anÁlise da interaÇÃo solo-estrutura via … · dimas betioli ribeiro & joão batista de...

ISSN 1809-5860

Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 10, n. 42, p. 79-109, 2008

ANÁLISE DA INTERAÇÃO SOLO-ESTRUTURA VIA ACOPLAMENTO MEC-MEF

Dimas Betioli Ribeiro1 & João Batista de Paiva2

R e s u m o

Para o estudo da interação do solo com a estrutura, neste trabalho são introduzidos mais recursos na ferramenta numérica desenvolvida no trabalho de ALMEIDA (2003). O solo, composto por camadas apoiadas em uma superfície indeslocável, é modelado pelo Método dos Elementos de Contorno (MEC) tridimensional, aplicando a solução fundamental de Kelvin. É possível considerar elementos de fundação, também modelados pelo MEC tridimensional. A superestrutura tridimensional é simulada pelo Método dos Elementos Finitos (MEF), sendo composta por elementos planos e reticulares. É introduzido no programa o recurso de simular um número qualquer de blocos, modelados pelo MEC tridimensional e apoiados no solo. Estes blocos podem ser utilizados como elementos de fundação para um edifício, permitindo estudar a interação de todo o conjunto. São analisados alguns exemplos nos quais é validada a formulação empregada. Palavras-chave: interação solo/estrutura; método dos elementos de contorno; solo não-homogêneo; acoplamento MEC/MEF; bloco; edifício.

1 INTRODUÇÃO

A interação solo-estrutura representa um sistema mecânico integrado. Este mecanismo, no entanto, geralmente é estudado separando-se a parte estrutural da parte geotécnica. Esta simplificação advém do alto grau de complexidade envolvido em se avaliar este fenômeno mecânico. Cada um dos subsistemas isolado leva a um vasto campo de estudo, tanto na variabilidade de parâmetros físicos e geométricos como nas correspondentes idealizações dos modelos mecânicos. Soma-se a isto o fato de que cada pesquisador tende a focar mais sua própria área de conhecimento em seus estudos. O engenheiro geotécnico, ao analisar a integração entre a subestrutura e o maciço de solos, geralmente não considera mudanças de configuração que possam ocorrer na superestrutura. Em contrapartida, o engenheiro estrutural, por estar voltado aos fenômenos que ocorrem na superestrutura, dificilmente leva em conta os efeitos que ocorrem no solo devido à absorção das ações. 1 Mestre em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, [email protected] 2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, [email protected]

Dimas Betioli Ribeiro & João Batista de Paiva

Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v.10, n. 42, p. 79-109, 2008

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Além disto, um fenômeno comum que ambos os pesquisadores usualmente não enfatizam é o efeito de grupo que altera o estado de tensões do sistema envolvido.

Considerando os trabalhos que envolvem interação do solo com a estrutura, é possível distinguir alguns modelos nos quais é baseada a simulação do solo. No modelo de Winkler, o meio contínuo é substituído por um sistema de molas discreto. Nessa linha, desenvolvem-se os trabalhos de CHEUNG & ZIENKIEWICZ (1965), RANDOLPH & WROTH (1979), WITT (1984), LEE (1993) e MYLONAKIS & GAZETAS (1988). Outra técnica parte da utilização das equações da teoria da elasticidade, aplicando condições de equilíbrio e compatibilidade em um meio contínuo, elástico e composto por camadas homogêneas. Utilizam-se deste equacionamento os trabalhos de BURMISTER (1954a, 1945b), POULOS (1969), CHAN et al (1974), DAVIES & BANERJEE (1978), GIBSON (1967) e UESHITA & MEYETHOF (1968). O Método da Camada Finita (MCF) pode ser empregado para representar o problema tridimensional através de uma análise bidimensional. Como referência, citam-se os trabalhos de SMALL & BOOKER (1984), BOOKER et al. (1984), LEE & SMALL (1991), SOUTHCOTT & SMALL (1996), TA & SMALL (1998) e CHEUNG et al. (1988). Por último são destacados os métodos numéricos, mais precisamente o Método dos Elementos Finitos (MEF) e o Método dos Elementos de Contorno (MEC). O MEF é, em geral, a mais versátil e poderosa ferramenta empregada na resolução de problemas da mecânica computacional. Este método se mostra muito eficiente em problemas unidimensionais e bidimensionais, porém se torna oneroso na análise de problemas de domínio semi-infinito tridimensional. É necessário gerar um grande número de nós e elementos para representar todo o domínio, tornando extenso o tempo de processamento computacional. Podem ser citados da literatura Yin et al. (2000), OTTAVIANI (1975) e CHOW & TEH (1991). O MEC tem-se mostrado mais eficiente e prático na análise de problemas elastostáticos e de domínio infinito, devido às características peculiares das funções ponderadoras que já contemplam as condições de contorno atendidas a grandes distâncias. Estão relacionados os trabalhos de MINDLIN (1936), STEINBRENNER (1934), POULOS (1967), LOVE (1944), BANERJEE (1976), BANERJEE & DAVIES (1977) e MAIER & NOVATI (1987). Trabalhos que utilizam outras formulações são os de CHIN & CHOW (1990), FRASER & WARDLE (1976), SADECKA (2000), PAN (1997), HETENYI (1950), KERR (1964), WANG et al. (2001) e KERR (1965). Em BANERJEE & DAVIES (1977) são utilizados fatores de interação para analisar grupos de estacas imersas em solo Gibson. Os fatores são obtidos a partir do MEC aplicado em um domínio tridimensional não-homogêneo, com variação linear do módulo de elasticidade em relação à profundidade. A maioria dos exemplos encontrados na literatura que abordam a interação solo-estrutura descreve elementos de fundação simples, tais como o de uma estaca isolada ou o de uma placa apoiada diretamente no solo. Em SADECKA (2000), por exemplo, analisa-se uma placa isolada apoiada sobre o solo. A placa é considerada grossa e o solo é modelado como de Kolar-Nemec. Utiliza elementos finitos e infinitos e considera solo estratificado e finito. Os estudos que consideram elementos de fundação mais complexos geralmente abordam modelos bidimensionais. Outra simplificação adotada é considerar o solo como semi-infinito, homogêneo, isotrópico, elástico-linear e contínuo. Em BUTTERFIELD & BANERJEE (1971) é analisada a interação entre o

