H. Iglsias Pereira (DEIO)Licenciatura em Fsica 1 2. ESTUDO DE ALGUNS MODELOS PROBABILSTICOS 2.1 INTRODUO As experincias com as quais temos estado ocupados tm caractersticas comuns: .o resultado individual imprevisvel .so conhecidos todos os possveis resultados .a experincia pode ser repetida em idnticas circunstncias e so designadas por experincias aleatrias.Nos fenmenos aleatrios apesar de serem imprevisveis os resultados individuais est presente uma regularidade ao longo de um grande nmero de repeties da experincia. oqueaconteceporexemplo,quandoselanaumamoedaequilibrada.Hsomente duaspossibilidades"cara"ou"coroa".Nafiguraseguinteencontra-seoresultadode lanamentosdeumamoedade1a1000easrespectivasfrequnciasrelativas (proporo) de "cara" em cada srie de lanamentos. Aproporode"caras"muitovarivelaoprincpiomasvaiestabilizandomedida que se aumenta o nmero de lanamentos. Esta proporo tende a estabilizar em torno dovalor0.5aoqualchamamosprobabilidadede"cara".Estaexperinciatraduza noo frequencista de probabilidade segundo a qual: H. Iglsias Pereira (DEIO)Licenciatura em Fsica 2 Probabilidade de um resultado de uma experincia aleatria o limite para que tende a proporodevezesqueesseresultadoaparece,numalongasriederepetiesda experincia. Note-sequequandoselanaumamoeda,emborasendodesconhecidocadaresultado individualsabe-sequeospossveisresultadosso"cara"e"coroa".Almdisso,a experinciadescritanafiguraanteriordiz-nosqueaprobabilidadede"cara"e consequentemente"coroa"1/2.Defacto,sesupusermosqueamoedaequilibrada havendosomenteduaspossibilidadesdepreverqueaprobabilidadesejaigualpara cada uma delas e igual a 0.5. Estamos mum caso de "equiprobabilidade" dos resultados oquenemsempreacontece.Note-sequetemosaquiabasedequalquermodelo probabilstico. EspaoAmostra!-conjuntodetodosospossveisresultadosdeumaexperincia aleatria. Acontecimento um resultado ou conjunto de resultados de uma experincia aleatria. Isto , um acontecimento um subconjunto do espao amostra. Espao de probabilidade (modelo de probabilidade) consiste num espao amostra !, umafamliadeacontecimentoseumaleideprobabilidadequeacadaacontecimento atribui uma probabilidade. O espao amostra pode ser muito simples (formado por um n finito de elementos) ou mais complexo (n infinito numervel de elementos ou mesmo infinito no numervel). So exemplos disso o espao amostra da experincia anterior1)! = Cara,Coroa { } Pensemosagoranaexperinciaqueconsisteemcontarondechamadastelefnicas que chegam central da FCUL entre o perodo das 10h s 11h, ento o espao amostra associado a esta experincia 2) Ou ainda retomando os dados referentes ao tempo de vida de rdios em u.t. 3) H. Iglsias Pereira (DEIO)Licenciatura em Fsica 3 Anoofrequencistadeprobabilidadebaseia-senumaformaexperimentaldedefinir probabilidade.Noentanto,aprobabilidadedeumacontecimentoumafuno matemtica que a cada acontecimento atribui um nmero real e satisfaz um conjunto de propriedadesouaxiomas.Estaaxiomticadasprobabilidadesdevidaaomatemtico russo Kolmogorov e por isso conhecida por2.2 A AXIOMTICA DE KOLMOGOROV Axiomtica de Kolmogorov: A1)!A, P A ( ) " 0A2)P ! ( ) = 1 A3) Apartirdaaxiomticapodemosobtervriaspropriedadesdafunoprobabilidade, quesodegrandeutilidadeparacalcularaprobabilidadedeacontecimentosmais complexos. Consequncias da axiomtica: I-Regra da Adio Dem: II-A ! B " P A ( ) # P B ( )e portanto segue-se que: III-!A, 0 " P A ( ) " 1 A # $ ( )IV-P Ac( ) = 1! P A ( )Exerccio: Escolheu-se aleatoriamente uma mulher americana entre os 25 e os 29 anos. Ogabinetederecenseamentodiz-nosqueasprobabilidadesdeescolhermosuma mulhercomcadaumdosestadoscivis,solteira,casada,vivaoudivorciadaso respectivamente (probabilidades calculadas usando a teoria frequencista): H. Iglsias Pereira (DEIO)Licenciatura em Fsica 4 Estado civilSolteiraCasadaVivadivorciada Probababilidade0.3520.5770.0030.068 a) Ser que este modelo de probabilidade satisfaz a axiomtica? b) Qual a probabilidade de que uma mulher no seja casada? Resoluo: a) Note-se que !={solteira, casada, viva, divorciada} ento a soma das probabilidades de cada estado deve ser igual a 1. 0.352+0.577+0.003+0.068=1 b) Por outro lado, usando a regra da adio tem-se P{no casado}=P{solteira}+P{viva}+P{divorciada}=0.423 ou ainda pela propriedade IV, P{no casado}=1-P{casado}=1-0.577=0.423. 