yamamoto geoestatistica aplicada

7/23/2019 Yamamoto Geoestatistica Aplicada

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Curso de Geoestatstica plicada Jorge Kazuo Yamamoto

SUMRIO

1 INTRODUO ________________________________________________________1

2 CONCEITOS BSICOS _________________________________________________ 1

3 PREPARAO DE DADOS______________________________________________4

3.1 Composio de amostras de furos de sonda _____________________________ 43.1.1 Composio por bancadas _________________________________________ 5

4 ANLISE ESTATSTICA _______________________________________________ 9

4.1 Conceitos de variveis aleatrias e probabilidade________________________ 10

4.2 Representaes grficas de variveis aleatrias _________________________ 12

4.3 Estatsticas descritivas de variveis aleatrias __________________________ 154.3.1 Medidas de tendncia central ______________________________________15

4.3.2 Medidas de disperso ____________________________________________17

4.3.3 Medidas de forma _______________________________________________ 19

4.4 Modelos probabilsticos contnuos ____________________________________ 204.4.1 Distribuio normal _____________________________________________ 20

4.4.2 Distribuio lognormal___________________________________________22

4.5 Teorema do Limite Central _________________________________________ 23

4.6 Intervalo de confiana da mdia _____________________________________ 25

4.7 Correlao e regresso _____________________________________________27

5 ANLISE GEOESTATSTICA __________________________________________29

5.1 Por qu variveis regionalizadas ?____________________________________ 29

5.2 Variveis regionalizadas ____________________________________________31

5.3 O variograma_____________________________________________________ 33

5.4 Relao entre semivariograma e a funo covarincia ___________________ 35

5.5 Propriedades do variograma ________________________________________ 37

5.6 Anisotropias ______________________________________________________ 38

5.7 Comportamento prximo origem ___________________________________39

5.8 Domnio do variograma ____________________________________________40

5.9 Clculo de variogramas experimentais ________________________________41

5.10 Modelos tericos de variogramas____________________________________ 42

6 ESTIMATIVAS POR KRIGAGEM ORDINRIA ___________________________44

6.1 Definio da fronteira convexa_______________________________________44

6.2 Definio da vizinhana local ________________________________________ 45i


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ii

6.3 Definio da malha regular _________________________________________ 49

6.4 Krigagem ordinria________________________________________________ 51

6.5 Validao cruzada _________________________________________________ 64

6.6 Classificao de recursos/reservas minerais ____________________________ 67

7 ESTIMATIVAS POR COKRIGAGEM ORDINRIA_________________________ 71

7.1 Definies Bsicas de Isotopia e Heterotopia____________________________ 71

7.2 O variograma cruzado ______________________________________________71

7.3 O Modelo Linear de Corregionalizao ________________________________73

7.4 Cokrigagem ordinria ______________________________________________73

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS _______________________________________ 76

ANEXO 1: DISTRIBUIO NORMAL PARA X ENTRE 0 E 3,49 E AS INTEGRAISQ(X) CORRESPONDENTES. _____________________________________________81

ANEXO 2: VALORES CRTICOS DE T PARA ALGUNS NVEIS DESIGNIFICNCIA ( IN KOCH & LINK, 1971 PG. 346)________________________82


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1

1 INTRODUO

A geoestatstica que foi definida inicialmente, por Matheron (1971, pg. 5),como a aplicao da Teoria das Variveis Regionalizadas para a estimativa de

depsitos minerais, tem hoje sua aplicao nas mais diversas reas doconhecimento como: petrleo, hidrogeologia, meio ambiente, geotecnia,agronomia de preciso, oceanografia e reflorestamento. Como a geoestatstica foiintroduzida muito recentemente na grade curricular em cursos de graduao e deps-graduao, h necessidade de promover cursos de extenso paradisseminao da tcnica, bem como para proporcionar uma reciclagem aosprofissionais atuantes na rea. Nesse sentido, surgiu a idia de oferecer estecurso, no qual introduziremos as tcnicas e conceitos da geoestatstica aplicadana anlise e interpretao de dados, com o objetivo de fazer o melhor uso dainformao disponvel. Alm disso, o planejamento deste curso, levou emconsiderao tambm disponibilidade de um software totalmente nacional para

que o aluno pudesse contar com uma licena acadmica para que continuar seusestudos aps o trmino do curso. Trata-se do sistema GeoVisual que foidesenvolvido para suportar o ensino de geoestatstica em disciplinas degraduao e de ps-graduao ministradas regularmente no Instituto deGeocincias USP.

2 CONCEITOS BSICOS

A seguir vamos definir alguns conceitos bsicos, cujo entendimento ser deimportncia fundamental para interpretao dos resultados de uma anlisegeoestatstica. Temos um problema a resolver, por exemplo, seja uma dasseguintes questes:

a) Qual o teor mdio de uma ocorrncia mineral?

b) Qual o grau de contaminao por mercrio no solo?

c) Qual a caracterstica do solo para implantao de uma obra civil?

A resposta para qualquer uma dessas questes est baseada naestimativa do atributo de interesse, atravs da amostragem.

AmostragemAmostragem o ato ou seleo de amostras como representativas do todo quese deseja estudar, tendo em vista sempre a limitao econmica do programa deamostragem. Normalmente, segundo Cochran (1963), as razes para a seleode uma amostra so de ordem econmica - reduo de custos - e apresentamcomo vantagens principais: maior rapidez, amplitude, flexibilidade e exatido das


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2

informaes, em face da impossibilidade de se registrarem integralmente asespecificaes do mineral que se prope conhecer.

Base terica

A teoria da amostragem construda em torno do conceito que, se um nmerosignificativo de unidades representativas de uma populao selecionado semenviesamento, o valor mdio destas unidades ir aproximar-se da mdia dapopulao (Barnes, 1980).

Mtodos de amostragemExistem basicamente trs mtodos de amostragem que poderiam serconsiderados:

a) aleatria simples;

b) aleatria estratificada;

c) sistemtica.

A amostragem sistemtica, sempre que possvel, indicada para o clculo deestimativas.

Condio necessriaEstimativas de volumes, massas e teores devem ser baseadas em observaessistemticas (amostragem sistemtica) e interpretaes da geologia (litologia eestrutura) e da mineralizao (mineralogia, controles, distribuio econtinuidades), segundo Valle & Cte (1992).

Fontes de errosOs erros envolvidos na estimativa atravs da amostragem so devidos aos erros

de amostragem e variabilidade natural do fenmeno em estudo.

Erros de amostragemQualquer amostragem - at mesmo a mais simples - comporta uma srie de

erros possveis, alguns dos quais relacionados com a estrutura do minrio, comsua distribuio e textura, outros decorrentes das tcnicas usadas naamostragem, ou do modo como as tcnicas so aplicadas, ou dos instrumentosde amostragem, in Gy (1968). Este problema, infelizmente, no termina com aretirada da amostra, mas continua atravs da preparao, subdiviso e estgios

de anlise em laboratrio, cada um dos quais passvel de erro, que podem


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afetar a preciso ou influenciar sua exatido. O erro de amostragem representa adiferena composicional entre a amostra de rocha e a parte do corpo rochoso comque se espera represent-la (Miesch, 1967). Segundo Koch & Link (1971), oserros de amostragem podem ser subdivididos, conforme a sua fonte de variao,

em:

a) erros de preparao: a preparao visa reduo do tamanho daamostra geolgica, geralmente muito grande para fins de anlise. Elacompreende uma srie de operaes no seletivas, tais como: reduo dagranulometria, mistura, homogeneizao e subdiviso, cada uma das quaissujeita a erros;

b) erros analticos: so decorrentes da diferena entre o resultado daanlise e a concentrao na amostra original. Segundo Waeny (1979), oserros analticos podem ser sistemticos ou aleatrios. Os erros

sistemticos so aqueles que afetam as anlises de maneira uniforme edecorrem da imperfeio dos instrumentos, da incorreo da tcnicaanaltica, da impureza dos reagentes e de outros pequenos problemas,todos passveis de controle ou atenuao (Waeny 1979). Os errosaleatrios, segundo o mesmo autor, so os de causa desconhecida, masque podem ser localizados quando da anlise peridica de um grupo deamostras. Independentemente do tipo de erro e do mtodo analticoutilizado, existem limites de sensibilidade, alm dos quais a determinaodos valores de concentrao no efetiva;

c) erro total de amostragem: representa a soma dos erros decorrentes dasetapas de amostragem e da preparao da amostra primria.

Variabil idade naturalA variabilidade do fenmeno em estudo, que pode ser medida atravs docoeficiente de variao (razo da mdia pelo desvio padro do conjunto deobservaes), pode representar a maior fonte de erro. O padro de variao podeser regular ou aleatrio.

ResultadoOs resultados da amostragem podem ser representados atravs de medidasdiretas ou indiretas. As medidas diretas podem ser obtidas in situ e/ou sobre aamostra e as medidas indiretas so obtidas atravs de sensores remotos(mtodos geofsicos, sensoriamento remoto).


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4

Natureza dos dadosQuanto natureza os dados obtidos da amostragem podem ser classificados em

qualitativos (cor, textura, etc.) e em quantitativos (composio qumica, teor,densidade, etc.).

InfernciaA partir dos dados obtidos, os quais esto sujeitos a erros, devemos inferir aspropriedades do todo amostrado ou do fenmeno em estudo. Se no houvervariabilidade, poucas amostras sero suficientes para inferir o todo. Porm, napresena de variabilidade, a amostragem deve ser rigorosamente planejada paraque, dentro da limitao econmica, seus resultados possam ser estendidos para

o todo com um mnimo de erro. Aqui comea o problema para a geoestatstica,pois a variabilidade entre as amostras deve ser reconhecida, mensurada eutilizada para posterior estimativa de pores no amostradas. Entretanto, antesde introduzir a geoestatstica necessrio passar pela fase de preparao eanalise estatstica dos dados.

3 PREPARAO DE DADOS

As amostras podem ser coletadas de diversas formas (amostras de mo,fragmentos, canal, furos de sonda, etc.), nas quais deve-se garantir queapresentem o mesmo tamanho e massa. Por exemplo, amostras de mo de 2 kg,amostras de canal coletadas a cada 20 cm, testemunhos de sondagem a cada 2m e, assim por diante. Porm, pelos motivos expostos a seguir, as amostras defuros de sonda necessitam de preparao para regularizar o intervalo deamostragem.

