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ANÁLISE DE DADOS – GRÁFICOS. Aplicados à Física Tuba Física: http://tubafisica.blogspot.com
Função constante
Toda função f: → , definida por f(x) = c, com
c , é denominada função constante.
Exemplos:
a) y = f(x) = 5 b) y = f(x) = 0 c) y = f(x) = -8
O gráfico da função constante é sempre uma reta
paralela ou coincidente com o eixo x, passando pelo ponto (0, c).
No exemplo (a), c= 5, o gráfico, então, fica:
No exemplo (b), c= 0, o gráfico, então, fica:
No exemplo (c), c= -8, o gráfico, então, fica:
Função constante na FÍSICA
Vejamos exemplos de função constante aplicada à Cinemática:
a) Corpo em repouso
Considere um corpo em repouso situado na posição d= 12 m. Se ele permanece em repouso, sua posição
não varia ao longo do tempo, então sua velocidade é
igual a zero (v = 0). A equação horária da posição
deste corpo é uma função constante: d = 12. Observe
que y = d e x = t; o tempo não aparece na equação
porque a posição não muda à medida que o tempo
passa.
Se a velocidade não varia, neste caso, ela é sempre zero, logo a aceleração também é igual a zero (a = 0).
Eis os gráficos da posição, da velocidade e da aceleração em função do tempo:
Gráfico da posição em função do tempo
Gráfico da velocidade em função do tempo
Gráfico da aceleração em função do tempo
b) Corpo em movimento uniforme
Considere um corpo em movimento retilíneo uniforme, com uma velocidade constante de 25 m/s.
A função constante aparece na relação entre a velocidade e o tempo de um movimento retilíneo
uniforme, quando, então, a velocidade é constante e
diferente de zero.
Como aqui a velocidade é constante, 25 m/s, seu valor
não varia, a aceleração será igual a zero (a = 0).
Eis os gráficos da velocidade e da aceleração em função do tempo:
Gráfico da velocidade em função do tempo
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Gráfico da aceleração em função do tempo
No movimento uniforme, a equação da posição em
função do tempo é descrita por uma função polinomial de 1
0 grau (próximo tópico).
Função polinomial do 10
grau
É toda função polinomial representada pela fórmula
matemática f(x) = a.x + b ou y = a.x + b, com a ,
b e a ≠ 0, definida para todo x real.
Na sentença matemática y = a.x + b, as letras x e y
representam as variáveis, enquanto a e b são
denominadas coeficientes.
Exemplos:
f(x) = 2x + 3 (a = 2 e b = 3)
y = -3x (a = -3 e b = 0) f(x) = 5x – 4 (a = 5 e b = -4)
Gráfico de uma função do 10
grau
O gráfico de uma função de 10 grau é sempre uma
reta inclinada (uma reta horizontal, paralela ao eixo
x, representa uma função constante). A reta inclinada pode representar uma função crescente ou
decrescente.
f(x) crescente:
f(x) decrescente:
Função do 10
grau na FÍSICA
Vejamos exemplos de função de 10 grau aplicada à
Cinemática:
a) Corpo em movimento uniforme
Considere um corpo em movimento retilíneo
uniforme, com uma velocidade constante de 8 m/s. Suponha que a posição inicial do corpo seja igual a 10
m (d0 = 10 m). Da cinemática, sabemos que a posição
em função do tempo deste corpo em movimento uniforme, quando o instante inicial é igual a zero
(t0 = 0), é dada pela equação
d = v.t + d0
que representa uma função do 10 grau (y = ax + b).
Variáveis: y → d (posição) e x → t (tempo)
Coeficientes: a = v (velocidade) e b = d0 (posição inicial)
Logo, para este movimento temos a seguinte equação horária da posição
d = 8.t + 10
Eis o gráfico da posição em função do tempo deste movimento uniforme:
Gráfico da posição em função do tempo
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b) Corpo em movimento uniforme-
mente variado
Se ao invés de possuir uma velocidade constante, ela
variar uniformemente, então a aceleração será
constante e diferente de zero. Teremos, então, um
movimento retilíneo uniformemente variado. Obteremos, para o gráfico da posição em função do
tempo, uma parábola (será visto no tópico sobre
função polinomial de 20 grau).
A velocidade em função do tempo de um movimento
uniformemente variado é dada por uma função do 10
grau (y = a.x + b) e é escrita assim
v = a.t + v0
Variáveis: y → v (velocidade) e x → t (tempo)
Coeficientes: a = a (aceleração) e b = v0 (velocidade
inicial)
Considere um corpo com aceleração constante igual a
3 m/s2, sendo que sua velocidade inicial é igual a
12 m/s. Logo, a equação horária da velocidade deste movimento é
v = 3.t + 12
Eis o gráfico da velocidade em função do tempo deste movimento uniformemente variado:
Função polinomial do 20
grau
Função polinomial do 20 grau ou função quadrática é
toda função polinomial representada pela fórmula
matemática y = f(x) = a.x2 + b.x +c, com a, b, c ,
a ≠ 0, definida para todo x real. As letras x e y são as
variáveis, enquanto a, b e c são denominadas
coeficientes.
