análise matemática i [isel]

Captulo 1

Complementos de funes reais de

varivel real

1.1 Lgica

Definio 1.1. Uma proposio uma expresso qual podemos atribuir o valor lgico deverdadeiro ou falso.

Observao 1.2.

1. Uma proposio no pode ser simultaneamente verdadeira e falsa. (Princpio da nocontradio)

2. Uma proposio ou verdadeira ou falsa. (Princpio do terceiro excludo)

Exemplo 1.3.

1. A frase 20 um nmero grande no uma proposio.

2. A frase 20 um nmero par uma proposio.

3. A frase amanh h aula de Anlise I uma proposio.

Operaes lgicas. Dadas proposies p e q, podemos definir as operaes lgicas de negao(no), conjuno (e), disjuno (ou), implicao (se ... ento) e equivalncia (se e s se).

1. A negao de p uma nova proposio p, que se obtm antepondo as palavras no verdade que a p.

2. A conjuno das proposies p e q uma nova proposio p q, que se obtm ligando p eq com a palavra e.

3. A disjuno das proposies p e q uma nova proposio p q, que se obtm ligando p eq com a palavra ou.

4. A implicao das proposies p e q uma nova proposio p q, que se obtm ligando pe q na forma se p ento q.

5. A equivalncia das proposies p e q uma nova proposio p q, que se obtm ligandop e q com as palavras se e s se.

1

Complementos de funes reais de varivel real

Os valores lgicos das proposies resultantes podem ser apresentados em tabelas de verdade:

p pV FF V

p q p qV V VV F FF V FF F F

p q p qV V VV F VF V VF F F

p q p qV V VV F FF V VF F V

p q p qV V VV F FF V FF F V

Exemplo 1.4. Consideremos as proposies p: h nuvens no cu e q: est a chover.

1. A negao de p a proposio no h nuvens no cu.

2. A conjuno p q a proposio h nuvens no cu e est a chover.3. A disjuno p q a proposio h nuvens no cu ou est a chover.4. A implicao p q a proposio se h nuvens no cu ento est a chover.5. A equivalncia p q a proposio h nuvens no cu se e s se est a chover.

Quantificadores. Quando consideramos expresses que envolvem variveis, podemos aplicarainda trs outras operaes lgicas: os quantificadores (para todo), (existe um) e 1 (existeexactamente um).

Exemplo 1.5.

1. A proposio x R, x2 > 0 falsa.2. A proposio x R, x2 0 verdadeira.3. A proposio x R : x2 > 0 verdadeira.4. A proposio x R : x2 < 0 falsa.5. A proposio 1 x R : x2 > 0 falsa.6. A proposio 1 x R : x2 = 0 verdadeira.

2


1.2 Conjuntos

Conjuntos. Sejam A,B subconjuntos de R. Ento:

1. A B = {x R : x A x B};2. A B = {x R : x A x B};3. A\B = {x R : x A x 6 B}.

Diz-se que A est contido em B (e escreve-se A B) ou que B contm A (e escreve-se B A)se x R, x A x B.Definio 1.6.

1. O conjunto vazio, , o conjunto que no contm elementos.2. O conjunto dos nmeros naturais, N, o conjunto {1, 2, . . .}.3. O conjunto dos nmeros inteiros, Z, o conjunto {. . . ,2,1, 0, 1, 2, . . .}.

4. O conjunto dos nmeros racionais, Q, o conjunto{ab: a, b Z b 6= 0

}.

5. O conjunto dos nmeros irracionais, I, o conjunto dos nmeros que no podem ser

exprimidos na formaa

b, com a, b Z, b 6= 0.

6. O conjunto dos nmeros reais, R, o conjunto Q I. (Note-se que I = R\Q.)

3


1.3 Propriedades dos nmeros reais

Lei do anulamento do produto. Um produto de dois nmeros nulo se e s se um dosfactores nulo, isto ,

x y = 0 x = 0 y = 0.Equaes. Uma equao uma condio da forma

A = B,

onde pelo menos uma das expresses A ou B envolve uma varivel x. Observemos que, paraquaisquer expresses C e D 6= 0, A = B A+ C = B + C e A = B D A = D B.Inequaes. Uma inequao uma condio da forma

A < B, A B, A > B ou A B,onde pelo menos uma das expresses A ou B envolve uma varivel x. Observemos que, paraqualquer expresso D > 0, A > B D A > D B e para qualquer expresso D < 0,A > B D A < D B.Observao 1.7. Observemos que o produto x y positivo se e s se x, y so ambos positivosou ambos negativos.

Exemplo 1.8. Consideremos a equao3

x 1 +1

1 x = x. Temos que:

3

x 1 +1

1 x = x 3

x 1 +1

1 x x = 03

x 1 +1x 1

x(x 1)x 1 = 0

3 1 x2 + x

x 1 = 0x2 + x+ 2

x 1 = 0(x 2)(x + 1)

x 1 = 0 (x = 2 x = 1) x 6= 1.

Para resolver a inequao3

x 1 +1

1 x x, temos que:

3

x 1 +1

1 x x 3

x 1 +1

1 x x 0(x 2)(x+ 1)

x 1 0.

Para obtermos as solues, temos que estudar o sinal de cada um dos factores:

1 1 2 +(x 2) + + + + + 0 x+ 1 0 + + + + +x 1 0 + + +f(x) + 0 s/s + 0

Assim, o conjunto soluo da inequao ],1]]1, 2].

Definio 1.9. Chama-se mdulo ou valor absoluto do elemento x R ao nmero |x| definidopor

|x| ={

x se x 0x se x < 0 .

4


1.4 Noes topolgicas em R

Definio 1.10. Seja A um subconjunto no vazio de R. Diz-se que:

1. M R um majorante de A se x M, x A;2. m R um minorante de A se m x, x A.

Exemplo 1.11. Seja A =]1, 2]. Ento 2 um majorante de A, e 1 um minorante de A. Mais,o conjunto dos majorantes de A [2,+[, e o conjunto dos minorantes de A ], 1].Definio 1.12. Seja A um subconjunto no vazio de R. Diz-se que:

1. s R o supremo de A, s = supA, se s o menor dos majorantes de A;2. i R o nfimo de A, i = inf A, se i o maior dos minorantes de A.

Exemplo 1.13. Seja A =]1, 2]. Ento supA = 2 e inf A = 1.

Observao 1.14. Se s = supA A, diz-se que s o mximo de A, e escreve-se s = maxA;se i = inf A A, i diz-se o mnimo de A, e escreve-se i = minA.Definio 1.15. Seja a R. Chama-se vizinhana de a (de raio ) ao intervalo ]a , a + [,para algum > 0.

Definio 1.16. Seja X R um conjunto no vazio. Um ponto a diz-se:(a) interior a X se existe uma vizinhana de a que est contida em X;

(b) exterior a X se interior a R\X;(c) fronteiro a X se toda a vizinhana de a intersecta X e R\X.Chama-se interior de X, int(X), ao conjunto dos pontos interiores a X; exterior de X, ext(X),ao conjunto dos pontos exteriores a X; fronteira de X, fr(X), ao conjunto dos pontos fronteirosa X.

Exemplo 1.17.

1. Se X =]0, 1[, ento int(X) =]0, 1[, ext(X) =], 0[]1,+[ e fr(X) = {0, 1}.2. Se X = [0, 1], ento int(X) =]0, 1[, ext(X) =], 0[]1,+[ e fr(X) = {0, 1}.3. Se X = [0, 1[, ento int(X) =]0, 1[, ext(X) =], 0[]1,+[ e fr(X) = {0, 1}.

Definio 1.18. Um conjunto X R no vazio diz-se aberto se X = int(X), e diz-se fechadose X = int(X) fr(X).Exemplo 1.19.

1. X =]0, 1[ aberto.

2. X = [0, 1] fechado.

3. X = [0, 1[ no aberto nem fechado.

Definio 1.20. Seja X R um conjunto no vazio. Um ponto a R diz-se um ponto deacumulao de X se qualquer vizinhana de a contm um elemento x X, x 6= a. O conjuntodos pontos de acumulao de X denota-se por X .

Exemplo 1.21.

1. Seja X =]0, 1[. Ento X = [0, 1].

2. Seja X =]0, 1[{2}. Ento X = [0, 1].3. Seja X = {0, 1, 2}. Ento X = .

5


1.5 Conceitos gerais de funes reais de varivel real

Definio 1.22. Dados dois conjuntos X e Y , chamamos funo de X em Y a uma corre-spondncia que a cada elemento x X associa um e um s elemento y Y .Observao 1.23. Se f : X Y uma funo, dizemos que X o domnio de f (denotamospor Df ou D) e Y o conjunto de chegada de f . Chama-se contradomnio de f ao conjunto

CDf = {y Y : y = f(x) para algum x X}.Exemplo 1.24. Seja f : R R a funo definida por y = sinx. Ento o domnio de f R, oconjunto de chegada R, e o contradomnio [1, 1].

Definio 1.25. Seja f uma funo. Diz-se que f :

1. injectiva se x, y D, f(x) = f(y) x = y;2. sobrejectiva se CD igual ao conjunto de chegada;

3. bijectiva se injectiva e sobrejectiva.

Exemplo 1.26.

1. f(x) = x injectiva e sobrejectiva.

x

y

2. f(x) =1

x injectiva mas no sobrejectiva.

x

y

3. f(x) = sinx no injectiva nem sobrejectiva.

x

y

4. f(x) = tan x sobrejectiva mas no injectiva.

x

y

6


Definio 1.27. Seja f uma funo. Diz-se que f :

1. crescente se x, y D, x < y f(x) f(y);2. decrescente se x, y D, x < y f(x) f(y).

Exemplo 1.28. A funo f(x) = x crescente, e a funo f(x) =1

x decrescente. A funo

f(x) = x2 decrescente em ], 0] e crescente em [0,+[.

