aplicação da geoestatistica na estimativa e na classificação de recursos - diego nunes
TRANSCRIPT
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
CAMPUS DE MARABÁ
FACULDADE DE ENGENHARIA DE MINAS E MEIO AMBIENTE
DIEGO SOUZA NUNES
APLICAÇÃO DA GEOESTATISTICA NA ESTIMATIVA E
CLASSIFICAÇÃO DE RECURSOS DE UM DEPÓSITO DE
COBRE
MARABÁ 2012
DIEGO SOUZA NUNES
APLICAÇÃO DA GEOESTATISTICA NA ESTIMATIVA E
CLASSIFICAÇÃO DE RECURSOS DE UM DEPÓSITO DE
COBRE
Trabalho de Conclusão de curso apresentado à Faculdade de Engenharia de Minas e Meio Ambiente da UFPA - Universidade Federal do Pará, em cumprimento às exigências para obtenção do grau de Bacharel em Engenharia de minas e meio ambiente. Orientador: Prof. Msc. Marinésio Pinheiro de Lima
MARABÁ
2012
Dados Internacionais de Catalogação-na-Publicação (CIP) Biblioteca II da UFPA. CAMAR, Marabá, PA
Nunes, Diego Souza Aplicação da geoestatística na estimativa e classificação de recursos de um depósito de cobre / Diego Souza Nunes ; orientador, Marinésio Pinheiro de Lima. — 2012. Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação) - Universidade Federal do Pará, Campus Universitário de Marabá, Faculdade de Engenharia de Minas e Meio Ambiente, Marabá, 2012. 1. Geologia - Métodos estatísticos. 2. Engenharia de minas - Métodos estatísticos. 3. Cobre. I. Lima, Marinésio Pinheiro de, orient. II. Título.
CDD: 22. ed.: 551.028
Dedico a Deus pela dádiva da
vida, e a minha família pelo apoio dado
nesse desafio.
AGRADECIMENTOS
Agradeço a Deus pelo amparo e conforto nos inúmeros momentos de dificuldades
ao decorrer desse percurso.
A minha mãe Shirley, pela confiança incondicional depositada em mim, pelo carinho
e compreensão em todos os momentos, sem os quais não seria possível concluir
esse desafio.
Ao meu pai Ronaldo, por sempre acreditar na minha capacidade e dedicação, e aos
ensinamentos diários de humildade e honestidade ao longo da vida.
À minha irmã Renata, pelos incentivos e conselhos dados ao longo dos 5 anos de
graduação, sempre solícita e disposta a ajudar no que era necessário.
Ao meu avô pelo exemplo de pessoa que é, pela generosidade de compartilhar a
sabedoria adquirida ao longo dos anos através de gestos diários de humildade,
dignidade e respeito à família que foram fundamentais para minha formação.
A todos os professores que participaram da minha formação, e principalmente
aqueles que ensinaram muito mais que a teoria, deram lições que serão lembradas
para a vida toda.
Ao professor Msc. Marinésio Pinheiro pelo apoio na realização desse trabalho,
A todos os amigos do Laboratório de Lavra da UFCG que me ajudaram na execução
desse trabalho: Jonas, Diêgo, Robinho e Picuí. Em especial ao professor Dr Arlindo
Bazante pela recepção e acolhida na UFCG.
“O êxito na vida não se mede pelo que
você conquistou, mas pelas
dificuldades que você superou no
caminho. A diferença entre o razoável e
o bom é um pequeno esforço extra.
Somos o que fazemos repetidamente.
Por isso o mérito não está na ação,
mas sim no hábito.”
Autor desconhecido
RESUMO
O objetivo deste trabalho foi a utilização de uma metodologia adequada para a
quantificação e classificação de recursos minerais visando a obtenção de uma base
de dados confiável para as posteriores etapas de planejamento, fundamentais para
qualquer empreendimento mineiro. Foram utilizados dados da campanha de
sondagem de um depósito de cobre, totalizando 13.381 amostras. Todos os furos de
sondagem foram analisados para verificação de consistência dos dados. Os furos de
pesquisa foram interpretados em seções verticais e horizontais para definição do
modelo geológico do depósito em estudo no software Datamine Studio 2. A análise
de continuidade espacial foi realizada através da construção de semivariogramas
Down The Hole, onidirecionais e direcionais para a variável cobre e para a variável
densidade. Os recursos minerais foram estimados através do método geoestatístico
de Krigagem Ordinária e classificados de acordo com o Código JORC de
classificação de recursos e reservas minerais. Na validação do modelo
semivariográfico tanto para a variável cobre como para a variável densidade foram
obtidas médias do erro residual próximo a zero e correlação entre os valores
estimados e os valores reais maior que 60%, validando o modelo de continuidade
espacial. Foram apresentados bons resultados também na validação do modelo de
recursos por comparação estatística global com diferença entre as compostas e os
blocos estimados de 12% para o cobre e 0,7% para a densidade, tendo uma leve
subestimativa das variáveis. Igualmente foram apresentados bons resultados para a
validação visual e boa reprodução da média local das amostras nos blocos no
gráfico tipo swath plot, principalmente nos pontos mais densamente amostrados. Os
recursos medidos, indicados e inferidos do depósito de cobre somaram 923 Mt com
0,23% de cobre, sendo 289,62 Mt de reservas provadas com teor médio de cobre de
0,4% e uma reserva em potencial para o depósito de 638,45 Mt.
Palavras chave: Geoestatística, Classificação de recursos, Krigagem Ordinária.
ABSTRACT
The purpose of this study was use an appropriate methodology for quantify and
classify mineral resources in order to achieve a reliable database for the following
stages of planning, essentials for any mining project. It was used data from drilling
campaign of cooper deposit, adding up 13.381 samples. All the drill holes were
analyzed for to check the integrity of the database. The drill holes were interpreted in
vertical and horizontal sections for definition of geological model of deposit using
Datamine Studio 2 software. The spatial continuity analysis was realized through
construction of variograms Down the hole, omnidirectional and directional for cooper
and density. The mineral resources were estimated through geoestatistical method of
Ordinary Kriging and classified according JORC CODE of classification mineral
resources and reserves. In the semivariogram model validation was obtained both for
cooper and density a residual error mean close to zero and correlation between
estimated values and real ones greater than 60%, validating the spatial continuity
model. It was presented good results also in validation of resource model by global
statistics analysis with differences between composites and estimated blocks of 12%
for cooper and 0,7% for density, showing a slight underestimation of the global mean.
Equally were presented good results for visual validation and good reproduction of
the samples global mean into estimated blocks in the swath plots, mainly in the most
densely sampled areas. The measured, indicated and inferred mineral resources of
cooper deposit were added 923 Mt with 0,23% of cooper, being 282,62 Mt of proven
reserves with cooper mean grade of 0,4% and a potential reserve of 638,45 Mt.
Key words: Geoestatistic, Resource classification, Ordinary Kriging.
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Figura 01 - Parâmetros do semivariograma. ................................................ 188
Figura 02 - Semivariograma com patamar. .................................................. 199
Figura 03 - Semivariograma com efeito pepita puro. .................................... 20
Figura 04 - Semivariograma sem patamar. .................................................. 20
Figura 05 - Semivariograma cíclico. ............................................................. 20
Figura 06 - Semivariograma com estruturas entrelaçadas ........................... 21
Figura 07 - Os tipos de anisotropia. (A) Anisotropia geométrica; (B) zonal e
(C) mista. ................................................................................... 22
Figura 08 - Representação gráfica da anisotropia geométrica em duas
dimensões. ................................................................................. 23
Figura 09 - Exemplos de dois esquemas de classificação de recursos e
reservas publicados.. ................................................................. 30
Figura 10 - Sequência metodológica adotada. ............................................. 31
Figura 11 - Mapa de localização dos furos de sondagem. ........................... 33
Figura 12 - Métodos de triangulação no software DATAMINE Studio ......... 34
Figura 13 - Triangulação do corpo de minério método Equi-angular Shape. 35
Figura 14 - Modelo geológico tridimensional: a) vista em planta e b) vista
em seção vertical. ...................................................................... 35
Figura 15 - Histograma dos dados regularizados para a variável cobre....... 36
Figura 16 - Histograma dos teores do cobre após aplicação do capping. .... 37
Figura 17 - Histograma dos dados regularizados para a variável densidade. 38
Figura 18 - Semivariograma Down the Hole para a variável cobre. ............. 40
Figura 19 - Semivariograma na direção N22,5º/D60 (maior alcance). ......... 41
Figura 20 - Semivariograma na direção N112,5º (menor alcance). .............. 41
Figura 21 - Semivariograma na direção N22,5º/D-30 (alcance intermediário). 42
Figura 22 - Histograma do erro residual da estimativa para a variável
cobre .......................................................................................... 43
Figura 23 - Histograma dos erros residuais da estimativa para a variável
densidade. ................................................................................. 44
Figura 24 - Gráfico de dispersão entre os valores verdadeiros e os valores
estimados para o cobre. ............................................................. 45
Figura 25 - Seção N-S 8429,82 comparando teores de cobre estimados
com as amostras dos furos de sondagem. ................................ 49
Figura 26 - Seção N-S 8199,82 comparando valores de densidade
estimados com as amostras dos furos de sondagem. ............... 49
Figura 27 - Mapa de localização das faixas norte-sul................................... 50
Figura 28 - Swath plot horizontal para o cobre. ............................................ 51
Figura 29 - Swath plot vertical para a variável cobre. ................................... 51
Figura 30 - Swath plot horizontal para densidade. ....................................... 52
Figura 31 - Swath plot vertical para a variável densidade. ........................... 52
Figura 32 - Seção N-S para checagem visual da classificação de recursos
do depósito................................................................................. 54
Figura 33 - Curva de parametrização para os recursos medidos e
indicados. ................................................................................... 55
Figura 34 - Visão 3D da reserva provada do depósito de cobre. ................. 57
LISTA DE TABELAS
Tabela 1- Estatística descritiva dos dados regularizados para a variável
cobre. ........................................................................................... 36
Tabela 2 - Estatística univariada para densidade nas compostas. ................ 38
