CAMPUS SALVADOR

MOISS RODRIGUES LIMA JNIOR

VISCOSIDADE ESTIMATIVA

SALVADOR2011MOISS RODRIGUES LIMA JNIOR

VISCOSIDADE ESTIMATIVA

Trabalho apresentado como avaliao parcial da disciplina de Mecnica dos Fluidos, do Curso de Graduao em Engenharia Qumica, do Instituto Federal da Bahia - IFBA, sob a orientao da Profo. Dro. dler Lins Albuquerque.

SALVADOR2011SUMRIOPgina

Objetivo do Trabalho41. Fundamentao terica51.1 Viscosidade51.2. Influncia da Temperatura e da Presso sobre a Viscosidade71.3. Teoria da Viscosidade para Gases de Baixa Densidade81.4. A Teoria da Viscosidade dos Lquidos132. Concluso163. Referncias Bibliogrficas17

OBJETIVO DO TRABALHO

O objetivo deste trabalho ser de verificar os estudos que j foram realizados empiricamente sobre as metodologias baseadas na literatura que tem um poder relativamente alto de estimar a viscosidade das substncias, sejam elas lquidas ou gasosas, a partir da teoria cintica aplicada aos estados fsicos da matria, denominados fluidos. um objeto valioso de estudo estimar a viscosidade de uma determinada substncia devido s diferenas existentes em cada fluido e consequentemente em seu comportamento ao longo de um escoamento. Por exemplo, dois lquidos podem ter valores de massa especfica semelhantes, porm no uma informao suficiente para determinar o comportamento dos dois fluidos. Logo, determinar a viscosidade de um fluido descrever, com maior riqueza de detalhes, a fluidez de certas substncias, e suas interaes com outras substncias ou com as fronteiras de um determinado sistema de referncia.Existem numerosos dados de viscosidade para gases e lquidos puros encontrados na literatura, especialmente na Physikochemische Tabellen de Landolt- Brnstein.

1. FUNDAMENTAO TERICA

1.1. VISCOSIDADE

Imagine dois corpos slidos em contato se movimentando um em relao ao outro, logo se desenvolve uma fora de atrito na superfcie de contato, em direo oposta ao movimento. Para mover-se uma mesa sobre um piso, por exemplo, necessrio aplicar uma fora sobre a mesa, na direo horizontal de intensidade tal que supere a fora de atrito. A intensidade da fora requerida para movimentar a mesa depende do coeficiente de atrito entre mesa e o piso.Existe uma propriedade que relaciona a matria e representa a resistncia interna de um lquido ao movimento ou fluidez, e essa propriedade definida como viscosidade. Para obter uma relao para a viscosidade, considere-se uma camada fluida entre duas placas paralelas muito grandes (ou de maneira equivalente, duas placas paralelas imersas em um corpo lquido grande) separadas por uma distncia l. Aplica-se ento uma fora F constante na placa superior, paralela a ela enquanto a placa inferior mantida fixa. Aps o tempo inicial, observa-se que a placa superior se move continuamente sob a influncia desta fora, com velocidade constante V. O fluido em contato com a parte superior da placa prende-se superfcie da placa e move-se com ela a mesma velocidade; a tenso de cisalhamento que age sobre esta camada fluida :

Onde A a rea de contato entre a placa e o fluido. Observa-se que a camada fluida deforma-se continuamente sob a influncia da tenso de cisalhamento.O clculo diferencial e integral conclui que a taxa de deformao de um elemento do fluido equivalente ao gradiente de velocidade du/dy (Ver Figura A). Alm disso, verifica-se experimentalmente que para a maioria dos fluidos, a taxa de deformao (e, portanto, o gradiente da velocidade) diretamente proporcional tenso de cisalhamento .

Figura A Comportamento de um fluido com escoamento laminar entre duas placas paralelas quando a placa superior move-se com velocidade constante.FONTE: Cimbala e engel, Mecnica dos Fluidos

Os fluidos para os quais a taxa de deformao proporcional tenso de cisalhamento so chamados de fluidos newtonianos, em homenagem a Sir Isaac Newton, que os definiu primeiro em 1687. A maioria dos fluidos comuns tais como gua, ar, gasolina e leos so fluidos newtonianos. Sangue e plsticos lquidos so exemplos de fluidos no newtonianos.No escoamento cisalhante unidimensional de fluidos newtonianos, a tenso de cisalhamento expressa pela seguinte relao linear.

