entre A e G era de 240m, então a quantos metros de altura o pássaro distava da superfície da praia?

a) 60( 3 + 1)b) 120( 3 – 1)c) 120( 3 + 1)d) 180( 3 – 1)e) 180( 3 + 1)

04. Um passageiro em um avião avista duas cidades A e B sob ângulos de 15º e 30º, respectivamente, conforme a figura abaixo.

Se o avião está a uma altitude de 3 km, a distância entre as cidades A e B é:

a) 7km b) 5,5km c) 6km d) 6,5km e) 5km

05. Uma praça, em forma de círculo de raio 12 m, tem sua área aumentada e ganha forma triangular. Três postes de luz, localizados nos pontos A, B e C, são os únicos pontos comuns ao contorno antigo e ao contorno novo, conforme mostra o gráfico a seguir. Nele, O é o centro do círculo e P tem, como coordenadas, (0, 20).

y

x

Calcule, em metros quadrados, a área da praça com sua nova forma.

a) 768b) 769c) 770d) 771e) 772

06. Arte e técnica são igualmente necessárias para os profissionais que se dedicam à Topografia, que é a representação gráfica das formas e dos detalhes, naturais ou artificiais, de uma determinada região da superfície terrestre. Não é de hoje que os topógrafos se destacam na construção de edificações, estradas e barragens: há indícios arqueológicos de que os povos antigos já faziam uso das bases da Topografia. As pirâmides, por exemplo, são uma prova de que os antigos egípcios podiam executar medidas com boa exatidão.

Para medir ângulos horizontais e verticais, os topógrafos contemporâneos contam com um instrumento bastante caro, denominado teodolito, que está representado na figura a seguir:

Um topógrafo precisava medir a largura de um trecho de um rio com águas nada calmas e com margens paralelas, bem distantes entre si. No local, ele iniciou o esboço seguinte, cotado em metros, como sendo uma vista superior da situação. Note que estão indicados os pontos A e B numa mesma margem, distantes 120m um do outro, e uma árvore C, referência na outra margem:

O topógrafo fixou uma estaca em cada um dos pontos A e B. A seguir, centrou o teodolito em A, mirou a árvore C e mediu B A C = 75º. Ainda centrou o teodolito em B,mirou a árvore C e mediu C B A = 30º. Assim, ele completou o esboço e constatou que o rio tem de largura, em metros:

a) 40b) 50c) 60d) 70e) 80

OS.:5746/12-Juliana

36

07. Considerando que as semirretas r e s da figura são perpendiculares, então o valor da expressão sen(a c) sen(b c)cos(b d) cos(a d)

+ ++

+ + é:

a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

08. Uma corda de 3,9 metros de comprimento conecta um ponto na base de um bloco de madeira a uma polia localizada no alto de uma elevação, conforme o esquema abaixo. Observe que o ponto mais alto dessa polia está 1,5 metros acima do plano em que esse bloco vai deslizar.

Caso a corda seja puxada 1,4 metros, na direção indicada na figura, a distância que o bloco deslizará será de:

a) 1,0mb) 1,3mc) 2,2md) 1,9me) 1,6m

Exercícios Propostos

01. Um terreno tem o formato de um trapézio retângulo ABCD, conforme mostra a figura a seguir:

D

C

BA

O lado AB tem a mesma medida que AD e vale

6m. O ângulo B C D mede 30°. A área do terreno é igual a:

a) 18(2 + 3 )

b) 18(3 + 3 )

c) 18(4 + 3 )

d) 18(5 + 3 )

e) 18(6 + 3 )

02. Dois homens H1 e H2 com 2m e 1,5m de altura, respectivamente, estão em pé numa calçada, em lados opostos de um poste de 5m de comprimento, iluminados por uma lâmpada deste poste, como mostra a figura a seguir.

A distância entre os dois homens, em metros, é igual a:

a) 5 3 + 10

b) 14

c) 3 3 + 7

d) 8 3 – 3

e) 6 3

03. Na figura, tem-se AE paralelo a CD, BC paralelo a DE, AE = 2, a = 45° e b = 75°. Nessas condições, a distância do ponto E ao segmento AB é igual a:

a) 3

b) 2

3c)22d)

22e)

4

37

04. Um avião está voando em reta horizontal à altura

1 em relação a um observador O, situado na

projeção horizontal da trajetória. No instante t0,

é visto sob ângulo a de 30° e, no instante t1, sob

ângulo b de 60°.

A distância percorrida entre os instantes t0 e t1 é:

3a)3

b) 3 1

2 3c)33 1d)2

−

−

05. O triângulo ABC, retângulo em A, representa a

fachada de uma indústria, cujas medidas estão

apresentadas em metros.

Essa fachada deve ser inteiramente pintada com

duas mãos de uma mesma tinta, que só é vendida

em latas de mesmo tamanho. O fabricante avisa

no rótulo que cada lata de tinta é suficiente para

pintar 25m2. O número mínimo de latas de tinta

necessárias para realizar essa pintura é:

a) 4

b) 5

c) 6

d) 7

e) 8

06. A fórmula que determina a altura H de uma pilha de tubos, todos com forma cilíndrica circular reta e com raio externo R, conforme a figura, é:

a) H R( 3 2)

b) H 3R( 3 1)

c) H 2R 3

d) H 2R( 3 1)

e) H R( 2 3)

= +

= +

=

= +

= +

07. Uma folha de papel ABCD de formato retangular é dobrada em torno do segmento EF, de maneira que o ponto A ocupe a posição G como mostra a figura. Se AE = 3 e BG = 1, então a medida do segmento AF é igual a:

3 5a)2

7 5b)8

3 5c)4

3 5d)55e)

3

08. A figura adiante representa o perfil de uma escada cujos degraus têm todos a mesma extensão, além de mesma altura.

Se BC = 2m e BÂC mede 30°, então a medida da extensão de cada degrau é:

2 3 3a) m d) m3 22 3b) m e) m

3 33c) m

6

OS.:5746/12-Juliana

38

09. No jogo de bocha, disputado em um terreno plano, o objetivo é conseguir lançar uma bola de raio 8 o mais próximo possível de uma bola menor, de raio 4. Num lançamento, o jogador conseguiu fazer com que as duas bolas ficassem encostadas, conforme ilustra a figura a seguir. A distância entre os pontos A e B, em que as bolas tocam o chão, é:

a) 8

b) 6 2

c) 8 2

d) 4 3

e) 6 3

10. A figura representa uma fileira de n livros idênticos, em uma estante de 2 metros e 20 centímetros de comprimento.

AB = DC = 20cm AD = BC = 6cm

Nas condições dadas, n é igual a:

a) 32 b) 33 c) 34d) 35e) 36

39

ASSUNTO 2TrigonomeTria no Triângulo reTângulo ii

exercícios gerais

Exercícios de Sala

01. Duas cidades X e Y são interligadas pela rodovia R101, que é retilínea e apresenta 300km de extensão. A 160km de X, à beira da R101, fica a cidade Z, por onde passa a rodovia R102, também retilínea e perpendicular à R101. Está sendo construída uma nova rodovia retilínea, a R103, que ligará X à capital do estado. A nova rodovia interceptará a R102 no ponto P, distante 120km da cidade Z.

O governo está planejando, após a conclusão da obra, construir uma estrada ligando a cidade Y até a R103. A menor extensão, em quilômetros, que esta ligação poderá ter é:

a) 250b) 240c) 225d) 200e) 180

02. Uma chapa metálica de formato triangular (triângulo retângulo) tem inicialmente as medidas indicadas e deverá sofrer um corte reto (paralelo ao lado que corresponde à hipotenusa do triângulo) representado pela linha tracejada, de modo que sua área seja reduzida à metade.

Quais serão as novas medidas x e y?

40cm

60cmx

y

a) x = 30cm, y = 20cmb) x = 40cm, y = 30cmc) x = 30 2 cm, y = 20 2 cm

d) x = 20 2 cm, y = 30 2 cm

03. Uma placa publicitária de altura h metros está colocada no alto de um edifício com a sua parte inferior a y metros acima do nível do olho do observador, conforme a figura abaixo:

h

h

yd b a

V E S TF A A P

A altura h (em metros) da placa publicitária pode ser expressa por:

a) h = d (tg b – tg a) b) h = d tg ac) h = tg (a – b)/dd) h = d (sen a + cos a)e) h = d tg b/2

04. Na figura abaixo, os círculos que se interceptam são tangentes, e as duas retas são tangentes a todos os círculos. Sabendo que a área do disco menor é 6m2 e a do maior é 24m2, conclui-se que a área do outro disco é:

a) 8m2 b) 10m2

c) 11m2 d) 12m2 e) 15m2

OS.:5746/12-Juliana

40

05. Um engenheiro fez um projeto para a construção de um prédio (andar térreo e mais 6 andares), no qual a diferença de altura entre o piso de um andar e o piso do andar imediatamente superior é de 3,5m. Durante a construção, foi necessária a utilização de rampas para transporte de material do chão do andar térreo até os andares superiores. Uma rampa lisa de 21m de comprimento, fazendo ângulo de 30o com o plano horizontal, foi utilizada. Uma pessoa que subir essa rampa inteira transportará material, no máximo, até o piso do:

a) 2o andar. b) 3o andar.c) 4o andar.d) 5o andar.e) 6o andar.

06. A figura mostra parte de um campo de futebol, em que estão representados um dos gols e a marca do pênalti (ponto P).

Considere que a marca do pênalti equidista das duas traves do gol, que são perpendiculares ao plano do campo, além das medidas a seguir, que foram aproximadas para facilitar as contas.

• Distância da marca do pênalti até a linha do gol: 11 metros.

• Largura do gol: 8 metros.• Altura do gol: 2,5 metros.

Um atacante chuta a bola da marca do pênalti e ela, seguindo uma trajetória reta, choca-se contra a junção da trave esquerda com o travessão (ponto T). Nessa situação, a bola terá percorrido, do momento do chute até o choque, uma distância, em metros, aproximadamente igual a:

a) 12b) 14c) 16d) 18e) 20

07. (Enem 07) Quatro estações distribuidoras de

energia A, B, C e D estão dispostas como vértices

de um quadrado de 40km de lado. Deseja-se

construir uma estação central que seja ao mesmo

tempo equidistante das estações A e B e da estrada

(reta) que liga as estações C e D. A nova estação

deve ser localizada:

a) no centro do quadrado.

b) na perpendicular à estrada que liga C e D

passando por seu ponto médio, a 15km dessa

estrada.

c) na perpendicular à estrada que liga C e D

passando por seu ponto médio, a 25km dessa

estrada.

d) no vértice de um triângulo equilátero de base

AB, oposto a essa base.

e) no ponto médio das estradas que liga as

estações A e B.

08. De dois observatórios, localizados em dois pontos X e Y da superfície da Terra, é possível enxergar um balão meteorológico B, sob ângulos de 45o e 60o, conforme é mostrado na figura abaixo.

Desprezando-se a curvatura da Terra, se 30km separam X e Y, a altura h, em quilômetros, do balão à superfície da Terra, é:

a

b

c

d

e

)

)

)

)

)

30 15 3

30 15 3

60 30 3

45 15 3

45 15 3

41

Exercícios Propostos

01. Um aparelho é construído para medir alturas e consiste de um esquadro com uma régua de 10cm e outra régua deslizante que permite medir tangentes do ângulo de visada a, conforme o esquema da figura 1. Uma pessoa, utilizando o aparelho a 1,5m do solo, toma duas medidas, com distância entre elas de 10m, conforme esquema da figura 2.

Sendo l1 = 30cm e l2 = 20cm, calcule a altura da árvore.

a) 11mb) 11,5mc) 12md) 12,5me) 13m

02. A figura abaixo esquematiza uma situação obtida por meio de um sistema de captação e tratamento de imagens, durante uma partida de vôlei.

Nos pontos M e N da figura estão localizados dois jogadores que estão olhando para a bola com um ângulo de visada de 30°, em relação ao solo. Sabe-se que a distância dos olhos (pontos P e Q) de cada jogador até o solo é igual a 2,0m (PM = QN = 2,0m), que a distância entre os jogadores é

igual a 1,5m, (MN = 1,5m) e que cos a = 34

.

A distância h da bola (representada pelo ponto R)

até o chão (h = RT) é:

a) 2,5m

b) 3,0m

c) 3,7m

d) 4,5m

e) 5,2m

03. Uma estação de tratamento de água (ETA) localiza-

se a 600m de uma estrada reta. Uma estação de

rádio localiza-se nessa mesma estrada, a 1000m

da ETA. Pretende-se construir um restaurante na

estrada, que fique à mesma distância das duas

estações. A distância do restaurante a cada uma

das estações deverá ser de:

a) 575m

b) 600m

c) 625m

d) 700m

e) 750m

04. A figura abaixo mostra um painel solar de 3 metros

de largura equipado com um ajustador hidráulico.

À medida que o Sol se eleva, o painel é ajustado

automaticamente de modo que os raios do Sol

incidam perpendicularmente nele.

O valor de y (em metros) em função de q é:

a) y = 3 senq

b) y = 3 senq + 3

c) y = 3 tgq

d) y = 3 cosq

OS.:5746/12-Juliana

42

05. Se o triângulo ABC da figura adiante é equilátero de lado a, então a medida de QM em função de a e x é:

a a x

b a x

c x a

d x a

)

)

)

)

34

38

8 38

9 38

−

−

−

−

06. Na figura abaixo, os pontos B e C pertencem à reta r e os segmentos AB e CD são paralelos. Sabe-se ainda que a distância entre os pontos B e C é igual à metade da distância entre A e D, e a medida do ângulo ACD é 45°.

O ângulo CAD mede:a) 115o d) 90o

b) 105o e) 75o

c) 100o

07. Para trocar uma lâmpada, Roberto encostou uma escada na parede de sua casa, de forma que o topo da escada ficou a uma altura de aproximadamente 14m. Enquanto Roberto subia os degraus, a base

da escada escorregou por 1m, indo tocar o muro paralelo à parede, conforme ilustração abaixo.

escada

parede paredemuro

muro

escada

45o

Refeito do susto, Roberto reparou que, após deslizar, a escada passou a fazer um ângulo de 45° com a horizontal.

Pergunta-se:a) Qual é a distância entre a parede da casa e o

muro?b) Qual é o comprimento da escada de Roberto?

08. Dois níveis de uma praça estão ligados por uma rampa de 3,25 metros de comprimento e a radianos de inclinação, conforme a figura. Devem-se construir, sobre a rampa, 5 degraus de mesma

altura. Se tg a = 512, a altura, em metros, de cada

degrau será:

a) 0,15 b) 0,25c) 0,30

a

3,25m

d) 0,35 e) 0,65

09. Na figura abaixo AD e DC estão entre si na razão de 1 para 3. A medida do segmento BD é, em centímetros:

a

b

c

d

e

)

)

)

)

)

48 2 3

3 19 4 3

21

12

21

10. Em um jogo de sinuca, uma bola é lançada do ponto O para atingir o ponto C, passando pelos pontos A e B, percorrendo a trajetória indicada na figura abaixo.

Nessas condições, o valor de x, em metros, é:

a) 0,1 b) 0,3 c) 0,5 d) 0,7 e) 0,9

43

11. (Unicamp) Considere uma gangorra composta por uma tábua de 240cm de comprimento, equilibrada, em seu ponto central, sobre uma estrutura na forma de um prisma cuja base é um triângulo equilátero de altura igual a 60cm, como mostra a figura. Suponha que a gangorra esteja instalada sobre um piso perfeitamente horizontal.

a) Desprezando a espessura da tábua e supondo que a extremidade direita da gangorra está a 20cm do chão, determine a altura da extremidade esquerda.

b) Supondo, agora, que a extremidade direita da tábua toca o chão, determine o ângulo a formado entre a tábua e a lateral mais próxima do prisma, como mostra a vista lateral da gangorra, exibida abaixo.

OS.:5746/12-Juliana

44

ASSUNTO 3relações TrigonoméTricas

Com relação ao triângulo abaixo, já vimos que:

cAB c senabAC b cosa

cBC c tgb

= a =

= a =

= a =

Como o triângulo ABC é retângulo, então:(BC)2 = (AB)2 = (AC)2 (Teorema de Pitágoras).

De acordo com:c bsen c a.sen cos b a.cos

1 a 1 aa a

= ⇒ = a = ⇒ = a

Substituindo no Teorema de Pitágoras, temos:(AB)2 + (AC)2 + (BC)2

b2 + c2 = a2

a2 + sen2a + a2 . cos2a = a2(÷a2)Essa é a famosa relação fundamental da

trigonometria sen2a + cos2a = 1

Relações trigonométricasque sãoderivadasdarelaçãofundamental

Sabendo que:

sen2a + cos2a = 1

Então, provamos que:

1. 2 2tg 1 sec , para x k ,k2p

a + = a ≠ + p ∈ZSolução

2 2 2

2 2

2 2

sen cos 1( cos )

sen coscos cos

a + a = ÷ a

a a+

a a 2

2 2

1cos

tg 1 sec

=a

a + = a

2. cotg2a + 1 = cossec2a, para x ≠ kp, k ∈ ZSolução:

2 2 2

2

2

sen cos 1( sen )

sensen

a + a = ÷ a

a

a

2

2 2

2 2

2 2

cos 1sen sen

1 cotg cossec

cotg 1 cossec

a+ =

a a

+ a = a

a + = a

Exercícios de Sala

01. (Uece) Se cot g tg 8,02p

q+ q= <q< , então (senq + cosq)2 é igual a:

3a)54b)55c)44d)3

02. (ITA) Em um triângulo ABC, retângulo em A, seja D a projeção de A sobre BC. Sabendo-se que o segmento BD mede ℓcm e DÂC mede q graus, então a área do triângulo ABC vale:

2

22

22

2

22

a) .sec .tg2

b) .sec .tg2

c) .sec .tg2

d) .cossec . cotg2

e) .cossec . cotg2

q q

q q

q q

q q

q q

03. O valor da expressão: 1 – 2sen2x + sen4x + sen2x . cos2x é equivalente a:

a) cos4xb) 2 . cos2xc) cos3xd) cos4x + 1e) cos2x

04. (Estilo Enem) Em uma residência, há uma área de lazer com uma piscina redonda de 5m de diâmetro. Nessa área há um coqueiro, representado na figura por um ponto Q.

45

Se a distância de Q (coqueiro) ao ponto de tangência T (da piscina) é 6m a distância d = QP, do coqueiro à piscina é:

a) 4m d) 5,5mb) 4,5m e) 6mc) 5m

05. Na figura a seguir, a circunferência de centro O é

trigonométrica, o arco AM tem medida a, 02p

<a < e OMP é um triângulo retângulo em M.

Esse triângulo tem por perímetro:1 sen cosa)

cos1 sen cosb)

sen1 2sen cosc)

cos1 sen2 cosd)

sen

+ a + aa

+ a + aa

+ a + aa

+ a + aa

06. (Estilo Enem) Dois edifícios, X e Y, estão um em frente ao outro, em um terreno plano. Um observador, no pé do edifício X (ponto P), mede um ângulo a em relação ao topo do edifício Y (ponto Q). Depois disso, no topo do edifício X, num ponto R, de forma que RPTS formem um retângulo e QT seja perpendicular a PT, esse observador mede um ângulo b em relação ao ponto Q no edifício Y.

Sabendo que a altura do edifício X é 10m e que 3tga = 4tgb, a altura h do edifício Y, em metros, é:

40a) d) 403

50b) e) 504

c) 30

07. Se 2 22abtgx

a b=

−, em que a > b > 0 e 0 < x < 90º,

então, sen x é igual a:2 2

2 2

2 2

a ba)ab

ab)bbc)a

2abd)a ba be)

2ab

+

+

+

08. Analise a figura abaixo. Qual o valor da hipotenusa do triângulo retângulo ABC?

4a)33b)23 5c)

52 5d)

34 5e)

5

Exercícios Propostos

01. (Estilo Enem) Um observador, no ponto 0 da figura abaixo, vê um prédio segundo um ângulo de 105°. Se esse observador está situado a uma distância de 18m do prédio e a uma altura de 18m em relação ao terreno horizontal, então a altura do prédio é:

a) 18( 3 1)m

b) (10 3 9)m

c) (2 3)md) 58m

e) ( 3 28)m

+

+

+

+

OS.:5746/12-Juliana

46

02. Na figura abaixo, as 12 circunferências têm todas o mesmo raio r; cada uma é tangente a duas outras e ao quadrado:

Sabendo-se que cada uma das retas suporte das diagonais do quadrado tangencia quatro das

circunferências, e que o quadrado tem lado 2 7 , determine r.

a) 14 7

b) 2 7 3

c) 7 1

d) 3 2

e) 3 1

−

+

+

+

+

03. No retângulo da figura, cosa vale:

2a)2

1b)2

3c)2

1d)31e)4

04. (Uece) O valor de

4 0 4 0 4 0

4 0(2sen 20 2cos 20 ).cossec 20

3 3cotg 20−

− é:

2a)3

2b)31c)3

1d)3

−

−

05. ( U F C ) C o n s i d e r e a i g u a l d a d e :2P.(2 sec x)tgx cotgx

2.tgx−

= + .

Assinale a opção que representa o valor de P para o qual a igualdade acima seja válida para todo x ∈ R,

kx2p

≠ , k inteiro.

a) 2 d) –1b) 1 e) –2c) 0

06. A simplificação de 4

4 41 tg x

cos x sen x−

−é:

a) cossec4xb) cos4xc) sen4xd) sec4xe) cotg4x

07. O conjunto das soluções em r e q dos sistemas de

equações r .sen 3r.cos 1

q=

q=para r > 0 e 0 ≤ q < 2p é:

a) 2,6

b) 1,3

c) {2, 1}d) {1, 0}

e) 2,3

p

p

p

08. (Estilo Enem) Para estimar a profundidade de um poço com 1,10m de largura, uma pessoa cujo olhos estão a 1,60m do chão posiciona-se a 0,50m de sua borda. Dessa forma, a borda do poço esconde exatamente seu fundo, como mostra a figura.

Com os dados acima, a pessoa conclui que a profundidade do poço é:

a) 2,82m d) 3,52mb) 3,00m e) 3,63mc) 3,30m

47

09. O valor da expressão

2 2 2 2

1 1 1 11 sen x 1 cos x 2 tg x 2 cot g x

+ + ++ + + +

é:

a) 0b) 1c) 2d) –1

e) – 12

10. A expressão cos2x + cos2x . tg2x + tg2x equivale a:

a) cos2xb) sec2xc) sen2xd) tg2xe) cotg2x

OS.:5746/12-Juliana

48

ASSUNTO 4circunferência TrigonoméTrica

Vamos considerar a circunferência abaixo de raio unitário (r = 1), cujo centro coincide com a origem de um sistema cartesiano ortogonal.

Essa circunferência orientada pelas convenções abaixo, configura a circunferênciatrigonométrica.

Algumas convenções:a) O ponto A(1, 0) é a origem de todos os arcos

a serem medidos na circunferência.b) Se um arco for medido no sentido horário,

então a essa medida será atribuído o sinal negativo (–).

c) Se um arco for medido no sentido anti-horário, então a essa medida será atribuído o sinal positivo (+).

d) Os eixos coordenados dividem o plano cartesiano em quatro regiões chamadas quadrantes; esses quadrantes são contados no sentido anti-horário, a partir do ponto A.

Veja que:

• Se P1 ∈AB , então P1 pertence ao primeiro

quadrante;

• Se P2 ∈ BA ' , então P2 pertence ao segundo quadrante;

• Se P3∈A 'B' , então P3 pertence ao segundo quadrante;

• Se P4∈B'A, então P4 pertence ao segundo quadrante.

Agora vamos ver a ideia do seno, cosseno e tangente no círculo:1) Senonocírculo

Considere um arcoAP de medida x, definimos como sen x a ordenada do ponto P e representamos assim:

2senx OP=

2OP é a medida de um segmento orientado (pode ser positiva, negativa ou nula.)

Veja que a definição de seno de um ângulo agudo, vista em um triângulo retângulo, está de acordo com esta definição no ciclo trigonométrico.

1 22

PP OPsenx OP1OP

= = =

2) Cossenonocírculo

Considere um arco AP de medida x, definimos como cos x a abscissa do ponto P e representamos assim:

1cos x OP=

em que 1OP é a medida de um segmento orientado (pode ser positiva, negativa ou nula).

49

3) Tangentenocírculo

Considerando agora no ciclo trigonométrico, a reta t, tangente a circunferência no ponto a, com a mesma orientação do eixo y.

Dado um arco AP de medida x radianos (com

x k2p

≠ + p ), define-se como tangente de x a medida

algébrica de AT, sendo T o encontro de OP e t.

Simbolicamente, tg x = AT, com x k2p

≠ + p , k ∈ Z.

Observe que a definição já vista para um ângulo agudo de medida x, em um triângulo retângulo, está de acordo com a definição dada, pois temos

AT ATtgx AT1OA

= = = .