Definio 1.29. Seja f uma funo e a D. Diz-se que f tem:1. um mximo local em a se existe uma vizinhana de a, V , tal que f(x) f(a) x V D;2. um mnimo local em a se existe uma vizinhana de a, V , tal que f(x) f(a) x V D.

Exemplo 1.30. As funes f(x) = x e f(x) =1

xno tm extremos locais. A funo f(x) = x2

um mnimo local em 0.

Definio 1.31. Uma funo f diz-se:

1. par se f(x) = f(x) para x D;2. mpar se f(x) = f(x) para x D;3. peridica com perodo p R se f(x) = f(x+ np), para n Z e x D.

Exemplo 1.32. As funes f(x) = x, f(x) =1

xe f(x) = sinx so mpares. As funes

f(x) = x2 e f(x) = cos x so pares. As funes f(x) = sinx e f(x) = cos x so peridicas.

Definio 1.33. Sejam f e g duas funes. Chamamos funo composta de g com f funog f , com domnio D = {x Df : f(x) Dg}, definida por g f(x) = g(f(x)).Exemplo 1.34. Se f(x) = x2+1 e g(x) = sinx, ento gf(x) = sin(x2+1) e fg(x) = sin2 x+1.

Definio 1.35. Seja f uma funo injectiva. Chamamos funo inversa de f funo f1,com domnio CDf , definida por x = f

1(y) y = f(x).Exemplo 1.36. Se f : R R definida por f(x) = ex, ento a funo inversa f1 : R+ R definida por f1(y) = ln y.

Polinmios e funes racionais. Um polinmio (de grau n) uma funo que pode ser escritana forma

a0 + a1x+ a2x2 + a3x

3 + + anxn,com a0, a1, a2, . . . , an R, an 6= 0, n N.

Por exemplo, p(x) = 2, q(x) = x + 1, r(x) = x2 + x 1 e s(x) = x3 + 2x2 x + 1 sopolinmios (de grau 0, 1, 2 e 3, respectivamente), com grficos:

7


x

y

p(x)

x

y

q(x)

x

yr(x)

x

ys(x)

Observe-se que o domnio de um polinmio R.Todo o polinmio p(x) = a0 + a1x+ a2x

2 + a3x3 + + anxn de grau n pode ser escrito na

forma

p(x) = an(x 1) (x n),onde 1, . . . , n so todas as razes (reais ou complexas) de p(x). Chama-se multiplicidade daraz ao nmero de vezes que o factor x aparece naquela factorizao.

Chama-se funo racional a uma funo da forma

n(x)

d(x)

onde n(x) e d(x) so polinmios.

Por exemplo, so funes racionais f(x) =x

x 1 e g(x) =x+ 2

x2 + 1, com grficos:

x

y

f(x)

x

y

g(x)

Observe-se que o domnio den(x)

d(x) D = {x R : d(x) 6= 0}.

Funes exponenciais. Chama-se exponencial (de base a) funo definida por f(x) = ax,com a R+\{1}.

Por exemplo, so exponenciais as funes f(x) = ex, g(x) = 3x e h(x) =

(1

2

)x.

Para qualquer a R+\{1}, a funo ax tem domnio R, contradomnio R+ e injectiva.Para a > 1, a funo crescente,

8


x

y

e para 0 < a < 1, a funo decrescente,

x

y

Funes logartmicas. Chama-se logaritmo (de base a) funo definida por f(x) = loga x,com a R+\{1}, tal que y = loga x x = ay (ou seja, a funo loga x a inversa da funoax).

Por exemplo, so logaritmos as funes f(x) = lnx, g(x) = log5 x e h(x) = log 12

x.

Para qualquer a R+\{1}, a funo loga x tem domnio R+, contradomnio R e injectiva.Para a > 1, a funo crescente,

x

y

e para 0 < a < 1, a funo decrescente,

x

y

9


Funes trigonomtricas. So funes trigonomtricas as funes seno, co-seno, tangente eco-tangente.

A funo sinx tem domnio R, contradomnio [1, 1], no injectiva nem sobrejectiva, mpar e peridica (com perodo 2pi).

1

1

2

pipi pi2

pi2

x

y

A funo cos x tem domnio R, contradomnio [1, 1], no injectiva nem sobrejectiva, pare peridica (com perodo 2pi).

1

1

2

pipi pi2

pi2

x

y

A funo tanx =sinx

cos xtem domnio

{x R : x 6= pi

2+ kpi, k Z

}, contradomnio R, no

injectiva mas sobrejectiva, mpar e peridica (com perodo pi).

1

1

2

pipi pi2

pi2

x

y

A funo cot x =cos x

sinxtem domnio {x R : x 6= kpi, k Z}, contradomnio R, no injec-

tiva mas sobrejectiva, mpar e peridica (com perodo pi).

1

1

2

pipi pi2

pi2

x

y

Chama-se secante funo sec x =1

cos x.

10


Funes trigonomtricas inversas. A funo sinx, considerada no intervalo[pi2,pi

2

],

bijectiva, e portanto invertvel. A sua inversa a funo arco seno, arcsinx, definida por

y = arcsinx x = sin y, que tem domnio [1, 1], contradomnio[pi2,pi

2

], e injectiva e

mpar.

1 2 3 412345

pi

pi2

pi2

A funo cos x, considerada no intervalo [0, pi], bijectiva, e portanto invertvel. A suainversa a funo arco co-seno, arccos x, definida por y = arccos x x = cos y, que tem domnio[1, 1], contradomnio [0, pi], e injectiva.

1 2 3 412345

pi

pi2

pi2

A funo tan x, considerada no intervalo]pi2,pi

2

[, bijectiva, e portanto invertvel. A

sua inversa a funo arco tangente, arctan x, definida por y = arctan x x = tan y, que temdomnio R, contradomnio

]pi2,pi

2

[, e injectiva e mpar.

1 2 3 412345

pi

pi2

pi2

11


Funes hiperblicas. So funes hiperblicas as funes seno hiperblico, co-seno hiper-blico, tangente hiperblico e co-tangente hiperblica.

A funo sinhx =ex ex

2tem domnio R, contradomnio R, injectiva, sobrejectiva e

mpar.

A funo cosh x =ex + ex

2tem domnio R, contradomnio [1,+[, no injectiva nem

sobrejectiva, e par.

A funo tanhx =sinhx

cosh xtem domnio R, contradomnio ] 1, 1[, injectiva mas no

sobrejectiva, e mpar.

A funo coth x =cosh x

sinhxtem domnio R\{0}, contradomnio ],1[]1,+[, injectiva

mas no sobrejectiva, e mpar.

Chama-se secante hiperblica funo sech x =1

coshx.

12


A funo sinhx invertvel, e a sua inversa a funo argumento do seno hiperblico,arg sinhx = ln(x+

x2 + 1), que tem domnio R, contradomnio R, e injectiva e sobrejectiva.

A funo cosh x, considerada no intervalo [0,+[, invertvel, e a sua inversa a funoargumento do co-seno hiperblico, arg cosh x = ln(x +

x2 1), que tem domnio [1,+[,

contradomnio [0,+[, injectiva e no sobrejectiva.

A funo tanhx invertvel, e a sua inversa a funo argumento da tangente hiperblica,

arg tanhx =1

2ln

1 + x

1 x , que tem domnio ] 1, 1[, contradomnio R, e injectiva e sobrejectiva.

13


1.6 Limite

Definio 1.37. Seja f : D R R uma funo real de varivel real e seja a D. Diz-seque o limite de f no ponto a b R, e escreve-se b = lim

xaf(x), se

> 0 > 0 : x D |x a| < |f(x) b| < .

Exemplo 1.38.

1. Para provar que limx0

x sin1

x= 0, consideremos > 0 tal que

x sin 1x 0 < . Tomando

= , se |x 0| = |x| < , entox sin 1x

|x| < , como pretendido.2. Vejamos que lim

x2x2 = 4. Para > 0, consideremos =

5. Ento, se |x2| < , |x2| < 1

e |x2 4| = |x 2| |x+ 2| = |x 2| |x 2 + 4| < 5 = , como pretendido.Propriedade. Sejam f e g funes reais de varivel real. Ento, caso existam,

1. limxa

(f + g)(x) = limxa

f(x) + limxa

g(x);

2. limxa

(f g)(x) = limxa

f(x) limxa

g(x);

3. limxa

|f(x)| = | limxa

f(x)|;

4. limxa

f

g(x) =

limxa

f(x)

limxa

g(x), se lim

xag(x) 6= 0;

5. limxa

|f(x)| = 0 limxa

f(x) = 0.

14


1.7 Continuidade

Definio 1.39. Seja f : D R R uma funo real de varivel real e seja a D. Diz-se quef uma funo contnua no ponto a se lim

xaf(x) = f(a), isto ,

> 0 > 0 : x D |x a| < |f(x) f(a)| < .Diz-se que f contnua se contnua em todos os pontos do seu domnio.

Exemplo 1.40.

1. As funes 2x2 + 3, sin(x), ex e ln(x) so contnuas.

2. A funo f(x) =

{x se x 0x se x < 0 contnua.

1

2

3

4

1 1 2 3 412345x

y

3. A funo f(x) =

{2x+ 1 se x 1x se x < 1 no contnua.

1

2

3

4

12

1 2 3 412345 x

y

4. A funo f(x) =

{x se x > 0x se x < 0 contnua.

1

2

3

4

1 1 2 3 412345x

y

15


5. A funo f(x) =x

x 1 contnua.

1

2

3

4

12345

1 2 3 412345 x

y

Propriedade. Sejam f e g funes contnuas em a D R. Ento f + g, f g, |f | e f socontnuas em a. Se g(a) 6= 0, ento f

g tambm contnua em a.

Propriedade. Sejam f : D R e g : E R funes tais que f(D) E. Se f contnua ema e g contnua em f(a), ento g f contnua em a.Observao 1.41. Se a D\D e existe lim

xaf(x), a funo g(x) definida por

g(x) =

{f(x) se x Dlimxa

f(x) se x = a

contnua. A esta funo d-se o nome de prolongamento (por continuidade) de f .

