exercicios resolvidos de análise matemática i-d [topologia, indução matemática e sucessões]

•'

19 1.4 Exercícios Resolvidos

1.4 Exercícios Resolvidos

1.4.1 Noções Topológicas

1. Considere a expressão deslgnatória definida., no conjunto dos números reais1 por

seja A o seu don1ínio. Considere o seguinte subconjunto ele IR:

B = {x E IR: lx - li< 3}.

(a.) Apresentando todos os cálculos, escreva. A e B como união de intervalos.

,/x2 -4x+3 log(x + 2)

(b) Determine o conjunto dos pontos interiores e o derivado de B e a fronteira de A n B.

2. Considere os conjuntos A e B definidos por

log(x2 ) A= {x E IR: lx

2 _ 4

1 <'.O} e B = {x E IR: lx

2 - li< l}.

(a) Exprima A e B como união de intervalos.

(b) Determine o interior de A U B1

os núnorantcs de A n B e os pontos de acumulação de B.

e

1 3. Considere a expressão designatória definida, no conjunto dos nú1neros reais, por log(x2 _ 9) e seja

A o seu domínio. Considere o seguinte subconjunto de IR:

B = {x E IR: Jx +li< l}.

(a) Apresentai:ido todos os cálculosi escreva A e B como união de intervalos.

(b) Determine a ~ronteira de A U B. Averigúe se A U B é um conjunto aberto. Justifique.

4. Considere os conjuntos A e B definidos por

" A= {x E IR: larctg(x)I <:: 4} e B = {x E IR: (x- l)(x + 3) :=;O}.

(a) Exprima A e B como união de intervalos.

(b) Determine o intcrior1

a fronteira, os majorantcs1 os minorantes e os pontos de acumulação de

AnB.

5. Considere a expressão designatória definida, no corijunt;o dos números reais, por log(~+ 2) 9-x2

e seja A o seu domínio. Considere o seguinte subconjunto de JR.:

B = { x E IR : 0 < lx + l I :=; 4}.

(a) Apresentando todos os cálculos, escreva A n B como união de intervalos.

(b) Determine o conjunto dos pontos interiores e o derivado de B e a fronteira de A n B.

6. Considere a expressão designatória definicla1 no conjunto dos números reais 1 por

seja A o seu domínio. Considere o seguinte subconjunto de JR.:

B = {x E IR: lhxl :=; vG}.

(a) Apresentando todos os cálculosi escreva A n B como união de intervalos.

arcsen(2x - 3) e

log(x2 - 1)

20 1. Noções Topológicas, Indução Matemática e Sucessões

(b) Determine, justificando, o conjunto dos pontos fronteiros de A n B. Averigúe se o conjunto A n B é fechado.

RESOLUÇAO

1. (a) O conjunto A é o conjunto dos valores de x para os quais a expressão faz sentido, isto é)

A= { x E ill: x 2 - 4x + 3 2 0 /\ x + 2 > 0 /\ log(x + 2) # 0}.

Usando a fórmula resolvente para a equação de grau 2 temos

x2 - 4x + 3 2 O<? (x - l)(x - 3) 2 O

Os números 1 e 3 dividem a recta em três intervalos: ] - oo, l[, ]1, 3[ e ]3, +oo[. Em cada um desses intervalos o produto (x - l)(x - 3) toma o sinal que se pode ver na Figura 1.16, portanto>

(x - l)(x - 3) ::>o{'> X:::; 1 V X::> 3.

+ + + + + + + + + 0----------------0 + + + + + + + + +

3

Figura 1.16

Como log(x + 2) #O<? x + 2 # 1, temos (ver Figura 1.17)

A = {xEill:(x:o:;lVx:;>3) f\x>-2 /\ x,i-1}

= (] - oo, l] u [3, +oo[) n] - 2, +oo[ n (] - oo, -1[ u] - 1, +oo[)

] - 2, -1[ U] - 1, 1[ U [3, +co[.

3

-2 -1

Figura 1.17

Sabemos que [x -1[ < 3 <* -3 < x-1 < 3 <? -2 < x < 4, portanto, B =] - 2,4[.

(b) Seja a E B. Seja e= min(a + 2, 4 - a). A vizinhança de a, ]a - e, a+ e[ está contida em B (ver Figura 1.18), portanto, a E int(B). Podemos afirmar que int(B) = B =] -2,4[.

a+2 4-a

-2 ~ 4

Figura 1.18

O derivado de B 1 B', é o conjunto dos pontos de acumulação de B. Neste casoi B' = [-2,4].

•' •'

1.4 Exercícios Resolvidos 21

-2 -1 3

·2 4

Figura 1.19

Determinemos o conjunto A n B (ver Figura 1.19.

A n B = (] - 2, -1[ u] -1, l[ u [3, +oo[) n] - 2,4[=] - 2, -1[ u] - 1, l[ u [3, 4[.

A fronteira é o conjunto fr(A n B) = {-2, -1 1 1, 31 4} porque são estes os únicos pontos tais que todas as vizinha.nças intersectam o conjunto A n B e o seu complementar.

2.- (a) O conjunto A pode escrever-se como

A {x E Ili.: log(:r.2) ::>: O /\ x2 > O /\ lx2

- 41 > O}

= {xElll.:x2 -l::>:O /\xy!oO /\xy!o2 /\xy!o-2}

A expressão x2 - 1 é um caso notável da multiplicação:

x2 - 1 ::>:O<* (x - l)(x + 1) ::>:O

Os números -1 e 1 dividem a recta em três intervalos: ] - oc, -1[,] - 1, 1[ e ]1, +oo[. Em cada um desses intervalos o produto (x - l)(x + 1) toma o sinal que se pode ver na Figura 1.20, portanto,

(x-l)(x+l) ::>: O#x :<:; -lVx::>: 1.

+ + + + + + + + + 0----------- -----0 + + + + + + + + +

-1

Figura 1.20

Finalmente,

A {xElll.:x:<;-lVx;:>:l /\xy!oO Axy!o2 Axy!o-2}

(] - oo,-1] U [1,+oo[) \ {-2,0, 2}

= j-oo,-2[Uj-2,-1] U[l,2[U]2,+oo[

e

B {x E Ili.: -1 < x2 -1<1} = {x E Ili.: x2 >O /\ :r.2 - 2 <O}

{x E Ili.: x #O /\ (x - J2)(x + v'2) < O}

] - J2, J2 [\{O}=] - J2, O [ U] O, J2[

22 1. Noções Topológicas, Indução l\llatemática e Sucessões

+ ++ + + + + + + 0----------------0 + + + + + + + + +

Figura 1.21

(b) Determinemos os conjuntos A n B e A U B (ver Figura 1.22).

AnB

AuB

(]-oo,-2[u]-2,-1] u[l,2[U]2,+oo[) n (]-VZ,ü[U] O,VZ[)

J - vz, -1[ u J1,vz[.

( J - oo, -21 u J - 2, -1] u [1, 2[ u ]2, +oo[) u ( J - vz, o [ u J o, vz[)

] - oc, -2[ U] - 2, O[ U ]O, 2[ U ]2, +oo[.

-2 -1 2

-'12 o .J2

Figura 1.22

O conjunto dos minorantes de A n B é o conjunto ] - oo, -v'2], o interior de A U B é A U B e o derivado de B é [-VZ, VZ].

3. (a) O conjunto A é o conjunto dos valores de x para os quais a expressão faz sentido, isto é,

A expressão x2 - 9 é um caso notável da multiplicação:

x2 - 9 >O# (x + 3)(x- 3) >O.