Variaçãodosinaldoseno,docossenoedatangenteno círculo trigonométrico

De acordo com a Geometria Analítica, tomando-se as coordenadas do ponto P(x, y), é fácil perceber que os sinais da abscissa (x = cosseno) e da ordenada (y = seno) dependem do quadrante em que esteja o ponto P considerado, isto é:

seno( )1º quadrante tangente( )

cosseno( )

seno( )2º quadrante tangente( )

cosseno( )

seno( )3º quadrante tangente( )

cosseno( )

seno( )4º quadrante tangente( )

cosseno( )

++ +

+− −

−+ −

−− +

AtençãoGalera!Essa tabela te ajudará muito

SE TA CO12 13 14+ + +

Valoresdosângulosquepertencemaoseixosdocírculo trigonométrico

De acordo com o estudo das funções circulares seno, cosseno e tangente no plano cartesiano XOY, temos:

Sabemos que:

P(x, y) = P(cosseno, seno)

Podemos concluir que:

0º 90º2p

= 180º = p 3270º2p

= 360º = 2p

sen 0 1 0 –1 0cos 1 0 –1 0 1tg 0 ∃ 0 ∃ 0

Arcos côngruos

Determinamos que a circunferência tem um arco de uma volta igual a 360°. Agora, se quisermos trabalhar com arcos maiores que 360°, necessitamos dar mais do que uma volta completa na circunferência. Os arcos que param em um mesmo ponto, mas cujos valores foram encontrados após um total diferente de voltas na circunferência, são chamados de arcos côngruos.

Exemplo:

OS.:5746/12-Juliana

50

O arco AB pode ser: • 30°• 390° (1 volta = 360° + 30°) • 750° (2 voltas = 720° + 30°) • 1110° (3 voltas = 1080° + 30°)

e assim, sucessivamente. Dizemos então que 30°, 390°, 750° e 1110° são arcos côngruos.

A esses arcos damos o nome de determinação. Dessa forma:

• 30° = 1a determinação positiva• 390° = 2a determinação positiva• 750° = 3a determinação positiva• 1110° = 4a determinação positiva

Expressãogeraldosarcoscôngruosou"endereçotrigonométrico

Podemos escrever todos esses arcos em uma expressão geral, assim definida:

EG = MD + 360º . K

Em que:EG = expressão geralMD = menor determinaçãoK = número de voltas dadas na circunferência

Para determinações positivas:1a determinação (+) → k = 0 2a determinação (+) → k = 1

Para determinações negativas:1a determinação (–) → k = –1 2a determinação (–) → k = –2

Exercícios de Sala

01. A extremidade do arco de medida 383

p rad está situada no:

a) 1o quadrante. b) 2o quadrante. c) 3o quadrante.d) 4o quadrante.e) eixo x.

02. Os quadrantes onde estão os ângulos a, b e q tais que:

sen a < 0 e cos a < 0 cos b < 0 e tgb < 0 sen q > 0 e cotg q > 0 são, respectivamente:a) 3o, 2o e 1o b) 2o, 1o e 3o c) 3o, 1o e 2o

d) 1o, 2o e 3o

e) 3o, 2o e 2o

03. A previsão de vendas mensais de uma empresa para 2011, em toneladas de um produto, é dada

por f(x) = 100 + 0,5x + 3sen x6p , em que x = 1

corresponde a janeiro de 2011, x = 2 corresponde a fevereiro de 2011 e assim por diante. A previsão de vendas (em toneladas) para o primeiro trimestre de 2011 é: (Use a aproximação decimal 3 1,7=

a) 308,55 b) 309,05 c) 309,55d) 310,05e) 310,55

Textoparaasquestões4e5A produção de certo tipo de alimento em uma

determinada propriedade rural pode ser modelada pela equação:

.xN(x) 320 180sen3 2

p p = + −

, em que x

representa o mês do ano (1 para janeiro, 2 para fevereiro, 3 para março, e assim sucessivamente) e N(x) é o número de toneladas produzidas no mês x.

04. A maior e a menor quantidade produzidas, em toneladas, são, respectivamente, iguais a:

a) 320 e 140 b) 500 e 320 c) 500 e 280d) 500 e 140e) 410 e 230

05. Os meses do ano em que a produção é máxima são:

a) janeiro e julho.b) fevereiro e agosto. c) março e setembro. d) abril e outubro. e) maio e novembro.

51

06. Se 3 3tgx e x4 2

p= p< > ,valor de cosx – senx é:

7a)5

7b)52c)51d)51e)5

−

−

+

−

07. Exatamente às 13 horas, João Gabriel programou

seu computador para salvar, a cada 14

de hora, o trabalho digitado.

Qual das alternativas abaixo apresenta os horários em que o computador efetuou o salvamento no período das 13 horas às 17 horas e 35 minutos?

a) k134

+

horas, com k ∈ Z e 1 ≤ k ≤ 18

b) k134

+

horas, com k ∈ Z e 1 ≤ k ≤ 16

c) k1315

+

horas, com k ∈ Z e 1 ≤ k ≤ 12

d) k1320

+

horas, com k ∈ Z e 1 ≤ k ≤ 20

e) 3k134

+

horas, com k ∈ Z e 1 ≤ k ≤ 8

08. (Estilo Enem) Uma população P de animais varia, aproximadamente, segundo a equação abaixo.

(t 3)P 800 100.sen6

+ p= −

Considere que t é o tempo medido em meses e que 1o de janeiro corresponde a t = 0. Então, no período de 1o de janeiro a 1o de dezembro de um mesmo ano, os meses nos quais a população de animais atinge um total de 750 são:

a) abril e outubrob) maio e novembroc) março e outubrod) março e novembroe) maio e setembro

Exercícios Propostos

01. No ciclo da figura a seguir, estão representadas as extremidades M1, M2, M3, e M4 dos arcos dados, em radianos, pela expressão:

Dado: Considere k ∈ Z.

a) 2k3

b) k3

c) 2k6

d) k4

e) k.3 2

p+ p

p+ p

p+ p

p+ p

p p+

02. Qual é a expressão geral, em radianos, dos arcos de extremidades nos pontos M1 e M2?

Dado: Considere k ∈ Z.

3a) 2k4

3b) k4

3 kc)4 2

d) k4

e) 2k4

p+ p

p+ p

p p+

p+ p

p+ p

03. Sabendo que 02p

<a < , a expressão 72p

−a pertence ao:

a) 1o quadrante. b) 2o quadrante. c) 3o quadrante. d) 4o quadrante.

04. Se 2 3senxz4

−= pode-se afirmar que todos os

valores de z que satisfazem essa igualdade estão compreendidos em:

3a) 2 z 1 d) 0 z2

1 1b) 1 z e) z 24 4

1 5c) z4 4

− ≤ ≤ − ≤ ≤

−− ≤ ≤ ≤ ≤

−≤ ≤

OS.:5746/12-Juliana

52

05. Qual a expressão geral para os valores de x que

satisfazem a equação 3cos2x = 1:

a) k2

b) 2k2

kc)4 2kd)4

p+ p

p+ p

p p+

p

06. O dispositivo de segurança de um cofre (segredo)

tem o formato da figura a seguir, na qual as

posições A, B, ..., L estão igualmente espaçadas

e a posição inicial da seta, quando o cofre está

fechado, é a indicada.

Para abrir esse cofre, são necessárias cinco

operações, girando o dispositivo de modo que a

seta seja colocada dos seguintes ângulos:

I. 23p no sentido anti-horário.

II. 32p no sentido horário.

III. 53p no sentido anti-horário.

IV. 34p no sentido horário.

V. 3p no sentido anti-horário.

Pode-se então afirmar que o cofre será aberto

quando a seta estiver indicando:

a) o ponto médio entre G e H.

b) algum ponto entre J e K.

c) o ponto médio entre C e D.

d) a posição I.

07. Se 3x ,2p ∈ p

e cos x = 2k – 1, então k varia no

intervalo:

a) [ 1, 0]b) [ 1, 0[

1c) 0,2

d) ]0, 1[1e) , 12

−−

08. (ITA) Os pontos do círculo trigonométrico que satisfazem a igualdade 2cos x – sec x = 1 são vértices de um polígono. A área desse polígono é igual a:

a) 3u.a

3 3b) u.a.4

c) 2u.a

2d) u.a4

1e) u.a2

Textoválidoparaquestões9e10

(Enem-Adaptado)

A figura mostra a órbita elíptica de um satélite S em torno do planeta Terra. Na elipse estão assinalados dois pontos: o ponto A (apogeu), que é o ponto da órbita mais afastado do centro da Terra, e o ponto P (perigeu), que é o ponto da órbita mais próximo do centro da Terra. O ponto O indica o centro da Terra e o ângulo PÔS tem medida a, com 0° ≤ α ≤ 360°.

(Figura fora de escala)

A altura h, em km, do satélite à superfície da Terra, dependendo do ângulo a, é dada aproximadamente

pela função 27.980h 64 .10100 5cos

= − + a

.

53

09. As alturas h do satélite, quando este se encontra no perigeu e também quando se encontra no apogeu, são respectivamente iguais a:

a) 1000km e 1600km b) 1200km e 2000km c) 1400km e 2200km d) 1400km e 1800km e) 2200km e 2800km

10. Os valores do ângulo a, quando a altura h do satélite é de 1580km, é igual a:

a) a = 30° ou a = 120° b) a = 90° ou a = 180° c) a = 60° ou a = 150° d) a = 45° ou a = 135° e) a = 90° ou a = 270°

OS.:5746/12-Juliana

54

ASSUNTO5redução ao 1o quadranTe

Reduçãoao1oquadrante

a) Arcossuplementares-Reduçãodo2oquadrante

a) sen(180º – a) = sen ab) cos(180º – a) = –cos ac) tg(180º – a) = –tg a

Exemplos:sen110º = + sen70ºcos160º = – cos20ºtg100º = –tg80º

b) Arcosexplementares-Reduçãodo3oquadrante

a) sen(180º + a) = –sen ab) cos(180º –a) = –cos ac) tg(180º + a) = tg a

Exemplos:sen250º = – sen70ºcos200º = – cos20ºtg195º = +tg15º

c) Arcosreplementares-Reduçãodo4oquadrante

a) sen(360º – a) = –sen ab) cos(360º – a) = +cos ac) sen(360º – a) = –tg a

Exemplos:sen310º = – sen50ºcos340º = + cos20ºtg325º = –tg55º

d) Aplicando a simetria para as funçõestrigonométricas

De acordo com o estudo do ciclo trigonométrico, temos:

Com isso, podemos afirmar que:1) sen(–x) = –sen(x)2) cos(–x) = cos(x)3) tg(–x) = –tg(x)

Devido a essa propriedade, dizemos que a função cosseno é uma funçãopar e que as funções seno e tangente são funçõesímpares.

e) Relembrandooconceitodearcoscôngruos

Vejaosexercíciosresolvidos

1) Determinar a medida x do arco da primeira volta positiva (0 ≤ x ≤ 360º ou 0 ≤ x ≤ 2p) que possui a mesma extremidade dos arcos:

a) 1110°Solução:Basta eliminarmos do arco de 1110° todas as

suas voltas completas. Para isso, dividimos 1110° por 360°.

1110 36030º 3

Assim:1110º = 3 . 360º + 30ºO arco de 1110° possui três voltas completas

e mais 30°. Portanto, x = 30°. Dizemos que 30° é côngruo a 1110°.

b) 15 rad2

p

Solução:

Vamos eliminar as voltas completas de 15 rad2

p .

Para isso, vamos transformar esse arco em uma soma de dois outros, tal que um deles seja o total de

voltas completas contidas em 15 rad2

p . Isto é:

15 12 3 15 362 2 2 2 2

p p p p p= + ⇒ = p+três voltas

completas

55

f) Agoravamostrabalharcomarcosdaforma

3e2 2p p

± a ± a , com a qualquer, veja o círculo

abaixo:

Temos:

a)

sen x sen x cos x2 2

cos x cos x senx2 2

tg x tg x cot gx2 2

p p + = − =

p p + = − − = −

p p + = − − = −

b)

3sen x sen x cox2 2

3cos x cos x senx2 2

3tg x tg x cot gx2 2

p p − = − − = −

p p − = − − = −

p p − = − =

c)

3sen x sen x cos x2 2

3cos x cos x senx2 2

3tg x tg x cot gx2 2

p p + = − − = −

p p + = − =

p p + = − − = −

Atenção!

sen x2

sen x2

sen x cos x2

p − = p − − =

p − − = −

Agorafaça

Com: cos x2p −

Exercícios de Sala

01. Sabendo-se que 02p

<a <b< , sena = a e senb = b, então o valor da expressão sen(p + a) – cos(2p – b) será igual a:

2

2

2

2

2

a) a 1 b

b) a 1 b

c) a 1 b

d) a 1 b

e) a. 1 b

+ −

− + −

− −

− − −

−

02. O vigésimo quinto termo da sequência sen30º, sen 60º, sen 90º, sen120º, sen150º, ..., é:

3a)2

1b)2

1c)2

3d)2

e) 1

−

−

03. Considere as expressões abaixo:

sen30º.cos150ºI.tg210º

cot g50º.sen93ºII.tg181º

cos x.cossec x 3III. , x , 2sec x.cot gx 2

senx.tgxIV. , x ,cossec x 2

p ∈ p p ∈ p

Têm sempre o valor negativo:a) I e II d) I e IIIb) I e IV e) III e IVc) II e III

04. Se a é um ângulo tal que 02p

<a < e sena = a, então tg(p – a) é igual a:

2

2

2

2

2

1 aaa) d)a1 a

a 1 ab) e)a1 a

1 ac)

a

− −−

−

+

−

−

OS.:5746/12-Juliana

56

05. Determine o valor de 17 . k, sabendo que:

2 3 24k sen sen sen ... sen3 3 3 3p p p p

= + + + +

06. Sabendo que tg25º = a e que tg205º tg115ºmtg245º tg335º

−=

+.

O valor de m em função de a é:

2

2

2

2

2

2

a) a 1b) a 1

a 1c)1 aa 1d)1 a

e) a 2a

+

−

+−

+−

−

07. O v a l o r n u m é r i c o d a e x p r e s s ã o

sen2460º.cos1110ºtg2205º

é:

3a)4

3b)23c)53d)4

e) 1

−

08. Ao chegar de viagem, uma pessoa apanhou um táxi no aeroporto para se dirigir ao hotel. O percurso feito pelo táxi está representado pelos segmentos AB, BD, DE, EF e FH, esboçado na figura a seguir em que o ponto A indica o aeroporto, o ponto H indica o hotel, BCF é um triângulo retângulo com o ângulo reto em C, o ângulo no vértice B mede 60° e DE é paralelo a BC.

Considerando os valores: AB = 2km, BC = 3km,

DE= 1km e FH = 3,3km e 3 17= .

Sabe-se que a corrida dos táxis do aeroporto é cobrada por uma taxa fixa de R$ 4,00, acrescida de R$ 1,00 por quilômetro rodado. Com essas informações, podemos afirmar que a pessoa pagou pela corrida do aeroporto ao hotel o valor correspondente a:

a) R$ 10,00 b) R$ 12,00 c) R$ 14,00d) R$ 16,00e) R$ 18,00

Exercícios Propostos

01. A expressão sen(–830º) é equivalente a:

a) –sen70ºb) –cos70ºc) sen20ºd) cos20ºe) sen110º

02. No círculo trigonométrico da figura abaixo, tem-se a = 120º. O valor da OA . OB é:

1a)21b)4

2c)23d)

23e)

4

03. Se x ∈ R – {2} e y ∈ R, então a soma dos possíveis valores inteiros de x na equação –x2 + (x –2) . cosy + 4 = 0 é igual a:

a) 0b) 2c) –5d) 5e) –6

57

04. Sabe-se que 15 312 4

p p<q< e que 3cos

7q= . Com

essas informações, podemos afirmar que o valor do produto P = (sen x) . (tg x) . (cotgx) . (sec x) é igual a:

2 10a)5

2 10b)7

5 10c)30

3 10d)4

2 10e)3

−

−

05. Considere a expressão

n

2n 2nV cos sen3 3 3 3p p p p = + + +

, em que n ∈ N.

O valor de V0 + V2 é igual a:

a) 2 + 3

b) 3

c) 1

d) 2 – 3

e) 0

06. No estudo de trigonometria, Maria e João se depararam com as seguintes desigualdades:

I. cos(–20º) < cos(35º)II. sen(20º) < sen(35º)III. cos(–20º) < sen(–35º)

Está(ão) correta(s) apenas:a) Ib) IIc) IIId) I e IIe) I e III

07. Uma telha de um galinheiro quebrou. Em dias chuvosos, uma goteira produz no chão, embaixo da telha quebrada, uma pequena poça de água, a uma distância de 1,85 metros de uma das paredes do galinheiro, conforme a figura a seguir.

Considerando que a espessura da parede é de

15cm e que d é a distância entre o ponto mais

alto do telhado e a quebra da telha, calculando em

metros o valor de (d2 + 20), encontraremos:

a) 20

b) 22

c) 24

d) 26

e) 28

08. Um triângulo equilátero ABC é inscrito em um ciclo

trigonométrico de raio unitário, conforme a figura

abaixo.

Os vértices do triângulo estão nos pontos:

3 1 3 1a) A , , B( 1, 0) e C ,2 2 2 2

3 1 1 3b) A , , B( 1, 0) e C ,2 2 2 2

1 2 1 2c) A , , B( 1, 0) e C ,2 2 2 2

2 2 2 2d) A , , B( 1, 0) e C ,2 2 2 2

1 3 1 3e) A , , B( 1, 0) e C ,2 2 2 2

− −

− −

− −

− −

− −

OS.:5746/12-Juliana

58

09. No triângulo retângulo da figura, AQ = 2 . AP. O valor de sen(–b) é igual a:

2a)

23b)

21c)2

1d)2

3e)2

−

−

−

10. A figura abaixo representa uma estrutura de construção chamada tesoura de telhado. Sua inclinação é tal que, a cada metro deslocado na horizontal, há um deslocamento de 40cm na vertical.

Se o comprimento da viga AB é 5m, das alternativas adiante, a que melhor aproxima o valor do comprimento da viga AC, em metros, é:

a) 5,4b) 6,7c) 4,8d) 5,9e) 6,5

59

ASSUNTO 6lei dos senos, lei dos cossenos, expressão

TrigonoméTrica da área de um Triângulo

1) Leidossenos"Em todo triângulo, as medidas dos lados são

proporcionais aos senos dos ângulos opostos e a razão de proporcionalidade é a medida do diâmetro do círculo circunscrito ao triângulo."

Considerando o triângulo ABC inscrito no círculo de raio R, existem dois casos a considerar, conforme  seja agudo ou obtuso.

Sendo o triângulo BCC' retângulo em C (todo ângulo inscrito em um semicírculo é reto), temos em qualquer caso:

BC = BC' . sen C', ou a = 2R . sen C'

Para  agudo tem-se  = C', (ambos têm por medida a metade do ângulo central correspondente).

Para  obtuso tem-se  = 180° – C, (todo quadrilátero inscritível tem os ângulos opostos suplementares).

Segue-se que, nos dois casos: sen C ' = sen Â.

Portanto: aˆa 2r . senA 2RˆsenA= ⇒ =

Considerando-se os diâmetros que passam por C e por A, de modo análogo, obtém-se:

b c2R e 2Rˆ ˆsenB senC= =

Consequentemente:a b c 2Rˆ ˆ ˆsenA senB senC

= = =

2) Leidoscossenos

"Em todo triângulo, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros lados menos o dobro do produto dessas medidas pelo cosseno do ângulo que eles formam".

Existem dois casos a considerar, conforme  seja agudo ou obtuso.

No triângulo retângulo AC'C temos:

Quando  agudo: AC' = b cos Â

Quando  obtuso: AC' = b cos (180°– Â) = –b

cos Â.

Decorre que, em qualquer caso:

BC' = c – b cos A e h2 = b2 – (b cos Â)2 (I)

No triângulo BC'C temos:

h2 = a2 – BC'2 → h2 = a2 – (c – b cos Â)2 (II)

De (I) e (II), vem:

b2 – (b cos Â)2 = a2 – (c – b cos Â)2

de onde resulta:

a2 = b2 + c2 – 2bc cos Â

Tomando-se as outras alturas do triângulo, de

modo análogo, obtém-se

b2 = a2 + c2 – 2ac cos B

c2 = a2 + b2 – 2ab cos C

3) Fórmulatrigonométricadaárea

Mais uma vez consideremos um triângulo, ABC

de lados a, b e c, respectivamente opostos a A, B e

C, e cuja área vamos representar por S. A área de um

triângulo é igual à metade do produto de dois lados

pelo seno do ângulo que eles formam.

Seja um triângulo ABC de lado a, b e c e altura h

do vértice c sobre o lado AB.

1 1ˆ ˆS .b.c senA S . a . c . senB2 2

1 ˆS . a .b . senC2

= =

=

OS.:5746/12-Juliana

60

Exercícios de Sala

01. Um observador, situado no ponto A, distante 30m do ponto B, vê um edifício sob um ângulo de 30°, conforme a figura abaixo. Baseado nos dados da figura, determine a altura do edifício, em metros, e divida o resultado por 2 .

Dados:

AB = 30m CÂD = 30° CÂB = 75°

A BC = 60°

DCA = 90°

a) 5mb) 6mc) 7md) 8me) 9m

02. Um navio navegando em linha reta passa sucessivamente pelos pontos A, B e C. O comandante, quando o navio está em A, observa o farol em L e calcula o ângulo LÂC como sendo 45º. Após navegar 4 milhas atinge o ponto B quando o ângulo L BC é de 75°. Quantas milhas separam o farol do ponto B?

6a)2

7b)2

8c)2

9d)2

03. Um triângulo ABC é inscrito em um círculo de raio R

centímetros. Se o segmento 2BC 8. cm=p

e o arco BC 90º= , então o valor, em cm2, da área desse círculo é igual a:

a) 8 d) 64b) 16 e) 128 c) 32

04. Os lados AC e CD dos triângulos equiláteros ABC e CED medem, respectivamente, 6m e 3m. Os segmentos AC e CD estão numa reta r, são consecutivos e AD mede 9m. Se os vértices B e E estão no mesmo semiplano determinado por r, então o perímetro, em metros, do quadrilátero ABED, é igual a:

a) 3(6 3)

5b) 3 63

2c) 3 72

2d) 3 84

3e) 3 72

+

+

+

−

+

05. As cidades A, B e C estão situadas em uma região plana. A distância entre A e B é 4km, a distância entre A e C é 10km e o ângulo BAC mede 60°. Pretende-se construir uma escola em um ponto da região plana situado à mesma distância d quilômetros de A, B e C.

O valor de d2 é:a) 76 b) 77 c) 78 d) 80 e) 82

06. Duas viaturas policiais A e B perseguem um carro suspeito C em uma grande cidade. A viatura A possui um radar que informa ao Comando Central que a distância dela até B é de 8km e a distância dela até C é de 6km. A viatura B possui um aparelho que informa ao Comando que, nesse instante, o ângulo A BC é de 45°. Sabendo que o carro C está mais próximo de A do que de B, calcule a distância, em km, entre B e C. A resposta é:

a) 2 3 + 4 d) 3 2 + 3b) 4 2 + 2 e) 2 2 + 4c) 3 2 + 2

61

07. Entre os povos indígenas do Brasil contemporâneo, encontram-se os Yanomami. Estimados em cerca de 9000 indivíduos, eles vivem muito isolados nos estados de Roraima e Amazonas, predominantemente na Serra do Parima. O espaço de floresta usado por cada aldeia yanomami pode ser descrito esquematicamente como uma série de três círculos concêntricos: o primeiro, com raio de 5km, abrange a área de uso imediato da comunidade; o segundo, com raio de 10km, a área de caça individual e da coleta diária familiar; e o terceiro, com raio de 20km, a área das expedições de caça e coleta coletivas, bem como as roças antigas e novas. Considerando que um indivíduo saia de sua aldeia localizada no centro dos círculos, percorra 8km em linha reta até um local de caça individual e, a seguir, percorra mais 8km em linha reta na direção que forma 120° com a anterior, chegando a um local onde está localizada sua roça antiga, a distância do ponto de partida até esse local é:

a) 8 3km

8 3b) km3

c) 3 8km

d) 8 2km

e) 2 8km

08. Sejam A, B, C e N quatro cidades localizadas em uma mesma região plana, conforme mostra a figura a seguir:

a) Pretende-se vacinar as crianças das cidades que estão em uma região circular que passa pelas cidades A, B e N. Encontre o raio dessa região circular.

b) Qual a distância, em quilômetros, entre as cidades N e B?

Exercícios Propostos

01. Cinco cidades, A, B, C, D e E, são interligadas por rodovias, conforme mostra a figura. A rodovia AC tem 40km, a rodovia AB tem 50km, os ângulos x, entre AC e AB, e y, entre AB e BC, são tais que

3 3senx e seny4 7

= = . Deseja-se construir uma

nova rodovia ligando as cidades D e E que, dada a disposição dessas cidades, será paralela a BC.

a) Quantos quilômetros tem a rodovia BC?b) Sabendo que AD tem 30km, determine quantos

quilômetros terá a rodovia DE?

