ADL 23

5.7 Representações Alternativas no Espaço de

EstadosNo Cap. 3. os sistemas foram representados no espaço de estados usandovariáveis de fase. Contudo. a modelagem de sistemas no espaço de estadospode assumir muitas formas de representação além da que resulta com asvariáveis de fase. Embora cada uma delas apresente a mesma saída parauma determinada entrada, o engenheiro pode preferir uma delas em particularpor diversas razões. É possível transformar o sistema de uma representaçãoem espaço de estados para outra com as transformações de similaridade

Forma Canônica do Controlador

Uma representação util é chamada de forma canônica do controlador, assimdesignada devido ao seu uso no projeto de controladores, que será abordadono Cap. 12. Esta forma é obtida da representação em variáveis de fasesimplesmente reordenando essas variáveis na ordem inversa. Por exemplo,considere a função de transferência,

A forma em variáveis de fase foideduzida no Exemplo 3.5 como

Renumerando as variáveisde fase em ordem inversa resulta

(5.57)

(5.56)

(5.55)

Finalmente, rearranjando as Eqs. (5.57) em ordem numérica crescente, vem a formacanônica do controlador

Fig. 5.27Diagramas de fluxo de sinal para obter formas de representação no espaço deestados relativas aG(s) = C(s)/R(s) = (s2 + 7s + 2)/(s3 + 9s2 + 26s + 24):a. forma em variáveis de fase;b. forma canônica do controlador

Observe que a forma em variáveis de fase e a forma canônica do controlador contêmos coeficientes polinômio característico na linha superior ou inferior, respectivamente.As matrizes de sistema que contêm coeficientes do polinômio característico sãochamadas matrizes companheiras do polinômio característico. forma em variáveis defase e a forma canônica do controlador resultam, respectivamente, em uma matrizsistema companheira inferior e superior. As matrizes companheiras também podemter os coeficientes polinômio característico na coluna da esquerda ou da direita.

(5.58)

Forma Canônica do Observador

A forma canônica do observador, assim designada por seu uso no projeto deobservadores (tratado no Cap. 12), uma representação que conduz a matriz desistema a uma forma matriz companheira à esquerda. Como exemplo o sistemamodelado pela Eq. (5.55) será representado nesta forma. Comece dividindo todosos termos do numerador e do denominador pela maior potência de s, s³, eobtenha

Multiplicando cm cruz, resulta

Combinando os termos de mesma potência de integração, vem

A Eq. (5.61) ou a Eq. (5.62) pode ser usada para esboçar o diagrama de fluxo de sinal.Comece com três integrações, como mostrado na Fig. 5.28(a).

(5.62)

(5.61)

(5.60)

(5.59)

Usando a Eq. (5.61), o primeiro termo nos diz que a saída C(s) é formada, em parte,pela integração de [R(s) - 9C(s)]. Formamos assim [R(s) - 9C(s)] na entrada dointegrador mais próximo da saída, C(s), como mostrado na Fig. 5.28(b). O segundotermo nos diz que o termo [7R(s) - 26C(s)] deve ser integrado duas vezes. O últimotermo nos diz que [2R(s) - 24C(s)] deve ser integrado três vezes. Identificando asvariáveis de estado como saída dos integradores, escrevemos as seguintes equaçõesde estado e de saída:

(5.65)(5.63)

Observe que a forma das Eqs. (5.65) é semelhante à forma com variáveis de fase,com exceção de que os coeficientes do denominador da função de transferênciaestão na primeira coluna e que os coeficientes do numerador formam a matriz deentrada B. Observe, também, que a forma canônica do observador possui uma matrizA que é a transposta da forma canônica do controlador, um vetor B que é otransposto do vetor C da forma canônica do controlador e um vetor C que é otransposto do vetor B da forma canônica do controlador. Dizemos, comoconseqüência, que estas duas formas são duais. Assim, se um sistema for descritopor A, B e C, seu dual será descrito por AD = AT, BD = CT e CD = BT.

Transformações de Similaridade

Exprimindo um Vetor Qualquer em Termos de Vetores de Bases

Vetores unitários Ux1 e UX2 que são colineares com os eixos x1 e x2, formamvetores linearmente independentes chamados vetores de base do espaço x1x2.Qualquer vetor do espaço pode ser escrito de duas maneiras. Primeiro, ele podeser escrito como uma combinação linear dos vetores da base. Esta combinaçãolinear implica uma soma de vetores dos vetores da base para formar o vetor empauta. Segundo, ele pode ser escrito em termos de suas componentes ao longodos eixos. Resumindo estas duas formas de escrever um vetor, temos

De modo semelhante, o mesmo vetor, que agora será chamado de z, podeser escrito em termos dos vetores da base no espaço z1z2

Transformações de Vetores

Qual é a relação entre os componentes de x e de z nas Eqs. (5.71) e (5.72)? Emoutras palavras, como transforma-mos o vetor x no vetor z e vice-versa? Paracomeçar, vamos supor que os vetores unitários Uz1, e Uz2, que são colinearescom z1 e z2 e são vetores de base do espaço z1z2, também possam ser escritosem termos dos vetores de base do espaço x1x2. Portanto,

(5.71)

(5.72)

(5.73)

Substituindo as Eqs. (5.73) na Eq. (5.72) e levando em conta que os vetores z e xsão iguais, tem-se x em termos dos componentes de z, ou

que é equivalente a

Podemos imaginar a Eq. (5.75) como uma transformação que toma o vetor z noplano z1z2 e o transforma em um vetor x do plano x1x2. Portanto, se pudermos acharP, poderemos efetuar a transformação entre as duas representações no espaço deestados.

Exemplo 5.9Transformações de um vetor para uma nova baseProblema Transforme o vetor

expresso na base de vetores,

(5.75) (5.76)

(5.74)

em um vetor expresso no seguinte sistema:

Solução Usando a Eq. (5.72) como guia, o vetor z pode ser escritoem termos dos vetores da base, Uzi,

Substituindo os valores de cada Uzi, expresso como componentes dos vetores dabase Uxi, a Eq. (5.81) é transformada em componentes de x.

(5.81)

(5.82)

que pode ser escrita como

(5.83)

Como previsto, as colunas de P são os vetores da base do espaço z1z2 (Eqs. (5.80)).Além disso,

(5.84)

Em resumo, o vetor x = [1 2 2]T no espaço x1x2, se transforma em z = [2,83 0 1]Tno espaço z1z2; portanto, x e z são o mesmo vetor expresso em sistemas decoordenadas diferentes.

Transformando as Equações de Estado

Considere a representação no espaço de estados mostrada abaixo:

(5.85)

Seja x = Pz, com base na Eq. (5.75). Portanto

(5.86)

Pré-multiplicando a Eq. (5.75a) por P-1, resulta

(5.87)

As Eqs. (5.87) são uma representação alternativa de um sistema no espaçode estados. A matriz de sistema transformada é P-1AP, a matriz de entrada éP-1B, a matriz de saída é CP e a matriz de ação à frente permanece D.

Exemplo 510

Transformação de similaridade sobre as equações de estado

Problema Dado o sistema representado no espaço de estados pelas Eqs.(5.96), transformar o sistema em um novo conjunto de variáveis de estado, z,onde as novas variáveis de estado se relacionam com as variáveis de estadooriginais, x, através de (5.97)

(5.96)

(5.97)

Solução Das Eqs. (5.76) e (5.97),

(5.98)

Usando as Eqs. (5.87) como guia,

(5.99)

(5.100)

Por conseguinte, o sistema transformado é

(5.101)

(5.102)