anÁlise combinatÓria montados; b) o número de sanduíches distintos que um cliente pode montar,...

IIIII M16 – ANÁLISE COMBINATÓRIA IIIII

www.vestibularpassoapasso.com.br 2016-05-13 09:23 Editora VESTIBULAR PASSO A PASSO 1

(

ANÁLISE COMBINATÓRIA

A

B

C

D

E

F

Anotar a hora.

Para cada questão, ler a resolução e escrever com caneta nas paginas da esquerda.

Sempre escrever a fórmula. Sempre fazer a representação gráfica.

Resolver passo a passo.

Preferentemente resolver primeiro todas de uma coluna, que são mais simples, daí prosseguir com as questões de uma coluna e meia.

Prosseguir até o final sem interrupção resolvendo as longas, de duas colunas. Anotar a hora de finalização.

Seu o objetivo deve ser 20 questões / hora, ou 40 em duas horas

Atingiu? Sim? Ótimo,

Parabéns, Você venceu.

.

FAÇA a revisão de todas as questões deste livreto na sequência. . USE CANETA DE OUTRA COR.- Controle o tempo total.

Os colégios e cursos que adotam este método

conseguem maior quantidade de alunos aprovados nos vestibulares. Nas provas mensais os professores devem adotar estas e outras questões de

vestibulares do mesmo capítulo (10 questões por exemplo), condicionando que o aluno sempre “justifique sua resposta”.

_____



Uerj Para montar um sanduíche, os clientes de uma lanchonete podem escolher: - um dentre os tipos de pão: calabresa, orégano e queijo; - um dentre os tamanhos: pequeno e grande; - de um até cinco dentre os tipos de recheio: sardinha, atum, queijo, presunto e salame, sem possibilidade de repetição de recheio num mesmo sanduíche. Calcule: a) quantos sanduíches distintos podem ser montados; b) o número de sanduíches distintos que um cliente pode montar, se ele não gosta de orégano, só come sanduíches pequenos e deseja dois recheios em cada sanduíche.

IIIII R E S O L U Ç Ã O IIII

Etapas sucessivas princípio fundamental de contagem A quantidade de possibilidades de recheios são combinações dos 5 tipos de recheio agrupados 1 à 1, 2 à 2, 3 à 3, 4 à 4 e 5 à 5, assim:

a) = 3.2. (C5,1 + C5,2 + C5,3 + C5,4 + C5,5) = 3 . 2 (5 + 10 + 10 + 5 + 1 )

= 6.(2 . 5 + 2 . 10 + 1) = 6. 31 = 186 b) = 2.1. C5,2 = 2 .10 = 20



UERJ 1999 - 1ª Fase - 07

RELOCAR Ana dispunha de papéis com cores diferentes. Para enfeitar sua loja, cortou fitas desses papéis e embalou 30 caixinhas de modo a não usar a mesma cor no papel e na fita, em nenhuma das 30 embalagens. A menor quantidade de cores diferentes que ela necessitou utilizar para a confecção de todas as embalagens foi igual a: (A) 30 (B) 18 (C) 6 (D) 3

IIIII R E S O L U Ç Ã O IIIII Cada cor de papel pode ter (n - 1) cores de fita 30 = n (n - 1) n2 - n = 30 n2 - n – 30 = 0 a b c 1 - 1 - 30

= b2 - 4 . a . c

= 1 – 4 . 1 . (- 30)

n = 1

1

+

1

2

0

n = - b ̄ 2 . a

n = 1 1̄2̄1̄ 2 . 1

n = 1 11 2 n = 6 ou n = - 5 Opção ( C )

UERJ 2000 – Discursiva – 03 Considere as matrizes A e B: A = (aij) é quadrada de ordem n em que 1, se Ǿ par aij = - 1, se Ǿ impar B = (bij) é de ordem n x p em que bij = j

i

A) Calcule a soma dos elementos da diagonal principal da matriz A. B) O elemento da quarta linha e da segunda coluna da matriz produto AB é igual a 4094. Calcule o número de linhas da matriz

IIIII R E S O L U Ç Ã O IIIII -1 +1 -1 +1 ...(-1)n 0, se n é par 1, se n é ímpar C4,2 = 2 + 22 + 24 + . . . + 2n

C4,2 = 4094 2 (2n – 1) = 4094 2 – 1 2n = 4094 2n = 211 Bases iguais ? Sim, Elimine – as n = 11 II 02



UERJ 2003 - 1a Fa - 1

o Ex - 38

Numa cidade, os números telefônicos não podem começar por zero e têm oito algarismos, dos quais, os quatro primeiros constituem prefixo. Considere que os quatro últimos dígitos de todas as farmácias são 0000 e que o prefixo da farmácia Vivavida é formado pelos dígitos 2, 4, 5 e 6, não repetidos e não necessariamente nesta ordem. O número máximo de tentativas a serem feitas para identificar o número telefônico completo dessa farmácia equivale a: A) 6 B) 24 C) 64 D) 168

IIIII R E S O L U Ç Ã O IIIII Para o primeiro dígito há 4 possibilidades de escolha. Para o segundo dígito há 3 possibilidades, pois um algarismo já foi escolhido para o primeiro dígito. Para o terceiro há 2 possibilidades de escolha, pois dois já foram escolhidos. Para o quarto há 1 possibilidade. Para cada um dos quatro últimos há 1 possibilidade N = 4 . 3 . 2 . 1 . 1 . 1 . 1 . 1 N = 4 . 3 . 2 . 1 N = 24 Opção ( B )

)



UERJ 2006 – 2a fase – Disc. 09

Em uma outra barraca de frutas, as laranjas são arrumadas em camadas retangulares, obedecendo à seguinte disposição: uma camada de duas laranjas encaixa-se sobre uma camada de seis; essa camada de seis encaixa-se sobre outra de doze; e assim por diante, conforme a ilustração a baixo.

Sabe-se que a soma dos elementos de uma coluna do triângulo de Pascal pode ser calculada pela fórmula Cpp + Cpp + 1 + Cpp + 2 + ... + Cpn = Cpn + 1n + 1 , na qual n e p são números naturais, n ≥ p e Cpn corresponde ao número de combinações simples de n elementos tomados p a p. Com base nessas informações, calcule: A) a soma C22 + C23 + C24 + ... + C218; B) o número total de laranjas que compõem quinze camadas.

IIIII R E S O L U Ç Ã O IIIII A) S = C2,2 + C3,2 + + ... + C18,2 S = C19.3 S = 19 . 18 . 17 3 . 2

S = 969 B) S = 1 . 2 + 2 . 3 + 3 . 4 + ... + 15 . 16 S = 1 . 2 + 2 . 3 + ... + 15.16 2 2 2 2 S = C2,2 + C3,2 + . . . + C16,2 2 S = C17,3 2 S = 17 . 16 . 15 2 3 . 2 S = 1360 laranjas



Análise combinatória UERJ / 2007 A figura mostra uma sequência de semicírculos. O esquema abaixo indica quatro desses semicírculos.

Admita que as medidas dos raios (AB, BC, CD, DE, EF, FG, ...) formem uma progressão tal que AB / BC = BC / CD = CD / DE = .... Assim, considerando AB = 2, a soma AB + BC + CD + DE + ... será equivalente a:

(A) 2 + 3 (B) 2 + 5

(C) 3 + 3 (D) 3 + 5

IIIII R E S O L U Ç Ã O IIIII Da figura temos AB = BC + CD, BC + CD = 2

e CD

BC

BC

2

BC + (BC )2

2 = 2

(BC)2 + 2 x (BC) – 4 = 0.

Resolvendo essa equação

f BC = 5 - 1. Soma pedida é a soma de termos de uma P.G. de razão menor que 1, o que significa que essa soma

converge, e para 2

1−( 5 – 1)/2 =

4

3− 5 =

3 + 5. Opção (D.)

Análise combinatória UERJ 2007 - 2

o ex qual - 42

Sete diferentes figuras foram criadas para ilustrar, em grupos de quatro, o Manual do Candidato do Vestibular Estadual 2007. Um desses grupos está apresentado a seguir Considere que cada grupo de quatro figuras que poderia ser formado é distinto de outro somente quando pelo menos uma de suas figuras for diferente. Nesse caso, o número total de grupos distintos entre si que poderiam ser formados para ilustrar o Manual é igual a: (A) 24 (B) 35 (C) 70 (D) 140

IIIII R E S O L U Ç Ã O IIIII C7,4 = 7! . (4! 7-4)! C7,4 = 7 . 6 . 5 . 4! 4! . 3 . 2 . 1 C7,4 = 7 . 5 C7,4 = 35 Opção ( B ) II II



UERJ 2007 – (09e10) 09 Um sistema de numeração de base b, sendo b ≥ 2, utiliza b algarismos: 0, 1, 2, 3, ..., b-1. O sistema de numeração usual é o decimal. Quando escrevemos um número nesse sistema, a base 10 não precisa ser indicada. Por exemplo, o número 3548 corresponde a 3 x 10

3 + 5 x 10

2 + 4 x 10

1 + 8 x 10

0

Em qualquer outro sistema, é preciso indicar a base. Por exemplo, o número (2043)5 está escrito na base b= 5 e corresponde a 2 x 5

3 + 0 x 5

2 + 4 x 5

1 + 3 x 5

0 ,

ou seja, 273 no sistema decimal. (Questão 09) Sabe-se que, em qualquer base, o acréscimo de zeros à esquerda da representação de um número não altera seu valor. Os números (301)7 e (0301)7 são, portanto, iguais e formados por três algarismos. Calcule, no sistema de numeração de base 7, a quantidade total de números que possuem somente quatro algarismos distintos.

IIIII R E S O L U Ç Ã O IIIII Números de 4 algarismos distintos nquatro = 6 . (6 . 5 . 4) nquatro = 720 III III

UERJ 2009 – 2a fase – Dis – 03

Considere a situação abaixo: Em um salão há apenas 6 mulheres e 6 homens que sabem dançar. Calcule o número total de pares de pessoas de sexos opostos que podem ser formados para dançar. Um estudante resolveu esse problema do seguinte modo: A primeira pessoa do casal pode ser escolhida de 12 modos, pois ela pode ser homem ou mulher. Escolhida a primeira, a segunda pessoa só poderá ser escolhida de 6 modos, pois deve ser de sexo diferente da primeira. Há, portanto, 12 × 6 = 72 modos de formar um casal. Essa solução está errada. Apresente a solução correta.

IIIII R E S O L U Ç Ã O IIIII Há 6 possibilidades de se escolher uma mulher e, para cada uma dessas escolhas, existem 6 possibilidades de se escolher um homem. Número de maneiras distintas de se formar um casal n = 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 n = 6 . 6 n = 36



UERJ 2008 - 2o Eq- (26, 27) - 27

Uma bicicleta de marchas tem três engrenagens na coroa, que giram com o pedal, e seis engrenagens no pinhão, que giram com a roda traseira. Observe a bicicleta abaixo e as tabelas que apresentam os números de dentes de cada engrenagem, todos de igual tamanho

Engrenagens

da coroa N

o de dentes

1a 49

2a 39

3a 27

Engrenagens do pinhão

No de dentes

1a 14

2a 16

3a 18

4a 20

5a 22

6a 24

Cada marcha é uma ligação, feita pela corrente, entre uma engrenagem da coroa e uma do pinhão. (questão 27) Um dente da 1ª engrenagem da coroa quebrou. Para que a corrente não se desprenda com a bicicleta em movimento, admita que a engrenagem danificada só deva ser ligada à 1ª ou à 2ª engrenagem do pinhão.

