ANÁLISE DIMENSIONAL E SEMELHANÇA

Natureza da análise dimensional

• A maioria dos fenômenos da mecânica dos fluidos depende de uma maneira complexa de parâmetros de geometria e de escoamento. Por exemplo, determinar a força de arrasto sobre uma esfera.

• Parâmentros importantes na determinação da força de arrasto:

1. Tamanho da esfera, D.2. Velocidade do fluido, V.3. Viscosidade do fluido, μ.4. Massa especifica, ρ.

F= f(D,V, μ ,ρ)

Teorema dos Pi de Buckingham

• É uma relação entre uma função expressa em termos de parâmetros dimensionais e uma função correlata expressa em termos de parâmetros adimensionais.

• O emprego do teorema dos Pi de Buchingham permite desenvolver parâmetros adimensionais de modo rápido e fácil

Teorema dos Pi de Buckingham

• Dado um problema físico no qual o parâmetro dependente é uma função de (n-1) parâmetros independentes, podemos expressar a relação entre as variaveis em forma funcional, como:

q₁ = f(q₂, q₃, ..., qn) onde, q₁ é o parametro dependente e q₂, q₃, ...,

qn são os n-1 paramentros independentes.

Teorema dos Pi de Buckingham

• Matematicamente, podemos expressar a relação funcional na forma equivalente:

g(q₁,q₂, q₃, ..., qn) = 0• O teorema dos Pi de Buckingham declara que : Dada

uma relação entre n parâmentros da forma g(q₁,q₂, q₃, ..., qn) = 0, então os n parâmentros podem ser agrupados em n-m razões independentes adimensionais, ou parametros π, que podem ser expressos em forma funcional por

G (π1, π2, ..., πn-m) = 0

Como determinar os Pi de Buckingham• Exemplo: Força de arrasto sobre uma esfera lisa• Passo1:Liste todos os parâmetros envolvidos. Se todos os

parâmetros pertinentes não forem incluídos, uma relação pode ser obtida, mas não fornecerá a história completa. Se houver inclusão de parâmetros que não têm efeito sobre o fenômeno físico em estudo, o processo de análise dimensional mostrará que eles não entram na relação buscada.

F = g(V, D, ρ, μ)Ou G(F, V, D, ρ, μ)=0n = 5 parâmetros envolvidos

Exemplo: Força de arrasto sobre uma esfera lisa

• Passo 2: Selecione um conjunto de dimensões primárias. Por exemplo: MLT

• Passo 3: Liste as dimensões de todos os parâmetros os parâmetros em termos das dimensões primárias:

• F → [ML / T2]• V → [L / T]• D → [L]• ρ → [M /L3]• μ → [M /LT]• Portanto, m= 3 (número de dimensões primárias utilizadas)

Exemplo: Força de arrasto sobre uma esfera lisa

• Passo 4 : Selecione da lista m parâmetros que se repetem (m é igual ao número de dimensões primárias utilizadas no Passo 3 ) que contenham todas as dimensões primárias utilizadas.

Selecioanamos: ρ,V, D

Exemplo: Força de arrasto sobre uma esfera lisa

• Passo 5: então resultarão em n-m=2 grupos adimensionais. Estabelecendo equações dimensionais, obtemos:

Exemplo: Força de arrasto sobre uma esfera lisa

• Passo 5: então resultarão em n-m=2 grupos adimensionais. Estabelecendo equações dimensionais, obtemos:

Exemplo: Força de arrasto sobre uma esfera lisa

• Passo 6: Tire a prova. Verifique se os grupos obtidos são realmente adimensionais.