Exemplo 1.42. A funo do Exemplo 1.40.4 prolongvel por continuidade ao ponto 0. Asfunes dos Exemplo 1.40.3 e 1.40.5 no so prolongveis por continuidade.

Teorema 1.43 (Bolzano). Seja f uma funo contnua em [a, b] e k R compreendido entref(a) e f(b). Ento c ]a, b[: f(c) = k.

a b

f(a)

f(b)

c

k

Exemplo 1.44. Seja f(x) = x2 + 4x 3. Existe k ] 3, 2[ tal que f(k) = pi.

16


1

2

3

4

5

1234567

1 2 3 412345 x

y

Corolrio 1. Se f uma funo contnua em [a, b] tal que f(a) f(b) < 0, ento f admite pelomenos um zero em ]a, b[.

Exemplo 1.45. Seja f(x) = x2 + 4x 3. Ento f tem um zero em ] 3, 2[.

17


18

Captulo 2

Complementos de clculo diferencial

em R

2.1 Conceito de derivada

Definio 2.1. Diz-se que f diferencivel em a D se existe e finito o limite

limxa

f(x) f(a)x a = limh0

f(a+ h) f(a)h

.

A este limite d-se o nome de derivada de f no ponto a, e representa-se por f (a).

Exemplo 2.2. A funo f(x) = x2 1 diferencivel no ponto 1, e a sua derivada dada por

limx1

x2 1x 1 = 2.

Interpretao geomtrica. f (a) representa o declive da recta tangente ao grfico de f noponto a.

Definio 2.3. Seja f uma funo. A recta tangente ao grfico de f no ponto (a, f(a)) dadapela equao

y f(a) = f (a)(x a).A recta ortogonal ao grfico de f no ponto (a, f(a)) dada pela equao

y f(a) = 1f (a)

(x a).

Exemplo 2.4. Seja f(x) = x3 3x2 x+ 5. Ento f (x) = 3x2 6x 1. A equao da rectatangente ao grfico de f no ponto x = 3

y f(3) = f (3)(x 3) y 2 = 8(x 3),

e a equao da recta ortogonal ao grfico de f no mesmo ponto

y f(3) = 1f (3)

(x 3) y 2 = 18(x 3).

19

Complementos de clculo diferencial em R

Definio 2.5. Diz-se que f diferencivel esquerda em a se existe e finito o limite

limxa

f(x) f(a)x a = limh0

f(a+ h) f(a)h

= f e(a).

Diz-se que f diferencivel direita em a se existe e finito o limite

limxa+

f(x) f(a)x a = limh0+

f(a+ h) f(a)h

= f d(a).

Propriedade. f diferencivel em a se e s se f diferencivel esquerda e direita em a ef e(a) = f

d(a).

Exemplo 2.6. A funo f(x) = |x| no diferencivel em 0, uma vez que f e(0) = 1 ef d(0) = 1.

20


2.2 Regras de derivao

Regras de derivao. Sejam u e v funes diferenciveis, k uma constante e n N. Ento

1. (k u) = k u;2. (u+ v) = u + v;

3. (u v) = u v + u v;

4.(uv

)

=u v u v

v2;

5. (un) = n un1 u;

6. ( nu) =

u

nn

un1

;

7. (eu) = u eu;8. (ku) = u ln k ku;9. (uv) = v uv1 u + v lnu uv;

10. (ln u) =u

u;

11. (logk u) =

u

u ln k ;

12. (sinu) = u cos u;13. (cos u) = u sinu;

14. (tan u) =u

cos2 u;

15. (cot u) = u

sin2 u;

16. (arcsin u) =u

1 u2 ;

17. (arccos u) = u

1 u2 ;

18. (arctan u) =u

1 + u2;

19. (sinhu) = u coshu;

20. (cosh u) = u sinhu;

21. (tanhu) =u

cosh2 u;

22. (coth u) = u

sinh2 u;

23. (arg sinhu) =u

1 + u2;

24. (arg cosh u) =u

u2 1 ;

25. (arg tanhu) =u

1 u2 .

Exemplo 2.7.

1. (2x) = 22. (2x2 + 3) = 4x

3. ((x7 2) (x+ 3x3)) = 30x9 + 8x7 18x2 2

4.

(2x+ 3

x2 5x+ 5)

= 2x2 + 6x 25

(x2 5x+ 5)2

5.((

5x4 20)5) = 5 (5x4 20)4 20x36.(

5x2 6

)

=2x

5 5

(x2 6)4

7.(e

1

x

)

= 1x2 e 1x

8. (5x2

) = 2x ln 5 5x2

9.((x2 1)3x) = 3x (x2 1)3x1 2x 3 ln(x2 1) (x2 1)3x

21


10. (ln x6) =6

x

11. (log12 8x) =

8

8x ln 1212. (sin ex) = ex cos ex

13. (cos lnx) = 1x sin lnx

14. (tan 2x5) =10x4

cos2 2x5

15. (cot 2x) = 2sin2 2x

16. (arcsin ex) =ex

1 e2x

17. (arccos x3) = 3x2

1 x6

18. (arctan 3x2) =6x

1 + 9x4

19. (sinh ex) = ex cosh ex

20. (cosh sinx) = cosx sinh sinx

21. (tanh(1 x2) = 2xcosh2(1 x2)

22. (coth lnx) = 1

xsinh2 lnx

23. (arg sinh 5x) =5

1 + 25x2

24. (arg cosh ex2

) =2xex

2e2x2 1

25. (arg tanh(x3 x)) = 3x2 1

1 (x3 x)2

Funo composta. Sejam f : D R e g : E R funes tais que g(D) E. Se g diferencivel em a e f diferencivel em g(a), ento f g diferencivel em a e

(f g)(a) = f (g(a)) g(a).

Exemplo 2.8. Seja g(x) = f(ex21), com f diferencivel. Ento g(x) = 2xex

21f (ex

21).

22


Funo inversa. Seja f uma funo diferencivel tal que f (a) 6= 0. Ento a funo inversaf1 diferencivel em b = f(a) e (

f1)(b) =

1

f (a).

Exemplo 2.9.

1. Sendo y = arcsinx( x = sin y), podemos aplicar a regra de derivao da funo inversapara obter a derivada de arcsinx:

(arcsin x) =1

cos y=

1

cos(arcsin x).

Pela frmula fundamental da trigonometria,

cos y =

1 sin2(y) =

1 sin2(arcsin x) =

1 x2.

Logo (arcsin x) =1

1 x2 .

2. Sendo y = arccos x( x = cos y), podemos aplicar a regra de derivao da funo inversapara obter a derivada de arccos x:

(arccos x) = 1sin y

= 1sin(arccos x)

.

Pela frmula fundamental da trigonometria, sin y =1 x2, e logo (arccos x) = 1

1 x2 .

3. Sendo y = arctan x( x = tan y), podemos aplicar a regra de derivao da funo inversapara obter a derivada de arctan x:

(arctan x) =11

cos2 y

= cos2(arctan x).

Pela frmula fundamental da trigonometria,

tan2 y + 1 =1

cos2 y cos2(y) = 1

1 + tan2(arctan x)=

1

1 + x2.

Logo (arctan x) =1

1 + x2.

23


2.3 Intervalos de monotonia e extremos locais

Recordar. Seja f uma funo e a D. Diz-se que f tem:1. um mximo local em a se existe uma vizinhana de a, V , tal que f(x) f(a) x V D;2. um mnimo local em a se existe uma vizinhana de a, V , tal que f(x) f(a) x V D.

Propriedade. Seja f uma funo diferencivel em a int(D). Se f tem um extremo local ema, ento f (a) = 0.

Exemplo 2.10.

1. Seja f(x) = arctan(x3 + 1). Ento f (x) =3x2

1 + (x3 + 1)2e f (x) = 0 x = 0. No

entanto, f no tem um extremo local em 0, pois f positiva para valores diferentes de 0.

x

y

2. Seja f(x) = arctan(x3 3x). Ento f (x) = 3x2 3

1 + (x3 + 1)2=

3(x+ 1)(x 1)1 + (x3 + 1)2

e f (x) =

0 x = 1 x = 1. Estudemos o sinal de f : 1 1 +

x+ 1 0 + + +x 1 0 +

1 + (x3 + 1)2 + + + + +

f (x) + 0 0 +f(x) M m

Conclumos assim que f tem um mximo para x = 1 e um mnimo para x = 1.

x

y

24


2.4 Concavidades e inflexes

Definio 2.11. Seja f uma funo. Diz-se que f tem:

1. concavidade virada para cima num intervalo [a, b] se f

(x+ y

2

) f(x) + f(y)

2para quais-

quer x, y [a, b] (isto , se o ponto mdio do segmento de recta definido por f(x) e f(y)est acima ou sobre o grfico de f .

2. concavidade virada para baixo num intervalo [a, b] se f

(x+ y

2

) f(x) + f(y)

2para

quaisquer x, y [a, b] (isto , se o ponto mdio do segmento de recta definido por f(x) ef(y) est abaixo ou sobre o grfico de f .

Observao 2.12. Se f diferencivel no ponto a int(D), diz-se que f tem a concavidadevirada para cima em a se o grfico de f est acima do grfico da recta tangente y f(a) =f (a)(xa); diz-se que f tem a concavidade virada para baixo em a se o grfico de f est abaixodo grfico da recta tangente y f(a) = f (a)(x a).Propriedade. Sejam f uma funo com primeira e segunda derivadas contnuas, e a int(D).Ento:

1. Se f (a) > 0, o grfico de f tem a concavidade virada para cima no ponto a;

2. Se f (a) < 0, o grfico de f tem a concavidade virada para baixo no ponto a;

3. Se f tem um ponto de inflexo em a, ento f (a) = 0.

Exemplo 2.13. Seja f(x) =1

20x5 1

12x4. Ento f (x) = x3 x2 = x2(x 1), e f (x) = 0

x = 0 x = 1. Estudemos o sinal de f :

0 1 +x2 + 0 + + +

x 1 0 +f (x) 0 0 +f(x) P.I.