3.1 Composio de amostras de furos de sonda

Geralmente o intervalo de amostragem nos furos de sonda no

corresponde ao intervalo de trabalho na fase de avaliao de reservas, emboratenha sido necessrio analisar as amostras segundo o intervalo de amostragem,sempre menor que o intervalo de trabalho. Justifica-se isto frente necessidadede reconhecer e delimitar possveis zonas ricas dentro da jazida. Alm disso, asamostras individuais dos furos de sonda podem variar bastante em tamanho,comprimento e peso. Assim, a composio de amostras pelo agrupamento delaspara o intervalo de trabalho, definido segundo a caracterstica que se queranalisar, produzir dados mais homogneos e, portanto, com maior facilidade deinterpretao. importante especificar a unidade de amostragem utilizada naavaliao de reservas, pois, segundo Kim (1990), muitos problemas surgem pelano especificao da unidade de amostragem. Por exemplo, se uma jazida

avaliada com base na populao de amostras de furos de sonda rotativa a


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diamante, a produo da mina provavelmente no corresponder s estimativasfeitas, simplesmente porque a jazida no lavrada com furos de sonda rotativa adiamante (Kim 1990). Segundo Barnes (1980), o objetivo de se fazercomposies de amostras obter amostras representativas de uma unidade

mineralgica particular ou unidade de minerao. Segundo o mesmo autor, aunidade de amostragem especificada no planejamento da amostragem e inclui otamanho e modo de retirada fsica da amostra, assim como o intervalo de valoresa ser analisado. O resultado da composio de amostras de furos de sonda expresso como mdia ponderada do teor pelas espessuras selecionadas para ointervalo de trabalho, como mostra a equao a seguir:

=

==n

i

i

n

iii

c

e

et

t

1

1 (1)

onde: n o nmero de trechos para compor o intervalo de trabalho; ti o teor doi-simo trecho; ei a espessura do i-simo trecho.

Existem muitos tipos de depsitos minerais, cada um dos quais ir requererum tratamento especial dos dados amostrados para a obteno dos melhoresintervalos de composio para avaliao de depsito (Barnes, 1980).Basicamente, os tipos de composies possveis em amostras de furos de sondapara o intervalo de trabalho so:

- bancadas;- zona mineralizada.

Entretanto, vamos considerar apenas a composio por bancadas que ocaso mais comum de regularizao de dados e no depende de interpretaoprvia dos dados.

3.1.1 Composio por bancadas

O procedimento da composio por bancadas, indicado para se fazer aavaliao de reservas em depsitos cuja lavra se dar a cu aberto. Acomposio por bancadas feita aplicando-se a equao (1), onde as espessurasreais ou aparentes foram determinadas a partir de diferenas entre profundidades,dentro dos limites de cada bancada. No caso de furos inclinados, as espessurasso aparentes e o comprimento composto (CC) ser maior que a altura dabancada, sendo tanto maior quanto menor a inclinao do furo, conformeilustrao na Figura 1.

O comprimento composto (CC) pode ser calculado como:

5


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sen

bancadadaalturaCC=

Deve-se, em casos de furos inclinados, limitar a inclinao mnima que

pode ser aceita para composies por bancadas, pois, por exemplo, para furoscom inclinaes de 30o, o comprimento composto ser de 2 vezes a altura dabancada, como mostra a Tabela 1. Como recomendao, deve-se consideraresse ngulo mnimo igual a 20o, pois este valor j d um comprimento compostode aproximadamente trs vezes a altura da bancada. A Figura 2 apresenta osfatores de multiplicao para inclinaes variveis entre 15 e 75o.

Figura 1: Desenho esquemtico mostrando o clculo do comprimento compostoem furos inclinados para clculo de composies por bancada.

Tabela 1: Fator de multiplicao da altura da bancada para clculo docomprimento composto em furos inclinados.

Inclinao do furo (o) fator de multiplicao15 3,86420 2,92430 2,00045 1,41460 1,54775 1,035

Figura 2: Desenho ilustrando o problema da inclinao mnima de furos de sonda

para a composio de amostras por bancadas.6


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Um outro problema relacionado composio de furos inclinados est noclculo das posies das novas amostras, ou seja, dos intervalos compostos.Deve-se estabelecer inicialmente se a posio tomada no topo, meio ou p da

bancada. Recomenda-se utilizar sempre o meio da bancada como referncia paralocalizao das amostras compostas. Para o clculo das posies das novasamostras deve-se determinar inicialmente o deslocamento horizontal (DH) dasamostras (Figura 2-3), como a projeo do comprimento composto (CC), comosegue:

( )cosCCDH=

onde: inclinao do furo de sonda em relao horizontal.As posies das novas amostras nas bancadas podem ser calculadas

recursivamente usando:

( )sen01 DHXX +=

( )cos01 DHYY +=

onde: X1e Y1so as coordenadas da posio da nova amostra; X0e Y0so ascoordenadas da posio da amostra anterior e o azimute do furo de sonda.

A Figura 3 ilustra o procedimento do clculo das posies das amostrascompostas para a altura das bancadas.

Figura 3: Procedimento para clculo das posies de amostras compostas para a

altura das bancadas: representao do furo em seo (A) e projeo dascoordenadas em planta (B).

A Tabela 2 reproduz o logde um furo de sonda, com o qual pretende-seilustrar o clculo de composio por bancadas para o teor de Fe (%).

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Tabela 2: Log do furo CP-23.

Profundidadeem metros

Descrio Fe (%)

De At0.00 8.35 Aterro da Estrada do Bota Fora 0.0008.35 16.25 WH vermelho 59.77

016.25 28.00 WH amarelo com Goethita 61.74

028.00 32.43 HA pulverulenta 62.81

032.43 37.00 Rocha intrusiva 5.00037.00 43.00 Filito amarelo 0.00043.00 51.01 Filito cinza 0.000

A Figura 4 apresenta esquematicamente o clculo dos teores compostosde Fe para as bancadas 1410 e 1420 m.

Figura 4: Exemplo de composio de amostras por bancada para o furo CP-23(vertical).

Com o objetivo de exemplificar o clculo de teores compostos por bancadapara furos inclinados, considere-se o log de um furo de sonda, conforme os dadosda Tabela 3.

Tomando por base estes dados, o clculo do teor composto de ferro parabancadas de 10 metros de altura ser como exemplificado na Figura 5.

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Tabela 3: Log do furo CP-62.

Profundidadeem metros DescrioFe (%)

de At0.00 4.20 Aterro 0.0004.20 16.40 WH vermelho amarronzado 62.00016.40 26.40 Hematita cinza escuro frivel 60.00026.40 28.70 Rocha intrusiva -28.70 29.72 Hematita cinza escuro 60.00029.72 33.04 Rocha intrusiva com Itabirito cinza

escuro35.000

33.04 93.43 Itabirito cinza escuro, frivel. 55.000

Figura 5: Exemplo de composio de amostras por bancada para o furo CP-62(inclinado).

4 ANLISE ESTATSTICA

A anlise estatstica uma etapa importante e deve preceder a anlisegeoestatstica e a estimativa por krigagem ordinria. Esta anlise permitesumariar os dados obtidos, conferir a base de dados e, inclusive, reconhecervalores anmalos. Trata-se em conhecer melhor os dados que sero utilizadospara estimativas e inferncias e, portanto, eles devem estar isentos de erros dedigitao. Antes de introduzir os conceitos estatsticos, seria interessante rever

brevemente alguns conceitos de variveis aleatrias e probabilidade.9


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4.1 Conceitos de variveis aleatrias e probabilidade

Vamos introduzir e rever alguns conceitos importantes sobre variveis

aleatrias e probabilidade, antes de passar anlise estatstica propriamente dita.

Variveis aleatr iasUma varivel cujo valor determinado pela realizao de um experimento denominada varivel aleatria. As variveis aleatrias podem ser subdivididas emduas classes: discretas e contnuas.

Variveis aleatrias discretasUma varivel aleatria discreta aquela que tem um nmero contvel derealizaes possveis. Exemplo: cor do solo, segundo uma escala padro decores.

Variveis aleatrias contnuasUma varivel aleatria contnua aquela que pode assumir qualquer valor numsegmento contnuo da linha dos nmeros reais. Exemplo: teores, massas,volumes so geralmente medidos em uma escala contnua.

NotaoLetras maisculas sero usadas para referir as variveis aleatrias. Exemplo: X,representando o teor de slica em minrio de ferro. Letras minsculas referem-sea um valor especfico da varivel aleatria. Exemplo: x=3.23 %, o teor de slicaem uma amostra especfica.

Probabilidade de realizaes igualmente possveisSe A e B so eventos do espao amostral S, ento a probabilidade do evento A,P(A) igual freqncia do evento A (realizaes simples igualmente possveis)sobre n o tamanho da amostra:

( )n

fAP A=

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e, similarmente:

( )n

fBP B=

Ento:

1) e( ) 10 AP ( ) 10 BP2) ( ) 1=SP3) Se A e B so eventos mutuamente exclusivos, ou seja, no podem ocorrersimultaneamente (AB=0), ento ( ) ( ) ( )BPAPBAP += .

Distribuio de probabilidadeAs probabilidades p(x1), p(x2), ... ,p(xn) associadas aos valores possveis x1, x2, ...,xnde uma varivel aleatria X constituem a distribuio de probabilidade de X.

Funo de probabilidadeAo conjunto de pares ordenados (xi, p(xi)) denomina-se funo de probabilidadede X.

Funo densidade de probabilidadeDetermina as probabilidades tericas associadas s variveis aleatriascontnuas. A funo densidade de probabilidade permite calcular a probabilidadeda varivel aleatria estar no intervalo finito [a,b] como segue:

( ) (=b

a

dxxfbxaP '')

Funo de distribuio acumuladaD a probabilidade para a varivel aleatria x ser menor ou igual a x:

( ) ( ) ( )

==x

dxxfxFxxP '''

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4.2 Representaes grficas de variveis aleatrias

As observaes amostradas de uma varivel aleatria podem serrepresentadas graficamente com o objetivo de estudar a sua distribuio dentrodo intervalo amostrado. As representaes grficas mais utilizadas so ohistograma e a curva acumulativa.