Os números -3 e 3 clividem a recta em três intervalos: ] - oo, -3[, ] - 3, 3[ e ]3, +oo[. Em cada um desses intervalos o produto (x + 3)(x - 3) toma o sinal que se pode ver na Figura 1.23, portanto,

(x + 3)(x - 3) > o# X < -3 V X> 3.

+ + + + + + + + + 0----------------0 + + + + + + + + +

-3 3

Figura 1.23


Como Iog(x2 - 9) j O<* x 2 - 9 j 1 <* x 2 # 10 <* x # v'ill l\ x j -v'ill, temos

A { x E IR: (x < -3 V x > 3) /\X j y'ill /\ X j -v'ill}

( ] - oc, -3[ U ]3, +oo[ ) \ { -v'ill, v'ill}

] - oo, -v'ill[ U ] - v'ill, -3[ U ]3, v'ill[ U Jv'ill, +oo[.

Sabemos q110 lx +li < 1<*-1<x+1<1 <* -2 < x <O, portanto, B =] - 2, O[.

(b) Determinemos o conjunto A U B:

A U B = (] - oo, -v'ill[ U] - v'ill, -3[ U ]3, VÍÕ[ U Jv'ill, +oo[) U] - 2, O [.

--Jfõ -3 3 -Jfõ

-2 o

Figura 1.24

23

Os pontos fronteiros de A U B formam o conjunto {-v'ill, -3, -2, O, 3, v'ill}. Como nenhum dos pontos fronteiros pertence a A U B podemos concluir que int(A U B) =A U B, ou seja) o conjunto é aberto.

4. (a) O conjunto A pode escrever-se como

A = {x E IR: arctg(x) ~ 'f V arctg(x) .:S -;f}

{xEIR:x~l Vx.:S-1}

= J - oo, -1] U (1, +oo[

-------------- .zr.. --------------·

-4 -2 -li 1 1

2

B: 4

2 4

-B:

____________ :~J_: ___________ _ Figura 1.25 O gráfico da função arctg(x).

Os números -3 e 1 dividem a recLa em três inLervalos: ] - oc, -3[, J - 3, l [ e J 1, +oo[. Em cada um desses intervalos o produto (x - l)(x + 3) toma o sinal que se pode ver na Figura 1.26, portanto1

(x - l)(x + 3) .:S O<* -3 .:S x .:S 1.

24

•'

1. Noções Topológicas, Indução Matemática e Sucessões

+ + + + + + + + +0----------------0 + + + + + + + + +

.3 1

Figura 1.26

Temos B = [-3, l].

(b) O conjunto A n B = [-3, -1] U {1}. O conjunto dos majorantes de A n B é] - oo, -3], o conjunl,o dos minorantes é [l) +00[ 1 a fronl,eira é { -3, -1,_l }1 o interior é ]-31 -1[ e o derivado é [-3, -1].

5. (a) O conjunto A é o conjunto dos valores de x para os quais a. expressão faz sentido, isto é,

A = {o: E lRi.: x2 - 3x + 2 > O /\ 9 - x2 > O}

A expressão 9 - x2 é um caso notável da multiplicação

9 - x 2 > O{} x 2 - 9 < O{} (x + 3)(x - 3) < O.

Os números -3 e 3 dividem a recta em três intervalos: ] - oo, -3[, ] - 3, 3( e ]3, +oo[. Em cada um desses intervalos o produto (x + 3)(x - 3) toma o sinal que se pode ver na Figura 1.27, portanto,

(x + 3)(x - 3) <O{} -3 < x < 3.

+ + + + + + + + + 0----------------0 + + + + + + ++ +

-3 3

Figura 1.27

1\lé1n disso, usando a íórrrtula resolvente, terr1os

x2 - 3x + 2 >O{} (x - l)(x - 2) >O.

Os números 1 e 2 dividem a recta em três intervalos: ] - oo, 1[, ]1, 2[ e ]2, +oo[. Em cada um desses intervalos o produto (x - l)(x - 2) toma o sinal que se pode ver na Figura 1.28, portanto,

(x - l)(x - 2) <o{} X< 1 V X> 2.

Podemos concluir que

A=] - 3, 3[ n (] - oo, 1( u ]2, +oo[) =] - 3, 1[ u ]2, 3(.

+ + + + +++++o - - - - - _. - - - - - - - - - - o+++++++++

2

Figura 1.28

Sabemos que O < lx +li :S 4""' -4 :S x + 1 :S 4 /\ x + 1 i O ""' -5 :S x :S 3 /\ x i -1, portanto, B = [-5, -1[ U] - 1, 3]. Assim,

AnB = ( ]-3,1[ u ]2,3() n ( [-5,-l[U J-1,3]) =]-3,-l[U ]-1,l[U ]2,3[.

•'


(b) O conjunto dos pontos interiores de B é] - 5, -1[ U ]- 1, 3(, o derivado de B é [-5, 3] e a fronteira de A n B é o conjunto {-3 1 -1,1 1 21 3}.

6. (a) O conjunto A é o conjunto dos valores de x para os quais a expressão faz sentido 1 isto é:

A = { x E lRt : -1 <:; 2x - 3 5 1 /\ x2 - 1 > O ·/\ log(x2

- 1) ,<O}

A expressão x 2 - 1 é u1n caso notável da multiplicação:

x2 -1 > Ü#(x+l)(x-1) >O.

Os números -1e1 dividem a recta e1n três intervalos: ] - oo, -1[,] - 1, l[ e Jl, +oo[. Em cada um desses intervalos o produto (x + l)(x - 1) torna o sinal que se pode ver na Figura 1.29 1

portanto, (x + l)(x -1) >o<* X< -1VX>1.

+ + + + ++ ++ +0--------- -------0 + + + + + + + + +

.J

Figura 1.29

A = {:r.E1Rt:l<:;x<:;2 /\ (x>lVx<-1) /\ x2 ,<2}

= {x E lRt: 1 <:;X<:; 2 /\ (x > 1 V X< -1) /\ X# -V'i /\X# V'i}

(]-oo,-l[U]l,+oo[) n [1,2] n (]-oo,-,/2[u]-,/2,,/2[u],/2,+oo[)

]1, ,/2[ u ]../2, 2[.

Como IV'ixl 5 v'6 <* lxl <:; v'3 <* -v'3 <:; x <:; v'3, portanto, B = [-v'3, v'3J. Determinemos A n B.

A n B = ( ]1, V'i[ u ]V'i, 2[) n [-v'3, v'3J = ]1, ../2[ u ]V'i, v'3[.

(b) A fronteira de AnB é o conjunto {1, ../2, v'3}. Como os elementos da fronteira não pertencem a A n B 1 este conjunto não é fechado.

. •'


1.4.2 Indução Matemática

1. Prove, pelo método de indução matemática: que

(a) 2 + 4 + 6 + · · · + 2n = n2 + n, 'ln E N; 1 1 1 1 1

(b) -+-+-+···+-=1-- VnEN· 2 4 8 2n 2n' 1

1 1 1 1 (e)--+--+--+···+~-~

lx2 2x3 3x4 n(n+l) n

--,VnEN. n+l

2. Prove, pelo méLodo de indução matemál;ica: que

n 1 n (a) L4k2-1 =2n+l'VnEN;

k=l

"(k k-l) (b) t; 3

k -3k-l = n3-n, 'ln E 1.\1;

(e) TI (2k -1) = ~2:2i, 'ln E 1.\1. k=l

3. Prove, pelo rnétodo de indução rnatemática1 que

(a) 5 é factor de 24"-2 + 1, 'ln EN;

(b) 42" - 1 é divisível por 5, 'ln EN;

(e) 3" > 2" + lOn, Vn 2 4; n:i

(d) 12 +22 +-··+(n-1)2 < °3' VnEN;

{'--. (n+1)2 (e)L.,k<

2 ,VnEN.

k=l

4. Seja i tal que i 2 = -1. Nlostre1 por indução, que

(1 + ")" (a) 1 _ ~ = eis C

2") , 'ln E 1.\1.