Análise da interação solo-estrutura via acoplamento MEC-MEF


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solo e grupos de estacas conectadas por uma placa rígida, considerando o contato solo-placa. É utilizada a equação integral de Mindlin para analisar o solo como domínio bidimensional, considerando-o elástico, homogêneo e semi-infinito. Propõe-se, com este trabalho, desenvolver uma ferramenta computacional que permita analisar de forma acoplada a interação solo/blocos/superestrutura. A superestrutura, formada por cascas e barras, será discretizada utilizando o MEF e a infra-estrutura, formada por blocos em conjunto com o solo, será abordada com o MEC em domínio tridimensional.

2 O MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO

O equilíbrio de um corpo pode ser representado pela Identidade Somigliana, que é:

)()(),()()(),()( ** SSpSpuSSuSpppu jijjiji Γ∂⋅=Γ∂⋅+ ∫∫ΓΓ

(1)

As variáveis p e S são, respectivamente, o ponto fonte onde uma força unitária é aplicada e um ponto do contorno. Os termos uj e pj representam, respectivamente, o campo de deslocamentos e o de forças de superfície no contorno S na direção j. Finalmente, *

iju e *ijp representam os coeficientes ponderadores que indicam as

respostas obtidas na direção j em S de uma força aplicada na direção i em p. Esta identidade é baseada no teorema da reciprocidade de Betti e as soluções fundamentais são dadas por *

iju e *ijp . As soluções fundamentais empregadas neste

trabalho são as soluções de Kelvin apresentadas em LOVE (1944) para o caso tridimensional. O passo seguinte é escrever (1) em função somente dos nós do contorno. Uma vez que a solução analítica para a expressão resultante não é encontrada para casos gerais, essas soluções são obtidas de maneira numérica. Desse modo, o MEC é baseado na montagem de um sistema de equações algébricas resultantes de (1), escritas em temos de parâmetros nodais aproximando-se os campos de contorno por funções de forma. O sistema final em sua forma matricial é:

PGUH ⋅=⋅ (2)

As passagens matemáticas envolvidas entre (1) e (2) estão explicadas mais explicitamente em BREBBIA & DOMINGUEZ (1989). U é um vetor de deslocamentos, P é um vetor de forças de superfície e H e G são matrizes de influência. Para simplificar as deduções posteriores, a matriz G da equação (2) é invertida e multiplicada do outro lado da equação. O resultado é a seguinte equação:

GPGHUG 11 −− =

PKU =

(3) (4)

com

HGK 1−= (5)



82

3 O MÉTODO DA RIGIDEZ SUCESSIVA

3.1 Formulação apenas para o maciço

O objetivo desta seção é obter uma matriz de influência que represente todas as camadas de solo, para que estas possam ser posteriormente acopladas aos blocos. Considera-se o caso geral de um solo formado por N camadas, cada qual com uma espessura e diferentes características físicas, conforme ilustrado na figura 1.

Figura 1 - Solo estratificado.

A equação (4) escrita para uma camada i qualquer se torna:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

is

ib

it

is

ib

it

iss

isb

ist

ibs

ibb

ibt

its

itb

itt

PPP

UUU

KKKKKKKKK

(6)

em que os subscritos t, b e s indicam índices pertinentes respectivamente ao topo, base e as superfícies laterais. Na equação, U e P representam, respectivamente, os deslocamentos nodais e forças de superfície do contorno.

Condições de equilíbrio e compatibilidade podem ser impostas ao longo das interfaces de contorno entre a i e (i+1)-ésima camada adjacente através das seguintes equações:

{ } { }1+= ib

it UU (7)

{ } { }1+−= ib

it PP (8)

Considerando os deslocamentos nas laterais iguais a zero, a equação (6) se torna:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡i

b

it

ib

it

ibb

ibt

itb

itt

PP

UU

KKKK

(9)

Desse modo, a camada i pode ser relacionada à camada i+1 escrevendo a equação (9) para cada uma delas e então as relacionando por meio das equações (7) e (8).



83

Analisando a camada 1 da figura (1), ou seja, a mais profunda, sabe-se que os deslocamentos em sua base são nulos. Desta forma, ao escrever a equação (9) para esta camada, obtém-se:

[ ] { } { }111tttt PUK =⋅ (10)

Aplicando a relação (10) em conjunto com a equação (9) escrita para a camada 2 e considerando as condições de (7) e (8), chega-se a:

( ) { } { }22212122 ˆttbtbbtbtt PUKKKKK =⋅⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ⋅+⋅−

−

(11)

Para uma camada i qualquer, esta equação se torna:

( ) { } { }itit

ibt

ibb

iitb

itt PUKKKKK =⋅⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ⋅+⋅−

−− 11ˆ (12)

Repetido este procedimento iterativamente até a camada N, tem-se:

[ ] { } { }Nt

Nt

N PUK =⋅ˆ (13)

em que NtP e N

tU são os parâmetros nodais da superfície livre do solo. Maiores esclarecimentos podem ser obtidos em ALMEIDA (2003). Nota-se que a influência de todas as camadas que formam o maciço está inteiramente expressa na relação (13). Esta pode ser resolvida diretamente impondo as condições forças nos nós da superfície ou acoplando esta expressão com as relações advindas da superestrutura usando o MEF ou o próprio MEC.