Para fluidos no newtonianos, a relao entre tenso de cisalhamento e taxa de deformao no-linear. A inclinao da curva no grfico versus du/dy denominada viscosidade aparente do fluido. Fluidos para os quais a viscosidade aparente aumenta com a taxa de deformao (como solues de amido ou areia em suspenso) so chamados de fluidos dilatantes; e os que se comportam de maneira oposta (o fluido tornando-se menos viscoso medida que o cisalhamento aumenta, tais como em algumas tintas, solues de polmeros e fluidos com partculas em suspenso) so denominados fluidos pseudoplsticos. (Ver Figura B)Na mecnica dos fluidos e na transferncia de calor, a razo entre viscosidade dinmica e densidade aparece freqentemente. Por convenincia, essa razo denominada viscosidade cinemtica e expressa como = /. Duas unidades comuns da viscosidade cinemtica so m2/s e stoke (1 stoke = 1 cm2/s = 0,0001 m2/s).

Figura B Variao da tenso de cisalhamento com a taxa de deformao dos fluidos newtonianos e no newtonianos.FONTE: Cimbala e engel, Mecnica dos Fluidos

1.2. INFLUNCIA DA PRESSO E DA TEMPERATURA SOBRE A VISCOSIDADE

Quando se carece de dados experimentais e no se dispe de tempo para se obt-los pode-se estimar a viscosidade atravs de mtodos empricos, utilizando assim outros dados fornecidos pela questo, ou situao de interesse.Neste trabalho so apresentadas correlaes que permitem efetuar uma estimao da viscosidade de um fluido, e que por sua vez proporcionam informaes sobre a variao da viscosidade dos fluidos mediante a mudana da temperatura e presso. Estas correlaes esto ligadas grande quantidade de dados de viscosidade encontrados experimentalmente. Isso, mediante a aplicao dos princpios dos estados correspondentes.Uma representao grfica da viscosidade reduzida atravs dos estudos prvios e empricos pode ser descrita de acordo com a Equao 1,

Esta equao representa a viscosidade a uma determinada temperatura e presso dividida pela viscosidade correspondente ao ponto crtico de uma determinada substncia. Na Figura 1 representada a viscosidade reduzida frente temperatura e presso reduzidas. Observa-se que a viscosidade de um gs tende para um limite definido quando a presso tende para zero a uma determinada temperatura. Para a maior parte dos gases este limite se alcana quando a presso praticamente igual a 1 atm. A viscosidade de um gs a baixa densidade aumenta com a temperatura, enquanto a viscosidade de um lquido diminui com o aumento de temperatura.

Figura 1 Viscosidade reduzida para vrios valores de temperatura reduzida.FONTE: BIRD, Transport PhenomenaDe acordo com a teoria cintica, sabe-se que os gases sofrem colises efetivas entre as suas molculas, e este fato proporciona uma maior taxa de deformao e transferncia de momento de uma molcula para outra, consequentemente esse fluido alcanar uma maior viscosidade em suas propriedades fsicas. J os lquidos ocupam espaos menores e as suas molculas se encontram mais compactas. Logo, ao receber calor atravs do aumento de temperatura, as molculas do lquido tendem a ocupar um volume maior no espao (expandindo), promovendo assim uma menor viscosidade na substncia no estado lquido da matria.Para calcular a viscosidade de um fluido, geralmente no se dispe de muitos valores experimentais para a , mas este pode ser estimado seguindo um dos procedimentos a seguir: (i) se o valor da viscosidade conhecido para certa temperatura e presso reduzida pode-se calcular mediante a Equao 1; (ii) se s so conhecidos os valores crticos de p-V-T, pode ser estimado a partir das Equaes 2 e 3.

Em que expresso em micropoises, em atmosferas, em oK, em cm3/g-mol e M o peso molecular em g.mol-1.Para n-componentes de um fluido com fraes molares , as propriedades pseodocrticas podem ser definidas atravs das Equaes 4, 5 e 6.