Exemplos:
a) f(x) = x2 – 2x – 3 (a = 1, b = -2, c = -3)
b) f(x) = x2 – 9 (a = 1, b = 0, c = -9)
c) f(x) = 6x2 (a = 6, b = 0, c = 0)
d) f(x) = -4x2 + 2x (a = -4, b = 2, c = 0)
O gráfico de uma função do 20 grau é uma curva
aberta chamada parábola. Vamos observar, então, o gráfico da função do
exemplo (a): f(x) = x2 – 2x – 3 .
Função do 20
grau na FÍSICA
Nos exemplos de cinemática anteriores, faltou mostrar o gráfico da posição em função do tempo do
movimento retilíneo uniformemente variado (a
velocidade variando com aceleração constante).
a) Corpo em movimento uniforme-
mente variado
Considere um corpo em movimento retilíneo
uniformemente variado, com uma aceleração
constante de 4 m/s2. Suponha que a posição inicial do
corpo seja igual a 10 m (d0 = 14 m) e sua velocidade
inicial, v0 = 22 m/s. Da cinemática, sabemos que a
posição em função do tempo deste corpo em movimento uniformemente variado, quando o instante
inicial é igual a zero (t0 = 0), é dada pela equação
00
2 dt.vt.2
ad
que é uma função de 20 grau (y = a.x
2 + b.x +c).
Variáveis: y → d (posição) e x → t (tempo)
Coeficientes: a = a/2 (aceleração/2); b = v0 (veloci-
dade inicial) e c = d0 (posição inicial)
Logo, para este movimento temos a seguinte equação
horária da posição
d = 2.t2 + 22.t + 14
Eis o gráfico da posição em função do tempo deste
movimento uniformemente variado:
Gráfico da posição em função do tempo
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Seno, cosseno e tangente
Considere um triângulo retângulo com um dos
ângulos igual a θ. O lado a é a hipotenusa, o lado b é
o cateto oposto ao ângulo e o lado c é o cateto adjacente ao ângulo, como mostra a figura abaixo:
O seno, o cosseno e a tangente desse ângulo θ
(respectivamente, sem θ, cos θ e tg θ) são definidos
da seguinte forma:
a
b
hipotenusa
oposto cateto θ sen
a
c
hipotenusa
adjacente cateto θ cos
c
b
adjacente cateto
oposto cateto θ tg
Exemplo: Calcule a tangente do ângulo θ no
triângulo retângulo da figura, sendo que a hipotenusa
é igual a 5, o cateto oposto é igual a 3 e o cateto
adjacente é igual a 4.
0,75 4
3
c
b θ tg
Logo, tg θ = 0,75
Consultando uma tabela trigonométrica, concluímos
que tg θ = 0,75 corresponde a um ângulo θ = 36,9º.
Inclinação de uma reta
A figura abaixo nos mostra uma reta r, não paralela ao
eixo x (inclinada em relação a esse eixo).
Seja θ o menor ângulo que a reta forma com o eixo x,
medido do eixo para r no sentido anti-horário.
A medida do ângulo θ é chamada inclinação da reta r.
Podem ocorrer, então, três situações:
(I)
0º < θ < 90º
(II)
90º < θ < 180º
(III)
θ = 90º
Verifica-se, facilmente, que, se r é paralela ao eixo x,
sua inclinação será zero, ou seja:
(IV)
θ = 0º
Coeficiente angular de uma reta
Considere uma reta de inclinação θ.
Denomina-se coeficiente angular ou declividade da reta r o número real a que expressa a tangente
trigonométrica de sua inclinação θ, ou seja:
a = tg θ
Já vimos que uma reta em um gráfico representa uma
função de 1º grau do tipo y = a.x + b. O coeficiente a
é exatamente o coeficiente angular da reta.
Da Trigonometria, sabemos que:
Se θ = 0º tg θ = 0 a = 0 (figura IV)
Se 0º < θ < 90º tg θ > 0 a > 0 (figura I)
Se 90º < θ < 180º tg θ < 0 a < 0 (figura II)
Se θ = 90º tg θ → ∞ a → ∞ (figura III)
Neste último caso, diz-se que a tangente de θ ou a tendem ao infinito (a reta, então, é vertical, paralela ao
eixo y).
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No exemplo a seguir, mostramos como calcular o
coeficiente angular de uma reta r, se conhecermos
dois de seus pontos.
Cálculo do coeficiente angular da reta
Podemos determinar o coeficiente angular de uma reta
r que passa por dois pontos A(x0, y0) e B(x1, y1), estes dois pontos determinam a hipotenusa de um triângulo
retângulo que tem um dos ângulos agudos igual a θ,
que é a inclinação da reta (como mostra a figura).