3.2 Formulação do maciço considerando a fundação

O ponto de partida do Método da Rigidez Sucessiva é a equação (9), na qual a influência de todo o contorno de uma camada i qualquer fica representada apenas pelos nós de topo e base da camada i. Nesta seção é obtida uma equação similar à equação (9), porém também considerando a influência de um número qualquer de estacas cruzando a camada i. Se torna possível então aplicar o MRS de forma muito semelhante à apresentada na seção anterior. Considera-se uma camada i qualquer, cruzada por um número n qualquer de estacas (figura 2).



84

Figura 2 - Caso mais geral para uma camada i.

Tratando o topo da camada pelo índice subscrito t, a base pelo índice b e o contato com o fuste de uma estaca qualquer pelo índice fj, a equação (4) escrita para esta camada é:

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ifn

if

if

ib

it

ifn

if

if

ib

it

ifnfn

ifnf

ifnf

ifnb

ifnt

ifnf

iff

iff

ibf

itf

ifnf

iff

iff

ibf

itf

ibfn

ibf

ibf

ibb

ibt

itfn

itf

itf

itb

itt

P

PPPP

U

UUUU

SSSSS

SSSSSSSSSSSSSSSSSSSS

MM

L

MOMMMM

L

L

L

L

2

1

2

1

21

2221222

1211111

21

21

(14)

Deve-se deduzir uma expressão semelhante para cada estaca imersa na camada i. Considerando uma estaca genérica j, escreve-se a equação (4) como:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

jf

jb

jt

jf

jb

jt

jff

jfb

jft

jbf

jbb

jbt

jtf

jtb

jtt

PPP

UUU

EEEEEEEEE

(15)

Para relacionar as equações (14) e (15), pode-se utilizar condições de equilíbrio de forças e compatibilidade de deslocamentos que existem no contato entre a estaca j e a camada i. Estas condições são traduzidas pelas relações:

{ } { }jf

ifj UU = (16)

{ } { }jfifj PP −= (17)

Deve-se relacionar a equação (14) com todas as n equações (15), uma para cada estaca, aplicando as equações (16) e (17). Deve-se, na primeira etapa da dedução, isolar os deslocamentos ao longo dos fustes. O resultado é a seguinte igualdade:



85

( )

( )

( ) ( ) ( )( )

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

++++

+

+

nb

nt

b

t

ib

it

nnnn

n

n

nf

f

f

UU

UUUU

KKK

KKKKKK

U

UU

ML

MOMM

L

L

M1

1

2222222122

2222221

22112112

1

(18)

Finalizando, deve-se substituir (18) em (14) e em todas as equações (15) escritas para as estacas. Para cada substituição, obtém-se duas linhas do sistema final de equações. O sistema final fica:

( )

( )

( ) ( ) ( )( )

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++++

+

+

nb

nt

b

t

ib

it

nb

nt

b

t

ib

it

inn

in

in

in

ii

in

ii

PP

PPPP

UU

UUUU

KKK

KKKKKK

MML

MOMM

L

L

1

1

1

1

2222222122

2222221

2211211

(19)

A partir da equação (19) torna-se possível aplicar o MRS às diferentes camadas, podendo estas conter um número qualquer de estacas cruzando-as.

4 O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

4.1 Formulação do método dos elementos finitos

O MEF é uma prática e poderosa ferramenta para a modelagem problemas de domínio finito de geometria qualquer. A superestrutura empregada neste trabalho é composta por um conjunto de lâminas (cascas e folhas poliédricas) e/ou elementos de barras. Eles são formulados com a utilização do MEF na sua forma mais convencional, ou seja, usando o Método dos Deslocamentos. Para cada elemento finito existente na estrutura devem ser definidos uma matriz de rigidez e um vetor de cargas nodais. Fazendo um somatório para todos os elementos que compõe o domínio em estudo, chega-se a uma matriz de rigidez global e a um vetor de cargas nodais global. Estes termos computam a influência de toda a estrutura, e em conjunto com seus parâmetros nodais compõem o sistema:

FuK nodal =⋅ (20)

em que nodalu é o vetor dos deslocamentos nodais incógnitos, K é a matriz de rigidez global e F é o vetor de cargas nodais global. Resolvendo-se o sistema obtém-se o vetor de incógnitas nodalu .



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4.2 Elementos laminares

Entende-se por elementos laminares aqueles em que uma dimensão é muito menor que as outras duas. Quando uma estrutura é formada por uma ou mais lâminas com superfícies planas, diz-se que é composta por folhas poliédricas. As caixas d’água, os núcleos de rigidez de edifícios, as vigas paredes e silos são alguns exemplos destes tipos de estruturas. Para modelá-las foram sobrepostas duas formulações independentes: uma para representar o efeito de membrana, e outra para representar o efeito de placa. As hipóteses admitidas para a concepção do elemento laminar deste trabalho são as hipóteses de Kirchhoff-Love:

• A espessura da lâmina é pequena em relação às dimensões e aos raios de curvatura da superfície média;

• As tensões normais à superfície média são desprezíveis em relação às demais;

• Os pontos pertencentes a uma mesma reta normal à superfície média na situação de repouso encontram-se em uma mesma reta, que é normal à superfície deformada;

• Os deslocamentos são pequenos em relação à espessura. A matriz de rigidez do elemento sofre influência do efeito de membrana e do efeito de flexão, e pode ser obtida com o emprego da seguinte relação:

{ }∑ ∫

∑ ∫

=

=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⋅

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

ne

e

Tf

Tm

ffm

mfm

V Tf

Tm

ne

e Vee

Te

dVBxBDDDD

BxB

dVBDBKe

13

3

1

][][][][][][

][][

][

(21)