Histograma

A anlise estatstica comea pelo estudo da distribuio de freqncias, aqual descreve como as unidades de uma populao esto distribudas sobre o

intervalo amostrado. A distribuio de freqncias pode ser do tipo simples ouacumulada.

A distribuio de freqncias do tipo simples construda tabulando-se osdados de alguma caracterstica medida do depsito (teor, espessura, etc.) emintervalos constantes; os dados assim agrupados podem ser representadosgraficamente na forma de histograma, lanando-se os intervalos de medida emabscissa e as freqncias em ordenada. A Figura 6 apresenta um histogramapara uma varivel aleatria tipicamente encontrada na anlise de dadosgeolgicos. O histograma proporciona uma representao grfica que permitevisualizar a distribuio dos dados.

0

5

10

15

20

25

0.5 1.0 1.5 2.0

Valores dos dados

%

Figura 6: Histograma para uma varivel aleatria tpica de dados geolgicos.

Curva acumulativa

O procedimento para obteno de freqncias acumuladas o mesmo queo do tipo anterior, porm as freqncias dos dados agrupados nos intervalos soagora acumuladas. A curva acumulativa a representao grfica obtida do

lanamento das freqncias acumuladas em ordenada e os intervalos de medida12


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em abscissa. A simples unio dos pontos sobre a curva acumulativa, comsegmentos de reta, gera o polgono de freqncias acumuladas. Entretanto, estetipo de representao no tem sido utilizado, pois no permite determinar compreciso o valor da varivel de interesse para um determinado percentil, ou vice-

versa. Assim, mais recentemente as curvas acumulativas tm sido construdas apartir das freqncias acumuladas de todos os dados do conjunto amostrado.Nesse caso, as freqncias simples so calculadas para todos os valoresobservados individualmente, atribuindo-se uma freqncia igual a 1/n. Asfreqncias simples assim obtidas podem ento ser acumuladas gerando asfreqncias acumuladas.

As freqncias acumuladas so geralmente lanadas em escala deprobabilidade aritmtica, que tem a propriedade de identificar graficamente se adistribuio em estudo segue uma distribuio normal (os pontos devero estaralinhados sobre uma reta). A escala de probabilidade aritmtica utilizadafreqentemente para a representao grfica de distribuies de freqncias

acumuladas, pois permite determinar rapidamente se a distribuio em estudo normal ou lognormal. Esta escala obtida da integrao da funo densidade deprobabilidade da distribuio normal de -a X:

( ) ( )

=X

dxxfXP

P(X) a probabilidade acumulada de -a X, ou a uma porcentagem em relao rea total da curva, e corresponde porcentagem acumulada na escala deprobabilidade aritmtica, como ilustrado na Figura 7.

Se a distribuio de freqncias acumuladas for do tipo normal ouaproximar-se dele, os pontos devero alinhar-se numa reta, quando lanados emgrfico de probabilidade aritmtica (abscissa em escala aritmtica). Contudo, seos pontos desenharem um S, significa que a distribuio no normal e deveser testada a hiptese de lognormalidade, lanando-se os pontos em grfico delogprobabilidade aritmtica (abscissa em escala logartmica). Se os pontosalinharem-se em torno de uma reta significa que a distribuio lognormal.

Assim, possvel verificar graficamente se a distribuio normal oulognormal, representando a distribuio de freqncias acumuladas em grficosde probabilidade ou logprobabilidade aritmtica, respectivamente.

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Figura 7: A escala de probabilidade aritmtica resultando da integrao da funodensidade de probabilidade da distribuio normal.

A Figura 8 apresenta uma curva acumulativa para a mesma varivelaleatria representada no histograma da Figura 6.

0.01

0.050.10

0.501.00

5.00

10.00

20.0030.0040.0050.0060.0070.0080.00

90.00

95.00

99.00

99.50

99.9099.95

99.99

0.5 1.0 1.5 2.0

Valores dos dados

%A

CUMULADA

Figura 8: Curva acumulativa para os valores da varivel aleatria tpica

representada no histograma da Figura 6.

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4.3 Estatsticas descrit ivas de variveis aleatrias

As distribuies de freqncia apresentam caractersticas intrnsecas aofenmeno em estudo, por exemplo, com menor ou maior variabilidade. Asestatsticas descritivas so utilizadas para caracterizar numericamente asdistribuies de freqncia. Estas estatsticas podem ser obtidas atravs de:medidas de tendncia central, medidas de disperso e medidas de forma dacurva.

4.3.1 Medidas de tendncia central

Ao se estudar uma distribuio de freqncias, o objetivo determinar o

valor mais provvel dessa distribuio, que pode ser encontrado a partir demedidas de tendncia central: mdia, mediana e moda.

Mdia

A mdia ou esperana matemtica de uma varivel aleatria X definidacomo:

[ ] =

= n

iii xpxXE

1

)(

onde: a probabilidade associada ocorrncia de .( )ixp ix

Se os valores representam os valores possveis e estes so

igualmente possveisnxxx ,,, 21 L

( ) ( ) ( )( nxpxpxp )=== L21 , ento a mdia torna-se:

[ ] == ===

n

i i

n

i i xnnxXXE 11

11

Propriedades da mdia

Tem-se a seguir algumas propriedades associadas mdia (Fonseca &Martins, 1982, pgs. 40-41):

a) a mdia de uma constante a prpria constante;

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[ ] KKE =

b) a mdia de uma varivel aleatria X, multiplicada por uma constante, igual a constante multiplicada pela mdia de X;

16

]

]

[ ] [XEKKXE .=

c) a mdia da soma ou diferena de duas variveis aleatrias a soma ou

diferena das mdias;

[ ] [ ] [YEXEYXE =

d) a mdia de uma varivel aleatria somada ou subtrada de uma

constante igual mdia dessa varivel somada ou subtrada da mesmaconstante;

[ ] [ ] KXEKXE =Observao: esta propriedade particularmente importante para transformaode variveis visando ajustar a sua mdia sem, contudo, alterar a varincia.

e) a mdia de uma varivel aleatria subtrada de sua prpria mdia zero;

0= XXE

Mediana

A mediana corresponde ao valor da varivel aleatria a 50% da distribuioacumulada de freqncias. No exemplo da Figura 7, o valor da varivel aleatriacorrespondente a 50% igual a 1,204.

Moda

A moda corresponde classe mais freqente verificada no histograma.Para o exemplo da Figura 6, a moda corresponde classe 1,2 1,3. Quandoduas modas so verificadas, com as mesmas freqncias, ento a distribuio bimodal.


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4.3.2 Medidas de disperso

Da mesma forma que existem vrias maneiras para medir a tendnciacentral dos dados, h tambm vrias maneiras para medir a disperso em tornoda mdia: varincia e desvio padro, coeficiente de variao e Teorema deChebyshev.

Varincia e desvio padro

A disperso dos valores em torno da mdia medida pela varincia, que determinada como:

[ ] =

= n

iii xpXxXVar

1

2 )()(

Novamente, assumindo as probabilidades de ocorrncia dos n valorespossveis iguais entre si, ou seja, iguais a 1/n, tem-se:

[ ] ( ) = =

=== n

i

n

iii Xx

nnXxSXVar

1 1

222 11)(

que a equao usual da varincia, ou desenvolvendo-a, tem-se:

[ ] [ ]222 XEXES =

O desvio padro simplesmente a raiz quadrada da varincia e expressona mesma unidade dos valores originais.

Propriedades da varincia

As propriedades associadas varincia, segundo Fonseca & Martins(1982) so:

a) a varincia de uma constante zero;

[ ] 0=KVar

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b) a varincia de uma varivel aleatria multiplicada por uma constante igual a varincia da varivel aleatria multiplicada pelo quadrado dessa constante;

18

]

]

[ ] [XVarKKXVar 2=

c) a varincia de uma varivel aleatria somada ou subtrada de umaconstante igual varincia da varivel aleatria;

[ ] [XVarKXVar =

d) a varincia da soma ou diferena entre duas variveis aleatriasindependentes a soma das respectivas varincias.

[ ] [ ] [ ]YVarXVarYXVar +=

Coeficiente de variao

O coeficiente de variao, que uma outra medida de disperso, obtidopela diviso do desvio padro pela mdia:

X

SCV=

Como o coeficiente de variao adimensional, ele freqentementeutilizado para comparar a disperso relativa de valores em torno da mdia entrediferentes distribuies, como, por exemplo, para comparao e classificao dedepsitos minerais segundo a variabilidade natural, medida por meio destaestatstica.

Teorema de Chebyshev

De acordo com o Teorema de Chebyshev, para qualquer funo densidadede probabilidade, a proporo da varivel aleatria dentro de K desvios padro

em torno da mdia sempre no mnimo2

11

K , onde K qualquer nmero

positivo maior que 1. A Tabela 4 mostra a proporo de Chebyshev para algunsvalores de K.


21/84


Tabela 4: Proporo de Chebyshev da varivel aleatria estar dentro de Kdesvios padro em torno da mdia.

K2

11K

2 0.753 0.894 0.94

4.3.3 Medidas de forma

As distribuies de freqncias podem ser caracterizadas tambm quanto

forma, atravs das medidas de assimetria e curtose.

Assimetria

Assimetria a medida do grau de simetria de uma distribuio defreqncias em torno da mdia, a qual pode apresentar uma assimetria positivase a cauda da distribuio estiver direita da mdia e negativa se estiver esquerda. A assimetria positiva observada na maioria das distribuies defreqncias de variveis de depsitos minerais com alta variabilidade natural

(metais raros, ouro, urnio, etc.). O coeficiente de assimetria pode ser calculado apartir do terceiro momento centrado na mdia:

=

= n

ii SXxCA

1

33 /)(

Curtose

A curtose a medida do grau de achatamento de uma distribuio emrelao distribuio normal (Spiegel, 1967), que reflete a disperso dos valoresem torno da mdia. O coeficiente de curtose calculado a partir do quartomomento em torno da mdia:

=

= n

ii SXxCC

1

44 /)(

19


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4.4 Modelos probabilsticos contnuos

Sero apresentados neste item os principais modelos probabilsticos

utilizados para descrever o comportamento de variveis aleatrias contnuasencontradas na anlise de dados geolgicos. Tais modelos so representadospela distribuio normal e lognormal.