Conclumos assim que f tem um ponto de inflexo em x = 1.

x

y

25


2.5 Teoremas de Rolle e Lagrange

Teorema 2.14 (Rolle). Seja f uma funo contnua em [a, b] e diferencivel em ]a, b[. Sef(a) = f(b), ento

c ]a, b[: f (c) = 0.

a b

f(a) = f(b)

c

Exemplo 2.15. Seja f(x) = 3x2 1.

Vejamos se se pode aplicar o Teorema de Rolle a f no intervalo [2, 2]: como f contnuaem R, tambm contnua em [2, 2]; temos que

f (x) =2x

3 3

(x2 1)2

no est definida para x = 1, e logo f no diferencivel em ] 2, 2[. Portanto no se podeaplicar o Teorema de Rolle.

Se considerarmos o intervalo [1, 1], temos: f contnua em [1, 1] e diferencivel em ]1, 1[.Como f(1) = f(1) = 0, pelo Teorema de Rolle c ] 1, 1[: f (c) = 0.Teorema 2.16 (Lagrange). Seja f uma funo contnua em [a, b] e diferencivel em ]a, b[.Ento

c ]a, b[: f (c) = f(b) f(a)b a .

a b

f(a)

f(b)

c

Exemplo 2.17. Seja f(x) = x21, e consideremos o intervalo [0, 2]. Como f um polinmio, contnua em [0, 2] e diferencivel em ]0, 2[. Ento, pelo Teorema de Lagrange, c ]0, 2[: f (c) =3 (1)2 0 = 2.

26


2.6 Regra de Cauchy e indeterminaes

Teorema 2.18 (Cauchy). Sejam f e g funes contnuas em [a, b] e diferenciveis em ]a, b[. Seg(x) 6= 0 em ]a, b[, ento

c ]a, b[: f(b) f(a)g(b) g(a) =

f (c)

g(c).

Regra de Cauchy. Sejam f e g funes diferenciveis numa vizinhana de a tais que

limxa

f(x) = limxa

g(x) = 0 ou limxa

f(x) = limxa

g(x) =.

Se limxa

f (x)

g(x)existe, ento lim

xa

f(x)

g(x)existe e

limxa

f(x)

g(x)= lim

xa

f (x)

g(x).

Observao 2.19. So indeterminaes , 0, 00, , 0

0, 0 e 1.

Exemplo 2.20.

1. limx0

1 exsinx

0

0=R.C.

limx0

(1 ex)(sinx)

= limx0

ex

cos x= 1.

2. limx+

(1 +

1

x

)2x= 1.

Aplicando logaritmos,

ln limx+

(1 +

1

x

)2x= lim

x+ln

(1 +

1

x

)2x= lim

x+2x ln

(1 +

1

x

)0=

= limx+

2

ln

(1 +

1

x

)1

x

0

0=R.C.

limx+

2

1x2

1 +1

x

1x2

=

= limx+

2

1 +1

x

=2

1 + 0= 2.

Logo, limx+

(1 +

1

x

)2x= e2.

27


2.7 Estudo de funes

Definio 2.21. Seja f uma funo. Diz-se que a recta y = mx+ b assmptota ao grfico def em + se existem e so finitos os limites

m = limx+

f(x)

xe b = lim

x+f(x)mx.

A recta y = mx+ b assmptota ao grfico de f em se existem e so finitos os limites

m = limx

f(x)

xe b = lim

xf(x)mx.

Diz-se que o grfico de f admite uma assmptota vertical em a D se

limxa+

f(x) = ou limxa

f(x) = .

Exemplo 2.22.

1. O grfico da funo f(x) =1

ex 1 admite assmptota vertical x = 0, assmptotas y = 0em + e y = 1 em .

x

y

2. O grfico da funo f(x) =1 xex

admite como assmptota y = 0 em +.

x

y

28


3. O grfico da funo f(x) =ex

xadmite assmptota vertical x = 0 e assmptota y = 0 em

.

x

y

4. O grfico da funo f(x) =ln(x2 1)x2 1 admite assmptotas verticais x = 1 e x = 1 e

assmptota y = 0 em + e em .

x

y

Estudo de uma funo. O estudo analtico de uma funo consiste, geralmente, na determi-nao de:

- domnio;

- simetrias;

- periodicidade;

- assmptotas;

- interseces com os eixos;

- monotonia e extremos relativos;

- sentido das concavidades e pontos de in-flexo;

- grfico;

- contradomnio.

Exemplo 2.23. Estudemos f(x) =x

3x2 1 .

Como 3x2 1 = 0 x = 1 x = 1, temos que D = R\{1, 1}.

Para estudar as simetrias, observemos que f(x) = x3

(x)2 1 =

x3x2 1 = f(x), e

portanto f mpar.Como

limx1

x3x2 1 =

10+

= , limx1

x3x2 1 =

1

0= ,

limx1+

x3x2 1 =

10

= +, limx1+

x3x2 1 =

1

0+= +,

29


as rectas x = 1 e x = 1 so assmptotas verticais ao grfico de f .Quanto s assmptotas no verticais:

limx+

x3x2 1x

= 0, limx+

x3x2 1 = +,

limx

x3x2 1x

= 0, limx

x3x2 1 = .

Logo, o grfico de f no tem assmptotas no verticais.Observemos que f(x) = 0 x = 0, donde f intersecta os eixos dos xx e dos yy quando

x = 0.

Estudemos agora o sinal de f . Como f (x) =x2 3

3 3

(x2 1)4 , temos:

3 1 1 3 +x2 3 + 0 0 +

3

(x2 1)4 + + + 0 + 0 + + +f (x) + 0 s/s s/s 0 +f(x) M s/s s/s m

Quanto a f , temos que f (x) =2x(9 x2)9 3

(x2 1)7 .

3 1 0 1 3 +2x 0 + + + + +

9 x2 0 + + + + + + + 0 9 3

(x2 1)7 + + + 0 0 + + +f (x) + 0 s/s + 0 s/s + 0 f(x) P.I. s/s P.I. s/s P.I.

O grfico de f tem o aspecto

1

2

3

4

12345

1 2 3 412345 x

y

e CD = R.

30

Captulo 3

Primitivao

3.1 Conceito de primitiva e generalidades

Definio 3.1. Seja f : D R R uma funo. Uma primitiva de f uma funo F : D Rdiferencivel e tal que

F (x) = f(x)

para todo o x D, e denota-se por Pf . Diz-se que f primitivvel se admite uma primitiva.Exemplo 3.2. Seja f(x) = 1. Ento F1(x) = x e F2(x) = x+ 1 so primitivas de f .

Propriedade. Seja f uma funo primitivvel num intervalo. Se F uma primitiva de f , entoqualquer primitiva de f da forma F + k, onde k uma constante.

Exemplo 3.3. Seja f(x) = 1. As primitivas de f so da forma F (x) = x+ k.

Propriedade. Sejam f e g funes primitivveis e k uma constante. Ento:

1. P (f + g) = Pf + Pg;

2. P (k f) = k Pf .Exemplo 3.4.

1. P (1 + x) = P1 + Px = x+x2

2.

2. P3x = 3Px = 3 x2

2.

31

Primitivao

3.2 Primitivas imediatas

Primitivas imediatas. Sejam u uma funo e k uma constante. Ento

1. Pk = kx;

2. Pu un = un+1

n+ 1(n 6= 1);

3. Pu eu = eu;

4. Pu ku = ku

ln k;

5. Pu

u= ln |u|;

6. Pu sinu = cos u;7. Pu cos u = sinu;

8. Pu

cos2 u= tanu;

9. Pu

sin2 u= cot u;

10. Pu

1 u2 = arcsinu;

11. Pu1 u2 = arccos u;

12. Pu

1 + u2= arctan u;

13. Pu coshu = sinhu;14. Pu sinhu = coshu;

15. Pu

cosh2 u= tanhu;

16. Pu

sinh2 u= coth u;

17. Pu

1 + u2= arg sinhu;

18. Puu2 1 = arg coshu;

19. Pu

1 u2 = arg tanhu.

Exemplo 3.5.

1. P2 = 2x.

2. Px(x2 1)4 = 12

(x2 1)55

.

3. Px2 ex3 = 13ex

3

.

4. P6x 5x2 = 5x2

ln 5;

5. P2x+ 1

x2 + x+ 1= ln |x2 + x+ 1|.

6. P sin 3x = 13cos 3x.

7. P (2x+1)cos(x2+x1) = sin(x2+x1).

8. Pe2x

cos2 e2x=

1

2tan e2x.

9. P1

1 4x2 = arcsin 2x.

10. P

1

x21 1

x2

= arccos1

x.

11. P

1

x1 + ln2 x

= arctan lnx.

12. Px2 cosh(x3 + 3) = 13sinh(x3 + 3);

13. P1

x sinh lnx = cosh lnx;

14. Pex

cosh2 ex= tanh ex;

15. Pcos x

sinh2 sinx= coth sinx;

16. Px

1 + x4=

1

2arg sinhx2;

17. P

1

x21

x2 1

= arg cosh 1x;

18. P2

1 x2 = 2arg tanhx.

32

Primitivao

3.3 Primitivao por partes

Primitivao por partes. Sejam u e v duas funes diferenciveis. Ento u v primitivvelse e s se u v o for, e

Pu v = u v Pu v.Exemplo 3.6.

1. Vamos calcular uma primitiva de f(x) = x sinx. Fazendo u = sinx e v = x, temos queu = cosx e v = 1 e utilizando a frmula da primitivao por partes, vem que

Px sinx = x cos x P cos x = x cos x+ sinx.

2. Para calcular uma primitiva de f(x) = lnx, faamos u = 1 e v = lnx. Ento u = x e

v =1

x, e logo

P lnx = x lnx Px 1x= x lnx x.

