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3.1- Movimento em 1D Física I
Prof. Roberto Claudino Ferreira
Universidade Estadual do
Sudoeste da Bahia
Departamento de Estudos Básicos e
Instrumentais
Índice 1. Conceitos Fundamentais;
2. Velocidade;
3. Movimento Uniforme;
4. Movimento Uniformemente Variado;
5. Movimento Variado não uniforme;
6. Queda livre;
7. Movimento Relativo.
2 Prof. Roberto Claudino
3
OBJETIVO GERAL
Alcançar um entendimento sobre os
conceitos e grandezas que envolvem os
movimentos, assim como suas expressões,
unidades de medida e aplicações.
Prof. Roberto Claudino
4
CINEMÁTICA
A física se divide em vários ramos e a
Cinemática é um deles;
Conceito de Cinemática: Ciência que
estuda os movimentos sem se preocupar
com suas causas e consequências.
Cinemática escalar, (grandeza escalar);
Cinemática vetorial, (grandeza vetorial);
Prof. Roberto Claudino
5
CONCEITOS FUNDAMENTAIS
Ponto Material e Corpo Extenso;
Repouso, Movimento e referencial;
Trajetória;
Posição escalar, no SI (m);
Deslocamento escalar (m).
Prof. Roberto Claudino
12 xxx
6
VELOCIDADE MÉDIA e VELOCIDADE ESCALAR MÉDIA
Velocidade média , no SI (m/s);
Velocidade escalar média , (m/s)
É uma forma diferente de se escrever a
rapidez com que a partícula está se movendo.
Envolve a distância total percorrida independente
do sentido.
Prof. Roberto Claudino
12
12
tt
xx
t
xvm
x
t
0 m
0 s
10 m 20 m 30 m
2 s 4 s 6 s
V=5 m/s V=5 m/s V=5 m/s
tSméd
totaldistância
7
VELOCIDADE INSTANTÂNEA e VELOCIDADE ESCALAR INSTANTÂNEA
Velocidade instantânea é obtida reduzindo o
intervalo de tempo ∆t até torná-lo próximo de zero;
A velocidade escalar instantânea trata-se do
módulo da velocidade instantânea sem levar
em consideração o sentido do deslocamento da
partícula.
Prof. Roberto Claudino
x
t
0 m
0 s 2 s 3 s 4 s
V=5 m/s V=7 m/s V=8 m/s
dt
dx
t
xv
t
0lim
Um automóvel viaja do ponto A até o ponto
B a 36 km/h durante o primeiro minuto e de B até
C a 72 km/h nos três minutos seguintes. Qual a
sua velocidade escalar média durante os quatro
minutos?
Se este automóvel retornasse ao ponto B
levando 30 s para manobrar em C, desprezando
os pequenos deslocamentos da manobra e
sabendo que o percurso CB foi realizado em 2
minutos. Qual seria a sua velocidade média em
CB? e qual a sua velocidade escalar média em
todo percurso? Prof. Roberto Claudino 8
1º Problema:
A posição de uma partícula que se move em
um eixo x é dada por:
Com x em metros, t em segundos. Qual é a
velocidade da partícula em t = 3,5s? A velocidade
é constante ou está variando continuamente?
A posição de uma partícula que se move em um
eixo x é dada por:
Com x em metros, t em segundos. Qual é a
velocidade da partícula em a) t = 5 s e b) t = 8 s?
c) a velocidade é constante ou está variando
continuamente?
Prof. Roberto Claudino 9
2º Problema:
³1,22,98,7 ttx
3º Problema:
tx 2,43,5
10
MOVIMENTO UNIFORME
Prof. Roberto Claudino
x
t
0 m
0 s
10 m 20 m 30 m
2 s 4 s 6 s
V=5 m/s V=5 m/s V=5 m/s
V = constante ≠ 0
A função da posição:
Demonstração Unidades de medidas
0t )(
o
oo
t
t
x
x
t
t
x
x
ttvxx
tvx
dtvdx
vdtdx
dt
dxV
oo
oo
)(
)(
sdt
mdx
s
mV
vtxx o
11
GRÁFICO DO MOVIMENTO UNIFORME
Prof. Roberto Claudino
é do 1º grau,
sua declividade (v) é uma reta;
Em (x,t):
Se v > 0, movimento Progressivo;
Se v < 0, movimento retrogrado;
Em (v,t), função constante:
x
t
v > 0
x
t
v < 0
v
t
v > 0 v t
v < 0
vtxx o
Dois móveis A e
B percorrem uma reta
de acordo com os
diagramas indicados
ao lado. Qual a
posição de encontro
destes móveis?
Prof. Roberto Claudino 12
4º Problema:
13
Quando a velocidade de uma partícula varia
diz-se que ela sofreu uma aceleração.
