elementos de probabilidades en hidrologia

8/16/2019 Elementos de Probabilidades en Hidrologia

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HIDROLOGIA ESTADÍSTICA

INTRODUCCION

Los procesos hidrológicos son de naturaleza estocástica, es decir, que su distribución en el

tiempo y en el espacio es tal que, una parte es determinística o predecibles y otra parte es

aleatoria.

Cuando no existe correlación entre observaciones adyacentes, la salida del sistema

hidrológico se considera estocástica, independiente en el espacio y en el tiempo. Este

comportamiento es típico de eventos hidrológicos extremos, tal como las avenidas o

sequías y de datos hidrológicos medios sobre intervalos de tiempo largos, por e!emplo la

precipitación anual.

La hidrología estadística considera los datos hidrológicos correspondientes a un proceso

aleatorio puro, mediante el uso de parámetros y "unciones estadísticas. Los m#todos

estadísticos se basan en principios matemáticos que describen la variación de un con!unto

de observaciones de un proceso, centrando la atención, más bien en las mismas

observaciones en vez del proceso "ísico que las origina

ELEMENTOS DE PROBABILIDADES EN HIDROLOGIA.

$na variable aleatoria X es una variable que se describe mediante una "unción dedistribución de probabilidades. La distribución indica la probabilidad de que una

observación cualquiera x de la variable X obtenga un valor dentro de un rango especí"icode X.

% un con!unto de observaciones x ! x " ! ...! x # de la variable aleatoria se denomina $%e&tra.

&e asume que las muestras se extraen de una población hipot#ticamente in"inita de propiedades estadísticas constantes mientras que las propiedades de las muestras pueden

variar de una a otra.

El con!unto de todas las muestras posibles que se puedan extraer de la población se

denomina e&'a(io $%e&tral y un eve#to viene a ser un subcon!unto del espacio muestral,como se ilustra en la 'igura .(.


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'igura () Los eventos % y * son sub con!untos del espacio +uestral &

E)e$'lo *

Considerando los registros de precipitación máxima en - horas diario en mm de la

Estación uancan# del mes de diciembre durante los a/os (012 y (011, 3Los datos se

encuentran en el %rchivo en E4EL, E!emplo (5, 6eterminar los elementos de cada evento y

los elementos del espacio muestra &)

&ea el evento %, el con!unto de valores de precipitación máxima en - horas durante el mes

de diciembre del a/o (012.

% 7 89.2, 9, (, 9, :, (, :;

&ea el evento *, el con!unto de valores de precipitación máxima en - horas durante el mes

de diciembre del a/o (011 * 7 8(, 1, (, een Euler se tiene)


3/21

La 'robabili+a+ de ocurrencia de un evento, ?3%5, es la posible ocurrencia de dicho evento

cuando se lleva a cabo una observación de la variable aleatoria. &i una muestra de #

observaciones posee # A valores en el rango del evento %, entonces la "recuencia relativa

de % es # A ,# , entonces la probabilidad de ocurrencia del evento % es) P -A / # A ,# .

La probabilidad de ocurrencia de los eventos hidrológicos se rige por los siguientes

principios)

. Probabili+a+ Total* &i el espacio muestral S se divide en $ áreas excluyentes o

eventos %( , % , ... %m , entonces)

P-A 0 P-A" 0 .... 0 P-A$ / P-S /

E!emplo) considerando el espacio muestral del e!emplo (, demostrar que ?3&5 7 (.

El espacio muestral es) & 7 89.2, 9,(,9,:,(,:, (,1,(,


4/21

". Co$'le$e#tarie+a+* &i sucede que A es el complemento de %, es decir, A / S 8 A ,

entonces)

P-A / 8 P-A 5

E)e$'lo)

Considerando el espacio muestral del e!emplo (, y los eventos % y *)

6emostrar que) P-A/8P-A 5

Sol%(io#* El espacio muestral es) & 7 89.2, 9,(,9,:,(,:, (,1,(,


5/21

?robabilidad para el evento %)

Evento n evento n

P(evento) = n

evento/n

3.5 1 14 0.071

3 2 14 0.143

1 4 14 0.286

8 2 14 0.143

SUMATORIA 0.643

?robabilidad para el complemento de %)

Evento n evento n

P(evento) = n

evento/n

6 1 14 0.071

7.5 1 14 0.071

1 1 14 0.071

15 1 14 0.071

4.5 1 14 0.071

SUMATORIA 0.357

Entonces) P-A / ( F A.1-9 7 A.92


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PROBABII!A! !E E"E#TO A

Evento n evento n P(evento) = n evento/n

3.5 1 14 0.071

3 2 14 0.143

1 2 14 0.143

8 2 14 0.143

SUMATORIA 0.500

PROBABII!A! !E E"E#TO B

Evento n evento n P(evento) = n evento/n

6 1 14 0.071

7.5 1 14 0.071

1 3 14 0.214

15 1 14 0.0714.5 1 14 0.071

SUMATORIA 0.500

Entonces) P-A 9 B / P-A x P-B/ 7.2 : 7.2 / 7."2

E)e$'lo "* Re&olver e# (la&e.