4.4.1 Distribuio normal

A distribuio normal ou gaussiana a mais comumente utilizada emestatstica, pois sob esta forma de distribuio de freqncias encontra-se umgrande nmero de variveis aleatrias em muitos campos de aplicao.

A funo densidade de probabilidade, que descreve matematicamente estadistribuio, dada por:

[ 2/)(2/1

2

1)(

= xexf ] (2)

onde: a funo densidade de probabilidade; x uma observao; e so respectivamente a mdia e o desvio padro que definem a forma da curva.

( )xf

A Figura 9 apresenta os grficos da funo densidade de probabilidade,

nos quais encontram-se delimitadas as reas correspondentes a 68, 95 e 99,7%da distribuio, ou seja, equivalentes aos intervalos , 2 e 3,respectivamente.

Figura 9: Grficos da funo densidade de probabilidade da distribuio normalpara reas correspondentes a 68% (A); 95% (B) e 99,7%(C) de distribuio.

A Tabela 5 compara as propores de Chebyshev para qualquer varivelaleatria com a varivel aleatria normal.

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Tabela 5: Valores de probabilidade que x est no intervalo K desvios padro emtorno da mdia (Exell, 1998).

K Qualquervarivelaleatria

Varivelaleatrianormal

1 n.d. 0.682 0.75 0.953 0.8889 0.9974 0.9375 0.99994

Desta tabela pode-se concluir que de todas as variveis aleatriaspossveis com a mesma varincia, a varivel aleatria contnua a que est maisconcentrada em torno da mdia (Exell, 1998), da a sua grande utilidade naprtica.

As reas sob a distribuio normal podem ser facilmente calculadasintegrando-se a funo densidade de probabilidade [equao (2)], por exemplo,da posio X at +, resultando na rea Q(X), como ilustrado na Figura 10.

Assim, pode-se calcular as reas sob a distribuio normal entre 0 e 3,49resultando numa forma de tabela da distribuio normal (Anexo 1).

A distribuio normal , sem dvida, a distribuio terica mais utilizada naprtica, pois matematicamente conveniente de se trabalhar com ela, uma vezque suas propriedades so bastante conhecidas. Em geral, a grande maioria dasvariveis aleatrias segue uma distribuio normal ou, no mnimo

aproximadamente normal. Mesmo para observaes que no apresentam umadistribuio normal, esta pode ser aplicada se o problema puder ser resolvidoconsiderando o comportamento de uma varivel formada pelo clculo daestatstica de um conjunto de observaes, ao invs das observaes originais(vide Teorema do Limite Central).

Figura 10: Grfico da distribuio normal mostrando a rea correspondente aintegral da funo densidade de probabilidade de X +.

21


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4.4.2 Distribuio lognormal

A distribuio lognormal um tipo encontrado em muitos problemas deavaliao de reservas (principalmente em casos de metais raros), caracterizando-se por uma distribuio com assimetria positiva, onde ocorre uma grandequantidade de valores baixos e uns poucos valores altos. Formalmente, adistribuio lognormal definida como uma distribuio contnua caracterizadapela propriedade dos logaritmos das observaes seguirem uma distribuionormal (Koch & Link, 1971).

A funo densidade de probabilidade da distribuio lognormal dada por:

[ 2/)(log2/1

2

1)(

= xe

x

xf ] (3)

onde: a mdia dos logaritmos de x; o desvio padro dos logaritmos de xem relao a .

Os dois parmetros e 2definem a forma da curva de distribuio deprobabilidades. A distribuio lognormal sempre assimtrica para a direita(assimetria positiva), sendo que o grau de assimetria depende somente do valor

de 2, que corresponde varincia dos logaritmos das observaes (Koch & Link,1971). O objetivo bsico da transformao no linear (logartmica) observada na

equao (3) , segundo Koch & Link (1971), a mudana da forma da distribuiopara uma distribuio normal ou aproximadamente normal. Entretanto, algumasdistribuies de freqncias apresentam-se aps a transformao logartmicacom certa assimetria negativa (assimtrica para a esquerda), que pode sercorrigida pela adio de uma constante - o terceiro parmetro - s observaesoriginais, antes da transformao logartmica (Krige, 1978).

A funo densidade de probabilidade da distribuio lognormal a trsparmetros descrita por:

[ ]2/))(log(2/1

2)(

1)(

+

+= Cxe

Cxxf

A constante C - terceiro parmetro da distribuio lognormal - pode serestimada, segundo Landim (1985), como:

Mpp

ppMC

221

212

+

=

22


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onde: M a mediana, ou seja, o valor de teor correspondente a 50% dadistribuio; p1 o valor de teor correspondente a um percentil entre 5 e 20%; p2 o valor de teor correspondente a um percentil entre 100-p1.

Na Figura 11, tem-se as curvas de distribuio lognormal com e C iguais

a zero e para trs valores de 2(2, 0,5 e 0,1).

Figura 11: Curvas de distribuio lognormal com e C iguais a zero e trs valoresde 2, segundo Aitchison & Brown (1957, apudKoch & Link, 1971).

4.5 Teorema do Limite Central

Segundo Barnes (1980), o Teorema do Limite Central um dos maisimportantes teoremas da estatstica matemtica relacionada a distribuies defreqncias de amostragem e pode ser enunciado como: "Se amostras aleatriasde tamanho fixo so retiradas de uma populao cuja distribuio terica deforma arbitrria, mas com mdia e varincia finitas, a distribuio das amostrastende mais e mais a uma distribuio normal com mdia e varincia 2/n tantoquanto o tamanho das amostras aumenta.

Se X1, X2, ..., Xnso valores de uma varivel aleatria, a mdia X :

( )n

XXXX n

+++=

...21

O valor esperado de X , usando as propriedades (b) e (c) da mdia, :

[ ] [ ] [ ] [ ]( )nXEXEXEn

XE +++= ....1

21

ou

23


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[ ] == ).(1 nn

XE

onde a mdia populacional

A varincia de X calculada como:

[ ]nXXXVarXVar n /)....( 21 +++=

aplicando-se as propriedades (b) e (d) da varincia tem-se:

[ ] [ ] [ ] [ ]( )nXVarXVarXVarn

XVar ....1

21

2

++

=

ou

[ ] nnn

XVar /1 222

=

=

A distribuio de X tem mdia e varincia 2/n que se aproxima dadistribuio normal tanto quanto aumenta o tamanho da amostra. Na maioria doscasos a aproximao boa a partir de 40 amostras.

A Figura 12 ilustra muito bem o que enuncia o Teorema do Limite Central.

Amostras aleatrias de tamanho fixo so retiradas de distribuies arbitrrias(Figura 12A), a partir das quais tem-se: as distribuies das mdias para 2amostras (Figura 12B), para 4 amostras (Figura 12C) e para 25 amostras (Figura12D). Observe-se que a mdia das amostras tende a e varincia 2/n, tantoquanto aumenta o tamanho das amostras. As mdias praticamente permanecem,enquanto as varincias diminuem na proporo da raiz quadrada do nmero deamostras.

As n amostras da varivel aleatria X so, na verdade, em problemas deavaliao de reservas, os teores de n blocos de cubagem que compem odepsito mineral em avaliao. O teor mdio no bloco de cubagem determinadocomo a mdia ponderada dos teores de amostras de furos vizinhos. O ponderador

variar de acordo com o mtodo escolhido na avaliao de reservas, seja eleconvencional ou computacional. Portanto, o teor mdio do depsito ser igual mdia dos teores calculados nos blocos de cubagem, como est assegurado peloTeorema do Limite Central. Por isso, o teor mdio do depsito, desde que asinformaes coletadas estejam bem representadas no mesmo, pode serdeterminado com preciso, pois mesmo com a alterao da dimenso do bloco, oteor mdio dever se manter na mesma faixa de valores, enquanto a varinciadiminuir com o tamanho do bloco de cubagem.

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que tem uma nova distribuio de amostragem.A expresso para o intervalo de confiana da mdia populacional ao nvel

de confiana de 90% :

nstX

nstX %5%5 +


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4.7 Correlao e regresso

Muitas vezes necessrio estudar a relao mtua entre duas variveisaleatrias (X e Y) com o objetivo de verificar se elas encontram-secorrelacionadas ou no, por exemplo, para o clculo de co-estimativas. Para issonecessita-se das estatsticas que correlacionem duas variveis aleatrias.

Covarincia

A varincia mede a disperso de uma varivel aleatria X em torno da sua

mdia X , enquanto a covarincia mede a disperso ou como encontram-secorrelacionadas duas variveis aleatrias simultaneamente:

( ) ( )( )[ ]YYXXEYXCov =, ,

que pode ser desenvolvida como:

( ) [ ] [ ] [ ]YEXEXYEYXCov =,

Observe-se que ao contrrio da varincia que sempre positiva, a

covarincia pode ser positiva ou negativa, dependendo da relao existente entreas variveis aleatrias.

Coeficiente de correlao

O resultado da covarincia nem sempre de fcil interpretao, poisdepende dos valores associados s variveis aleatrias X e Y. Assim, comumenteutiliza-se de outra medida derivada da covarincia denominado coeficiente decorrelao, conforme a seguinte expresso:

( ) ( )( ) ( )YVarXVar

YXCovYXCorr

,, = ,

que tem a vantagem de estar normalizado no intervalo 1 a +1. Um valor prximode zero indica a falta de correlao entre as duas variveis.

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Reta de regresso

Dado um conjunto de pares ordenados {xi, y i, i=1,n}, pode-se determinar a

relao funcional , atravs do mtodo dos mnimos quadrados. Vamosexemplificar neste item a obteno da reta dos mnimos quadrados: .Segundo este mtodo, a diferena elevada ao quadrado entre os valoresobservados (y) e calculados (y*) deve ser a mnima possvel. Assim, devemosminimizar:

( )xfy=bxay +=

,( )=

= n

iii yyS

1

2

onde e, portanto:ii bxay +=

( )=

= n

iii bxayS

1

2

Para encontrarmos o mnimo de S com relao aos coeficientes (a, b),

calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:

( )( )

( )(

=

=

==

==

n

iiii

n

iii

xbxaydb

dS

bxayda

dS

1

1

02

012

)

desenvolvendo, tem-se:

===

===

=+

=+

n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

i

yxxbxa

yxba

11

2

1

111

1

Por fim, os coeficientes procurados so:

( )

[ ]XVar

YXCovb

n

xby

a

n

ii

n

ii

,

11

=

=

==

28


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29

5 ANLISE GEOESTATSTICA

Na estatstica trabalhamos com realizaes de variveis aleatrias; nageoestatstica trabalhamos com as funes aleatrias onde as amostras so

vistas como realizaes de uma varivel aleatria que, por sua vez, funo dascoordenadas espaciais. A geoestatstica envolve a anlise e predio defenmenos espaciais ou temporais, tais como: teores de minrio, porosidades,concentrao de poluentes, preo do petrleo no tempo, etc. etapa de estudo emodelagem da correlao espacial denomina-se anlise geoestatstica. destaanlise que se obtm a ferramenta bsica da estimativa por meio da krigagemordinria, que o variograma. Aps a anlise geoestatstica, pode-se fazerpredies ou simulaes estocsticas em pontos no amostrados para melhorcompreenso do fenmeno espacial em estudo.