Já a aceleração instantânea trata-se do limite da
aceleração média com Δt tendendo a zero.
Prof. Roberto Claudino
MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO
x
t
0 m
0 s 2 s 3 s 4 s
V=8 m/s V=12 m/s V=16 m/s
x
t 0 s 1 s 2 s 4 s
V=24 m/s V=12 m/s V=0 m/s V=18 m/s
24
23
812
s
m
t
va
26
01
2418
s
m
t
va
A velocidade é variável e a aceleração é constante ≠ 0.
dt
dva
t
va
t
0lim Pode ser
Também: ²
²
dt
xd
dt
dx
dt
d
dt
dva
14
FUNÇÃO HORÁRIA DA POSIÇÃO E DA VELOCIDADE PARA MOVIMENTO VARIADO
Prof. Roberto Claudino
A função da velocidade.
Demonstração:
0t )(
o
oo
t
t
v
v
t
t
v
v
ttavv
tav
dtadv
adtdv
dt
dva
oo
oo
atvv o
A função da posição.
Demonstração:
t
t
t
t
o
x
x
o
o
o
o oo
tdtadtvdx
dtatvdx
atvdt
dx
dt
dxv
avv
)(
t
2
2t
atvxx oo
0
2)(
2
22
2
o
oooo
t
t
t
to
x
x
t
tta
ttvxx
tatvx
o
oo
15
INTEGRAÇÃO DO GRÁFICO EM
ANÁLISE DO MOVIMENTO
Prof. Roberto Claudino
v
t
t
t
x
x oo
vdtdx
dt
dxv
to t
t
tO
vdtxx 0
Área N
oxx
a
t to t1
t
to
adtdv
dt
dva
t
t
adtvv0
0
Área 0
N
vv
O gráfico a baixo representa o movimento
de um móvel. Qual a variação da posição no
intervalo de 0 a 12 segundos.
Prof. Roberto Claudino 16
5º Problema:
A posição de uma partícula que se move em
um eixo x é dada por:
Com x em metros, t em segundos. (a) Como a
posição x depende do tempo t, a partícula deve
estar em movimento. Determine a função
velocidade v(t) e a função aceleração a(t) da
partícula. (b) Existe algum instante para o qual
v=0?
Prof. Roberto Claudino 17
6º Problema:
²274 ttx
18
EQUAÇÃO DE TORRICELLI
Prof. Roberto Claudino
Torricelli eliminou a variável tempo da equação das
velocidades da seguinte maneira:
Sabemos que: , logo: , igualando
as duas equações:
atvv o
xavv o 222
x
x
v
v oo
adxvdv
adxvdv
a
dv
v
dx
dtdt
dt
dva
dt
dxv ,
a
dvdt
v
dxdt ,
xavv
xxavv
xav
o
oo
x
x
v
vo
o
2²
2
²
2
²
2
2
19
Prof. Roberto Claudino
MOVIMENTO VARIADO NÃO UNIFORME
x
t
0 m
0 s 2 s 3 s 4 s
V=8 m/s V=18 m/s V=32 m/s
ttv
v
t
t
v
v
t
t
v
v
oo
oo
oo
tv
tdtdv
adtdv
adtdv
dt
dva
00 ²2
4
4
A velocidade e a aceleração são variáveis.
No exemplo abaixo a partícula parte do repouso e aceleração
varia segundo a função . ta 4
²2
0
0
:exemplo No
)²(2
)²(2
2
2
tv
t
v
ttvv
ttvv
o
o
oo
oo
smv
sma
smv
sma
smv
sma
/32
²/16
:4s t Em
/18
²/12
:3s t Em
/8
²/8
:2s t Em
3
³2
³3
2
²2
00
tx
tx
dttdx
vdtdx
dt
dxv
t
t
x
x
t
t
x
x
oo
oo
ta 4
A aceleração de um corpo em movimento
retilíneo é diretamente proporcional ao tempo e
representada por a = kt, onde k é uma constante.
Para t = 0s, a velocidade do corpo é de -16 m/s.
Sabendo que a velocidade e a coordenada da
posição são nulas no tempo de 4s. Determine (a)
as equações da aceleração, velocidade e
posição do corpo (b) a aceleração, velocidade e
posição do corpo no tempo de 2s.
Prof. Roberto Claudino 20
7º Problema:
21
QUEDA LIVRE Um objeto quando abandonado no
vácuo nas proximidades da Terra descreve
trajetória vertical e sua velocidade aumenta
progressivamente sob a aceleração da
gravidade g = 9,8 m/s².
No vácuo, objetos caem sempre da mesma forma,
independente de sua massa, tamanho e forma.
Na Terra não temos queda livre devido à resistência do
ar, no entanto para pequenos deslocamentos podemos
desprezar a resistência do ar.
