análise de dados em astronomia 3. distribuições de

3. Distribuições de Probabilidades

Análise de Dados em Astronomia

3. Distribuições de Probabilidades

Laerte Sodré Jr.

AGA0505, 1o. semestre 2019

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introdução

aula de hoje

1 distribuições de probabilidades2 a distribuição uniforme3 a distribuição normal ou gaussiana4 o teorema do limite central5 a distribuição binomial6 a distribuição de Poisson7 a distribuição exponencial8 a distribuição beta

9 a distribuição de Cauchy10 a distribuição χ2

11 a distribuição t de Student

12 distribuições em lei de potência

É provável que coisas improváveis aconteçam (Aristóteles)

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distribuições de probabilidades


clássicasuniformebinomialnormalPoissonexponencial

fauna estatísticaβ, Cauchy, χ2, F, Γ, t, Weibull,...

astrofísicalei de potênciaSchectherlog-normal...

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distribuição uniforme

distribuição uniforme (entre 0 e X):

P(x|X) =

{ 1X , se 0 ≤ x ≤ X0, de outro modo

média

E(x) =

∫ X

0x

1X

dx =X2

variância

σ2 = E(x2)− E(x)2 =X2

3− X2

4=

X2

12

distribuição cumulativa:

CDF(x) =

∫ x

0

1X

dx =xX

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distribuição normal ou gaussiana

distribuição gaussiana:

P(x|µ, σ) =1√2πσ

exp[− (x− µ)2

2σ2

]2 parâmetros:

média µdesvio padrão σ (ou variância σ2)

N(x;µ, σ)


CDF(x) =

∫ x

−∞N(x′;µ, σ)dx′ =

=12

[1 + erf

(x− µ√

2σ

)],

onde

erf(x) =2√π

∫ x

0e−u2/2du

é chamada de função erro

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distribuição gaussiana:

P(x|µ, σ) =1√2πσ

exp[− (x− µ)2

2σ2

]distribuição cumulativa:

CDF(x) =12

[1 + erf

(x− µ√

2σ

)]

a área total sob a curva é 1a área dentro de ±1σ é 0,68a área dentro de ±2σ é 0.95a área dentro de ±3σ é 0.997um resultado de 2σ teria apenas 5%de chance de ocorrer ao acaso

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Teorema do Limite Central:em condições bem gerais, fazermédias produz uma distribuiçãogaussiana, independentemente dadistribuição a partir da qual os dadossão geradosse x1, x2, ..., xn é um conjunto devariáveis aleatórias com valoresperado µ finito e variância σ2 finita,para N →∞ a soma dessas variáveistende a uma distribuição gaussianade média Nµ e variância Nσ2

a variável

y =

∑Ni=1(xi − µ)∑N

i=1 σ2

tende a uma gaussiana de média nulae variância unitária

uma consequência: os erros demédias de dados vão tender a ser’gaussianos’

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Teorema do Limite Central:em condições bem gerais, fazermédias produz uma distribuiçãogaussiana, independentemente dadistribuição a partir da qual os dadossão geradosexemplo: valores médios em Nsimsimulações de 10 pontos com umadistribuição exponencial

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distribuição binomial

aplica-se quando há apenas dois resultados possíveis:sucesso/falha, detecção/não-detecção, cara/coroa

dá a probabilidade de n sucessos em N tentativasa probabilidade de sucesso em cada tentativa é a mesma e designada por θas sucessivas tentativas são independentes entre si

P(n|θ,N) =

(Nn

)θn(1− θ)N−n =

N!

n!(N − n)!θn(1− θ)N−n

média e variância:

n̄ =

N∑n=0

nP(n) = Nθ σ2 =

N∑n=0

(n− n̄)2P(n) = Nθ(1− θ)

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exemplo: em uma certa região do céu espera-se o mesmo número de estrelas e galáxiasaté uma certa magnitude

considerando 10 objetos, qual é a probabilidade de se ter 8 ou mais galáxias?no caso: N = 10 e θ = 1/2probabilidade de n ≥ 8 sucessos em N tentativas:

P(n ≥ 8|θ,N) =

N∑n=8

(Nn

)θn(1− θ)N−n =

=1

210

N∑n=8

(Nn

)=

56124' 0.055

assim, a probabilidade de n ≥ 8 galáxias em N = 10 objetos é ∼5.5%

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distribuição de Poisson

probabilidade de n eventos ocorreremnum certo intervalo de tempo, ou emcerta região do espaço, se esteseventos ocorrem independentemente ecom uma média fixa

P(n|µ) =µn

n!e−µ

média e variância:

n̄ =∑N

n=0 nP(n) = µ

σ2 =∑N

n=0(n− n̄)2P(n) = µ

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aplicações:

contagens em detectores

densidade de estrelas/galáxias

explosões de supernovas

variabilidade de AGNs

...