3. Vejamos como calcular uma primitiva de cos2 x. Fazendo u = cos x e v = cos x, vem queu = sinx e v = sinx. Logo

P cos2 x = sinx cosx P sin2 x == sinx cosx+ P (1 cos2 x) == sinx cosx+ x P cos2 x.

Resolvendo em ordem a P cos2 x, obtemos 2P cos2 x = sinx cos x+ x, e portanto

P cos2 x =1

2sinx cos x+

x

2.

33

Primitivao

3.4 Primitivao por substituio

Primitivao por substituio. Sejam f e funes tais que bijectiva, diferencivel ecom derivada no nula. Se f() primitivvel, ento f tambm o , e

Pf(x) = Pf((t)) (t).

Exemplo 3.7.

1. Vamos calcular uma primitiva de1

4x3(

x+ 1)

.

Consideremos a mudana de varivel t = 4x. Ento (t) = t4, (t) = 4t3, e obtemos

P1

4x3(

x+ 1)

= P1

t3(t2 + 1) 4t3 = 4P 1

t2 + 1= 4arctan t = 4arctan 4

x.

2. Uma primitiva dee2x

ex + e2xpode ser obtida utilizando a mudana de varivel t = ex. Ento

(t) = ln t, (t) =1

t, e obtemos

Pe2x

ex + e2x= P

t2

t2 + t 1t= P

1

t+ 1= ln |t+ 1| = ln |ex + 1|.

Substituies comuns.

Quando a funo envolve Fazer

ekx t = ekx

lnk x t = lnk x

raizes kx t = m

x onde m = m.m.c.{k}

a2 x2 x = a sin t ou x = a cos t

x2 + a2 x = a tan t ou x = a sinh t

x2 a2 x = a sec t ou x = a cosh t

tanx, sinx, cos x t = tanx

2

34

Primitivao

3.5 Primitivao de funes racionais

Recordar. Chama-se funo racional a uma funo da forman(x)

d(x)onde n(x) e d(x) so

polinmios.

Propriedade. Seja f(x) =n(x)

d(x)uma funo racional. Se o grau de n(x) maior ou igual do

que o grau de d(x), ento f(x) pode ser escrita na forma

f(x) = q(x) +r(x)

d(x),

com grau de r(x) menor do que grau de d(x).

Primitivao de funes racionais. Sejar(x)

d(x)uma funo racional, com grau de r(x) menor

do que grau de d(x), e sejad(x) = a(x 1) (x n)

a decomposio de d(x) em factores (onde a representa o coeficiente do termo de maior grau e1, . . . , n so as razes, reais ou complexas, de d(x)). Vamos decompor a funo racional numasoma de fraces, de acordo com o tipo das razes de d(x).

1 caso: Se d(x) s tem razes reais simples 1, . . . , n, ento

r(x)

d(x)=

1

a

(A1

x 1 + +An

x n

),

onde A1, . . . , An so constantes;

2 caso: Se d(x) tem uma raz real com multiplicidade k, ento as fraces correspondentes

a na decomposio der(x)

d(x)so

A1x + +

Ak(x )k ,

onde A1, . . . , Ak so constantes;

3 caso: Se d(x) tem as razes complexas a bi com multiplicidade k, ento as fraces corre-

spondentes a estas razes na decomposio der(x)

d(x)so

A1 +B1x

(x a)2 + b2 + +Ak +Bkx

((x a)2 + b2)k ,

onde A1, . . . , Ak, B1, . . . , Bk so constantes.

Em cada um dos casos, as constantes podem ser obtidas utilizando o mtodo dos coeficientesindeterminados.

35

Primitivao

Exemplo 3.8.

1. Vamos calcular P3x+ 6

x(x 1)(x+ 3) .Como x(x 1)(x + 3) s tem razes reais simples, podemos decompor a fraco racionalnuma soma de fraces do seguinte modo:

3x+ 6

x(x 1)(x+ 3) =A1x

+A2

x 1 +A3

x+ 3.

Ento

3x+ 6 = A1(x 1)(x+ 3) +A2x(x+ 3) +A3x(x 1)= A1(x

2 + 2x 3) +A2(x2 + 3x) +A3(x2 x),e obtemos o sistema

0 = A1 +A2 +A33 = 2A1 + 3A2 A36 = 3A1

A1 = 2A2 =

9

4

A3 = 14

Assim,

P3x+ 6

x(x 1)(x+ 3) = P

2

x+

9

4x 1

1

4x+ 3

= 2 ln |x|+ 94ln |x 1| 1

4ln |x+ 3|+ k.

2. Vamos calcular Px2 + 2x+ 3

(x 1)(x+ 1)2 .

Como (x 1)(x + 1)2 tem uma raz real simples e uma raz real de multiplicidade 2,podemos decompor a fraco racional numa soma de fraces do seguinte modo:

x2 + 2x+ 3

(x 1)(x + 1)2 =A1

x 1 +A2

x+ 1+

A3(x+ 1)2

.

Ento

x2 + 2x+ 3 = A1(x+ 1)2 +A2(x 1)(x + 1) +A3(x 1)

= A1(x2 + 2x+ 1) +A2(x

2 1) +A3(x 1),e obtemos o sistema

1 = A1 +A22 = 2A1 +A33 = A1 A2 A3

A1 =3

2

A2 = 12

A3 = 1Assim,

x2 + 2x+ 3

(x 1)(x+ 1)2 = P

3

2x 1

1

2x+ 1

1(x+ 1)2

=3

2ln |x 1| 1

2ln |x+ 1|+ 1

x+ 1+ k.

36

Primitivao

3. Vamos calcular Px4 x3 + 2x2 x+ 2

(x 1)(x2 + 2)2 .

omo (x 1)(x2 +2)2 tem uma raz real simples e duas razes complexas de multiplicidade2, podemos decompor a fraco racional numa soma de fraces do seguinte modo:

x4 x3 + 2x2 x+ 2(x 1)(x2 + 2)2 =

A1x 1 +

A2 +B2x

x2 + 2+

A3 +B3x

(x2 + 2)2.

Ento

x4 x3 + 2x2 x+ 2 == A1(x

2 + 2)2 + (A2 +B2x)(x 1)(x2 + 2) + (A3 +B3x)(x 1)= A1(x

4 + 4x2 + 4) + (A2 +B2x)(x3 x2 + 2x 2) + (A3 +B3x)(x 1),

e obtemos o sistema

1 = A1 +B21 = A2 B22 = 4A1 A2 + 2B2 +B31 = 2A2 2B2 +A3 B32 = 4A1 2A2 A3

A1 =1

3

A2 = 13

B2 =2

3A3 = 0B3 = 1

Assim,

Px4 x3 + 2x2 x+ 2

(x 1)(x2 + 2)2 =

= P

1

3x 1 +

13+

2

3x

x2 + 2 x

(x2 + 2)2

=1

3ln |x 1| 1

3P

1

x2 + 2+

2

3P

x

x2 + 2+

1

2

1

x2 + 2

=1

3ln |x 1| 1

3

1

2

2P

12(

x2

)2+ 1

+1

3ln(x2 + 2) +

1

2

1

x2 + 2

=1

3ln |x 1|

2

6arctan

(x2

)+

1

3ln(x2 + 2) +

1

2

1

x2 + 2+ k

37

Primitivao

38

Captulo 4

Clculo integral em R

4.1 Conceito de integral de Riemann, classes de funes inte-

grveis, propriedades do integral e Teorema da Mdia

Definio 4.1. Seja f(x) uma funo definida em [a, b]. Decomponha-se [a, b] em n subintervalos[xk1, xk], 1 k n, tais que

a = x0 < x1 < x2 < < xn1 < xn = b

en

k=1

[xk1, xk] = [a, b]. Seja P = {x0, x1, x2, . . . , xn1, xn} e, para k = 1, . . . , n, sejam

mk = infx[x

k1,xk]f(x) e Mk = sup

x[xk1,xk]

f(x).

a x1 x2 x3 xn2 xn1 xn a x1 x2 x3 xn2 xn1 xn

Chama-se soma inferior de Darboux da funo f relativamente a P ao nmero

S(f, P ) =

nk=1

mk(xk xk1),

e soma superior de Darboux da funo f relativamente a P ao nmero

S(f, P ) =

nk=1

Mk(xk xk1).

A funo f(x) diz-se integrvel ( Riemann) no intervalo [a, b] se

supP

S(f, P ) = infP

S(f, P ).

Este valor denota-se por

b

a

f(x) dx e chama-se integral da funo f no intervalo [a, b].

39


Observao 4.2. Quando f(x) 0 em [a, b],

b

a

f(x) dx igual ao valor da rea limitada por

f(x), pelas rectas x = a e x = b, e pelo eixo dos xx.

Propriedade. Seja f uma funo.

1. Se f contnua em [a, b] ento integrvel em [a, b];

2. Se f montona em [a, b] ento integrvel em [a, b].

Propriedade. Sejam f(x) e g(x) funes integrveis em [a, b] e k R. Ento:

1.

b

a

f(x) dx =

a

b

f(x) dx;

2.

a

a

f(x) dx = 0;

3.

b

a

kf(x) dx = k

b

a

f(x) dx;

4.

b

a

(f(x) + g(x)) dx =

b

a

f(x) dx+

b

a

g(x) dx;

5.

b

a

f(x) dx =

c

a

f(x) dx+

b

c

f(x) dx;

6. Se f(x) g(x) em [a, b], ento

b

a

f(x) dx

b

a

g(x) dx;

7.

b

a

f(x) dx

b

a

|f(x)|dx.

Teorema 4.3 (Teorema da Mdia). Se f(x) uma funo contnua em [a, b], ento

c [a, b] :

b

a

f(x) dx = (b a)f(c).

40


4.2 Funo integral indefinido, propriedades e Teorema Funda-

mental do Clculo Integral. Regra de Barrow

Definio 4.4. Seja f uma funo integrvel em [a, b]. Para todo o x [a, b], chama-se integralindefinido de f com origem em a funo

F (x) =

x

a

f(t) dt.