1.3. TEORIA DA VISCOSIDADE PARA GASES DE BAIXA DENSIDADE

A viscosidade dos gases de baixa densidade estudada amplamente, tanto no mbito experimental como no terico. Com a finalidade de ilustrar o mecanismo do transporte da quantidade de movimento vamos comear com a deduo simplificada da viscosidade do ponto de vista molecular.Consideremos um gs puro constitudo por molculas esfricas, rgidas (desprezando a atrao e repulsividade entre elas), de dimetro d e massa m, com uma concentrao de n molculas por unidade de volume. Supondo que n suficientemente pequeno, de forma que a distncia mdia entre as molculas seja muito maior do que o seu dimetro. Ao alcanar o equilbrio nessas condies, a teoria cintica estabelece que as velocidades moleculares relativas velocidade , do fluido, seguem direes randmicas (aleatrias) e tem um valor mdio , que dado pela Equao 7.

Em que K a constante de Boltzmann. A influncia das colises moleculares por unidade de rea que atua sobre uma superfcie estacionria em contato com o gs, dada por pela Equao 8.

Uma quantidade importante na teoria cintica a distncia mdia percorrida por uma molcula entre duas colises, esta distncia chamada trajetria livre mdia. Entre duas colises sucessivas, o movimento de uma molcula de um gs ideal retilneo e uniforme. A distncia mdia que uma molcula percorre entre duas colises sucessivas, chamado percurso livre mdio, expresso pela Equao 9. Neste caso, estamos considerando que uma coliso acontece quando os seus centros se aproximarem a uma distncia d.

As molculas que atingem um plano tero colidido pela ltima vez a uma distncia em relao ao plano, onde dado muito aproximadamente pela Equao 10.

Para determinar a viscosidade deste gs em funo das propriedades moleculares vejamos o que ocorre quando ele flui paralelamente ao plano com um gradiente de velocidade . (Veja a Figura 2). Pode-se supor que as Equaes 7, 8, 9 e 10 seguem sendo vlidas em condies de no-equilbrio, contanto que todas as velocidades moleculares sejam calculadas com relao velocidade mdia na regio onde a molcula considerada efetua a sua ltima coliso. A densidade de fluxo de quantidade de movimento-x atravs de um plano situado a uma distncia obtida somando-se as quantidades de movimento-x das molculas que cruzam a direo positiva, logo restam as quantidades de movimento-x que cruzam em sentido oposto e observando o balano dos componentes fsicos que atuam sobre sistema. Portanto, temos a Equao 11.

Quando uma molcula de menos velocidade colide com uma molcula de maior velocidade, esta ltima (mais energtica) perde energia, promovendo uma queda relativa de velocidade, ocorrendo assim uma transferncia de momento. Ao expressarmos a Equao 11 supomos que todas as molculas tm velocidades representativas da regio em que efetuaram a sua ltima coliso, e que o perfil de velocidade essencialmente linear em uma distncia em que vrias vezes percorrido o livre mdio. Tendo em conta esta ltima suposio pode-se escrever a Equao 12, como:

Combinando as Equaes 8, 11 e 12, teremos a Equao 13.

A Equao 13 corresponde a Lei da Viscosidade de Newton, sendo a viscosidade escrita na forma da Equao 14

Figura 2 Transporte de momento-x molecular do plano em ) para o plano em .FONTE: BIRD, Transport Phenomena.

Combinando as Equaes 7, 9 e 14, teremos a Equao 15 que tambm uma expresso que fornece o valor da viscosidade.