Com o modelo de variograma reconhecem-se anisotropias (feioparticular dos mtodos geoestatsticos), bem como uma idia da variabilidade a

pequenas distncias dada pelo comportamento prximo origem.Cabe salientar que a krigagem, como mtodo de estimativa da varivel de

interesse, s deve ser utilizada quando o variograma experimental for estruturado,ou seja, se a variabilidade no for totalmente aleatria (efeito pepita puro).

5.1 Por qu variveis regionalizadas?

As variveis regionalizadas, que representam os valores de variveisreferenciadas geograficamente, foram introduzidas para descreverquantitativamente variaes espaciais em corpos de minrio.

Este item, baseado no trabalho de Royle (1979), justifica porque asvariveis regionalizadas so dependentes de suas posies espaciais relativas etambm mostra como se pode medir as variaes espaciais.

Para o desenvolvimento deste item, sero consideradas as seguintessries de nmeros:

Srie A: 1 7 3 6 2 9 4 8 5

Srie B: 1 3 5 7 9 8 6 4 2

As caractersticas estatsticas dessas duas sries de nmeros, medidasatravs da mdia e varincia (Tabela 6), so idnticas, pois apresentam osmesmos valores. Entretanto, essas duas sries so bem diferentes, pois resultamde dois tipos distintos de mineralizao.

Tabela 6: Estatsticas medidas para as duas sries de nmeros.

Srie Mdia VarinciaA 5 6,67

B 5 6,67


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Assim, as estatsticas, obtidas por mtodos clssicos, no conseguemreconhecer a diferena existente entre as duas sries em estudo, pois consideram

as amostras independentes entre si. Por outro lado, se fosse considerada aposio espacial relativa de cada amostra, poder-se-ia distinguir as duas sriesde nmeros. Uma possibilidade seria medir a diferena entre os valores deamostras separadas por uma determinada distncia. Como a simples soma dasdiferenas tenderia a anular-se, optou-se pela soma do quadrado das diferenas,que dividido pelo nmero de pares d sentido a uma medida de varincia, comsignificado espacial, pois dependente da distncia utilizada. A varincia espacialpode ser calculada para vrias distncias, ou para vrios intervalos deamostragem, como segue:

varincia espacial para um intervalo de amostragem:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 228/5884499226633771: 22222222 =+++++++A

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 63,38/2446688997755331: 22222222 =+++++++B

varincia espacial para dois intervalos de amostragem:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 37/89966754422331: 2222222 =++++++A

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 86,127/48877326699551:

2222222 =++++++B

e, assim sucessivamente.Calculando-se a varincia espacial at quatro intervalos de amostragem

tem-se os resultados mostrados na Tabela 7.

Tabela 7: Varincias espaciais para as sries A e B, determinadas at quatrointervalos de amostragem.

intervalo deamostragem

var. esp. A var. esp. B

1 22,00 3,632 3,00 12,863 23,67 23,834 3,80 29,60

Os dados da Tabela 7, podem ser representados sob forma grfica,lanando-se as varincias espaciais em funo dos intervalos de amostragem,como est mostrado na Figura 14.

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Figura 14: Varincia espacial em funo dos intervalos de amostragem para assries A e B.

Observando-se o grfico da Figura 14, verifica-se que a srie A muitoerrtica, enquanto a srie B mais uniforme. Na srie B, as varincias espaciaisaumentam conforme o intervalo de amostragem, pois a correlao entre osvalores diminui com a distncia. Esse comportamento seria desejado em todos oscorpos de minrio, dentro de alguma escala de amostragem. Uma maneira prticapara verificar se h correlao espacial nos dados, segundo Bon (1979), calcular a varincia espacial para um intervalo de amostragem e comparar com avarincia amostral; se a varincia espacial for menor, ento h correlao, casocontrrio no h. Veja, por exemplo, que na srie B, a varincia espacial para umintervalo de amostragem igual a 3,63 para uma varincia amostral de 6,67,portanto, com boa correlao espacial, enquanto para a srie A, a mesmavarincia igual a 22,00, ou seja, no apresenta correlao espacial.

5.2 Variveis regionalizadas

Uma varivel regionalizada qualquer funo numrica com uma

distribuio espacial, que varia de um lugar a outro com continuidade aparente,mas cujas variaes no podem ser representadas por uma funo determinstica(Blais & Carlier, 1968 apud Olea, 1975). O termo varivel regionalizada foi

escolhido por Matheron (1965, apud Huijbregts, 1975) para enfatizar as feiesparticulares dessas variveis.Em geologia, todas as observaes quantitativas feitas em duas ou trs

dimenses (rea ou volume, respectivamente), sejam elas geoqumicas,geofsicas, sedimentolgicas, etc., podem ser consideradas como exemplos devariveis regionalizadas.

31

A definio de uma varivel regionalizada como uma varivel distribuda noespao puramente descritiva e no envolve qualquer interpretaoprobabilstica. Uma varivel aleatria aquela que recebe um certo nmero devalores, de acordo com uma certa distribuio de probabilidades (Journel &Huijbregts, 1978). O teor de um elemento num ponto x1 do depsito pode ser

considerado como uma realizao particular de uma varivel aleatria Z(x1)


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32

definida no ponto x1. Segundo Journel & Huijbregts (1978), denomina-se funoaleatria Z(x) o conjunto de teores Z(x) para todos os pontos x dentro do depsito[i.e. varivel regionalizada Z(x)]. A interpretao probabilstica de uma varivelregionalizada, como uma realizao particular de uma certa funo aleatria Z(x),

tem um significado operacional quando for possvel inferir toda ou parte da lei deprobabilidades que define essa funo aleatria na sua totalidade (Journel &Huijbregts, 1978).

A maioria das variveis regionalizadas apresenta um aspecto aleatrio,consistindo de variaes altamente irregulares e imprevisveis, e um aspectoestruturado, refletindo as caractersticas estruturais do fenmeno regionalizado(Kim, 1990). Uma formulao apropriada para soluo de problemas deestimativa deve levar em considerao essas duas caractersticas aparentementecontraditrias, por meio de uma representao simples da variabilidade espacial(Journel & Huijbregts 1978).

A Teoria das Variveis Regionalizadas tem por objetivos o estudo e

representao das propriedades estruturais das variveis regionalizadas pararesoluo de problemas de estimativa.

Hiptese intrnseca

"Um conceito bsico na Teoria das Variveis Regionalizadas a chamadahiptese intrnseca, a qual implica que uma funo (a funo intrnseca) descreveo comportamento espacial da varivel regionalizada dentro do espao e que essafuno uma caracterstica intrnseca da regionalizao. A funo intrnseca naverdade o chamado semivariograma. Em outras palavras, a geoestatsticaassume que a distribuio das diferenas entre dois pontos amostrais (estatsticade dois pontos) a mesma para todo o depsito e que ela depende apenas dadistncia e orientao entre os pontos. Essa a conceituao geoestatstica dahiptese intrnseca, algumas vezes referenciada como hiptese de quase-estacionaridade. A variao espacial estacionria se ela puder ser reconhecidaem todas as partes do espao, ou seja, o variograma o mesmo onde quer quese amostre. A estacionaridade usada na Teoria das Variveis Regionalizadas aestacionaridade de segunda ordem das diferenas entre a varivel Z(x) e avarivel Z(x+h) nos pontos (x) e (x+h), onde (Z(x); x D) um processoestocstico a valores reais, definido sobre um domnio D em R, R2 ou R3", inIPT

(1989).

Caractersticas qualitativas das variveis regionalizadas

Segundo Bubenicek & Haas (1969), as caractersticas qualitativas devariveis regionalizadas, que os mtodos estatsticos convencionais noconseguem reconhecer, so:


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LocalizaoOs valores de uma varivel regionalizada so dependentes de suas funesespaciais relativas dentro do campo geomtrico (depsito). Alm disso, estes

valores so dependentes do tamanho da amostra, forma e orientao (suporteamostral);

SuportePor vezes a varivel regionalizada Z(x) no est definida num ponto, mas sobreuma rea ou volume centrado em x. A unidade amostral bsica sobre a qual avarivel medida chama-se suporte (IPT, 1989);

ContinuidadeA variao espacial de uma varivel regionalizada pode ser, dependendo dofenmeno, grande ou pequena, mas deve existir uma certa continuidade ponto aponto;

An isotropiasA regionalizao pode apresentar anisotropias quando apresenta variaesgraduais numa direo e rpida ou irregular em outra;

5.3 O variograma

O variograma a ferramenta bsica que permite descreverquantitativamente a variao no espao de um fenmeno regionalizado(Huijbregts, 1975).

A natureza estrutural de um conjunto de dados (assumido pela varivelregionalizada) definida a partir da comparao de valores tomados

simultaneamente em dois pontos, segundo uma determinada direo.A funo variograma 2(h) definida como sendo a esperana matemticado quadrado da diferena entre os valores de pontos no espao, separados poruma distncia h, conforme a seguinte expresso:

( ) ( ) ( )[ ]{ }22 xZhxZEh +=

ou em termos computacionais:

( ) [ ]=

+= n

i

xZhxZ

n

h

1

2)()(.

12

33


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onde: 2(h) a funo variograma; n o nmero de pares de pontos separadospor uma distncia h; Z(x) o valor da varivel regionalizada no ponto x; Z(x+h) ovalor da varivel regionalizada no ponto (x+h). Comumente utiliza-se da funo

semivariograma, que simplesmente a metade da funo variograma:

( ) [ ]=

+= n

i

xZhxZn

h1

2)()(.