Teorema 4.5 (Teorema Fundamental do Clculo Integral). Seja f(x) uma funo integrvelem [a, b]. Ento, para todo o x [a, b], a funo

F (x) =

x

a

f(t) dt

contnua. Mais, se f(x) contnua, ento F (x) diferencivel, e F (x) = f(x).

Exemplo 4.6. Seja F (x) =

x

0et

2

dt. Ento

F (x) =d

dx

x

0et

2

dt = ex2

.

Regra de Leibnitz. Seja f uma funo contnua e u(x) e v(x) funes diferenciveis. Ento

d

dx

v(x)

u(x)f(t) dt = f(v(x))v(x) f(u(x))u(x).

Exemplo 4.7.

1.d

dx

x3

x2

sin t

tdt = 3x2

sinx3

x3 2xsinx

2

x2;

2.d

dx

x2

0arcsin t dt = 2x arcsin x2;

3.d

dx

pi

x2

et1 dt = 2xex21

Regra de Barrow. Seja f(x) uma funo contnua no intervalo [a, b]. Ento

b

a

f(x) dx =[F (x)

]ba= F (b) F (a),

onde F (x) uma primitiva de f(x).

Exemplo 4.8.

10x3 dx =

[x4

4

]10

=1

4 0 = 1

4

41


4.3 Integrao por partes e integrao por substituio

Integrao por partes. Sejam u e v duas funes diferenciveis. Ento u v integrvel em[a, b] se e s se u v o for, e

b

a

u(x) v(x) dx = [u(x) v(x)]ba

b

a

u(x) v(x) dx.

Exemplo 4.9. Vamos calcular

pi2

0cos2 xdx. Fazendo u = cos x e v = cos x, vem que u = sinx

e v = sinx. Logo pi

2

0cos2 xdx =

[sinx cos x

]pi2

0 pi

2

0 sin2 xdx =

= 0 +

pi2

0(1 cos2 x) dx =

=

pi2

01 dx

pi2

0cos2 xdx

=[x]pi

2

0 pi

2

0cos2 xdx

=pi

2 pi

2

0cos2 xdx.

Resolvendo em ordem a

pi2

0cos2 xdx, obtemos 2

pi2

0cos2 xdx =

pi

2, e portanto

pi2

0cos2 xdx =

pi

4.

Integrao por substituio. Sejam f e funes tais que bijectiva, diferencivel e comderivada no nula. Se f() integrvel em [a, b], ento f tambm o , e

b

a

f(x) dx =

1(b)

1(a)f((t)) (t) dt.

Exemplo 4.10. Vamos calcular

10

1

exdx. Consideremos a mudana de varivel t = ex. Ento

(t) = ln t e (t) =1

t. Mais, x = 0 t = e0 = 1 e x = 1 t = e1 = e. Obtemos ento

10

1

exdx =

en=1

1

t 1tdt =

en=1

1

t2dt =

[1t

]en=1

= 1 1e.

42


4.4 Integrais imprprios

Definio 4.11.

1. Seja f uma funo definida e integrvel em qualquer intervalo da forma [a, c]. Chama-se

integral imprprio de 1a espcie a um integral da forma

+a

f(x) dx. Este integral diz-se

convergente se existir e for finito o limite +a

f(x) dx = limc+

c

a

f(x) dx.

2. Seja f uma funo definida e integrvel em qualquer intervalo da forma [c, b]. Chama-se

integral imprprio de 1a espcie a um integral da forma

b

f(x) dx. Este integral diz-se

convergente se existir e for finito o limiteb

f(x) dx = limc

b

c

f(x) dx.

Exemplo 4.12. +1

1

x3dx = lim

c+

c

1

1

x3dx = lim

c+

[ 12x2

]c1

= limc+

( 12c2

+1

2

)=

1

2

Definio 4.13.

1. Seja f uma funo definida e integrvel em qualquer intervalo da forma [a, c], com c < b,tal que lim

xbf(x) =. Chama-se integral imprprio de 2a espcie a um integral da forma

b

a

f(x) dx. Este integral diz-se convergente se existir e for finito o limite

b

a

f(x) dx = limcb

c

a

f(x) dx.

2. Seja f uma funo definida e integrvel em qualquer intervalo da forma [c, b], com a < c,tal que lim

xa+f(x) =. Chama-se integral imprprio de 2a espcie a um integral da forma

b

a

f(x) dx. Este integral diz-se convergente se existir e for finito o limite

b

a

f(x) dx = limca+

b

c

f(x) dx.

Exemplo 4.14. 10

lnxdx = limc0+

1c

lnxdx = limc0+

[x lnx x]1c

= limc0+

(1 c ln c+ c) = 1 limc0+

ln c 11

c

= 1 limc0+

1

c

1c2

= 1

43


4.5 Aplicaes do clculo integral

Clculo de reas de figuras planas.

1. A rea limitada por f(x), pelas rectas x = a e x = b e pelo eixo dos xx dada por:

(a) A =

b

a

f(x) dx, se f(x) 0 em [a, b];

f(x)

a b

A

(b) A =

a

b

f(x) dx, se f(x) 0 em [a, b].

f(x)

a b

A

2. A rea limitada por f(x), por g(x) e pelas rectas x = a e x = b dada por

A =

b

a

(f(x) g(x)) dx.

f(x)

g(x)a b

A

Exemplo 4.15.

1. Vamos calcular a rea limitada por f(x) = x3x, pelas rectas x = 2 e x = 2 e pelo eixodos xx.

44


Como f(x) muda de sinal em x = 1, x = 0 e x = 1, a rea dada por

A = 1

2(x3 x) dx+

01

(x3 x) dx 10(x3 x) dx+

2n=1

(x3 x) dx

= [x4

4 x

2

2

]12

+

[x4

4 x

2

2

]01

[x4

4 x

2

2

]10

+

[x4

4 x

2

2

]2n=1

= 14+

1

2+ 4 2 1

4+

1

2 1

4+

1

2+ 4 2 1

4+

1

2= 5.

2. A rea limitada por y = ex, y = lnx e pelas rectas x = 1 e x = e dada por

A =

en=1

(ex lnx) dx = [ex x lnx+ x]en=1

= ee e + e e + 0 1 = ee e 1.

3. A rea limitada por y = |x| e pela recta y = 2 :

A =

20(y + y) dy =

[y2]20= 4.

45


Clculo de volumes de slidos de revoluo. Um slido de revoluo um slido obtidopela rotao de uma regio plana em torno de um eixo.

1. O volume do slido de revoluo obtido pela rotao da regio

A = {(x, y) R2 : 0 y f(x) a x b}

(a) em torno do eixo dos xx V = pi

b

a

f2(x) dx;

(b) em torno do eixo dos yy V = 2pi

b

a

xf(x) dx.

2. O volume do slido de revoluo obtido pela rotao em torno do eixo dos xx de

A = {(x, y) R2 : 0 f(x) y g(x) a x b}

V = pi

b

a

(g2(x) f2(x)) dx.

Exemplo 4.16.

1. O volume do slido de revoluo obtido pela rotao em torno do eixo dos xx da realimitada por y = 2x x2 e por y = 0

1

1

2

1 21

V = pi

20(2x x2)2 dx = pi

20x4 4x3 + 4x2 dx = pi

[x5

5 x4 + 4x

3

3

]20

=16pi

15.

O volume do slido de revoluo obtido pela rotao em torno do eixo dos yy da mesmarea

V = 2pi

20x(2x x2) dx = 2pi

20(2x2 x3) dx = 2pi

[2x3

3 x

4

4

]20

=8pi

3.

2. O volume do slido de revoluo obtido pela rotao em torno do eixo dos xx da realimitada por 1 y2 = x e por x = 0

1

1

2

11

46


V = pi

10(1 x)2 dx = pi

10

1 xdx = pi[x x

2

2

]10

=pi

2.

O volume do slido de revoluo obtido pela rotao em torno do eixo dos yy da mesmarea

V = pi

11

(1 y2)2 dy = pi 11

(1 2y2 + y4) dy = pi[y 2y

3

3+y5

5

]11

=16pi

15.

3. O volume do slido de revoluo obtido pela rotao em torno do eixo dos xx da realimitada por y = x2 e por y = x+ 2

1

2

3

4

11 212

V = pi

21

((x+ 2)2 x4) dx = pi[(x+ 2)3

3 x

5

5

]21

=72pi

5.

47


48

Captulo 5

Sries numricas

5.1 Revises

Definio 5.1. Chama-se sucesso (em R) a qualquer aplicao x : N R que a cada n Nassocia um elemento x(n) R. Denotamos por xn o elemento x(n) (termo de ordem n).Definio 5.2. A sucesso xn diz-se limitada se o conjunto dos seus termos {xn R : n N} limitado.

Definio 5.3. Seja xn uma sucesso e a R. Diz-se que xn converge (ou tende) para a quando

> 0 p N : n p |xn a| < ,

e escreve-se xn a ou lim xn = a.Teorema 5.4 (Teorema das sucesses enquadradas). Se xn, yn, zn so sucesses tais que

xn zn ynpara n p e limxn = lim yn = a, ento lim zn = a.Propriedade. Toda a sucesso convergente limitada.

Recordar. A sucesso xn diz-se crescente se xn+1 xn, n N, e diz-se decrescente sexn+1 xn, n N.Propriedade. Toda a sucesso montona limitada convergente.

Propriedade. Se xn a e yn b, ento:1. xn + yn a+ b;2. xn yn ab;

3.xnyn

ab, se b 6= 0 e yn 6= 0 n N.

Propriedade. Se xn limitada e yn 0, ento xn yn 0.Definio 5.5. Seja xn uma sucesso. Diz-se que xn tende para + quando

L > 0 p N : n p xn > L,

e escreve-se xn + ou limxn = +. Diz-se que xn quando xn +.

49

Sries numricas

Propriedade. Sejam xn e yn sucesses. Ento:

1. se a > 1, ento an +;

2. se xn 0, ento 1xn

;

3. se xn , ento 1xn

0;

4. se xn yn para n p e xn +, ento yn +;5. se xn e yn limitada, ento xn + yn .

