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ANÁLISE DE DADOS – GRÁFICOS. Aplicados à Física Tuba Física: http://tubafisica.blogspot.com

Função constante

Toda função f: → , definida por f(x) = c, com

c , é denominada função constante.

Exemplos:

a) y = f(x) = 5 b) y = f(x) = 0 c) y = f(x) = -8

O gráfico da função constante é sempre uma reta

paralela ou coincidente com o eixo x, passando pelo ponto (0, c).

No exemplo (a), c= 5, o gráfico, então, fica:

No exemplo (b), c= 0, o gráfico, então, fica:

No exemplo (c), c= -8, o gráfico, então, fica:

Função constante na FÍSICA

Vejamos exemplos de função constante aplicada à Cinemática:

a) Corpo em repouso

Considere um corpo em repouso situado na posição d= 12 m. Se ele permanece em repouso, sua posição

não varia ao longo do tempo, então sua velocidade é

igual a zero (v = 0). A equação horária da posição

deste corpo é uma função constante: d = 12. Observe

que y = d e x = t; o tempo não aparece na equação

porque a posição não muda à medida que o tempo

passa.

Se a velocidade não varia, neste caso, ela é sempre zero, logo a aceleração também é igual a zero (a = 0).

Eis os gráficos da posição, da velocidade e da aceleração em função do tempo:

Gráfico da posição em função do tempo

Gráfico da velocidade em função do tempo

Gráfico da aceleração em função do tempo

b) Corpo em movimento uniforme

Considere um corpo em movimento retilíneo uniforme, com uma velocidade constante de 25 m/s.

A função constante aparece na relação entre a velocidade e o tempo de um movimento retilíneo

uniforme, quando, então, a velocidade é constante e

diferente de zero.

Como aqui a velocidade é constante, 25 m/s, seu valor

não varia, a aceleração será igual a zero (a = 0).

Eis os gráficos da velocidade e da aceleração em função do tempo:

Gráfico da velocidade em função do tempo

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Gráfico da aceleração em função do tempo

No movimento uniforme, a equação da posição em

função do tempo é descrita por uma função polinomial de 1

0 grau (próximo tópico).

Função polinomial do 10

grau

É toda função polinomial representada pela fórmula

matemática f(x) = a.x + b ou y = a.x + b, com a ,

b e a ≠ 0, definida para todo x real.

Na sentença matemática y = a.x + b, as letras x e y

representam as variáveis, enquanto a e b são

denominadas coeficientes.

Exemplos:

f(x) = 2x + 3 (a = 2 e b = 3)

y = -3x (a = -3 e b = 0) f(x) = 5x – 4 (a = 5 e b = -4)

Gráfico de uma função do 10

grau

O gráfico de uma função de 10 grau é sempre uma

reta inclinada (uma reta horizontal, paralela ao eixo

x, representa uma função constante). A reta inclinada pode representar uma função crescente ou

decrescente.

f(x) crescente:

f(x) decrescente:

Função do 10

grau na FÍSICA

Vejamos exemplos de função de 10 grau aplicada à

Cinemática:

a) Corpo em movimento uniforme

Considere um corpo em movimento retilíneo

uniforme, com uma velocidade constante de 8 m/s. Suponha que a posição inicial do corpo seja igual a 10

m (d0 = 10 m). Da cinemática, sabemos que a posição

em função do tempo deste corpo em movimento uniforme, quando o instante inicial é igual a zero

(t0 = 0), é dada pela equação

d = v.t + d0

que representa uma função do 10 grau (y = ax + b).

Variáveis: y → d (posição) e x → t (tempo)

Coeficientes: a = v (velocidade) e b = d0 (posição inicial)

Logo, para este movimento temos a seguinte equação horária da posição

d = 8.t + 10

Eis o gráfico da posição em função do tempo deste movimento uniforme:

Gráfico da posição em função do tempo

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b) Corpo em movimento uniforme-

mente variado

Se ao invés de possuir uma velocidade constante, ela

variar uniformemente, então a aceleração será

constante e diferente de zero. Teremos, então, um

movimento retilíneo uniformemente variado. Obteremos, para o gráfico da posição em função do

tempo, uma parábola (será visto no tópico sobre

função polinomial de 20 grau).

A velocidade em função do tempo de um movimento

uniformemente variado é dada por uma função do 10

grau (y = a.x + b) e é escrita assim

v = a.t + v0

Variáveis: y → v (velocidade) e x → t (tempo)

Coeficientes: a = a (aceleração) e b = v0 (velocidade

inicial)

Considere um corpo com aceleração constante igual a

3 m/s2, sendo que sua velocidade inicial é igual a

12 m/s. Logo, a equação horária da velocidade deste movimento é

v = 3.t + 12

Eis o gráfico da velocidade em função do tempo deste movimento uniformemente variado:

Função polinomial do 20

grau

Função polinomial do 20 grau ou função quadrática é

toda função polinomial representada pela fórmula

matemática y = f(x) = a.x2 + b.x +c, com a, b, c ,

a ≠ 0, definida para todo x real. As letras x e y são as

variáveis, enquanto a, b e c são denominadas

coeficientes.

