ADL 08

2.10 Não-linearidades

Ate aqui todos modelos de sistemas foram descritos aproximadamente por equações diferenciais lineares, invariantes no tempo.

Um sistema linear possui duas propriedades:

• Superposição: se uma entrada r1 (t) gerar uma saída c1 (t) e uma entrada r2 (t) gerar uma saída c2 (t), então uma entrada r1 (t) + r2 (t); produzirá uma saída c1 (t) + c2 (t). • Homogeneidade: se uma entrada r1 (t) gerar uma saída c1 (t), então uma entrada A r1 (t) produziráuma saída A c1 (t).

A Fig. 2.45(a) é um sistema linear onde a saída é sempre metade da entrada, ou f{x) = 0,5x. Se uma entrada de valor 1 produz uma saída de valor 1/2 e uma entrada de valor 2 produz uma saída de valor 1. Então, uma entrada com valor igual à soma das entradas originais, ou seja, 3, produziria uma saída igual à soma das saídas individuais, isto é, 1,5. Observe que o mesmo não ocorre na Fig. 2.45(b)

LinearizaçãoGerar aproximações lineares de sistemas não-lineares a fim de obter funções de transferência.Etapas:1. Reconhecer o componente não-linear e escrever a equação diferencial não-linear.2. Linearizar a equação para valores pequenos do sinal de entrada em torno da solução de estado

estacionário, ou equilíbrio.3. Separar variáveis de Entrada, Saída e Intermediárias4. Calcular a Função de Transferência da partir das equações linearizadas

Exemplos de não-linearidades físicas.

Exemplo:Quando um pêndulo está em repouso, está em equilíbrio. O deslocamento angular é descrito por uma equação diferencial não-linear, mas pode ser expresso por uma equação diferencial linear para pequenas excursões em torno deste ponto de equilíbrio.

Se supusermos um sistema não-linear operando em um ponto A, [x0,,f{x0)] na Fig. 2.47, é possível relacionar pequenas variações na entrada a variações na saída em torno do ponto por intermédio da inclinação da curva no ponto A. Assim, se a inclinação da curva no ponto A for ma, então uma pequena excursão da entrada em torno do ponto A, �x acarreta pequenas variações na saída,� f(x), relacionado pela inclinação no ponto A. Portanto,

da qual

e

(2.181)

Para pequenas excursões de x em torno de x0, podemos desprezar os termos de ordem mais alta,na Eq. (2.181), obtemos

(2.182)

ou

(2.183)

Exemplo 2.26

Linearizando uma funçãoProblema: Linearizar f(x) = 5 cos x em torno de x = �/2Solução:Série de Taylor em torno do ponto x0.

(2.178)

(2.179)

(2.180)

Linearização da uma equação diferencial

Problema Linearizar a Eq. (2.184) para pequenas excursões em torno de x = �/4.

(2.184)

Solução: o termo cos x toma esta equação não-linear. Como desejamos linearizar a equação em torno de x = �/4, fazemos x = �x + �/4, onde �x é uma pequena excursão em torno de �/4, e substituímos x na Eq. (2.184):

(2.185)

Mas e

Finalmente, o termo cos(�x + �/4) pode ser linearizado por meio de uma série de Taylor truncada.

(2.188)

Resolvendo a Eq. (2.l88) para cos( �x + �/4), obtemos

(2.189)

Substituindo asEqs. (2.186), (2.187) e (2.189) na Eq. (2.185), resulta a seguinte equação diferencial linearizada:

(2.190)

Solução Da relação corrente-tensão do resistor, obtemos vr = 10 ln (ir /2)A equação da malha, onde ir = i, resulta

Cálculo da solução de equilíbrio:• Com v(t) = 0, o circuito consiste em uma bateria de 20 V em série com o indutor e com o resistor não-linear.• Em estado estacionário a tensão sobre o resistor, vr é 20 V.• Usando a característica do resistor, ir = 2e0,1Vr, => ir = i0 = 14,78 A.• Substituindo i = i0 + �i. na Eq. (2.191), resulta:

(2.191)

Usando a Eq. (2.182):

(2.193)

(2.194)

Substituindo na Eq. (2.192), a equação linearizada se torna

Função de transferência: circuito elétrico não-linearProblema Obter a função de transferência, VL(s)/V(s), para o circuito elétrico ao lado, onde v(t) éuma fonte de pequenos sinais.O resistor não-linear tem relação tensão-corrente definida por ir = 2e0,1Vr

(2.192)

Fazendo L = 1 e i0 = 14,78, temos: (2.196)

Aplicando a transformada de Laplace, supondo condições iniciais nulas,

Mas a tensão sobre o indutor em torno do ponto de equilíbrio é

Aplicando a transformada de Laplace,

Substituindo a Eq. (2.197) na Eq. (2.199), resulta

(2.201)

para pequenas excursões em torno de i = 14,78 ou, de forma equivalente, em torno de v(t) = 0.

Problema: Obter a função de transferência linearizada, G(s) = V(s)/I(s), para o circuito elétrico mostrado na Fig. 2.50. O circuito contém um resistor não-linear cuja relação tensão-corrente é definida por ir = evr. A fonte de corrente, i(t), é um gerador de pequeno sinal.

Resposta:

(2.195)

(2.197)

(2.198)

(2.199)