Em (21), os índices m e f são abreviações de membrana e flexão, respectivamente. As matrizes B são de interpolação de deslocamento e deformação, e as matrizes D são campos tensoriais de quarta ordem que compõe as características do material. O termo ne se refere ao número de elementos finitos, V é o volume da estrutura e x3 é uma das direções cartesianas. Pelo desenvolvimento da equação (21) chega-se à conclusão de que há independência entre os campos que contemplam o efeito de membrana e de flexão. Conforme demonstrado em ALMEIDA (2003), a matriz de rigidez fica:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

f

m

KK

K][]0[]0[][

][ (22)

4.2.1 Elemento de membrana O elemento de membrana utilizado foi desenvolvido por BERGAN & FELLIPA

(1985), utilizando a formulação livre. Desta forma, em seu trabalho é apresentada toda a formulação para a sua obtenção. No departamento de Estruturas da Escola de Engenharia de São Carlos (EESC), foram desenvolvidos os trabalhos de PELETEIRO



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(1996) e MESQUITA (1998), que também abordam de maneira bem clara a teoria para o desenvolvimento deste elemento bem como apresenta exemplos para validação de sua formulação. Não se pretende desenvolver esta formulação neste trabalho, uma vez que ela não é o objeto principal do artigo.

4.2.2 Elemento de flexão

O elemento utilizado para a avaliação do efeito de flexão é o conhecido DKT. Da mesma forma que fora feito para o elemento de membrana, não se tem o intuito aqui de apresentar a formulação deste elemento. Em BATOZ (1980), é desenvolvida toda a formulação deste elemento bem como o código computacional para a montagem da matriz de rigidez e do vetor de forças equivalentes.

4.3 Elementos utilizados no edifício

No trabalho desenvolvido em ALMEIDA (2003) foram utilizados dois tipos de elementos estruturais para compor a estrutura do edifício. O primeiro, usado para representar as vigas e pilares, é um elemento finito reticular no espaço tridimensional que não considera o efeito da torção. O segundo foi um diafragma rígido. A teoria envolvida na formulação destes subsistemas pode ser encontrada nas referências RIOS (1991) e BEZERRA (1995). A lâmina composta por elementos DKT/FF podia ser incluída como elemento de fundação para este edifício, sendo necessário ligar os nós dos pilares do andar térreo aos nós desta lâmina. O fato de considerar as lajes rígidas resulta em deslocamentos e giros horizontais iguais para todos os nós definidos por pavimento. Por isto, na formulação empregada em ALMEIDA (2003), a influência de todas as vigas e pilares é transferida para um nó mestre, localizado no centro de torção do pavimento-tipo. As ações horizontais foram então prescritas pontualmente neste nó mestre, podendo ser forças ou momentos. Esta formulação foi modificada ao longo deste projeto. O elemento DKT/FF é agora também empregado nas lajes, discretizando-as em elementos finitos triangulares com seis graus de liberdade por nó. A formulação dos elementos reticulares também é diferente, estando agora definidos seis graus de liberdade nos nós de suas extremidades, ou seja, considerando também o efeito da torção.

5 ACOPLAMENTO MEC/MEC

Para analisar o conjunto solo/blocos é necessário acoplar a formulação dos blocos com a do solo, ambos modelados pelo MEC. Para isto, deve-se partir da equação (4) escrita para o solo e o bloco. Isto é:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡S

C

SL

SC

SL

SCC

SCL

SLC

SLL

PP

UU

KKKK

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡B

C

BL

BC

BL

BCC

BCL

BLC

BLL

PP

UU

KKKK

(23) (24)



88

O índice sobrescrito S indica os vetores e matrizes do solo, e o índice B do bloco. As parcelas pertencentes ao contato são indicadas pelo índice subscrito C, e as parcelas pertencentes às superfícies livres pelo índice L. Para relacionar as equações (23) e (24) aplica-se, na superfície de contato entre os dois domínios, condições de compatibilidade de deslocamentos e equilíbrio de forças. Desta forma, os deslocamentos S

CU e BCU se tornam um mesmo vetor CU

e iguala-se a segunda linha de (23) à segunda linha de (24). Ou seja:

CBCC

BL

BCLC

SCC

SL

SCL UKUKUKUK ⋅−⋅−=⋅+⋅ (25)

Isolando o vetor CU , obtém-se:

( ) ( ) BL

BCL

BCC

SCC

SL

SCL

BCC

SCCC UKKKUKKKU 11 −−

+−⋅+−= (26)

O passo seguinte é substituir a expressão (26) na primeira linha de (23) e (24). As duas equações resultantes compõem o seguinte sistema de equações:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡B

L

SL

BL

SL

PP

UU

KKKK

2221

1211 (27)

A resolução do sistema de equações (27) permite calcular deslocamentos nas superfícies livres do solo e do bloco. Para que estas deduções sejam válidas para um número qualquer de blocos, basta que a equação (24) seja válida para dois ou mais blocos. Para isto, esta igualdade deve ser reescrita de uma forma mais geral:

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

BnC

BC

BC

BnL

BL

BL

BnC

BC

BC

BnL

BL

BL

BnCC

BnCL

BCC

BCL

BCC

BCL

BnLC

BnLL

BLC

BLL

BLC

BLL

P

PPP

PP

U

UUU

UU

KK

KKKK

KK

KKKK

M

M

M

M

LL

MOMMMOMM

LL

LL

LL

MOMMMOMM

LL

LL

2

1

2

1

2

1

2

1

22

11

22

11

0000

00000000

0000

00000000

(28)

6 ACOPLAMENTO MEC/MEF

As formulações advindas do MEC e do MEF podem ser acopladas mediante a consideração das condições de equilíbrio e compatibilidade existentes nos pontos nodais em comum aos domínios modelados pelos dois métodos. Assim, a expressão final obtida em (27) pode ser relacionada com a equação (20) obtida pelo MEF. Para que isto seja feito de forma coerente, deve-se compatibilizar as forças externas do MEC com as do MEF. Entretanto, a representação das forças externas no MEC é tomada como forças de superfície, ou seja, forças por unidade de área, enquanto que as ações externas formuladas pelo MEF empregam o conceito de força nodal equivalente, ou seja, forças concentradas.