Exemplos:

a) f(x) = x2 – 2x – 3 (a = 1, b = -2, c = -3)

b) f(x) = x2 – 9 (a = 1, b = 0, c = -9)

c) f(x) = 6x2 (a = 6, b = 0, c = 0)

d) f(x) = -4x2 + 2x (a = -4, b = 2, c = 0)

O gráfico de uma função do 20 grau é uma curva

aberta chamada parábola. Vamos observar, então, o gráfico da função do

exemplo (a): f(x) = x2 – 2x – 3 .

Função do 20

grau na FÍSICA

Nos exemplos de cinemática anteriores, faltou mostrar o gráfico da posição em função do tempo do

movimento retilíneo uniformemente variado (a

velocidade variando com aceleração constante).

a) Corpo em movimento uniforme-

mente variado

Considere um corpo em movimento retilíneo

uniformemente variado, com uma aceleração

constante de 4 m/s2. Suponha que a posição inicial do

corpo seja igual a 10 m (d0 = 14 m) e sua velocidade

inicial, v0 = 22 m/s. Da cinemática, sabemos que a

posição em função do tempo deste corpo em movimento uniformemente variado, quando o instante

inicial é igual a zero (t0 = 0), é dada pela equação

00

2 dt.vt.2

ad

que é uma função de 20 grau (y = a.x

2 + b.x +c).

Variáveis: y → d (posição) e x → t (tempo)

Coeficientes: a = a/2 (aceleração/2); b = v0 (veloci-

dade inicial) e c = d0 (posição inicial)

Logo, para este movimento temos a seguinte equação

horária da posição

d = 2.t2 + 22.t + 14

Eis o gráfico da posição em função do tempo deste

movimento uniformemente variado:

Gráfico da posição em função do tempo

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Seno, cosseno e tangente

Considere um triângulo retângulo com um dos

ângulos igual a θ. O lado a é a hipotenusa, o lado b é

o cateto oposto ao ângulo e o lado c é o cateto adjacente ao ângulo, como mostra a figura abaixo:

O seno, o cosseno e a tangente desse ângulo θ

(respectivamente, sem θ, cos θ e tg θ) são definidos

da seguinte forma:

a

b

hipotenusa

oposto cateto θ sen

a

c

hipotenusa

adjacente cateto θ cos

c

b

adjacente cateto

oposto cateto θ tg

Exemplo: Calcule a tangente do ângulo θ no

triângulo retângulo da figura, sendo que a hipotenusa

é igual a 5, o cateto oposto é igual a 3 e o cateto

adjacente é igual a 4.

0,75 4

3

c

b θ tg

Logo, tg θ = 0,75

Consultando uma tabela trigonométrica, concluímos

que tg θ = 0,75 corresponde a um ângulo θ = 36,9º.

Inclinação de uma reta

A figura abaixo nos mostra uma reta r, não paralela ao

eixo x (inclinada em relação a esse eixo).

Seja θ o menor ângulo que a reta forma com o eixo x,

medido do eixo para r no sentido anti-horário.

A medida do ângulo θ é chamada inclinação da reta r.

Podem ocorrer, então, três situações:

(I)

0º < θ < 90º

(II)

90º < θ < 180º

(III)

θ = 90º

Verifica-se, facilmente, que, se r é paralela ao eixo x,

sua inclinação será zero, ou seja:

(IV)

θ = 0º

Coeficiente angular de uma reta

Considere uma reta de inclinação θ.

Denomina-se coeficiente angular ou declividade da reta r o número real a que expressa a tangente

trigonométrica de sua inclinação θ, ou seja:

a = tg θ

Já vimos que uma reta em um gráfico representa uma

função de 1º grau do tipo y = a.x + b. O coeficiente a

é exatamente o coeficiente angular da reta.

Da Trigonometria, sabemos que:

Se θ = 0º tg θ = 0 a = 0 (figura IV)

Se 0º < θ < 90º tg θ > 0 a > 0 (figura I)

Se 90º < θ < 180º tg θ < 0 a < 0 (figura II)

Se θ = 90º tg θ → ∞ a → ∞ (figura III)

Neste último caso, diz-se que a tangente de θ ou a tendem ao infinito (a reta, então, é vertical, paralela ao

eixo y).

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No exemplo a seguir, mostramos como calcular o

coeficiente angular de uma reta r, se conhecermos

dois de seus pontos.

Cálculo do coeficiente angular da reta

Podemos determinar o coeficiente angular de uma reta

r que passa por dois pontos A(x0, y0) e B(x1, y1), estes dois pontos determinam a hipotenusa de um triângulo

retângulo que tem um dos ângulos agudos igual a θ,

que é a inclinação da reta (como mostra a figura).

