ADL 24Cap 13 Sistemas de Controle Digital

Vantagens dos Computadores Digitais

O uso de computadores digitais na malha leva às seguintes vantagens sobre os sistemas analógicos: (1) custo, (2) flexibilidade para realizar mudanças de projeto, e (3) imunidade a ruído. Os sistemas de controle modernos requerem o controle simultâneo de numerosas malhas — pressão, posição. velocidade e tensão, por exemplo.

Fig. 13.1 Transformação do sistema de controle de posicionamento de uma antena em azimutea. controle analógico para;b. controle digital

Fig. 13.2 a. Posicionamento do computador digital na malha;b. diagrama de blocos detalhado mostrando o posicionamento dos conversores

A/D e D/A

Conversão Digital-Analógica

A conversão digital-analógica é simples e efetuada de forma instantânea. Somam-se tensões elétricas ponderada de forma adequada para produzir a saída analógica. Por exemplo, na Fig. 13.3 são somadas três tensões pondera-das com os pesos 1, 2 e 4. 0 código binário de três bits é representado pelas chaves. Dessa forma, se o núm. binário for 110, as chaves do centro e inferior estão ligadas, e a saída analógica é de 6 volts. Na tecnologia atual as chaves são eletrônicas e acionadas pelo código binário de entrada.

Fig. 13.3 Conversor digital-analógico

Conversão Análogo-Digital

A conversão análogo-digital, por outro lado, é um processo de duas etapas e não éinstantâneo. Existe uma defasagem entre a tensão analógica de entrada e a palavra digital de saída. Na conversão análogo-digital, o sinal análogo é primeiro convertido em um sinal amostrado e depois transformado em uma seqüência de números binários, o sinal digital.A taxa de amostragem deve ser pelo menos duas vezes a banda passante do sinal, ou ocorrerá distorção. Esta freqüência mínima de amostragem é chamada de taxa de amostragem ou freqüência de Nyquist.

Etapas na conversão análogo-digital: a. sinal analógico;b. sinal analógico depois do amostrador-extrapolador de ordem zero (sample-and-hold);c. conversão dos valores das amostras em valores digitais

13.2 Modelando o Computador Digital

Modelando o Amostrador

Considere os modelos de amostragem apresentados na Fig. 13.5. 0 modelo na Fig. 13.5(a) é uma chave ligando e desligando segundo uma taxa de amostragem uniforme. Na Fig. 13.5(b) a amostragem também pode ser considerada como o produto da forma de onda no domínio do tempo a ser amostrada. f(t), por uma função de amostragem, s(t). Se s(t) for uma seqüência de pulsos de largura Tw, amplitude constante e taxa uniforme, como mostrado, a saída amostrada, f*Tw(t), consistirá numa seqüência de segmentos de f(t) nos intervalos regulares. Esta visão é equivalente ao modelo de chave da Fig. 13.5(a).

Fig. 13.5 Duas vistas da amostragem com taxa uniforme:a. abertura e fechamento da chave;b.Produto do sinal no domínio tempo pelo sinal de amostragem

Usando o modelo mostrado na Fig. 13.5(b), temos

(13.1)

onde k é um número inteiro entre -� e +�. T é o período do trem de pulsos, e Tw

é a largura de cada pulso.

Como a Eq. (13.1) é o produto de duas funções do tempo, aplicar a transformada de Laplace para obter urna função de transferência não é simples. Uma simplificação pode ser feita se admitirmos que a largura uniforme dos pulsos, Tw, épequena em comparação como período, T, de modo que f(t) possa ser considerada constante durante o intervalo de amostragem. Durante o intervalo de amostragem. Então, f(t) = f(kT). Portanto,

(13.2)

para Tw pequeno.A Eq. (13.2) pode ser mais simplificada através da visão fornecida pela transformada de Laplace. Aplicando a transformada de Laplace à Eq. (13. 2), temos

(13.3)

Substituindo por sua expansão em série, obtemos

(13.4)

Para Tw pequeno, a Eq. (13.4) se torna

(13.5)

Finalmente, retomando ao domínio de tempo, temos

(13.6)

onde são funções delta de Dirac.Por conseguinte, o resultado da amostragem com pulsos retangulares pode ser

vista como uma série de funções delta das quais a área é o produto da largura do pulso retangular pela amplitude da forma de onda amostrada, ou seja, Tw.f(kT).A Eq. (13.6) é retratada na Fig. 13.6. 0 amostrador é dividido em duas partes: (1) um amostrador ideal descrito pela parte da Eq. (13.6) que não é dependente das características da forma de onda de amostragem e (2) a parte dependente das características da forma de onda de amostragem, Tw

Fig. 13.6 Modelo de amostragem com trem de pulsos retangulares uniformes

(13.7)

Modelando o Extrapolador de Ordem Zero

Se admitirmos um amostrador ideal (equivalente a fazer Tw = 1), então f*(t) érepresentada por uma seqüência funções delta. O extrapolador de ordem zero fornece uma aproximação em escada para f(t) Portanto, a saída do extrapolador é uma seqüência de funções degrau cuja amplitude é f(t) no instante de amostragem, ou seja, f(kT). Uma vez que um impulso único do amostrador resulta em um degrau durante o intervalo de amostragem, a transformada de Laplace deste degrau de saída, Gh(s). que é a resposta do extrapolador ao impulso, é função de transferência do extrapolador de ordem zero. Usando um impulso aplicado no instante zero, a transformada do degrau resultante que inicia em t = 0 e termina em t = T é

Num sistema físico, os valores das amostras do sinal de entrada, f(kT), são mantidos constantes durante o intervalo de amostragem. Podemos ver, com base na Eq. (13.8), que o circuito extrapolador integra a entrada e retém seu valor durante o intervalo de amostragem. Como a área sob as funções delta provenientes do amostrador ideal é f(kT), podemos então integrar a forma de onda amostrada ideal e obter o mesmo resultado obtido para o sistema fisico. Em outras palavras, se o sinal amostrado ideal, f*(t), for seguido de um extrapolador, podemos usar a forma de onda amostrada ideal como entrada, no lugar de

(13.8)

Fig. 13.7 Amostragem ideal e extrapolador de ordem zero (z.o.h.)

13.3 A Transformada z

A Eq. (13.7) é o sinal amostrado ideal. Aplicando a transformada de Laplace a este sinal amostrado obtemos

(13.9)

Agora, fazendo z = eTs podemos escrever a Eq. (13.9) como

(13.10)

A Eq. (13.10) define a transformada z. Isto é, uma F(z) pode ser transformada em. f(kT) ou uma f(kT), pode ser transformada em F(z)

Exemplo 13.1

Transformada z de uma função do tempo

Problema Determine a transformada z de uma rampa unitária amostrada.

Solução Para a rampa unitária, f(kT) = kT. Portanto, o degrau amostrado ideal pode ser escrito a partir da Eq. (13.7) como

(13.12)

Aplicando a transformada de Laplace obtemos

(13.13)

Aplicando a transformada z admitindo z-k = e-kTs temos(13.14)

Multiplicando a Eq. (13.14) por z, obtemos

(13.15)

Subtraindo a Eq. (13.14) da Eq. (1.3.15), obtemos

(13.16)

(13.17)Mas,

Substituindo a Eq. (13.17) na (13.16) e resolvendo para F(z), resulta

(13.18)

Tabela 13.1 Tabela parcial de transformadas z e de Laplace