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Neste contexto, para acoplar as duas formulações, é necessário empregar um campo de forças comum aos dois métodos. Ou se representam as forças de superfície em termos forças nodais equivalentes ou vice-versa. Neste trabalho, as forças de superfície são convertidas em forças nodais equivalentes. Justifica-se tal escolha pelo menor tempo de processamento necessário quando comparado à outra opção. O desenvolvimento mostrado será feito para o carregamento transversal ao elemento triangular, sendo válido para as outras duas direções. As forças de superfície transversais e as cargas nodais equivalentes são mostradas na figura 3.

Figura 3 - Forças de superfície e cargas nodais equivalentes de um elemento.

O trabalho das cargas externas pode ser expresso por:

∫ ⋅=A

e dAxxwxxgT ),(),( 2121 (29)

em que ( )21 x,xw são os deslocamentos transversais no domínio do elemento e A é a sua área. Para o caso em que este campo possui variação linear (figura 4), tem-se:

321 ξξξ kji wwww ++= (30)

Analogamente, as forças de superfície podem ser expressas por:

321 ξξξ kji gggg ++= (31)

Figura 4 - Variação linear do deslocamento transversal e da força de superfície no interior do elemento finito.

Transformando-se as coordenadas dos eixos cartesianos para as coordenadas homogêneas e substituindo-se as expressões (30) e (31) em (29), obtém-se:



90

( ) ( )dAwwwgggT kjiA

kjie 321321 ξξξξξξ ++⋅++= ∫ (32)

Minimizando-se a energia potencial devido às cargas externas e sabendo-se que a integral ( )dAf

A∫ 321 ,, ξξξ pode ser calculada como:

( ) !2

!!!2

321

321321

321

+++=∫ ηηη

ηηηξξξ ηηη AdA

A

(33)

chega-se ao vetor de cargas nodais transversais dado por:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧⋅

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⋅=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

k

j

i

k

j

i

ggg

A

FFF

211121112

12

(34)

Seguindo-se o mesmo procedimento para as outras direções, a relação entre forças as nodais e as forças de superfície para o caso do elemento laminar DKT-FF pode ser escrita como:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⋅=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

l

l

l

l

l

l

k

j

i

k

j

i

ggg

QFFF

][

(35)

para l=1,2,3, representando as três direções e i,j e k os três nós locais do elemento, e a matriz Q dada por:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⋅=

211121112

12][ AQ

(36)

Figura 5 - a) Rede empregada para o solo e a lâmina em contato; b) forças de superfície e cargas nodais equivalentes.

malha a (MEF)

malha b (MEC)

lâmina

solo

Malha a (MEF) Malha b (MEC)

a)

RMEF

MECP

fi fj

solo

lâmina

b)



91

Na expressão (20), pode-se incorporar as forças reativas da seguinte maneira:

}{}{}{][ mefmefmefmef RFUK −=⋅ (37)

em que o vetor R representa as forças concentradas de reação. Assim, o acoplamento entre as forças de superfície advindas do MEC (equação 27), e as forças concentradas reativas advindas do MEF (equação 20), pode ser feito com o uso da matriz da relação (36), chegando-se a:

}{][][}{}{][ solomefmefmef UKQFUK ⋅⋅−=⋅)

(38)

em que mefK , mefU e mefF são, respectivamente, a matriz de rigidez e os vetores

dos parâmetros nodais de deslocamentos e forças concentradas da estrutura

discretizada pelo MEF. Q e soloU são, respectivamente, a matriz de transformação expandida relativa à contribuição de todos os elementos, expansão da relação (36), e o vetor de deslocamentos nodais da rede discretizada pelo MEC. É possível reagrupar a relação (38), chegando-se a:

tottottot FUK =⋅~

(39)

com

mecmeftot KQKK ⋅+= (40)

totU e totF são os deslocamentos e as forças totais do sistema solo-estrutura. Esta matriz é não-simétrica e altamente esparsa, já que as influências entre os graus de liberdade dos dois modelos só ocorrem na região de contato, não havendo ligação entre as estruturas.

7 EXEMPLOS NUMÉRICOS

7.1 Bloco isolado

Neste exemplo é analisado um bloco apoiado no solo, conforme ilustrado nas figuras 6 e 7.

Figura 6 - Vista em planta.



92

Figura 7 - Vista em perfil.

As dimensões do bloco são de 5 por 5 metros em planta e 1,25 metros de altura. O módulo de elasticidade adotado para o bloco, compatível ao do concreto, é de 21000000kN/m2 ou 21000MPa. O coeficiente de Poisson adotado para o bloco é de 0,3. O solo, assumido como um semi-espaço infinito, tem módulo de elasticidade igual a 40000kN/m2 ou 40MPa e coeficiente de Poisson igual a 0,3. A carga externa aplicada no topo do bloco de forma uniformemente distribuída, é de 1000kN/m2 ou 1MPa. O eixo s, apresentado na figura 6, tem origem no ponto médio da lateral da base do bloco. Em todos os valores apresentados, as unidades estão em metros e kN. Como primeiro resultado obtido pelo programa desenvolvido neste trabalho, são mostrados os deslocamentos verticais ocorridos na superfície do solo. A figura 8 ilustra os valores em metros obtidos pelo programa, considerando uma vista em planta. Optou-se por mostrar somente a região próxima do bloco porque, a distâncias superiores a 10 metros do centro do bloco, os deslocamentos resultam praticamente nulos.