Considerando los registros de precipitación máxima en - horas diario en mm de la

Estación uancan# del mes de Hoviembre durante los a/os (012 y (011, 3Los datos

se encuentran en el %rchivo en E4EL E!emplo(5)

6eterminar)

(. Los elementos de los eventos % y *.

. 6eterminar los elementos del espacio muestral &.9. 6emostrar que la probabilidad del espacio muestral) ?3&5 7 (

-. 6emostrar que) P-A / 8 P-A 52. Considerando que los eventos % y * son independientes entre si, hallar

?3%G*5)

&L$CH)

(. los elementos de los eventos a y b

%7

*7

&7


7/21

ii. desmostrar que la probabilidad del espacio muetral) p3&57(

?3&57?3%5I?3*5

?3%57

n

N 7

12

24 7A.2

?3&57A.2IA.27(

Ejemplo.3: En el cuadro 1, se presentan los valores de caudales medios anuales

35 18

27.5 13.8

8

14

347

24.5

34.5


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(m 3 /s) registrados en la estación Huancané (Q), durante el período 195!"##9,

los mismos $ue se %an gra&icado en la 'igura 1 alcular la pro*a*ilidad de $ue el

caudal anual Q en cual$uier a+o sea menor $ue "# m 3 /s, maor $ue 3# m 3 /s

esté entre "# 3# m 3 /s

Cuadro 1: Caudal medio anual (m 3 /s) de la estación Huancané, 195 ! "##9.

$%o 195# 19# 19 19'# 199# "#### "13 "1-1 11-3 ."3 1"91 15 31#" "59 1"15 3-11" "." 1-1 "-11 1"5 31#13 "#3 "#1 "3 151 -#5# 131 "39 " ""5 "-55 "1- "1#3 31#" 131 1- 15 15.3 139 -##- 1#- "#-#& 1115 1-33 15#" "5 "#9' 1 1"19 "1"3 "#9 1### 11-9 15" 11"9 "1" 11. 1".5 1#

'igura 10 Histograma de caudales medios anuales 2io Huancané

1$551$601$651$701$751$801$851$$01$$5200020052010

0

20

40

60

Tiempo (Años)

Caudal medio (m3/s)

olución0

4rimero de*emos ordenar de menor a maor o viceversa los valores de los

caudales medios anuales del rio Huancané, los mismos se presentan en el cuadro

"

uadro "0 audales medios anuales ordenados de menor a maor


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15 11- 15#" "#-# "59 31#"

"3 11. 15" "#9 "1" 3-11

1"15 15.3 "#9 ""5 -##-

."3 1"19 131 "1#3 "." -#5#

1### 1"5 15 "1"3 "#3

1#- 1".5 1- "13 "-51# 1"9 139 "1-1 "5

1115 131 151 "1- "

11"9 1-1 1 "39 31#1

11-3 1-33 "#1 "-11 31#"

a serie %istórica de caudales medios est6 constituida por 5- a+os, entonces

n75-

uego identi&icamos los eventos $ue nos pide el e8emplo0

Evento 0 cuando Q : "# m 3 /s

Evento ;0 cuando Q < 3# m 3 /s

=e los 5- valores del uadro ", "9 valores caen en el evento en el ;> en

consecuencia0

n 7 "9> n; 7 uego,

4() 7 "9/5- 7 #53#

4(;) ? /5- 7 #1111

a pro*a*ilidad de $ue el caudal medio anual esté entre "# 3# m 3 /s, se calcula

como0 4(3# @ Q @ "#) 7 1 ! 4(Q:"#) ! 4(Q < 3#) 7 (1!#53#!#1111)7#351.

4ara compro*ar0 4() 7 #53#A#1111A#351. 7 1

Ejemplo :


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En el siguiente cuadro se presentan los valores de precipitación anual (mm)

registrados en las estaciones 4uno, apac%ica Baraco , durante el período 19-!