A expresso da Equao 14 para viscosidade foi obtida por Maxwell, em 1860. A Equao 15 corresponde viscosidade de um gs a baixa densidade, constitudo por esferas rgidas. Observe que preciso conhecer um valor experimental de para determinar o dimetro de coliso , a partir do qual se pode predizer em outras condies.A deduo anterior proporciona uma descrio qualitativamente correta da transferncia da quantidade de movimento em um gs de baixa densidade. A predio da Equao 15 de que independente da presso est em boa concordncia com os resultados experimentais para presses de at 10 atm. Em contraste, a dependncia em relao temperatura menos satisfatria. Os dados experimentais de vrios gases indicam que varia mais rapidamente do que , e tambm esta variao no pode ser representada exatamente como mediante uma funo potencial de . Para predizer com exatido a variao de com a temperatura, necessrio substituir o modelo de esfera rgida por um campo de foras moleculares mais realistas, e tambm, analisar mais cuidadosamente o respectivo desvio de comportamento de equilbrio.Antes que ocorresse a primeira guerra mundial, Chapman na Inglaterra e Enskog na Sucia desenvolveram, de forma independente, uma teoria cintica robusta para gases monoatmicos de baixa densidade. A teoria de Chapman-Enskog prope expresses para os coeficientes de transporte em funo da energia potencial de interao entre as molculas de gs. A energia potencial est relacionada com a fora de interao mediante a funo , onde r a distncia entre as molculas. Se fosse conhecido exatamente como as foras entre as molculas variam, em funo da distncia entre elas, seria possvel substituir nas equaes de Chapman-Enskog e calcular os coeficientes de transporte.A forma exata da funo no conhecida, porm felizmente, tem-se encontrado, atravs investigaes mais profundas, que a funo emprica da energia potencial muito satisfatria, que o potencial de Lennard-Jones, dado pela Equao 16.

Onde um dimetro caracterstico da molcula (dimetro de coliso) e uma energia caracterstica da interao entre as molculas (a energia de atrao mxima entre as molculas). Esta funo pode ser representada atravs da Figura 3, a qual mostra que a caracterstica tpica das interaes moleculares : fraca repulso para uma grande separao entre as molculas (praticamente proporcional a ), e forte repulso para separaes moleculares pequenas (aproximadamente proporcional a ). medida que a distncia entre os tomos vai diminuindo, outra interao comea a ser importante: a proximidade das cargas de mesmo sinal origina uma fora repulsiva eletrosttica (repulso coulombiana). O resultado final da competio entre estas duas foras a formao e coeso de uma molcula. Como essas foras dependem apenas da distncia, elas so conservativas, ou em outras palavras, o trabalho realizado por elas somente depende dos pontos inicial e final do movimento considerado. A Equao 16 bastante satisfatria para numerosas molculas apolares. Os valores de e se conhecem para muitas substncias. Se no se conhece os valores de e , pode ser calculado a partir das propriedades de um fluido no ponto crtico, da temperatura de fuso do lquido, da temperatura de fuso do slido, mediante as seguintes equaes empricas.

Figura 3 Funo da energia potencial descrevendo a interao entre duas esferas rgidas apolares.FONTE: BIRD, Transport Phenomena.

Onde e esto em Kelvin, em unidades de Angstrm, em cm3/g-mol, e em atmosferas.O coeficiente de viscosidade de um gs monoatmico puro de peso molecular , a uma temperatura , dado em termo dos parmetros e atravs da Equao 24.

Onde g.cm-1.s-1, K, , e uma funo ligeiramente decrescente do nmero adimensional cujos valores so tabelados bibliograficamente. Embora esta frmula tenha sido derivada para gases monoatmicos, tambm so encontrados resultados muito adequados para gases poliatmicos. A variao de com a temperatura que prediz esta equao concorda satisfatoriamente com a linha de baixa densidade no grfico de viscosidade reduzida. Observe novamente que a viscosidade de gases para baixa densidade aumenta com a temperatura, aproximadamente com a potncia de 0,6 a 1,0 dessa varivel. Tambm vlido recordar que para um intervalo de baixa densidade, a viscosidade independente da presso.Se o gs fosse constitudo por esferas rgidas de dimetro (ao invs de molculas reais com foras atrativas e repulsivas), seria unitrio. Portanto, a funo pode ser interpretada como o desvio do comportamento da esfera rgida.A teoria de Chapman-EnsKog foi ampliada por Curtis e Hirschfelder para incluir as misturas gasosas contendo vrios componentes. Na maioria dos casos resulta numa expresso muito adequada, a Equao 25 emprica de Wilke:

Em que pode ser expresso atravs da Equao 26.