Figura 8 - Vista em planta dos deslocamentos verticais.

Conforme pode ser observado na figura 8, os deslocamentos ocorridos no contato são simétricos e praticamente constantes. A simetria ocorre devido ao carregamento externo, aplicado de forma simétrica no topo do bloco. A pequena variação nos deslocamentos pode ser explicada pela alta rigidez do bloco quando comparado com o solo, sendo a relação entre os dois de 525. A área onde ocorreram os maiores deslocamentos, reconhecida pela cor verde, corresponde ao contato entre



93

o bloco e o solo. Este é um comportamento esperado, uma vez que todo o carregamento do sistema está aplicado no topo do bloco. O primeiro modelo escolhido para comparar resultados de deslocamento foi gerado pelo programa Ansys5.4, com o elemento finito tridimensional solid45. A escolha deste programa pode ser considerada adequada, pois nele é possível simular tanto o bloco como o solo empregando o MEF tridimensional. Isto é compatível com a análise feita neste trabalho, que emprega o MEC tridimensional. Os deslocamentos calculados pelo Ansys5.4 resultaram em uma figura praticamente equivalente à figura 8. Para comparar os modelos, tomou-se então o valor do deslocamento no centro do bloco. O deslocamento no centro do bloco calculado pelo programa desenvolvido neste trabalho é de aproximadamente 9,26 centímetros, enquanto que o Ansys5.4 obteve 8,84 centímetros, implicando em uma diferença de aproximadamente 4,8%. O segundo modelo empregado para comparar valores de deslocamento foi a formulação desenvolvida em ALMEIDA (2003). A única diferença entre as formulações empregadas neste trabalho e no trabalho de ALMEIDA (2003) na resolução deste exemplo é que, em ALMEIDA (2003), o bloco é modelado pelo MEF com elementos finitos de casca planos. Neste trabalho, o bloco é modelado pelo MEC tridimensional. A solução obtida para os deslocamentos segundo a formulação de ALMEIDA (2003), da mesma forma que os valores do programa Ansys, resultaram em uma figura praticamente equivalente à figura 8. Tomou-se novamente então o valor do deslocamento no centro do bloco para comparar os modelos. Este valor, calculado pela formulação de ALMEIDA (2003), é de 9,39 centímetros, enquanto o deslocamento obtido do programa desenvolvido neste trabalho é de 9,26 centímetros, implicando em uma diferença de 1,4%.

Figura 9 - Deslocamento no contato.



94

Para uma melhor visualização dos deslocamentos, organizou-se no gráfico da figura 9 o deslocamento ao longo do eixo s ilustrado na figura 6. Neste gráfico pode ser observada boa simetria nos resultados, sendo a diferença de deslocamento entre as bordas de 0,2%. Um outro dado importante a ser apresentado é o das tensões de contato que ocorrem entre o solo e o bloco. Os valores calculados pelo programa desenvolvido neste trabalho são apresentados na figura 10, com unidades em metro e kN. Nesta figura está ilustrada a área de contato entre o bloco e o solo, de 5 por 5 metros, vista em planta. As tensões nas áreas centrais do contato, identificadas pelas cores escuras, são menores e com pouca variação. Esta distribuição homogênea pode ser explicada pelo carregamento aplicado de forma uniformemente distribuída no topo do bloco. As tensões mais elevadas, identificadas na figura 10 pela cor verde, se estabelecem nas regiões próximas às bordas do bloco. Este comportamento pode ser atribuído ao alto módulo de elasticidade do bloco em relação ao solo, impedindo o bloco de moldar-se ao maciço.

Figura 10 - Tensões de contato.

Para comparar os valores de tensões escolheu-se a formulação de ALMEIDA (2003), devido às semelhanças com o modelo empregado neste trabalho. A solução das tensões de contato obtida pela formulação de ALMEIDA (2003) resulta em uma figura praticamente igual à figura 10. Assim, para uma melhor comparação, foi feito o gráfico da figura 11. Todos os valores estão em metros e kN.



95


Neste gráfico, feito para pontos ao longo do eixo s ilustrado na figura 6, pode-se perceber que as tensões determinadas por cada modelo são muito próximas. Percebe-se de forma mais clara sua variação ao longo do contato, sendo quase constante na área central e atingindo valores elevados nas bordas. Pode ser observada também uma maior simetria no gráfico deste trabalho quando comparado aos valores de ALMEIDA (2003). Pelos resultados obtidos neste trabalho quando comparados às demais formulações, pode-se concluir que o programa desenvolvido está coerente.

7.2 Interação entre quatro blocos

O objetivo deste exemplo é avaliar a influência de quatro blocos entre si. Os blocos são iguais, sendo adotados para cada um deles valores iguais aos do item 7.1. Portanto, as dimensões de cada bloco são de 5 por 5 metros em planta e 1,25 metros de altura. O módulo de elasticidade adotado para os blocos é de 21000000kN/m2 e um coeficiente de Poisson de 0,3. O solo, assumido como um semi-espaço infinito, tem módulo de elasticidade igual a 40000kN/m2 e coeficiente de Poisson igual a 0,3. A carga externa aplicada verticalmente no topo de cada bloco de forma uniformemente distribuída, é de 1000kN/m2. A figura 12 ilustra a geometria do problema.



96

Figura 12 - Vista em planta.