02. As medidas dos lados AB e BC de um triângulo ABC são, respectivamente, 6cm e 12cm, e o ângulo entre eles é 120°. A medida, em cm, da bissetriz do ângulo é igual a:

a) 5 b) 4 c) 3 d) 2

03. Três ilhas A, B e C aparecem em um mapa, em escala 1:10.000, como na figura. Das alternativas, a que melhor aproxima a distância entre as ilhas A e B é:

a) 2,3km b) 2,1 km c) 1,9km d) 1,4km e) 1,7km

04. Em escolas infantis, é comum encontrar um brinquedo chamado escorregador, constituído de uma superfície plana inclinada e lisa (rampa), por onde as crianças deslizam, e de uma escada. No pátio da escolinha Casa Feliz, há um escorregador, apoiado em um piso plano e horizontal, cuja escada tem 8 degraus espaçados de 25cm e forma um ângulo de 60° com o piso.

OS.:5746/12-Juliana

62

O comprimento da rampa, sabendo-se que ela forma com o chão um ângulo de 45°, é de:

a) 3m

b) 6m

c) 2 2m

d) 2 3m

e) 2 6m

05. As páginas de um livro medem 1 dm de base e

1 3dm+ de altura. Se este livro foi parcialmente aberto de tal forma que o ângulo entre duas páginas seja 60°, a medida do ângulo a, formado pelas diagonais das páginas, será:

a) 15° b) 30° c) 45°d) 60°e) 75°

06. Um triângulo ABC apresenta lados a, b e c. Sabendo que B e C são, respectivamente, os

ângulos opostos aos lados b e c, o valor de ˆtgBˆtgC

é:2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

a b ca)a b ca b cb)a b ca b cc)a b cbd)c

− ++ −

+ −− +

− ++ −

07. Dado um triângulo ABC, em que é satisfeita a

relação cos A cosB cosC aa b c bc

+ + = . O valor da

expressão sen – cos2 é:

a) 1 d) 4b) 2 e) 5c) 3

08. Uma empresa, ao construir uma linha férrea, acaba

por deparar-se com uma nascente de água e seu

curso será alterado para garantir um custo menor

de construção (figuras 1 e 2).

Sabe-se que o aumento do custo de construção

depende da diferença entre a distância efetiva de

construção (soma das distâncias dos segmentos

AC e BC) e a distância inicialmente planejada

(medida do segmento AB). O valor encontrado

pela construtora nessa diferença de percurso, em

km, é:

a) 5( 3 1)

b) 5(2 3)

c) 10( 3 1)

d) 10(2 3)

e) 10(3 3)

−

−

−

−

−

09. Dois terrenos, T1 e T2 , têm frentes para a rua R e

fundos para a rua S, como mostra a figura. O lado

BC do terreno T1 mede 30m e é paralelo ao lado

DE do terreno T2 . A frente AC do terreno T, mede

50m e o fundo BD do terreno T2 mede 35m. Ao

lado do terreno T2 há um outro terreno, T3, com

frente para a rua Z, na forma de um setor circular

de centro E e raio ED.

Determine:

a) as medidas do fundo AB do terreno T1 e da frente CE do terreno T2.

b) a medida do lado DE do terreno T2 e o perímetro do terreno T3.

63

10. O desenho a seguir é um esboço da planta de um pavilhão redondo que será construído em uma feira, obedecendo às seguintes condições:

• o pavilhão terá um raio de 20m;• o arcoAB medirá 3 da circunferência; • os visitantes circularão por duas "ruas", AC e

BC , de mesmo comprimento.

Qual será o comprimento aproximado de cada "rua"?

OS.:5746/12-Juliana

64

ASSUNTO 7função seno, cosseno e TangenTe

1) Funçãoseno

Considere o círculo abaixo.

Lembre-se que:a) Para todo x real –1 ≤ sen x ≤ 1.b) O eixo da ordenada (eixo y) representa a

função seno. c) A função seno é ímpar → sen (–x) = –sen (x).

Gráficodafunçãoseno

Vamos, agora, construir o gráfico e estudar as propriedades da função f(x) = senx, destacando o intervalo [0, 2p].

Dada a função de A em B:

Observamos que a função de A em B representa f(x) = sen x no intervalo [0, 2p] correspondente no ciclo trigonométrico.

A partir desses valores, podemos construir o seguinte gráfico:

Note que a função seno satisfaz as condições:

sen (2p + x) = senx

sen (4p + x) = senx

sen (6p + x) = senx

sen (k . 2p + x) = sen x, com k ∈ Z.

O menor número positivo p tal que (p + x) = senx é p = 2p. Por isso, dizemos que a função seno é periódica e seu período é 2p.

2) Funçãocosseno

De acordo com o ciclo trigonométrico estudado nas aulas anteriores, podemos afirmar que:

• Para todo x real –1 ≤ cos x ≤ 1.

• O eixo da abscissa (eixo x) representa a função cosseno.

• A função cosseno é par → cos(–x) = cosx

Gráficodafunçãocosseno

Sabemos que na trigonometria a expressão cosseno é o complemento do seno. Isto é, o

cos x sen x2p = −

; então o gráfico y = cos x é o

gráfico da função y = sen x2p −

.

Agora veja que o gráfico da função y = cosx é:

D = R;

Im = {y ∈ R | –1 ≤ y ≤ 1); p = 2p

65

3) Funçãotangente

Na circunferência trigonométrica abaixo, seja P o ponto associado a um número real x; T é o ponto de interseção da reta OP com o eixo Az. Sabemos que a ordenada AT, do ponto T, é a tangente do arco de medida algébrica x, enquanto que OP1, e OP2 são, respectivamente, o seno e o cosseno desse mesmo arco.

Lembrando que, se o ponto P coincidir com B ou com B', isto é, se x = p/2 + kp, nãoexisteatangente. Excluindo esses pontos, temos, associado ao número real x, um único número real tg x, que sabemos ser igual ao quociente entre sen x e cos x.

Fica, então, definida uma função f de

k , k2p − + p ∈

R Z em R, para a qual

senxf(x) tgx e tgxcos x

= =

Deve ser notado que o domínio da função tangente é:

D x | x k , k2p = ∈ ≠ + p ∈

R Z

no qual estão excluídos os reais x para os quais cos x = 0.

Vimos, também, que a tangente pode assumir qualquer valor real, assim,

Im(f) = R

Gráficodafunçãotangente

Observando, inicialmente, que para todo x do domínio D da função tgx = tg(x + p) = tg(x + 2p) = tg(x + 3p) = ... = tg(x + kp), k e Z, veremos que a função tangente é periódica e seu período é p = p. Vamos verificar isto fazendo:

tgx tg(k ) tgx 0tg(x k ) tgx1 tgx.tg(k ) 1 tgx.0

+ p ++ p = = =

− p −

Pela definição dada, temos T = kp, de onde

tiramos, para k = 1, o período p da função tangente.

Construiremos, então, o gráfico de f(x) = tg x no

intervalo ;2 2p p −

e, em seguida, o ampliaremos para

o domínio D.

x –p/2 – p/4 0 p/4 p/2y ∃ –1 0 1 ∃

D x | x k , k2p = ∈ ≠ + p ∈

R Z

Im = R; p = p

As retas verticais que passam pelos pontos...,

3 5, , ,2 2 2 2p p p p

− , ... não têm ponto comum com o

gráfico, e quando x se aproxima indefinidamente de

uma dessas retas, a distância entre ela e o gráfico

tende a zero.

Essas retas são chamadas assíntotasverticais

do gráfico.

OS.:5746/12-Juliana

66

Exercícios de Sala

01. A partir da zero hora de cada dia, a pressão p, em bares, de uma caldeira é controlada automaticamente, variando com o t, em horas, de acordo com a função

f(t) = 300 + 200 . sen t 12

:

a) Qual é a pressão máxima dessa caldeira?b) Qual é o primeiro horário, após a zero hora, em

que a caldeira atinge a pressão máxima?

02. Em uma pequena cidade, um matemático modelou a quantidade de lixo doméstico total (orgânico e reciclável) produzida pela população,

mês a mês, durante um ano, através da função

f(x) = 200 + (x + 50) cos 3

43

x

, em que

f(x) inidica a quantidade de lixo, em toneladas,

produzida na cidade no mês x, com 1 ≤ x ≤ 12, x

inteiro positivo. Sabendo que f(x), nesse período,

atinge seu valor máximo em um dos valores de x no

qual a função cos 3

43

x

atinge seu máximo,

determine o mês x para o qual a produção de

lixo foi máxima e quantas toneladas de lixo foram produzidas pela população nesse mês.

03. Podemos supor que um atleta, enquanto corre, balança cada um de seus braços ritmicamente (para frente e para trás) segundo a equação

y = f(t) = 9

83

34

sen t

, em que y é o ângulo

compreendido entre a posição do braço e o eixo

vertical

9 9

y e t é o tempo medido

em segundos, t ≥ 0. Com base nessa equação,

determine quantas oscilações completas (para frente e para trás) o atleta faz com o braço em 6 segundos.

04. No hemocentro de um certo hospital, o número de doações de sangue tem variado periodicamente. Admita que, neste hospital, no ano de 2001, este número, de janeiro (t = 0) a dezembro (t = 11), seja dado, aproximadamente, pela expressão

S(t) = λ – cost

16

com λ uma constante

positiva, S(t) em milhares e t em meses, 0 ≤ t ≤ 11. Determine:

a) a constante λ, sabendo que no mês de fevereiro houve 2 mil doações de sangue;

b) em quais meses houve 3 mil doações de sangue.

05. (AFA) Se a curva da figura abaixo representa o gráfico de um período da função y = a + b . cos(cx), (a, b, c ∈ r), então, o valor da área hachurada é:

a

b

c

d

) . .

) .

) .

) .

13

1 3

12

3 1 3

1 3

. 1+ 3

06. Do solo, você observa um amigo numa roda gigante. A altura h em metros de seu amigo em relação ao solo é dada pela expressão

h(t) = 11,5 + 10sen 12

26t

, em que o tempo

t é dado em segundos e a medida angular em radianos.

a) Determine a altura em que seu amigo estava quando a roda começou a girar (t = 0).

b) Determine as alturas mínima e máxima que seu amigo alcança e o tempo gasto em uma volta completa (período).

67

07. O número de turistas de uma cidade pode ser

modelado pela função f(x) = 2,1 + 1,6 senx6

, em

que x representa o mês do ano (1 para janeiro, 2 para

fevereiro, 3 para março, e assim sucessivamente) e f(x) o número de turistas no mês x (em milhares).

a) Determine quais são os meses em que a cidade recebe um total de 1300 turistas.

b) Construa o gráfico da função f, para x real, tal que x ∈ [1, 12], e determine a diferença entre o maior e o menor número de turistas da cidade em um ano.

08. O período e o domínio da função

f(x) = 4 . tgx3 2

é igual a:

a) p e x ≠ kpb) 2p e x ≠ kp/2 c) 5p e x ≠ 3kpd) 3p e x ≠ 3p + 3kp

09. Sabendo que a < x < b é o conjunto-solução

de um arco a existente tal que tg a = xx+ 5 para

a ∈ ]270°, 360°[.

Então o valor de a + b é igual a: a) –1 b) 1c) –5d) 5 e) 0

Exercícios Propostos

01. Um supermercado, que fica aberto 24 horas por dia, faz a contagem do número de clientes na loja a cada 3 horas. Com base nos dados observados, estima-se que o número de clientes

possa ser calculado pela função trigonométrica

f(x) = 900 – 800 sen x . 12

, em que f(x) é o

número de clientes e x, a hora da observação (x

é um inteiro tal que 0 ≤ x ≤ 24). Utilizando essa função, a estimativa da diferença entre o número máximo e o número mínimo de clientes dentro do supermercado, em um dia completo, é igual a:

a) 600b) 800c) 900d) 1.500e) 1.600

Textoparaquestões02,03e04

Uma empresa prevê para os próximos 24 meses (a partir de janeiro de 2001) a quantidade mensalmente vendida de determinado produto por meio da função:

Q = 30 + 4 . sen .t6 2

, em que Q é a quantidade e

t vale 1 para janeiro de 2001, 2 para fevereiro de 2001

e assim por diante.

02. O período da função é:

a) 10 d) 13b) 11 e) 15c) 12

03. Para que valores de t a quantidade é máxima?

a) 12 e 20. b) 12 e 24. c) 12 e 26. d) 12 e 28. e) 12 e 29.

04. Para que valores de t a quantidade é mínima?

a) 0 e 18. b) 0 e 19. c) 0 e 20. d) 0 e 24. e) 6 e 18.

05. Na figura abaixo estão representados os gráficos das funções reais f(x) = cos x e g(x) = log x.

OS.:5746/12-Juliana

68

O valor de x que satisfaz a equação log x = cos x está entre:

a) 0 e 1. d) 2,4 e 3,2. b) 1 e 1,6. e) 3,2 e 4,0.c) 1,6 e 2,4.

06. Uma máquina produz diariamente x dezenas de certo tipo de peças. Sabe-se que o custo de produção C(x) e o valor de venda V(x) são dados, aproximadamente, em milhares de reais, respectivamente, pelas funções:

C(x) = 2 – cosx6

e V(x) = 3 2 sen x12

,0 ≤ x ≤ 6

O lucro, em reais, obtido na produção de 3 dezenas de peças é:

a) 500b) 750 c) 1.000 d) 2.000 e) 3.000

07. O período e a imagem da função

f(x) = 5 – 3cos x

2

, x ∈ r, são, respectivamente:

a) 2p e [–1, 1]. b) 2p e [2, 8]. c) 2p2 e [2, 8]. d) 2p e [–3, 3]. e) 2p2 e [–3, 3].

08. Um edifício tem a forma de um cilindro circular reto. Há uma escada, na forma de espiral, que envolve o edifício desde o chão até a cobertura. Uma pessoa que sobe essa escada tem seu movimento no espaço tridimensional descrito pelas coordenadas abaixo:

x t y sen t e z t

2030

2030

0 1cos , , ,

em que t é o número de degraus que a pessoa já subiu, sendo t = 0 o nível do chão. Sabendo que cada volta completa em torno do prédio por meio dessa escada equivale a subir um andar e que o prédio tem 20 andares, uma pessoa que sobe do chão à cobertura inicia na altura z = 0 e termina na altura:

a) z = 120 b) z = 240 c) z = 600 d) z = 1.200 e) z = 2.400

09. Como a procura por certos produtos é maior em determinados meses e menor em outros, seu preço, durante todo o decorrer de certo ano, variou

segundo a equação N(t) = 120 + 80 . cos πt6

, em

que N é o preço de uma unidade do produto, em

reais, e t é o mês do ano.

Com base nesses dados, analise as afirmativas a seguir. Dado: p ≅ 3,14.

1. O valor máximo obtido pela venda de uma unidade do produto foi de R$ 200,00.

2. O menor valor de venda da unidade do produto ocorreu no nono mês.

3. No oi tavo mês do ano, o produto foi comercializado por R$ 80,00 a unidade.

Está(ão) correta(s):a) 1, apenas. b) 1 e 2, apenas. c) 1 e 3, apenas.d) 2 e 3, apenas.e) 1, 2 e 3.

10. O gráfico seguinte representa um trecho da representação no eixo cartesiano da função f. Em qual dos itens está definida corretamente essa função?

a) f(x) = 1 + sen2xb) f(x) = 1 + 2senx c) f(x) = 2 + sen4xd) f(x) = 2 – 2sen(x + p/2) e) f(x) = 1 – sen(x + p)

11. O período da função dada por

f(x) =1 + 2 . tgx4 6

é igual a:

a

b

c

d

e

)

)

)

)

)

π

π

π

π

π

2

2

4

4

69

ASSUNTO 8mulTiplicação, divisão e Transformação em

produTo de arcos TrigonoméTricos

Fórmulasdoarcoduplo

Vamos resolver o seguinte problema:Calcular sen2x, cos2x e tg2x, conhecendo senx, cosx e tgx.

A solução é imediata se, nas fórmulas:sen(a b) sena.cosb senb.cosacos(a b) cosa.cosb sena.senbcos(a b) cosacosb senasenb

+ = ++ = −− = +

tga tgbtg(a b)1 tga.tgb

++ =

−, fizermos a substituição

a = b = x.

Temos:

a) sen2x = sen(x + x) = senx . cosx + senx . cosx

sen 2x = 2sen x . cos x

b) cos 2x = cos(x + x) = cos x . cos x - sen x . sen x

cos 2x = cos2x - sen2x

c) tgx tgxtg2x tg(x x)1 tgx.tgx

+= + =

−

22tgxtg2x

1 tg x=

−

Note bem!Como cos2x está relacionado com os quadrados

de cosx e senx, podemos obter duas outras expressões muito úteis na solução de exercícios. A primeira é obtida substituindo-se sen2x por 1 – cos2x.

A segunda é deduzida substituindo-se cos2x por 1 – sen2x: cos2x = cos2x – sen2x = (1 – sen2x) – sen2x = 1 – 2sen2x

cos 2x = cos2x-sen2x

Temos então: cos 2x = 2 cos2x – 1

cos 2x = 1 – 2 sen2x

Arco metade

Agora mostrar as fórmulas de arcos metades de a a asen ,cos e tg2 2 2

em função de cosa.

Seno do arco metade: asen2

Partindo da fórmula do arco duplo já conhecida cos2x = 1 – 2sen2x e escrevendo-a convenientemente,

na forma 2x = a, temos: 2x = a →ax2

=Sabendo que:cos2x = 1 – 2 . sen2x

2

2

2

acosa 1 2.sen2

a2sen 1 cosa2a 1 cosa a 1 cosasen sen2 2 2 2

= −

= −

− −= = ⇒ = ±

Cosseno do arco metade: xcos2

Partindo da fórmula do arco duplo cos2x = 2 cos2x – 1 e escrevendo-a convenientemente, na forma 2x = a, temos:

2

2

2 2

a2x a x2

cos2x 2cos x 1acosa 2.cos 12

a a 1 cosa2.cos 1 cosa cos2 2 2a 1 cosacos2 2

= → =

= −

= −

+= + ⇒ = ⇒

+⇒ = ±

Tangente do arco metade: atg2

Partindo das fórmulas de arco metade estudadas anteriormente:

a 1 cosa a 1 cosasen e cos2 2 2 2

− += ± = ±

Obtemos:a 1 cosasen

a a2 2tg tga2 2 1 cosacos2 2

a 1 cosatg2 1 cosa

−± = ⇒ = ⇒ + ±

− ⇒ = ± +

OS.:5746/12-Juliana

70

Transformaçõesdesomaediferençaemproduto

Muitas vezes aplicaremos esses recursos de fatoração estudados, recorrendo para a simplificação de expressões na resolução de equações trigonométricas e outros tipos de problemas, como:

I. sen2x + 5senx = senx . (senx + 5)lI. sen2x – cos2x = (senx + cosx) . (senx – cosx)Vamos deduzir agora as fórmulas para

transformar soma e diferença das expressões como senp ± senq, cosp ± cosq e tgp ± tgq em produtos. De acordo com as fórmulas de soma e diferença de arcos, temos:

I. sen(a + q) = sena . cosq + senq . cosa II. sen(a - q) = sena . cosq – senq . cosa

Fazendo as operações:a) (I) + (II), temos: sen(a + q) + sen(a – q) =

2 . sena . cosq b) (I) – (II), temos: sen(a + q) – sen(a – q) =

2 . senq . cosaAssim, para tornar essas fórmulas mais práticas,

vamos fazer as seguintes mudanças de variáveis, também chamadas de artifíciosmatemáticos.

pq

a + q=a −q=

Resolvendo o sistema, obtemos:p q p qe

2 2+ −

a = q=

Substituindo os respectivos valores encontrados no sistema anterior nas expressões (a) e (b), temos:

a) p q p qsenp senq 2.sen .cos2 2+ − + =

b) p q p qsenp senq 2.sen .cos

2 2− + − =

Fórmulasdereversão

Vamos mostrar aqui como transformar produtos na forma sen a . cos b, sen a . sen b e cos a . cos b em soma ou diferença das razões trigonométricas. Isso será imediato se tomarmos as seguintes fórmulas de Werner:

I. sen(a + b) + sen(a – b) = 2 . sen a . cos b II. cos(a + b) + cos(a – b) = 2 . cos a . cos bIII. cos(a + b) – cos(a – b) = –2 . sen a . sen b

No segundo membro, temos os produtos que desejamos transformar em somas ou diferenças. Basta, agora, reescrevermos essas relações, obtendo, assim, as chamadas fórmulasdereversão.

1sena.cosb sen(a b) sen(a b)21cosa.cosb cos(a b) cos(a b)2

1sena.senb cos(a b) cos(a b)2

= + + −

= + + −

= − + − −

Exercícios de Sala

01. Numa fábrica de cerâmica, produzem-se lajotas triangulares. Cada peça tem a forma de um triângulo isósceles cujos lados iguais medem 10cm, e o ângulo da base tem medida x, como mostra a figura.

a) Determine a altura h(x), a base b(x) e a área A(x) de cada peça, em função de senx e cosx.

b) Determine x, de modo que A(x) seja igual a 50cm2.

02. Um dispositivo colocado no solo a uma distância d de uma torre dispara dois projéteis em trajetórias retilíneas. O primeiro, lançado sob um ângulo q ∈ (0, p/4), atinge a torre a uma altura h. Se o segundo, disparado sob um ângulo 2q, atinge-a a uma altura H, a relação entre as duas alturas será:

a) H = 2hd2/(d2 – h2) b) H = 2hd2/(d2 + h) c) H = 2hd2/(d2 – h)d) H = 2hd2/(d2 + h2)e) H = hd2/(d2 + h)

03. Os símbolos a seguir foram encontrados em uma caverna em Machu Pichu, no Peru, e cientistas julgam que extraterrestres os desenharam.

71

Tais cientistas descobriram algumas relações trigonométricas entre os lados das figuras, como está exposto anteriormente.

Se a b6p

+ = , pode-se afirmar que a soma das áreas

das figuras é igual a:

a) 1 d) 4b) 2 e) 5c) 3

04. (ITA) A expressão trigonométrica

2

2 2 2 2 21 4tg x

(cos x sen x) (1 tg x)−

− − para x ∈ ]0,p/2[,

x ≠ p/4, é igual a:

a) sen(2x) b) cos(2x) c) 1d) 0e) sec(x)

05. (Uece) O valor númerico da expressão

cos15º cos75º sen15º sen75ºksen15º cos15º

+ += + é:

a) 6b) 7c) 8d) 9

06. (Uece) O valor da expressão k = 12 . sen60º 3 sen105º sen75º+ − na sua forma mais simples

é igual a:

a) 10 d) 18b) 12 e) 1c) 16

07. (Revisão) Uma empresa util iza a fórmula tP 200 40sen6 2p p = + +

para estimar a quantidade

vendida mensalmente P de um produto, em que t = 1 representa o mês de janeiro de 2010, t = 2 representa o mês de fevereiro de 2010, t = 3 o mês de março de 2010 e assim por diante. Em quais meses de 2010 estão estimadas as vendas mínima e máxima, respectivamente?

a) outubro e abril.b) setembro e março. c) agosto e fevereiro. d) julho e janeiro.e) Junho e dezembro.

08. (Revisão) Considere a reta de equação r → 4x – 3y + 15 = 0 a senoide de equação y

= senx e o ponto P , 32p =

conforme a figura a

seguir.

A soma das distâncias de P à reta e de P à senoide é:

12 2a)5

13 2b)5

14 2c)5

15 2d)5

16 2e)5

+ p

+ p

+ p

+ p

+ p

Exercícios Propostos

01. O valor de tg35º + tg55º é:

1a)sen70º

2b)sen70º

1c)cos70º

2d)cos70º

02. Um observador, situado no ponto P de um prédio, vê três pontos, Q, R e S, numa mesma vertical, em um prédio vizinho, conforme esquematizado na figura a seguir. P e Q estão num mesmo plano horizontal, R está 6 metros a seguir de Q, e S está 24 metros acima de Q. Verifica-se que o ângulo a do triângulo QPR é igual ao ângulo b do triângulo RPS.