Nas Equaes 25 e 26 o nmero de espcies qumicas existentes na mistura, so as fraes molares das espcies i e j; so as viscosidades de i e j na temperatura e presso do sistema; e Mi e Mj so os pesos moleculares correspondentes. Observe que um nmero adimensional, e que = 1 quando i = j. comprovado que a Equao 25 reproduz valores experimentais para com um desvio mdio na faixa de 2 %. A variao de com a composio extraordinariamente no-linear para algumas misturas, especialmente em gases leves e pesados.Resumindo, as Equaes 24, 25 e 26 so frmulas teis para o clculo de viscosidade das substncias apolares e das misturas gasosas de baixa densidade, tendo em conta os valores tabelados dos parmetros das foras intermoleculares, e . Porm no se pode aplicar com segurana nos casos em que os gases so constitudos por molculas polares muito largas, devido ao campo de foras existente entre essas molculas que dependem extremamente do ngulo. Uma modificao na Equao 16, levando em conta a influncia angular, promove bons resultados para alguns vapores polares, tais como: H2O, NH3, CH3OH e NOCl. Por ltimo, uma limitao sem muita importncia, consiste que estas equaes podem sofrer modificaes em um intervalo de temperatura inferior a 100 oK para que se leve em conta os efeitos qunticos. Para gases mais pesados do que o H2 e o He, os efeitos qunticos sobre a viscosidade podem desaparecer, mesmo para as temperaturas mais inferiores.

1.4. A TEORIA DA VISCOSIDADE DOS LQUIDOS

O conhecimento que temos da viscosidade dos lquidos fundamentalmente emprico, j que a teoria cintica dos gases e dos lquidos foi desenvolvida apenas parcialmente. No entanto, o interesse tem se desenvolvido para aprimorar a teoria de Eyring e colaboradores, pois explica o mecanismo que ocorre, e este permite estimar, de maneira aproximada, a viscosidade a partir de outras propriedades fsicas.Num lquido puro em repouso as molculas esto em constante movimento, mas devido ao compacto empacotamento, os movimentos so reduzidos quase vibrao de cada molcula dentro de uma gaiola formada por molculas mais prximas. Esta gaiola pode ser representada por uma barreira de energia potencial de altura , como se indica na Figura 4.

Figura 4 Ilustrao de um processo em que uma molcula escapa da gaiola para um espao vazio.FONTE: BIRD, Transport Phenomena

De acordo com Eyring, um lquido em repouso sofre rearranjos contnuos, durante os quais uma molcula escapa de uma gaiola e segue para um espao vazio ao lado, tal como se indica na Figura 4. E desta forma, as molculas se movem em cada uma das coordenadas cartesianas, dando saltos de longitude e freqncia por molcula , sendo que dado pela Equao 27 de velocidade.

Nesta expresso, e so as constantes de Boltzmann e Plank, R a constante molar dos gases e a energia livre de ativao molar para um fluido estacionrio.Se o fluido circula na direo x com um gradiente de velocidade , a freqncia dos rearranjos moleculares aumenta. Este efeito pode ser explicado tendo em conta que a barreira de energia potencial distorcida devido a uma tenso aplicada , de forma que

onde o volume em um mol de um lquido e corresponde, aproximadamente, ao trabalho descrito pelas molculas que se movem para cima das barreiras de energia, que se deslocam a favor da tenso de cisalhamento aplicada (sinal positivo), ou se deslocam contra ela (sinal negativo). Chamando a freqncia dos saltos para frente e a freqncia dos saltos para trs, a partir das Equaes 27 e 28 encontra-se a Equao 29.

A velocidade lquida com que as molculas da camada A se colocam na frente da camada B exatamente o caminho percorrido em um salto () multiplicado pela freqncia lquida dos saltos da frente; portanto

tendo em conta que o perfil de velocidade linear e que a distncia entre as camadas A e B muito pequena, se chega a Equao 31.

Combinando as Equaes 29 e 31, obtm-se a Equao 32.

interessante notar que a Equao 32 prediz o fluxo no-newtoniano dos lquidos em geral; na verdade, essa equao tem a mesma forma geral que o modelo de Eyring. Mas se