Foi adotada uma distância de 5 metros entre os blocos, conforme ilustrado na figura 12. O eixo s tem origem na face esquerda do bloco 1, sendo utilizado como referência em alguns resultados. As unidades de todos os valores apresentados estão em kN e metro. A figura 13 apresenta os deslocamentos verticais em metros ocorridos na superfície livre do solo. Pode-se visualizar, pela cor verde, a área do solo onde os blocos estão apoiados. O deslocamento máximo ocorreu nos cantos mais próximos do centro, com valor de aproximadamente 12,8 centímetros. Isto representa uma diferença de aproximadamente 36,1% em relação ao bloco isolado calculado no item 7.1 Outra observação importante a ser feita na figura 13 é que os blocos se inclinaram para o centro, devido à influência de um sobre o outro. Mesmo pequena esta inclinação introduz excentricidades aos carregamentos aplicados nos blocos, e isto não seria detectado analisando cada bloco isoladamente.




97

O gráfico da figura 14 permite visualizar com mais facilidade a inclinação dos blocos 1 e 2. Foram considerados somente os nós pertencentes ao eixo s ilustrado na figura 12.

Figura 14 - Deslocamento vertical na base dos blocos.

As tensões de contato que ocorrem entre os blocos 1 e 2 e o solo estão ilustradas no gráfico da figura 15. São tomados os valores ao longo do eixo s ilustrado na figura 12. Comparando as figuras 11 e 15, percebe-se que a interação entre os blocos não produz mudanças significativas nas tensões de contato dos blocos com o solo. A influência dos blocos entre si não afeta este resultado sensivelmente. As pequenas assimetrias na resposta podem ser justificadas pela malha de elementos de contorno não simétrica que foi empregada no solo para a resolução do exemplo.



98


Pode-se concluir que os resultados obtidos neste exemplo são coerentes. Não foi possível reproduzir esta análise no programa Ansys como foi feito no exemplo 7.1, pois a malha resulta com um número elevado de elementos finitos tridimensionais. O refinamento necessário para chegar a um resultado satisfatório inviabiliza a utilização deste programa.

7.3 Edificação apoiada sobre blocos

Neste exemplo é analisada uma edificação tridimensional de um pavimento apoiada em quatro blocos, conforme ilustrado nas figuras 16 e 17. São utilizados elementos de casca DKT/FF nas lajes, e seis graus de liberdade por nó nas barras, diferente da formulação empregada em ALMEIDA (2003).

Figura 16 - Edificação tridimensional em perspectiva.



99

Figura 17 - Edificação tridimensional em perfil.

A edificação é composta por uma laje apoiada em quatro vigas, as quais são apoiadas nos quatro pilares. Todo o edifício é simulado pelo MEF, sendo a laje modelada pelo elemento de casca DKT/FF e os pilares e vigas por elementos de barra. A distância entre pilares é de 10 metros, e a altura do pavimento é de 3 metros. O eixo s3, indicado nas figuras 16 e 17, tem origem na base de um dos pilares e mesma direção do eixo cartesiano z, indicado nas mesmas figuras. Os blocos utilizados para apoiar a edificação são idênticos aos da seção 7.2. Portanto, as dimensões de cada bloco são de 5 por 5 metros em planta e 1,25 metros de altura. Os blocos possuem módulo de elasticidade de 21000000kN/m2 e coeficiente de Poisson 0,3. A distância entre blocos é de 5 metros, tanto na direção x como na direção y. O solo, assumido como um semi-espaço infinito, tem módulo de elasticidade igual a 40000kN/m2 e coeficiente de Poisson 0,3. Também neste exemplo será utilizado o eixo s, indicado na figura 18.

Figura 18 - Vista em planta dos blocos.

A espessura adotada para a laje foi de 0,3 metro e uma seção transversal quadrada com 0,5 metro de lado para todas as vigas e pilares, conforme ilustrado na figura 19.



100

Figura 19 - Seção transversal dos pilares e vigas.

A geometria da laje pode ser visualizada na figura 20. Nesta figura, o eixo s1 é alinhado ao eixo x da figura 16 e o eixo s2 é alinhado ao eixo y. Foi adotado para a laje, os pilares e as vigas um módulo de elasticidade igual a 21000000kN/m2 e coeficiente de Poisson 0,3. Foi aplicado na laje um carregamento vertical distribuído e igual a 5kN/m2, além de duas cargas horizontais na direção do eixo x. Estas cargas horizontais estão ilustradas nas figuras 16 e 17, e têm o valor de 20kN cada.

Figura 20 - Geometria da laje.

Em todos os resultados apresentados neste exemplo, as unidades estão em metros e kN/m2. A figura 21 apresenta os deslocamentos verticais em metros ocorridos na superfície livre do solo. A cor verde indica as áreas que mais se deslocaram, enquanto as cores escuras indicam as áreas que menos se deslocaram. É possível notar que a inclinação dos blocos é de dentro para fora, comportamento inverso ao observado na figura 13 do item 7.2. Este comportamento pode ser explicado pelo momento fletor que é transmitido da laje para os pilares e destes para os blocos. Outra observação que pode ser feita é que os blocos da direita afundam um pouco mais que os da esquerda. Isto é conseqüência do efeito do carregamento horizontal aplicado da esquerda para a direita, causando um pequeno alívio nos blocos da



101

esquerda e uma pequena sobrecarga nos blocos da direita. O deslocamento máximo ocorreu nos cantos mais afastados do centro, com valor de aproximadamente 0,075 cm.


Para melhor visualizar a diferença nos deslocamentos dos blocos da direita e esquerda, foi montado o gráfico da figura 22. Este gráfico contém os deslocamentos verticais ocorridos nos blocos 1 e 2 ao longo do eixo s (figura 18). Além da inclinação dos blocos, é possível notar que o bloco da direita se inclina sensivelmente mais que o bloco da esquerda. Esta diferença acontece devido à carga horizontal aplicada do lado esquerdo da edificação, causando uma maior solicitação dos blocos da direita.