Tabela 3 - Parâmetros do modelo de blocos para o depósito. ...................... 46
Tabela 4 - Parâmetros de krigagem para a variável cobre e densidade. ...... 47
Tabela 5 - Estatística blocos versus amostras. ............................................. 48
Tabela 6 - Sumário estatístico dos recursos Medido, Indicado e Inferido. .... 53
Tabela 7 - Total de recursos medidos, indicados e inferidos em incrementos
de teores de corte. ...................................................................... 54
Tabela 8 - Parâmetros utilizados para a determinação do teor de corte do
depósito........................................................................................ 56
Tabela 9 - Reservas minerais estimadas para o depósito de cobre. ............. 57
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
ASX - Australian Securities Exchange
AusIMM - Australasian Institute of Mining and Metalurgy
Cu - Cobre
G - Teor de corte marginal
JORC - Joint ore reserves comittee
KO - Krigagem Ordinária
NZX - New Zealand Exchange
SME - Society of Mining Engineers
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO .................................................................................... 12
2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA .......................................................... 13
2.1 CONCEITOS FUNDAMENTAIS DE GEOESTATÍSTICA.................... 14
2.1.1 Hipóteses de estacionariedade ....................................................... 15
2.1.2 Semivariograma ................................................................................ 17
2.1.3 Grau de dependência espacial ........................................................ 21
2.1.4 Isotropia e Anisotropia ..................................................................... 22
2.1.5 Modelos variográficos ...................................................................... 23
2.1.6 Krigagem ........................................................................................... 25
2.1.6.1 Krigagem Ordinária ............................................................................. 26
2.2 CLASSIFICAÇÃO DE RECURSOS .................................................... 28
3 MATERIAIS E MÉTODOS .................................................................. 30
4 ESTUDO DE CASO ............................................................................ 32
4.1 BANCO DE DADOS ........................................................................... 32
4.2 MODELAMENTO GEOLÓGICO ......................................................... 34
4.3 ANÁLISE EXPLORATÓRIA DOS DADOS REGULARIZADOS .......... 36
4.4 CONTINUIDADE ESPACIAL .............................................................. 39
4.5 VALIDAÇÃO DO MODELO DE CONTINUIDADE ESPACIAL ............ 43
4.6 ESTIMATIVA DE RECURSOS ........................................................... 45
4.6.1 Modelo de blocos .............................................................................. 45
4.6.2 Interpolação dos teores de cobre e densidade .............................. 46
4.6.3 Modelo de validação ......................................................................... 47
4.6.3.1 Comparação estatística ...................................................................... 48
4.6.3.2 Validação visual .................................................................................. 48
4.6.3.2 Swath Plots ......................................................................................... 49
4.7 CLASSIFCAÇÃO DE RECURSOS ..................................................... 53
4.8 ESTIMATIVA DE RESERVAS MINERAIS .......................................... 56
5 CONCLUSÃO ..................................................................................... 58
REFERÊNCIAS .................................................................................. 60
12
1 INTRODUÇÃO
Ainda há pouco tempo, a geologia era considerada uma ciência baseada em
interpretações puramente qualitativas de fenômenos geológicos. Nos últimos anos,
porém, tem sido notável a utilização de métodos quantitativos, principalmente na
área de geologia aplicada.
Os métodos quantitativos clássicos de estimativa de recursos, baseados na
geometria euclidiana, não consideravam a natureza irregular dos jazimentos e,
devido a isso, a sua utilização era passível a erros consideráveis. Devido aos
grandes investimentos necessários para a exploração de uma jazida é de
fundamental importância a estimativa dos recursos com o mínimo de erro associado,
a fim de obter base confiável à tomada de decisões.
Um estudo feito por Harquail1 (1991 apud Souza, 2007) realizado na América
do Norte mostrou que de 39 casos de insucessos em operações de mineração
aproximadamente 60% estavam relacionados com questões ligadas a erros de
avaliação dos recursos e reservas minerais. Em outro trabalho similar, Burmeister
(1988) analisou 35 operações de mineração de ouro australianas que haviam sido
iniciadas no período de 1984 a 1987 e observou que cerca de dois terços delas não
haviam conseguido atingir a meta planejada de produção no primeiro ano de
operação. Umas das principais razões apresentadas pelo autor foram a utilização de
técnicas de estimativa impróprias seguidas de análises inseguras e incertas. Sendo
assim, a estimativa de recursos é um dos pontos chave para o sucesso de um
projeto de mineração.
Visando a solução deste problema de estimativa de recursos o engenheiro de
minas Daniel G. Krige, em trabalhos com dados de concentração de ouro nas minas
de Rand na África do Sul, observou que somente a informação dada pela variância
era suficiente para explicar o fenômeno em estudo, sendo necessário levar em
consideração a distância entre as observações. Partindo desse princípio, surgiu o
conceito de geoestatistica, a metodologia mais aceita e utilizada atualmente.
A crescente utilização da geoestatistica na estimativa de recursos levou a
novos parâmetros que vieram a auxiliar na classificação de recursos em diferentes
1 HARQUAIL, D. Investing in Junior Mining Companies. In: 6º Mineral Economics Symposium of CIM, Canadian Institute of mining, Metallurgy and Petroleum, 1993, Montreal. 10 p.
13
classes, de acordo com o nível de risco envolvido, dando possibilidade de que
medidas quantitativas venham a fazer parte dos sistemas de classificação,
contribuindo na diminuição dos aspectos subjetivos desses sistemas. Devido a
importância da classificação de recursos no âmbito do setor mineral, surgiu a
necessidade do estabelecimento de diretrizes e recomendações que padronizassem
internacionalmente as práticas envolvidas neste processo. O JORC Code, também
denominado Código Australiano, é a norma mais utilizada pelas empresas e no meio
acadêmico para classificação de recursos na indústria mineral.
O objetivo deste trabalho é aplicar uma metodologia adequada para a
quantificação de recursos através da técnica de krigagem ordinária e classificação
de recursos através de um estudo de caso de um depósito de cobre, envolvendo a
modelagem geológica, a estimativa do inventário mineral, com revisão dos principais
conceitos geoestatísticos e classificação dos recursos segundo normas
internacionais estabelecidas pelo código JORC.
2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
De acordo com Guimarães (2004) fenômenos naturais apresentam-se
frequentemente com uma estruturação entre vizinhos, portanto, conclui-se que há
certo grau de dependência espacial entre as variáveis, ou seja, elas não são
totalmente aleatórias como descritas pela estatística clássica.
Portanto, os antigos métodos estatísticos não são, por si só, suficientes para
descrever um fenômeno. Partindo dessa constatação, a análise espacial dos dados
apresenta-se como uma alternativa e/ou uma complementação à análise clássica
dos dados, sendo que este tipo de análise considera a correlação entre as amostras.
Existem alguns procedimentos descritos em literatura de análise espacial de
dados, mas o mais recorrente é a metodologia de análise denominada
“geoestatistica”.
Esta técnica empírica foi desenvolvida primeiramente pelo Engenheiro de
minas Daniel G. Krige e pelo estatístico H. S. Sichel para estimativa do cálculo de
reservas minerais. Krige (1951), trabalhando com dados de concentração de ouro,
concluiu que somente a variância seria necessária para descrever o fenômeno em
14
estudo. Para isso, deveria levar em consideração a distância entre as amostras.
Partindo desse principio surge o conceito de geoestatistica a qual considera a
localização geográfica e a dependência espacial (CAMARGO et. al , 1998).
2.1 CONCEITOS FUNDAMENTAIS DE GEOESTATISTICA
No ínicio dos anos 60, baseado nas observações de Krige, o engenheiro de
minas G. Matheron (1963, 1971) desenvolveu a teoria das variáveis regionalizadas,
ou seja, das variáveis com condicionamento espacial. Ela foi definida como uma
função espacial numérica, variando de um local para outro, apresentando
continuidade aparente e cuja variação não pode ser representada por uma função
matemática simples (LANDIM, 2006).
Segundo Burrough2 (1987 apud Camargo et. al , 1998) a teoria das variáveis
regionalizadas implica que a variação de uma variável pode ser expressa pela soma
de três componentes: i) uma componente estrutural, associada a um valor médio
constante ou a uma tendência constante; ii) uma componente aleatória,
espacialmente correlacionada; e iii) um ruído aleatório ou erro residual.
Se representa uma posição em uma, duas ou três dimensões, então o valor
da variável em , é dado por:
(01)
Em que é uma função determinística que descreve a componente
estrutural em ; é um termo estocástico, que varia localmente e depende
espacialmente de ; e é um ruído aleatório não correlacionado, com
distribuição normal com média zero e variância . Sendo assim, a teoria das
variáveis regionalizadas, base teórica da geoestatistica, pode ser vista como um
grande ramo da estatística espacial (CRESSIE, 1993), que estuda a relação de uma
variável regionalizada com ela mesma numa outra posição.
2 BURROUGH, P. A. Principles of geographical information systems for land resources assesstment. Oxford,: Clanderon press, 1987. 193 p.
15
2.1.1 Hipóteses de estacionariedade
De acordo com Boezio (2004), em geoestatistica os dados disponíveis em
locais são considerados realizações de uma variável randômica . Nos locais
onde não se possui informação podem ser considerados como posições onde se
podem ter realizações da mesma variável. O conjunto das denominadas variáveis
randômicas ou aleatórias é chamado de função randômica.
As funções randômicas têm funções de distribuição de probabilidade que
dependem da posição para cada variável (GOOVAERTS, 1997). Assim chamada de
função multivariada caracteriza a incerteza conjunta dos valores .
Para inferi-la, é necessário dispor de um conjunto de repetições , o que na prática
não é possível. Segundo Armstrong (1998) geralmente assume-se que a variável em
consideração é estacionária.