2

1

Imaginava-se a expresso da funo semivariograma como emprica,conforme proposta por Matheron (1971), mas Journel (1989) mostrou que ela no nada mais que o momento de inrcia medido num diagrama de disperso entreos valores de Z(x+h) versus Z(x), como apresenta-se a seguir.

Para o desenvolvimento da relao de dependncia entre valores (xi,yi),

separados por uma distncia h, considere-se o diagrama de disperso da Figura15, apresentado por Journel (1989).A distncia dientre o i-simo ponto (xi,yi) e a reta ideal :

oiii yxd 45cos=

elevando a distncia ao quadrado tem-se:

( )222

1iii yxd =

Figura 15: Representao do par de pontos (xi,yi) no diagrama de disperso(Journel, 1989).

Havendo n pares de pontos, pode-se calcular o momento de inrcia emtorno da reta de 45o, como:

=

= n

iixy d

n 1

2.1

,

34


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ou

( ) ( ) = =

== n

i

n

iiiiixy yx

nyx

n 1 1

22.

2

1

2

1.

1

Quanto maior a disperso, maior o momento de inrcia e menor acorrelao. Se no houver disperso - todos os pares de pontos caem sobre areta 45o- o momento de inrcia zero e o coeficiente de correlao igual a 1(mxima correlao).

Como pode ser visto, tem-se uma medida eficiente da dependnciaespacial por meio do momento de inrcia do conjunto de pontos separados poruma certa distncia em relao reta 45o.

5.4 Relao entre semivariograma e a funo covarincia

Como na Estatstica Clssica, pode-se definir a mdia e a varincia de umavarivel regionalizada, de acordo com as seguintes relaes:

( )[ ]xZEm =

( )[ ] ( )[ ]2mxZExZVar =

A varincia conhecida em notao geoestatstica como C(0), ou seja, acovarincia para distncia de separao nula.

Da mesma forma, pode-se definir a covarincia C(h), entre pontosseparados por uma distncia h:

( ) ( ) ( )[ 2. mxZhxZEhC += ] (4)

A funo variograma 2(h) pode tambm ser expressa em termos devarincia C(0) e da covarincia C(h), de acordo com o seguinte desenvolvimento:

( ) ( ) ( )[ ]22 xZhxZEh +=

( ) ( ) ( ) ( ) ([ ]xZxZhxZhxZEh 22 .22

1+++= )

aplicando-se as propriedades (b) e (c) da mdia (item 4.3.1) obtm-se:

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )[ ]{ }xZExZhxZEhxZEh 22 .22

1+++= (5)

desenvolvendo-se a expresso da varincia tem-se:

35


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( ) ( )[ ]20 mxZEC =

( ) ( ) ( )

22

.20 mmxZxZEC +=

aplicando-se novamente as propriedades (b) e (c) da mdia (item 4.3.1):

( ) ( ) ( )[ ] 22 20 mxZmExZEC +=

como , tem-se:( )[ ] mxZE =

( ) ( ) ( ) 2222 20 mxZEmmmxZEC =+=

ou

( ) ( ) 22 0 mCxZE += (6)

admitindo-se a estacionaridade, ou seja, que a mdia do quadrado da varivelregionalizada no ponto (x) igual quela no ponto (x+h):

( ) ( )hxZExZE += 22 (7)

Substituindo-se (4), (6) e (7) em (5), a funo (h) fica:

( ) ( ) ( )[ ] ( ){ }222 0202

1mCmhCmCh ++++=

( ) ( )[ ]hCCh 2022

1)( =

portanto:

( ) ( ) ( )hCCh = 0 (8)

Como a funo variograma uma medida da varincia das diferenas nosvalores da varivel regionalizada entre pontos separados por uma distncia h,pontos mais prximos, por estarem correlacionados tero essa varinciapequena, aumentando medida que os pontos se distanciam. Ao contrrio dafuno covarincia, que grande para distncias pequenas diminuindo medidaque a distncia aumenta, pois esta funo mede a correlao entre pontosseparados por uma distncia h. A funo variograma usualmente representadasob a forma grfica denominada variograma e a da funo covarincia

36


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denominada covariograma. A Figura 16 mostra a relao entre a funovariograma e a funo covariograma.

Figura 16: Relao entre as funes variograma e covariograma.

O variograma determinado segundo uma direo predefinida, portanto afuno (h) vetorial. Na prtica faz-se variogramas segundo vrias direes da

jazida, justamente para se conhecer a estrutura da mineralizao. Esteprocedimento denominado "anlise estrutural" na literatura (e.g. Huijbregts,1975; Olea, 1994).

5.5 Propriedades do variograma

A interpretao do variograma permite obter parmetros que descrevem o

comportamento espacial das variveis regionalizadas. As principais propriedadesdo variograma, que podem ser vistas na Figura 17, so:

Figura 17: Desenho mostrando um variograma tpico e suas propriedades.

Ampl itude a distncia a partir da qual as amostras passam a ser independentes (Figura17). Em outras palavras, a amplitude reflete o grau de homogeneizao entre asamostras, ou seja, quanto maior for a amplitude maior ser a homogeneidade

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entre as amostras. Nesse sentido, conforme Matheron (1971), o variograma dum significado preciso da noo tradicional de zona de influncia. A amplitude (a) a distncia que separa o campo estruturado (amostras correlacionadas) docampo aleatrio (amostras independentes);

Patamar o valor de varincia no qual o variograma estabiliza-se (no campo aleatrio);

Efeito pepita o valor da funo variograma na origem (h=0). Teoricamente esse valor deveriaser zero, pois duas amostras tomadas no mesmo ponto (h=0) deveriam ter osmesmos valores; entretanto, quando no assim, atribui-se, esta diferena,geralmente, a erros de amostragem e/ou anlise. Como os erros analticos so

desprezveis, com os equipamentos disponveis atualmente, o efeito pepita atribudo a erros de amostragem e/ou variabilidade natural do depsito. O efeitopepita tambm chamado de varincia aleatria (Figura 17).;

Varincia espacial dada pela diferena entre a varincia a priori e o efeito pepita (Figura 17);

Zona de influncia

Uma feio resultante da anlise dos parmetros do variogramaexperimental a determinao da zona de influncia, que um fenmeno detransio caracterizado exclusivamente por modelos de variograma que possuempatamar e amplitude definidos. Portanto, qualquer valor de Z(x) estarcorrelacionado com outros valores Z(x+h) que estiverem dentro de um raio a dex. Esta correlao, ou a influncia de um valor em outro, decresce conformeZ(x+h) aproxima-se de a.

5.6 Anisotropias

Os variogramas determinados ao longo de diferentes direes da jazidapodem mostrar variaes distintas, como exemplificados pela Figura 18. Aanisotropia pode ser geomtrica (Figura 18A), quando a amplitude varia conformeas direes, mas sob um patamar constante; zonal (Figura 18B) quando aamplitude permanece constante e o patamar varia de acordo com a direo; e,por fim, a anisotropia mista (Figura 18C) onde variam tanto a amplitude quanto opatamar, ou seja, quando as vrias direes resultam em diferentes variogramas.


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Figura 18: Anisotropias: geomtrica (A), zonal (B) e mista (C).

A anisotropia pode ser identificada facilmente atravs da confeco eanlise de variogramas direcionais. Aps ajuste dos modelos, anota-se os valoresde amplitude e patamar, com os quais constri-se uma roscea, qual ajusta-se

uma elipse visando a definio precisa da direo de anisotropia, bem como aquantificao dos eixos de maior e menor elongao.

Exemplo de anisotropia geomtricaNum depsito elico a permeabilidade deve ter uma amplitude maior na direodo vento em relao amplitude na direo perpendicular.

Exemplo de anisotropia zonalO variograma de um furo de sonda vertical mostra uma patamar maior que na

direo horizontal.

5.7 Comportamento prximo origem

O grau de continuidade da mineralizao dado pelo comportamento dovariograma prximo origem. Assim, quanto a este comportamento podem serdescritos quatro tipos bsicos, a saber:

Parablico

O variograma descreve uma curva parablica prximo origem (Figura 19A) erepresenta um alto grau de continuidade das amostras selecionadas. Este tipopode ser exemplificado por um variograma construdo a partir de dados deespessura de uma camada;

LinearCaracterizado por um comportamento linear na origem, ou seja, por uma tangenteoblqua origem (Figura 19B), representando uma continuidade mdia dasamostras. Entenda-se por continuidade mdia das amostras como sendo umagrande homogeneidade destas a pequenas distncias e uma progressiva perda

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O campo geomtrico, considerado geologicamente homogneo, deveriaser at certo ponto intrnseco ou independente da posio nas caractersticasrepresentando a variabilidade da varivel regionalizada (Bubenicek & Haas,1969). Quando esta hiptese verificada, reconhece-se uma lei de disperso

nica no campo mineralizado denominada "lei intrnseca", de acordo com aquelesautores. Entretanto, esta caracterstica intrnseca no se mantm quando semove o campo para a zona de borda. Nesta parte a mineralizao no existe e,por isso, o valor da varivel regionalizada pode ser zero e o conceito de valormdio nesse campo de um dado tamanho tornar-se-ia insignificante, como estilustrado na Figura 20.

5.9 Clculo de variogramas experimentais

A obteno de variogramas representativos depende fundamentalmente do

nmero de pares de pontos, para diferentes distncias, encontrado numadeterminada direo. Portanto, as direes devem ser especificadas paracolherem o mximo de informaes. Basicamente pode-se obter variogramashorizontais e verticais, sendo que para os primeiros deve-se ainda especificardirees e aberturas para pesquisa de pontos para fins de clculo da funovariograma. Os variogramas assim obtidos servem para identificar e determinarpossveis anisotropias.

Figura 20: Domnios de definio do variograma, segundo Bubenicek & Haas (1969). O campogeomtrico coincide com o depsito e, neste caso, um variograma intrnseco pode ser obtido (A); o

campo geomtrico engloba parte do depsito e uma zona no mineralizada, fazendo com que ovariograma seja dependente da posio e tamanho do campo, alm de apresentar variabilidademaior que aquela verificada no variograma intrnseco (B); o campo geomtrico muito maior que odepsito e o variograma tende a zero quando o tamanho do campo aumenta. Contudo, possveldefinir um variograma transitivo que independente do campo que engloba o depsito (C).