(b) (-sen(a) +i cos(a))" = cis(n(~ +a)), 'ln E 1.\1.

4n l (e) L-:;;- =O, 'ln E 1.\1.

' k=l

RESOLUÇÃO

1. (a) Va1nos rr1ostrar 1 usando o Princípio de Indução Nlaternática, que 2 + 4 + 6 + · · · + 2n = n 2 + n: 'ln EN. Seja p(n) a proposição anterior. Vê-se facilmente que p(l) é verdadeira: 2x1 = 12 + 1. A hipótese de indução 6

2 +4+6 + · · · + 2n = n2 +n

e a tese de indução é

2+4+6+·· · +2n+2(n+ 2) = (n+ 1)2 +n+1.

•'


Então

2 +4+ 6 + · · · + 2n+ 2(n+ 2) = n 2 +n+ 2n+ 2 = n 2 + 2n+ 1+n+1=(n+1)2 +n+1,

portanto 1 a proposição p( n + 1) é válida. Pelo Princípio de inclução podemos concluir que

2 + 4 + 6 + · · · + 2n = n2 + n, \ln E J\!.

(b) " t d P"'"dld-M,. 111 1 11 varnosmosrar,usan oo r1nc1p10 e n uçao atemat1caiquc-+-+-+···+-= --, 248 zn 2n 1 1

Vn EN. Seja p(n) a proposição anterior. Vê-se facilrr1ente que p(l) é verdadeira: '2 = 1 - 2. A hipótese de indução é


Então

1 1 1 1 1 -+-+-+···+-=1--248 2n 2n

1 1 1 1 1 1 -+-+-+···+-+-- =1---. 2 4 8 2n 2n+l 2n+l

portanto 1 a proposição p( n + 1) é válida. Pelo Princípio de indução podemos concluir que

1 1 1 1 1 - + - + - + · · · + - = 1 - - \ln E J\!. 2 4 8 2n 2n'

{e) Vamos mostrar, usando o Princípio de Indução l\!Iatemática, que

1 1 1 1 n --+--+--+···+ =--1 X 2 2 X 3 3 X 4 n(n + 1) n + 1

1 1 Vn EN. Seja p(n) a proposição anterior. Vê-se facilmente que p(l) é verdadeira:

1 X 2 2 A hipótese de indução é

1 1 1 1 n --+--+--+···+ =--1 x 2 2 X 3 3 X 4 n(n + 1) n + 1

e a tese de induçã.o é

1 1 1 1 1 n+l --+--+--+···+ + =--. lx2 2x3 3x4 n(n+l) (n+l)(n+2) n+2

Então 1 1 1 1 1

--+--+--+,.·+ +-----1x2 2x3 3x4 n(n+l) (n+l)(n+2)

n 1 n(n+2)+1 (n+1)2

_n_+_l + (n + l){n + 2) = (n + l){n + 2) = (n + l){n + 2)

n+l =

n+2'

portanto1 a. proposição p( n + 1) é válida. Pelo Princípio de indução podernos concluir que

1 1 1 1 n --+--+--+···+ =--, \JnEN. 1 x 2 2 x 3 3 x 4 n(n + 1) n + 1

"'

28 1. Noções Topológicas, Indução l\llatemática e Sucessões

2. (a) Van1os mostrar, usando o Princípio de Indução Matemática, que

n 1 n L 4k2 - 1 = 2n + l' \ln E !\!. k=l

Seja p(n) a proposiçã.o anterior. Verifiquemos que p(l) é verdadeira:

A hipótese de indução é


Então

n+l l

L4k2-1 = k=l

n 1 n "--L...4k2-l - 2n+l k=l

n 1 1 n 1

L4k2-l + 4(n+l)2-l = 2n+l + (2(n+l)-1)(2(n+l)+l) k=l

n 1 n(2n + 3) + 1 2n2 + 3n + 1 -2n_+_l + (2n + 1)(2n + 3) = (2n + 1)(2n + 3) = -(2-11-. +-1)-(2_n_+-3)

(n + 1)(2n + 1) (2n + 1)(2n + 3)

n+l 2n+3

portanto 1 a proposição p( n + 1) é válida. Pelo Princípio de indução poden1os concluir que

n 1 n L 4k2 - 1 = 2n + 1' \ln E !\!. k=l

(b) Va1nos mostrar, usando o Princípio de Indução Matemática 1 que

n (k k-1) L 3k - 3k-l = n3-n, \ln E!\!. k=l

Seja p(n) a proposição anterior. Verifiquemos que p{l) é verdadeira:



0 (!... - k - l) = (n + 1)3-(n+l). L, 3k 3k-I h:=l

•'


Então

n+l ( k k-1) 2::: 3k - 3k-l k=1

~(k k-1) (n+l n) 6_ 3k - 3k-l + 3n+1 - 3n

3_n (n+ 1 n) n + 3n+1 - 3n

port.anto, a proposição p( n + 1) é válida. Pelo Princípio de indução podemos concluir que

(e) Vamos mostrar, usando o Princípio de Indução 1VIate1nática1 que

n (2n)! II (2k - 1) = -;;-j"• Vn EN.

2 n. k=l

Scjap(n) a proposição anl;erior. Verifiquemos que p(l) é verdadeira:



Então

n+l II(2k-1J k=l

l 2 X 1 II(2k-1) =2X 1-1= 1= - 1--

1•

2 X 1. k=l

=

rrn (2k - 1) = (2n)! 2nnl

k=l .

n+l (2(n+l))! TI (2k - 1) = -zn'-+"'1-(r-,-+'""'1~)!.

(g(2k-1)) (2(n+l)-1) = ~n~i' · (2n+l)

(2n+ 1)! = (2n+2)(2n+ 1)! = ____,(~2n_+'---'2)_! _ znnJ znnJ (2n + 2) zn+1n! (n + 1)

(2(n + 1))! zn+l(n + 1)!

portanto, a proposição p(n + 1) é válida. Pelo Princípio de indução podemos concluir que

rrn (2k -1) = (Zn)! Vn EN. 2nn!'

k=l

29

30 1. Noções Topológicas, Indução lVIatemática e Sucessões

3. (a) A proposição :i5 é factor ele 24n-2 + 11

't:/n E N11: é equivalente a 11 24n-2 + 1 é múltiplo de 5,

VnEN. O número 24n-2 +1 é rnúltiplo de 5 se existir um número inteiro positivo k tal que 24n-2 +1 =

5k.

Substituindo n por 1 na expressão 24n-2 + 1 obtemos 22 + 1 = 5 x 1, portanto a propriedade é válida para n ::'::: 1. A hipótese de indução é

3k E N : 24n-2 + 1 = 5k.

A tese de indução é 3k' EN: 24(n+l)-2 +1 = 5k'.

Temos

24(n+l)-2 + 1

24(24n-2 + 1) - 24 + 1=24 5k - 15 = 5(24 k - 3).

Seja k' = 24 k - 3. Como k' E N podemos dizer que

24(n+l)-2 + 1 = 5k'

Pelo Princípio de indução podemos concluir que 24n+2 + 1 é múltiplo de 5, 'Vn E N.

(b) Provemos por indução que 4 2n - 1 é múltiplo de 5, Vn E N. O número 42n -1 é múltiplo de 5 se existir um número inteiro positivo k tal que 42n -1 = 5k.

Substituindo n por 1 na expressão 42n - 1 obtemos 42 + 1 = 5 x 31 portanto a propriedade é válida para n = 1. A hipótese de indução é

3k E N: 42n - 1 = 5k.

