ADL18Sistemas de Segunda Ordem: IntroduçãoEnquanto nos sistemas de primeira ordem a variação de um parâmetro muda simplesmente a velocidade da resposta, as mudanças nos parâmetros do sistema de segunda ordem podem alterar a forma da resposta. Por exemplo, um sistema de segunda ordem pode apresentar características muito semelhantes às de um sistema de primeira ordem ou, dependendo dos valores dos componentes, apresentar oscilações puras ou amortecidas como resposta transitória.

Resposta Superamortecida, Fig. 4.7(b)

Para esta resposta,

(4-12)

• um pólo na origem da entrada em degrau unitário Resposta: c(t) = K1 + K2 e-7,85t + K3e-1,45t

• dois pólos reais provenientes do sistema.

Resposta Subamortecida, Fig. 4.7(c)

Para esta resposta,

(4.13)

• um pólo na origem da entrada em degrau unitário• dois pólos complexos provenientes do sistema.Com base na Fíg. 4.7(c), os pólos que geram a resposta natural estão situados em s = -1 ± j �8. • parte real do pólo coincide com a freqüência do decaimento exponencial da amplitude da senóide• parte imaginária do pólo coincide com a freqüência da oscilação senoidal.A esta freqüência é dado o nome de freqüência de oscilação amortecida, �d.

Outros casos de 2a ordem:

Exemplo 4.2

Forma da resposta subamortecida usando os pólos

Problema Escreva, por inspeção, a forma da resposta ao degrau do sistema:

Solução 1) forma da resposta forçada do sistema é um degrau.2) forma da resposta natural: pólos s = -5 ± jl3,23. 3) parte real, -5, é a freqüência exponencial do amortecimento =constante de tempo do

decaimento das oscilações.4) Parte imaginária, 13,23, é a freqüência das oscilações

Portanto: c(t) = K1 + e-5t(K2cos13,23t + K3sen13,23t) = K1 + e-5tK4cos(13,23t – �)

- Respostas ao degrau de Sistemas de segunda ordem para os casos de amortecimento

Exercício de Avaliação 4.3

Problema: Escreva, por inspeção, a forma geral da resposta ao degrau para cada uma das seguintes funções de transferência e depois confira a resposta no Maple

Ex: Sistema de 1a ordem no Maple (resposta ao lado)

>with(inttrans);> T:=2;> R(s):=1;> C(s):=(1/(T*s+1))*R(s);> C(t):=invlaplace(C(s),s,t);> R(t):=invlaplace(R(s),s,t);> plot([C(t),R(t)],t=0...10,color=[red,blue]);

4.5 O Sistema de Segunda Ordem Geral

Frequência Natural, �n

Definida como a frequência de oscilação do sistema sem amortecimentoPor exemplo, sistema massa-mola sem amortecedor

Relação de Amortecimento, �

A resposta ao degrau de um sistema de segunda ordem subamortecido é caracterizada por oscilações amortecidas. Uma definição viável para esta grandeza é a que compara a freqüência de decaimento exponencial da envoltória com a freqüência natural. Esta relação é constante qualquer que seja a escala de tempo da resposta. Definimos a relação de amortecimento, �, como sendo :

Considere o sistema genérico

Sem amortecimento, os pólos estariam sobre o eixo j�, e a resposta seria uma senóide sem amortecimento. Para que os pólos sejam puramente imaginários, a = 0. Portanto.

(4.18)

Por definição, a freqüência natural, �n é a freqüência de oscilação deste sistema. Como os pólos deste sistema estão sobre o eixo j� em ± j�b,

Portanto,

Os pólos complexos possuem uma parte real. �, igual a -a/2. Por conseguinte.,

(4.20)

de onde(4.21)

Função de transferência de segunda ordem genérica:

(4.22)

Ex: Determinando � e �n para um sistema de segunda ordem Problema

Dada a função de transferência

Solução Comparando as Eqs. (4.23) e (4.22), 36, de onde Além disso.

Portanto, � =0,35 .Calculando os pólos da função de transferência na Eq. (4.22), resulta

Ex 4.4 Caracterize a resposta com base no valor de � para os três sistemas

Solução uma vez que

Obtemos � = 1,155 para o sistema (a) =>, superamortecido.� = 1 para o sistema (b) => criticamente amortecido � = 0,894 para o sistema (c) => subamortecido