FACCI - FACULDADE DE CIÊNCIAS ADMINISTRATIVAS E CONTÁBEIS DE ITABIRA

CREDENCIADA PELO DECRETO DE 30/12/1994 - D.O.U. 31/12/1994Curso: Engenharia de Produção Lista de Exercícios

Formas Indeterminadas e integrais impróprias

Disciplina: Cálculo II

Professor: Maria Auxiliadora Lage

Período/turma: 3º Data: --/02/2015

Aluno(a):

1. Formas Indeterminadas e integrais impróprias

1.1. As formas indeterminadas de e

1.2. Integrais com limites de integração infinitos1.3. Integrais com integrandos descontínuos

Assista os vídeos:Os infinitos de Cantor, disponível em: http://www.youtube.com/watch?v=f1Ak-6vMVpg

Até Infinito e mais Além disponível em:http://www.youtube.com/watch?v=WbwucSLcYIE

Formas indeterminadas e regra de L’Hospital

Forma indeterminada do tipo

Em geral, se tivermos um limite da forma em que quando

, então esse limite pode ou não existir. Encontramos alguns limites desse tipo, como

por exemplo:

Para funções racionais, dividindo o numerador e o denominador pela potência mais alta de

x que ocorre no denominador, podemos calcular:

Esse método não funciona para limites tais como , de modo que precisaremos

da Regra de L’Hospital, para cálculo dessa forma indeterminada.

Regra de L’Hospital

Suponha que f e g sejam deriváveis e em um determinado intervalo aberto I que contêm a ( exceto possivelmente em a). Suponha que:

ou que

Em outras palavras, temos a forma indeterminada do tipo . Então

se o limite do lado direito existir ou for

(STEWART,p. 280) Participe da resolução

1. Encontre Resp: 1

2. Calcule Resp:

3. Calcule Resp: 0

Produtos indeterminados – forma indeterminada do tipo

Podemos trabalhar com ela escrevendo o produto . Isso converte o limite

dado na forma do tipo de modo que podemos usar a regra de L’Hopital.

Exemplos – Participe da resolução

1. Calcule Resp: 0

2. (FL- p.230) Calcule Resp: 1

Potências indeterminadas – forma indeterminada do tipo Cada um dos três casos pode ser tratado tanto tomando o logaritmo natural: seja

, quanto escrevendo a função

como uma exponencial:

Participe da resolução

1. (FL-p.229) Determinar Resp: 0

2. (ST- p.284) Calcule

Resp: e4

3. (ST- p.284) Calcule

Resp: 1

Integrais Impróprias

Até agora foi preciso que as integrais definidas tivessem duas propriedades: Domínio de integração de a a b fosse finito; Imagem do integrando fosse finita nesse domínio.

Mas encontramos problemas que não cumprem uma ou outra ou as duas condições: Domínio infinito Imagem infinita

Considere a área sob a curva de x=1 a - Domínio infinito

Considere a área sob a curva de x=0 a x=1 - Imagem infinita

Tratamos os dois exemplos da mesma maneira. Perguntamos: Qual é a integral quando o domínio é ligeiramente menor? E examinamos a resposta quando o domínio se aproxima do limite.Nesta seção entenderemos o conceito de integral definida para o caso em que o intervalo é infinito e também para o caso onde f tem uma descontinuidade infinita em [a,b]. Em ambos os casos, a integral e chamada de integral imprópria.

Tipo I. Integrais com limites de integração infinitos

Definição:

onde t é qualquer número real.

As integrais impróprias são chamadas convergentes se os limites correspondentes existirem e divergentes se os limites não existirem.

Participe da resolução

1. Determine se a integral e convergente ou divergente.

2. Obter a área da região infinita que fica sob a curva no primeiro quadrante.

=2

3. A área sob a curva de x=1 a x=b é finita? Se for, qual é ela?

=1

4. Calcule

5. Calcule

= =

Tipo II- Integrais com integrandos descontínuos

Outro tipo de integral imprópria aparece quando o integrando tem uma assíntota vertical – descontinuidade infinita – em um limite da integração ou em algum ponto entre os limites de integração.

Definição:Integrais de funções que se tornam infinitas em um ponto, dentro do intervalo de integração são integrais impróprias.

Nas partes 1 e 2, a integral imprópria é chamada convergente se o limite correspondente existir e divergente se o limite não existir.

Participe da resolução

1. Determine a área sob a curva para x=0 a x=1.

2. Considere a região infinita no primeiro quadrante que está sob a curva de x = 0

a x = 1.

=2

3. Verifique a convergência de

4. Calcule

Exercícios de Aplicação – Lista 1 -1ª etapa

1. Determinar Resp:2

2. Determinar Resp:5

3. Determinar Resp:0

4. Determinar Resp:

5. Determinar Resp:1

6. Determinar Resp:

7. Determinar Resp:

8. (ST- p.487) Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

5. Atribua um valor à área A da região sob o gráfico de , acima do eixo x e à

direita de x = 4. A = 1 u.a, 6. O sólido de revolução conhecido como Trobeta de Gabriel é gerado fazendo-se a

rotação em torno do eixo x da região sob o gráfico de , com x 1. Represente

graficamente este sólido e mostre que tem um volume finito de unidades cúbicas. R: V= u.v.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

FINNEY, Ross L. Weir, Maurice D. GIORDANO, Frank R. Cálculo de George Thomas Jr.Vol.1. São Paulo: Addison Wesley, 2002.

FLEMMING, D. M. & GONÇALVES, M. B. Cálculo A: Funções, Limites, Derivação e Integração. 6a Edição. São Paulo: Pearson Printece Hall, 2006.

STEWART, James. Cálculo, volume 1. São Paulo: Cengage Learning, 2011.