Segundo Guimarães (2004) diz-se que uma variável é estacionária se o
desenvolvimento dessa variável no tempo ou no espaço ocorrer de maneira mais ou
menos homogênea, com oscilações aleatórias contínuas em torno de um valor
médio, em que nem as oscilações nem a amplitude média mudem bruscamente no
tempo ou no espaço. É importante salientar que as características de um processo
estacionário independem da origem adotada.
A estacionaridade requer que todos os momentos estatísticos não variem com
a translação na área em estudo. Como isto não pode ser verificado devido a
quantidade limitada de dados experimentais, somente são considerados os dois
primeiros momentos (média e covariância).
Se a esperança matemática de uma variável aleatória é constante,
independentemente da origem que se toma no espaço ou no tempo, podemos dizer
que a variável é estacionária de primeira ordem, sendo assim, a média será
constante para todo o processo (GUIMARÃES, 2004).
(02)
Se o segundo momento em relação a origem é constante, é dado que a
variância é constante independentemente da origem no espaço ou no tempo e,
portanto, o processo é estacionário de segunda ordem.
(03)
(04)
16
Seja a esperança do produto (covariância) do que ocorre em e , com
, definida como:
(05)
Se Z(x) é estacionária a covariância não depende de e , ou seja, da
origem, mas somente da distancia entre as observações e desta forma:
(06)
Segundo Guimarães (2004) é importante observar que a variância é um caso
particular de covariância, quando o valor de é zero, como mostra a eq. 07:
(07)
Muitas vezes as condições de estacionaridade de primeira e de segunda
ordem não são satisfeitas. Para essas situações foi desenvolvida a hipótese
intrínseca (MATHERON, 1965). Segundo Boezio (2004), neste caso, são os
incrementos da função que são assumidos como estacionários. A média (eq. 08) e a
variância (eq. 09) dos incrementos são dependentes do vetor de separação .
(08)
Onde:
é a diferença que define o incremento.
(09)
Onde:
é a função semi-variograma.
Se uma variável é estacionária de segunda ordem, então ela também é
intrínseca, mas nem toda variável estacionária intrínseca é de segunda ordem.
A hipótese intrínseca é a condição mais frequentemente usada em
geoestatística, devido ser menos restritiva e, portanto, o semivariograma é a
ferramenta mais difundida na geoestatística porque exige apenas a hipótese
intrínseca.
17
2.1.2 Semivariograma
O semivariograma é o método geoestatístico para diagnosticar a presença de
correlação espacial entre as amostras (DUARTE, 2000). Segundo Andriotti (2004) o
semivariograma é uma função intrínseca que reflete a estrutura do fenômeno
estudado, medindo as relações estatísticas que existem entre as amostras
espaçadas de sucessivos valores de . Para sua construção são usadas
simplesmente as diferenças ao quadrado dos valores obtidos (LANDIM, 2006).
Campozana (1990) descreve a análise semivariográfica como a etapa mais
importante da caracterização espacial de uma variável regionalizada. O semi-
variograma representa numericamente a continuidade espacial de um fenômeno
natural, como a continuidade de camadas sedimentares ou de tipos de solos,
levando em consideração a anisotropia e as feições estruturais do meio (OLIVEIRA,
2002).
O semivariograma é definido sobre os dados amostrais de acordo com a
eq. 10:
(10)
onde:
é a função semivariograma;
é o número de pares de valores medidos;
e são valores da i-ésima observação da variável regionalizada,
coletada nos pontos e , separados pelo vetor .
De acordo com Guimarães (2004), na função semivariância, quanto mais
próximos estiverem os pontos amostrados, maior será a semelhança entre eles e,
consequentemente, menor a semivariância. Em contrapartida, quanto mais distantes
estiverem os pontos amostrados maior será a variância (dispersão). Na teoria
geoestatística, temos que a uma distância a semivariância e, a
semivariância cresce com o incremento de , até atingir um valor constante
para que corresponde às variações aleatórias, ou seja, que não podem ser
justificadas pela semelhança de um ponto com outro.
18
A distância a partir da qual se torna aproximadamente constante é
chamada de alcance (a) da dependência espacial, sendo que as medições
realizadas a distâncias maiores que o alcance, têm distribuição espacial aleatória e,
portanto, são independentes entre si (GUIMARÃES, 2004). O valor de
constante é chamado de patamar (C).
É comum observar que para valores de igual a zero a variância seja
não-nula. Este fato pode ocorrer devido os seguintes motivos: variações a distâncias
menores do que a menor distância de amostragem, erros de amostragem, erros de
análise de laboratório, etc. Quando , surge um novo termo no
semivariograma, denominado efeito pepita (C0) e, neste caso, o patamar é dado por
. A Figura 1 apresenta um esquema das principais estruturas do
semivariograma.
Figura 01 - Parâmetros do semivariograma.
De acordo com Guimarães (2004), se o semivariograma for constante para
qualquer valor de , temos o efeito pepita puro e, neste caso, temos a ausência
total de dependência espacial, ou seja, a dependência espacial, se existir, será
manifestada a distância ou tempo menor que o espaçamento entre as amostras.
19
Existe outro tipo de semivariograma, o qual é caracterizado por apresentar a
semivariância com flutuações. Este semivariograma é chamado de semivariograma
cíclico ou periódico e indica uma periodicidade dos dados que pode ser justificada
por algum fator conhecido ou analisado por meio da densidade espectral.
Também podemos ter um tipo de semivariograma em que as semivariâncias,
crescem sem limites, para todos os valores de , ou seja, semivariogramas sem
patamar definido. Este semivariograma indica que a hipótese de estacionaridade
de segunda ordem não foi atendida e que provavelmente estamos trabalhando com
a hipótese intrínseca (fenômeno com capacidade infinita de dispersão). Ele indica
também que a máxima distância entre as amostras não foi capaz de exibir toda a
variância dos dados e provavelmente exista tendência dos dados para determinada
direção.
Podemos ter ainda um semivariograma com mais de uma estrutura de
variância, que são chamados de semivariogramas com estruturas entrelaçadas ou
semivariogramas imbricados. Nestes casos, uma explicação prática para esse
fenômeno é estarmos trabalhando com mais de uma população, por exemplo, até
uma determinada distância estamos trabalhando com uma determinada população e
a partir daí com outra ou outras populações. Os tipos de semivariogramas
experimentais são representados nas Figuras 2, 3, 4, 5 e 6.
Figura 02 - Semivariograma com patamar.
20
Figura 03 - Semivariograma com efeito pepita puro.
Figura 04 - Semivariograma sem patamar.
Figura 05 - Semivariograma cíclico.
21
Figura 06 - Semivariograma com estruturas entrelaçadas.
2.1.3 Grau de dependência espacial
Segundo Landim (2006) uma consideração importante a ser feita é sobre o
grau de aleatoriedade presente nos dados. O cálculo do grau de dependência
espacial ou de aleatoriedade pode ser feito através da eq. 11.
(11)
De acordo com o grau de dependência espacial da variável podemos
classificá-lo como:
componente aleatória pequena: maior ou igual a 0,15;
componente aleatória significante: compreendido entre 0,15 e 0,30;
componente aleatória muito significante: maior que 0,30.
O extremo dessa situação é o efeito pepita puro, mostrado na Figura 03, onde
não ocorre covariância entre as amostras e, portanto, a análise semivariográfica não
pode ser aplicada.
22
2.1.4 Isotropia e Anisotropia
De acordo com Andriotti (2004), se os semivariogramas para diferentes
direções tiverem o mesmo comportamento, diz-se haver isotropia da variável; caso
contrário, diz-se haver anisotropia.
Sendo um vetor e, consequentemente, o semivariograma dependendo da
sua magnitude e da sua direção, haverá isotropia no fenômeno quando para
qualquer direção de houver similaridade entre os semivariogramas. É relevante
ressaltar que este tipo de comportamento não é muito comum no estudo das
variáveis regionalizadas.
Entretanto, quando os semivariogramas não possuem um comportamento
igual para todas as direções de , ou seja, quando as propriedades do meio são
diferentes ao longo de direções distintas, dizemos que há anisotropia. Segundo
Camargo et. al (1998) quando a anisotropia é refletida pelo mesmo Patamar (C) com
diferentes Alcances (a) do mesmo modelo, então ela é denominada Geométrica,
Figura 07A. Se os semivariogramas apresentarem os mesmos Alcances (a) e
diferentes Patamares (C) denominamos de anisotropia Zonal, Figura 07B. Existe
outro caso de anisotropia, mais comum no estudo das variáveis regionalizadas, que
consiste na combinação da anisotropia geométrica e zonal, chamada anisotropia
Combinada, Figura 07C.
Figura 07 - Os tipos de anisotropia. (A) Anisotropia geométrica; (B) zonal e (C) mista.
Um modo muito utilizado para visualizar e calcular os parâmetros (fator e
ângulo) da anisotropia geométrica é através do esboço gráfico de uma elipse. Para o
eixo maior da elipse, denominado direção de maior continuidade, aplica-se o maior
23
alcance. Segundo as convenções adotadas por Deutsch e Journel (1998), o ângulo
da direção de máxima continuidade é definido a partir da direção norte e no sentido
horário. Seu valor corresponde à direção de maior alcance. O eixo menor é definido
pelo alcance na direção de menor continuidade, sendo esta ortogonal à direção
principal.
Figura 08 - Representação gráfica da anisotropia geométrica em duas dimensões. Fonte: modificada de Deutsch e Journel (1992).
Segundo Isaaks e Srivastava (1989), a anisotropia zonal pode ser
considerada como um caso particular de anisotropia geométrica, ao se supor um
fator de anisotropia muito grande. A estrutura do semivariograma é então adicionada
somente para a direção de maior continuidade.