Convencionando o
sinal de (g) = (-g)
gtvv o
²2
tg
tvyy oo
ygvv o 2² 2Descida: v = (-) e o |V| aumenta
Subida: v = (+) e o |V| diminui
Convencionando o sinal de (v):
Em um prédio em construção, uma chave de
grifo chega ao solo com uma velocidade de 24
m/s. (a) de que altura um operário a deixou cair?
(b) Quanto tempo durou a queda? (c) Esboce os
gráficos de y,v,e g em função de t para a chave
de grifo.
Prof. Roberto Claudino 22
8º Problema:
23
MOVIMENTO RELATIVO
Prof. Roberto Claudino
O movimento é um conceito relativo cuja
descrição depende de um referencial específico
escolhido pelo observador.
Diferentes observadores usando sistemas
referenciais diferentes obtém diferentes
descrições de um mesmo movimento.
O estudo do movimento relativo tem como
objetivo relacionar estes resultados distintos de
um mesmo movimento.
24
MOVIMENTO RELATIVO EM 1D
Prof. Roberto Claudino
BAv
PBPA
BA
BAPBPA
BAPBPA
BAPBPA
BAPBPA
aa
v
vdt
dv
dt
dv
dt
d
dt
dva
vvv
xdt
dx
dt
dx
dt
d
dt
dxv
xxx
Constante Sendo
)()()(
)()()(
BAPBPA xxx
Na figura do slide anterior, Alexandre é o referencial A
enquanto que Bárbara é o referencial B. A velocidade de
Barbara em relação a Alexandre é constante,
e que o carro P está se movendo no sentido negativo do
eixo x. (a) Se Alexandre mede uma velocidade
para o carro P, qual é a velocidade medida por
Bárbara? (b) Se o carro P freia até parar em relação a
Alexandre (e portanto, em relação ao solo) no instante
t = 10 s, com uma aceleração constante, qual é a sua
aceleração em relação a Alexandre?
(c) Qual é a aceleração do carro P em relação à
Bárbara durante a frenagem?
Prof. Roberto Claudino 25
9º Problema:
km/h 52BAv
km/h 78PAv
PBv
PAa
PBa
3.2- Movimento em 2D e 3D. Física I
Prof. Roberto Claudino Ferreira
Universidade Estadual do
Sudoeste da Bahia
Departamento de Estudos Básicos e
Instrumentais
27 Prof. Roberto Claudino
POSIÇÃO e DESLOCAMENTO em 2D e 3D.
O deslocamento vetorial :
r
kzjyixr ˆˆˆ
Posição vetorial ou vetor posição .
r
kzjyixr
kzzjyyixxr
kzjyixkzjyixr
rrr
ˆˆˆ
ˆˆˆ
ˆˆˆˆˆˆ
121212
111222
12
Um coelho atravessa um estacionamento, no
qual, por alguma razão, um conjunto de eixos
coordenadas foi desenhado. As coordenadas da
posição do coelho, em metros, em função do
tempo t, em segundos, são dadas por:
x = - 0,31t² + 7,2t + 28
y = 0,22t² - 9,1t + 30
(a) No instante t = 15s, qual é o vetor posição do
coelho na notação de vetores unitários e na
notação módulo-ângulo?
Prof. Roberto Claudino 28
10º Problema:
29 Prof. Roberto Claudino
VELOCIDADE MÉDIA e INSTANTÂNEA em 2D e 3D.
As componentes escalares ficam:
t
rv
t
kzjyixv
méd
méd
ˆˆˆ
Velocidade média: Velocidade Instantânea:
dt
dzv
dt
dyv
dt
dxv zyx ,,
kvjvivv
kvzjyixdt
dv
zyxˆˆˆ
ˆˆˆ
Determine a velocidade vetorial do coelho do
problema 10, no instante t = 15s.
x = - 0,31t² + 7,2t + 28
y = 0,22t² - 9,1t + 30
Lembre-se que: Um vetor é caracterizado por ter
módulo, direção e sentido.
Prof. Roberto Claudino 30
11º Problema:
31 Prof. Roberto Claudino
ACELERAÇÃO MÉDIA e INSTANTÂNEA em 2D e 3D.
As componentes escalares ficam:
t
va
t
vva
méd
méd
12
Aceleração média: Aceleração Instantânea:
dt
dva
dt
dva
dt
dva z
z
y
yx
x ,,
kdt
dvj
dt
dvi
dt
dva
kvjvivdt
da
zyx
zyx
ˆˆˆ
ˆˆˆ
32
MOVIMENTO RELATIVO EM 2D
Prof. Roberto Claudino
BAPBPA rrr
BAv
BAr
PBr
PAr
BAPBPA vvv
PBPA aa
Um avião se move para leste enquanto o piloto
direciona o avião ligeiramente ao sul do leste, para
compensar um vento constante que sopra para
nordeste. O avião tem uma velocidade em relação ao
vento, com uma velocidade do ar (velocidade escalar
em relação ao vento) de 215 km/h e uma orientação que
faz um ângulo θ ao sul do leste. O vento tem uma
velocidade em relação ao solo, com uma velocidade
escalar de 65,0 Km/h e uma orientação que faz um
ângulo de 20º a leste do norte. Qual é o módulo da
velocidade do avião em relação ao solo e qual é o
valor de θ?
Prof. Roberto Claudino 33
12º Problema:
AVv
VSv
ASv
34
LANÇAMENTO HORIZONTAL
Prof. Roberto Claudino
O movimento de um corpo lançado
horizontalmente, coincide com o movimento
em queda livre;
O corpo apresenta duas
velocidades: Uma na
horizontal (vx) e a outra
na vertical (vy).
A velocidade horizontal
não afeta a vertical.
O movimento de projéteis
é composto de duas
velocidade uma na
horizontal ( ) e outra na
vertical ( ).
Um projétil pode ser entendido como uma
partícula que se move no plano vertical com
velocidade inicial e com aceleração constante
igual a aceleração de queda livre , dirigida para
baixo. Onde: , onde:
35
MOVIMENTO DE PROJÉTEIS
Prof. Roberto Claudino
ov
g
jvivv oyoxoˆˆ
oooy
ooox
senvv
vv
cos
xv
yv
36
MOVIMENTO HORIZONTAL
Prof. Roberto Claudino
Na horizontal não existe aceleração,
logo trata-se de um MU.
tvxx
tvxx
vv
ooo
oxo
xox
)cos(
constante
O movimento na horizontal
coincide com um movimento em
queda livre, logo o movimento
horizontal não interfere no
movimento vertical.
37
MOVIMENTO VERTICAL
Prof. Roberto Claudino
Trata-se de um movimento em queda livre MUV.
Logo, nas expressões em queda livre,
substituiremos: oooy senvv
gtsenvv ooy
²2
tg
tsenvyy ooo
ygsenvv ooy 222
38
EQUAÇÃO DA TRAJETÓRIA
Prof. Roberto Claudino
Trata-se da equação para encontrar o caminho
percorrido pelo projétil. Para encontrá-la, isola-se
o tempo na equação do deslocamento horizontal
e substitui-se na equação do deslocamento
vertical, tomando
y MUV
²cos2
²
ov
gxxtagy
0 ,0 oo xy
Equação da trajetória
39
ALCANCE HORIZONTAL
Prof. Roberto Claudino
²2
)(0
)(cos
²
2)(
)(
tg
tsenv
tvR
tg
tsenvyy
tCosvxx
oo
oo
ooo
ooo
)()(2
)(2)(0
2)(0 e
)(
oo
oo
oo
oo
oo
oo
SenvCosv
Rg
Cosv
RgSenv
ttg
SenvCosv
Rt
0 , oo yyRxxElimina o
tempo nas
duas:
))((2 2
ooo CosSen
g
vR
)2(2
oo Seng
vR
Chamaremos:
É a distância máxima horizontal que o projétil
alcança até atingir sua altura inicial.
40
ALCANCE HORIZONTAL MÁXIMO
Prof. Roberto Claudino
g
vR o
máx
2
12 osen
º45º902 oo
Então o alcance máximo
Ocorre quando:
Portanto o ângulo de alcance máximo é 45º
)2(2
oo Seng
vR
Um mergulhador salta com uma velocidade
horizontal de 2,00 m/s de uma plataforma que
está 10,0 m acima da superfície da água. (a) A
que distância horizontal da borda da plataforma
está o mergulhador 0,8 s após o início do salto?
(b) A que distância vertical acima da superfície da
água está o mergulhador nesse instante? (c) A
que distância horizontal da borda da plataforma o
mergulhador atinge a água?
Prof. Roberto Claudino 41
13º Problema:
Um avião mergulhando com velocidade
constante em um ângulo de 53º com a vertical,
lança um projétil a uma altitude de 730 m. O
projétil chega ao solo 5,0 s após o lançamento.
(a) Qual é a velocidade do avião? (b) Que
distância o projétil percorre horizontalmente
durante o percurso? Quais são as componentes?
(c) horizontal e (d) vertical da velocidade do
projétil no momento em que chega ao solo?
Prof. Roberto Claudino 42
14º Problema:
Um projétil é lançado do solo para cima segundo
um ângulo de 30º com a horizontal, com
velocidade de 80 m/s. Calcule:
a) O tempo que o corpo leva para atingir a altura
máxima;
b) A altura máxima;
c) As coordenadas do projétil no instante 1s;
d) O tempo gasto para atingir o solo;
e) O alcance.
Prof. Roberto Claudino 43
15º Problema:
top related