Pelo gráfico, observamos que a medida do cateto oposto ao ângulo é dada por y1 – y0 e a medida do

cateto adjacente ao ângulo é dada por x1 – x0. É

sempre a variável final menos a variável inicial, ou seja, o ponto B menos o ponto A (para a abscissa x e a

ordenada y).

Sabendo que o coeficiente angular a é dado por:

a = tg θ; e que a tangente de θ é igual ao cateto oposto

pelo cateto adjacente. Então, temos:

01

01

xx

yyθ tga

Este será o valor de a na equação da reta: y = a.x + b.

E qual é o valor de b?

O valor de b, que é chamado de coeficiente linear da reta, é determinado pela ordenada do ponto onde a

reta cruza o eixo y. No gráfico acima, a reta cruza o

eixo y no ponto de ordenada y0 .

Exemplo:

O gráfico abaixo mostra uma reta r que passa por dois

pontos A (0, 4) e B (3, 19).

x0 = 0

x1 = 3

y0 = 4

y1 = 19

Calculando o valor de a, temos

53

15

0

9

3

41θ tga obtemos, a = 5.

A reta cruza o eixo y no ponto A, de ordenada y0 = 4.

Logo, a equação desta reta, a qual descreve uma

função d0 1º grau, é dada por

y = 5x + 4

Vamos agora, aplicar estes conhecimentos de

Trigonometria e Geometria Analítica na Física.

Análise do gráfico de uma reta na

Física – Cinemática e assuntos gerais

Exemplo 1

Calcular a velocidade do corpo, dado o gráfico da posição em função do tempo abaixo, e achar a

equação horária da posição deste movimento.

Temos o gráfico de uma reta, que representa uma

função do 1º grau (y = a.x + b). Esse é o gráfico de um

movimento uniforme. Logo, a equação horária da

posição é uma função do 1º grau: d = v.t + d0.

O coeficiente linear b é a posição inicial d0, que é a

ordenada do ponto onde a reta cruza o eixo y, neste caso, o eixo d. Então,

d0 = 10 m.

O coeficiente angular a é a velocidade do corpo v, que é dado pela tangente do ângulo θ (inclinação da reta).

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Calculando o valor de v, temos

85

40

0

050v

5

1θ tga então, v = 8 m/s.

Lembre-se que a velocidade, para um movimento

uniforme, é igual à variação da posição pelo intervalo

de tempo:

t

dv

∆d = d1 – d0 = 50 – 10 = 40

∆t = t1 – t0 = 5 – 0 = 5

85

40

t

dv v = 8 m/s

Que é o mesmo resultado verificado acima.

Finalmente, a equação horária da posição obtida é:

d = 8.t + 10

Exemplo 2

Calcular a aceleração do corpo, dado o gráfico da

velocidade em função do tempo abaixo, e achar a

equação horária da velocidade deste movimento.

Temos, novamente, o gráfico de uma reta, que representa uma função do 1º grau (y = a.x + b). Esse é

o gráfico de um movimento uniformemente

variado. Logo, a equação horária da velocidade

descreve uma função do 1º grau: v = a.t + v0.

O coeficiente linear b é a velocidade inicial v0, que é a ordenada do ponto onde a reta cruza o eixo y, neste

caso, o eixo v. Então,

v0 = 12 m/s.

O coeficiente angular a é a aceleração do corpo a, que é dado pela tangente do ângulo θ (inclinação da reta).

Calculando o valor de a, temos

35

15

0

27

5

12θ tga então, a = 3 m/s

2 .

Lembre-se que a aceleração, para um movimento

uniformemente variado, é igual à variação da

velocidade pelo intervalo de tempo:

t

va

∆v = v1 – v0 = 27 – 12 = 15

∆t = t1 – t0 = 5 – 0 = 5

35

15

t

va a = 3 m/s

2

Que é o mesmo resultado verificado acima.

Finalmente, a equação horária da posição obtida é:

v = 3.t + 12

Assim, podemos aplicar os conhecimentos de

Funções, Trigonometria e de Geometria Analítica em

várias situações da Física, nas quais a construção de um gráfico resulte em uma reta no plano cartesiano.

Recado

Tudo o que foi visto aqui não pode ser assimilado com

uma simples “olhadela”. É necessário concentração e muito raciocínio, para que as equações e os gráficos

não se tornem elementos confusos e desconexos.

Antes disso, é preciso treinar aquela matemática bem

básica, aquela do Ensino Fundamental. Deve-se

começar “por baixo” (tabuada, por exemplo) e ir

aumentando o nível de dificuldade, até se chegar na matemática do terceiro ano do Ensino Médio.

Porém, depois de assimilado o conteúdo deste texto – isso exige dedicação – você terá desenvolvido uma

habilidade razoável na interpretação de gráficos na

Física e outras ciências; e terá mais chances de pontuar nas questões do ENEM que exigem raciocínio

lógico (acontece que todas as questões exigem).

BOA SORTE!