2.1.5 Modelos variográficos
O gráfico do semivariograma experimental é formado por uma série de
valores sobre os quais se objetiva ajustar uma função. É importante que o modelo
ajustado represente a tendência de em relação a . Deste modo, as estimativas
obtidas serão mais exatas e, portanto mais confiáveis (CAMARGO et. al, 1998).
De acordo com Oliveira (2002) os modelos semivariográficos teóricos podem
ser divididos, segundo o patamar, em dois grupos: os que atingem um patamar,
24
sendo coerentes com a hipótese de estacionaridade de segunda ordem, e os que
não têm patamar. Para os primeiros pode-se fazer uma subdivisão em 3 grupos: (a)
modelos com comportamento linear próximo à origem; (b) modelos que apresentam
comportamento parabólico próximo à origem e (c) modelos de comportamento
constante, o efeito pepita.
Os modelos com patamar são:
1 Gaussiano: A curva é parabólica junto a origem e a tangente nesse ponto é
horizontal, o que indica pequena variabilidade para curtas distancias; “a”
corresponde ao alcance prático igual à distancia segundo a qual 95% do
patamar foi alcançado;
(12)
2 Esférico: A inclinação da tangente junto à origem ( ) é . É o modelo
mais comum, podendo-se afirmar que se equivale à função de distribuição
normal da estatística clássica;
3
102
1
2
3)(
a
h
a
hCCh para
(13)
10)( CCh para
3 Exponencial: Neste modelo a inclinação da tangente junto à origem é ; é
a assíntota de uma curva exponencial e pode ser equalizada junto à soleira; “a”
corresponde ao alcance prático igual à distancia segundo a qual 95% do
patamar foi alcançado;
(14)
4 Efeito buraco: Fenômenos cíclicos, que são comuns em geologia, podem afetar
de forma significativa o semivariograma causando depressões. Campozana
(1990) explica que isso ocorre pelo fato de que, a partir de uma distancia
correspondente a um ciclo, os pontos começam a ter correlação em outros
ciclos, causando diminuição nos valores de .
(15)
Os modelos sem patamar são:
25
1 Modelo potencial: é indicado para modelar fenômenos com capacidade infinita
de dispersão (não-estacionários) com variáveis que têm deriva;
para (16)
Os modelos apresentados são considerados modelos básicos, denominados
de modelos isotrópicos por Isaak e Srivastava (1989), havendo a existência de
outros modelos para explicar fenômenos mais complexos.
2.1.6 Krigagem
Segundo Landim (2006), Krigagem é uma técnica de estimativa de valores de
variáveis distribuídas no espaço ou no tempo, a partir de valores adjacentes
enquanto considerados como interdependentes pelo semivariograma. De acordo
com o autor, trata-se em último caso de um método de estimativas por médias
móveis. O termo Krigagem, do francês krigeage, foi cunhado pela escola francesa
de geoestatistica em homenagem ao engenheiro de minas sul-africano e pioneiro na
aplicação de técnicas estatísticas na avaliação de reservas Daniel G. Krige.
A diferença da Krigagem e outros interpoladores é a maneira como é feita a
atribuição dos pesos às diferentes amostras (CAMARGO et. al, 1998). Por exemplo,
na interpolação linear simples os pesos são todos iguais a ( é o número de
amostras). Na interpolação baseada no inverso do quadrado da distância, os pesos
são definidos como o inverso do quadrado das distâncias que separam o valor
estimado dos valores observados. No método geoestatístico da krigagem os pesos
são atribuídos a partir de uma análise espacial, baseado no semivariograma
experimental. Além disso, a krigagem fornece, em média, estimativas não
tendenciosas, ou seja, a média da diferença entre valores estimados e valores reais
para o mesmo ponto deve ser nula, e com variância mínima.
O uso do semivariograma para a estimativa por krigagem não exige que os
dados tenham distribuição normal, mas a presença de distribuições assimétricas,
com muitos valores anômalos, deve ser considerada, pois a krigagem é um
estimador linear (LANDIM, 2006).
26
Conforme descrito por Isaak e Srivastava (1989), a krigagem engloba um
conjunto de métodos de estimação, a saber: Krigagem simples, Krigagem ordinária,
Krigagem universal, Co-krigagem, Krigagem disjuntiva, etc. Este trabalho limita-se
somente a utilização da krigagem ordinária na estimativa de recursos.
2.1.6.1 Krigagem Ordinária
O método da krigagem ordinária (KO) é parte fundamental da geoestatistica
linear, sendo um método que fornece valores estimados não-tendenciosos (FOLLE,
2009). Segundo Boezio (2004) o método considera a média estacionária só na
vizinhança do local aonde vai se estimar.
O estimador de Krigagem ordinária pode ser escrito como na eq. 17:
(17)
onde:
é o estimador de krigagem ordinária para a variável no local .;
são os dados da variável disponíveis em locais ;
é o somatório dos pesos da krigagem atribuídos para cada valor .
Assim, a estimativa em um local , é determinada por uma combinação linear
dos dados disponíveis em locais no entorno de . Os pesos da krigagem são
escolhidos de forma que, simultaneamente, o valor esperado do erro seja nulo e a
variância mínima, ou seja:
(18)
onde:
é o erro da estimativa para krigagem ordinária para a variável
no local .
(19)
27
onde:
é o erro de estimativa da krigagem ordinária para a variável
no local ;
é a variância da krigagem ordinária.
A variância minimizada é então chamada de variância da krigagem e é dada
pela seguinte expressão:
(20)
onde:
é a variância da krigagem no local ;
é a covariância para um vetor de separação nulo, igual a variância à priori
dos dados ;
é o somatório dos pesos da krigagem ordinária atribuídos aos dados
da variável nos locais ;
é a covariância da variável entre os locais onde se
encontram as amostras e o local onde se estima;
é o parâmetro de lagrange.
A variância da krigagem depende do modelo de covariância e da
configuração dos dados, mas é independente dos valores desses dados. Dessa
forma, transforma-se em um indicador da qualidade da geometria das amostras, não
avaliando a dispersão local dos erros (DEUTSCH e JOURNEL, 1998).
Na Krigagem tem-se um efeito de suavização, já que a variância global
diminui em relação à variância inicial dos dados (GOOVAERTS, 1997). Isso
acontece, já que o sistema de krigagem assegura que a covariância entre as
amostras e o ponto estimado seja correta, mas não é correta a covariância entre
pontos estimados. Pela relação de Krige (ISAAKS e SRIVASTAVA, 1989) a
variância total a priori dos dados pode ser escrita como:
(21)
onde:
é a variância a priori dos dados;
28
é a variância da krigagem como foi definida na equação 20;
é a variância entre blocos.
Para a avaliação do modelo variográfico e dos parâmetros de estimativa,
existem várias técnicas de validação, sendo a mais utilizada a técnica denominada
validação cruzada (cross validation). A técnica consiste em retirar uma amostra com
valor conhecido e estimá-lo com as amostras remanescentes na vizinhança. O
erro será a diferença entre o valor estimado e o valor verdadeiro. É desejável que
esse erro esteja distribuído simetricamente em torno de zero e sua média seja nula
com baixa variância (BOEZIO, 2004). Também, ao construir um gráfico de dispersão
entre os valores verdadeiros e os valores estimados, é desejável que os pontos
alinhem-se ao longo de uma reta com inclinação de 45º e com coeficiente de
correlação próximo a um.
2.2 CLASSIFICAÇÃO DE RECURSOS
Atualmente, o inventário de recursos e reservas minerais é um parâmetro
chave no conjunto de ativos de companhias de mineração e sua estimativa confiável
é crucial tanto para estudos de viabilidade quanto para a operação diária de uma
mina (SOUZA, 2007). Devido ao grande número de fraudes no setor mineral, como
exemplos Busang na Indonésia (Bre-X), Josh em Nevada/EUA (Delgratia mining) e
Stenpad em Gana (Golden Rule Resources) (NEUSS, 2001), alguns códigos de
classificação de recursos foram propostos objetivando uma maior transparência,
materialidade e competência.
O “JORC CODE” ou simplesmente NORMAS JORC é um conjunto de
Normas e recomendações australianas para relatórios de recursos minerais e
reservas de minério, determinam os requisitos fundamentais, diretrizes e
recomendações para o preparo de relatórios públicos com resultados de exploração
mineral e estimativas de recursos e reservas de minério adotadas na Austrália e por
empresas que vendem ações na bolsa de valores da Nova Zelândia (NZX) e
Austrália (ASX). Foi preparado pelo Joint Ore reserves committee (JORC) e,
segundo a revisão de dezembro de 2004, recomenda que a as estimativas de
29
Recursos Minerais e/ou Reservas de Minério na qual se baseia o Relatório Público
de Recursos Minerais e/ou Reservas de Minério, deve ser preparada, diretamente
ou sob supervisão, e assinada por uma pessoa membro ou associada do
Australasian Institute of mining and metallurgy ou Australian Institute of
Geoscientistis.
De acordo com o código JORC os recursos minerais podem ser classificados,
com relação a ordem de confiança geológica, em:
i Recursos inferidos: Parte do recurso mineral para a qual a tonelagem, teor e
conteúdo mineral podem ser estimados com baixo grau de confiabilidade. É
inferido a partir de evidência geológica, com presumida, mas não comprovada,
continuidade geológica e de teor. Deve abranger as situações onde a ocorrência
ou concentração de minério foi identificada com medições e amostragens, porém
os dados são insuficientes para permitir confiável interpretação dos teores e da
continuidade geológica;
ii Recursos indicados: Parte do recurso mineral em que a forma do corpo, sua
tonelagem, as densidades, as características físicas, o teor e o conteúdo mineral
podem ser estimados com razoável grau de precisão. Os locais de amostragem
se situam a grandes distâncias ou a espaçamentos insatisfatórios, inadequados
para a confirmação da continuidade geológica e/ou de teor, mas suficientemente
próximos para admitir a continuidade da mineralização. A confiança na
estimativa é suficiente para que sejam aplicados parâmetros técnicos e
econômicos e para que seja realizada uma avaliação de viabilidade econômica.
iii Recursos medidos: é a porção de um recurso mineral para o qual a tonelagem,
densidades, formato, características físicas, teor e conteúdo mineral podem ser
estimados com alto grau de precisão. Os locais de amostragem estão
espaçados em proximidade suficiente para confirmar a continuidade geológica e
de teores.