50

Sries numricas

5.2 Srie numrica, sucesso das soma parciais e natureza e soma

de uma srie

Definio 5.6. Seja an uma sucesso. Chama-se srie de termo geral an a uma expresso da

forman=1

an.

Exemplo 5.7.

1.n=1

1 = 1 + 1 + 1 + ;

2.n=0

(1)n = 1 1 + 1 ;

3.n=1

n = 1 + 2 + 3 + ;

4.n=1

1n= 1+ 12 +

13 + (srie harmnica);

5.n=1

1n2

= 1 + 14 +19 + ;

6.n=0

12n = 1 +

12 +

14 + .

Definio 5.8. Seja an uma sucesso. Diz-se que a srien=1

an convergente se existe e finito

o limite limSn, onde Sn = a1 + a2 + + an, para cada n N a sucesso das somas parciaisde an. Neste caso ao limite limSn d-se o nome de soma da srie, e escreve-se

n=1

an = limSn.

Se o limite limSn no existe ou infinito, a srie diz-se divergente.

Exemplo 5.9.

1. Consideremos a srien=1

1. Ento

S1 = 1S2 = 1 + 1 = 2S3 = 1 + 1 + 1 = 3...

Sn = n.

Como limSn = +, a srie divergente.


(1)n. Ento

S0 = 1S1 = 1 1 = 0S2 = 1 1 + 1 = 1...

Sn =

{0 se n par1 se n mpar

.

Como limSn no existe, a srie divergente.

51

Sries numricas


n. Ento

S1 = 1S2 = 1 + 2 = 3S3 = 1 + 2 + 3 = 6...

Sn = 1 + 2 + + n = n(n+ 1)2

.

Como limSn = +, a srie divergente.


12n . Ento

S0 = 1S1 = 1 +

12

...

Sn = 1 +12 +

14 + + 12n =

1 12n+1

1 12.

Como limSn =1

1 12= 2, a srie convergente, e com soma igual a 2.


1n(n+1) . Ento, observando que an =

1n(n+1) =

1n 1

n+1 , temos

queS1 = 1 12S2 =

(1 12

)+(12 13

)= 1 13

S3 = S3 =(1 12

)+(12 13

)+(13 14

)= 1 14

...

Sn =(1 12

)+(12 13

)+ +

(1n 1

n+1

)= 1 1

n+1 .

Como limSn = 1, a srie convergente, e com soma igual a 1.

52

Sries numricas

5.3 Sries geomtricas e sries redutveis

Srie geomtrica. Chama-se srie geomtrica a uma srie da forman=0

rn, com r constante.

Para r 6= 1, Sn = 1 rn+1

1 r , e portanto

limSn =

11r se |r| < 1+ se r > 1no existe se r < 1

.

Para r = 1, pelo Exemplo 5.9.1, limSn = +, e para r = 1, pelo Exemplo 5.9.2, limSnno existe.

Assim, a srie geomtrican=0

rn converge com soma igual a 11r se |r| < 1 e diverge se |r| 1.

Srie redutvel. Chama-se srie redutvel (ou srie de Mengoli) a uma srien=1

an cujo termo

geral pode ser escrito na forma an = zn zn+k. Esta srie convergente se e s se existe e finito lim zn, e

n=1

zn zn+k = z1 + z2 + + zk k lim zn.

53

Sries numricas

5.4 Critrio do integral

Critrio do integral. Seja f uma funo contnua, positiva e decrescente em [1,+[ e sejaan = f(n), n N. Ento a srie

n=1

an convergente se e s se o integral imprprio

+n=1

f(x) dx

convergente.

Exemplo 5.10. Consideremos a srie harmnican=1

1n.

Como a funo f(x) =1

x contnua, positiva e decrescente em [1,+[, pelo critrio do

integral a srie harmnica convergente se e s se o integral

+n=1

1

xdx convergente. Mas +

n=1

1

xdx = +, e portanto a srie harmnica divergente.

54

Sries numricas

5.5 Propriedades gerais das sries e condio necessria de con-

vergncia

Propriedade.

1. A srien=1

an converge se e s se a srien=p

an converge, para algum p N.

2. Se k 6= 0, a srien=1

an converge se e s se a srien=1

kan converge, en=1

kan = kn=1

an.

3. Se as sriesn=1

an en=1

bn so convergentes, ento a srien=1

(an + bn) convergente, e

n=1

(an + bn) =n=1

an +n=1

bn.

Exemplo 5.11.

1. Comon=0

12n convergente, ento

n=0

32n convergente, e

n=0

32n = 3

n=0

12n = 6.

2. Como as sriesn=0

12n e

n=0

13n so convergentes, ento a srie

n=0

( 12n +13n ) convergente,

en=0

( 12n +13n ) =

n=0

12n +

n=0

13n = 2 +

32 =

72 .

Observao 5.12. Note-se que a recproca de 3 no verdadeira: por exemplo, as sriesn=1

1n

en=1

2nso divergentes, e a srie

n=1

(1n+ 2

n

)=

n=1

3n divergente, e as sries

n=1

1nen=1

1n

so

divergentes, mas a srien=1

(1n+ 1

n

)=

n=1

0 convergente.

Condio necessria de convergncia. Se a srien=1

an convergente, ento lim an = 0.

Exemplo 5.13. A srien=1

nn+1 divergente, porque lim

nn+1 = 1 6= 0.

Observao 5.14. O recproco no verdadeiro. Por exemplo, a srie harmnica diverge,apesar de lim 1

n= 0.

55

Sries numricas

5.6 Sries de Dirichlet

Sries de Dirichlet. Chama-se srie de Dirichlet a uma srie da forman=1

1n

, com R.A funo f(x) = 1

x contnua e positiva em [1,+[. Como f (x) =

x+1, f decrescente

para > 0.Consideremos ento > 0. Ento

+n=1

1

xdx =

6=1

[x+1

+ 1]+n=1

= limx

1

1 (x1 1) =

1

1 se > 1+ se < 1

.

Se = 1, f(x) = 1xe

+n=1

1

xdx = +.

Caso 0, lim 1n6= 0.

Assim, a srie de Dirichletn=1

1n

converge para > 1 e diverge para 1.

56

Sries numricas

5.7 Sries de termos no negativos

Critrio da comparao. Sejamn=1

an en=1

bn duas sries de termos no negativos. Se an bnpara n p, ento:

1. sen=1

bn converge, enton=1

an converge;

2. sen=1

an diverge, enton=1

bn diverge.

Exemplo 5.15.


1n2+1 . Como para todo o n N, n2 + 1 n2, ento 1n2+1 1n2 , e

n=1

1n2

converge. Logo, a srie converge.


1

n. Como para todo o n N, n n, ento 1

n 1

n, e

n=1

1n

diverge. Logo, a srie diverge.


1n2n . Para todo o n N, 2n 1, ento n2n n, e 1n2n 1n , e

n=1

1ndiverge. Logo, nada se pode concluir acerca de

n=1

1n2n . Mas, para todo o n N,

n 1, ento n2n 2n, e 1n2n 12n , e

n=1

12n converge. Logo,

n=1

1n2n converge.

2 Critrio da comparao. Sejamn=1

an en=1

bn duas sries de termos no negativos. Se

bn 6= 0 n N e l = lim anbn existe, ento:

1. se l ]0,+[, as sriesn=1

an en=1

bn tm a mesma natureza;

2. se l = 0,

(a) sen=1

bn converge, enton=1

an converge;

(b) sen=1

an diverge, enton=1

bn diverge;

3. se l = +,

(a) sen=1

an converge, enton=1

bn converge;

(b) sen=1

bn diverge, enton=1

an diverge.

Exemplo 5.16.


1(2n+1)2 . Como lim

1

(2n+1)2

1

n2

= 14 en=1

1n2

converge, a srie converge.

57

Sries numricas


1n+

n. Como lim

1

n+

n

1

n

= 1 en=1

1ndiverge, a srie diverge.

Critrio da razo. Sejan=1

an uma srie de termos positivos. Se l = liman+1an

existe, ento:

1. se l < 1, a srien=1

an convergente;

2. se l > 1, a srien=1

an divergente.

Exemplo 5.17. Consideremos a srien=1

1n! . Como lim

1

(n+1)!

1

n!

= lim 1n+1 = 0, a srie converge.

Critrio da raz. Sejan=1

an uma srie de termos no negativos. Se l = lim nan existe, ento:

1. se l < 1, a srien=1

an convergente;

2. se l > 1, a srien=1

an divergente.


1

nn. Como lim n

1

nn= lim 1

n= 0, a srie converge.

58

Sries numricas

5.8 Sries alternadas. Convergncia absoluta e convergncia sim-

ples

Critrio de Leibniz. Sejan=1

an uma srie tal que an = (1)nbn ou an = (1)n+1bn, com

bn > 0 n N. Se a sucesso bn decrescente e lim bn = 0, ento a srien=1

an convergente.


(1)n 1n. Como 1

n decrescente e lim 1

n= 0, a srie

converge.

Definio 5.20. A srien=1

an diz-se absolutamente convergente sen=1

|an| for convergente, e

diz-se simplesmente convergente sen=1

an for convergente, masn=1

|an| divergente.

Exemplo 5.21. A srien=1

(1)n

n2 absolutamente convergente, e a srie

n=1

(1)n

n simplesmente

convergente.

Propriedade. Se a srien=1

an absolutamente convergente, enton=1

an convergente e n=1

an

n=1

|an|.


sinn2n . Como

sinn2n

12n para todo o n N e n=1

12n

convergente, a srien=1

sinn2n absolutamente convergente.

59

Sries numricas

5.9 Valor aproximado da soma de uma srie

Definio 5.23. Dada a srien=1

an, chama-se resto de ordem p srie Rp =

n=p+1an.

Teorema 5.24. Se p N, an > 0 n N e existe kp tal que an+1an kp < 1 para n p + 1,ento Rp ap+11kp .