OS.:5746/12-Juliana

72

O valor, em metros, que mais se aproxima da distância entre P e Q é:

a) 8,5 c) 9,4b) 8,8 d) 10,2

03. Se AC = DB = 2 e a é a medida do ângulo BAC,

em que 02p

<a < , então a área do triângulo ABC,

em função de a é:

a) sen sen2

b) sen 2sen(2 )c) cos cos2d) 2sen sen(2 )e) 2cos sen(2 )

a a +

a + aa + a

a + aa + a

04. A circunferência da figura tem raio 2 e centro O.

Se sen10° + cos10º = a, a área do triângulo ABC é igual a:

a) a 2b) 2a2

c) 2a 2d) a2 2e) 2 2

05. (ITA) Um triângulo ABC, retângulo em A, possui área S. Se x = A BC e r é o raio da circunferência circunscrita a este triângulo, então:

2

2

2

22

22

a) S r .cos(2x)b) S r .sen(2x)

rc) S .sen(2x)2rd) S .cos x2re) S .sen x2

=

=

=

=

=

06. O retângulo ABCD está dividido em três quadrados, como mostra a figura seguinte. Nessas condições, pode-se concluir que a + b + q é igual a:

a)2

b)4

c)3

d)6

e)

p

p

p

p

p

07. Um triângulo tem o lado maior medindo 1m e dois de seus ângulos são 27° e 63°. O valor aproximado

para o perímetro desse triângulo, dados 2 =1,4 e cos 18° = 0,95, é de:

a) 1,45m

b) 2,33m

c) 2,47m

d) 3,35m

e) 3,45m

08. Os números reais 5sen , sena, sen12 12p p

formam,

nessa ordem, uma progressão aritmética. Então, o valor de sen a é:

1a)4

3b)62c)

46d)

43e)

2

73

09. (Uece) A expressão 4 4cos sen17 17p p

− é igual a:

a) 1

b) 4.sen .cos17 17

4c) tg17

2d) cos17

p p

p

p

10. Supondo que, em determinada região, a temperatura média semanal T (em °C) e a quantidade de energia solar média semanal Q que atinge a região (em kcal/cm2) possam ser expressas em função do tempo T, em semanas, por meio das funções:

t 15T(t) 10 12.sen 2 . e32

t 11Q(t) 400 200.sen 2 . ,52

− = + p

− = + p

Julgue os itens em verdadeiros (V) ou falsos (F).( ) A maior temperatura média semanal é de

22°C.( ) Na 50a semana, a quantidade de energia

solar média semanal é mínima.( ) Quando a quantidade de energia solar média

semanal é máxima, a temperatura média semanal também é máxima.

OS.:5746/12-Juliana

74

ASSUNTO 9TrigonomeTria (adição e subTração de arcos)

Fórmulasdeadiçãoesubtraçãodearcos:

Cossenodasoma:cos(a+b)

Considere o ciclo trigonométrico abaixo:

Temos:

• O arco AM tem medida a;

• O arco MN tem medida b;

• O arco AN tem medida a + b;• O segmento ON tem medida unitária.

No DONQ, temos:OQ OP QPcos(a b) cos(a b)ON ONOP BC OP BCcos(a b) cos(a b)

ON ON ONOP OC BC NCvamos multiplicar por e por .ON OC ON NC

−+ = ⇒ + = ⇒

−+ = ⇒ + = −

⇒

Então, temos:

cosa cosb sena senb

OP OC BC NCcos(a b) . .ON OC ON NC

OP OC BC NCcos(a b) . .OC ON NC ON

+ = − ⇒

⇒ + = −

Portanto, temos que:cos(a + b) = cosa . cosb – sena . senb

Cossenodadiferença:cos(a–b)

Podemos escrever cos(a – b) na forma cos[a + (–b)] e assim teremos: cos[a + (–b)] cosa . cos(–b) – sena . sen(–b), como cos(–b) = (cosb e sen(–b) = –senb, temos: cos(a – b) = cosa . cosb – sena . (–senb), ou seja:

cos(a–b)=cosa.cosb+sena.senb

Senodasoma:sen(a+b)

Inicialmente, lembremos a seguinte propriedade:

Se dois arcos são complementares, então o seno de um deles é igual ao cosseno do outro.

sen x cos x e senx cos x2 2p p − = = −

Então, observe que os arcos (a + b) e (a b)2p − +

são complementares.

Com isso:

sen(a + b) = cos (a b)2p − +

sena cosa

sen(a b) cos a b)2

sen(a b) cos a .cosb sen a .senb2 2

p + = − − p p + = − + −

Portanto:

sen(a+b)=sena.cosb+senb.cosa

Senodadiferença:sen(a–b)

Temos que:

sen(a – b) = sen[a + (–b)]

sen(a – b) = sena . cos(–b) + sen(-b) . cosa

sen(a–b)=sena.cosb–senb.cosa

Tangentedasoma:tg(a+b)

Para os arcos a e b, com a k , b k2 2p p

≠ + p ≠ + p e

a b k (k )2p

+ ≠ + p ∈Z , temos:

sen(a b) sena.cosb senb.cosctg(a b)cos(a b) cosa.cosb sena.senb

+ ++ = =

+ −

Dividindo o numerador e o denominador por cosa . cosb, temos:

sena.cosb senb.cosacosa.cosbtg(a b)

cosa.cosb sena.senbcosa.cosb

sena senbcosa cosbtg(a b)

sena senb1 .cosa cosb

+

+ =−

++ =

−

tga+tgbtg(a+b)=1- tga.tgb

75

Tangentedadiferença:tg(a–b)

Para os arcos a e b, com a k , b k2 2p p

≠ + p ≠ + p e

a b k (k )2p

− ≠ + p ∈Z , temos:

sen(a b) sena.cosb senb.cosatg(a b)cos(a b) cosa.cosb sena.senb

− −− = =

− +

Dividindo o numerador e o denominador por cosa . cosb, temos:

sena.cosb senb.cosacosa.cosb cosa.cosbtg(a b)cosa.cosb sena.senbcosa.cosb cosa.cosb

−− =

+

−tga tgbtg(a-b)=1+tga.tgb

Dado o triângulo ABC como mostra a figura abaixo:

prove que o sen(a + q) = sena . cosq + senq . cosa por meio das áreas dos triângulos em função do ângulo.

Demonstração:

• 1 2a.h b.hS .sen ; S .sen2 2D D= q = a

• SDABC = S1 + S2

a.b2

a.h.sen( )2

a + q =b.h.sen2

q+ .sen

ab.sen( ) a.b

a

a + q = .cos .sen b.aa q+ .cos .senq a

sen(a + q) = senq . cosa + sena . cosq

Note bem!

• Fórmulasdaadição

O quadrilátero ABCD está inscrito num círculo de raio r. Um lado desse quadrilátero – AD, por exemplo – é diâmetro do círculo.

Observe que:

CDsen2rACcos2rBDsen2rABcos2r

b=

b= a = a =

Observe também que BCsen( )2r

a −b = .

O teorema de Ptolomeu diz que:AD . BC + AB . CD = AC . BD

Assim:

CD 2r.sen

AC 2r.cos

BD 2r.sen

AB 2r.cos

BC 2r.sen( )

= b = b = a = a = a −b

Portanto:2r . 2r . sen(a – b) + 2r . cosa . 2r . senb →→ 2r . cosb . 2r . senaDaí:sen(a – b) = sena . cosb – senb . cosa

Um raciocínio semelhante nos leva às seguintes fórmulas:

sen( b) sen .cos sen .coscos( ) cos .cos sen .sencos( ) cos .cos sen .sen

a + = a b+ b a a +b = a b− a b a −b = a b+ a b

Essas quatro fórmulas de soma e diferença são frequentemente chamadas de fórmulas de Ptolomeu. Por meio delas, matemático grego pôde construir uma tabela trigonométrica.

Tangente da soma de dois arcos

Existindo os valores de tga . tgb e tg(a + b), temos:

sen(a b) sena.cosb senb.cosatg(a b)cos(a b) cosa.cosb sena.senb

+ ++ = =

+ −

sena.cosb senb.cosatga tgbcosa.cosb cosa.cosbtg(a b)

cosa.cosb sena.senb 1 tga.tgbcosa.cosb cosa.cosb

++

+ = =−−

Logo: tga tgbtg(a b)1 tga.tgb

++ =

−

OS.:5746/12-Juliana

76

ExercíciosResolvidos

1. Sabendo que x y6p

+ = , então o valor da expressão

(senx + cosy)2 + (seny + cosx)2 é igual a:

a) 1 d) 4b) 2 e) 5c) 3

Solução(senx + cosy)2 + (seny + cosx)2 = ?

sen2x + 2 . senx . cosy + cos2y + sen2y + 2 . seny . cosx + cos2x = ?

1 + 1 + 2(sen x . cos y + sen y . cos x) = ?

2 + 2 . sen(x + y) = 2 + 2 . sen6p = ?

2 2+12

2 1= + =3

2. A expressão sen(a – b) . sen b + cos(a + b) . cos b é igual a:

a) 2sena d) senbb) sena e) n.d.ac) cosa

Solução:cos(x – y) = cosx . cosy + senx . seny

cos(a b+ b− ) cos(a b).cosb sen(a b).senb= + + + =cosa

3. Se a b b atg(x y) e tg(y z) ;a b a b

− −− − =

+ +a + b ≠ 0, então

tg(x – z) vale:

a) ab d) 1ab) e) 0bbc)a

Solução:tg(x y) tg(y z)tg[(x y) (y z)]

1 tg(x y).tg(y z)

aa b b aa b a btg(x z)a b b a1 .a b a b

− + −− + − =

− − −

− −+

+ +− = =

− −− + +

b− b+ a−

a ba b b a1 .a b a b

0a btg(x z)

a b b a1 .a b a b

+ − −

− + +

+− = ⇒

− −− + +

tg(x - z)=0

4. Se tg(x + y) = 33 e tgy = 3, entãp tgx é igual a:

a) 0,2 d) 0,5b) 0,3 e) 0,6c) 0,4

Solução:tgx tgy 33 tgx 3tg(x y)

1 tgx.tgy 1 1 3tgx+ +

+ = ⇒ =− −

→ tgx + 3 = 33 – 99 tgx → tgx + 99 tgx = 33 – 3 →→ 100tgx = 30 tgx = 0,3

Exercícios de Sala

01. Duas vigas, AB e CB, escoram uma parede vertical de modo que os pontos A e C do solo estão em uma reta horizontal que passa por um ponto D da parede, conforme mostra a figura:

A soma das medidas a e b, em graus, dos ângulos agudos que as vigas formam com o solo é:

a) 45° b) 50° c) 65°d) 35°e) 60°

02. No triângulo MNO, as medidas dos lados MO e NO são, respectivamente, 1m e 2m. Se a medida do ângulo oposto ao lado NO é o dobro da medida do ângulo oposto ao lado MO, então a medida da área do triângulo MNO é igual a:

2

2

2

2

2

a) 2m

2b) m2

c) 1m1d) m21e) m3

77

03. Sejam r e s duas retas paralelas distando entre si 5cm. Seja P um ponto na região interior a estas retas, distando 4cm de r. A área do triângulo equilátero PQR, cujos vértices Q e R estão, respectivamente, sobre as retas r e s, é igual, em cm2, a:

a) 3 15

b) 7 3

c) 5 615d) 327e) 152

04. No triângulo ABC da figura a seguir, sabe-se que:

7 4 3a .c, sen , 90º 180º3 7

= b= <b< . Determine o

valor de a:

a) 30° b) 60° c) 70° d) 45° e) 35°

05. Dada a figura MC CB AB3 4 8

= = , MC = MD, BC ⊥ CD

e AB ⊥ CB, o valor da tgx é igual a:

13a)422b)7

8c)324d)5

17e)9

06. Se sen40º cos40ºPsen20º cos20º

= − , então P2 – 1 é igual a:

a) sen2 20° b) cos2 20° c) tg2 20° d) cotg2 20°

07. Um holofote está situado no ponto A, a 30 metros de altura, no alto de uma torre perpendicular ao plano do chão. Ele ilumina, em movimento de vaivém, uma parte desse chão, do ponto C ao ponto D, alinhados à base B, conforme demonstra a figura abaixo:

Se o ponto B dista 20 metros de C e 150 metros de D, a medida do ângulo CÂD corresponde a:

a) 60° b) 45° c) 30° d) 15°

08. Para combater um incêndio, os bombeiros utilizaram duas escadas AD e BE, que formavam entre si um ângulo de 45°, confrme mostra a figura a seguir.

Considere7tg

17a = e as distâncias AC = 17m e

BC = 5m.

A altura CE do prédio é:a) 12m d) 15m b) 13m e) 16m c) 14m

Exercícios Propostos

01. Se A = 20° e B = 25°, então o valor de (1 + tgA) . (1 + tgB) é:

a) 3b) 2

c) 1 + 2d) 2 . (tgA + tgB)e) 1

OS.:5746/12-Juliana

78

02. Os símbolos abaixo foram encontrados em uma caverna em Machu Picchu, no Peru, e cientistas julgam que extraterrestres os desenharam.

Tais cientistas descobriram algumas relações trigonométricas entre os lados das figuras, como é mostrado anteriormente.

Se a + b = 6p

, pode-se afirmar que a soma das

áreas das figuras é igual a:

a) 1 d) 4b) 2 e) 5c) 3

03. Em um triângulo ABC, sabe-se que o segmento AC mede 2cm. Sejam a e b, respectivamente, os ângulos opostos aos segmentos BC e AC. A área do triângulo é, em cm2, igual a:

a) 2sen2a . cotgb + 2sen2a b) 2sen2a . tgb – sen2a c) 2cos2a . cotgb + sen2ad) 2cos2a . tgb + sen2ae) 2sen2a . tgb – cos2a

04. Considerando o sistema 2t

x y

senx seny log

+ = p

+ =,

podemos afirmar que t pode assumir o valor de:

a) 11 d) –0,05b) 11,5 e) 7 c) 0,05

05. Na figura abaixo, EFG é um triângulo retângulo, EF = 2cm, EG = 6cm e EP = PQ = QG. Então a + b + q é igual a:

a)37b)184c)9

d)2

p

p

p

p

06. No paralelogramo ABCD abaixo, tem-se que AD = 3 e DÂB = 30°. Além disso, sabe-se que o ponto P pertence ao lado DC e à bissetriz do ângulo DÂB.

a) Calcule AP.b) Determine AB sabendo que a área do

quadrilátero ABCP é 21.

07. Sabe-se que um dos ângulos internos de um triângulo mede 120°. Se os outros dois, x e y, são

tais que cos x 1 3cos y 2

+= , o módulo da diferença entre

as medidas de x e y é:

a) 5° d) 25°b) 15° e) 30°c) 20°

08. As medidas dos ângulos internos a, b, ϕ, ψ de um quadrilátero convexo estão em progressão aritmética, sendo 45° a menor medida. O valor da soma sena + senb + senϕ + senψ é:

a) 2 3 6

2 3 6b)2

3 2 6c)2

d) 3 2

+

+

+

09. Considere a sequência de segmentos AaA1, A1A2, A2A3,... como na figura a seguir, na qual cada segmento é perpendicular a um lado do ângulo Ô.

Sabendo que 0 1A A = a e Ô = a, os comprimentos de AnAn+1 e L = A0A1 + A1A2 + A2 A3 + ... + An An+1, + ... são, respectivamente:

nn n

n nn

nn n

n

a aa) a.cos e d) a.cos e1 cos 1 cos

a a.cos ab) a .cos e e) e1 cos n 1 cos

ac) a .cos e1 cos

a a− a − a

aa

− a + a

a− a

79

10. ( C o n s i d e r e a f i g u r a a b a i x o , e m q u e AB = AD = 1, BC = x, AC = y, DE = z e AE = w. Os ângulos DEA, BCA e BFA são retos.

a) Determine o comprimento de AF e de BF em função de x, y, z e w.

b) Determine a tangente do ângulo a em função de x, y, z e w.

11. Se (x; y) é a solução do sistema formado pelas

equações: 1 tgx seny 0 e senx 2 .seny 02

− = − = ,

com: 0 x e y2 2p p

< < < < p .

Então, em radianos, o valor de (x y)12. +p

é igual a:

a) 13 b) 1 c) 10d) 12e) 6

12. Seja b um ângulo agudo tal que 4sen5

b= . Se a é um

ângulo qualquer e

43.sen( ) .cos( )3M

sen

a +b − a +b=

a,

determine 3 .M.

OS.:5746/12-Juliana

80

ASSUNTO 10equações TrigonoméTricas

AsfasesdaLua

As fases da Lua resultam de sua posição em relação aos raios solares. Sendo o Sol (S), a Lua (L) e a Terra (T) os vértices de um triângulo cujas medidas dos lados e dos ângulos estão indicadas na figura a seguir, o seno e o cosseno nos permitem calcular a medida do ângulo i, chamado de ângulo de fase, por meio das equações:

1

1 1

dseni d senDdcosi d d cosD

= = −

Nesta aula, estudaremos a resolução de equações que recaem nas equações simples sen x = a, cos x = a ou tg x = a, após uma série conveniente de simplificações. Não é possível desenvolver uma teoria geral sobre essas equações devido à variedade de tipos que existem. De um modo geral, as simplificações são realizadas com o recurso das fórmulas de adição de arcos, fórmulas de arco dobro, transformação em produto etc. Pelos exercícios resolvidos você encontrará sugestões para a abordagem dos casos mais comuns. Nos demais itens, analisaremos algumas equações clássicas cuja resolução exige certos artifícios especiais.

Equaçãoseno

Dois arcos têm senos iguais → são côngruos ou suplementares.

x 2ksenx sen ou , k

x 2k

=a + p= a → ∈ = p−a + p

Z

ExercícioResolvido

1. Resolva as seguintes equações, para x ∈ R:

2a) senx sen e) senx5 2

2 3b) cossec x cossec f ) senx3 2

c) senx 0 g) senx 11d) senx h) senx 12

p −= =

p= =

= =

= = −

Solução:

a)

x 2k5

senx sen ou5

4x 2k 2k5 5

4S x |x 2k ou x 2k5 5

p = + pp = ⇒ p p = p− + p= + p

p p = ∈ = + p = + p

R

b) 2 1 1cossec x cossec23 senx sen3

2x 2k32senx sen ou

32x 2k3

2S x |x 2k ou x 2k3 3

p= ⇒ = ⇒

p

p = + pp ⇒ = ⇒ p = p− + p

p p = ∈ = + p = + p

R

c) x 0 2k

senx 0 sen0 oux 0 2k

S { x |x k }

= + p= = ⇒ = p− + p

= ∈ = pR

d)

x 2k61senx sen ou

2 6x 2k

65S x |x 2k ou x 2k

6 4

p = + pp = = ⇒ p = p− + p

p p = ∈ = + p = + p

R

e)

5x 2k42 5senx sen ou

2 45x 2k4

5S x |x 2k ou x 2k4 4

p = + p− p

= = ⇒ p = p− + p

p p = ∈ = + p = − + p

R

81

f)

x 2k33senx sen ou

2 3x 2k

32S x |x 2k ou x 2k

3 3

p = + pp = = ⇒ p = p− + p

p p = ∈ = + p = + p

R

g) senx 1 sen , então:2

S x |x 2k2

p= =

p = ∈ = + p

R

h) 3senx 1 sen , então:2

3S x |x 2k2

p= − =

p = ∈ = + p

R

Equaçãocosseno

Dois arcos têm cossenos iguais → são côngruos ou replementares.

x 2kcos x cos ou , k

x 2k

=a + p= a ⇒ ∈ = − a + p

Z

ExercícioResolvido

1. Resolva, em R, as seguintes equações:

a) cos x cos e) cos x 152 1b) sec x sen f ) cos x3 2

2c) cos x 0 g) cos x2

3d) cos x 1 h) cos x2

p= = −

p= =

= =

−= =

Solução:

a) cos x cos x 2k5 5

S x |x 2k5

p p= ⇒ = ± + p

p = ∈ = ± + p

R

b) 2 1 1 2sec x sec cos x cos23 cos x 3cos3

2S x |x 2k3

p p= ⇒ = ⇒ =

p

p = ∈ = ± + p

R

c) cos x 0 cos2

S x |x k2

p= =

p = ∈ = + p

R

d) { }

cos x 1 cos0S x |x 2k

= =

= ∈ = pR

e) { }

cos x 1 cosS x |x 2k

= − = p

= ∈ = p+ pR

f) 1cos x cos2 3

S x |x 2k3

p= =

p = ∈ = + + p

R

g) 2cos x cos2 4

S x |x 2k4

p= =

p = ∈ = ± + p

R

h) 3 5cos x cos

2 65S x |x 2k6

− p= =

p = ∈ = ± + p

R

Equaçãotangente

Dois arcos têm tangentes iguais → são côngruos ou explementares, como mostra a figura abaixo:

x 2ktgx tg ou , k

x 2k

=a + p= a⇒ ∈ = p+ a + p

Z

Podemos colocar que:tg x = tga → x = a + kp, k ∈ Z

OS.:5746/12-Juliana

82

ExercícioResolvido

1. Resolva as equações seguintes:

a) tgx = 1 e) tg2x = 3

b) cotgx = 3 f) tg2x = tgx

c) tgx = – 3 g) tg3x = 1d) tgx = 0 h) tg5x = tg3x

Solução:

a) tgx 1 tg , então:4

S x |x k4

p= =

p = ∈ = + p

R

b) 1cot gx 3 tgx tg , então:63

S x |x k6

p= ⇒ = =

p = ∈ = + p

R

c) 2tgx 3 tg , então:32S x |x k3

p= − =

p = ∈ = + p

R

d)

{ }tgx 0 tg0, então:S x |x k

= =

= ∈ = pR

e) tg2x 3 tg 2x k , então:3 3

kS x |x6 2

p p= = ⇒ = + p

p p = ∈ = +

R

f) { }

tg2x tgx 2x x k , então:S x |x k

= ⇒ = + p

= ∈ = pR

g) tg3x 1 tg 3x k , então:4 4

kS x |x12 3

p p= = ⇒ = + p

p p = ∈ = +

R

h) ktg5x tg3x 5x 3x k x2p

= ⇒ = + p ⇒ =

Notemos que, se k for ímpar, então não existe tg5x e tg3x, portanto:

kS x |x , k par2p = ∈ =

R

Equaçõesnaformafatorada

A propriedade do produto nulo garante que o produto de números reais seja igual a zero se, e somente se, pelo menos um dos fatores for igual a zero. Essa propriedade é muito útil na resolução de equações na forma fatorada, como veremos a seguir.

ExercíciosResolvidos

1. Resolva as equações abaixo, no domínio R:

a) sen2 x = 14

b) sen2x – senx = 0c) 2sen2x – 3senx + 1 = 0d) 2cos2x = 1 – senx

Solução:

a) 1senx , então:2

5x |x 2k ou x 2k6 6S

7ou x 2k ou x 2k6 6

= ±

p p ∈ = + p = + p = p p = + p = − + p

R

b) senx(senx 1) 0 senx 0 ou senx 1, então:

S x |x k ou x 2k2

− = ⇒ = =

p = ∈ = p = + p

R

c) 3 9 8 3 1senx

4 41senx 1 ou senx , então:2

x |x 2k ou x 2k2 6S

5ou x 2k6

± − ±= = ⇒

⇒ = =

p p ∈ = + p = + p = p = + p

R

d) 2 . (1 – sen2x )= 1 – senx → 2sen2x – senx – 1 = 0

Resolvemos: 1 1 8 1 3 1senx 1 ou

4 4 2± + ± −

= = =

recaímos em equações fundamentais

senx 1 x 2k2

1 7senx x 2k oux 2k2 6 6

x |x 2k ou x 2k2 6S

7oux 2k6

p= ⇒ = + p

−p p= − ⇒ = + p = + p

p p ∈ = + p = − + p = p = + p

R

83

2. Resolva as equações a seguir, no conjunto R:

a) 4 . cos2x = 3b) cos2x + cos x =0c) sen2x = 1 + cosxd) cos2x + 3 . cosx + 2 = 0

Solução:

a) 2 3 3 3cos x cos x ou cos x , então4 2 2

5S x |x 2k ou x 2k6 6

= ⇒ = =

p p = ∈ = ± + p = ± + p

R

b) cos x.(cos x 1) 0 cos x 0 ou cos x 1, então

S x |x k , x 2k2

+ = ⇒ = = −

p = ∈ = + p = p+ p

R

c) 1 – cos2x = 1 + cosx → cos2x + cosx = 0 e recaímos no anterior

d) (2 . cos2x – 1) + 3 . cosx + 2 = 0 → 2 . cos2x + 3 . cosx + 1 = 0

3 9 8 3 1cos x cos x 14 41oucos x2

2entãoS x |x 2k ou x 2k3

− ± − − ±= = → = −

= −

p = ∈ = p + p = ± + p

R

3. Resolva as equações abaixo:

a) senx – 3 . cosx = 0b) sen2x = cos2xc) tgx + cotgx = 2d) sec2x = 1 + tgx

Solução:

a) sexsenx 3 .cos x 3 tgx 3cos x

S x |x k3

= ⇒ = ⇒ =

p = ∈ = + p

R

b) 2

2 2 22

sen xsen x cos x 1 tg x 1,cos x

então: tgx 1 ou tgx 13S x |x k ou x k

4 4

= ⇒ = ⇒ =

= = −

p p = ∈ = + p = + p

R

c) 21tgx 2 tg x 2.tgx 1 0tgx

2 4 4tgx 1,então:

2

S x |x k4

+ = ⇒ − + =

± −= =

p = ∈ = + p

R

d) 2 2 2sec x 1 tgx 1 tg x 1 tgx tg x tgx 0tgx.(tgx 1) 0,

então: tgx 0 ou tgx 1

S x |x k ou x k4

= + ⇒ + = + ⇒ − =⇒ − =

= =

p = ∈ = p = + p

R

Resoluçãodeequaçõestrigonométricaspormeiodeequaçõespolinomiais

Equação polinomial é toda equação que pode ser representada por um polinômio igualado a zero.