"## alcular la pro*a*ilidad de $ue la precipitación anual (4) en cual$uier a+o

sea menor $ue ## mm, maor $ue .## mm esté entre ## .## mm, para

cada una de las estaciones

Solución:

uadro 10 4recipitación total anual (mm) de las estaciones en estudio


11/21

AÑO Puno Capachica Taraco


12/21

1964 528.5 1161.0 392.3

1965 587.8 1071.3 612.7

1966 391.4 442.8 416.1

1967 694.8 736.4 496.4

1968 624.1 855.2 525.5

1969 503.8 484.7 347.4

1970 568.0 606.6 527.8

1971 652.6 627.8 402.9

1972 798.1 650.9 567.9

1973 797.0 777.2 563.7

1974 750.8 794.4 630.1

1975 951.6 970.9 577.7

1976 758.0 672.7 406.2

1977 742.4 790.3 647.5

1978 828.0 860.8 684.7

1979 527.3 672.8 609.5

1980 614.4 284.6 466.3

1981 850.2 927.1 748.3

1982 794.8 830.2 578.6

1983 434.1 593.3 355.9

1984 1290.6 992.2 1049.8

1985 1072.5 955.4 1269.8

1986 927.4 1161.6 1098.5

1987 630.7 496.0 659.6

1988 847.7 723.0 662.7

1989 684.6 982.2 465.2

1990 646.8 830.1 717.4

1991 596.8 819.1 655.3

1992 374.1 646.2 542.31993 759.2 1123.3 616.7

1994 803.6 1119.0 622.4

1995 543.3 655.2 662.0

1996 753.5 669.4 432.1

1997 908.9 945.7 710.9

1998 615.1 491.2 531.1

1999 1003.9 956.5 544.6

2000 740.6 700.4 459.7

2001 1006.8 980.9 546.2

2002 908.8 1045.7 571.7

2003 714.1 878.4 590.0

2004 678.4 760.5 593.6

2005 674.5 740.9 597.6

2006 775.0 707.3 578.0

uadro "0 4recipitación total anual ordenados de menor a maor

AÑO Puno Capachica Taraco

1 374.1 284.6 347.4

2 391.4 442.8 355.9


13/21

3 434.1 484.7 392.3

4 503.8 491.2 402.9

5 527.3 496.0 406.2

6 528.5 593.3 416.1

7 543.3 606.6 432.1

8 568.0 627.8 459.7

9 587.8 646.2 465.2

10 596.8 650.9 466.3

11 614.4 655.2 496.4

12 615.1 669.4 525.5

13 624.1 672.7 527.8

14 630.7 672.8 531.1

15 646.8 700.4 542.3

16 652.6 707.3 544.6

17 674.5 723.0 546.2

18 678.4 736.4 563.7

19 684.6 740.9 567.9

20 694.8 760.5 571.7

21 714.1 777.2 577.7

22 740.6 790.3 578.0

23 742.4 794.4 578.6

24 750.8 819.1 590.0

25 753.5 830.1 593.6

26 758.0 830.2 597.6

27 759.2 855.2 609.5

28 775.0 860.8 612.7

29 794.8 878.4 616.7

30 797.0 927.1 622.4

31 798.1 945.7 630.132 803.6 955.4 647.5

33 828.0 956.5 655.3

34 847.7 970.9 659.6

35 850.2 980.9 662.0

36 908.8 982.2 662.7

37 908.9 992.2 684.7

38 927.4 1045.7 710.9

39 951.6 1071.3 717.4

40 1003.9 1119.0 748.3

41 1006.8 1123.3 1049.8

42 1072.5 1161.0 1098.5

43 1290.6 1161.6 1269.8

Ejemplo 5: esol*er en clase.

En el siguiente cuadro se presentan los valores de precipitación anual (mm)

registrados en las estaciones 4uno, apac%ica Baraco , durante el período 19-!

"## alcular la pro*a*ilidad de $ue la precipitación anual (4) en cual$uier a+o


14/21

sea menor $ue ## mm, maor $ue .## mm esté entre ## .## mm, para

cada una de las estaciones

+$$E- E-$0-C

El o*8etivo de la estadística consiste en eCtraer de un con8unto mu grande de

datos unos pocos valores pero $ue sean representativos de las características del

con8unto Estos valores se denominan par2metros estadsticos o simplemente


15/21

estadsticos sí pues, los par6metros estadísticos son característicos de lapo*lación, tal como D

Fn par6metro estadístico es el *alor esperado E de alguna &unción de la varia*lealeatoria (tam*ién se denomina la esperanGa matem6tica) El par6metro m6s

simple es el promedio D, el cual viene a ser el valor esperado de la varia*lealeatoria misma 4ara una varia*le aleatoria , el promedio es E(), $ue se

calcula como el producto de C por la densidad de pro*a*ilidades correspondiente

&(C), integrado en el rango &acti*le de la varia*le aleatoria0

∫ ∞

∞−

== xfdxμE(X)