Pelo gráfico, observamos que a medida do cateto oposto ao ângulo é dada por y1 – y0 e a medida do
cateto adjacente ao ângulo é dada por x1 – x0. É
sempre a variável final menos a variável inicial, ou seja, o ponto B menos o ponto A (para a abscissa x e a
ordenada y).
Sabendo que o coeficiente angular a é dado por:
a = tg θ; e que a tangente de θ é igual ao cateto oposto
pelo cateto adjacente. Então, temos:
01
01
xx
yyθ tga
Este será o valor de a na equação da reta: y = a.x + b.
E qual é o valor de b?
O valor de b, que é chamado de coeficiente linear da reta, é determinado pela ordenada do ponto onde a
reta cruza o eixo y. No gráfico acima, a reta cruza o
eixo y no ponto de ordenada y0 .
Exemplo:
O gráfico abaixo mostra uma reta r que passa por dois
pontos A (0, 4) e B (3, 19).
x0 = 0
x1 = 3
y0 = 4
y1 = 19
Calculando o valor de a, temos
53
15
0
9
3
41θ tga obtemos, a = 5.
A reta cruza o eixo y no ponto A, de ordenada y0 = 4.
Logo, a equação desta reta, a qual descreve uma
função d0 1º grau, é dada por
y = 5x + 4
Vamos agora, aplicar estes conhecimentos de
Trigonometria e Geometria Analítica na Física.
Análise do gráfico de uma reta na
Física – Cinemática e assuntos gerais
Exemplo 1
Calcular a velocidade do corpo, dado o gráfico da posição em função do tempo abaixo, e achar a
equação horária da posição deste movimento.
Temos o gráfico de uma reta, que representa uma
função do 1º grau (y = a.x + b). Esse é o gráfico de um
movimento uniforme. Logo, a equação horária da
posição é uma função do 1º grau: d = v.t + d0.
O coeficiente linear b é a posição inicial d0, que é a
ordenada do ponto onde a reta cruza o eixo y, neste caso, o eixo d. Então,
d0 = 10 m.
O coeficiente angular a é a velocidade do corpo v, que é dado pela tangente do ângulo θ (inclinação da reta).
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Calculando o valor de v, temos
85
40
0
050v
5
1θ tga então, v = 8 m/s.
Lembre-se que a velocidade, para um movimento
uniforme, é igual à variação da posição pelo intervalo
de tempo:
t
dv
∆d = d1 – d0 = 50 – 10 = 40
∆t = t1 – t0 = 5 – 0 = 5
85
40
t
dv v = 8 m/s
Que é o mesmo resultado verificado acima.
Finalmente, a equação horária da posição obtida é:
d = 8.t + 10
Exemplo 2
Calcular a aceleração do corpo, dado o gráfico da
velocidade em função do tempo abaixo, e achar a
equação horária da velocidade deste movimento.
Temos, novamente, o gráfico de uma reta, que representa uma função do 1º grau (y = a.x + b). Esse é
o gráfico de um movimento uniformemente
variado. Logo, a equação horária da velocidade
descreve uma função do 1º grau: v = a.t + v0.
O coeficiente linear b é a velocidade inicial v0, que é a ordenada do ponto onde a reta cruza o eixo y, neste
caso, o eixo v. Então,
v0 = 12 m/s.
O coeficiente angular a é a aceleração do corpo a, que é dado pela tangente do ângulo θ (inclinação da reta).
Calculando o valor de a, temos
35
15
0
27
5
12θ tga então, a = 3 m/s
2 .
Lembre-se que a aceleração, para um movimento
uniformemente variado, é igual à variação da
velocidade pelo intervalo de tempo:
t
va
∆v = v1 – v0 = 27 – 12 = 15
∆t = t1 – t0 = 5 – 0 = 5
35
15
t
va a = 3 m/s
2
Que é o mesmo resultado verificado acima.
Finalmente, a equação horária da posição obtida é:
v = 3.t + 12
Assim, podemos aplicar os conhecimentos de
Funções, Trigonometria e de Geometria Analítica em
várias situações da Física, nas quais a construção de um gráfico resulte em uma reta no plano cartesiano.
Recado
Tudo o que foi visto aqui não pode ser assimilado com
uma simples “olhadela”. É necessário concentração e muito raciocínio, para que as equações e os gráficos
não se tornem elementos confusos e desconexos.
Antes disso, é preciso treinar aquela matemática bem
básica, aquela do Ensino Fundamental. Deve-se
começar “por baixo” (tabuada, por exemplo) e ir
aumentando o nível de dificuldade, até se chegar na matemática do terceiro ano do Ensino Médio.
Porém, depois de assimilado o conteúdo deste texto – isso exige dedicação – você terá desenvolvido uma
habilidade razoável na interpretação de gráficos na
Física e outras ciências; e terá mais chances de pontuar nas questões do ENEM que exigem raciocínio
lógico (acontece que todas as questões exigem).
BOA SORTE!