2.3PROBABILIDADECONDICIONALEACONTECIMENTOS INDEPENDENTES Acontecimentos independentes Exemplo: Um casal tinha planeado ter 4 filhos. Mas tiveram 4 raparigas e tentaram ter umrapaz,noentanto,a5,6e7filhasforamtambmraparigas.Elespensamque agora tero maior chance de ter um rapaz 8 vez. Ser verdade? Claroqueno,estamosnumcasodeindependncia,isto,aprobabilidadedenascer rapazouraparigaemcadanascimentomantm-seconstanteeiguala0.5einalterada pelo que aconteceu em nascimentos anteriores. Assim, P( 8 filho ser rapaz se o casal tem 7 raparigas)= 0.5 Estaprobabilidadequeacabmosdecalcularcorrespondenoodeprobabilidade condicional.Isto,sabendoqueserealizouumacontecimentoB,nestecaso"ocasal tem7raparigas",pretendemoscalcularaprobabilidadederealizaodeoutro acontecimento designado por A (o 8 filho ser rapaz).H. Iglsias Pereira (DEIO)Licenciatura em Fsica 5 Definio 1: A probabilidade condicional de um acontecimento A dado que se realizou B, igual a (1) desde que P(B)>0. VerificmosquenocasodoexemploanterioraprobabilidadedoacontecimentoAse mantm igual a 0.5, apesar da realizao de B. Tal como no lanamento de uma moeda a probabilidade de "cara" sempre igual a 0.5 independentementedonmerodecaraobtidasemanterioreslanamentos.Amoeda no tem memria. Definio 2: Dois acontecimentos so independentes se a realizao de um deles no modifica a probabilidade de realizao do outro.Ou seja, formalmenteP A / B ( ) = P A ( )donde se tem, atendendo definio 2 Definio 3: Dois acontecimentos A e B so independentes sse(2) A esta regra tambm se chama regra da multiplicao. Exerccio 1: Num voo de Tquio para Lisboa a minha bagagem vai ser transferida trs vezes.Seaprobabilidadedecadaumadastransfernciasnoserfeitaatempofor 410,210 e 110respectivamente,porordemdetransferncia,qualaprobabilidadedea minha bagagem no chegar? Resoluo:P(abagagemnochegar)=1-P(bagagemchegar)=1- 610 ! 810 ! 910,este clculofeitoutilizandoapropriedade(IV) P Ac( ) = 1! P A ( ) -eaindependnciados acontecimentos. Exerccio2:Parasedeslocardecasaaoemprego,osr.Xistemapenastrsmeiosde transporte distintos sua escolha, T1, T2 e T3. Sabe-se que a probabilidade de i)chegar a horas ao emprego 4/10 ii)chegar atrasado, sabendo que utilizou T1 8/10 iii)chegar atrasado, sabendo que utilizou T2 1/2 iv)chegar a horas, sabendo que utilizou T3 3/5 H. Iglsias Pereira (DEIO)Licenciatura em Fsica 6 v)utilizar T2 e T3 a mesma. Calcule a probabilidade de Xis utilizar T1. Defina-se o acontecimento H-"chegar a horas", ento as probabilidades referidas nasalneas anteriores podem escrever-se: P(H)=4/10: P(Hc/T1)=8/10; P(Hc/T2)=1/2; P(H/T3)=3/5; P(T2)=P(T3)=x P H ( ) = P H!T1( )" H! T2( )" H! T3( ){ } ( ) == P T1( )P H / T1( )+ P T2( )P H / T2( )+ P T3( )P H / T3( ) ==1 # 2x ( )210 + 12 x + 35 x =410 $2 # 4x + 5x + 6x = 4 $7x = 2 $ x = 27onde1 = P T1( )+ P T2( )+ P T3( ) = P T1( )+ 2x $ P T1( ) = 1 # 2x E portanto P(T1)=3/7. O resultado que utilizamos para escrever P(H) conhecido pelo nome de Teorema das ProbabilidadesTotais.Note-sequeoespaoderesultadossepodeescrevercomoa unio de subconjuntos disjuntos, neste caso T1,T2 e T3. Estes subconjuntos constituem oquesecostumachamarumapartiode!.Formalmentepodemosenunciareste resultado para um nmero n de elementos da partio. H. Iglsias Pereira (DEIO)Licenciatura em Fsica 7 TEOREMA DAS PROBABILIDADES TOTAIS: Sejam

C1, C2, .. ., Cnsubconjuntos de ! tais que:Ci" Cj = #e Ci = !i =1n!,isto ,a famliaCi{ },i = 1, ... , n,constitui uma partio de!.Suponhamos ainda que P Ci( ) > 0,i = 1, .. ., n e seja A $ !,entoP A ( ) = P Ci( )P A / Ci( )i=1n%(3)Exerccio3:Usandoosdadosdoexerccioanteriorcalculemosagoraaprobabilidade do senhor Xis ter usado o transporte T1, sabendo que chegou a horas ao emprego. Aprobabilidadedechegarahorasaoempregoconhecidaepositivae{T1,T2,T3} constitui uma partio de !,portanto, estamos em condies de utilizar o teorema de Bayes vindo P T1 / H( )= P T1( )P H / T1( )P H ( )=P T1( )P H / T1( )P Ti( )P H / Ti( )i=13!=37 210410= 314" 37# $ % & AprobabilidadedeT1foimodificadapelarealizaodoacontecimentoH.P(T1/H) chama-seprobabilidadeaposteriorideT1,eporoposio,aP(T1)chama-se probabilidade a priori de T1. De uma forma geral podemos enunciar o seguinte resultado: TEOREMA DE BAYES: SejaC1, C2, ... , Cn uma partio de !,com P Ci( )> 0,i = 1,. .., n e A um acontecimentocom P A ( ) > 0,ento P Ci/ A( ) =P Ci( )P A / Ci( )P Cj( )P A / Cj( )j =1n"i = 1, .. ., n (4)