A tese de indução é 3k' EN: 42n+2 - 1 = 5k'.

Temos

42n+2 - 1 = 42n42 -1 = 42n42 - 42 + 42 - 1 = 42(42n - 1) + 24 - 1

= 42 5k + 24 - 1=5(42 k+3).

Seja k' = 42 k + 3. Como k' E N podemos dizer que

24(n+l)-2- + 1 = 5k'

Pelo Princípio de indução podemos concluir que 42n - 1 é múltiplo de 51 'efn E N.

(e) Vamos rnostrar, usando o Princípio de Indução Matemática, que

Seja p( 11,) a proposição anterior. Comece1nos por verificar que p( 4) é verdadeira. Substituindo n por 4 obtemos 34 = 81 2: 56 = 24 + 40 que é uma proposição verdadeira. A hipótese de inclução é

•'


e a tese de indução é 3n+l 2 2n+l + lO(n+ 1).

Então

3n+l 3 X 3n 2 3 (2n + lOn) = 3 X 2n + 3 X lOn

2 2n+l + lOn + 20n 2 2n+l + lOn + 10 = 2n+l + lO(n + 1)

Pelo Princípio de indução podemos concluir que

3n 2 2n + lOn, Vn 2 4.

(d) Vamos mostrar, usando o Princípio de Induçã.o Nfatemática) que

3 2 2 2 n 1 + 2 + · · · + (n - 1) < -, Vn EN.

3

31

Seja p(n) a proposição anterior. Comecemos por verificar que p(l) é verdadeira. Substituindo 1

n por 1 obtemos 02 = O ~ '3 que é uma proposição verdadeira. A hipótese de indução é


Então

., 2 2 2 n·

1 +2 +···+(n-1) <-3

n 3 n3 + 3n2 n" + 3n2 +3n+1 12 +22 +···+(n-1)2 +n2 <-+n2 = < =

3 3 3

Pelo Principio de induçã.o podemos concluir que

2 2 2 n 3

1 + 2 + · · · + (n -1) < 3 , Vn EN.

(e) Vamos mostrar, usando o Princípio de Indução Nlatemática1 que

~k (n+l)2 w ~' ~ <

2 , vnE 1"1.

k=l

(n + l)" 3

Seja p(n) a proposição anterior. Comecemos por verificar que p(l) é verdadeira. Substituindo

~ (1+1) 2

n por 1 obtemos 6 k = 1 < 2 = ~-2~- que é uma proposição verdadeira. A hipótese de k=l

indução é


~k (n+2)2 ~ < 2 k=l

32

•' •'

1. Noções Topológicas, Indução l\IIatemática e Sucessões

Então

n+I n ( )2 2 2 4 4 ( 2)2 "°'k="°'k+(n+l)< n+l +(n+l)=n +4n+3<n + n+ = n+ L.,L., 2 2 2 2 k=l k=l

Pelo Princípio de indução podemos concluir que

n ( + l)2 "°'k< n \fnEN L.t 2 , . k=l

4. (a) Vamos mostrar, usando o Princípio de Indução i\!Iate1nática, que

(l+i)n (n1f) 1

_ i = eis 2 , \fn E N.

Seja p(n) a proposição anterior. Verifiquemos que p(l) é verdadeira:

l+i _ V2cis(;f) _ . (7f ( 7f))- . (7f) -- - - ClS - - -- - CIS - . 1-i V2cis(-;f) 4 4 2


(l+i)n . (n7') -- =CIS -1-i 2


Então

(1 +i)n (1 +i)- , (n7f) , (7f) -- -- -ClS - ·CIS -1-i 1-i 2 2

= eis-+- =eis . (n7f 7f) . ((n+l)7r) 2 2 2

portanto, a proposição p(n + 1) é válida. Pelo Princípio de indução podemos concluir que

(l+i)n+l = . ((n+l)") \f "" l _ i CIS 2 1 n E J.'l.

(b) Vamos mostrar, usando o Princípio de Indução Ma1;emática, que

1l' (-sen(<>) + i cos(<>))" = cis(n( 2 + <>)), \fn EN.

Seja p(n) a proposição anterior. Verifiquemos que p(l) é verdadeira:

1l' 1l' -sen(<>) + i cos(a) = i (eos(e>) + isen(<>)) = i eis( a)= eis( 2) ·eis( a)= eis( 2 + <>).

A hipótese de induçã.o é

7f (-scn(n) +i cos(o:))" = cis(n(2 +a))

•'



(-sen(a) + i cos(aJr+1 = cis((n + 1)(% +a)).

Então

(-sen(a) + i eos(aJr+• (-sen(a) +i eos(a)r(-sen(a) +·i cos(a))

cis(n(% +<>))(eis(% +a))

portanto, a proposição p( n + 1) é válida. Pelo Princípio de indução podemos concluir que

(-scn(a) +i cos(aJr = eis(n(% +a)), 'ifn EN.

(e) Vamos 1nostrar, usando o Princípio de Indução Iviatentática, que

4n l L ·k = O, 'ifn EN. k=l i

Seja p(n) a proposição anLerior. Verifiquemos que p(l) é verdadeira:

4 111111 1 "' - = - + - + - + - = - - 1 - - + 1 = o. ~ ik i i 2 i 3 i 4 i i k=l

A hipótese de indução é 4n l "'--o Liik-k=l


Então

4n+4 l

L:;;-=º· ' k=l

4n+4 1 4

n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 L ik = L ik + i4n+l + i4n+2 + i4n+3 + i4n+4 = i + i2 + f~ + i4 = Q k=I k=l

portanto 1 a proposição p( n + 1) é válida. Pelo I'rincípio de indução podemos concluir que

4n l L-:;; =O, 'ifn E N.

' k=l

33

34 1. Noções Topológicas, Indução Niatemática e Sucessões

1.4.3 Sucessões

l. Calcule, justificando, os limites das seguintes sucessões

\Yn2 + n + n ,.r::: (a) + yn· ;}12n•+1+fo ' v'n" + 2n4 +1- n (b) ..:.__:.__ _ _.:__:.~

-2n2 + \Yn2 + 3 '

(c) Vn+l(l+2fo). n+{Yn i

\Yl - 27n3 (d)

1+4n '

2. Calcule os limites das seguintes sucessões

(a) (n2 -1) n. n2 '

(b) (4n-sr" 4n -1-3 ;

(c) ("+ 2) n+l. n+4 1

(d) ( 2+n )n 5+5n ;

(e) n((-1r + fo). 2+v'n"+1 '

2n el/n

(g) (-l)n+v'n2 +5·

(c) (3n+l)n 3n+2 ;

(f) ( 2n+i)'n-2. 3--- ' n

(g) cn+ 5) nH. 2n+ 1 '

(h) ( '+3)n 2:2 +1

ear-ctg(n).

3. Calcule, justificando, os limites das seguintes sucessões:

3n sen(23n + 1) (a)

2"n+ 1 ' (e)

(b) 1 - cos(n + 1) log(n);

(f) n n2 +3

cos( Vn" + 2); (c) nv'n3 + 2 (g)

(d) .!:. Y'ni· (h) n., n

4. Calcule, justificando, os limites das seguintes sucessões:

~ sen2 (n) . (a) ~n2+3k2'

k=l

n 5n (b l 2: v'Ti4+k;

k=l

n {Y2n ( c) "°"' --'-~~ + k ·

k=l

ffn2e-n-(~)n n4 +1

nsen(n) 2n-J5n3+1'

Vn2 +2n-n; 3n ~ 5 5n+3·

'

5. (a) Calcule, justificando, o limite da sucessão an = (v'2n+ 1- v'2,i).cos2(n).