. A parte economicamente lavrável de um recurso mineral medido ou indicado
é denominado reserva de minério. Segundo o código JORC, revisão de dezembro
2004, pode ser classificada em ordem de confiabilidade, em:
a) Reserva de minério provável: É a parte economicamente lavrável de um
recurso mineral indicado, e em alguns casos, de um recurso mineral medido;
30
b) Reserva de minério provada: é a parte economicamente lavrável de um
recurso mineral medido. A reserva de minério provada possui mais alto grau
de confiabilidade em relação a reserva de minério provável.
Figura 09 - Exemplos de dois esquemas de classificação de recursos e reservas publicados. (a) Proposta da SME (Society of Mining Engineers – US). (b) Classificação segundo o
AusIMM (Australasian Institute of Mining and Metalurgy) em uso na Austrália desde 1980.
3 MATERIAIS E MÉTODOS
A primeira etapa deste trabalho consistiu no recebimento do banco de dados
de cobre proveniente da análise química dos furos de sondagem do depósito. Para
manter a integridade e o sigilo sobre os dados do depósito de cobre a localização
Recursos
Inferido
Indicado
Medido
Reservas
Provável
Provada
Aumento do nível
de conhecimento
geológico e
confiabilidade
dos dados
Fatores econômicos, método de lavra,
processo metalúrgico, oscilações no
mercado, aspectos ambientais, sociais e
governamentais podem causar a
transferências entre recursos e reservas
(a) Informações de Exploração
Recursos minerais
identificados (in situ)
Inferido
Indicado
Medido
Reservas Minerais
(lavráveis)
Provável
Provada
Aumento do nível
de conhecimento
geológico e
confiabilidade
dos dados
Consideração de fatores econômicos, método
de lavra, processo metalúrgico, oscilações no
mercado, aspectos ambientais, sociais e
governamentais
(b) Terminologia para Relatórios
Recursos
Inferido
Indicado
Medido
Reservas
Provável
Provada
Aumento do nível
de conhecimento
geológico e
confiabilidade
dos dados
Fatores econômicos, método de lavra,
processo metalúrgico, oscilações no
mercado, aspectos ambientais, sociais e
governamentais podem causar a
transferências entre recursos e reservas
(a) Informações de Exploração
Recursos minerais
identificados (in situ)
Inferido
Indicado
Medido
Reservas Minerais
(lavráveis)
Provável
Provada
Aumento do nível
de conhecimento
geológico e
confiabilidade
dos dados
Consideração de fatores econômicos, método
de lavra, processo metalúrgico, oscilações no
mercado, aspectos ambientais, sociais e
governamentais
(b) Terminologia para Relatórios
31
não será divulgada e os teores do metal no banco de dados foram multiplicados por
um fator transformador.
A etapa seguinte consistiu na verificação da consistência do banco de dados
através da checagem do relatório de erros dos furos e verificação da ausência de
dados. Na ocorrência de erros na checagem, as linhas referentes ao erro foram
analisadas individualmente.
Posteriormente, foi aplicada a análise exploratória dos dados seguida do
modelamento geológico, elaboração do modelo de blocos, estimativa e classificação
dos recursos, como pode ser visto na Figura 10.
Figura 10 - Seqüência metodológica adotada.
Devido ao grande número de litologias no depósito (12 litologias) foi realizada
a estimativa dos recursos envolvendo todos os litotipos existentes, salientando que
uma análise pormenorizada de cada litologia produziria resultados mais confiáveis
para a avaliação do depósito.
Para a análise exploratória e organização do banco de dados foram utilizados
os aplicativos Microsoft Excel (2007) e Bloco de Notas (2007). Para o tratamento
geoestatistico e classificação de recursos minerais foram usados os softwares
DATAMINE Studio 2, SGEMS (Stanford geoestatistical modeling software) versão
32
2.1 e Gslib90. Os procedimentos de modelamento geológico e modelamento de
blocos foram realizados pelo programa DATAMINE Studio 2.
4 ESTUDO DE CASO
Neste item, são apresentadas as características do banco de dados, bem
como os resultados obtidos através da técnica de modelamento geológico,
estimativa dos recursos e classificação do inventário mineral.
O banco de dados utilizado na metodologia apresentada foi, por motivos de
confidencialidade, modificado. Os valores de teor do metal foram multiplicados por
um fator transformador, de maneira a alterar os valores de porcentagem de cobre
originais, não havendo prejuízo à aplicação da metodologia proposta e análise dos
resultados no referido estudo.
4.1 O BANCO DE DADOS
Para o propósito do estudo de caso deste trabalho, utilizou-se um banco de
dados composto por informações referentes a 59 furos de sonda rotativa com coroa
diamantada, sendo que a malha de sondagem foi executada em um espaçamento
aproximado de 50 por 100 m. Os furos de sonda foram tipicamente iniciados em
tamanho H (65 mm de diâmetro) e depois reduzidos para tamanho N (47,6 mm de
diâmetro) de acordo com as condições de perfuração. A profundidade média dos
furos de sonda é de aproximadamente 334 m, perfazendo um total de 19.720 m
perfurados e com mergulho aproximado de -55º com azimute para o norte.
A base de dados dos furos de sondagem foi recebida em quatro arquivos
(csv), sendo:
Collars: BHID (identificador do furo), XCOLLAR (coordenada E-W da boca do
furo), YCOLLAR (coordenada N-S da boca do furo) e ZCOLLAR (cota da boca
do furo);
33
Survey: BHID (identificador do furo), AT (profundidade na qual a medição do
desvio do furo foi realizada), BRG (azimute do furo), DIP (mergulho do furo);
Assays: BHID (identificador do furo), FROM (profundidade onde o intervalo da
amostra se inicia), TO (profundidade na qual o intervalo da amostra termina),
CU (teor de cobre);
Geology: BHID (identificador do furo), FROM (profundidade na qual o intervalo
de amostra se inicia), TO (profundidade onde o intervalo de amostra termina),
LITOCODE (código numérico da litologia), DENSIDADE (densidade da
amostra), LITOTYPE (código litológico alfabético).
Os furos foram recompostos através do processo validate and desurvey do
software Datamine. Este processo toma os dados dos arquivos collars, survey,
assays e geology e os recompõe em outro formato, onde cada segmento de amostra
é identificado por sua localização e distribuição no espaço. A recomposição é um
método padrão para a geração dos traços de furos de sondagem em 3D. Através
desse método é possível também identificar erros na base de dados dos furos, pela
geração do relatório de erros de checagem. O processo foi realizado para o banco
de dados e alguns erros foram identificados. Os erros eram derivados de uma
desorganização na sequência dos intervalos das amostras em alguns furos na base
de dados original, os quais foram identificados e os respectivos erros solucionados.
A Figura 11 mostra a localização das sondagens utilizadas no presente
estudo.
Figura 11 – Mapa de localização dos furos de sondagem (plan 480.1 azi 0.0).
34
O banco de dados fornecido é composto por 13.381 amostras e possui
informações de Cu e densidade. O comprimento médio das amostras é de 1,072
metros com uma variação de 0,4 a 2,36 m. Objetivando a padronização do suporte
amostral, a base de dados passou por uma etapa de regularização. As amostras
foram compostas em intervalos de 2 metros, começando da parte superior do furo.
4.2 MODELAMENTO GEOLÓGICO
De acordo com Ferreira (2006) um modelo geológico nada mais é do que a
representação e interpretação de um depósito mineral em um determinado espaço
amostral. Desde os primórdios do planejamento de lavra o modelamento geológico
da jazida começa por seções horizontais e/ou verticais suportadas por furos de
sondagem, perfis verticais, amostras de solo, etc.
Sendo assim, o modelamento geológico foi realizado através da interpretação
dos furos de sondagem além de informações sobre a gênese de depósitos de cobre,
gerando seções verticais espaçadas entre si. Após a definição das seções verticais
paralelas foi realizada a ligação (triangulação) entre as seções, formando um sólido
constituído por triângulos, denominado, neste trabalho, de wireframe. No software
DATAMINE Studio 2 existem três métodos disponíveis de triangulação:
minimum surface area: Através da utilização deste método o sistema realiza a
triangulação fazendo com que a superfície da wireframe tenha a menor área
possível;
equi-angular Shape: método no qual o sistema cria triângulos equi-ângulares;
Proportional Length: o programa cria triângulos objetivando manter a melhor
posição proporcional.
Figura 12 - Métodos de triangulação disponíveis no software DATAMINE Studio 2: a)
minimum surface área; b) equi-angular shape e c) proportional length.
35
O método de triangulação utilizado foi o Equi-angular shape por apresentar
resultados mais aceitáveis, sem muitas irregularidades no sólido gerado. O modelo
geológico tridimensional do depósito, resultado da técnica de modelamento, é
apresentado nas Figuras 13 e 14.
Figura 13 – Triangulação do corpo de minério pelo método Equi-angular Shape.
Figura 14 - Modelo geológico tridimensional: a) vista em planta e b) vista em seção vertical.
36
4.3 ANÁLISE EXPLORATÓRIA DOS DADOS REGULARIZADOS
De acordo com Guimarães (2004), a análise exploratória dos dados é um
método de grande importância na análise estatística, consiste em um procedimento
de análise preliminar dos dados objetivando conhecer a variável em estudo e
resumi-la através de interpretações gráficas e estatísticas.
A Figura 15 apresenta o histograma dos teores de cobre regularizados,
enquanto a Tabela 1 mostra a estatística descritiva da variável cobre.