Figura 22 - Deslocamento vertical na base dos blocos.



102

As tensões de contato que ocorrem entre os blocos 1 e 2 e o solo estão ilustradas no gráfico da figura 23. São tomados os valores ao longo do eixo s ilustrado na figura 18. É possível observar que as tensões de contato na base do bloco 1 não sofrem tanta variação quanto as tensões na base do bloco 2. Isso pode ser considerado coerente, após observar na figura 22 que o bloco 2 se inclina mais que o bloco 1.

Figura 23 - Tensão de contato na base dos blocos.

Estão ilustrados, na figura 24, os deslocamentos calculados na direção z para os nós localizados sobre o eixo s1 da laje da edificação. Além da edificação apoiada sobre o conjunto formado pelos blocos e o solo, também foi calculada esta mesma edificação restringindo a base dos pilares. Ou seja, os seis graus de liberdade existentes na extremidade inferior de cada pilar foram igualados a zero.

Figura 24 - Deslocamento vertical no eixo s1.



103

É possível observar que a edificação, quando apoiada no conjunto formado pelos blocos e o solo, se desloca mais do que quando tem sua base restringida. Isto é previsível, uma vez que os deslocamentos ocorridos no solo e nos blocos se propagam para o edifício. Esta diferença, ao longo do gráfico, é de cerca de 1 milímetro. O gráfico da figura 25 também contém os deslocamentos calculados na direção z para os nós da laje, só que para o eixo s2. Da mesma forma, foram colocados no mesmo gráfico os deslocamentos calculados com a base dos pilares restringida.

Figura 25 - Deslocamento vertical no eixo s2.

Nota-se novamente a diferença entre as curvas de aproximadamente 1 milímetro. Apesar de semelhantes, as figuras 24 e 25 não são iguais. O deslocamento máximo é o mesmo, ocorrido no centro da laje onde os eixos s1 e s2 se cruzam, no entanto, os deslocamentos mínimos ocorridos nas bordas da laje são diferentes. A variação no deslocamento ao longo do eixo s1 é maior que no eixo s2, o que permite concluir que a flexão da laje é mais intensa na direção do eixo x. Esta diferença pode ser explicada pelo efeito das cargas horizontais aplicadas na edificação na direção x. O momento fletor na direção x ao longo do eixo s1 está representado na figura 26, sendo analisado também para os dois tipos de fundação.



104

Figura 26 - Momento MX no eixo s1.

Algo interessante de ser observado na figura 26 é que o momento fletor resultou maior quando foi considerada a interação solo-estrutura. Em outras palavras, quando a fundação é o conjunto solo/blocos o momento MX resulta superior ao calculado quando a fundação está restringida. Com isto, conclui-se que é importante a consideração da interação solo-estrutura. Caso esta interação fosse ignorada, o esforço adicional decorrente da flexibilidade da fundação não seria detectado. Pode-se chegar à mesma conclusão analisando-se o gráfico da figura 27, no qual estão apresentados os valores do momento fletor na direção y ao longo do eixo s1. A diferença entre os valores das curvas nesta figura ultrapassa 5% nos apoios, podendo ser considerada relevante. Caso o solo fosse mais flexível, esta diferença seria ainda maior.

Figura 27 - Momento MY no eixo s1

Um outro dado a ser apresentado é o dos deslocamentos horizontais na direção x que ocorrem ao longo de um dos pilares. O pilar escolhido é o que está



105

apoiado sobre o bloco 1, indicado na figura 18. Ao longo deste pilar foi definido o eixo s3, ilustrado nas figuras 16 e 17. O deslocamento na direção x ao longo do pilar está apresentado no gráfico da figura 28.

Figura 28 - Deslocamento horizontal do pilar.

Quando o pilar é conectado ao bloco, que por sua vez está apoiado no solo, nota-se que o deslocamento em sua base é diferente de zero. Já para o caso do pilar com base restringida, conforme previsto, a base tem deslocamento nulo. Mesmo com um deslocamento para a esquerda em sua base, o pilar conectado ao bloco apresenta um deslocamento para a direita no topo claramente superior ao caso do pilar com base restringida. Esta diferença é superior a 50%, tomando como referência o deslocamento do pilar de base restringida. Observando este comportamento, conclui-se novamente que os efeitos da interação do solo com a estrutura não podem ser desprezados. Como os deslocamentos são diferentes em cada caso, pode-se concluir que os esforços também são. Portanto, caso a interação solo/estrutura não seja considerada, não é possível calcular com exatidão os esforços que solicitam o pilar. Este exemplo apresenta resultados coerentes, e a partir dele é possível perceber a importância da consideração da interação do solo com a estrutura. Não foram apresentadas comparações com outros autores devido à escassez de trabalhos que analisem a interação do solo com a estrutura em abordagem tridimensional.

8 CONCLUSÕES

Os resultados apresentados demonstraram a consistência do programa de forma coerente. Alguns destes resultados foram comparados com o programa Ansys ou publicações de outros autores, validando a formulação empregada. Em alguns exemplos não foram apresentadas comparações devido à escassez existente na literatura de resultados semelhantes. Portanto, este trabalho ajuda a preencher uma lacuna existente nas pesquisas sobre interação do solo com a estrutura, que é a simulação deste problema de forma mais completa e em abordagem tridimensional.



106

Por fim, este trabalho apresentou uma poderosa e versátil ferramenta para o estudo da interação do solo com a estrutura. Como principais contribuições deste trabalho, podem-se citar as análises das tensões de contato estabelecidas entre blocos tridimensionais e o solo, da influência entre blocos e dos resultados obtidos para um edifício apoiado sobre blocos.

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