(b) Determinei justificando1 o conjunto dos sublimites da sucessão bn = sen (n27r) · arctg(n)

1.4 Exercícios R.esolvidos

6. Considere a sucessão Un = \/1+2(-l)"n

(a) Escreva a subsucessão dos termos de índice par e calcule o seu limite.

(b) Escreva a subsucessão dos termos de índice Ílnpar e calcule o seu limite.

{c) Calcule limun e limun.

35

(d) Tendo em conta as alíneas anteriores, que pode concluir quanto à convergência da sucessão?

7. Considere a sucessão, definida por recorrência

{ U1 =V2 Un+l = ..,/2ii;.1 Vn E N.

(a) Prove, por indução) que O < Un < 21 Vn E N.

(b) Prove que a sucessão é crescente.

{c) Prove que a sucessão é convergente.

( d) Calcule o limite da sucessão.

8. Considere a sucessão

{ ª' = V2 an+l = { v'2)ª", \ln EN.

(a) Mostre, por indução, que v'2 :<; an < 2, \ln EN.

(b) Mostre 1 por indução, que a sucessão é crescente.

(c) Mostre que existe a :S. 2 tal que an --i- a.

9. Seja a E 1R um número positivo. Considere a sucessão de números reais definida, por recorrência1

{

Xl =a Xn

Xn+l = 2+xn'

(a) Mostre1 por indução, que Xn > O, Vn E N.

{b) Mostre que a sucessão é decrescente.

\ln EN.

(e) Mostre que a sucessão é convergente e calcule o seu li1nite.

10. Seja a E 1R um número positivo. Considere a sucessão de números reais, definida por recorrência,

{

xo =O, x1 =a

Xn+l = Xn + x;_l, Vn E N.

(a) Mostre que a sucessão é crescente.

(b) Mostre que Xn > O, \ln E N.

(c) Mostre que se existe b E IR tal que limxn = b, então b =O.

(d) Tendo em conta as alíneas anteriores, calcule, se existir1 limxn.

11. Considere a sucessão de números reais definida, por recorrência1

{

X1=2 Xn 1

Xn+l = -2

+-, Xn

\ln EN.

A sucessão verifica a relação Xn > ./21 Vn EN (admita este facto sem o mostrar).

•'

36 1. Noções Topológicas, Indução l\IIatemática e Sucessões

(a) 1'Iostre que a sucessão é monótona.

(b) iVIostre que a sucessão é convergente.

(e) Calcule o limite da sucessão.

12. Considere a sucessão de números reais definida, por recorrência,

1.

{

X1 = 3 x2 +3

Xn+l = ;Xn ,

(a) Mostre, por indução, que Xn - J3 2 O, Vn E N.

(b) Niostre que a sucessão é decrescente.

(e) l\!Iostre que a sucessão é convergente.

(d) Calcule o limite da sucessão.

VnEN.

RESOLUÇAO

ffn'+n+n (a) Seja º·n = Vamos dividir o nurncrador e o denorninador da fracção que define

ij2n4 + 1 + .,;n· a sucessão pela maior potência de n:

{Yn2 +n+n {Yn2 +n+n

' +1 \jn2n~n + 1 R n an =

ijzn4 + 1 + .,foi =

ij2n4 + 1 + .,foi fi!Jl+~ R Jr; . + -n n' n

Logo: . 1

liman = {12"

Como lim \/Ti, = 1 podemos concluir que

( f/n2 +n+n ) 1

lim ij 4 .,foi + efii, = '"' + 1. 2n+l+n v2

(b) S .,jn3 + 2n4 + 1 - n " d. .d. d d . d d f -cja an = 3~ . vamos iv1 ir o numera ar e o enom1na or a racçao que -2n2 +vn--ro

define a sucessão pela maior potência de n:

Logo:

v'n" + 2n4 + 1 - n -2n2 + ~n2 +3

.,/n3 + 2n4 + 1- n n'

-2n2 + {Yn2+3 n'

Jn3 + 2n• + 1 __ 1 V 1 1 1 -+2+-'--n4 n n n 4 n

-'--~--'"'-~~=-'~=

-2+~n'n:3 -2+~

. v'2 liman = -2·


( ) S VnTI (l + 2fol v· 1· ·ct· ac1 d · 1 d · t e cja an = 3

r;;: • amos e iv1 ir o numer ar e o enom1nac or o quoc1en e que n+ {}n

(d)

define a sucessão an por n elevado à maior potência:

VnTI (1 + 2fo) v'n + 1 (1 + 2fo) n

an= = n+{Yi'i n+i}'Ti,

n

Logo:

VnTI (1 + 2fo)

fofo ----'-----'-=~- =

1 + {!!;

liman = 2.

. {Yl - 27n" . . . . . Se1a an = . Vamos chv1d1r o numerador e o denominador do quociente que define

' 1 +4n a sucessão an por n elevado à maior potência:

{Y1 - 27n" 11- 27n3

~ {Yl - 27nª n 3 7

n 3 an = = 1+4n 1 = 1 1+4n -+4 -+4

n n n

Logo: r 3 ima'n=-4

(e) Seja an = n((-~). Vamos dividir o numerador e o denominador da fracção que define 2+ n3 +1

a sucessão pela maior potência de n:

2 R -+ 1+-H n3

Logo: liman=l.

{Yn2+2 (f) Seja G.n = n Vamos dividir o numerador e o denominador da fracção que define a

nZ + (-l)nn sucessão pela maior potência de n:

n;.Yn2+2 {Yn2+2 vn2+2 (01· 1 2 'r<>en -- - + -nvn2 +2 n2 n n3 n n3

an=nZ+(-l)nn =-n-z-+~(-~1-)-nn-= 1+-(-_l)_n = 1+-(-_l)_n = 1+-(-_l)_n· n2 n n n

Logo: liman =O.

211 e1fn 2n (g) Seja an = ' Rf:5 Rf:5 · e1/n = bn · el/n. Vamos dividir o numerador

(-l)n+ n2+5 (-lJn+ n2 +5 e o denominador da fracção que define a sucessão bn pela maior potência de n:

b _ 2n = ____ 2~== n- (-l)n+,/n2 +5 {-l)n+Rf:5

n


Logo:

limbn = 2.

Como lim e1/n = 1 podemos concluir que

2n e1fn lim = 2.

(-l)n+v'n2 +5

2. Nota: O objectivo no cálculo destes limites é fazer aparecer um limite da forma:

(a) Temos

logo é evidente que:

(b) Temos

portanto1

(e) Temos

portanto1

( X)" lim 1+;: =ex.

lirnan = (C1)º = 1.

( -5)º lim an = ee:l = 1.

(

2 )n+I 1 +-- n --4

1 +n

. e2 -2 lirnan=4=e .

e

(d) Vamos pôr nem evidência na expressão que define a sucessão:

Portanto)

Iiman = lim - :..._=O.e= O. (l)n 2

5 e

VnEN,

'VnE N1

VnEN,

• "'


(e) Temos

-(3n+l)n a..- ---3n+2 (

3n(l + f,;)) n

3n(l + 3~) VnEN,

portanto,

( e ) 1/:l ,

lima.,i = e2

= e~i/.l.

(f) Temos

( 2n+l)4n-2 a,,= 3---

n VnEN,

logo é evidente que:

(g) Temos

an = (~:: ~) n+4 = (2n( 1 + *)) n+4 1 ( l + 2~) 2nl 1/2. (1 + 2~) 4'

2n(1+-) 1+- l+-2n 2n 2n

VnEN,

portanto)

. ' (e5)1/2 hman = -; = e2

.