Figura 15 - Histograma dos dados regularizados para a variável cobre.
Tabela 1 - Estatística descritiva dos dados regularizados para a variável cobre.
Média 0,274
Desvio padrão 0,638
Variância 0,407
Coeficiente de variação 2,33
Mínimo 0,005
Máximo 27,915
Curtose 928,175
q(0,25) 0,055
q(0,50) 0,14
q(0,75) 0,32
q(0,90) 0,62
q(0,95) 0,911
q(0,97) 1,165
q(0,98) 1,44
q(0,99) 1,845
37
Como pode ser observado, o coeficiente de variação da variável cobre está
acima de 2, o que significa que os valores anômalos têm influência considerável no
comportamento dos dados. Isto pode ser confirmado através da verificação de
outliers no histograma da variável. Este fato é explicado por trabalharmos com todas
as litologias simultaneamente, considerando o depósito como uma única população
para o presente trabalho, como foi mencionado anteriormente.
A técnica de capping tem a finalidade de eliminar os valores anômalos das
variáveis, que podem aumentar a variância dos teores e sistematicamente
desestruturar os variogramas experimentais, além de evitar a superestimativa local
da variável (FREITAS, 2009). O método de capping pode ser feito de duas formas:
análise de quantil, onde se verifica o Quantil 99 que serve como referência. Os
valores acima do valor de capping (Q99) são rebaixados a esse patamar;
análise dos valores acima do dobro do desvio padrão.
O método de capping utilizado foi baseado na análise do Quantil 99, calculado
na estatítica univariada. A Figura 16 mostra o histograma dos teores após a
aplicação da técnica para a variável cobre, evidenciando um impacto dos teores
anômalos na média de 7% e redução do coeficiente de variação para 1,27.
Figura 16 - Histograma dos teores do cobre após aplicação do capping.
38
A Tabela 2 mostra a estatística univariada realizada para a variável densidade
nas compostas e seu respectivo histograma na Figura 17.
Tabela 2 - Estatística univariada para densidade nas compostas.
Média 2,818
Desvio padrão 0,11
Variância 0,012
Coeficiente de variação 0,039
Mínimo 2,7
Máximo 3,26
Curtose -1,422
q(0,25) 2,7
q(0,50) 2,76
q(0,75) 2,96
q(0,90) 2,96
q(0,99) 3
.
Figura 17 - Histograma dos dados regularizados para a variável densidade.
39
4.4 CONTINUIDADE ESPACIAL
De acordo com Peroni (2002) através do cálculo do semivariograma em
diferentes direções, torna-se possível capturar a anisotropia da continuidade
espacial, ou seja, a diferença de continuidade de uma variável em distintas
orientações. Dessa forma, o comportamento espacial de um dado atributo geológico
é modelado e traduzido em um modelo matemático que é, então, utilizado para a
interpolação.
Issaaks & Srivastava (1989) apresentam as regras básicas para o melhor
ajuste do modelo de continuidade espacial ao semivariograma experimental.
Normalmente, é utilizado o semivariograma experimental onidirecional para o ajuste
inicial definindo o número de estruturas e o patamar do modelo semivariográfico,
Baseando-se nesse modelo, são ajustados os semivariogramas direcionais.
Teoricamente, quanto melhor o comportamento espacial tiver sido modelado, maior
será a confiabilidade do modelo interpolado.
No presente trabalho, o critério utilizado para a modelagem semivariográfica
foi ajustar os modelos até o patamar estabelecido pela variância a priori dos dados.
Apesar de que, em alguns casos, o ajuste pudesse ter sido feito ligeiramente acima
ou abaixo da linha de variância, isto se justifica pelo fato de que como o alcance das
variáveis era relativamente grande em relação ao espaçamento das amostras, a
parte inicial dos semivariogramas teria maior influência nas medidas de continuidade
e, consequentemente, no processo de estimação. Para a definição da componente
aleatória do modelo semivariografico foram construídos semivariogramas ao longo
dos furos de sondagem (Down the hole), tomando pares de amostras em distancias
de 2 metros, como mostrado na Figura 18.
40
Figura 18 - Semivariograma Down the Hole para a variável cobre.
Posteriormente foram gerados semivariogramas em 8 direções no plano XY,
de forma a definir a direção de maior e menor continuidade dos teores. Após a
definição da direção preferencial do depósito foi analisada a existência de mergulho
e plunge no corpo mineral, através da realização de semivariogramas nos planos XZ
e YZ, respectivamente. As Figuras 19, 20 e 21 apresentam os semivariogramas nas
direções 22,5º/D60 (maior alcance), 112,5º (menor alcance) e 22,5º/D-30 (alcance
intermediário).
41
Figura 19 - Semivariograma na direção N22,5º/D60 (maior alcance).
Figura 20 - Semivariograma na direção N112,5º (menor alcance).
42
Figura 21 - Semivariograma na direção N22,5º/D-30 (alcance intermediário).
A eq. (22) apresenta o modelo de continuidade espacial para a variável cobre,
com um efeito pepita de 0,026, um patamar de 0,106 e um modelo esférico com
alcances distintos para cada uma das direções de continuidade (anisotropia
geométrica).
222222
3,2,1208
30/5,22
124
5,12'1
264
.60/5,22*05,0
92
30/5,22
96
5,112
44
60/5,22*03,0026,0
DNNDNsph
DNNDNsphhhh
(22)
O mesmo estudo de continuidade espacial e definição de modelo semivariográfico foi
realizado para a variável densidade, de modo a fornecer parâmetros à sua estimativa nos
blocos do modelo, possibilitando cálculos em tonelagens reais. O modelo de continuidade
espacial para a variável densidade pode ser visualizado na eq. (23).
222222
3,2,1240
80/5,22
260
5,12'1
256
.10/5,22*008,0
68
80/5,22
40
5,112
104
10/5,22*003,00001,0
DNNDNsph
DNNDNsphhhh
(23)
43
4.5 VALIDAÇÃO DO MODELO DE CONTINUIDADE ESPACIAL
A verificação da validade do modelo de continuidade espacial e,
consequentemente, da qualidade da estimativa é realizada por meio da re-estimativa
dos pontos amostrados, em um procedimento conhecido como validação cruzada
(Isaaks & Srivastava, 1989). A técnica consiste na retirada do valor amostrado e a
estimativa desse ponto através da krigagem ordinária pontual, considerando a
vizinhança circunvizinha e o modelo de anisotropia ajustado. O valor estimado é
adicionado ao banco de dados original para a estimativa do ponto seguinte.
Este procedimento é repetido em todos os pontos amostrais. Depois de
concluído o processo é calculado as diferenças entre os valores estimados e os
valores reais, obtendo os erros residuais. A média dos erros residuais da estimativa
deve ser zero ou próxima desse valor. Nas Figuras 22 e 23 podem ser observados
os histogramas dos erros residuais para a variável cobre e densidade,
respectivamente, mostrando que a estimativa de ambas as variáveis não apresenta
tendenciosidade.
Figura 22 - Histograma do erro residual da estimativa para a variável cobre
44
Figura 23 - Histograma dos erros residuais da estimativa para a variável densidade.
Outro indicador da qualidade da interpolação é a correlação entre os valores
estimados e os valores reais através da construção de um scatterplot (gráfico de
dispersão). No caso de uma estimativa perfeita, os valores estimados e os valores
verdadeiros plotariam uma reta a 45º no gráfico de dispersão, e o coeficiente de
correlação, usado para sumarizar o quão perto os pontos se aproximam da reta,
seria 1. O scatterplot dos valores verdadeiros e dos valores estimados para a
variável cobre pode ser visualizado na Figura 24, onde se verifica uma correlação
aceitável, evidenciando o não-enviesamento condicional da estimativa.
45
Figura 24 - Gráfico de dispersão entre os valores verdadeiros e os valores estimados para o cobre.
4.6 ESTIMATIVA DE RECURSOS
4.6.1 Modelo de blocos
Segundo Peroni (2002) um dos problemas frequentemente enfrentados por
engenheiros de minas é a definição dos limites do corpo mineral, assim como a
avaliação da quantidade e qualidade dos parâmetros de interesse. O método mais
utilizado atualmente para a resolução deste problema consiste na representação de
um modelo de blocos do depósito.
O modelo de blocos consiste na discretização do corpo mineral em unidades
de lavra que servirão de base para o planejamento. Estas unidades de lavra,
também denominadas de blocos de cubagem, têm a forma de paralelepípedos e
suas dimensões dependem de aspectos técnico-mineiros, geológicos e práticos.
Após a elaboração do modelo de blocos pode ser realizada a etapa referente à
estimativa de recursos, atribuindo teor a cada unidade de lavra do modelo através
de métodos de interpolação.
46
A construção do modelo de blocos para o presente estudo foi realizado no
software Datamine®, discretizando o corpo mineral em blocos de 10 metros de
largura, 10 metros de comprimento e 16 metros de altura, não fazendo o uso de sub-
células. Os parâmetros utilizados na elaboração do modelo de blocos são mostrados
na Tabela 3.
Tabela 3 - Parâmetros do modelo de blocos para o depósito.
Origem (UTM) Dimensão Nº de blocos
X (Leste) 6987,68 10 224
Y (Norte) 10184,15 10 143
Z (Elevação) -200 16 36
4.6.2 Interpolação dos teores de cobre e densidade
A técnica utilizada para a estimativa dos recursos minerais foi a Krigagem
Ordinária, método geoestatístico muito utilizado na estimativa de inventário mineral.
Os parâmetros de krigagem como dimensões do elipsóide de busca, anisotropia da
vizinhança e número mínimo e máximo de amostras, foram definidos baseados na
análise estatística e de correlação espacial. Segundo Freitas (2009) o correto
equacionamento desses parâmetros são fundamentais na minimização da variância
e na exatidão da estimativa e devem ser testados em um processo iterativo de
“tentativa e erro”.