Teorema 5.25. Se p N, an 0 n N e existe kp tal que nan kp < 1 para n p + 1,ento Rp k

p+1

p

1kp.

Teorema 5.26. Seja bn uma sucesso positiva decrescente com limite zero e seja Rp o resto de

ordem p da srien=0

(1)nbn. Ento |Rp| bp+1.

Exemplo 5.27.

1. Sabendo quen=0

1n! = e, vamos determinar o erro cometido ao aproximar e por 1+1+

12! +

13! +

14! .

Sendo an =1n! , temos que

an+1an

= 1n+1 1p+2 < 1 para n p + 1. Seja ento kp = 1p+2 .

Temos assim que

Rp 1

(p+1)!

1 1p+2

=p+ 2

(p + 1)(p + 1)!.

Para p = 4, temos R4 1100 .

2.n=1

(1)n

n 1 + 12 13 , com erro R3 tal que |R3| 14 .

60

Captulo 6

Sries de potncias

6.1 Sries de funes, domnio de convergncia e funo soma


xn. Para x = 12 a srie convergente, e para x = 2

divergente. Mais, sabemos que esta srie convergente para x ] 1, 1[, e a sua soma 11x .Definio 6.2. Seja fn : D R uma funo, para cada n N. Diz-se que a srie de funesn=1

fn = f1 + f2 +

1. converge num ponto x D se a srie numrican=1

fn(x) = f1(x) + f2(x) + for conver-gente;

2. converge pontualmente em A R se converge em todos os pontos de A. Neste caso, funo f : A R definida por f(x) =

n=1

fn(x) d-se o nome de soma (pontual) da srie

em A.

Exemplo 6.3.

1. A srie de funesn=0

xn converge pontualmente em ] 1, 1[ e tem soma 11x .

2. Consideremos a srie de funesn=1

sin(nx)n2

. Como, para qualquer x R, sin(nx)n2

1n2 en=1

1n2

convergente, a srie de funes converge pontualmente em R.

3. Consideremos a srie de funesn=1

xn. Como, para x R, lim |

x

n|

1

n

= |x|, a srie de funes

diverge para x 6= 0. Para x = 0,n=1

xn= 0, e portanto a srie converge apenas no ponto 0.

61

Sries de potncias

6.2 Sries de potncias, raio e intervalo de convergncia

Definio 6.4. Chama-se srie de potncias (de x) a uma srie de funes da forma

a0 + a1x+ a2x2 + = a0 +

n=1

anxn

(=

n=0

anxn

).

Exemplo 6.5.

1.n=0

xn = 1 + x+ x2 + x3 + (srie geomtrica);

2.n=0

xn

n! = 1 + x+x2

2! +x3

3! + (srie exponencial).

Propriedade. Se R = lim anan+1

existe, ento a srie n=0

anxn absolutamente convergente

para x tais que |x| < R e divergente para |x| > R. A R d-se o nome de raio de convergncia.Observao 6.6.

1. Os casos x = R e x = R tm que ser estudados separadamente.

2. As sriesn=0

anxn e

n=p

anxn tm o mesmo raio de convergncia.

Exemplo 6.7.


xn.

Ento an = 1 e R = lim 11

= 1, e a srie absolutamente convergente para x ] 1, 1[e divergente para x ],1[]1,+[. Para x = 1,

n=0

xn =n=0

1 divergente, e para

x = 1,n=0

xn =n=0

(1)n divergente.


xn

n! .

Ento an =1n! e R = lim

1n!1(n+1)!

= lim(n+1) = +, e a srie absolutamente convergentepara x ],+[.


xn

n.

Ento an =1n

e R = lim

1n1n+1

= lim n+1n = 1, e a srie absolutamente convergentepara x ] 1, 1[ e divergente para x ] ,1[]1,+[. Para x = 1,

n=1

xn

n=

n=1

1n

divergente, e para x = 1,n=1

xn

n=

n=1

(1)n

n simplesmente convergente.


n!xn.

Ento an = n! e R = lim n!(n+1)!

= lim 1n+1 = 0, e a srie divergente para x R\{0}.Para x = 0,

n=0

n!xn =n=0

0 absolutamente convergente.

62

Sries de potncias


(x1)n

n2.

Fazendo y = x 1, vem quen=1

(x1)n

n2=

n=1

yn

n2.

Ento an =1n2

e R = lim

1n21(n+1)2

= lim (n+1)2n2 = 1, e a srie absolutamente convergentepara y ]1, 1[, ou seja, para x ]0, 2[ e divergente para x ], 0[]2,+[. Para x = 0,n=1

(x1)n

n2=

n=1

(1)n

n2 absolutamente convergente, e para x = 2,

n=1

(x1)n

n2=

n=1

1n2

absolutamente convergente.

Observao 6.8. Caso lim anan+1

no exista, R = 1lim n|an|

.


xn

(3+(1)n)2n.

Ento an =1

(3+(1)n)2ne lim

anan+1 no existe. Mas

R =1

lim n|an| =

1

lim n 1(3+(1)n)2n

=1

lim 1(3+(1)n)2

=114

= 4,

e a srie absolutamente convergente para x ] 4, 4[ e divergente para x ],4[]4,+[.

63

Sries de potncias

6.3 Propriedades das sries de potncias: derivao e integrao

termo a termo

Propriedade. Seja f(x) =n=0

anxn uma srie de potncias com raio de convergncia R > 0.

Ento:

1. f(x) diferencivel em ]R,R[ e f (x) =n=1

nanxn1.

2. f(x) primitivvel em ]R,R[ e Pf(x) =n=0

anxn+1

n+1 .

Exemplo 6.10. Consideremos novamente a srie exponencial f(x) =n=0

xn

n! . J vimos que

R = +. A derivada de f

f (x) =n=1

nxn1

n!=

n=1

xn1

(n 1)! =n=0

xn

n!= f (x).

De facto, prova-se quen=0

xn

n! = ex, para x R.

64

Sries de potncias

6.4 Sries de Taylor e de Mac-Laurin. Aplicaes

Definio 6.11. Diz-se que uma funo f(x) definida num intervalo aberto I analtica em

x0 I se existe uma srien=0

an(x x0)n de potncias de x x0 tal que f(x) =n=0

an(x x0)nnuma vizinhana de x0.

Exemplo 6.12.

1. Como ex =n=0

xn

n! , ex analtica em 0.

2. f(x) = 1xno analtica em 0.

3. Como 1x= 11(1x) =

n=0

(1 x)n, 1x analtica em 1.

Propriedade. Toda a funo analtica num ponto indefinidamente diferencivel numa vizin-hana desse ponto (e todas as suas derivadas so analticas).

Teorema 6.13. Seja f analtica em x0. Ento existe uma nica srie de potncias de x x0tal que f(x) =

n=0

an(x x0)n numa vizinhana de x0. Para cada n N, an = f(n)(x0)n! .

Definio 6.14. Seja f(x) uma funo definida num intervalo aberto I e indefinidamente difer-

encivel em x0 I. Chama-se srie de Taylor de f em x0 srien=0

f(n)(x0)n! (x x0)n.

Observao 6.15. Se f analtica, a srie de Taylor representa f . Caso f no seja analtica,a srie pode no convergir, ou convergir mas no representar f .

Definio 6.16. Seja f(x) uma funo definida num intervalo aberto I e indefinidamentediferencivel em x0 I. Chama-se polinmio de Taylor de grau n de f em x0 a pn(x) =f(x0) + f

(x0)(x x0) + + f(n)(x0)n! (x x0)n.

Propriedade. Seja f(x) uma funo definida num intervalo aberto I e indefinidamente difer-encivel em x0 I e pn(x) o polinmio de Taylor de grau n de f em x0. Ento f analtica emx0 se e s se f(x) pn(x)

n0 pontualmente numa vizinhana de x0.

Frmula de Taylor com resto de Lagrange. Sejam n N, f(x) uma funo definida numintervalo aberto I com derivadas contnuas em I at ordem n+1 e x0 I.Ento para qualquerx I existe c estritamente entre x e x0 tal que f(x) = pn(x)+Rn(x), onde pn(x) o polinmiode Taylor de grau n de f em x0 e Rn(x) =

f(n+1)(c)(n+1)! (x x0)n o resto de Lagrange.

Exemplo 6.17. Aplicando a frmula de Taylor de grau 3 funo ex no ponto 0, obtemos queex = 1+x+ x

2

2! +x3

3! +ec

4!x4, para algum c entre 0 e x. Como numa vizinhana de 0, ec 2, vem

que e0.1 1 + 0.1 + 0.122! + 0.13

3! , com erro R3(0.1) inferior a20.14

4! .

Exemplo 6.18.

1. ex =n=0

xn

n! , para x R;

2. 11x =n=0

xn, para x ] 1, 1[;

65

Sries de potncias

3. ln(1 + x) =n=0

(1)n xn+1n+1 , para x ] 1, 1[;

4. sinx =n=0

(1)n x2n+1(2n+1)! , para x R;

5. cos x =n=0

(1)n x2n(2n)! , para x R;

Definio 6.19. Seja g uma funo definida e no nula em ]a , a+ [\{a}, para algum > 0.Diz-se que a funo w(x) um o-pequeno com g(x) quando x a, e escreve-se w = o(g)quando x a, se

1. w est definida numa vizinhana de a;

2. w(a) = 0;

3. limxa

w(x)

g(x)= 0.

Observao 6.20. Note-se que, na frmula de Taylor de grau n de f em x0, Rn(x) = o((xx0)n)quando x x0.

Exemplo 6.21. Temos que ex = 1+x+o(x) quando x 0, e logo limx0

ex 1x

= limx0

1 + x+ o(x) 1x

=

limx0

x+ o(x) 1x

= limx0

1 +o(x)

x= 1 + 0 = 1.

66

1. Complementos de funes reais de varivel real2. Complementos de clculo diferencial em R3. Primitivao4. Clculo integral em R5. Sries numricas6. Sries de Potncias

análise matemática i [isel]

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