(h) Vamos pôr n 2 em evidência na expressão que define a sucessão:

(

3 )" 3 n an = ( n2 + 3 )n eacctg(n) = n2(t + :;:;?) eª"tg(n) = (~)n ( 1 + :;:;?)

2n2+1 2n2(1 + _1_) 2 (1 + _l_)n 2n2 2n2

earctg(n)

logo:

(l)n (e3)0

Iiman = lim 2 ~ e'ir/2 = 0.e'il"f2 =O.

3. (a) 3n sen(23n + 1) 3n

Seja Un = 3 = 3 · sen(2"n + 1). Sabemos que: 2n+l 2n+l

OS lsen(n)I S 1, 'ifn EN,

, 3n portanto) a sucessão sen(2·~n + J) é uma sucessão limitada. Provemos que a sucessão

2an +

1 é u1n infinitésimo.

(3)"' 3n 3n -Jim -.-- = lim --- = lim 8 = O.

23n + 1 ' sn + 1 (l)n 1+ -8

40

•'

l. Noções Topológicas, Indução l\IIatemática e Sucessões

Poden1os concluir que a sucessão dada é um infinitésimo por ser o produto de um infinitésimo por uma sucessão limitada.

(b) Vamos utilizar o facto de a função coscno ser limitada. Temos:

lcos(n + 1)1 '.". 1, 'ln E l\l

logo:

1

1 1 log(n) O'.". l<>nl = ;;: cos (n + 1) log (n) '.". -n- = log( {:>'71),

Como sabemos que: lim log( {:>'71) = O, n~=

podemos concluir pelo Teorema das Sucessões Enquadradas que:

. n2 +3 (e) Seja an = v'TiJf+2 cos( Jn=< + 2). Para todo n, temos:

n n:i + 2

logo, para todo o n: n 2 +3

O'.". lanl '.". v'TiJ'+2" n n 3 +2

'ln E l\l.

Dividindo o nurncrador e o denominador da fracção que define a sucessão majorante pela maior potência de n temos:

n 2 +3 --.-lirn n 2

nv'TiJ'+2 n~

O Teorema das Sucessões Enquadradas permite-nos concluir que:

liman =O .

(d) S . 1 ,.,.,, • /n!.

V;;; n! ,

Seja bn = -. E evidente que bn > O, \ln E N. nn CJa Un = - VW= n

(n + 1)!

lim bn+l = lim (n + ~Jn+l bn n.

nn

Podemos concluir que lim O.n = ~e

r (n+l)!nn r ( n )n =

1m(n+1Jn+1 n! = im n+l

=o.

1 e

(e) Seja an = !!/ n2 e-n - ( n4n:

1) n' Seja bn = n 2 e-n. É evidente que bn > O, 'ln E l\l.

(n + 1)2

lim b~:1 = lim = lim (n+ 1)2 en = _lc lim (n+ 1)2

en+l n2 e ri

1 e


1 Podemos concluir que lim V' n2 e-n = - .

e

~ ]' 1 1 J..Cmos que 1man = - - - =O. e e

1

e

nscn(n) (l)" n (f) Sejaª" = = - · · scn(n). . . 2"v5n3 + 1 2 v5n" + 1

Sabemos que

(g)

4. (a)

OS lscn(n)I S l, 'ln E 1\1,

n portanto, a sucessão sen(n) é u1na. sucessão lirr1ita.da. Proventos que a sucessão é

v5n3 + 1 um infinitési1no.

n 1 1

lim n = lim ;;,I v5n3 + 1 v5n3 + 1

= lim 7n = lim ..fii = O.

·Rl " n' tJ + ·~ n·

Como lim G) n =o, temos

(1)" n lim - · =O. 2 v5n3 +1

Podc1nos concluir que a sucessão dada é um infinitésimo por ser o produto de um infinitésimo por uma sucessão limitada.

Iim(\/n2 + 2n-n) =lim (vn2 +2n-n)(vn2 +2n+n) =lim n2+2n-n

2

vn2 +2n+n vn2 +2n+n 2n

2n = lim =lim n

vn2 +2n+n vn2 +2n+n

. 2 2 = lim ~===~- = lim = 1

~+1 J1+~+1 n

3" - 5 (3)" (l)n-1 lim 3n - 5 = lim 5n = lim 5 - 5 = O.

5"+3 5"+3 (3)" 1+ -5n 5

. ~~ O termo geral an da sucessão esta definido como a soma de k = 1 a k = n - 1 de n 2 +

3k 2 .

Vamos calcular um enquadramento deste termo de forma a fazer desaparecer a variável k. De maneira evidente temos para todos n e k cm N: n 2 + 3k2 > n 2

. Para todo n e k tal que k S n - 1, temos da mesma forma: n 2 + 3k2 ::; n2 + 3(n - 1)2 •

42

(b)

1. Noções Topológicas, Indução Matemática e Sucessões

Logo para todo n e 1 _:::; k :S n - 1, temos:

22 22 21 1 1 n < n + 3k S n + 3(n - 1) * 2 > 2 3k2 2 2 3( l)2 n n + n + n-scn2(n) sen2(n) sen2(n)

n 2 > n 2 + 3k2 2 n2 + 3(n - 1)2

Como a expressão de an está definida como uma soma de n - 1 termos obtemos

( ) sen2 (n) nL-l sen2 (n) ( l) sen2 (n)

n-1 · < < n- ·--ce-~ n 2 + 3(n - 1)2 - n2 + 3k2 n2 '

l;/n E J\! k=l

n-1 2( ) n-l 2 '""'scn n n-1 2 <? n2 + 3(n- l)2 · sen (n) S L., n 2 + 3k2 < ~ · sen (n), l;/n E J\!

k=l

n-1 2( ) ( ) n-1 2 scnn. 1 1 2 <? 2 3

( )2 • sen (n) S L 2 3k2 < - - 2 · sen (n), l;/n E J\!.

n+ n-1 n+ n 11, k=l

S . b n - 1 n - 1 n· "d" d 2 d d . d CJa n = 2 3( )2 4 2 6 3

. lVl in o por n o numera or e o enormna or n+n-1 n-n+

da fracção que define a sucessão temos:

1 1 lim n-l =lim ;--;;?

4n2 -6n+3 4n2 -6n+3 n2

1 1 , Seja Cn = - - 2. E evidente que lim Cn = O.

n n

1 1

= lim ;;: ~ ;;?" 3

= O. 4--+-

n n 2

Como a sucessão sen2 (n) é uma sucessão limitada1 OS ]scn2 (n)I :S 11 Vn E N1 e o produto de um infinitésin10 por uma sucessão lin1itada é um infinitésin101 podemos afirmar que as sucessões

·n-1 2 n2 + 3(n- 1)2 . scn (n)

e

(~ - ~) · sen2(n) n n 2

são infinitésimos. Finalrnente, corno os dois lin1ites são iguais1 o Teorema das Sucessões Enquadradas permite-nos concluir que:

Iiman =O.