Exemplos:a) 5t2 – 4t – 1 = 0 (equação do 2o grau)b) 6t3 – 2t2 – 4t = 0 (equação do 3o grau)

Certas equações trigonométricas podem ser resolvidas com o auxílio de uma equação polinomial, bastando para isso uma mudança de variável. Observe os exercícios resolvidos a seguir.

Exercíciosresolvidos

1. Resolva as seguintes equações:

1 3a) sen2x c) sen x2 3 2

2b) sen3x d) sen2x senx2

p = − =

= =

Solução:

a)

2x 2k61sen2x sen ou

2 62x 2k

65S x |x k ou x k

12 12

p = + pp = = ⇒ p = p− + p

p p = ∈ = + p = + p

R

b)

3x 2k42sen3x sen ou

2 43x 2k

42k 2kS x |x ou x

12 3 4 3

p = + pp

= = ⇒ p = p− + p

p p p p = ∈ = + = +

R

OS.:5746/12-Juliana

84

c)

x 2k3 33sen x sen ou

3 2 3x 2k

3 32S x |x 2k ou x 2k3

p p − = + pp p − = = ⇒

p p − = p− + p

p = ∈ = + p = p+ p

R

d)

2x x 2ksen2x senx ou

2x x 2k

2kS x |x 2k ou x3 3

= + p= ⇒ = p− + p

p p = ∈ = p = +

R

2. Resolva as seguintes equações, em R:

3a) cos2x c) cos x 02 6

b) cos2x cos x d) cos x 14

p = + =

p = − =

Solução:

a) 3cos2x cos 2x 2k , então:2 6 6

S x |x k12

p p= = ⇒ = ± + p

p = ∈ = ± + p

R

b) 2x x 2k

cos2x cos x ou , então:2x x 2k

2kS x |x 2k ou x3

= + p= ⇒ = − + p

p = ∈ = p =

R

c) cos x 0 cos x 2k , então:6 2 6 2

2S x |x 2k ou x 2k3 3

p p p p + = = ⇒ + = ± + p

p p = ∈ = + p = + p

R

d) cos x 1 cos0 x 2k , então:4 4

S x |x 2k4

p p − = = ⇒ − = p

p = ∈ = + p

R

3. Resolva a equação 3 . cosx + senx = 1, em R:

Solução:Método 1Fazendo senx = u e cosx = v, temos:

2 2

u v. 3 1

u v 1

+ =

+ =

1

2

De 1 vem u = 1 – v . 3 , que, substituída em 2 , acarreta: (1 – v . 3 )2 + v2 = 1 → 4v2 – 2 3 . v = 0

v 0 u 1 0. 3 1então ou , portanto ou

3 3 1v u 1 . 32 2 2

= = − = = = − = −

Existem, assim, duas possibilidades:

cos x 0, senx 1 e x 2k2

ou

3 1cos x , senx e x 2k2 2 6

p= = = + p

p= = − = − + p

Método 2senx 3 .cos x 1

senx tg .cos x 13

sen3senx .cos x 1

cos3

senx.cos sen .cos x cos3 3 3

x 2k3 61sen x ou

3 25x 2k

3 6

x 2k6

ou

x 2k2

+ = ⇒p

⇒ + = ⇒

p

⇒ + = ⇒p

p p p⇒ + =

p p + = + pp ⇒ + = ⇒ ⇒

p p + = + p

p = − + p⇒ p = + p

Método 32

2 2

2 2

2

2t 1 tsenx 3 .cos x 1 3 .1 t 1 t

2t 3 3 .t 1 t

(1 3)t 2t (1 3) 0

−+ = ⇒ + ⇒

+ +

⇒ + − = + ⇒

⇒ + − + − =

85

Então:

2 4 4(1 3)(1 3) 2 2 3t 12(1 3) 2(1 3)

ou 2 3

± − + − ±= = =

+ +

− +

Existem, assim, duas possibilidades:x xt tg 1, k e x 2k ou2 2 4 2x xt tg 2 3, k e x 2k2 2 12 6

S x |x 2k ou x 2k2 6

p p= = = + p = + p

p p= = − + = − + p = − + p

p p = ∈ = + p = − + p

R

4. Determine x tal que x ∈ R e senx + cosx = 1.

Solução

Fazendo senx = u e cosx = v, temos: 1

22 2

u v 1

u v 1

+ =

+ =

1 em 2 : u2 + (1 – u)2 = 1 → 2u2 – 2u = 0Existem, então, duas possibilidades:u = 0 e v = 1 – u = 1 ou u = 1 e v = 1 – u = 0

portanto S x |x 2k ou x 2k2p = ∈ = + p = p

R

5. Discuta a equação em x: m . senx + cosx = m.

Solução:

Fazendo 2

2 22t 1 tsenx e cos x

1 t 1 t−

= =+ +

, temos:

22 2

2 2

2

2t 1 tm. m 2mt 1 t m mt1 t 1 t

(m 1).t 2mt (m 1) 0

−+ = ⇒ + − = + ⇒

+ +

⇒ + − + − =

Esta última equação tem solução real se, e somente se, apresentar D ≥ 0. Então:

D = 4m2 – 4(m + 1)(m – 1) = 4 ≥ 0, o que ocorre para todo m real.

6. Resolva as equações, em R:

a) sen7x + sen5x = 0 c) sen4x – cosx = 0b) cos6x + cos2x = 0 d) cos3x + sen2x = 0

Solução:a) sen7x + sen5x = 0 → 2 . sen6x . cosx = 0

1ª possibilidade: ksen6x 0 6x k x6p

= ⇒ = p⇒ =

2ª possibilidade: cos x 0 x k2p

= ⇒ = + p

kS x |x ou x k6 2p p = ∈ = = + p

R

b) cos6x + cos2x = 0 → 2 . cos4x . cos2x = 0

1ª possibilidade:

kcos4x 0 4x k x2 8 4p p p

= ⇒ = + p⇒ = +

2ª Possibilidade:

kcos2x 0 2x k x2 4 2k kS x |x ou x

8 4 4 2

p p p= ⇒ = + p⇒ = +

p p p p = ∈ = + = +

R

c) sen4x sen x 02

5x 3x2.sen .cos 02 4 2 4

p − − = ⇒

p p ⇒ − + =

1ª possibilidade:

5x 5xsen 0 k2 4 2 4

2kx10 5

p p − = ⇒ − = p

p p⇒ = +

2ª possibilidade:

3xcos 02 4

p + = ⇒

3x 2kk x2 4 2 6 3

2k 2kS x |x ou x10 5 6 3

p p p p⇒ + = + p⇒ = +

p p p p = ∈ = + = +

R

d) xcos3x cos 2x 02

x 5x2.cos .cos 02 4 2 4

+ − = ⇒

p p ⇒ + − =

1ª possibilidade:

xcos 02 4

x k x 2k2 4 2 2

p + = ⇒

p p p⇒ + = + p⇒ = + p

2ª possibilidade:

5xcos 02 4

5x 3 2kk x2 4 2 10 5

3 2kS x |x 2k ou x2 10 5

p − = ⇒

p p p p⇒ − = + p⇒ = +

p p p = ∈ = + p = +

R

OS.:5746/12-Juliana

86

7. Resolva as seguintes equações, em R:

a) senx + sen3x + sen4x + sen6x = 0

b) cos3x + cos7x = cos5x

Solução:a) (sen6x + sen4x) + (sen3x + senx) = 0 →

→ 2 . sen5x . cosx + 2 . sen2x . cosx = 0 →

→ cosx . (sen5x + sen2x) = 0 →

7x 3x2.cos x.sen .cos 02 2

⇒ =

1ª possibilidade: cos x 0 x k2p

= ⇒ = + p

2ª possibilidade: 7x 2ksen 0 x2 7

p= ⇒ =

3ª possibilidade: 3x 2kcos 0 x2 3 3

p p= ⇒ = +

2kx |x k ou x2 7S2koux

3 3

p p ∈ = + p = = p p = +

R

b) (cos7x + cos3x) – cos5x = 0 →

→ 2 . cos5x . cos2x – cos 5x = 0 →

12.cos5x cos2x 02

→ − =

1ª possibilidade: kcos5x 0 x10 5p p

= ⇒ = +

2ª possibilidade: 1cos2x x k2 6

p= ⇒ = ± + p

kS x |x ou x k10 5 6p p p = ∈ = + = ± + p

R

Exercícios de Sala

01. Sejam a = logcosq, b = logsenq e c = log2 e a + b + c = 0. Se 0° < q < 90°, podemos afirmar corretamente que q está situado entre:

a) 50° e 60°

b) 30° e 40°

c) 40° e 50°

d) 20° e 30°

02. O conjunto-solução da equação sen(2x) + sen(3x) = 0 é:

2ka) x |x ou x 2k ,k5

kb) x |x ou x k ,k53kc) x |x ou x 3k ,k2

kd) x |x ou x k ,k23ke) x |x ou x 3k ,k2

p ∈ = = p + p ∈

p ∈ = = p + p ∈

p ∈ = = p + p ∈

p ∈ = = p + p ∈

p ∈ = = p + p ∈

R

R

R

R

R

Z

Z

Z

Z

Z

03. No intervalo: 0 x2p

≤ ≤ , a solução da equação 4 .

sen3x – cos3x é dada pelo conjunto:

a) , ,2 4 8

b) , ,2 8 12

5c) , ,4 12 12

d) , ,4 8 12

e) , ,4 6 12

p p p

p p p

p p p

p p p

p p p

04. Dada a equação sen2x – senx . cosx – cos2 1x2

= ,

para x ≠ kp + 2p . O valor positivo de tg(x) é:

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

05. Se a equação senx + cosx = k tem solução, então:

a) 1 k 1 1 k 1b) 0 k 1

c) 2 k 2d) 0 k 2e) 2 k 0

− ≤ ≤ − ≤ ≤≤ ≤

− ≤ ≤≤ ≤

− ≤ ≤

87

06. O conjunto-solução da equação: senx . cosx + senx + cos + 1 = 0, para 0 ≤ x ≤ 2p, é:

3a) ,2 2

2b) ,2 3

3c) ,22d) ,

3 33e) ,

3 5

p p

p p

p p

p p

p p

07. A área da região do primeiro quadrante delimitada pelas retas que são soluções da equação cos(x + y) = 0, com 0 ≤ x + y ≤ 2p, é igual a:

a) p2u.a.b) 4p2u.a.c) 3p2u.a.d) 8p2u.a.e) 2p2u.a.

08. Em [0, 2p], o número de soluções reais da equação 3senx + cosx = 2 é:

a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

09. O número de soluções da equação sen4x + cos4x = 1, satisfazendo a condição 0 ≤ x ≤ 2p é:

a) infinitob) 4c) 2d) 1e) 0

10. (ITA) A soma das raízes da equação 3sen2x – 3senx . cosx + 4 cos2x = 3 para x ∈ [0, 2p] é:

20a)6

15b)7

4c)3

d)86e)13

p

p

p

p

p

Exercícios Propostos

01. Obtenha a soma de todos os pares (x, y) com x, y ∈ [0, 2p], tais que:

1sen(x y) sen(x y)2

senx cos y 1

+ + − = + =

a) 6pb) 7pc) 8pd) 9pe) 10p

02. Supondo 0 ≤ q ≤ p, encontre todos os valores de q para os quais cos3q + cos5q = cos4q.

03. No intervalo [0, 2p], a soma das raízes da equação sen3x – 3sen2x . cosx + 3senx. cos2x – cos3x = 0 é:

a)2

b)3c)2

d) 25e)2

p

pp

pp

04. O conjunto de todos os pontos P(x, y) do plano, com y ≠ 0, para os quais x e y satisfazem a

equação 2

ysen 0x 1

= +

é uma:

a) família de parábolas.b) família de circunferências centradas na origem.c) família de retas.d) parábola passando pelo ponto Q(0, 1).e) circunferência centrada na origem.

05. Dada a equação cos2x – 2sec2x = 1, com 0 ≤ x ≤ p, então:

a) x4p

=

b) 3x4p

=

c) x = 0d) não existe x que satisfaça a equaçãoe) n.d.a

OS.:5746/12-Juliana

88

06. Se 0 ≤ x < 2p, determine o número de soluções da equação senx – sen(2x) + 2sen2x – 4sen2x . cosx = 0.

07. Se a é a menor raiz positiva da equação (tgx –1)(4sen2x – 3) = 0, então o valor de sen4a – cos2a é:

5a)16

b) 01c)43d)

21e)2

−

−

08. Se S é a soma das raízes da equação sen2x +

senx = 0, em que 0 ≤ x < 2p, então o valor de 5Sp

é igual a:

a) 12b) 14c) 15d) 18e) 20

09. Encontre as soluções da equação: 9 – 2 . cos2x =

15senx, no intervalo ,2 2p p −

.

10. O número de soluções da equação cos2(x + p) + cos2(x – p) = 1, no intervalo [0, 2p), é igual a:

a) 1 d) 4b) 2 e) 5c) 3

11. Resolva a equação tg2x + sen2x = 3cos2x no intervalo [0, 2p]. A soma de todas as suas raízes nesse intervalo é igual a:

a) 4p c) 2pb) 3p d) p

12. Determine o menor valor real positivo de x para o qual a função real de variável real definida por f(x)

= 7 – cos x3p +

atinja seu valor máximo.

13. Resolva a equação 3(senx cos x)4cos x 2sec x

senx.cos x−

+ = , em R.

89

ASSUNTO 11inequações TrigonoméTricas

Areflexãototaldaluz

As inequações trigonométricas estão presentes no estudo da refração, reflexão e absorção da luz. Por exemplo, quando um raio de luz monocromática se propaga num meio B de índice de refração 2 e atinge a superfície que separa esse meio do ar, para que haja reflexão total da luz, a medida q do ângulo de

incidência deve satisfazer a inequação sen 12

q> .

Métodográficopara a resoluçãode inequaçõesimediatas em seno ou cosseno

Inequações do tipo x > k ou cos x > k (ou com as relações ≥, <, ≤ ou ≠), sendo k uma constante real, são chamadas de inequações imediatas. Para resolvê-las usaremos o método gráfico, como mostram os exercícios resolvidos a seguir.

ExercíciosResolvidos

1. Resolver a inequação2senx

2≥ − , em R.

Procedendo conforme foi indicado, temos:

5 70 2k x 2k ou 2k x 2 2k4 4p p

+ p≤ < + p + p< < p+ p

5x |0 2k x 2k4S

7ou 2k x 2 2k4

p ∈ + p ≤ < + p = p + p< < p+ p

R

Notemos que escrever 7 52k x 2k4 4p p

+ p< < + p

estaria errado, pois, como 7 54 4p p

> , não existe x

algum nesse intervalo.

2. Resolver a inequação1senx2

< , em R.

Procedendo conforme indicado, temos:

0 2k x 2k6

ou5 2k x 2 2k6

p+ p≤ < + p

p+ p< < p+ p

x |0 2k x 2k6

S ou5 2k x 2 2k6

p ∈ + p ≤ < + p = p + p< < p+ p

R

3. Resolver a inequação 30 senx2

≤ < , para x ∈ R.

Solução:

A imagem de x deve ficar na interseção do ciclo

com a faixa do plano compreendida entre r e s.

Temos, então:

20 2k x 2k ou 2k x 2k3 3p p

+ p≤ < + p + p< ≤ p+ p

x |0 2k x 2k3

S ou2 2k x 2k3

p ∈ + p ≤ < + p = p + p< ≤ p+ p

R

OS.:5746/12-Juliana

90

Sistemade inequações trigonométricasemumaincógnita

Um sistema de inequações trigonométricas em uma incógnita é um conjunto de inequações simultâneas.

Exemplo:

1senx2

2cos x2

> ≤

Resolver um sistema de inequações significa encontrar o conjunto dos valores da incógnita que satisfaçam todas as inequações do sistema, simultaneamente.

ExercíciosResolvidos

1. Resolver a inequação 3|senx|2

≥ , em R.

Solução:3senx23|senx| ou

23senx2

≤ −

+ ≥ ⇒ ≥

A imagem de x deve ficar na interseção do ciclo com o semiplano situado abaixo de r e com o semiplano situado acima de s. Assim temos:

2 4 52k x 2k ou 2k x 2k3 3 3 3p p p p

+ p≤ ≤ + p + p≤ ≤ + p

2 4 5S x | 2k x 2k ou 2k x 2k3 3 3 3p p p p = ∈ + p ≤ ≤ + p + p≤ ≤ + p

R

2. Resolver a inequação 2sen2x < sen x, para x ∈ R.

Solução:

2 2 12sen x senx 2sen x senx 0 0 senx2

< ⇔ − < ⇔ < <

Examinando o ciclo trigonométrico, obtemos:

52k x 2k ou 2k x 2k6 6p p

p< < + p + p< < p+ p

5S x |2k x 2k ou 2k x 2k6 6p p = ∈ p < < + p + p< < p+ p

R

3. Resolver a inequação3cos x2

> , para x ∈ R.

Procedendo conforme foi indicado, temos:

112k x 2k ou 2k x 2 2k6 6p p

p≤ < + p + p< < p+ p

11S x |2k x 2k ou 2k x 2 2k6 6p p = ∈ p ≤ < + p + p< < p+ p

R

Resoluçãodeinequaçõestrigonométricaspormeiodeinequaçõespolinomiais

Chama-se inequaçãopolinomial na incógnita x toda inequação que pode ser colocada em uma das formas P(x) > 0, P(x) ≥ 0, P(x) < 0, P(x) ≤ 0, P(x) ≠ 0, em que P(x) é um polinômio.

Exemplos:

a) x2 – 5x + 6 > 0 (inequação do 2o grau)

b) x3 – 4x2 + 3x ≤ 0 (inequação do 3o grau)

Certas inequações trigonométricas podem ser resolvidas por meio de inequações polinomiais auxiliares, bastando para isso uma mudança de variável. Resolveremos algumas como modelos.

91

ExercíciosResolvidos

1. Resolver a inequação1cos x2

< − .

Procedendo conforme foi indicado, temos:

2 42k x 2k3 3p p

+ p< < + p

2 4S x | 2k x 2k3 3p p = ∈ + p < < + p

R

2. Resolver a inequação 3 cos x 02

− ≤ ≤ , para x ∈ R.

Solução:

A imagem de x deve ficar na interseção do ciclo com a faixa do plano compreendida entre r e s. Temos, então:

3S x | 2k x 2k2 2p p = ∈ + p ≤ ≤ + p

R

3. Resolver a inequação cos2x + cosx ≤ – 1, para x ∈ R.

Solução:2

2

cos2x cos x 1 (2cos x 1) cos x 112cos x cos x 0 cos x 02

+ ≤ − ⇔ − + ≤ − ⇔

⇒ + ≤ ⇔ − ≤ ≤

Examinando o ciclo trigonométrico, obtemos:

2x | 2k x 2k2 3

S ou4 32k x 2k3 2

p p ∈ + p ≤ ≤ + p = p p + p≤ ≤ + p

R

4. Resolver a inequação 2senx cos x2

+ ≥ , para x ∈ R.

Solução:2 2senx cos x senx sen x

2 2 2

2 12.sen .cos x cos x4 4 2 4 2

p + ≥ ⇔ + − ≥ ⇔

p p p ⇔ − ≥ ⇔ − ≥

Fazendo x y4p

− = , temos a inequação 1cos y2

≥ .

Examinando o ciclo, vem:52k y 2k ou 2k y 2 2k

3 3p p

p≤ ≤ + p + p≤ < p+ p

5. Determinar o domínio da função real f dada por cos2xf(x)cos x

= , em R.

Solução:

I. Devemos ter cos2x 0cos x

≥

II. Fazendo cosx = y, temos: 2cos2x 2y 10 0

cos x y−

≥ ⇔ ≥

III. Fazendo o quadro de sinais:

concluímos que o quociente é positivo para:2 2y 0 ouy

2 2− ≤ < ≥

IV. Examinando o ciclo trigonométrico, temos:32k x 2k

2 42 cos x 0 ou2

5 32k x 2k4 2

2k x 2k42cos x ou

27 2k x 2 2k4

p p + p < ≤ + p

− ≤ < ⇔ p p + p≤ < + p

p p ≤ ≤ + p

≥ ⇔ p + p≤ ≤ p+ p

3x | 2k x 2k ou2 4

5 3S 2k x 2k ou4 2

72k x 2k ou 2k x 2 2k4 4

p p ∈ + p < ≤ + p

p p = + p≤ < + p

p p p≤ ≤ + p + p≤ ≤ p+ p

R

OS.:5746/12-Juliana

92

6. Resolver a inequação tgx > 1, em R.

Procedendo conforme foi indicado, temos:

5 32k x 2k ou 2k x 2k4 2 4 2p p p p

+ p< < + p + p< < + p

que podem ser resumidos em: k x k4 2p p

+ p< < + p

S x | k x k4 2p p = ∈ + p < < + p

R

7. Resolver a inequação |tgx| ≤ 1, para x ∈ R.

Solução:|tgx| ≤ 1 ⇔ –1 ≤ tgx ≤ 1

A imagem de x deve ficar na interseção do ciclo com o ângulo rÔs. Temos, então:

3 50 2k x 2k ou 2k x 2k ou4 4 4

7 2k x 2 2k4

p p p+ p≤ ≤ + p + p≤ ≤ + p

p+ p≤ < p+ p

x | 2k x 2k ou4

3 5S 2k x 2k ou4 4

7 2k x 2 2k4

p ∈ p≤ ≤ + p

p p = + p≤ ≤ + p

p + p≤ < p+ p

R

Exercícios de Sala

01. Um mastro vertical localizado em um terreno plano e horizontal corre o risco de ser derrubado pelo vento. Por isso, alguns cabos de aço, esticados a partir de certos pontos do solo, serão presos ao mastro a uma altura de 3m. Por uma questão de segurança, o comprimento do cabo deve ser superior a 6m. Quais são as medidas possíveis de um ângulo agudo formado por um cabo e o solo?

02. Uma escada de 4m de comprimento será apoiada em um ponto A de um piso plano e horizontal e em um ponto B de uma parede vertical. A distância do ponto A à parede pode variar de, no mínimo, 2 2m a, no máximo, 2 3m. As possíveis medidas a do ângulo agudo que a escada formará com o piso são tais que:

a) 30° ≤ a ≤ 45° b) 30° ≤ a ≤ 60ºc) 45° ≤ a ≤ 60°d) 45° ≤ a ≤ 90°e) 60° ≤ a < 90°

03. Do topo de um farol vertical AB de 60m de altura, um barco C é avistado sob um ângulo de medida x, em graus, em relação à vertical.

a) Esboce na f igura dada um esquema representando essa situação.

b) Admitindo que a reta AC seja horizontal, determine as possíveis medidas x para que a distância entre o barco e o ponto A seja maior que 20 3m.

93

04. A inequação 4 . sen2x – 2 . (1 + 2) senx + 2 < 0 tem uma solução x, tal que:

a) 45º < x < 60ºb) 0º < x < 30ºc) 30º < x < 45ºd) 60º < x < 75º

05. Considere a equação x2 – 2 . cosq . x + 1 = 0, com 0 ≤ q ≤ p. O valor da soma dos possíveis valores de q para os quais esta equação admite raízes reais é igual a:

a)2

b)3c)2

d) 2

e)4

p

pp

pp

Exercícios Propostos

01. Seja A = {q ∈ R| 0 ≤ q ≤ 2p} o domínio da função f(q) = –3. senq – 2 . cos2q + 3. Para quais valores do domínio vale a desigualdade f(q) < 0?

5a) ,6 6

5b) ,6 6

5c) ,3 3

7d) ,6 6

p p

p p

p p

p p

02. Dado o polinômio P definido por P(x) = senq – (tgq) . x + (sec2q) . x2, os valores de q no intervalo [0, 2q] tais que P admita somente raízes reais são:

a) 02

b) ou2 2

3 3c) ou 22 2

d) 033e)

2 2

p≤q≤

p p<q< p p<q<

p pp≤q< <q≤ p

p≤q≤

p p≤q<

03. Qual a solução da inequação cosx + senx < 2 no

conjunto dos números reais?

04. O conjunto-solução da inequação:

cos2x – sen2x – senx > 0, no intervalo 3,2 2p p

, é:

3a) x | x2 25 3b) x | x6 2

5c) x | x62 3d) x | x3 2

p p ∈ < <

p p ∈ < <

p ∈ < < p

p p ∈ < <

R

R

R

R

05. O conjunto-solução da inequação |3tgx| ≥ 3, para

0 ≤ 2x ≤ 2p, é:

5a) x |k x k , k6 6

5b) ,6 6

5c) , ,6 2 2 6

5d) S x | x e x k , k6 6 4

5 7 11e) , ,6 6 6 6

p p ∈ p+ ≤ ≤ + p ∈

p p

p p p p ∪ p p p = ∈ ≤ ≤ ≠ + p ∈

p p p p ∪

R Z

R Z

06. A solução da inequação 2 . cos2 x > cos x no

intervalo [0, p] é:

a) 0 x ou x4 2

2b) 0 x ou x3 3

2c) 0 x ou x6 32d) x

4 3e) n.d.a

p p≤ < < ≤ p

p p< ≤ ≤ < p

p p< < < < p

p p< <

07. Resolva a inequação 1 – senx ≥ cos2x no conjunto

universo U = R.