Nesse caso, o número máximo de marchas distintas, que podem ser utilizadas para movimentar a bicicleta, é de: (A) 10 (B) 12 (C) 14 (D) 16

IIIII R E S O L U Ç Ã O IIIII Duas etapas: escolher uma engrenagem da coroa e uma do pinhão. I) Usando a engrenagem quebrada da coroa Etapas → Engrenagem da Coroa Engrenagem do Pinhão Nº de possibilidades N = 1 x 2 N = 2 II) Usando engrenagens não quebradas Etapas → Engrenagem da Coroa Engrenagem do Pinhão Nº de possibilidades N = 2 x 6 N = 12 Total = 2 + 12 Total = 14 Opção ( C ) 08



UERJ 2010 – 2º Eq - 33 Ao refazer seu calendário escolar para o segundo semestre, uma escola decidiu repor algumas aulas em exatamente 4 dos 9 sábados disponíveis nos meses de outubro e novembro de 2009, com a condição de que não fossem utilizados 4 sábados consecutivos. Para atender às condições de reposição das aulas, o número total de conjuntos distintos que podem ser formados contendo 4 sábados é de: (A) 80 (B) 96 (C) 120 (D) 126

IIIII R E S O L U Ç Ã O IIIII Elementos que representam os sábados disponíveis para a confecção do novo calendário A = {s1, s2, . . . s9} Usar 4 desses sábados, e esses não podem ser consecutivos. Número de maneiras distintas de escolha das datas Combinação N = C9,4 N = 9 , 8 , 7 , 6 - 6 4 . 3 . 2 .1 N = 120 Opção ( C )

UERJ 2010 – 2ª fase – Disc - 03 Um cofre eletrônico possui um painel com dez teclas numéricas e pode ser aberto por meio da digitação, em qualquer ordem, de três teclas distintas dentre seis habilitadas previamente pelo fabricante. Considere n o número máximo de conjuntos distintos de três teclas que abrem o cofre. Na figura em destaque, as teclas azuis representam as habilitadas previamente

Se o fabricante reduzisse para cinco o número de teclas habilitadas, haveria entre elas um total de m conjuntos distintos de três teclas distintas para abrir o cofre. Calcule o valor de n - m.

IIIII R E S O L U Ç Ã O IIIII n = 6 . 5 . 4 3 . 2 . 1 n = 20 m = 5 . 4 . 3 3 . 2 . 1 m = 10 n – m = 20 – 10 n – m = 10

II



UERJ 2009 – 2o Eq - 23

Um estudante possui dez figurinhas, cada uma com o escudo de um único time de futebol, distribuídas de acordo com a tabela: Time/escudo Quantidade de figuras idênticas A 3 B 2 C 1 D 1 E 1 F 1 G 1 Para presentear um colega, o estudante deseja formar um conjunto com cinco dessas figurinhas, atendendo, simultaneamente, aos seguintes critérios: – duas figurinhas deverão ter o mesmo escudo; – três figurinhas deverão ter escudos diferentes entre si e também das outras duas. De acordo com esses critérios, o número máximo de conjuntos distintos entre si que podem ser formados é igual a: (A) 32 (B) 40 (C) 56 (D) 72

IIIII R E S O L U Ç Ã O IIIII As duas figurinhas com mesmo escudo serão time A ou do time B. As outras três deverão ser escolhidas entre os seis times restantes em cada caso.

Número de conjuntos distintos que possuem duas figurinhas do time A mais três figurinhas dos demais n = C6,3 n = 6! . 3! (6-3)! n = 6 . 5 . 4 3 . 2 . 1 n = 20 Número máximo de conjuntos que podem ser formados nmáximo = 20 + 20 nmáximo = 40 Opção (B)



UERJ 2010 - 1o Eq – 39 O menino Maluquinho

Considere como um único conjunto as 8 crianças – 4 meninos e 4 meninas – personagens da tirinha. A partir desse conjunto, podem-se formar n grupos, não vazios, que apresentam um número igual de meninos e de meninas. O maior valor de n é equivalente a: a) 45 b) 56 c) 69 d) 81

IIIII R E S O L U Ç Ã O IIIII Elas A {a1 a2 a3 a4} Eles B {b1 b2 b3 b4} Conjuntos com um número igual de meninas e meninos nA = nB

Tipo I 1 de A e 1 de B Tipo I = C4,1 , C4,1 Tipo I = 4 . 4 Tipo I = 16

Tipo II 2 de A e 2 de B Tipo II = C4,2 . C4,2 Tipo II = 4! . 4! . 2! (4-2)! 2! (4-2)! Tipo II = 4 . 3 . 2! . 4 . 3 . 2!

2! 2! 2! 2! Tipo II = 4 . 3 . 4 . 3 . 2 2 Tipo II = 6 . 6 Tipo II = 36

Tipo III 3 de A e 3 de B Tipo III = C4,3 . C4,3 Tipo II = 4! . 4! . 3! (4-3)! 3! (4-3)! Tipo II = 4 . 3! . 4 . 3! . 3! . 1! 3! . 1! Tipo III = 4 . 4 Tipo III = 16

Tipo IV 4 de A e 4 de B Tipo IV = C4,4 . C4,4 Tipo IV = 1 . 1 Tipo IV = 1 Total = 16 + 36 + 16 + 1 Total = 69 conjuntos Opção ( C )



12) (UERJ 2010 – 2ª Eq Ao refazer seu calendário escolar para o segundo semestre, uma escola decidiu repor algumas aulas em exatamente 4 dos 9 sábados disponíveis nos meses de outubro e novembro de 2009, com a condição de que não fossem utilizados 4 sábados consecutivos. Para atender às condições de reposição das aulas, o número total de conjuntos distintos que podem ser formados contendo 4 sábados é de: a) 80 b) 96 c) 120 d) 126

IIIII R E S O L U Ç Ã O IIIII Considere o conjunto

formado por 9 elementos que representam os sábados disponíveis para a confecção do novo calendário. Como a escola deverá usar somente 4 sábados, e esses não podem ser consecutivos, o número de maneiras distintas de escolha dessas datas é:

N = 120 Opção ( C )

UERJ 2011 – 2o Eq – 32

Uma máquina contém pequenas bolas de borracha de 10 cores diferentes sendo 10 bolas de cada cor

Ao inserir uma moeda na máquina, uma bola é expelida ao acaso. Observe a ilustração Para garantir a retirada de 4 bolas de uma mesma cor, o menor número de moedas a serem inseridas na máquina corresponde a: (A) 5 (B) 13 (C) 31 (D) 40

IIIII R E S O L U Ç Ã O IIIII Será necessário que, antes, já tenham sido retiradas, pelo menos, 3 bolas de cada uma das 10 cores, totalizando assim 30 bolas retiradas. A próxima bola a ser retirada completará, um conjunto de 4 bolas de uma mesma cor. Número mínimo de moedas inseridas para atender a essa condição = 31. Opção (C)

II



UERJ 2011 - 1o Eq – 41

Uma rede é formada de triângulos equiláteros congruentes, conforme a representação abaixo.

Uma formiga se desloca do ponto A para o ponto B sobre os lados dos triângulos, percorrendo X caminhos distintos, cujos comprimentos totais são todos iguais a d. Sabendo que d corresponde ao menor valor possível para os comprimentos desses caminhos, X equivale a: (A) 20 (B) 15 (C) 12 (D) 10

IIIII R E S O L U Ç Ã O IIIII C = para cima D = para direita. Qualquer um dos x caminhos menores caminhos possíveis é uma permutação da sequência do tipo anagrama com letras repetidas (C,C,C,C,D,D). Número de caminhos ncaminhos = P6, 4,2 n = 6! . 4! . 2! n = 6 . 5 . 4! 4! . 2! n = 15 Opção ( B )

UERJ 2012 – 2ª fase - disc - 09 Todas as n capitais de um país estão interligadas por estradas pavimentadas, de acordo com o seguinte critério: uma única estrada liga cada duas capitais. Com a criação de duas novas capitais, foi necessária a construção de mais 21 estradas pavimentadas para que todas as capitais continuassem ligadas de acordo com o mesmo critério. Determine o número n de capitais, que existiam inicialmente nesse país.

IIIII R E S O L U Ç Ã O IIIII Número inicial de capitais = n Número inicial de estradas = Cn,2 Número final de estradas = Cn+2 , 2 Cn,2 + 21 = Cn+2, 2 2 n + 1 = 21 2 n = 20 n = 10 capitais

II II



UERJ 2012 – 2 eq - 42 A tabela abaixo apresenta os critérios adotados por dois países para a formação de placas de automóveis. Em ambos os casos, podem ser utilizados quaisquer dos 10 algarismos de 0 a 9 e das 26 letras do alfabeto romano.

País Descrição do

critério Exemplo de placa

x 3 letras e 3 algarismos em

qualquer ordem.

y Um bloco de 3 letras, em

qualquer ordem, à esquerda de

outro bloco de 4 algarismos, também em

qualquer ordem.

descrição dO CRITÉRIO exemplo de placa X 3 letras e 3 algarismos, em qualquer ordem Y um bloco de 3 letras, em qualquer ordem, à esquerda de outro bloco de 4 algarismos, também em qualquer ordem M3MK09 Considere o número máximo de placas distintas que podem ser confeccionadas no país X igual a n e no país Y igual a p. A razão corresponde a: (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 6

IIIII R E S O L U Ç Ã O IIIII Determinam-se, primeiramente, 3 das 6 possíveis posições para colocação de 3 das 26 letras,

utilizando uma combinação simples: C6,3 = 6! . 3! . (6-3)! C6,3 = 6 . 5 . 4 . 3! 3! . (6 - 3)! C6,3 = 6 . 5 . 4 3 . 2 . 1 C6,3 = 20 Existem, então, 20 modos de realizar essa escolha. Portanto, o número total n de placas no país X é igual a: n = 20 × 26 × 26 × 26 × 10 × 10 × 10 n = 20 × 263 × 103 País Y, Número p de placas distintas possíveis p = 26. 26 . 26 . 10 . 10 . 10 . 10 P = 263 x 104 Relação pedida n = 20 . 263 . 103 P 263 . 104 n = 2 p Opção ( B ) I



UFRJ . (Ufrj) Quantos números de 4 algarismos podemos formar nos quais o algarismo 2 aparece ao menos uma vez?

IIIII R E S O L U Ç Ã O IIIII

Total gel – N de não aparece uma vez Considerando que o 2 aparece apenas uma vez: 1 x 9 x 9 x 9 = 729 8 x 1 x 9 x 9 = 648 8 x 9 x 1 x 9 = 648 8 x 9 x 9 x 1 = 648 Soma tudo: 3x648 + 729 = 2673 Considerando o 2 aparecendo duas vezes: 8 x 1 x 1 x 9 = 72 8 x 1 x 9 x 1 = 72 8 x 9 x 1 x 1 = 72 1 x 9 x 9 x 1 = 81 1 x 9 x 1 x 9 = 81 1 x 1 x 9 x 9 = 81 Soma tudo: 3x72 + 3x81 = 459 Considerando que o 2 apareça 3 vezes 1 x 1 x 1 x 9 = 9

1 x 1 x 9 x 1 = 9 1 x 9 x 1 x 1 = 9 9 x 1 x 1 x 1 = 9 Soma tudo: 4x9 = 36 Considerando o 2 aparecendo 4 vezes: 1 x 1 x 1 x 1= 1 SOMA TOTAL S = 2673 + 459 + 36 + 1 S = 3169 3168 números

Seja o(a) melhor da turma

AGORA

Seja universitário(a)

EM BREVE

II II



UFRJ 1994 Uma partícula desloca-se sobe uma reta percorrendo 1 m para esquerda ou para direita a cada movimento. Calcule de quantas maneiras a partícula pode realizar uma sequência de 10 movimentos terminando na posição da partida.

IIIII R E S O L U Ç Ã O IIIII O número de movimento para direita deve ser igual ao número de movimento para esquerda... Total de movimentos T = 5 para direita + 5 para esquerda... T = 10 N = C10,5 N = 10! . 5! (10 – 5)! N = 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5! 5! . 5 . 4 . 3. 2 . 1 N = 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3. 2 . 1 N = 252 Resp 25. I II

5) (UFRJ 2000 - ESPECÍFICA) Uma estante de biblioteca tem 16 livros: 11 exemplares do livro “Combinatória é fácil” e 5 exemplares de “Combinatória não é difícil”. Considere que os livros com mesmo título sejam indistinguíveis. Determine de quantas maneiras diferentes podemos dispor os 16 livros na estante de modo que dois exemplares de “Combinatória não é difícil” nunca estejam juntos.


Coloque os 11 em fila. Agora temos que colocar os cinco "entre " esse onze, de modo que entre 2 dos 11 não fique mais de um dos 5. Temos 12 posições possíveis para colocar cada um deles, n = C12, 5 n = 12! . 5! . 7! n = 792 I 16



17) (UFRJ 96 – ESPECÍFICA) Um grupo constituído por 4 mulheres e 4 homens deve ocupar as 8 cadeiras dispostas ao redor de uma mesa circular. O grupo deve ser acomodado de modo que cada homem sente entre duas mulheres. João e Maria estão nesse grupo de pessoas; entretanto, por motivos de ordem estritamente pessoal, não podem sentar-se lado a lado. Duas acomodações das pessoas ao redor da mesa são consideradas diferentes quando pelo menos uma das pessoas não tem o mesmo vizinho à direita, nas duas acomodações. Determine o número de diferentes acomodações possíveis dessas 8 pessoas ao redor da mesa circular.

IIIII R E S O L U Ç Ã O IIIII Fixemos a posição de João para iniciar. Ao seu lado poderão ter 3 mulheres, já que Maria não se senta ao lado de João. Maria poderá ter ao lado três homens, que poderão ter ao lado três mulheres. Maria poderá ter ao lado dois homens, que poderão ter ao lado duas mulheres, que só poderão sentar-se ao lado de um homem, que poderá sentar-se ao lado de uma mulher. Observando as únicas possibilidades de posição para Maria, fixada a posição de João, temos as possíveis situações:

J 3 3 M 2 2 1 1 ou então, J 3 3 2 2 M 1 1 Isso ocorre porque a posição 2 e a posição 8 são vetadas para Maria. N = 2*(3*3*2*2*1*1) N= 2*36 N= 72

III III

O capítulo que você precisa Para a próxima prova



6) (UFRJ 2000 - NÃO-ESPECIFICA) Em todos os 53 fins de semana do ano 2000, Júlia irá convidar duas de suas amigas para sua casa em Teresópolis, sendo que nunca o mesmo par de amigas se repetirá durante o ano. a) Determine o maior número possível de amigas que Júlia poderá convidar. b) Determine o menor número possível de amigas que Júlia poderá convidar.

IIIII R E S O L U Ç Ã O IIIII (a) Júlia convidará o maior número possível de amigas quando convidar, a cada vez, amigas que não tenham sido convidadas anteriormente. Como são 53 finais de semana, poderá convidar no máximo 2 x 53 = 106 amigas. Resp.: no máximo 106 amigas (b) Se Júlia fizer uma lista com os nomes de n amigas, o número de pares distintos que poderá formar é

Se Cn,2 < 53, Júlia não poderá levar as amigas em todos os finais de semana sem repetir os pares. Portanto, n deve ser tal que Cn,2 ≥ 53

n (n – 1) ≥ 106 n ≥ 11 esp.: No mínimo 11 amigas

IIII IIII

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R e s o lv id a sPasso a Passo

MATEMÁTICA CAPÍTULOSEM

Do capítulo que você precisaPara a próxima prova

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Antenor Felix

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1) (UFRJ - 2007 - 2007 – P1 - 04 Nove pessoas serão distribuídas em três equipes de três para concorrer a uma gincana. O número de maneiras diferentes de formar as três equipes é menor do que 300?

IIIII R E S O L U Ç Ã O IIIII n = ou n = C9,3 . C6,3 . C3,3 3! n = A . B . C D A = 9! . = 9! . 3! (9-3)! 3! 6! A = 9 . 8 . 7. 6! 3! 6! A = 9 . 8 . 7 3! A = 9 . 8 . 7 3. 2 . 1 A = 3 . 4 . 7 B = 6! . 3! (6-3)! B = 6! . 3! 3!

B = 6. 5 . 4 . 3! 3! 3! B = 6 . 5 . 4 3! B = 6 . 5 . 4 3. 2 . 1 B = 5 . 4 C = 3! . 3! (3-3)! C = 3! . 3! . 0! C = 3! .. 3! . 1 C = 1 n = A . B . C 3! n = (3 . 4. 7) . (5 . 4) . (1) 3! n = 3 . 4. 7 . 5 . 4 . (1) 3. 2 . 1 n = 1 , 2 , 7 . 5 . 4 n = 14 , 20 n = 280 R: Sim, porque 280 é menor do que 300.



UFRJ 2010 – P1 – 05 Considere trajetórias estabelecidas no espaço por segmentos de reta consecutivos de modo que todos os segmentos tenham comprimento 1 e sejam paralelos a um dos seguintes vetores: (0,0,1), (0,1,0) ou (1,0,0). Assim, as duas sequências de pontos a seguir definem trajetórias diferentes que partem do ponto (0,0,0) e chegam ao ponto (2,1,2); a primeira tem comprimento 5, e a segunda, comprimento 7. Trajetória 1:

(0,0,0) (1,0,0) (1,1,0)

(2,1,0) (2,1,1) (2,1,2) Trajetória 2:

(0,0,0) (0,1,0) (0,1,1)

(0,1,2) (0,1,3) (0,1,2)

(1,1,2) (2,1,2) Determine quantas trajetórias assim definidas partem do ponto (0,0,0), chegam ao ponto (4,3,2) e têm o menor comprimento possível.

IIIII R E S O L U Ç Ã O IIIII Nas condições apresentadas, uma trajetória ligando (0,0,0) a (4,3,2) é mínima se e somente se, seu comprimento é 9 e é, determinada por uma sequência, em qualquer ordem, de A) 4 segmentos paralelos ao vetor (1,0,0), B) 3 segmentos paralelos ao vetor (0,1,0) e

C) 2 segmentos paralelos ao vetor (0,0,1). Quantidade dessas trajetórias.

N = N = 1260

III II

Questões de Vestibulares

R e s o lv id a sPasso a Passo

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Antenor Felix

QUÍMICA EM CAPÍTULOS



UFF 7) (UFF) Os nove pontos dispostos no quadrado da figura abaixo determinam 4 quadrados congruentes.

Calcule o número de triângulos que podem ser formados com vértices nesses pontos.

IIIII R E S O L U Ç Ã O IIIII 2 Pontos na de cima e 1 ponto na do meio ou 2 pontos na de cima e 1 ponto na de baixo ou 2 pontos na do meio e 1 ponto na dei baixo ou ou ou 2 pontos na de baixo e 1 ponto na do meio ou 2 pontos na de baixo e 1 ponto na de cima ou 2 pontos na d meio e 1 ponto na de cima Mais ainda: Lados verticais na esquerda e Lados verticais na direita 7) a) 106 b) 11

8) (UFF) Dispondo de 10 questões de álgebra e 5 de Geometria, uma banca deseja preparar provas, de forma tal que cada uma contenha ao menos uma questão diferente das demais. Sabendo-se que cada prova deverá conter 5 questões de Álgebra e 3 de Geometria, determine quantas provas podem ser preparadas.

IIIII R E S O L U Ç Ã O IIIII n = C10,5 . C5,3 n = 10! . 5! . 5! (10-5)! 3! (5-3)! QP = 2.520 C10,5 . C 5,3

8) 76 ?????????



UFF Cada pessoa presente a uma festa cumprimentou a outra, com um aperto de mão, uma única vez. Sabendo-se que os cumprimentos totalizaram 66 apertos de mão, pode-se afirmar que estiveram presentes à festa: a) 66 pessoas b) 33 pessoas c) 24 pessoas d) 12 pessoas e) 6 pessoas

IIIII R E S O L U Ç Ã O IIIII Considerando cada pessoa como um vértice de um polígono Por exemplo: 6 pessoas se cumprimentando. Número de apertos de mão como numa reunião de 6 pessoas Cada traço representa um cumprimento N(6) = C6,2 Genericamente Napertos = C Opção ( d ) IIIII II

UFF Uma moça vai desfilar vestindo saia, blusa, bolsa e chapéu. O organizador do desfile afirma que três modelos de saia, três de blusa, cinco de bolsa e um certo número de chapéus permitem mais de duzentas possibilidades de diferentes escolhas deste traje. Assinale a alternativa que apresenta o número mínimo de chapéus que torna verdadeira a afirmação do organizador. (A) 189 (B) 30 (C) 11 (D) 5 (E) 4


Princípio multiplicativo Total de modos Tmodos = nA . nB . nC. nD 200 = 3 . 3 . 5 . nD Condição dada: N ≥ 200 45 N ≥ 4,4 N é um número nautural (inteiro) N = 5 IIII IIII



18. Uff Com as letras da palavra PROVA podem ser escritos x anagramas que começam por vogal e y anagramas que começam e terminam por consoante. Os valores de x e y são, respectiva–mente: a) 48 e 36. b) 48 e 72. c) 72 e 36. d) 24 e 36. e) 72 e 24.

Para X temos 2 (vogais) possibilidades na primeira letra, 4 (as letras restantes) na segunda, 3 na terceira, 2 na quarta e 1 na quinta. Ou seja: X = 2 . 4 . 3 . 2 . 1 x = 48 pra Y temos 3 (consoantes) possibilidades na primeira na primeira letra, 4 na segunda, 3 na terceira, 2 na quarta e 1 na quinta. Ou seja: Y = 3 . 4 . 3 . 2 . 1 = 72. então a resposta é a B espero que vc tenha entendido. 18. Opção ( A ) III IIII

5. Uff Cinco casais vão-se sentar em um banco de 10 lugares, de modo que cada casal permaneça sempre junto ao sentar-se. Determine de quantas maneiras distintas todos os casais podem, ao mesmo tempo, sentar-se no banco.


Na primeira cadeira podem se

sentar todos;

Na segunda só um;

Na terceira podém sentar 8;

Na quarta só um;

Na quinta 6;

Na sexta só um;

Na sétima 4;

Na oitava só um;

Na nona 2;

Na décima só um, entao fica

assim:

10x1x8x1x6x1x4x1x2x1=3840

maneiras 5. 3840 maneira distintas III III



UFF 2001 1a Etapa 07 Um garçom anotou os pedidos de três fregueses. Cada freguês pediu um prato principal, um acompanhamento e uma bebida. Posteriormente, o garçom não sabia identificar o autor de cada pedido. Lembrava-se, porém, de que não havia qualquer coincidência entre os pedidos: os pratos principais eram diferentes entre si, o mesmo ocorrendo com os acompanhamentos e as bebidas. O número de maneiras diferentes que o garçom poderia distribuir os pedidos entre os três fregueses é: a) (3!)

3 b) (3

3)!

c) 3! d) 33!

e) (3!) 3!

IIIII R E S O L U Ç Ã O IIIII Para o 1º freguês: 3 pratos, 3 acompanhamentos, 3 bebidas 3 . 3 .3 = 3³ possibilidades Para o 2º freguês: Como o 1º freguês já tem uma escolha, resta para o 2º freguês: 2 pratos, 2 acompanhamentos, 2 bebidas ou seja, 2 . 2 . 2 =2³ possibilidades Para o 3º freguês:

Resta para o 3º freguês apenas: 1 prato, 1 acompanhamento, 1 bebida = 13

-Conclusão: Podemos ainda combinar as possibilidades de todos os fregueses,e fazendo 1=1³, veja: 3³ *2³ . 13 (3 . 2 . 1)³= (3!)³combinações, Opção ( A ) Opção ( a ) Livro Opção ( c ) II 24



UFF 2002 1a Fase 22 O estudo da genética estabelece que, com as bases adenina (A), timina (T), citosina (C) e guanina (G), podem-se formar, apenas, quatro tipos de pares: A-T, T-A, C-G e G-C. Certo cientista deseja sintetizar um fragmento de DNA com dez desses pares, de modo que: - dois pares consecutivos não sejam iguais; - um par A-T não seja seguido por um par T-A e vice-versa; - um par C-G não seja seguido por um par G-C e vice-versa.

Sabe-se que dois fragmentos de DNA são idênticos se constituídos por pares iguais dispostos na mesma ordem. Logo, o número de maneiras distintas que o cientista pode formar esse fragmento de DNA é: a) 2

11 b) 2

20

c) 2 . 10 d) 210

e) 2

2 x 10

IIIII R E S O L U Ç Ã O IIIII Número de sequências

A) AT CG AT. . . AT CG 2 2 2 2 2 NA = 210 ou 2) CG AT CG . . . CG AT 2 2 2 2 2 NB = 210

Total de sequências Ntotal = 210 + 210 Para cada sequência pode-se fazer duas escolhas, permutando-se duas letras como por exemplo AT e TA Opção ( a ) II III

http://1.bp.blogspot.com/-YHrIGjaLsyQ/UF_ATqC1rOI/AAAAAAAAAY0/bs-z4T3Q0xE/s1600/15.bmp



UFF Uma empresa vai fabricar cofres com senhas de 4 letras usando 18 consoantes e 5 vogais. Se cada senha deve começar com uma consoante e terminar com uma vogal, sem repetir letras, o n

o de senhas é:

A) 3060 B) 24480 C) 37800 D) 51210 E) 73440

IIIII R E S O L U Ç Ã O IIIII Se começa com consoante e termina com vogal há 4 possibilidades c = consoante v = vogal possibilidades: c c c v c c v v c v c v c v v v Daí fica assim : 1817165...24480 181754...6120 185174...6120 18543...1080 .tota l 37800 é a soma de todas as possibilidades acima Opção ( C) II II

UFF 2002 2a Fase 4

Diogo precisa que sua mulher, Cristina, retire dinheiro no caixa eletrônico e manda entregar-lhe o cartão magnético, acreditando que ela saiba qual é a senha. Cristina, entretanto, recorda que a senha, composta de seis algarismos distintos, começa por 75 - os dois algarismos finais indicativos do ano em que se casou com Diogo; lembra, ainda, que o último algarismo da senha é impar. Determine o tempo máximo necessário para Cristina descobrir a senha da conta de Diogo, caso ela gaste 10 segundos no leste de cada uma das possíveis senhas.

IIIII R E S O L U Ç Ã O IIIII Os 2 prim algarismos: 7 e 5 Deve ser ímpar sem repetição. Restam: 1, 3 ou 9 Terceiro algarismo: 7 alternativas 4o algarismo: 6 alternativas 5o algarismo: 5 alternativas 7 . 5 . __ __ __ __ 7 . 6 . 5 . 3 = 630 Tempo = 630 . 10 Tempo = 6300 s Tempo = 1 h 45 min



UFF-RJ - 2003 – 2ª FASE - 02 Quinze (15) pessoas, sendo 5 homens de alturas diferentes e 10 mulheres também de alturas diferentes, devem ser dispostas em fila, obedecendo ao critério: homens em ordem crescente de altura e mulheres em ordem decrescente de altura. De quantos modos diferentes essas 15 pessoas podem ser dispostas nesta fila?

Ordenamos os 5 homens em 5 lugares dos 15 e Ordenamos as 10 mulheres ocupando os 10 lugares restantes. Para isso basta considerarmos a possibilidade de que os homens estejam na fila n = C15,5 ou n = n n = 3003 IIIII IIII

UFF 2004 – 2ª FASE Três ingleses, quatro americanos e cinco franceses serão dispostos em fila ( dispostos em linha reta ) de modo que as pessoas de mesma nacionalidade estejam sempre juntas. De quantas maneiras distintas a fila poderá ser formada de modo que o primeiro da fila seja um francês?

1) 1º segmento da fila formado

por um francês:

P= 5! = 120

2) 2º segmento da fila formado

por ingleses e americanos:

P3 x P4 x 2

= 3! x 4! x 2

= 6 x 24 x 2

= 288

3) Total de maneiras distintas:

T = 120 x 288

T = 34.560

4) Expressão única

T = P5 . P3 . P4 . 2

T = 5! x 3! x 4! x 2

= 120 x 6 x 24 x 2

= 34.560

T =. 34.560 maneiras III III



2) (UFF – 2005 – 1ª. FASE) Niterói é uma excelente opção para quem gosta de fazer turismo ecológico. Segundo dados da prefeitura, a cidade possui oito pontos turísticos dessa natureza. Um certo hotel da região oferece de brinde a cada hóspede a possibilidade de escolher três dos oito pontos turísticos ecológicos para visitar durante a sua estada. O número de modos diferentes com que um hóspede pode escolher, aleatoriamente, três desses locais, independentemente da ordem escolhida, é: a) 8 b) 24 c) 56 d) 112 e) 336

IIIIIIII R E S O L U Ç Ã O IIIIIIII .

56C

(6).5!

8.7.6.5!C

3!5!

8!C

3

8

3

8

3

8

N = 56 IIII III

2. (Ufrrj) Deseja-se formar comissões de 5 pessoas de um grupo de 5 homens e 6 mulheres. Quantas comissões serão formadas se, em cada uma, haverá, no máximo, uma mulher?

6M. . .5H

M. . . .H

0. . . . 5

C6,0 . C5,5 = 1*1

= 1 . . . . .

1. . . . 4

C6,1 . C5,4

= 6.5

= 30

Total = 30 + 1

Total = 31 comissões



5) (UFRRJ / 2003) Júlio foi a um baile comandado pela Orquestra Boa Música, que tocava em períodos de 45 minutos e parava 15 minutos. Observe, abaixo, como Júlio dançou.

Rodadas Rítmos Bolero Samba Fox

1a 2 1 1

2a 3 2 2

3a 4 3 3

4a –

E assim dançou, sucessivamente, até o fim do baile, que começou às 23h e terminou às 4h do dia seguinte. O número de vezes que Júlio dançou foi: (A) 45 (B) 50 (C) 55 (D) 60 (E) 65

IIIII R E S O L U Ç Ã O IIIII Como cada rodada consumia exatamente uma hora, já que a orquestra tocava por 45 minutos e parava por 15, e Júlio ficou no baile por 5 horas, foram 5 as rodadas que ele dançou. Na primeira coluna temos uma P.A. cujo primeiro termo é 2, e na segunda e terceira colunas P.A.s cujo primeiro termo é 1, sendo que nos três casos a razão é igual a 1. Assim,

Número de vezes que Júlio dançou N = 5 . { [2 + (2 + 4 . 1)] + 2 . [1 + (1 + 4 . 1)]} / 2 N = 5 x (8 + 12) / 2 N = 50 Opção ( B )



Ufrrj Maria determinou o número de triângulos que pode se formar com os vértices de um polígono de 7 lados. Esse número encontrado por Maria é a) 7. b) 21. c) 28. d) 35.

e) 70. N = C7,3 N = 7! . 3! (7 – 3)! N = 7 . 6 . 5 . 4! 3 . 2 . 4! N = 7. 6 . 5 3 . 2 N = 7 . 5 N = 35 Opção ( D )

Análise combinatória UNESP Um turista, em viagem de férias, observou pelo mapa que, para ir dacidade A à cidade B, haviam 3 rodovias, 2 ferrovias e que , para ir de B até outra cidade C haviam 2 rodovias, e duas ferrovias. O número de percurso diferentes que o turista pode fazer para ir de A até C, passando pela cidade B e utilizando rodovia e trem obrigatória–mente, mas, em qualquer ordem

3 Rod 2 Rod A B C 2 Ferrov 2 Ferrov 3 Rod e 2 ferrovias 3 . 2 Resutado = 6 possibilidadea

ou + 2 Ferro e 2 rodofias 2 . 2 Resutlado = 4 possibiliades Tot geral = 6 . 4 Tota gersl = 24 possibilidades



Análise combinatória

8. ( MACK - SP ) O numero de triângulos determinados por 7 pontos distintos, 4 sobre uma reta e 3 sobre uma paralela á primeira, é: 60 30 20 10 5

IIIII R E S O L U Ç Ã O IIIII Cima A B C D Baixo R S T Base em cima e vértice em baixo BcVb = C4,2 . C3,1 Base em baixo e vértice em cima BbVc = C3,2 . C4.1

Total = + T = 4! . 3! + 3! . 4! . 2! 2! 1! 2! 1! 2! 1! 3! Finalisar

Análise combinatória Princío fundamental da contagem 10) (Taubaté) Cinco sinaleiros estão alinhados. Cada um tem três bandeiras: uma amarela, uma verde e uma vermelha. Os cinco sinaleiros levantam uma bandeira cada, ao mesmo tempo, transmitindo-se assim um sinal. Quantos sinais diferentes podem ser transmitidos?

IIIII R E S O L U Ç Ã O IIIII Como as cores podem ser repetidas, Total de sinais = 3.3.3.3.3 Total de sianais= 35 Total de sinais = 243

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII



Análise combinatória UFMG 2006 03) A partir de um grupo de oito pessoas, quer-se formar uma comissão constituída de quatro integrantes. Nesse grupo, incluem-se Gustavo e Danilo, que, sabe-se, não se relacionam um com o outro. Portanto, para evitar problemas, decidiu-se que esses dois, juntos, não deveriam participar da comissão a ser formada. Nessas condições, de quantas maneiras distintas se pode formar essa comissão? a) 70 b) 35 c) 45 d) 55

IIIII R E S O L U Ç Ã O IIIII 1º passo Total grupos distintos, independentemente de Gustavo e Danilo estarem ou não juntos A B C Dan E F Gus H Total de Grupos Distintos Grupos de 4 dentre os 8 TGD = C8,4 TGD = 8! . 4! (8 - 4)! TGD = 8 . 7 . 6 . 5 . 4! 4! . 4! TGD = 8 . 7 . 6 . 5 4! TGD = 8 . 7 . 6 . 5 4 . 3 . 2 . 1 TGD = 7 . 6 . 5 3 . 1 TGD = 7 . 2 . 5 TGD = 70

2º passo Quantidade de Grupos (ou comissões) em que em que Gustavo e Danilo ficarem juntos, A B C Dan E F Gus H Dan Gus A B C E F H logo restam 2 vagas para 6 candidatos restantes C6,2= 6! . 2! (6 - 4)! C6,2 = 6 . 5 . 4! 2! 4! C6,2 = 6 . 5 2! C6,2 = 6 . 5 2 . 1 C6,2 = 3 . 5 Grupos Restantes = 15 Possibilidades perigosas de briga pow, pow pow Total na condição exigida TCE = 70 -15 Total = 55 IIIIIII 32



UFRRJ



PG NÃO RELOCAR POIS PODE DAR LINHA. COPIAR DO ORGNAL 10) (UERJ / 2006) Num experimento para a determinação do número de partículas emitidas pelo radônio, foi utilizada uma amostra contendo 0,1 mg desse radioisótopo. No primeiro dia do experimento, foram

emitidas 4,3 x 1016partículas. Sabe-se

que a emissão de um dia é sempre 16% menor que a do dia anterior. O número total de partículas que essa amostra emite, a partir do primeiro dia do experimento, é aproximadamente igual a:

(A) 4,2 x 1018 (B) 2,6 x 1018

(C) 4,3 x 1017 (D) 2,7 x 1017

IIIII R E S O L U Ç Ã O IIIII As emissões formam uma P.G. q = 1 – 16% = q = 84% q = 0,84. Número de partículas emitido = soma dos termos da P.G infinita

S = 0,84 - 1

10 . 4,3 16

S = 0,16

10 . 4,3 16

S = 26,875 x 1016 ,

S = 2,7 x 1017 Opção ( D



UERJ 2009 – 2o Eq - 23

Um estudante possui dez figurinhas, cada uma com o escudo de um único time de futebol, distribuídas de acordo com a tabela:

Para presentear um colega, o estudante deseja formar um conjunto com cinco dessas figurinhas, atendendo, simultaneamente, aos seguintes critérios: – duas figurinhas deverão ter o mesmo escudo; – três figurinhas deverão ter escudos diferentes entre si e também das outras duas. De acordo com esses critérios, o número máximo de conjuntos distintos entre si que podem ser formados é igual a: (A) 32 (B) 40 (C) 56 (D) 72


Escolher do time A ou do time B e sendo idênticas Tentativa 1 2 figurinhas do time A 1 do time B 2 dos outros 5 times T1 = C3,2 [B1] . C5,2 + C3,2 . [B2] . C5,2 Na escolha das figurinhas de B deve ser feita a análise para que os escudos sejam diferentes T1 = C3,2 . [B1] . C5,2 + C3,2 [B2] . C5,2 T1 = 2 . 3 T1 = 6 Acima todas as figurinhas são consideradas diferentes entre si Dividindo por 6 T1 = 10 6 Tentativa 2 2 figurinhas do time B, 1 do time A 3 dos demais times T2 = C2,2 . [A1] . C5,2 + C2,2 . [A2] . C2,2 + C2,2 . [A3]. C5,2 T2 = 3 . 10 T2 = 30



Para que sejam diferentes entre si deve dividir por 3 T2 = 10 3 Tentativa 3 2 figurinhas do time A e 0 do time B 3 dos demais T3 = C3,2 . C5,3 T3 = 3 . 10 T3 = 30 Descontando as repetições de A T3 = 10 3 Tentativa 4 0 figurinha do time A 2 do time B 3 dos demais times T4 = C2,2 . C5,3 T4 = 1 . 10 T4 = 10 Total de tentativas Ttotal = T1 + T2 + T3 + T4 Ttotal = 40 Opção ( B )

2) (UFRJ / 2005) Ana e Bia participam de um site de relacionamentos. No dia 1º de abril de 2005, elas notaram que Ana tinha exatamente 128 vezes o número de amigos de Bia. Ana informou que, para cada amigo que tinha no final de um dia, três novos amigos entravam para sua lista de amigos no final do dia seguinte. Já Bia disse que, para cada amigo que tinha no final de um dia, cinco novos amigos entravam para sua lista no final do dia seguinte. Suponha que nenhum amigo deixe as listas e que o número de amigos aumente, por dia, como elas informaram. a) No dia 2 de abril de 2005, vinte novos amigos entraram para a lista de Bia. Quantos amigos havia na lista de Ana em 1º de abril? Solução: Se 20 novos amigos entraram para a lista de Bia no dia seguinte a 1º de abril, isso significa que ela tinha, nesse dia, pelo que informou sobre o acréscimo de amigos à sua lista, 20 / 5 = 4 amigos. Mas nesse dia Ana tinha exatamente 128 vezes mais amigos que Bia. Logo, Ana tinha 4 x 128 = 512 amigos, em 1º de abril de 2005. b) Determine a partir de que dia o número de amigos de Bia passa a ser maior que o número de amigos de Ana.

Se precisar, use log2 3 = 1,585.

IIIII R E S O L U Ç Ã O IIIII o número de amigos de Ana, a partir do dia 2 de abril de 2005, obedece à seguinte lei de formação:



Lei= 512 + 512 x 3 + 512 x 32 +

512 x 33 + ... + 512 x 3n , onde n = número de dias decorridos desde 1º de abril. Já o número de amigos de Bia, nesse mesmo período, está sujeito à regra

4 + 4 x 5 + 4 x 52+ 4 x 53 + ... + 4 x 5n , para o mesmo n descrito anteriormente. O número de amigos de Bia, portanto, passa a ser maior que o número de amigos de Ana em um dia n que é o menor inteiro que satisfaz a inequação que compara as somas de termos de duas P.G.s, uma de termo inicial igual a 512 e de razão igual a 3, e a outra de termo inicial igual a 4 mas com razão igual a 5. Escrevendo as expressões para ambas as somas e estabelecendo a condição que acabamos de escrever, vem:

4 x 5n +1

5−1 > 512 x

3n +1

3−1, que,

simplificada se reduz a 5n+1> 256

x 3n+1

Aplicando logaritmos na base 2 a ambos os lados dessa inequação ficamos com

(n + 1) x log2 5 >

log2 256 + (n + 1) x log2 3.

Mas log2 256 = 8, e então

(n + 1) x (log2 5 - log2 3) > 8

n + 1 > 8

log 2 5 − log 2 3 = 10,856

n𝑚 í𝑛 .= 10 Então o número de amigos de Bia ultrapassará o de Ana 10 dias depois de 1º de abril, ou seja, no dia 11 de abril de 2005 (obs.: o gabarito está incorreto)



UNIRIO 14. (Unirio) Um grupo de 9 pessoas, dentre elas os irmãos João e Pedro, foi acampar. Na hora de dormir montaram 3 barracas diferentes, sendo que, na primeira, dormiram duas pessoas; na segunda, três pessoas; e, na terceira, as quatro restantes. De quantos modos diferentes eles se podem organizar, sabendo que a única restrição é a de que os irmãos João e Pedro NÃO podem dormir na mesma barraca? a) 1260. b) 1225. c) 1155. d) 1050. e) 910.

IIIII R E S O L U Ç Ã O IIIII Total de modos = C9,2 * C7,3 * C4,4 = 9!/2!7 * 7!/3!4! * 4!/4!0! = 9*8*7!/2*7! * 7*6*5*4!/3!4! * 1 = 9*4 * 7*5 * 1 = 36*35 = 1260 Total de modos com os dois irmãos juntos = LONGA dois irmãos na 1ª barraca ou 2 irmãos na segunda barraca ou dois irmãos na 3ª barraca dois irmãos na 1ª barraca - 1* C7,3 * C4,4 = 35 Só tem um modo para a primeira barraca (os dois irmãos nela); para a segunda , sobram 7 pessoas para 3 vagas (C7,3); já na terceira, como já foram 2+3= 5 pessoas, agora sobram 4 pessoas para 4 vagas (C4,4). dois irmãos na 2ª barraca - 1*C7,1

* C6,2*C4,4 = 7*15 = 105 Note que para a segunda barraca duas posições já estão ocupadas pelos dois irmãos, logo dobram 7 pessoas para 1 vaga (C7,1) ; para a primeira barraca, sobrama 9-3 pessoas da segunda barraca = 6 pessoas para 2 vagas (C6,2); e para a quarta barraca , sobram 4 pessoas para 4 vagas (C4,4). dois irmãos na 3ª barraca - 1*C7,2*C5,3*C2,2 = 21*10 = 210 Note que os dois irmãos já ocupam duas vagas da terceira barraca, logo sobram 7 pessoas para 2 vagas (C7,2); para a primeira barraca, sobram 9-4 = 5 pessoas para duas vagas (C5,2); e para a segunda barraca, sobram 2 pessoas para duas vagas. Total de modos com os dois irmãos juntos = 35+105+210 = 350 Agora basta subtrair para achar a qtde que os irmãos não ficam juntos: 1260 - 350 = 910 14. [E] IIII IIII



15. (Unirio) O bufê de saladas de um restaurante apresenta alface, tomate, agrião, cebola, pepino, beterraba e cenoura. Quantos tipos de saladas diferentes podem ser preparados com cinco desses ingredientes, de modo que todas as saladas contenham alface, tomate e cebola? a) 4 b) 12 c) 8 d) 3 e) 6


11) (UniRio / 2004) Passando em uma sala de aula, um aluno verificou que, no quadro-negro, o professor havia escrito os números naturais ímpares da seguinte maneira: 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 O aluno achou interessante e continuou a escrever, até a décima linha. Somando os números dessa linha, encontrou: (A) 800 (B) 900 (C) 1000 (D) 1100 (E) 1200

IIIII R E S O L U Ç Ã O IIIII Em cada linha a quantidade de números que se escreve é exatamente igual ao ordinal da linha (de fato, há um número na primeira linha, dois na segunda, três na terceira e assim por diante). Então o primeiro número na décima linha é o número ímpar de ordinal igual à soma dos números naturais de 1 a 9, mais 1. Ou:

n101 = 2 x {[9 x (1 + 9) / 2] + 1} - 1

n101 = 91

O décimo número nessa linha é



o número ímpar cujo ordinal é nove unidades maior, ou seja, dezoito unidades maior que o que acabamos de calcular.

n1010 = n10

1 + 18

n1010 = 109

Portanto, a soma dos números na décima linha é a soma dos termos de uma P.A. de dez termos, começando em 91 e terminando em 109, com razão igual a 2: S = 10 x (91 + 109) 2 S = 1000. Opção ( C ) III III

Análise combinatória 18) (UNIRIO – 94) Calcule o número de maneiras diferentes pelas quais podemos repartir uma dúzia de balas iguais entre três crianças, de modo que cada uma receba, pelo menos, uma bala.

IIIII R E S O L U Ç Ã O IIIII Equação linear com coeficientes unitários. Solução em inteiros positivos para n> 0, então: A + B + C = 12 donde n = 12 e p = 3 (número de váriáveis) N = C (n - 1), (p - 1) N = C (12 - 1), (3 - 1) N = C11, 2 N = 11! 2! 9! N= 11 * 10 * 9! 2! . 9! N = 11*10 2 N = 11*5 N = 55



OUTRAS RJ Análise combinatória 15) (PUC 2011) Pedro mora em um bairro com ruas no sentido leste-oeste e avenidas no sentido norte-sul. A casa de Pedro está em uma esquina três quadras ao norte e quatro quadras a oeste de sua escola (que também fica em uma esquina). Pedro vai a pé de sua casa até a escola e gosta de variar o caminho, mas sempre usando caminhos de comprimento mínimo.

Quantos caminhos diferentes ele pode fazer? a) 12 b) 21 c) 28 d) 35 e) 42

IIIII R E S O L U Ç Ã O IIIII 15) 1260 IIII III

Análise combinatória 4) (PUC/RJ 99) Um torneio de xadrez, no qual cada jogador joga com todos os outros, tem 351 partidas. O número de jogadores disputando é: a) 22 b) 27 c) 26 d) 19 e) 23

IIIII R E S O L U Ç Ã O IIIII Linhas conectando 2 vértices N = Cn,2 351 = n! . 2! . (n - 2)! 351 = n! (n - 1) (n – 2)! 2! (n-2)! 351 = n! (n - 1) 2! 351 = n .(n - 1) . 2 . 1 702 = n2 – n - n2 + n + 702 = o a b c -1 1 702

= b2 – 4 . a . c

= 1 – 4 . (-1) . 702

= 1 + 2808



= 2809 1 = 1 2 . 1 = 2 3 2 . 1 = 6 4 . 3 . 2 . 1 = 24 5 . 4 . 3 . 2 . 1 =120 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5040 n = - b ± V2809 2 . a 53 x 53 159 265 . 2809 n = - 1 ± 53 -2 n’ = - 1 – 53 n” = - 1 + 53 -2 -2 n’ = - 54 n” = 52 - 2 - 2 n’ = 27 n” = - 26 Aprovado Reprovado Opção (

1) 34560 2) Sim, pois é igual a 280 3) C 4) 3003 5) B n (n – 1) = 702 n2 – n = 702 n2 – n – 702 = 0 a b c

= 1 – 4 . 1 . (-702)

= 2809 N = 3003 IIII IIIII



Análise combinatória 3) (UEZO / 2006) Em um terremoto, ocorreram vários tremores. No primeiro minuto, apenas um; no segundo, três; no terceiro, cinco; no quarto, sete... Dessa forma, podemos dizer que no décimo minuto o número de tremores foi igual a: (A) 13 (B) 17 (C) 19 (D) 21

IIIII R E S O L U Ç Ã O IIIII No i-ésimo minuto o número de tremores será dado por

mi = 1 + (i - 1) x 2 Fazendo i = 10

m10= 1 + (10 – 1) x 2 = 1 + 18 = 19 Opção ( C ) III IIII

Análise combinatória 1AMAN - RJ As diretorias de 4 membros que podemos formar com 10 sócios de uma empresa são: 5040 FALHA

210

2 210 5400

IIIII R E S O L U Ç Ã O IIIII II IIIII



Análise combinatória CESGRANRIO Seja M um conjunto de 20 elementos. O número de subconjuntos de M que contém exatamente 18 elementos, é: 360 190 180 120 18

IIIII R E S O L U Ç Ã O IIIII IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

Análise combinatória 6) (CEDERJ / 2001) Meu avô, que nasceu no dia 29 de fevereiro de um ano bissexto, tem, na presente data, 77 anos de idade. Determine quantos aniversários do meu avô correram no dia e mês exatos do seu nascimento.

IIIII R E S O L U Ç Ã O IIIII Como a pessoa tem 77 anos e só pode comemorar no dia exato em um ano a cada quatro anos, basta dividir 77 por 4, obtendo 19. Mas ocorre que tanto o ano inicial de cada intervalo de 4 como o ano final são bissextos, portanto é preciso acrescentar uma unidade ao total de dias 29 de fevereiro que ele viveu. Mas ele nasceu em um deles, portanto de fato o avô comemorou 19 aniversários no dia exato, em 77 anos de vida. IIIIIIIIII III



Análise combinatória PROVÃO / 2001 Uma partícula se move sobre o eixo dos x, partindo da origem. No primeiro minuto, ela avança 1 unidade para a direita; no segundo minuto, retrocede 0,5 unidade; no terceiro minuto, avança 0,25 unidade; e, assim, sucessivamente, alternando avanços com retrocessos, as distâncias percorridas formando uma progressão geométrica. O limite da abscissa da partícula, quando o tempo tender para infinito, é (A) 1/2 (B) 2/3 (C) 3/4 (D) 3/5 (E) 7/10

IIIII R E S O L U Ç Ã O IIIII Separando o movimento em suas duas componentes: avanço retrocesso. Ambas, por construção, vão equivaler a P.G.s de razão 1/4: Avanços: 1 – 0,25 – 0,625 - ... Retrocessos: 0,5 – 0,125 – 0,3125 - ... No limite

o avanço tenderá a ser de 1

1 – 0,25

, e o retrocesso de 0,5

1 – 0,25, ou

seja, a abscissa tenderá a ser 4/3 – 2/3 = 2/3. Opção ( B.)

CONFUSO Se terminar no mesmo lugar que começou, os movimentos á direita e á esquerda são o mesmo numero. Logo há 5 á direita e 5 á esquerda. Logo são permutações com repetição de 10 elementos tomados de 5, 5. N = PR (10;5,5) N = 10! . 5!• 5! N = 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5! 5! . 5! N = 10 . 9 . 8 . 7 . 6 5! N = 10 . 9 . 8 . 7 . 6 5 . 4 . 3 . 2 .1 N = 10 . 9 . 8 . 7 . 6 5 . 4 . 3 . 2 .1 N = 10 . 9 . 8 . 7 5 . 4 .1



N = 2 . 9 . 2 . 7 N = 252 Também pode eleger 5 lugares entre 10 e escrever “e” neles e “d” nos outros. Assim é combinações de 10 elementos tomados de 5 em 5: N = C10,5) N = 10! . 5! (10-5)! N = 10•9•8•7•6 5! N = 252.

Análise combinatória 9) Durante uma experiência em laboratório, observou-se que uma bola de 1 kg de massa, deslocando-se com uma velocidade v, medida em km/h, possui uma determinada energia cinética E, medida em joules. Se (v,E,1) é uma progressão aritmética e

φ = 1+ 5

2 , o valor de v corresponde a:

(A) φ/2 (B) φ (C) 2 φ (D) 3 φ

IIIII R E S O L U Ç Ã O IIIII Da Cinemática sabemos que E = m v2 . 2 de modo que o fato de existir a P.A. acarreta em v + 1 = 2 . E v + 1 = v2 Então, resolvendo a equação do 2º grau, chega-se a v = φ. Opção correta: letra B.



Análise combinatória 11. (FGV) Numa sala de reunião há 10 cadeiras e 8 participantes. De quantas maneiras distintas podemos sentar os participantes? a) 181440. b) 3628800. c) 1814400. d) 40320. e) 403200.

IIIII R E S O L U Ç Ã O IIIII 11. c IIIIIIIIIIIIIIIII IIIIIIIIII

MINAS GERAIS Combinatória PUC MG 2003 - Um bufê produz 6 tipos de salgadinhos e 3 tipos de doces para oferecer em festas de aniversário. Se em certa festa devem ser servidos 3 tipos desses salgados e 2 tipos desses doces, o bufê tem x maneiras diferentes de organizar esse serviço. O valor de x é: A) 180 B) 360 C) 440 D) 720

IIIII R E S O L U Ç Ã O IIIII Possibilidades para salgados, temos 6 opções mas devem ser escolhidos 3, logo: PSalgados = 6 . 5 . 4 PSalgados = 120 Possibilidade para Doces PDoces = 3. 2 PDoces = 6 As ofertas são simultaneas, Não pode servir só o salgadinho ou só os doces Total de possibilidades T = PSalgados . PDoce T = 120 . 6 T = 360 120 . 6 = 720 Opção ( D ) IIIIIII IIII



UFMG 2000 Análise combinatória 4) Um clube resolve fazer uma Semana de Cinema. Para isso, os organizadores escolhem sete filmes, que serão exibidos um por dia. Mas, ao elaborar a programação, eles decidem que três desses filmes, que são de ficção científica, devem ser exibidos em dias consecutivos. Nesse caso, o número de maneiras diferentes de fazer a programação dessa semana é: a) 144 b) 576 c) 720 d) 1040

IIIII R E S O L U Ç Ã O IIIII Considerando (F1F2F3)GHIJ os filmes escolhidos, os filmes que serão apresentados em dias consecutivos são os entre parênteses. Logo, há duas permutações possíveis: N Tipo F: entre os três filmes consecutivos e N Tipo B ( (FFF), G , H I J ) entre o total de cinco elementos mantendo juntos o bloco dos F´s. Total de maneiras Geral T = NTipoF . NTipoB



T = (3!) . (5!) T = (3. 2 . 1) . (5 . 4. 3 . 2 . 1) T = 6 . 120 T = 720. maneiras

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

Análise combinatória (UE Feira de Santana) 06) O número de equipes de trabalho que poderão ser formadas num grupo de dez indivíduos, devendo cada equipe ser constituída por um coordenador, um secretário e um digitador, é: a) 240 b) 360 c) 480 d) 600 e) 720

IIIII R E S O L U Ç Ã O IIIII N = An,p 3 sequenciados de um grupo de 10 pessoas N = n! . (n - p)! N = 10! . (10 – 3)! N = 10 . 9 . 8 . 7! . 7! N = 10 . 9 . 8 . N = 720 Opção ( E ) IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII



Análise combinatória Principio fundamental da contagem 5) (UFMG) Observe o diagrama. O número de ligações distintas entre X e Z é:

IIIII R E S O L U Ç Ã O IIIII Opções em cada ligação XRZ: 3.1 = 3 ligações; XRYZ: 3.3.2 = 18 ligações; XYZ: 1.2 = 2 ligações; XSYZ: 3.2.2 = 12 ligações; XSZ = 3.2 = 6 ligações. Total = 3 + 18 + 2 + 12 + 6 Total = 41 ligações. IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

Análise Combinatória PUC MG 2003) Um bufê produz 6 tipos de salgadinhos e 3 tipos de doces para oferecer em festas de aniversário. Se em certa festa devem ser servidos 3 tipos desses salgados e 2 tipos desses doces, o bufê tem x maneiras diferentes de organizar esse serviço. O valor de x é: A) 180 B) 360 C) 440 D) 720

IIIII R E S O L U Ç Ã O IIIII Possibilidades para salgados, temos 6 opções mas devem ser escolhidos 3, logo: P Salgados = 6 . 5 . 4 PSalgados = 120 Possibilidade para Doces PDoces = 3. 2 PDoces = 6 As ofertas são simultaneos, Não pode servir só o salgadinho ou só os doces Total de possibilidades T = PSalgados . PDoce T = 120 . 6 T = 360 120 . 6 = 720 Opção ( D ) IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII



Análise combinatória Anagramas 20. (UFU-MG) O número de anagramas da palavra ERNESTO que começam e terminam por consoante é: a) 480. b) 720. c) 1440. d) 1920. e) 5040.

IIIII R E S O L U Ç Ã O IIIII 20. b IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

Análise combinatória 2. ( U. VIÇOSA - MG ) Com um conjunto de 10 peças distintas, o número de grupos diferentes, de três peças, que podem ser formadas, é: 3 ! 7 ! 10 ! 720 120

IIIII R E S O L U Ç Ã O IIIII IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII



BAHIA Análise combinatória Principio fundamental da contagem 7) (UFBA) Existem cinco ruas ligando os supermercados S1 e S2 e três ruas ligando S2 e S3. Para ir de S1 a S3, passando por S2, o número de trajetos diferentes que podem ser utilizados é:

IIIII R E S O L U Ç Ã O IIIII Princípio multiplicativo Total trajetos T = 5 . 3 T = 15 IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

SÃO PAULO Análise combinatória 16. (FUVEST) Num programa transmitido diariamente, uma emissora de rádio toca sempre as mesmas 10 músicas, mas nunca na mesma ordem. Para esgotar todas as possíveis sequências dessas músicas serão necessários aproximadamente: a) 100 dias. b) 10 anos. c) 1 século. d) 10 séculos. e) 100 séculos.

IIIII R E S O L U Ç Ã O IIIII 16. e IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII



Análise combinatória 3. (Fuvest-gv) As atuais placas de licenciamento de automóveis constam de sete símbolos sendo três letras, dentre as 26 do alfabeto, seguidas de quatro algarismos. a) Quantas placas distintas podemos ter sem o algarismo zero na primeira posição reservada aos algarismos? b) No conjunto de todas as placas distintas possíveis, qual a porcentagem daquelas que têm as duas primeiras letras iguais?

IIIII R E S O L U Ç Ã O IIIII 3. a) 158184000 b) 1/26 ¸ 3,85 % IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

Análise combinatória 4. (Unicamp) O sistema de numeração na base 10 utiliza, normalmente, os dígitos de 0 a 9 para representar os números naturais, sendo que o zero não é aceito como o primeiro algarismo da esquerda. Pergunta-se: a) Quantos são os números naturais de cinco algarismos formados por cinco dígitos diferentes? b) Escolhendo-se ao acaso um desses números do item a, qual a probabilidade de que seus cinco algarismos estejam em ordem crescente?

IIIII R E S O L U Ç Ã O IIIII 4. a) 27.216 b) 1/216 IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII



Análise combinatória 10. (Unicamp) Em uma festa para calouros estão presentes 250 calouros e 350 calouras. Para dançar, cada calouro escolhe uma caloura ao acaso formando um par. Pergunta-se: a) Quantos pares podem ser formados? b) Qual a probabilidade de que uma determinada caloura NÃO ESTEJA dançando no momento em que todos os 250 calouros estão dançando?

IIIII R E S O L U Ç Ã O IIIII 10. a) 87 500 pares b) 2/7 IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

Análise combinatória 11. (Unicamp) Em um certo jogo são usadas fichas de cores e valores diferentes. Duas fichas brancas equivalem a três fichas amarelas, uma ficha amarela equivale a cinco fichas vermelhas, três fichas vermelhas equivalem a oito fichas pretas e uma ficha preta vale quinze pontos. a) Quantos pontos vale cada ficha? b) Encontre todas as maneiras possíveis para totalizar 560 pontos, usando, em cada soma, no máximo cinco fichas de cada cor.

IIIII R E S O L U Ç Ã O IIIII 11. a) A branca vale 300, a amarela 200, a vermelha 40 e a preta 15. b) (1 branca, 1 amarela e 4 pretas) ou (1 branca, 5 vermelhas e 4 pretas) ou (2 amarelas e 4 vermelhas) IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII



Análise combinatória 1. (Fuvest 2004) Três empresas devem ser contratadas para realizar quatro trabalhos distintos em um condomínio. Cada trabalho será atribuído a uma única empresa e todas elas devem ser contratadas. De quantas maneiras distintas podem ser distribuídos os trabalhos? A) 12 B) 18 C) 36 D) 72 E) 108

IIIII R E S O L U Ç Ã O IIIII Cada empresa tem 4 opções, isto é, pode realizar um dos 4 trabalhos São 3 empresas t Opões para realiar um tipo de trabalho: Opções = 12 . 3 N opções = 36 Opção ( C ) IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

Análise combinatória 14 UNESP As placas dos veÍ=ículos motorizados com 3 letras e 4 algarismos, quantas placas deverão exixtir cujas 3 letras eja todas iguais

Letras Algarismos {a e i o u} {0 1 2 3 4 5 6 7 8 9} 5 10 ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ 5 5 5 10 10 10 10 53 . 104

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII



Análise combinatória

2) (ITA–SP) Quantos anagramas com seis caracteres distintos podemos formar usando as letras da palavra QUEIMADO, tendo duas consoantes e que, entre elas, haja pelo menos uma vogal?

• Maneira 1 1º cálculo: Todos os anagramas com duas consoantes e quatro vogais: C C V V V V N (3 2 )(5 4 3 2 )(P ) N 10 800 1 2, 4

1 6 ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = Onde: • (3.2) ................ é o número de maneiras de escolhermos duas consoantes (a ordem interessa); • (5.4.3.2) .......... é o número de maneiras de escolhermos quatro vogais (a ordem interessa); • (P ) ,2 4 6 ............ é o número de maneiras de arrumarmos as seis letras (a ordem interessa).

Análise combinatória 10. ( CESCEA - SP ) De quantas maneiras distintas um grupo de 10 pessoas pode ser dividido em 3 grupos, de 5, 3 e 2 pessoas ? 2340 2480 3640 2520 3200

IIIII R E S O L U Ç Ã O IIIII IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII



combinatória 6. ( FCMSC - SP ) Num hospital há 3 vagas para trabalhar no berçário, 5 no banco de sangue e 2 na radioterapia. Se 6 funcionários se candidatam para o berçário, 8 para o banco de sangue e 5 para a radioterapia, de quantas formar distintas essas vagas podem ser preenchidas ? 30 240 1120 11200 16128000

IIIII R E S O L U Ç Ã O IIIII IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIAnálise combinatória 7. ( CEFET - PR )

Sendo A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }, o número de subconjuntos de A que tem menos de 3 elementos é: 41 38 27 22 19




Análise combinatória 12. (FAAP-SP) De quantos modos podemos pintar só as faces laterais de uma pirâmide pentagonal regular, utilizando 8 cores diferentes, sendo cada face de uma única cor?

IIIII R E S O L U Ç Ã O IIIII 12. 6720 IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

Análise combinatória 13. (UNIMEP-SP) Usando somente os algarismos pares, sem repeti-los, podemos dizer que entre 2000 e 5000 teremos: a) 24 números. b) 48 números. c) 32 números. d) 1500 números. e) 2000 números

IIIII R E S O L U Ç Ã O IIIII 13. b Opção ( B ) IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII



PARANÁ Análise combinatória 14. (FEMPR-PR) No salão de beleza Bela Cruz, a Sra. Paula Verde Cruz, chefe das manicures, “cria” novas cores usando 6 tipos de esmaltes diferentes, aplicando-os em três camadas consecutivas de diferentes cores. A mudança na sequência das camadas define a diferença entre as cores resultantes. Numa determinada semana, ela utilizou todas as possibilidades de superposição, conseguindo um número de cores diferentes igual a: a) 20 b) 720 c) 120 d) 156 e) 31

IIIII R E S O L U Ç Ã O IIIII 1Opção ( c ) IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

UEL PR

9) Um professor de Matemática comprou dois livros para premiar dois alunos de uma classe de 42 alunos. Como são dois livros diferentes, de quantos modos distintos pode ocorrer a premiação? a) 861 b) 1722 c) 1764 d) 3444 e) 2^42

IIIII R E S O L U Ç Ã O IIIII O aluno A recebendo o livro L1 não é o mesmo que receber o livro L2. Logo há 42 possibilidades de um aluno receber o livro L1 e uma vez recebido, só restaram 41 alunos para receber o livro L2. Temos então um arranjo, ou seja, 42 . 41 formas diferentes de escolher 2 alunos dentre 42 alunos para receber L1 e depois L2. Total: (42 x 41) Total = 1722 possibilidades. IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII



Análise combinatória 4. ( UEPG - PR ) Em uma circunferência são marcados 7 pontos distintos: A, B, C, D, E, F e G. Com estes pontos, quantas cordas podem ser traçadas ? 42 14 21 7 28

IIIII R E S O L U Ç Ã O IIIII IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

Análise combinatória 9. ( CEFET - PR )

Qual é o valor de n para que ? 4 1 6 2 8

IIIII R E S O L U Ç Ã O IIIII IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII



Análise combinatória 11. ( CEFET - PR ) De Uma comissão técnica formada por engenheiros e economistas, deve Ter 5 elementos, dos quais 0elo menos 2 devem ser engenheiros. Se são disponíveis 4 engenheiros e 5 economistas, o número possível de comissões distintas é: 18 23 35 105 240

IIIII R E S O L U Ç Ã O IIIII IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

SANTA CATARINA Análise combinatória 5. ( ACAFE - SC ) Diagonal de um polígono convexo é o segmento de reta que une dois vértices não consecutivos do polígono. Se um polígono convexo tem 9 lados, qual é o seu número total de diagonais ? 72 63 36 27 18

IIIII R E S O L U Ç Ã O IIIII IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII



PARÁ Análise combinatória 15. (UFPA-PA) Anagramas PERMUTAÇÃO SIMPLES OU COM ELEMENTOS REPETIDOS Quantos são os anagramas da palavra BRASIL começados por B e terminados por L? a) 24. b) 120. c) 720. d) 240. e) 1440.