A estimativa por krigagem ordinária foi realizada em 3 passos de forma a
propiciar a classificação de recursos. Para o primeiro passo os eixos do elipsóide de
busca foram ajustados ao valor correspondente a 50% do alcance semivariográfico.
Para o segundo e terceiro passo os eixos do elipsóide foram multiplicados por um
fator de expansão, de forma a atingir 100% e 200% do alcance do modelo,
respectivamente. É importante salientar que blocos estimados no primeiro passo
foram excluídos do segundo, e aqueles estimados no segundo foram excluídos do
terceiro passo. Na Tabela 4 são apresentados os parâmetros de krigagem para cada
passo.
47
Tabela 4 - Parâmetros de krigagem para a variável cobre e densidade.
4.6.3 Modelo de validação
Para checar a validade do modelo de recursos do depósito, uma validação
independente foi realizada para avaliar a execução e a conformidade da krigagem
com a base de dados original. Uma série de validações foi realizada incluindo:
Comparação estatística entre as amostras e os blocos krigados;
Validação visual dos teores estimados versus teores das compostas;
Swath plots comparando teores dos blocos e teores das compostas.
Como um comentário geral em relação as validações realizadas neste
trabalho, as análises somente determinam se a estimativa foi realizada dentro do
previsto. Validações com resultados aceitáveis não necessariamente significam que
o modelo está correto ou derivado de uma estimativa correta. Somente significa que
o modelo de recursos é uma razoável representação das amostras usadas e do
método de estimativa aplicado.
48
4.6.3.1 Comparação estatística
A comparação estatística global entre compostas e blocos estimados é um
modo útil de realizar uma validação global dos resultados da estimativa. O modelo
de blocos deve mostrar concordância com as amostras e representar globalmente a
média dos teores dos dados originais.
A análise estátistica global para o cobre e para a variável densidade indicou
que os blocos estimados honraram a média global das compostas. Foi evidenciada
uma subestimativa da média global dos blocos krigados comparado com a média
das amostras, o que significa que os blocos estimados são conservadores. Na
Tabela 5 pode ser visualizada a comparação estatística entre os blocos krigados e
as compostas para o cobre e para a densidade.
Tabela 5 - Estatística blocos versus amostras.
Medida estatística Cobre Densidade
Blocos Amostras Blocos Amostras
Média 0,22 0,25 2,79 2,81
Desvio padrão 0,12 0,32 0,09 0,1
Variância 0,02 0,11 0,01 0,01
Coeficiente de variação 0,56 1,27 0,03 0,04
4.6.3.2 Validação Visual
Os teores estimados do depósito mostraram uma boa comparação visual com
as amostras dos furos de sondagem. Os blocos krigados, embora levemente
suavizados, seguiram as tendências dos dados amostrados razoavelmente bem. As
Figuras 25 e 26 apresentam as seções de validação visual para a variável cobre e
densidade, respectivamente.
49
Figura 25 - Seção N-S 8429,82 comparando teores de cobre estimados com as amostras dos furos de sondagem.
Figura 26 - Seção N-S 8199,82 comparando valores de densidade estimados com as amostras dos furos de sondagem.
4.6.3.3 Swath plots
Em muitas circunstâncias, as comparações estatísticas globais entre as
amostras e os blocos estimados podem ser potencialmente enganadoras devido o
fato de serem influenciadas pelos efeitos de extrapolação, cobertura errática dos
furos e geometria dos domínios da estimativa. Para continuar a avaliar a
50
conformidade entre os blocos krigados e as amostras, em uma abordagem semi-
local, swath plots foram conduzidos para o depósito.
O swath plot é uma representação gráfica da distribuição de teores derivada
de uma série de faixas, geradas em algumas direções através do depósito e
compara a média dos teores estimados com a média das amostras. Uma estimativa
por vizinho mais próximo foi executada como uma checagem com a krigagem.
Foram preparadas faixas norte-sul, com 100 metros de largura, comparando os
teores médios das compostas, dos blocos krigados e dos blocos estimados por
vizinho mais próximo. A Figura 27 representa a localização das faixas N-S para o
depósito.
Figura 27 - Mapa de localização das faixas norte-sul.
O swath plot para o cobre mostrou boa reprodução local do teor das
amostras, evidenciando em alguns pontos uma leve subestimativa da variável. A
Figura 28 mostra o swath plot para a variável, comparando os teores médios dos
blocos krigados, das compostas e da estimativa por vizinho mais próximo. Também
foram realizados swath plots verticais em intervalos de 50 metros, como mostrado na
Figura 29.
51
Figura 28 - Swath plot horizontal para o cobre.
Figura 29 - Swath plot vertical para a variável cobre.
Os swath plots para a densidade mostraram uma boa reprodução da média
local da variável, como pode ser visto nas Figuras 30 e 31.
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
Teo
r m
édio
Cu
%
Swath Plot - Cu
krigado
Compostas
Vizinho mais próximo
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Teo
r m
édio
Cu
%
Profundidade
Swath Plot vertical - Cu
Krigado
Compostas
Vizinho mais próximo
52
Figura 30 - Swath plot horizontal para densidade.
Figura 31 - Swath plot vertical para a variável densidade.
2,68
2,7
2,72
2,74
2,76
2,78
2,8
2,82
2,84
2,86
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
Teo
r m
éd
io C
u%
Swath Plot - Densidade
Krigado
Compostas
Vizinho mais próximo
2,72
2,74
2,76
2,78
2,8
2,82
2,84
2,86
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Den
sid
ade
méd
ia
Profundidade
Swath Plot vertical - densidade
Krigado
Compostas
Vizinho mais próximo
53
4.7 CLASSIFICAÇÃO DE RECURSOS
Os critérios de classificação de recursos utilizados no presente trabalho foram
baseados nos parâmetros de continuidade espacial dos teores fornecidos pelo
estudo geoestatístico, distribuição espacial e quantidade de amostras usadas para
estimar o bloco e continuidade geológica, representada pelo modelo de minério,
estando de acordo com os padrões definidos no código JORC, revisão de dezembro
de 2004, classificação segundo o AusIMM (Australian Institute of Mining and
Metalurgy), em uso na Austrália desde 1980.
Os recursos foram classificados em medidos, indicados e inferidos com base
no passo no qual o bloco foi estimado. Os blocos estimados no passo 1 foram
classificados como recursos medidos, enquanto os blocos estimados no passo 2
foram definidos como recursos indicados e os blocos estimados no passo 3 como
inferidos. A Tabela 6 apresenta um sumário estatístico dos blocos estimados por
categoria.
Tabela 6 - Sumário estatístico dos recursos Medido, Indicado e Inferido.
Medido Indicado Inferido
Média 0,25 0,22 0,20
Desvio padrão 0,15 0,13 0,10
Variância 0,02 0,02 0,01
Coef. De variação 0,60 0,60 0,49
Nº de blocos 68256 138862 178466
Porcentagem 18% 36% 46%
A classificação de recursos deve refletir o grau de confiabilidade dos teores
estimados nos blocos, levando em consideração parâmetros geoestatísticos como
número de amostras, proximidade entre o ponto a ser estimado e a amostra, etc. De
forma a verificar a coerência da categorização dos recursos para o depósito foram
54
checadas seções verticais e planos, comparando visualmente a quantidade de
amostras e a distância das amostras para o ponto estimado por classe. A Figura 32
mostra uma seção vertical utilizada para a checagem visual da classificação de
recursos evidenciando uma redução gradativa da quantidade de amostras do
recurso medido (azul) ao inferido (vermelho).
Figura 32 - Seção N-S para checagem visual da classificação de recursos do depósito.
Os recursos medidos calculados pela técnica de krigagem totalizam 307 Mt
de minério sulfetado com um teor médio de 0,25%, enquanto os recursos indicados
somam 621 Mt e os inferidos 791 Mt. A Tabela 7 sumariza o total de recursos
medidos, indicados e inferidos em incrementos de teores de corte.
Tabela 7 - Total de recursos medidos, indicados e inferidos em incrementos de teores de corte.
Total de recursos medidos
Cut-off (Cu%) Teor médio acima do Cut-off Mt
0 0,25 307,35
0,1 0,28 272,12
0,2 0,34 177,9
0,3 0,44 91,34
0,4 0,54 44,9
0,5 0,63 22,13
0,6 0,72 10,91
Total de recursos Indicados
55
Cut-off (Cu%) Teor médio acima do Cut-off Mt
0 0,22 621,73
0,1 0,25 538,96
0,2 0,33 304,33
0,3 0,42 139,39
0,4 0,52 63,45
0,5 0,61 28,51
0,6 0,7 11,7
Total de recursos Inferidos
Cut-off (Cu%) Teor médio acima do Cut-off Mt
0 0,2 791,6
0,1 0,21 678,11
0,2 0,29 313,65
0,3 0,38 98,64
0,4 0,48 29,35
0,5 0,58 8,72
0,6 0,68 2,63
Os recursos medidos e indicados somam 929 Mt com um teor médio de
0,23% de cobre. A Figura 33 mostra a curva de parametrização dos recursos
medidos e indicados.
Figura 33 - Curva de parametrização para os recursos medidos e indicados.
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Cu
%
Re
cu
rso
s M
ed
ido
s e
In
dic
ad
os (
Mt)
Cut-off (%)
Curva de parametrização
Massa
Teor (Cu%)
56
4.8 ESTIMATIVA DAS RESERVAS MINERAIS
Para a definição das reservas foram considerados somente o minério
sulfetado nos recursos medidos e indicados, segundo critérios definidos no código
JORC, revisão de dezembro de 2004, classificação segundo o AusIMM (Australian
Institute of Mining and Metalurgy), onde os recursos minerais inferidos não são
considerados devido seu baixo grau de confiabilidade.
A estimativa das reservas de minério foi feita analisando os recursos minerais
com base no teor de corte e categoria a que pertencem. Os parâmetros utilizados
para o cálculo de teor de corte marginal (breakeven cutt-off) para a jazida podem ser
observados na Tabela 8. Os parâmetros foram definidos, em caráter preliminar,
baseados em projetos do mesmo bem mineral na região.