OS.:5746/12-Juliana

94

08. Resolva o sistema de inequações simultâneas 1 1senx e cos x2 2

≥ − < − no conjunto universo

U = [0, 2p].

2 7a) x | x3 6

2 7b) x | x3 62 7c) x | x3 6

d) x | x6 3

p p ∈ ≤ ≤

p p ∈ < <

p p ∈ < ≤

p p ∈ < <

R

R

R

R

09. O conjunto-solução da inequação sen2x > cosx no conjunto universo U = [0, 2p].

10. Sejamf e g funções reais de variáveis reais, tais

que f(0)2p

= , g(y) = cosy e a composta (gof)(x) =

–2 . senx . cosx. Calcule o valor de 1 9.f4p

p .

11. Se U e V conjuntos-solução das inequações 2cosx ≤ 1 e 2senx < 1, respectivamente, no intervalo 0 ≤ x ≤ 2p. Então U ∩ V é o intervalo:

5a) x3 35 5b) x6 3

c) x 235d) x 26

p p< ≤

p p< ≤

p< ≤ p

p< < p

12. Para 0 ≤ x ≤ p, o conjunto-solução da inequação

tg(2x ) 14p

+ > é:

a) S x | 0 x85b) S x | x

2 85c) S x | 0 x ou x

8 2 8d) S

p = ∈ < <

p p = ∈ < <

p p p = ∈ < < < <

=∅

R

R

R

95

Gabaritos

ASSUNTO 1

01 02 03 04 05 06a c a c d d07 08 09 10d e c d

ASSUNTO 2

01 02 03 04 05 06b b c b d *07 08 09 10b e c *

06. a 3m

b 3 2m

−

−

10. a 100cmb 30º

− −

ASSUNTO 3

01 02 03 04 05 06a a b b e d07 08 09 10e d c d

ASSUNTO 4

01 02 03 04 05 06e b c c c c07 08 09 10c b b e

ASSUNTO5

01 02 03 04 05 06a e e e c b07 08 09 10e e b a

ASSUNTO 6

01 02 03 04 05 06* b e b b b

07 08 09 10b e * 34m

01. a) 70km b) 42km

09. a) 25m b) 15(6 + p)m

ASSUNTO 7

01 02 03 04 05 06e c b e c c07 08 09 10 11c a c b d

ASSUNTO 8

01 02 03 04 05 06b a d a b a07 08 09 10b d d *

10. (V, V, F)

ASSUNTO 9

01 02 03 04 05 06

07 08 09 10

ASSUNTO 10

01 02 03 04 05 06b * c a d *

07 08 09 10 11 12c c * d a *

13*

02. 3 5 7, , , e8 8 8 8 3p p p p p

06. seis soluções

12. 23p

09. 6p

13. 3x k4p

= + p

ASSUNTO 11

01 02 03 04 05 06a c * b c a

07 08 09 10 11 12* c * 5 b c

03. S x | x 2k , k4p = ∈ ≠ + p ∈

R R

07. S x | x 2k ou 2k x 2 2k , k2p = ∈ = + p p+ p≤ ≤ p+ p ∈

R Z

09. 5 3S x | x ou x6 2 6 2p p p p = ∈ − < < < <

R

OS.:5746/12-Juliana

96

Prof. Fábio Frota

CURSO

DE

MATEMÁTICA

97

ASSUNTO 1Conjuntos numériCos

I. Conjunto dos números naturais foram descobertos por etapas

O ser humano começou a usar a matemática ao olhar ao seu redor e contar as coisas. Desta forma, a primeira categoria de números imaginada foi a categoria dos números 1, 2, 3, 4 etc. Chamamos estes números de números naturais.

Somente muito mais tarde outras categorias vieram a surgir, como os números fracionários, os irracionais, os negativos e, por fim, os complexos. Teremos a oportunidade de ver toda esta história ao longo dos volumes desta coleção, ligando as histórias de pessoas reais à Matemática, que não deve ser vista como um amontoado de números e fórmulas sem sentido.

O ramo da Matemática que estuda os números naturais se chama aritmética. Ela é a área mais antiga da disciplina e estuda as propriedades deste tipo de números e como estas propriedades podem nos ajudar a resolver diversos problemas.

Hoje, se alguém lhe perguntar se você seria capaz de dividir um pão entre duas pessoas, provavelmente você diria sim. Afinal, basta dividir este pão ao meio e dar cada metade a uma pessoa. Por mais lógico que isso possa parecer, para o homem pré-histórico isto não era uma coisa simples. Não a tarefa de dividir o pão, claro, mas esta ideia de dividir o número 1 por 2, afinal, como poderia ele dividir uma coisa inteira por algo major que ele mesmo? Eles não conheciam os números fracionários.

Para eles, somente era possível as divisões do tipo: 4 divido por 2; 100 dividido por 50, etc. O que há em comum em todos estes casos é que 4 pode ser escrito como 2 x 2, 100 pode ser escrito como 2 x 50. Se pensarmos em outro como 18 e 3, vemos que 18 é divisível por 3, pois 18 = 6 x 3. O que há de comum em todos estes casos é que 4 é múltiplo de 2; 100 é um múltiplo de 50 e 18 um múltiplo de 3, ou seja, o número 2 "cabe" exatamente 2 vezes "dentro" do número 4; o número 50 "cabe" exatamente 2 vezes dentro do "100" e o número 3 "cabe" 6 vezes dentro do 18.

Para dois números naturais x e y, a afirmação x é divisível por y é verdadeira quando x é um múltiplo de y. Ou, num exemplo prático: 12 é divisível por 6 porque 12 é um múltiplo de 6.

Na teoria aritmética, como ainda não existiam os números fracionários ou decimais, com vírgulas, as divisões que não eram exatas eram indicadas deixando como resposta o maior número de vezes

que o divisor "cabia" no dividendo e seu resto. Veja o exemplo do número 7 dividido por 2:

761

23

Neste caso, como a divisão não era exata, dizemos que o quociente é 3 e o resto é 1. Assim o número 7 não é divisível por 2, pois nenhum múltiplo dele "cabe" dentro do 7, sempre sobra ou falta um pedaço.

NÚMEROS NATURAIS

1. NÚMERO E NUMERAL

Número: nos dá uma ideia de quantidade. Numeral: qualquer símbolo que é usado para

representar esta quantidade.

2. SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL

É o sistema que possui dez algarismos e duas regras fundamentais.

Símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

REGRAS:

1) Dez unidades de uma ordem qualquer formam uma unidade de ordem imediatamente superior.

2) Todo algarismo que é escrito à esquerda de outro, representa a unidade de ordem dez vezes maior que a desse outro.

Conjunto dos Números Naturais = {0, 1, 2, 3, 4, ...}

3. DIVISIBILIDADE

Definição: diz-se que um número é divisível por outro, quando a divisão desse número pelo outro é exata, ou seja, o resto é zero.

4. NÚMEROS PRIMOS

Chama-se número primo todo número que só é divisível por si a pela unidade.

Números Primos: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37,...}

OS.:5746/12-Juliana

98

5. NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI

São números que possuem como divisor comum somente o número 1.

6. FATORAÇÃO

É a decomposição de um número em um produto de fatores primos

EXEMPLO: 18 = 2 . 3 . 3 = 2 . 32

7. DETERMINAÇÃO DA QUANTIDADE DE DIVISORES DE UM NÚMERO DADO.

Regra:

a) Fatora-se o númerob) Somamos a unidade a cada expoente c) Multiplicamos o resultado obtido

8. DETERMINAÇÃO DA QUANTIDADE DE DIVISORES ÍMPARES DE UM NÚMERO

É o produto do expoente de fatores ímpares acrescido de uma unidade cada um.

9. DETERMINAÇÃO DA QUANTIDADE DE DIVISORES PARES DE UM NÚMERO

É o produto do expoente de fatores ímpares acrescidos de uma unidade cada um multiplicado ainda pelos expoentes dos fatores pares

10. MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC)

Chama-se máximo divisor comum o maior número que divide dois ou mais números sem deixar resto.

OBSERVAÇÕES:

1) Chamam-se números primos entre si, a dois ou mais números cujo MDC = 1

2) O MDC de dois números, em que um é múltiplo do outro, é o menor deles.

3) O MDC de vários números é o produto de seus fatores primos comuns elevados a seus menores expoentes.

4) É também obtido pelo método das divisões sucessivas.

11. MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM

Mínimo múltiplo comum (MMC) de vários números é o menor número que é divisível por esses números ao mesmo tempo.

IMPORTANTE: O produto de dois números é igual ao produto do MDC pelo MMC entre eles.

A X B = MMC (A, B) X MDC (A, B)

Entenda os meros múltiplos e os divisores comuns

Muito do que foi desenvolvido para os números naturais vale também para os números inteiros. Apesar de a maioria dos problemas envolver sempre valores positivos, isto é, estaremos lidando com os números naturais, podemos estender sua aplicação para os inteiros, que são, além dos naturais", os números negativos como -1, -2, -104, etc. Chamamos de número primo todo número inteiro diferente de 1 (um), que só é divisível por ele mesmo e por 1. Isto é, nenhum outro divide este numero sem deixar resto, exceto 1 e ele próprio.

Exemplos:

1) O número 2 é primo, pois seus divisores são o 1 e o 2.

2) O número 3 é primo, pois seus divisores são o 1 e o 3.

3) O número 21 não é primo, pois 3 e 7 também são divisores de 21.

Fatoração: Todo número inteiro pode ser representado, de maneira única, como o produto de números primos. Este resultado é conhecido como teorema da decomposicão. Para decompormos um número inteiro, seguimos de maneira sistemática, dividindo este número por fatores primos. Começamos pelo 2; quando não for mais divisível por 2 passamos ao 3, e assim por diante, até encontrarmos o número 1.

Vejamos o exemplo:

número fatores primos420210105357

22357

1 420 = 2 x 2 x 3 x 5 x 7

Isto significa que podemos escrever 420 como 2 . 2 . 3 . 5 . 7 = 22 . 3 . 5 . 7

Mínimo múltiplo comum (m.m.c.): Dados dois números inteiros a e b, o mínimo múltiplo comum entre estes dois números m.m.c. (a,b), é o menor número que seja múltiplo de a e b ao mesmo tempo.

99

Para calcularmos o m.m.c., seguimos o método da decomposição, colocando os números a e b na mesma coluna. Para calcular o m.m.c. (6,14) fazemos:

número fatores primos6,143,7

1,7

23

7

1,1 2 x 3 x 7= 42

Assim, 42 é o menor múltiplo entre 6 e 14. Exemplo: Supondo que dois ônibus partem do

terminal central pela manhã juntos às 6:00, e que o primeiro tenha um percurso que leva 45 minutos para ser percorrido enquanto o segundo demora 60 minutos, determine de quanto em quanto tempo estes ônibus voltam a sair juntos deste terminal.

Para resolver este problema, basta calcularmos o menor múltiplo comum entre 45 e 60. Temos m.m.c. (45,60) = 180. Portanto, estes ônibus saem juntos do terminal a cada 180 minutos.

Máximo divisor comum (M.D.C.): Dados dois números inteiros a e b, o máximo divisor comum entre estes dois números, M.D.C. (a,b), é o maior número que divide a e b ao mesmo tempo. Para calcularmos o M.D.C. entre dois números, fazemos a decomposição de cada um e identificamos quais os fatores primos que se encontram na decomposição de ambos. O produto de todos estes fatores e o M.D.C. Veja o exemplo:

Para calcularmos o M.D.C. (10, 65): Decompomos 10: 10 = 2.5 Decompomos 65 : 65 = 5 . 13 Como 5 é o fator comum, M.D.C. (10,65) = 5

Para calcularmos o M.D.C. (9,72): Decompomos 9: 9 = 3.3 = 32

Decompomos 72 : 72 = 2 . 2 . 2 . 3 . 3 = 23 . 32

Como 32 (ou 9) é o fator comum, temos que M.D.C. (9,72) = 9

Exercícios de Sala01. (Enem 2010) A classificação de um país no quadro

de medalhas nos Jogos Olímpicos depende do número de medalhas de ouro que obteve na competição, tendo como critério de desempate o número de medalhas de prata seguido do número de medalhas de bronze conquistados. Nas

Olimpíadas de 2004, o Brasil foi o décimo sexto colocado no quadro de medalhas, tendo obtido 5 medalhas de ouro, 2 de prata e 3 de bronze. Parte desse quadro de medalhas é reproduzido a seguir.

Classifi-cação País Medalhas

de ouroMedalhas de prata

Medalhas de bronze

Total deMedalhas

8° Itália 10 11 11 32

9° Coreia do Sul 9 12 9 30

10° Grã-Bretanha 9 9 12 30

11° Cuba 9 7 11 27

12° Ucrânia 9 5 9 23

13° Hungria 8 6 3 17

Disponivel em: http://www.quadroademedalhas.com.br. Acesso em: 05 abr. 2010 (adaptado).

Se o Brasil tivesse obtido mais 4 medalhas de ouro, 4 de prata e 10 de bronze, sem alterações no número de medalhas dos demais países mostrados no quadro, qual teria sido a classificação brasileira no quadro de medalhas das Olimpíadas de 2004?

a) 13o

b) 12o c) 11o

d) 10o

e) 9o

02. (Enem 2009) Joana frequenta uma academia de ginástica onde faz exercícios de musculação. O programa de Joana requer que ela faca 3 séries de exercícios em 6 aparelhos diferentes, gastando 30 segundos em cada série. No aquecimento, ela caminha durante 10 minutos na esteira e descansa durante 60 segundos para começar o primeiro exercício no primeiro aparelho. Entre uma série e outra, assim como ao mudar de aparelho, Joana descansa por 60 segundos.

Suponha que, em determinado dia, Joana tenha iniciado seus exercícios as 10h30min e finalizado as 11h7min.

Nesse dia e nesse tempo, Joana:

a) não poderia fazer sequer a metade dos exercícios e dispor dos períodos de descanso especificados em seu programa.

b) poderia ter feito todos os exercícios e cumprido rigorosamente os períodos de descanso especificados em seu programa.

c) poderia ter feito todos os exercícios, mas teria de ter deixado de cumprir um dos períodos de descanso especificados em seu programa.

d) conseguiria fazer todos os exercícios e cumpriria todos os períodos de descanso especificados em seu programa, e ainda se permitiria uma pausa de 7 min.

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100

e) não poderia fazer todas as 3 séries dos exercícios especificados em seu programa; em alguma dessas séries deveria ter feito uma série a menos e não deveria ter cumprido um dos períodos de descanso.

03. (Enem 2011) Observe as dicas para calcular a quantidade certa de alimentos e bebidas para as festas de fim de ano:

– Para o prato principal, estime 250 gramas de carne para cada pessoa.

– Um copo americano cheio de arroz rende o suficiente para quatro pessoas.

– Para a farofa, calcule quatro colheres de sopa para cada candidato.

– Uma garrafa de vinho serve seis pessoas. – Uma garrafa de cerveja serve duas. – Uma garrafa de espumante serve três

convidados.

Quantidade certa de alimentos e bebidas evita o desperdício na ceia.

Quem organiza festas faz esses cálculos em cima do total de convidados, independentemente do gosto de cada um.

a) 120 g de carne, 7 copos americanos e meio de arroz,120 colheres de sopa de farofa, 5 garrafas de vinho, 15 de cerveja e 10 de espumante.

b) 120 g de carne, 7 copos americanos e meio de arroz, 120 colheres de sopa de farofa, 5 garrafas de vinho, 30 de cerveja e 10 de espumante.

c) 75 g de carne, 7 copos americanos e meio de arroz, 120 colheres de sopa de farofa, 5 garrafas de vinho, 15 de cerveja e 10 de espumante.

d) 7,5 g de carne, 7 copos americanos e meio de arroz, 120 colheres de sopa de farofa, 5 garrafas de vinho, 30 de cerveja e 10 de espumante.

e) 7,5 g de carne, 7 copos americanos e meio de arroz,120 colheres de sopa de farofa, 5 garrafas de vinho, 15 de cerveja e 10 de espumante.

04. (Enem cancelado 2009) As abelhas domesticadas da América do Norte e da Europa estão desaparecendo, sem qualquer motivo aparente. As abelhas desempenham papel fundamental na agricultura, pois são responsáveis pela polinização (a fecundação das plantas). Anualmente, apicultores americanos alugam 2 milhões de colmeias para polinizarão de lavouras. O sumiço das abelhas já inflacionou o prego de locação das colmeias. No ano passado, o aluguel de cada caixa (colmeia)

com 50.000 abelhas estava na faixa de 75 dólares. Depois do ocorrido, aumentou para 150 dólares. A previsão é que faltem abelhas para polinização neste ano nos EUA. Somente as lavouras de amêndoa da Califórnia necessitam de 1,4 milhões de colmeias.

Disponível em: <http://veja.abril.com.br>. Acesso em: 23 fev. 2009 (adaptado).

De acordo com essas informações, o valor a ser gasto pelos agricultores das lavouras de amêndoa da Califórnia com o aluguel das colmeias será de

a) 4,2 mil dólares. b) 105 milhões de dólares. c) 150 milhões de dólares.d) 210 milhões de dólares. e) 300 milhões de dólares.

05. (Enem cancelado 2009) Três empresas de táxi W, K e L estão fazendo promoções: a empresa W cobra R$ 2,40 a cada quilômetro rodado e com um custo inicial de R$3,00; a empresa K cobra R$2,25 a cada quilômetro rodado e uma taxa inicial de R$3,80 e, por fim, a empresa L, que cobra R$2,50 a cada quilômetro rodado e com taxa inicial de R$2,80. Um executivo está saindo de casa e vai de táxi para uma reunião que é a 5 km do ponto de táxi, e sua esposa sairá do hotel e irá para o aeroporto, que fica a 15 km do ponto de táxi.

Assim, os táxis que o executivo e sua esposa deverão pegar, respectivamente, para terem a maior economia são das empresas:

a) W e L. b) W e K. c) K e L. d) K e W. e) K e K.

06. (Enem 2009) Uma pousada oferece pacotes promocionais para atrair casais a se hospedarem por até oito dias. A hospedagem seria em apartamento de luxo e, nos três primeiros dias, a diária custaria R$ 150,00, preço da diária fora da promoção. Nos três dias seguintes, seria aplicada uma redução no valor da diária, cuja taxa média de variação, a cada dia, seria de R$ 20,00. Nos dois dias restantes, seria mantido o preço do sexto dia. Nessas condições, um modelo para a promoção idealizada é apresentado no gráfico a seguir, no qual o valor da diária é função do tempo medido em número de dias.

101

De acordo com os dados e com o modelo, comparando o preço que um casal pagaria pela hospedagem por sete dias fora da promoção, um casal que adquirir o pacote promocional por oito dias fará uma economia de:

a) R$ 90,00. b) R$ 110,00. c) R$ 130,00. d) R$ 150,00. e) R$ 170,00.

07. (Enem Simulado 2009) A evolução da Iuz: as lâmpadas LED já substituem com grandes vantagens a velha invenção de Thomas Edison.

A tecnologia do LED é bem diferente das Iâmpadas incandescentes e das fluorescentes. A lâmpada LED é fabricada com material semicondutor semelhante ao usado nos chips de computador. Quando percorrido por uma corrente elétrica, ele emite luz. O resultado é uma peça muito menor, que consome menos energia e tem uma durabilidade maior. Enquanto uma lâmpada comum tem vida útil de 1.000 horas e uma fluorescente de 10.000 horas, a LED rende entre 20.000 e 100.000 horas de uso ininterrupto.

Há um problema, contudo: a lâmpada LED ainda custa mais caro, apesar de seu preço cair pela metade a cada dois anos. Essa tecnologia não está se tornando apenas mais barata. Está também mais eficiente, iluminando mais com a mesma quantidade de energia.

Uma lâmpada incandescentes converte em luz apenas 5% da energia elétrica que consome. As Iâmpadas LED convertem até 40%. Essa diminuição no desperdício de energia traz benefícios evidentes ao meio ambiente.

A evolução da luz. Veja, 19 dez. 2007. Disponível em: http://veja.abril.com.br1191207/p_1 18.shtml Acesso em: 1 out. 2008.

Considerando que a lâmpada LED rende 100 mil horas, a escala de tempo que melhor reflete a duração dessa lâmpada é o:

a) dia. d) século.b) ano. e) milênio.c) decênio.

08. (Enem 2009) Uma cooperativa de colheita propôs a um fazendeiro um contrato de trabalho nos seguintes termos: a cooperativa forneceria 12 trabalhadores e 4 máquinas, em um regime de trabalho de 6 horas diárias, capazes de colher 20 hectares de milho por dia, ao custo de R$ 10,00 por trabalhador por dia de trabalho, e R$ 1.000,00 pelo aluguel diário de cada máquina. O fazendeiro argumentou que fecharia contrato se a cooperativa colhesse 180 hectares de milho em 6 dias, com gasto inferior a R$ 25.000,00.

Para atender às exigências do fazendeiro e supondo que o ritmo dos trabalhadores e das máquinas seja constante, a cooperativa deveria:

a) manter sua proposta.b) oferecer 4 máquinas a mais.c) oferecer 6 trabalhadores a mais.d) aumentar a jornada de trabalho para 9 horas

diárias.e) reduzir em R$ 400,00 o valor do aluguel diário

de uma máquina.

Exercícios Propostos01 (VUNESP-2011) Dois tenistas cobraram

R$ 8.000,00 cada um para uma exibição de 1 hora em um clube de campo. O clube vendeu 80 ingressos a R$ 90,00 e 130 ingressos a R$ 50,00 para os sócios. O prejuízo do clube ao pagar os tenistas foi de:

a) R$ 3.800,00. b) R$ 3.700,00. c) R$ 2.700,00.d) R$ 2.300,00. e) R$ 2.100,00.

02. (LUDUS-2011) Para se ter 1 kg de alumínio é necessário reciclar 75 latinhas de alumínio. A usina "Papa Tudo" paga R$3,00 por quilograma de alumínio. Para que um catador de latinha consiga ganhar R$ 480,00, quantas latinhas de alumínio ele deverá vender para a usina de reciclagem:

a) 1.600 b) 12.000 c) 64d) 1.400 e) 192

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03. (Enem 2011) O número mensal de passagens de uma determinada empresa aérea aumentou no ano passado nas seguintes condições: em janeiro foram vendidas 33.000 passagens; em fevereiro, 34.500; em março, 36.000. Esse padrão de crescimento se mantém para os meses subsequentes. Quantas passagens foram vendidas por essa empresa em julho do ano passado?

a) 38 000. b) 40 500. c) 41 000.d) 42 000.e) 48 000.

04. (LUDUS-2011) Senhor Astrogildo, dono de um pequeno, comércio, tem em sua conta corrente um saldo de R$ 1.235,40. Pretende depositar três cheques nos valores de R$ 50,12, R$ 63,00 e R$ 95,75. No dia em que os cheques foram compensados, foi pago pelo banco um cheque passado por Sr. Astrogildo no valor de R$ 321,52. Após essas movimentações seu saldo passa a ser:

a) R$1.122,75 b) R$ 2.087,31 c) R$1.221,75 d) R$1.112,25 e) R$1.172,55

05. (LUDUS-2011) Uma feirante vende meia dúzia de maçãs por R$ 5,00. Um freguês pede 9 maçãs. A feirante cobra R$ 8,00 e o freguês diz que não quer, alegando que o preço cobrado deveria ser proporcional à quantidade. De acordo com o freguês, o preso cobrado pelas 9 maçãs deveria ser:

a) R$ 7,00. b) R$ 7,20.c) R$ 7,50. d) R$ 7,60.e) R$ 7,80.

06. (Unicamp 2011) No centro de um mosaico formado apenas por pequenos ladrilhos, um artista colocou 4 ladrilhos cinzas. Em torno dos ladrilhos centrais, o artista colocou uma camada de ladrilhos brancos, seguida por outra camada de ladrilhos cinzas, e assim sucessivamente, alternando camadas de ladrilhos brancos e cinzas, como ilustra a foto abaixo, que mostra apenas a parte central do mosaico.

Observando a figura, podemos concluir que a décima camada de ladrilhos cinzas contém:

a) 76 Iadrilhos. b) 156 Iadrilhosc) 112 ladrilhosd) 148 ladrilhos e) 104 ladrilhos

07. Um reservatório contém 500 litros de água e efetuamos, sucessivamente, as seguintes operações:

Retiramos 80 litrosColocamos 45 litrosColocamos 30 litrosRetiramos 130 litrosRetiramos 80 litros

Podemos afirmar que restam no reservatório:

a) 215 litros. d) 475 litros.b) 285 litros. e) 715 litros.c) 195 litros.