E() es el primer momento con respecto al origen, una medida del punto medio o

-endencia Central de la distri*ución

El estimador muestral de la media es el promedio aritmético de los datos de la

muestra0

∑=

=n

1i

ixn

1x

a varia*ilidad de los datos se mide a través de la varianGa " la cual es el

segundo momento con respecto al promedio0

∫ ∞

∞−−==− dx x " x x E )()(])[( 222 µ σ µ

El estimador muestral de la varianGa est6 dado por la eCpresión

∑=

−−

=n

1i

2

i

2)x(x

1n

1S


16/21

en la cual (n!1) indica los grados de li*ertad, se usa en veG de n para asegurar

$ue el par6metro sea insesgado, es decir, $ue no posea tendencia de ser menor o

maor $ue el valor verdadero a varianGa tiene la dimensión IJ "

a desviación est6ndar tiene las mismas unidades de > es igual a la raíGcuadrada de la varianGa su estimador muestral es En la 'igura " (a), se ilustra

el signi&icado de la desviación est6ndar> mientras maor es la desviación est6ndar,

maor es la dispersión de los datos

El coe&iciente de variación v 7 /D, estimado por sx

, es una medida

adimensional de la varia*ilidad

continuación se presenta un resumen de las &órmulas para calcular algunos

par6metros de la po*lación sus estimadores muestrales

+ar2metros estadsticos de la po4lación sus estimadores:

+67$C8 E-$

1. -endencia Central

+romedio $ritmético

∑∫ ===

∞

∞− ixn

1

x xf(x)dxE(X)μ

". ;aria4ilidad

;arian


17/21

3. $simetra

Coe=iciente de asimetra:

3

3

σ

]μ)E[(xγ

−= 3

n

1i

3

i

2)S1)(n(n

)x(xnCs

−−

−= ∑=

El grado de simetría de la distri*ución con respecto al promedio se mide mediante

la asimetría, la cual viene a ser el tercer momento con respecto al promedio

∫ ∞

∞−

−=− f(x)dxμ)(x]μ)E[(x 33

>i?ura ": E=ecto de la des*iación est2ndar el coe=iciente de asimetra so4rela =unción de densidad de pro4a4ilidades

omo se ilustra en la 'igura " (*), para una asimetría positiva (K < #) los datos se

inclinan a la derec%a del pico de la distri*ución, con solamente un pe$ue+onLmero de valores mu grandes> para asimetría negativa (K : #) los datos se

inclinan a la iG$uierda uando los datos poseen una asimetría pronunciada, los

pocos valores eCtremos, e8ercen un e&ecto signi&icativo so*re el c6lculo del

promedio aritmético en cuo caso, se de*e usar un par6metro alternativo para

calcular en &orma apropiada la tendencia central, tal como la mediana o el

promedio geométrico


18/21

Ejemplo ".: =ados los datos de caudal medio anual de la estación %idrométricaHuancané para el período 195 "##9, calcular los par6metros estadísticos de la

muestra os datos se dan en el cuadro 10

olución0e va a utiliGar el so&tMare HN=2OEB "

+rocedimiento para el uso del so=t@are H0E-$ ":uego de instalar el so&tMare HN=2OEB ", aparece esta pantalla0

Hacer clic en el icono 4ar6metros


19/21

Hacer clic en =atos no agrupados

4ara ingresar datos, Hacer clic en el icono ECel


20/21

Hacer clic en rc%ivo en ECel para seleccionar la versión del arc%ivo $ue estamos

utiliGando0

Hacer clic en el nom*re del arc%ivo para *uscar la dirección del disco, la carpeta

el arc%ivo

4reviamente se de*e crear un arc%ivo en eCel con solo los datos a estudiar

uego %acer clic en a*ril

Hacer clic en calcular se o*tienen los par6metros estadisticos


21/21

Hacer clic en el icono crear, luego guardar en una dirección conocida

4ara visualiGar los datos los resultados %acer clic en el icono 2eporte

4ara imprimir los resultados del reporte %acer clic en rc%ivo, e Nmprimir

Ejercicio para resol*er en clase.: =ados los datos de precipitación total mensual

(mm) de las estaciones meteorológicas lalli, aviri 4ucara, para el período

19- "##, calcular los par6metros estadísticos de la muestra os datos se dan

en los siguientes cuadros0 (rc%ivo E8emplo 5) omparar con los o*tenidos con la

%o8a de calculo ECel

elementos de probabilidades en hidrologia

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