Trigonometria no Triangulo RetanguloTexto de Apoio

1 O Teorema de Tales

O Teorema de Tales e determinado pela interseccao entre retas paralelase transversais que formam segmentos proporcionais. Se r, s e t sao retasparalelas e m e n duas retas transversais a elas, como na Figura (a), porexemplo, entao valem as seguintes igualdades:

AB

BC=

DE

EFe

AC

AB=

DF

DE

C F

B

A D

E

r

s

t

m n

Figura (a)

C F

B

A D

E

r

s

t

O

Figura (b)

Consequentemente, existe uma proporcionalidade entre lados corresponden-tes de triangulos semelhantes. Na Figura (b) acima, sendo r, s e t retasparalelas, os triangulos AOD, BOE e COF sao semelhantes e seus ladoscorrespondentes, proporcionais:

OA

OD=

OB

OE=

OC

OF.

1

2 Trigonometria sobre triangulos retangulos

Na figura abaixo, os triangulos retangulos com vertice O sao todos seme-lhantes. Sabendo que OA = a e a hipotenusa OE = h, podemos conhecer amedida de todos os lados dos triangulos OAE, OBF , OCG e ODH, desdeque tenhamos mais alguma medida com relacao ao triangulo original paracada um deles.

OD

H

F

B

G

C

E

Aa

h

√h2 − a2

Notemos que

a

h=

OB

OF=

OC

OG=

OD

OHe

√h2 − a2

h=

BF

OF=

CG

OG=

DH

OH.

A razao a

he associada ao triangulo OAE da seguinte forma: denotemos o

angulo AOE = θ, o cateto OA, adjacente e o cateto AE, oposto. Assim,para o triangulo retangulo OAE, a razao a

he chamada de Cosseno do angulo

θ:

cos(θ) =a

h=

cateto adjacente

hipotenusa.

Assim,

cos(θ) =a

h=

OB

OF=

OC

OG=

OD

OH.

Utilizando o cateto oposto e a hipotenusa, denominamos outra razao, oSeno do angulo θ:

sen(θ) =cateto oposto

hipotenusa.

Definindo a razao entre os catetos, obtemos a Tangente do angulo θ:

2

tg(θ) =cateto oposto

cateto adjacente.

As razoes que expressam o seno, cosseno e tangente do angulo θ, saodenominadas Razoes Trigonometricas do triangulo retangulo, com 0◦ < θ <

90◦. Essas razoes trigonometricas podem ser estendidas a funcoes de variavelreal, chamadas Funcoes Trigonometricas, e todas as relacoes encontradas nasrazoes trigonometricas continuarao validas nestas funcoes.

2.1 Primeiras Identidades Trigonometricas

Consideremos, na figura abaixo, o triangulo ABC reto no vertice A edenotemos o angulo θ no vertice B. Logo, a medida do angulo BCA e 90◦−θ:

AB

C

c

b

a

θ

90− θ

sen(θ) =b

a

cos (θ) =c

a

tg(θ) =b

c

Uma vez que o cateto adjacente do angulo θ e o cateto oposto do angulocomplementar 90◦−θ, e que o cateto oposto do angulo θ e o cateto adjacentedo angulo complementar 90◦ − θ, temos que:

sen(θ) = cos (90◦ − θ) e cos (θ) = sen(90◦ − θ).

Utilizando o teorema de Pitagoras, a saber a2 = b2 + c2, e dividindo ambosos lados desta equacao por a2, obtemos

1 =b2

a2+

c2

a2,

entao

1 =( b

a

)2

+( c

a

)2

= (sen(θ))2 + (cos (θ))2.

Fazendo agora o uso de uma notacao classica, temos que

(sen(θ))2 = sen2(θ) e (cos (θ))2 = cos2 (θ)

e assim obtemos a relacao pitagorica

sen2(θ) + cos2 (θ) = 1.

3

2.2 Angulos Notaveis

Existem alguns angulos, que chamamos de angulos notaveis, que saoutilizados com frequencia e cujos valores do Seno, Cosseno e Tangente devemser conhecidos. Vamos entao descreve-los.

Considerando um quadrado de lado 1, temos que sua diagonal mede√2,

logo:

AB

C

1

1 1

1

45◦

45◦

AB

C

1

√2

1

45◦

45◦ sen(45◦) =

1√2=

√2

2

cos (45◦) =1√2=

√2

2tg(45◦) = 1.

Agora, consideremos um triangulo equilatero de lado 2; sua altura mede√3,

entao:

sen(60◦) =

√3

2

cos (60◦) =1

2

tg(60◦) =√3 1

2

60◦

30◦

60◦

30◦

1

2

A B

C

D 1

2

60◦

30◦

A B

C

√3

sen(30◦) =1

2

cos(30◦) =

√3

2

tg(30◦) =

√3

3.

2.3 Razoes Recıprocas

As razoes recıprocas, tambem chamadas de razoes inversas, sao cha-madas de Cossecante, Secante e Cotangente do angulo θ, denotadas porcossec(θ), sec(θ) e cotg(θ) e sao definidas da seguinte forma:

cossec(θ) =hipotenusa

cateto oposto=

1

sen(θ);

sec(θ) =hipotenusa

cateto adjacente=

1

cos(θ);

cotg(θ) =cateto adjacente

cateto oposto=

1

tg(θ).

4

2.4 Identidades Trigonometricas

Existem muitas relacoes entre as razoes que descrevemos acima. Nos javimos uma que e consequencia direta do Teorema de Pitagoras:

sen2(θ) + cos2 (θ) = 1.

A essas relacoes damos o nome de identidades trigonometricas e nesta secaoapresentaremos mais algumas delas, buscando demonstrar uma pequena quan-tidade de forma geometrica, fugindo da abordagem algebrica que comumentee realizada. Alem disso, vale ressaltar que como estamos trabalhando notriangulo retangulo, aparecera uma limitacao natural para os valores dosangulos, pois as razoes da forma que construımos estao definidas apenas paraangulos entre 0◦ e 90◦, porem todas as identidades podem ser estendidas aoutros angulos por meio das funcoes trigonometricas.

2.4.1 Seno

Iniciamos com as formulas chamadas de angulo duplo e metade para oSeno:

• sen (2θ) = 2 · sen (θ) · cos (θ), se 0 < θ < 45◦;

• sen

(

θ

2

)

=

√

1− cosθ

2, se 0 < θ < 90◦.

Existem mais duas identidades que nos permitem calcular outros angulos,chamadas Seno da soma e Seno da diferenca, isto e, dados dois angulos α eβ, temos respectivamente:

• sen(α + β) = sen (α) cos (β) + cos (α) sen (β);

• sen (α− β) = sen (α) cos (β)− cos (α) sen (β).

De fato, seja ABC um triangulo retangulo com hipotenusa AC medindo

1 e BAC = α. Dispomos esse triangulo junto de um triangulo ABD deforma que a hipotenusa de ABD coincida e tenha o mesmo comprimento do

segmento AB e tal que DAB = β. Em seguida, tracamos a perpendiculara AD partindo do ponto C, que vai interceptar o segmento em um pontoque chamaremos de E. Como resultado, obtemos a figura a seguir e ela vainos auxiliar na demonstracao do fato de que o seno do angulo CAE satisfazformula acima.

5

semelhanca dos triangulos ABD e CFB. Como sen (α + β) = CE = DF =DB +BF , obtemos o resultado desejado.

As quatro identidades apresentadas sao a mais utilizadas para a funcaoSeno. Contudo, ainda temos outras:

• sen (α) + sen (β) = 2 sen

(

α + β

2

)

cos

(

α− β

2

)

;

• sen (α)− sen (β) = 2 cos

(

α + β

2

)

sen

(

α− β

2

)

;

• sen (α) sen (β) =cos (α− β)− cos (α + β)

2;

• sen (α) cos (β) =sen (α− β) + sen (α + β)

2;

• sen (3θ) = 3 sen (θ)− 4 sen3 (θ);

• sen (θ) =2 tg

(

θ

2

)

1 + tg2(

θ

2

) .

2.4.2 Cosseno

Vejamos agora as identidades de angulo duplo e metade para o Cosseno:

• cos (2θ) = cos2 (θ)− sen2 (θ) = 2 cos2 (θ)− 1 = 1− 2 sen2 (θ);

• cos

(

θ

2

)

=

√

1 + cos (θ)

2.

Desta vez vamos demonstrar a segunda identidade do angulo duplo acima.

Consideremos o triangulo retangulo ABC de hipotenusa AB de compri-

mento 2 e cujo angulo BAC e θ. Esse triangulo pode ser inscrito em umacircunferencia de raio 1 de centro D, como na figura a seguir:

7

2.4.3 Tangente

As identidades mais usadas para a Tangente sao:

• tg (2α) =2 tg (α)

1− tg2 (α);

• tg (α + β) =tg (α) + tg (β)

1− tg (α) tg (β);

• tg (α− β) =tg (α)− tg (β)

1 + tg (α) tg (β).

Mas ainda ha outras como:

• tg (3θ) =3 tg (θ)− tg3 (θ)

1− 3 tg2 (θ);

• tg (θ) =2 tg

(

θ

2

)

1− tg2(

θ

2

) .

2.4.4 Pitagoras para as Razoes Recıprocas

Assim como o Seno e o Cosseno estao relacionados mediante a igualdadesen2 (θ)+ cos2 (θ) = 1, existe uma relacao similar entre Tangente e Secante eentre cotangente e cossecante, como mostramos a seguir:

• cossec2 (θ) = 1 + cotg2 (θ);

• sec2 (θ) = 1 + tg2 (θ).

Para finalizar, demonstraremos esta ultima identidade:

Sejam ABC um triangulo retangulo cuja hipotenusa AC tem compri-mento 1 e ADE um triangulo semelhante a ABC cujo cateto AD, que ecorrespondente a AB, tem comprimento 1 como na figura a seguir:

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A

DB

C

E

1

x

cos (θ)sen(θ)

θ

1

y

Como os triangulos sao semelhantes, vale

AC

AB=

AE

ADe

CB

AB=

ED

AD,

isto e,

sec (θ) =1

cos (θ)=

y

1= y e tg (θ) =

sen (θ)

cos (θ)=

x

1= x.

Agora, usando o Teorema de Pitagoras, temos que sec2 (θ) = 1 + tg2 (θ).

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Referencias

[1] CHASE, J., Geometric Proofs of Trigonometric Identities

https://mrchasemath.com/2018/01/17/geometric-proofs-of-trigonometric-identities/

[2] JOYCE, D., Dave’s Short Trig Course

https://www2.clarku.edu/faculty/djoyce/trig/identities.html

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