08. (Enem 2009) A resolução das câmeras digitais modernas é dada em megapixels, unidade de medida que representa um milhão de pontos. As informações sobre cada um desses pontos são armazenadas, em geral, em 3 bytes. Porém, para evitar que as imagens ocupem muito espaço, elas são submetidas a algoritmos de compressão, que reduzem em até 95% a quantidade de bytes necessários para armazená-las. Considere 1 KB = 1.000 bytes, 1 MB = 1.000 KB, 1 GB = 1.000 MB. Utilizando uma câmera de 2.0 megapixels cujo algoritmo de compressão é de 95%, João fotografou 150 imagens para seu trabalho escolar. Se ele deseja armazená-las de modo que o espaço restante no dispositivo seja o menor espaço possível, ele deve utilizar:

a) um CD de 700 MB.b) um pendrive de 1 GB.c) um HD externo de 16 GB. d) um memory stick de 16 MB.e) um cartão de memória de 64 MB.

103

09. (Enem 2009) Nos últimos anos, o volume de petróleo exportado pelo Brasil tem mostrado expressiva tendência de crescimento, ultrapassando as importações em 2008.

Entretanto, apesar de as importações terem se mantido praticamente no mesmo patamar desde 2001, os recursos gerados com as exportações ainda são inferiores àqueles despendidos com as importações, uma vez que o preço médio por metro cúbico do petróleo importado é superior ao do petróleo nacional. Nos primeiros cinco meses de 2009, foram gastos 2,84 bilhões de dólares com importações e gerada uma receita de 2,24 bilhões de dólares com as exportações. O preço médio por metro cúbico em maio de 2009 foi de 340 dólares para o petróleo importado e de 230 dólares para o petróleo exportado.

O quadro a seguir mostra os dados consolidados de 2001 a 2008 e dos primeiros cinco meses de 2009.

Comércio exterior de petróleo

(milhões de metros cúbicos)

Ano Importação Exportação2001 24,19 6,432002 22,06 13,632003 19,96 14,032004 26,91 13,392005 21,97 15,932006 20,91 21,362007 25,38 24,452008 23,53 25,142009* 9,00 11,00

* Valores apurados de janeiro a maio de 2009.Disponível em: http/www.anp.gov.br. Acesso em: 15 jul. 2009

(adaptado). Considere que as importações e exportações de

petróleo de junho a dezembro de 2009 sejam

iguais a 57

das importações e exportações,

respectivamente, ocorridas de janeiro a maio de 2009. Nesse caso, supondo que os preços para importação e exportação não sofram alterações, qual seria o valor mais aproximado da diferença entre os recursos despendidos com as importações e os recursos gerados com as exportações em 2009?

a) 600 milhões de dólares. b) 840 milhões de dólares. c) 1,34 bilhão de dólares. d) 1,44 bilhão de dólares. e) 2.00 bilhões de dólares.

10. (G1-cps 2004) Visando evitar o desperdício de água, uma Companhia de Saneamento estipulou várias faixas de consumo para cobrar do usuário. Vejamos:

Faixa de consumo (m3)

Tarifa por m3

Consumo Valor (R$)

Até 10 - Valor mínimo

6,62

11 a 20 1,0321 a 30 2,5731 a 50 2,57

Acima de 50 2,84

O cálculo do valor a ser pago é efetuado distribuindo-se o volume de água gasto por faixa de consumo. Os primeiros 10m3 são calculados segundo a 1a faixa. O excedente, ou seja, os próximos 10m3 são cobrados pela segunda faixa, o excedente pela 3a faixa e assim sucessivamente. Se uma família consumir 30m3, vai pagar:

a) R$ 22,07b) R$ 29,77c) R$ 42,62d) R$ 53,85e) R$ 77,10

Complemento do Assunto I

Exercícios de Sala

01. (FCC-2011) Suponha que às 5h30min de certo dia, dois trens da Companhia do Metropolitano de São Paulo partiram simultaneamente de um mesmo terminal T e seguiram por linhas diferentes. Considerando que a cada 78 minutos da partida um dos trens retorna a T, enquanto que o outro o faz a cada 84 minutos, então, nesse dia, ambos se encontrarão novamente em T às:

a) 19h42min. b) 21h48min. c) 21h36min. d) 23h42min. e) 23h48min.

02. Quais os três menores números pelos quais devem ser divididos os números 144,192 e 272 para que os quocientes sejam iguais?

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03. Se x é um número natural em que m.m.c (14,x) 154 e M.D.C (14,x)= 2, podemos dizer que x:

a) é um número primo.b) é um número ímpar.c) é maior que 50.d) é divisível por 11.e) é múltiplo de 14.

04. (G1 - cps 2010) Pensando em contribuir com uma alimentação mais saudável para a sua família, o Sr. João está planejando uma horta em um espaço retangular de 1,56m por 84cm, disponível em seu quintal.

Ele inicia o preparo da horta dividindo o comprimento e a largura do terreno em partes iguais, todas de mesma medida inteira, quando expressas em centímetros.

Dessa maneira, o Sr. João formou, na superfície do terreno, um quadriculado composto por quadrados congruentes de modo que as medidas das arestas de cada quadrado tivessem o maior valor possível Sua intenção é plantar, no centro de cada quadrado obtido, uma única muda.

Esquema da horta do Sr. João.

Nessas condições, a quantidade máxima de mudas que pode ser plantada é:

a) 54 b) 76 c) 91 d) 120 e) 144

05. (Uesc-2011) X e Y trabalham todos os dias, tendo direito a uma folga semanal. De acordo com suas escalas de trabalho, sabe-se que, em determinada semana, X estará de folga na terça-feira e, após, cada seis dias, enquanto Y estará de folga na quarta-feira e, após, cada sete dias.

Contando-se os dias transcorridos a partir da segunda-feira da referida semana até o primeiro dia em que X e Y terão folga simultânea, obtém-se um número igual a:

a) 40 b) 41 c) 42 d) 43 e) 44

06. (G1-ifsp 2011) Certo dia, a sirene de uma fábrica e as badaladas do sino de uma igreja tocaram juntos às 8 horas, às 13 horas e às 18 horas. Sabendo-se que a igreja toca o sino de uma em uma hora e a sirene da fábrica toca a cada x minutos, então, o valor mínimo de x, maior que uma hora, é:

a) 72.b) 75. c) 84. d) 96. e) 100.

07. (Fuvest-2007) Uma empresa de construção dispõe de 117 blocos de tipo X e 145 blocos de tipo Y. Esses blocos têm as seguintes características: todos são cilindros retos, o bloco X tem 120cm de altura e o bloco Y tem 150cm de altura.

tipo X tipo Y

A empresa foi contratada para edificar colunas, sob as seguintes condições: cada coluna deve ser construída sobrepondo blocos de um mesmo tipo e todas elas devem ter a mesma altura. Com o material disponível, o número máximo de colunas que podem ser construídas é de:

a) 55 b) 56 c) 57d) 58e) 59

08. Três vendedores encontraram-se numa terça-feira na cidade de Medianeira-PR e jantaram juntos. O primeiro vendedor visita esta cidade a cada 6 dias, o segundo a cada 8 dias e o terceiro a cada 5 dias. Estes três vendedores marcaram de jantar juntos novamente no próximo encontro. Este, deverá acontecer numa:

a) sexta-feira b) quinta-feira c) quarta-ferad) sábadoe) domingo

105

09. (Pucmg-2007) Um depósito com 3,6m de altura, 4,8m de largura e 7,2m de comprimento foi planejado para armazenar caixas cúbicas, todas de mesmo tamanho, sem que houvesse perda de espaço. Pode-se estimar que o menor número de caixas cúbicas necessárias para encher completamente esse depósito é:

a) 24 b) 36 c) 48 d) 72

Exercícios Propostos

01. 2011- A utilização de números inteiros faz pane do nosso dia a dia. Como exemplo, considere o seguinte problema: Maria está organizando o seu guarda-roupa e dispõe de N gavetas para guardar sua coleção de camisetas. Se em cada uma dessas gavetas colocar exatamente 10 camisetas, restam 4 camisetas, se colocar exatamente 9 camisetas restam 7 camisetas. Nessas condições, pode-se afirmar que o número de camisetas da coleção de Maria é:

a) 31 b) 32 c) 33 d) 34 e) 35

02. O piso retangular de uma sala, com 8,75m de comprimento e 4,20m de largura, deve ser coberto com ladrilhos quadrados. Admitindo-se que não haverá perda de material e que será utilizado o menor número de ladrilhos inteiros, pode-se estimar que serão colocados:

a) 49 ladrilhos b) 147 ladrilhos c) 245 ladrilhosd) 300 ladrilhos

03. Sabe-se que na divisão de um número inteiro e positivo por 13 o quociente obtido é igual ao resto. Assim sendo, o maior número que satisfaz essa condição é tal que a soma de seus algarismos é igual a:

a) 16 b) 15 c) 14 d) 13 e) 12

04. (VUNESP-2011) Para executar trabalhos de sinalização de solo, uma concessionária pretende dividir toda a extensão de duas estradas, tendo uma 96 km e a outra 150 km, em trechos de mesma extensão, sendo esta a maior possível, sem que reste qualquer trecho não sinalizado. Desse modo, o número de trechos obtidos será igual a:

a) 82 b) 51c) 41 d) 38 e) 21

05. (PucSP-2005) Um grupo de pessoas, entre elas Mali, está sentado em torno de uma grande mesa circular. Mali abre uma caixa com 21 bombons, se serve de apenas um deles e, em seguida, a caixa é passada sucessivamente para as pessoas ao redor da mesa, de modo que cada uma se sirva de um único bombom e passe a caixa com os bombons restantes para a pessoa sentada a sua direita.

Se Mali pegar o primeiro e o último bombom, considerando que todos podem ter se servido da caixa mais do que uma vez, o total de pessoas sentadas nessa mesa poderá ser:

a) 3 b) 6 c) 8 d) 10e) 12

06. Em um ano não bissexto, houve 53 sextas-feiras. O dia 21 de maio foi um(a):

a) terçab) quartac) quintad) sextae) sábado

07. (Ueg-2007) Um comerciante de materiais para cercas recebeu 12 troncos de madeira de seis metros de comprimento e outros 9 de oito metros. Ele determinou a um de seus funcionários que trabalha na preparação dos materiais que cortasse os troncos para fazer estacas, todas de mesmo comprimento, para utilizá-las numa cerca para área de pastagem. Disse-lhe ainda que os comprimentos deviam ser os maiores possíveis. A tarefa foi executada pelo funcionário, e o numero total de estacas preparadas foi:

a) 144b) 75 c) 72d) 64

OS.:5746/12-Juliana

106

08. (VUNESP - 2011) Duas tábuas, cujos comprimentos são iguais a 90cm e 2,25m, devem ser cortadas em pedaços de mesmo comprimento, sendo esse o maior possível, sem haver sobras. Sabendo-se que cada tábua tem 20cm de largura, pode-se afirmar que cada pedaço cortado tem área de:

a) 500cm2 b) 600cm2 c) 700cm2 d) 800cm2 e) 900cm2

09. (VUNESP-2011) Uma pessoa possui vários chaveiros e quer colocá-los em saquinhos plásticos, todos com a mesma quantidade. Ao fazer isso, percebe que, em cada saquinho, a quantidade de chaveiros poderia ser 5, 6 ou 8, e que não ocorreria nenhuma sobra de chaveiros. A menor quantidade de chaveiros que essa pessoa poderia ter é:

a) 120 b) 130 c) 140 d) 150 e) 160

10. (VUNESP-2011) Em uma padaria, o pão francês sai a cada 3 horas, o pão de queijo a cada 4 horas e o pão recheado a cada 6 horas. Se as 7h da manhã esses 3 tipos de pies saíram, então, eles voltarão a sair junto às:

a) 12h b) 15h c) 17hd) 18he) 19h

107

ASSUNTO 2Conjuntos numériCos

ii. Conjunto dos números inteiros e raCionais

NÚMEROS INTEIROS

1- CONjUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS

Z = {..., – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4,...)

2- NÚMEROS OPOSTOS OU SIMÉTRICOS

Dois números são opostos ou simétricos quando têm o mesmo valor absoluto e sinais contrários.

3- ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS

REGRAS:

1) Para adicionar números negativos (positivos), nós adicionamos os valores absolutos e damos ao resultado o sinal negativo (positivo).

2) Para adicionar um número positivo com um número negativo, subtraímos os valores absolutos e damos ao resultado o sinal do número de maior valor absoluto.

4- MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE NÚMEROS INTEIROS

REGRAS:

1) Para multiplicar (ou dividir) um número positivo por outro negativo, em qualquer ordem, multiplicamos (ou dividimos) os valores absolutos e damos ao produto o sinal negativo.

2) Para multiplicar (ou dividir) dois números negativos (ou positivos), multiplicamos (ou dividimos) os valores absolutos e damos ao resultado o sinal positivo.

NÚMEROS RACIONAIS

1- NÚMEROS RACIONAIS

Número racional é todo número que pode ser escrito na forma: a/b, onde a e b pertencem a Z e b ≠ 0

Q = ( ab

; a, b ∈ Z, b ≠ 0}

As dízimas periódicas são números racionais.

2- FRAÇÕES

Fração é uma parte ou várias partes de um inteiro. A fração é escrita na forma a/b, onde a é o numerador e b é o denominador, com b ≠ 0.

EXEMPLO:

14

OBSERVE que o denominador indica em quantas partes o inteiro foi dividido e o numerador indica quantas dessas partes foram tomadas.

No exemplo o inteiro foi dividido em 4 partes, portanto o denominador é 4. Tomamos 1 parte, portanto o numerador é 1.

3- REDUÇÃO DE FRAÇÕES AO MESMO DENOMINADOR

Para reduzir duas ou mais frações ao menor denominador comum, procedemos do seguinte modo:

1) Calculamos o MMC dos denominadores. Esse será o menor denominador comum.

2) Dividimos o denominador comum pelo denominador de cada fração e multiplicamos o resultado pelo numerador dessa fração.

4- SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES

Multiplicando ou dividindo, por um mesmo número, os termos de uma fração, esta não se altera. Usamos esta propriedade para simplificar frações. Vamos dividindo o numerador e o denominador da fração, por um mesmo número, até não ser mais possível a simplificação.

5- ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES

Quando vamos somar ou subtrair frações que têm denominadores diferentes, devemos reduzi-las ao menor denominador comum.

EXEMPLO:

2/3 + 3/4 – 1/2 = 8/12 + 9/12 – 6/12 = 11/12

mmc (3, 4, 2) = 12

6- MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES

O produto de duas frações é uma fração cujo numerador é o produto dos numeradores e cujo denominador é o produto dos denominadores das frações dadas.

EXEMPLO: (– 5/7) . (+ 2/3) = –10/21

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7- DIVISÃO DE FRAÇÕES

O quociente de uma fração por outra é igual ao produto da primeira fração pelo inverso da segunda.

EXEMPLO: 3/7: 5/8 = 3/7. 8/5 = 24/35

8- FRAÇÃO DECIMAL

Chama-se fração decimal toda fração em que o denominador é uma potência de 10 com expoente natural.

EXEMPLOS: 34/100, 235/1000, 7/10

9- NUMERAIS DECIMAIS

São formados por duas partes: uma parte inteira antes da vírgula e uma parte decimal, depois da vírgula.

EXEMPLOS: 2,45; 42,376; 3768,35

10- TRANSFORMAÇÃO DE UM NUMERAL DECIMAL EM FRAÇÃO DECIMAL

Para transformar um numeral decimal em fração decimal, escreve-se uma fração cujo numerador é o numeral decimal sem vírgula e cujo denominador é o algarismo 1 (um) seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais do numeral dado.

EXEMPLO: 32,476 = 32476/1000

11- TRANSFORMAÇÃO DE FRAÇÃO DECIMAL EM NUMERAL DECIMAL

Para transformar uma fração decimal em numeral decimal escreve-se o numerador da fração com tantas ordens (ou casas) quantos forem os zeros do denominador.

EXEMPLO: 356/100 = 3,56

12- COMPARAÇÃO DE NUMERAIS DECIMAIS

Para efetuar essa comparação, procedemos assim:

1) Reescrevemos os dois numerais decimais com o mesmo número de casas.

2) Eliminamos a vírgula nos dois numerais. 3) Comparamos os numerais resultantes.

13- ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE NUMERAIS DECIMAIS

Regra prática para somar e subtrair numerais decimais:

1) Igualamos o número de casas decimais das

parcelas, acrescentando zeros.

2) Colocamos vírgula debaixo de vírgula.

3) Somamos e subtraímos como se tratasse de

números naturais e colocamos no resultado

uma vírgula alinhada com as outras.

14- MULTIPLICAÇÃO DE NUMERAIS DECIMAIS

Regra prática para multiplicar numerais decimais:

1) Multiplicamos os decimais como se fossem

números naturais.

2) Damos ao produto tantas casas decimais

quanto seja a soma do número de casas

decimais dos fatores.

15- DIVISÃO DE NUMERAIS DECIMAIS

Regra prática para dividir dois numerais decimais:

1) Igualamos o número de casas decimais do

dividendo e do divisor, acrescentando zeros.

2) Eliminamos as vírgulas.

3) Dividimos os números obtidos.

16- DÍZIMA PERIÓDICA

Dízimas periódicas são decimais não exatos que se originaram de frações (geratriz) com denominadores múltiplos de 3. Numa dízima periódica, o período e o número formado pelos algarismos que se repetem. EXEMPLOS: 2,333... (a repetição inicia depois da vírgula) - (período = 3)

5,3454545... (a repetição não inicia depois da vírgula) - (período = 45, antiperíodo = 3)

17- TRANSFORMAÇÃO DE UMA DÍZIMA EM FRAÇÃO GERATRIZ

a) DÍZIMAS PERIÓDICAS SIMPLES A fração terá como numerador o período e como

denominador tantos noves quantos forem os algarismos do período.

EXEMPLO: 0,444... = 4/9

b) DÍZIMAS PERIÓDICAS COMPOSTAS A fração terá como numerador o antiperíodo

acompanhado do período menos o antiperíodo; e como denominador tantos noves quantos forem os algarismos

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Exercícios de Sala01. (Uff-2002) Pesquisas apontam que os riscos

decorrentes do consumo excessivo de cafeína variam de uma pessoa para outra.

Podem-se considerar, tratando-se de uma pessoa de 70kg, os seguintes números:

Consumo de cafeína (mg/dia): De 300 a 500 Sintomas: Melhora os reflexos e estimula a mente

e os músculos Consumo de cafeína (mg/dia): Acima de 500 Sintomas: Pode trazer ansiedade e insônia e causar

efeitos mais intensos como taquicardia e gastrite. Consumo de cafeína (mg/dia): Próximo do limite

extremo de 3.500 Sintomas: Pode ser fatal Os valores médios de cafeína presentes em

algumas bebidas normalmente consumidas pelos brasileiros são:

Em uma xícara de café expresso: 70mg Em uma xícara de chá preto: 40mg Em uma caneca de chocolate ao leite: 11mg Em uma xícara de café coado em coador de papel:

110mg Em uma lata de refrigerante tipo "cola": 31 mg

Adaptado de "Galileu", no 94, ano 8, maio/1999.

Certa pessoa de 70kg consome, diariamente, apenas a quantidade de cafeína presente nas duas latas de refrigerante tipo "cola" que ela bebe: uma no almoço, outra no jantar.

Com base nas informações fornecidas acima, conclui-se que o maior número inteiro de xícaras de café expresso que tal pessoa poderá consumir por dia, além daquelas duas latas de refrigerante, sem ultrapassar o consumo diário de 500mg de cafeína, é:

a) 4 b) 55c) 6 d) 7 e) 8

02. (Uel-2000) Desejo enviar uma mercadoria para Buenos Aires e consultei uma transportadora sobre preços de transporte aéreo de cargas. Recebi como resposta o fax a seguir.

Destino: Buenos Aires/Argentina

Cia Aérea: VIASUL

Material: Bagagem desacompanhada

Frete aéreo:

até 45kg — R$ 2,60 por quilo

mais de 45kg, até 100kg — R$ 2,30 por quilo

mais de 100kg — R$ 2,10 por quilo

Despesas adicionais obrigatórias:

Agentes de Cargas: R$ 100,00

INFRAERO: R$ 10,00

Obs.: Os Agentes de Carga são os encarregados do embarque e desembarque das mercadorias nos respectivos aeroportos.

Se a mercadoria que desejo enviar tem 78,5kg, quanto deverei desembolsar?

a) R$ 310,10 b) R$ 290,55 c) R$ 264,65 d) R$ 201,10 e) R$ 180,55

03. (Ufpe-2000) Júnior possui uma fazenda onde recolhe 45 litros de leite de cabra por dia, que são utilizados na fabricação de queijo. Com cada 5 litros de leite, ele fabrica 1kg de queijo. O queijo fabricado é então dividido em porções de 125g que são empacotadas em dúzias. Cada pacote é vendido por R$ 6,00. Quanto Júnior arrecada por dia com a venda do queijo?

a) R$ 35,00 b) R$ 34,00 c) R$ 33,00 d) R$ 37,00 e) R$ 36,00

04. Se ab

= 0,3454545... onde a e b são primos entre

si, o valor de a + b é igual a:

a) 1335b) 267c) 89d) 12e) 3

05. (Enem 1998 adaptado) No quadro abaixo estão as contas de luz e água de uma mesma residência. Além do valor a pagar, cada conta mostra como calculá-lo, em função do consumo de água (em m3) e da eletricidade (em kWh). Observe que, na conta de luz, o valor a pagar é igual ao consumo multiplicado por certo fator. Já na conta de água, existe uma tarifa mínima e diferentes taxas de tarifação.

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Fornecimento Valor – em R$401 kWh X 0,13276000 53,23

Suponha que, no próximo mês, dobre o consumo de energia elétrica desta residência. O novo valor da conta será:

a) R$ 55,23 b) R$ 106,46 c) R$ 802,00 d) R$ 100,00e) R$ 22,90

06. (Enem 2011) O salto triplo é uma modalidade do atletismo em que o atleta dá um salto em um só pé, uma passada e um salto, nessa ordem. Sendo que o salto com impulsão em um só pé será feito de modo que o atleta caia primeiro sobre o mesmo pé que deu o impulso; na passada ele cairá com o outro pé, do qual o salto é realizado.

Disponível em: http://www.cbat.org.br (adaptado). Um atleta da modalidade salto triplo, depois de estudar

seus movimentos, percebeu que, do segundo para o primeiro salto, o alcance diminuía 1,2m, e, do terceiro para o segundo salto, o alcance diminuía 1,5m. Querendo atingir a meta de 17,4m nessa prova e considerando os seus estudos, a distância alcançada no primeiro salto teria de estar entre:

a) 4m e 5m.b) 5m e 6m.c) 6m e 7m.d) 7m e 8m.e) 8m e 9m.

07. (ENEM-2011) A cor de uma estrela tem relação com a temperatura em sua superfície. Estrelas não muito quentes (cerca de 3000 K) nos parecem avermelhadas. Já as estrelas amarelas, como o Sol, possuem temperaturas em torno dos 6000 K; as mais quentes são brancas ou azuis porque sua temperatura fica acima dos 10000 K. A tabela apresenta uma classificação espectral e outros dados para as estrelas dessas classes.

Classeespectral Temperatura Lumino-

-sidade Massa Raio

05 40 000 5 x 105 40 18B0 28 000 2 x 104 18 7A0 9 900 80 3 2,5G2 5 770 1 1 1M0 3 480 0,06 0,5 0,6

Temperatura em Kelvin. Luminosidade, massa e raio, tomando o sol como unidade. Disponível em:http//wwwzenite.nu.Acesso em:

1/5/2010 (adaptado).

Se tomarmos uma estrela que tenha temperatura 5 vezes maior que a temperatura do Sol, qual será a ordem de grandeza de sua luminosidade?

a) 20000 vezes a luminosidade do Sol. b) 28000 vezes a luminosidade do Sol. c) 20850 vezes a luminosidade do Sol.d) 30000 vezes a luminosidade do Sol.e) 50000 vezes a luminosidade do Sol.

08. No dia 04 de outubro, uma piscina estava vazia devido a um conserto. No dia seguinte, colocaram na piscina 9000 litros de água pela manhã e mais 15000 litros de água à tarde. Toda essa água não foi suficiente para encher a piscina, pois faltava ainda 1/3 da capacidade total da piscina. A quantidade de água que cabe nessa piscina é de:

a) 36000 litros. b) 38000 litros. c) 40000 litros. d) 42000 litros. e) 44000 litros.

Exercícios Propostos01. (Enem 2011) O quadro apresenta informações

biométricas de um homem (Duílio) e de uma mulher (Sandra) que estão buscando alcançar seu peso ideal a partir das atividades físicas (corrida). Para se verificar a escala de obesidade, foi desenvolvida a fórmula que permite verificar o Índice de Massa Corporal (IMC). Esta fórmula e apresentada como IMC = m/h2, onde m é a massa em quilogramas e h é a altura em metros.

Duílio SabaIdade 50 anosmetro 1,88Peso 96,4 quilosPeso Ideal 94,5 quilos

Sandra TescariIdade 42 anosmetro 1,70 metroPeso 84 quilosPeso Ideal 77 quilos

No quadro é apresentada a Escala de Índice de Massa Corporal com as respectivas categorias relacionadas aos pesos.

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Categorias IMC (kg/m2)Desnutrição Abaixo de 14,5Peso abaixo do normal 14,5 a 20Peso normal 20 a 24,9Sobrepeso 25 a 29,9Obesidade 30 a 39,9Obesidade mórbida Igual ou acima de 40

A partir dos dados biométricos de Duílio e Sandra e da escala de IMC, o valor IMC e a categoria em que cada uma das pessoas se posiciona na escala são:

a) Duílio tem o IMC 26,7 e Sandra tem o IMC 26,6, estando ambos na categoria de sobrepeso.

b) Duílio tem o IMC 27,3 e Sandra tem o IMC 29,1, estando ambos na categoria de sobrepeso.

c) Duílio tem o IMC 27,3 e Sandra tem o IMC 26,6, estando ambos na categoria de sobrepeso.

d) Duílio tem o IMC 25,6, estando na categoria de sobrepeso e Sandra tem o IMC 24,7, estando na categoria de peso normal.

e) Duílio tem o IMC 25,1, estando na categoria de sobrepeso e Sandra tem o IMC 22,6, estando na categoria de peso normal.

02. (ETEC - 2011) Em um campeonato de futsal, se um time vence, marca 3 pontos; se empata, marca 1 ponto e se perde não marca nenhum. Admita que, nesse campeonato, o time A tenha participado de 16 jogos e perdido apenas dois jogos. Se o time A, nesses jogos, obteve 24 pontos, então a diferença entre o número de jogos que o time A venceu e o número de jogos que empatou, nessa ordem, é

a) 8 b) 4 c) 0 d) – 4 e) – 8

03. (CONSULPLAN - 2011) A terça parte do volume de água contido numa garrafa foi dividida igualmente em quatro copos. Se cada copo ficou com 200ml, qual volume de água permaneceu na garrafa?

a) 1200ml b) 1600mlc) 1500mld) 1000ml e) 1400ml

04. (VUNESP-2011) No século passado, no Polo Sul, a temperatura mais baixa registrada foi de – 89,2 °C e a mais alta foi de –5,6 °C. No deserto do Atacama, a mais alta foi de 55,8 °C e a mais baixa, de –18,4 °C. A oscilação de temperatura no Polo Sul foi maior do que a oscilação no deserto do Atacama em:

a) 8,6 °C. b) 8,8 °C. c) 9,0 °C. d) 9,2 °C. e) 9,4 °C.

05. (CESPE-2011) Suponha que uma pessoa compre 5 unidades de um mesmo produto, pague com uma nota de R$ 50,00 e receba R$15,50 de troco. Nessa situação, cada unidade do referido produto custa:

a) mais de R$ 7,50 b) menos de R$ 3,00 c) mais de R$ 3,00 e menos de R$ 4,50 d) mais de R$ 4,50 e menos de R$ 6,00 e) mais de R$ 6,00 e menos de R$ 7,50.

06. (Ufrrj -2003) Agnaldo, que faria prova de Matemática, após estudar com seu irmão João, tentou fazer uma revisão sobre "múltiplos e divisores" e bolou o seguinte exercício:

Considerando os números a = 32 . 5x . 73 . 114 e b = 23 .3y . 112 . 13, quais os valores de x e y para que o m.m.c. (a, b) seja múltiplo de 125 e 81 e não seja múltiplo de 625 nem de 243?

Os resultados corretos são, respectivamente:

a) 2 e 2.b) 1 e 2. c) 3 e 4. d) 3 e 2.e) 1 e 3.

07. (G1-utfpr 2010) Um indivíduo gastou 38

de seu

salário em compras do mercado, 16

de seu salário

na educação de seus filhos e 19

do seu salário com

despesas de saúde. Depois destes gastos, ainda lhe restaram R$ 500,00 do seu salário. O salário deste indivíduo a de:

a) R$ 766,00. b) R$ 840,00. c) R$ 1000,00. d) R$ 1250,00.e) R$ 1440,00.

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08. (Enem 2010) Uma escola recebeu do governo uma verba de R$ 1000,00 para enviar dois tipos de folhetos pelo correio. O diretor da escola pesquisou que tipos de selos deveriam ser utilizados. Concluiu que, para o primeiro tipo de folheto, bastava um selo de R$ 0,65 enquanto para folhetos do segundo tipo seriam necessários três selos, um de R$ 0,65, um de R$ 0,60 e um de R$ 0,20. 0 diretor solicitou que se comprassem selos de modo que fossem postados exatamente 500 folhetos do segundo tipo e uma quantidade restante de selos que permitisse o envio do máximo possível de folhetos do primeiro tipo.

Quantos selos de R$ 0,65 foram comprados?

a) 476b) 675 c) 923 d) 965 e) 1 538

09. Pouco se sabe sobre a vida de Diofanto da Alexandria, considerado o maior algebrista grego que, acredita-se, tenha vivido no período conhecido como o século da "Idade da Prata", de 250 a 350 d.C. O texto seguinte é uma transcrição adaptada do "Epitáfio de Diofanto", extraído do livro Matemática Divertida e Curiosa, de Malba Tahan, conhecido matemático brasileiro.

Eis o túmulo que encerra Diofanto – maravilha de contemplar!

Com um artifício aritmético a pedra ensina a sua idade:

"Deus concedeu-Ihe passar a sexta parte de sua vida na juventude; um duodécimo na adolescência; um sétimo, em seguida, foi passado num casamento estéril. Decorreu mais cinco anos, depois do que lhe nasceu um filho. Mas esse filho – desgraçado e, no entanto, bem amado! – apenas tinha atingido a metade do total de anos que viveu seu pai, quando morreu. Quatro anos ainda, mitigando a própria dor com o estudo da ciência dos números, passou-os Diofanto, antes de chegar ao termo de sua existência."

De acordo com as informações contidas no epitáfio, o número de anos vividos por Diofanto foi:

a) 64 b) 72 c) 78 d) 82 e) 84

10. Maria Helena comprou, no primeiro domingo de junho, cinco quilos de carne e dois pacotes de carvão, pagando R$ 34,60. No domingo seguinte, ela retornou ao açougue e comprou apenas 3,5 quilos de carne e um pacote de carvão, pagando R$ 23,10. Se os pregos não sofreram alterações no período em que Maria Helena fez as compras, o preço do quilo da carne que ela comprou foi de:

a) R$ 5,40. b) R$ 5,80. c) R$ 6,00. d) R$ 6,10.

113

ASSUNTO 3Conjuntos numériCos

Os números irracionais e reais

Número Irracional

Os primeiros indícios relacionados ao conceito de número irracional remontam ao conceito de incomensurabilidade. Dois segmentos são comensuráveis se existe uma unidade comum na qual podem ser medidos de forma exata. Por exemplo, um

segmento de medida 13

e outro de medida 18

podem

ser expressos por múltiplos inteiros de um segmento

de medida 124

, ou seja, 1 1 1 18 x e 3x3 24 8 24

= = .

A primeira descoberta de um número irracional é geralmente atribuída a Hipaso de Metaponto, um seguidor de Pitágoras. Ele teria produzido uma demonstração (provavelmente geométrica) de que a raiz de 2 (ou talvez que o número de ouro) é irracional. No entanto, Pitágoras considerava que a raiz de 2 "maculava" a perfeição dos números, e portanto não poderia existir. Mas ele não conseguiu refutar os argumentos de Hipaso com a lógica, e a lenda diz que Pitágoras condenou seu seguidor ao afogamento.

A partir daí os números irracionais entraram na obscuridade, e foi só com Eudoxo de Cnido que eles voltaram a ser estudados pelos gregos. O décimo livro da série Os elementos de Euclides é dedicado à classificação de números irracionais.

Foi só em 1872 que o matemático alemão Dedekind (de 1831 a 1916) fez entrar na Aritmética, em termos rigorosos, os números irracionais que a geometria sugerira havia mais de vinte séculos.

Prova de que a raiz quadrada de dois é irracional

A prova é feita por redução ao absurdo. Suponha-se que 2 é racional. Então pode-se colocá-lo na forma p / q, onde mdc(p,q) = 1, da seguinte forma:

p 2q

=

Elevando ambos os membros ao quadrado, tem-se (p/q)2 = 2. Então, p2 = 2q2. Como p2 é par, então p também é par (pois o quadrado de um número ímpar é ímpar: (2n + 1)2 = 2(2n2 + 2n) + 1). Logo pode-se chamar p = 2k. Substituindo na última igualdade, fica-se com:

(2k)2 = 2q2. Ou seja, 4k2 = 2q2 e então em 2k2 = q2, mostrando que q também é um par.

Mas isso é absurdo, pois, por hipótese, mdc(p, q) = 1. Conclui-se que 2 é irracional. Ok.

Número Real

O conjunto dos números reais R é uma expansão do conjunto dos números racionais que engloba não só os inteiros e os fracionários, positivos e negativos, mas também todos os números irracionais.

Os números reais são números usados para representar uma quantidade contínua (incluindo o zero e os negativos). Pode-se pensar num número real como uma fração decimal possivelmente infinita, como 3,141592(...). Os números reais têm uma correspondência biunívoca com os pontos de uma reta.

Denomina-se corpo dos números reais a coleção dos elementos pertencentes à conclusão dos racionais, formado pelo corpo de frações associado aos inteiros (números racionais) e a norma associada ao infinito.

Exercícios de Sala

01. Qual das opções seguintes apresenta um número irracional? Assinale a opção correta.

a) 25

b) 2,5

c) 0,25

d) 0,0025

02. Considere o conjunto C = [–p, 3] ∩ ]1, +∞[. Qual dos conjuntos seguintes é igual a C?

Assinale a opção correta.

a) ]1, 3]b) [–p, +∞[c) [–p, 3]d) [–p, 1[

OS.:5746/12-Juliana

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03. Considere a seguinte representação gráfica de um intervalo de números reais.

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

Qual dos seguintes conjuntos define este intervalo?

a) {x ∈ R: x ≥ –1 v x < 4}b) {x ∈ R: x > –1 v x ≤ 4} c) { x ∈ R: x ≥ –1 v x < 4}d) { x ∈ R: x > –1 v x ≤ 4}

04. Considera a seguinte inequação: 1 x3 42−

+ ≤ .

Será A o conjunto-solução desta inequação?A está contido no conjunto:a) [–1, + ∞[b) [0, +∞[c) [–1, 8]d) [0, ∞[e) ]–∞, –1]

05. Qual é o menor número inteiro pertencente ao

intervalo 110,2

− − ?

a) –4b) –3c) –2d) –1

06. O Índice de Massa Corporal (IMC) é largamente utilizado há cerca de 200 anos, mas esse cálculo representa muito mais a corpulência que a adiposidade, uma vez que indivíduos musculosos e obesos podem apresentar o mesmo IMC. Uma nova pesquisa aponta o Índice de Adiposidade Corporal (IAC) como uma alternativa mais fidedigna para quantificar a gordura corporal, utilizando a medida do quadril e a altura. A figura mostra como calcular essas medidas, sabendo-se que, em mulheres, a adiposidade normal está entre 19% e 26%.

Uma jovem com IMC = 20 kg/cm2, 100cm de circunferência dos quadris e 60 kg de massa corpórea resolveu averiguar seu IAC. Para se enquadrar aos níveis de normalidade de gordura corporal, a atitude adequada que esta jovem deve

ter diante da nova medida é (Use = 3 = 1,7 e

1,7 = 1,3)

a) reduzir seu excesso de gordura em cerca de 1%.

b) reduzir seu excesso de gordura em cerca de 27%.

c) manter seus níveis atuais de gordura.d) aumentar seu nível de gordura em cerca de

1%.e) aumentar seu nível de gordura em cerca de

27%.

07. Embora o Índice de Massa Corporal (IMC) seja utilizado, o Recíproco do Índice Ponderal (RIP), possui uma melhor fundamentação matemática. As fórmulas que determinam esses índices são:

2 3

massa (kg) altura(cm)IMC | RIP[altura(m)] massa(kg)

= =

ARAUJO, C. G. S.; RICARDO, D. R. Índice de Massa Corporal: Um Questionamento Científico Baseado em Evidências. Arq. Bras.

Cardiologia, volume 79, no 1, 2002 (adaptado).

Se uma menina, com 64kg de massa, apresenta IMC igual a 25 kg/m2, então ela possui RIP igual a

a) 0,4 cm/kg1/3.b) 2,5cm/kg1/3.c) 8 cm/kg1/3.d) 20 cm/kg1/3.e) 40 cm/kg1/3.

08. Em 2010, um caos aéreo afetou o continente europeu, devido à quantidade de fumaça expelida por um vulcão na Islândia, o que levou ao cancelamento de inúmeros voos.

Cinco dias após o início desse caos, todo o espaço aéreo europeu acima de 6000 metros estava liberado, com exceção do espaço aéreo da Finlândia. Lá, apenas voos internacionais acima de 31 mil pés estavam liberados.

115

Considere que 1 metro equivale a aproximadamente 3,3 pés. Qual a diferença, em pés, entre as altitudes liberadas na Finlândia e no restante do continente europeu cinco dias após o início do caos?

a) 3 390 pés.b) 9 390 pés.c) 11 200 pés.d) 19 800 pés.e) 50 800 pés.

Exercícios Propostos

01. Resolva a seguinte inequação: 4 3xx 52

−+ ≤ −

a) {x ∈ R / x ≤ 14}b) {x ∈ R / x ≥ 14}c) {x ∈ R / x ≤ –14}d) {x ∈ R / x ≥ –14}e) {x ∈ R / x ≥ 7}

02. Sabe-se que 2I , 10 0, 103

∩ − = ] [[ [

a) 0,

b) 0,

2c) , 032d) ,3

+ ∞

+ ∞

− − + ∞

03. Qual o maior número inteiro do conjunto-solução

da inequação x 3 5 2x2−

+ ≥ .

a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

04. Considere o conjunto A = [–1, + ∞[. Qual das quatro igualdades que se seguem é verdadeira?

[ [

[ [

[ [

[ [

3a) A 1, 1 ,21b) A 1, 1 ,23c) A 1, 1 ,21d) A 1, 1 ,2

= − ∩ − + ∞ = − ∩ − + ∞ = − ∪ − + ∞ = − ∪ − + ∞

05. Considere o conjuntoP [ 3, 2] [ 2, [= − ∩ − + ∞ . Qual dos conjuntos seguintes é igual a P? Transcreva a letra da opção correta.

[ [a) 2, 2

b) 3,

c) 3, 2

d) 2,

− − + ∞

− − + ∞

06. Considere os intervalos A = ] – ∞, 2[ e B = [–3, +∞[. Qual dos seguintes intervalos é igual a A ∪ B?

a) ] – ∞, –3]b) ]2, + ∞ [c) ]– ∞, + ∞[d) [–3, 2[

07. A qual dos conjuntos seguintes pertence o número 5 ?

a) ]2, 22; 2, 23[b) ]2, 23; 2, 24[c) {2, 22; 2, 23}d) {2, 23; 2, 24}

08. Qual das opções seguintes apresenta dois números irracionais? Assinale a opção correta.

3

33

3

a) 8;

b) 8; 27

c) 3; 27

d) 3;

p

p

09. O menor inteiro pertencente ao conjunto-solução

da inequação 1 5 x2x3 3 2

− < + é:

a) –1 d) 2b) 0 e) 3c) 1

10. Considere o conjunto I = ]–2, p]. Qual dos conjuntos seguintes está contido no conjunto I? Escreva a letra que apresenta a resposta correta.

{ }{ }

3a) , 2, 423b) , 0, 12

c) 2, 1, 2

d) 4, 2, 0

− − −

− −

OS.:5746/12-Juliana

116

ASSUNTO 4sequênCias lógiCas, numériCas e algo mais

Sequências

a) Definição:

Sequência é uma lista de números ou símbolos. Esses números ou símbolos são os termos da sequência. Por exemplo, (2, 4, 6, 8, 10) é a sequência dos números para maiores do que I e menores do que II.

Cada termo de uma sequência é representado pelo símbolo an, em que n = 1, 2, 3,...

Assim, a1 é o primeiro da sequência, a2 é o segundo, e assim por diante. A sequência toda é representada por (an).

Observações:

1. Algumas sequências possuem uma regra que permite calcular cada um de seus termos.

Exemplos

1.1 Na sequência (2, 4, 6, 8, 10,...) Veja que:

a1 = 2 = 2 x 1 a2 = 4 = 2 x 2 a3 = 6 = 2 x 3 a4 = 8 = 2 x 4

E de um modo geral, an = 2n. Esta é a fórmula do termo geral na sequência (2, 4, 6, 8,...)

1.2. Observe a sequência (0, 3, 8, 15, 24,...)

Veja, a1 = 0 = 12 – 1

a2 = 3 = 22 – 1

a3 = 8 = 32 – 1

E de um modo geral, an = n2 – 1.

2. Existem sequências que não possuem fórmula para o termo geral. Por exemplo, a sequência dos números naturais primos:

(2, 3, 5, 7, 11, 13,...)

3. Algumas sequências são dadas por recorrência. Só podemos calcular um termo conhecendo os termos anteriores. Por exemplo, considere a sequência dada por:

1

2

n n 1 n 2

a 1a 1a a a ,n 3− −

= = = + ≥

Essa, é a famosa sequência de Fibonacci.

4. Algumas sequências envolvendo letras, palavras e figuras, necessitam de um raciocínio lógico que se adquire através da intuição, experiência, tentativa e erro.

Por exemplo:

(FCC/TRT/2004) Esta sequência de palavras segue lógica:

– pá– xale– japeri

Uma quarta palavra que daria continuidade lógica à sequência poderia ser:

a) Casab) Anseioc) Urubud) Cafée) sua

Solução: Observe que as palavras desta sequência

terminam nas vogais: a, e, i. Assim, se espera que a próxima palavra termine na vogal "o".

Alternativa correta: B.

Exercícios de Sala

01. (ENEM 2010-H2) Ronaldo é um garoto que adora brincar com números.

Numa dessas brincadeiras, empilhou caixas numeradas de acordo com a sequência conforme mostrada no esquema a seguir.

II 2 I

I 2 3 2 I I 2 3 4 3 2 I ....

117

Ele percebeu que a soma dos números em cada linha tinha uma propriedade e que, por meio dessa propriedade, era possível prever a soma de qualquer linha posterior às já construídas.

A partir dessa propriedade, qual será a soma da 9a linha da sequência de caixas empilhadas por Ronaldo?

a) 9 b) 45 c) 64 d) 81 e) 285

02. (FCC CEAL-ALAGOAS-MOD. ENEM-H2) Os termos da sequência (77, 74, 37, 34, 17, 14,...) são obtidos sucessivamente através de uma lei de formação. A soma do sétimo e oitavo termos dessa sequência, obtidos segundo essa lei é:

a) 21 b) 19 c) 16 d) 13 e) 11

03. (FCC TRT-PE-AUXILIAR 2006-MOD ENEM-H2) Os números no interior do círculo representado na figura abaixo foram colocados a partir do número 2 e no sentido horário, obedecendo a um determinado critério.

Segundo o critério estabelecido, o número que deverá substituir o ponto de interrogação é:

a) 42b) 44 c) 46 d) 50e) 52

04. (ENEM 2009-ANULADO-H2/6) Um decorador

utilizou um único tipo de transformação geométrica

para compor pares de cerâmicas em uma parede.

Uma das composições está representada pelas'

cerâmicas indicadas por I e II. Utilizado a mesma

transformação. Qual é a figura que compõe par

com a cerâmica indicada por III?

a)

b)

c)

d)

e)

05. (COC-SIMULADO-ENEM-H3) Os quadrados

escuros de diferentes tamanhos da figura abaixo

têm uma moldura composta de quadrinhos

brancos.

Assim, com 104 quadrinhos brancos, é possível

cercar um quadrado escuro composto de:

a) 1296 quadrinhos.

b) 1156 quadrinhos.

c) 625 quadrinhos.

d) 169 quadrinhos.

e) 13 quadrinhos.

OS.:5746/12-Juliana

118

06. (ENEM 2008-H2) Fractal (do latim fractus, fração, quebrado) - objeto que pode ser dividido em partes que possuem semelhança com o objeto inicial. A geometria fractal, criada no século XX, estuda as propriedades e o comportamento dos fractais - objetos geométricos formados por repetições de padrões similares.

O triângulo de Sierpinski, uma das formas elementares da geometria fractal, pode ser obtido por meio dos seguintes passos:

1. Comece com um triângulo equilátero (figura I):2. Construa um triângulo em que cada lado tenha

a metade do tamanho do lado do triângulo anterior e faça três cópias;

3. Posicione essas cópias de maneira que cada triângulo tenha um vértice comum com um dos vértices de cada um dos outros dois triângulos, conforme ilustra a figura 2;

4. Repita sucessivamente os passo 2 e 3 para cada cópia dos triângulos obtidos no passo 3 (figura 3).

Figura 1 Figura 2 Figura 3

De acordo com o procedimento descrito, a figura 4 da sequência representada acima é:

a)

b)

c)

d)

e)

07. (FCC-ESPECIALISTA EM POLÍTICAS PÚBLICAS-SP 2009-MOD. ENEM-H2) Na sequência a seguir, cada figura é formada por vários quadrados iguais.

Nessas condições, a 21a figura da sequência será formada por:

a) 1.888 quadrados b) 1.802 quadrados c) 1.006 quadrados d) 502 quadrados e) 458 quadrados

Exercícios Propostos

01. (FJGN-MOD. ENEM-H2) Observando a disposição de números abaixo.

1 2

1 3 2

1 4 5 2

1 5 9 7 2

1 6 14 16 9 2

1 ... ... ... ... ... 2

Podemos afirmar que a soma dos números que estão na 10a linha da sequência é

a) 1530 b) 1532 c) 1534 d) 1536 e) 1538

02. (FCC-TCE-SP 2005-MOD. ENEM-H2) Os números no interior dos setores do círculo abaixo foram marcados sucessivamente, no sentido horário, obedecendo a uma lei de formação. Segundo essa lei, o número que deve substituir o ponto de interrogação é:

a) 210 b) 206 c) 200 d) 196 e) 188

119

03. (FCC-BACEN 1994-MOD. ENEM-H2) De acordo com padrão observado em cada figura, podemos concluir que a próxima será:

510 27 9

4812 20 100

a) 35175 d) 90 15

b) 30 80 e) 25150

c) 24040

04. (FCC-TRT 2004-MOD. ENEM-H2) Observe atentamente a tabela:

um dois três quatro cinco2 4 4 6 5

seis sete oito nove dez4 4 4 4

De acordo com o padrão estabelecido, o espaço em branco na última coluna da tabela deve ser preenchido com o número:

a) 2 d) 5b) 3 e) 6c) 4

05. (FCC-TCE-PB-ASSISTENTE 2006-MOD. ENEM-H2) Para formar a seguinte sequência de pedras de dominó, considere que elas foram dispostas sucessivamente e da esquerda para a direita, seguindo um determinado critério.

Segundo esse critério, a pedra que deve corresponder àquela que tem os pontos de interrogação é:

a) c) e)

b) d)

06. (FCC-PERITO-DELEGADO PC-MA/2006-MOD.

ENEM-H2) Usando o alfabeto com 26 letras,

considere esta sequência, formada a partir de certo

critério: A, D, C, H, G, N, M. De acordo com esse

critério, o próximo elemento dessa sequência é a

letra:

a) T

b) U

c) X

d) W

e) V

07. (FCC-IPEA 2004-MOD. ENEM-H2) A sucessão

seguinte de palavras obedece a uma ordem

lógica. Escolha a alternativa que substitui "X"

corretamente: RÃ, LUÍS, MELO, PARABELO, X".

a) Calçado.

b) Pente.

c) Lógica.

d) Sibipiruna

e) Soteropolitano

08. (FCC-TCE-PB-AGENTE 2006-MOD. ENEM-H6)

A sucessão de figuras a seguir tem um padrão

de formação. Você deve descobrir em qual das

alternativas se encontra a figura que, seguindo o

mesmo padrão, substitui o ponto de interrogação.

a)

b)

c)

d)

e)

OS.:5746/12-Juliana

120

09. (FCC-TRF-4a REGIÃO-ANALISTA JUDICIÁRIO 2007-MOD. ENEM-H6) Em cada linha do quadro a seguir as três figuras foram desenhadas de acordo com determinado padrão.

Segundo esse mesmo padrão, a figura que deve substituir o ponto de interrogação é:

a)

b)

c)

d)

e)

10. (FCC-2009-MOD. ENEM-H2) Considere a sequência (P, 3, S, 4, W, 5, B, 4, F, 3, ...)

De acordo com a lógica observada nos primeiros elementos da sequência, o elemento, dentre os apresentados, que a completa corretamente é:

a) C b) G c) I d) 2e) 4

Gabaritos

ASSUNTO 1

01 02 03 04 05 06d b d c c d07 08 09 10b e - -

COMPLEMENTO ASSUNTO 1

01 02 03 04 05 06d d b c -

07 08 09 10c e a e

ASSUNTO 2

01 02 03 04 05 06b d b e e c07 08 09 10e b e b

ASSUNTO 3

01 02 03 04 05 06b a b d b c07 08 09 10- - b b

ASSUNTO 4

01 02 03 04 05 06d a e b a e07 08 09 10d e d c