> Professor Carlos Andreotti

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Teorema de TalesTeorema de TalesTeorema de TalesTeorema de Tales

Teorema de Tales

Dados: um feixe de retas paralelas e retas transversais, a razo entre as medidas dos segmentos quaisquer de uma das transversais igual razo entre as medidas dos segmentos correspondentes de outra.

A A

''

''

DC

BA

CD

AB =B B

C

D

C

D

'' DCCD=

As medidas dos segmentos correspondentes nas transversais so

diretamente proporcionais

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Teorema de TalesTeorema da bissetriz internaUma bissetriz interna de um tringulo divide o lado oposto em segmentos proporcionais aos lados adjacentes

A

B C

c b

Dx y

y

b

x

c =

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NGULOS OPOSTOS PELO VRTICENGULOS OPOSTOS PELO VRTICENGULOS OPOSTOS PELO VRTICENGULOS OPOSTOS PELO VRTICE

Observe os ngulos AB e CD na figura abaixo:

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Dois ngulos so opostos pelo vrtice quando os lados de um deles so semi-retas opostas aos lados do outro.

Na figura abaixo, vamos indicar:

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Sabemos que:X + Y = 180 ( ngulos adjacentes suplementares)X + K = 180 ( ngulos adjacentes suplementares)

Dois ngulos opostos pelo vrtice so congruentes.

Da a propriedade:

Dois ngulos opostos pelo vrtice tm medidas, em graus, expressas por x + 60 e 3x - 40. Qual o valor de x?

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x + 60 = 3x - 40ngulos o.p.v

x - 3x = - 40 - 60-2x = - 100

x = 50Logo, o valor de x 50.

Relembrando o que so Relembrando o que so Relembrando o que so Relembrando o que so ngulos formados por duas ngulos formados por duas ngulos formados por duas ngulos formados por duas

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ngulos formados por duas ngulos formados por duas ngulos formados por duas ngulos formados por duas retas paralelas com uma retas paralelas com uma retas paralelas com uma retas paralelas com uma

transversaltransversaltransversaltransversal

ngulos alternos-externos . Num sistema de duas retas paralelas cortadas por uma terceira, chamada secante, chamam-se ngulos alternos-externos aos pares a,c e b,d assinalados na figura.

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Os ngulos alternos-externos so geometricamente iguais, por isso tm a mesma amplitude; a amplitude de a igual de c, o mesmo sucedendo entre b e d.

ngulos alternos-internos. Num sistema de duas retas paralelas cortadas por uma terceira, chamada secante, chamam-se ngulos alternos-internos aos pares e,g e f,h assinalados na figura

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Os ngulos alternos-internos so geometricamente iguais, por issotm a mesma amplitude; a amplitude de e igual de g, o mesmosucedendo entre f e h.

Teorema de TalesTeorema da bissetriz interna

A

r

r//s

ngulos correspondentes

A

B C

c b

Dx y

ngulos alternos internos

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Teorema de TalesTeorema da bissetriz interna

A

r

r//s

E

Logo o tringulo ACE issceles AC = AE = b b

Pelo Teorema de

y

b

x

c =

A

B C

c b

Dx y

Pelo Teorema de Tales temos:

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Teorema de TalesTeorema da bissetriz externa

A

CD

AC

BD

AB =

A

BC

D

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Teorema de TalesTeorema da bissetriz externa: dica para a demonstrao

A

CD

AC

BD

AB =

A

BC

D

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Teorema de TalesTeorema da bissetriz externa: dica para a demonstrao

A

CD

AC

BD

AB =

c b A

BC

D

c b

x

y

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Semelhana de tringulos

* os trs ngulos internos so ordenadamente congruentes

Dois tringulos so semelhantes, se e somente se:

* os lados homlogos ( mesma posio ) so proporcionais

A

A

k = razo de semelhana

B C

A

B Ca a

bbcc

kc

c

b

b

a

aCBAABC ===

''''''~

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Semelhana de tringulosTeorema fundamental

C

D

Se uma reta paralela a um dos lados de um dos lados de um tringulo e intercepta os outros dois lados em pontos distintos, ento o tringulo determinado por

semelhante

A B

D E ela semelhante ao primeiro

CDECAB ~

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Semelhana de tringulosCasos ( ou critrios ) de semelhana

1- dois ngulos ordenadamente congruentes

2- LAL lados proporcionais e ngulos entre eles congruentes2- LAL lados proporcionais e ngulos entre eles congruentes

3- LLL lados homlogos proporcionais

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Semelhana de tringulosBase mdia

A

M N

b

x

B CB

2

BCMN =

2

bBx

+=

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1) Encontre o valor de x e y indicado em cada feixe de retas paralelas abaixo:

a)

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b)

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