ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DAS SOLUÇÕES DO

MODELO LOGÍSTICO COM LIMIAR E RESOLUÇÃO POR MEIO

DE UMA MAPLET PROGRAMADA VIA MAPLE

Adilandri Mércio Lobeiro – alobeiro@utfpr.edu.br

UTFPR-CM, Universidade Tecnológica Federal do Paraná, COINF

Campo Mourão – PR

Eloy Kaviski – eloy.dhs@ufpr.br

UFPR, Universidade Federal do Paraná, Departamento de Hidráulica e Saneamento

Curitiba – PR

Liliana Madalena Gramani – gramani@mat.ufpr.br

UFPR, Universidade Federal do Paraná, Departamento de Matemática

Curitiba – PR

Oilson Alberto Gonzatto Junior – oilson.agjr@gmail.com

Bolsista UTFPR-CM, Universidade Tecnológica Federal do Paraná, Eng. Ambiental

Campo Mourão – PR

Resumo: Uma variação observada na natureza pode, muitas vezes, ser estudada por

meio de modelos matemáticos, a teoria das Equações Diferenciais permite que este

estudo se torne uma análise precisa acerca do comportamento de tal variação.

Apoiando-se nesta teoria e, com o intuito de facilitar o entendimento e a interpretação

geométrica de um modelo matemático que envolve Equações Diferenciais, apresenta-se

o conceito de uma Equação Diferencial, seguida da conceituação de uma Equação

Diferencial Ordinária do tipo Quadratura e seus métodos de solução. Em seguida é

apresentado um exemplo da modelagem matemática de um fenômeno biológico para

agregar a teoria à prática, o Modelo Logístico com Limiar e, por meio de uma Maplet

programada via software Maple 16 encontram-se as Soluções Geral e Singulares da

equação.

Palavras-chave: Equação Logística com Limiar, Equação Diferencial, Maplet, Maple.

1 INTRODUÇÃO

Uma das inúmeras vantagens oferecidas pelo cálculo de Newton e Leibnitz é a

incorporação das noções de derivada e integral, tais noções possibilitam a descrição

matemática de várias propriedades dos fenômenos físicos. Grande parte das teorias que

descrevem os fenômenos naturais contém o que são conhecidas como Equações

Diferenciais, essas equações estão presentes não apenas na Física, mas também na

Biologia, Sociologia e todas as disciplinas científicas que se interessam em entender o

mundo que nos cerca (ROBINSON, 2004, p. 1).

O advento da computação na sociedade proporcionou inúmeras vantagens que

foram desenvolvidas por sua versatilidade, hoje em dia o auxílio oferecido ao ensino-

aprendizagem pelas técnicas computacionais é de importância fundamental. Tem-se a

possibilidade de manipular, armazenar e visualizar um conjunto de dados como jamais

foi possível no passado. Tais dados passam a fazer parte de um contexto maior,

quebrando e/ou remodelando a ideia da formação particionada e necessariamente

isolada dos conteúdos. Isto favorece o entendimento e assimilação do conhecimento

disponibilizado nos meios acadêmicos, pois foca o contexto do resultado, não o valor

isolado (TANEJA, 1997).

O passar dos anos e consequente avanço da informática, nos presenteou com

softwares muito mais específicos e aprimorados para cálculos matemáticos, um dos

grandes representantes nesta área é o software Maple (atualmente em sua 16ª edição),

pois além de ter sua própria interface e ferramentas para resolução de diversos

problemas matemáticos já conhecidos, possui grande flexibilidade para

desenvolvimento computacional, um campo destacado pela construção de Maplets.

Maplets são interfaces produzidas para providenciar um acesso amistoso e

interativo às ferramentas do Maple, tal acesso é possível devido ao uso de botões, áreas

de plotagem, caixas de texto entre outros. Ao desenvolver uma Maplet é possível para o

programador, personalizar e contextualizar os comandos a fim de torná-los intuitivos ao

usuário final, além de ter em mãos a possibilidade de moldar representações gráficas a

fim de facilitar o entendimento de certos conteúdos. Neste contexto, programa-se uma

Maplet capaz de solucionar uma conhecida equação diferencial ordinária da biologia, a

Equação Logística com Limiar, que modela o crescimento ou decrescimento de

espécies.

2 CONCEITOS BÁSICOS

2.1 Equações Diferenciais

Este trabalho será direcionado para equações que contêm derivadas ou diferenciais

de uma ou mais variáveis dependentes em relação a uma única variável independente, as

quais são chamadas de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO). Limitando ainda a

atenção, às Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira Ordem, ou seja, as que

contêm a primeira derivada como a derivada de maior ordem da equação, que podem

ser escritas da seguinte forma

(

) (1)

ou ainda, na forma explícita

( ) (2)

Uma EDO simples na forma (2) é aquela onde é independente da variável , isto

é, ( ) ( ), ou então,

( ) (3)

Resolver esta equação consiste em encontrar uma função cuja derivada seja h(x),

isto é, encontrar a primitiva de ( ). Integrando ambos os lados de (3), ou ainda,

usando o segundo Teorema Fundamental do Cálculo, obtém-se

( ) ( ) (4)

onde ( ) ( ).

A função dada desta forma é a solução geral da Equação (3). Geometricamente, a

Equação (4) é uma família de curvas e uma Solução Particular é a equação de uma

dessas curvas. Estas curvas são denominadas curvas integrais da equação diferencial.

Da mesma forma, se é independente da variável , isto é, ( ) ( ), tem-se

( ) (5)

que para resolver divide-se o processo em dois casos.

1. ( )

Para ( ) tem-se da Equação (5) que

( ) (6)

logo a Solução Geral da equação, desde que a função seja integrável, é dada por

∫

( ) (7)

2. ( )

Se ( ) tem-se que existe tal que, ( ) . Neste caso, a solução é

onde é constante. De fato,

( )

( ) ( ) (8)

Tem-se que , onde é constante, é Solução Singular da EDO.

2.2 Definição (Equação Quadratura)

Uma equação diferencial ordinária de primeira ordem da forma

( ) (9)

ou

( ) (10)

é chamada de quadratura (MURPHY, 1960, p. 9).

2.3 Equações Autônomas e Dinâmica Populacional

Uma importante classe de Equações Diferenciais de Primeira Ordem são aquelas

cuja variável independente não aparece explicitamente. Tais equações são chamadas

Equações Autônomas (BOYCE e DIPRIMA, 2001, p. 75) e se dão na forma

( ) (11)

Estas equações serão discutidas no contexto de crescimento ou decaimento populacional

de uma dada espécie.

Crescimento Exponencial

Seja ( ) a população de uma dada espécie no tempo . A mais simples

hipótese referente à variação da população é que a taxa de variação de é proporcional

ao valor corrente desta mesma função, ou seja,

(12)

onde a constante de proporcionalidade é chamada de taxa de crescimento ou declínio,

dependendo de seu sinal, positivo ou negativo. Aqui, assume-se , desta forma, a

população estará crescendo.

Resolvendo a Equação (12) sujeita à condição inicial

( ) (13)

obtém-se

(14)

O modelo matemático constituído pelas Equações (12) e (13), é conhecido como

Problema de Valor Inicial (PVI) que tem a Equação (14) como sua solução. Como

o modelo prediz que a população crescerá exponencialmente por todo o tempo.

Sob condições ideais, a Equação (14) pode ser observada e experimentada para

muitas populações, pelo menos por períodos limitados de tempo. Contudo, é ululante

que algumas condições ideais não continuam indefinidamente; eventualmente,

limitações no espaço, comida, suprimentos, ou outros recursos reduzirão a taxa de

crescimento e darão fim ao crescimento exponencial.

Crescimento Logístico

Levando em conta o fato de que a taxa de crescimento depende da população atual,

pode-se substituir a constante da Equação (12) por uma função ( ) e então, obtém-

se uma equação modificada

( ) (15)

Deseja-se agora, escolher ( ) tal que ( ) quando o valor de é

pequeno, ( ) decresce com o crescimento de , e ( ) a medida que é

suficientemente grande. A mais simples função tendo estas propriedades é ( ) , onde é uma constante positiva. Usando esta função na Equação (15), obtém-se

( ) (16)

A Equação (16) é conhecida como Equação de Verhulst ou Equação Logística. É

conveniente escrever a equação logística em sua forma equivalente

(

) (17)

onde . A constante é chamada de taxa de crescimento intrínseca, isto é, a taxa

de crescimento na ausência de qualquer fator limitante.

Busca-se inicialmente, as soluções da Equação (17) da mais simples maneira, ou

seja, as funções constantes. Se é constante, tem-se para todo , então,

solução constante da Equação (17) pode satisfazer a equação algébrica

(

) (18)

onde as soluções constantes são ( ) e ( ) . Estas soluções são

chamadas Soluções de Equilíbrio da Equação (17), pois, elas não correspondem a

qualquer mudança ou variação em com o aumento de . No caso da Equação (17),

( ) ( ) , então, plotando o gráfico de , tem-se uma parábola, conforme

pode ser visto na Figura 1. Os zeros de são também chamados de Pontos Críticos.

Figura 1. ( ) por para ( ) .

Os interceptos ( ) e ( ) correspondem aos pontos críticos da Equação (18), e

o vértice da parábola é ( ). Observe que para , ou seja,

é uma função crescente neste intervalo; isto é indicado pelas setas que apontam para a

direita, próximas ao na Figura 1 ou pelas que apontam para cima na Figura 2.

Similarmente, se , então , o que indica um decréscimo da função ,

indicado pelas setas que apontam para a esquerda na Figura 1, ou para baixo na Figura 2

Figura 2. Crescimento Logístico: por para ( ) .

Além disso, da Figura 1, note que se está próximo de zero ou , então a

inclinação, ( ), é próxima de zero, então as curvas soluções têm tangentes próximas

da horizontal. Elas tornam-se mais inclinadas conforme deixa as proximidades de zero

ou . Estas observações indicam que os gráficos das soluções da Equação (17) devem

ter uma forma geral mostrada na Figura 2 independentemente dos valores de e .

Para esboçar os gráficos das soluções da Equação (17) no plano , inicia-se com

as soluções de equilíbrio, e ; depois desenha-se outras curvas que são

crescentes quando , cuja concavidade muda quando elas interceptam a reta

; por fim, plota-se as curvas decrescentes, quando . Observa-se pela

Figura 1 que as tangentes às curvas se aproximam da horizontal quando se aproxima

de zero ou . Note que é a cota superior que é aproximada, mas nunca excedida por

populações crescentes começando abaixo deste valor. Então, é natural referir-se a

como sendo o Nível de Saturação ou Capacidade de Sustentação Ambiental, para a

espécie em questão.

A solução do PVI (19)

{

(

)

( )

(19)

é dada por

( )

( ) (20)

conforme (BOYCE e DIPRIMA, 2001, p. 79).

Observa-se que, se , pela Equação (20), ( ) para todo . Se e

fazendo na Equação (20), obtém-se ( ) . Assim, para cada , a solução tende à solução de equilíbrio, ( ) assintoticamente quando

. Portanto a solução constante ( ) é dita uma solução

assintoticamente estável da Equação (17) e o ponto é dito um ponto de

equilíbrio ou ponto crítico, assintoticamente estável.

Por outro lado, a situação para a solução de equilíbrio ( ) é bem

diferente. Mesmo soluções que comecem muito próximas de zero, crescem quando

aumenta e tende a quando . A solução ( ) é dita uma solução de

equilíbrio instável e é um ponto de equilíbrio, ou ponto crítico, instável.

Um Limiar Crítico

Considere a equação

(

) (21)

onde e são constantes positivas. Observe que (exceto pela substituição do parâmetro

por ) esta equação difere da Equação Logística (17) somente pela presença do sinal

negativo no membro direito. Todavia as soluções da Equação (21) comportam-se muito

diferente das soluções da Equação (17).

Para a Equação (21) o gráfico de ( ) por , onde ( ) ( ) , é a

parábola mostrada na Figura 3.

Figura 3. ( ) por para ( ) .

Os interceptos no são os pontos críticos e , correspondendo

às soluções de equilíbrio ( ) e ( ) . Se , então e

decresce com o aumento de . Por outro lado, se , então , e cresce

com o aumento de . E ainda, ( ) é uma solução de equilíbrio assintoticamente

estável, e ( ) é instável. Além disso, ( ) é negativa para e

positiva para , então o gráfico de por é côncavo para cima e côncavo

para baixo, respectivamente, nestes intervalos. Também, ( ) é positiva para ,

então o gráfico de por é também côncavo para cima. Para fazer uso de todas as

informações obtidas da Figura 3, conclui-se que os gráficos das soluções da Equação

(21) para diferentes valores de devem ter uma aparência qualitativa como mostrada

na Figura 4.

Figura 4. por para ( ) .

Pela Figura 4, fica claro que com o aumento de , ou se aproxima de zero ou

cresce indefinidamente, dependendo se o valor inicial, , é menor ou maior que .

Assim, é um Limiar, abaixo do qual, o crescimento não ocorre.

Pode-se confirmar estas conclusões obtidas geometricamente observando a solução

da Equação (21) sujeita à condição inicial ( ) , dada por

( )

( )

(22)

Se , então segue da Equação (22) que quando . Isto corrobora

com a análise geométrica qualitativa. Se , então o denominador no lado direito

da Equação (22) é zero para algum valor finito de . Denotando este valor por , e

calculando ele com

( ) (23)

que dá

(

) (24)

Logo, se a população inicial estiver acima do limiar , o modelo limiar prediz

que o gráfico de por terá uma assíntota vertical em ; em outras palavras, a

população se torna infinita, em um tempo finito, que depende do valor inicial e do

limiar . A existência e localização desta assíntota não se apresentam na análise

geométrica, então, neste caso, a solução explícita nos dará informações qualitativas

adicionais tão bem quanto informações quantitativas.

As populações de algumas espécies exibem o fenômeno limiar. Se há poucos

indivíduos presentes, a espécie não é capaz de se propagar com eficiência e a população

torna-se extinta. Contudo, se uma população maior que o nível limiar puder ser reunida,

então o crescimento pode ocorrer. Naturalmente, a população não se torna ilimitada,

então, eventualmente a Equação (21) deve ser modificada para levar isso em

consideração.

Crescimento Logístico com Limiar

Como mencionado acima, o modelo com limiar representado pela Equação (21),

pode necessitar de algumas alterações para que o crescimento ilimitado não ocorra

quando estiver acima do limiar . A mais simples maneira de fazer isto é introduzir

outro fator que terá o efeito de tornar negativo quando for grande. Assim,

consideraremos

(

) (

) (25)

onde e .

O gráfico de ( ) por , onde ( ) ( )( ) , terá três pontos

críticos para esta situação: , e , correspondendo às soluções de

equilíbrio ( ) , ( ) , e ( ) , respectivamente. Veja a Figura 5.

Figura 5. ( ) por para ( )( ) .

Observando a Figura 5 torna-se claro que para , e

consequentemente está aumentando neste intervalo. O inverso também é verdadeiro

para e . Em consequência, as soluções de equilíbrio ( ) e ( )

são assintoticamente estáveis, e a solução ( ) é instável. Plotando o gráfico de por

temos a aparência qualitativa mostrada na Figura 6.

Figura 6. por para ( )( ) .

Se iniciar abaixo do limiar , então declina para a extinção definitiva. Por outro

lado, se iniciar acima do limiar , então eventualmente se aproxima de , o Nível

de Saturação ou Capacidade de Sustentação Ambiental. Os pontos de inflexão no

gráfico de por na Figura 6 correspondem aos pontos máximos e mínimos, e ,

respectivamente, no gráfico de ( ) por na Figura 5. Estes valores podem ser obtidos

pela diferenciação do lado direito da Equação (25) com respeito a , quando igualando

seu resultado a zero, e resolvendo-o para . Obtém-se

( √ ) (26)

onde o sinal positivo corresponde a e o sinal negativo é referente a .

3 APLICAÇÃO DA MAPLET DESENVOLVIDA VIA MAPLE 16

Do Modelo Logístico com Limiar discutido na seção 2, resolve-se a Equação (25)

utilizando a Maplet programada via Maple 16. Na Figura 7, pode ser vista a tela inicial

do software desenvolvido, com a descrição de suas funções.

1. Área destinada ao registro das instruções dadas ao usuário;

2. Área para digitar a equação e clicar nos botões para utilização do software;

3. Área onde informações relevantes para a solução são apresentadas ao usuário;

4. Área para visualização gráfica das soluções;

5. Área para visualização dos resultados obtidos a cada passo;

6. Área destinada ao registro de todas as etapas realizadas pelo usuário.

Figura 7. Tela inicial da Maplet

Com a Equação Logística com Limiar digitada e classificada, pelo software, neste

caso, uma Quadratura, clica-se em “Próximo Passo”, visualiza-se a equação digitada na

forma matemática bem como as primeiras instruções para efetuar a resolução, observe a

Figura 8.

Figura 8. Equação Classificada e processo de resolução iniciado.

Ao clicar em “Próximo Passo” uma nova janela abrirá, para auxiliar o usuário a

separar a variável dependente, observe o resultado na Figura 9.

Figura 9. Manipulador de Equações.

Ao clicar em “Devolver Resultado”, retorna-se à Maplet que apresenta as Soluções

Singulares da EDO, caso existam. Observe a Figura 10.

Figura 10. Soluções Singulares da EDO.

Clicando em “Próximo Passo”, aplica-se a integral em ambos os membros da

equação. Ao clicar novamente, surge a janela para auxiliar na resolução destas integrais.

Figura 11. Métodos de Integração. Clicando em “All Steps”, há apresentação de todas as etapas realizadas

para a solução da integral, mas pode optar-se por resolver passo a passo, clicando em “Next Step”.

O resultado obtido pelas duas integrações é a chamada Solução Geral, que pode ser

vista na Figura 12, onde C é a constante de integração.

Figura 12. Solução Geral da EDO.

A seguir apresenta-se um exemplo do Modelo Logístico com Limiar, substituindo-

se as constantes e , por e , respectivamente, como pode ser visto na

Figura 13.

Figura 13. Crescimento Logístico com Limiar para ( )( ) .

4 CONSIDERAÇÕES FINAIS

O entendimento da forma como as soluções do Modelo Logístico com Limiar se

comportam é possível por meio de análises geométricas relativamente simples, contudo,

sua resolução analítica não compartilha da mesma simplicidade. A Maplet para a

resolução de EDOs do tipo abordado por esse trabalho foi desenvolvida com a ambição

de tornar este estudo menos dispendioso, destacando-se pelo fato de desenvolver a

solução e guiar o usuário por todo o processo passo a passo, além de possibilitar o

vislumbre gráfico de tais soluções. O trabalho contribui ainda com o fomento à

utilização de softwares matemáticos como ferramenta adicional para controle e análise

de problemas práticos.

Agradecimentos

Os autores agradecem à UTFPR pelo incentivo realizado por meio de bolsas de estudo.

5 REFERÊNCIAS / CITAÇÕES

BOYCE, W. E.; DIPRIMA, R. C. Elementary Differential Equations and Boundary

Value Problems. 7ª. ed. New York: John Wiley & Sons, Inc., 2001.

MURPHY, G. M. Ordinary Differential Equations anTheir Solutions. New York:

Van Nostrand Reinhold Company, 1960.

ROBINSON, J. C. An Introduction to Ordinary Differential Equations. New York:

Cambridge University Press, 2004.

TANEJA, I. J. Maple V: Uma Abordagem Computacional no Ensino de Cálculo.

Florianópolis: UFSC, 1997.

ANALYSIS OF THE BEHAVIOR OF SOLUTIONS OF THE

LOGISTIC MODEL WITH THRESHOLD AND RESOLUTION

THROUGH A PROGRAMED MAPLET BY WAY OF MAPLE

Abstract: A variation observed in nature can often be studied by means of mathematical

models, the theory of differential equations allows this study to become a precise

analysis of the behavior of such variation. Building on this theory and, in order to

facilitate understanding and geometric interpretation of a mathematical model

involving differential equations, we present the concept of a differential equation, then

the concept of an Ordinary Differential Equation type Quadrature and its methods

solution. Next is an example of mathematical modeling of a biological phenomenon to

aggregate theory to practice, the logistic model with threshold and, by means of a

programmed via software Maple Maplet 16 are the General and Singular Solutions of

the equation.

Key-words: Logistic Equation with Threshold, Differential Equation, Maplet, Maple.