No caso de variogramas horizontais para uma malha de amostragemquadrada, com direo da linha base E-W, especifica-se quatro direes iniciaisde pesquisa: E-W, N45oE, N-S, e N45oW. Geralmente os variogramas horizontaisso especificados segundo a orientao da linha base e da a 45o, 90oe 135o, nosentido anti-horrio.

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A consistncia dos pontos do variograma experimental ir dependerexclusivamente do nmero de pares de amostras. Para fins prticos Journel &Huijbregts (1978) recomendam utilizar, no mnimo, 30-50 pares de amostras paracada ponto do variograma experimental.

Acrescenta-se ainda que se deve sempre observar o nmero de pares depontos usado para o clculo de (h) prximo origem do variograma. Nestesentido, deve-se cuidar que no momento do ajuste do modelo de variograma ospontos que definiro o efeito pepita, se houver, devero conter o maior nmero depares de pontos possveis e deve-se descartar aqueles com um nmero muitoinferior quele locado imediatamente aps.

A comparao entre valores de amostras separadas por uma distncia h direta se os pontos de dados estiverem distribudos segundo uma malha regular.Entretanto, quando os pontos de dados estiverem dispersos, deve-se fazer apesquisa de amostras situadas a uma distncia h, dentro de uma janela depesquisa. Esta janela definida, ao longo da direo do variograma, por um

ngulo e por uma distncia de tolerncia, conforme pode ser observado na Figura21. O ngulo de tolerncia pode ser limitado levando-se em considerao adistncia percorrida ao longo da direo, ou seja, quando a tolerncia angular estabelecida forma-se um tringulo (2D) ou um cone (3D) em torno da direopreferencial. O problema que se no houver uma limitao, a rea do tringuloou o volume do cone tendem a crescer indefinidamente, englobando maiornmero de pontos. Para evitar isso, define-se a largura mxima, isto ,estabelece-se uma distncia a partir da qual o tringulo ou cone ficam limitados aessa faixa.

N

E

Toler

ncia

doPasso

Pas

so

Direo

TolernciaAngular

Largura

Mxim

a

Passo 0

Passo 1

Passo 2

Passo 3

Passo 4

Figura 21: Desenho mostrando a direo do variograma, os passos, a tolernciaangular, a largura mxima e a tolerncia do passo (modificado dePannatier, 1994).

5.10 Modelos tericos de variogramas

O variograma como ferramenta bsica ser utilizado para calcular os

valores da funo variograma, para uma dada distncia, os quais so necessriospara a organizao do sistema de equaes de krigagem. O variograma de

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pontos, dito experimental, no serve para esse fim, porque h necessidade deinterpolao e, invariavelmente, os pontos apresentar-se-o com uma certadisperso, principalmente para distncias grandes, quando o nmero de pares deamostras vai diminuindo. Assim, surge a necessidade de ajustar uma funo

matemtica que descreva continuamente a variabilidade ou correlao espacialexistente nos dados. O ajuste de uma funo matemtica ao variogramaexperimental denominado modelagem de variogramas. Esta modelagem feitade maneira interativa, onde a partir dos parmetros do variograma (modelo, efeitopepita, amplitude e patamar), o variograma terico desenhado juntamente comos pontos do variograma experimental, e se o ajuste no for satisfatrio, novosparmetros so fornecidos sucessivamente, at que o ajuste seja consideradosatisfatrio.

Os modelos de variogramas mais comuns na natureza esto ilustrados naFigura 22, conforme as equaes apresentadas a seguir.

Exponencial ( )

+=ahexp1CCh o

Gauss( )

+=

2

oa

hexp1CCh

Esfrico( )

+=

3

o a

h

2

1

a

h

2

3CCh para h < a

( ) CCh o+= para h a

Foram apresentados os trs modelos mais comuns na natureza e quepodem resolver a maioria dos problemas na modelagem da correlao espacialde fenmenos geolgicos. Obviamente existem outros modelos, mas no se

justifica introduzi-los num texto introdutrio de geoestatstica.Cabe ressaltar que em qualquer modelo terico que apresente efeito

pepita, bem como no efeito pepita puro, o valor de (h)=0 para h=0, pois ovariograma descontnuo na origem.

Figura 22: Modelos tericos de variogramas mais comuns no estudo defenmenos espaciais geolgicos.

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6 ESTIMATIVAS POR KRIGAGEM ORDINRIA

Aps a anlise geoestatstica, na qual os variogramas experimentais foramcalculados e os modelos tericos foram ajustados, passa-se ao clculo de

estimativas pela tcnica da krigagem ordinria. A krigagem ordinria tem comocaracterstica principal a preciso local das estimativas, mas com perda dapreciso global devido ao efeito de suavizao (suavizao da varincia e dovariograma). Por outro lado, a tcnica da simulao estocstica tem sido preferidapara estudo da variabilidade, pois a varincia de krigagem no proporciona umamedida precisa da incerteza associada estimativa. A simulao estocsticareproduz tanto o histograma como o variograma, mas com significativa perda depreciso local. Infelizmente, de acordo com Olea (1999), as realizaesestocsticas no esto livres de erros na representao da realidade e os erros,para qualquer realizao, so maiores que aqueles da estimativa de krigagem.Esta uma caracterstica menos atrativa da simulao estocstica (Olea, 1999).

Portanto, no h uma soluo pronta para obteno de uma nica imagemrepresentativa que compartilhe tanto a preciso global e local. Assim, ambasaproximaes necessitam de uma correo para representar apropriadamente ofenmeno espacial atravs de uma nica imagem representativa. Muitos autorestm preferido tentar corrigir o efeito de suavizao da krigagem ordinria, ao invsdas simulaes estocsticas. Cabe lembrar, contudo, que a preciso local muitomais importante que a preciso global, quando o problema for a estimativa derecursos naturais, a partir de dados de amostragem.

Na realidade, todo o esforo na procura de alternativas para determinaoda variabilidade foi justificado pela falta de uma medida da varincia do erro.Assim, este autor (Yamamoto, 2000) props recentemente uma alternativa aoclculo da varincia do erro atravs da varincia de interpolao que ser vistoadiante.

Antes de passar a estimativa propriamente dita, a krigagem como qualqueroutro mtodo de interpolao requer a definio de certas condies de controlevisando estimativas de qualidade. Tais condies so: definio da fronteiraconvexa e da vizinhana local.

6.1 Defin io da fronteira convexa

As estimativas s podem ser feitas dentro do domnio dos pontos de dados,que pode ser aproximado atravs da sua fronteira convexa. A fronteira convexapode ser definida como o polgono convexo de rea mnima que engloba ospontos de dados. Cabe notar que a maioria dos programas de geoestatstica nopermite a definio da fronteira e, conseqentemente, estimando pontos fora dodomnio dos pontos amostrados, sem nenhum significado prtico ou real. O usode limites para interpolao de dados evita a interpretao de dados esprioscriados por extrapolao matemtica (Yamamoto, 1997). Detalhes de algoritmospara determinao de fronteira podem ser encontrados em Yamamoto (1997).

A ttulo de ilustrao a Figura 23 apresenta um conjunto de pontos dedados e a sua fronteira convexa. Observe-se que apenas os ns da malha regular

que esto dentro da fronteira convexa podem ser estimados.


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A)

0

20

40

60

80

100

0 20 40 60 80 100

B)

0

20

40

60

80

100

0 20 40 60 80 100

Figura 23: Conjunto de pontos de dados (A) e sua fronteira convexa com odesenho dos ns da malha regular pertencentes mesma (B).

6.2 Defin io da vizinhana local

A krigagem ordinria faz uso da correlao espacial existente entreamostras, modelada pela funo variograma. Isto significa que somente as

amostras dentro de um raio de influncia (igual amplitude) podero serutilizadas para a estimativa do valor da varivel de interesse em um ponto noamostrado. Assim, a krigagem ordinria uma tcnica essencialmente local, aocontrrio da superfcie de tendncia que global (todas as amostras soconsideradas para o ajuste de uma superfcie em toda a rea de estudo). Sendo akrigagem uma tcnica local de estimativa, deve-se estabelecer estratgias paralocalizao e pesquisa das amostras vizinhas mais prximas do ponto a serestimado.

A localizao e busca de n amostras de furos vizinhos para definio dosubconjunto de amostras a ser utilizado na estimativa local um passo importanteda krigagem ordinria. Pois, dependendo do modo de pesquisa, diferentes

subconjuntos de amostras podero ser definidos e, portanto, resultados distintospodero ser obtidos. A escolha das n amostras de furos vizinhos deve ser feita detal modo que garanta uma boa amostragem espacial, o que implica em evitarsubconjuntos com agrupamentos de pontos. Agrupamentos de pontos ocorrempreferencialmente em arranjos aleatrios e semi-regulares. Assim, torna-senecessrio estabelecer critrios de seleo de amostras que garantam uma boaamostragem espacial e, conseqentemente, evitem os agrupamentos de pontos.Existem basicamente trs critrios que podem ser aplicados para a definio davizinhana local: n pontos mais prximos, n/4 pontos mais prximos porquadrante e n/8 pontos mais prximos por octante.

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Pontos mais prximos

Considere-se, por exemplo, que o subconjunto de pontos seja definidopelos oito pontos mais prximos, em relao ao ponto a ser interpolado, para os

arranjos aleatrio e semi-regular, como ilustrado na Figura 24A e 24B,respectivamente.Na Figura 24A, pode-se observar que a pesquisa dos vizinhos prximos,

sem nenhuma restrio quanto localizao dos mesmos, resulta noagrupamento de pontos no quadrante nordeste, em detrimento dos demais,enquanto o quadrante sudoeste nem sequer foi amostrado. No arranjo semi-regular da Figura 24B, verifica-se que somente os pontos situados ao longo deuma linha de pesquisa sero amostrados, se nenhuma restrio for imposta,caracterizando tambm um agrupamento de pontos. Em nenhum caso aamostragem espacial foi representativa em termos da reproduo do gradientedos dados.

A) B)

Figura 24: Localizao dos oito pontos mais prximos para o arranjo aleatrio (A),localizao dos oito pontos mais prximos para o arranjo semi-regular (B),modificado de Harbaugh et al. (1977).