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exemplo:em um detector, o número esperado de fótons de uma fonte é de 4.5 por segundo;qual é a probabilidade de se detectar 6 fótons em 2 segundos?taxa de fótons: λ = 4.5/secnúmero esperado no intervalo de tempo t: µ = λtprobabilidade:

P(n|µ) =µn

n!e−µ =

(4.5× 2)6

6!e−4.5×2 ' 0.09

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distribuição exponencial

descreve o intervalo de tempo entreeventos que obedecem a um processopoissoniano, isto é, que ocorremcontinuamente e independentemente,com uma taxa média constante, λ > 0:

P(x|λ) =

{λe−λx, se x ≥ 0

0, se x < 0

média e variância:x̄ = 1

λ

σ2 = 1λ2


CDF(x|λ) =

{1− e−λx, se x ≥ 0

0, se x < 0

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distribuição exponencial

exemplo:a taxa de supernovas média em uma galáxia como a Via Láctea é de 1 em 50 anosa última supernova conhecida que explodiu na Via Láctea foi a de Kepler, em 1604qual é a probabilidade de se esperar mais de 400 anos para se observar uma novasupernova?esta probabilidade é dada por ∫ ∞

t0

λe−λtdt = e−λt0 =

= e−400/50 = e−8 ' 0.00033546

ou, ∼ 0.03%

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a versátil distribuição beta

função beta (0 < x < 1; a, b > 0):

Beta(x; a, b) =Γ(a + b)

Γ(a)Γ(b)xa−1(1− x)b−1

propriedades:

E(x) = a/(a + b)

var(x) = ab/[(a + b)2(a + b + 1)]

moda(x) = (a− 1)/(a + b− 2)

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distribuição de Cauchy

distribuição de Cauchy ou lorentziana:

P(x|µ, γ) =γ

π[γ2 + (x− µ)2]

parâmetro de localização: µparâmetro de escala γ

como P(x) ∝ 1/x2 para x >> 1, amédia, variância e desvio padrão nãoexistem (“caudas pesadas”)

dada uma amostra {xi} comdistribuição de Cauchy, µ e γ devemser estimados com métodos robustos

µ pode ser estimado pela mediana eγ pelo intervalo entre quartis:2γ = q75 − q25

se x e y são duas variáveis gaussianasindependentes amostradas de N(0, 1),então z = x/y distribui-se comoCauchy com µ = 0 e γ = 1

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distribuição do χ2

dados: {xi}, i = 1,n:amostrados com N(µ, σ)sejam

zi =xi − µσ

e

Q =

n∑i=1

z2i

Q segue uma distribuição de χ2 comk = n graus de liberdade:

P(Q|k) = χ2(Q|k) =1

2k/2Γ(k/2)Q

k2−1e−

Q2

onde Q > 0 e Γ(x) é a função Γ

Γ(z) =∫∞

0 xz−1e−xdxΓ(n) = (n− 1)! para n inteiro

χ2(Q, k) depende de Q mas nãodiretamente de µ e σ

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distribuição do χ2

χ2 por grau de liberdade:

χ2dof = χ2(Q/k|k)

estatísticas de χ2dof :

média: 1mediana: ∼ (1− 2

9k )3

desvio padrão:√

2/kskewnewss:

√8/k

curtosis: 12/k

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distribuição t de Student

dados: {xi}, i = 1,n:amostrados com N(µ, σ)

a variável

t =x̄− µσs/√

N

se distribui com uma pdf t comk = n− 1 graus de liberdadenote que t é baseado nas estimativas x̄e σs, enquanto que o χ2 é baseado nosvalores verdadeiros µ e σa distribuição t aparece nacomparação da média de duasamostras

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distribuição em lei de potência

muito comum em Astronomia:

exemplos: contagens de galáxias,função de massa inicial de Salpeter

também muito comum em outrasáreas: flutuações no mercadoeconômico, taxa de crescimento deempresas, distribuição de salários, etc

N(> L): número de objetos ou eventoscom uma dada propriedade medida(e.g. a luminosidade) maior do que umcerto valor L

se a distribuição for uma lei depotência com expoente γ, temos:

N(> L) = KLγ+1 (forma integral)

ou

dN = (γ+1)KLγdL (forma diferencial)

essa é uma distribuição independentede escala, pois se f (x) = xγ , entãof (ax) = aγxγ = cte xγ = cte f (x), que éa definição de independência deescala

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distribuição em lei de potência

média e variância infinitas, a menosque limites sejam determinados: isso éo que ocorre na maioria dos casosconcretos, pois sempre existemlimitações físicas em ambos os ‘lados’da distribuição

exemplo: a função de massa inicial deSalpeter (1955)

ξ(M) = ξ0M−2.35

ξ(M)dM: número de estrelas nascidascom massas entre M e M + dM

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exercícios

1 Jogue um dado honesto uma vez; quais são o valor médio e a variância esperados?2 Se 60% das estrelas são binárias, qual é a probabilidade de que uma amostra

aleatória de 5 estrelas contenha a) 0, b) 1, c) 2, d) 3, e) 4 e f) 5 binárias?3 Em um levantamento de quasares cobrindo 1000 graus quadrados no céu

encontrou-se 23400 quasares. Se a distribuição projetada destes objetos formodelada como uma distribuição de Poisson, qual é a probabilidade de se observarmenos que 5 objetos em uma certa área de 1 grau quadrado?

4 Sejam 0.5, 0.4 e 0.3 respectivamente as probabailidades de três estrelas explodiremcomo supernovas depois de um certo tempo t. Calcule a probabilidade de que em t:

1 nenhuma explodiu2 todas explodiram3 somente 1 não explodiu4 pelo menos 1 não explodiu

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