IIIII R E S O L U Ç Ã O IIIII 15. a IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

DISTRITO FEDERAL Análise combinatória 17. (UNEB-DF) Uma urna contém 10 bolas: 6 pretas iguais e 4 brancas iguais. Quantas são as maneiras diferentes de se extrair, uma a uma, as 10 bolas da urna? a) 420. b) 210. c) 120. d) 150. e) 180.

IIIII R E S O L U Ç Ã O IIIII 17. b IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII



CEARÁ Análise combinatória 19. (UFCE) O mapa de uma cidade é formado por 6 bairros distintos. Deseja-se pintar esse mapa com as cores vermelha, azul e verde do seguinte modo: um bairro deve ser vermelho, dois bairros azuis e os demais verdes. De quantas maneiras distintas isso pode ser feito? a) 6. b) 30. c) 60. d) 120. e) 240.

IIIII R E S O L U Ç Ã O IIIII 19. c IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

GENÉRICOS Análise combinatória 18. (FGV) RJ ou SP Sobre uma mesa são colocadas em linha 6 moedas. O número total de modos possíveis pelos quais podemos obter 2 caras e 4 coroas voltadas para cima é: a) 360. b) 48. c) 30. d) 120. e) 15.

IIIII R E S O L U Ç Ã O IIIII 18. e IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII



Análise combinatória 12. ( UFSM - RS ) Uma enfermidade que tem sete sintomas conhecido é detectada pelo médico, se o paciente apresentar 4 ou mais desse sintomas. Para que seja feito um diagnóstico seguro, o número de combinações possíveis de sintomas diferentes é: 1 7 21 35 64


IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII



Análise combinatória UESB 07 A Câmara Municipal de um pequeno município tem exatamente 13 vereadores, sendo que 8 apoiam o prefeito e os demais são da oposição.Com base nessas informações, pode-se afirmar que o n~umero de comissões distintas do io descrito é a) 280 b) 40 c) 120 d) 56 e)5

IIIII R E S O L U Ç Ã O IIIII Não apoia = 13 – 8 Não apoia m = 5 Escolher 3 entre os 8 e 5 entre os 5 Não importa a ordem Número de comissões N = C8,3 . C5,4 N = 8. 7 . 6 . 5 . 5! . 4 5! . 5! N = 9 . 8 . 7 . 6 120

N = 9 . 8 . 7 2 N = 252 comissões



IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII



RELOCAR

BIN^MIO DE NEWTN 20. (Unirio) DELETAR MAS NÃO TRANSFERIR PARA NÃO LEVAR A MÁ FORMATAÇÃO No desenvolvimento de (x+y)¾, a diferença entre os coeficientes do 3° e do 2° termos é igual a 54. Podemos afirmar que o termo médio é o: a) 3° b) 4° c) 5° d) 6° e)

IIIII R E S O L U Ç Ã O IIIII (n / 2) - (n / 1) = 54 n(n-1)/2 - 2n/2 = 54 n(n-3)/2 = 54 n²-3n-108 = 0 n=12 Olha o desenvolvimento de (a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b³ (4termos) (a+b)^4 = a^4 + 4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4 (5 termos) Ou seja, sempre há um termo a mais do que o grau do binômio. (a+b)12 terá 13 termos, sendo o



central o sétimo, portanto: letra e) =] 20 [E ] IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

Probabilidade

10. (UFF)

PROBABIIDADE NÃO RELOCAR DEVIDO ÁS LINHAS NOJENTAS Gilbert e Hatcher, em Mathematics Beyond the Number, relativamente à população mundial, informam que: - 43% tem sangue tipo O; - 85% tem Rh positivo; - 37% tem sangue tipo O com Rh positivo.

Nesse caso, a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso não ter sangue tipo O e não ter Rh positivo é de:

a) 9% b) 15% c) 37% d) 63% e) 91%




Considerando 100% o total e representando a situação em conjuntos . X = 9 % Opção ( A )

UERJ 2012 – 2ª fase – Disc - 07 PROBABIIDADE NÃO RELOCAR DEVIDO ÁS LINHAS NOJENTAS Para a realização de uma partida de futebol são necessários três árbitros: um juiz principal, que apita o jogo, e seus dois auxiliares, que ficam nas laterais. Suponha que esse trio de arbitragem seja escolhido aleatoriamente em um grupo composto de somente dez árbitros, sendo X um deles. Após essa escolha, um segundo sorteio aleatório é feito entre os três para determinar qual deles será o juiz principal. Calcule a probabilidade de X ser o juiz principal.

IIIII R E S O L U Ç Ã O IIIII Eventos a serem considerados I Escolher 3 juízes de um grupo de 10 juízes, sendo x um deles

II Escolher o juiz principal dentre os 3 juízes previamente escolhidos Como x faz parte com evento I, na verdade há 9 juízes dentre os quais serão escolhidos mais 2. n(A) = C9,2 n(A) = 19 . 9 . 8

3. 2 . 1

C9,2 = 36 Espaço amostral n(E) = C10,3 n(E) = 10 . 9 . 8 3 . 2 . 1 n(E) = 120 Probabilidade I P(I) = n(A) n(E) P(I) = 36 . 120 P(I) = 3 .

%100%48%37%6x

%91%100x



10 Probabilidade de escolher X entre os 3 juízes previamente escolhidos P(II) = 1 3 Probabilidade de X ser o juiz principal P(Xjuiz) = 1 . 3

3 10

P(Xjuiz) = 1 . 10 IIIII IIII



RELOCA Fractal UFF 2002 1

a Fase 19

Certas imagens captadas por satélites especiais, quando digitalizadas, são representadas por formas geométricas de aspecto irregular ou fragmentado, conhecidas por fractais. Podem-se obter tais fractais pela aceleração da forma original de uma curva por meio de um processo em que os resultados de uma etapa são utilizados como ponto de partida para a etapa seguinte. Considere o processo tal que, em todas as etapas, cada seguimento original, como ilustrado na figura a seguir:

Por esse processo, a partir de um quadrado com 1 metro de lado obtém-se a sequência de figuras:

O perímetro, em metro, do quinto polígono dessa sequência é: a) 4

4 b) 3

4 .

34 3

5

c) 45 d) 3

5

34 4

5

e) 34

44

IIIII R E S O L U Ç Ã O IIIII Segmentos Tamanhos 1 4 1metro 2 4 . 4 1/3 m 3 4 .4 . 4 1/3 de 1/3 4 4 . 4. 4 . 4 1/3 de 1/3 de 1/3 5 45 (1/3)4

5o = 45 . 1 34 5o = 45 34

Opção ( c )

II



1) (UFRJ / 2006) PROGRESSÃO Considere uma escada com infinitos degraus, de alturas 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, ..., definidas conforme a figura a seguir. Calcule a altura da escada em função de a, b e c.

IIIII R E S O L U Ç Ã O IIIII Altura da escada.

h = a1 + a2 + a3 + ... (1) Como os sucessivos triângulos retângulos (em que o primeiro tem o cateto horizontal, deitado, igual a b, e o segundo, igual a c) formados pelos degraus são semelhantes, resulta que a3

a2 =

a2

a1 =

c

b = razão de semelhança

entre a altura de cada degrau e a altura do degrau anterior



Mas c < b As alturas a𝑖 constituem uma P.G. de razão

menor que 1 A soma dos valores de seus termos converge. Todavia, a soma dos termos dessa P.G. nada mais é que a altura h da escada (de (1)).

h

b

c

a1

1

h

b

c

a

1

h c

a.b

b

IIIII IIII



UFRJ 2001 – Não Específica UFRJ 2001 - 1ªPr - 03 Um grupo de 40 moradores de uma cidade decidiu decorar uma Natal gigante. Ficou combinado que cada um terá um número n e que os enfeites serão colocados na árvore durante os 40 dias que o Natal da seguinte forma: o morador número 1 colocará por dia a partir do 1

o dia; o morador número 2

colocará 2 enfeites a partir do 2o dia e

assim sucessivamente (o morador número n enfeites por dia a partir do n-ésimo dia). a) Quantos enfeites terá colocado ao final dos 40 dias o morador 13? b) A Sra. X terá colocado, ao final dos 40 dias, um total de m Sabendo que nenhum morador colocará mais enfeites Sra. X, determine m.

IIIII R E S O L U Ç Ã O IIIII (a) Seja Pn o número de enfeites que o morador de número n terá colocado ao final dos 40 dias. Verificamos que Pn = n (41 − n). Em particular, P13 = 13 (41 − 13) P13 = 364. (b) A função o f(x) = x (41 − x) x . (41 – x) = 0 x’ = 0 ou 41 – x” = 0

x” = 41 tem como gráfico uma parábola que intercepta o eixo das abscissas nos pontos Quando o valor máximo xv = ponto médio xv = 41/2. Os valores de Pn são obtidos calculando-se f(n) para n = 1, 2, . . . , 40, y 0 20,5 41 x x’ xv x” concluímos que o máximo de Pn é atingido em n = 20 ou n = 21. Portanto m = P20 O maior deles P21 = 420. IIIII IIII



Função do segundo grau UFRJ-2001 A mala do Dr. Z tem um cadeado cujo segredo é uma combinação com 5 algarismos, cada um dos quais podemos variar de 0 a 9. Ele esqueceu a combinação que escolhera como segredo, mas sabe que atende as condições: . Se o primeiro algarismo é ímpar, então o último algarismo também é ímpar; . Se o primeiro algarismo é par, então o último algarismo é igual ao primeiro; .A soma do segundo e terceiro algarismo é 5. Quantas combinações diferentes atendem às condições de Dr. Z?

IIIII R E S O L U Ç Ã O IIIII Se iniciar ímpar (1o) (2oe 3o) (4o) . (5o) 5. 6 10 5 (1,3,5,7,9) (0-5, 1-4, 2-3) (1,3,5,7,9) (3-2, 4-1, 5-0) pode repetir ou Se iniciar par (1o) (2oe 3o) (4o) . (5o) 5. 6 10 1 (0,2,4,6,8) (0-5, 1-4, 2-3) (o inicial) (3-2, 4-1, 5-0)

por ímpar por par = 5 . 6 . 1 . 10 . 5 + 5 . 6 . 1 . 10 . 1 = 1500 + 300 = 1800 ___ ___ ___ __ ___ 5 6 1 10 5 ou + 5 6 1 10 1 1500 + 300 = 1800

anÁlise combinatÓria montados; b) o número de sanduíches distintos que um cliente pode montar,...

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