Assim, para se evitar agrupamentos de pontos foram estabelecidoscritrios de seleo de amostras baseados na subdiviso da regio do ponto a ser

estimado em quatro ou oito setores, denominados respectivamente quadrante eoctante.

Quadrante

Pelo critrio dos quadrantes, a regio do ponto a ser estimado subdividida em quatro setores e os n/4 pontos mais prximos por quadrante soselecionados. Observe-se na Figura 25 que o critrio dos quadrantes proporcionauma melhor amostragem espacial. Como se pode observar na Figura 6-3B, aaplicao do critrio dos quadrantes provocou a amostragem de pontos em duas

linhas adjacentes de pesquisa.46


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A) B)

Figura 25: Seleo de duas amostras por quadrante, para o arranjo aleatrio (A) e para o arranjosemi-regular (B), adaptado de Harbaugh et al. (1977).

Octante

Utilizando o critrio dos octantes, a regio do ponto a ser estimado subdividida em oito setores, nos quais so escolhidos os n/8 pontos maisprximos por octante so selecionados. A Figura 26 apresenta os resultados daseleo pelo critrio dos octantes mostrando uma melhor distribuio espacial dospontos amostrados.

A) B)

Figura 26: Seleo de uma amostra por octante, para o arranjo aleatrio (A) epara o arranjo semi-regular (B), adaptado de Harbaugh et al. (1977).

Embora a seleo de amostras pelo critrio dos octantes resulte numamelhor distribuio espacial, h, por outro lado, o inconveniente de amostras maisdistantes serem selecionadas para a estimativa do ponto. Sem dvida, deve

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existir um compromisso entre a representatividade da amostragem e a distnciamxima das amostras selecionadas.

Quadrante slido

Arranjos semi-regulares ocorrem tambm com informaes de furos desonda, onde a densidade de amostragem ao longo dos furos sempre maior queentre os furos. A Figura 27 ilustra o caso da seleo de amostras de furos desonda para interpolao de ponto ou bloco na jazida, sem impor nenhumarestrio. A Figura 28 mostra a mesma situao anterior, porm com restrio delocalizao por "quadrantes", ou seja, o equivalente para o caso tridimensional em

que cada quadrante representa um setor com ngulo slido de 90o.

Observe-se na Figura 27 que, no caso de avaliao de jazidas, o critrio deseleo por setor importante para evitar a superamostragem de um determinadofuro, em relao aos demais. Na Figura 28, aplicando-se o critrio de seleo porsetor, pode-se verificar que os quatro furos de sonda foram amostrados,melhorando a representatividade da amostragem, principalmente quando seestiver avaliando um bloco de cubagem.

Figura 27: Localizao de oito amostras de furos de sonda mais prximas aocentro do bloco.

48

Figura 28: Seleo de uma amostra de furo de sonda mais prxima por setor

(octantetridimensional), em relao ao centro do bloco.


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A pesquisa de amostras de furos vizinhos para interpolao de pontos ou

centros de blocos para fins de avaliao de recursos, deve ser feita sempre comaplicao do critrio de seleo em setores para garantir uma boa amostragem

espacial. Caso contrrio, h riscos de se estar avaliando blocos com base namdia de amostras do furo mais prximo.

Nmero de amostras de furos vizinhos

Escolhido o critrio para a seleo de amostras de furos vizinhos, deve-sedefinir o nmero de amostras a ser utilizado para estimativa do valor de interesseem um ponto no amostrado. O nmero de amostras no deve serexcessivamente pequeno, com o risco da interpolao resultar em valorsemelhante ou muito correlacionado ao do ponto mais prximo, e nem

excessivamente grande, com o risco da interpolao resultar num valor bastantesuavizado, perdendo a caracterstica de interpolao local.

Assim, pode-se definir 8 amostras, que se ajustam perfeitamente aoscritrios de quadrante (2 amostras por quadrante) ou octante (1 amostra poroctante) no plano, ou ento ao critrio de octante tridimensional. Entretanto, nemsempre a condio inicial de 8 amostras de furos vizinhos ser satisfeita,principalmente na borda do corpo de minrio. Nesses casos, deve-se relaxar acondio inicial para um mnimo de 3 ou 4 amostras, dependendo se a estimativaestiver sendo feita em 2D ou 3D, respectivamente.

6.3 Defin io da malha regular

O ltimo passo antes do clculo de estimativas pela krigagem ordinriaconsiste na definio da malha regular em 2D ou 3D.

Mas, por qu definir uma malha regular? Porque a malha regularproporciona reas ou volumes de mesmo tamanho permitindo assim fazer umacomparao de resultados, bem como uma maior facilidade computacional pararepresentao grfica em mapas ou projeo em perspectiva. A malha regular

pode ser definida em 2D ou 3D, dependendo dimensionalidade dos dados.A Figura 29 apresenta uma malha regular 2D, cujos ns pertencentes fronteira convexa sero estimados pela tcnica da krigagem ordinria.

No caso da malha 2D, pode-se tanto estimar o n, como uma rea emtorno do n da malha regular. Da a diferena entre krigagem pontual e de blococomo se ver adiante.

Como os dados em 3D so geralmente ligados a resultados da pesquisamineral, a malha regular em 3D definida em termos de blocos de cubagem (nomais pontos). Os blocos de cubagem tm a forma geral de paraleleppedos esuas dimenses devem ser compatveis com a densidade mdia de amostragemnas trs direes. Ao conjunto de blocos de cubagem que compem o depsito

denomina-se modelo tridimensional de blocos (Figura 30).


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0

20

40

60

80

100

0 20 40 60 80 100 Figura 29: Malha regular 2D com a representao dos ns pertencentes fronteira convexa.

Figura 30: Modelo tridimensional de blocos de um depsito hipottico.

A abertura ideal da malha regular, baseada na prtica de avaliao derecursos, seria igual metade do espaamento mdio entre os furos de sonda.Segundo Valle & Cte (1992), a krigagem de blocos com dimenso muito menorque a metade da malha de amostragem deveria ser evitada, pois tais estimativasexibem extrema variabilidade. Cabe ressaltar que no caso da malha regular 3D, afronteira convexa definida tambm para todos os nveis do modelotridimensional de blocos.

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6.4 Krigagem ordinria

Segundo Brooker (1979), as tcnicas geoestatsticas de estimativa,baseadas no estudo da variabilidade espacial do corpo de minrio, so superioresporque permitem o clculo do erro associado s estimativas, chamado varinciade krigagem. Ainda conforme o mesmo autor, a krigagem o procedimento quepermite calcular os ponderadores para uma dada configurao (bloco Xdisposio das amostras no espao), com mnima varincia de krigagem.

A krigagem feita aps a concluso dos estudos geoestatsticos, os quaispodero inclusive indicar a no aplicao deste mtodo se o comportamento davarivel regionalizada for totalmente aleatrio. Os estudos geoestatsticos levam adefinio de um modelo de variograma, que servir para inferir os valores dafuno variograma ou covariograma que sero utilizados pelos mtodos

geoestatsticos de interpolao.

Equaes de krigagem

A krigagem um mtodo que permite estimar o valor desconhecido ( )oxZ

associado a um ponto, rea ou volume, a partir de um conjunto de n dados {Z(x i),i=1,n} disponveis.

O estimador poder ser obtido como uma combinao linear dos

dados disponveis, conforme:

( oxZ )

)

(9)( ) (=

=n

1iiio xZ.xZ

Os ponderadores (i, i=1, n) so obtidos da resoluo de um sistema linear

de equaes, denominado sistema de equaes de krigagem, conforme odesenvolvimento matemtico.

Para que o estimador ( )oxZ no seja enviesado, segundo Journel &

Huijbregts (1978), basta garantir que:

( ) ( ) 0xZxZE oo =

fazendo ( )[ ] mxZE o = e tendo que:

( )[ ] ( ) ( )[ ]==

=

=

n

1iiii

n

1iio xZExZExZE

( )[ ] =

=n

1iio mxZE

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assim, a condio de no enviesamento para ( )oxZ fica:

1 (10)n

1i

i ==

Como toda tcnica de estimativa, a krigagem procura faz-la com mnima

varincia.A varincia do erro da krigagem dada pela equao a seguir:

( ) ( ){ }oo2E xZxZVar =

Expandindo a varincia do erro, de acordo com Isaaks & Srivastava (1989),tem-se:

( ) ( ){ } ( ) ( )} ( ) ( )}oooooo2E xZxZCovxZxZCov2xZxZCov += (11)

Desenvolvendo cada termo do lado direito de (11), conforme Isaaks &Srivastava (1989), tem-se:

( ) ( ){ } ( ){ }

( )0C

xZVarxZxZCov ooo=

=

( ) ( ){ } ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ){ }

( ) ( ){ } ( ){ } ( ){ }

( ) ( ){ } ( ){ } ( ){ }[ ]

( )ioi

i

ioioii

i ioiioii

oi

iioii

i

oi iioo

xxC2

xZExZExZxZE2

xZExZE2xZxZE2

xZExZE2xZxZE2

xZxZCov2xZxZCov2

=

=

=

=

=

( ) ( ){ } ( ){ }

( )

( )

=

=

=

i jjiji

iii

ooo

xxC

xZVar

xZVarxZxZCov

Assim, a expresso (11) torna-se:

( ) ( ) ( ) +=i i j

jijiioi2E xxCxxC20C

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O objetivo da krigagem buscar o melhor conjunto de ponderadores, de talmodo que a varincia do erro seja a mnima possvel. Trata-se, portanto, deencontrar o mnimo da funo varincia do erro. Entretanto, como tal funo tem n

variveis, o ponto de mnimo poder ser determinado aps aplicao da tcnicados multiplicadores de Lagrange (Converse, 1970), conforme colocao doproblema a seguir:

- minimizar a funo:

( ) ( ) ( ) +=i i j

jijiioi2E xxCxxC20C

- restrito a:

==j j jj 01ou1

Forma-se o lagrangiano:

( ) ( ) ( ) ( )

+=

i j jjjiji

iioin21 12xxCxxC20C,,,,L K

onde: ( ) ,,,,L n21 K o lagrangiano; o multiplicador de Lagrange.

Para minimiz

yamamoto geoestatistica aplicada

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