Tabela 8 - Parâmetros utilizados para a determinação do teor de corte do depósito.
Parâmetro Unidade Valor
Custo de processamento (CTP) US$/ton 9,42
Custo de recuperação ambiental (Crec) US$/t 1,25
Preço do cobre (PrCu) US$/lb 1,98
Custo de venda (CvCu) US$/lb 0,381
Recuperação da flotação (RcCu) % 96,40%
Recuperação da fundição (RfCu) % 82,12%
Perda no transporte (PT) % 0,40%
Fator de conversão ton para lb 0,220462
O teor de corte marginal (G) é aquele em que os custos com a lavra e
beneficiamento de um bloco são iguais ao beneficio obtido com a venda do mesmo,
é dado pela eq. (24).
(24)
O teor de corte calculado para o depósito com os parâmetros descritos é de
0,27% de cobre.
Para a estimativa de reservas foi definido que os blocos classificados como
recursos medidos ou indicados que possuem teor igual ou acima do teor de corte
(>0,27%) vem a constituir as reservas provadas. Em contrapartida, os blocos
classificados como recursos medidos ou indicados com teor abaixo do teor de corte
57
(<0,27%) constituem, portanto, as reservas prováveis. A Tabela 9 apresenta as
reservas minerais do depósito expressas em tonelada base seca.
Tabela 9 - Reservas minerais estimadas para o depósito de cobre.
Reserva Nª de blocos Teor médio
(Cu) Tonelagem
(Mt)
Provada 64122 0,4 289,62
Provável 142996 0,16 638,45
Provada e Provável 207118 0,23 928,07
A Figura 34 mostra uma visão em 3 dimensões das reservas provadas do
depósito em estudo, com um total de 289,62 milhões de toneladas de cobre a um
teor médio de 0,4%.
Figura 34- Visão 3D da reserva provada do depósito de cobre.
58
5 CONCLUSÃO
O presente estudo buscou aplicar uma metodologia adequada para a
quantificação e classificação de recursos minerais através de uma abordagem
geoestatistica, ilustrando a metodologia com o estudo de caso de um depósito de
cobre.
Na validação do modelo semivariográfico tanto para a variável cobre como
para a variável densidade foram obtidas médias do erro residual iguais a zero e
correlação entre os valores estimados e os valores reais maiores que 60%,
evidenciando a não tendenciosidade e o não enviesamento condicional da
estimativa, dessa forma, validando o modelo de continuidade espacial utilizado.
A validação do modelo de recursos realizada para verificar a conformidade da
krigagem com os dados originais obteve bons resultados na comparação estatística
global entre a média das compostas e dos blocos estimados, com uma diferença de
12% para o cobre e de 0,7% para a variável densidade, mostrando uma leve
subestimativa dos blocos krigados. A validação visual para o cobre e a densidade
apresentou resultados bons, os blocos estimados seguiram as tendências de
acréscimo e decréscimo dos teores das compostas razoavelmente bem. Os gráficos
tipo Swath plot mostraram boa reprodução local do teor das amostras, apresentando
maior conformidade, principalmente, em áreas mais densamente amostradas, como
era esperado.
Na classificação dos recursos estimados os recursos medidos e indicados
somaram 923 Mt com um teor médio de 0,23% de cobre e 54% dos recursos totais.
A checagem visual da classificação de recursos mostrou uma quantidade maior de
amostras utilizadas na estimativa dos recursos medidos, posteriormente os recursos
indicados, e o menor número de amostras utilizadas na estimativa dos recursos
inferidos, mostrando que a classificação dos recursos refletiu, realmente, o grau de
confiabilidade de cada classe.
Os recursos minerais estimados foram convertidos em reservas minerais com
base no teor de corte e classe. As reservas provadas do depósito contabilizaram
289,62 Mt com teor médio de 0,4% e uma reserva em potencial de 638,45 Mt.
Existem poucos empreendimentos mais propensos ao risco do que a
mineração. Além de diferir de outras atividades industriais, na forma como a
59
variabilidade do produto é ditada pela natureza da matéria-prima, ou seja, pelas
características do corpo mineral, as verdadeiras características do depósito nunca
poderão ser previstas devido ao erro inerente à qualquer método de estimativa. O
grande desafio para a engenharia de minas é, justamente, realizar a estimativa de
recursos com o mínimo de erro a fim de propiciar base de dados confiável para um
planejamento eficiente e estrategicamente direcionado.
60
REFERÊNCIAS
ANDRIOTTI, J. L. S. Fundamentos de estatística e geoestatistica. São Leopoldo -
RS: Unisinos, 2004.
ARMSTRONG, M. Basic linear geoestatistics. Berlin: Springer – Verlag, 1998. 149
p.
AUSIMM. Australian Institute of Geoscientists and Minerals Concil of Australia. Australasian Code for Reporting of Mineral Resources and Ore Reserves (The JORC Code): 2004 edition. Joint Ore Reserves Committee of The Australasian
Institute of Mining and Metallurgy, 2004, 20 p.
BOEZIO, M. N. Métodos geoestatisticos para a incorporação da topografia como informação secundária no mapeamento do nível de água subterrânea. 2004, 317 f. Tese de Mestrado (Pós-Graduação em Engenharia de Minas, Metalúrgica e de Materiais) - Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, 2004.
BURMEISTER, B. From resource to reality: A critical Review of the achievements of New Australian Gold Mining Projects During 1983-1987. Melbourne: Macquarie University, 1988.
CAMARGO, E. C. G., et al. Geoprocessamento para projetos ambientais.Inpe: São José dos Campos - SP, 1998.
CAMPOZANA, F. P. Modelagem probabilística e Simulação de Reservatórios. 1990, 166 p. Dissertação de Mestrado – Universidade Estadual de Campinas, Campinas, 1990.
CORREA, S. M. B. Probabilidade e estatística. 2ª Ed. Puc-Minas: Belo Horizonte-
MG, 2003.
CRESSIE, N. Statistics for spatial data. New York: Wiley, 1993. 900 p.
61
DEUTSCH, C. V.; JOURNEL, A. G. Geoestatistical Software Library and User’s Guide. New York: Oxford university press, 1998. 369 p.
DUARTE, J. B. Sobre o emprego e a análise estatística do delineamento em blocos aumentados no melhoramento genético vegetal. 2000, 292 f. Tese de Doutorado (Escola Superior de Agricultura “Luiz de Queiroz” - Universidade de São Paulo, São Paulo, 2000.
FERREIRA, D. F. Estátistica básica. Lavras: UFLA, 2005.
FERREIRA, M. S. Modelagem tridimensional de depósitos minerais. 2006, 111 f. Dissertação de Mestrado – Universidade Federal de Ouro Preto, Ouro preto, 2006.
FREITAS, S. Planejamento de lavra em complexos mineiros: Aplicação do Whittle™ Multi-mine em modelos simulados na mina do sossego. 2009, 124 f.
Trabalho de conclusão de curós – Universidade Federal do Pará, Marabá, 2009.
GOOVAERTS, P. Geoestatistics for natural resources evaluation. New York:
Oxford university press, 1997. 483 p.
GUIMARÃES, E. C. Geoestatística básica e aplicada. Uberlândia: UFU, 2004.
ISAAKS, E. H.; SRIVASTAVA, R. M. An introduction to applied geoestatistics. New york: Oxford university press, 1989. 561 p.
Landim P.M.B. Sobre Geoestatística e mapas. Terræ Didática, Rio claro, 2006. Disponível em: <http://www.ige.unicamp.br/terraedidatica/>. Acesso em: 25 de julho. 2011.
LERCHS, H.; GROSSMANN, I. F. Optimum design of open pit mines. CIM
Bulletin, v. 38, p. 47-64, jan. 1965.
MACHADO, H. O. WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina, Gemcom do
Brasil LTDA. 2005. 165 p.
MATHERON, G. Les variables regionalisées et leur estimation. Paris: Ed. Masson, 1965. 306 p.
62
NEUSS, I. Base Metals Best Practice. In: Mineral Resource and Ore Reserve
Estimation – The AusIMM Guide to Good Practice. Melbourne: A C Edwards, 2001.
OLIVEIRA, A. Modelagem geológica e geoestatistica da Bacia de Campos. 2002,
118 p. Dissertação de Mestrado – Universidade Federal do Rio de Janeiro, Departamento de Geologia, Rio de Janeiro, 2002.
PERONI, R. L. Análise da Sensibilidade do Seqüenciamento de Lavra em Função da Incerteza do Modelo Geológico. 2002, 126 f. Tese de Doutorado
(Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Minas, Metalúrgica e de Materiais) - Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, 2002.
PRATES, B. M. Modelação tridimensional de uma jazida mineral prospectadas por sondagens e objetivando a sua exploração a céu aberto. 2009, 115 f. Tese
(Mestrado em engenharia geológica e de minas) – Universidade Técnica de Lisboa, Lisboa, 2009.
SENHORINHO, N. C. Metodologia de planejamento estratégico de lavra incorporando riscos e incertezas para a obtenção de resultados operacionais.
2008, 128 f. Tese de Doutorado – Universidade de São Paulo, São Paulo, 2008.
SOUZA, L. E. Proposição Geoestatística para Quantificação do Erro em Estimativas de Tonelagens e Teores. 2007, 188 f. Tese de Doutorado (Pós-Graduação em Engenharia de Minas, Metalúrgica e de Materiais) - Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto alegre, 2007.
SPIEGEL, Murray. Estatistica. 2ª edição. São Paulo: Mcgraw-hill do Brasil, 1985.
(revisão e adaptação Carlos Augusto Crusius/ série Shaum).
TAYLOR, H. K. Mine Valuation and Feasibility Studies. Mineral Industry Costs:
Northwest Addociation., pp. 1-17, 1977.