" o termo geral ªn ela sucessão está definido COIIlO a soma de k = 1 a k = n de vn· Vamos n 4 +k

calcular um enquadramento deste termo de forma a fazer desaparecer a variável k. De maneira

evidente temos para todos n e k em N: Jn4 + k > n2 . Para todo n e k tal que k,:::; n 1 temos da mesma forma: v'n4 + k s v'n4 + n. Logo para todo n e 1 ::::;. k :::; n 1 temos:

n2<#+k<Jn•+n=;.~> 1 > 1 - . . n 2 v'n• + k - v'n4 + n

5n 5n 5n -> >~== n2 v'n4 + k - v'n4 + n

1.4 Exercícios R.esolvidos

Como a expressão de an é uma soina de n termos obtemos

5n n5n 5n n · < '\"' < n · - Vn E N, v'n4 + n - L.., v'n4 + k n2 '

k=l

5n2 n 5n 5n2

# fn4+n :<:; '\"' ,;;;;r+k < - 2 = 5, Vn EN. n 4 + n L.J n 4 + k n

k=l

43

5-n,2 lk Seja bn = = 5 · . v'n4 +n

Dividindo o numerador e o denominador do radicando

desta sucessão por n 4 temos:

limbn = lim5 · ~ l 1 = 5. 1 + -,-,

n·

Finalmente, como os dois limites são iguais1 o Teorema das Sucessões Enquadradas permite-nos concluir que:

liman=5.

ffn (e) O termo geral da sucessão está definido co1no a so1na de k = 1 a k = n de Vamos N+k·

calcular um enquadramento deste termo de forma a fazer desaparecer a variável k. De maneira evidente temos para todos n e k cm N: ~ + k > ~- Para todo n, e k tal que k ::::; n, temos da mesma forma: N + k :S N + n. . Logo para todo n e 1 ::::; k ::::; n 1 temos:

N < N + k < N + n =? -1- > - {Y;0

1 > ~=1 __

N+k - N+n ffn ffn ffn ,r;c > ,r;c 2: vn4 vn4 +k N+n

Como lln está definido como uma soma de n termos obtemos

ffn n ffn ffn n· <'\"' <n·-- VnEN

N+n-L..,N+k if,0' k=l

?'20 n {Y2n ?'20 ' # {Y;0 :<:; L N < ,r;c = -Ç/2, \ln E N.

n 4 + n k=l n 4 + k v n 4

Dividindo por n~ o numerador e o deno1ninador da fracção que define a sucessão do lado esquerdo da desigualdade temos:

,r.c-;;

lim ;;w =lim 3 n4 + -n,

-Çl2 = lim n

1 + 'r;c vn4

'12 = lim _v~ ~- = -Ç/2. 1

1 + -ffeí,-n

Finalmente como os dois limites são iguais1 o Teorema das Sucessões Enquadradas permite-nos concluir que:

lim Un = .ij2_


5. (a) Vainos utilizar o facto de a função coseno ser limitada. Temos

{b)

Jcos(n)J :O: 1, \ln EN,

o que implica que icos2 (n)I :O: 1, Vn EN.

Além disso,

lim( v'2n + 1 - ffn) = lim ( v'27'+1- ffn) ( v'2r'+1 + ffn) v'2n + 1 + ffn

. 1 hm =Ü

J2n+ 1 + ffn

l. 2n+ l-2n

= im-==~-~= ../2n+ 1 + ffn

Podemos concluir que a sucessão an é um infinitésimo por ser o produto de uma sucessão limitada por um infinitésimo.

1-1,

an = sen (n;) = O,

1,

n=4k- l,k EN

n= 2k,k EN

n=4k-3,k EN

A sucessão G.rt tem os sublimites -1 1 01 1: visto que tem subsucessõcs convergentes para esses

números reais. ;\.sucessão Cn = arctg(n) tem limite i· A sucessão bn = sen (n;) · arctg(n)

tem os sublimites -~ O ~-21 1 2

6. (a) Seja Un = \/'l + 2(-l)"n.

A subsucessão dos terrnos de índice par de Un é a sucessão

U2k = 2\/1+2(-l) 2k '2k = 2\/1+221cl k EN.

Consideremos a sucessão an = V'l + 2n. Como 1+2n >O, \ln EN, podemos calcular o limite de an recorrendo ao cálculo de

l+-1-1 + zn+l 2 +1 2 +1 lim = lim ~-",-n~~ = lim

1 nl

l+zn l+zn 2n+l 2 + zn+l

=2.

A sucessão a,n tem limite 21 portanto, todas as suas subsuccssões têm esse limite. Em particular, a subsucessão dos termos de índice par tem limite 2. Mas essa subsucessão é igual à sucessão u2k· Podernos afirmar que u2k tem limite 2.

(b) A subsucessão dos termos de índice ímpar de Un é a sucessão

U2k+l = 2k+{/1+2(-1)21.:+1 (2k+l) = 2k+{/1+2-(2k+l) = 2k+1 1 1 + z2k+1, k E N,

e lim ~L2k+1 = 1.

(c) Pelos resultados obtidos nas alíneas anteriores1

limun = 1 e limUn = 2.


(d) Dado que lim Un = 1 f. lim Un = 2 a sucessão Un não é convergente.

7. (a) Varr1Ós rnostrar, usando o Princípio de Indução IVIate1nática1 que

O < Un < 2, 'ln E N.

Para n = 1, a tür1nula é trivial:

Ü = v'o < V2 = U1 < J4 = 2.

Se adn1itirrnos (hipótese de indução) que a propriedade é válida para. n EN, então:

[O< Un < 2] =?[o= v'2.õ < vl2U;;: = un+l < v'2.2 = 2],

45

utilizando o facto da função f(x) = ../2X ser crescente. Logo a propriedade é válida para n+ 1. O Princípio de Indução Niate1nática permite-nos concluir que ela é válida para todo o n EN.

(b) Vamos mostrar que Un+l - Un > ol Vn E N.

De facto, para qualquer número natural n,

~ vl2U;;: - Un ~ 2un - u~ u,,.(2 - Un) Un+i-Un=v~·un-Un= ~ .(y2un+un)= ~ = ~ >0

y 2Un + Un y2Un + Un y4Un + Un

porque na alínea (a) vimos que Un >O e 2 - un >O. Logo a sucessão é crescente.

(c) Na alínea (a) vilnos que a sucessão é limitada e na alínea (b) demonstramos que ela é crescente, como toda sucessão monótona limitada é convergente podemos concluir que a sucessão de termo geral ·un é convergente.

(d) Seja l E IR, o limite da sucessão. Como toda subsucessão de uma sucessão convergenl;e é convergente para o mesmo li1nite1 é fácil ver que:

lim Un+l = l. n-=

Como a função f é contínua temos:

lirn Un+i = lim J(un) = J(l) = J2z. n->oo n->oo

Logo l satisfaz a equação l = v"il, da qual podemos deduzir que !2 - 2l = l.(l - 2) = O, ou soja, l E {O, 2}. Podemos excluir a solução l =O porque pela alínea (b) temos:

'ln E N, Un 2: U1 = V2 > O,

logo l 2: V2, o podemos concluir que o limito de u é l = 2.

8. (a) Como ..fi > 1, a função f definida por f(x) = ( ..fir é contínua em lfl. e é crescenl:e (lembramos que f(x) =ex. log(V2J).

Para n = 1, a fórmula é ~rivial: .,/2.::::; a1 = V2 < 2. Se ad1nitirmos que a propriedade é válida para n 1 utilizando o facto de f ser nina função crescente te1nos:

[V2 :"'. an < 2] =? [(h)V' = J(..fi) :"'. J(un) = an+l < J(2) = 2]. Utilizando novamente a monotonia de J temos:

e podemos concluir que a propriedade é válida para a ordem n + l. O Princípio de Indução Matemática está verificado logo:

..fi :"'. an < 2, 'ln E l.\l.

46 1. Noções Topológicas, Indução Niatcmática e Sucessões

(b) Va1nos mos tear, usando o Princípio de Indução i\1Iate1nática, que

Para n = 1, a fórn1ula é unia consequência dos cálculos da alínea (a):

Se ad1nit.irmos que a propriedade é válida para n E N1 então a validade da propriedade para n + 1 é uma consequência dirccta da monotonia de f:

Podemos concluir que a sucessão é crescente.

