Ângulos formados por duas retas paralelas e uma transversal

Quando duas retas paralelas são interceptadas por uma transversal, determinam oito (8) ângulos, com vértices nas intersecções da transversal com as paralelas, são assim denominadas.

Lembretes !!!

I. Os pares de ângulos colaterais (internos e externos) são suplementares: ;

II. Propriedades:

▪ P1: Se duas retas coplanares distintas e uma transversal determinam ângulos alternos (ou correspondentes) congruentes, então essas retas são paralelas;

▪ P2: Por um ponto passa uma única reta paralela a uma reta dada (Postulado de Euclides).

III. Sobre perpendicularidade, temos que duas retas são perpendiculares ( ) se, e somente se, são concorrentes e formam ângulos adjacentes suplementares congruentes;

IV. Em relação aos ângulos retos, para que dois ângulos sejam suplementares e congruentes, a única possibilidade é que sejam de 90º, ou seja, ângulos retos.

V. As propriedades abaixo são muito importantes no campo da Física no que diz respeito aos vetores.

▪ Ângulos de lados paralelos são congruentes ou suplementares.

Ângulos correspondentes (congruentes)

São ângulos que estão na mesma posição, mas sobre paralelas distintas

1 e 5 2 e 6 3 e 7 4 e 8

Alternos internos (congruentes)

São os ângulos que estão em lados diferentes da reta transversal entre as retas paralelas.

3 e 5 4 e 6

Alternos externos (congruentes)

São ângulos que estão em lados diferentes da reta transversal entre as retas paralelas.

1 e 7 2 e 8

Colaterais internos (suplementares)

São ângulos que estão do mesmo lado da reta transversal fora das retas paralelas.

3 e 6 4 e 5

Colaterais externos (suplementares)

São ângulos que estão do mesmo lado da reta transversal fora das retas paralelas.

1 e 8 2 e 7

▪ Ângulos de lados perpendiculares são congruentes ou suplementares.

▪ Teorema Quando duas retas paralelas são interceptadas por uma segunda reta, temos:

▪ ângulos alternos internos congruentes. ▪ ângulos alternos externos congruentes. ▪ ângulos colaterais internos suplementares. ▪ ângulos colaterais externos suplementares. ▪ ângulos correspondentes iguais.

Exercícios propostos

01. Considere as retas paralelas m e n (em símbolos: m //n). Calcule o valor de x e a medida de cada ângulo assinalado.

02. Considerando r//s, determine as medidas dos ângulos representados pelas incógnitas x e y.

a)

b)

c)

d)

03. Sendo r//s, determine as medidas de x, y e z, em graus, dos ângulos assinalados.

04. Calcule o valor de x, sabendo que as retas r e s são paralelas.

05. Calcule as medidas x e y, em graus, dos ângulos:

a) r//s

b) r//s e s//t

06. Sabendo que r//s, calcule o valor de x, em graus:

a)

b)

07. Determine, em graus, as medidas x, y, w e z dos ângulos:

a) r//s

b) r//s//t

c) r//s e s//t

Teorema de Tales (r//s//t//z)

Quando um feixe de retas paralelas é cortado por duas transversais quaisquer, a razão entre as medidas de dois segmentos de uma delas é igual à razão entre os respectivos segmentos correspondentes da outra, isto é, são segmentos de medidas proporcionais.

08. A figura abaixo mostra um segmento AD dividido em três partes iguais, onde AB = 2 cm, BC = 3 cm, CD = 5 cm. O segmento AG mede 13 cm e as retas BE, CF e DG são paralelas. Determine o comprimento dos segmentos AE, EF e FG.

09. Três lotes de terreno têm fundos para a rua “tenho que estudar” e para a rua “preciso estudar”, como gráfico a seguir. As divisas laterais são perpendiculares à rua “tenho que estudar”. Qual a medida de cada lote do terreno, sendo que a frente mede 96 metros.

10. (UFF) O circuito triangular de uma corrida está esquematizado na figura a seguir:

As ruas TP e SQ são paralelas. Partindo de S, cada corredor deve percorrer o circuito passando, sucessivamente, por R, Q, P, T, retornando, finalmente, a S.Sendo assim, o perímetro do circuito é:

11. (UNESP) Considere 3 retas coplanares paralelas, r, s e t, cortadas por 2 outras retas, conforme a figura.

Os valores dos segmentos identificados por x e y são, respectivamente,

12. Um feixe de três paralelas determina, numa transversal, os pontos A, B e C e, numa outra transversal, os pontos correspondentes A’, B’ e C’. Se AB = 4 cm, BC = 7 cm, A’B’ = 12 cm, determine o segmento a medida do segmento B’C’.

13. Um triângulo ABC tem os lados medindo 32 cm e 36 cm, respectivamente. Por um

ponto M, do lado , a 10 cm do vértice C, traçamos uma paralela ao lado , que determina um

ponto N em . Qual é a medida de ?

14. Sabendo que , determine x em cada caso:

15. Um feixe de quatro paralelas determina sobre uma transversal três segmentos consecutivos, que medem 5 cm, 6 cm e 9 cm. Calcule os comprimentos dos segmentos determinados pelo feixe em outra transversal, sabendo que o segmento deste, compreendido entre a primeira e a quarta paralela, medem 60 cm.

16. (FGV – SP) Considere as retas r, s, t, u todas num mesmo plano, com r//u.

Sendo assim, o valor de (2x + 3y) é igual a:

17. (Fuvest – SP) As retas t e s são paralelas. A medida do ângulo x, em graus, é:

18. (Mack – SP) Na figura, se MN//AC, então a medida do ângulo alfa é igual a: