ADL 25Cap 13 Transformada z

A Transformada z Inversa

Qualquer que seja o método utilizado a transformada z inversa produzirá somente os valores da função do tempo nos instantes de amostragem. Portanto, mesmo que obtenhamos funções do tempo na forma fechada, elas são válidas somente nos instantes de amostragem

Transformada z Inversa por Expansão em Frações Parciais

De forma semelhante à utilizada na transformada inversa de Laplace e com base na Tabela 13.1, observamos que as funções exponenciais amostradas se relacionam com suas transformadas z da seguinte forma:

(13.19)

Prevemos então que uma expansão em frações parciais terá a seguinte forma:

(13.20)

Como a expansão de F(s) não contém termos em s no numerador das frações parciais, primeiro formamos F(z)/z para eliminar os termos z no numerador, executamos a expansão em frações parciais de F(z)/z, e finalmente multiplicamos o resultado por z para fazer aparecer os z's no numerador das frações.

Exemplo 13.2Transformada z inversa via expansão em frações parciais

Problema Dada a função da Eq. (13.21), determine a função no domínio do tempo amostrada.

(13.21)

Solução Comece dividindo a Eq. (13.21) por z e executando a expansão em frações parciais.

(13.22)

Depois, multiplique todo o resultado por z

(13.23)

Usando a Tabela 13.1, obtemos a transformada z inversa de cada fração parcial. Portanto, o valor da função no domínio do tempo nos instantes de amostragem é

(13.24)

Além disso, com base nas Eqs. (13.7) e (13.24), a função no domínio do tempo amostrada ideal é

(13.25)

Se substituirmos k = 0, 1, 2 e 3, podemos encontrar as quatro primeiras amostras do sinal amostrado. Portanto,

(13.26)

Transformada z Inversa via Método de Série de Potências

Exemplo 13.3

Transformada z inversa via série de potênciasProblema Dada a função na Eq. (13.21), determinar a função no domínio do tempo amostrada.

Solução Comece pela conversão do numerador e do denominador de F(z) em polinômios em z.

(13.27)

Agora execute a divisão indicada

Usando o numerador e a definição de z, obtemos

(13.29)

a partir da qual

(13.30)

Você deve comparar a Eq. (13.30) com a Eq. (13.26), o resultado obtido via expansão cm frações parciais.

13.4 Funções de Transferência

Considere o sistema contínuo mostrado na Fig. 13.8a. Se a entrada for amostrada como indicado na Fig. 13.8(b), a saída é ainda um sinal contínuo. Se, contudo, ficarmos satisfeitos em obter a saída nos instantes de amostragem e não entre eles, a representação do sistema de dados amostrados pode ser grandemente simplificada. Nossa suposição é visualmente descrita na Fig. 13.8(c), onde a saída é amostrada conceitualmente em sincronização com a entrada por meio de um amostrador imaginário (Phantom sampler).

Fig. 13.8Sistema com dados amostrados:a. contínuo;b. entrada amostrada; c. entrada e saída amostradas

Dedução da Função de Transferência Pulsada

Usando a Eq. (13.7), constatamos que a entrada amostrada, r*(t), para o sistema da Fig. 13.8(c) é

(13.31)

a qual é uma soma de impulsos. Como a resposta ao impulso de um sistema, G(s), é g(t),podemos escrever a saída de G(s) no domínio do tempo como a soma das respostas a impulso geradas pela entrada, Eq. (13.31). Por conseguinte,

(13.32)

Com base na Eq. (13.10),

(13.33)

Usando a Eq. (13.32) com t = kT, obtemos

(13.34)

Substituindo a Eq. (13.34) na Eq. (13.33), obtemos

(13.35)

Fazendo m = k - n, encontramos

(13.36)

onde o limite inferior, m + n, foi mudado para m. O raciocínio é que m + n = 0 leva a valores negativos de m para todos os valores de n > O. Mas, como g(mT) = 0 para todos os valores de m < 0, m não é menor que zero. Alternativamente, g(t) = 0 para t < O. Dessa forma, n = 0 no primeiro limite inferior do somatório.Usando a definição da transformada z, a Eq. (13.36) torna-se

(13.37)

A Eq. (13.37) é um resultado muito importante, uma vez que mostra que a transformada da saída amostrada é o produto da transformada da entrada amostrada pela função de transferência pulsada do sistema. Uma forma de obter a função de transferência pulsada, G(z), é começar com G(s), determinar g(t), e então usar a Tabela 13.1 para encontrar G(z)

Exemplo 13.4Convertendo G1(s) em cascata com z.o.h em G(z)

Problema Dado um z.o.h. em cascata com G1(s) = (s + 2)/(s + 1), ou seja,

(13.38)

determinar a função de transferência de dados amostrados, G(z), se o período de amostragem, T, for 0,5 s.

Solução A Eq. (13.38) representa uma ocorrência comum nos sistemas de controledigital, em outras palavras, uma função de transferência em cascata com um extrapolador de ordem zero. Especificamente, G1(s) está em cascata com um extrapolador de ordem zero, (1 - e-Ts)/s. Podemos formular uma solução geral para este tipo de problema deslocando o s no denominador do extrapolador de ordem zero para G1(s) resultando

(13.39)

(13.40)

Dessa forma, comece a solução encontrando a resposta ao impulso (transformada de Laplace inversa) de G1(s)/s Portanto,

(13.41)

Aplicando a transformada de Laplace inversa, temos

(13.42)

de onde

(13.43)

Usando a Tabela 13.1, obtemos

(13.44)

Substituindo T = 0.5 resulta

(13.45)

A partir da Eq. (13.40),

(13.46)

O sistema padrão que deduzimos anteriormente é mostrado na Fig. 13.9(a), onde a transformada da saída, C(z), é igual a G(z)R(z). Na Fig. 13.9(b) não existe amostrador entre G1(s) e G2(s). Dessa forma, podemos imaginar uma função única, G1(s)G2(s), designada como G1G2(s), existindo entre os dois amostradores e levando a uma função de transferência única, como mostrado na Fig. 13.9(a). Portanto, a função de transferência pulsada é z{G1G2(s)} = G1G2(z). A transformada da saída é C(z) = G1G2(z)R(z).Na Fig. 13.9(c) temos dois subsistemas do tipo mostrado na Fig. 13.9(a) em cascata. Neste caso, então, a transformada z é o produto das duas transformadas z ou G1(z)G2(z). Portanto, a transformada da saída é C(z) = G2(z)G1(z)R(z).Finalmente na Fig. 13.9(d), vemos que o sinal contínuo que entra no amostrador éG1(s)R(s). Dessa forma, o modelo é o mesmo da Fig. 13.9(a) com R(s) substituído por G1(s)R(s) e G2(s) na Fig. 13.9(d) substituindo G(s) na Fig. 13.9(a). A transformada z de entrada em G2(s) é z{G1(s)R(s)} = z{G1R(s)} = G1R(z). A função de transferência pulsada do sistema G2(s) é G2(z). Portanto, a saída C(z) = G1R(z)G2(z)..

13.5 Redução de Diagrama de Blocos

Fig. 13.9 Sistemas com dados amostrados e suas transformadas z

Exemplo 13.5Função de transferência pulsada de um sistema com retroação

Problema Determine a transformada z do sistema mostrado na Fig. 13.10(a).

Solução O objetivo do problema é proceder de forma ordenada, começando com o diagrama de blocos na 13.10(a) e reduzindo-o ao mostrado na Fig. 13.10(f).Uma operação que sempre podemos executar é colocar um amostrador imaginário na saída de qualquer subs que tenha uma entrada amostrada, desde que a natureza do sinal enviado para qualquer outro subsistema não mudado. Por exemplo na Fig. 13.10(b), o amostrador imaginário S4 pode ser acrescido. A justificativa para isso claro, é que a saída de um sistema de dados amostrados pode ser obtida de qualquer modo nos instantes de amostragem, e o sinal não é entrada para qualquer outro bloco.Outra operação que pode ser executada é acrescentar amostradores imaginários S2 e S3 na entrada de uma junção somadora cuja saída é amostrada. A justificativa para esta operação é que a soma amostrada é equivalente à soma das entradas amostradas, desde que, é claro, todos os amostradores sejam sincronizados.Depois, desloque o amostrador S1 e G(s) para a direita do ponto de distribuição de sinal, como mostrado na Fig. 13.10(c). A finalidade deste deslocamento é produzir um amostrador na entrada de G(s)H(s) para combinar com a Fig. 13.9(b). Além disso, G(s) com amostrador S1 na entrada e amostrador S4 na saída se iguala àFig. 13.9(a). O sistema a malha fechada agora tem uma entrada amostrada e uma saída amostrada.

Fig. 13.10Etapas na redução de diagramas de blocos de um sistema com dados amostrados

G(s)H(s) com amostrador SI e S3 se torna GH(z), e G(s) com amostrador S1 e S4 se transforma cm G(z), como mostrado na Fig. 13.10(d). Além disso, convertendo R*(s) em G(z) e C*(s) em C(z). agora temos o sistema representado totalmente no domínio z.As equações deduzidas no Cap. 5 para as funções de transferência representadas com transformada de Laplace podem ser usadas para funções de transferência com dados amostrados com somente uma mudança na variável de s para z. Por conseguinte, usando a fórmula com retroação, obtemos o primeiro bloco da Fig. 13.10(e). Finalmente, a multiplicação de sistemas de dados amostrados em cascata leva ao resultado final mostrado na Fig. 13.10(f).