(e) Na alínea (a) virr1os que a sucessão é lirnitada e na alínea (b) demons trarno::; que ela é crescente; co1no toda a sucessão monótona limi1;ada é convergente podemos concluir que a sucessão de termo geral an é convergente. Seja l E lR o seu limite e consideremos A = { an : n E N} o contradomínio da sucessão. Pela alínea (a) temos:

A e [h, 2].

Como l é um ponto de acumulação de A e como [v'2, 2] é fechado temos que l E [v'2, 2], ou seja1 o resultado pedido: l ~ 2.

Nota: É possível calcular o valor de l. Vejamos algurnas indicações para o fazer. Primeiro, mostra-se que l satisfaz a equação ~ = log ( J2) e adivinha-se um valor possível de l. Depois estuda-se a monotonia e o contradomínio ela função g(x) = to;:i: definida no intervalo [.J2, 2] e conclui-se que a precedente equação tem uma 1ínica solução para l E [.J21 2].

9. (a) Para n = 1: x1 =a> O por hipótese, logo x1 > O.

I-Iipótese de indução: Xn > O

,.fese de indução: Xn+l > Ü

- Xn Demonstraçao: Tem-se que Xn+l = ---. Ora, por hipót;ese de indução, Xn > O, pelo que 2+xn

tambén1 2 + Xn > O. Temos então que Xn+l é o quociente de duas quantidades positivas, pelo que Xn+1 >O.

Então: pelo Princípio de Indução, provámos que Xn > O, \fn E N.

(b) Queremos mostrar que Xn+l - Xn <O para qualquer n EN. Ora

2+xn

Xn Xn-2Xn-X~ Xn+l - Xn = --- - Xn =

2+xn 2+xn

-Xn - X~ ---~=

já que, pela alínea (a), Xn >O para qualquer n EN.

Xn+x~ 2+xn

<O

(c) Uma vez que para qualquer n EN se tem Xn >O (alínea (a) e (xn) é uma sucessão monótona decrescente (alínea b) tem-se que O< Xn::;: x1, isto é, O< Xn :S a, para qualquer n EN. Por outras palavras, a sucessão de termo geral Xn é uma sucessão limitada. N[as toda a sucessão inonótona. e limitada é convergente: pelo que a sucessão é convergente.

Considere-se então que lim Xn = l. Note-se que necessariamente l 2: o pois Xn > o para todo nEN.


Xn Se a sucessão é convergente para l 1 tem-se t.ainbém limxn+l = l. Por outro lado1 é

2+xn convergente pois é o quociente de duas sucessões convergentes onde o denominador nunca se anula e tem limite diferente de zero.

Então

. • Xn • limxn l lim Xn+ 1 = hm --- <=> lim Xn+ 1 = j'

2 <=> l = --

2 + xn 1m +xn 2+l

l 21 + 12 - l l

2 + l 2 ( -t l ~l--=0~ =0~--=0~l +l=O l,.--2

2+1 2+1 2+l

~ l(l + 1) =O~ l =O V l = -1.

Mas a sucessão é de termos maiores ou iguais a zero, pelo que, o seu limite também é maior ou igual a zero. Portanto, lim Xn = O.

10. (a) Queremos mostrar que Xn+1-Xn 2 O para qualquer n E No. Ora, sen =Ovem X1 -xo =a> O.

11.

Se n 2 1 então Xn+l - Xn = Xn + X~-1 - Xn = X~-1 2 Ü.

(b) Vamos mostrar por indução que Xn > O, 'rfn E No.

Se n = O vem xo = a > O e está verificada a proposição.

I-Iipótese de indução: Xn > O

Tese de indução: Xn+l > O

Demonstração: Tem-se que Xn+l = Xn + x~-1 · Ora, por hipótese de indução, Xn > o) e sabemos que x;_ 1 2 O, portanto, Xn+l >O.

Então, pelo Princípio de Indução, provámos que Xn > O, 'Vn E No.

(c) Suponhamos que existe b E R tal que b = limx.n. Então1 todas as suas subsuccssões têm limite bc

b = limXn+i = lim(xn + x~_1 ) = b + b2

donde se conclui que b = O.

(d) Na alínea anterior provámos que se a sucessão fosse convergente, o seu limite seria zero. Mas sendo uma sucessão crescente de números positivos, podemos afirmar que o seu limite não é um número real. Como não é uma sucessão major ada pode1nos concluir que lim Xn = +co.

(a) Con1ecemos por analisar a diferença x2 - x1 para sabermos se a sucessão é n1onótona crescente Xl 1 1 1

ou decrescente. Como X2 - x1 = - + - - x1 = 1 + - - 2 = - - < O, pretendemos mostrar 2 X1 2 2

que a sucessão é decrescente1 isto é, Xn+l - Xn < 01 'Vn E N.

Xn 1 Xn 1 -x; + 2 Xn+l-Xn = -+- -Xn = --+- = -~--

2 Xn 2xn 2xn

Por hipótese, Xn > J2, 'rfn E N, portanto, -x; + 2 < O, 'rfn EN. Então Xn+l - Xn < O, 'Vn E N, provando-se assirn que a sucessão é n1onótona decrescente.

(b) Se uma sucessão é decrescente, o seu primeiro termo é o máximo do conjunto dos termos da sucessão, portanto, x1 = 2 2: Xn: 'rfn EN. Temos que Xn é limitada: ./2 < Xn ~ 2, Vn E N. Podemos concluir que Xn é convergente por ser monótona e linlitada.

48 1. Noções Topológicas, Indução Niatemática e Sucessões

(e) Seja a= Iimxn· Sendo convergente todas as suas subsucessões têm limite a e

. . Xn 1 a 1 a 2 + 1 a=hmxn+l =hm(-+-) = -+- = --.

2xn 2a 2a

Resolvendo a equação a =

que a= .,/2.

ª2+1 -- obtemos a = -.,/2 e a = .,/2.

2a Como Xn > v'2 concluímos

12. (a) Vamos mostrar por indução que Xn - v'3 2: O, Vn EN.

Se n = 1 vem X1 = 3 > v'3 e está verificada a proposição.

Hipótese de indução: Xn - v'3 2: O

Tese de indução: Xn+l - v'3 2: O

x 2 + 3 (xn - v'3)2

De1nonstração: Tem-se que Xn+l - J3 = _n __ - J3 = ~--~- Sabemos que Xn ~ v'3i 2xn 2xn

portanto, Xn > O, o que implica que Xn+1 - J3 2, O.

Entãol pelo Princípio de Indução: prová1nos que Xn - v'3 > ol 'r/n E N.

(b) Pretendcn1os mostrar que a sucessão é decrescente, isto é, Xn+I - Xn ::=; 01 \:ln E N. Comecemos x2 +3

por analisar a diferença x2 - x1: x2 - x1 = _n __ - x1 = -1 <O. Se n > 1 então 2xn

Por hipótese! Xn ~ J3, Vn EN, portanto, -x; +3 ::; 01 Vn EN. Então Xn+l - Xn :::; o) \ln E N, provando-se assim que a sucessão é inonótona decrescente.

(c) Se urna sucessão é decrescente, o seu primeiro termo é o máximo do conjunto elos termos da sucessão, portanto 1 x1 = 3 ;:::: Xn 1 'if'n E N. Temos que Xn é limitada: v'3 :::; Xn :::; 3, \ln E N. Podemos concluir que Xn é convergente por ser monótona e limitada.

(d) Seja a= limxn· Sendo convergente todas as suas subsuccssões têm limite a e

. . x; + 3 a2 + 3 a= lrmxn+l = hm--- = ---.

2xn 2a

a2 +3 Resolvendo a equação a = --- obtemos a = --Jã e a = J3. Como Xn ;:::: v'3 concluímos

2a que a= V3.

exercicios resolvidos de análise matemática i-d [topologia, indução matemática e sucessões]

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